ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Universidad Católica Popular del Risaralda UCPR Grupo de Investigación GEMA

1

Memorias : Segundo Encuentro Nacional sobre la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales : Las

ciencias básicas como eje articulador del conocimiento

© Universidad Católica Popular del Risaralda, 2010

Carrera 21 No. 49-95 Pereira

Teléfono 312 77 22

[email protected] www.ucpr.edu.co

© Víctor Leiva-Chileno

Liliana Monica Saidon-Argentina

Julio Carlos Bertua - Argentino

Henry Reyes Pineda - Colombiano

Valentín Pérez Heranz - Español

Luis Fernando Plaza Gálvez - Colombiano

Lady Jhoanna García García - Colombiana

Encuentro Nacional sobre la enseñanza de las ciencias exactas y naturales, (2 : 2010 sep. 2-3

Pereira)

Memorias : Segundo Encuentro Nacional sobre la Enseñanza de las ciencias exactas y

naturales : Las ciencias básicas como eje articulador del conocimiento / compilación de

Mónica María Gómez Hermida, James Andrés Barrera Moncada. -- 1a. ed. -- Colombia:

Pereira : Universidad Católica Popular del Risaralda, 2010.

1 CD-Rom bajo windows.

Evento auspiciado por la Gobernación de Risaralda, el ICETEX y la Alcaldía de Pereira.

ISBN : 978-958-8487-08-3

1.ENSEÑANZA 2.CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES 3.DIDACTICA. 4.

RESOLUCION DE PROBLEMAS. 5. TÉCNICAS DE ESTUDIO. I. Saidón, Liliana Mónica.

II. Bertúa, Julio Carlos. III. Reyes Pineda, Henry. IV. Pérez Heranz, Valentín. V. Plaza

Gálvez, Luis Fernando. VI. García García, Lady Jhoanna. VII. Castillo Sánchez, Harold. VIII.

Posso Agudelo, Abel. IX. Martínez Acosta, Alejandro. X. Uzuriaga López, Vivian. XI.

Gonzales Pineda, Campo Elías. XII. Osorio Mansilla, Luz Elena, XIII Negro, Graciela.

XIV. Mejía, Luis Miguel. XV. Gallego Cortés, Geoffrin Ninoska. XVI. Cardona Naranjo,

Alexander. XVII. Loaiza García, Manuel Alonso. XVIII Villegas Sepúlveda, Marino. XIX.

Duque Nieto, Gustavo. XX. Restrepo Franco, José Mauricio. XXI. Molina García, Juan

Carlos. XXII. Ramírez, Iliana María. XXIII. Madrigal Argaez, Jairo. XXIV. Castañeda

Gallego, Luis Felipe. XXV. Álvarez Vargas, Sebastián. XXVI. Navarrete Sánchez, Johan

Farley. XXVII. Vela Salazar, Julián Andrés. XXVIII. Castrillón Jiménez, Elkin Alberto.

XXIX. Córdoba Gómez, Francisco Javier. XXX. Clavijo Gañan, Egidio Esteban. XXXI.

Vergara Osorio, Fernando. XXXII. Castro Torres, Pedro Antonio. XXXIII. González Chica,

Guiomar XXXIV. Aguilar Ramírez, Sandra Milena. XXXV. Bedoya Duque, María Gabriela.

XXXVI. Henao López, Juan Carlos. XXXVII. James Andrés Barrera Moncada. XXXVIII.

Céspedes de los Ríos Guillermo Adolfo. XXXIX. Ceballos Peláez, Silvia Patricia. XL. Estrada,

Jorge Mario. XLI. Bedoya Sánchez, José Rubiel. XLII. Valcárcel Montañez, Justo Pastor.

XLIII. González, Sierra Hernando. XLIV. Kouznetsov Vladímir V. XLV. Vargas Méndez,

Leonor Yamile. XLVI. Holguín Atehortúa, Jhon Fredy. XLVII. Castrillón Hernández, Mariluz

XLVIII. Gallego Becerra, Hugo Armando. XLIX. Ardila Urueña, William. L. Orozco Gallego,

Hoover. LI. Clavijo Gañan, Egidio Esteban LII. Ramírez Machado, Elmer José. LIII. Ángulo

Cruz, Mónica. LIV Osorio Acevedo, Luis Eduardo. LV. Bermúdez, Héctor Fabio. LVI. Escobar

Escobar, Robín Mario. LVII Ciceri Cruz, María del Pilar. LVIII. Alvarez Miño, Lucero. LIX.

Ardila Rojo, Pablo Felipe. LX. Pardo Pinzón, Hugo Fernando. LXI. Jiménez Ruiz, Carlos. LXII.

Castillo Pérez, Jaime. LXIII. Meléndez Surmay, Rafael. LXIV. Pedraza Saavedra, Luis Gerardo.

LXV. Figueroa Jiménez, Jorge Hernando. LXVI. Ríos Domínguez, Jaiber Emilio. LXVII.

Torres Cardona, Devinson. LXVIII. Archbold Joseph, Rosendo Ricardo. LXIX . Caballero

Sahelices, María Concesa. LXX Llamosa Rincón, Luis Enrique. LXXI. Villarreal Castro,

Milton Fernando. LXXI. Leiva, Víctor. LXXII. Universidad Católica Popular del Risaralda.

mailto:[email protected]

Harold Castillo Sánchez - Colombiano

Abel E. Posso Agudelo - Colombiano

Alejandro Martínez Acosta - Colombiano

Vivian Uzuriaga López - Colombiano

Campo Elías Gonzales Pineda - Colombiano

Graciela Negro - Argentina

Luis Miguel Mejía - Colombiano

Geoffrin Ninoska Gallego Cortés - Colombiana

Alexander Cardona Naranjo - Colombiana

Manuel Alonso Loaiza García - Colombiana

Marino Villegas Sepulveda - Colombiana

Gustavo Duque Nieto - Colombiana

José Mauricio Restrepo Franco - Colombiana

Juan Carlos Molina Garcia - Colombiana

Iliana María Ramírez - Colombiana

Jairo Madrigal Argaez - Colombiano

Luis Felipe Castañeda Gallego - Colombiano

Sebastián Álvarez Vargas - Colombiano

Johan Farley Navarrete Sánchez - Colombiano

Julián Andrés Vela Salazar - Colombiano

Elkin Alberto Castrillón Jiménez - Colombiano

Francisco Javier Córdoba Gómez - Colombiano

Fernando Vergara Osorio - Colombiano

Pedro Antonio Castro Torres - Colombiano

Guiomar González Chica - Colombiana

Sandra Milena Aguilar Ramírez - Colombiana

María Gabriela Bedoya Duque - Colombiana

Juan Carlos Henao López - Colombiana

James Andrés Barrera Moncada - Colombiano

Guillermo Adolfo Céspedes de los Ríos - Colombiano

Silvia Patricia Ceballos Peláez - Colombiana

Jorge Mario Estrada - Colombiano

José Rubiel Bedoya Sánchez - Colombiano

Justo Pastor Valcárcel Montañez - Colombiano

Hernando González Sierra - Colombiano

Vladímir V. Kouznetsov - Ruso

Leonor Yamile Vargas Méndez - Colombiana

Luz Elena Osorio Mansilla - Colombiana Jhon

Fredy Holguín Atehortua - Colombiano

Mariluz Castrillón Hernández - Colombiana

Hugo Armando Gallego Becerra - Colombiano

William Ardila Urueña - Colombiano

Hoover Orozco Gallego - Colombiano

Egidio Esteban Clavijo Gañan - Colombiano

Elmer José Ramírez Machado - Colombiano

Mónica Ángulo Cruz - Colombiana

Luis Eduardo Osorio Acevedo - Colombiano

Héctor Fabio Bermúdez - Colombiano

Robin Mario Escobar Escobar - Colombiano

María del Pilar Ciceri Cruz - Colombiana

Lucero Álvarez Miño - Colombiana

Pablo Felipe Ardila Rojo - Colombiano

Hugo Fernando Pardo Pinzón - Colombiano

Carlos Jiménez Ruiz - Colombiano

Jaime Castillo Pérez - Colombiano

Rafael Meléndez Surmay - Colombiano

Luis Gerardo Pedraza Saavedra - Colombiano

Jorge Hernando Figueroa Jiménez - Colombiano

Jaiber Emilio Ríos Domínguez - Colombiano

Devinson Torres Cardona - Colombiano

Rosendo Ricardo Archbold Joseph - Colombiano

María Concesa Caballero Sahelices - Española

Luis Enrique Llamosa Rincón - Colombiano

Milton Fernando Villarreal Castro - Colombiano

Compiladores:

Mónica María Gómez Hermida

[email protected]

James Andrés Barrera Moncada

[email protected]

Primera edición 2011

ISBN 978-958-8487-08-3

Número de ejemplares: 200




3

CONTENIDO

PRESENTACIÓN .......................................................................................................................... 8

CONFERENCIAS ........................................................................................................................ 10

CF 1. LA TEORÍA DE CONFIABILIDAD DE ENVEJECIMIENTO HUMANO Y LONGEVIDAD:

UNA CONEXIÓN CON MODELOS DE FATIGA .......................................................................... 10

CF 2. UN ESCENARIO DINÁMICO DE EXPLORACIÓN MATEMÁTICA .................................... 12

CF 4. APLICACIÓN DE LA QUÍMICA INDUSTRIAL EN REACTORES ELECTROQUÍMICOS DE

COMPARTIMENTOS SEPARADOS............................................................................................. 25

CF 5. MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE LA RELACIÓN TEMPERATURA AMBIENTE VS

TIEMPO ......................................................................................................................................... 26

CF 6. MODELOS FÍSICOS UTILIZADOS DENTRO DE LA RECONSTRUCCIÓN ANALÍTICA DE

ACCIDENTES DE TRÁNSITO ...................................................................................................... 27

CF 7. INTEGRACIÓN ENTRE LA EDUCACIÓN EN MATEMÁTICAS Y LA EDUCACIÓN EN

FÍSICA: ALGUNOS ELEMENTOS PARA SU REFLEXIÓN. ........................................................ 29

CF 8. RELACIÓN ENTRE EL MODELO DE VAN HIELE, EL APRENDIZAJE DESARROLLADOR

Y EL RENDIMIENTO ACADÉMICO DE LOS ESTUDIANTES ..................................................... 32

CF 9. LAS MATEMÁTICAS NO SON SIMPLES NÚMEROS NI ECUACIONES .......................... 34


4

CURSILLOS .................................................................................................................................. 36

CR 1. UN MODELO ESTADÍSTICO DE FATIGA: CARACTERIZACIÓN, IMPLEMENTACIÓN Y

APLICACIÓN ................................................................................................................................. 36

CR 2. PLANTEO Y EXPLORACIÓN DE PROBLEMAS CON NUEVAS HERRAMIENTAS ........ 38

CR 4. FUNDAMENTOS DE DISEÑO EXPERIMENTAL PARA LA MODELACIÓN Y

SIMULACIÓN DE PROCESOS BIOLÓGICOS ............................................................................. 51

CR 5. EL USO DE FICHAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS ............. 71

CR 6. CACHARREANDO DESDE LAS CIENCIAS BÁSICAS CON NIÑOS Y JÓVENES PARA

SU FUTURO PROFESIONAL ....................................................................................................... 77

CR 7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO TÉCNICAS DE LÓGICA ....................... 79

CR 9. DISEÑO DE GUIDES DE MATLAB COMO APOYOS PARA EL APRENDIZAJE DE LAS

MATEMÁTICAS............................................................................................................................. 84

CR 10. USO DE HERRAMIENTAS VIRTUALES EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA

FISICA ........................................................................................................................................... 87

CR 11. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE MATERIAL INTERACTIVO CON GEOGEBRA PARA

IMPACTAR EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA, ALGEBRA Y CÁLCULO DIFERENCIAL

....................................................................................................................................................... 90

CR 13. UN ACERCAMIENTO A LA VISUALIZACIÓN EN MATEMÁTICAS CON AYUDA DE LA

GEOMETRÍA DINÁMICA .............................................................................................................. 92

CR 14 ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA POR MÉTODOS NO CONVENCIONALES ...................... 95

CR 15. ESTADÍSTICA APLICADA EN EXCEL ........................................................................... 105

CR 16. FISICA SUPERCHEVERE .............................................................................................. 117

CR 19. PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA............................................................................................................................. 123


5

CR 20. INTRODUCCION A SCILAB ........................................................................................... 142

CR 21. DESARROLLO DE LA LÓGICA A TRAVÉS DEL JUEGO ............................................. 151

PONENCIAS………………..…………………………………………………………………………..166

PO 1. ACTITUD HACIA LA MATEMÁTICA, UN INSTRUMENTO PEDAGÓGICO E

INVESTIGATIVO1 ........................................................................................................................ 152

PO 2. APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS TECNOLÓGICOS DE CONVERSIÓN DE ENERGÍA

SOLAR ........................................................................................................................................ 163

PO3. BIOLOGÍA QUÍMICA COMO UN CURSO ELECTIVO PARA QUÍMICOS Y BIÓLOGOS:

OBJETIVOS Y PERSPECTIVAS ................................................................................................ 165

PO 5. ¿CÓMO EN UN ESPACIO DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS, APORTAMOS

AL GRAVE PROBLEMA QUE TENEMOS HOY DE MEDIO AMBIENTE? ................................ 173

PO 6. DIAGNÓSTICO DEL PENSAMIENTO NUMÉRICO DE ESTUDIANTES EN LOS

COLEGIOS PRIVADOS DE CARTAGO EN GRADO QUINTO .................................................. 182

PO 7. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE PROTOTIPOS PARA EXPERIMENTOS DE FÍSICA I

..................................................................................................................................................... 191

PO 8. EL CABRI Y EL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO EN CONTEXTOS ESCOLARES,

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS .................................................................................. 192

PO 9. EL JUEGO DIDÁCTICO, UNA ALTERNATIVA PARA LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICA

..................................................................................................................................................... 193

PO 10. EMPLEO DE ANALOGÍAS, METÁFORAS Y SÍMILES EN CURSOS

INTRODUCTORIOS DE FÍSICA ................................................................................................. 204

PO 11. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DEL PENSAMIENTO ESPACIAL

..................................................................................................................................................... 205

PO 12. APLICAR LA METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE BASADA EN PROYECTOS (ABP) A

ESTUDIANTES DE BÁSICA PRIMARIA Y SECUNDARIA LOGRANDO ASÍ EL


6

FORTALECIMIENTO DEL PENSAMIENTO NUMÉRICO VARIACIONAL EN LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICA. ............................................................................................................................ 214

PO14. LA MODELACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA: UNA PRÁCTICA PARA EL

TRABAJO DE AULA EN INGENIERÍA1 ...................................................................................... 222

PO. 16 LIBROS DE DIVULGACIÓN COMO HERRAMIENTA EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA

..................................................................................................................................................... 231

PO21. PENSAMIENTO MATEMÁTICO DE LOS MAYAS, UNA CREACIÓN METAFÓRICA ... 232

PO22. RELACIÓN AFÍN ENTRE EL ÁLGEBRA Y LA GEOMETRÍA. ........................................ 233

PO 23. MEDIADORES PARA EL APRENDIZAJE DE LAS CIENCIAS BÁSICAS A TRAVÉS DE

INTERFACES GRAFICAS .......................................................................................................... 243

PO 24. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA EN LA COMPRENSIÓN Y

MODELACIÓN DE SITUACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ..... 245

PO 25. TRANSFORMADA FRACCIONAL DE FOURIER CON APLICACIONES AL

ENCRIPTAMIENTO DE DATOS UTILIZANDO MATLAB .......................................................... 248

PO 26. ALGUNAS MALINTERPRETACIONES DEL FORMALISMO MECÁNICO CUÁNTICO 249

PO 27. UNA EXPERIENCIA EN UN CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ................ 250

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y ESTADÍSTICA ............................................... 260

PO28. EXPEDICIONES BOTÁNICAS SIGLO XXI, APRENDIENDO CIENCIAS CON JOSÉ

CELESTINO MUTIS .................................................................................................................... 263

PO 29. FUERZA Y MOVIMIENTO COMO CONCEPTOS PREVIOS, Y SU ANÁLISIS COMO

REQUERIMIENTOS IMPORTANTE EN LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA

TECNOLOGÍA FARMACÉUTICA DE MEDICAMENTOS SÓLIDOS EN EL CURSO DE

FARMACOTECNIA I. .................................................................................................................. 267


7

PO30. DE LA COMUNICACIÓN LINEAL A LA COMUNICACIÓN INTERACTIVA MEDIADA POR

TECNOLOGÍAS INFORMÁTICAS EN LOS PROCESOS FORMATIVOS DE LAS CIENCIAS

BÁSICAS ..................................................................................................................................... 272

PO31. LA IMPORTANCIA DE LA METROLOGÍA COMO TEMA TRANSVERSAL EN LA

FORMACIÓN EN CIENCIAS BÁSICAS ...................................................................................... 273


8

MEMORIAS

SEGUNDO ENCUENTRO NACIONAL SOBRE ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y

NATURALES

UNIVERSIDAD CATÓLICA POPULAR DEL RISALRALDA

Septiembre 2 y 3 de 2010. Pereira – Colombia

PRESENTACIÓN

El Departamento de Ciencias Básicas de la Universidad Católica Popular del Risaralda, desde el

año 2005 viene abriendo un espacio académico que inició a nivel regional y ha evolucionado hasta

generar el actual segundo encuentro de carácter nacional en el que se pretende compartir

experiencias del proceso de enseñanza de las ciencias exactas y naturales llevadas a cabo por los

docentes del sistema educativo nacional e internacional que, han contribuido a la construcción de

aprendizajes significativos en sus estudiantes; así como mejorar el proceso enseñanza-aprendizaje

de estas ciencias en el marco de las nuevas tecnologías y la virtualidad.

Este encuentro está dirigido a docentes vinculados a las áreas de ciencias exactas y naturales de

todos los niveles de educación desde el preescolar, pasando por la básica y media, hasta la

superior, de instituciones públicas y privadas del país, investigadores en educación de las ciencias

exactas y naturales y estudiantes de educación básica, media y superior con intereses

relacionados en estas áreas.

La programación del evento contó con la participación de 62 trabajos distribuidos entre

conferencias, ponencias y cursillos de carácter nacional e internacional en los que se expusieron

logros, problemáticas, limitantes, retos y puntos de vista afines y diferentes sobre la diversidad de

temáticas en la enseñanza de las ciencias exactas y naturales.

Se contó con la participación de especialistas que vinieron desde diferentes instituciones y países

para compartir el resultado de sus trabajos investigativos, experiencias, información actualizada y

pertinente y metodologías de enseñanza y aprendizaje. Entre ellos nos acompañaron el Dr. Víctor

Leiva de la Universidad de Valparaíso, Chile y la Dra Liliana Saidón del Centro de Investigación


9

Babbage, Argentina. La participación de los expositores nacionales contó con un nivel académico

de alto grado y una gran diversidad de proyectos de investigación.

Estas memorias tratan de resumir el aporte de los conferencistas, cursillistas y ponentes que con

su participación avivan el desarrollo de la enseñanza de las ciencias básicas.

Estos buenos resultados son posibles gracias a la colaboración de personas e instituciones

comprometidas con la educación y el avance de las ciencias como lo son la Secretaría de

Educación del Departamento de Risaralda, la Secretaría de Educación del Municipio de Pereira, el

ICETEX mediante su programa de extranjeros en Colombia y el programa de acompañamiento

académico de la Universidad Católica Popular del Risaralda PAC.

COMITÉ ORGANIZADOR


10

CONFERENCIAS

CF 1. LA TEORÍA DE CONFIABILIDAD DE ENVEJECIMIENTO HUMANO Y

LONGEVIDAD: UNA CONEXIÓN CON MODELOS DE FATIGA

Víctor Leiva

Departamento de Estadística

CIMFAV

Universidad de Valparaíso

Valparaíso

http://www.deuv.cl/leiva

RESUMEN: En esta charla se discutirán aspectos generales de la teoría de confiabilidad de

sistemas. Esta teoría permite predecir fallas relacionadas al envejecimiento de un sistema

mediante la confiabilidad de sus componentes. La teoría indica que, incluso aquellos sistemas

cuyas componentes no envejecen, se deterioran con la edad, si estos sistemas son redundantes.

El envejecimiento, por tanto, es una consecuencia directa de sistemas redundantes. La teoría de

confiabilidad predice también desaceleración de mortalidad de vida tardía, así como tramos

contantes de este tipo de mortalidad, consecuencia inevitable del agotamiento de redundancia en

vejez extrema. La teoría explica porque los índices de mortalidad crecen exponencialmente con la

edad (ley Gompertz) en muchas especies, teniendo en cuenta los defectos iniciales en sistemas

recién constituidos. Esto también explica porque los organismos “prefieren” morir según la ley

Gompertz, mientras que dispositivos técnicos por lo general fallan según la ley Weibull.

Condiciones teóricas son especificadas cuando los organismos mueren según la ley Weibull,

asumiendo que los organismos deberían estar libres de errores y defectos iniciales. La teoría hace

posible encontrar una ley de fallas general aplicable a toda la vejez adulta y extrema, donde las

leyes Gompertz y Weibull son casos particulares.

La teoría explica porque las diferencias relativas en los índices de mortalidad cuando se comparan

poblaciones (dentro de una especie dada) desaparecen con la edad. La mortalidad suele ser

similar en el límite debido al agotamiento de las diferencias iniciales de niveles de redundancia. En

general, la teoría de confiabilidad tiene un gran poder de predicción y explicabilidad con unos

pocos supuestos muy generales y realistas. Por lo tanto, esta teoría parece ser un buen método

para comprender mejor el envejecimiento y la longevidad, integrando técnicas matemáticas y

biológicas. Esta mortalidad de vida tardía está asociada con una cuarta época del envejecimiento



11

humano, también compartida por las maquinas. Finalmente, una conexión entre este tipo de

mortalidad humana y el modelo de la vida de la fatiga de Birnbaum-Saunders (1969) es discutido.

Aquí, el punto principal está en que el modelo Birnbaum-Saunders permite acomodar mortalidad

humana de vida tardía, lo cual no es posible a través de modelos de mortalidad paramétricos

clásicos como el Weibull, por ejemplo, tal como fue notado por Leiva, Sanhueza & Saunders

(2009).

Referencias

1. Birnbaum ZW, Saunders SC, (1969) A new family of life distributions. J Appl Prob 6:319-327.

2. Gavrilov L, Gavrilova N, (2004) 2001. The reliability theory of aging and longevity. J Theor Biol

213:527-545.

3. Leiva V, Sanhueza A, Saunders SC, (2009) New developments and applications on life

distributions under cumulative damage. CIMFAV Tech Report 2009.04.

http://www.cimfav.cl/reports.html#2009


12

CF 2. UN ESCENARIO DINÁMICO DE EXPLORACIÓN MATEMÁTICA

Liliana M. Saidón

Profesora e Ingeniera Especializada en Recursos Informáticos para la Enseñanza y Aprendizaje

de Matemáticas

Directora del Centro Babbage y del Instituto GeoGebra de Argentina

Centro de Investigación Babbage – IG Argentina (Instituto GeoGebra de Argentina)

Departamento de Ingeniería

Universidad Nacional de La Matanza (UNLaM)

San Justo, Provincia de Buenos Aires, Argentina

[email protected]

[email protected]

[email protected]

www.geogebra.org

Julio C. Bertúa




[email protected]

RESUMEN: Integrar geometría, álgebra y análisis dinámicamente en actividades mediadas por un

software libre como GeoGebra, involucra un reto disciplinar y didáctico para docentes y estudiantes

y una recíproca alternativa exploratoria conceptual para la enseñanza y aprendizaje de

matemática. Pone en juego, desde ciencias básicas, competencias metamatemáticas propias de

abordajes técnicos y matemáticas de sus aplicaciones, «proyectuales» en sentido amplio.

1. INTRODUCCIÓN

Diseñamos situaciones didácticas de matemática dinámica empleando un programa libre en cuyo

desarrollo participamos. GeoGebra da pie a un tratamiento algebraico, analítico y geométrico,

dinámicamente integrado. Su proyecto promueve el diseño colaborativo, en ambientes wiki de

aplicaciones organizadas. Admite un abordaje tanto experimental cuanto conceptual respaldando

el planteo, modelización y resolución en procesos que serán también objeto de indagación.

Consideramos que tal integración, en proyectos adecuados, pone en juego, competencias

«metamatemáticas» de orden técnico y matemáticas de sus aplicaciones. Secuenciamos esta

comunicación, desarrollando uno de los problemas, que dará contexto a un recorrido, desde el

análisis a las conclusiones.


http://www.geogebra.org/



13

La función del caso-ejemplo

Consideraremos un ejemplo, articulando a través de interrogantes lo descriptivo a lo explicativo, en

un encuadre característico de la ingeniería didáctica1: El caso de estudio operará como hilo

conductor para:

Partir de una propuesta -Sobre un triángulo- que permite…

o propiciar cuestionamientos que metodologías cuyo alcance supera el contextual,

deviniendo modelo de un tipo de problemas

o plantear más de un problema, por variaciones sobre los del mismo tipo

o adoptar distintas –e incluso inesperadas– perspectivas.

Analizar la actividad emergente

Respecto de lo desencadenado, destacaremos que el docente, además de desenvolver una actividad

frente a los alumnos, o con ellos, proyecta y comparte, un modelo de prácticas. Lo meta-comunica en

el contexto del desarrollo del que es guía y responsable: enfrentar el planteo, discutir su

interpretación, contrastar posibles representaciones que supeditan diversos grados de dificultad de

resolución.

Organiza prácticas competentes a tareas, técnicas, tecnologías y teorías propias de lo «proyectual»,

en el sentido que al término le da ampliamente [Simon1973] al proponer dotar a la ingeniería de un

sustrato distinto del de ciencias que, como la matemática, le sirven de base: incluir lo contingente.

Plantear problemas y resoluciones que superen lo necesario, al formular modelos para estudiar, más

que cómo son las cosas, cómo podrían ser. En resumen, que articulen diseño y proyecto. Iremos

describiendo el tenor de las competencias situadas cuya emergencia se procura.

2. DESARROLLO

El planteo de un caso con inusitado tenor de consigna

El desafío puede presentarse en los siguientes términos: «¿Cómo dar con los triángulos de

perímetro dado que tengan un área k veces la máxima?»

Frente a un planteo a sabiendas ambiguo, aparece una notoria ruptura de contrato pedagógico2.

Se transgrede la cláusula global que fija toda consigna como acabadamente clara, accesible,

1 Se sintetizan, en fichas de cátedra referidas, explicaciones sobre el marco teórico y la metodología de la

ingeniera didáctica. Según [Artigue2005] “Para realizar un proyecto determinado, la ingeniera se basa en los conocimientos científicos de su dominio y acepta someterse a un control de tipo científico.”. 2 Para ampliar consideraciones sobre el concepto de contrato didáctico, contrato pedagógico, costumbre y

habitualidad en ámbitos institucionales, referimos a los autores correspondientes: [Brousseau1988]; y [Filloux1974]. Desde perspectivas más genéricas, es decir, no vinculadas a la especificidad de los saberes motivo de la interacción, se proponen conceptos como el de contrato pedagógico. Incluso más amplios, como la de costumbre y hasta el de campo configurado por el habitus [Bourdieu1972].


14

consabida y cerrada; contigua aplicación de lo enseñado/explicado para poner a prueba, sin perder

tiempo, lo aprendido. Esta, por el contrario, desencadena una serie de consultas, incluso airadas.

Abre posibilidades de negociar significados3: exigen explicaciones alumnos que suelen obviarlas

hasta cuando las ofrece el docente –al presentar un tema–. Como sus demandas no exponen a

descalificación, por adjudicarse al tenor de la consigna, hacen oír sus voces4. El diálogo reemplaza

al habitual silencio con que se aceptan indicaciones5.

Sin Datos Numéricos rumbo a la Figura de Análisis

Este problema no presenta datos, al menos numéricos, y en lugar de «lo dado» aparece lo

supuesto: asumir k sin precisar su valor y aceptar la responsabilidad de averiguar cuál es tal «área

máxima» y en qué condiciones se registra.

La negociación dará razón de ser a un recurso «para» y/o «metamatemático» crucial: la dinámica

figura de análisis cobra entidad como medio para ir interpretando un planteo, en tarea

mancomunada y acaso debate supervisado por el docente6.

El planteo se bosqueja y se va pasando del boceto dinámico al modelo, perfilado como tal en tanto

acata la demanda, metamatemática, de resultar representativo con el mayor grado de generalidad

posible7.

Planteo dinámico de triángulo vía inecuaciones en acción geométrica

Con el utilitario, se traza un esbozo del planteo, específico y suficientemente general como para

ampliar su alcance8.

–trazamos frente a los alumnos, un segmento de longitud asimilable al perímetro –se le adjudica

una longitud dinámica, concreta pero ajustable–

–el extremo izquierdo del segmento, será el vértice A del triángulo y, aparentemente, sólo resta

establecer la posición de los otros dos.

3 En sucesivos documento [Godino2004]., estudia conceptualmente esta cuestión,.

4 El diseño de consignas propiciadoras de diálogo, se desarrolla en Fichas y notas de [Brousseau2004].

5 [Young1993] describe críticamente fenómenos de comunicación en situaciones de enseñanza relacionados

con roles distribuidos entre los actores, docente y alumnos, sus voces y silencios. [Chevallard1997] analiza sus tácitas atribuciones. Algunas se anotan en Fichas de referidas.

6 [Legrand1993] analiza las condiciones para un genuino debate en clase y esta, así como otras situaciones

de intercambio se resumen en las fichas de cátedra recomendadas [Saidon2001].

7 Lo metamatemático circula en general de modo implícito. Puede involucrar métodos, estructuras,

organización o principios.

8 Sobre consideraciones sobre el modo de representar con GeoGebra, conviene consultar el manual

recomendado [Saidon2001-2009].


15

Aparece una primera cuestión de debate matemático –irán apareciendo más sorpresas– que no se

evidenciaba a nivel de la consigna: sin valores «dados», ¿cómo empezar el trazado?, ¿a qué

medidas se recurre? Esta cuestión, que no siempre se explicita, exige remontar una acendrada

costumbre escolar: los dibujos

representativos de figuras o construcciones descansan en el conocimiento de alguna medida

concreta. Así, se relaciona, por un lado con lo sensible y por otro con lo aritmético –por no

algebraico–.

En contraste, esta propuesta parte de lo algebraico. Porque exige modelización hasta para el

planteo. Más aún, da lugar a condiciones que cumplen infinitos pero simultáneamente, no

arbitrarios triángulos. Suelen ubicarse en cualquier posición el vértice B y luego, el C y se traza el

triángulo resultante de la intersección de sendas circunferencias (Figura 1). Regularidades de

comportamiento teóricamente conocidas, harán su aparición a lo largo de las prácticas de tanteo

sobre la figura de ensayo. Irrupción sorpresiva pese a que propiedades matemáticas básicas dan

cuenta de su inteligibilidad9.

Tanteo Dinámico

El tanteo dinámico del boceto de ensayo tiene un propósito explícito: dar con el –o los– triángulos

de mayor área. La exploración desencadena una experiencia reveladora: el triángulo

ocasionalmente, deja de existir. Esto suele desatenderse y es obviado aún por estudiantes de

sólida formación matemática. Acaso la denegación evita la inesperada perturbación a la

prosecución tenaz de un logro –como el del área máxima–.

9 [Doaudy1986] analiza la dialécticas herramienta objeto involucrada en esta cuestión. La inversa

resignificación y actualización de un saber supuestamente dominando ya como objeto que, sin embargo, debe re-conocerse en este contexto, se estudia en el texto de [Piaget1989].

Figura 1: Trazamos los triángulos posibles


16

Tal falta de reacción –ante lo que debiera «saltar a la vista» según espontáneas expectativas

empiristas–, deja al docente oscilando entre la prescindencia, el sondeo discreto y la procura de

intervenciones adecuadas10

.

Inconmensurabilidad inicial de las teorías de apreciación

Verificamos en repetidas ocasiones que la desaparición del triángulo es obviada por los

estudiantes, y aún nos desconcierta. Según registramos e inferimos: sólo al reiterarse y ganar

cierta previsibilidad en acción, este fenómeno se integra consistentemente a la apreciación y,

recién entonces, se asume plenamente este nuevo problema, como tal.

Procuramos sucesivas explicaciones sobre la omisión. Máxime cuando la expectativa –de

optimismo didáctico–, hubiera podido ser que frente a lo observado, surgiera la espontánea

elaboración de conjeturas explicativas. Por el contrario, lo que se verifica, es que el fenómeno

siquiera resulta observable inicialmente y sólo se lo integra cuando ya no se lo puede evadir –

acaso cuando es dable una pre-conjetura–. Convenimos en que, si bien las conjeturas pueden

aparecer en diversas formas, no es habitual que surjan de la observación y no toda vinculación

entre elementos resulta observable a priori.

Por evidente que aparezca a los ojos del docente, es poco probable que se elaboren conjeturas

por registro visual. Es más factible que se despierten sospechas metódicas a partir de un patrón de

resultados proveniente de acciones propositivas. Es decir, que pretenden alcanzar un objetivo, en

desafíos que interpelan, por ejemplo: con este estilo: «¿cómo harías para…?». En este caso,

registrar el rango de variaciones respecto del área máxima. Cabe cuestionar en qué condiciones,

entonces, el registro en relación con el propósito, lleva a incluir como observable la desaparición

del triángulo.

De la geometría sensible a los modelos algebraicos

No bastará, –para explicar la desaparición–, con «aplicar» las condiciones de existencia del

triángulo que –estudiadas en el ámbito de la geometría sensible– no parecen re-conocerse en este

contexto. Incluso cuando se distinguen; cruzarlas al marco algebraico como inecuaciones para fijar

los límites de la posición de cada vértice, no es banal.

Se ha desencadenado otro conflicto contractual: una transgresión de la convencional estructura

estanca de administración de «aplicaciones». Se extraña el prototipo que ofrece la materia pre-

organizada, con conceptos, definiciones, deducciones y aplicaciones preconcebidas; la sucesión

de problemas que ilustran respuestas delimitadas e inconexas. El clásico abordaje y tratamiento

10 Las relaciones entres los resultados de la investigación en didáctica y el desempeño docente en clase,

aparecen vívidamente en tales situaciones. Referimos a [Brousseau2002] al respecto.


17

estático de los objetos parece haber cedido su lugar al relacional, proyectado y transitado en el

medio dinámico.

3. CRISIS Y SIMULACIÓN

Se hace palpable la crisis que, cuando se supera, deja como saldo la conquista de una

competencia disciplinar y meta-cognitiva decisiva.

Crucial, porque forma parte del repertorio básico requerido a vierto nivel: la síntesis situada y

oportuna de técnicas, tecnologías y/o teorías, como herramienta funcional.

Esto lleva a cuestionarse: «¿Cómo puede el resultado de estos ensayos dinámicos informarnos de

relaciones que debiéramos haber previsto dado que corresponden a propiedades geométricas

elementales?». La respuesta no es trivial y presenta cierto paralelismo con aportes de

[Simon1973] respecto de la simulación. Así como “la simulación no es mejor que los supuestos

que entraña”, un utilitario dinámico no puede hacer más que lo que la construcción planteada fija

en cuanto a relaciones entre sus elementos. En otras palabras, la simulación puede decirnos lo

que no sabemos o lo que no tuvimos en cuenta. Ya que puede resultar difícil descubrir lo que se

desata.

Qué es lo que suponen y desencadenan las vinculaciones que fijamos en términos de renovadas

relaciones entre elementos resultantes, al implementar la construcción. Una construcción dinámica

constituye un sistema de relaciones entre elementos, pero no es sencillo hacer un empleo directo y

anticipado de todas las derivaciones resultantes: debe recorrerse el sistema con un propósito, para

distinguir consecuencias de las definiciones, propiedades y vinculaciones establecidas. La

exploración, guiada por propósito/s específico/s, lleva a indagar en los mecanismos derivados de

cada construcción dinámica y puede procurarnos medios de distinción y hasta de

(re)descubrimiento.

Aún conociendo las relaciones establecidas, sólo al explorarlas notamos las implicaciones de las

reacciones cruzadas derivadas de las condiciones iniciales fijadas. Esto no es sino una puesta en

acción dinámica de lo que habitualmente ofrecen las manipulaciones en álgebra, que analizamos

con los recursos del cálculo. La integración de marcos matemáticos en torno a un problema cuyo

modelo se va definiendo en el devenir de la resolución, actualiza competencias que el docente

proyecta en esta instancia formativa, que la situación propicia.

Problemas de Diseño / Diseño de Problemas

Es característico de diversos tipos de problemas que el sistema consista en elementos cuyas

relaciones y pautas de actuación se conocen: la dificultad la entraña predecir cómo se comportará


18

el conjunto dinámico y relacionado de sus componentes11

. Sin agotar sus derivaciones, pasamos a

estudiar el problema como ejemplo de un tipo de situación didáctica y organización disciplinar, de

matemática «proyectual».

4. RASGOS DEL CASO: MATEMÁTICA PROYECTUAL

Un utilitario que habilita la modelización dinámica desde el planteo, la representación y el análisis,

abre varias puertas simultáneamente. Tanto para la resolución cuanto para el diseño de

problemas. Establece un replanteo disciplinar por el alcance de lo que nos podemos cuestionar,

antes que por el modo de resolver lo planteado. En un recorrido habitual, los primeros planteos con

tal herramienta, suelen dinamizar explicaciones para que los estudiantes las exploren,

corroborando lo que se estudia.

Es representación usual que una capacitación procure un modo de enseñar, con nuevos medios, lo

mismo.

Sin desmedro del valor involucrado, las tecnologías integradas a la práctica profesional, docente y

disciplinar, las TICs en particular, pueden aspirar a ser más que un recurso didáctico privilegiado.

Al avanzar en producciones colaborativas, prospera el empleo del banco de pruebas conceptual

dinámico.

Se perfilan problemas que, como el ilustrado en el caso desplegado, ponen en juego, desde

ciencias básicas, competencias «metamatemáticas». Son propuestas que llevan, por ejemplo, a

indagar cómo funciona una construcción. Pasando de:

1. experiencias simples para ver lo que sucede. «Mover y ver qué pasa» Se registra

simultáneamente, comprensión de lo que habría que hacer e incomprensión de las relaciones que

permitirían hacerlo.

2. nivel de exploración intermedio. En que están más claros los fines a alcanzar pero el

empleo de los medios permanece vinculado a ensayos con logros parciales o fracasos no siempre

comprendidos.

En este nivel, pueden contestarse algunas preguntas del orden del: ¿Cómo…? y empiezan a

formularse otras: “Si lo desbaratara a propósito, ¿podría volver a conseguirlo?”; “¿Sólo de este

modo?”; “¿Siempre así?”; “Puedo explicarle a un compañero cómo lograrlo sin operar el mouse

directamente?” Interrogantes de este tipo pueden jalonarse en intervenciones docentes. Las del

orden de “¿Cómo saber si se está cerca o no, de cada logro?”, abren el siguiente nivel.

3. nivel de experimentación

-instrumental, en que aparecen anticipaciones y programas de acción.

11 Los presupuestos de [García1996 ], complementan en debate a los de [Simon1973].


19

-de modelización, es preciso concebir y fijar indicadores para el control.

Los rasgos «proyectuales» se distinguen en este proceso que se recorre operando y analizando el

resultado de cada intento. Inicialmente es frecuente el ensayo y error. Paulatinamente, se gana en

responsabilidad sobre el resultado de cada intento, a medida que se distinguen relaciones

causales entre lo que se hace y lo que sucede. En la actividad «proyectual» se integran también

tareas y técnicas que permiten delimitar lo que no resulta y devienen observables las relaciones

funcionales en juego.

Metodologías en el Recorrido

En cada uno de los momentos del recorrido, pueden distinguirse tareas que ponen en juego ciertas

conjeturas –las preliminares pueden circular en acción–. Descartar una, habilita el surgimiento de

otra, enriquecida por el rescate constructivo de lo que no resulta. Constructivo, sobre todo, cuando

en lugar de obnubilar, el “fracaso” abre paso a una explicación, al menos tentativa, de las

condiciones de alcance y límites de lo involucrado. Cuestionar, buscar indicios para elaborar una

respuesta acorde y decidir en consecuencia, es una actividad que permite tanto poner en juego

propiedades, condiciones y correlaciones presentes cuanto distinguir propiedades excluidas,

requerimientos que no se cumplen, condiciones que no se verifican. Se institucionaliza el control y

registro de lo que no corresponde o tiene relación con lo intentado, dando entidad a este modo de

extender resoluciones, más allá de este contexto12

.

Tanto en tareas propias de este problema, como en las que, eventualmente, encontremos en otros

contextos y/o resulten del mismo tipo.

Tal evaluación positiva, no ya del «error del que se aprende» sino de las tareas, técnicas y

metodologías para delimitar alcances y descartar conjeturas, tiene poca tradición escolar pese a su

implícito reconocimiento en prácticas académicas, profesionales y disciplinares.

Cambios en la índole de las tareas

Alcanzamos un nivel de avance sustancial en la representación del planteo. A expensas de la

figura de análisis y tanteo, nos hemos deslizado a la resolución, sin saltos notorios entre una

actividad y otra. Destaquemos el establecimiento de los extremos límites de la posición de cada

vértice, por ejemplo.

Puede haber requerido manipulación algebraica para re-formular las conocidas condiciones de

existencia del triángulo en términos de comparación con el perímetro –o, mejor, del semi-

perímetro–. En esta instancia, la experimentación involucra el estudio de una obra u objeto

matemático como tal.

12 [Brousseau1994] define la «institucionalización» en el texto de referencia.


20

Las inecuaciones correspondientes instrumentaron la mejor preparación del banco de pruebas en

que va deviniendo la construcción, al modelizar el planteo. Si no se conocían o recordaban las

condiciones de existencia del triángulo, emergen re-significadas desde el contexto que las requirió

como herramientas. Contexto que en el mismo movimiento, da razón de ser a su estudio como

objeto. Esta tensión dialéctica propia de la dualidad herramienta-objeto13

, va a reiterarse al avanzar

sobre el modelo, hacia la resolución.

Entre modelos y simulaciones

Para averiguar cómo funciona la construcción, se identifican indicadores diagnósticos. Precisos, de

buen grado de generalidad, que lleven a establecer mejores procedimientos y guíen los ensayos.

Como medir y controlar el área del triángulo construido, en un registro que mantendrá su índole

causal, integrando otras representaciones. Cuando se evidencia que es preciso indagar los

cambios –incrementos, decrementos, anulación, registro de valores máximos, etc.–, se asume otro

tenor de tareas Evaluar el régimen de cambios de una medida, es el tipo de tarea por excelencia,

del análisis.

Los estudiantes pueden encontrar sorpresiva esta demanda: el proceso hacia dar con el resultado

del problema, no involucra un valor –correcto, preciso–, ni siquiera una operación algebraica, sino

la indagación del modo en que se registran modificaciones. Es, inicialmente una tarea de índole

cualitativa, comparada con las de otro tipo de problemas. Es más, en la medida en que estamos

considerando cómo funciona el modelo producido, estamos recurriendo a una simulación

«intramatemática».

La experiencia del lugar geométrico y su exploración

Con el utilitario, puede trazarse el lugar geométrico del vértice C de cada triángulo de igual base, al

modificar la proporción entre los otros dos lados.

13 [Douady 1986] desarrolla esta dialéctica relación herramienta-objeto además de establecer

la potencialidad del interjuego de marcos diversos en matemática.


21

Este paso suele requerir una intervención docente, para explicar, además de la operatoria, sencilla,

qué se entiende por lugar geométrico.

El trazo resultante parece familiar. Se ve como una elipse y es probable que lo sea. Incluso, los

valores de altura y área, varían de un modo afín. Se juzga necesario corroborar lo aparente y con

el utilitario, arriesgamos la primera comparación. Se contrastará el lugar geométrico con la cónica

que atraviesa cinco de sus puntos.

El docente da explicaciones y la operatoria se salda con facilidad.

El alcance de la comparación no resulta inteligible para los alumnos. Máxime que el ajuste es

preciso, sin diferencia entre trazos que coinciden y se superponen, Incluso se desencadena

confusión cuando la comparación booleanas con el signo de interrogación, no puede llevarse

adelante porque operaría sobre dos objetos de diferente orden. Es necesario estudiar ambos como

objetos específicos: el lugar geométrico y la ecuación y representación de la cónica, para darle a

cada uno, la entidad correspondiente. Las técnicas, así, aparecen explicadas tecnológicamente y

estudiadas a nivel teórico.

Experimentando hacia la formulación

Para resolver el problema, es preciso relacionar las proporciones entre los lados y la consecución

del área máxima.

Hay una, casi observable, para cada base. Pero es preciso encontrar qué ejemplar de la familia de

bases-elipses nos ofrece la mayor de las mayores áreas. Entre lo que habilita el gráfico de estas

correlaciones –que se aprecia en la Figura 2–, el registro de datos y el rescate de fórmulas –como

la de Herón–, nos acercamos desde distintos frentes a cierta convicción, que se puede terminar de

corroborar recurriendo al cálculo.

Figura 2: Esbozo del modelo


22

La variedad de ejemplares de distintas familias de triángulos que cumplen la consigna, pueden

contemplarse aún sin contar con una formulación precisa. Esta respuesta abierta se dirige a

nuevos interrogantes de orden cualitativa y matemáticamente más avanzados. Los dejamos a su

cargo en la continuidad de colaboraciones que, confiamos, abra este intercambio.

5. CONCLUSIONES

Recapitulamos, lo que acorde con nuestra experiencia resulta singular:

Esclarecer un planteo, simple en apariencia, requirió una tarea cooperativa

Interpretarlo, intercambios de debate en clase, guiado por el docente

Trazar un boceto representativo, llevó a explicitar relaciones

Explorar el comportamiento de la construcción, abrió un registro inicial, causal

Considerar dinámicamente la formulación algebraica y la representación gráfica, llevó a renovar las

tareas del análisis matemático.

Examinar el boceto como soporte de inferencias y ensayos, lo elevó a modelo en términos de

simulación dinámica.

Estudiar el modelo, llevó a cruzar aportes de diversos marcos matemáticos

Reformular la generalidad del modelo, a validar sus limites y alcance

Establecer sucesivas conjeturas, escalonó etapas de progresiva inteligibilidad

Distinguir respuestas del conjunto de diversas pero no arbitrarias resoluciones posibles, dejó

abierta la necesidad de recabarlas sistemáticamente.

En este recorrido, se actualizaron competencias situadas de aplicación matemática a un problema

en que, a nivel estrictamente disciplinar:

operamos con inecuaciones para establecer extremos correspondientes a las condiciones de

existencia del triángulo

reencontramos las cónicas en el camino de exploración geométrica

las formulamos en la experimentación que corrobora ese «pálpito elíptico».

al re-estudiar ecuaciones y gráficas, los modelos ganaron precisión y versatilidad.

La última etapa podría concebirse como un caso de control que lleve a la búsqueda del lugar

geométrico de los puntos que verifican la condición k veces el área máxima.

Desde la perspectiva del diseño, consideramos central la organización disciplinar y didáctica de

cuestiones a ser tratadas en banco de pruebas que el utilitario habilita para su estudio dinámico

concreto y, de forma paradójica: conceptualmente matemático.

Conceptual en tanto lleva a relacionar y condicionar lo que se pretende hacer con lo que se logra.

En cuanto a la actividad desencadenada, distinguimos el modelo de prácticas que proyecta el

docente frente a sus alumnos y la índole «proyectual» de la resolución, Al contrastar lo proyectado


23

con los resultados obtenidos, se apela al utilitario para resolver problemas con una metodología

que permite plantear la reflexión sobre lo que se está creando –en la interacción entre sujeto y

objeto– y controlando simultáneamente.

El objeto se perfila, al establecerse como ente susceptible de exploración-control y al extenderse el

campo de análisis, práctico antes que formal, se escala hacia conjeturas (causales) desde la

acción resolutiva.

Nos encontramos simulando sobre el modelo y sobre el modelo de su comportamiento,

desplegando, instrumental y conceptualmente, competencias propias de aplicaciones de alto nivel,

ya desde ciencias básicas.

Referencias

1. Simon, Herbert (1973), “Ciencias de lo Artificial”, Barcelona: A.T.E.

2. Artigue, M. (1995), “Ingeniería didáctica en Educación Matemática”, Grupo Editorial

Iberoamericano.

3. Brousseau, G. (1988). "Le contrat didactique: le milieu". RDM

4. Filloux, Janine (1974). «Du contrat pédagogique». Dunod. París.

5. Bourdieu, Pierre (1972), "Estructuras, habitus y prácticas", en Esquisse d 'une theorie de la

practique, L. Droz- París.

6. Godino, J. (2004) “Implicaciones Metodológicas de un Enfoque. Semiotico-Antropológico para

la Investigación” en “Didáctica de las Matemáticas” Granada

7. Brousseau, G. (2004) “Introducción al estudio de enseñanza del razonamiento y prueba:

paradojas” en “Proof./Preuve Int. Newsletter”

8. Young, Robert (1993), “Teoría crítica de la educación”, Editorial Paidós

9. Chevallard, Y, Bosch, M. et Gascon, J. (1997): “Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre

la enseñanza y el aprendizaje”. Barcelona: ICE/Horsori.

10. Legrand M. (1993).“Débat scientifique en cours ”, Repères IREM. Paris.

11. Saidon, L (2001) “Enseñanza con Utilitarios” – Ficha de Cátedra de Centro Babbage del curso

Resolución de Problemas con Utilitarios.


24

12. Saidon. L. (2001-2009) “Manual Oficial del GeoGebra” – www.geogebra.org

13. Douady, R. (1986). “Jeux de cadres et dialectique outil-objet” RDM.. París

14. Piaget, J; García R. (1989), “Hacia una lógica de significaciones” Barcelona. Gedisa

15. Brousseau, G. (2002), “Cobayes et microbes”. Traducción tomada de textos de un Proyecto de

Investigación (2003-2007) del Centro de Investigación Babbage.

16. García, Rolando (1996) “Sistemas Complejos” Editorial Gedisa.

17. Brousseau, G (1994) «Perspectives pour didactique des mathématiques. Vingt ans de

Didactique des Mathématiques». Hommage a Brousseau et Vergnaud. Pensée Sauvage

18. Brousseau, G (1994) “Los diferentes roles del maestro” en Didáctica de Matemáticas. Aportes y

reflexiones Paidós Buenos Aires.



25

CF 4. APLICACIÓN DE LA QUÍMICA INDUSTRIAL EN REACTORES ELECTROQUÍMICOS DE

COMPARTIMENTOS SEPARADOS

Henry Reyes Pineda

Ph.D Ingeniería Química y Nuclear

MsC Tecnologías de Membranas, Electroquímica y Medio Ambiente

Especialista en Ingeniería Electroquímica y Corrosión

Especialista en Educación Ambiental

Ingeniero Químico

Director Maestría en Química. Universidad del Quindío

Docente Facultad de Ciencias Agroindustriales. Universidad del Quindío

[email protected]

Valentín Pérez Heranz

Ph.D Ingeniería Química y Nuclear. Universidad Politécnica de Valencia. España

Ingeniero Químico. Universidad Politécnica de Valencia. España

Director Departamento de Ingeniería Química y Nuclear. Universidad Politécnica de Valencia.

España

[email protected]

RESUMEN: El desarrollo tecnológico de la industria química a nivel nacional e internacional viene

ocupando los primeros lugares y son la base del progreso con una contaminación mínima, y

procurando minimizar costos con un elevado beneficio. Es por ello, que con este artículo se

pretende dar una visión general de la aplicación que tiene la Química Industrial para la generación

de nuevos materiales y equipos partiendo de un análisis de todas las variables de diseño que son

utilizadas tanto a nivel de laboratorio como a escala piloto, para así concluir en un modelo

matemático que rige el comportamiento hidrodinámico de la recuperación de cromo hexavalente en

reactores electroquímicos de compartimentos separados, operando en modo potenciostático o

modo galvanostático.

Descriptores: ABS, rendimiento eléctrico, modelo hidrodinámico




26

CF 5. MODELAMIENTO MATEMÁTICO DE LA RELACIÓN TEMPERATURA AMBIENTE VS

TIEMPO14

Luis Fernando Plaza Gálvez

Magister en Enseñanza de la Matemática

Especialista en Finanzas

Ingeniero Electricista

Profesor Asistente Unidad Central del Valle del Cauca

Grupo de Investigación ENERGIAS

[email protected], [email protected]

RESUMEN: En esta ponencia, se presenta la modelación de la relación que hay entre la

temperatura ambiente y el tiempo transcurrido durante 48 horas en el municipio de Tuluá (Valle del

Cauca). La temperatura ambiente es un fenómeno físico y cíclico, en el que su comportamiento

obedece con una buena aproximación a una onda sinusoidal. Para su objetivo se tendrán en

cuenta 3 métodos, los cuales son: Observación, Mínimos Cuadrados y por último usando Series de

Fourier.

Descriptores: Fenómeno físico, Fourier, Mínimos cuadrados, Onda seno, Temperatura, Variación.

14 La ponencia es resultado del proyecto de investigación “Modelamiento Matemático”, avalado por la

Vicerrectoria de Investigaciones y Publicaciones de la UCEVA en el año 2010.




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CF 6. MODELOS FÍSICOS UTILIZADOS DENTRO DE LA RECONSTRUCCIÓN ANALÍTICA DE

ACCIDENTES DE TRÁNSITO

Lady Jhoanna García García

Ingeniera Física

Docente Catedrática

Universidad Tecnológica de Pereira

[email protected]

RESUMEN: Los Laboratorios de Física Forense pretenden dar apoyo científico a la Administración

de Justicia aportando la experiencia en la aplicación de los principios físicos y el conocimiento

desde la ingeniería a la resolución de eventos específicos relacionados con Accidentes de Tránsito

(A/T).

El proceso reconstructivo se apoya firmemente en la mecánica de Newton para así poder plantear

el “modelo físico del accidente” con el que se intenta proveer la explicación más probable sobre

cómo pudo haber ocurrido el hecho o ciertas partes del mismo. Este modelo físico estará más

cercano a la realidad, dependiendo de la cantidad de evidencia objetiva de que se disponga.

Este modelo físico es una herramienta fundamental porque permite pre-visualizar como fue el

desarrollo del A/T, guiándose por supuesto en los elementos físicos recopilados durante la

investigación. Dependiendo de la complejidad del accidente, se van generando las ecuaciones

necesarias que satisfagan el proceso analítico.

Las ecuaciones se extraen de la formulación matemática de la cinemática, la dinámica y las leyes

de conservación, así como de tablas experimentales reconocidas por la comunidad científica,

producto de colisiones controladas.

Se pretende ilustrar modelos físicos aplicados en la reconstrucción analítica de accidentes de

tránsito basados en las circunstancias específicas del tipo de accidente, los parámetros utilizados,

límites de aplicación y las consideraciones para el uso de software.

Referencias

1. Limpert R. Motor Vehicle Accident Reconstruction and Cause Analysis, Fifth Edition, 1999,

Lexis Publishing.

2. Irureta V. Accidentología vial y pericia. Ed. La Roca. 2003.


28

3. Reed W., Keskin A. “Vehicular Deceleration and Its Relationship to Friction”. (Society of

Automotive Engineers document number: SAE 890736).

4. Warner et al. "Friction Applications in Accident Reconstruction". (Society of Automotive

Engineers document number: SAE 830612).

5. Ashton S. “The Trajectories of Pedestrians, Motorcicles, Motorcyclists, etc, Following a Road

Accident.” (Society of Automotive Engineers document number: SAE 831622).

6. Infante E. “Estudio de la dinámica de vehículos para la determinación de parámetros a emplear

en la reconstrucción de accidentes de tránsito”. Revista del INML y CF. Volumen 18. No. 3.

2005.

7. López D. Técnica de “distancia de lanzamiento” empleada en la reconstrucción de colisiones

vehículo - peatón.

A. Bolívar., S. Bolívar., “Modelos físicos aplicados al análisis se accidentes de tránsito”.

Revista Colombiana de física. Volumen 38. No. 4. 2006.

8. Rico A. “La aplicabilidad de las ecuaciones dentro del Proceso de reconstrucción de

accidentes”.

9. García L. “Formulación matemática de algunos modelos físicos utilizados en la reconstrucción

de un evento de tránsito y las consideraciones para su implementación” Revista Scientia et

Technica Año XV. No 43. 2009.

10. Serway, Raymond A. Física para ciencias e ingeniería. Tomo 1 Mcgraw-Hill.

11. Zemansky, Freedman Y. Física universitaria. Volumen 1 Pearson.


29

CF 7. INTEGRACIÓN ENTRE LA EDUCACIÓN EN MATEMÁTICAS Y LA EDUCACIÓN EN

FÍSICA: ALGUNOS ELEMENTOS PARA SU REFLEXIÓN.

Harold Castillo Sánchez

Docente

Pontificia Universidad Javeriana. Cali

[email protected]

RESUMEN: La Educación Matemática y la Educación en ciencias experimentales se han venido

consolidando desde hace algunos años como disciplinas científicas y en ellas se han tenido en

cuenta diferentes consideraciones para definirlas. En una de sus definiciones, particularmente para

la Educación Matemática, su campo de investigación se ha ubicado en las instituciones donde las

matemáticas hacen presencia. (Brousseau, 1990), pero esta misma consideración se puede hacer

para el campo de investigación de la educación en ciencias: instituciones donde las ciencias hacen

presencia, particularmente el caso de la Física.

En la forma como hacen presencia las disciplinas en las instituciones, Chevallard (1991) reconoce

cuatro formas de manipular el saber: las instituciones que lo utilizan, las que lo producen, las que lo

enseñan y las que lo transponen. Si se considera la producción de la matemática o la producción

de la física, no se puede negar la importancia de su interacción para el desarrollo de cada una de

ellas. Pero si actualmente se consideran las instituciones que las transponen o las enseñan

suceden dos fenómenos: parece que fueran independientes y no se rescata esa función de

matematizar y de fisicalizar el mundo que nos rodea, Doorman (2003), predominando, en su

enseñanza, lo algorítmico y la memorización de definiciones, leyes y propiedades de los temas que

cada una aborda.

La consideración de independencia de cada una de las disciplinas puede tener su origen en un

aspecto curricular de las universidades. En los planes de estudio hay un marcado énfasis en la

disciplina en la que un estudiante se está formando: Matemática o Física, esto provoca que el

egresado sólo sea competente en la enseñanza de su disciplina y no considere importante la

interacción entre ellas. El matemático que enseña matemática considera que lo de debe enseñarse

de las matemáticas es su discurso, con sus axiomas, definiciones, proposiciones, teoremas, lemas,

métodos de demostración, y que esto es suficiente para que el estudiante al que le enseña sea

capaz, posteriormente, de aplicar este conocimiento a cualquier disciplina; o que el físico que

enseñe física sólo vea a la matemática como su herramienta y no identifique sus métodos o ciertos

problemas de su disciplina como problemas potencialmente importantes para la enseñanza de la

matemática. Este aspecto curricular y su posible repercusión son tan sólo algunos de los



30

problemas que pueden estar provocando la independencia y la no matematización o fisicalización

del mundo que nos rodea, pero que ha sido identificado por Meier, Nicol y Cobbs, (1998) en sus

investigaciones sobre las barreras y los beneficios de la integración de la Educación en

Matemáticas y la Educación en Ciencias.

Desde el año 1901 (Berlin, 1991) la integración de las dos disciplinas y en particular de su

educación, ha sido una preocupación en la educación en Estados Unidos y a partir de los años

ochenta se ha tuvo en cuenta en las reformas curriculares norteamericanas (NCTM, 1989, 1995,

2000), (NCR, 1996). En Colombia, este proceso parece apenas empezar, ya que en la última

reforma educativa colombiana se habla de la enseñanza en contexto y en los lineamientos

curriculares se manifiesta de manera explícita la interacción entre las matemáticas y las ciencias

para la enseñanza y el aprendizaje de cada una de ellas. Pero, ¿Cómo abordar la integración de

la Educación en Matemáticas y la Educación en Física? ¿Qué potencia o limita una integración

entre Educación en Matemáticas y la Educación en Física? En esta ponencia se presentarán

algunas reflexiones, desde diferentes perspectivas, que aportan a la respuesta de estos dos

interrogantes.

Referencias

1. Berlin, D. F. (1991). Integrating science and mathematics in teaching and learning. A

bibliography (School Science and Mathematics Association Topics for Teachers Series No.

6). Columbus, OH: ERIC Clearinghouse for Science, Mathematics, and \Environmental

Education.

2. Berlin, D. & White, A (1998). Integrated science and mathematics education: evolutions and

implications of a theorical model. B.J. Fraser and K.J. Tobin (Eds.) International Handbook of

science Education. Kluwer Academy publishers. Great Britain. 499-512.

3. Berlin, D. F., & Lee, H. (2003). A bibliography of integrated science and mathematics

teaching and learning literature. Vol. 2:1990-2001. School Science and Mathematics

Association Topics for Teachers Series No. 7. Columbus, OH: ERIC Clearinghouse for

Science, Mathematics, and Environmental Education.

4. Biggs, J. B. y Collis, K. F. (1982). Evaluating the Quality of Learning: The SOLO taxonomy.

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5. Biggs, J.B. (1991). Multimodal Learning and the Quality of Intelligent Behavior, en Rowe, H.

(ed.) Intelligence: Reconceptualization and Measurament. LEA, Australian Council for

Educational Research, pp. 57-76.

6. Brousseau, G. (1990): ¿Qué pueden aportar a los enseñantes los diferentes enfoques de la

didáctica de las matemáticas? (Primera Parte). Enseñanza de las Ciencias 8, pp.259-267.

7. Collis, K.F., Romberg, T.A. y Jurdak, M.E. (1986). A technique for assessing mathematical

http://findarticles.com/p/search/?qa=Meier,%20Sherry%20L

http://findarticles.com/p/search/?qa=Meier,%20Sherry%20L

http://findarticles.com/p/search/?qa=Cobbs,%20Georgia


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problem-solving ability, Journal for Research in Mathematics Education. Vol. 17, pp. 206-

221.

8. Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica. Del saber sabio al saber enseñado.

Argentina: AIQUE. Psicología cognitiva y Educación.

9. Doorman, L.M. (2003). Modelling motion for the learning of calculus and kinematics. Paper

contributed to ICMI Study 14: Applications and Modelling in Mathematics Education.

Dortmund.

10. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and Standards for School

Mathematics. NCTM: Reston, VA.: Author.

11. National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and evaluation standards

for school mathematics. Reston, VA: Author.

12. National Council of Teachers of Mathematics. (1995). Professional assessment standards for

teaching mathematics. Reston, VA: Author.

13. National Research Council. (1996). National science education standards. Washington, DC:

National Academy Press.


32

CF 8. RELACIÓN ENTRE EL MODELO DE VAN HIELE, EL APRENDIZAJE DESARROLLADOR

Y EL RENDIMIENTO ACADÉMICO DE LOS ESTUDIANTES

Abel E. Posso Agudelo

Matemático PhD. Ciencias Matemáticas

Profesor Titular

Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia

[email protected]

Alejandro Martínez Acosta

Lic. En Matemáticas

Candidato a magíster en Enseñanza de la Matemática.

Profesor Asistente


[email protected]

Vivian Uzuriaga López


PhD. Ciencias Pedagógicas.

Profesora Titular


[email protected]

RESUMEN: El propósito de la conferencia es presentar el modelo de Van Hiele y el Aprendizaje

Desarrollador para explicar las razones por las cuales la mayoría de los estudiantes tienen bajo

rendimiento académico en los primeros cursos universitarios de matemáticas. Es decir, porque no

logran realizar aprendizajes y desarrollar estrategias que les garanticen buen desempeño

académico y de adaptación en la universidad.

Referencias

1. Alvarez G., Jairo, Marmolejo L., Miguel. Sobre el bajo aprovechamiento estudiantil en los

primeros cursos universitarios de matemáticas en la Universidad del Valle, Matemáticas

Enseñanza Universitaria (nueva serie), Vol. I, No. 1. Cali 1990.

2. Castellanos Simons Doris y otros. Hacia una concepción del aprendizaje desarrollador.

Editorial Pueblo y Educación, 1999. Pág. 47-48.

3. De La Torre G., Andrés. Una aplicación del modelo de van Hiele al concepto de continuo.

Matemáticas Enseñanza Universitaria (nueva serie), Vol. VIII, No. 1,2. Cali 2000.





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4. De La Torre G., Andrés. El método socrático y el modelo de van Hiele. Lecturas matemáticas,

Vol. 24. 2003.

5. Esteban Duarte, Pedro, LLorens F. José Luís. Aplicación del modelo de van Hiele al concepto

de recta tangente a través del haz de secantes. Matemáticas & Educación, Vol. 3, No. 1 y 2.

Pereira 1999.

6. Jiménez, Mariano., Areizaga, Arantxa. Reflexiones acerca de los obstáculos que aparecen, en

la enseñanza de las matemáticas, al pasar del bachillerato a la universidad.

7. http//150.214.55.100/asepuma/laspalmas2001/Doco12.pdf

8. Posso A., Abel. Obregón de Mora, Gloria. Gutiérrez J., Sara I. Nivel del conocimiento

matemático del estudiante que ingresa a la Universidad Tecnológica de Pereira. Matemáticas

& Educación. Vol. 2. No. 2. Pereira 1998.

9. Posso A. Abel. Sobre el bajo aprovechamiento en el curso de matemáticas I de la UTP.

Scientia et Technica, Año X, No 28, 2005.

10. Uzuriaga López Vivian Libeth. Una propuesta de enseñanza del álgebra lineal para los

estudiantes de ingeniería de la Universidad Tecnológica de Pereira. Tesis doctoral, La Habana,

Cuba, 2006.


34

CF 9. LAS MATEMÁTICAS NO SON SIMPLES NÚMEROS NI ECUACIONES

Campo Elías Gonzales Pineda

Matemático PhD. Ciencias Matemáticas

Profesor Titular


[email protected]

Alejandro Martínez Acosta


Candidato a magíster en Enseñanza de la Matemática.

Profesor Asistente


[email protected]

Vivian Uzuriaga López


PhD. Ciencias Pedagógicas.

Profesora Titular


[email protected]

RESUMEN: El propósito de la conferencia es hacer una reflexión sobre el uso de la Matemática en

la vida cotidiana y en las diferentes ramas del conocimiento. Además, Reconocer que la

matemática no es simplemente números y ecuaciones, mostrar que sus aportes han permitido el

desarrollo científico y tecnológico.

Referencias

1. ¿Está la matemática en la cotidianidad?. Mag. Campo Elías González Pineda

[email protected]. Dr. C. Vivian Libeth Uzuriaga López [email protected].

2. Ardila de Arrebolledo Raquel y otros. Espiral 6, serie de Matemáticas para básica secundaria y

media. Editorial Norma. 2004.

3. Beckett Windy. Historia de la pintura, guía esencial para conocer la historia del arte occidental.

Asesora Patricia Wright. Es un libro Blume.







35

4. Benozzo Gozzoli, cuadro.

http://colaboratorio.wetpaint.com/page/Art%C3%ADculo+disparador+de+Leonardo+Moledo?t=

anon.

5. Enciclopedia Encarta. Edición 2007 Microsoft Corporation.

6. Frabetti Carlos. Joaquín Marín. Malditas Matemáticas, Alicia en el país de los números.

Editorial Alfaguara, Juvenil. ISBN: 8420464953.

7. Hans Magnus Enzensberger. El diablo de los números. Ediciones Siruela. ISBN: 8478444335

8. Imitar las hormigas para resolver problemas empresariales. Matenomía: blog de las

aplicaciones de las matemáticas en la vida cotidiana

9. Las matemáticas en la vida cotidiana 2005. Biblioteca Municipal de Bilbao, Bidebarrieta.

http://nowey.wordpress.com/

10. Martínez Viana Vicente. El número de oro.

www.ua.es/personal/viana/Documentos/Cefire/ElNumeroDeOro.doc

11. Meavilla Seguí Vicente. Matemáticas y arquitectura: un procedimiento de Juan de Torija para el

cálculo aproximado del área de una bóveda de arista. Lecturas Matemáticas. Volumen 25

(2004), páginas 43–57. www.scm.org.co/Articulos/741.pdf

http://nowey.wordpress.com/

http://www.scm.org.co/Articulos/741.pdf


36

CURSILLOS

CR 1. UN MODELO ESTADÍSTICO DE FATIGA: CARACTERIZACIÓN, IMPLEMENTACIÓN Y

APLICACIÓN

Víctor Leiva

Departamento de Estadística

CIMFAV

Universidad de Valparaíso

Valparaíso


RESUMEN: Birnbaum & Saunders (1969) desarrollaron una distribución estadística que permite

describir la fatiga de materiales. Modelos Birnbaum-Saunders (BS) han sido aplicados ampliamente

en ingeniería para relacionar el tiempo hasta la ocurrencia de una falla por fatiga a algún tipo de

daño acumulativo ocasionado por estrés. Debido a los argumentos teóricos utilizados en la

construcción de esta distribución, es natural encontrar aplicaciones en áreas diferentes a la

ingeniería, tales como medicina y medio ambiente.

Incluso no teniendo esta rusticación teórica, el modelo BS puede utilizarse para describir datos

positivos que siguen distribuciones asimétricas, tal como ocurre con otros modelos usuales como

gamma, Gaussiano inverso, lognormal y Weibull. En todas estas distribuciones, incluyendo la BS,

las estimaciones de verosimilitud máxima son en general sensibles a observaciones atípicas. Díaz-

García & Leiva (2005) y Balakrishnan et al. (2009) propusieron una clase general de distribuciones

de tipo BS con buenas propiedades destacándose la estimación robusta contra observaciones

atípicas. Rieck & Nedelman (1991), Leiva et al. (2007) y Barros et al. (2008) desarrollaron modelos

de regresión de tipo BS y su diagnostico.

En este minicurso se presentara la distribución BS y sus propiedades, se introducirá la clase de

distribuciones BS generalizada, se discutirán modelos de regresión de tipo BS y finalmente se

mostraran ejemplos con datos reales censurados y no censurados. Aspectos de robustez y

diagnostico serán también discutidos. Los tópicos de este minicurso serán apoyados por códigos

en lenguaje de programación R; ver R Development Core Team (2009). Estos códigos están

implementados en el paquete gbs desarrollado por Barros et al. (2009) que puede obtenerse

gratuitamente desde CRAN.R-project.org.



37

Referencias

1. Balakrishnan N, Leiva V, Sanhueza A, Vilca F, (2009) Estimation in the Birnbaum-Saunders

distribution based on scale-mixture of normals and the EM-algorithm. Stat Oper Res Trans

33:171-192.

2. Barros M, Paula GA, Leiva V, (2008) A new class of survival regression models with heavy-

tailed errors: robustness and diagnostics. Lifetime Data Anal 14:316-332.

3. Barros M, Paula GA, Leiva V, (2009) An R implementation for generalized Birnbaum-Saunders

distributions. Comp Stat Data Anal 53:1511-1528.

4. Birnbaum ZW, Saunders SC, (1969) A new family of life distributions. J Appl Prob 6:319-327.

5. Díaz-García JA, Leiva V, (2005) A new family of life distributions based on elliptically contoured

distributions. J Stat Plan Infer 128:445-457.

6. Leiva V, Barros M, Paula GA, Galea M, (2007) Inuence diagnostics in log-Birnbaum-Saunders

regression models with censored data. Comp Stat Data Anal 51:5694-5707.

7. R Development Core Team, (2009) R: A Language and Environment for Statistical Computing.

R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. www.R-project.org.

8. Rieck JR, Nedelman JR, (1991) A log-linear model for the Birnbaum-Saunders distribution.

Technometrics 33:51-60.


38

CR 2. PLANTEO Y EXPLORACIÓN DE PROBLEMAS CON NUEVAS HERRAMIENTAS

Liliana M. Saidón

Profesora e Ingeniera Especializada en Recursos Informáticos para la Enseñanza y Aprendizaje

de Matemáticas.

Directora del Centro Babbage y del Instituto GeoGebra de Argentina

Centro de Investigación Babbage – IG Argentina (Instituto GeoGebra de Argentina)




[email protected]

[email protected]

[email protected]

www.geogebra.org

Julio C. Bertúa

Departamento de Ingeniería,



[email protected]

Graciela Negro

Centro de Investigación Babbage

IG Argentina (Instituto GeoGebra de Argentina)

Ciudad de Buenos Aires, Argentina

[email protected]

[email protected]

RESUMEN: Enfrentaremos una serie de problemas para disfrutar de los recursos como

facilitadores heurísticos y experimentar la modificación cualitativa que implica el empleo de este

tipo de útiles para la representación, construcción dinámica y operación simbólica.

Tras experimentar en la resolución con utilitarios - sobre todo los de geometría dinámica, en

particular, GeoGebra -, reflexionaremos sobre el rol propiciador de estudio sobre la distinción del

trazado de representaciones que nos permiten este tipo de herramientas gráfico-simbólicas... más

allá de la mera facilitación para la construcción.

En tanto devienen "observables" como objeto... las representaciones de los objetos, podemos

acceder a un nivel de "meta-análisis".







39

La versatilidad de los recursos, nos permite desarrollar diferentes estrategias de resolución... al

punto que incluso los planteos son susceptibles de reformulación, cambiando así, el cariz de las

preguntas y no sólo el encuentro con las respuestas.

Trabajaremos en sendos momentos a lo largo de todo el taller:

- en pequeños grupos, enfrentando vivencialmente los problemas planteados para encarar

soluciones con recursos informáticos

- en la puesta en común para la elaboración conceptual e institucionalización de lo "puesto en

juego" a lo largo de la situación presentada

Presentamos propuestas tomadas de un curso de capacitación docente y de la guía de ingreso a

ingeniería en la UNLaM, para recorrerlas, analizarlas, registrar lo que se pone en juego al

resolverlas y, eventualmente, reformularlas y/o diseñar alternativas.

El ámbito que ofrece un utilitario libre en cuyo desarrollo venimos trabajando, permite darle a los

objetos un tratamiento según propósitos prácticos, sin la exigencia de formalización o formulación

analítica, que suele inmovilizar a muchos de los estudiantes.

La elaboración de una regla de acción (que entraña una conjetura) resulta a posteriori de sucesivos

esfuerzos prácticos por alcanzar un resultado o lograr mayor efectividad en una operación.

Al relacionar y condicionar lo que se pretende hacer con lo que se logra, al contrastar lo planeado

con los resultados, se apela al utilitario para resolver el problema con una metodología proyectual

que permite plantear la reflexión sobre algo que, simultáneamente, se está creando (en la

interacción entre el estudiante y el objeto) y controlando, dinámicamente.

Palabras Claves: Utilitarios para el Diseño de Escenarios Dinámicos de Problemas

Replanteando Problemas

Cualquier indagación relacionada con recursos disciplinares-didácticos plantea la necesidad de

recrear problemas en esos entornos, de índole de tratamiento específico.

Así como se ha desarrollado una geometría vinculada a útiles geométricos, desafíos de

construcción y demostraciones teóricas (imposibilidades, precisiones, etc.), incursionar en útiles

dinámicos, de representación y/o operación simbólica, requiere propuestas coherentes con la

metáfora de trabajo y consistentes con sus potencialidad. Según nuestra experiencia en desarrollo

(soft, aplicaciones, utilitarios, documentos y materiales) y capacitación, es preciso abrir un ámbito

matemático, para el diseño didáctico de buenos problemas con nuevos recursos15

.

Solíamos decir que nadie está obligado a adoptar nuevos recursos pero actualmente, en términos

prácticos, nadie parece tener poder de decisión al respecto porque allí están, con una ubicuidad

que nos desborda y una tácita demanda que simultáneamente convoca y excluye. Sin embargo, no

15 El cine argumental evolucionó del puro “teatro filmado” al desarrollo de un lenguaje propio de comunicación y estética específica.


40

alcanza con contar con utilitarios, dominar su operatoria, plantear y resolver clásicos problemas, no

basta con recorrer ese trayecto. Es necesario pero no suficiente. Se requiere estudiar, evaluando el

proceso, para vincularlos efectivamente a situaciones de clase y a los contenidos, repensando

concepciones y recreando prácticas.

Un rasgo de los problemas es que los útiles disponibles para su resolución, conforman desde su

lectura y modelización al control de resultados (pasando por el razonamiento mediado, las

estrategias abordadas, el planteo propuesto, el método adoptado y los mecanismos, técnicas y

procedimientos desarrollados).

Los problemas a diseñar con el instrumental dinámico, podrían implicar:

- deformar o repetir trazados, transformándolos, sea para indagar sobre el modo de “funcionar”

que deviene de las relaciones establecidas en un bocetos, sea más específicamente… con un

propósito

- trazar representaciones de constructos geométricos en base a sus características propiedades

generales (que perdurarán dinámicamente con cada cambio) en lugar de remitir a medidas

particulares.

- establecer relaciones entre elementos, más que fijar dimensiones, para estudiar sus dinámicas

consecuencias

- explorar, manipulando construcciones, constatando relaciones estables y variables

- vincular las relaciones establecidas en las construcciones a los modelos algebraicos que se

plasman en los bocetos, para ampliar el rango de unos y otros en un ir y venir por tal recorrido.

En resumen, propiciar procesos en que se pase por las tareas propias de: explorar (libre o

encauzadamente), diseñar, modelizar, conjeturar, definir, argumentar y demostrar. Con el

recurso disponible, el desafío es buscar problemas que lo activen.

Recordemos que podrían no ser precisamente los problemas habituales en los textos. Aunque

partiéramos de los más tradicionales, a medida que nos adentremos, daremos con variaciones,

ampliaciones, generalizaciones o hasta hallazgos más o menos inéditos. Acaso porque el

tratamiento dinámico y las representaciones que puede desencadenar, escasea a nivel escolar y

no se presenta con tal estilo.

Entonces... ¿qué utilidad tendría una herramienta ideal para resolver lo no observable?

¿Problemas en los que no se piensa, académica o escolarmente inexistentes?

Recíprocamente, puestos en el brete de tener que “aplicar” una herramienta nueva, de un estilo no

transitado, ¿qué problemas vamos a seleccionar, reformular o inventar?

Tanto con lápiz y papel como con computadora, identificar la misma técnica (en situaciones que no

siempre evidencian tener algo en común); distinguir los conceptos que aparecen en el camino (o

derivados de herramientas situadas), propiciar la pericia para modelizar y analizar planteos,


41

pueden difuminarse en medio de las preocupaciones sobre dominios operativos, cuestiones de

estilo o formulación, etc.

En definitiva, a la hora de la hora, uno sigue preguntándose si se logró comprensión, aprendizaje

del conocimiento en juego (que además se evidencie en el desempeño en situaciones de examen

e incluso más allá de este requisito) o se propició un acatamiento formal que difícilmente se

cuestione y actualice cuando, en otros contextos, se requiera similar representación gráfica,

geométrica, algebraica.

Qué Cambia, Qué Permanece

Al replantear actividades tradicionales apelando a estas no tan nuevas herramientas, pueden

desencadenarse preguntas emergentes de la articulación de la situación y de la internalización de

posibilidades de estos útiles. Pero esto no es fatal: es dable emplearlos para llegar por otro medio

a reencontrar los mismos mecanismos hacia las respuestas de interrogantes idénticos. Nadie

decide, voluntaria e individualmente, establecerse en una u otra posición y, en la práctica, los

límites entre una y otra no son ni tan rígidos, ni tan perpetuos.

Si al propiciarse cambios, emerge resistencia, no parece aplicada tanto a las novedades técnico-

instrumentales como a la pretensión de convenir disturbios en ámbitos en que los grados de

libertad están sumamente acotados por la presión de preparar, en tiempos récords, a un grupo de

estudiantes con conocimientos dispares y en general precarios, para el buen desempeño en un

examen decisorio. O en introducir alteraciones a mecanismos que prefieren pensarse cerrados en

sus propias razones y sin necesidad de legitimación de instituciones exteriores a las educativas.

Por otro parte, ya reza el lugar común que “todo cambio es difícil16

”: involucra la complejidad propia

de las prácticas y es multidimensional. Se desarrolla en el tiempo, requiere estudiar el abordaje

disciplinar (más que el exclusivamente didáctico) y el correlato o impacto en instituciones que dan

razón de ser al ajuste de tareas, técnicas, tecnologías y teorías. Las de producción de los saberes

en juego, de aplicación (desde economía, ingeniería, estadísticas...) y/o de las que son insumo.

Anotaciones sobre Nuevos Recursos y Herramientas

En fases en que se pretende ilustrar y pasar a rutiinizar técnicas, se apela a ejercicios.

Por algún extraño motivo, la sana práctica y ejercitación tienen mala prensa (¿moda o lema

pedagógico incuestionable?), se evita la descalificación llamando problemas a los ejercicios.

Se falsea así, la identidad de ambos y se obvian los problemas que apuntan a tareas que dan

razón de ser tanto a técnicas como a útiles y a su selección como objeto de estudio.

Como los utilitarios no se correlacionan directamente con el repertorio habitual de técnicas a

aprender, difícilmente se presentan planteos que les den entidad como recursos.

16 ”Diícil de imaginar, de planificar, de implementar, manejar, administrar, observar, mensurar, determinar y controlar”


42

Interrogantes de Partida para Empezar a Dar Vueltas

Elegimos empezar por plantear, no necesariamente en orden, una serie de interrogantes que

vinculan útiles, tipos de problemas, contenidos, conocimientos y técnicas que se replantean a partir

de actualizaciones en las tecnologías de respaldo:

- ¿Planteamos numerosos problemas vinculados a la función lineal y a cuadráticas porque sus

algoritmos son de resolución sencilla con lápiz y papel o los desarrollamos para contar con

una herramienta económica para resolver una numerosa variedad de situaciones?

- ¿Los planteamos porque queremos que los alumnos logren dominar ciertas técnicas e

identifiquen los problemas que desencadenan ciertos tipos de tareas que admiten

similares mecanismo de resolución... ¿O porque son sencillos de presentar, administrar y

calificar en los típicos contextos educativos?

- ¿Dejamos de enseñar logaritmos porque eran “pesados y difíciles” o porque se han

popularizado y difundido a bajo costo las calculadoras que permiten resolver fácilmente lo

que antes se simplificaba empleándolos?

- Si la planilla de cálculos fuera una herramienta cotidiana, accesible en cualquier lugar y

situación (sino como el lápiz y papel, al menos como la calculadora), ¿inventaríamos y

presentaríamos problemas de “fórmula con copia relativa”, incrementaríamos los de

resolución por tanteo e iteración, como los de ajuste funcional, por ejemplo?

- De contar con utilitarios geométricos, de representación gráfica y/o operación simbólica,

¿cambiaría el abordaje de contenidos de geometría, cálculo, álgebra?

- ¿Adecuaríamos los problemas a entornos que facilitan la exploración? ¿O el análisis de

procedimientos implícitos en construcciones? ¿Relacionados a la experimentación para

poner a prueba hipótesis, en relevamientos de resultados como primer control de

conjeturas? ¿Idearíamos formas de plantear desafíos hacia el establecimiento de

relaciones y/o modelos algebraicos más que en la representación según datos?

En cuanto al ámbito de tácticas decisiones en que operan mudas, las representaciones circulantes

de los lemas didácticos, nos vemos en el brete de contrabalancearlas con la persistencia de las

que derivan de la sensata responsabilidad de preparar directamente para los requerimientos del

examen, sin pérdidas de tiempo en reformulaciones, cuestionamientos o explicaciones extendidas

en desvaríos “creativos”. Para los que habrá oportunidad más adelante, en todo caso, cuando

algunos de estos alumnos se hayan establecido como estudiantes universitarios plenos.

Sin embargo, algo en esta postergación nos deja en sensación de deuda y además de procurar

saldarla en la de medida de lo posible, en cada resquicio de las urgencias, convenimos en

encontrar espacios alternativos para ofrecer renovadas instancias de estudio, acaso contando con


43

las posibilidades de los recursos informáticos libres que pueden compartirse, dejando disponibles

propuestas abiertas en estilo y acceso.

Revisando Mandatos

Para cuestionar desde una posición documentada lo que se suele acatar o desestimar, acaso a

mala conciencia, vale explicitar algunos de los lemas a los que nos hemos referido, desde la

perspectiva del mismo autor al que se le atribuye la mayor parte de estas aseveraciones sobre-

generalizadas sobre un virtual espectro de aplicación que, de tan amplio, desborda el ilimitado e

incuestionable contexto de las creencias.

Intentamos registrar y compartir el coro de mandatos que podrían estar timoneando la producción,

lemas que se cruzan en una malla de demandas casi inmovilizante.

Cristalizadas representaciones sociales de racionalidad trastornada en su divulgación.

Brousseau17

, nos facilitó la identificación de las más frecuentes disposiciones pedagógicas

formales (no didácticas), destinadas a limitar o combatir una de las numerosas "malas tendencias”

de los profesores, como tendencias a....

- hablar: lo que impide al alumno hacerlo él mismo

- hacer hablar al alumno en vez de hacerlo actuar,

- enseñar en vez de dejar al niño evolucionar de acuerdo con su desarrollo espontáneo

- seleccionar contenidos según la cultura en vez de dejar al niño construir su "saber" en toda

creatividad, novedad e inventiva

- concentrar sobre uno mismo la atención del alumno en vez de devolverlo a la influencia

beneficiosa de pequeños grupos que trabajan libremente

- proponer temas escolares en vez de tomarlos del rico ámbito de actividades técnicas y

sociales del entorno "natural" del alumno

- preferir tópicos tradicionales y aburridos a empleos lúdicos atractivos y por lo tanto,

educativos

- elegir temas teóricos y en consecuencia inútiles en lugar de los prácticos, por eso inteligibles,

útiles

- descuidar la relación entre la producción espontánea de cada alumno y el proyecto curricular

- desanimar a los alumnos al establecer entre ellos diferencias o al no distinguirlas,

individualizando sus peculiaridades…

El mismo autor nos libera de mayores cavilaciones al indicar que estas reprobaciones tienen la

fastidiosa propensión a disuadir al docente de hacer su labor: provenientes de otras disciplinas

17

Introducción al estudio de la enseñanza del razonamiento y la prueba: paradojas (Julio del 2004- “International

Newsletter on the Teaching and Learning of Mathematical Proof”) de Guy Brousseau.


44

parecen imponerse, sin notar la dimensión y circunstancias didácticas, con un rigor prescriptivo que

no permite la crítica: Ninguna de estas prescripciones es válida absolutamente, aplicable a

cualquier saber a enseñar sin conversión didáctica que tome en cuenta su naturaleza y

especificidad.

En nuestra experiencia, el (¿”iatrogénico”?) efecto paralizante o, acaso peor, de invisible impostura

de este tipo de demandas se neutraliza al inspeccionarlas con colegas, sobre todo si el diálogo

genuino sale al cruce a beneficio de inventario. Consensuamos, en estas condiciones, nuestros

intentos.

Anotaciones y Bocetos al Margen

Nuestras elecciones se juegan dentro del complejo margen de maniobra en que conviven

populosos mandatos emblemáticos, requerimientos disciplinares y didácticos; prácticas; usos y

costumbres que hasta piensan por nosotros, habitus mediante; el más formal, tradicional o

modernista análisis de la matemática en cuestión y las relaciones con el conjunto diverso de

destinatarios cuya cultura del esfuerzo sospechamos, cada vez más depreciada.

Procuramos adoptar un enfoque más realista que pesimista, del comportamiento y vida de los

grupos de cursantes y decidimos migrar a bocetos, en primera instancia, algunos de los planteos

clásicos de las guías de ingreso y dejarlos como alternativa optativa para quienes quieran visitarlos

desde la computadora usual (incluyendo la del locutorio, sin ir más lejos).

Las propuestas iniciales son las que ganan cuando se las replantea en un escenario dinámico de

modelos algebraicos representados por construcciones, más que las “de geometría”

específicamente. Además, en el revés de cada diseño, nos cuestionamos porque, máxime en los

primeros intentos, suele ocurrir que se:

- Sobre-estime el poder del recurso como “evidenciador”, depositando la expectativa en ganar

eficiencia expositiva.

Desestime la índole particular de la exploración dinámica que el recurso permite y

sólo se lo destine a ilustrar con mayor prolijidad y color lo que habitualmente

muestran los textos.

Considere que las posibilidades de exploración del recurso en sí mismas van a

bastar para que el alumno descubra y construya, confiando en tal acción o

interacción sin anticipar intervenciones contingentes de institucionalización formal.

Limite el uso a una de las facetas sin contemplar la posibilidad de guiar la

exploración por caminos alternativos.

Escamotee la potencia de exploración, intentando “controlar” posibles desvíos del

“buen camino” al concepto que una presentación ritualizada parece asegurar.

Omita la posibilidad de restaurar un boceto fuera de control para volver a contar con

el original


45

Paute la actividad con demasiado celo, con ansiedad por que el alumno presente

respuestas específicas, más allá de la atribución de sentido de los resultados

obtenidos.

Promueva una libertad de movimientos que desoriente por desentendimiento de los

propósitos.

Proponga una actividad que esté por encima de las posibilidades de comprensión

de los alumnos y los desaliente, reaccionando en un renovado requerimiento de

“recetas”

Evada la necesidad de consolidar los resultados de las propuestas, dejando todo

descubrimiento librado a la interpretación del alumno y los buenos oficios del

utilitario.

Atribuya aprendizaje a los “resultados” que devinieron de la mera facilidad de

trazado del recurso.

Algunos de estos son obstáculos habituales en el diseño de clase. El recurso los evidencia,

actualiza y potencia, no sólo porque se trata de una novedad sino porque ofrece todo un repertorio

diferente (modelo, útiles, abordaje, resultados...). Así, nos trae nuevos problemas en tanto obliga a

repensar el planteo de los contenidos, las prácticas naturalizadas, las expectativas de trabajo

autónomo, las alternativas de la dinámica de la propuesta, la recuperación de la tarea

independiente en términos de lo que se revisa en clase…

Reconociendo que lo que este tipo de alternativa exige una tarea de diseño, distinción de intentos,

realimentación desde la interpretación de resultados y aceptación de lo que debe reformularse, nos

proponemos inicios modestos y delimitados

Empezamos, entonces, por ofrecer aplicaciones vinculadas explícitamente a los ejercicios que,

como mínimo, los ilustran. En el mejor de los casos, los incluyen como uno de los modelos de un

conjunto (¿o familia?) de problemas y, medianamente, los representan sumándoles la oportunidad

de una exploración conceptual que es el eje y propósito central del diseño de cada ejemplo.

Comentarios sobre las Propuestas

Presentamos algunas propuestas para indagarlas en común. Tomemos en cuenta que por evidente

que aparezca a ojos del docente, es poco probable que el estudiante elabore conjetura alguna por

observación de un boceto o representación. Porque no emana de visualizaciones o datos, sino vía

propuestas que desencadenen actividad matemática. La conjetura surge de contrastar resultados

de tentativas de resolución en acción efectiva o internalizada. Es más factible que se despierten


46

sospechas metódicas a partir de un patrón de resultados de acciones con una finalidad, es decir,

que se proponen para alcanzar un objetivo, resolver un problema18

.

Las acciones en situaciones determinadas dan claves. Acciones que funcionan como vías

adecuadas más o menos implícitas (respondiendo a sucesivos ¿cómo...?) antes de distinguirse,

identificarse, nominarse y re-emplearse concientemente en una formulación.

El ámbito que ofrece el utilitario permite darle a los objetos un tratamiento organizado para

propósitos prácticos, sin la exigencia de formalización o formulación analítica previa, que suele

inmovilizar a muchos de los estudiantes.

La elaboración de una regla de acción (que entraña una conjetura) resulta a posteriori de sucesivos

esfuerzos prácticos por alcanzar un resultado o lograr mayor efectividad en una operación.

¿Cómo Harían para Lograr que... ?

Como es frecuente que los alumnos diestros para encontrar la vuelta operante, funcional al

problema, mantengan tácito el procedimiento al no lograr articularlo rápida y completamente,

conviene diseñar la necesidad de un logro y la de comunicar el modo de alcanzarlo en

interpelaciones de, por ejemplo: este estilo: ¿cómo harían para lograr que... ?

Mediando actividad matemática personal y grupal, se pasa de:

- Simples exploraciones de elementos para ver qué sucede (búsqueda de significaciones

relativas a propiedades generales y otras, más ocasionales, vinculadas a posibilidades

respecto de los objetivos). Con simultánea comprensión de lo que habría que hacer e

incomprensión de relaciones que permitirían hacerlo.

- Nivel en que están claros los fines pero el empleo de medios vinculado a ensayos con logros

parciales o fracasos no siempre comprendido,

- Postura instrumental que presenta anticipaciones y programas de acciones

La conjetura aparece como técnica codificada antes que como producto de visualización.

Con utilitarios, se puede llegar a conjeturas vía el orden que impone el “habilidoso” a sus acciones

al correlacionarlas con resultados prácticos, más allá de las habituales apelaciones al examen

analítico en que lo formal es prerrequisito.

Conclusiones

Al diseñar algunas de las propuestas de trabajo, se intenta plantear buenas preguntas que

desencadenen acción, preparar la situación para que en el camino de resolución o de búsqueda de

una buena estrategia aparezca un contenido a enseñar, distribuir el tiempo para que el dominio

operativo no se extienda a expensas del conocimiento matemático en cuestión y ofrecer “puertas

de entrada” alternativas a los estudiantes que pueden indagar cómo “funciona” el boceto de

18

Propiciar la adquisición de repertorios de acción eficaces para resolver problemas antes de quedar atrapados por teorías precipitadas, no es sino una transposición del consejo de Ramón y Cajal: Años en el cómo antes del por qué


47

representación dinámica que se explora en un ámbito que podríamos considerar, tal como

anticipamos, empírico-conceptual.

Esta es, de este modo, nada más que una alternativa, nada más que una oportunidad. Nada

menos.

ANEXO – De las propuestas de la Guía a

los bocetos susceptibles de exploración

con GeoGebra

Ejemplo de uno de los Ejercicios de la

Guía

Un rectángulo tiene un perímetro de 20

metros. Expresa el área del rectángulo en

función de uno de sus lados

En el replanteo dinámico, se introducen

las siguientes variables:

- El boceto pasa a formular, más que un problema, un conjunto de problemas porque tanto el

perímetro del que se dispone (no necesariamente de 20 unidades) como el tipo de paralelogramo

con el que se opera (no exclusivamente un rectángulo), pueden variarse.

- Se procura establecer, no sólo las condiciones para que el área del rectángulo sea máxima, por

ejemplo, sino que resulte de distintas proporciones respecto de esa, óptima.

- La distribución del semiperímetro entre sendos lados consecutivos, se puede expresar como una

proporción más que como un valor expresado en unidades de medida, lo que nos acerca al

álgebra y a la modelización algebraica desde el terreno firme en que las representaciones se

exploran a medida que se intentan cambios.

- Es posible analizar el impacto en el (de)crecimiento del área cubierta en relación al cambio

proporcional de la distribución de los lados consecutivos

- Se puede volver a la situación geométrica, generalizándola: si el cuadrado es el rectángulo de

mayor área de entre todos los que tienen igual perímetro, ¿cuál será el que cumpla esta condición

de entre todos los paralelogramos del mismo perímetro?

- Cobra entidad la tarea de atribuirle generalidad y sentido al dibujo que representa a la “figura de

análisis” del problema

- La relación entre los cambios, su proporción y (de)crecimiento, y los resultados puede estudiarse

dinámicamente.

- La indagación del “funcionamiento” del boceto, permite registrar la viabilidad de ciertos propósitos

y la distinción de lo que influye o no tiene incumbencia para cada logro.


48

La variedad de problemas que los mismos alumnos pueden legar a plantearse irá evidenciando las

ventajas de la dedicación persistente y consistente, saldando la supuesta brecha entre ejercitación

/ esfuerzo y logros “creativos” / divertidos, tan apasionantes como esporádicos.

El boceto se presta para reutilizaciones y no sólo para encontrar respuestas que pueden validarse

con autonomía sino para formularse renovadas preguntas, cambiando así el rol del estudiante

frente al problema. Recíprocamente, algunas de estas formulaciones pueden presentarse al

docente que se verá obligado a desarrollar el camino para la búsqueda de las respuestas,

resolviendo frente a los estudiantes e incluso con ellos, más allá de modelizar al automático

proveedor de resultados.

En síntesis, integrando lo analizado, algunas de las cuestiones que este inocente pero dinámico

boceto es susceptible de desencadenar (según el dispar nivel de conocimientos, estilos y

dedicación de los “exploradores”, cabe reconocer), hasta podrían dar razón de ser al estudio de

ciertos temas (teorema del coseno, por ejemplo), modificando el papel del problema que no sólo es

una “aplicación” de lo estudiado sino el motor, motivador de temas de estudio.

Este mismo boceto, pese a la dedicación exhaustiva que requiere para un adecuado diseño, puede

visitarse nuevamente en ocasión de estudio de distintas cuestiones matemáticas, procedimientos y

contenidos. Contextualmente rico en tal sentido, puede traerse a colación en el encuentro de los

alumnos que lo exploraron y establecerse como mojón de referencia compartida, en el sentido de

memoria didáctica, de clase pese a que pudiera haber sido indagado como parte de la “tarea para

el hogar” (¿o “para el locutorio”?).

Esperamos ir completando este tipo de bocetos a medida que sea posible controlar la reacción de

los estudiantes y realimentar así, este incipiente proyecto.

Otra propuesta de la Guía a los bocetos susceptibles de exploración con GeoGebra

Productos Notables: Demuestra que son ciertas cada una de las igualdades indicadas

22))(() bababaa Diferencia de cuadrados

222 2)() bababab Cuadrado perfecto de una suma

222 2)() bababac

Cuadrado perfecto de una diferencia.

32233

33) babbaabad Cubo perfecto de una suma

32233

33) babbaabae Cubo perfecto de una diferencia


49

Ejemplo dada la función 42

301 1039 xxxy

determina las ordenadas correspondientes a las abscisas

dadas:(-3 ; ...) (-1 ; ...) (0 ; ...) (1 ; ...) y (3 ; ...), a

continuación grafica esos cinco puntos: ¿qué podrías

concluir en un primer instante acerca de la posible gráfica?

¿si graficas para otros cinco puntos que tú eliges, podrías

seguir pensando que tu conclusión inicial fue acertada?

Explica.

Referencias

1. Simon, Herbert (1973), “Ciencias de lo Artificial”, Barcelona: A.T.E.

2. Artigue, M. (1995), “Ingeniería didáctica en Educación Matemática”, Grupo Editorial

Iberoamericano.

3. Brousseau, G. (1988). "Le contrat didactique: le milieu". RDM

4. Filloux, Janine (1974). «Du contrat pédagogique». Dunod. París.

5. Bourdieu, Pierre (1972), "Estructuras, habitus y prácticas", en Esquisse d 'une theorie de la

practique, L. Droz- París.

6. Godino, J. (2004) “Implicaciones Metodológicas de un Enfoque. Semiotico-Antropológico para

la Investigación” en “Didáctica de las Matemáticas” Granada

7. Brousseau, G. (2004) “Introducción al estudio de enseñanza del razonamiento y prueba:

paradojas” en “Proof./Preuve Int. Newsletter”


50

8. Young, Robert (1993), “Teoría crítica de la educación”, Editorial Paidós

9. Chevallard, Y, Bosch, M. et Gascon, J. (1997): “Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre

la enseñanza y el aprendizaje”. Barcelona: ICE/Horsori.

10. Legrand M. (1993).“Débat scientifique en cours ”, Repères IREM. Paris.

11. Saidon, L (2001) “Enseñanza con Utilitarios” – Ficha de Cátedra de Centro Babbage del curso

Resolución de Problemas con Utilitarios.

12. Saidon. L. (2001-2009) “Manual Oficial del GeoGebra” – www.geogebra.org

13. Douady, R. (1986). “Jeux de cadres et dialectique outil-objet” RDM.. París

14. Piaget, J; García R. (1989), “Hacia una lógica de significaciones” Barcelona. Gedisa

15. Brousseau, G. (2002), “Cobayes et microbes”. Traducción tomada de textos de un Proyecto de

Investigación (2003-2007) del Centro de Investigación Babbage.

16. García, Rolando (1996) “Sistemas Complejos” Editorial Gedisa.

17. Brousseau, G (1994) «Perspectives pour didactique des mathématiques. Vingt ans de

Didactique des Mathématiques». Hommage a Brousseau et Vergnaud. Pensée Sauvage

18. Brousseau, G (1994) “Los diferentes roles del maestro” en Didáctica de Matemáticas. Aportes y

reflexiones Paidós Buenos Aires.



51

CR 4. FUNDAMENTOS DE DISEÑO EXPERIMENTAL PARA LA MODELACIÓN Y SIMULACIÓN

DE PROCESOS BIOLÓGICOS

Luis Miguel Mejía

Ingeniero agrónomo

Especialista en gestión para el desarrollo empresarial y docencia universitaria

Director del grupo de investigación para el desarrollo agroindustrial GIDA

Coordinador de investigaciones facultad de ingeniería universidad La Gran Colombia

Universidad La Gran Colombia seccional Armenia

[email protected]

RESUMEN: El Diseño de Experimentos ha sido una ramificación de la Estadística que se ha

caracterizado por su fundamentación inductiva de procesos de diversas índoles, siendo los

procesos biológicos propios de la agricultura y el sector agropecuario área de permanente estudio;

pero con la aparición de la minería de datos (Data Mining) y la Inteligencia Analítica se han

comenzado a explorar desde el diseño, diversas formas de modelar y posteriormente simular

variables respuesta en función de variables explicatorias o fuentes de variación. No obstante,

implica una serie de condiciones para llevar a buen término tales modelos y simuladores y en

última instancia maximizar el potencial de “minar datos experimentales”; aspectos como las

condiciones de control del trabajo experimental, la fiabilidad y validez de la modelación, la

naturaleza propia de las variables, el método científico y la metodología de modelación y

simulación como tal, la cual parte de la formulación del problema de investigación hasta

desembocar en el análisis con base en la respectiva simulación.

DISEÑO EXPERIMENTAL EN EL CONTEXTO DE I+D

En los años recientes se observa una tendencia creciente hacia la creación y desarrollo de

empresas productoras de bienes y servicios con un alto valor agregado de conocimientos,

caracterizadas por su pequeño tamaño, estar fuertemente influenciadas por las funciones de

Investigación y Desarrollo (I+D), por poseer altos márgenes de ganancia en sus productos, y por su

potencial para sustituir importaciones y competir en los mercados externos, hechos que las hacen

diferentes a las empresas tradicionales.

Estas empresas, conocidas como empresas de base tecnológica, se presentan principalmente en

áreas tales como la informática, las comunicaciones, la mecánica de precisión, la biotecnología, la

química fina, la electrónica, la instrumentación, la elaboración de nuevos materiales, entre otros, y

en muchas ocasiones sus orígenes se encuentran en spin-offs de proyectos llevados a cabo por

universidades y el sector privado, el cual ha efectuado inversiones en infraestructura para la

investigación.


52

Sin embargo, tanto la investigación científica como tecnológica se desarrollan actualmente bajo

procesos de gestión, sustentados en proyectos sólidamente estructurados, ya que la gestión de la

Innovación Tecnológica se sustenta en la introducción comercial de nuevos productos o procesos,

logrados a partir de la generación de conocimiento sobre los medios empleados y con un fuerte

apoyo de la investigación experimental; algunos autores han definido la innovación tecnológica

como lo afirmado por Waissbluth et, al (1986), que la innovación tecnológica es un Proceso que

consiste en conjugar oportunidades técnicas con necesidades, y que conduce a la integración de

un paquete tecnológico, cuyo objetivo es introducir o modificar productos o procesos en el sector

productivo, con su consecuente comercialización.

Otra manera de definir la innovación tecnológica es la planteada por Nelson (1993): “Cambio que

requiere un considerable grado de imaginación; constituye una ruptura relativamente profunda con

las formas establecidas de hacer las cosas y con ello crea fundamentalmente nuevas capacidades,

por lo cual no debe entenderse como un concepto técnico, sino de raíz económica y social”.

En el proceso de innovación o de cambio tecnológico existen tres momentos o estados

fundamentales, tal como lo indica Camacho (1998) en la Tabla 1.

TABLA 1. ESTADOS FUNDAMENTALES DEL PROCESO DE INNOVACION.

{PRIVATE}ESTADO O

MOMENTO

DEFINICION

La invención Creación de una idea potencialmente generadora de beneficios comerciales

pero no necesariamente realizada de forma concreta.

La innovación Aplicación comercial de una idea; se trata de un hecho comercial y social que

crea riqueza pero no conocimiento.

La difusión Diseminación en la sociedad de la utilización de una innovación; es el estado

en el cual se ve afectada la economía, obteniendo los beneficios de la

innovación.

El mismo autor (Camacho, 1998) define 6 fases que conforman el referido proceso de innovación

tecnológica como se indica en la Tabla 2.

TABLA 2. FASES DEL PROCESO DE INNOVACION.

{PRIVATE}FASE DEFINICION

Idea Base del proceso de innovación; para generarla es necesaria la información y

para implementarla se requiere la decisión de los responsables de la empresa


53

y de su financiación.

Investigación Estudio original y planificado que se emprende con la finalidad de obtener

conocimientos nuevos.

Desarrollo tecnológico Ensayo y elaboración de una aplicación potencial a un modelo o a una serie

de especificaciones que demuestren la practicabilidad física de un nuevo

proceso o producto.

Elaboración de prototipo Se persigue conocer la practicabilidad económica y física de utilizar realmente

un modelo o unas especificaciones.

Producción Estructuración y montaje de nuevos medios de producción, seguido del

ensayo y modificación de los mismos hasta que resulten posibles las

operaciones a ritmo normal. En esta fase la normalización, la homologación y

la garantía de la calidad tienen una importancia fundamental.

Comercialización Puesta a disposición de los consumidores del nuevo producto, a través de

determinados canales de distribución y puntos de venta.

La innovación tecnológica, apoyada en investigación es entendida como la conversión de

conocimiento tecnológico en nuevos productos o procesos para su introducción en el mercado, en

función de las necesidades sentidas de nichos específicos, lo cual es una actividad

fundamentalmente empresarial.

Sin embargo, al aplicar criterios de investigación científica y tecnológica la adaptación no suele ser

drástica, dados los métodos de investigación, como son aquellos de índole inductivo, sobre los

cuales se fundamenta el diseño experimental, aunque con ciertas reglas:

1. Integrar la investigación en el entorno biológico y las reglas del diseño experimental, con base

en las repeticiones, la aleatorización, efectos fijos, aleatorios.

2. Identificar las suposiciones y tratarlas como hipótesis.

3. Medir y reportar bajo monitoreo científico los efectos del manejo de los datos tomados y vistos

como experimentales.

4. Aspectos ligados íntimamente a la naturaleza del diseño, la modelación y la simulación como

son:

Cuestionamiento

Número de Repeticiones


54

Azar

Control

Diseño, en función de los objetivos.

Eficiencia

Exactitud y Precisión

Naturaleza de los datos en función de los supuestos estadísticos en el análisis de varianza.

Selección adecuada de las variables y análisis de los resultados.

LA REGRESIÓN LINEAL COMO HERRAMIENTA PARA LA OBTENCIÓN DE MODELOS

La regresión lineal simple se basa en la construcción de modelos en los cuales una variable

dependiente Y está en función de una variable explicatoria X, es decir,

xFY

Y: Variable dependiente, respuesta, explicada o predecida.

X: Variable independiente, control, estímulo, predictora, explicatoria.

El modelo base para regresión lineal simple es entonces, de la siguiente forma:

iii xY 10

Donde:

:0 Intercepto (corte con el eje x).

:1 Pendiente del modelo.

:i Error experimental, en este recae todo lo que el investigador no es capaz de explicar en el

modelo, son los factores no controlados.

Propiedades:

ii xyE 10ˆˆ

2

10 ii xVyV

2,0 Ni

0, jiCOV ji

2 iV


55

xx

yE 10

ˆˆ

xxS

V2

1ˆ

xxS

x

nV

2

2

0

1ˆ

Estimación de los parámetros del modelo de regresión lineal simple:

Para :ˆ1

n

i

n

i

i

i

n

i

n

i

i

n

i

i

ii

n

x

x

n

yx

yx

1

2

12

1

11

1

Para :ˆ0 xy 10

ˆˆ

Cuando se estiman los betas, el modelo es de la siguiente forma:

ii xy 10ˆˆˆ

El análisis de varianza para el modelo de regresión lineal simple es de la siguiente forma:

ANAVA

FV GL SC CM Fcalc Ftabla

Modelo 1 ErrorTotal SCSC ModeloSC

Error

Modelo

CM

CM ),( ErrorModelo GLGLf

Error

Experimental

n-2

n

i

ie1

2

2

1

2

n

en

i

i

Total n-1

n

i

n

i

i

in

y

y1

2

12

Si 01.0,05.0tablacalc ff : El modelo no es significativo.


56

Si

:05.0tablafcalcf

El modelo es significativo y se denota al lado del valor de F calculado con un

asterisco (*), indicando que el modelo se explica con un 95% de confiabilidad.

Si

:01.0tablafcalcf

El modelo es altamente significativo y se denota al lado del valor de F calculado

con dos asteriscos (**), indicando que el modelo se explica con un 99% de confiabilidad.

COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN 2R

El coeficiente de determinación 2R , explica la variación de iy , atribuible a los factores adscritos al

modelo, indica el porcentaje de explicación del modelo en torno a iy , posee la siguiente fórmula:

Total

Modelo

SC

SCR 2

Propiedades:

Oscila entre 0 y 1, así: 10 2 R

2R cercano a 1 explica casi toda la variación de iy , pero no es siempre el mejor modelo.

RESIDUALES ie

Los residuales son la divergencia existente entre el valor iy real y el estimado, entendiéndose

como un error atribuido en cada observación y es de la siguiente forma:

iii yye ˆ donde ii e

Propiedades:

n

i

ie1

0

n

i

ii xe1

0

n

i

ii ye1

0

los residuales juegan un papel importante en el modelo de regresión lineal simple, ya que con base

en ellos se validan los supuestos adscritos al mismo.


57

Ejemplo de Regresión lineal simple:

Un investigador desea saber el comportamiento del rendimiento (gramos) de una sustancia

sometida bajo cierto proceso biotecnológico en función de la cantidad (mililitros) de un sustrato

aplicado; tomó en forma aleatoria 10 muestras a las cuales les midió la cantidad de sustancia

aplicada y el rendimiento respectivos encontrando:

Xi Yi

3.2 16.5

3.1 14.3

3.5 17

4 13.2

4.2 15.5

3.8 18.3

3.7 16.9

4.1 14.6

1. Se calcula la media aritmética tanto para Xi como para Yi:

7.38

1.4...1.32.3

x

e

7875.158

6.14...3.145.16

y

2. Seguidamente se estima 1 :

7327586207.0ˆ

8

1.4...1.32.31.4...1.32.3

8

6.14...3.145.16*1.4...1.32.36.14*1.4...3.14*1.35.16*2.3

ˆ

1

2

222

1


58

3. Seguidamente se estima 0 :

4987069.18)7.3*7327586207.0(7875.15ˆ0

Entonces la ecuación obtenida es la siguiente:

ii xy *7327586207.04987069.18ˆ

4. Posteriormente se hallan los valores estimados para Yi con base en la siguiente operación:

Xi Yi ii xy *ˆˆˆ 10 iy

3.2 16.5 2.3*7327586207.04987069.18ˆ iy 16.15387931

3.1 14.3 1.3*7327586207.04987069.18ˆ iy 16.22715518

3.5 17 5.3*7327586207.04987069.18ˆ iy 15.93405173

4 13.2 4*7327586207.04987069.18ˆ iy 15.56767242

4.2 15.5 2.4*7327586207.04987069.18ˆ iy 15.42112069

3.8 18.3 8.3*7327586207.04987069.18ˆ iy 15.71422414

3.7 16.9 7.3*7327586207.04987069.18ˆ iy 15.7875

4.1 14.6 1.4*7327586207.04987069.18ˆ iy 15.49439656

5. Con base en la diferencia entre el valor observado de Yi y su estimado se calculan los

residuales por cada uno:

iy iy iii yye ˆ

16.5 16.15387931 0.346120686

14.3 16.22715518 -1.92715518

17 15.93405173 1.065948272


59

13.2 15.56767242 -2.36767242

15.5 15.42112069 0.078879307

18.3 15.71422414 2.585775859

16.9 15.7875 1.112499997

14.6 15.49439656 -0.89439656

ie 0

6. Después de calcular los residuales cada uno de ellos se eleva al cuadrado y se suman para

obtener así la suma de cuadrado del error experimental:

ie 2

ie

0.346120686 0.119799529

-1.92715518 3.713927072

1.065948272 1.13624572

-2.36767242 5.605872675

0.078879307 0.006221945

2.585775859 6.686236791

1.112499997 1.237656242

-0.89439656 0.799945198

2

ie 19.30590517

7. Seguidamente se calcula la suma de cuadrado total con base en los valores de Yi, de la

siguiente manera.

92875.19

8

6.14...3.145.166.14...3.145.16

2

222

TotalSC


60

8. Se calcula la suma de cuadrado del modelo, restándole a la suma de cuadrado total la suma

de cuadrado del error experimental 2

ie :

62284483.030590517.1992875.19 ModeloSC

9. Se construye el respectivo Análisis de Varianza (ANAVA):

ANAVA

FV GL SC CM Fcalculado Ftabla

5% 1%

Modelo 1 0.62284483 0.62284483 194.0

218.3

62284483.0

(1,6)=

5.99

13.75

Error

Experimental

7-

1=6

19.30590517 218.3

6

30590517.19

Total 7 19.92875

Interpretación: Dado que el valor Fcalculado es menor que ambos valores F de la tabla, indica que

el modelo no es significativo; es decir, que el rendimiento en gramos del producto sometido a

proceso biotecnológico NO está en función de la cantidad en mililitros del sustrato.

Coeficiente de Determinación: 0313.092875.19

62284483.02 R Indica que el modelo es explicado por

la cantidad de sustrato en un 3,13%, ratificando lo dicho en la interpretación anterior.

LOS DISEÑOS FACTORIALES COMO HERRAMIENTAS DE MODELACIÓN Y SIMULACIÓN

Este diseño experimental se puede amoldar dentro de cualquier tipo de diseño experimental visto

con antelación, tal como bloques al azar, cuadrado latino, completamente aleatorizado, entre otros.

El arreglo factorial se origina cuando se dispone de varios factores a varios niveles cada uno,

donde los factores se denotan A, B, C y los niveles se representan con letras minúsculas, números

o caracteres alfa-numéricos.

Los factores pueden ser de carácter simétrico o asimétrico, el primero se origina cuando el número

de niveles por factor es igual, el segundo cuando es diferente el número de niveles por factor.

Simétrico:


61

A B C

Ao Bo Co

A1 B1 C1

Asimétrico:

A B C D

Ao Bo Co Do

A1 B1 C1 D1

B2 D2

Los factores en un arreglo pueden ser dispuestos en forma numérica, letras, binaria y siempre son

definidos por el investigador, de antemano, acudiendo a su experiencia sobre unidad experimental

o su inquietud por encontrar a través de factores, niveles óptimos de un proceso.

Los niveles son dobles, triples o múltiples y los factores se clasifican en:

Unifactorial: Sólo existe un factor a diferentes niveles.

Bifactorial: Se dispone de 2 factores en un arreglo.

Multifactorial: Es el tipo de arreglo más importante dentro de la estadística experimental, ya que

éste permite interacciones de diferentes órdenes como dobles, triples, cuádruples y analizar

efectos cruzados, simples, entre otros.

Este arreglo permite también, optimizar la superficie de respuesta y analizar operaciones evolutivas

(EVOP) dentro de optimización de procesos.

Los tratamientos se originan al interaccionar los niveles (En este caso el diagrama de árbol es

sumamente útil).

Ejemplo:

A B C


62

Ao Bo Co

A1 B1 C1

Cada factor tiene 2 niveles a (Ao-A1, Bo-B1 y Co-C1), lo cual quiere decir que es un arreglo32 ,

porque:

2 x 2 x 2 = 32 = 8 Tratamientos creados y establecidos así:

Tratamientos:

Ao Bo Co

Ao Bo C1

Ao B1 Co

Ao B1 C1

A1 Bo Co


63

A1 Bo C1

A1 B1 Co

A1 B1 C1

Los tipos de arreglos factoriales más comunes son 3232 3,3,2,2 siendo estos de índole simétrico.

Cuando es de índole asimétrico es:

A B C D

Ao Bo Co Do

A1 B1 C1 D1

B2 D2

D3

2 x 3 x 2 x 4 = 4322 xx 48 Tratamientos

Ventajas:

El arreglo factorial se aplica cuando el investigador desea obtener los niveles más adecuados

para un cultivo, proceso industrial o agroindustrial, biotecnológico, entre otros.

Este arreglo permite interacciones entre factores; además, se pueden conocer los efectos

simples, principales, cruzados.

El arreglo factorial minimiza el error experimental, cuando se encuadra el arreglo en un diseño

adecuado.

Este arreglo permite la estimación de datos faltantes.

Es de vital importancia cuando se desea estimar el efecto del medio ambiente en el

tratamiento, o a través del tiempo o el efecto del tratamiento en diferentes medios.

Sirve para la evaluación de variedades, híbridos y cultivares.

La notación del arreglo factorial se realiza por los métodos: Tradicional (visto con anterioridad),

numérica (Tanto niveles como factores se denotan con números) y de tercer tipo o -numérica

(Combina los 2 anteriores).

Para el cálculo y construcción de la ANAVA se hará con base en el arreglo 32 en este documento,

así:


64

1. Cálculo de la suma de cuadrado total:

n

yySC i

iTotal

2

2

2. Cálculo para cada factor (A, B, C, respectivamente, cada uno con 2 niveles).

Para A:

FCr

ASC

i

A 2

Para B:

FCr

BSC

i

B 2

Para C:

FCr

CSC

i

C 2

3. Son calculadas las interacciones de primer orden:

A x B:

BAAxB SCSCFCr

BA

r

BA

r

BA

r

BASC

11011000

A x C:

CAAxC SCSCFCr

CA

r

CA

r

CA

r

CASC

11011000

B x C:

CBBxC SCSCFCr

CB

r

CB

r

CB

r

CBSC

11011000

4. Se calcula la interacción de segundo orden (A x B x C):


65

BxCAxCAxBCBA

AxBxC

SCSCSCSCSCSCFCr

CBA

r

CBA

r

CBA

r

CBA

r

CBA

r

CBA

r

CBA

r

CBASC

111011

101001110010100000

5. Se halla la suma de cuadrado del tratamiento:

AxBxCBxCAxCAxBCBATto SCSCSCSCSCSCSCSC

6. Calcula la suma de cuadrado del error experimental:

TtoTotalErrorExp SCSCSC

Nota: Las réplicas ( r ) para cada suma de cuadrado depende del número de datos de cada,

exclusivamente.

ANAVA

FV GL SC CM Calculadof TablaF , %1%,5

Tratamientos

AxBxC

BxCAxCAxB

CBA

GL

GLGLGL

GLGLGL

TtoSC (*)

osTratamient

osTratamient

GL

SC

ErrorExp

osTratamient

CM

CM

ErrorTto GlGL ,

A N°Niveles(A)-1 ASC (*)

A

A

GL

SC

ErrorExp

A

CM

CM ErrorA GlGL ,

B N°Niveles(B)-1 BSC (*)

B

B

GL

SC

ErrorExp

B

CM

CM ErrorB GlGL ,

C N°Niveles(C)-1 CSC (*)

C

C

GL

SC

ErrorExp

C

CM

CM ErrorC GlGL ,

AxB BA GLGL *

AxBSC (*)

AxB

AxB

GL

SC

ErrorExp

AxB

CM

CM ErrorAxB GlGL ,

AxC CA GLGL * AxCSC (*)

AxC

AxC

GL

SC

ErrorExp

AxC

CM

CM ErrorAxC GlGL ,


66

BxC CB GLGL * BxCSC (*)

BxC

BxC

GL

SC

ErrorExp

BxC

CM

CM ErrorBxC GlGL ,

AxBxC CBA GLGLGL ** AxBxCSC (*)

AxBxC

AxBxC

GL

SC

ErrorExp

AxBxC

CM

CM ErrorAxBxC GlGL ,

Error Exp. sTratamietoTotal GLGL sTratamietoTotal SCSC

ErrorExp

ErrorExp

GL

SC

Total n-1

n

yy

ijs

ijs

2

2

(*) Cálculos definidos antes de la construcción de la ANAVA.

Si 01.0,05.0tablacalc ff : El modelo no es significativo.

Si

:05.0tablafcalcf

El modelo es significativo y se denota al lado del valor de F calculado con un

asterisco (*), indicando que el modelo se explica con un 95% de confiabilidad.

Si

:01.0tablafcalcf

El modelo es altamente significativo y se denota al lado del valor de F calculado

con dos asteriscos (**), indicando que el modelo se explica con un 99% de confiabilidad.

Ejercicio de Diseño experimental en Arreglo Factorial:

Un investigador dedicado a la investigación en Biotecnología Vegetal In vitro está realizando un

protocolo para la propagación masiva de cierta especie de Heliconia; dicho protocolo lo basó en

función de 2 niveles de concentración de auxinas, 2 de citoquininas y 2 de azúcar no refinada.

El diseño a establecer es del tipo arreglo factorial 32 (2x2x2), planteándose 8 tratamientos

provenientes de la combinación de los factores anteriormente mencionados.

La variable medida fue tasa de Supervivencia de Embriones, dado el balance de las sustancias

obteniéndose lo siguiente:

Tratamiento Repeticiones

Auxina Citoquinina Azúcar 1 2 3 4 5 Total


67

1 1 1 16.3 16.6 15.9 16.7 16.9 82.4

1 1 2 15.4 15.5 15.6 11.5 12.3 70.3

1 2 1 14.8 14.3 12.1 11.8 13.5 66.5

1 2 2 12.2 13.3 14.5 16.1 15.4 71.5

2 1 1 13.3 14.5 15.6 15.4 14.8 73.6

2 1 2 14.1 16.4 16.1 15.9 15.8 78.3

2 2 1 17.3 18.4 18.8 17.4 16.3 88.2

2 2 2 12.1 10.1 11.8 12 12.1 58.1

1. Se calcula la suma de cuadrado total:

51.17008.867059.8840

40

)1.12...6.163.16(1.12...6.163.16

2222

Total

Total

SC

SC

2. Se calculan las sumas de cuadrados para cada factor, individualmente:

Para Auxina:

Para Citoquinina:

Para Azúcar:

3. Se calculan las sumas de cuadrados para las interacciones simples (entre pares de factores):

4063.108.867020

)1.582.883.786.73()5.715.663.704.82(.

22

ASC

302.1008.867020

)1.582.885.715.66()3.786.733.704.82(.

22

BSC

406.2608.867020

)1.583.785.713.70()2.886.735.664.82(.

22

CSC


68

Auxina x Citoquinina:

07.2302.104063.108.867010

)1.582.88()3.786.73()5.715.66()3.704.82(.

2222

AxBSC

Auxina x Azúcar:

37.8406.264063.108.867010

)1.583.78()2.886.73()5.713.70()5.664.82(.

2222

AxCSC

Citoquinina x Azúcar:

83.7406.26302.1008.867010

)1.585.71()2.885.66()3.783.70()6.734.82(.

2222

BxCSC

4. Se calcula la suma de cuadrados para la interacción de segundo orden; es decir, la interacción

de los 3 factores bajo investigación:

34.6783.737.807.2406.26302.104063.1

08.86705

1.582.883.786.735.715.663.704.82.

22222222

AxBxCSC

5. Se halla la suma de cuadrado del tratamiento que es la sumatoria de las anteriores sumas de

cuadrados, salvo la suma de cuadrado total:

724.12334.6783.737.807.2406.26302.104063.1. TrataSC

6. Se halla la suma de cuadrado del error experimental, a través de la diferencia entre la suma de

cuadrado total y la suma de cuadrado del tratamiento:

79.46724.12351.170.. ExpErrorSC

7. Se construye el Análisis de Varianza (ANAVA):

ANAVA

FV GL SC CM F calculado F tabla 5% 1%


69

Tratamiento 7 123.724 7.17

7

724.123 12.12

46.1

7.17 **

(7,32)=2.33 3.30

A 1 1.4063 1.4063 96.0

46.1

4063.1

(1,32)=4.17 7.56

B 1 10.302 10.302 06.7

46.1

302.10 *

(1,32)=4.17 7.56

C 1 26.406 26.406 09.18

46.1

406.26 **

(1,32)=4.17 7.56

AxB 1 2.07 2.07 42.1

46.1

07.2

(1,32)=4.17 7.56

AxC 1 8.37 8.37 73.5

46.1

37.8 *

(1,32)=4.17 7.56

BxC 1 7.83 7.83 36.5

46.1

83.7 *

(1,32)=4.17 7.56

AxBxC 1 67.34 67.34 12.46

46.1

34.67 **

(1,32)=4.17 7.56

Error Experimental 39-7=32 46.79 46.1

32

79.46

Total 39 170.51

Interpretación: Existe un efecto altamente significativo para las fuentes de variación “Tratamiento” y

para el factor “Azúcar” y para la interacción de segundo orden; mientras que existe efecto

significativo para la fuente de variación “citoquinina” y las interacciones “Auxina x Azúcar” y

“Citoquinina x Azúcar”.

Referencias

1. BUENO, Eduardo. La Gestión del Conocimiento, Nuevos Perfiles Profesionales. 1999.


70

2. CAMACHO, J. Incubadoras o Viveros de Empresas de Base Tecnologica: La reciente

experiencia europea como referencia para las actuales y futuras iniciativas latinoamericanas.

XII Congreso Latinoamericano sobre Espíritu Empresarial. 1998.

3. HILLER, L.G. INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACION DE OPERACIONES. Mc GRAW HILL,

1995

4. NELSON, R. (ed.) National Innovation Systems. Oxford University Press. Oxford. 1993.

5. MONTGOMERY, Douglas. DESIGN AND ANALYSIS OF EXPERIMENTS. 5TH

EDITION. JOHN

WILEY AND SONS INC, 2001

6. WAISSBLUTH, M. ET AL. Administración de Proyectos de Innovación Tecnológica. Centro

para la Innovación Tecnológica UNAM y Ediciones Gernika. México. 1986.

7. WINSTON, WAYNE. INVESTIGACION DE OPERACIONES, APLICACIONES Y

ALGORITMOS, EDICION, EDITORIAL THOMPSON

8. WRIGHT, Paul. Introducción a la Ingeniería: 2ª Edición, México Limusa.Wiley, 2004


71

CR 5. EL USO DE FICHAS EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS

Geoffrin Ninoska Gallego Cortés


Revisión

Seminario- taller

Correo: [email protected]

RESUMEN: Se propuso una forma de enfrentar situaciones problema en matemáticas a través del

uso de fichas como una herramienta didáctica que permitió a los estudiantes acceder de manera

agradable a la comprensión de problemas. Se tuvo en cuenta las situaciones didácticas de

Brousseau y se crearon espacios de enseñanza para fomentar el hecho de ser solucionadores de

problemas. La interacción constante entre estudiantes, profesores y problemas llevó a mejorar el

análisis, el razonamiento, la autoestima y el uso de capacidades cognitivas.

Descriptores: situaciones problema, fichas didácticas, situaciones didácticas, capacidades

cognitivas.

La solución de problemas

La solución de problemas es determinada por la Organización para la Cooperación y el desarrollo

económico (OCDE) como un proceso cognitivo fundamental para ser competente en el área de

matemáticas.

El área de matemáticas es vista como una disciplina de conocimiento necesaria para el desarrollo

cognitivo del ser humano. Por esta razón, todo proceso realizado por mejorar la calidad de su

enseñanza es significativo.

Dentro del área de conocimiento de la matemática se encuentra implicado un aspecto primordial en

su desarrollo histórico, la resolución de problemas matemáticos.

Un problema es asumido desde diferentes puntos de vista, desde lo filosófico se asume como

“toda dificultad u obstáculo. Es todo lo que se opone a la realización de mis deseos o de mis fines”

(Gómez M.1998), desde lo sociológico es “el quiebre o bloqueo a la acción de un individuo grupo u

organización que desea hacer algo pero desconoce el curso de la acción necesaria para lograr lo

deseado” (Santos 2007), desde lo sicológico son las funciones alteradas referente a las reglas,

pues estas controlan el comportamiento humano (Schilenger 1990).


72

Resolver problemas es parte de la naturaleza de todo ser humano, es una capacidad propia de su

desenvolvimiento en el mundo, nacemos resolviendo problemas de todo tipo, pero ante la

enseñanza de problemas matemáticos se asume un nivel de dificultad más alto. Según Kantowski

(1977) un problema matemático es una pregunta que el alumno no sabe responder o una situación

que es incapaz de resolver usando los conocimientos que tiene inmediatamente disponibles.

La resolución de problemas fortalece el desarrollo del pensamiento lógico matemático y estimula la

producción de neurotransmisores en el cerebro, nuestro cerebro es fundamental al enfrentar

situaciones de orden cognitivo. Ante una situación problema se activan en el cerebro una serie de

neurotransmisores como las endorfinas y las catecolaminas, igualmente funcionan las frecuencias

de onda alfa y beta, la zona parietotemporal inicia un camino hacia el pensamiento, varias zonas

del cerebro se activan, se puede ver como “La topografía cerebral de la aritmética, aunque

incompleta todavía, nos permite afirmar, por ejemplo, que el sentido numérico se asocia al lóbulo

parietal inferior y que la resolución de cualquier tarea aritmética, por simple que sea, no supone la

activación de una única área cerebral, sino la participación de varias áreas que, formando partes

de distintos circuitos, constituyen el sustrato neuronal de los distintos procesos cognitivos

elementales que conforman esa tarea.” (Alonso y Fuentes, 2001).

Usar una mayor capacidad cerebral implica hacer consciencia de la cantidad de información que

ingresa a nuestro cerebro por segundo, cuando existe una situación problema se tiene conciencia

de solo 2000 bits por segundo, el resto 398.000 millones no se alcanzan a percibir; tan solo

guardamos en la memoria 200 de esos bits, pero cuando se entiende y se comprende lo que se

está aprendiendo se activan más zonas cerebrales, también, se ha visto que la activación de estas

zonas es mayor cuando se usa material didáctico.

La neurociencia ha venido mostrando que el sistema límbico está vinculado directamente con las

emociones (positivas y negativas), con la memoria y con los procesos de aprendizaje. Cuando se

aprende, se pueden llegar a asociar emociones negativas referentes al tema que se está

aprendiendo, esto obstaculiza su aprehensión, pero también, se pueden producir emociones

positivas que llegan a hacer pensar en querer saber, y sentir placer al momento de aprender o

solucionar una situación problema.

Las situaciones problema en matemáticas no han sido las que generen mayor agrado a un alto

porcentaje de estudiantes, sin embargo, se conocen matemáticos que se dedican durante años a

resolver un solo problema (Por ejemplo Grigori Perelman). Para que una persona sienta placer por

aprender deben estimularse sus emociones, sus sentidos, sus deseos. El material didáctico como

recurso permite al profesor crear un medio sugestivo, donde se produzcan sensaciones de agrado

o interés hacia el tema que se está enseñando.


73

Las fichas problema, un material didáctico

Una ficha problema es un formato escrito que le permite al estudiante tener una organización

mental para enfrentar en forma individual o grupal la lectura y solución de una situación

problema.19

Las fichas pueden ser creadas, a) Por el profesor para presentar a sus estudiantes diferentes tipos

de problemas de manera sugestiva gracias al color, a las imágenes y a los espacios de trabajo

dentro de ella, b) Por los estudiantes para dar a otros compañeros las mismas posibilidades, c) Por

el profesor en forma secuencial para presentar una historia enmarcada en diferentes contextos

problémicos.

Las fichas problema están formadas por cuatro sesiones, una donde se escribe el problema que se

desea presentar, dos, la sesión donde se presenta un dibujo que hace alusión directa a la

situación, tres, la sesión de comprensión de lectura donde se hacen dos o tres preguntas para que

el estudiante responda y logre comprender mejor el problema, cuatro, la sesión donde el estudiante

organiza los datos dados y resuelve la situación problema.

19 Se aclara que una primera versión de la definición de ficha problema aparece en el artículo de la

revista Internacional Magisterio Junio -2009 “niños y niñas solucionadores de problemas matemáticos”

1. Nelson tenía 4.356 caracoles en su maleta, luego de perder la tercera parte,

logro conseguir el doble de caracoles de lo que le había quedado ¿Cuántos

caracoles logró tener en su maleta?

Nelson quiere pintar un triangulo en el cielo cuyos lados midan respectivamente 5,6

metros, 3,2 metros y 4,07 metros. Para pintar cada metro Nelson debe usar 6 bolas de

pintura, ¿cuántas bolas de pintura necesita tener para pintar el triángulo en el cielo?

2 3. Datos y solución


74

El uso de fichas problema en la clase

La presentación de problemas matemáticos en forma lineal y rígida es lo tradicional en los libros de

texto. Entre más problemas tenga el libro para resolver mejor catalogado esta por padres de familia

y por gran parte de profesores. Enviar como tarea para la casa la solución de 50 o quizás 100 de

estos problemas es parte del proceso de enseñanza de esta asignatura. Pero, ¿sienten agrado los

estudiantes resolviendo estos 100, 80 o 30 problemas?

Para que los estudiantes sientan agrado al resolver situaciones problema en matemáticas e inicien

su formación como solucionadores de problemas es necesario presentar estas situaciones de

manera agradable, posibilitando así algún tipo de sensación.

Las sensaciones son producidas gracias al color, las márgenes, el dibujo, y en muchas ocasiones

la entonación que use el profesor o los estudiantes para leer en voz alta el problema. Los

problemas matemáticos se presentan entonces de manera armónica y llamativa al igual que lo

hace una revista de historietas o un libro de cuentos infantiles. El trabajo con fichas promueve la

comprensión de lectura, la organización, la interacción con el otro, la autoestima, la comparación,

la argumentación, el razonamiento y la validación como parte de la complementación de las

situaciones didácticas al interior de la clase.

Las fichas problema se convierten en un apoyo para el profesor y para los estudiantes. Siempre

deben ser creadas a partir de un contexto próximo al estudiante, es importante que el profesor use

una primera presentación con márgenes de color, dibujos llamativos con color y los espacios de la

hoja bien distribuidos. La redacción de la situación debe ser clara y las preguntas de comprensión

3. ¿Qué quiere hacer Nelson?

¿Cuántas bolas de pintura usa en cada

metro?

¿Qué operación crees que te ayude a

solucionar el problema?


75

deben ser coherentes con el problema dándole al lector la posibilidad de entender mejor el

problema.

Para el uso de las fichas en la clase de matemáticas se recomiendan tres pasos 1) Leer en voz alta

y dar solución a las preguntas de comprensión, 2) realizar el dibujo u observar la representación

del mismo 3) Hacer una propuesta de solución, esto lo llevará a confiar en su supuesto para que

sea sometido a validación con el grupo de trabajo y con su acompañante en este caso, el profesor.

El profesor desempeña una importante función para guiar el proceso de reflexión durante la

presentación del trabajo, para que los estudiantes identifiquen dónde puede haber error y por qué,

así como para llegar a las conclusiones necesarias luego de resolver los problemas propuestos en

las fichas. El profesor puede exigir límites de tiempo a medida que los estudiantes van adquiriendo

habilidad para ser solucionadores de problemas matemáticos.

Estas actividades articuladas por el profesor y con una intención explícita, constituyen en su

totalidad una situación didáctica. Para Brousseau, una situación didáctica es un conjunto de

relaciones explícita y/o implícitamente establecidas entre un estudiante o un grupo de estudiantes,

algún entorno (que puede incluir instrumentos o materiales) y el profesor, con un fin, el de permitir

a los estudiantes aprender -esto es, reconstruir- algún conocimiento. Las situaciones son

específicas del mismo. Brousseau distingue 4 situaciones didácticas: a) de acción (interacción

entre los estudiantes y el medio físico) b) de formulación (comunicación de informaciones entre

estudiantes) c) de validación (convencer de la validez de las afirmaciones) d) de institucionalización

(establecer convenciones sociales).

Según la teoría de las situaciones didácticas de Brousseau, el aprendizaje en matemática se

adquiere a través de saltos y no de forma continua y son precisamente los obstáculos quienes se

oponen a tales saltos (Sierpinska, 1992), cuando Sierpinska se refiere a obstáculos hace relación

a: “el efecto limitativo de un sistema de conceptos sobre el desarrollo del pensamiento, que

impiden que un modo de pensamiento pre-científico conciba asimismo el enfoque científico”. Las

fichas problema pueden tener efectos limitativos partiendo de la comprensión de lectura que realiza

el estudiante o el lector del problema matemático.

Las cuatro etapas de la teoría de las situaciones didácticas (acción, formulación, validación, e

institucionalización) hacen parte fundamental del trabajo con las fichas, pues el profesor crea un

entorno, un ambiente de aprendizaje de tal forma que el estudiante conforme su estructura de

conocimiento. Las fichas se convierten entonces en parte de ese ambiente siendo una herramienta

didáctica.


76

Fortalecer ese ambiente crea espacios de enseñanza significativos y situaciones significativas

dentro del aprendizaje de las matemáticas que permiten obtener aprendizajes significativos para

que el estudiante logre avanzar en sus procesos de pensamiento, las preguntas que él profesor

elabore durante los espacios de clase son una pauta importante para el desarrollo de los

conocimientos propuestos. Se debe dar espacio a los estudiantes para hablar, pues las

capacidades de habla y escucha se fortalecen en los estudiantes cuando tienen múltiples

oportunidades de participar en situaciones en las que hacen uso de la palabra con diversas

intenciones:20

Narrar.

Dialogar y conversar.

Explicar.

Cuando los estudiantes hacen un trabajo colaborativo a partir de la resolución de situaciones

problema entonces se ponen en condición de compartir y de aprender lo que hicieron, el sistema

límbico se activa en forma placentera gracias a la música y a la parte visual de las fichas dadas por

el profesor, los dibujos y la forma de presentar los diferentes tipos de problemas hace que los

estudiantes tengan un sentimiento de agrado por la solución de estos problemas.

La solución de problemas es una de las competencias que produce más acciones de pensamiento

creativo en los estudiantes, desde la solución de situaciones problema se mejora la capacidad de

análisis, de juicio crítico, de razonamiento critico, de configuración de conductas, y del lenguaje, y

por lo tanto la transformación que ocurre para desarrollar un espíritu científico en los estudiantes.

En el desarrollo de este espíritu científico es necesario tener en cuenta las palabras de Bachelard

(2004) cuando expresa que existe una gran distancia entre lo impreso, lo leído, lo comprendido, lo

asimilado y lo retenido, aquí se ve una vez más la necesidad inmersa de las preguntas de

comprensión, de las representaciones, de las explicaciones de los estudiantes al solucionar un

problema y del uso significativo que tienen las fichas en la solución de situaciones problema.

20 .Vigotski pensamiento y lenguaje. En Revista magisterio Junio 2009.”niños y niñas solucionadores de problemas matemáticos”


77

CR 6. CACHARREANDO DESDE LAS CIENCIAS BÁSICAS CON NIÑOS Y JÓVENES PARA SU

FUTURO PROFESIONAL

Alexander Cardona Naranjo

Químico

Universidad del Quindío

Director y autor del proyecto Semillero Infantil y Juvenil Universitario

Presidente y representante legal de la Fundación SUNIV

Manuel Alonso Loaiza García

Tecnólogo en Electrónica

Universidad del Quindío.

Estudiante del programa de ingeniería electrónica de la Universidad del Quindío.

Líder en Innovación y desarrollos tecnológicos del proyecto Semillero Infantil y Juvenil

Universitario.

RESUMEN: Es un proyecto educativo bajo la política de extensión y proyección de la Universidad

del Quindío, en el sistema de educación para el Trabajo y el Desarrollo Humano que se ofrece a

través de la Facultad de Ciencias Básicas y Tecnologías, en el cual los niños, niñas y jóvenes

despiertan el interés por cualquiera de las diferentes opciones académicas de pregrado que ofrece

esta Universidad, orientándolos desde temprana edad hacia un proyecto de vida profesional o

tecnológica, utilizando como elementos principales la educación lúdica, la recreación y la práctica

en laboratorios, la interactividad con la comunidad universitaria entre otros, basados en el modelo

de la pedagogía constructivista y las herramientas que provee el aprendizaje significativo y las

inteligencias múltiples.

Nuestro proyecto educativo se identifica bajo la siguiente Misión y Visión:

MISION: El Semillero Infantil y Juvenil Universitario genera procesos educativos en niños, niñas y

jóvenes en diferentes áreas del conocimiento a través de la educación constructivista con practicas

participativas que les permitan desarrollar su vocación con nuevas estrategias de aprendizaje;

encaminado a formar sujetos comprometidos con la construcción de una mejor sociedad.

VISION: El Semillero Infantil y Juvenil Universitario para el año 2015 será reconocido como una

Institución de educación para el trabajo y desarrollo humano a nivel local, regional y nacional por

su orientación pedagógica a través del desarrollo humanístico para hacer de la educación algo

nuevo y renovado.


78

El fin principal de la ponencia es intercambiar conocimientos y contar la experiencia de

“Educación en Ciencias Básicas” que a lo largo de 2.5 años se han tenido con los procesos y

transformaciones que ha sufrido el Semillero en los infantes y adolescentes del departamento del

Quindío partiendo desde las ciencias básicas pasando por las TICs, los idiomas hasta llegar hasta

los saberes de las ciencias aplicadas que se imparten en las siete facultades de la Universidad del

Quindío. Basado en el enfoque pedagógico y filosófico del Constructivismo social, el aprendizaje

significativo, las inteligencias múltiples y fusionando elementos de las metodologías Waldorf y Orff.


79

CR7. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS UTILIZANDO TÉCNICAS DE LÓGICA

Marino Villegas Sepulveda

Docente

Semillero MASTEL

Fundación Universitaria CIDCA


Gustavo Duque Nieto

Estudiante

Semillero MASTEL


José Mauricio Restrepo Franco

Estudiante

Semillero MASTEL


"Una de las características de los problemas de matemática que enfrentan los olímpicos es que

tienen un bajo contenido de conocimientos matemáticos y un alto componente de ingenio y

razonamiento". (Dra. Flora Gutiérrez, entrenadora del equipo argentino)

FUNDAMENTACION

El presente proyecto se llevará a cabo en el contexto de Propuesta de Ingreso y Seguimiento de la

Facultad de Ntics de la Universidad cidca, a través del Servicio de Asesoría y Tutoría de la materia

Matemática Básica, en coordinación con el docente responsable de la cátedra matemáticas y

física. Lic. Marino Villegas Sepúlveda.

Continuando con el programa de apoyo pedagógico a los alumnos ingresantes y a las cátedras, se

propone el taller denominado “Resolución de Problemas utilizando técnicas de lógica” destinado a

los alumnos que cursan el primer año y manifiestan dificultades en las materias que trabajan con

conocimientos matemáticos, dificultades vinculadas con el razonamiento lógico, lo que se puede

comprobar en la ejecución de sus trabajos prácticos.

Se propone la experiencia de taller con los educandos, la realización de resolución de

problemas de ingenio, acertijos o rompecabezas como una manera de invitar al estudiante al


80

proceso de razonamiento lógico-conceptual por medio de la inducción. Desde este ejercicio se

pretende que el alumno cuente con material para resolver los problemas planteados en las

materias y que además conozca cual es la manera en que él opera para llegar a la solución.

Machado (1) nos dice “Es importante que conozcamos nuestros pensamientos, pero lo es más el

que conozcamos la manera de llegar a ellos”.

Esta propuesta de actividades también se sugerirá a los docentes para que los mismos la apliquen

en la medida de lo posible en sus clases.

Se piensa que los acertijos y juegos de ingenio pueden servir para infundir el entusiasmo inicial

necesario para un buen comienzo. Dichos problemas deberán ser progresivamente cambiados por

los específicos de la materia de modo que, en un momento dado, la totalidad de los mismos

consista en los problemas del curso normal.

Se pondrá énfasis en que si se mide la capacidad de resolver problemas por la aptitud que posee

una persona para relacionar conceptos diversos (datos) para llegar a un nuevo concepto

(incógnita) generado a partir de los primeros, se podría aumentar dicha capacidad aumentando la

agilidad para relacionar. ¿Cómo?, simplemente entrenando al individuo en la actividad propuesta,

empezando con problemas que no requieran mayores conocimientos especializados, salvo los que

provee un buen sentido común y comprensión lectora.

MARCO TEÓRICO

En Didáctica de la Matemática se considera problema a una situación que plantea un obstáculo al

estudiante, un desafío que moviliza ideas y pensamientos para su resolución. A partir de esta

caracterización se pueden incluir distintos tipos de problemas. Uno de estos tipos es aquél cuya

estructura no cuenta con enunciados clásicos. Son situaciones que comparten con los enunciados

el tratamiento de datos y la búsqueda de una solución, pero en los que el soporte principal puede

ser un juego, una búsqueda por prueba y error, etc. Desde esta perspectiva se tiene en cuenta que

el abordaje de un conocimiento se puede aprender a través de la resolución de un problema en los

que esté presente una noción, concepto o algoritmo como herramienta por medio de la cual se

puede resolver la situación.

Se trata de poner en el centro de la actividad del taller, el análisis de la información como objeto de

estudio y que los alumnos logren, desde la inclusión de las nociones matemáticas, resolver

problemas. La utilización de estas herramientas en la resolución permitirá construir el sentido de lo

que están aprendiendo.


81

Para aprender a través de la resolución de problemas es necesario comprender y para a esto hay

que acceder al significado de los conocimientos y establecer relaciones de distinto tipo: a) entre los

conocimientos y procedimientos de la Matemática y las demás disciplinas, b) entre los conceptos,

significados y representaciones del mundo real, c) entre los conocimientos previos y los nuevos por

aprender y d) entre sus propios pensamientos y el de sus pares.

El aprendiz construye y se apropia del conocimiento a través de acciones que le permiten resolver

el problema, no por la simple acumulación de conocimientos. Debe desarrollar competencias que

le permitan poner a prueba los resultados, comparar distintos caminos, elegir una estrategia y

confrontar, desarrollando de este modo el sentido crítico y la creatividad.

La tarea del docente en este espacio será el de generar un ambiente de trabajo que estimule a los

alumnos a crear, comparar, discutir, rever o ampliar ideas, alentando la cooperación entre los

participantes y la suya con ellos, a través de la orientación, la consulta, motivación y contención.

OBJETIVO GENERAL: Desarrollar habilidades interpretativas para entender los problemas y como

solucionarlos, teniendo en cuenta para ello el conocimiento estratégico, el conocimiento semántico

y el conocimiento algorítmico.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: Que el alumno logre:

Trabajar la información presentada, organizándola y evaluándola para tomar decisiones.

En dicho proceso, incluir nociones matemáticas como herramientas para resolver

problemas.

Construir y apropiarse del conocimiento a través de acciones y, a partir de allí, lograr que

estos conceptos se transformen en objeto de reflexión.

Desarrollar habilidades que le permitan razonar lógica, crítica y objetivamente.

Llevarlos a entender que la lógica debe llegar más allá de la simple conceptualización

mecánica, alcanzando campos de análisis y síntesis.

Ampliar la precisión en la expresión verbal, familiaridad con el lenguaje lógico y las

expresiones simbólicas.

La actividades de investigación y resolución de problemas han arrojado que existen

grandes deficiencias en lo que respecta al manejo de la lógica de carácter formal o de

sentido común, en el cuál se debe preparar mejor y capacitar a los estudiantes, es por eso

que lo presentamos hoy es muestra de cómo se puede entrenarse en este campo.


82

Los habilidades que deben ser desarrolladas para el conocimiento estratégico son

(Observación, atención, concentración, precepción, discriminación visual, creatividad,

coordinación motriz, juicio y raciocino); las actividades que ayudan a este proceso son:

Rompecabezas, poliominós, cubo de soma, laberintos, tangram, organización de puntos y

clasificación, entre otros.

Mientras que el conocimiento semántico hace referencia al significado y dominio de los

conceptos de allí el énfasis que se hace para la interpretación de texto, al leer los

enunciados de los problemas, entre las habilidades se tienen (Procesos de análisis y

síntesis, seguimiento de instrucciones, pensamiento divergente, relaciones lógicas,

abstracción, manejo de hipótesis, y la deducción); para ello se ha utilizado como

herramienta fundamental los acertijos lógicos.

En lo referente a lo algorítmico se trabaja primordialmente para el dominio de las

operaciones básicas que le permiten organizar el conocimiento matemático de tal forma

que agrupe las estructuras mentales, las habilidades que se manejan son (Cálculo

numérico, agilidad mental, reversibilidad, seriaciones, inferencias, jerarquización,

lateralidad, pre saberes de números fraccionarios); como herramienta están los sudokus,

los kakuros, cuadrados mágicos, series numéricas, criptogramas.

ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. Problemas de lógica

2. Acertijos Matemáticos

3. Construcciones numéricas

4. Paradojas matemáticas.

5. Sudokus y kakuros

6. Programa Enriquecimiento Instrumental.

7. Entre o otros.

Referencias

1. Davis, G.A. y Scott, J. A.: “Estrategias para la creatividad”. Paidós. 1975.

2. Machado, L. A.: “La revolución de la inteligencia”. Seix Barral, Barcelona. 1975.

3. Polya, G.: “Mathematical Discovery. On understanding, learning, and teaching problem

solving”. John Wiley

4. & Sons, Inc. 1967.

5. Platón: “Diálogos”. Ediciones Ibéricas. Madrid. (Capitulo correspondiente al “Menón”).

6. Revista Zona Educativa. Mayo 1998


83

7. Parra, C. y Saiz, Irma: Didáctica de las matemáticas. Aportes y Reflexiones. Paidos. Buenos

Aires. 1.994.

8. Lamar, Antonio. “Juegos mentales”. Editorial Selector. México. 2002.

9. Smullyan, Raymond. “¿La dama o el tigre?”.

10. Barceló Aspeitia, Axel Arturo. “Más aventuras en la isla de los caballeros y villanos”. Acertijo

lógico en honor a José Antonio Robles.

11. Roldán Calzado, Juan Luis. “Las matemáticas no dan más que problemas”. Publicado por Lulu

Press Inc. 2007.

12. Perelman, Yakov. “Problemas y experiencias recreativas. Preparado por: Patricio Barros y

Antonio Bravo.

13. E.I.Ignátiev. “En el reino del ingenio” Preparado por: Patricio Barros y Antonio Bravo.


84

CR 9. DISEÑO DE GUIDES DE MATLAB COMO APOYOS PARA EL APRENDIZAJE DE LAS

MATEMÁTICAS

Juan Carlos Molina G

Matemático U. Nacional y Magister en Educación

Investigador y colíder del Grupo Da Vinci. ITM

Docente TC Facultad de Ciencias

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

Grupos Da Vinci y Gritad, Instituto Tecnológico Metropolitano, Facultad de Ciencias

[email protected]

Iliana María Ramírez

Física de la Universidad de Antioquia y Especialista. Docencia universitaria.

Investigadora de los Grupo Da Vinci.y y Gritad. ITM

Docente TC Facultad de Ciencias,


[email protected]

Jairo Madrigal A

Físico de la Universidad de Antioquia . Investigador del Grupo Gritad ITM

Docente TC Facultad de Ciencias


[email protected]

RESUMEN: En la actualidad los proyectos educativos y el diseño de estrategias de enseñanza en

el área de ciencias básicas que se apoyan en las herramientas informáticas, se sustentan en el

conocimiento que hoy se tiene de los procesos de aprendizaje y en particular los relacionados con

el área computacional, incluyendo específicamente los ambientes gráficos que pueden servir de

base para que el estudiante viva experiencias que faciliten el desarrollo del pensamiento científico.

Dichos entornos gráficos como mediadores en el aula de clase, pueden ser de gran utilidad para el

incremento de las habilidades cognitivas en la comprensión de diversas relaciones matemáticas, ya

que permiten de una manera práctica la activación de esquemas a partir de conocimientos previos

y del contraste de resultados. En esta perspectiva, los ambientes de aprendizaje demandan cada

vez más de herramientas gráficas que permitan la programación y simulación de procedimientos en

los que se incluyen resultados y operaciones matemáticas, además de otros procesos orientados a

desarrollar la capacidad de razonamiento lógico, sin contar con la motivación que puede generar

en los estudiantes. Como respuesta a estos requerimientos, surgen, entre otras herramientas, las





85

interfaces gráficas de usuario GUI, que es un entorno de programación visual que ofrece Matlab

para el diseño y ejecución de programas de simulación.

Objetivo:

Integrar las estructuras básicas de programación en Matlab en el diseño de interfaces gráficas de

usuario GUIDE para la modelación, solución y simulación de problemas en contexto.

Metodología:

Dado que el cursillo es teórico práctico, la metodología se basa en exposiciones cortas

complementadas con la práctica directa del participante de acuerdo al siguiente orden:

1. Explicación por parte del docente del ambiente Matlab, comandos, secuencias y sintaxis de las

estructuras básicas.

2. Práctica del estudiante

a) Contraste de resultados sobre interfaces prediseñadas.

b) Diseño de aplicaciones

Resultados. Motivación de los participantes hacia el diseño de interfaces gráficas de usuario como

recursos didácticos que permiten mejorar los procesos de comprensión de conceptos propios del

área de matemáticas.

Referencias.

1. Alvarez R. Yolanda y Diaz L. Gloria M. (2007) Funciones reales con MatLab. Serie Textos

Académicos Instituto Tecnológico Metropolitano.

2. Arboleda Q. Dairon. Alvarez J. Rafael. (2006). MatLab Aplicaciones a las matemáticas

básicas. Sello Editorial Universidad de Medellín.

3. Barragán G. D. (2006). Manual de interfaz gráfica de usuario en Matlab, Parte I Recuperado el

17 de septiembre de 2009, de Matlab Central:

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/12122

4. Baez Lopez.David. (2006) Matlab con aplicaciones a la ingeniería, física y finanzas. Alfaomega.

5. Esqueda E. Jose Jaime. (2002) Interfaces Gráficas en Matlab. Instituto Tecnológico de la

ciudad de Madero.

6. Fernandez de Cordoba Martos Gonzalo. (2007) Creación de interfaces gráficas de

usuario(GUI) con Matlab.

7. Molina G. J. (2009). „ Recursos didácticos con Matlab: Interfaz gráfica de usuario para

caracterizar curvas en el espacio tridimensional ‟. En Tecno Lógicas edición especial. Instituto

Tecnológico Metropolitano – ITM - . Medellín. Págs. 71-84.

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/12122


86

8. Pratap R, (2006). Getting Started With MatLab 7. A Quick introduction for Scientists and

Egineers. New York- Oxford University Press.

9. Stewart J. (2008). Cálculo trascendentes tempranas (Sexta ed). Mexico, Cengage Learning.

10. The Mathworks Inc. (2004), Creating Graphical User Interfaces, version 7


87

CR 10. USO DE HERRAMIENTAS VIRTUALES EN LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA

FISICA

Luis Felipe Castañeda Gallego

Ingeniero Industrial y candidato a

Magister en Ciencias (Física)

Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales

Especialista en Docencia Universitaria

Universidad de Caldas

Docente TC Facultad de Ingeniería

Universidad La Gran Colombia Seccional Armenia

Líder del semillero de investigación “Software libre y simulación”

[email protected]

Sebastián Álvarez Vargas

Estudiante de Ingeniería de Sistemas


Integrante del semillero de investigación “Software libre y simulación”

[email protected]

Johan Farley Navarrete Sánchez




[email protected]

Julián Andrés Vela Salazar




[email protected].

RESUMEN: La enseñanza de los conocimientos teóricos en el área de física es un problema que

preocupa cada vez más a las instituciones universitarias, debido a los altos porcentajes de

respuestas erróneas de los estudiantes a cuestiones teóricas que exigen no sólo la repetición de la

teoría impartida en clase sino la aplicación creativa de dichos conocimientos (preguntas


88

inteligentes) [1]. Sin embargo, estas demandas de cambio de metodología no han sido

consideradas al nivel que les corresponde por el colectivo de profesionales que se dedican a la

enseñanza de la disciplina [1].

Por otra parte, la actitud de los estudiantes hacia la física está muy lejos de las expectativas que

los profesionales en el área tienen de la misma como una actividad abierta, que supone

enfrentarse a problemas de interés y que es clave en el desarrollo científico-técnico

contemporáneo. Numerosos estudiantes opinan que la física es una asignatura difícil que no

compensa estudiar y muestran un bajo nivel de motivación hacia su estudio.

Tanto la actitud de los estudiantes como la falta de acción de los académicos conllevan a que se

presenten discrepancias entre los objetivos marcados en los planes de aula de de la asignatura y

el aprendizaje logrado por los estudiantes. Un síntoma de este problema son los bajos promedios

presentados en las notas de los estudiantes tanto de ingeniería de sistemas, como en ingeniería

agroindustrial y los problemas presentes en materias superiores que requieren de conocimientos

previos en el área de física.

En los últimos veinticinco años, físicos de diferentes países han venido contribuyendo al

crecimiento de un nuevo campo de investigación: el del aprendizaje y la enseñanza de la física.

Los resultados de esta investigación sugieren la presencia de diferentes factores que influyen en la

enseñanza de la Física y que hace que esta tarea sea compleja. De esta forma se rechaza una

concepción simplista de la enseñanza de la física que la considera una tarea sencilla que

consistiría en dominar los contenidos operativos y los temas tratados.

Por el contrario, los resultados que ya hoy en día son admitidos por la comunidad internacional de

profesores de física indican que la tarea a desarrollar y los problemas a afrontar son lo

suficientemente complejos como para constituir un campo propio de investigación. En este sentido,

relacionar la práctica docente con la investigación, supone aceptar explícitamente la existencia de

problemas en la enseñanza de la física, lo que favorece la educación de una mentalidad abierta,

una actitud reflexiva y una capacidad de autoanálisis y autocrítica.

Las investigaciones en enseñanza de la física hacen posible avanzar hacia el cuestionamiento de

visiones, muchas veces desalentadoras o derrotistas, que suelen ser aceptadas como obvias e

inevitables en el nivel universitario. El ejemplo más común que se puede tomar, es la excusa dada

por la mayoría de profesores universitarios acerca de los malos resultados obtenidos en el primer

curso de física, la cual plantea que la mala preparación recibida por el estudiante en la educación

media, es la responsable de los deficientes resultados obtenidos en la educación superior, pero

esta hipótesis es desvirtuada por el hecho de que los malos resultados también se observan en

cursos posteriores de física a pesar de que el estudiante en esta etapa ya tiene un mayor bagaje,

adquirido en el primer semestre de universidad.

Otra de las evidencias que aporta la didáctica de la física, es la insuficiencia de los “cursos

tradicionales‟ en primer ciclo de universidad para permitir a los estudiantes una comprensión de los

conceptos básicos y que está relacionada con el gran fracaso académico que se detecta. Los


89

estudiantes necesitan practicar diferentes características de la metodología científica como: hacer

preguntas apropiadas en un análisis cualitativo de una situación problemática, hacer predicciones,

diseñar la experimentación, recoger y analizar datos, identificar resultados y comunicar los

resultados a los compañeros.

En definitiva, todas las investigaciones mencionadas han conducido a cambiar el punto de vista

sobre la enseñanza. Es por esto que los fenómenos físicos deben ser ilustrativos de tal manera

que el estudiante observe el proceso, así su memoria no debe aprehender una lista de formulas

asociadas al fenómeno si no que el proceso de observación le permitirá asimilar mejor los

conceptos, por ejemplo si a un estudiante se le enseña péndulo simple, tras un desarrollo

matemático se obtiene el periodo del péndulo, luego al preguntarle al estudiante si el periodo del

péndulo depende del la masa de este, el estudiante responderá que si, a pesar de que la formula

no contenga la cantidad masa, esto es debido a que su sentido común le dice que debe depender

también de la masa, ahora bien, si el estudiante realiza el proceso de modificar la masa del

péndulo y tomar el periodo para cada masa diferente encontrará que el periodo no varía llegando

así a una conclusión correcta y afianzado los conocimientos impartidos en la teoría. Entonces se

hace clara la necesidad del uso de una metodología científica en la adquisición del conocimiento

por parte del estudiante pero esto también implica el desarrollo de prácticas de laboratorio que

permitan realizar la comprobación experimental de los fenómenos físicos.

Pero la construcción y el desarrollo de montajes experimentales acarrean altos costos además el

no control de las condiciones ambientales conllevan a obtener en algunas ocasiones datos errados

que sobrellevan a conclusiones erróneas o a confundir al estudiante, es por esto que se piensa

como alternativa a un laboratorio tradicional, el desarrollo de laboratorios virtuales que permitan

simular fenómenos físicos, controlar y modificar variables, observar el montaje experimental, ver

gráficamente la respuesta del fenómeno, todo esto con un modelo matemático de trasfondo y

mostrando el fenómeno simulado de forma interactiva.

Objetivo.

Fomentar el uso de herramientas virtuales en el proceso de enseñanzaaprendizaje

de la física experimental en estudiantes de ingeniería y ciencias.

Metodología.

Cursillo teórico práctico de 2 horas.

1. Explicación por parte del instructor de los comandos, secuencias y sintaxis de las estructuras

básicas.

2. Práctica del estudiante

a) Contraste de resultados.

b) Diseño de aplicaciones.


90

CR 11. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE MATERIAL INTERACTIVO CON GEOGEBRA PARA

IMPACTAR EN EL APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA, ALGEBRA Y CÁLCULO DIFERENCIAL

Elkin Alberto Castrillón Jiménez

Docente

Facultad de Ciencias Básicas

Instituto Tecnológico Metropolitano

[email protected]

RESUMEN: Los modelos didácticos que desarrollan conceptos científicos son un medio tradicional

de explicación y comunicación docente. Con ellos se busca motivar al estudiante para que deduzca

propiedades y con los sistemas interactivos de simulación actuales le permiten elaborar modelos

pedagógicos de intervención en los que el aprendizaje significativo se manifiesta de manera

natural, surgiendo espontáneamente la conexión de la labor descubridora e investigadora.

Palabras Clave: gestión pedagógica, mediador virtual, formas simbólicas

Objetivos.

Mostrar la importancia de la visualización en Matemáticas como ayuda al desarrollo del

pensamiento matemático mediante el uso de ayudas interactivas mediada por las TIC´s en los

procesos formativos de las ciencias.

Estimular al docente a la creación de nuevo material de apoyo para que sus clases sean mucho

más amenas e incentiven al estudiante a estimular el proceso de descubrimiento y construcción de

las nociones, la experimentación y la visualización permiten reorganizar el pensamiento

matemático, elaborar más fácilmente conjeturas que promuevan la investigación y construcción de

conocimiento.

Metodología. Utilizamos el software libre GeoGebra.

Resultados.

La enseñanza actual de las matemáticas está centrada en el profesor y en la habilidad que él tenga

para hacer representaciones gráficas en el tablero. Si bien estas representaciones son didácticas y

contribuyen al aprendizaje su carácter estático no permite la flexibilidad suficiente para que las

condiciones cambien y los estudiantes puedan observar lo que ocurre y las relaciones que se

establecen al variar ciertos parámetros.



91

Conclusiones

Es necesario recomponer, con todos los medios, la idea arraigada en nuestra sociedad,

procedente desde la niñez, de que la matemática es aburrida, inhumana y muy difícil.

Referencias

1. Cassirer, E., 1998. Filosofía de las formas simbólicas. El lenguaje. México. Editorial Efe.

2. Herrera Restrepo, D., 1986. Hombre y filosofía. En: escritos sobre fenomenología. Bogotá.

USTA; páginas 121-122.

3. Vargas Guillen, G., 2003. Filosofía, pedagogía, tecnología. Investigaciones de epistemología

de la pedagogía y filosofía de la educación. Colombia. Alejandría Libros.


92

CR 13. UN ACERCAMIENTO A LA VISUALIZACIÓN EN MATEMÁTICAS CON AYUDA DE LA

GEOMETRÍA DINÁMICA

Francisco Javier Córdoba Gómez

Profesor de Matemáticas Instituto Tecnológico Metropolitano, Medellín.

Ingeniero de Minas y Metalurgia, Universidad Nacional de Colombia, Medellín

Magíster en Educación, Pontificia Universidad Javeriana, Bogotá.

Estudiante Maestría en Educación Matemática (on-line), Instituto Politécnico Nacional, México

RESUMEN: ¿Cómo lograr un aprendizaje significativo de las Matemática en general y de la

Geometría y el Cálculo Diferencial en particular con el uso de herramientas informáticas y

desarrollar al mismo tiempo habilidades de razonamiento analítico, argumentativo y propositivo que

estructuren mejores procesos mentales en los estudiantes? Esta es tal vez una pregunta frecuente,

cuya respuesta es compleja, que se hacen los profesores de Matemáticas.

La enseñanza actual de la Geometría y de algunos temas del Cálculo Diferencial está centrada en

el profesor y en la habilidad que él tenga para hacer representaciones gráficas en el tablero. Si

bien estas representaciones son didácticas y contribuyen al aprendizaje su carácter estático no

permite la flexibilidad suficiente para que las condiciones cambien y los estudiantes puedan

observar lo que ocurre y las relaciones que se establecen al variar ciertos parámetros.

Cualquier propuesta que se precie de ser efectiva para la enseñanza de la Geometría, debe

considerar que el vínculo entre la visualización, la experimentación, el razonamiento lógico, la

argumentación (comunicación matemática) y la aplicación es indisoluble (Abrate, 2006).

Para De Faria (2005): “La aplicación Cabri Geometry nos permite por un lado realizar

“experimentos” geométricos, de manera que los estudiantes lleguen a establecer las relaciones

adecuadas y obtener sus propias conclusiones, y por otro lado facilita la conexión interna entre

distintas representaciones matemáticas”

Es en este punto en que la visualización toma sentido y se convierte en facilitadora de este

proceso. En Matemáticas visualizar no significa simplemente ver al objeto matemático, ya sea una

figura, gráfica, representación algebraica o cualquiera otra, sino que se refiere a un proceso más

complejo en donde las imágenes estimulan el pensamiento abstracto del que las percibe o genera.

(Kerlegand, 2008, p.23)

Para otros autores como Zimmermann y Cunningham (1991) (citados por (Kerlegand, 2008, p.23),

por ejemplo, la visualización es un proceso mediante el cual se forman imágenes (mentalmente,


93

con lápiz y papel, o con ayuda de la tecnología) y se utilizan para una mejor comprensión de los

objetos matemáticos y para estimular el proceso de descubrimiento y construcción de las nociones.

La experimentación y la visualización permiten reorganizar el pensamiento matemático, elaborar

más fácilmente conjeturas que promuevan la investigación y construcción de conocimiento.

Balacheff (2000) (citado por Scaglia y Götte, 2008) reflexiona en torno al uso de entornos

informáticos en la enseñanza de las matemáticas, señalando que “modifican el tipo de

matemáticas que se puede enseñar, el conjunto de problemas y las estrategias didácticas. El

conocimiento profesional del profesor también debe modificarse”

Para este autor, un cambio de herramientas durante la enseñanza conduce a un cambio en los

problemas interesantes que se pueden plantear. En este sentido plantea dos tipos de

transformaciones que se presentan:

Por un lado, la tecnología informática ofrece la posibilidad de tratar problemas y

experimentar situaciones que sin ella no serían accesibles para la enseñanza y el

aprendizaje.

Por otro lado, dicha tecnología abre la posibilidad de adoptar un enfoque experimental

de las matemáticas que cambia la naturaleza de su aprendizaje” (Scaglia y Götte, 2008,

p.36)

En la siguiente presentación se pretende mostrar cómo el proceso de visualización se puede

favorecer mediante el uso de un software de Geometría Dinámica y de que manera se pueden

implementar algunas acciones en el aula.

METODOLOGÍA

1.Breve presentación sobre la visualización en Matemáticas

2.Aspectos generales del programa

3.Solución y discusión de varios problemas de la Geometría y el Cálculo con Cabri II. Los

participantes, de ser posible que tengan un equipo disponible, pueden practicar estos problemas

con orientación del cursillista.

4.Conclusiones

Referencias

1. Abrate, R. Delgado, G. y Pochulu, M. (2006). Caracterización de las actividades de Geometría

que proponen los textos de Matemática. Revista Iberoamericana de Educación.


94

2. De Faria E. (2005). Geometría con Cabri: Un viaje con Voyage 200. X Congreso Nacional de

Matemática Educativa Universidad de San Carlos de Guatemala, 21 al 25 de noviembre del

2005.

3. Kerlegand, C. (2008). Desarrollo de dos propiedades de la circunferencia usando el modelo de

Van Hiele y la visualización. CICATA-IPN. Tesis de Maestría no publicada

4. Scaglia, S.y Götte, M. (2008). Una propuesta de capacitación docente basada en el uso de un

software de geometría dinámica. Revista Electrónica de Investigación en Educación en

Ciencias, 3 (1)


95

CR. 14 ENSEÑANZA DEL ÁLGEBRA POR MÉTODOS NO CONVENCIONALES

Egidio Esteban Clavijo Gañan

Docente

Universidad Pontificia Bolivariana

Seminario- taller

[email protected]; [email protected]

Resumen: Uno de los aspectos fundamentales en la enseñanza de las matemáticas, en la básica

secundaria, consiste en lograr que los alumnos interioricen, de manera significativa, el álgebra

como una potente herramienta para la modelación de diversas situaciones de cuantificación y

fenómenos de variación y cambio.

En las instituciones educativas son pocos los problemas matemáticos que invitan a la

experimentación y la reflexión; además de las dificultades cognitivas que los alumnos presentan

durante el proceso y el mecanicismo rutinista del maestro; son pocos los currículos que han

logrado integrar una metodología que le permita a los alumnos comprender de manera efectiva los

procesos de variación y su aplicación a situaciones problema. Se ha comprobado que gran parte

de los fracasos matemáticos de los estudiantes se deben a un inadecuado manejo de los

conceptos matemáticos por parte del maestro, pues en la mayoría de los casos, el trabajo en

matemáticas se reduce a la transmisión de formulas sin ningún contexto y a la mecanización de

ejercicios. Esta problemática no debe pasar desapercibida si se tiene en cuenta que el cambio y

velocidad de la vida actual exigen una renovación permanente del quehacer pedagógico, del

ambiente escolar y de los procesos de enseñanza y aprendizaje que permitan la formación de un

alumno capaz de enfrentarse a las exigencias de la sociedad actual.

Investigaciones recientes21

afirman que una de las tendencias generales mas difundidas hoy

consiste en hacer énfasis en los procesos de pensamiento propios de las matemáticas mas que en

la mera transferencia de contenidos. Los enfoques cognitivos actuales recomiendan la importancia

de transmitir estrategias heurísticas adecuadas para la resolución de problemas, mas que la mera

transmisión de fórmulas, tanto en el marco de las matemáticas como de cualquier ciencia en

general. Al respecto Miguel de Guzmán dice: “La matemática hoy es, ante todo, saber hacer. La

matemática es una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido.

21 De Guzmán, Miguel. Tendencias Generales actuales. Enseñanza de las Ciencias y la Matemática.

Matemática. Organización de los Estados Americanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura.




96

Al respecto, Howard Gardner22

considera que la inteligencia espacial es esencial para el

pensamiento científico ya que es usada para representar y manipular la información en el

aprendizaje y en la resolución de problemas. Los procesos cognitivos que se desarrollan en el

pensamiento espacial, tales como dibujar, construir y manipular los objetos en el espacio son muy

útiles al momento de demostrar las regularidades y patrones que se originan en el sistema

algebraico. Las regiones geométricas, como los rectángulos y los cuadrados entre otros, sirven

para la modelación de expresiones algebraicas. Con ellas podemos:

o Descubrir regularidades

o Encontrar relaciones

o Representar una relación con una fórmula

o Probar y demostrar regularidades

o Refinar y ajustar modelos

o Utilizar diferentes modelos

o Combinar e integrar modelos

o Formular un concepto matemático nuevo

o Y generalizar.

La educación matemática en su búsqueda permanente por constituirse en disciplina con

características propias, ha permitido en los últimos años una integración de teorías y métodos que

permitan la optimización de los procesos de enseñanza – aprendizaje en las instituciones

educativas. Una de estas propuestas es considerar el proceso de enseñanza - aprendizaje como

una "Situación Didáctica" donde todo concepto matemático se elabora a partir de la interacción con

un conjunto de situaciones problemáticas que les da sentido; esta conceptualización se construye

a partir de los estudios del francés Guy Brousseau.

En la Teoría de las Situaciones Didácticas, Brousseau busca crear, consolidar y relacionar un

conjunto de conceptos tales que su utilización permita el estudio de los fenómenos involucrados en

la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Su propósito es, entre otros, abordar la

problemática de la enseñanza de la Matemática, para lo cual es imprescindible que se reproduzca

en el aula un funcionamiento parecido a una investigación científica, donde los conocimientos que

se vayan adquiriendo no les sirvan a los estudiantes sólo para repetirlos, sino para actuar, tomar

decisiones, hablar de ellos, poder comunicarlos y poder validarlos.

Una Situación Didáctica es una cadena de actividades (o tareas para el alumno) que apuntan al

aprendizaje de conocimientos nuevos. Dicha cadena de actividades debe estar organizada de tal

modo que le permita al alumno reforzar los conocimientos ya adquiridos, ajustar un vocabulario

matemático adecuado y descubrir nuevas técnicas para abordar las tareas o preguntas que se

plantean durante el trabajo.

22 Lineamientos Curriculares. Matemáticas. Áreas Obligatorias y Complementarias. Ministerio de

Educación nacional. Cooperativa editorial. Magisterio. Santa Fe de Bogotá. Julio de 1998. Pág. 56.


97

Durante esta cadena de actividades, el aprendizaje del conocimiento nuevo al que se apunta

aparece como una “necesidad”, convirtiéndose ésta en el motor que impulsa la cadena de

actividades que se proponen. Es esencial que durante el proceso de construcción del

conocimiento matemático, el alumno constate “la necesidad de aprender” para tener éxito en sus

respuestas, y convertir la información en un conocimiento significativo para él y para las

matemáticas que está estudiando.

Características de una Situación Didáctica

1. Una Situación Didáctica es una cadena o secuencia de actividades cuyo motor o hilo conductor

es un ( o unos) conocimiento (s) nuevo (s).

2. Este conocimiento nuevo debe ser relevante y por ello su aprendizaje debe ser “necesario” y

durable.

3. En las actividades es esencial el trabajo del alumno, por ello debe cuidarse la redacción de

dichas actividades de modo que queden explícitas las tareas de búsqueda individual o

colectiva (de caminos propios, estrategias personales...), el intercambio con sus pares (ajuste

del lenguaje para una comunicación fluida); la exigencia de pruebas, argumentaciones o

explicaciones de las acciones o decisiones tomadas.

4. Las actividades que constituyen una Situación Didáctica tiene tres objetivos diferentes pero no

independientes :

a. Actuar: son las acciones que se solicitan al alumno para que trabaje. Se

refieren al hacer.

b. Comunicar: describir y explicar lo que hace.

c. Probar: argumentar y justificar sus por qués

Una guía de intervención pedagógica puede consistir en una secuencia de actividades que toman

en cuenta uno de los tres objetivos señalados. El profesor es quién organiza la guía de

intervención en forma individual o en equipo, pero indudablemente lo mas importante es la elección

del conocimiento nuevo (para el alumno) y el escenario para hacerlo emerger.

Preparar una guía de intervención pedagógica es un trabajo de Ingeniería Didáctica, esto es,

preparar un objeto de enseñanza para lograr un aprendizaje eficaz.

Un trabajo de Ingeniería Didáctica tiene 5 etapas fundamentales :

1. Concebir la Situación Didáctica ( el diseño)

2. El análisis a priori de cada actividad que compone la Situación Didáctica (Verificar si los

objetivos cumplen su fin)

3. La experiencia ( realización en clases)

4. El análisis a porteriori

5. La confrontación de los análisis a priori y a posteriori.

Las guías de intervención pedagógicas bien concebidas permiten que los alumnos aumenten de

forma significativa:

o Su razonamiento lógico


98

o Su capacidad para enfrentarse a situaciones problemáticas nuevas con confianza y

seguridad y

o Su capacidad para hacerse a una técnica propia y particular que les permita inferir y abstraer

en situaciones que así lo requieran.

El mundo actual exige que la educación desarrolle en el estudiante un pensamiento reflexivo,

crítico y creativo, con capacidad para detectar situaciones propicias para una modelización de la

realidad, utilizando los recursos matemáticos apropiados para su análisis. La tendencia actual es

hacer énfasis en los procesos de pensamiento, más que en los contenidos. Dicha disposición

marca como punto esencial de toda actividad matemática el desarrollo de los procesos de

pensamiento a partir de la resolución de problemas.

Miguel de Guzmán propone una educación matemática basa en la resolución de problemas. Para

él, el objetivo primordial de la enseñanza básica y media “no consiste en embutir en la mente del

niño un amasijo de información que, se piensa, le va a ser muy necesaria como ciudadano; el

objetivo fundamental debe consistir en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades

intelectuales, sensitivas, afectivas, físicas, de modo armónico y por sobre todo proporcionarle, a

través de las matemáticas, la posibilidad de hacerse con hábitos de pensamiento adecuados para

la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos”23

.

La elaboración de un plan de actividades matemáticos, basado en el espíritu de la resolución de

problemas, debe proceder así24

:

o Propuesta de la situación problema de la que surge el tema. (basado en la historia, las

aplicaciones, los modelos o juegos)

o Manipulación autónoma por los estudiantes.

o Familiarización con la situación y sus dificultades

o Elaboración de estrategias posibles

o Ensayos diversos por los estudiantes

o Herramientas elaboradas a lo largo de la historia (contenidos motivados)

o Elección de estrategias

o Ataque y resolución de problemas

o Recorrido crítico (reflexión sobre el proceso)

o Afianzamiento Formalizado

o Generalización

o Nuevos problemas.

23 De Guzmán, Miguel. La Heurística en la enseñanza de la matemática. Cambios en los Principios

Metodológicos. Enseñanza de las ciencias y la Matemática. Matemática. Organización de los Estados

Americanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura

24 Ibid.


99

o Posibles transferencias de resultados, de métodos, de ideas.

Al respecto de la utilización de la geometría como campo operacional para que el alumno

vislumbre los procesos matemáticos relacionados con el álgebra, Miguel de Guzmán resalta la

importancia de la visualización25

en las matemáticas. Para él la imagen es26

:

o Matriz de la que surgen los conceptos y métodos mismos de la matemática.

o Estimuladora de problemas de interés relacionados con los objetos de la teoría.

o Sugeridora de relación de otra forma un tanto ocultas capaces de conducir de forma fiable

hacia la resolución de los problemas y hacia la construcción de la teoría.

o Auxiliar potente para la retención de forma unitaria y sintética de los contextos que surgen

recurrentemente en el trabajo.

o Vehículo eficaz de transmisión rápida de ideas.

o Ayuda poderosa en la actividad subconsciente en torno a los problemas complicados de la

teoría.

METODOLOGÍA

Para cumplir con la visión humanista y constructivista propuesta en esta investigación, la

elaboración de guías de intervención pedagógicas debe contener unos aspectos metodológicos

específicos con el fin de orientar efectivamente la labor docente hacia el logro de un aprendizaje

significativo por parte del alumno. Dichos aspectos se hacen esenciales, pues, determinan el

enfoque y el grado de profundidad con que los temas serán tratados, de igual forma determinan lo

que el alumno aprenderá durante el proceso. Si las actividades propuestas no se desarrollan bajo

el espíritu del aprendizaje activo, dichas actividades no producirán los resultados esperados.

La metodología que se utiliza en el conjunto de Guías de Intervención Pedagógicas “Exploración

de los sistemas algebraicos desde la geometría” cumple con tres características esenciales: es

activa, heurística y diferenciada27

.

Es activa porque basa el proceso de enseñanza en:

o La experimentación por parte del alumno sobre los objetos de su entorno.

o El uso de materiales didácticos apropiados.

o Las actividades de aula “preparadas al efecto” y

25 En esta oportunidad, la visualización es mas que la simple visión de las cosas, es la interpretación de las

relaciones que subyacen en las imágenes y su relación con los procesos matemáticos.

26 De Guzmán, Miguel. Capitulo 0: El Papel de la Visualización. El Rincón de la Pizarra. Editorial

Pirámide. Madrid. 1996.

27 Propuesto por Guy Brousseau en su Teoría de las Situaciones Didácticas.


100

o En la preparación de situaciones didácticas que llevan al alumno a realiza un aprendizaje por

descubrimiento.

Es heurística porque ponen el acento en el dominio de los procedimientos y operaciones que

pueden realizarse con los contenidos a fin de buscar respuestas personales a los problemas

surgidos.

Es diferenciada porque tiene en cuenta que las dificultades para el aprendizaje son muy distintas

en cada alumno y por lo tanto:

o Está planificada con varios niveles de aprendizaje y en estos, varios grados de profundización

y dedicación.

o Esta planificada para presentar contenidos desde una gran variedad de situaciones y enfoques

de manera que el alumno tenga muchas posibilidades para alcanzar un conocimiento

significativo.

o Y utiliza una gran diversidad de mediadores didácticos para facilitar el aprendizaje .

Sistema concreto: se refiere a la experiencia,

es decir, de dónde los alumnos puede sacar los

conceptos esperados.

Sistema Simbólico: Qué se piensa, se

escribe, se habla.

Sistema conceptual: Qué se piensa, se

construye, se elabora mentalmente

METODOLOGÍA

DIREFERENCIADA HEURÍSTICA ACTIVA

con base en enfatiza en

La experimentación.

La utilización de materiales

didácticos.

Las actividades que produzcan

“efecto”.

El aprendizaje por

descubrimiento.

El dominio de los

procedimientos a fin de

buscar respuestas

personales.

Cada persona tiene un

grado diferente de

dificultad cognitiva.

por lo tanto

Se planean varios niveles

de aprendizaje, de

profundización y variedad

de situaciones.

Es una metodología que centra el proceso de enseñanza en

la actividad creadora del alumno.


101

Esta metodología es coherente con el enfoque sistémico propuesto por Carlos Vasco para la

enseñanza de las matemáticas.

La propuesta pedagógica del presente trabajo se enfatiza en el sistema concreto, pues el trabajo

constante en este sistema permite al alumno desarrollar los conceptos que se desea que ellos

construyan. Además el sistema concreto es la base de la pirámide, es la portadora de la

experiencia y por lo tanto la que ayuda al desarrollo del conocimiento significativo. una vez que el

alumno maneja los conceptos en forma de modelos mentales se procede a trabajar con los

sistemas símbolos propios del lenguaje matemático. Si el alumno hace este recorrido, de los

sistemas concretos a los sistemas simbólicos, se puede asegurar un aprendizaje significativo tanto

desde el saber como desde la experiencia.

PARA EL MAESTRO

Diseñar y ejecutar una guía de intervención didáctica requiere de dos aspectos fundamentales en

el maestro: el conocimiento académico y la oportunidad del “dejar hacer”. Es fundamental que el

maestro sea académicamente competente para coordinar las actividades propuestas pero,

teniendo en cuenta los ambientes de aprendizaje significativo, es esencial que el maestro le

permita al alumno realizar sus propias búsquedas, exploraciones e indagaciones de manera libre y

espontánea.

Si nuestra labor educativa contempla la oportunidad de dejar que el alumno construya matemáticas

desde el saber y desde la cotidianidad, los maestros tenemos que aprender a ser flexibles y

permitir que el alumno se apropie de los conceptos matemáticos sin imponer nuestros criterios,

propiciando así un ambiente cooperativo que favorezca acuerdos en el plano académico y

personal.

Referencias

1. MESA, Orlando. Criterios y estrategias para la enseñanza de las Matemáticas. Editorial

Enlace Gráfico. Medellín. 1994

2. VASCO, Carlos y otros. Programas curriculares del Ministerio de Educación Nacional.

Matemáticas 8º grado. Bogotá. MEN. 1989.

3. VASCO, Carlos. Un Nuevo Enfoque para la Didáctica de las Matemáticas. Editorial Jotamar

Ltda. Bogotá. 1994.

4. DE GUZMÁN, Miguel. Enseñanza de las Ciencias y la Matemática. Organización de los

Estados Americanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. 1993.

5. DE GUZMÁN, Miguel. Capitulo 0: El papel de la Visualización. El Rincón de la Pizarra.

Editorial Pirámide. Madrid. 1996.


102

6. Lineamientos Curriculares. Matemáticas. Áreas obligatorias y Complementarias. MEN.

Cooperativa Editorial. Bogotá. Julio de 1998.

7. Enfoques Curriculares, principios y Modelos Pedagógicos. Diseños Didácticos. SEDUCA-

FAES. 1994

8. CAMARA OLALLA, Jesús. Geometría, Álgebra, y Fórmulas Notables. 1 Colegio Rural

Agrupado “Sierra de Pinares”. España. Jcamara-arroba-roble.pntic.mec.es

ANEXO

PREPARACIÓN DEL MATERIAL DIDÁCTICO

El material didáctico para el desarrollo de las guías de intervención pedagógicas se puede

construir en forme, madera ó cartón los cuales son materiales durables. Sin embargo, conociendo

las restricciones económicas de la mayoría de los niños en nuestras escuelas, se recomienda

construir el material didáctico con cartulina de diferentes colores.

Para construir el material didáctico se deben seguir las siguientes instrucciones.

Construye tres cuadrados:

Ninguno de los cuadrados puede caber exactamente en los

otros.

Los tres cuadrados deben de ser de color diferente.

En una de sus caras debes poner el signo (-) para indicar

que la región es negativa.

Construye 150 cuadrados pequeños, 20 cuadrados

medianos y 20 cuadrados grandes.

El cuadrado pequeño representa a la unidad, por lo tanto

cada lado mide 1, de tal forma que su área es : A = 12 = 1

El cuadrado mediano: Como la unidad, es decir, el

cuadrado pequeño, no cabe exactamente en el cuadrado

mediano, ningún número de veces, desconocemos el valor

del lado. Llamémoslo entonces a2, de tal forma que su

área: A = a x a = a2

El cuadrado grande: como ninguno de los cuadrados

(12,a

2) caben exactamente en el cuadrado grande,

desconocemos el valor del lado. Llamémoslo b2, así su

área es:

A = b x b = b2

1

a2

b2


103

Construye tres prototipos de rectángulos de la siguiente

manera:

o Primer rectángulo: utiliza el cuadrado pequeño para

medir el ancho y el cuadrado mediano para medir el largo,

de tal forma que

o A = a x 1 = a

Segundo rectángulo: Utiliza el cuadrado pequeño para

medir el ancho y el cuadrado grande para medir el largo, de

tal forma que

o A = b x 1 = b

Tercer rectángulo: utiliza el cuadrado mediano para medir

el ancho y el cuadrado grande para medir el largo de tal

forma que

o A = a x b = ab

Construye 50 de cada uno de los rectángulos.

GUÍAS DE INTERVENCIÓN DIDÁCTICA. RESUMEN.

GUÍA No. 1: ÁREA Y PERÍMETRO: Esta guía es un taller de sensibilización cuya finalidad es la

revisión de los conocimientos previos de los alumnos. El taller área y perímetro propone de

manera lúdica el desarrollo de los conceptos de área y perímetro partiendo de una unidad de

medida preestablecida o desconocida.

GUÍA No. 2: ACOPLAMIENTOS: Esta guía es un taller de sensibilización cuya finalidad es la

revisión de los conocimientos previos de los estudiantes. El taller Acoplamientos propone de

manera lúdica el desarrollo de los conceptos de acoplamiento partiendo de figuras geométricas y

tangrams de diferente tipo.

GUÍA No. 3: EL COEFICIENTE Y LA VARIABLE: Este taller es una introducción al concepto de

expresión algebraica. El alumno, mediante representaciones geométricas expresa el valor del

área o del perímetro a través de una expresión algebraica. Esta actividad le permitirá distinguir

plenamente las diferencias entre coeficiente y variable.

GUÍA No. 4: OPERACIONES ALGEBRAICAS DE SUMA Y RESTA: Este taller es una

introducción al concepto de suma y resta de expresiones algebraicas. El alumno, mediante los

procesos de acoplamiento expresa la suma y/o resta de áreas geométricas, formulando dichos

valores en forma algebraica. Esta actividad le permite al alumno encontrar los primeros patrones

1 a2 a

1 b

b2

a2 ab

b2


104

de regularidad en las expresiones algebraicas al hallar términos que son semejantes y que por lo

tanto se pueden enunciar de forma conjunta en una expresión algebraica.

GUÍA No. 5: OPERACIONES ALGEBRAICAS DISCRIMINADAS DE SUMAS Y RESTAS.

ACOPLAMIENTOS NO PERFECTOS: En este taller el alumno empieza a identificar los

acoplamientos no perfectos y es capaz de representarlos por medio de operaciones discriminadas,

es decir, primero realiza las operaciones de los términos que son semejantes y luego para aquellos

términos que no son semejantes. En una segunda parte, debido a la habilidad que ya ha adquirido

el alumno acoplando regiones, se le propone una serie de ejercicios donde el tiene que deducir la

conformación de regiones utilizando el lenguaje algebraico para expresar la superficie de las

figuras geométricas en función de ciertas longitudes. Además de la representación geométrica de

la expresión geométrica también se ejercita el uso del geoplano.

GUÍA No. 6: AREAS RECTANGULARES: ACOPLAMIENTOS PERFECTOS. PRIMERA PARTE:

Durante este taller, el alumno representa geométricamente las expresiones algebraicas cuyo

acoplamiento es perfecto, es decir, aquellas figuras que tienen lados congruentes y que al unirse

forman regiones rectangulares perfectas. Durante este taller el alumno aprende que factorizar es

hallar el área de un rectángulo.

GUÍA No. 7: AREAS RECTANGULARES: ACOPLAMIENTOS PERFECTOS. SEGUNDA

PARTE: durante este taller, el alumno representa geométricamente los patrones de factorización

llamados productos notables. Ellos son:

o El cuadrado de la suma de dos números cualesquiera: (a + b)2

o El cuadrado de la diferencia de dos números cualesquiera: (a - b)2

o Trinomios de la forma x2 + bx + c

o Trinomios de la forma ax2 + bx + c

o El cuadrado de la suma de varios números: ej: (a + b + c)2

o La diferencia de cuadrados: (a2 - b

2).

También se propone el trabajo con el triángulo de Pascal y el Binomio de Newton.

Desde la Guía No. 1 hasta la No. 7 la geometría es un recurso fundamental para:

o Pasar del lenguaje matemático geométrico al algebraico

o Pasar del lenguaje algebraico al geométrico

o Realizar demostraciones tangibles

o Y verificar los errores cometidos con mayor frecuencia y evitar confusiones.


105

CR 15. ESTADÍSTICA APLICADA EN EXCEL

Fernando Vergara Osorio

Universidad Católica Popular del Risaralda

Seminario- taller

Correo:[email protected]

Pedro Antonio Castro Torres


Seminario- taller


1. INTRODUCCIÓN

La estadística es la rama de las matemáticas que se dedica al análisis e interpretación de series de

datos, generando resultados que se utilizan básicamente en dos contextos: la toma de decisiones y

la proyección de situaciones futuras. Tradicionalmente la estadística se ha dividido en dos ramas

diferentes:

La estadística descriptiva

La inferencia estadística.

La estadística descriptiva sirve para recoger, analizar e interpretar los datos. Y mediante la

inferencia estadística se intenta determinar una situación futura basándose en información pasada.

2. VARIABLES, MUESTRAS Y TABLAS DE DATOS

La parte más conocida de la estadística es aquella en la que se estudian una o más características

de una cierta población, generando una tabla de datos sobre la que se realizan cálculos para

obtener diversas medidas. De esta forma, se obtiene por ejemplo la altura media de los alumnos

de una clase.

Las hojas de cálculo son una de las herramientas más adecuadas para introducir tablas de valores,

obtener resultados y generar representaciones gráficas que faciliten su interpretación.

2.1 Población, muestras y variables

Se llama población al conjunto de los individuos sobre los que se lleva a cabo un estudio

estadístico; los individuos de una población no tienen que ser necesariamente personas, pueden

ser conjuntos de objetos, medidas ó datos en general, esta población puede ser muy grande,

infinita ó cambiante con el tiempo.


106

Cuando la población es muy grande, se suele elegir para el estudio estadístico una parte de la

misma, la cual se denomina muestra, y se determina mediante algún criterio común de la

población.

2.2 Tipos de variables

Dependiendo de cómo sea la característica a estudiar pueden encontrarse con dos tipos distintos

de variables estadísticas:

Variables cualitativas, si los valores de la variable no se pueden medir, por ejemplo sexo,

estado civil, nivel de estudios, color de ojos.

Variable cuantitativas, si los valores se pueden medir, por ejemplo, altura, edad, peso.

A su vez las variables cuantitativas pueden ser:

Discretas, si los valores que toma la variable son aislados, por ejemplo edad, número de

hermanos.

Continua, si la variable puede tomar todos los valores de un intervalo, por ejemplo peso,

altura, temperatura.

Al ser tratados con Excel, los valores de las variables cualitativas aparecerán normalmente como

textos, mientras que las cuantitativas serán números, enteros o con decimales en el caso discreto,

o intervalos, en el caso continuo.

2.3 Ordenamiento de datos.

La ordenación es una de las partes esenciales del análisis de datos. Con esta funcionalidad, puede

poner en orden alfabético una lista de productos, ordenar cronológicamente una serie de fechas,

etc.

Hay tres formas de ordenar datos:

Alfabéticamente, de forma ascendente,

Alfabéticamente, de forma descendente,

Por orden personalizado.

Para llevar a cabo esta función, pulsamos el botón ordenar y filtrar. (Ver figuara 1)

Figura 1: Función ordenar y filtrar


107

Se desplega un menu en el cual nos muestra las opciones: Ordenar de menor a mayor, ordenar de

mayor a menor, orden personallizado, filtro, borrar, volver a aplicar (Figura 2).

Figura 2: Opciones de la función Ordenar y filtrar

En el caso de necesitar el ordenamiento en forma ascendente, se deben seleccionar los datos y

pulsar en ordenar de menor a mayor (Figura 3)

Figura 3: Ordenar en forma ascendente


108

Al dar click a la función, los datos se ordenan automáticamente (Figura 4)

Figura 4: Datos ordenados en forma ascendente

De igual forma se realiza para el orden descendente ó de mayor a menor.

El comando “Orden personalizado” u “Ordenación según varios niveles”, le permite definir varios

opciones para ordenar sus datos, por ejemplo, ingresos mensuales y gastos mensuales. (Ver figura

5)


109

Figura 5: Datos para ordenar con varios niveles

Pulsando el comando orden personalizado se abre una ventana, en la cual se despliegan varias

opciones para ordenar los datos (ver figura 6)

Figura 6: Opciones para orden por orden personalizado

En versiones anteriores de Microsoft Excel, se tenían hasta tres posibles niveles de ordenación por

columna dentro del cuadro de diálogo Ordenar. Ahora es posible agregar la cantidad necesaria de

criterios de ordenación

Al principio tiene un solo criterio para ordenar, para agregar más opciones debe pulsar el botón de

Agregar nivel, el cual permite añadir lo que se desee. En la imagen se ha definido un orden por

ingresos y después, dentro de él, por gastos mensuales. (Ver figura 7)


110

Figura 7: Ordenación por varios niveles

Después de dar click en aceptar, los datos son ordenados por las variables solicitadas (Ver figura

8)

Figura 8: Datos ordenadas por varias variables.

3. TABLAS ESTADISTICAS

Una vez determinada la población, las características que quieren analizarse y seleccionada la

muestra, llega el momento de recoger los datos y de organizarlos en tablas.

Las tablas de frecuencias resumen numéricamente, la información sobre el carácter estadístico que

se va a estudiar.


111

Antes de construir una tabla de frecuencias, debe tener claros los elementos principales que

aparecen en ella:

La frecuencia absoluta (fi), de un valor es el número de veces que se repite dicho valor.

La frecuencia relativa (hi), del valor es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número

total de valores, N.

La frecuencia absoluta acumulada (Fi) del valor, es la suma de todas las frecuencias

absolutas de todos los valores anteriores más la frecuencia absoluta del dato.

La frecuencia relativa acumulada (Hi), del valor es la suma de todas las frecuencias

relativas de todos los valores anteriores, más la frecuencia relativa del dato.

El porcentaje: de un valor se obtiene multiplicando por 100 la frecuencia relativa del valor

xi.

Ejemplo: Se tienen los datos del número de miembros por vivienda de los trabajadores de una

determinada empresa, para lo cual se tiene la siguiente tabla de frecuencias (Tabla 1):

Tabla 1. Distribución de frecuencias

NUMERO DE

MIEMBROS fi Fi hi %hi Hi

1 3 3 0,03 3% 0,03

2 17 20 0,17 17% 0,2

3 19 39 0,19 19% 0,39

4 31 70 0,31 31% 0,7

5 16 86 0,16 16% 0,86

6 9 95 0,09 9% 0,95

7 5 100 0,05 5% 1

TOTAL 100 1 100%

4. GRAFICOS EN EXCEL.

Para insertar un gráfico tenemos varias opciones, pero siempre utilizará la sección Gráficos que se

encuentra en la pestaña Insertar. (Figura 9)


112

Figura 9: Tipos de gráficos

Es recomendable que tenga seleccionado el rango de celdas que

quiere que participen en el gráfico, de esta forma, Excel podrá

generarlo automáticamente. En caso contrario, el gráfico se

mostrará en blanco o no se creará debido a un tipo de error en los

datos que solicita.

Existen diversas formas de gráficos para un mismo tipo de gráfico,

las cuales puede seleccionar haciendo clic en el tipo que le interese

para que se despliegue el listado de los que se encuentran

disponibles. (Ver figura 10)

En cada uno de los tipos generales de gráficos podrá encontrar un enlace en la parte inferior del

listado que muestra Todos los tipos de gráfico...

Hacer clic en esa opción equivaldría a desplegar el cuadro de diálogo de Insertar gráfico que se

muestra al hacer clic en la flecha de la parte inferior derecha de la sección Gráficos. (Figura 11)

Figura 11. Insertar gráficos

Figura 10.Formas de gráficos


113

Aquí puede ver el listado de todos los gráficos disponibles, seleccione uno y pulse Aceptar para

empezar a crearlo.

Si seleccionó un rango de celdas, verá su nuevo gráfico inmediatamente y lo insertará en la hoja

de cálculo con las características predeterminadas del gráfico escogido. Si ha decidido probar

suerte y no tenía celdas seleccionadas, deberá seguir leyendo las ventanas que se van

presentando.

Una vez tenga un gráfico sobre la hoja de cálculo, aparecerán nuevas pestañas para mostrar

nuevas opciones.

Si observa la pestaña Datos encontrará dos opciones muy útiles: cambiar entre filas y columnas y

seleccionar datos (Ver figura 12)

Figura 12: Pestaña datos


114

El botón Seleccionar datos es la opción más importante porque se encarga de generar el gráfico.

Le permite modificar los datos seleccionados inicialmente, así como cambiar el orden de ubicación

en el gráfico En el cuadro de diálogo que se abre hay un campo llamado Rango de datos del

gráfico donde puede seleccionar el rango de celdas que se tomarán en cuenta para crearlo, para

ello Pulse el botón y seleccione las celdas, automáticamente se rellenará el campo de texto

con el rango correcto.

Una vez haya acotado los datos que utilizará, Excel asociará unos al eje horizontal (categorías) y

otros al eje vertical (series). Tenga en cuenta que hay gráficos que necesitan más de dos series,

Utilice el botón Editar de las series para modificar el literal que se muestra en la leyenda del

gráfico. Del mismo modo también podrá modificar el rango de celdas que se incluirán tanto en las

series como en las categorías (Ver figura 13)

Figura 13: Cuadro seleccionar origen de datos

Haciendo clic en el botón Cambiar fila/columna puede permutar los datos de las series y pasarlas

a las categorías y viceversa. Este botón actúa del mismo modo que el que se encuentra en la

banda de opciones Cambiar entre filas y columnas (pestaña Diseño).

Si hace clic en el botón Celdas ocultas y vacías abrirá un pequeño cuadro de diálogo desde

donde podrás elegir qué hacer con las celdas que no tengan datos o estén ocultas.

Después de seleccionar adecuadamente los datos y aceptar, obtendrá el gráfico deseado de

acuerdo a la información que registró (ver figura 14)


115

Figura 14. Gráfico de barras

5. INSTALACION EL PACK DE HERRAMIENTAS DE ANALISIS

El Pack de herramientas de análisis está orientado a personas que quieran sacar el máximo

partido a Excel con funciones más específicas a materias como la educación, la investigación, el

negocio, la ingeniería, la estadística.

Por defecto el paquete no se instala puesto que la mayoría de usuarios no necesita de tales

capacidades.

Así pues para instalar el paquete debe acceder al Botón Office y hacer clic en el botón Opciones

de Excel. No aparece en el cuadro de diálogo los complementos activos e inactivos instalados en

Excel. En el desplegable que encontrará al pie del listado seleccione Complementos de Excel y

pulse el botón Ir (Ver figura 15):

Figura 15. Complementos de excel

Se abrirá el cuadro de diálogo (figura 16) Debe marcar Herramientas para análisis y Herramientas

para análisis - VBA y pulsar sobre Aceptar.

Aparece un mensaje indicando que esa función no está instalada, y pregunta si la quiere instalar.

Debe pulsar sobre el botón Sí.

Figura 16. Complementos

3

1719

31

16

9

5

0

5

10

15

20

25

30

35

1 2 3 4 5 6 7

Series1


116

Es posible que tenga que introducir el CD de Microsoft Office 2007 en la unidad de CD-Rom y

comenzar la instalación.

4.1 Utilizar el pack de herramientas de análisis

Una vez instalado el pack de herramientas de análisis, para acceder a él deberá ir a la pestaña

Datos y hacer click en el ítem Análisis de datos (Ver figura 17)

Figura 17: Análisis de datos

Para saber más acerca de cada función de análisis puede seleccionarla y pulsar sobre Ayuda.

Además de estas herramientas en la parte de funciones se habrán instalado en cada categoría

como Fecha y hora, Ingeniería, Financieras, etc., funciones nuevas que son más técnicas de cada

categoría. Todas y cada una de ellas dispone de su propia ayuda donde se explica su

funcionalidad y la mayoría viene con un ejemplo incluido.


117

CR16. FISICA SUPERCHEVERE

Guiomar González Chica

Licenciada en Física y Matemáticas. UTP

Especialista en Docencia de las Matemáticas y la Física

Universidad La Gran Colombia

Maestría en Enseñanza de las Ciencias ( En Tesis)

Universidad Autónoma de Manizales

RESUMEN: Durante años muchos autores han intentado convencer al lector de que la física, las

matemáticas y otras ciencias pueden ser divertidas. Intentémoslo una vez mas!

El propósito de este cursillo no es el de proporcionar material para hacer experimentos, sino el de

estimular la fantasía científica, el enseñar a pensar en la esencia de la ciencia física y crear en su

memoria numerosas asociaciones de conocimientos físicos relacionados con los fenómenos mas

diversos de la vida cotidiana.

La temática a desarrollar comprende 6 ejes fundamentales:

1. Astronomía básica

2. Física en la naturaleza

3. Física en los deportes

4. Física en el cuerpo humano

5. Física en la casa

6. Física en el parque de diversiones

1. Astronomía:

Desde la antigüedad los humanos hemos mirado al cielo y hemos intentado no una sino muchas

explicaciones para esas luces brillantes que allí se observan. Cautivan nuestra atención y

despiertan la imaginación, incentivan la creación e invitan a construir explicaciones de toda

índole, ciencia ficción, mitos y religión, teorías científicas, filosóficas y conjeturas sobre nuestro

pasado, presente y futuro.


118

Conceptos básicos: planetas, asteroides, satélites naturales, estrellas, galaxias, nebulosas,

constelaciones, cometas, sistema solar, novas, supernovas.

Actividades: Fragmento de un video de la serie COSMOS de CARL SAGAN

Construcción de un pequeño mapa estelar (Maloka)

2. Física en la naturaleza:

Te has preguntado alguna vez: ¿como se produce un rayo?, ¿De dónde salen los colores del

arco iris?, ¿Cómo salta la rana?, ¿Cómo cae el agua de una cascada?, ¿Por qué se ven

rosadas las nubes en una tarde de verano?, ¿Por qué puede un insecto caminar sobre el

agua?. Estas y otras preguntas tienen respuesta en la física, cuando se estudian temas

como electricidad, dispersión de la luz, movimiento parabólico, caída libre, refracción de la

luz, o tensión superficial.

3. Física en los deportes:


119

¿Quién no ha oído hablar de goles tan famosos como el de Roberto Carlos tan comentado en

el pasado mundial?. La verdad los físicos no hacen goles aunque conozcan toda la teoría del

movimiento del balón, y tampoco los futbolistas son científicos.

Las pelotas utilizadas en cada deporte son diferentes por razones científicas: rozamiento del

aire, peso, velocidad, alcance horizontal, gravedad en el sitio, entre otras. Los patinadores

cierran los brazos para girar y los abren para frenar. Los esquís distribuyen el peso del

esquiador y disminuyen la presión, el nadador utiliza leyes de newton y principio de

Arquímedes. Una bicicleta seria modelo perfecto para el estudio del mcu, cantidad de

movimiento, energía cinética, movimiento periódico, por ejemplo.

Un salto con garrocha describe un arco de parábola si hacemos el seguimiento del centro de

gravedad del cuerpo.

Ni que decir de las maravillas que observamos en el billar de fantasía!

Actividad: Video: La ciencia del gol, presentación de diapositivas

http://www.youtube.com/watch?v=Q92VtWPmg8Y

4. Física en el cuerpo humano.

Es casi imposible no pensar en el cuerpo humano como un gran universo, una maquina

maravillosa: ojos, oídos, corazón, voz, locomoción, impulsos eléctricos entre neuronas,

equilibrio en los fluidos, rozamiento. Basta con hacer un recuento del tiempo, recursos,

tecnología y conocimiento utilizados desde siempre en la fabricación de robots y humanoides,

y solo se ha conseguido hasta el momento un poco más del 50 % de la movilidad y eficiencia

comparados con las posibilidades del humano real.

Ojo Humano: funciona como una cámara fotográfica y nos construye una imagen del mundo

que nos rodea

http://www.youtube.com/watch?v=Q92VtWPmg8Y


120

El oído: complementa nuestra imagen del mundo y se convierte en un sofisticado micrófono

que nos transmite sonidos del entorno para que no vivamos el eterno silencio!

El oído es sin lugar a dudas, uno de los “componentes” de cualquier sistema de sonido, por

tanto conocer el funcionamiento de este órgano es tan importante como saber algo sobre

altoparlantes, casettes o amplificadores de sonido. Además, el funcionamiento de ese órgano

es fundamental, al igual que la vista, para que el ser humano se pueda comunicar con sus

semejantes.

Palancas humanas:

Muchos movimientos en nuestro cuerpo son posibles gracias a la puesta en escena de

palancas de primer genero, segundo genero y tercer genero.

Sabe usted porque varia su presión sanguínea cuando se obstruye una arteria?


121

5. Física en la casa:

Alguna vez pensaste que la cocina de tu casa puede ser un gran laboratorio de física?

Que tipo de espejo puede ser una cuchara?

Porque flota el hielo en el agua ?

Cuantas veces puedes observar los cambios de estado del agua en tu cocina?

Que conceptos físicos puedes estudiar en la estufa? Si es eléctrica? Si es a gas?

Como funciona la nevera? La licuadora? Porque mas rápida la cocción en la olla a presión?

Y porque son redondas las burbujas de jabón?, A que se deben los colores?

Sin hablar de los bombillos, el TV, el equipo de sonido, el PC y todos los

Electrodomésticos que tienes allí!

No podemos en media hora dar respuesta a todas esas preguntas pero el objetivo tampoco

es explicar todo!

Lo importante es abrir el espacio de reflexión para que todos: maestros padres de familia y

curiosos volvamos los ojos a nuestro alrededor!

Hay mucha ciencia fuera de los libros de texto y la física tiene el privilegio de que nos rodea ,

es la responsable del mayor porcentaje de nuestro bienestar material y además posee

explicaciones para casi todo!

Observación de una práctica demostrativa y solución de un cuestionario, presentado como un

crucigrama.

1. Qué tipo de imagen se forma en una cuchara al lado cóncavo, al lado convexo?

2. ¿Por qué se ve quebrada la cuchara dentro del vaso con agua?

3. ¿Por qué flota el hielo sobre el agua?

4. ¿Puedo hacer pompas con el agua limpia? Por qué?

5. ¿Que cambia en el agua cuando le agregamos jabón?15

6. ¿Por qué son redondas las pompas de jabón?

7. ¿Por que se forman los colores en las pompas?


122

8. ¿Si calentamos el agua jabonosa puedo seguir haciendo burbujas?

9. ¿Como se mide la temperatura del agua caliente?

10. ¿Como se explica la conducción de calor en el vaso?

6. Física en el parque de diversiones:

Conversatorio acerca de los parques interactivos como Maloka y salitre mágico de Bogotá,

Parque Explora de Medellín, Museo Samoga de Manizales y además montaña rusa, carrusel,

martillo, y demás atracciones que posee un parque de diversiones.

Referencias

1. CIENCIA VISUAL, El tiempo, 1995

2. HEWITT, Paul G, Fisica Conceptual, Mexico, Pearson , 1999

3. KRAMER, Craig, Practicas de Fisica, Mexico, Mc Graw Hill, 1993.

4. PERELMAN, Yakov, Fisica Recreativa, Moscu, MIR, 1983

5. PUCHE NAVARRO, Rebeca y otros, El niño científico, Cali, Univalle, 2003

6. SAGAN, Carl, Cosmos, Barcelona, Planeta, 1992

7. SERWAY, Raymond, Fisica, mexico, Mc Graw Hill, 1993


123

CR 19. PROPUESTA PEDAGÓGICA PARA LA ENSEÑANZA DE LA ESTADÍSTICA

DESCRIPTIVA

Sandra Milena Aguilar Ramírez

Gimnasio los Pinares (Medellín)

e-mail: [email protected]

María Gabriela Bedoya Duque


e-mail: [email protected]

[email protected]

“Llegará un día en que la Estadística ocupe en la enseñanza un puesto ligeramente posterior al de

la Aritmética” (L. H. C Tippett, 1947) (Discípulo de Fisher y de Pearson)

RESUMEN

Este cursillo está dirigido a los profesores de la Básica Secundaria y Media Vocacional. En él se

pretende socializar algunas herramientas y enfoques útiles cuando se trata de abordar la

enseñanza de la estadística descriptiva desde un punto de vista interesante para los estudiantes.

Se hará hincapié en los conceptos: diseño de experimentos, interpretación de tablas de frecuencia,

interpretación y escogencia de un gráfico adecuado de acuerdo a las necesidades de la

información, medidas de tendencia central y dispersión.

Palabras clave: estadística descriptiva, diseño de experimentos, muestreo.

INTRODUCCIÓN

Cuando se orienta un curso de estadística descriptiva por lo regular se inicia enseñando a los

estudiantes tablas de frecuencia, pero se enseña ¿cómo llegaron esos datos allí?, ¿cómo se debe

recolectar información?, ¿cómo se eligen las personas u objetos a encuestar o estudiar?, ¿cómo

se diseña un experimento?.

Los docentes deben formarse en este sentido, diseño de experimentos, para transmitir a sus

estudiantes que éste no es un proceso exclusivo del típico científico de gafas y bata blanca que

está metido en un laboratorio, sino que el estudiante desde su cotidianidad puede desarrollar

teniendo en cuenta unas pautas determinadas. Por ejemplo, cuestionar a los estudiantes sobre

situaciones aparentemente tan simples como:


124

¿Cuál es la crema dental más refrescante?

¿Qué marca de arroz crece más?

¿Cuál es la masa de buñuelos que los hace más blandos?

Lo llevan a pensar en un sin número de circunstancias que fomentan su espíritu investigativo.

Dentro del diseño del experimento se puede ilustrar al estudiante con técnicas elementales de

muestreo, diseño de un marco teórico, planteamiento de objetivos, hipótesis sobre los resultados; y

a partir de la información recolectada, se inicia el proceso de análisis de la misma mediante la

construcción de tablas de frecuencia, tablas de contingencia, gráficos, medidas de tendencia

central y medidas de dispersión.

Todo esto lleva a implementar una metodología estadística en el aula de clases enfatizada en la

adecuada interpretación de las tablas de frecuencia, el concepto de razón, porcentaje, tasa, índice,

diferenciación y aplicación de las medidas de tendencia central y la escogencia de los gráficos que

mejor describan la información.

OBJETIVOS

Ofrecer a los profesores herramientas útiles para mejorar la dinámica de trabajo en la

enseñanza de la estadística descriptiva.

Aprovechar y potencializar el contexto en que se desenvuelven los estudiantes para

garantizar la apropiación de los conceptos manejados en la estadística descriptiva.

Desarrollar en el estudiante habilidades que le permitan interpretar y evaluar críticamente

información estadística, argumentos relacionados con datos que se pueden encontrar en

diferentes contextos.

CONTENIDO

o El hombre estadísticamente alfabeto (Gal, 2002)

“...el término “alfabetismo estadístico” se refiere ampliamente a dos componentes

interrelacionados, principalmente (a) la habilidad para interpretar y evaluar críticamente información

estadística, argumentos relacionados con datos que se pueden encontrar en diferentes contextos,

y cuando sea relevante (b) su habilidad para discutir o comunicar sus reacciones sobre tal

información estadística, así como su entendimiento del significado de la información, sus opiniones

acerca de las implicaciones de esta información, o sus preocupaciones con relación a la

aceptabilidad de conclusiones dadas.”


125

o Principios del aprendizaje estadístico

(Gareld, 1995)

En un contexto constructivista se proponen estos principios para el aprendizaje estadístico:

Los estudiantes aprenden construyendo conocimiento.

Los estudiantes aprenden mediante la participación activa en las actividades de

aprendizaje.

Los estudiantes solo aprenden bien lo que ellos practican.

Los profesores no deben subvalorar las dificultades que los estudiantes tienen entendiendo

los conceptos básicos de estadística y probabilidad.

Los profesores a menudo sobreestiman que tan bien los estudiantes entienden los

conceptos básicos.

o ¿ Cómo inicia su curso de estadística descriptiva?

Al iniciar la unidad o curso de Estadística Descriptiva sería interesante guiar a los estudiantes para

que a partir de sus propios intereses formulen una pregunta que sea profunda, elaborada, bien

estructura y que por ende los guíe hacia la recolección de su propia información para trabajar

posteriormente todos los conceptos de la estadística descriptiva a partir de sus propios datos.

Algunas ideas . . . . .

Comparar la estatura de las personas con el dato que aparece en su cédula.

¿En qué tiempo meten más goles en un partido, en el primero o el segundo?

¿Mueren más jóvenes en la actualidad que en años anteriores o en décadas pasadas?

Comparar la longitud de las frases de los libros de Gabriel Gacía Márquez.

Estudiar el puntaje de las reinas de belleza.

El peso de sus maletines. (De aquí se derivan muchas ideas sobre posturas,

enfermedades lumbares, etc.)

¿Cuáles son los mejores fríjoles preparados por las madres del salón de clase?

La pregunta o situación que proponga el estudiante debe permitir la generación de datos y no

debe responderse simplemente con un si o no.

Tan solo para abordar esta primera parte del curso se les puede solicitar a los estudiantes un

trabajo con el siguiente contenido:

Título: que describa qué, cuándo y dónde.


126

Introducción: tiene por objeto explicar el problema general, definir el problema de

investigación y despertar el interés del lector a conocer el resto del trabajo.

El problema: planteado de forma clara y concisa, es lo que se va a consultar. Describir su

origen, destacar su magnitud e importancia.

Justificación: Porqué va a investigar el asunto y para qué pude servir.

Objetivos: el general y los específicos, cuidando que estos últimos sean los pasos (cada

uno), para llegar al general.

Marco teórico: Contextualización del trabajo. Deberá mencionar si se han realizado otros

estudios y sus resultados (hallazgos). Reseñar lo que dicen las entidades que son

autoridad en el tema, como por ejemplo la Organización Mundial de la Salud y la

Organización Panamericana de la Salud, por citar algunas. Los estudios a reseñarse

pueden ser nacionales y extranjeros; son necesarios para la discusión. Tener cuidado de

adjuntar las referencias.

Materiales y métodos: Cuál es la metodología, cómo se va a recolectar la información.

Antes de iniciar la recolección de la información (si se necesita) es muy importante enseñarle a los

estudiantes que en el caso de seleccionar una muestra de una población, ésta se realiza en forma

aleatoria y no simplemente con la escogencia subjetiva de la misma.

También es importante dejar claro qué es una población, una variable, variable cualitativa, variable

cuantitativa (discreta - continua).

A partir de estos conceptos se pueden hacer cuestionamientos en clase para cerciorarse de su

comprensión.

Algunos ejemplos . . . .

Determina, para cada uno de los siguientes casos, la población a la cual se dirige el estudio, un

posible marco muestral, la muestra (si es necesaria), la variable y el tipo de variable.

La alcaldía de Medellín desea determinar la calidad del servicio que están prestando las

empresas de aseo de la ciudad, con el objeto de prorrogar los contratos por un año más.

Un colegio de la ciudad está interesado en ofrecer sus servicios en la jornada nocturna.

Para tal fin, se requiere estimar la cantidad de posibles estudiantes.

El coordinador de bachillerato desea conocer cómo está conformado el núcleo familiar de

sus estudiantes.

El técnico del equipo de fútbol del colegio desea conocer el rendimiento académico de sus

15 jugadores en el período anterior.


127

o TABLAS DE FRECUENCIA

Sería conveniente enseñarles o recordarles a los estudiantes los siguientes términos, útiles a la

hora de analizar distribuciones de frecuencia:

A lo sumo: se utiliza cuando se requieren valores menores o iguales a lo indicado.

Al menos: se utiliza cuando se requieren valores mayores o iguales a lo indicado.

Entre: se utiliza cuando se requieren valores que no incluyen los extremos.

Desde - hasta: se utiliza cuando se requiere incluir los extremos.

Cuando se inicia el trabajo con tablas de frecuencia es importante enfatizarles en el manejo de

razones y porcentajes.

Ejemplo 1:

A continuación se da una tabla de frecuencias sobre la estatura en centímetros de los estudiantes

de bachillerato discriminados por sexo. ¿Con base en ellas se podrían obtener las siguientes

conclusiones?

Estatura de

mujeres (cm) Frecuencia

130-139 10

140-149 30

150-159 54

160-169 70

170-179 24

180-190 8

190 o más 4

Total 200

Estatura de

hombres (cm) Frecuencia

130-139 6

140-149 30

150-159 54

160-169 75

170-179 84

180-190 27

190 o más 24

Total 300

¿Hay igual proporción de hombres que de mujeres cuya estatura oscila entre 150 cm y 159

cm?

¿Hay mayor proporción de hombres que mujeres cuya estatura está entre 160 cm y 169

cm?

¿Al menos la mitad de los hombres mide 1,6 metros?

¿A lo sumo la quinta parte de las mujeres mide 1,49 metros?


128

Estatura de

mujeres (cm) f F Fr Fr Fr (%)

130-139 10 10 10/200 0.05 5

140-149 30 40 30/200 0.15 15

150-159 54 94 54/200 0.27 27

160-169 70 164 70/200 0.35 35

170-179 24 188 24/200 0.12 12

180-190 8 196 8/200 0.04 4

190 o más 4 200 4/200 0.02 2

Total 200 1 1 100

Estatura de

hombres (cm) f F Fr Fr Fr (%)

130-139 6 6 6/300 0,020 2

140-149 30 36 30/300 0,100 10

150-159 54 90 54/300 0,180 18

160-169 75 165 75/300 0,250 25

170-179 84 249 84/300 0,280 28

180-190 27 276 27/300 0,090 9

190 o más 24 300 24/300 0,080 8

Total 300 1 1 100

Ejemplo 2:

En la siguiente tabla encontrará el tiempo empleado para los 400 metros de nado libre de las

Olimpiadas (1920 - 1992).

Analícelos y determine si tiene o no sentido construir una tabla de frecuencias para dichos valores.

AÑO

199

2

198

8

198

4

198

0

197

6

197

2

196

8

196

4

196

0

195

6

195

2

193

6

193

2

192

8

192

4

192

0

TIEM

PO

3:45

.00

3:46

.95

3:51

.23

3:51

.31

3:51

.93

4:00

.27

4:0

9.0

4:1

2.2

4:1

8.3

4:2

7.3

4:3

0.7

4:4

1.0

4:4

4.5

4:4

8.4

5:0

1.6

5:2

6.8

Motivarlos con el análisis de tablas de frecuencias o noticias que tengan contenidos de su interés.

Por ejemplo:


129

o GRÁFICOS

“Un gráfico puede valer más que mil palabras, pero puede tomar muchas palabras para hacerlo”

John Tukey

“Es desafortunado el poco énfasis que la mayoría de textos en estadística ponen en la parte

gráfica. Unos pocos (Moore, 1979; Campbell, 1990) hacen énfasis en los errores de interpretación

en la presentación de gráficos en los medios de comunicación, pero la gran mayoría, en especial

los que se utilizan como texto de clase, sólo presentan algunos gráficos más como un material

extra que como una herramienta fundamental en el trabajo aplicado”. (Correa y González, 2002)

“William Playfair es considerado el pionero de la estadística gráfica (Costigan-Eaves y

Macdonald-Ross, 1990). Su trabajo en gráficas lo realizó durante más de 36 años. El actuó basado

en los siguientes principios que él mismo estableció:

1. El método gráfico es una forma de simplificar lo tedioso y lo complejo.

2. Los hombres ocupados necesitan alguna clase de ayuda visual.


130

3. Un gráfico es más accesible que una tabla.

4. El método gráfico es concordante con los ojos.

5.El método gráfico ayuda al cerebro, ya que permite entender y memorizar mejor” (Correa y

González, 2002).

Recomendaciones en la realización de un gráfico

No utilizar un gráfico para representar un conjunto de datos que sea inferior a 20, pues

éstos quedan lo suficientemente ilustrados con una tabla de frecuencias.

Enfatizarle a los estudiantes sobre el uso de una escala adecuada.

Que los elementos del gráfico realmente representen los datos y se puedan distinguir

claramente.

Que cada uno de esos elementos sea necesario y no simplemente un adorno que

terminará desviando la atención del lector

Los estudiantes se sentirán motivados en la medida en que se les muestren gráficos que capten su

atención, que sean interesantes para ellos. Por ejemplo:


131


132

Elementos de un Gráfico (Correa y González, 2002)

Título Principal

Título Secundario o Subtítulo

Descripción del Gráfico

Región de Datos y Símbolos

Eje Horizontal y Escala

Eje Vertical y Escala

Apuntadores

Descriptores de señales y marcas


133

5.1 HISTOGRAMA. “El gráfico estadístico por excelencia”

Los pasos para construir el histograma son:

1. Defina los intervalos o clases de igual longitud.

2. Cuente el número de observaciones que caen en cada clase o intervalo. Esto es llamado la

frecuencia.

3. Calcule la frecuencia relativa,

4. Grafique los rectángulos cuyas alturas son proporcionales a las frecuencias relativas.

Ventajas

Es útil para apreciar la forma de la distribución de los datos, si se escoge adecuadamente

el número de clases y su amplitud.

Se puede presentar como un gráfico definitivo en un reporte.

Se puede utilizar para comparar dos o más muestras o poblaciones.

Se puede refinar para crear gráficos más especializados, por ejemplo la pirámide

poblacional.

Desventajas

Las observaciones individuales se pierden.

La selección del número de clases y su amplitud que adecuadamente representen la

distribución puede ser complicado. Un histograma con muy pocas clases agrupa


134

demasiadas observaciones y uno con muchas deja muy pocas en cada clase. Ninguno de

los dos extremos es adecuado.

Debido a que nuestros ojos responden al área de las barras, es importante mantener la

anchura de las barras iguales. Si se enfrenta a un problema donde los intervalos tienen

diferente amplitud, por ejemplo cuando se obtienen datos agrupados desde la fuente, la

siguiente fórmula se usa

Ejemplo

En los siguientes histogramas se muestra la distribución del tiempo utilizado por los atletas

masculinos clasificados en el grupo élite en la media maratón de CONAVI.

El histograma A tiene solo 2 barras. El gráfico B, con 4 barras, y el C, con 8 barras, muestra más

claramente la asimetría (este es el que la mayoría de los programas produce por defecto, ya que la

regla de Sturges, para este conjunto de datos aproxima a 8 barras). Si consideramos más barras

por ejemplo 16, como tenemos en D, se refina más la información y empezamos a notar

multimodalidad.

5.2 ÁRBOLES DE TALLO Y HOJAS


135

Qué nos muestra?

1. El centro de la distribución.

2. La forma general de la distribución.(S, A-, A+)

3. Desviaciones marcadas de la forma global de la distribución. Outliers, gaps.

Ventajas

1. Muy fácil de realizar y puede hacerse a mano.

Desventajas

1. El gráfico es tosco y no sirve para presentaciones definitivas.

2. Funciona cuando el número de observaciones no es muy grande.

3. No permite comparar claramente diferentes poblaciones.

5.3 GRÁFICO CIRCULAR

El uso de gráficos circulares o pasteles es bastante común entre personas no profesionales en

estadística y lamentablemente se ha trivializado tanto que si en muchas de las situaciones donde

se usan se suprimieran se ahorrarían muchas hojas de papel. A veces se presenta un gráfico de

pastel para mostrar que en una muestra el 50% son hombres y el 50% mujeres.


136

Como conclusión, a pesar de su simplicidad, los gráficos circulares deben ser construidos teniendo

especial cuidado en resguardar su capacidad de representar sin distorsiones la información

original.

5.4 BOXPLOT O CAJA DE TUKEY


137

Propiedades del gráfico de caja

1. Cinco números de resumen de los datos son representados gráficamente de tal forma que

proporciona información acerca de la localización, la dispersión, el sesgo y las colas del conjunto

de datos que se aprecia de una sola mirada.

2. El gráfico de caja contiene información detallada sobre las observaciones de las colas.

3. La gráfica de caja es fácil de calcular y dibujar.

4. Es de fácil explicación al usuario corriente de estadística.

o MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

“Además de ser conceptos estadísticos básicos, los promedios son imprescindibles en el análisis

exploratorio de datos” (Batanero, Godino, & Navas, 1997)

Los algoritmos de cálculo para cada una de las medidas de posición central son varios,

dependiendo de la forma en que se den los datos (agrupados, sin agrupar, gráficamente).

Esto causa problemas en los estudiantes, que están acostumbrados a un solo algoritmo para cada

situación.

Item 1: Un objeto pequeño se pesó con un mismo instrumento, separadamente por nueve

estudiantes en una clase de ciencias. Los pesos obtenidos por cada estudiante (en gramos) se

muestran a continuación:


138

6.2 6.0 6.0 15.3 6.1 6.3 6.2 6.15 6.2

Los estudiantes quieren determinar con la mayor precisión posible el peso real del objeto.

a) Usar el número más común, que es 6.2

b) Usar 6.15, puesto que es el peso más preciso

c) Sumar los 9 números y dividir la suma por 9

d) Desechar el valor 15.3; sumar los otros 8 números y dividir por 8.

Item 2: Una profesora quiere cambiar la disposición de los asientos en su clase, con la esperanza

de que ello incremente el número de preguntas que hacen sus alumnos. Primero, decide ver

cuántas preguntas hicieron los estudiantes con la colocación actual de los asientos. Un registro del

número de preguntas hechas por sus 8 estudiantes durante una clase se muestra a continuación

Iniciales del Estudiante A.A R.F A.G J.G C.K N.K J.L A.W

No. De Preguntas 0 5 3 22 3 2 1 2

La profesora quiere resumir estos datos, calculando el número típico de preguntas hechas ese día.

a) Usar el número más común, que es el 2.

b) Sumar los 8 números y dividir por 8.

c) Descartar el 22, sumar los otros 7 números y dividir por 7.

d) Descartar el 0, sumar los otros 7 números y dividir por 7.

Item 3: Veinte estudiantes universitarios participaron en un estudio sobre el efecto del sueño sobre

las puntuaciones en los exámenes. Diez de los estudiantes voluntariamente estuvieron despiertos

estudiando toda la noche anterior al examen (grupo que no durmió). Los otros 10 estudiantes (el

grupo control) se acostaron a las 11 de la noche anterior al examen.

Las puntuaciones en el examen se muestran en los gráficos siguientes.


139

Cada punto representa la puntuación de un estudiante particular.

a) El grupo que no durmió lo hizo mejor porque ninguno de estos estudiantes puntuó por debajo de

40 y la máxima puntuación fue obtenida por un estudiante de ese grupo.

b) El grupo que no durmió lo hizo mejor porque su promedio parece ser un poco más alto que el

promedio del grupo que no durmió.

c) No hay diferencia entre los dos grupos, porque hay un solapamiento considerable en las

puntuaciones de los dos grupos.

d) No hay diferencia entre los dos grupos, porque la diferencia entre sus promedios es pequeña,

comparada con la cantidad de variación de sus puntuaciones.

e) El grupo de control lo hizo mejor porque hubo en ese grupo más estudiantes que puntuaron 80 o

por encima.

f) El grupo de control lo hizo mejor, porque su promedio parece ser un poco mayor que el

promedio del grupo control.

Item 4: El comité escolar de una pequeña ciudad quiere determinar la media del número de niños

por familia en su ciudad. Dividen el número total de niños de la ciudad por 50, que es el número de

familias. ¿Cuál de las siguientes frases debe ser cierta si la media del número de niños por familia

es 2.2?


140

a) La mitad de las familias de la ciudad tienen más de 2 niños.

b) En la ciudad más familias tienen 3 niños que 2 niños.

c) Hay un total de 110 niños en la ciudad.

d) Hay 2.2 niños por adulto en la ciudad.

e) El número más común de niños en una familia es 2.

El porcentaje de respuestas incorrectas es alarmante en todos los ítems, especialmente en los

futuros profesores que posiblemente deban enseñar estos temas, y teniendo en cuenta el escaso

tiempo dedicado a la formación estadística en los planes del Magisterio.

Para aquellos que no disponen de R deben bajarlo de:

http://cran.r-project.org/

Después hay que instalar el paquete R-Commander desde el menú Paquetes Instalar

paquete(s).

Tras instalarlo hay que cargarlo o bien tecleando en la ventana de comandos de R >library(Rcmdr)

o bien seleccionando el paquete concreto Rcmdr desde el menú Paquetes Cargar paquete.

“En sus manos está iniciar el cambio hacia el alfabetismo estadístico”.

Referencias

1. Batanero, C., Godino, J. D., & Navas, F. (1997). Concepciones de Maestros de Primaria en

Formación. Granada: Universidad de Granada.

2. Bhattacharyya, G. K., & Johnson, R. A. (1976). Statistical Concepts. United States of America:

University of Wisconsin.

3. Cobo, B. (2003). Significado de las medidas de posición central para los estudiantes de

secundaria. Granada: Universidad de Granada.

4. Cobo, B., & Batanero, C. (2004). Significado de la media en los libros de texto de secundaria.

5. Correa, J. C., & González, N. (2002). Gráficos Estadísticos con R. Medellín: Universidad

Nacional de Colombia, Sede Medellín.

6. Correa, J. y González, N. (2002) Gráficos estadísticos con R. Medellín (Antioquia): CRAN.

pp 6-7.


141

7. Correa, J. y González, N. (2002) Gráficos estadísticos con R. Medellín (Antioquia): CRAN.

Pp 11.

8. Gal, I. (2002) Adults' Statistical Literacy: Meanings, Components, Responsabilities.

International Statistical Review. Vol. 70, No. 1, pp. 1-51. Citado por: Correa, J C. Estadística

para Primaria y Bachillerato Sesión I. En: Didáctica de la Estadística y Métodos Estadísticos

en Problemas Socioeconómicos. (1, Junio de 2010, Medellín). pp 10.

9. Gareld, J. (1995) How Students Learn Statistics. International Statistical Review. Vol. 63, No. 1,

pp. 25-34. Citado por: Correa, J C. Estadítica para Primaria y Bachillerato Sesión I. En:

Didáctica de la Estadística y Métodos Estadísticos en Problemas Socioeconómicos. (1, Junio

de 2010, Medellín). pp 20.

10. Mayén Galicia, S. A. (2009). Comprensión de las Medidas de Tendencia Central en estudiantes

Méxicanos de educación secundaria y bachilletaro. Granada: Universidad de Granada.

Departamento de Didáctica de la Matemática.


142

CR 20. INTRODUCCION A SCILAB

JUAN CARLOS HENAO LÓPEZ



Estudiante de Maestría en Ingeniería

[email protected]

JAMES ANDRES BARRERA MONCADA



Estudiante de Maestría en Instrumentación Física

[email protected]

RESUMEN: Scilab es un software de cálculo científico orientado a la computación numérica que

posee una extraordinaria versatilidad y capacidad para resolver problemas de matemática

aplicada, física, ingeniería, procesamiento de señales y otras muchas aplicaciones. Su base la

constituye un sofisticado intérprete formado por diferentes rutinas de cálculo matricial, análisis

numérico y visualización gráfica.

Algunas de las aplicaciones que puede desarrollar este lenguaje, se centran en el manejo de

constantes, variables, y funciones, al igual que su graficación, que sumando con herramientas de

análisis, se convierte en un software muy útil para cualquier ingeniería.

CONSTANTES

Son valores reales o complejos que se guardan en literales y que son útiles al momento de realizar

manipulaciones algebraicas.

En pantalla escribir

--> a=14;

--> A=16

A partir de estas asignaciones, se pueden realizar diferentes operaciones

Suma -->a+A


143

Resta -->a-A

Multiplicación -->A*a

División -->a/A

Potencia -->a**2

Raíz Cuadrada -->sqrt(A)

De igual forma, SCILAB maneja constantes propias

%i Número imaginario

%e Número exponencial

%pi Número Pi = 3,14159…

%eps Número muy cercano a 0

%inf Número muy grande

%t Valor booleano verdadero

%f Valor booleano falso

Estas cantidades guardan entre si relaciones de orden, especialmente útiles al momento de

programar.

Comparador Significado

> Mayor

>= Mayor o Igual

< Menor

<= Menor o igual

== Igual

<> No igual


144

Scilab permite calcular el valor de funciones trascendentales por medio de palabras reservadas en

su sistema, algunas de estas funciones son:

Función Prompt

Seno -->sin(x)

Arco seno -->asin(x)

Coseno -->cos(x)

Arco coseno -->acos(x)

Tangente -->tan(x)

Arco tangente -->atan(x)

Exponencial -->exp(x)

Logaritmo Natural -->log(x)

Logaritmo Decimal -->log10(x)

-->floor(x)

-->ceil(x)

La precisión o forma en la cual se presentan por pantalla o se manipulan datos numéricos se

pueden controlar por medio de los siguientes comandos.

-->format(14) 14 elementos

-->format(„e‟) formato científico o exponencial, coma flotante

-->format(„v‟) formato variable (por defecto)

-->format(„v‟,20) formato variable con 20 dígitos

-->format(„e‟,15) formato científico con 15 dígitos

Existe también la posibilidad de operar cantidades complejas.


145

So numeros de la forma a+bi donde i es la parte imaginaria, para lo cual a manera de ejemplo

escribir:

-->a=2-%i*2

-->b=1+4*%i

FUNCIÓN

Una función es una relación compuesta por variables, constates y operaciones

En Scilab se pueden definir de diversas formas:

De manera on-line

6. function [arg sal]=nombre(arg ent), función, endfunction

-->function [z]=juan(x), z=x^2+1, endfunction

--> juan(3)

O también

-->deff('[z]=juan(x,y)','z=sqrt(x^2+y^2)')

-->juan(3,4)

VECTORES

Vector es un arreglo de objetos que puede representarse en forma de fila o de columna.

-->a=[1, 2, 3, 4]

-->a=[1;2;3;4]

Traspuesta de un vector

--> a=[1;2;3;4]‟


146

Ejercicio: Una persona tiene tres cuentas bancarias (A, B y C) y hace tres consignaciones en cada

banco en tres momentos diferentes. Usando tres vectores, para cada día, representar la

información:

Dia 1 Día 2 Día 3

Banco A US$250 $1.345.000 EUR 200

Banco B US$300 $700.000 EUR 400

Banco C US$450 $125.000 EUR 180

MATRICES

Las matrices son arreglos de varias filas y varias columnas, que se introduce en SciLab de la

siguiente manera

-->a=[1,2,3;3,4,5;6,7,8];

-->A=[0,2,3;5,0,-1;3,-3,-5];

Ejercicios: Desarrollar en SciLab los siguientes problemas

-->a+A -->A*a

-->A+a -->a*A

-->A-a -->a.*A

-->a-A -->A.*a

-->2+A -->1/A

-->2*A

-->A/2

Algunas matrices muy útiles

[] matriz vacía

diag(x) Matriz de ceros con diagonal x

diag(X) Vector con diagonal de la matriz X


147

eye (m,m) matriz identidad

Ones(m,n) Matriz of unos

Rand (m,n) Matriz aleatoria de distribución

Zeros(m,n) Matriz de ceros

Las operaciones, entre otras que se pueden realizar con estas matrices son:

--> sum(A) suma de las componentes de la matriz A

--> sum(A,1), suma de los elementos de columna de A

--> sum(A,2), suma de los elementos de cada fila de A

--> trace(A) traza de A

--> prod(A) producto de las componentes de la matriz A

--> prod(A,1), producto elementos de cada columna de A

--> prod(A,2), producto de los elementos de cada fila de A

--> max(A) máximo de las componentes de la matriz A

--> det(A) determinante de la matriz cuadrada A

--> rank(A) rango de la matriz

--> inv(A) inversa de la matriz A

--> lu(A) factorización LU de la matriz A

POLINOMIOS

Es una expresión algebraica de la forma


148

A manera de ejemplo, considérese el siguiente polinomio, al cual se le obtiene sus raíces.

GRAFICAS CON SCILAB

Otras de las potencialidades que tiene SCILAB, son sus herramientas y facilidades para

representar de forma gráfica, diferentes tipos de funciones.

Comando plot(arg,arg);

-->A=[1,2,3,4];

-->B=[3,1,4,3];

-->plot(A,B);

-->plot2d(A,B);

Ejemplo: graficar la función cos( )y x

-->x=linspace(-1,4)‟;

-->y=cos(x)

-->plot2d(x,y);

Ejemplo: graficar la función cos( )*cos(2 )y x x


-->y=cos(x).*cos(2*x)

-->plot2d(x,y)

-->plot2d(y)

Ejemplo: graficar la función cos( )*cos(2 )y x x cos(2 )y x

sen 2 cos 3r


149


-->y=cos(x).*cos(2*x);

-->z=cos(2*x)

-->w=[y,z];

-->plot2d(x,w)

-->plot2d(y)

Para graficar en coordenadas polares, se sigue un procedimiento similar al expuesto anteriormente

Se usa el comando -->polarplot2d(arg1,arg2)

Ejemplo: Graficar en coordenadas polares

sen 2 cos 3r

-->th=[0:0.1:2*%pi]‟

-->r=sin(2*th).*cos(3*th);

-->polarplot2d(th,r)

-->x=linspace(0,2*%pi)

-->y=sin(x);

-->plot2d2(x,y)

-->plot2d3(x,y)

-->plot2d4(x,y)

Para curvas paramétricas se tiene

--> linspace(0,8*%pi);

--> param3d(t.*sin(t),t.*cos(t),3*t)

Para graficar funciones en tercera dimensión, se sigue el procedimiento

Comando -->plot3d(x,y,z)

Ejercicio: Dibuja la superficie definida por la función z=f(x,y).


150

x : vector de dimensión n

y : vector de dimensión m

z : matriz de dimensión nxm

x e y contienen las coordenadas de los puntos de la malla rectangularsobre la que se dibuja la

función z contiene los valores de la función en los nodos: z(i,j)=f(x(i),y(j))

Para construir la matriz z a partir de los vectores x e y puede ser util la función

-->[xm,ym]=ndgrid(x,y)

Ejemplo: graficar f(x,y)=cosx cosy

--> x=linspace(0,2*%pi);

-->y=linspace(0,4*%pi);

-->[xm,ym]=ndgrid(x,y);

-->z=cos(xm).*cos(ym);

-->plot3d(x,y,z)

-->plot3d1(x,y,z)

-->grayplot(x,y,z)

-->sgrayplot(x,y,z)

Las curvas de nivel, o líneas de contorno se obtiene con la serie de instrucciones

Se usa el comando --> contour(x,y,z,nz)

-->x=linspace(-1,1);

-->y=linspace(-1,1);

-->[xm,ym]=ndgrid(x,y);

-->contour(x,y,z,20)

-->contourf(x,y,z,20)


151

CR 21. DESARROLLO DE LA LÓGICA A TRAVÉS DEL JUEGO

Guillermo Adolfo Céspedes de los Ríos

Docente

Departamento de Ciencias Básicas

Universidad Católica Popular del Risaralda,

Pereira

[email protected]

Silvia Patricia Ceballos Peláez

Docente

Departamento de Ciencias Básicas


Pereira

[email protected]

RESUMEN: El juego es una necesidad permanente en la vida del hombre tenga la edad que tenga.

Su estructura es de las pocas acciones humanas que reduce su finalidad a su simple

ocurrir(Acevedo, 1999), es una herramienta semiótica válida para lograr el aprendizaje

colaborativo.

El cursillo tiene como objetivos principales estimular procesos lógicos para la estructuración mental

de la argumentación, aplicación de la heurística a la solución de problemas planteados y dinamizar

procesos de aprendizaje a través de la lúdica. El tema se abordará usando diferentes enfoques,

una parte teórica que busca contextualizar al participante en la lúdica como proceso de aprendizaje

y una parte práctica con la que se busca la experiencia del desarrollo de la lógica a través del

juego.

Referencias

Acevedo, A. (1999). Aprender Jugando 1. México D.F.: LIMUSA S.A.

Izquierdo, C. (2005). Cómo mejorar el rendimiento intelectual, guía para maestros y padres. México

D.F.: Trillas.

Maddox, H. (1988). Cómo estudiar. Bogotá: Círculo de lectores.

Osorio, D. V. (s.f.). MAESTRIA EN EDUCACIÓN UTP . Recuperado el 01 de Agosto de 2010, de

http://evaluaciondelosaprendizajesutp.blogspot.com/




152

Sánchez, M. A. (2001). Aprende a pensar, organización del pensamiento. México D.F.: Trillas.

Urrego Giraldo, M. I. (2007). Modelo Pedagógico. medellín: Editorial ITM.

PONENCIAS

PO 1. ACTITUD HACIA LA MATEMÁTICA, UN INSTRUMENTO PEDAGÓGICO E

INVESTIGATIVO1

(1. Investigación: Diagnóstico de la Educación Matemática en Cartago 2009)

Jorge Mario Estrada

Estudiante de Licenciatura en Matemáticas y Física UTP

Integrante del Semillero de Investigación en Educación Matemática SIEM

[email protected]

José Rubiel Bedoya Sánchez.

Licenciado en Matemáticas y Física

Magíster en Enseñanza de la Matemática (línea estadística)

Director del grupo de Investigación Estadística e Investigación Social – ISE

Tutor del Semillero de Investigación en Educación Matemática - SIEM

[email protected]

RESUMEN: El proceso educativo está enmarcado dentro de unos componentes educativos como

lo son el modelo pedagógico, la didáctica y la investigación, cada una de ellas tiene a su vez

características que finalmente contribuye al proceso enseñanza aprendizaje. Pero una parte vital y

que ha tomado fuerza en los últimos años es el componente actitudinal; en ocasiones observamos

que el proceso de aprendizaje se ve obstaculizado y muchas veces fracasado por creencias,

actitudes que el entorno socio cultural y algunos métodos utilizados en el sistema educativo

infunden en el estudiantado; es allí donde la actitud toma un papel fundamental en la formación de

los estudiantes y lo comenta Piaget al afirmar que la actitud y el proceso intelectual son cosas

inseparables, existe un paralelo entre diversos componentes de la actitud como lo afectivo y los

procesos intelectuales. Como parte del diagnóstico de la Educación Matemática desarrollado en

Cartago en el año 2009, por parte del semillero de investigación SIEM de la Universidad

Tecnológica de Pereira, se acogió la parte actitudinal de los estudiantes frente a la matemática,




153

tomándose como un posible factor predictor de la adquisición de conocimientos por parte de ellos;

por lo cual se construyó un instrumento (Escala de actitudes) con el objetivo de medir la actitud

hacia la matemática. Teniendo en cuenta el contexto que delimitan los lineamientos curriculares

del Ministerio de Educación Nacional, se plasmaron en la escala los 5 pensamientos matemáticos,

divididos en los tres componentes sugeridos por el ICFES: Numérico-Variacional, Geométrico-

Métrico y Aleatorio, esta medición fue realizada en estudiantes de primaria y secundaria de las

instituciones públicas y privadas. En esta ponencia se pretende dar a conocer los resultados

obtenidos en las instituciones oficiales.

1. Introducción

En la enseñanza de las matemáticas los componentes educativos, el modelo pedagógico y modelo

didáctico, han venido siendo estudiados y se han desarrollado estrategias que se ponen a

disposición de los licenciados en matemáticas como herramientas que facilitan el aprendizaje, y a

pesar de ello se encuentra aun un alto grado de aversión hacia las matemáticas, es decir se

observa el componente actitudinal afectado en gran medida y esto por ende se ve reflejado ante la

falta de desarrollo de la competencia matemática en muchos de los estudiantes de secundaria.

Las actitudes de los estudiantes hacia las matemáticas han sido objeto de medición en la última

década, diversos reportes de investigación han sido publicados tanto a nivel de secundaria como a

nivel universitario y esto se ha convertido en evidencia solida a cerca de la relación existente entre

el rendimiento académico y la actitud e incluso algunos estudios donde se ha demostrado la

relación actitud y mortalidad académica.

Como parte del proyecto se desarrollo una escala para la medición de la actitud hacia la

matemática en estudiantes de básica primaria y media con el objetivo principal de diagnosticar la

actitud hacia la matemática en estudiantes de colegios del sector oficial en el municipio de

Cartago en el departamento del Valle del Cauca.

2. Antecedentes

Han sido numerosas las investigaciones que se han realizado para conocer cuál es la actitud hacia

la matemática, tanto en estudiantes de primaria y secundaria de diferentes instituciones en

diferentes países, como también en profesores, y estudiantes universitarios; gran parte de estas

investigaciones han sido asociadas no solo a la parte matemática, sino también a la estadística.

Entre las investigaciones que se han realizado, se han aplicado diferentes tipos de escalas para la

medición de dicha variable (Actitud), entre las que se conocen están, las escalas tipo Likert, las

escalas ATS; SATS, entre otras, resaltando que la de mayor aplicación ha sido la escala tipo Likert.

Se presenta a continuación un breve resumen de los trabajos más relevantes publicados en la

última década, citados en “ACTITUDES HACIA LA ESTADISTICA E INSTRUMENTOS DE


154

EVALUACIÓN”28

:

Schau y col.29

analizan diferentes instrumentos de medición de actitudes hacia la Estadística y

encuentran a faltar en ellas una serie de características que describiremos en el momento de

estudiar la escala en la sección siguiente y deciden construir, utilizando la técnica denominada de

grupo nominal, una nueva escala, SATS, que pueda utilizarse tanto en investigación como para la

enseñanza. En sus conclusiones, además de calificar el SATS como un buen instrumento de

medida de actitudes con múltiples posibilidades de utilización, describen la existencia de relación

entre el curso, nivel y la actitud antes y después de realizar la formación.

Fernández y col.30

, citado en Philipou y Christou31

, encontraron uno de los pocos programas

diseñados para mejorar y estudiar las actitudes de profesores en formación respecto a las

Matemáticas. En él constatamos que sus experiencias formativas en Matemáticas y por extensión

en Estadística, emergen como aspectos claves en el proceso docente ya que:

"Lo que hacen los profesores en el aula refleja sus propios pensamientos y creencias".

Llegan a la conclusión de que: "La mayoría de programas de formación docente no parecen tener

en cuenta las creencias y actitudes de los participantes hacia las matemáticas". El estudio de los

pensamientos, actitudes y creencias de los maestros aporta información a tener en cuenta por los

formadores en el proceso de mejorar los programas de formación docente. Por lo tanto, cuestiones

que tengan que ver con las actitudes de los maestros hacia las matemáticas, tales como por

ejemplo „Cómo evolucionan estas actitudes‟ y „Cómo pueden alterarse‟, son de una importancia

primordial para los planificadores de programas de matemáticas para maestros.

Cazorla y col.32

realizan una investigación marcadamente psicométrica que consiste en la

adaptación y validación de una escala de actitudes hacia la Estadística, partir de la escala de

actitudes hacia las Matemáticas de Aiken33

, traducida y adaptada a Brasil por Brito34

. Utilizan

también un cuestionario para obtener información complementaria referente al curso, género,

edad, definición y autopercepción sobre la Estadistica que utilizará en sus investigaciones futuras.

Nos parece interesante resaltar el elevado tamaño de la muestra compuesta por 1154 estudiantes

matriculados en cursos de iniciación a la estadística en diferentes áreas de dos universidades de

28

ESTRADA, Assumpta. Actitudes hacia la estadística e instrumentos de evaluación. Universitat de Lleida Departament de Matemàtica, Facultat de Ciències de l'Educació. Complex de la Caparrella, s/n. 25192 Lleida España

29 SCHAU, C. Stevens J. y cols. The development and validation of the survey of attitudes towards statistics. En: Educational

and psychological measurement. 1995. Vol. 55 no. 5. p. 868-875. 30

FERNANDEZ, D. Analyzing four preservice teachers' knowledge and thoughts through their biographical histories. Proceedings of the Nineteenth International Conferences for the Psychology of Mathematics Education. Universidad Federal de Pernambuco, Recife. 1995. vol. 2, p. 162-169. 31

PHILIPPOU, G. y CONSTANTINOS, C. The effects of a preparatory mathematics program in changing prospective teachers, attitudes towards Mathematics. Educational Studies in Mathematics, 1998. vol. 35, p 189-206. 32

CAZORLA, I. M., SILVA, C. B., VENDRAMINI, C., y BRITO, M. R. F. Adaptaçao e validaçao de uma escala de attitudes em relaçao à estatística. Actas de la Conferência Internacional: Experiências e Perspectivas do Ensino da Estatística. PRESTA, Florianópolis: Florianópolis. 1999. 33

AIKEN, L.R.Jr. Two scales of attitude toward mathematics. In: Journal for Research in Mathematics Education, 1974. Vol. 5, p. 67-71. 34

BRITO, M. R. F. Adaptaçao e validaçao de uma escala de attitudes em relaçao à matemática. Zetetiké, 1998. vol. 6 No 9, p.109-162


155

Sao Paulo. Los resultados obtenidos, indican que es un buen instrumento de medida de actitudes

que permite a los profesores valorar cambios actitudinales.

Finalmente, citaremos los estudios de Gómez Chacón35

porque, aunque no sean específicos,

ponen de manifiesto la importancia del dominio afectivo en el aprendizaje de las Matemáticas,

siendo las actitudes, junto con las creencias y emociones, uno de sus descriptores básicos.

Además es uno de los pocos trabajos, basado en los estudios de McLeod36

, en los que se describe

un curso dirigido a la formación del profesorado, concretamente se planifican unos módulos de

aprendizaje para la educación emocional en Matemáticas, en uno de sus guiones de trabajo, al

hablar de la configuración de actitudes y el papel de los factores afectivos, explica la formación de

actitudes negativas a causa de factores personales y ambientales. Algunos de estos factores que

inciden en la configuración de actitudes son:

Las finalidades de la enseñanza de matemáticas desde las diferentes perspectivas del

papel de la matemática en el currículo escolar, los padres, alumnos, investigadores

matemáticos, profesorado, empresarios.

Expectativas hacia la escuela y la escolarización.

Percepciones generales y actitudes hacia las matemáticas que son transmitidas a los/las

alumnos/as.

Impacto de los valores sociales, culturales y políticos en el currículo de matemáticas.

3. Actitud

Según Gómez Chacón37

, entiende la actitud como uno de los componentes básicos del dominio

afectivo y las define: “Como una predisposición evaluativa (es decir positiva o negativa) que

determina las intenciones personales e influye en el comportamiento”(p.23).

Para Gal y Garfield38

, las consideran como “Una suma de emociones y sentimientos que se

experimentan durante el período de aprendizaje de la materia objeto de estudio”(p.40). Según

estas definiciones muestra como la actitud es un conjunto de emociones positivas o negativas que

generan sentimientos de aceptación o rechazo hacia la materia u objeto de estudio, son estas

actitudes las que permiten el pleno desarrollo del pensamiento del individuo como tal, lo cual

conlleva al aprendizaje y desarrollo cognitivo del ser humano; aunque se han manejado los

35 GOMEZ, Chacon I.. Matemática emocional. En: Los afectos en el aprendizaje matemático. Madrid 2000.

NARCEA, S.A, Ediciones 36

McLEOD, D. B. Research on affect in mathematics education. In: A reconceptualization. Handbook of

Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan y N.C.T.M. 1992.

37 GOMEZ, Chacon I.. Matemática emocional. En: Los afectos en el aprendizaje matemático. Madrid 2000. NARCEA, S.A,

Ediciones.

38 GAL, I. Ginsburg, L. Monitoring attitudes and beliefs in statistics: Education. In Gal & Garfield (eds). Netherlands 1997.

The assessment challenge in statistics education p 37-51.


156

sentimientos y las actitud como aspectos distintos el uno del otro, la realidad es que están

claramente relacionados influyen uno en otro indistintamente. Un ejemplo claro es como lo define

Auzmendi39

, las actitudes son “aspectos no directamente observables sino inferidos, compuestos

tanto por las creencias como por los sentimientos y las predisposiciones comportamentales hacia

el objeto al que se dirigen”.

3.1 Actitud hacia la Matemática y Actitudes Matemáticas

Las siguientes definiciones fueron tomadas del artículo publicado por Martínez Padrón40

quien

plantea lo siguiente: Sobre la base de lo considerado por Gómez Chacón41

t sustentada en las

ideas de la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), se encontró que cuando el objeto

es la Matemática, es posible hablar de las siguientes categorías: (a) actitudes hacia la Matemática,

y (b) actitudes Matemáticas.

Las actitudes hacia la Matemática tienen que ver con la valoración, el aprecio, la satisfacción, la

curiosidad y el interés tanto por la disciplina como por su aprendizaje, acentuando mas el

componente afectivo que el cognitivo. En este caso, se puede observar situaciones donde, por

ejemplo, la Matemática es valorada y apreciada por: (a) la posibilidad que da para resolver

problemas cotidianos; (b) la posibilidad de aplicarla en otras ramas del conocimiento; (c) su belleza,

potencia y simplicidad al ser usada como lenguaje; y (d) estar conformada por métodos propios.

En cambio, las actitudes Matemáticas se caracterizan por considerar las capacidades de los

sujetos y su modo de utilizarlas. Tales capacidades tienen que ver con “la flexibilidad de

pensamiento, la apretura mental, el espíritu crítico, la objetividad, etc., que son importantes en el

trabajo matemático”. De esta manera, destaca el carácter cognitivo, antes que el afectivo, que

impera en la categoría anterior.

4. Metodología

4.1 Tipo de estudio

El desarrollo de este proyecto se llevo a cabo a través de una diseño cuantitativo - descriptivo, que

permite la caracterización de la actitud hacia la matemática de forma cuantitativa y la validación de

la escala para realizar dichas mediciones.

4.2 Población de estudio

Se tomó como población de estudio, los estudiantes de todas las instituciones públicas y privadas

de la zona urbana del municipio de Cartago, que ofrecían educación básica y/o media durante el

39

AUZMENDI, E. Las actitudes hacia la Matemática Estadística en las enseñanza media y universitaria. España. Bilbao. 1992

40 MARTINEZ, P. Oswaldo. Discusión pedagógica. Actitudes hacia la matemática. En: Sapiens

revista universitaria de investigación. Junio 2008. Año 9. No 1. p. 237 – 256. 41

GOMEZ, Chacon I.. Matemática emocional. En: Los afectos en el aprendizaje matemático. Madrid 2000. NARCEA, S.A, Ediciones.


157

año 2009. La información necesaria para construir el marco muestral fue dada por la Secretaria de

Educación Municipal de Cartago, dando a conocer el listado de colegios y escuelas de la ciudad,

para un total de 32 instituciones registradas, y una población general de 4415 estudiantes entre los

tres grados (para grado quinto, noveno y once, 1814, 1487 y 1114 estudiantes respectivamente).

Se realizó sobre la población un muestreo aleatorio doblemente estratificado (por nivel escolar: 5o,

9o y 11o. y tipo de institución: pública y privada), se seleccionaron aleatoriamente 15 estudiantes

por grado para un tamaño muestral total de 665 estudiantes en el municipio de Cartago, de los

cuales 380 pertenecían a instituciones oficiales.

4.3 Construcción y validación de la escala de medición

La escala de actitud se construyó usando la metodología tipo Likert y teniendo en cuenta por un

lado los componentes pedagógicos: afectivo, cognitivo y comportamental y por otro los

componentes matemáticos: métrico-geométrico, numérico-variacional y aleatorio. Se construyeron

45 ítems que permitían tener información para ambos componentes.

Para la validación de la escala se realizó una prueba piloto con muestreo por conveniencia de la

población objeto de estudio, con la cual se pretendió reforzar la construcción del instrumento y

estimar la variabilidad de la población para realizar un cálculo previo del tamaño muestral

adecuado, también se evaluaron inconsistencias, errores de redacción e ítem pocos

comprensibles. Finalmente se utilizó el método Multivariado de análisis factorial para verificar la

validez de contenido y el análisis de fiabilidad mediante el método de consistencia interna (alfa de

Cronbach = 0.933).

4.4 Procesamiento y Análisis de la Información

Previo a la digitación de la encuesta se realizo un control de calidad de la información donde se

tuvo en cuenta datos faltantes y/o encuestas mal diligenciadas, estas se eliminaron del estudio o

en medida de lo posible se corrigieron, siempre y cuando no afectara la validez del estudio;

posteriormente se creó una base de datos en Excel con la información aportada por cada uno de

los ítems de la escala, se analizó en el paquete estadístico SPSS versión 17.0 a través de métodos

cuantitativos estadísticos, que permitieron realizar estimaciones poblacionales a través de

estimación puntual y por intervalos de confianza.

5. Resultados

La distribución por genero es equitativa mostrando la accesibilidad de diversos géneros a la

educación en Cartago, además de condiciones sociales diversas, este análisis recoge población

de todos los estratos sociales aunque aproximadamente el 85% de los estudiantes son de estratos

1,2 y 3, es decir de un estrato medio hacia abajo (propio de las instituciones oficiales en el país).

Figura 1. Distribución de la Actitud hacia las Matemáticas


158

Teniendo en cuenta que la puntuación toma valores entre 45 puntos (actitud muy negativa) y 225

puntos (actitud muy positiva), con un valor intermedio de 135 puntos que indica indiferencia hacia

la matemática, se puede decir que la puntuación promedio (161,9) obtenida en la escala de actitud,

muestra que los estudiantes de instituciones oficiales de la ciudad de Cartago, presentan una

actitud hacia la matemática que se puede clasificar entre indiferente y positiva, resultado no

esperado por los antecedentes y problemas que se plantean a diario en la enseñanza de las

matemáticas, cuando es frecuente ver que dicha asignatura es por lo general “difícil” para los

estudiantes.

Con respecto a las subescalas conformadas, los valores oscilan entre 12 y 60 puntos, donde un

valor de 36 puntos indica una actitud indiferente, se puede notar que para las subescalas:

numérico-variacional, geométrico-métrico y aleatorio los valores muestran resultados similares a la

escala total. Esto indica que los estudiantes presentan una predisposición similar en cualquiera de

las áreas antes mencionada, aunque se observa una leve tendencia a presentar una actitud más

desfavorable hacia la geometría.

Tabla 1. Estadísticos descriptivos de actitud por componente matemático.

Estadísticos descriptivos

Actitud Mínimo Máximo Media Desv. típ. Coef Var

puntaje total 74.00 219.00 161.86 28.42 17.6%

puntaje numérico-

variacional

16.00 60.00 43.24 8.76 20.3%

puntaje geométrico-

métrico

15.00 60.00 40.39 8.57 21.2%

puntaje aleatorio 14.00 60.00 44.14 8.95 20.3%


159

Diferentes estudios han tratado de explicar como la actitud del estudiante puede influir en el

rendimiento académico por ejemplo para Iben42

en un estudio transnacional entre Japón, Australia

y USA con la evaluación de 1774 niños de séptimo y octavo grado exploraron la relación actitud y

logro en matemáticas, en términos del desarrollo de pensamiento abstracto y relaciones

espaciales, el hallazgo descrito fue que niños con reporte de menos logros obtenidos fueron

quienes presentaron menos confianza en la matemática como dominio de la actitud. Ma Xin y cols

43,44

realizaron dos metaanálisis para estimar en forma combinada y definitiva la relación actitud y

rendimiento académico en matemáticas reportando una asociación estadísticamente significativa

pero de magnitud leve; aunque no está bien definida la dirección de dicha relación causal existen

estudios como el de Ma Xin45

donde, mediante análisis de ecuaciones estructurales, determinan el

orden en la relación actitud - logro académico siendo la actitud un determinante del desempeño

académico.

Figura 2. Intervalos de Confianza (95%) de la actitud por componentes matemáticos

según género

42

HALADYNA T, Shaughnessy J, Shaughnessy JM. A Causal Analysis of Attitude toward Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education. 1983;Vol. 14(1) p.19-29}

43 MA X. A Meta-Analysis of the Relationship between Anxiety toward Mathematics and

Achievement in Mathematics. Journal for Research in Mathematics Education1999. Vol.30(5). p. 520-40.

44 MA X, Nand K. Assessing the Relationship between Attitude toward Mathematics and

Achievement in Mathematics: A Meta-Analysis. Journal for Research in Mathematics Education. 1997. Vol. 28(1). p.26-47.

45 MA X, Xu J. Determining the Causal Ordering between Attitude toward Mathematics and

Achievement in Mathematics. American Journal of Education2004;110(3):256-80.


160

La gráfica nos indica que en términos generales no hay diferencia por género en la actitud hacia

las matemáticas, al igual se puede observar mejor actitud hacia el componente estadístico en

ambos géneros y un poco menor la actitud hacia la geometría en las niñas.

La relación de género y actitud hacia la matemática es ampliamente discutida en la literatura

actual, algunos estudios46,47

no apoyan diferencias en el género, pero otras publicaciones

sustentan tales diferencias con un cuerpo de evidencia bastante amplio como es mostrado en un

metaanálisis hecho por Frost48

y Cols, quienes combinaron 100 estudios que median diferencias en

sexo para desempeño en matemáticas, actitud y afecto hacia las matemáticas, reportando una

diferencia por sexo (pequeña y negativa para las mujeres), aunque otros autores como Haladyna49

han demostrado que aunque la actitud es explicada por variables exógenas, como el género y la

clase social las cuales son inmodificables, existen otras variables endógenas como la calidad del

profesor y el ambiente de aprendizaje que tienen alto impacto sobre la actitud del estudiante y son

modificables.

Figura 3. Intervalos de Confianza (95%) de la actitud por componentes matemáticos según

nivel escolar cursado por el estudiante.

En los resultados del puntaje de actitud hacia la matemática por grados, se observa claramente

que en grado quinto la actitud es mejor y a medida que se avanza en el nivel escolar esta

46 AKPINAR E, YildIz E, Tatar N, Ergin Ö. Students' attitudes toward science and technology: an investigation

of gender, grade level, and academic achievement. Procedia - Social and Behavioral Sciences. 2009. Vol. 1(1) p. 2804-2808.

47 KÖGCE d, yildiz c, aydin m, altindag r. examining elementary school students' attitudes towards

mathematics in terms of some variables. procedia - social and behavioral sciences. 2009. Vol. 1(1) p. 291-295.

48 FROST LA, Hyde JS, Fennema E. Chapter 2 Gender, mathematics performance, and mathematics-related

attitudes and affect: A meta-analytic synthesis. International Journal of Educational Research1994;21(4):373-85.

49 HALADYNA T, Shaughnessy J, Shaughnessy JM. A Causal Analysis of Attitude toward Mathematics.

Journal for Research in Mathematics Education1983;14(1):19-29.


161

disminuye, aunque esta disminución de un grado a otro es leve, esto quizá por el aumento en la

complejidad de los temas. Al examinar por componente el comportamiento es igual para los tres

grados y es notorio que los componentes numérico-variacional y aleatorio presenta las mejores

puntuaciones y el geométrico-métrico el más bajo para los tres grados. Aparentemente el

componente estadístico tiene una mejor aceptación por parte del estudiante quizá por la alta

confrontación que se tiene entre los temas estadísticos y la cotidianidad del estudiante, lo cual no

sucede para la geometría y en el caso del componente numérico-variacional es el componente al

que más se le trabaja en las clases de matemáticas en nuestro contexto.

Tabla 2. Puntajes promedio de actitud por componente matemático según grados

Componente 5° 9° 11°

Numérico

Variacional 45.97 40.66 42.84

Geométrico -

métrico 43.25 38.87 39.24

Aleatorio 46.06 43.16 43.20

El comportamiento encontrado en la actitud en este estudio es similar al reportado Kögce50

y cols.

quien realizó un estudio tipo encuesta sobre 200 estudiantes d1e 6°,7° y 8° grado seleccionados

aleatoriamente, las diferencias encontradas de la actitud según el grado son significativas y

negativas, es decir, a mayor grado una actitud más negativa.

6. Conclusiones

La actitud hacia la matemática por parte de los estudiantes de primaria y secundaria en

la ciudad de Cartago está entre indiferente y positiva, aunque se esperaría fuese

negativa, como lo indican las observaciones empíricas.

La actitud es positiva en grados inferiores y conforme se avanza académicamente

esta actitud se desmejora, esto debido posiblemente a factores endógenos como

formación del profesor y ambiente de aprendizaje.

La actitud hacia el componente estadístico es más positiva comprada con los

componentes numérico-variacional y geométrico métrico, quizá por la alta

confrontación de los temas de esta área con la cotidianidad del estudiante.

La actitud hacia la matemática es un componente importante en el proceso de

enseñanza y aprendizaje, este integrado a nuestros planes de estudio puede detectar

problemas en el aprendizaje del estudiante, que se pueden corregir a tiempo.

50 KÖGCE d, yildiz c, aydin m, altindag r. examining elementary school students' attitudes towards

mathematics in terms of some variables. procedia - social and behavioral sciences. 2009. Vol. 1(1) p. 291-295.


162

La utilidad de la escala de actitud hacia la matemática, construida en esta investigación

en el medio educativo colombiano es alta ya que refleja los lineamientos curriculares

en matemáticas del Ministerio de Educación Nacional y serviría como medio

diagnóstico para que el docente conozca mejor la disposición de trabajo de sus

estudiantes, permitiéndole diseñar planes que enriquezcan el aprendizaje. Además

permite a través de su uso, analizar si la implementación de metodologías poco

tradicionales son favorables o no en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las

matemáticas.

Referencias

1. ALBAN, Conto María Carolina. Colombia en PISA 2006: Síntesis de resultados. Colombia.

Instituto colombiano para el fomento de la educación superior. 2007.

2. AIKEN, L.R.Jr. Two scales of attitude toward mathematics. In: Journal for Research in

Mathematics Education, 1974. Vol. 5, p. 67-71.

3. AUZMENDI, E. Las actitudes hacia la Matemática Estadística en las enseñanza media y

universitaria. España. Bilbao. 1992

4. BAZÁN, J. Metodologia estadistica de construccion de pruebas. una aplicación al estudio de

actitudes hacia la matematica en la Unalm. Trabajo de grado de Ingeniero Estadístico. México

D.F. UNALM. Deparatmento de Matematicas. 1997.

5. Ministerio de Educación Nacional Matemáticas. Lineamientos curriculares. MEN. Bogotá.

(1998).

6. RUIZ B. Carlos. Validez. Programa Interinstitucional doctorado en educación. disponibles en:

http://www.carlosruizbolivar.com. Consulta: 12-feb-2010.


163

PO 2. APLICACIÓN DE LOS SISTEMAS TECNOLÓGICOS DE CONVERSIÓN DE ENERGÍA

SOLAR51

Justo Pastor Valcárcel

Facultad de Educación

Universidad Surcolombiana

Neiva (H), A.A. 385.

[email protected],[email protected]

Hernando González

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales


Neiva (H), A.A. 385


RESUMEN: La conversión de la energía solar no radica únicamente en la producción de energía

fotovoltaica. El uso de las energías renovables y su aplicación permite seguir alternativas que

redundarán en la posibilidad de generar un desarrollo sustentable o sostenible.

Las diferentes posibilidades estriban también en el manejo de diseños arquitectónicos adecuados

al clima de la región. Esta arquitectura bioclimática define conceptos que usan los principios físicos

de conducción, convección y radiación de los materiales sólidos, líquidos y gaseosos, cuya acción

puede hacer más confortable las casas de habitación y los lugares de trabajo usando diseños que

aíslen el microclima y reduzcan el uso de aires acondicionados o calentadores. Para esto se

requiere de un amplio conocimiento del movimiento del Sol a lo largo del año y de las propiedades

de los materiales de construcción.

En particular las propiedades de los vidrios para las ventanas es una de los aspectos más

relevantes en este tipo de diseños. Entre los materiales utilizados es necesario conocer sus

propiedades de transmisión de la radiación infrarroja, para calentar el interior de la vivienda y al

mismo tiempo restringir el uso de iluminación artificial lo cual trae un considerable ahorro de

energía. Las investigaciones recientes se dedican al desarrollo de materiales electro-crómicos, es

decir, de aquellos materiales que pueden variar su color para adecuarse a las necesidades y

51 1 Este artículo corresponde a la publicación de los resultados obtenidos en el informe de investigación del

Proyecto aprobado por la Vicerrectoría de Investigación y Proyección Social, de la Universidad

Surcolombiana: “Desarrollo de Tecnología en Energía Solar Directa y Fotovoltaica, Fase II”

mailto:[email protected],[email protected]



164

actuar en diferente forma en la mañana que al medio día. Estos últimos materiales generalmente

están fabricados en películas delgadas que las hacen aptas para amoldarse a cualquier geometría

de superficie.

En estas circunstancias es preciso contar con los conocimientos básicos de materiales apropiados,

que permitan captar la radiación solar y obtener de forma eficiente su correspondiente

transformación.

Descriptores: energía solar, conversión, sistemas de captación


165

PO3. BIOLOGÍA QUÍMICA COMO UN CURSO ELECTIVO PARA QUÍMICOS Y BIÓLOGOS:

OBJETIVOS Y PERSPECTIVAS

Vladímir V. Kouznetsov

Laboratorio de Química Orgánica y Biomolecular, Facultad de Ciencias, Universidad Industrial de

Santander, A.A. 678, Bucaramanga, Colombia.

[email protected]

Leonor Y. Vargas Méndez

Grupo de Investigaciones Ambientales, Facultad de Química Ambiental, Universidad Santo Tomás,

A.A. 1076, Bucaramanga, Colombia.

RESUMEN: En este artículo se discuten los problemas, términos y tareas de una ciencia

emergente, la Biología Química. Se dará el programa, y el orden del material para que sea

entendible para los estudiantes de las careras de Química y Biología.

Descriptores: Biología química, curso electivo.

1. INTRODUCIÓN

Los cursos electivos forman parte del currículum de cualquiera carera universitaria

complementando la base científica de los estudiantes. Sin embargo, muchos estudiantes los toman

“por rellenar los créditos” sin saber de qué se trata y sin ningún interés científico especial. Cuando

se trata de un curso electivo novedoso para los estudiantes de ambas careras: química y biología,

los profesores también tienen dificultades, momentos de duda - cómo se puede organizar el nuevo

material que está en los libros, cómo hacer aplicable este material para un estudiante que tiene

interés y tal vez, se especializará en este campo. Y también hay que responder a una pregunta

importante: ¿porqué hay necesidad de dar este curso?

Primero, hace falta aclararle al estudiante que la Biología Química es una nueva disciplina en la

interfase entre la química orgánica sintética, la biología molecular, la biología estructural y la

celular; su tarea principal es explicar las ideas fundamentales relacionadas con la química de la

vida y también de ampliar nuestros conocimientos en el comportamiento de un organismo vivo a

través de sus interacciones entre las macromoléculas biológicas (endógenas) y moléculas

orgánicas pequeñas (exógenas), es decir, profundizar la comprensión de los procesos biológicos a

nivel molecular.

2. DISCUSIÓN



166

El objetivo del curso es dar una visión amplia al estudiante del poder principalmente, investigativo

en diversas áreas: biomedicina, biotecnología, tecnología médica, farmacéutica, farmacia, química

medicinal etc.

Teniendo un enfoque único a la integración de las técnicas fisicoquímicas experimentales y

biológicas, la biología química “se apoya” en áreas importantes e influyentes del proceso educativo

de química y biología a todos los niveles (pregrado, maestría y doctorado) que son las materias

básicas de química orgánica y bioquímica, las cuales, a su vez, y constituyen una base sólida para

la biología estructural y la biología molecular.

Entonces, estas dos disciplinas principales son requeridas para entender los procesos biológicos

que ocurren en los sistemas vivos, pero no son los “únicos requisitos”. Además del conocimiento

básico de estas disciplinas, hace falta tener los principios esenciales de química orgánica sintética

ya que biología química trata de entender los sistemas biológicos estudiándolos por medio de

moléculas orgánicas sintéticas o/y naturales.

Cabe notar que biología química difiere de la bioquímica (química biológica) principalmente en sus

métodos químicos de análisis de los productos del metabolismo secundario y sus

interconversiones, mientras la última estudia las macromoléculas nativas (productos del

metabolismo primario). La biología química tampoco es la química bio-orgánica que investiga los

productos del metabolismo secundario.

Como las materias básicas: química orgánica, bioquímica y biología molecular y celular influyen

mucho en el desarrollo de la materia biología química, sería conveniente primero estudiar los

programas de estas materias, segundo adoptar sus temas relevantes para el curso electivo y

tercero organizar material para que sea entendible para estudiantes de ambas carreras (Química y

Biología).

En este sentido, hace falta mencionar que como es una zona de frontera entre varias disciplinas,

se necesita una gran colaboración entre los profesores de carrera de Biología y de Química. El

nivel de preparación del estudiante que toma este curso debe ser bastante bueno. La situación real

con los estudiantes de ambas carreras (experiencia en la UIS) se explica en Figura 1. De

costumbre, los estudiantes de estas dos carreras usan el idioma y términos científicos diferentes,

por ende, casi siempre no se entienden entre sí, peor aún, no comprenden la importancia de

algunos procesos químicos o/y biológicos y no pueden utilizar sus conocimientos en áreas afines

de sus carreras.

Figura 1. Capacidad de los estudiantes para entender el curso “Biología Química.


167

Entonces, el estudiante que toma este curso debe haber cursado las dos disciplinas química

orgánica y bioquímica, ambas son materias básicas para las dos carreras Química y Biología.

Aunque sus contenidos (programas) difieren mucho, estos conocimientos van a servir de base para

la construcción de una materia. Sin embargo, el estudiante de química no va a entender los

procesos celulares ya que materia biología molecular y celular no entra en su pensum y el

estudiante de biología no va a entender la lógica de construir moléculas orgánicas porque no está

familiarizado con la síntesis orgánica por la misma causa. Para mejorar esas insuficiencias se

piensa dar los dos capítulos de introducción (“Moléculas orgánicas y su construcción” y “Química

de las células y su organización”) donde se explican en forma precisa, concreta y muy ilustrativa

los principios químicos y biológicos, tratando usar el mismo idioma y los términos.

El curso, que se prepone dictar, tiene la tarea principal de explicar las ideas fundamentales

relacionadas con la Química de la vida y también de ampliar los conocimientos de los estudiantes

en el comportamiento de un organismo vivo a través de sus interacciones entre las

macromoléculas biológicas y moléculas orgánicas, aplicando el criterio de la comprensión de los

mecanismos de acción a nivel molecular. Para cumplir este objetivo principal del curso se hace

falta trazar los objetivos específicos en los siguientes términos de competencias:

Reconocer y diferenciar los tipos generales de interacciones específicas entre una molécula

pequeña y macromoléculas biológicas (sobre todo, enzimas y receptores) del sistema vivo,

analizando la respuesta biológica y la estructura molecular de esta molécula durante estas

interacciones y luego aplicando los criterios básicos en la investigación de la relación

estructura química - actividad biológica.

Situación tradicional

Estudiantes de Biología no comprenden el

idioma de Química (Orgánica), por ende,

temen y no pueden meterse en los problemas

químicos de los sistemas vivos.

Estudiantes de Química saben “algo” de los

procesos biológicos (gracias al curso Bioquímica),

pero por lo general se orientan mejor en los

problemas químicos de los sistemas vivos.

Estudiantes del curso

“Biología química”


168

Aplicar los conocimientos de los cursos anteriores de la química orgánica y la bioquímica en

el estudio de los mecanismos de acción de una molécula concreta (compuesto exógeno)

desde la perspectiva de los fenómenos bio-químicos moleculares que sufren todas las

moléculas orgánicas naturales, sintéticas o fármacos y macromoléculas biológicas

(proteínas, ADN, ARN), recordando las propiedades físico-químicas de moléculas

participantes en estas interacciones.

1.

Analizar la estructura química de las moléculas pequeñas y la respuesta biológica en el

entendimiento de los mecanismos de acción desde la perspectiva de las propiedades físico-

químicas de las moléculas orgánicas y sus dianas de un ser vivo.

Predecir algunos mecanismos de interacción entre una molécula pequeña y su diana,

basándose en la premisa de que las estructuras moleculares de estos componentes

determinan la respuesta biológica del sistema vivo.

2.

Adquirir una consistente formación en los aspectos fundamentales de creación de una nueva

molécula parecida a productos naturales que conforma la biología química realizando el

análisis de la relación estructura química – actividad biológica de la interacción específica

entre una molécula dada y una macromolécula concreta.

El propio programa se comienza como se mencionó anteriormente por los dos capítulos de

introducción donde los estudiantes de química y de biología se alimentan de posibles temas:

Capítulo “Moléculas orgánicas y su construcción” debe contener las siguientes nociones

generales:

“Cientomoléculas” (moléculas pequeñas de bajo peso molecular) y macromoléculas,

su relación. Requisitos de una molécula pequeña. Tácticas y estrategias de preparar

moléculas pequeñas. Síntesis lineal, síntesis convergente. Principales mecanismos

de las reacciones orgánicas: iónicos y radicalares; concertados y no-concertados.

Catalizadores. Biocatalizadores. Medios de reacción químicos y bioquímicos.

Reacciones multicomponentes. Metodologías TOS y DOS. “Click chemistry”.

Capítulo “Química de las células y su organización” a su vez debe ser orientada a los aspectos

bioquímicos generales de las células:


169

Niveles de organización en biología. Formas de vida: Priones, Virus, Viroides,

Células procarioticas, Células eucarioticas. Métodos de estudio de la célula y los

tejidos. Ciclo vital de la célula. División celular: cariocinesis (mitosis) y citocinesis.

Muerte celular. Conversión energética: oxidación mitocondrial, peroxisomas y su

actividad enzimática.

Después de dar estos temas, se recomienda hacer dos talleres con las exposiciones de los

estudiantes de química con los temas “biológicos” y las exposiciones de los estudiantes de biología

con los temas “químicos”. La función del profesor es orientar a los estudiantes, enfocándolos a los

problemas de la interfase de “química orgánica - biología”.

Luego, se dan los temas relacionados con los componentes principales de la célula y sus

moléculas participantes en los procesos biológicos. Al dar estos materiales, hace falta tener en

cuenta que los estudiantes han visto algunos procesos (bio)químicos antes en las disciplinas

básicas (química orgánica, bioquímica y/o biología). Cada una de estas disciplinas es bastante

voluminosa y trae mucha información (Figura 2).

La tarea del profesor del curso consiste seleccionar bien los temas que pueden ayudar a los

estudiantes a entender mejor estos procesos (bio)químicos. No se trata de la simple repetición del

material sino la adopción del material necesario para el curso.

Figura 2. Los libros “voluminosos” de las disciplinas básicas para entender el curso “Biología

Química.

Capitulo “Células como compartimentos. El rol de membranas celulares”

Lípidos: Fosfolípidos. Glicolípidos. Proteínas. Tipos de estructuras. Membranas

biológicas y sus características comunes. Pared celular vegetal: pared primaria,

pared secundaria, cutícula.


170

Capitulo “Transducción de señales”

Introducción. Señales químicas entre células. Moléculas de señalización. Proteínas

G y sus receptores. Estructura molecular. Su utilidad en la fisiología celular.

Reacciones bioquímicas en cascada. Rodopsina como biomolécula-modelo.

Efectores asociados. Segundos mensajeros. Ejemplos de receptores importantes.

Moléculas de señalización en vegetales.

Capitulo “Proteínas como catalizadores”

Introducción. Proteínas y sus constituyentes (α-aminoácidos): las características

físico-químicas y aspectos estereoquímicos. Estructuras de proteínas. α-Keratina.

Proteínas globulares. Principios generales de la catálisis enzimática. Inhibidores

enzimáticos como fármacos.

Capitulo “Síntesis química y biológica”

Introducción. Síntesis química de polipéptidos y proteínas. Síntesis en fase sólida de

análogos de bradikinina. Síntesis química de oligosacáridos. Aislamiento de la

fosforilasa del tomate y síntesis enzimática de la amilasa. Síntesis biológica de

macromoléculas biológicas. Ribosoma, retículo endoplasmático liso y complejo de

Golgi, sus funciones y roles en la síntesis de bimoléculas.

Capitulo “Metabolismo y bioquímica de la glucosa”

Azúcares: estructura y propiedades físico-químicas. Azúcares fosfato. Triosa fosfato

isomerasa y su rol. Glicólisis (metabolismo oxidativo) de la glucosa. Catabolismo de

la glucosa. Transporte activo de la glucosa. Producción de la energía.

Al final del curso se dan los temas relacionados con las metodologías modernas en el estudio de la

biología química que pueden realizar y detectar las respuestas de los sistemas vivos después de

perturbarlos por medio de utilización de las moléculas pequeñas como instrumentos químicos:

Capitulo “Metodologías importantes en el estudio de la Biología química”


171

Espacio químico y espacio biológico. Generación de diversas quimiotecas (librerías

químicas). Fuentes de confección de moléculas pequeñas para generar librerías.

Sensibilización química. Tipo de ensayo (bioquímico, celular, fenotípico,

mircoensayo etc.). Formatos de ensayo: a) cribado de alto rendimiento (HTS, High-

Throughput Screens); b) cribado de alto contenido (HCS, High-Content Screens) y c)

microcridabo de moléculas “pequeñas” (SMM, Small-Molecule Microarrays).

Tecnología de detección (luminiscencia, fluorescencia, radioactiva etc.). Utilización

de los reactivos requeridos (líneas celulares, sustratos enzimáticos, proteínas

purificadas, anticuerpos, controles positivos y negativos etc.). Técnicas de

bioconjugación.

Además de las dificultades con el idioma y términos de ambas ciencias que usan los estudiantes

de carrera de química y biología, se tiene una gran escasez con los textos del curso. Hasta ahora

se encuentran pocos libros de biología química:

1. Miller, A.; Tanner, J. “Essentials of Chemical Biology”, Wiley, Chichester, 2008.

2. Dobson, C.M.; Gerrard, J.A.; Pratt, A.J. “Foundations of Chemical Biology”,

Oxford University Press, Oxford, 2007.

3. Waldmann, H.; Janning, P. “Chemical Biology. A practical course”, Wiley-VCH,

Weinheim, 2004.

También se recomiendan los siguientes libros para reforzar los dos capítulos iniciales del curso:

1. “Biología celular”, 2ª Edición, Paniagua, R., editor, McGraw-Hill Interamericana,

Madrid, 2003.

2. Smith, M.B. “Organic Synthesis”, Second Edition, McGraw-Hill, Boston, 2003.

El profesor del curso debe utilizar la literatura científica moderna de las revistas especializadas:

Nature Chemistry Biology

ACS Chemistry Biology

Chemistry Biology

Current Opinion Chemistry Biology

La utilización sabia de los materiales de estas revistas por parte del profesor ayudará a

complementar los conocimientos actuales del curso electivo.


172

3. CONCLUSIÓN

A pesar de los retos enormes, se puede organizar este curso nuevo que orienta a los estudiantes

hacia las investigaciones básicas de la interfase de la Química Orgánica y la Biología. El curso es

importante en el sentido de generar el nuevo conocimiento sobre las funciones de sistemas vivos

que tendrá un impacto clave dentro de un futuro próximo en la prevención de las enfermedades,

para la lucha contra polución ambiental, para la estimulación de la agricultura y para el diseño de

nuevos materiales.


173

PO 5. ¿CÓMO EN UN ESPACIO DE APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS, APORTAMOS AL

GRAVE PROBLEMA QUE TENEMOS HOY DE MEDIO AMBIENTE?52

Luz Elena Osorio Mansilla

Estudiante Maestría en la Enseñanza de las Ciencias

Línea de investigación Didáctica de las Matemáticas

Lic. Educación básica con énfasis en matemática e informática

Docente Institución Educativa Santo Domingo Savio

Balboa Risaralda

[email protected]

RESUMEN: Este artículo presenta una experiencia de enseñanza, en donde se articulan algunos

conocimientos incluidos dentro de los currículos de matemáticas a nivel de bachillerato y el PRAE

(Proyecto Ambiental Escolar) que hace parte también de los planes de estudio como eje

transversal del conocimiento.

Se plantea el aprendizaje de las matemáticas, desarrollando conceptos propios de esta ciencia

como también de otras de sus ramas como la estadística, la trigonometría y la geometría,

articulando conocimiento, de tal manera que aportan en la formación de jóvenes que respetan su

medio ambiente.

Descriptores: PRAE, aprendizaje de las matemáticas, articulación del conocimiento.

1. INTRODUCCIÓN

Esta experiencia se desarrolló en la Institución Educativa Santo Domingo Savio del municipio de

Balboa Risaralda, y fue dirigida a estudiantes que cursan grados de sexto a once.

Los PRAES, son proyectos que están soportados bajo todo un marco jurídico, entre ellas la

Constitución nacional en sus art. 67 y 79, Ley 99 de 1993, Ley general de educación 115 de 1994,

la Política nacional de educación ambiental, el Decreto 1743 de 1994 entre otras, que todos los

establecimientos educativos deben tener vinculado dentro de sus currículos, como un tema de eje

transversal que debe ir articulado con todas las áreas del conocimiento que se orientan en cada

institución.

52

Este trabajo hace parte del Proyecto “La Ciencia para conocer el medio ambiente”, realizado por

docentes del área de matemáticas en la I.E. Santo Domingo Savio del municipio de Balboa Risaralda.


174

Estos proyectos buscan desde el aula de clase, vincularse en la solución de la problemática

ambiental. Tarea que para el docente se traduce desde un punto de vista de la formación: Educar

para el respeto del medio ambiente.

La enseñanza en matemáticas articulado con estos proyectos, aportan a este objetivo ya que como

educadores en ciencias, se tiene la labor de formar en pensamiento científico (no científicos),

provocando en los jóvenes sentido crítico, reflexivo, que preguntan, que saben trabajar en equipo,

que se equivocan y vuelven a intentarlo sin perder las esperanzas.

Bajo esta perspectiva, el área de matemáticas de la Institución Educativa Santo Domingo Savio, se

puso la tarea de reorientar contenidos, de tal manera que la ciencia le sirviera al estudiante o le

fuera útil en la solución de un problema ambiental que él estuviera viviendo. Considerando que el

aprendizaje debe darse de manera contextuada sin dejar de lado la motivación del estudiante para

realizar este aprendizaje.

2. MATEMATICAS Y PRAE

Desde el área de matemáticas, se diseñaron varias propuestas, que se diseñaron como sub

proyectos educativos que aún se siguen alimentando y todas ellas hacen parte del proyecto:

La ciencia

para

conocer el

medio

ambiente.

Este proyecto fue formulado para ser parte del proyecto PRAE de la institución educativa Santo

Domingo Savio, en donde aportan también otras áreas del conocimiento.

Aquí se plantean tres de los sub proyectos desarrollados:

2.1 SUBPROYECTO 1

“Las herramientas matemáticas para conocer y mejorar el entorno de la comunidad

educativa Santo Domingo Savio”


175

Conceptos matemáticos involucrados: ESTADISTICA.

Logros académicos a alcanzar: Determinar el espacio muestral para un experimento, utilizar

tablas de frecuencias y diagramas para representar los resultados posibles, realizar análisis y

plantear posibles soluciones.

OBJETIVO:

Lograr que los estudiantes de grado noveno con el uso de herramientas matemáticas como la

estadística, realicen análisis sobre su propio entorno, el buen uso de las instalaciones sanitarias y

al manejo de los residuos sólidos.

JUSTIFICACION:

En la actualidad se presenta mucha falta de sentido de pertenencia por el entorno, pues algunos

salones de clase permanecen muy sucios, después de los descansos se observa mucha basura

tirada en el piso, los estudiantes no manejan ninguna técnica de reciclaje, no se maneja bien el

recurso agua y también existe mucha contaminación visual, muchos estudiantes escriben sobre las

paredes y sobre las puertas de los baños frases que no son nada educativas.

Es por esto que el grado noveno, pretende realizar un trabajo de investigación, utilizando como

herramienta la estadística, para determinar el estado de esta problemática y determinar posibles

soluciones.

ACTIVIDADES DESARROLLADAS:

Como iniciación se realizaron algunas actividades de sensibilización sobre la problemática

ambiental a nivel global que incluyeron la presentación de diapositivas y videos. Luego se planteó

la problemática a nivel local escolar.

Tras una reflexión los estudiantes

plantearon algunos problemas que se

presentaban en la institución que tenían

que ver con contaminación visual, manejo

de basuras, sentido de pertenencia, entre

otras. En este ejercicio los estudiantes

recogieron algunas evidencias de este

problema:


176

A los estudiantes se les planteó el proyecto de investigación a realizar y todo el grupo se mostró

dispuesto, para lo cual nos propusimos conocer mediante una encuesta el pensamiento de la

comunidad educativa sobre esta problemática y a partir de allí proponer algunas soluciones.

Se formaron pequeños grupos de trabajo (alrededor de cinco estudiantes), pues el proyecto

ameritaba diversas actividades.

Se adoptó la metodología de trabajar en subgrupos y en clase recoger el consenso y la revisión de

todo el trabajo.

Así los subgrupos plantearon las posibles preguntas de la encuesta que giraban alrededor del

problema de manejo de basuras, contaminación visual y sentido de pertenencia. A nivel grupal se

iba revisando y corrigiendo cada una de las preguntas que ellos querían hacer a la comunidad. De

esta forma uno de los subgrupos digitó y editó la encuesta definitiva, que posteriormente se aplicó

a toda la comunidad educativa (340 encuestas). Podría decirse que el único costo del proyecto fue

el valor de las fotocopias, con un costo total de $17.000.

Cada subgrupo presentó el proyecto y aplicó la encuesta en uno o dos grados del plantel.

Es de anotar que a medida que se desarrollaba el proyecto se iban desarrollando las herramientas

estadísticas, en donde el profesor iba orientando cómo recolectar, organizar y procesar la

información que se tenía a la mano.

Cada subgrupo tabulaba alrededor de 50 encuestas y en clase se recogía la información total de

los subgrupos para una gran tabla de frecuencias que consolidábamos juntos en el tablero.

Para la construcción de los gráficos estadísticos, los estudiantes se apoyaron de la herramienta

Excel que fueron elaborando en las horas clase de sistemas.

Seguidamente se realiza un análisis de la información, se plantean algunas propuestas de

solución, que incluyen actividades de sensibilización, en donde los estudiantes también dan a

conocer al resto de la comunidad los resultados de la investigación. Para ello elaboran una

presentación en PowerPoint para proyectar en cada salón de clase. También la creación de un

comité de reciclaje, la limpieza de algunas zonas que visualmente contaminan, la elaboración de

carteles que educan en el tema, entre otras.

2.2 SUBPROYECTO 2

“La ciencia para conocer mi microcuenca”

Para el desarrollo de este sub proyecto, se tomó como muestra para el trabajo la microcuenca El

Tabor que se encuentra a unas tres cuadras de la institución educativa, ya que esta área

protegida ha sido objeto de investigación del proyecto PRAE.


177

OBJETIVO:

Articular el conocimiento matemático con la problemática ambiental, tomando como muestra la

microcuenca el Tabor y el entorno de la población estudiantil en la institución educativa Santo

Domingo Savio.

LOGROS ACADEMICOS A ALCANZAR:

Realiza muestras de caudal hídrico de la quebrada El Tabor con el fin de llevar registros

para análisis del mismo.

ACTIVIDAD 1 (Física)

En subgrupos se realizó una investigación de la historia de la microcuenca el Tabor, en donde los

jóvenes recogieron información de instituciones como la CARDER, UMATA, testimonios de

pobladores de la zona, de adultos mayores, entre otros.

Dentro de este trabajo, el abuelo de uno de los estudiantes, como testimonio les contó que antes El

Tabor era un río, donde la gente venía a bañarse en charcos y hacía el paseo de olla; a través de

los años El Tabor fue disminuyendo tanto su caudal hasta ser lo que es ahora, una pequeña

quebrada.

Es de anotar que este testimonio fue muy enriquecedor en el sentido que se rescata la sabiduría

de los abuelos, ya que se pretendía introducir el tema con la información que ellos trajeran de otras

instituciones, pues se tenía conocimiento que ésta quebrada había servido como acueducto del

municipio.

Con este trabajo se introdujo el tema de cómo vigilar el caudal de un río y verificar su aumento o

disminución de caudal para la toma de estrategias de protección de la microcuenca.

Así, en subgrupos se tomaron algunas muestras del caudal hídrico de la quebrada utilizando el

método de flotador en algunos tramos de la quebrada.

A continuación se describe el método de flotador, para la medición de caudal.

2.2.2 Método de flotador

Materiales utilizados

Un objeto flotante, puede ser una bola de ping-pong, una botella plástica pequeña, una

rama, un trozo de madera que flote libremente en el agua.

Un reloj o cronómetro.

Un decámetro o cinta medidora.


178

Una regla o tabla de madera graduada.

En este método, de igual manera, se utilizan los valores promedio de las variables determinadas.

Primer paso: Seleccionar el lugar adecuado.

Se selecciona en el río un tramo uniforme, sin piedras grandes, ni troncos de árboles, en

el que el agua fluya libremente, sin turbulencias, ni impedimentos.

Segundo paso: Medición de la velocidad.

En el tramo seleccionado ubicar dos puntos, A (de inicio) y B (de llegada) y medir la distancia, por

ejemplo 12 metros (cualquier medida, preferiblemente, del orden de los 10 metros.

Una persona se ubica en el punto A con el flotador y otra en el punto B con el reloj o cronómetro.

Se medirá el tiempo de recorrido del flotador del punto A al punto B.

Se recomienda realizar un mínimo de 3 mediciones y calcular el promedio. Supongamos que el

promedio del tiempo de recorrido fue de 8 segundos.

La velocidad de la corriente de agua del río se calcula con base en la siguiente ecuación

Velocidad = Distancia (A-B) ÷ Tiempo de recorrido, Para nuestro ejemplo, tendríamos:

Velocidad = 12 ÷ 8 = 1,5 m/s

Tercer paso: Medición del área de la sección transversal del río.

En el tramo seleccionado, ubicar la sección o el ancho del río que presente las condiciones

promedio y en la que se facilite la medición del área transversal.

Un método práctico, con aceptable aproximación para calcular el área transversal, es tomar la

altura promedio.

Esto consiste en dividir el ancho del río, en, por lo menos, seis partes y medir

la profundidad en cada punto para luego calcular el promedio.

Profundidad Metros

h1 0.00m

h2 0,22m

h3 0,35m

h4 0,44m

h5 0,30m

h6 0,00m

Calculemos, ahora, la profundidad promedio, de conformidad con los valores expuestos

anteriormente.


179

Puesto que la profundidad promedio, hm = (h1+ h2+h3+h4+h5+h6) ÷ 6, para nuestro ejemplo,

tenemos:

hm = ( 0 +0,22+0,35+0,44+0,30+0 ) ÷ 6 = 0,22m.

Una vez se ha determinado el valor promedio de la profundidad, se procede a realizar la medición

del ancho, Ar, del río. Supongamos que para nuestro ejemplo, ese valor fue de 2,4 m., de

conformidad con lo presentado anteriormente.

El área de la sección transversal AT del río se calcula con base en la siguiente ecuación:

AT = Ancho x Profundidad Promedio = hm x Ar

Para nuestro ejemplo, el área de la sección transversal es igual a:

AT = 2,4 x 0,22 = 0,53 m2

Cuarto paso: Cálculo del Caudal del río.

Con los datos obtenidos se procede a calcular el caudal del río, QR, con base en la siguiente

ecuación.

QR (m3/s) = Velocidad (m/s) x Área (m

2)

QR (m3/s) = 1,5(m/s) x 0,53 (m

2)=0,795m

3/sg ó igual,

QR= 795l/s, en razón que 1 m3 es igual a 1000 litros.

Siguiendo el anterior método de flotador, fue recogida toda la información, producto de diferentes

muestras tomadas por los subgrupos y se realizó un análisis del caudal hídrico de la quebrada:

CAUDAL QUEBRADA EL TABOR =

VELOCIDAD DEL RIO x AREA TRANSVERSAL

300cm/5 s x 160 cm2

= 48.000 cm3/5 s

= 9.600 cm3/s

= 9,6 Litros de agua por

segundo


180

ACTIVIDAD 2 (Trigonometría)

LOGROS ACADEMICOS A ALCANZAR:

Construye y utiliza instrumentos matemáticos de medición para determinar la inclinación

de terrenos y altura de árboles.

Realiza muestras de áreas de terreno para determinar el inventario de flora que circunda la

quebrada el Tabor.

Conceptos matemáticos involucrados: Trigonometría.

El estudiante elaborará un instrumento

matemático de medición denominado

clinómetro el cual se usará para medir la altura

de los arboles en el área que rodea la

quebrada el Tabor.

Clinómetro hecho por un estudiante

Con este instrumento los estudiantes determinaron las alturas de algunos árboles, conociendo el

ángulo de inclinación a la altura de sus ojos y la copa del árbol, como también la distancia a la cual

se encontraban respecto al árbol, aplicando identidades trigonométricas como la tangente.

A la vez, midieron la longitud de la circunferencia que formaban los troncos de los árboles, para

con la altura determinar su volumen (forma cilíndrica), permitiendo esto realizar cálculos para

hallar la biomasa y el aporte de éstos a la micro cuenca.

2.3 SUBPROYECTO 3

“Construcción y utilización de instrumentos matemáticos para realizar actividades que

involucran la toma de medida de ángulos en la inclinación de terrenos”

LOGROS A ALCANZAR:

Construye y utiliza instrumentos matemáticos como el transportador y el clinómetro para

realizar actividades que involucran la toma de medida de ángulos, como es determinar la

inclinación de terrenos, entre otras.

ACTIVIDADES DESARROLLADAS

Para la realización de esta actividad se realizó el planteamiento de preguntas introductorias sobre

el conocimiento que tenían del entorno, en lo que tenía que ver con los terrenos. Se pidió a los

alumnos preguntar a sus padres o abuelos si era lo mismo cultivar en terrenos llanos que


181

inclinados. Considerando que el municipio se encuentra en un terreno muy inclinado y la mayoría

de los padres se dedican a la agricultura.

Con este trabajo, el docente con los alumnos trataron temas como la inclinación de terrenos que

se encuentran a nuestro alrededor y lo que repercute en nuestro ambiente como la erosión, la

acumulación de agua, y el tipo de vegetación que puede vivir allí.

Aquí se trató la importancia de conocer los ángulos de inclinación y para ello se aprendió a

construir y a utilizar el clinómetro para este fin. Clasificando además terrenos llanos, suavemente

inclinados, inclinados, escarpados y muy escarpados, según el ángulo de inclinación.

Materiales para su construcción de un

clinómetro: Un trozo de cartón, transportador,

un hilo y un clip.


182

PO 6. DIAGNÓSTICO DEL PENSAMIENTO NUMÉRICO DE ESTUDIANTES EN LOS

COLEGIOS PRIVADOS DE CARTAGO EN GRADO QUINTO

Luis Eduardo Osorio Acevedo


Magister En Enseñanza de la Matemática


[email protected]

Jhon Fredy Holguin Atehortua

Estudiante Licenciatura en Matemática y Física


[email protected]

Mariluz Castrillón Hernández

Estudiante Licenciatura en Matemática y Física


[email protected]

RESUMEN: En el artículo se da un diagnóstico sobre la educación matemática en los colegios

privados de Cartago, específicamente sobre el pensamiento numérico desarrollado por los

estudiantes de grado quinto de primaria de los colegios privados; para la realización de la prueba

se tomó como referente los estándares básicos de competencias en matemáticas, propuestos por

el Ministerio de Educación Nacional (MEN). La evaluación se diseño con base a las pruebas icfes y

a las pruebas saber.

INTRODUCCION:

El pensamiento numérico es uno de los cinco tipos de pensamientos propuestos en los

lineamientos curriculares por el MEN, en su búsqueda de favorecer el desarrollo de competencias

matemáticas en los estudiantes para que sepan “hacer en contexto”. Aunque ser matemáticamente

competente el desarrollo del pensamiento lógico y el pensamiento matemático, este último fue

subdividido en cinco tipos de pensamiento: el numérico, el geométrico numérico, el espacial, el





183

métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional53

, de los cuales como se

mencionó, es de nuestro interés el pensamiento numérico.

El pensamiento numérico está presente muy temprano en la vida del ser humano; incluso los niños

menores de dos años muestran tener unas matemáticas informales (Canfield y Smith, 1996; Saxe,

1991; Starkey, 1992; Wynn, 1996). Estas capacidades fundamentales están implícitas y son un

tanto elementales. Por ejemplo, pueden ver que hay más aquí que allá o que esto tiene la misma

cantidad que aquello. Se dan cuenta de que agregar hace que haya más y que quitar hace que

haya menos. A pesar de que sus juicios son toscos y sólo funcionan con cantidades pequeñas de

objetos, parece ser que sus razonamientos son genuinamente cuantitativos. Mucho de esto se

manifiesta antes del surgimiento del lenguaje54

.

La noción de número y la actividad de contar han acompañado a la humanidad desde la prehistoria

y han contribuido a que haya un orden y un control del mundo que nos rodea y hasta ha servido

como una herramienta de supervivencia.

La comprensión del número, su representación, las relaciones que existen entre ellos, sus

propiedades y las operaciones que con ellos se efectúan en cada uno de los sistemas numéricos,

deben ser de suma importancia para la educación, pues de no estar un individuo capacitado en

este tipo de pensamiento, sería como si no manejara el idioma español, lo que haría que no

pudiera comunicarse y de alguna manera quedara aislado de la sociedad.

Lo interesante de esta investigación, es que las pruebas aplicadas a los estudiantes de grado

quinto, constan de una pregunta acertada a la vez que las respuestas equivocadas todas tiene una

intención, que permite inferir los errores conceptuales que poseen los estudiantes, una de las

causas que afectan su rendimiento académico, en este caso, en matemáticas.

METODOLOGIA

El desarrollo de este proyecto se llevó a cabo a través de una metodología cuantitativa, donde la

población objeto de estudio son los estudiantes de educación básica primaria en las instituciones

privadas de la ciudad de Cartago en la zona urbana durante el año 2009. Realizando sobre ella un

muestreo aleatorio doblemente estratificado (por nivel escolar: 5º y tipo de colegio: privado) que

53 ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MÁTEMÁTICAS.

http://www.eduteka.org/pdfdir/MENEstandaresMatematicas2003.pdf

54 Bárbara T. Bowman, M. Suzanne Donovan y M. Susan Burns [2]


184

permite hacer estimaciones con una alta confiabilidad (mínimo del 90%). La metodología

contempló las siguientes actividades:

1. Inscripción en el Semillero de Investigación en Educación Matemática (SIEM) como estudiantes

de la Universidad Tecnológica de Pereira (Licenciatura en Matemáticas y Física). Esto se llevó

a cabo con reuniones planeadas con los compañeros del proyecto, donde se expusieron los

objetivos de la investigación y se nos asignaron la línea temática (subproyectos) para el

desarrollo de nuestro trabajo de grado.

2. Planeación del subproyecto según las siguientes líneas temáticas:

Conocimientos y errores conceptuales en matemáticas, presentes en los estudiantes en

cuanto al tipo de pensamiento numérico, empleando un cuestionario que contempla las

componentes propuestas por el ICFES, con preguntas de selección múltiple con única

respuesta.

Los conocimientos y errores conceptuales se midieron en estudiantes del grado 5º,

buscando con esto analizar los procesos educativos al final del nivel escolar: básica

primaria. Esta medición se realizó a través de una prueba de conocimientos, fundamentada

en los estándares curriculares del MEN.

3. Algunas de las preguntas del cuestionario se dan a continuación:

1. ¿Cuál de las siguientes expresiones es la INCORRECTA?

a) 7 2

4 2

b)

6 5

5 6 c)

9 900

30 3000 d)

7 51

2 2

2. Tres obreros están embaldosando un piso. Al terminar el día han pegado lo siguiente:

Hugo 2/4 del piso, Paco 2/8 del piso y Luis 2/16 del piso. ¿Cuánto piso les falta por embaldosar?

a) 2 2 2 7

4 8 16 8 del piso b)

2 2 2 11

4 8 16 8

del piso c)2 2 2 6

4 8 16 28

del piso

d) 2 2 2 22

14 8 16 28

del piso

3. A Julio le pagan semanalmente $120.000 y los gasta de la siguiente manera:

$60.000 en pasajes

30.000 en dulces

12.000 en cine


185

18.000 en el colegio

____________________

$120.000 = 100%

Según lo anterior cual de las siguientes afirmaciones es falsa:

a) Julio gasta el 50% en pasajes

b) Julio gasta el 25% en dulces

c) Julio gasta el 10% en cine

d) Julio gasta el 18% en el colegio

4. Estas fueron las latas recolectadas por los compañeros de clase en una campaña de reciclaje

durante una semana.

Carlos 90 latas - Gonzalo 185 latas - Pablo 115 latas

De acuerdo con los datos anteriores:

¿Cuántas latas más debe recoger Carlos para alcanzar la recolección total de Gonzalo y Pablo?

a) 185 115 300 latas b)185 90 95 latas c) (185 115) 90 210 latas

d)185 115

90 602

latas

5. Si en la potenciación 3 es la base, 2 el exponente y 9 la potencia, cual de las siguientes

expresiones es la incorrecta

a) 3log 9 2 b)32 9 c)

23 9 d) 9 3

ALGUNOS RESULTADOS

Resultados pregunta no 1:

En la tabla se presentan las respuestas de la pregunta número1, la cual evalúa el concepto

porcentaje de una cantidad, la interpretación de fracciones en diferentes contextos, su

proporcionalidad y operaciones entre ellas; así mismo conceptos básicos de potenciación y

radicación, así como la predicción de patrones de variación en una secuencia numérica.

Tabla Pregunta 1 Quinto

Respuestas Total (%)


186

Únicamente el 17% de los estudiantes señaló la respuesta correcta b, demostrando así, su

capacidad para diferenciar cuándo dos fracciones no son equivalentes, aplicando el concepto de

razón y proporción. Un 45% de los estudiantes eligió la respuesta a, siendo este el error más

notable al no comprender, que haciendo la misma operación, tanto en el numerador como en el

denominador, la fracción no se altera. El 17% que contestó la respuesta c, no tiene conocimiento

de que multiplicando por la misma potencia de 10 el numerador y el denominador la fracción no

cambia. El 21% de los estudiantes que señalaron la respuesta d, no entiende que si el numerador

es igual al denominador, esto equivale a la unidad.


En la tabla 3.2 se dan los resultados de la pregunta número 2, la cual evalúa la aplicación de

fracciones a la resolución de problemas en un contexto de la vida real.

Tabla 3.2. Pregunta 2 Quinto

Únicamente el 21% de los estudiantes señalaron la respuesta correcta b, lo que demuestra que el

estudiante contextualiza el problema y tiene claro la representación de la unidad como un todo y

las fracciones como sus partes. El 38% de los estudiantes, el porcentaje mas alto, señaló la

respuesta c, lo que indica que no realiza adecuadamente la operación suma en fraccionarios al no

tener claro el concepto de m.c.m y además este resultado no lo sustrajo de la unidad. El 24% de

los estudiantes marcó la respuesta d, lo que indica que no realiza adecuadamente la suma de

fraccionarios y además no sabe que dicha suma se le resta a la unidad. El 17% de los estudiantes

señaló la respuesta a, sugiriendo que no relaciona el hecho de que el cualquier elemento de un

a 45

b 17

c 17

d 21

NR 0


a 17

b 21

c 38

d 24

NR 0


187

problema puede representar la unidad y que para encontrar la respuesta hay que hacer una

operación de suma y después de sustracción.


En la tabla número 3.3 se dan los resultados de la pregunta número 3 la cual evalúa el análisis y la

explicación de la representación de número a través de los porcentajes


Únicamente el 24% de los estudiantes contestó correctamente la pregunta, eligiendo la respuesta

d, lo que significa que entiende la diferencia entre un número y su representación porcentual. El

48%, que es casi la mitad de los estudiantes, eligió la respuesta a, indicando que no tiene claro

que el 50% de una cantidad es la mitad de ella misma. El 21% de los estudiantes señaló la

respuesta b, de donde se concluye que no es conciente que el 25% es la cuarta parte de cualquier

cantidad, no entendiendo que un porcentaje puede representar en una fracción una cantidad. El

3% de los estudiantes contestó c, no sabe que el 10% de una cantidad es su décima parte. El otro

3% no marcó ninguna respuesta.


En la tabla número 3.4 se dan los resultados de la pregunta número 4, la cual evalúa la habilidad

para la resolución de problemas, donde se requiere las propiedades de los números naturales y las

operaciones de suma y resta.



a 28

b 31


a 48

b 21

c 3

d 24

NR 3


188

c 28

d 14

NR 0

Un bajo porcentaje, solo el 28% de los estudiantes eligió la respuesta correcta la c, donde se

evidencia que tienen claro la aplicación de suma y la resta en un contexto dado, otro 28% de los

estudiantes marcó la respuesta a, lo que significa que no sabe que debe usar una diferencia para

llegar a el resultado, el 31% de los estudiantes marcó la b manifestándose que no aplica

correctamente el concepto de diferencia y además no tiene en cuenta todos los datos necesarios

para solucionar el problema.


En la tabla 3.5 se dan los resultados de la pregunta número 5, la cual evalúa la radicación y la

potencia en un contexto matemático.

Un bajo porcentaje, solo el 28% de los estudiantes eligió la respuesta correcta la c, donde se

evidencia que tienen claro la aplicación de suma y la resta en un contexto dado. Un 28% de los

estudiantes marcó la respuesta a, lo que significa que no sabe que debe usar una diferencia para

llegar al resultado. El 31% de los estudiantes, marcó la opción b, indicando que no aplica

correctamente el concepto de diferencia y además no tiene en cuenta todos los datos necesarios

para solucionar el problema. El 14% de los estudiantes respondió la d, lo que indica que tienen la

intuición de cómo solucionar el problema, pero confunden el concepto de suma con el de media

aritmética.

Del análisis de toda la prueba aplicada, se obtuvo los siguientes resultados generales:

Puntaje Porcentaje Promedio Total Estudiantes


a 28

b 14

c 17

d 34

NR 7


189

Población de

estudio

Media

pp

Desviación

estándar Cuartiles Máximo Mínimo

Coeficiente de

variación

1 3

Estudiantes

24,48 12,42 20 30 50 10 50,72 %

En general El cuartil 1 indica que el 25% del total de los estudiantes obtuvo menos del 20% de

respuestas correctas y el cuartil 3 muestra que el 75% de los estudiantes logró menos del 30% de

las respuestas correctas, que de acuerdo a los criterios del ICFES corresponde a un nivel bajo, por

la mayoría de los estudiantes. Cabe anotar además que ningún estudiante obtuvo un desempeño

alto que es mayor al 70% de las respuestas acertadas.

El alto coeficiente de variación, mostrado en la tabla, indica que los puntajes de cada estudiante

están muy dispersos con respecto del promedio, de donde se infiere que los porcentajes obtenidos

por los estudiantes de los colegios privados de Cartago, en la prueba numérica, son muy

heterogéneos.

CONCLUSIONES.

Los resultados de la investigación aplicada a los estudiantes de grado quinto, muestran un alto

nivel de dificultad o de errores conceptuales presentes en ellos, lo que se infiere al observar que un

gran porcentaje, superando el 50%, presentan las siguientes problemas respecto al pensamiento

numérico:

No saben identificar fracciones equivalentes.

Se les dificulta calcular el mínimo común múltiplo.

No saben calcular porcentajes.

No saben calcular los términos de una sucesión.

No obstante, se pudo observar que más de la mitad de los estudiantes tienen claro la multiplicación

de fracciones. Lo que indica que tienen fortalezas en cuanto a las operaciones que pueden

hacerse con números fraccionarios.

Referencias

1. Bárbara T. Bowman, M. Suzanne Donovan y M. Susan Burns. Pensamiento numérico.

http://normalista.ilce.edu.mx/normalista/r_n_plan_prog/preescolar/4_semestrepreescolar/program/l

ec2_pen_mat.pdf


190

2. ESTÁNDARES BÁSICOS DE COMPETENCIAS EN MÁTEMÁTICAS.

http://www.eduteka.org/pdfdir/MENEstandaresMatematicas2003.pdf

3. Historia de los números.

http://www.anzwers.org/free/ronumer3/contenido.html

4. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL.

Documentos Conceptuales, Técnicos y Estadísticos. Bogotá, 2007. www.icfes.gov.co. 2007


191

PO 7. DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN DE PROTOTIPOS PARA EXPERIMENTOS DE FÍSICA I55

Hugo Armando Gallego Becerra

Licenciado en Física

MSc. Física

Profesor Asociado


[email protected]

William Ardila Urueña


MSc. Física

Profesor Titular


[email protected]

Hoover Orozco Gallego


MSc. Física

Profesor Asociado


[email protected]

RESUMEN

El presente artículo pretende mostrar de una manera muy generalizada, como el grupo de

investigación DICOPED (Diseño y construcción de prototipos para experimentos de demostración)

cuenta actualmente con un paquete completo de prototipos que permiten desarrollar 15 prácticas

de laboratorio de Física, producto del proyecto titulado “ Diseño y construcción de prototipos para

experimentos de Física”. Estos prototipos fueron diseñados y construidos, con base a las

herramientas que proporcionan en la actualidad la electrónica moderna, específicamente, gracias a

las ventajas que ofrecen los microcontroladores y su respectiva programación.

DESCRIPTORES: Construcción, diseño, Electrónica, Física, Guías de laboratorio

Micorcontroladores.

55 Documento derivado del proyecto titulado: “Diseño y construcción de prototipos para

experimentos de demostración”, DICOPED.





192

PO 8. EL CABRI Y EL PENSAMIENTO GEOMÉTRICO EN CONTEXTOS ESCOLARES,

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Egidio Esteban Clavijo Gañan

Docente


Seminario- taller

[email protected]; [email protected]

Elmer José Ramírez Machado

Docente


Seminario- taller

[email protected]

RESUMEN: De alguna manera, el desarrollo de la geometría dinámica ha necesitado de cambios

radicales en la enseñanza de la demostración, tradicionalmente, el enfoque fundamental de la

geometría era tratar de crear dudas en la mente de los estudiantes a acerca de la validez de sus

observaciones empíricas, y luego tratar de motivar la necesidad de una demostración deductiva.

En Geometría dinámica existen diversos software diseñados con la intención específica de poner a

disposición de los estudiantes un ambiente del tipo micro mundo para la exploración experimental

de la geometría plana. En contraste con ésta construcción, la geometría dinámica es precisa y es

muy fácil y rápido realizar construcciones complejas para luego modificarlas.

El principal objetivo es buscar alternativas en enseñanza y aprendizaje de la geometría y al mismo

tiempo lograr que los profesores diseñen, organicen e instrumenten actividades en las que utilice

un software de geometría dinámica formando comunidades de aprendizaje que contribuyan a

preparar la comprensión y el uso auténtico de esta tecnología.

La propuesta, consiste en analizar los progresos del pensamiento geométrico de los estudiantes, y

tomando como partida los temas concernientes a las transformaciones geométricas como parte

fundamental en del desarrollo del pensamiento geométrico, recorriendo desde los conceptos

básicos hasta retomar las longitudes, áreas y volúmenes de los objetos de la geometría Euclidiana,

garantizando que los estudiantes dispondrán de un mínimo conjunto de conceptos, propiedades,

algoritmos y métodos de resolución de problemas que son comunes a un gran número de temas

de matemática que se estudian a lo largo de todos los cursos, tales como construcción de

representaciones planas en trigonometría, geometría analítica, álgebra, y cálculo, entre otras.

Descriptores: Geometría Dinámica, Resolución de problemas, transformaciones.





193

PO9. EL JUEGO DIDÁCTICO, UNA ALTERNATIVA PARA LA EVALUACIÓN EN MATEMÁTICA

Mónica Ángulo Cruz

Formación académica:

Licenciada en Educación Básica – Universidad San Buenaventura de Cali

Magíster en Educación – Universidad San Buenaventura de Cali

Estudiante de Maestría en Comunicación Educativa UTP

Investigadora del grupo de Investigación:

Estadística e Investigación Social – ISE

Integrante del Semillero de Investigación en Educación Matemática SIEM

Profesora Departamento de Matemáticas-Área Pedagógica


[email protected]

José Rubiel Bedoya Sánchez

Formación Académica:

Licenciado en Matemáticas y Física – Universidad Tecnológica de Pereira

Magíster en Enseñanza de la Matemática – Universidad Tecnológica de Pereira

Director del grupo de Investigación:

Estadística e Investigación Social – ISE

Tutor del semillero de Investigación en Educación Matemática – SIEM

Profesor Departamento de Matemáticas


Docente de Matemática: Institución Educativa Antonio Holguín Garcés

[email protected]

Resumen. El juego didáctico constituye una posibilidad para alcanzar el desarrollo del

pensamiento Matemático en los estudiantes y hacer parte de una evaluación para el docente.

Mediante una participación activa, colaborativa y participativa se fomenta un ambiente agradable

en el aula de clase alcanzando así los logros propuestos que se trazan en un momento

determinado. La evaluación deja de ser un dolor de cabeza para el estudiante, por el contrario,

serian algunos momentos en el aula de clase donde el docente está aplicando este método como

alternativa para evaluar a sus estudiantes.

Descriptores: Evaluación Educativa, El Juego Didáctico

1. INTRODUCCIÓN




194

En el análisis continuo hecho por el grupo de investigación Estadística e Investigación Social (ISE)

y su semillero SIEM, acerca del proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas como

fenómeno social, se han planteado diferentes alternativas de solución al constante problema

pronunciado por los docentes del área, entre ellas la metodología de enseñanza–

aprendizaje basada en el juego, como herramienta que posibilita el aprendizaje y la enseñanza en

forma activa y participativa, tanto del estudiante, como del profesor, enfocándose en una

pedagogía crítica, donde la reflexión y el diálogo entre los dos actores primordiales del proceso,

estudiante-maestro, es continua y fundamental. En esta presentación se pretende mostrar algunos

elementos básicos del juego, la evaluación y la implementación en el aula de clase.

El ser humano desde que nace ajusta su comportamiento de acuerdo con distintos juicios de valor

que usa de manera intuitiva (casi inconsciente) según se lo exija el medio en el cual se encuentre,

constantemente está evaluando el medio y autoevaluándose buscando acoplarse a él. Mientras

que en el ámbito escolar, la mayoría de las veces es asumida como un aspecto de carácter

fundamental tanto en el proceso de enseñanza, como en el de aprendizaje, según la enciclopedia

especializada en temas educativos la conceptualización sobre la “Evaluación” se encuentra desde

una perspectiva funcional, indicándola como un proceso de reflexión sistemática, orientado sobre

todo a la mejora de la calidad de las acciones de los sujetos, de las intervenciones de los

profesionales, del funcionamiento institucional o de las aplicaciones a la realidad de los sistemas

ligados a la actividad educativa. Por esta razón el juego como medio de evaluación dentro de la

actividad pedagógica tiene un inminente carácter didáctico y cumple con los elementos

intelectuales, prácticos, comunicativos y valorativos de manera lúdica, lo cual rompe el esquema

tradicional de la evaluación y del aula en general, desmitifica el papel autoritario e informador del

profesor, permitiendo que se liberen las potencialidades creativas de los estudiantes y que

demuestren sus conocimientos en un ambiente más libre y natural.

Un ejemplo de su implementación es la experiencia en la Institución Educativa Antonio Holguín

Garcés de Cartago, en el grado décimo, en la asignatura de trigonometría con la actividad: El

Concéntrese, en la cual los resultados preliminares de la experiencia permiten identificar la eficacia

de la evaluación mediante esta estrategia mejorando aspectos como: trabajo colaborativo,

participación activa de la mayoría (alrededor del 80%) de estudiantes del curso, sana competencia

y adquisición de conocimientos generales del área.

2. CONTENIDO

2.1 El Juego

Groos [4] caracteriza el juego como un adiestramiento anticipado para futuras capacidades serias,

lo cual está dentro del sistema educativo colombiano, en el cual la educación por competencias ha


195

tomado auge, buscando la preparación de los jóvenes para el trabajo y la vida en sociedad. El

juego contribuye en la capacidad creadora de los jugadores, influyendo en los componentes:

intelectual-cognitivo, volitivo- conductual, afectivo-motivacional y en las aptitudes. (Gross,

monografía).

La diversión y la sorpresa del juego provocan un interés episódico en los estudiantes, válido para

concentrar la atención de los mismos hacia los contenidos. La particularidad de los Juegos

Didácticos consiste en el cambio del papel del profesor en la enseñanza, quien influye de forma

práctica en el grado o nivel de preparación del juego, ya que en éste él toma parte como guía y

orientador, llevando el análisis del transcurso del mismo. Los juegos didácticos se pueden emplear

para desarrollar nuevos contenidos o consolidarlos, ejercitar hábitos y habilidades, formar actitudes

y preparar al estudiante para resolver correctamente situaciones que deberá afrontar en su vida.

El juego favorece la concepción de estructuras participativas para aumentar la cohesión del grupo

en el aula, para superar diferencias de formación y para incrementar la responsabilidad del

estudiante en el aprendizaje. Los juegos didácticos deben corresponderse con los objetivos,

contenidos, y métodos de enseñanza y adecuarse a la evaluación y la organización escolar.

Tradicionalmente se han empleado de manera indistinta los términos juegos didácticos y técnicas

participativas; sin embargo, para Ortiz [4] todos los juegos didácticos constituyen técnicas

participativas, pero no todas las técnicas participativas pueden ser enmarcadas en la categoría de

juegos didácticos, para ello es preciso que haya competencia, de lo contrario no hay juego, y en

este sentido dicho principio adquiere una relevancia y un valor didáctico de primer orden. (Ortiz,

2004,monografía)

Principios Básicos en la Estructuración y Aplicación de los Juegos Didácticos:

La participación: elemento básico para la actividad lúdica, es una manifestación activa de

las fuerzas físicas e intelectuales de los estudiantes.

El dinamismo: el tiempo tiene una influencia fundamental en la actividad lúdica. Todo

juego tiene principio y fin, el juego es movimiento, desarrollo, interacción activa en la

dinámica del proceso pedagógico.

El entretenimiento: la actividad lúdica debe manifestarse en forma amena e interesante,

ejerciendo un fuerte efecto emocional en el estudiante y propiciando su participación activa

en el juego. El entretenimiento refuerza el interés y la actividad cognoscitiva de los

estudiantes, es decir, el juego no admite el aburrimiento, las repeticiones, ni las

impresiones comunes y habituales; todo lo contrario, la novedad, la singularidad y la

sorpresa son inherentes a éste”.

El desempeño de roles: la modelación lúdica de la actividad del estudiante permite

reflejar los fenómenos de la imitación y la improvisación.


196

La competencia: Se basa en que la actividad lúdica reporta resultados concretos y

expresa los tipos fundamentales de motivaciones para participar de manera activa en el

juego. Ortiz Ocaña explica que el valor didáctico de este principio es evidente: sin

competencia no hay juego, ya que ésta incita a la actividad independiente, dinámica, y

moviliza todo el potencial físico e intelectual del estudiante. (Ortiz, 2004,monografía)

Los Juegos Didácticos deben seleccionarse de acuerdo con los objetivos y contenidos de la

enseñanza, así como con la forma en que se determine organizar el proceso pedagógico. Para su

aplicación es necesario en primera instancia, un alto de grado de preparación, conocimiento y

dominio de los mismos por parte de los docentes. El desarrollo exitoso de los juegos didácticos

exige una preparación bien sólida por parte de los estudiantes y es recomendable concluir cada

actividad resaltando el grupo ganador y premiarlo, así mismo seleccionar los estudiantes más

destacados, aspectos estos muy valiosos para lograr una sólida motivación para próximos juegos.

2.2 La Evaluación Escolar

La evaluación constituye un instrumento fundamental para el docente ya que le permite conocer el

estado cognitivo en el que se encuentran sus estudiantes, permitiendo aplicar los correctivos

necesarios para alcanzar los objetivos trazados desde el inicio del proceso. La evaluación permite

una forma específica de conocer una realidad y transformarla; se transforma por el hecho que se

quiere un cambio para llegar a un mejoramiento.

Es así como se piensa que la evaluación constituye una obligación que regula los procesos

educativos, asumiendo la importancia de la evaluación, como proceso inherente a la actividad

educativa, ésta brinda elementos que permiten al estudiante fundamentar la toma de decisiones

para mejorar los procesos educativos en los que actúe. Claro esta, que la evaluación arroja datos

que pueden repercutir en la toma de decisiones y mejorar el proceso, abarcando dimensiones

como: Los sujetos, los contextos, los procesos de aprendizaje, los programas educativos y las

instituciones.

Se requiere que dentro de un proceso de enseñanza y aprendizaje se tenga en cuenta la

evaluación como parte continua del mismo; si la evaluación no se tiene en cuenta desde el

principio es como recorrer un camino para llegar a una meta, pero sin tener en cuenta las

diferentes señales, avisos que indican que estoy recorriendo el camino adecuadamente o sea es

el correcto.

La evaluación estuvo ligada en un principio a la valoración del aprendizaje de los alumnos, en

consonancia con el hecho de que su desarrollo inicial se produjo en el marco de los avances

experimentales asociados a la psicometría y la pedagogía experimental. Posteriormente, se

centro en los programas educativos y se convirtió en un instrumento clave del desarrollo curricular.


197

Alumnos, programas y docentes constituyan los vértices de atención básica de la evaluación. Sin

embargo, las corrientes integradoras y holisticas iniciadas a mediados de la década de 1970,

asentadas definitivamente en la de 1980, promovieron la idea de que se debían analizar estos tres

ámbitos, no solo desde una perspectiva individual, sino intra e interrelacionados, y precisamente en

el marco globalizador de la institución escolar.[1]

Es así como no se puede considerar la evaluación un aspecto aislado dentro del sistema, ella

requiere ser integral que abarque constantemente unos procesos relacionados entre si los cuales

constituyen pilares para poder detectar las dificultades que presentan los estudiantes durante su

proceso de aprendizaje. La evaluación de los aprendizajes debe estar siempre presente en el

proceso de enseñanza, desde que inicia hasta que termina, el profesor no debe olvidar este

aspecto tan fundamental ya que representa un medio por el cual se llega a la conclusión acerca de

la viabilidad o utilidad del trabajo desarrollado con los estudiantes. A través de esta herramienta se

puede saber si la institución está cumpliendo con la misión y si está enriqueciendo la vida de los

estudiantes.

La reflexión sobre el conocimiento en la enseñanza de las matemáticas como docentes nos debe

dar algunos elementos para lograr orientar, dirigir un cambio en los procesos que se han llevado a

cabo en cuento a la evaluación. Este cambio corresponde a modificar la evaluación tradicional

basada solamente en exámenes escritos y al final de la explicación de un tema, ya que esta forma

se basa desde un punto de vista limitado el cual no suministra una información veraz sobre los

logros, los progresos y las habilidades que los estudiantes están desarrollando poco a poco.

Una evaluación escrita no es suficiente para saber si los estudiantes pueden representar, resumir e

interpretar información, si pueden interpretar efectivamente las respuestas de una calculadora, si

pueden comunicar claramente sus ideas matemáticas; si persisten en la realización de un

problema; si visualizan e interpretan las representaciones de objetos tridimensionales; si formulan y

comprueban conjeturas, etc. Estas competencias solo se logran a través de evaluaciones que

consideren los procesos y los productos del trabajo matemático de los alumnos. (Manual de la

educación, Pág. 5)

Para poder orientar un proceso evaluativo en la enseñanza de las Matemáticas es importante

tener en cuenta: Los métodos de evaluación tienen que ser coherentes con las diferentes técnicas

aplicadas durante la clase. Si el profesor realiza trabajos en grupo, trabajos individuales, salidas al

tablero, dinámicas, juegos, entre otros; la evaluación debe ser igual. No se puede someter a los

estudiantes a la aplicación de algo desconocido, ya que los resultados no serán los más positivos.

También, se debe tener en cuenta que la evaluación debe promover el aprendizaje y ser una

herramienta para mejorar la enseñanza. No tiene sentido que se tenga en cuenta la evaluación

sino se va a reflexionar y mejorar el proceso de aprendizaje de los estudiantes y finalmente


198

cualquier actividad de evaluación debe destacar la gran utilidad que tiene el pensamiento

matemático y reflejar en la cotidianidad del estudiante la relación y contextualización que existe.

2.3 El Juego como Alternativa de Evaluación en Matemáticas:

Según nuestras experiencias algunas de las dificultades de la evaluación en matemáticas, se

pueden resumir en:

1. Desde el punto de vista psicosocial, la ansiedad que produce en muchos estudiantes,

llevándolos en ocasiones al fracaso académico, aún cuando tengan los conocimientos y

se hallan preparado para tal actividad.

2. Desde lo pedagógico, el formato tradicional en el cual se inscribe la evaluación, que la

reglamenta como una actividad rigurosa, estricta, normativa y castigadora.

3. Desde lo didáctico, los formatos tradicionales que la enmarcan en métodos clásicos como:

la evaluación escrita individual, las tareas y talleres escritos y la exposición oral de

conocimientos.

4. Desde el punto de vista del conocimiento, la evaluación se ha realizado por separado para

cada unidad, sin mostrar los contenidos como partes de una red conceptual.

Para Ortiz Ocaña el juego es: “una actividad amena de recreación que sirve de medio para

desarrollar capacidades mediante una participación activa y afectiva de los estudiantes, por lo que

en este sentido el aprendizaje creativo se transforma en una experiencia feliz”. (Ortiz,

2004,monografía)

Lo anterior nos permite presentar el Juego didáctico como alternativa de evaluación que permite

disminuir la influencia de la ansiedad en los estudiantes, que rompe con el formato de la evaluación

tradicional, produciendo cambios en el contrato didáctico [1] (en aspectos evaluativos),

presentando una alternativa para la creación de métodos de evaluación y permitiendo hacer la

evaluación de redes conceptuales, sin los miedos que produce la denominada evaluación final.

La enseñanza de la matemática requiere una sistematización del trabajo que se lleva a cabo, el

desempeño del estudiante en diferentes trabajos, investigaciones, tareas, exámenes, entrevistas y

algunas expresiones que se relacionan con la actividad matemática son las evidencias que se

necesitan para llevar a cabo un proceso sistemático en la evaluación.

Pero, porque no pensar en el juego didáctico como una alternativa para la evaluación? Mediante el

juego también se pueden encontrar las evidencias suficientes que implican encontrar patrones,

confrontar generalizaciones, hacer modelos, discutir, ampliar, plantear, modelar, entre otros

procesos que se realizan en la actividad matemática y poder tomar juicios válidos sobre los logros

propuestos.


199

La evaluación del aprendizaje matemático de los estudiantes debe permitir al docente recolectar

información que evidencie las necesidades docentes, en avance en la consecución de los objetivos

del programa en cuanto a métodos y contenidos, los énfasis y el uso de los materiales en relación

con los procesos. La información recolectada y procesada debe permitir hacer inferencias en

cuanto a las relaciones maestro-estudiantes-conocimiento matemático. (Manual de la educación,

Pág. 5)]

2.4 El concéntrese. Una experiencia en la Institución Educativa Antonio Holguín Garcés de

Cartago

Un ejemplo de la implementación del juego como estrategia evaluativa es la experiencia en

la Institución Educativa Antonio Holguín Garcés de Cartago, en el grado décimo, en la

asignatura de trigonometría con la actividad: El Concéntrese, en la cual los resultados

preliminares de la experiencia permiten identificar la eficacia de la evaluación mediante esta

estrategia mejorando aspectos como: trabajo colaborativo, participación activa de la

mayoría (alrededor del 90%) de estudiantes del curso, sana competencia y adquisición de

conocimientos generales del área. A continuación se presentan los elementos primordiales

de la actividad:

Actividades y Reglas del Juego

El juego se divide en dos sesiones y con las reglas expuestas a continuación, debe tenerse

en cuenta que la actividad se debe explicar completamente antes de iniciarse, esto con el fin

de motivar la participación activa de cada estudiante y dejar en claro las reglas del juego:

Sesión 1: la primera parte del juego pretende hacer una revisión de los conocimientos

generales de los contenidos a evaluar, en forma grupal y escrita.

Se divide el grupo en dos equipos (preferiblemente de igual tamaño).

Cada equipo se subdivide en parejas que se colocan frente a frente en los puestos

(sillas) de trabajo.


200

Se entrega a cada pareja una tira de papel, para que la respondan entre ambos y así

cada equipo debe responder las 15 preguntas, algunas parejas responden más de

una pregunta.

Se deja un tiempo de 20 minutos aproximadamente para responder las preguntas, se

recogen todas las tiras de papel con las respuestas marcadas con los nombres de

cada pareja, en cada equipo.

Como en la institución la evaluación se ha definido en forma cuantitativa de 1 a 5,

cada respuesta correcta le da al equipo una décima, es decir en esta primera sesión

cada equipo puede acumular 1,5 unidades.

Sesión 2: en esta sesión se pretende hacer un trabajo colaborativo y en equipo a través del

aporte hecho por cada pareja en la sesión anterior, haciéndose necesario la concentración

de cada equipo y la unión de esfuerzos para ganar el juego.

Cada equipo se coloca en forma de U o mesa redonda y nombre un representante,

quien en adelante será el único vocero legalmente aceptado.


201

Los cuadrados deben estar colocados en orden del 1 al 30 en forma rectangular,

dispuestos de tal forma que no se vean las preguntas o conceptos a evaluar (son los

mismos evaluados en forma escrita en la sesión anterior).

Se rifa el inicio del juego y la competencia consiste en formar parejas correctas, para

lo cual cada equipo por turnos a través de su representante, nombra dos números

que son destapados y se revisa si corresponden a una pareja correcta, si es así se le

dan 4 décimas al equipo y se dejan destapados los cuadrados, en caso contrario se

vuelven a tapar las preguntas o conceptos, dejando a la vista nuevamente los

números de cada cuadrado.


202

El juego termina cuando se formen todas las parejas. El equipo ganador será el

que más décimas acumule.

3. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

El Juego Didáctico es un procedimiento pedagógico elaborado tanto desde el punto de

vista teórico como práctico. El uso de la actividad lúdica requiere una gran preparación

previa y un buen manejo pedagógico por parte de los profesores. Los Juegos didácticos

no son simples actividades que pueden utilizarse una tras otra, sino que deben constituir

actividades concluyentes. No son procedimientos aislados aplicables mecánicamente a

cualquier circunstancia, contexto o grupo, por cuanto podemos incursionar en un uso

simplista del juego, generar conflictos en el grupo, no lograr los objetivos esperados,

desmotivar a los estudiantes y crear indisciplina en éstos.

En la experiencia presentada se logró evidenciar en los estudiantes un alto grado de

interés hacia la asignatura, un buen trabajo colaborativo, aplicación de los conocimientos

generales adquiridos durante el período, dinamismo social, sana competencia y un cambio

positivo en el ambiente de aula (mayor participación, motivación y buena actitud). Además

permitió una modificación del esquema en los papeles tradicionalmente desempeñados por

el profesor y el estudiante durante una actividad evaluativa, transformando el nerviosismo,

la ansiedad y temor de los estudiantes en confianza y alegría y la vigilancia y normatividad

del docente en coordinación y dirección.

Los resultados anteriores permiten diagnosticar la metodología del Juego didáctico, como

una alternativa de evaluación en matemáticas favorable para la valoración del desempeño

académico general de los estudiantes, que además permite desarrollar habilidades y

valores individuales y sociales fundamentales en el proceso de formación.


203

Referencias

1. Bruno D‟Amore. Didáctica de la Matemática. Editorial Didácticas Magisterio. Univer dad de

Bologna, 2006.

2. Enciclopedia Manual de la Educación. Grupo Editorial Océano, Barcelona – España.

3. Lineamientos curriculares. Nuevas tecnologías y currículo de Matemáticas. Áreas

Obligatorias. Ministerio de Educación Nacional. Cooperativa editorial Magisterio. Santafé de

Bógota, D.C. 1999.

4. Ortiz Ocaña, Alexander L. Didáctica Lúdica. Universidad Pedagógica de Holguín, Cuba.

Recuperado el 1 de agosto de 2010 del sitio web:

wwww.monografias.com/usuario/perfiles/alexortiz2004/monografías.


204

PO10. EMPLEO DE ANALOGÍAS, METÁFORAS Y SÍMILES EN CURSOS INTRODUCTORIOS

DE FÍSICA56

Hernando González

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales


Neiva (H), A.A. 385


Justo Pastor Valcárcel

Facultad de Educación


Neiva (H), A.A. 385.


Resumen. El uso de las analogía, metáforas y símiles en la enseñanza se convierte en una

potente herramienta que facilita el aprendizaje de diversos conceptos en la Física introductoria. En

este trabajo basándonos en ejemplos específicos, aplicados a la enseñanza de teorías básicas de

la Física, establecemos diferencias entre analogía, metáfora y símil, proporcionando un escenario

adecuado para aplicar estos elementos de aprendizaje.

Descriptores: Analogías, aprendizaje, Física Fundamental, Competencias.

56

El artículo corresponde a la publicación de resultados del proyecto de investigación “Masa equivalente de los fotones en los procesos de interacción de la

materia con la energía” financiado por la Vicerrectoría de Investigación y Proyección Social.




205

PO 11. ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA LA ENSEÑANZA DEL PENSAMIENTO ESPACIAL

Luis Eduardo Osorio Acevedo


Magister En Enseñanza de la Matemática


[email protected]

Héctor Fabio Bermúdez M.

Estudiante Licenciatura en matemáticas y física

[email protected].

RESUMEN: En este artículo se hace una breve descripción de la metodología de enseñanza

basada en proyectos aplicada al desarrollo pensamiento espacial y geométrico. Se toma esta línea,

al evidenciar el abandono injustificado de la geometría en la educación primaria, secundaria y

media.

1. INTRODUCCION

Desde hace algunos años el pensamiento geométrico pasa por una profunda crisis en la

enseñanza matemática. Cuando se hace referencia al pensamiento geométrico no se debe pensar

que es solamente de la enseñanza de la geometría Euclidiana la cual hace referencia al estudio de

las propiedades del plano y el espacio tridimensional, sino a algo mucho más básico y profundo

que es el desarrollo de aquella parte de la matemática que trata de estimular la capacidad del

hombre para razonar sobre el espacio físico en que vive.

Muestra de esta situación, son los textos y los programas de Educación Primaria y Secundaria, los

cuales tan solo dedican unas cuantas páginas para tratar someramente los temas del

pensamiento espacial.

Ante este abandono injustificado de la geometría, se considera una necesidad ineludible, desde un

punto de vista didáctico proponer algunas estrategias didácticas las cuales permitan abordar el

contenido espacial e intuitivo en toda la matemática.




206

Hoy en día, el pensamiento espacial57

, constituye un componente esencial del pensamiento

matemático, está referido a la percepción racional del entorno propio y de los objetos que hay en

él, su desarrollo, asociado a la interpretación y comprensión del mundo físico, permite desarrollar el

interés en la matemática así como mejorar las estructuras conceptuales y las destrezas numéricas,

el pensamiento espacial permite la aplicación de las competencias numéricas adquiridas, mediante

el manejo de modelos de la vida diaria que tienen que ver con las relaciones espaciales,

geométricas y métricas.

Es necesario entonces, la procura del desarrollo de este tipo de competencias en nuestros

estudiantes pertenecientes a la básica primaria y secundaria, indispensables para desenvolverse

en el mundo y para lograr la comprensión y valoración de nuestro entorno, lo cual será resultado

de la aprehensión de relaciones de tipo espacial, métrico y geométrico, diseñando diferentes

actividades que sirvan de herramienta al docente y que acerquen a los estudiantes al maravilloso

mundo de la geometría.

La ponencia presenta una propuesta de actividades para el desarrollo de las competencias básicas

del pensamiento espacial, apoyándose en la metodología de proyectos pedagógicos de aula. Estas

actividades responden a las deficiencias existentes en geometría en los estudiantes de la

educación básica y a qué en las clases de matemática, no se potencia de manera sistemática su

desarrollo.

Su novedad consiste en ofrecer a los Profesores actividades que permitan elevar el aprendizaje de

los estudiantes y sirvan además como modelo para la elaboración de otras. El trabajo se encuentra

en fase de diseño y desarrollo de las mismas, con miras a realizar su aplicación, en todas las

instituciones de educación básica y media.

2. METODOLOGÍA

La mayor parte de los maestros de matemáticas, se han formado en escuelas o facultades en

donde la interacción con otras disciplinas, inclusive tan cercanas como la física, es

tradicionalmente escasa. En nuestro sistema educativo, la enseñanza verbalista tiene una larga

tradición y los alumnos que están acostumbrados a ella, generalmente, en lugar de estar atentos a

los razonamientos y participar en clase, se limitan, por tradición de aprendizaje, a tomar apuntes

que después tratarán de memorizar al estudiar para sus exámenes.

57 “ Considerado como el conjunto de los procesos cognitivos mediante los cuales se constituyen y

manipulan las representaciones mentales de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus

transformaciones, y sus diversas traducciones a representaciones materiales”(MEN,1998:56)


207

Un gran número de factores contribuyen a que esta situación no cambie: con frecuencia el maestro

está acostumbrado a este estado de cosas y lo ve como natural; por lo extenso de los programas,

el maestro decide cubrirlos en su totalidad y no se da tiempo para generar el diálogo, fomentar las

intervenciones de los alumnos y hacerles ver que es posible sacar más provecho a los tiempos de

las clases.

Lo anterior tiene como consecuencia que el interés por las matemáticas surja de las matemáticas

mismas y no de la interacción con las otras ciencias. Los profesores de las otras disciplinas que

requieren de las matemáticas como herramienta que sitúe e interrelacione adecuadamente, las

ideas y conceptos centrales, han recibido su formación en instituciones donde han aprendido a

eludir el uso de las matemáticas; actitud que mantienen, a pesar de que en sus disciplinas, las

matemáticas cada día cobran mayor relevancia.

La amplitud de los programas de los cursos, la rapidez con que éstos se imparten, la falta de

ejemplos que muestren la relación de las materias con el resto del currículum y la escasa

motivación con que los emprenden, no permiten al alumno ubicar correctamente el contenido,

limitando su esfuerzo a estudiar para pasar los exámenes, material que olvida en su mayor parte.

Esto último, tiene como consecuencia, que los profesores se encuentren constantemente con la

disyuntiva de repasar el material que se supone que los alumnos ya conocían, cuestión que va en

contra del cumplimiento cabal del nuevo contenido, o continuar adelante, dando por sabido los

antecedentes. En este orden de ideas, el diseño de actividades didácticas para la enseñanza de la

geometría apoyándose en diferentes metodologías, en particular “el aprendizaje basado en

proyectos de aula”, puede ser una muy buena herramienta para la labor del docente.

Algunas de las prácticas educativas innovadoras que actualmente se llevan a cabo en todo el

mundo empezaron a ser desarrolladas a principios del siglo XX. Cuando Kilpatrick (Universidad de

Columbia) publicó su trabajo "Desarrollo de Proyectos” en 1918, más que hablar de una técnica

didáctica expuso las principales características de la organización de un plan de estudios de nivel

profesional basado en una visión global del conocimiento que abarcara el proceso completo del

pensamiento, empezando con el esfuerzo de la idea inicial hasta la solución del problema.

El desarrollo de proyectos, así como el desarrollo de solución de problemas, se derivaron de la

filosofía pragmática que establece que los conceptos son entendidos a través de las

consecuencias observables y que el aprendizaje implica el contacto directo con las cosas. El

conocimiento y la aplicación de los contenidos de una disciplina, para resolver problemas prácticos

o desarrollar proyectos de cambio para la sociedad, es un tipo de aprendizaje necesario para los

estudiantes.


208

El método de proyectos emerge de una visión de la educación en la cual los estudiantes toman una

mayor responsabilidad de su propio aprendizaje y en donde aplican, en proyectos reales, las

habilidades y conocimientos adquiridos en el salón de clase. El método de proyectos busca

enfrentar a los alumnos a situaciones que los lleven a rescatar, comprender y aplicar aquello que

aprenden como una herramienta para resolver problemas o proponer mejoras en las comunidades

en donde se desenvuelven.

Cuando se utiliza el método de proyectos como estrategia, los estudiantes estimulan sus

habilidades más fuertes y desarrollan algunas nuevas. Se motiva en ellos el amor por el

aprendizaje, un sentimiento de responsabilidad y esfuerzo y un entendimiento del rol tan

importante que tienen en sus comunidades.

Los estudiantes buscan soluciones a problemas no triviales al:

· Hacer y depurar preguntas.

· Debatir ideas.

· Hacer predicciones.

· Diseñar planes y/o experimentos.

· Recolectar y analizar datos.

· Establecer conclusiones.

· Comunicar sus ideas y descubrimientos a otros.

· Hacer nuevas preguntas.

El trabajar con proyectos puede cambiar las relaciones entre los maestros y los estudiantes. Puede

también reducir la competencia entre los alumnos y permitir a los estudiantes colaborar, más que

trabajar unos contra otros. Además, los proyectos pueden cambiar el enfoque del aprendizaje, la

puede llevar de la simple memorización de hechos a la exploración de ideas.

En la metodología de proyectos, el alumno aprende a investigar utilizando las técnicas propias de

las disciplinas en cuestión, llevándolo así a la aplicación de estos conocimientos a otras

situaciones.

Existen algunas características que facilitan el manejo del método de proyectos58

:

1. Un planteamiento que se basa en un problema real y que involucra distintas áreas.

58 Blumenfeld y otros, 1991


209

2. Oportunidades para que los estudiantes realicen investigaciones que les permitan aprender

nuevos conceptos, aplicar la información y representar su conocimiento de diversas

formas.

3. Colaboración entre los estudiantes, maestros y otras personas involucradas con el fin de

que el conocimiento sea compartido y distribuido entre los miembros de la “comunidad de

aprendizaje”.

4. El uso de herramientas cognitivas y ambientes de aprendizaje que motiven al estudiante a

representar sus ideas. Estas herramientas pueden ser: laboratorios computacionales,

hipermedios, aplicaciones gráficas y telecomunicaciones.

2.1 RECOMENDACIONES PARA LA IMPLEMENTACIÓN DE UN PROYECTO DE AULA

INICIO

1. Defina el tópico. Comparta la información sobre el proceso de la sección anterior. Facilite

una discusión de éste con toda la clase.

2. Establezca programas, metas parciales y métodos de Evaluación.

3. Identifique recursos.

4. Identifique requisitos previos. Programe una clase para discutir:

a. ¿Cómo definir y desarrollar un proyecto complejo?

b. ¿Cómo se va a obtener, para poder realizar el proyecto, el conocimiento nuevo

que sobre la materia van a necesitar los estudiantes?

c. ¿Cómo se van a adquirir los conocimientos o habilidades nuevas y necesarias en

las TIC( tecnologías informáticas de las comunicaciones)?

d. Establecer los objetivos del Proyecto.

5. Conformar los equipos. Discutir la frecuencia y el sitio de las reuniones.

ACTIVIDADES INICIALES DE LOS EQUIPOS

1. Planeación preliminar. Se comparten conocimientos sobre el Tema y se sugieren posibles

proyectos para el equipo.

2. Establecer tentativamente lo específico que debe ser el proyecto. Profundizar el

conocimiento.

3. Especificar tentativamente el Plan de Trabajo. Dividir el proyecto en componentes y

asignar responsabilidades.

4. Retroalimentación por parte del profesor. Esta es una meta parcial clave.

5. Revisar el plan con base a la retroalimentación.


210

IMPLEMENTACIÓN DEL PROYECTO

1. Asegúrese de que los estudiantes completen las tareas y metas parciales una por una. El

Plan de Trabajo debe dividir el proyecto en una secuencia de tareas, cada una con su

programación y meta.

2. Con la aprobación del profesor, los equipos refinan continuamente la definición del

proyecto.

3. Los miembros de los equipos toman parte en el aprendizaje colaborativo y en la solución

cooperativa de los problemas.

4. Se hará tanto autoevaluación como evaluación mutua entre los miembros de los equipos.

El profesor también evalúa y da retroalimentación.

5. Avance hacia la terminación. Un proyecto tiene como resultado final un producto, una

presentación o una interpretación dirigida a una audiencia específica.

6. Si es necesario, se repiten los pasos del 1 al 5 de esta sección hasta que todas las metas

parciales se hayan alcanzado.

CONCLUSIÓN DESDE LA PERSPECTIVA DE LOS ESTUDIANTES

1. Revisión final. Completar el proyecto y pulir el producto, la presentación o la interpretación

finales.

2. Evaluación final. Se presenta el trabajo terminado en la forma acordada. Por lo general,

toda la clase participa y junto con el profesor, ofrece retroalimentación constructiva.

3. Cierre. Individuos y equipos analizan sus productos, presentaciones o interpretaciones

finales apoyándose en la retroalimentación recibida.

CONCLUSIÓN DESDE EL PUNTO DE VISTA DEL PROFESOR

1. Prepárese para el cierre. Facilite una discusión y evaluación general del proyecto en la

clase.

2. Haga un registro de sus notas. Reflexione sobre el proyecto: sobre lo que funcionó bien y

sobre lo que se debe mejorar para la próxima vez que lo use en una clase.

4. RESULTADOS

A continuación se presenta el esquema de la propuesta para el desarrollo de actividades didácticas

utilizando la metodología de aprendizaje basada en proyectos de aula.

Nombre del proyecto Identifica el proyecto. Debe ser un nombre que

motive a los estudiantes.


211

Nivel de escolaridad Nivel escolar al cual va dirigido el proyecto:

Básica primaria - básica secundaria.

Grado de aplicación sugerido Grado o conjunto de grados específico en el cual

se aplica el proyecto.

Enfoque temático Temas que se tratarán en el proyecto.

Estándar

Estándar básico de competencia seleccionado

de acuerdo a los temas a tratar. Se obtiene del

documento de MEN.

Competencia

Habilidad o habilidades que se pretenden

desarrollar en el estudiante.

Objetivos

Objetivos a alcanzar. Deben ser objetivos

realizables.

Red conceptual

Se incluye en esta red temas y conceptos que

pueden tratarse durante el desarrollo del

proyecto.

Evaluación diagnostica

Permite identificar es estado previo del

conocimiento de los estudiantes antes de llevar

a cabo el proyecto.

Tiempo estimado

Tiempo en el que se espera llevar a cabo el

proyecto.

Materiales Materiales necesarios para realizar el proyecto.

Planteamiento del proyecto

Breve descripción a cerca de que trata el

proyecto y como se pretende llevarlo a cabo.

Desarrollo Realización del proyecto.

Presentación de productos finales

Muestra y/o exposición ante la comunidad

educativa de los productos finales obtenidos a

partir del desarrollo del proyecto.

Finalización

Al finalizar un proyecto es importante evaluar

varios puntos como la autoevaluación, la

coevaluación y la heteroevaluacion, teniendo en


212

cuenta que durante el desarrollo de un proyecto

de aula se pueden concebir diferentes

perspectivas de acuerdo al rol desempeñado.

Evaluación

La Evaluación se contempla como un proceso

permanente y continuo durante el desarrollo del

proyecto, con la utilización de instrumentos que

evaluarán los siguientes aspectos:

Participación activa de los alumnos

Niveles de logro

El producto final

Los criterios de evaluación en la que se

evaluará este proyecto son: comprensión de

conceptos, estrategia operativa,

razonamiento lógico y resolución de

problemas.

Asimismo se propiciará la autoevaluación, la

coevaluación y la heteroevaluación de los

alumnos.

Autoevaluación

en este caso es importante que el docente

formule preguntas a los estudiantes que le

permitan analizar el proceso de aprendizaje y

participación durante las actividades

desarrolladas por parte de cada uno de los

integrantes.

Coevaluación

en este punto se deben formular preguntas a los

integrantes del grupo cuyas respuestas permitan

evidenciar el aporte de cada miembro del grupo,

tanto a la actividad como al proceso de

aprendizaje.

Heteroevaluación

es importante que el docente después de haber

observado y analizado la participación de cada

uno de los estudiantes durante el desarrollo de


213

las actividades exprese su apreciación acerca

de este proceso, teniendo en cuenta sus

objetivos planteados con este proyecto.

5. RECOMENDACIONES

Con esta propuesta se pretende brinda al docente herramientas metodológicas que le pueden

ayudar a lograr un aprendizaje efectivo en el alumno. Pero es necesario que él mismo se encargue

de crear un ambiente de aprendizaje favorable en el aula, modelando la motivación para aprender,

esto ayuda a minimizar la ansiedad haciendo que los alumnos logren un mejor desempeño en sus

actividades.

Los docentes deben actuar como modeladores de los procesos de aprendizaje, para esto debe

proporcionar a los educandos, las herramientas que le hagan valorar su propio aprendizaje,

viéndolo el mismo como un desarrollo recompensante y de autorrealización que les enriquecerá su

vida, trayendo consigo satisfacciones personales.

Discuta con los estudiantes la importancia e interés del trabajo realizado, tratando de relacionarlo

con el mundo real, motivándolos hacia la consulta e investigación de más información en libros,

artículos, videos, programas de televisión en donde se traten temas vistos.

Explique al estudiante que se espera que cada uno de ellos disfrute el aprendizaje.

No realice la evaluación como una forma de control, sino como medio de comprobar el progreso de

cada estudiante.

Ayude al estudiante adquirir una mayor conciencia de sus procesos y diferencias referente al

aprendizaje.

Referencias:

1. BISHOP, Alan J. Entornos Informáticos para la enseñanza de las Matemáticas p 93.

2. ORTIZ, Francisca. Matemáticas Estrategias de enseñanza y aprendizaje. p 21

3. MACARIO, Sergio. Matemáticas para el siglo XXl p. 354.

4. LACRUZ, Miguel. Nuevas tecnologías para futuros docentes p. 302.

5. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Estándares básicos de competencias.

Disponibles en: http://wwwmineducacion.gov.co/1621/find-results.htm

http://wwwmineducacion.gov.co/1621/find-results.htm


214

PO 12. APLICAR LA METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE BASADA EN PROYECTOS (ABP) A

ESTUDIANTES DE BÁSICA PRIMARIA Y SECUNDARIA LOGRANDO ASÍ EL

FORTALECIMIENTO DEL PENSAMIENTO NUMÉRICO VARIACIONAL EN LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICA.

Robin Mario Escobar Escobar

Licenciado en Matemáticas y física

Universidad Tecnológica de Pereira.

Candidato a Magíster en la Enseñanza de la Matemática

Universidad Tecnológica de Pereira.

Investigador del grupo de Investigación Estadística e Investigación Social – ISE

Tutor del semillero de Investigación en Educación Matemática - SIEM

[email protected]

María del Pilar Ciceri Cruz

Estudiante de Licenciatura en Matemáticas y Física


Integrante del semillero de Investigación en Educación Matemática – SIEM

[email protected]

RESUMEN: El desarrollo del pensamiento matemático influye en el resto de las capacidades del

estudiante, es por esto que se considera de vital importancia que el docente aplique nuevas

estrategias enfocadas en el pensamiento numérico variacional brindando así la posibilidad de

aplicar la metodología por proyectos como herramienta útil que le ayude a desarrollar en el

estudiante la capacidad de raciocinio.

Palabras claves: Evaluación Educativa, Proyectos de Aula.

1. INTRODUCCIÓN

La preocupación de los docentes por la enseñanza y el aprendizaje de las Matemáticas han ido en

aumento. Por ello constantemente se realizan foros y conferencias sobre este tema, buscando

implementar así algunos cambios en los planes de estudio y tratando de aplicar diferentes

estrategias de enseñanza para captar el interés de los estudiantes, y por qué no también el interés

de algunos docentes. En algunos eventos el eje central ha sido el ¿cómo?, ¿cuándo? , ¿Qué?,

¿para qué? Y ¿Por qué? se debe enseñar y aprender en esta área. Pero hay unos aspectos que

deben preocupar más a los actuales y futuros docentes; que se plantean en preguntas como:

¿cuál es el proceso mediante el cual los estudiantes aprenden las Matemáticas?, ¿ qué orden

jerárquico tienen estos conocimientos matemáticos?, ¿cómo influyen en el resto del conocimiento




215

del estudiante?, y ¿lo que se le está enseñando es solo el algoritmo matemático para realizar

operaciones o si hay una real preocupación por el desarrollo del pensamiento matemático?; de

hecho, el desarrollo del pensamiento matemático influirá en el resto de las capacidades del

estudiante por esto se considera de vital importancia tener claras las respuestas a estas

preguntas.

2. CONTENIDO

2.1 Metodología:

Las matemáticas de hoy se pueden enseñar y aprender con gusto, es muy importante lograr que la

comunidad educativa entienda que las matemáticas son accesibles y aun agradables si su

enseñanza se da mediante una adecuada orientación, que implique una permanente interacción

entre el docente y sus estudiantes; en fin, descubrir que las matemáticas están íntimamente

relacionadas con la realidad y con las situaciones que los rodean, no solo en las instituciones

educativas sino también en su entorno.

Aunque es bastante difícil dar una receta que sirva para todos, las investigaciones evidencian que

existen prácticas que estimulan una mayor participación de los estudiantes en la realización de

nuevas estrategias de enseñanza [2]. Estas prácticas implican dejar de lado la enseñanza

mecánica y memorística para enfocarse en un trabajo más retador y complejo; utilizar proyectos

como parte del currículo no es un concepto nuevo y los docentes los incorporan con frecuencia a

sus planes de clase [1],[2],[3]. Pero la enseñanza basada en proyectos es diferente: es una

estrategia educativa integral, en lugar de ser un complemento. El trabajo por proyectos es parte

importante del proceso de aprendizaje. Este concepto se vuelve todavía más valioso en la

sociedad actual en la que los docentes trabajan con grupos de niños que tienen diferentes estilos

de aprendizaje, antecedentes étnicos y culturales y niveles de habilidad. Un enfoque de enseñanza

uniforme no logra que todos los estudiantes alcancen estándares altos; mientras que uno basado

en proyectos, construye sobre las fortalezas individuales de los estudiantes y les permite explorar

sus áreas de interés dentro del marco de un currículo establecido.

Esta estrategia de enseñanza constituye un modelo de instrucción autentico en el que los

estudiantes planean, implementan y evalúan proyectos que tiene aplicación en el mundo real más

allá de un aula de clase. En ella se recomiendan actividades de enseñanza interdisciplinaria, de

largo plazo y centradas en el estudiante, en lugar de lecciones cortas y aisladas.

Las estrategias de instrucción basadas en proyectos tienen sus raíces en la aproximación

constructivista que evolucionó a partir de los trabajos de los psicólogos y educadores tales como

Lev Vygotsky, Jerome Bruner, Jean Piaget y John Dewey.


216

El constructivismo mira el aprendizaje como el resultado de construcciones mentales; esto es, que

los niños, aprenden construyendo nuevas ideas o conceptos, basándose en sus conocimientos

actuales y previos. Más importante aún, los estudiantes encuentran los proyectos divertidos,

motivadores y retadores porque desempeñan en ellos un papel activo tanto en su escogencia

como en todo el proceso de planeación (Challenge 2000 Multimedia Project, 1999, Katz, 1994).

“punto 7”.

2.1.1. Los principales beneficios del Aprendizaje Basado en Proyectos [2] Incluyen:

Preparar a los estudiantes para los puestos de trabajo. Los estudiantes se exponen a una

gran variedad de habilidades y de competencias tales como colaboración, planeación de

proyectos, toma de decisiones y manejo del tiempo.

Aumentar la motivación. Los maestros con frecuencia registran aumento en la asistencia

a la escuela, mayor participación en clase y mejor disposición para realizar las tareas.

Hacer la conexión entre el aprendizaje en la escuela y la realidad. Los estudiantes

retienen mayor cantidad de conocimiento y habilidades cuando están comprometidos con

proyectos estimulantes. Mediante los proyectos, los estudiantes hacen uso de

habilidades mentales de orden superior en lugar de memorizar datos en contextos

aislados sin conexión con cuándo y dónde se pueden utilizar en el mundo real.

Ofrecer oportunidades de colaboración para construir conocimiento. El aprendizaje

colaborativo permite a los estudiantes compartir ideas entre ellos o servir de caja de

resonancia a las ideas de otros, expresar sus propias opiniones y negociar soluciones,

habilidades todas necesarias para el futuro.

Aumentar las habilidades sociales y de comunicación.

Acrecentar las habilidades para la solución de problemas.

Permitir a los estudiantes tanto hacer como ver las conexiones existentes entre

diferentes disciplinas.

Ofrecer oportunidades para realizar contribuciones en la escuela o en la comunidad.

Aumentar la autoestima. Los estudiantes se enorgullecen de lograr algo que tenga valor

fuera del aula de clase.

Permitir que los estudiantes hagan uso de sus fortalezas individuales de aprendizaje

y de sus diferentes enfoques hacia este.


217

Posibilitar una forma práctica, del mundo real, para aprender a usar la Tecnología [2].

2.1.2. Resultados

Lo que se logra aplicando nuevas estrategias de enseñanzas es captar el interés de los

estudiantes, sobre todo con materias que se encuentran estigmatizadas por la misma

educación como lo son las matemáticas; aquí se logra ver un ejemplo de cómo se puede

utilizar una actividad cualquiera aplicada a una estrategia de trabajo como lo es la

metodología basada en proyectos.

2.1.3. Ejemplo ABP.

Nombre de la actividad: El precio es correcto

Nivel de escolaridad: Básica primaria

Grado de sugerido: Quinto

Enfoque temático: Relaciones y valores

Estándar: Justifico el valor de posición en el sistema de numeración en relación con el conteo

recurrente de unidades en los números naturales.

Competencia: Represento y relaciono patrones numéricos con tablas y reglas verbales

Objetivo: Desarrollar en los estudiantes la habilidad para establecer relaciones de

correspondencias y valores en los números naturales.

Tiempo: aproximadamente 16 horas clase.

Materiales:

1. Afiche grande de la ilustración de un supermercado

2. Papel bond

3. Guía de trabajo

4. Ficheros

5. Objetos distintos que se pueden encontrar en un supermercado.

6. Tarjeta de precios

7. Tarjetas blancas con dibujos


218

8. Tablero

9. Marcadores

Proceso de aplicación de la metodología:

Planteamiento del proyecto:

Este proyecto pretende afianzar en el estudiante los conceptos de relaciones de correspondencias

y valores en el sistema de numeración, como también que relacionen lo que aprenden en las

clases con la vida cotidiana por medio del diseño y la implementación de artículos de

supermercados los cuales son elaborados y utilizados por los mismos estudiantes.

Inicio:

Para el desarrollo de un proyecto de aula, es necesario confrontar los conocimientos previos de los

estudiantes y para ello se pueden realizar preguntas como:

¿Qué son los números naturales?

¿Cómo se representan los números naturales?

¿Cómo es la ubicación de los números naturales en la recta numérica?

¿Cómo es el orden de los números naturales?

¿Qué operaciones matemáticas aplicamos con los números naturales?

¿Qué propiedades aplica cada una de ellas?

El objetivo de estas preguntas es propiciar pequeños debates entre los estudiantes con el fin de

realizar una retroalimentación y construir un concepto común que les permita describir con

propiedad el conceptos de los números naturales y establecer relaciones de correspondencia y

valores entre los naturales, además de manejar un lenguaje común; lo que representara el punto

de partida para el desarrollo del plan de trabajo.

Desarrollo:

Teniendo clara la base de conceptos procede a realizar el desarrollo de esta actividad con los

estudiantes:

Parte 1

1. Los estudiantes contestan preguntas con base a la información que ellos mismos manejan

de un supermercado, como precios de productos o servicios.


219

2. Se organizan por equipos de cuatro o cinco de acuerdo a la cantidad de estudiantes que hayan

en el aula de clases.

3. Se realiza un bazar, ilustrando la forma de un supermercado. En él se ponen distintos objetos,

de los cuales los estudiantes anotan los precios para venderlos e inventan problemas que

resolverán por equipos.

4. Ganará el que obtenga más aciertos.

Parte 2

1. Luego se escribe en el tablero una lista de frutas (guayaba, mango, piña, entre otros.) se

les reparten a cada estudiante una tarjeta con la fruta de su preferencia.

2. Pasan los estudiantes al tablero y colocan en fila las tarjetas.

3. Posteriormente se realiza un análisis, para saber ¿Cuál fue la fruta que prefieren más los

estudiantes?

4. Realizan por equipos una gráfica de barras y una gráfica circular y la explican a todos sus

compañeros.

Finalización:

Al finalizar un proyecto es importante evaluar varios puntos como la auto-evaluación, la co-

evaluación y la hetero-evaluación, teniendo en cuenta que durante el desarrollo de un proyecto de

aula se pueden concebir diferentes perspectivas de acuerdo al rol desempeñado.

Auto-evaluación: En este caso es importante que el docente formule preguntas a los estudiantes

que le permitan analizar el proceso de aprendizaje y participación durante las actividades

desarrolladas por parte de cada uno de los integrantes, interrogantes como:

1. ¿Qué logro aprender?

2. ¿Qué pudo encontrar entre los conceptos de relaciones y correspondencias?

3. ¿Cuál es el aspecto que más dificultad le causo? ¿Por qué?

4. ¿Qué diferencia existe entre los conceptos de ubicación y correspondencia numérica?

Co-evaluación: En este punto se deben formular preguntas a los integrantes del grupo cuyas

respuestas permitan evidenciar el aporte de cada miembro del grupo, tanto a la actividad como al

proceso de aprendizaje.


220

1. ¿Cuáles fueron las falencias del estudiante durante la actividad?

2. ¿Cuáles fueron las fortalezas del estudiante durante la actividad?

3. ¿El estudiante manejó con claridad los conceptos de números naturales y relaciones de

correspondencias?

4. ¿Estableció con claridad el estudiante relaciones de orden y correspondencia entre números

naturales?

5. ¿Su participación fue importante dentro del trabajo de equipo?

Hetero-evaluación: es importante que el docente después de haber observado y analizado la

participación de cada uno de los estudiantes durante el desarrollo de las actividades exprese su

apreciación acerca de este proceso, teniendo en cuenta sus objetivos planteados con este

proyecto.

1. ¿El estudiante desarrolló habilidades en el manejo de los conceptos de números naturales y

relaciones de correspondencia numérica?

2. ¿El estudiante aplicó procesos de relación y correspondencia entre los números naturales?

3. ¿El estudiante utilizo a favor el contexto generado para el desarrollo de las actividades y aplicó

sus conocimientos previos?

Evaluación:

Para analizar los resultados obtenidos con el desarrollo del proyecto es necesario plantearse las

siguientes preguntas:

1. ¿La situación planteada en el contexto de relacionar los naturales y la correspondencia numérica

fue realmente interesante para los estudiantes?

2. ¿El desarrollo de este proyecto posibilito la reconstrucción de los conocimientos acerca de los

números naturales y las relaciones de correspondencia numérica estableciendo nuevas relaciones

o modificándolas?

3. ¿Qué condiciones de la práctica de escritura o de lectura de los números naturales y las

relaciones de correspondencia numérica se han podido reproducir en el aula?

4. ¿Qué problemas tuvieron que enfrentar los estudiantes durante el desarrollo de este proyecto?

5. ¿Qué contenidos se convirtieron efectivamente en un objeto de reflexión? ¿Entre los mismos

estudiantes lograron dar solución a sus interrogantes o fue necesaria la intervención del docente?


221

6. Las modalidades de trabajo elegidas- individual, grupal o colectiva- ¿Resultaron adecuadas para

el sentido de cada situación?

RECOMENDACIONES

Con la aplicación de esta metodología por proyectos se pretende concientizar a los

docentes de aplicar nuevas habilidades de enseñanza, así lograremos cambios positivos

en los estudiantes.

Esta metodología también se puede implementar para básica secundaria, de acuerdo a la

necesidad del docente para explicar determinado tema.

Implementando nuevas estrategias de enseñanza, los estudiantes se sentirán más

motivados y atraídos de la matemática realizando algo más práctico y creativo, algo fuera

de lo común.

Referencias

1. Entornos Informáticos para la enseñanza de las Matemáticas N.Gorgorio Alan J. Bishop.

2. Matemáticas Estrategias de enseñanza y aprendizaje. Francisca Ortiz Rodríguez.

3. Matemáticas para el siglo XXI Sergio Macario Vives

4. Nuevas tecnologías para futuros docentes. Miguel Lacruz Alcocer

http://wwwmineducacion.gov.co/1621/find-results.htm (estándares básicos de competencias

matemáticas).

5. http://www.colombiaaprende.edu.co/html

6. http://marcelitbocaz.blogspot.com (el aporte de la ingeniería didáctica a las matemáticas)

http://wwwmineducacion.gov.co/1621/find-results.htm

http://www.colombiaaprende.edu.co/html

http://marcelitbocaz.blogspot.com/


222

PO14. LA MODELACIÓN EN MATEMÁTICA EDUCATIVA: UNA PRÁCTICA PARA EL

TRABAJO DE AULA EN INGENIERÍA1

Francisco Javier Córdoba Gómez

Maestría en Educación

Estudiante de Maestría en Matemática Educativa

Ingeniero de Minas y Metalurgia

Docente Auxiliar Instituto Tecnológico Metropolitano

Grupo de Investigación Gnomon

[email protected]

Resumen. En este artículo se esboza de manera general un avance de investigación sobre la

práctica de Modelación en Matemática Educativa, y tiene que ver básicamente con una revisión

bibliográfica de las diferentes perspectivas de la Modelación para el trabajo en el aula con

estudiantes de todos los niveles y específicamente en el nivel superior. Esta revisión sirve como

base para el desarrollo de la parte práctica que se hará con estudiantes de ecuaciones

diferenciales.

Descriptores: modelación, modelo, matemática educativa, socioepistemología

Abstract. In this article it is presented a preliminary advance of research on modeling in

Mathematics Education and is related basically with a broad review of literature on this topic and

the different perspectives on modeling in order to implement this practice in all levels of education,

especially in higher education. This review serves as base of practical part that will be carry on with

a group of students in differential equations curse.

Descriptors: modeling, model, mathematics education, socioepistemology

1. INTRODUCCIÓN

Una dificultad mayor que se tiene en el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas tiene que

ver con la modelación matemática de situaciones o problemas en el aula. Aunque estas

situaciones o problemas sean tomados de la vida real, para los estudiantes es difícil

comprenderlos e interpretarlos. Un análisis del proceso de modelación en el aula permitirá

identificar aquellos aspectos que lo caracterizan y las principales dificultades que presentan los

estudiantes.

Para este trabajo de investigación el fenómeno didáctico que se problematiza es el de la

modelación en matemática educativa y específicamente la modelación en el aula con estudiantes

de ingeniería para identificar y caracterizar las interacciones que emergen frente a una situación de

modelación en la construcción de conocimiento matemático. Interesa básicamente lo que sucede



223

alrededor de la práctica de modelación, las interacciones que se presentan y la dinámica de trabajo

que emerge frente a una práctica de modelación.

Para el matemático holandés Freudenthal (1977) (citado por van den Heuvel-Panhuizen) sobre la

idea de que las matemáticas –si han de tener valor humano– deben guardar relación con la

realidad y ser relevantes para la sociedad, en este sentido es que las prácticas de modelación

adquieren valor y significado en el ámbito escolar.

En la actualidad existe una demanda creciente de la sociedad hacia una utilidad y si se quiere,

practicidad, de aquello que se enseña en la escuela para que el conocimiento construido en las

aulas no se encuentre alejado de la realidad y no sea obsoleto en términos de que el conocimiento

académico sirva efectivamente para resolver o plantear alternativas de solución a problemas reales

y actuales.

Esta situación se hace más evidente según lo que plantea el presidente actual de ICTMA

(International Community of Teachers of Modelling and Applications) Gabriele Kaiser (2010, p.1) en

el libro Modeling Students' Mathematical Modeling Competencies:

Applications and modeling and their learning and teaching in school and university have

become a prominent topic in the last decades in view of the growing worldwide importance

of the usage of mathematics science, technology and every day life. Given the worldwide

impending shortage of youngsters who are interested in mathematics and science it is

highly necessary to discuss possibilities to change mathematics education in school and

tertiary education towards the inclusion of real world examples and the competencies to use

mathematics to solve real world problems

Una situación que se presenta con frecuencia en los programas de ingeniería y que es una de las

motivaciones para este trabajo, tiene que ver con la desvinculación que existe entre los cursos de

matemáticas y los cursos propios de la ingeniería puesto que no hay una conexión real y

significativa entre unos y otros. Camarena (2001, p. 468) lo expone de forma directa cuando afirma

que la modelación es uno de los elementos que al parecer no es competencia de los profesores ni

de los cursos de matemáticas ni de los propios de ingeniería:

“… ya que por un lado no existe ninguna asignatura de la ingeniería que los trabaje, y por otro,

resulta los profesores de matemáticas sienten que este punto compete a los profesores de los

cursos propios de la ingeniería, mientras que estos últimos presuponen que los maestros de

matemáticas son quienes deben enseñar al estudiantes a modelar fenómenos de la ingeniería a

través del modelaje de diversos problemas que éste debe plantearle a los alumnos durante la

enseñanza de las matemáticas”

Esta situación sin lugar a dudas repercute en el desempeño futuro del ingeniero y puede generar

alguna dificultad frente a la solución de determinados problemas en su campo laboral:

Más aún, la matematización de los fenómenos y problemas que se presentan en el campo laboral

del futuro ingeniero es un punto de conflicto para el ingeniero4, ya que éste recibió sus cursos de


224

matemáticas por un lado y los de la ingeniería por otro lado, de forma tal que en el momento de

hacer uso de las dos áreas del conocimiento sus estructuras cognitivas están desvinculadas y él

debe integrarlas para poder matematizar el problema que tiene enfrente. (Camarena, 2001, p.469)

Así las cosas, asumir la modelación como una práctica social en la que intervienen docentes y

estudiantes para construir conocimiento matemático funcional mediante la interacción entre unos y

otros, desde una perspectiva socioepistemológica, se constituye en el enfoque bajo el cual se

orientará la investigación. La modelación matemática, asumida como una estrategia didáctica, se

convierte en una alternativa de trabajo en el aula que permite no solo la construcción de

conocimiento matemático sino también la vinculación del mundo real al ambiente escolar.

2. PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

En este trabajo el foco de interés y atención no está dado por la práctica de modelación como

contenido a enseñar ni como una estrategia de investigación sino que la modelación como práctica

social se constituye en el eje alrededor del cual emergen otras prácticas y es en el reconocimiento

de estas prácticas y de las interacciones y la dinámica de trabajo alrededor de una práctica de

modelación en particular que se construye y comprende conocimiento matemático. El problema de

investigación está dado en los siguientes términos:

¿Cómo se construye el conocimiento matemático en un curso de ecuaciones diferenciales a partir

de la práctica social de modelación del fenómeno de enfriamiento y qué tipo de interacciones

emergen en este proceso?

Otras preguntas que de manera preliminar pueden guiar el desarrollo del trabajo son:

¿Cuál es la concepción de modelación que tienen los profesores de Matemáticas?

¿Qué importancia le confieren a las prácticas de modelación en el aula?

¿Qué herramientas, conocimientos previos se movilizan en una situación de modelación?

¿Qué tipo de interacciones emergen en una situación de modelación?

¿Qué caracteriza el discurso del profesor en una situación de modelación?

¿Por qué en cursos avanzados no se utiliza la práctica de modelación como mecanismo de

interacción y construcción de conocimiento matemático?

¿Por qué los profesores son resistentes a incluir prácticas de modelación reales o supuestas en

sus cursos?

¿Será posible fomentar la práctica de modelación desde cursos iniciales en programas de

ingeniería?

¿Han recibido los profesores algún curso de modelación matemática?, ¿en cuáles asignaturas

creen que trabajaron la modelación?

3. BOSQUEJO DEL MARCO TEÓRICO

El marco teórico de referencia será el enfoque sociepistemológico ya que permite estudiar y

comprender la construcción de conocimiento matemático considerando las variables no solo


225

epistemológicas, cognitivas y didácticas sino ante todo las variables sociales situadas que influyen

en esta construcción. En el aspecto metodológico el enfoque será la investigación cualitativa y la

ingeniería didáctica.

Antes de presentar algunos de los trabajos anteriores sobre la modelación desde un enfoque

sociepistemológico es conveniente situarnos en otras perspectivas para entender lo que significa la

modelación para diferentes autores.

Es importante hacer una claridad con respecto al término. En España y otros países

latinoamericanos no suele emplearse el término modelación sino modelización.

Una explicación de la diferencia la dan Bassanezi y Biembengut (1997, p.14) al afirmar que

modelación es una “contracción” de los términos Modelización (que para los autores es el proceso

que utiliza conceptos y técnicas, esencialmente matemáticas, para el análisis de situaciones

reales) y Educación, en otras palabras establecen la siguiente ecuación gramatical: Modelación=

Modelización + Educación.

Para estos autores la modelación matemática es el método de enseñanza-aprendizaje que utiliza

el proceso de modelación en cursos regulares.

Existen otros autores que asumen la modelación como una parte de un proceso más general de la

solución de problemas: La modelación matemática es un proceso que tiene su esencia en la

construcción de modelos matemáticos abstractos. En este eslabón del proceso de solución de

problemas el sujeto expresa en un lenguaje matemático los elementos e interrelaciones del

problema dado, aplicando los conocimientos adquiridos; lo cual facilita encontrar el método para

llegar a la solución, una vez captadas sus particularidades (Diéguez y otros, 2003, p.7) y para

quienes un modelo es una representación simplificada del objeto o proceso que se analiza

teniendo en cuenta que refleja sólo algunas características que son esenciales en el fenómeno

estudiado.

En este mismo sentido Villa (2007, p.70) establece que la modelización está más inserta en la

actividad del científico y la modelación se da al llevar la modelización al aula, tal como lo plantea al

afirmar: se entiende por modelación matemática la actividad que se realiza en la clase de

matemáticas cuya naturaleza se deriva de la actividad científica de la modelización matemática. La

modelación matemática, más que una herramienta para construir conceptos, se convierte en una

estrategia que posibilita el entendimiento de un concepto matemático inmerso en un “micromundo”

(contexto dotado de relaciones y significados) que prepara al estudiante para ir desarrollando una

actitud diferente de preguntarse y abordar los problemas de un contexto real.

Según Kaiser y Maaß (2007) la modelación es un proceso en el cual un problema no matemático

es resuelto a través de la aplicación de las matemáticas (Modelling and Applications in

Mathematics Education, The 14th International Commission on Mathematical Instruction, 2007)

En cuanto a los usos de la modelación, también se encuentran diversas posturas.

Según el trabajo realizado por Biembengut y Hein (¿) han encontrado que en la literatura hay dos

posturas con respecto al modelaje (que para ellos es el proceso involucrado en la obtención de un


226

modelo): una que considera que a través del modelaje no se puede enseñar nuevos conceptos

matemáticos y otra que la considera un método para enseñar matemática.

Estos mismos autores en otro trabajo (2006, p.4) defienden la modelación matemática cómo

método de enseñanza y de investigación el cual se vale de la esencia de la modelización que

consiste en el arte de traducir un fenómeno determinado o problemas de la realidad en un lenguaje

matemático: el modelo matemático (2006, p.1)

Para Bosch y otros (2006, p.44) el problema de la modelización se puede abordar desde dos

perspectivas:

Tomar de la matemática sabia los procesos de modelización como una herramienta

“valiosa” desde el punto de vista didáctico y plantean la siguiente pregunta ¿cómo

podrían los procesos de modelización mejorar la enseñanza de las matemáticas y la

comprensión de los conceptos matemáticos?

La necesidad, en determinadas instituciones, de enseñar explícitamente la modelización

como un contenido más, por lo general restringida a la relación de las matemáticas con

alguna disciplina concreta, al servicio de un determinado campo profesional o de una

formación científica especializada, en este caso la pregunta sería: ¿cómo conseguir que

los alumnos desarrollen competencias de modelización en relación con su campo

científico o profesional de especialización?

Para algunos autores como Castro y Castro (2000, p.110) la modelización matemática es una

forma de resolución de problemas de la vida real en la que no solo se tiene en cuenta la solución

del mismo sino que exige la utilización de un gran número de habilidades matemáticas y no llega

solo a una respuesta específica sino a un rango de respuestas que describen la conducta del

fenómeno considerado y da al resolutor sentido de participación y control en los procesos de

solución. Esto hace que la modelización matemática sea un poderoso instrumento de aprendizaje

significativo, a tener en cuenta para trabajar en el aula.

Para Sadovsky (2005, p. 27) un proceso de modelización supone en primer lugar recortar una

cierta problemática frente a una realidad generalmente compleja en la que intervienen muchos más

elementos de los que uno va a considerar, identificar un conjunto de variables sobre dicha

problemática, producir relaciones pertinentes entre las variables tomadas en cuenta y transformar

esas relaciones utilizando algún sistema teórico-matemático, con el objetivo de producir

conocimientos nuevos sobre la problemática que se estudia.

Desde el punto de vista sociepistemológico se han encontrado las siguientes referencias:

Para Ferrari y Farfán (2008, p.324-325) la modelación es una práctica social como generadora de

herramientas y representaciones sociales, que nos permite generar conocimiento y construirnos

modificándolas y modificándonos.

La modelación también se ha asumido como una construcción social de conocimiento matemático

y no como una simple aplicación del conocimiento matemático, tal como lo proponen Cordero y


227

otros (2009, p.1717-1718): Una de las creencias frecuentes en las prácticas de enseñanza de la

matemática consiste en que la modelación es una aplicación de la matemática. Ello conlleva

enseñar matemáticas y después buscar la aplicación de tal conocimiento, para este grupo de

investigación la modelación es, en sí misma, una construcción social del conocimiento matemático.

Otro tipo de construcción es el que propone Suárez (2008, p.11) cuando afirma en su investigación

que la modelación es una construcción teórica que un individuo realiza al enfrentar una tarea

matemática en la que pone en juego sus conocimientos. Se supone en este caso que son

conocimientos previos, es decir, la modelación para que pueda ser significativa debe estar

apoyada en ciertos conocimientos que permitan nuevas construcciones. Para esta autora, la

hipótesis es que las matemáticas que se construyen con las actividades de modelación cobran un

nuevo sentido (Suárez, 2008,p.24)

Para Arrieta (2003, p. 100) la modelación se constituye en un proceso de matematización en el

aula de actividades que desarrollan interactivamente docentes y alumnos usando las matemáticas

para interpretar y transformar un fenómeno de la naturaleza confrontando y argumentando

diferentes versiones.

Es una práctica social en el sentido de comprender y transformar la naturaleza y es fuente que

desarrolla procesos de matematización, donde el alumno construye argumentos, significados,

herramientas y nociones relacionados con las matemáticas en la intervención con los fenómenos

de la naturaleza (Arrieta, 2003, p. 112)

Cordero (2006, p.7) va más allá de lo didáctico en la modelación y afirma que la modelación no

significa una “herramienta didáctica” que ayuda o facilita a construir el concepto…, sino es una

actividad que trasciende y se resignifica, que transforma al objeto en cuestión. Tal práctica es la

que se tendrá que desarrollar en el sistema educativo, según este autor.

Pero más allá de enseñar la modelación como un contenido específico de los programas de curso,

se pretende estudiar los fenómenos que acontecen alrededor de las prácticas de modelación, las

interacciones que emergen de las discusiones frente a un problema de modelación, de los saberes

previos y actuales que circulan en el aula cuando de presentan este tipo de situaciones, de los

diferentes caminos o alternativas de solución propuestas por los estudiantes, de sus argumentos y

justificaciones, de sus ejemplificaciones, de sus supuestos y certezas, de sus necesidades de

aprendizaje y de las estrategias que buscan para suplir esas necesidades, de las orientaciones del

profesor, de su discurso y del manejo de la situación, de la forma de institucionalización del DME,

de todo aquello que confluye en la situación de modelación y de las razones que justifican las

actuaciones de los otros. Las prácticas de modelación en sí mismas son el pretexto que permite

identificar y descubrir otros elementos consustanciales a la construcción del conocimiento

matemático y su carácter funcional.

En palabras de Marja van den Heuvel-Panhuizen “En términos más precisos, no son los modelos

en sí lo que hacen posible el crecimiento de la comprensión matemática, sino las actividades de


228

modelización de los estudiantes”, en esta afirmación se resume buena parte de lo que se pretende

con la investigación.

Modelar no es simplemente plantear en símbolos matemáticos un fenómeno extra matemático, es

también al mismo tiempo un proceso de descubrimiento de debilidades de aprendizaje, de formas

de relacionarse con el conocimiento, con los otros y con el entorno, es si se quiere, la cara

funcional de las matemáticas escolares pero funcional en el sentido de que promueve otros formas

de interacción y de construcción colectiva.

Plantear una situación a modelar no es una escogencia sencilla, puesto que gran parte de las

interacciones en clase se dan a partir de problemas que sean de interés general y ello exige que

las situaciones o fenómenos a modelar estén en lo que podría llamarse el espectro de intereses de

los estudiantes para de esta forma captar una mayor atención y promover que las interacciones

sean más ricas. Esto exige por lo mismo una posible diversificación del trabajo en el aula cuando

se trate de grupos heterogéneos de tal forma que los problemas seleccionados sean motivantes

para los estudiantes.

Este interés estará cruzado por las formas en que se asuman los contextos, ya que no es posible

desvincular las construcciones matemáticas de ellos. Esta situación también se ve reflejada en la

dificultad que puede tener el estudiante en el aprendizaje de las matemáticas y que según Cordero

(2001, p.629), específicamente con los problemas matemáticos, tiene como una posible causa no

sólo el carácter abstracto y formal de la propia disciplina, sino con la didáctica y la forma de

enseñanza con que se proponen dicho problemas, a veces tan alejados de los contextos de uso de

las actividades cotidianas.

Para este fin Cordero (2001, p. 630) propone los siguientes ámbitos para diferentes contextos en

los que se pueden insertar los problemas susceptibles de modelarse:

Real: un contexto es real si se produce efectivamente en la realidad y compromete el

accionar del estudiante.

Realista: un contexto es realista si es susceptible de producirse realmente. Se trata de

una simulación de la realidad o de una parte de ella.

Fantasista: un contexto es fantasista si es fruto de la imaginación y está sin fundamento

en la realidad.

Puramente matemático: un contexto es puramente matemático si hace referencia

exclusivamente a objetos matemáticos: números, relaciones y operaciones aritméticas,

figuras geométricas, etc.

3.

4. CONCLUSIONES

La selección de uno u otro contexto o de varios al mismo tiempo, dependerá de la intencionalidad

que se tenga en una situación particular pero considerando en todo momento que el contexto será

más apropiado en la medida que promueva y estimule no solo los intereses de los estudiantes sino


229

también las interacciones entre ellos, tal como lo expresa Cordero (2001, p.629) “Contextualizar el

conocimiento matemático no significa simplemente simularlo en el aula con cualquier actividad

cotidiana, sino conocer las representaciones que de ese conocimiento se hacen los estudiantes y

conocer el significado de sus concepciones, además de ver cómo las hacen funcionar en el ámbito

elegido”

La práctica de modelación como práctica social surge a partir de cierta intencionalidad que además

de buscar dar solución o transformar un estado de cosas lo que pretende es generar interacciones

e intercambio de significados entre los sujetos involucrados para así construir socialmente

conocimiento matemático o llegar a una mejor comprensión de una situación y de las relaciones

matemáticas que involucra.

Referencias

1. Arrieta, J. (2003). Las prácticas de modelación como proceso de matematización en el aula.

Tesis de Doctorado no publicada del Departamento de Matemática Educativa, Cinvestav–IPN.

2. Bassanezi, R. y Biembengut, M. (1997). Modelación matemática: Una antigua forma de

investigación-un nuevo método de enseñanza. Números, 32, 13-25

3. Biembengut, M. y Hein, N. (2006). Modelaje matemático como método de investigación en

clase de matemáticas. V Festival de Internacional de Matemática de Costa a Costa Matemática

para interpretar nuestro entorno. Celebrado del 29 al 31 de marzo, disponible en

www.cientec.or.cr/matematica.

4. Biembengut, M. y Hein, N. (s.f.). Modelo, Modelación y Modelaje: Métodos de la enseñanza de

las matemáticas. Departamento de Matemática CCEN, Universidad Regional de Blumean.

Brasil. Recuperado en http://matesup.utalca.cl/modelos/articulos/modelacion_mate2.pdf

5. Bosch, M., García, F., Gascón, J. y Ruiz, L. (2006). La modelización matemática y el probelma

de la articulación de la matemática escolar. Una propuesta desde la teoría antropológica de lo

didáctico. Educación Matemática, 18 (002), 37-74.

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Latinoamericana de Matemática Educativa 14, 468-473. México: Grupo Editorial

Iberoamericana.

7. Castro, E. y Castro E. (2000). Representaciones y modelización. En: La educación matemática

en la enseñanza secundaria. Instituto de Ciencias de la Educación. Universidad de Barcelona.

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8. Cordero, F. (2006b). La modellazione e la rappresentazione grafica

nell'insegnamentoapprendimento della matematica. La Matematica e la sua Didattica, 20, 1,

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9. Cordero, F. y otros. (2009). La modelación y la tecnología en las prácticas de enseñanza de las

matemáticas. Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, Vol. 22. Colegio Mexicano de

Matemática Educativa, México. Lestón, P. (Ed.).

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230

10. Cordero, F. y otros (2001). El Papel de la Sociocultura en la Didáctica de la Matemática. En G.

Beitía (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 14, 628-635. México: Grupo

Editorial Iberoamericana.

11. Diéguez, R., García, F., Server, P., y Álvarez, I. (2003). Aplicación del enfoque holístico al

estudio del proceso de solución de problemas matemáticos contextualizados en la matemática

básica para la carrera de agronomía. Revista Iberoamericana de Educacion

12. Ferrari, M. y Farfán, R. (2008). Un estudio socioepistemológico de lo logarítmico: la

construcción de una red de modelos. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática

Educativa, 11(2), 309-354

13. Kaiser y Maaß (2007) .Modelling and Applications in Mathematics Education, The 14th

International Commission on Mathematical Instruction.

14. Lesh, R. (2010). Modeling Students' Mathematical Modeling Competencies. Springer, New

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15. Sadovsky, P. (2005). Enseñar matemática hoy: Miradas, sentidos y desafíos. Libros del

Zorzal.1 edición. Buenos Aires.

16. Suárez, L. (2008). Modelación- Graficación, una categoría para la matemática escolar.

Resultado de un estudio socioepistemológico. Tesis doctoral no publicada, Departamento de

Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, México.

17. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2003). El uso didáctico de modelos en la Educación

Matemática Realista: Ejemplo de una trayectoria longitudinal sobre porcentaje. Disponible en:

18. http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2009/septiembre/incert160.htm

19. Villa, J. A. (2007). La modelación como proceso en el aula de matemáticas. Un marco de

referencia y un ejemplo. Tecno Lógicas, 63-85

http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2009/septiembre/incert160.htm


231

PO. 16 LIBROS DE DIVULGACIÓN COMO HERRAMIENTA EN LA ENSEÑANZA DE LA FÍSICA

Lucero Alvarez Miño

Magister en Ciencias-Física

Profesora Asociada

Departamento de Física y Química

Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales

[email protected]

RESUMEN: Mediante esta ponencia se busca compartir la experiencia de incluir la lectura de un

libro de divulgación o de literatura en un curso formal de física. Dicha práctica se ha realizado en

los últimos cuatro años en la asignatura Mecánica Cuántica Avanzada de la Maestría de Ciencias

Física de la Sede Manizales de la Universidad Nacional de Colombia, y en un grupo de Física I del

pregrado en Ingeniería Física. En el último caso el libro utilizado fue “Manualito de Imposturología

Física” de Fernando Vallejo, mientras que en el caso del curso de Cuántica, se han leído títulos

como “La Danza de los Maestros” de Gary Zukav, “A través del Maravilloso Espejo del Universo”

de John P. Briggs y F. David Peat “Quantum Physics: Illusion or reality? Alastair Rae, entre otros.

La lectura del libro se complementa con un cuestionario y una mesa redonda donde se socializan y

discuten las respuestas al cuestionario y todas aquellas ideas, dudas y reflexiones que puedan

haber surgido.

En general los estudiantes han encontrado en esta actividad un complemento a los libros

tradicionales de texto, especialmente en los aspectos conceptual e histórico.

Descriptores: libro de texto, libro de divulgación científica, modelo científicol, modelo mental,

didáctica.



232

PO21. PENSAMIENTO MATEMÁTICO DE LOS MAYAS, UNA CREACIÓN METAFÓRICA

Oscar Fernández Sánchez

Departamento de Matemáticas, Universidad Tecnológica de Pereira

Estudiante de Doctorado en Ciencias de la Educación

RUDECOLOMBIA-UTP

[email protected]

RESUMEN: Los símbolos matemáticos y sus múltiples relaciones, se han usado por centurias,

estos símbolos surgieron por múltiples necesidades cotidianas del ser humano y para referirse a

ellos fue imperativo asignarles un nombre. Esos nombres fueron metáforas que hoy se ha olvidado

que lo son. No son las únicas metáforas que aparecen en matemáticas, se las encuentra también

en libros, textos escolares y en el discurso de los profesores. Surge la pregunta ¿Hasta que punto

posibilita u obstruye el uso de lenguaje metafórico el desarrollo de pensamiento matemático?

Con este trabajo se pretende mostrar un ejemplo bastante ilustrativo de construcción de

pensamiento matemático a partir de lenguaje metafórico, es el desarrollo que hizo la cultura Maya

de un sistema numérico basado en tres símbolos generados a partir de su mitología sagrada. Las

creencias religiosas de los Maya-K‟iche se encuentran consignadas en el “Popol Vuh”, libro

sagrado del cual surge la matemática sagrada, obra de Huracán o Corazón del Cielo, como le

llaman a su Deidad.

Descriptores: Sistema numérico Maya, metáforas, mitología Maya.



233

PO22. RELACIÓN AFÍN ENTRE EL ÁLGEBRA Y LA GEOMETRÍA.

Pablo Felipe Ardila Rojo

Matemático de la Universidad Nacional sede Medellín

Magister en Ciencias matemáticas de la Universidad Nacional Sede Medellín

Docente Auxiliar del ITM. Miembro del grupo Da Vinci

[email protected]

[email protected]

RESUMEN: Una de las dificultades en la enseñanza de las matemáticas a nivel superior, es el

poco manejo por parte del los estudiantes de conceptos que requieren abstracción, tales como:

grupos, campos, anillos, etc. Esto debido a que en el proceso natural de aprendizaje dichas

estructuras no son tenidas en cuenta y la educación tradicional hace más énfasis en la

memorización y en la operatividad, sin prestar mucha atención a los procesos de razonamiento y

deducción, esto sólo mecaniza, descuidando el verdadero fin de las matemáticas. Las

repercusiones de tales vacíos se tendrán no solamente en las personas que desean seguir

estudios en la línea de ingeniería, sino, que en la vida cotidiana afectan procesos que conllevan el

manejo de simetrías, generalizaciones, y de forma más general la abstracción de conceptos.

Se pretende mostrar y construir de una forma didáctica empleando, figuras geométricas

(triángulos, cuadrados, pentágonos, etc.), el camino más natural para formalizar los siguientes

conceptos: simetrías, rotaciones, imágenes especulares, figuras geométricas, semejanza de

triángulos, grupos, grupos simétrico, grupo de permutaciones.

La idea principal de este trabajo es presentar una nueva manera de enseñar conceptos

matemáticos, usando los ya conocidos, que gracias a la geometría, puedan ser operados de forma

natural.

Descriptores. Álgebra abstracta, geometría, teoría de grupos, simetrías, grupo simétrico,

permutaciones.

INTRODUCCIÓN

Desde sus orígenes la matemática siempre ha tratado de responder a las inquietudes y

necesidades naturales del ser humano, por ejemplo, el saber quién tiene más dinero, cuánta

ganancia me deja el vender este artículo a un determinado precio sabiendo a como lo compre, o

el determinar que terreno puede albergar más ganado, así mismo, se pretendió clasificar la

naturaleza en razón a sus formas, tamaños, dimensiones, atributos todos ellos externos, en la

solución a estos problemas tenemos los orígenes de la aritmética y la geometría. El álgebra surge

un poco después pretendiendo simplificar y generalizar la aritmética, para innumerables




234

aplicaciones que requerían un grado más complejo de abstracción y en la cual los símbolos

reemplazan a los números.

HISTORIA

La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn Musa al-

jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe لة قاب م بر وال ج تاب ال que significa) (ك

"Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual proporcionaba

operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala) ربج (yebr)

(al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación de cirugía por la cual

se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el médico reparador de huesos).

Como se dijo al principio el Álgebra abstracta, cual surge como una herramienta para estudiar y

clasificar estructuras matemáticas que hoy son conocidas con los nombres de: grupos, anillos,

campos, etc. A partir del siglo XIX, muchas estructuras matemáticas se formalizan, motivados por

una necesidad de rigurosidad y exactitud. Un resultado muy importante es que estructuras tan

diferentes podían ser relacionadas, por medio de un mismo concepto, tal es el caso de los

números racionales y los números enteros, que pertenecen a la categoría de los grupos

ABELIANOS. Se le dio el nombre de álgebra abstracta para diferenciarlo del álgebra elemental, la

que trata de las reglas relacionadas ala manipulación de fórmulas y expresiones algebraicas que

involucran a los números realas y complejos.

De más antigüedad que el álgebra, la geometría, tiene sus orígenes anquilosados a cada cultura y

sin lugar a dudas podemos afirmar que es tan antigua como la humanidad, así es como hace más

de 5000 años en el antiguo Egipto era empleada para medir predios y en la construcción de

monumentos tales como pirámides y templos, gran parte de los cuales se conservan hoy como

testigos de una civilización, que brillo con luz propia. Etimológicamente, provienen de los vocablos

griegos, geo que significa tierra y metrón el cual significa medida, por tanto es la ciencia que se

encarga de la medida de la tierra. El matemático Thales de Mileto, hace 8 siglos, comienza a usar

el método demostrativo, pero es en los trabajos de Euclides, donde se ve axiomatiza y sistematiza,

Euclides reúne todo lo hecho en su época y lo transfiere en forma de un tratado que llama

Elementos de Geometría, el cual hoy en día con algunas modificaciones es usado como texto en

casi todos los centros de formación a nivel medio y universitario. El método de Euclides es tomar

conceptos no demostrados, que llamará axiomas, relacionarlos con conceptos, de punto, plano,

recta, espacio, y usando algunos postulados, comenzar a probar teoremas, de los cuales se

desprenden los corolarios y lemas.

Lo paradójico, es que hoy en día debido a la falta de preparación o la excesiva rigurosidad de

algunos docentes, se ha transformado la enseñanza de estos conceptos en un camino tortuoso,

fuera de todo contexto, por otro lado, no podemos caer en la tentación, de presentar una


235

matemática acomodada a la mediocridad del receptor o el emisor, es el punto de equilibrio el que

permite una comunicación asertiva y efectiva, formando en los estudiantes una mentalidad

reflexiva, que les permita aportar desde su perspectiva a la solución de problemas en su campo de

acción.

RAMAS DEL ÁLGEBRA ABSTRACTA

El siguiente cuadro presenta algunas de las estructuras algebraicas más conocidas acompañadas

de las características más importantes y un ejemplo ilustrativo.

Nombre Características Ejemplo

Semigrupo Clausurativo, asociativo. (N, +)

Monoides Clausurativo, neutro, asociativo. (N,*)

Grupo Clausurativo, asociativo, neutro, inverso. (Z,+)

Anillo Grupo conmutativo respecto a la suma, asociativo respecto

a la multiplicación, distributivo.

(Z,+,*)

Espacios

Vectoriales

Grupo conmutativo respecto a la suma. Con relación al

producto por escalar, es clausurativo, asociativo, distribuye

respecto a la suma en el espacio, el producto distribuye en

relación ala suma de escalares, existe neutro respecto al

producto.

(R , +, .)

Campos Grupo conmutativo respecto a la suma, y grupo

conmutativo respecto a la multiplicación para todos los

elementos diferentes de cero.

(R,+,*)

Módulos Un grupo abeliano sobre un anillo. Clausurativo, distributivo

con relación a los elementos del anillo, asociativo.

Un grupo abeliano

es un módulo sobre

los enteros.

Álgebras Un espacio vectorial sobre un campo. Distributivo,

asociativo respecto a los elementos del espacio vectorial.

Los complejos sobre

los reales.


236

FORMULACIÓN MATEMÁTICA.

En este aparte presentaremos algunos conceptos de carácter técnico que están involucrados en el

desarrollo del álgebra.

Grupo: Un grupo ,*G es un conjunto G, dotado de una operación binaria * en G, tal que los

siguientes condiciones se satisfacen

La operación binaria es asociativa.

Existe un elemento e en G tal que e*x=x*e=x para todo x en G. El elemento e es llamado

elemento identidad.

Para cada x en G, existe un elemento x' en G con la propiedad que x' *x=x*x'=e´, el

elemento x' es llamado el inverso de x.

Un claro ejemplo de esta estructura es el conjunto de los números enteros con la suma, en

efecto, si x, y, z representan dos números enteros, entonces

i) (x+y)+z=x+(y+z)

ii) x+0=0+x=x

iii) x+(-x)=0

Además, se tiene que es conmutativo, por que, x+y=y+x. Un grupo, que además sea conmutativo

es denominado, grupo abeliano, este nombre en honor al matemático Abel.

Cada grupo finito, posee una tabla en la cual se representan todas las operaciones internas, así

por ejemplo, el grupo Z4 posee la siguiente tabla de sumar

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 2

3 3 0 1 2

Tabla 1. Tabla del grupo Z4


237

Pero qué significa Z4 para nuestros estudiantes? La respuesta está en los residuos obtenidos al

dividir cualquier número por 4, tomemos 24, 25, 26 y 27, cuyos residuos respetivos, son 0, 1, 2 y 3,

por tanto el número 24 está en la clase del 0, el 25 en la clase del 1, el 26 en la clase del 2 y el 27

en la clase del 3. Todo esto lo podemos resumir en la siguiente tabla.

Notemos que dichas tablas pueden ser elaboradas por nuestros estudiantes, inclusive desde la

primaria, generando a su vez el ambiente para la presentación de nuevos conceptos, y así facilitar

los procesos de abstracción. Una actividad complementaria es la realización de tablas de grupos

como Z5, Z6, Z7, Z8, Z9 y luego preguntarle a los estudiantes, qué pasa con Z5, Z7, será que hay

relación con que el número de elementos sea un número primo?

De la tabla para Z4, también podemos una tabla más pequeña formada por 0 y 2

+ 0 2

0 0 2

2 2 0

Tabla 3. Subgrupo de Z4

Esta tabla corresponde a lo que matemáticamente se denomina un subgrupo, que coloquialmente

hablando es un grupo dentro de otro grupo. Téngase presente que el cero está y que el inverso de

2 es el mismo 2.

Representante Elementos de la clase

0 4, 8, 12, 16, 20, 24,…

1 5, 9, 13, 17, 21, 25,…

2 6, 10, 14, 18, 22, 26,…

3 7, 11, 15, 19, 23, 27,…

Tabla 2. Clases en Z4


238

Otro concepto útil en este contexto, y que se sigue a partir de la definición de grupo, es el grupo

simétrico, que se obtiene a partir de todas las posibles permutaciones para un grupo de n

elementos. Consideremos, el conjunto 3,2,1B , establezcamos las posibles permutaciones en

B. Para ello se tienen

213

123,

132

123,

321

123,

312

123,

231

123,

123

123654321

Se sigue de lo anterior, que 1 , corresponde a dejar todos los valores del conjunto A quietos.

Mientras que 3 me dice que el número 1 se va en el número 3, el número 2 se va en el 1 y el

número 3 se envía en el 2.

Aplicaciones a la geometría.

El problema anterior nos permite ahora dar una relación entre la geometría y el álgebra, para ello

tomemos un triángulo equilátero, con vértices 1, 2 y 3, luego apliquemos rotaciones de 120° en el

sentido horario, dichas rotaciones aparecen en la primera fila de la figura y coinciden con 1 , 2 y

3 .

123

1231

231

1232

312

1233

Figura 1

Si tomamos un vértice como punto fijo, podemos rotar 180° alrededor de el, esto nos da un nuevo

conjunto de de funciones las que llamaremos 4 , 5 y 6 , mostradas en la Figura 2.


239

Las Figuras 1 y 2 corresponden al grupo conocido como S3. Un ejemplo un poco más complicado se

obtiene tomando un cuadrado con lados 1, 2, 3 y 4, denotaremos por 0 , 1 , 2 y 3 , las

rotaciones del cuadrado de 90°, 1 y 2 simbolizarán imágenes espejo usando mediatrices y 1 ,

2 corresponden a reflexiones tomando los vértices.

Figura 2

0

1

2

321

1234

132

1235

213

1236

2


240

El grupo dado en al tabla anterior es conocido como D4, es uno de los primeros grupos no

abelianos, es decir no conmutativos, ya que por ejemplo 1 + 1 = 2 , y 1 + 1 = 1 . Esta

información nos permite obtener otra tabla, en la cual se resumen las propiedades del grupo

asociado a los movimientos rígidos del cuadrad, que se ven en la tabla 4.

+ 0 1 2 3 1 2 1 2

0 0 1 2 3 1 2 1 2

1 1 2 3 0 2 1 1 2

2 2 3 0 1 2 1 2 1

3 3 0 1 2 1 2 2 1

1 1 1 2 2 0 2 1 3

2 2 2 1 1 2 0 3 1

1 1 2 2 1 3 1 0 2

2 2 1 1 2 1 3 2 0

Tabla 4

3

1

2

1

2

Figura 3


241

El siguiente diagrama es un latice con todos los subrupos de D4

Se sugiere como actividades posibles para los estudiantes, tratar de hacer lo mismo con

pentágonos, hexágonos, para generalizar y mejorar la capacidad de abstracción, también construir

las figuras y hacer la respectiva tabla a partir de los movimientos rígidos en el espacio.

CONCLUSIONES

Tanto la geometría como el álgebra están ligadas al desarrollo intelectual de la humanidad.

Los movimientos rígidos de triángulos, rectángulos en el plano, generan estructuras

matemáticas conocidas como grupos.

La capacidad de razonamiento espacial puede ser potenciada manipulando figuras

geométricas y prediciendo la distribución de sus lados al hacer una determinada acción en

el espacio o varias consecutivas.

A mayor número de lados que posea una figura geométrica más subgrupos y por ende un

latice más complejo.

Referencias

1. Contreras, Mauricio. Las matemáticas de ESO y el bachillerato a través de los juegos.

http://www.mauriciocontreras.es/JUEGOS4.pdf. Consultada 30/08/2010.

2. Fraleight, John (1974). A First Course in Abstract Algebra. Amsterdam: Addison Wesley.

3. Hemmerling, Edwin. Geometría Elemental. México: Editorial Limusa.

4. Galvis, Jorge E. Didáctica para la enseñanza de la aritmética y el álgebra.

http://www.ucpr.edu.co/encuentrosdcb/historial/SegundoSimposio/PONENCIAS%20SEGUNDO

D4

0 , 2 ,

1 , 2

0 , 1 , 2 ,

3

0 , 2

1 , 2

0 , 1 0 , 2 0 , 1 0 , 2

0 , 2

0

http://www.mauriciocontreras.es/JUEGOS4.pdf.%20Consultada%2030/08/2010

http://www.ucpr.edu.co/encuentrosdcb/historial/SegundoSimposio/PONENCIAS%20SEGUNDO%20SIMPOSIO/Did%C3%A1ctica_para_la_ense%C3%B1anza_de_la_aritm%C3%A9tica_Y_El_%20Algebra_Jorge_Enrique_Galvis_I.pdf


242

%20SIMPOSIO/Did%C3%A1ctica_para_la_ense%C3%B1anza_de_la_aritm%C3%A9tica_Y_E

l_%20Algebra_Jorge_Enrique_Galvis_I.pdf. Consultado 29/08/2010

5. Herstein, I. Álgebra Abstracta. Grupo Editorial Iberoamérica, 1988 - 248 páginas

6. Poole, David (2007). Álgebra Lineal. Trent University. Australia: Thompson.

7. Rabino, Adriana, et al. Aprehender álgebra utilizando contextos significativos.

www.soarem.org.ar/Documentos/22%20Rabino.pdf. Consultada 30/08/2010

8. http://docentes.uacj.mx/gtapia/Moderna/Contenido/Unidad%20IV/permutaciones.htm.

Consultada 25/08/2010

9. http://es.wikipedia.org/wiki/Permutaci%C3%B3n_y_grupo_sim%C3%A9trico. Consultada

25/08/2010

10. http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstracta. Consultada 26/08/2010

11. http://www.jfinternational.com/mf/geometria.html. Consultada 25/08/2010

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http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_abstracta

http://www.jfinternational.com/mf/geometria.html


243

PO 23. MEDIADORES PARA EL APRENDIZAJE DE LAS CIENCIAS BÁSICAS A TRAVÉS DE

INTERFACES GRAFICAS59

Juan Carlos Molina García

Magister en Educación

Matemático

Docente Auxiliar Instituto Tecnológico Metropolitano, ITM

Colíder del Grupo de Investigación Da Vinci. ITM

[email protected]

Iliana María Ramírez Velásquez

Especialista Docencia Universitaria

Física


Grupo de investigación Da Vinci y Gritad. ITM

[email protected]

Jairo Madrigal Argáez

Especialista en Óptica

Físico


Grupo de investigación Gritad. ITM

[email protected]

RESUMEN: En el desempeño como docentes, es de trascendental importancia el uso de

mediadores en particular aquellos concebidos como recursos didácticos para facilitar la labor de la

enseñanza y del aprendizaje. En el trabajo que se presenta, se quiere establecer los alcances y

potencialidades del uso de las interfaces gráficas de usuario, como recursos didácticos que

favorecen la comprensión de conceptos matemáticos y físicos. Se utiliza la herramienta GUIDE de

Matlab (Barragán, 2006), para el diseño de aplicaciones cuyas funcionalidades son entre otras,

contrastar conceptos de la matemática, el cálculo y la física. Estos mediadores, además de

favorecer la comprensión de los conceptos fundamentales propios de la matemática y la física,

59

El artículo presenta uno de los resultados de la investigación “Estrategias didácticas para la enseñanza y el aprendizaje significativo de las Ciencias Básicas”. Proyecto desarrollado por el Grupo de Investigación Da Vinci del Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín.





244

permiten confrontar resultados como un asunto clave en la búsqueda de contextos de aplicación de

dichas áreas. Se muestra como estos recursos didácticos resultan ser de gran ayuda como una

estrategia de apoyo para el mejoramiento de los procesos de comprensión de conceptos del

cálculo y la física, ya que permiten, de una manera práctica, la activación de esquemas cognitivos

a partir de los conocimientos previos y de la verificación de resultados. Se puede además

identificar como estas herramientas aumentan la motivación de los estudiantes en la medida en

que se convierten en recursos didácticos que pueden desarrollar estructuras de pensamiento que

estimulan el logro de un aprendizaje significativo (Molina, 2009).

Descriptores: Interfaz Gráfica de Usuario GUIDE de Matlab, recurso didácticos, TICS.


245

PO 24. SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA EN LA COMPRENSIÓN Y

MODELACIÓN DE SITUACIONES CON ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Hugo Fernando Pardo Pinzón

Matemático

Pontificia Universidad Javeriana -Cali

Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas

Magister en Educación

[email protected]

RESUMEN: En el presente trabajo se muestran algunos avances de un estudio piloto realizado en

la Pontificia Universidad Javeriana, Cali, sobre la importancia de los sistemas de representación en

la enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales ordinarias desde un punto de vista

dinámico.

El uso de los diferentes sistemas de representaciones semióticas en ecuaciones diferenciales

ordinarias (EDO), desempeñan un papel importante, no solo para ayudar a resolver problemas sino

también para comprenderlos. Trabajos como los de Hubbard y West (1995), Tall (1986a), Artigue

(1989), Habbre (2000), Blanchard (1994), Rasmussen (2001, 2005,2007), Camacho( 2008) , entre

otros, que procuran coordinar los enfoques algebraico, numérico y gráfico. Estas investigaciones

muestran que es posible mejorar los resultados y la calidad de los aprendizajes cuando se utilizan

diferentes sistemas de representación en el aula y en los textos matemáticos. Sin embargo, como

lo reseña Juan E Nápoles Valdés (1995),este enfoque genera problemas de comprensión de los

temas por parte de los estudiantes , porque para ellos, es difícil determinar los significados

asociados a cada significante ya que no es claro la relación que existe entre la ecuación diferencial

planteada y la función solución de la misma , y mucho menos la relación entre las variables

visuales presentes en la grafica de las soluciones y las componentes de la ecuación, para poder

establecer estas relaciones se hace necesario que los estudiantes realicen tratamientos y

conversiones entre las diferentes sistemas de representación, así como el formar esquemas que

les permita reconocer dichas relaciones facilitando con ello los tratamientos y conversiones que

sean necesarios, Duval (1999).

Descriptores: ecuaciones diferenciales ordinarias, sistemas de representación semiótica,

tratamientos conversiones, MATLAB.


246

Problema:

En el caso particular de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden, el uso

de diferentes registros de representación semiótica no es suficiente para lograr su comprensión.

El propósito de nuestra investigación es determinar:

¿Qué valores visuales pertinentes de la representación gráfica y que valores categoriales de la

escritura simbólica de la ecuación son necesarios y suficientes para el diseño de situaciones

matemáticas, didácticas y adidácticas, que permiten la coordinación de dichos registros y con ello

la respectiva comprensión de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden?

Para dar respuesta a ella, se realizara una ingeniería didáctica caracterizada por un esquema

experimental basado en realizaciones o secuencias didácticas en clase, es decir, sobre la

concepción, realización, observación y análisis de secuencias de enseñanza. Es un estudio de

caso cuya validación es interna, basada en la confrontación entre el análisis a priori y a posteriori.

Con este trabajo pretendo:

Qué los estudiantes desarrollen capacidades para interpretar las soluciones de los sistemas

de ecuaciones diferenciales de manera cualitativa, y establezcan relaciones con las soluciones

obtenidas de manera analítica.

Que puedan argumentar como será el comportamiento de las posibles soluciones de los

sistemas de ecuaciones diferenciales tratados, que características presentan y por qué tienen

dichas características y no

otras.

Proponer mundos posibles, de llenar de significado un contexto y de dar sentido a nuestras

acciones, y sobre todo de estar en capacidad de resolver problemas nuevos que no se

pueden resolver de manera analítica.

Referencias:

1. Artigue, M. (1989). Une recherche d„ingenierie didactique sur l„enseignement des equations

differentielles en premier cycle universitarie, IREM, Université Paris 7, Cahiers du Séminarie de

Didactique des mathématiques et de l„informatique No 107, 284-209.

2. Camacho M, Perdomo J., and Santos-Trigo M, (2008); “Conocimiento de los Estudiantes

Universitarios con Respecto a Preguntas que Implican Ecuaciones Diferenciales: una Revisión”

Proceedings of the Joint Meeting of PME 32 and PME-NA XXX (Vol. 2, pp. 241-248). Morelia:

Cinvestav-UMSNH.


247

3. Duval R. (1999). “Semiosis y pensamiento Humano Registros semióticos y aprendizajes

intelectuales”. Universidad del valle. Pp25-71 .

4. Habre, S., (2000). « Exploring Students‟ Strategies to Solve Differential Equations In a

Reformed Setting », Journal of Mathematical Behavior, 18(4), 455-472.

5. Hubbard, John, & West, Beverly. (1997). Differential equation: A dynamical systems approach.

New York: Springer.

6. Laborde, J.-M. and Bellemain, F. (1994). Cabrí-Géomètre II (software), Dallas, Tex.:

TexasInstruments

7. Moreno J. et Laborde C.; (2003), : “Articulation entre cadres et registres de

représentation des équations différentielles dans un environnement de géométrie

dynamique”.

8. Nápoles J. y Negron C. (1995) “La Historia de las ecuaciones Diferenciales contadas por sus

libros de texto”, Revista electrónica de didáctica de las matemáticas. Universidad

Autónoma de Querétaro.

9. Piaget J. – García Ro.(1982). “Psicogenesis e historia de la ciencia”.México, siglo XXI.

segunda edición.

10. Rasmussen, C. ( 1996) Qualitative Problem Solving Strategies of First Order Differential

Equations: The Case of Amy in Electronic Proceedings of the Fifth Conference on the

Teaching of Mathematics, P. Bogacki, E. Fife, A. Hibbard, L. Husch, J. St.Clair, T. Will,

eds., available on line: http://archives.math.utk.edu/CTM/5th.html, 1996.

11. Rasmussen, C. ( 2001); “New directions in differential equations A framework for

interpreting studens‟ undertandings and dificulties” ;Journal de mathematical

Behavior,pp 55-87.

12. Rasmussen, C. & Stephan M. ( 2002). “Classroom mathematical practices in differential

equations”. Journal of Mathematical Behavior 21 (2002) 459– 490.

13. Rasmussen, C.;Kwon O.N. & Allen, K ( 2005) “Students' Retention of Mathematical

Knowledge and Skills in Differential Equations. P.227.School Science and Mathematics;

May 2005; 105, 5; ProQuest Education Journals.

14. Rasmussen, C.; Zandieh, M.; King, K. & Teppo A.( 2005).”Advancing mathematical

activity: a practice-oriented view of advanced mathematical thinking. Mathematical thinking

and learning, 7(1). 51-73

15. Rasmussen, C.& Rhodehamel,B. ( 2006),” Students‟ proofs for the shapes of graphs of

solutions in the phase plane”. PME-NA 2006 Proceedings Vol.2-38.

16. Rasmussen, C. & Blumenfeld, H ( 2007). “Reinventing solutions to systems of linear

differential equations:A case of emergent models involving analytic expressions_San Diego

State University, United States. Journal of Mathematical Behavior 26 (2007) 195–210.

17. Salahattin ARSLAN,Hamid CHAACHOUA and Colette LABORDE, “reflections on the

teaching of differential equations: what effects of a teaching to algebraic dominance?”


248

PO 25. TRANSFORMADA FRACCIONAL DE FOURIER CON APLICACIONES AL

ENCRIPTAMIENTO DE DATOS UTILIZANDO MATLAB

Carlos Jiménez Ruiz

Grupo de Matemática Aplicada (GIMA)

Universidad de la Guajira

Centro de Investigaciones

[email protected]

Jaime Castillo Pérez




Rafael Meléndez Surmay3




RESUMEN: Con el avance en el procesamiento de las señales ópticas es necesario proteger la

información de datos para esto la Transformada Fraccional de Fourier es una herramienta

matemática de alta complejidad debido al orden que esta tiene la cual permite el encriptamiento y

descriptamiento de datos óptica y digital. En esta investigación se realiza un montaje óptico y una

simulación digital bajo la plataforma de Matlab los cuales se comparan con los resultados

experimentales.

Palabras Claves: Transformada fraccional de Fourier, procesamiento de señales, Encriptamiento



249

PO 26. ALGUNAS MALINTERPRETACIONES DEL FORMALISMO MECÁNICO CUÁNTICO

Luis Gerardo Pedraza Saavedra, Ph. D.

Facultad de Ingenierías

Departamento de Ciencias Naturales y Matemáticas

Pontificia Universidad Javeriana,

Calle 18, No. 118-250, Vía a Pance

Cali,Valle

[email protected]

RESUMEN: Con algunos ejemplos simples se ilustrará como la falta de cuidado matemático puede

llevar a malinterpretaciones matemáticas en los formalismos de la mecánica ondulatoria de

Schrödinger, la mecánica matricial de Heisenberg o el formalismo KETBRA de Dirac. Se

estudiarán cinco ejemplos de mecánica cuántica no-relativista y tres ejemplos de óptica cuántica.

Estas malinterpretaciones pueden pasarse por alto si se hace un estudio matemático cuidadoso de

los problemas en mención. En conclusión, se ilustrará como pueden solucionarse estos problemas

o, al menos, como pueden evitarse.

Descriptores: operadores Hermíticos, conmutador de operadores, espacio de Hilbert, funciones de

cuadrado integrable, espacio de Schwartz, valor propio de un operador, función propia de un

operador, operador auto-adjunto, espectro de un operador, observable, ortonormalización,

operador unitario, isometría, isomorfismo, valor promedio de un operador, relación de incertidumbre

de Heisenberg, desigualdad de Cauchy-Schwarz, relación de incertidumbre HRS.



250

PO 27. UNA EXPERIENCIA EN UN CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Jorge H. Figueroa

Profesor asistente

Pontificia Universidad Javeriana Cali

Profesor asistente (hora cátedra)

Universidad del Valle

[email protected]

RESUMEN: Este es un artículo de reflexión no derivado de una investigación, sino de la

experiencia del trabajo en un curso de ecuaciones diferenciales en la Universidad del Valle sede

Buga. Se presentan algunas reflexiones sobre las implicaciones que tiene el cambio en la

metodología de la clase tanto para los estudiantes, como para el profesor al pasar de un discurso

expositivo, a otro donde los estudiantes participan más activamente.

1. INTRODUCCIÓN

La Universidad del Valle cuenta actualmente con nueve sedes regionales: Buenaventura, Buga,

Caicedonia, Cartago, Cerrito, Palmira, Tulua, Norte del Cauca, Zarzal. Estas iniciaron sus

programas de formación el 20 de Octubre de 198660

. La mayoría de los profesores en las sedes

regionales provenían de la ciudad de Cali, y eran profesores de la Universidad del Valle. Las clases

tenían horarios los fines de semana y en las noches, generalmente en sesiones de tres o cuatro

horas dependiendo del curso.

Trabajé como profesor de matemáticas los fines de semana en la sede regional de Buga61

, en el

programa de Ingeniería Industrial en los cursos de cálculo diferencial, cálculo integral, cálculo de

varias variables y ecuaciones diferenciales durante los años 1992-2008. En el segundo semestre

del año 1998, escogí el curso de ecuaciones diferenciales (ver programa en el anexo 1) para tratar

de implementar “una metodología diferente”. Una de las razones para escoger este curso, se basó

en que había trabajado con estos alumnos los tres semestres anteriores en los cursos: cálculo

60 En principio se crearon las sedes regionales de Buenaventura, Buga, Caicedonia, Palmira,

Sevilla, Tuluá y

Zarzal.

61 La sede Buga cuenta actualmente con los programas de: Administración de Empresas,

Contaduría

Pública, Historia, Ingeniería Industrial, Sicología, Tecnología en sistemas de información y Tecnología en

Electrónica.


251

diferencial, cálculo integral y cálculo de varias variables y, de alguna forma, “conocía” su proceso

en los cursos de matemáticas. La idea que tenía para desarrollar el curso no era muy novedosa,

quería que los estudiantes “leyeran” el tema antes de la clase y así, el día de la clase, motivarlos y

comprometerlos a participar y preguntar, para romper en cierta medida la monotonía de la

“dictadura de clase” o clase expositiva cuyo discurso era de carácter expositivo. Mi intención no era

tan ambiciosa como lo planteado por González (2002)

“Es el estudiante el que debe enfrentarse, sin intermediarios, al material de

estudio que representa, para él, conocimiento nuevo. El estudiante, así, estará

ejerciendo su autonomía para aprender, la cual le será tan necesaria cuando,

más adelante, quiera aprender cosas por sí mismo. El estudiante estará

aprendiendo a aprender”.

En cuanto a enfrentarse sin intermediarios, ya que consideraba que el intermediario podría ser el

profesor, otro compañero, etc.

La idea de “una metodología diferente” estaba de acuerdo con lo que cita Salemi (2007)

“Psicólogos de la educación y especialistas en la enseñanza tales como

Bonwell y Eison (1991) y Johnson, Johnson y Smith (1991) convienen en la

importancia de involucrar de forma activa a los estudiantes en el proceso

educativo”.

2. EXPERIENCIA CON LA METODOLOGÍA DE CLASE EXPOSITIVA EN EL CURSO DE

ECUACIONES DIFERENCIALES

Metodología de clase expositiva en este texto, se refiere a la forma como desarrollaba la clase en

el curso de ecuaciones diferenciales entre los años 1993 – 1996. La clase comenzaba con una

introducción donde se planteaba la situación problemática que se quería resolver. Después venía

el desarrollo de la clase donde se daban las definiciones de los conceptos, los teoremas, se

realizaba las demostraciones y se ilustraba con ejemplos y contraejemplos. Finalmente se

proponían ejercicios de “práctica” algunos algorítmicos y otros de análisis para que los estudiantes

los resolvieran bajo la supervisión del profesor. Después de la clase el estudiante debería hacer el

“refuerzo”, este consistía en resolver unos ejercicios que el profesor asignaba de la bibliografía

propuesta en el programa del curso. De acuerdo con Peltier, citado por Moreno y Azcárate (2003),

“…este es un estilo denominado dogmático o magisterial, centrado en el contenido

cuyo objetivo es dar y comunicar un saber a los estudiantes. En este modelo el

profesor adquiere un papel muy activo y el estudiante es un receptor pasivo de

unos conocimientos, presentados por el profesor, completamente acabados y

construidos.”


252

El curso se evaluaba con dos exámenes parciales cuyo valor de la nota final era 30% cada

examen, y un examen final cuyo porcentaje de la nota final era 40%.

A continuación se presenta una gráfica donde aparece el rango de las notas62

y porcentajes en el

curso de Ecuaciones Diferenciales, obtenidas por los estudiantes durante los años 1993-1996.

En el eje horizontal se encuentra el rango de notas y en el eje vertical el porcentaje obtenido en

cada año. Así por ejemplo para el año 1993 (color azul), el 10% de los estudiantes obtuvieron una

nota menor que 3.0 y el 75% obtuvo una nota menor que 4.0. El mayor porcentaje de fracaso se

presentó en el año1994 con un 41%.

3. EXPERIENCIA CON “UNA METODOLOGÍA DIFERENTE”

Antes de comenzar el semestre, socialicé la idea de cambiar la metodología de la clase expositiva

con la Decana y el Director del programa de Ingeniería Industrial y manifestaron estar de acuerdo

con el cambio.

En lo primero que pensé para tratar de implementar “una metodología diferente”, fue escribir una

guía de trabajo con varias preguntas para cada clase. Esperaba que los estudiantes “leyeran” el

tema propuesto en el libro de texto guía ecuaciones diferenciales (Zill, 1988) antes de la clase y

contestaran las preguntas para que de alguna manera fueran elaborando su propio “texto”. En las

preguntas se pedía que escribieran lo que comprendían por un determinado concepto, que

compararan un ejemplo del texto con un ejercicio de la guía, que determinaran si un ejercicio dado

62 La Universidad del Valle usa la escala de notas de 0.0 a 5.0, se aprueba con 3.0.


253

cumplía las hipótesis de un teorema, etc. A continuación se muestran algunas preguntas de la

primera guía (ver anexo 2).

¿Qué entiende por ecuación diferencial?

De las siguientes expresiones:

xxtt

t

uu cftdfttfeduxuxduudxd

yxyycyxbdt

dpa

))()()())

1´)5)0)

0

22

22

¿Cuáles son ecuaciones diferenciales?

Determine si cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales tiene una solución real:

0)01) ydx

dybx

dt

dxa (Sugerencia: Revise el ejemplo 3 , página 5 ).

Cuando comencé a escribir la primera guía, me surgieron muchos interrogantes y temores, es

decir comenzaron a rondarme muchos “fantasmas”:

¿Vale la pena escribir las guías?

¿Los estudiantes resolverán las guías?

¿Si no les explico comprenderán el tema?

Alarcón y Zabala (2010) mencionan que no hay una implementación masiva de estrategias en los

cursos, quizá por que los maestros nos hemos formado con aprendizaje tradicional y por lo mismo

nos cuesta trabajo enseñar de una manera en la que no lo hemos experimentado anteriormente.

Moreno y Azcárate (2003) mencionan que para algunos profesores universitarios, sus

conocimientos sobre enseñanza y aprendizaje son subjetivos y están relacionados con las

creencias, al respecto señalan:

“…las creencias sobre enseñanza incluirían aquello que el profesor considera

que significa enseñar, cómo enseñar, incluyendo el papel del profesor, la

metodología de enseñanza, los recursos, etc. Finalmente, las creencias sobre

el aprendizaje empleados se relacionan con las ideas que tiene el profesor

sobre los estudiantes, cómo aprenden, sus posibilidades y capacidades de

razonar e investigar, la capacidad creativa de los estudiantes, la autonomía e

independencia para descubrir nuevos conceptos etc. …” (p. 267)

Uzuriaga y Martínez (2008) consideran que cuando se decide elaborar un material como soporte

didáctico tanto para la guía del profesor como para el aprendizaje del alumno, es necesario

resolver varios interrogantes, tales como: ¿Qué habilidades deben desarrollar los estudiantes?,


254

¿Qué tipo de pensamiento se va a privilegiar, ¿las actividades que se proponen son ejercicios,

problemas o ejemplos?, ¿cuál es el fundamento pedagógico en el que se soportará el trabajo?,

entre muchos otros interrogantes que pueden surgir.

Para mi tranquilidad respecto a la pregunta ¿los estudiantes resolverán las guías?, tomé la

decisión de cambiar la forma tradicional de evaluar el curso y propuse una “nueva evaluación”, que

consistía en lo siguiente, cada sesión de clase tendría un examen de control y el promedio de

éstas notas tendría un valor del 50% de la nota final, el restante 50% de la nota final comprendería

dos exámenes parciales de igual valor63

. La idea de la “nueva evaluación” con la misma intención

que Romero y Pérez (2009) cuando manifiestan:

“nos gustaría incidir en la importancia de trabajar con nuestros estudiantes

la visión de la evaluación, no como un instrumento sancionador o

reconocedor del éxito sino, fundamentalmente, como una herramienta

informativa y orientadora hacia la mejora del aprendizaje”. (p. 101)

Pero los “fantasmas” me seguían rondando…

¿Con la “nueva evaluación” y la “metodología diferente” mejoraran los resultados del grupo?

Un temor que tenía es que fuera a suceder lo que Gallego y Nevot, citado en Santaolalla (2009)

“En el ámbito de las matemáticas, es muy posible que los alumnos que

obtienen notas más altas en matemáticas las consigan porque se les está

enseñando en la forma que mejor va con su estilo peculiar. Y si los

profesores de matemáticas cambiaran sus estrategias instructivas para

acomodarlas a los estilos de los alumnos con calificaciones más bajas, es

muy probable que disminuyera el número de éstos.” (p. 9)

¿Me pasará lo que cita Gómez (1995)?

“ - De 30 se me rajaron 25 en el examen - dijo el profesor

- No, se rajaron 26, usted incluido – le respondió el director. “

Se inició el semestre y en la primera clase les expliqué a los estudiantes “la metodología diferente”

que seguiríamos. Como era de esperarse, muchos de los estudiantes me dijeron que porque no se

63 La propuesta para cambiar los porcentajes en la evaluación se consultó con la decana y el

director del programa de ingeniería industrial y ambos estuvieron de acuerdo. Para esa fecha yo coordinaba el área de matemáticas en la sede de Buga.


255

seguía la metodología de los semestres anteriores, y que si antes, cuando les explicaba a veces

tenían dificultades y problemas, no se imaginaban como sería ahora que no les iba a explicar nada.

Finalmente, se implementó la “metodología diferente” sin tener del todo claro cuál sería el

comportamiento de los estudiantes y la dinámica que tomaría la clase.

A continuación se presenta una gráfica donde aparece el rango de las notas y porcentajes en el

curso de Ecuaciones Diferenciales, obtenidas por los estudiantes durante los años

1998 - 2008.


256

Se observa que para el año 2000, el 41% de los estudiantes obtuvieron una nota menor que 3.0

(ver gráfica 2). En el año 2004 el 50% de los estudiantes obtuvo una nota menor que 4.0 (ver

gráfica 3). Si se observan las gráficas 1, 2 y 3 hay un incremento del porcentaje en el rango de

notas de 4.0 a 5.0 en las tablas 2 y 3.

4. UNA SESIÒN DE CLASE Y ALGUNOS COMENTARIOS

El curso se desarrollaba durante 16 sesiones, una por semana y su duración era de cuatro horas.

La clase tenía dos momentos. El primero una “puesta en común” del contenido de la guía sobre

aquellos puntos que presentaban problema, interpretación del algún concepto no comprendido,

solución de un ejercicio particularmente difícil; también se evaluaba la guía en aspectos como:

cantidad de temas, secuencia, pertinencia de ejercicios propuestos y el grado de dificultad. El

tiempo empleado en este primer momento era de aproximadamente dos horas y luego se tomaba

un descanso de 20 minutos.

El segundo momento estaba destinado para realizar un examen de control y consistía en una

prueba escrita de dos o tres preguntas dependiendo del tema, cuya duración oscilaba entre 50

minutos y una hora. El resto del tiempo se empleaba en resolver y discutir el examen de control.

Generalmente para la solución del examen de control se postulaban varios estudiantes.

Un aspecto que llamó mi atención fue la distribución de los estudiantes en el salón de clase

en pequeños grupos, y al preguntarles por qué lo hacían, me contestaron que se habían

reunido durante la semana para preparar el tema de la guía. Este tipo de trabajo, iniciado

por los alumnos fue importante porque era un inicio de lo que Zañartu (2003) llama el

aprendizaje colaborativo.

“El aprendizaje se produce en la intervención entre dos y más, mediado por un

intercambio de opiniones y puntos de vista. La importancia de esta interacción no

es la cantidad de intercambios e intervenciones que se produzcan, sino el grado

de influencia que tiene la interacción en el proceso cognitivo y de aprendizaje del

compañero. En síntesis se aprende de la reflexión común, del intercambio de

ideas, del analizar entre dos y más un tema común, a través de lo cual se obtiene

un resultado enriquecido…”

Johnson (1993), citado por Zañartu (2003) destaca que el aprendizaje colaborativo

aumenta la seguridad en si mismo, incentiva el desarrollo del pensamiento crítico,

fortalece el sentimiento de solidaridad y respeto mutuo, a la vez que disminuye los

sentimientos de aislamiento.

El trabajar en grupo también favorece el aprendizaje activo, Salemi (2007) afirma:


257

“En el aprendizaje activo los estudiantes se dan cuenta también de que

personas diferentes abordan las tareas de forma distinta y desde

perspectivas diferentes. Interactuando con sus compañeros, aprenden a

manejarse en el mundo en el que se moverán una vez hayan dejado la

universidad, donde encontrarán frecuentemente una diversidad de

opiniones y argumentos con los que no estarán de acuerdo.”

Durante el espacio de la clase dedicado a la “puesta en común”, fue fundamental

la participación de los grupos tanto para corregir ejercicios, como también para

aclarar dudas sobre conceptos, ya que cada grupo proponía algún tipo de

solución.

Respecto a la pregunta ¿vale la pena escribir las guías?, manifiesto que me sorprendió la

manera como trabajaron los estudiantes en la preparación de la guía fuera de clase, pero

también hubo estudiantes que se limitaban a copiar el trabajo de otros. En “la puesta en

común” la participación de los estudiantes fue buena y hubo diálogo entre ellos y dialogo

con el profesor, y no como en la “metodología de clase expositiva” en la que el dialogo era

en una sola dirección, profesor-estudiante. De cierta forma se dio un cambio en las

relaciones profesor-estudiantes, estudiantes-estudiantes y estudiantes-profesor. Este es

otro aspecto que favorece el aprendizaje.

Me costó mucho trabajo, privarme “del placer de explicar” en las primeras clases en el

momento de “la puesta en común”, pero a medida que pasó el tiempo ya me fui

acostumbrando. Considero que los estudiantes se adaptaron más fácil al cambio de

metodología.

Acerca de la “nueva evaluación” con los exámenes de control en cada clase, a la mayoría

de los estudiantes les pareció adecuada y manifestaron:

Como nos toca preparar el tema antes de la clase, y con eso de los exámenes de

control ya sabemos como vamos en el curso y nos preparamos para el parcial

Estas opiniones están en el mismo orden de ideas con una experiencia de aprendizaje

desarrollador de Uzuriaga y Acosta (2008) en álgebra lineal, en el que una de sus

conclusiones fue:

“Este proceso también le ha permitido al estudiante adquirir seguridad y

confianza para presentar las evaluaciones, puesto que de antemano conoce

los tipos de preguntas que pueden surgir y asimismo ha aclarado las dudas


258

que le hubieran surgido durante el desarrollo de los talleres o de la interacción

con sus compañeros y profesores.”

El tipo de pregunta de los exámenes de control y del parcial que se hicieron a los

estudiantes en las evaluaciones, fueron muy similares a la preguntas que se hacían con la

metodología de clase expositiva, y además sacadas de los mismos textos.

Con “la metodología diferente” aproximadamente un 10% de los estudiantes no se sentían

cómodos y cancelaban el curso, algunos matriculaban el curso en otra sede. Los

estudiantes que terminaban el curso y no aprobaban, generalmente tomaban el curso de

verano en la sede Palmira o en Cali y siempre aprobaban.

La preparación de la guía y la revisión de los exámenes de control demandó bastante

trabajo para el docente.

5. CONCLUSIONES

Para implementar un cambio en un curso usando alguna estrategia es fundamental contar

con el apoyo de la institución.

Implementar “una metodología diferente” en un curso puede contribuir a “conocer” mejor a

los estudiantes, haciendo que el grupo no sea un conjunto más de personas (alumnos),

sino como un equipo de individualidades, con sus preguntas, aportes, inquietudes,

motivaciones y otras características que identifican a cada alumno64

.

La modificación de los métodos tradicionales de enseñanza no es un proceso inmediato. El

cambio es continuo y requiere una reflexión de las concepciones pedagógicas sobre el

conocimiento, la enseñanza y la educación que tiene cada profesor. Cada profesor debe

ser capaz de diseñar y adoptar el método que mejor se ajuste a sus condiciones

particulares.65

El cambio de metodología del discurso expositivo en el curso de Ecuaciones Diferenciales

en la Universidad del Valle sede Buga, muestra que aún se sigue presentando el fenómeno

del fracaso académico, y que con este cambio se presentó un aumento en el porcentaje de

los estudiantes en el rango más alto de notas comprendido entre 4.0 y 5.0.

La reflexión final de esta experiencia es que aunque la actitud del estudiante cambió y que de

alguna forma se motivó, sigue la dificultad en el aprendizaje. El problema podría estar en lo que

64 Uzuriaga y Acosta (2008)

65 Caro y Reyes (2003) p. 54


259

“trae” el estudiante, los esquemas que tiene y la forma en que se enfrenta para resolver la guía.

Una manera de mejorar la anterior metodología de las guías podría ser, plantearle situaciones al

estudiante de tal manera que baya desarrollando la guía primero con preguntas que lo “acerquen”

al tema que plantea el autor en el texto y luego con preguntas referentes a los temas propios del

contenido de ecuaciones diferenciales.

Mientras que un educador no puede revolucionar la academia por sí solo,

cada uno de nosotros sí puede mejorar su propia práctica66

Referencias

1. Alarcón, H. y Zabala, G. (2010). Conocimiento en Línea – El aprendizaje activo de la física.

Disponible: www.conocimientoenlinea.com/content/view/50/ Alarcón, H. y Zabala, G. y En

contraposición al método tradicional El aprendizaje activo de la física.

2. Caro, S. S y Reyes, O. J.C (2003). “Practicas docentes que promueven el aprendizaje activo

en ingeniería civil”. Revista de ingeniería. 18. Pp. 48-55-

3. Gallego, D. J. y Nevot, A. (2008). “Los Estilos de Aprendizaje y la Enseñanza de las

Matemáticas”. Revista Complutense de Educación, Vol. 19, Núm. 1, p. 95 - 112.

4. González, J. H. (2002). De la clase magistral … al aprendizaje activo. Cartilla Docente,

Universidad Icesi. Segunda edición.

5. Moreno, M. y Azcàrate, C. (2003). “Concepciones y creencias de los profesores universitarios

de matemáticas acerca de la enseñanza de las ecuaciones diferenciales”. Enseñanza de las

ciencias, 21.2, pp. 265-280.

6. Peltier, M.L. (1993). Una visión general de la didáctica de las matemáticas en Francia.

Educaciòn Matemática, 5 (2), pp. 4 – 10.

7. Romero, A. M y Pérez, F.M (2009). “Cómo motivar a aprender en la universidad: Una

estrategia fundamental contra el fracaso académico en los nuevos modelos educativos”.

Revista Iberoamericana de Educación. Nº 51 .pp. 87-105.

8. Salemi, M.K. (2007). “Defensa del aprendizaje activo mediante un ejemplo”. Revista Asturiana

de Economía- RAE No 38.

9. Santaolalla, E. (2009). ”Matemáticas y estilos de aprendizaje”. Revista Estilos de Aprendizaje,

Vol 4.España.

10. Uzuriaga, L. V y Martínez, A.A (2008). Un soporte didáctico para la enseñanza_aprendizaje del

álgebra lineal. Ponencia. Segundo encuentro regional de la enseñanza de las ciencias exactas

y de la tierra. UCPR.

66

Postman y Weingartner, citado por González( 2002) p.121


260

11. Zañartu, C. L. M. (2003). “Aprendizaje colaborativo: una nueva forma de Diálogo Interpersonal

y en Red”. Disponible en: http://contexto-educativo.com.ar/2003/4/nota-02.htm

12. Zill, D. G. (1988). Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones. Grupo Editorial Iberoamérica.

Segunda Edición.

ANEXO 1 (Programa del curso Ecuaciones Diferenciales)

UNIVERSIDAD DEL VALLE SEDE BUGA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Y ESTADÍSTICA

Asignatura: ECUACIONES DIFERENCIALES

Código: 111049M

Prerrequisitos: CÁLCULO III (111052M)

Créditos: 3

Habilitable: SI Validable SI

Intensidad Horaria: 4 Horas / Semana

Profesor: Jorge Hernando Figueroa Jiménez

SESIÓN TEMARIO

1 Nociones fundamentales. Variables separables.

2 Ecuaciones exactas .Factores integrantes.

3 Ecuaciones homogéneas. Ecuaciones lineales

4 Ecuación de Bernoulli. Ecuación de Clairaut. Trayectorias ortogonales.

5 Leyes de crecimiento y decrecimiento. Problemas en mecánica.

Problemas de mezclas.

6 Ecuaciones reducibles a primer orden. Teoremas básicos de ecuaciones diferenciales

lineales.

7 Solución fundamental de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas.

8 Reducción de orden. Método de coeficientes indeterminados.

9 Primer parcial

10 Variación de parámetros. Ecuaciones de Cauchy-Euler.

11 Vibraciones mecánicas y movimiento armónico simple.

Movimiento oscilatorio amortiguado. Oscilaciones forzadas.

12 Solución en serie de potencias en torno a puntos ordinarios y a puntos singulares

13 El método de Frobenius. Ecuaciones de Bessel y de Legendre


261

14 Definición y propiedades elementales de la transformada de Laplace. Transformada

inversa. Teoremas de traslación

15 Transformada de derivadas e integrales. Derivación e integración de transformadas.

16 Transformada de funciones periódicas. Solución de problemas de valores iniciales.

EVALUACIÓN

2 Parciales: 50% (1parcial: 25 %, segundo parcial 25 %)

14 Exámenes de control: 50 %

Opcional 1: 50 % ; Opcional 2: 50 %

Habilitación 100 %.

BIBLIOGRAFÍA

1. Zill Dennis G. Cullen Michael R. Matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol.1

Ecuaciones Diferenciales. Tercera edición. McGraw-Hill. 2008.

2. Edwards, Henry. Penney, David. Ecuaciones Diferenciales. Prentice Hall, México, 2001

3. Boice, W. Diprima R. Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la Frontera.

Limusa Wiley. Cuarta edición. 2004

4. Tagle. Safle. Snider. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.

Pearson Educación, México, 2001.

ANEXO 2 (Primera guía)

Universidad del Valle Guía No. 1

Sede-Buga

Ingeniería Industrial

ECUACIONES DIFERENCIALES

Leer del texto “Ecuaciones diferenciales de Zill” las páginas: 1 - 9, 32 - 34, 36 - 41 y contestar las

siguientes preguntas:

1. a) ¿Qué entiende por ecuación diferencial?

b) De las siguientes expresiones:


262

xxtt

t

cuuvitdfttfvduxuxduudxiv

yxyyiiiyxiidt

dpi

))()()())

1´)5)0)

0

22

22

¿Cuáles son ecuaciones diferenciales?

2. Determine si cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales tiene una solución real:

0)01) ydx

dybx

dt

dxa (Sugerencia: Revise el ejemplo 3 página 5 ).

3. Clasifique las ecuaciones diferenciales de los ejercicios 24,9,4,1 y 43 de las páginas 9-11.

4. En los ejercicios 25,18 y 39 se dan ecuaciones diferenciales junto con una relación. Verifique

que cada

relación es solución de la ecuación diferencial dada.

¿Cuáles de las relaciones determinan soluciones implícitas?

5.a) Demuestre que 14

5

54 cxy y 1y son soluciones de la ecuación diferencial

51

1´ yy . I 67

b) Demuestre que existen al menos dos soluciones de I por cada punto 00 , yx con 10 y .

c) Bosqueje, en la misma gráfica, varias soluciones de I , incluyendo 1y .

d) Observe que 51

1),( yyxf es continua en todas partes.

¿Por qué este hecho y b) no son una contradicción al teorema de existencia y unicidad?

6. Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones e interprete geométricamente:

a) 1)0(, yydx

dy. b) .0)1(, y

dx

dy ye c) .0)0(,sec yydx

dy

68

(Sugerencia: Escriba cada ecuación diferencial en términos de dydx / en vez de dxdy / )

67 Tomado del texto, Introducción a las Ecuaciones Diferenciales con problemas de valor de

Frontera. Stephen L.

Campbell y Richard Haberman. McGraw-HILL. 1997

68 Tomado del texto Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Murray R. Spiegel. Prentice – Hall. 1983.


263

PO28. EXPEDICIONES BOTÁNICAS SIGLO XXI, APRENDIENDO CIENCIAS

CON JOSÉ CELESTINO MUTIS

Jaiber Emilio Ríos Domínguez

Lic. Biología y Educación Ambiental

Universidad del Quindío

Docente Ciencias Naturales y Química Institución Educativa Tambores Balboa Risaralda.

[email protected]

Devinson Torres Cardona

Lic. Matemáticas y Física Universidad Tecnológica

Docente Matemáticas Institución Educativa Tambores Balboa Risaralda

[email protected]

Resumen: La Expedición Botánica en Colombia representa para el mundo una grandiosa obra de

investigación, allí fue donde germinó gloriosamente la semilla de la libertad, es extensa la lista de

sus integrantes que ofrendaron la vida por la independencia de nuestro país, con la enseñanza de

mutis se forjaron como intelectuales y científicos muchos de los gestores de la independencia entre

ellos, francisco José de caldas, Jorge Tadeo lozano y Francisco Zea.

José Celestino Mutis en Santa Fe de Bogotá, desempeñó diferentes actividades y tomó a su cargo

la enseñanza de las matemáticas en el colegio Mayor de Nuestra Señora del Rosario, entablando

buena amistad con jóvenes estudiosos amantes de la naturaleza, la botánica, la ciencia y las leyes

por lo que se le conoce como el labriego que plantó la semilla de la gesta emancipadora.

En la Institución Educativa Tambores del Municipio de Balboa, con su modelo Escuela Nueva,

pretende Formar estudiantes creativos, capaces de razonar, debatir, producir y convivir en un

entorno cada vez más complejo y competitivo. Por tal motivo se organizó un grupo de investigación

con el fin de participar en el Bicentenario de la Expediciones Botánicas siglo XXI, Aprendiendo

ciencias con José Celestino Mutis y de esta forma aplicar las competencias científicas de una

forma lúdica y pedagógica, la experiencia significativa obtuvo el primer puesto en el Foro Educativo

del Municipio de Balboa. Con el apoyo de las directivas, estudiante y docentes de la institución

educativa se realizaron tres proyectos:

1) HERBARIO VIRTUAL: “EXPEDICIÓN BOTANICA POR MI COLEGIO”

Si al estudiante lo iniciamos desde la primaria en el valor del medio ambiente y los recursos

naturales, estaremos formando bachilleres interesados en una especialización que puedan cursar

en nuestro municipio y generar empresa en beneficio de la región.


264

OBJETIVO GENERAL

Sensibilizar a los estudiantes hacia la preservación de las plantas realizando un herbario virtual con

el fin de fomentar la investigación y el fortalecimiento del Proyecto Ambiental Escolar (PRAES).

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Formar un equipo de investigación entre los diferentes grados de la Institución Educativa

Tambores, para fomentar el cuidado de las plantas que hacen parte de la región.

Comprender y analizar la importancia de la clasificación Taxonómica de las plantas que

existen en nuestro entorno realizando un herbario virtual.

Despertar la capacidad de asombro y el interés por la investigación, para fortalecer el

proyecto ambiental “PRAES”.

IMPACTO AMBIENTAL

Fomentar entre los estudiantes de la Institución Educativa Tambores, la importancia de reconocer

la taxonomía y morfología de las plantas que hay a nuestro alrededor, aplicadas en la elaboración

de un Herbario Virtual. Para poder reconocer la gran biodiversidad que existe en nuestro entorno, y

la trascendencia que tuvo para nuestro país la Expedición Botánica.

2) PROYECTO REVERDECIMIENTO:” MI COLEGIO BALCON FLORIDO DE RISARALDA”

Sensibilizar a los Estudiantes para que adquieran conciencia de la conservación, protección y

mejoramiento del medio ambiente; y así proveerse de una mejor calidad de vida dentro y fuera de

la Institución. Despertar el interés, respeto y amor por la vida en su entorno, fomentando así un

“Club Ambiental” que tenga sentido de pertenencia por nuestra institución y fortalecer el Proyecto

Ambiental Escolar “PRAES”.

OBJETIVOS GENERALES


265

Sensibilizar a los Estudiantes para que adquieran conciencia de la conservación, protección y

mejoramiento del medio ambiente y así proveerse de una mejor calidad de vida dentro y fuera de la

Institución operativizando el “PRAES”.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Lograr que el estudiante sea el protector de su entorno con una nueva perspectiva y

sensibilidad humana.

Afianzar los valores humanos que fortalecen al hombre como individuo social y comunitario a

través de las Competencias Laborales Generales.

Crear conciencia en los estudiantes de lo importante que es cuidar la vida, por haber sido

dotado del uso de la razón y la inteligencia.

IMPACTO AMBIENTAL

La participación de la comunidad Educativa en el desarrollo de proyectos que permitan

adecuar el entorno ambiental.

Aplicación de estrategias de reciclaje.

Sensibilizar acerca de la contaminación y el desastre Ambiental que puede acarrear la

extinción de las especies.

3) PROYECTO DE AULA : MATEMATICOS POR NATURALEZA

Los estudiantes del grado noveno y once del año 2009 presentan desmotivación hacia las

matemáticas y ciencias naturales en la Institución Educativa Tambores.

OBJETIVO GENERAL

Implementar un proyecto de aula Transversalizando las diferentes áreas del conocimiento

aplicando métodos en los cuales los estudiantes se interesen en la investigación de las Ciencias

Naturales, Tecnología y Matemáticas


266

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Relacionar el crecimiento biológico de una población con su hábitat.

Realizar curvas de crecimiento biológico mediante el análisis y la observación de diferentes

poblaciones de organismos.

Construir e interpretar tablas y graficas sobre densidad y crecimiento poblacional.

Definir el termino Fractal (figuras geométricas) y descubrir la importancia en la diversidad

de formas en la naturaleza.

IMPACTO AMBIENTAL

En la sociedad colombiana la ciencia y la tecnología ocupan un lugar importante en el sistema

productivo y en la vida cotidiana de todos sus habitantes, por tal motivo la población necesita de

una cultura científica y tecnológica para aproximarse y comprender la complejidad de la riqueza

en flora y fauna, especies de diferentes formas, tamaños y colores, que están desapareciendo por

no saber cuantificar y valorar nuestros recursos naturales que sí son apreciados en el exterior por

carecer de ellos.

Referencias

1. Díaz Campos, Alexander… (et al); ilustrador Javier Parra Cerón – Matemáticas, Calculo,

Estadística 11 Editor Andrea Perdomo Pedraza.- Bogotá: Editorial Santillana, 2007.

2. Guías de Aprendizaje Escuela Nueva. Matemáticas y Ciencias Naturales grado noveno.

Ministerio de Educación Nacional, Comité de Cafeteros de Caldas Edición 2007

3. Holguín Catalina, Beatriz…(et al), Ministerio de Cultura, Biblioteca Nacional de Colombia

4. Lexus. Diccionario Enciclopédico Color. Ediciones Trébol, S. L. Edición 2008.

5. Lexus. Enciclopedia del Estudiante de Secundaria. Lexus Editores, S.A Edición 2008.

6. Ministerio de Educación Nacional Estándares Básicos de Competencias en Ciencias Naturales

y Ciencias Sociales, Serie Guías No 7.

7. Ministerio de Educación Nacional. Colombia Aprende la red del conocimiento.

8. Wikipedia.org/wiki/Taxonomía


267

PO 29. FUERZA Y MOVIMIENTO COMO CONCEPTOS PREVIOS, Y SU ANÁLISIS COMO

REQUERIMIENTOS IMPORTANTE EN LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA

TECNOLOGÍA FARMACÉUTICA DE MEDICAMENTOS SÓLIDOS EN EL CURSO DE

FARMACOTECNIA I.

Rosendo R. Archbold Joseph

Universidad de Antioquia

Departamento de Farmacia

Facultad de Química Farmacéutica

Medellín, Colombia

[email protected]

María Concesa Caballero Sahelices

Universidad de Burgos

Departamento de Física

Facultad de Ciencias

Burgos España.

Resumen: Para la elaboración de medicamentos sólidos, los excipientes juegan un papel

importante en su diseño y fabricación, puesto que le confieren al producto terminado unas

características indispensables tales como la resistencia a: la ruptura, la desintegración y una

friabilidad (al desgaste), conceptos adquiridos por el alumno, a partir de la asignatura de Física,

visto en semestres anteriores, conocimientos fundamentales para el aprendizaje del curso de

Farmacotecnia I, básico en la formación del futuro Químico Farmacéutico, para ello, utilizamos

como marco referencial la teoría propuesta por Ausubel (1968, 1978,1980), debido a que el

aprendizaje significativo propicia oportunidades para comprender, asimilar, internalizar y transferir

procesos cognoscitivos análogos a aquellos, a través de los cuales, se construye la ciencia:

observación, inducción, deducción, análisis experimentación, síntesis creadora y subprocesos de

estos.

En ese sentido, nuestra intención en este trabajo fue el de conocer como los estudiantes aplicaban

los conceptos adquiridos en la asignatura de Física (fuerza, movimiento deformación), en la

producción de medicamentos sólidos (tabletas y capsulas).

Palabras claves: Diseño, enseñanza, medicamentos sólidos, conceptos físicos, importancia,

tecnología farmacéutica, cualitativa, aprendizaje significativo.

1. INTRODUCCIÒN



268

La enseñanza-aprendizaje de la Física responde a las demandas y necesidades del desarrollo de

la sociedad en cada periodo histórico. De esa manera, el proceso tiene como objetivo desarrollar

integralmente al estudiante en el aspecto de la formación de su actividad cognoscitiva, del

desarrollo del pensamiento y de sus conocimientos y habilidades, así como en el aspecto de su

personalidad. También le proporciona al estudiante las condiciones favorables para adquirir un

conjunto de conceptos necesarios para interpretar fenómenos naturales y resolver problemas.

Dentro de estas situaciones, encontramos el proceso de formulación de formas farmacéuticas

solidas, con su proceso de granulación “Una operación por el cual las partículas primarias de polvo

se preparan para adherirse y formar estructuras mayores con múltiples partículas” (2004, pág.

364), debido a que en este, se plantean una serie de variables (fuerzas actuantes, deformación de

las partículas), que si no son controladas y establecidas correctamente pueden incidir en las

especificaciones del producto final.

2. MARCO DE REFERENCIA

Para concebir el referente de esta investigación en el proceso enseñanza-aprendizaje, tomamos la

teoría de aprendizaje significativo de Ausubel (1968, 1978,1980) y las aportaciones de Moreira

(2000, 2003, 2004, 2005, 2008).

Como premisa para su utilización citamos del propio autor “El aprendizaje significativo es muy

importante en el proceso educativo, ya que es el mecanismo humano por excelencia para adquirir

y almacenar una vasta cantidad de ideas e información representada por cualquier campo del

conocimiento” (Ausubel, 1976, pág. 78), situación justificada en el campo de los medicamentos

debido al volumen permanente de información que constantemente recibimos de los medios

especializados con respecto a los problemas de salud.

En este sentido, al aplicar la teoría al problema educativo, citaremos a nuestro juicio, la idea más

importante de la teoría de Ausubel (1978), y sus posibles implicaciones para la enseñanza y para

el aprendizaje dentro del aula;

“Si tuviera que reducir toda la psicología educativa a un solo principio, diría lo siguiente: el factor

aislado más importante que influye en el aprendizaje, es aquel que el aprendiz ya sabe.

Averígüese esto y enséñese de acuerdo con ello”. (Moreira, 2000, pág. 9)

Es así, como se precisa conocer lo que el alumno sabe, pero no en el sentido de una simple

búsqueda de ideas, sino referido a la estructura cognitiva, es decir, el contenido total y la

organización de sus ideas en un área particular de conocimiento.

3. METODOLOGIA

La investigación pretendió en una forma descriptiva allegar la información de las fuentes primarias

(estudiantes, docentes), de tal forma que se pudiera interpretar la situación real para analizarlas e


269

inferir algunas consideraciones finales. Él esquema planteado en la figura 1, nos muestra la

población escogida.

Figura 1. Esquema del muestreo de la investigación

4. CONTEXTO EN EL QUE SE REALIZO LA INVESTIGACION

Para desarrollar la intervención se utilizo el esquema de la figura 2, el cual da cuenta de los

distintos instrumentos aplicados a los profesores y estudiantes

Figura 2. Esquema de la aplicación de los Instrumentos


270

5. INSTRUMENTOS

Se utilizaron cuatro instrumentos, que se validaron a partir de la opinión de los expertos, con el fin

de determinar hasta que punto es adecuado el uso que se pretende hacer de los mismos. Se conto

con profesionales del área con postgrado en Tecnología Educativa para validar el lenguaje y la

pertinencia del contenido; y doctores en educación para analizar si la conformación de los distintos

ítems proporcionan la respuesta requerida sin ambigüedades y con la claridad suficiente, de

acuerdo a las sugerencias y recomendaciones recibidas, se procedió a la reestructuración de los

instrumentos.

Posteriormente, se efectuó una prueba piloto, para lo cual, se seleccionaron 20 Químicos

Farmacéuticos que trabajaran en la industria farmacéutica y que fueran egresados de las distintas

Universidades del país, con una experiencia laboral mínima de un año, para estudiar su validez.

6. CONSIDERACIONES FINALES

Con respecto a los resultados obtenidos, se observo que los alumnos poseen conocimientos

previos valiosos para propiciar una enseñanza basada en el aprendizaje significativo. También se

encontró que los valores de desempeño en esta categoría, describen la disponibilidad conceptual

de los estudiante, en términos de propiedades, relaciones y transformaciones científicamente

correctas de conceptos en la resolución de problemas, y que la población a la que hace referencia

este estudio tiene una homogeneidad en el conocimiento previo requerido para el desarrollo de la

signatura Tecnología Farmacéutica I.

En cuanto a los docentes, coinciden en afirmar que los conceptos de fuerza y movimiento son

importantes en la formación del Químico Farmacéutico.

Referencias

1. ADORNO, Theodor. W. (1970). Sobre la Metacrítica de la teoría del Conocimiento. Monte

Ávila Editores. Caracas. Pp. 289.

2. ALONSO, María José. (2001). Tecnología Farmacéutica. Volumen I. Editorial Síntesis S.A.

España, pp 75-141.

3. AUSUBEL, D.P. (1968). Educational psychology: a cognitive view. Holt, Rinehart, and Winston.

New Cork, pp. 685.

4. AUSUBEL, D.P.; NOVAK, J.D. y HANESIAN, H. (1978). Psicología Educativa. Un punto de

vista cognitivo. Segunda edicion, Holt, Rinehart, and Winston. New Cork, pp. 733.


vista cognitivo. Editorial Trillas, México, pp 623.


vista cognitivo. Editorial Trillas, México, pp 623.


271

7. AUSUBEL, David P. (2002). Adquisición y retención del conocimiento: Una perspectiva

cognitiva. Editorial Paidós Ibérica, S.A. Barcelona, España, pp. 325.

8. AULTON, M. E. (2004). Farmacia, La ciencia del diseño de las formas farmacéuticas. Segunda

Edición. Elsevier, Madrid, España, pp. 681.

9. BRUNER, Joaquín José. (2000). Educación Superior en América Latina: una agenda de

problemas, políticas y debates en el umbral del año 2000.

10. COLAS, Bravo, P. (1992). El análisis de datos en la metodología cualitativa. Revista de

ciencias de la Educación, 152, p. 521-539.

11. CABALLERO, S. Concesa. (2005). La investigación en enseñanza desde la perspectiva de los

campos conceptuales de Gèrard Vergnaud. Resultados de investigaciones en física. Revista

Educación y Pedagogía. Vol. XVII, No, 43, pp 43-60.

12. GETTYS, W. E., KÉLLER, F.J. y SKOVE, M. J. ( 2005). Fisica clasica y moderna, Mc Graw

Hill. Madrid, España.

13. HELMAN, José. Farmacotecnia Teoría y Práctica. Tomo II. Primera edición. Editorial

Continental. México, 1980. pp 1625-1628.

14. HERNANDEZ, J. y TOVAR, J. (2006) Fundamentos de Física Mecánica. Segunda Ediciòn

Revisada. Universidad de Jaèn, España, p. 327.

15. MOREIRA, Marco Antonio. (2000). Aprendizaje significativo: teoría y práctica. Visor Dis., S. A.

Madrid. pp. 100.

16. MOREIRA, Marco Antonio. (2003). Aprendizaje significativo: Fundamentación teórica y

estrategia facilitadoras. Edición preliminar., Porto alegre, RS, Brasil. pp. 164.

17. MOREIRA, Marco Antonio. (2004). Sobre cambio conceptual, obstáculos representacionales,

modelos metales, esquemas de asimilación y campos conceptuales Instituto de Física. Porto

alegre, Rs, Brasil. pp. 121.

18. MOREIRA, Marco Antonio. (2005). Aprendizaje significativo Crítico, Instituto de Física. Porto

alegre, Rs, Brasil. pp. 47.


272

PO30. DE LA COMUNICACIÓN LINEAL A LA COMUNICACIÓN INTERACTIVA MEDIADA POR

TECNOLOGÍAS INFORMÁTICAS EN LOS PROCESOS FORMATIVOS DE LAS CIENCIAS

BÁSICAS69

Elkin Alberto Castrillón Jiménez

Msc (C) en Gestión Energética Industrial

Ingeniero en Instrumentación y Control

Profesor Auxiliar Facultad de Ciencias Instituto Tecnológico Metropolitano

Grupo de Innovación en Matemáticas y Nuevas Tecnologías para la Educación – GNOMON

[email protected]

RESUMEN: Presentamos la implementación de una estrategia apoyada en las TICs (mediador

virtual GeoGebra) para fortalecer las prácticas pedagógicas de enseñanza aprendizaje entre

docentes y estudiantes en el aula de clase y su trabajo independiente como elemento diferenciador

en la asignatura de Geometría Integrada de la institución universitaria Instituto Tecnológico

Metropolitano de Medellín. El objetivo es interpretar, promover y gestionar pedagógicamente un

proceso de comunicación interactiva mediada por tecnologías informáticas en los procesos

formativos de las ciencias.

Cumpliendo con la misión institucional desarrollamos investigación (proyectos con semilleros de

estudiantes), docencia (diseñamos y desarrollamos un proceso de formación tecnológica) y

extensión (generación de cursos y material de apoyo para toda la comunidad nacional e

internacional), con miras a la formación integral de los estudiantes para la vida y el trabajo.

Descriptores: gestión pedagógica, mediador virtual, formas simbólicas, Tics.

69 El artículo corresponde a la publicación de resultados del proyecto de investigación “Desarrollo e

implementación de mediadores virtuales para los procesos de enseñanza aprendizaje”, grupo de investigación

Gnomon, financiado por el Centro de Investigaciones del Instituto Tecnológico Metropolitano de Medellín.



273

PO31. LA IMPORTANCIA DE LA METROLOGÍA COMO TEMA TRANSVERSAL EN LA

FORMACIÓN EN CIENCIAS BÁSICAS70

Luis Enrique Llamosa Rincón

Magister en física

Profesor titular

Director Grupo de Electrofisiología


[email protected]

Milton Fernando Villarreal Castro

Ingeniero de sistemas

Jefe de calidad – Laboratorio de metrología

Facultad de ciencias básicas


[email protected]

Resumen: El grupo de Electrofisiología (área metrología) del departamento de física de la UTP,

cuenta con un laboratorio de metrología acreditado en las áreas de variables eléctricas y

metrología electromédica. Este trabajo se ha logrado realizar gracias a la cofinanciación que el

grupo ha obtenido mediante la presentación y aprobación de dos proyectos de investigación por

parte de COLCIENCIAS. Con base en su infraestructura se prestan servicios de docencia,

investigación y extensión. En el campo de la docencia se han desarrollado un conjunto de

actividades para formar en metrología a los estudiantes de ingeniería, a estudiantes de posgrado y

a profesionales del medio externo. Este trabajo de formación se inicia desde los cursos de

laboratorio de física en los cuales el análisis de la medida desde el punto de vista metrológico es

preponderante. Todo lo anterior ha dado lugar a que los estudiantes de pregrado y de posgrado de

diferentes carreras estén realizando en algunos casos sus trabajos de grado en esta área y que

profesionales del medio externo puedan capacitarse en estos temas. Mediante este trabajo se

quiere presentar los resultados de esta experiencia junto con un análisis en el que se resalta la

importancia de la metrología como tema transversal en la formación en ciencias básicas.

Descriptores: Metrología, enseñanza, ciencias básicas.

70 Este trabajo es parte del impacto que ha generado el desarrollo de varios proyectos de

investigación desarrollados por el grupo de electrofisiología en el área de metrología, los cuales se describen en los resultados de este artículo.




274

ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

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