Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología · PDF fileEl texto cumple,...

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnologíapara la Educación SecundariaPROPUESTA HIDALGO

3ergrado

Ma. Guadalupe Flores BarreraAndrés Rivera Díaz

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología

Enseñanza de las Matemáticascon Tecnologíapara la Educación SecundariaPROPUESTA HIDALGO3er. grado

Revisión: Ramón Guerrero LeyvaFormación y diseño: Ana Garza

© EMAT Hidalgo 2008© Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011 Campanario 26 SanPedroMártir,Tlalpan México, D.F. 14650 e-mail [email protected] www.angeleseditores.com

Primera edición: agosto de 2011Segunda edición: agosto de 2012

ISBN 978-607-9151-11-9

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2608

Impreso en México

Coordinadores de Zona Escolar EMAT-HidAlgo

Este material ha sido implementado en las escuelas secundarias del Esta-do de Hidalgo, en sus tres modalidades: Generales, Técnicas y Telesecun-darias con apoyo de las Direcciones, Supervisiones y Jefaturas de Sector, pero sobre todo por los Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo.

Alfaro Vera Gonzalo

Ángeles Ruíz Alfonso

Arroyo Rendón Martha Patricia

Arteaga Romero Damián

Azuara Sánchez Arturo

Badillo Ordoñez Filiberto

BautistaMontañoMaximino

BibianoSantiagoEdgar

Calva Badillo Jacobo

Castañeda Ahumada Héctor Hugo

Colín Pretel Alfonso

Cruz Bustos Marina

de la Cruz Reyes Rodrigo

Delgado Granados Nicasio

Díaz Badillo Ma. del Carmen

Espinoza Soto Juan Carlos

Flores Barrera Joel

Franco Moedano Aniceto Alejo

García Callejas Maricela Ma. del Carmen

García Mayorga Víctor

González Funes Cecilia Iliana

Hernández Ángeles Juan

Hernández Hernández Honorio

Hernández Hernández José Luis

Hernández Hidalgo Magdiel

Hernández Reyes Ernesto

Herrera Tapia Andrey

Islas Arciniega Silvia

Juárez Rojas Iván Ramsés

López Castellanos Verónica

López Lugo Silvia

López Miranda Rigoberto

Lozano Mendoza Rubén

Maqueda Lora Oscar Daniel

Mayorga Hernández Raúl =Mendoza Paredes Maximino

Mendoza Ruíz Francisco

Meza Arellanos Ma. del Refugio

MoraMartínTeresa

Moreno Alcántara Alfonso

MorenoMartínezErickaSofía

Mota Aguilar Gloria

Naranjo Calderón Josué Arturo

Noble Monterrubio Guillermo

Nolasco Orta Edgar Arturo

Paredes Larios Hugo Alberto

Pedraza Sánchez Jaen Maximiliano

Pérez Pacheco Set Isaí

Pérez Salas Jesús Enrique

Recéndiz Medina Juan Carlos

Robles Feregrino María Teresa

Rodríguez Escudero María Teresa

Trejo Reyes Jesús

Ugarte Morán Sergio

Vargas Rivera Rafael

Vázquez Hernández Juan Andrés

Veloz Vega María Esther

Ma. Guadalupe Flores [email protected]

Andrés Rivera Dí[email protected]

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCIT-Hidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del Centrode InvestigaciónyEstudiosAvanzadosdel InstitutoPolitécnicoNacional,particularmentedelDepartamentodeMatemáticaEducativa,del cual surge la Propuesta Nacional.

Autores de EMAT-Hidalgo

Introducción ............................................................................................. 5

Cómo está organizado este libro ............................................................. 7

Programación del Tercer Grado, EMAT-Hidalgo ....................................... 9

SeptiembreProgramas equivalentes ........................................................................ 13“Deshacer” operaciones ........................................................................ 14Criterios de congruencia de triángulos .................................................. 15Figuras directa o inversamente congruentes ......................................... 17

octubreLa circunferencia: radios, cuerdas y tangentes ...................................... 19Ángulos en la circunferencia .................................................................. 25¿Grados Fahrenheit o Celsius? .............................................................. 27¿No podría ir más rápido? ..................................................................... 29

NoviembreProblemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado ........ 30Resolviendo ecuaciones de segundo grado ........................................... 31Idea de triángulos semejantes ............................................................... 33Polígonos regulares ............................................................................... 35

diciembre y EneroSimulación con el modelo de urna (I) .................................................... 39Simulación con el modelo de urna (II) ................................................... 40Analizandográficasderectas ................................................................ 42ConstruyendovariasgráficasdefuncionesconGeometríadinámica ... 43Comprobación de la fórmula general de la ecuación de segundo grado .................................................................................. 44Funcionescuadráticas ........................................................................... 45

Contenido

FebreroTeorema de Thales ............................................................................... 47Recíproco del teorema de Thales .......................................................... 49Razón y proporción ............................................................................... 51La homotecia como aplicación del teorema de Thales ......................... 58

Marzo y Abril¿Una ecuación para desalojar la escuela? ............................................. 62Números poligonales ............................................................................. 63Teorema de Pitágoras ............................................................................ 64Triángulos .............................................................................................. 66Explosióndemográfica .......................................................................... 71Inflacióncontrasalario .......................................................................... 72Interés compuesto ................................................................................. 74Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto ......................... 76

MayoConstruyendo algunos cuerpos geométricos ........................................ 78Uso de fórmulas de área y volumen de sólidos ..................................... 79Problemasdeoptimización(I) ............................................................... 81Problemasdeoptimización(II) .............................................................. 82

JunioLanzamiento de dados (I) ...................................................................... 83Lanzamiento de dados (II) ..................................................................... 85

Bibliografía ............................................................................................ 87

Directorio .............................................................................................. 88

EMAT-Hidalgo

Propuesta Hidalgo 3er grado

Las Herramientas Computacionales (HC) suponen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros.

En el ámbito educativo las HC constituyen una importantísima ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor.

En definitiva pudiéramos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían caracterizar:

1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes.

2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo.

3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral.

4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso.

5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.

Introducción

5

Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido con el de otras asignaturas contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes, particularmente el de las ciencias.

Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller programado, un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten ciencias en sus zonas correspondientes.

Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y compilado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación secundaria.

Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros alumnos.

Profr. Joel Guerrero JuárezSecretario de Educación Pública

SEPH

6


PRESENTACiÓN

El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría, álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria).

En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico.

La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo.

En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas; lenguaje de programación LOGO para la programación con representación geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información.

En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades programadas semanalmente en el texto.

Cómoestá organizadoestelibro

7

Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las actividades se hace como en el siguiente ejemplo:

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a:• Explorar• Formular y validar hipótesis• Expresar y debatir ideas• Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores

Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de actividades en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados.

Finalmente, una reflexión:

La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.

Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera DíazCoordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo

oCTUBRE

Semana Bloque UNo Herramienta Actividad Pág.

13. Resuelvan problemas que implican

relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia.

Geometría dinámica

La circunferencia: radios,cuerdas y tangentes

19

8


SEPTiEMBRE


11. Transformen expresiones algebraicas en

otras equivalentes al efectuar cálculos.

Calculadora Programas equivalentes 13

2 Calculadora “Deshacer” operaciones 14

3 2. Apliquen los criterios de congruencia detriángulosenlajustificacióndepropiedadesdefigurasgeométricas.


Criterios de congruencia de triángulos

15

4Geometría dinámica

Figuras directa o inversamente congruentes

17

oCTUBRE


1 3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia.


La circunferencia: radios,cuerdas y tangentes

19


Ángulos en la circunferencia

25

3 4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarlagráficamente.

Calculadora¿Grados

Fahrenheit o Celsius?27

4 Calculadora ¿No podría ir más rápido? 29

NoViEMBRE

Semana Bloque doS Herramienta Actividad Pág.

11. Resuelvan problemas que implican el

uso de ecuaciones de segundo grado, asumiendo que éstas pueden resolverse mediante procedimientos personales o canónicos.

Hoja de cálculoProblemas que implican el uso de ecuaciones de

segundo grado30

2 CalculadoraResolviendo ecuaciones de

segundo grado31

3 2. Resuelvan problemas que implican utilizarlaspropiedadesdela semejanza en triángulos y en generalencualquierfigura.


Idea de triángulos semejantes

33

4 LOGO Polígonos regulares 35

Programación Tercer gradoEMAT-HidAlgo

9

diCiEMBRE Y ENERo

Semana Bloque doS Herramienta Actividad Pág.

13. Resuelvan problemas de probabilidad

queimpliquenutilizarlasimulación.

Hoja de cálculoSimulación con el

modelo de urna (I)39

2 Hoja de cálculoSimulación con el

modelo de urna (II)40

Semana Bloque TRES Herramienta Actividad

31.Interpretenyrepresenten,gráficay

algebraicamente, relaciones lineales y no lineales.

Hoja de cálculoAnalizandográficas

de rectas42


Construyendo varias gráficasdefunciones

con Geometría dinámica43

5 2.Utilicenadecuadamentelafórmulageneral para resolver ecuaciones de segundo grado.

CalculadoraComprobación de la fórmula general de

segundo grado44

6 Hoja de cálculo Funcionescuadráticas 45

FEBRERo

Semana Bloque TRES Herramienta Actividad Pág.

13. Resuelvan problemas geométricos que

implican el uso del teorema de Tales.


Teorema de Thales 47


Recíproco del teorema de Thales

49

3 4. Conozcan las condiciones que generan dosomásfigurashomotéticas,asícomo las propiedades que se conservan y las que cambian.

LOGO Razón y proporción 51


La homotecia como aplicación del

teorema de Thales58

10


MARZo Y ABRil

Semana Bloque CUATRo Herramienta Actividad Pág.

1 1. Representen algebraicamente el términogeneral,linealocuadrático,deunasucesiónnuméricaoconfiguras.

Calculadora¿Una ecuación para desalojar la escuela?

62

2 Hoja de cálculo Números poligonales 63

3 2. Resuelvan problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras y razones trigonométricas.


Teorema de Pitágoras 64

4 LOGO Triángulos 66

53. Resuelvan problemas que implican el

uso de procedimientos recursivos, tales como el crecimiento poblacional o el interés sobre saldos insolutos.

Hoja de cálculoExplosióndemográfica

Inflacióncontrasalario7172

6 Hoja de cálculo

Interés compuesto

Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto

74

76

MAYo

Semana Bloque CiNCo Herramienta Actividad Pág.

1

1. Resuelvan problemas que impliquen calcular el volumen de cilindros y conos o cualquier término de las fórmulas que seutilicen.Anticipencómocambiaelvolumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones.


Construyendo algunos cuerpos geométricos

78

2 Hoja de cálculoUso de fórmulas de área

y volumen de sólidos79


Problemas de optimización(I)

81


Problemas de optimización(II)

82

JUNio

Semana Bloque CiNCo Herramienta Actividad Pág.

1

2.Describanlainformaciónquecontieneunagráficadeltipocaja‐brazos.

Hoja de cálculo Lanzamiento de dados (I) 83

2

Hoja de cálculo Lanzamiento de dados (II) 85

3

Programación Tercer gradoEMAT-HidAlgo

11

Al inicio de cada actividad aparece, a la derecha del tema, un elemento que muestra el nombre de archivo a utilizar después del icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse para su realización. Los iconos usados y su significado son los siguientes.

Significa que para esta actividad se requiere el uso de la hoja de cálculo.

Quiere decir que para esta actividad se necesita la calculadora.

Significa que en esta actividad se requiere el uso de un software de geometría dinámica.

Quiere decir que para la realización de esta actividad es indispensable el uso del lenguaje LOGO.

NombredeArchivo

Iconos

12


Programasequivalentes

Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados.

1. Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A x 1

2. Un alumno dice que el programa A x 1 es equivalente al programa A. ¿Estás de acuerdo con

él? Escribe en tu calculadora el programa A y compara los resultados con el

programa A x 1. Escribe tus conclusiones a continuación

3. Construye tres programas equivalentes al programa 3 x B. Pruébalos en tu calculadora y, si producen los mismos resultados, escríbelos a continuación.

1) 2) 3)

4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa B. No debes tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.

A ÷ 2 + A ÷ 2 4 × B – 4 × B 5 × C – 4 × C B + B 1 × D × 1

5. Comprueba cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son equivalentes. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.

(3a + 15) - b(a + 5) = (a + 5)(3 - b)

x 3 - 4x 2 + x + 6 = (x - 1)(x 2 - 5x + 6)

2x - 6

2x 2 - 18 = 1

x + 3 , si x ≠ -3

x 2 + 10x + 25 = (x - 5)2

x 3 - 4x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

x 2 - 4

x 2 - 4 (x - 1) = x + 2x - 2

, si x ≠ 2

BloqueUno

ProgramEquivalent

13

Bloque Uno EnseñanzadelasMatemáticasconTecnologíaparalaEducaciónSecundaria

“Deshacer”operaciones

Gerardo y Silvia resolvieron la ecuación 5(a + 2) + 4 = 59 “deshaciendo” operaciones. Su estrategia consistió en usar operaciones inversas a las que se muestran en la ecuación. La manera en que razonaron se describe a continuación.

Primero notaron que si 5(a + 2) + 4 = 59, entonces podían obtener el valor de 5(a + 2) “deshaciendo sumar 4” a través de restar 4. Esto los condujo a la ecuación 5(a + 2) = 55.

Para hacer la ecuación 5(a + 2) = 55 más sencilla “deshicieron” multiplicar por 5, dividiendo entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta parte de 5(a + 2) y la quinta parte de 55 es 11.

Por último resolvieron la ecuación a + 2 = 11, decidieron “deshacer” sumar 2, restando 2. Así encontraron que a = 9, esto es la solución de la ecuación 5(a + 2) + 4 = 59.

¿Esá clara la estrategia que usaron Gerardo y Silvia? Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar esta actividad. Verifica las respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestas correctas.

a) 7(a - 8) + 25 = 39 b) 18 + 8(b + 4) = 94

c)

25

+ 5(b - 1) = 525 d)

x - 82

- 2 = 5

e) 15 + y + 12

3 = 22 f)

x - 0.58 + 5 =

9316

g) 4(x - 5)

3 - 6 = -2 h)

5(x - 3)7 + 12 = 17

deshaceroperacion

14


Criteriosdecongruenciadetriángulos

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son; sin embargo puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son HOMÓLOGAS.

Las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan CRITERIOS DE CONGRUENCIA, los cuales son:

1. Criterio LLL: si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los de otro, entonces los triángulos son congruentes.

Construye un triángulo cuyos lados midan 8.7, 9 y 5.5.

Para este tema vamos a hacer uso de Geometría dinámica, para ello tendrás que usar las herramientas edición numérica, semirrecta, transferencia de medida, circunferencia, rotación, triángulo, distancia y longitud, marca de ángulo, ángulo.

B

8,79

5,5

A

C

9,00 cm

36,20

8,70 cm

74,9 cm

5,50 cm

68,90

CriterCongruenTri

15


2. Criterio LAL: Si en un triángulo dos lados y el ángulo que forman son iguales a dos lados y el ángulo comprendido por éstos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Construye un triángulo en el que dos lados midan 7.3 y 4.7, y el ángulo que forman sea de 120 grados.

B

7,31204,7

A

C

22,90

7,30 cm

4,70 cm

10,47 cm37,10

120,00

3. Criterio ALA: Si en un triángulo dos ángulos y su lado común son iguales a dos ángulos y su lado común de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Construye un triángulo en el que dos ángulos midan 100° y 47°, y el lado entre ellos mida 4.60 cm.

B

1004,6-47

A

C

47,00

4,60 cm

6,18 cm

8,32 cm

330

100,00

16


Triángulos y cuadriláteros

Figurasdirectaoinversamentecongruentes

¿Cómo son entre sí los triángulos formados por las diagonales que atraviesan el rombo de arriba?

I

II

III

IV

Algunos son directamente congruentes, mientras otros son inversamente congruentes.

Si el punto de intersección de las

diagonales es el vértice común de

los cuatro triángulos, ¿qué valor

tiene el ángulo en este vértice

común, en cada uno de los cuatro

triángulos?

Por lo tanto, para clasificar los triángulos como directamente o inversamente congruentes, bastará una rotación o una reflexión, respectivamente.

Propósito: Distinguircuandodosfigurasson directamente congruentes o inversamente congruentes.

direc/inverCongruen

17


Demuestra lo anterior utilizando el comando ROTACIÓN y describe lo que pasa.

Demuestra lo anterior utilizando el comando Refleja objeto en recta y describe lo que pasa.

¿Cuáles son los triángulos directamente congruentes?

¿Cuáles son los triángulos inversamente congruentes?

18


Radios

Lacircunferencia: Radios,cuerdasytangentes

Propósito: descubrir propiedades de la circunferencia.

Elige dos puntos, A y B, sobre la circunferencia de centro O.

B

A

O

lineasCircunferencia

19


El triángulo AOB, ¿tiene alguna característica particular?

Ahora, si desplazas el punto B sobre la circunferencia, ¿qué ocurre con el triángulo AOB?

Desde O traza una perpendicular a la cuerda AB, y llama L al punto en que intersecta a la cuerda. Al mover B o A sobre la circunferencia, ¿qué relación se tiene entre las longitudes de AL y LB?

20


Cuerdas

Sobre una circunferencia de centro O elige dos puntos A y B; traza la cuerda que los une y encuentra su punto medio M. Une M y O por medio de un segmento (trazo punteado).

Propósito: descubrir propiedades de las cuerdas en la circunferencia.

A

B

O

M

¿Cuánto mide el ángulo AMO?

Ahora desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Cambia

el ángulo AMO? ¿A qué atribuyes lo anterior?

21


Traza el punto diametralmente opuesto a B y llámalo

B’. BB’ es un diámetro de la circunferencia. Si trazas el

segmento B’A, ¿qué posición tiene respecto al segmento OM?

Desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Sigue

manteniéndose la propiedad entre B’A y OM?

22


Tangentes

Propósito: descubrir qué propiedades caracterizan a la recta tangente a la circunferencia.

Nombre Edad

Escuela Fecha

M P

O

N

65,70

P es un punto exterior a la circunferencia desde el cual se traza un segmento que la intersecta en dos puntos: M y N.¿Qué particularidad tiene el triángulo OMN?

¿Cómo son los ángulos OMN y ONM?

23


¿Cómo se llama la semirrecta PM (o PN) con respecto a la circunferencia?

Al mover la semirrecta PM, ¿qué le ocurre al ángulo OMN?

¿Qué valor toma el ángulo OMN si M coincide con N?

En este caso, ¿cómo se le llama a la semirrecta PM?

¿Y el triángulo OMP?

Escribe los pasos a seguir para trazar la tangente desde un punto P exterior a una circunferencia dada.

24


Ángulosenlacircunferencia

Ángulo centralEs el ángulo formado por dos radios de una circunferencia. Su medida es proporcional al arco que sostiene y la razón de proporcionalidad es el radio.

ConelusodeGeometríadinámica,corroboralasdefinicionesylasconstrucciones.

A

O

B

113,90 A

B

O

V63,20

126,40

T

R

O

53,40

106,80

Ángulo inscritoLlamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son rectas secantes. Su medida es la mitad del arco que abarca.

Ángulo semiinscritoEs aquel ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado tangente y el otro secante. Su medida es la mitad del arco que subtiende.

AngulosCircunf

25


Ángulo exinscritoSe llama así al ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado es secante y el otro exterior a la circunferencia. Su medida es la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y entre los lados del opuesto por el vértice.

T

O

E

120,60

107,00

113,80

U

S

V

O

C

58,6088,60

73,60

AB

D

Ángulo interiorEs aquel que tiene el vértice en el interior de la circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de los arcos interceptados por él y por su opuesto por el vértice.

Ángulo exteriorSu vértice esta fuera de la circunferencia y sus lados son secantes. Su medida es la semidiferencia entre las amplitudes de los arcos que abarca.

E

O

C

45,60

32,70

123,90

A B

D

26


¿Grados FahrenheitoCelsius?

En México se usa la escala en grados Celsius (centígrados) para medir la temperatura y en otros países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas escalas.

FAHRENHEiT -13 -4 5 32 100

CElSiUS -25 -20 -15 0 37.77

1. Usa los datos de la tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representa los valores en grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados Celsius.

2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos?

¿Qué tipo de gráfica construirías?

¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica?

3. Usa la ecuación que construiste para completar la siguiente tabla y compara los valores que obtuviste con la tabla de valores dados.

X (FAHRENHEiT) -13 -4 5 32 100

Y (CElSiUS)

Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio, ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación.

¿Obtuviste una nueva ecuación? ¿Cuál es?

4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.

a) ¿A cuántos grados Celsius equivalen 60 grados Fahrenheit?

b) ¿A cuántos grados Celsius equivalen -12 grados Fahrenheit?

c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados Celsius?

d) El agua hierve a 100° C, ¿a qué temperatura hierve si la medimos en grados Fahrenheit?

Fahrenheit/Celsius

27


5. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias notables?

¿A qué crees que se deban?

6. ¿Podrías usar los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta actividad para encontrar

una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados Celsius?

¿Cómo lo harías?

Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F =

28


Un automóvil viaja a velocidad constante. En el eje y se muestra la distancia en metros que recorre. En el eje x se registró el tiempo del recorrido en intervalos de 2 segundos.

Escala en el eje x: 2 tiempoEscala en el eje y: 1 distancia

¿Nopodríairmásrápido?

Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica.1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil?

2. ¿Cuántos metros ha recorrido el automóvil después de 2 segundos?

3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos?

¿Y de 7 segundos?

4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros?

¿Cuánto en recorrer 110 metros?

5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste para construirla?

¿Qué hiciste para encontrar la ecuación?

6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas.

a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 2

minutos? ¿En una hora? ¿En

una hora y 20 minutos?

b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros?

c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil?

¿Qué hiciste para responder esta pregunta?

7. Un alumno dice que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento del automóvil.

¿Estás de acuerdo con lo que dice?

y

x

VelocidadConstante

29

Bloque dos EnseñanzadelasMatemáticasconTecnologíaparalaEducaciónSecundaria

a) Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y su producto sea 48.

b) La suma de un número con su recíproco es 26/5. Encontrar el número.

c) Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 m requiere 54 m2 de alfombra de pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones de la sala?

d) Un estudiante universitario se encontraba a 4 km del edificio donde tenía la siguiente clase una hora más tarde. Primero caminó un kilómetro y luego tomó un transporte cuya velocidad media fué 12 km/hr mayor que su velocidad a pie.

Encontrar la velocidad con la que caminó si llegó a la hora de su clase.

e) Una bandera tiene una cruz blanca, de anchura uniforme, sobre fondo rojo. Encuentra el ancho de la cruz, que ocupe exactamente la mitad del área total de la bandera, si ésta mide 4m x 3m.

f) Encuéntrese un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo sea igual a 6.

g) El área de un triángulo es 42 m2. Encuentre la base y la altura si la última excede a la primera en 5 m.

h) El costo de la fiesta anual de un club se divide entre los miembros que asisten. En 2 años consecutivos, el costo total fue $500.00 y $570.00, respectivamente, pero el costo por miembro fue $ 0.50 menor el segundo año. Calcúlese el número de miembros que asistieron a cada fiesta, si la asistencia en el segundo año fue de 10 miembros más que en el primero.

i) Varias personas planearon un viaje, contribuyendo cada uno con $600.00, pero luego calcularon que con un grupo más grande, podrían reducir sus gastos en $30.00 diarios por persona y alargar el viaje un día más con la misma contribución de $600.00. Calcule el costo diario por persona que habían planeado para el grupo original.

Problemasqueimplicaneluso deecuacionesdesegundogrado

Para poder resolver los siguientes problemas haremos uso de la hoja de cálculo, endondesemodelarácadaproblemaymedianteestimaciónycálculomental,se irán acotando la o las soluciones.

Problem2dogrado

BloqueDos

30


Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma ax 2 + bx + c = 0, donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

Resolviendoecuacionesdesegundogrado

Con el uso de la calculadora, aprovechando su manipulación simbólica, comprueba cada uno de los ejercicios ya resueltos intentando hacer los pasos correspondientes paralograreldespejedelavariable,ademásderesolverlosejerciciostipo.

Raíz cuadrada

Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde al caso especial en que falta el término con la variable de primer grado, es decir, cuando está en la siguiente forma: ax 2 + c = 0

El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1Resuelve por medio de la raíz cuadrada

2x 2 - 3 = 0

Solución:

2x 2 - 3 = 0

2x 2 = 3

x 2 = ± √/ 3

2

x = ± √6

2

Ejercicio tipo:

1) x 2 - 8 = 0

2) 3x 2 - 27 = 0

3) 2x 2 - 8 = x 2 - 4

Factorización

Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 son tales que la expresiónax 2 + bx + c = 0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de solución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales:

Si a y b son números reales, entonces:ab = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero).

Ecua2dogrado

31


Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0.

Ejemplo 1Resuelve por factorización

2x 2 = 3x

Solución:

2x 2= 3x

(2x 2 - 3x) = 0

x (2x - 3) = 0

x = 0 ó 2x - 3 = 0

x = 0 ó x = 32

Ejercicio tipo:

1) x 2 + 2x - 15 = 0

2) x 2 + 20x + 35 = 35x - 21

3) 8x 2 - 7x = 5x 2 +10x

Completando el trinomio cuadrado perfecto

El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática general ax 2 + bx + c = 0 para que quede así: (x + A)2 = B . Donde A y B son constantes.

Ejemplo 1Resuelve por el método de compleción del cuadrado

x 2 + 6x - 2 = 0

Solución:x 2 + 6x - 2 = 0 Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro izquierdo.

x 2 + 6x = 2 Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x sobre 2, en ambos miembros de la ecuación.

x 2 + 6x + 9 = 9 + 2 Factorizamos el miembro izquierdo.

(x + 3)2 = 11 Resolvemos por medio de la raíz cuadrada.

x + 3 = ± √11

x = - 3 ± √11

Ejercicio tipo:

1) x 2 + 2x - 15 = 0

2) x 2 + 20x + 35 = 35x - 21

3) 2x 2 - 4x - 3 = 0

32


Semejanza

Ideadetriángulossemejantes

Propósito: Descubrir,apartirde los triángulos equiláteros, los triángulos semejantes.

Con la opción POLÍGONO REGULAR construye un triángulo equilátero PQR.

R

Q

P

Ahora, mide los ángulos. ¿Cuánto mide cada uno?

Si arrastras el vértice P, ¿qué le ocurre al triángulo?

¿La medida de los ángulos cambia o se mantiene?

ideaTriangSemejan

33


Anota las conclusiones a las que te lleva lo que has realizado.

Finalmente explica qué se mantiene y qué cambia en todos los triángulos equiláteros anteriores.

34


Escribe el procedimiento para que la tortuga dibuje cuadrados de diferentes tamaños.

¿Y triángulos equiláteros?

Escribe procedimientos para dibujar tantos polígonos regulares como puedas y llena la tabla de la siguiente página.

Polígonosregulares

PARA CUADRADO

FIN

PARA TRIÁNGULO

FIN

PoliReglogo

35


PolÍgoNo NÚMERo dE lAdoS ÁNgUlo dE RoTACiÓN

Triángulo 120°

Cuadrado 4

Pentágono

Hexágono 6

Octágono 45°

……….. N

Encuentra la relación entre el número de repeticiones y el ángulo.

REPITE [ AV 20 GD ]

¿CONEXIONES?

Escribe tus observaciones.

36


Si no sabes escribir el procedimiento en logo, usa tus propias palabras para explicar cómo crees que podría ser el procedimiento.

generaliza: Un procedimiento para cualquier polígono regular

¿Cómo escribirías un procedimiento para dibujar cualquier polígono regular?

37


PARA CIRCULO

FIN

de polígonos a circunferencias

Usando tu experiencia en dibujar polígonos regulares:

¿Puedes escribir un procedimiento para dibujar una circunferencia?

¿Puedes hacer circunferencias de diferentes tamaños?

Elabora un procedimiento para simular el movimiento de un reloj

38


Simulaciónconel modelodeurna(I)

Probabilidad

Simula una serie de volados con el archivo ModeUrna01. Escribe en las celdas reservadas para los colores las palabras águila y sol.

¿Qué debes escribir en las cantidades?

¿Hubiera sido lo mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10?

¿Por qué?

En 20 volados, ¿cuántas águilas esperas ver?

Contesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta.

¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila y un sol (en

cualquier orden)?

ModeUrna01

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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología · PDF fileEl texto cumple,...

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