Ensino Superior Matemática Básica Unidade 11 - Polígonos Amintas Paiva Afonso.
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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 11 - Polígonos
Amintas Paiva Afonso
É a figura que é formado por segmentos de reta unidos por seus extremos dois a dois.É a figura que é formado por segmentos de reta unidos por seus extremos dois a dois.
Medida do ângulo central
A
B
C
DE
Diagonal
Vértice
Medida doângulo externo
Lado
Medida dol ângulo interno
Centro
01- Polígono convexo - Las medidas de seus ângulos interiores são agudos.
02- Polígono cóncavo -La medida de uno o mas de sus ángulos interiores es cóncavo.
03- Polígono equilátero - Seus lados são congruentes.
04- Polígono equiângulo - As medidas de seus ângulos interiores são congruentes.
Triângulo : 3 lados Quadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados
Eneágono : 9 lados Decágono: 10 lados Unodecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados Pentadecágono:15 lados Icoságono: 20 lados
05- Polígono regular - É equilátero e por sua vez equiângulo.
06- Polígono irregular - Seus lados têm comprimentos diferentes.
PRIMEIRA PROPRIEDADE
Numericamente: Lados, vértices, ângulos interiores, ângulos exteriores e ângulos centrais são iguais.
• Lados
• Vértices
• Ângulos interiores
• Ângulos exteriores
• Ângulos centrais
SEGUNDA PROPRIEDADE
A partir de um vértice de um polígono, se podem traçar (n-3 ) diagonais.
Exemplo:
ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonais
TERCEIRA PROPRIEDADE
O número total de diagonais que se pode traçar em um polígono:
2
)3n(nND
Exemplo:
diagonais 52
)35(5
DN
QUARTA PROPRIEDADE
Ao traçar diagonais desde um mesmo vértice obtemos (n-2) triângulos
Exemplo:
3
2
1
Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triângulos
QUINTA PROPRIEDADE
Soma das medidas dos ângulos interiores de un polígono:
Si =180°(n-2)
Exemplo:
180º
180º
180º
Si = 180º x número de triângulos = 180º(5 - 2) = 540º
Donde (n - 2) é o número de triángulos
Soma das medidas dosângulos interiores do triângulo
SEXTA PROPRIEDADESoma das medidas dos ângulos exteriores de um polígono é 360º
Se = 360°
+ + + + = 360º
Exemplo:
SÉTIMA PROPRIEDADE
Ao unir um ponto de um lado com os vértices opostos obtemos (n - 1) triângulos
Exemplo:
3
2
1
4
Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triângulos
Ponto qualquier deum lado
OITAVA PROPRIEDADE
Ao unir um ponto interior qualquier com os vértices obtemos “n” triângulos
3
2
1
45
Ns. = n = 5 = 6 triângulos
Exemplo:
NONA PROPRIEDADE
Número de diagonais traçadas desde “V” vértices consecutivos, obtemos com a siguinte fómula.
2
)2V)(1V(nVND
Ejemplo:
2
1
e assim sucessivamente
1ª Propriedade 2ª Propriedade
3ª Propriedade 4ª PropriedadeSoma das medidas dos ângulos centrais.
Sc = 360°
Medida de um ângulo interior de um polígono regular ou polígono equiângulo.
n
)2n(180m
i
Medida de um ângulo exterior de um polígono regular ou polígono equiângulo.
n
360em
Medida de um ângulo central de um polígono regular.
n
360cm
Em um polígono, a suma das medidas dos ângulos exteriores e interiores és 1980°. Calcule o total de diagonais deste polígono.
360° + 180°( n - 2 ) = 1980°
Se + Si = 1980°
Resolvendo: n = 11 ladosn = 11 lados
Número de diagonais:
2
)3n(nND
2
)3n(nND
2
) 311 ( 11ND
ND = 44ND = 44
Do enunciado:
Logo, substituindo pelas propriedades:
Problema Nº 01
Como se denomina aquele polígono regular, no qual a medida de cada um de seus ângulos internos é igual a 8 vezes a medida de um ângulo externo
mi = 8(me )
Resolvendo: n = 18 ladosn = 18 lados
Polígono de 18 ladosPolígono de 18 lados
Polígono é regular:
)n
360(8
n
)2n(180
Problema Nº 02
Do enunciado:
Substituindo pelas propriedades:
Logo polígono é regular se denomina:
Calcule o número de diagonais de um polígono convexo, sabendo que o total das diagonais é maior que seu número de lados em 75.
Resolvendo: n = 15 ladosn = 15 lados
Logo, o número total de diagonais:
2
)3n(nND
2
)3n(nND
2
) 315 ( 15ND
ND = 90ND = 90
2
) 3n ( n
ND = n + 75
= n + 75
n2 - 5n - 150 = 0
Problema Nº 03
Do enunciado:
Substituindo a propriedade:
Em um polígono regular, um lado aumenta, a medida de seu ângulo interno aumenta em 12°; então o número de vértices do polígono é:
Resolvendo: n = 5 ladosn = 5 lados
NV= 5 vérticesNV= 5 vértices
Polígono é regular:
Polígono original: n ladosPolígono modificado: (n + 1) lados
1n
) 21n (180 12
n
) 2n (180
Número de lados = Número de vértices
Problema Nº 04
Dol enunciado:
Substituindo pela propriedade:
O número total de diagonais de um polígono regular é igual ao triplo do número de vértices. Calcule a medida de um ângulo central deste polígono.
Resolvendo: n = 9 ladosn = 9 lados
mc = 40°
Polígono é regular:
2
)3n(n = 3n
Logo, a medida de um ângulo central:
n
360m c
n
360m c
9
360m c
Problema Nº 05
Do enunciado:
ND = 3nSubstituindo pela propriedade: