ENSAYO SOBRE CUADRICAS - javiermontoliu.comjaviermontoliu.com/pdf/Cuadricas.pdf · tiene positivo...

ENSAYO SOBRE CUADRICAS Por Javier de Montoliu Siscar, Dr. Ing. Ind. 2ª Edición. Enero 1997.

1

PROLOGO

Este ensayo tiene por objeto desarrollar el conocimiento de las cuádricas y sus propiedades valiéndonos preferentemente de un método de álgebra y análisis tensorial basado en propiedades intrínsecas de las magnitudes tensoriales que ha sido expuesto y desarrollado por el autor en su Algebra y Análisis tensorial.

Podemos considerar el presente estudio, como una continuación del anterior ensayo del autor, relativo a las variedades lineales.

Aunque ningún elemento utilizado por el método es en sí desconocido, en su conjunto parece serlo, y aunque hoy día se aprecian los procedimientos intrínsecos, en la práctica no cristalizan como métodos de aceptación general.

El método de cálculo aquí empleado lo presentamos en una aplicación práctica puntual, el estudio de las cuádricas, y lo sometemos a la consideración del lector para que juzgue por sí mismo sobre su eficacia y posible interés general.

Barcelona, 10 Enero 1997

I

TABLA DE CONTENIDO PROLOGO...................................................... 1 TABLA DE CONTENIDO........................................... I CUADRICAS.................................................... 1 A.- GENERALIDADES .......................................... 1 1.- Trinomio de 21 grado.................................. 1 2.- Cuádricas. ........................................... 4 3. Intersecciones. ...................................... 14

B.- ELEMENTOS CARACTERISTICOS ............................. 19 1. Centros. Variedad central. ........................... 19 2.-Cilindros. ........................................... 21 3.- Conos. .............................................. 26 4.- Advertencia. ........................................ 28 5.- Variedades diametrales. Diámetros. .................. 28 6.- Polares. ............................................ 30 7. Tangentes. ........................................... 33 8.- Normal. ............................................. 35 9.- Polares de puntos del infinito. ..................... 35 10.- Puntos del infinito de una cuádrica. Asíntotas. .... 38 11.-Polos y variedad polo de un plano. .................. 40 12.- Diámetros conjugados. .............................. 46 13.- Ejes. .............................................. 57 14.- Vértices.- Ejes reales e imaginarios. .............. 58 15.- Conos asintóticos. ................................. 60 16.- Cuádricas conjugadas. .............................. 62 17.- Familias de cuádricas. Secciones principales. ...... 64 18.- Cono tangente desde un punto a una cuádrica propia real. ................................................... 66

C.- CLASIFICACION DE LAS CUADRICAS. ....................... 77 1.- Bases para la clasificación. ........................ 77 2.- Nomenclatura. ....................................... 79 3.- Clasificación elemental de las cuádricas. ........... 82 4.- Método matricial de clasificación. .................. 82

D.- ESFERAS ............................................... 87 1.- Esfera. Radio. ...................................... 87 2.- Volumen de una esfera. .............................. 88 3.- Area de la esfera ................................... 91

E.- CONICAS. .............................................. 93 1. Generalidades. ....................................... 93 2.- Focos de una cónica. ................................ 96 3.- Cónicas centradas reales. ........................... 98 4.- Parábola. .......................................... 101 5.- Propiedades comunes a elipse, hipérbola y parábola. 102 6.- Aplicaciones diversas a las cónicas. ............... 105

F.- CUADRICAS OSCULATRICES - CURVATURAS.(Dim E =n>1) ..... 107

II

1.- Cuádricas tangentes y osculatrices. ................ 107 2.- Curvatura. ......................................... 111 3.- Superficies osculatrices cualesquiera. ............. 115

APENDICE................................................. 118 1.- Movimiento gravitatorio respecto un punto fijo. .... 118

INDICE DE EQUACIONES ...................................... 125

1

CUADRICAS

A.- GENERALIDADES

1.- Trinomio de 21 grado.

Nos referiremos a un espacio puntual afín propiamente euclidiano, de dimensión n>1 salvo aviso en contrario.

1.01.- Definición. Un trinomio tensorial de 21 grado es un polinomio

tensorial reducido, de tres términos de orden 0, con un coeficiente del primero que es un tensor de segundo orden no nulo, un coeficiente del segundo que es un vector y con un tercer término escalar.

Tiene por expresión general: A = τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ +α = 0

1.02.- Para este estudio convendrá recordar el álgebra tensorial en general, y en particular las propiedades siguientes:

10.- Dos trinomios son equivalentes si, y sólo si, tienen equivalentes ó iguales sus monomios. Esto sucederá si, y sólo si los coeficientes de orden dos tienen el mismo componente simétrico y los demás coeficientes coinciden.

Si τ→ no es simétrico siempre habrá un trinomio equivalente con un τ→ simétrico, y es único.

20.- Un trinomio es nulo si, y sólo si todos sus monomios son nulos. Es decir α, v→, y el componente simétrico de τ→ son nulos.

30.- El valor de un trinomio es constante, (ó sea que no varía con el valor atribuído a x→) si, y sólo si, v→=0 y el componente τ→s simétrico de τ

→ es nulo.

40.- Cuando el componente simétrico de τ→ es nulo, lo que sucede para τ→ antisimétrico, decimos que un trinomio no es propio, y entonces resulta equivalente a un binomio si v≠0→ ó a un escalar cuando v→=0

→.

1.03.- Como si un trinomio es propio, siempre es

posible hallar un trinomio equivalente único, tal que el coeficiente de 21 orden sea un tensor simétrico no nulo, de ahora en adelante, y de no advertir de lo contrario, supondremos que en todo trinomio el coeficiente de 21 orden es un tensor simétrico no nulo.

2

Con este supuesto las anteriores propiedades de reducen a las siguientes:

Dado un trinomio, no existe ningún otro trinomio equivalente.

No hay ningún trinomio equivalente a 0 ni a una constante.

1.04.- Vamos a recordar ahora algunas propiedades de los tensores simétricos.

10.- El núcleo y la imagen de todo tensor simétrico son subespacios ortogonales y suplementarios.

20.- Las potencias matriciales enteras (positivas, negativas ó 0) de un tensor simétrico τ→, son también tensores simétricos y comparten con τ→ núcleo e imagen.

Su producto matricial verifica: τ→µ ∗ τ→λ = τ→µ+λ ( ∗ es el signo de multiplicación matricial)

30.- Los vectores propios y los valores propios de un tensor simétrico, son reales.

40.- Un tensor simétrico y sus potencias enteras tienen comunes los vectores propios.

Para cada uno de estos vectores propios, si el valor propio correspondiente a τ→ es β el valor propio correspondiente a τ→λ es βλ.

50.- Todo tensor simétrico se puede expresar como un sumatorio de productos tensoriales de factores iguales.

60.- Dado un tensor simétrico τ→, existe siempre una base ortonormal {p→i} del espacio formada por vectores propios de τ→. Si designamos por πi el valor propio correspondiente a p

→i se

puede expresar τ→ de la siguiente manera: τ→ = ∑[πi(p

→i⊗p→

i)] 70.- El tensor τ→0 tiene no nulos sus valores propios y son todos iguales a uno. Corresponde a la aplicación que proyecta ortogonalmente un vector sobre Im τ→, y es el tensor unidad del subespacio Im τ→. Por lo tanto se verifica: τ→0v→ = v→i (v→∈ Im τ→): τ→0v→ = v→; (v→∈ Nuc τ→): τ→0v→ = 0

→

80.- En consecuencia, el tensor I

→-τ→0 es el tensor unidad

de Nuc τ→, y corresponde a la aplicación lineal proyección

3

ortogonal de un vector sobre Nuc τ→. (I

→-τ→0)v→ = v→n

(v→∈ Im τ→): (I→-τ→0)v→ = 0

→; (v→∈ Nuc τ→): (I→-τ→0)v→ = v→

90.- Si todos los valores propios de τ→ son positivos ó

nulos, podremos considerar unos tensores simétricos τ→2 y τ→-2 elegidos de manera que sus valores propios sean las raíces cuadradas positivas de los valores propios de τ→ y τ→-1, y que verificarán: τ→2∗τ→2= τ→, τ→-2∗τ→-2= τ→-1; τ→2∗τ→-2=τ→-2∗τ→2=τ→0

1.05.- TEOREMA 1.- Si expresamos por τ→>0 un tensor τ→ cuyos valores propios no nulos sean positivos, por τ→<0 un tensor τ→ cuyos valores propios no nulos sean negativos y por τ→><0 los tensores simétricos restantes, tendremos que se verifica:

τ→>0 ⇔ (∀x→; x→∉ Nuc τ→): τ→(x→⊗x→)> 0

τ→<0 ⇔ (∀x→; x→∉ Nuc τ→): τ→(x→⊗x→)< 0

τ→><0 ⇔ (∃x→; x→∉ Nuc τ→): ⎩⎨⎧

≤⊗≥⊗0)xx(

0)xx(rrr

rrr

ττ

Efectivamente. Sean un tensor τ→= ∑[πi(p

→i⊗p→i}] simétrico,

{p→i} una base ortonormal y x→=∑(λjp

→j). Tendremos:

τ→(x→⊗x→) ={∑[πi(p

→i⊗p→

i}]}{[∑(λjp→

j)]⊗[∑(λjp→j)] = ∑πiλi

2 y este sumatorio será siempre positivo si todos los πi son positivos, será siempre negativo si todos los πi son negativos, ó podrá ser nulo ó tener cualquier signo según sea x→, si hay πi de ambos signos.

En el caso x→∈ Nuc τ→ evidentemente se tendrá siempre: τ→(x→⊗x→) = 0

4

2.- Cuádricas.

2.01.- Definición.

El conjunto X no vacío de las soluciones o puntos

reales de una ecuación de 21 grado recibe el nombre de cuádrica real. Cuando este conjunto es vacío, todas las soluciones son imaginarias y su conjunto recibe el nombre de cuádrica imaginaria.

La ecuación siempre se puede reducir a la expresión A = 0, siendo A un trinomio de segundo grado con τ→ simétrico: (1) A = τ→→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0

2.02.- Cambio de referencia.

Si referimos la ecuación de la cuádrica a un nuevo origen a→, obtendremos la nueva ecuación A'=0, sustituyendo en la primitiva x→ por a→+x→': τ→→[(a→+x→')⊗(a→+x→')] + 2v→(a→+x→') + α = 0 ⇔ τ→(a→⊗a→) + τ→(x→'⊗x→') + 2τ→(a→⊗x→') + 2a→v→ + 2v→x→' + α = 0 ⇔ (2) τ→(x→'⊗x→') + 2(τ→a→+v→)x→' + τ→(a→⊗a→) + 2v→a→ + α = 0

Por consiguiente, los nuevos coeficientes serán: τ→' = τ→ v→' = τ→a→ + v→ α' = τ→(a→⊗a→) + 2v→a→ + α y por tanto v→ y α no son invariantes ('1.02-3).

2.03.- Soluciones de la ecuación de 21 grado.

Sea la ecuación general de una cuádrica: τ→x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 y m→ un vector cualquiera.

Podemos obtener los puntos solución hallando las intersecciones de la cuádrica con toda recta x→=λm→. Para ello calcularemos los valores de λ correspondientes a los puntos de intersección de cada recta, que resultan de resolver las ecuaciones escalares λ2τ→(m→⊗m→) + 2λv→m→ + α = 0 obtenidas al sustituir x→ por λm→ en la ecuación de la cuádrica. Se tendrá:

5

)mm(

)mm(-)mv( mv = )mf( =

2

rrr

rrrrrrrr

⊗⊗±

ττα

λ

2.04.- Ecuaciones equivalentes.

Decimos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen

las mismas soluciones.

TEOREMA 2.- Dos ecuaciones de segundo grado A = 0 y A' = 0 son equivalentes si y sólo si (∃µ/ µ≠0): A = µA'

Pues evidentemente son equivalentes si las intersecciones con toda recta de ecuación x→=λm→ coinciden, ó sea que para todo m→ hay el siguiente par de ecuaciones escalares en λ que son equivalentes: λ2τ→(m→⊗m→) + 2λv→m→ + α = 0 λ2τ→'(m→⊗m→) + 2λv→'m→ + α' = 0

Por ser escalares estas ecuaciones, la condición de equivalencia es que exista un escalar µ no nulo que verifique

⎪⎩

⎪⎨

⎧⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⊗⊗∀

’ =

’v = v

’ =

’ =

m’v = mv

)mm(’ = )mm(

:)m(

µααµτµτ

µααµτµτ

rr

rr

rrrr

rrrrrr

r

2.05.- Cuando en una ecuación de segundo grado A = 0 el

coeficiente tensorial τ→ tiene cada valor propio no nulo de cierto signo, el tensor τ→'=-τ→ los tendrá evidentemente en igual número y del mismo valor absoluto, pero de signo contrario.

En lo sucesivo, para estudiar una cuádrica a través de su ecuación, supondremos siempre que su coeficiente tensorial tiene positivo por lo menos un valor propio y ello podrá exigir que en vez de considerar una ecuación original A=0 tengamos que considerar la ecuación equivalente -A=0.

En la clasificación de cuádricas por los signos de los valores propios de τ→ podremos así prescindir de la categoría τ→<0.

2.06.- Clases de cuádricas.

Una primera clasificación de las cuádricas será la siguiente:

a) Cuádricas reales. Son las que su ecuación admite al menos una solución ó punto real.

a1) Cuádricas impropias. Las soluciones reales de su

6

ecuación coinciden con las soluciones de una ecuación de primer grado. Por tanto su conjunto es una variedad lineal.

a2) Cuádricas propias. Las cuádricas reales no impropias.

b) Cuádricas imaginarias. Son las que su ecuación no admite ninguna solución real.

2.07.- TEOREMA 3.- Las cuádricas impropias e imaginarias de ecuación general (τ→≥0): τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 quedan definidas por las siguientes características de su ecuación:

C. impropia: τ→>0; v→∈ Im τ→; α-τ→-1(v→⊗v→) = 0

C. imaginaria: τ→>0; v→∈ Im τ→; α-τ→-1(v→⊗v→) > 0

a) La condición τ→>0 es necesaria.

Pues si no se cumple, tendremos τ→><0 y podremos elegir dos versores propios ortogonales m→ y p→ de τ→ (de módulo 1) con valores propios µ y π de signos opuestos y considerar las intersecciones con la cuádrica de las rectas reales de expresión: x→ = βm→ + λp→ que resultan para cada valor arbitrario de λ al variar β.

Para sustituir x→ en la ecuación general, tendremos los siguientes valores parciales:

τ→x→ = τ→(βm→+λp→) = β(τ→m→) + λ(τ→p→) = βµm→ + λπp→

τ→(x→⊗x→) = (τ→x→)x→ = (βµm→ + λπp→)(βm→ + λp→) = µβ2 + πλ2

v→x→ = β(v→m→) + λ(v→p→) que sustituídos convierten a la ecuación en: µβ2 + πλ2 + 2β(v→m→) + 2λ(v→p→) + α = 0 ⇔ ⇔ µβ2 + 2(v→m→)β + πλ2 + 2(v→p→)λ + α = 0

Para cada valor elegido de λ que haga a πλ2 + 2(v→p→)λ + α de signo opuesto al de µ, ó sea del signo de π, de los que evidentemente hay muchos, tendremos en la ecuación anterior un discriminante positivo y la recta cortará en dos puntos reales y sólo dos a la cuádrica.

Por consiguiente, para τ→><0 la cuádrica no puede ser

7

imaginaria ni impropia. Para ello será necesario τ→>0. b) La condición v→∈ Im τ→ es necesaria.

Pues si tenemos v→∉Im τ→ podríamos determinar sus

componentes i→ en Im τ→, τ→ y n→ en Nuc τ→, con n→≠0→ y por tanto

v→n→≠0→, y también podremos elegir un versor propio m→ de τ→ (de módulo 1), con valor propio µ≠0, con lo que tendremos m→n→=0 y m→m→ = 1.

Consideremos la intersección de la cuádrica con las rectas reales: x→ = βm→ + λn→ quw se obtienen con cada valor arbitrario de λ al variar β.

Para sustituir x→ en la ecuación general, obtenemos los siguientes valores parciales:

τ→x→ = τ→(βm→+λn→) = τ(βm→) = βµm→

τ→(x→⊗x→) = (τ→x→)x→ = βµm→(βm→+λn→) = (βµm→)(βm→) = β2µ

v→x→ = β(v→m→) + λ(v→n→) y al efectuar la sustitución, resulta: µβ2 + 2β(v→m→) + 2λ(v→n→) + α = 0

Para cada valor de λ que dé a 2λ(v→n→) + α un signo contrario al de µ, y de estos habrá muchos, la anterior ecuación en β tendrá un discriminante positivo y la recta cortará a la cuádrica en dos puntos reales y sólo dos.

Por consiguiente, con v→∉ Im τ→, la cuádrica no puede ser ni imaginaria ni impropia. Es preciso pues v→∈ Im τ→.

c) Para τ→>0 y v→∈ Im τ→, la cuádrica será:

α-τ→-1(v→⊗v→) = 0 . . . Impropia

α-τ→-1(v→⊗v→) > 0 . . . Imaginaria

α-τ→-1(v→⊗v→) < 0 . . . Propia real

Pues cumpliéndose la primera condición podremos admitir las siguientes potencias simétricas de τ→ simétrico: τ→2 > 0; τ→-2 = (τ→2)-1 > 0 y cumpliéndose además la segunda, podremos escribir:

τ(x→⊗x→) = (τ→x→)x→ = [τ→2(τ→2x→)]x→ = (τ→2x→)(τ→2x→)

2v→x→ = 2(τ→0v→)x→ = 2[τ→2(τ→-2v→)]x→ = 2(τ→2x→)(τ→-2v→)

8

τ→-1(v→⊗v→) = (τ→-1v→)v→ = [τ→-2(τ→-2v→)]v→ = (τ→-2v→)(τ→-2v→)

y como la ecuación de la cuádrica se puede escribir así: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + τ→-1(v→⊗v→) + α - τ→-1(v→⊗v→) = 0 sustituyendo los valores hallados, se convierte en: (τ→2x→ + τ→-2v→)2 + α - τ→-1(v→⊗v→) = 0

Para α - τ→-1(v→⊗v→) > 0 esta ecuación no tiene solución real. La cuádrica es imaginaria.

Para α - τ→-1(v→⊗v→) = 0 esta ecuación tiene las mismas soluciones reales que la ecuación τ→2x→ + τ→-2v→ = 0 que corresponde a una variedad lineal y la cuádrica es impropia.

Para α - τ→-1(v→⊗v→) = -β2 < 0, la cuádrica corresponderá al conjunto de puntos tales que Módulo (τ→2x→ + τ→-2v→) = β

c1) En este caso, y para todo versor m→∈ Im τ→, pertenecerán evidentemente a la cuádrica todas las soluciones de cada una de las dos ecuaciones siguientes: τ→2x→ + τ→-2v→ = βm→ τ→2x→ + τ→-2v→ = -βm→

Estas ecuaciones siempre tendrán solución real, por hipótesis, se verifica que τ→2v→ y m→ pertenecen a Im τ→. Por consiguiente, la cuádrica no es imaginaria.

c2) Por otra parte, evidentemente no existen soluciones comunes para ningún par de tales ecuaciones, pero para un par determinado, podremos tener en cuenta una solución x→' de la primera y una solución x" de la segunda, que no pueden coincidir, y comprobar si el punto medio 2(x'+x") pertenece a la cuádrica.

Sustituyendo en el binomio, se tendrá: τ→2(2x→'+2x→") + τ→-2v→ = 2τ→2x→' + 2τ→2x→" + 2τ→-2v→ + 2τ→-2v→ = = 2(βm→ - βm→) = 0→

Como el resultado es el vector nulo, que corresponde al módulo cero, el punto medio entre x→' y x→" no pertenece a la cuádrica, y por lo tanto ésta es real y propia.

2.08.- Consecuencia del teorema anterior, es que la ecuación general de las cuádricas corresponde a una cuádrica

9

propia real si, y sólo si, no se verifica a la vez: τ→>0; v→∈ Im τ→; α-τ→-1(v→⊗v→) ≥ 0

2.09.- Otra consecuencia es que para el caso τ→>0; v→∈ Im τ→; α-τ→-1(v→⊗v→) = -β2 < 0 que es uno de los casos correspondiente a una cuádrica propia real, la ecuación puede ponerse en la forma: (τ→2x→ + τ→-2v→)2 - β2 = 0 ⇔ ⇔ (τ→2x→ + τ→-2v→ + β)(τ→2x→ + τ→-2v→ - β) = 0 y por lo tanto esta cuádrica propia contiene a las 2 variedades lineales de ecuaciones τ→2x→ + τ→-2v→ + βm→ = 0 τ→2x→ + τ→-2v→ - βm→ = 0

2.10.- TEOREMA 41 Si una cuádrica es impropia y su ecuación es τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0, sus soluciones reales coinciden con la variedad de ecuación τ→x→+v→=0 y esta variedad está incluída en el plano de ecuación v→x→+α=0.

a) Puesto que hemos visto que cuando la cuádrica es impropia, su ecuación puede ponerse en la forma (τ→2x→ + τ→-2v→)2 = 0 de iguales soluciones reales que τ→2x→ + τ→-2v→ = 0⇔ X = -τ→-2(τ→-2v→) + Nuc τ→2 = -τ→-1v→ + Nuc τ→ ⇔ τ→x→ + v→ = 0→

b) Y poniendo la ecuación de la cuádrica impropia en la forma: (τ→x+v→)x→ + v→x→ + α = 0 queda evidente que las soluciones reales que anulan a τ→x→+v→, también anulan a v→x→+α.

2.11.- La propiedad v→∈ Im τ→ así como el valor de (v→∈ Im τ→): α-τ→-1(v→⊗v→), son invariantes respecto al punto de referencia:

a) v→∈ Im τ→ ⇔ (∀a→): τ→a→+v→ ∈ Im τ→ ⇔ v→∈ Im τ→ ⇔ v→'∈ Im τ→'

b) Para v→∈ Im τ→ se verifica: α'-τ→'-1(v→'⊗v→') = τ→(a→⊗a→)+2v→a→+α - τ→-1[(τ→a→+v→)⊗(τ→a→+v→)]=

10

τ→(a→⊗a→)+2v→a→+α - τ→-1[(τ→a→⊗τ→a→)+2(τ→a→⊗v→)+(v→⊗v→)]

Pero también se verifica: τ→-1(τ→a⊗τ→a→) = (τ→0a→)(τ→a→) = τ→0(τ→a→⊗a→) = (τ→a→)a→ = τ→(a→⊗a→) τ→-1 [2(τ→a→⊗v→)] = 2(τ→0a→)v→ = 2(τ→0v→)a→ = 2 v→a→ τ→-1(v→⊗v→) = τ→-1(v→⊗v→) y sustituyendo: τ→(a→⊗a→)+2v→a→+ α - τ→(a→⊗a→) - 2v→a→ - τ→-1(v→⊗v→) = α-τ→-1(v→⊗v→)

Por consiguiente: (v∈Im τ→'): α'-τ→'-1(v→'⊗v→') = (v→∈Im τ→): α-τ→-1(v→⊗v→)

2.12.- TEOREMA 5.- Dos ecuaciones correspondientes a cuádricas impropias de coeficientes τ→1,v

→1, α1 y τ→2,v

→2 y α2

respectivamente, tienen comunes las soluciones reales, cuando se verifica:

⎩⎨⎧ ⇔

v = v

Im = Im =

21-21

1-1

2120

10

rrrr

rrrr

ττττττ

Pues éstas son las condiciones de equivalencia de las

variedades: τ→1x

→ + v→1 = 0→

τ→2x

→ + v→2 = 0→

2.13.- En consecuencia si τ→1 tiene un solo versor

propio en el subespacio imagen (variedad de dimensión n-1 ó plano), cuando tienen comunes las soluciones reales tendrán ecuaciones equivalentes.

Pues llamando m→ al único versor propio, la primera condición anterior equivale a que para algún escalar λ: τ→1 = λτ

→2

pues ambos tensores serán múltiplos de (a→⊗a→).

Como las v→ han de pertenecer a Im τ→ serán múltiplos de a→, y es fácil comprobar que la segunda condición exige v→1 = λv

→2 ⇒ α1 = λα2

2.14.- TEOREMA 6.- Si una cuádrica real tiene todos sus

puntos reales contenidos en una variedad lineal, es impropia.

Si la cuádrica tiene un sólo punto real el teorema es

11

evidente. Si tiene más, podremos tomar uno de ellos como origen y expresar las ecuaciones de cuádrica y variedad como sigue:

Cuádrica: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ = 0

Variedad: σ→x→ = 0 designando por A el subespacio ortogonal a v→.

Todo punto de Nuc τ→ ∩ A es evidentemente de la cuádrica y si ésta está contenida en la variedad, siempre se habrá de verificar: (3) Nuc σ→ ⊃ Nuc τ→ ∩ A

a) Supongamos v→∉ Im τ→. Esto exige siempre: Nuc τ→ ⊄ A; Dim Nuc τ→ >0; Dim Nuc τ→ > Dim [Nuc τ→ ∩ A]

Por consiguiente siempre habrá algún versor n→ de Nuc τ→ - [Nuc τ→ ∩ A] (ó sea un versor cualquiera n→ que verifique n→ ∈ Nuc τ→ y n→∉A) y algún versor m→, esta vez propio, de τ→, perteneciente a Im τ→. Tendremos siempre m→n→=0 y v→n→=0.

Hemos visto en '2.07b que las intersecciones de la cuádrica con las rectas reales de expresión: x→ = βm→ + λn→ que se obtienen con cada valor arbitrario de λ al variar β, para muchos valores de λ son dos puntos reales y sólo dos, correspondientes a dos valores distintos de β. Si la cuádrica está contenida en una variedad, para ambos puntos se habrá de verificar: σ→(βm→+λn→) = βσ→m→ + λσ→n→ = 0 y como para los dos puntos la expresión solo difiere en el valor de β, exige que se verifique: σ→m→ = σ→n→ = 0; ⇔ m→,n→ ∈ Nuc σ→

Y por ser m→ cualquier versor propio de Im τ→ y n→ cualquier versor de Nuc τ→ - [Nuc τ→ ∩ A] tendremos también: Nuc σ→ ⊃ Im τ→; Nuc σ→ ⊃ Nuc τ→ - [Nuc τ→ ∩ A]

Pero como siempre se ha de verificar la ecuación (3) esto representa que Nuc σ→ tendría que ser todo el espacio, lo que no es posible, y por tanto con v→∉ Im τ→ la cuádrica no puede estar contenida en la variedad y esto sólo podrá ocurrir para: v→∈ Im τ→ ⇔ A ⊃ Nuc τ→ ⇔ Nuc τ→ ∩ A =Nuc τ→ ⇒ Nuc σ→ ⊃ Nuc τ→

b) A partir de que se cumplen estas últimas condiciones vamos a suponer que se verifica τ→ ≤ 0 ó sea, según se ha

12

convenido, que tenemos τ→><0.

Con estos supuestos, siempre podemos considerar un par de versores propios m→,p→ de τ→ de valores propios de signos opuestos, y tal como vimos en '2.07a, las rectas de parámetro β y λ arbitrario: x→ = βm→ + λp→ para muchos valores de λ cortan a la cuádrica en dos puntos reales distintos.

Como todas las intersecciones pertenecerían a la variedad, se verificaría para cada par: σ→(βm→ + λp→) = β(σ→m→) + λ(σ→p→) = o lo que implica: σ→m→ = σ→p→ = 0 ⇔ m→,p→ ∈ Nuc σ→

Pero como esto deberá ocurrir con cualquier par de versores de signo opuesto, se verificaría: Nuc σ→ ⊃ Im τ→ y esto, junto con la condición inicial Nuc σ→ ⊃ Nuc τ→ conduce a que Nuc σ→ sea todo el espacio.

Con ello la posibilidad de que una cuádrica esté contenida en una variedad queda limitada al caso de que se verifique v→∈ Im τ→ y τ→ > o.

c) En este caso, sabemos por '2.07c que la ecuación de la cuádrica podrá escribirse, con α=0, en la forma: (τ→2x→ + τ→-2v→)2 - τ→-1(v→⊗v→) = 0

Sabemos que con la cuádrica pueden ocurrir tres casos: que sea imaginaria, impropia o propia real.

Si es imaginaria está fuera de hipótesis y si es impropia, el teorema es una evidencia.

Queda el caso de que la cuádrica sea propia y entonces vimos en '2.07c1 que para β = módulo no nulo de τ→-2v→, las soluciones de la ecuación de la cuádrica son el conjunto de soluciones de los pares de ecuaciones τ→2x→ + τ→-2v→ = ± βm→ ⇔ τ→0x→= -τ→-1v→ ±τ→-2m→ para todo versor m→.

Limitándonos a considerar soluciones pertenecientes a Im τ→ que correspondan a versores m→ de Im τ→, de expresión:

13

x→= -τ→-1v→±τ→-2m→ éstas tendrían que pertenecer a la variedad y por tanto: 0

→ = -σ→(τ→-1v→)+σ→(τ→-2m→) = -σ→(τ→-1v→)-σ→(τ→-2m→) ⇒ 0 = σ→(τ→-2m→)

Como el paréntesis es un múltiplo no nulo de cualquier

vector de Imτ→, esta igualdad implica Nuc τ→ ⊃ Im τ→ lo que con (3) exige también que Nuc σ→ sea todo el espacio.

d) En resumen. Vemos pues que el único caso en que es posible que una cuádrica esté contenida en una variedad es el de que la cuádrica sea impropia y entonces sus puntos reales coinciden con los de la variedad.

2.15.- TEOREMA 7.- Si dos cuádricas propias tienen comunes los puntos reales, sus ecuaciones son equivalentes.

Pues siguiendo con las dos cuádricas el mismo proceso que en '2.04 pero limitándonos a considerar los vectores m→ correspondientes a raíces reales, se llega a un resultado común, al tener en cuenta que según el teorema anterior, el conjunto de estos vectores no está contenido en ningún subespacio de dimensión inferior a la del espacio total.

14

3. Intersecciones.

3.01.- Sea una variedad de ecuación σ→x→ +a→ = 0→ con

a→∈ Im σ→ y σ→ simétrico. Por tanto Im σ→ es ortogonal y suplementario de Nuc σ→.

Recordaremos del estudio de las variedades lineales los siguientes puntos:

1.- Decimos de un vector v→ que pertenece a una variedad, o que su dirección está contenida en la misma, cuando es paralelo a la variedad, lo que sucede si y sólo si v→∈ Nuc σ→.

2.- I→ es el tensor fundamental del espacio y σ→0 el tensor

unidad de Im σ→. El tensor I→-σ→0 es el tensor unidad de Nuc σ→ ó sea del subespacio de la variedad, y también es el tensor de la aplicación lineal que a todo vector s→ hace corresponder el vector s→'= (I

→-σ→0)s→ proyección ortogonal de s→ sobre la variedad

y que pertenece a la variedad.

3.- Sabiendo que todo tensor τ→ se puede representar por un sumatorio de productos tensoriales de vectores, definimos a un tensor expresado por τ→' como el sumatorio correspondiente a τ→ en el que cada vector factor s→ se ha sustituído por su proyección s→' sobre la variedad. Este tensor que es simétrico al serlo τ→, recibe el nombre de proyección ortogonal de τ→ sobre la variedad y diremos que τ→' pertenece a la variedad.

Sabemos que, siendo ∗ el signo de multiplicación matricial, su valor es: τ→' = (I→-σ→0)∗τ→∗(I→-σ→0) y que su propiedad principal es que dado un tensor o vector µ→ cualquiera perteneciente a la variedad, se verifica: (τ→µ→)' = τ→'µ→ es decir. que τ→' es el tensor de la aplicación lineal inducida por τ→ en la variedad, tal que su imagen de µ→ es la proyección ortogonal de la imagen de µ→ en el espacio total, dada por la aplicación corrrespondiente a τ→.

3.02.- Intersección de una cuádrica con una variedad lineal.

TEOREMA 61.- La intersección de una cuádrica con una variedad lineal es, referida a un punto de la variedad y a su subespacio, también una cuádrica.

Tomaremos como referencia un punto de la variedad lineal, y expresaremos las ecuaciones de cuádrica y variedad de la siguiente manera:

Cuádrica: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = o

15

Variedad lineal: σ→x→ = 0→

con los coeficientes τ→, y σ→ simétricos.

El tensor τ→', proyección ortogonal de τ→ sobre la variedad, es simétrico por serlo τ→, y es el tensor de la variedad tal que aplicado sobre un vector x→ de la misma nos da la proyección de τ→x→ sobre la variedad, es decir, que verifica τ→'x→ = (τ→x→)'.

Como x→∈ Nuc σ→ y τ→ es de segundo orden, sabemos que: τ→' = (I→-σ→0) ∗ σ→ ∗ (I→-σ→0) y por otra parte la proyección del vector v→ es: v→' = (I

→-σ→0)v→

Por consiguiente, la ecuación de la intersección en el

subespacio de la variedad es: τ→'(x→⊗x→) + 2v→'x→ + α = 0 que corresponde a una cuádrica.

3.03.- Características de la intersección.

Sea m la dimensión de la variedad secante. Se tiene evidentemente:

τ→'≠ 0 Cuádrica de ecuación normal.

τ→'=0; v→'≠0 Variedad de dimensión m-1.

τ→'=0; v→'=0; α=0 Intersección igual a la variedad.

τ→'=0; v→'=0; α≠0 Intersección en el infinito.

3.04.- Casos particulares.

Cuando la variedad secante es un plano, y éste es

ortogonal a un versor b→, tendremos σ→0 = b

→⊗b→, y en tal caso se demuestra que τ→' es nulo si, y sólo si, se verifica una de las dos condiciones siguientes:

10. (∃λ; λ escalar): τ→ = λ(b→⊗b→)

20. b→∈ Im τ→; τ→-1(b

→⊗b→)=0; Dim Im τ→ = 2

3.05.- Observaciones sobre la ecuación de la intersección entre cuádrica y variedad lineal, y sobre proyecciones en general.

La ecuación obtenida para la cuádrica intersección

16

en el subespacio de la variedad, no utiliza los datos τ→, v→ y α del espacio E n-dimensional sino las proyecciones τ→', v→' y α en el subespacio m-dimensional de la variedad,

Partiendo de τ→, v→ y σ→, sólo si para el cálculo de τ→' y v→' utilizamos una base de E de n vectores, tal que contenga a una base de Nuc σ→ obtendremos unos resultados en que aparecerán como nulos los coeficientes de los elementos base ajenos a Nuc σ→ y al suprimirlos nos quedarán sólo los coeficientes que interesan para caracterizar el vector o tensor en el subespacio de la variedad.

De no hacerlo así, sólo se podrán considerar los resultados desde el punto de vista n-dimensional, y entonces, como veremos más adelante, desde este aspecto la ecuación obtenida corresponde a una cuádrica, que consiste en un cilindro que tiene por eje Im σ→ y por sección recta la intersección en cuestión.

La mejor base a considerar para los problemas numéricos es la ortonormal consistente en la reunión de una base ortonormal de Nuc σ→ y una base ortonormal de Im σ→.

Para este texto, las consideraciones anteriores no constituirán un obstáculo ya que su objeto principal es un estudio coherente de las propiedades de las cuádricas y los problemas numéricos quedan como ilustraciones de las mismas.

3.06.- Ejemplo de aplicación.

El método aquí utilizado en la anterior demostración no

siempre será el más práctico para alcanzar resultados numéricos. De todas maneras y para mayor claridad vamos a poner un ejemplo de aplicación.

Sean en un espacio tridimensional un plano y una cuádrica de las siguientes características en base ortonormal:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

1

1

2

= }v{ ;

11-0

1-12

021

= }{ ;

200

000

000

= }{rrr τσ

Vamos a calcular I

→-σ→0. La primera invariante de σ→

(traza) es δ1=2 y las demás son nulas. σ→3-2σ→2 = 0 ⇒ σ→-2σ→0 = 0 ⇔ σ→0 = 2σ→

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

000

010

001

= }-I{ ;

100

000

000

= }{ 00 σσ rrr

Los coeficientes buscados serán:

17

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

000

012

021

=

000

010

001

11-0

1-12

021

000

010

001

= }’{τr

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

0

1

2

=

1

1

2

000

010

001

= }’v{r

Como al elegir ejes coordenados hemos cuidado de tomar

OZ en la dirección Im σ→, la ecuación en el subespacio Nuc σ→ es:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

1

2 = }’v{ ;

12

21 = }’{

rrτ

De no haberlo hecho así, tendríamos que haber efectuado

un posterior cambio de ejes para adaptarlos a las direcciones de la variedad.

19

B.- ELEMENTOS CARACTERISTICOS

1. Centros. Variedad central.

1.01.- Definición.

Centro de simetría de una cuádrica de ecuación (4) τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 es todo punto real c→ tal que para todo x→ solución de la ecuación se verifica que 2c→-x→ es otra solución de la misma ecuación.

Esto equivale a decir que si para algún vector a→ real o imaginario, c→+a→ es solución de la cuádrica, lo será también el simétrico c→-a→. Pues se verifica: 2c→ -(c→+a→) = c→-a→

Variedad central C es el l.g. de los centros.

1.02.- TEOREMA 1.- Una cuádrica tiene algún centro si y sólo si se verifica v→∈ Im τ→. En tal caso la variedad central es la variedad lineal de ecuación τ→x→+v→ =0.

Pues si existe un punto c→ que responda a la definición, podemos tomarlo como origen, con lo cual la ecuación (4) pasará a ser, la (2) con c→ en lugar de a→, ó sea: τ→(x→'⊗x→') + 2(τ→c→+v→)x→' + [τ→(c→⊗c→) + 2v→c→ + α] = 0 y si c→ es centro, para toda solución x→' deberá existir otra solución -x→' ó sea que la condición necesaria y suficiente para que c→ sea un centro, es que se verifique: (τ→c→+v→)x→' = 0 para x→' igual a toda solución de la ecuación de la cuádrica.

Pero el subespacio de dimensión minima que comprende a todas las soluciones reales o imaginarias de una ecuación de segundo grado es la totalidad del espacio, y por consiguiente, la condición necesaria y suficiente para que c→ sea centro consiste en: τ→c→+v→ = 0→ ó sea que c→ sea una solución de la ecuación τ→x→+v→=0→, que por tanto será la ecuación de la variedad central.

La condición necesaria y suficiente para que exista algún centro se deduce inmediatamente de la anterior y es

20

v→∈ Im τ→

1.03.- Consecuencia del teorema anterior es que todas las cuádricas imaginarias son centradas así como las impropias.

Para las cuádricas impropias vemos además que coinciden cuádrica y variedad central.

1.04.- Otra consecuencia es que, cuando existe, la variedad central tiene por expresión: (5) C = -τ→-1v→ + Nuc τ→ y es mutuamente paralela al subespacio Nuc τ→.

1.05.- La ecuación general (4) de una cuádrica cuando es centrada y se refiera a un centro, puede escribirse así: (6) τ→(x→⊗x→) + α - τ→-1(v→⊗v→) = 0

Pues por una parte por ser c→ punto de C tendremos: τ→c→+v→=0. y por otra parte, verificándose τ→(c→⊗c→) + 2v→c→ = (τ→c→)c→ + v→c→ + v→c→ = (τ→c→+v→)c→ + v→c→ = v→c→ y siendo v→ ortogonal a Nuc τ→ y c→∈C punto de C, resulta: v→c→ = -v→(τ→-1v→) = -τ→-1(v→⊗v→)

Sustituyendo los valores hallados en la ecuación (4) referida a un centro hallamos efectivamente la ecuación (6).

1.06.- TEOREMA 2.- La intersección de una cuádrica centrada con una variedad secante a su variedad central, es una cuádrica centrada.

Por definición de centro, lo serán los puntos comunes de variedad secante con variedad central de la cuádrica.

1.07.- Si el coeficiente vectorial v→ de la ecuación de una cuádrica es nulo, ésta tendrá variedad central, pues 0→∈Im τ→, y en virtud de '1.04 será C=Nuc τ→.

21

2.-Cilindros.

2.01.- Definiciones.

Sea una cuádrica de ecuación (4) y sea A el subespacio

ortogonal a v→ y m la dimensión de Nuc τ→ ∩ A. A es un plano, excepto en el caso v→=0

→ pues entonces es todo el espacio.

Podemos clasificar a las cuádricas según sean los

valores de m correspondientes y así diremos que una cuádrica es un cilindro cuando m≥1, y que una cuádrica es simple cuando m=0.

Llamaremos generatriz cilíndrica G de un cilindro a toda variedad mutuamente paralela a Nuc τ→ ∩ A que contiene a un punto x→1 del cilindro. Por lo tanto, estas generatrices son variedades m-dimensionales. Expresión de la generatriz de x→1: (7) G = x→1 + A ∩ Nuc τ→

Sección recta de un cilindro es la intersección del cilindro con una variedad ortogonal suplementaria a Nuc τ→ ∩ A.

Para que no haya excepciones, en una cuádrica simple diremos que la generatriz cilíndrica de uno de sus puntos, es el mismo punto y que cualquier sección recta es la misma cuádrica.

2.02.- Las direcciones de A ∩ Nuc τ→ determinadas por la ecuación de una cuádrica, son invariantes con el punto de referencia.

Si a→ es un punto cualquiera y a→-b→ es una dirección

cualquiera de A ∩ Nuc τ→ tendremos τ→(a→-b→) = 0→ y v→(a→-b

→)=0.

Cambiando el origen al punto p→ tendremos en la nueva ecuación:

τ→' = τ→; v→' = τ→p→ + v→

Por tanto se verifica:

τ→'(a→-b→) = τ→(a→-b→) = 0→

v→'(a→-b→) = (τ→p→ +v→)(a→-b→) = (τ→p→)(a→-b→) + v→(a→-b→) =

= p→[τ→(a→-b→)] + v→(a→-b→) = 0 + 0 = 0

2.03,- Si se trata de una cuádrica centrada, se tiene v→

∈Im τ→, lo que es condición para que se verifique A ⊃ Nuc τ→ y, por lo tanto, también lo es para que Nuc τ→ ∩ A = Nuc τ→. Por tanto, en este caso podemos sustituir en las definiciones anteriores, Nuc τ→ ∩ A por Nuc τ→.

Si se trata de una cuádrica sin centros, no ocurre todo esto, pues tendremos forzosamente v→∉Im τ→, así como Dim Nuc τ→ >0 y Nuc τ→ ⊄ A.

22

Como ahora v→ tiene una componente del Núc τ→, éste no está contenido todo en A sino solamente un subespacio de dimensión inferior en una unidad, y podremos escribir: m = Dim [Nuc τ→ ∩A] = [Dim Nuc τ→] - 1

2.04.- TEOREMA 3.- La ecuación de una cuádrica no varía con un cambio de origen si, y sólo si, es un cilindro y se traslada el origen paralelamente a las generatrices.

Pues la ecuación de la cuádrica referida al nuevo origen a→ es la (2), ó sea: τ→(x→'⊗x→') + 2(τ→a→ + v→)x→ + [τ→(a→⊗a→) + 2v→a→ + α] = 0 y para que la nueva ecuación sea igual a la primitiva, será necesario y suficiente que se verifiquen las dos condiciones siguientes: τ→a→ = 0→; v→a→ = 0 ⇔ a→∈Nuc τ→; a→∈A bastando la primera condición para que también se cumpla: τ→(a→⊗a→) = (τ→a→)a→ = 0

Las dos condiciones se resumen en una: a→ ∈ A ∩ Nuc τ→ correspondiente al traslado del origen, paralelamente a las generatrices de un cilindro.

2.05.- Consecuencias:

10 Las generatrices cilíndricas de un punto de la cuádrica, están contenidas en la cuádrica.

21 Una generatriz cilíndrica, lo es de todos sus puntos.

31 Todas las secciones rectas son iguales.

2.06.- Sección recta de un cilindro. Sean las siguientes ecuaciones de cilindro y secante: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 (m→∈Im σ→): σ→x→+m→ = 0 ⇔ (m→∈Im σ→): x→ = -σ→-1m→ + Nuc σ→

Para obtener una sección recta, Nuc σ→ deberá ser ortogonal y suplementario a A ∩ Nuc τ→, y por tanto la condición es: (8) A ∩ Nuc τ→ = Im σ→ puesto que por hipótesis σ→ y τ→ son tensores simétricos.

23

2.06.- TEOREMA 4.- La sección recta de un cilindro es,

en su espacio, una cuádrica simple de ecuación igual a la del cilindro. La sección recta es centrada si y sólo si el cilindro es centrado.

a) Sean las ecuaciones de cilindro y secante, las que acabamos de considerar, y sea σ→0 el tensor unidad del subespacio Im σ→. Recordaremos que se verifica: Nuc σ→ = Nuc σ→0 = Im (I

→-σ→0)

Im σ→ = Im σ→0 = Nuc (I

→-σ→0)

Teniendo esto en cuenta, de la condición (8) anterior

deduce: Nuc τ→ ⊃ Im σ→ ⇔ Nuc τ→ ⊃ Nuc (I→-σ→0) y esta condición coincide con la de que una variedad de coeficiente I

→-σ→0 sea paralela a una variedad de coeficiente τ→. Al

estudiar las variedades lineales hemos visto que esta condición se expresa así: (I

→-σ→0)∗τ→ = τ→∗(I→-σ→0) = τ→

y por tanto, teniéndola en cuenta al aplicar la fórmula de la proyección τ→' de τ→ sobre la sección recta obtendremos: τ→' = (I→-σ→0)∗τ→∗(I→-σ→0) = τ→

Por otra parte, de (8) también se deduce que se debe verificar A ⊃ Im σ→, y por consiguiente, para los subespacios ortogonales y suplementarios de A y de Im σ→, que son v→ y Nuc σ→ se habrá de verificar: v→∈Nuc σ→ ⇔ v→∈Im(I→-τ→0) y en consecuencia; v→' = (I

→-σ→0)v→ = v→

b) La sección recta es centrada si y sólo si lo es el

cilindro, pues la condición de existir algún centro en una cuádrica es que el coeficiente vectorial de la ecuación pertenezca a la imagen del coeficiente tensorial y aquí con τ→'=τ→ y v→'=v→ se verifica: v→∈τ→ ⇔ v→'∈ Im τ→'

c) La sección recta es una cuádrica simple.

Llamemos (Nuc τ→')n y A'n a Nuc τ→' y A' cuando los consideremos en el espacio total y no exclusivamente en el espacio de la variedad secante. Tendremos:

24

Nuc τ→' = (Nuc τ→')n ∩ Nuc σ→ = Nuc τ→ ∩ Nuc σ→ A' = A'n ∩ Nuc σ

→ = A ∩ Nuc σ→ y por consiguiente, de acuerdo con (8): Nuc τ→'∩ A' = Nuc τ→ ∩ A ∩ Nuc σ→ = Im σ→ ∩ Nuc σ→ = 0→

2.07.- TEOREMA 5.- Sea la intersección de la cuádrica de ecuación τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 con una variedad de coeficiente tensorial σ→, y sea A es el subespacio total ortogonal a v→. Una condición suficiente para que la intersección sea un cilindro, es que se verifique: Dim [A ∩ Nuc τ→ ∩ Nuc σ→] ≥ 1

Es decir, cuando la intersección de una secante con una generatriz cilíndrica de la cuádrica, es una variedad lineal de dimensión igual o mayor que uno, la intersección con la cuádrica es un cilindro.

a) Siempre se verifican estas dos ecuaciones:

10. Nuc τ→ ∩ Nuc σ→ ⊂ (Nuc τ→')n 20. A ∩ Nuc σ→ ⊂ A'n

La primera puesto que:

x→∈[Nuc τ→ ∩ Nuc σ→] ⇔ τ→x→ = 0; (I→-σ→0)x→ = x→ y por tanto:

τ→'x→ = [(I→-σ→0)∗τ→∗(I→-σ→0)]x→ = 0 ⇔ x→∈ (Nuc τ→')n

Y la segunda, por verificarse: x→∈[A∩ Nuc σ→] ⇔ v→x→ = 0; (I

→-σ→0)x→ = x→ ⇒

⇔ v→[(I

→-σ→0)x→] =v→x→ = 0 ⇔ 0 = [(I

→-σ→0)v→]x→ = v→'x→ ⇒ x→∈A'n

De las dos ecuaciones se deduce inmediatamente:

Nuc τ→ ∩ A ∩ Nuc σ→ ⊂ (Nuc τ→')n ∩ A'n ⇒ Nuc τ→ ∩ A ∩ Nuc σ→ ⊂ (Nuc τ→')n ∩ A'n ∩ Nuc σ→ ⇒ y como se verifica: Nuc τ→' = (Nuc τ→')n ∩ Nuc σ→ A' = A'n ∩ Nuc σ→ y por consiguiente: Nuc τ→' ∩ A' = (Nuc τ→')n ∩ A'n ∩ Nuc σ→

25

al sustituir este valor, obtenemos: Nuc τ→ ∩ A ∩ Nuc σ→ ⊂ Nuc τ→' ∩ A'

Por consiguiente, dado que siempre se verifica la igualdad anterior, si se cumple la condición del enunciado, tendremos Dim [Nuc τ→' ∩ A'] ≥ 1 y la sección será un cilindro.

2.08.- La condición anterior es suficiente pero no necesaria. Sea por ejemplo el cono ordinario del espacio geométrico tridimensional.

Las generatrices cilíndricas son puntos, su intersección con el plano tangente en el punto es este punto, pero la intersección de cono y tangente es una recta y por tanto asimilable a un cilindro.

2.09.- TEOREMA 6.- La variedad central de una cuádrica centrada simple es un punto, y de un cilindro centrado es una variedad mutuamente paralela a las generatrices cilíndricas.

Se deduce fácilmente al conocer que en una cuádrica centrada se verifica:

Nuc τ→ ∩ A = Nuc τ→

C = -τ→-1v→ + Nuc τ→

2.10.- Consecuencia de los teoremas 5 y 6: Si la intersección de una variedad con la variedad central de un cilindro es de dimensión 1 ó mayor, la sección de la cuádrica es un cilindro.

26

3.- Conos.


Denominamos cono a toda cuádrica centrada que contiene

a su variedad central, y vértice del cono V a esta variedad central C.

Por lo tanto los conos son cuádricas reales.

3.02.- TEOREMA 7.- Para que una cuádrica sea cono, basta que contenga un centro.

Pues si un punto c→ de la variedad central C pertenece a la cuádrica, también pertenecerá C a la misma, por ser la generatriz cilíndrica del punto c→ ('2.05-11).

3.03.- TEOREMA 8.- Una cuádrica, de ecuación general τ→(x→⊗x→) + 2v→x + α = 0, es un cono si y sólo si se verifica: 11. v→∈ Im τ→; 21. α-τ→-1(v→⊗v→) = 0

La condición primera es la necesaria y suficiente para que la cuádrica sea centrada y si se cumple, como la ecuación general de una cuádrica centrada con origen en un centro es la (6) ó sea: τ→(x→⊗x→) + α - τ→-1(v→⊗v→) = 0 la cuádrica será cono si y sólo si x→=0

→ es una solución, ó sea, si

se verifica la condición 20.


a) Todas las cuádricas impropias cumplen las condiciones de conicidad. Son los conos impropios.

b) Un cono es propio si y sólo si τ→ ><0, es decir, τ→ tiene valores propios de signos distintos.

c) La ecuación general de un cono referida a un punto cualquiera de su vértice es: τ→(x→⊗x→) = 0

3,05.- TEOREMA 9.- Si una cuádrica es un cono, su vértice está contenido en la variedad de ecuación v→x→+α =0.

Pues la ecuación general de una cuádrica es: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 ⇔ (τ→x→+v→)x→ + v→x→+α = 0 y si la cuádrica es un cono, los puntos del vértice, por ser de la variedad central, anularán al paréntesis, y por ser del cono habrán de anular además a v→x→+α.

27

3.06.- Consecuencia.

Para cualquier punto c→ del vértice de un cono, se

verificará: v→c→ = - τ→-1(v→⊗v→)

3.07.- Llamamos generatriz cónica de un punto x→1 del cono no perteneciente a su vértice, a la variedad de dimensión 1 + Dim (Nuc τ→) que contiene a x→1 y al vértice V=C.

Para c→ punto del vértice, se podrá expresar como la reunión de puntos de las rectas que unen x→1 con cada punto del vértice, de la siguiente manera: G' =∪k [kx

→1 + (1-k)C] =∪k [kx

→1 + (1-k)c

→] + Nuc τ→

3.08.- Consecuencias de la definición:

a) La generatriz cónica de un punto de un cono contiene a su generatriz cilíndrica. Pues esta última, resulta de considerar solamente el valor k=1 en la expresión anterior.

b) La generatriz cónica está contenida en el cono, pues tomando como origen un punto del vértice, las ecuaciones de generatriz cónica y cono son, respectivamente: G' = ∪k (kx

→1 + Nuc τ

→); τ→(x→⊗x→) = 0; y todos los puntos de G' satisfacen evidentemente a la ecuación del cono.

c) La generatriz cónica es común para todos sus puntos no pertenecientes al vértice.

3.09.- TEOREMA 10.- La intersección de un cono por una variedad lineal que corta al vértice, es también un cono.

Pues sabemos por '1.06, que los puntos del vértice contenidos en la variedad secante son centros de la cuádrica intersección y también sabemos que pertenecen a la intersección por pertenecer al cono.

28

4.- Advertencia.

De no avisar lo contrario, en lo sucesivo, siempre

consideraremos como ecuación general de una cuádrica a la expresión siguiente: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 y representaremos por A el subespacio ortogonal y suplementario de v→.

5.- Variedades diametrales. Diámetros.

5.01.- Definición.

Llamaremos variedades diametrales D de una cuádrica a las variedades lineales de dimensión mayor que cero, que verifican las siguientes condiciones:

a) Cuádrica centrada. Contienen un punto central: D ∩ C ≠ Ø

Cuando contiene a todos los puntos de C, ó sea D ⊇ C, y su dimensión es 1 + Dim Nuc τ→, diremos que es un diámetro, que conteniendo un punto a→ exterior a C, podrá expresarse así: (9) D =∪k [ka

→ +(1-k)C] = (∃c→C): ∪k [ka→ + (1-k)c→] + Nuc τ→

b) Cuádrica sin centros.

Llamando A al subespacio ortogonal y suplementario de v→

, diremos de una variedad D que es una variedad diametral de la cuádrica si y sólo si contiene alguna dirección que pertenece a Nuc τ→ y no pertenece a Nuc τ→ ∩ A.

Siendo ED el subespacio mutuamente paralelo a D, podremos expresar esta condición así: (10) ED ∩ Nuc τ→ _ A ∩ Nuc τ→

Y si contiene a todas sus direcciones, y su dimensión es Dim Nuc τ→, diremos que D es un diámetro de la cuádrica, y se podrá expresar también de esta manera: (11) D = a→ + Nuc τ→ y cumple la condición, pues en las cuádricas sin centros, la dimensión de A ∩ Nuc τ→ es Dim Nuc τ→ - 1.

5.02.- Si consideramos a una cuádrica sin centros como teniendo por variedad central a la intersección de Nuc τ→ con el plano del infinito, coinciden las expresiones (9) y (11), al tomar en (11) como valor de k, únicamente el valor 1. Puede verse

29

también que entonces las expresiones halladas para las variedades diametrales en general, también resultan equivalentes.

5.03.- TEOREMA 11.- Sea una cuádrica sin centros y un plano de ecuación b

→x→+β= 0.

El plano es un plano diametral de la cuádrica si y sólo

si se verifica: (∀k): v→ - kb→ ∉ Im τ→

Recordaremos que si A y B son subespacios y A'y B' son respectivamente los subespacios ortogonales y suplementarios de los anteriores, se verifica: A ⊆ B ⇒ A' ⊇ B' (A∩B)' = A'+B'

Por consiguiente, llamando B al subespacio de los vectores kb→ y V al subespacio de dirección v→, tendremos ED= B' y la condición (10) para que el plano sea diametral, queda así: B'∩ Nuc τ→ _ A ∩ Nuc τ→ ⇔ B + Im τ→ _ V + Im τ→

Como ahora v→∉Im τ→ (y por tanto también v→≠0→), pues por hipótesis la cuádrica no tiene centros, el componente de v→ en Nuc τ→ no puede ser nulo y la condición se verificará si y sólo si el componente de b

→ en Nuc τ→ es nulo o de distinta dirección que

la del componente de v→ en Nuc τ→.

Puede comprobarse fácilmente que la expresión:

⇔ (∀k): v→ - kb→ ∉ Im τ→ que queríamos demostrar, traduce exactamente la condición deducida para que el plano de ecuación b

→x→+β=0 sea un plano

diametral de una cuádrica sin centros.

30

6.- Polares.

6.01.- Definición.

Llamaremos polar de un punto p→ respecto a una cuádrica

X de la que conocemos su ecuación general, a la variedad de ecuación: (τ→p→ + v→)x→ + v→p→ + α = 0

6.02.- La polar de un punto respecto a una cuádrica es un invariante respecto al punto y cuádrica dados, pues tomando un nuevo punto a→ de referencia, tendremos: x→ = x→'+a→; p→ = p→'+a→; τ→=τ→'; v→'=τ→a→+v→); α' = τ→(a→⊗a→)+2v→a→+α y la ecuación de la variedad pasará a ser: 0 = [τ→(p→'+a→)+v→](x→'+a→) + v→(p→'+a→) + α = = (τ→p→'+τ→a→+v→)x→' + (τ→p→')a→ + τ→(a→⊗a→) + v→α→ + v→p→' + v→a→ + α = = (τ→p→'+τ→a→+v→)x→' + (τ→a→+v→)p→' + τ→(a→⊗a→) + 2v→a→ + α = = (τ→p→' + v→')x→' + v→'p→' + α'

6.03.- De la expresión de la polar se deduce:

0 v+prrrr

><τ ⇔ p→ no es centro y la polar es un plano.

⎪⎭

⎪⎬⎫

0 = +pv

0 = v+prrr

rrrr

α

τ ⇔ p→ es centro de un cono y la polar es E.

⎪⎭

⎪⎬⎫

>< 0 +pv

0 = v+prrr

rrrr

α

τ⇔ p→ es centro de un no cono y no hay polar.

En este último caso decimos que la polar es el plano

del infinito.

La polar del origen tiene evidentemente por ecuación: v→x→ + α = 0

6.04.- Las generatrices cilíndricas de una cuádrica, son paralelas a toda polar.

Pues si s→ es un punto de la polar de p→, A es el subespacio ortogonal a v→ y n→ es cualquier punto de A ∩ Nuc τ→, es fácil ver que el vector s→+n→ satisface a la ecuación de la polar de p→.

6.05.- La polar de un punto p→ de la cuádrica es común a

31

todos los puntos de su generatriz cilíndrica y si p→ no es de la cuádrica, es común a todos los puntos de la variedad mutuamente paralela a las generatrices cilíndricas que lo contiene.

Pues para todo a→∈ Nuc τ→ ∩ A se verifica: 0 = [τ→(p→+a→)+v→]x→ + v→(p→+a→) + α = (τ→p→+v→)x→ + v→p→ + α

6.06.- TEOREMA 12.- Si m→ pertenece a la polar de p→, p→ pertenece a la polar de m→:

m→∈ polar de p→ ⇔ (τ→p→ + v→)m→ + v→p→ + α = 0 ⇔ ⇔ (τ→p→)m→ + v→m→ + v→p + α = 0 ⇔ (τ→m→)p→ + v→m→ + v→p→ + α = 0 ⇔ ⇔ (τ→m→ + v→)p→ + v→m→ + α = 0 ⇔ p→∈ polar de m→


10. Puesto que todo centro de un cono tiene por polar todo el espacio, toda polar respecto a un cono contiene al vértice.

20. Puesto que todo centro de un no cono carece de polar, la intersección de cualquier polar de un no cono con la variedad central si existe, es vacía.

30. Como resumen de las dos consecuencias anteriores, podemos decir que toda cuádrica centrada tiene la variedad central paralela a todas las polares y que si y sólo si la cuádrica centrada es un cono, la variedad central pertenece a las polares.

6.08.- TEOREMA 13.- Sean un punto , una cuádrica X, la polar P del punto respecto a la cuádrica y una variedad secante S que contiene al punto.

Siempre que la intersección X∩S es una cuádrica, en el espacio de la variedad se verifica que la polar del punto respecto a la cuádrica X∩S es P∩S.

Cuando la intersección X∩S es una variedad de dimensión inferior a la dimensión de S, P∩S también lo es y ambas son mutuamente paralelas.

Y cuando X∩S es todo el espacio E ó bien es Ø, lo mismo sucede con P∩S.

Escribamos las ecuaciones referidas a un punto de la variedad secante y sea p→ el punto en cuestión.

Espacio original Espacio de la variedad Cuádrica: τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α= 0 Intersección: τ→'(x→⊗x→)+2v→'x→+α = 0 Polar: (τ→p→+v→)x→+v→p→+α= 0 Intersección: (τ→'p→+v→')x→+p→v→'+α=0

32

Vemos que para τ→'≠0→, la ecuación de la intersección de la polar con la variedad, es la de la polar de p→ en el espacio de la variedad secante.

Para τ→'=0→; v→'≠0→, las ecuaciones son las de dos planos paralelos del espacio de S.

Para τ→'=0→; v→'=0; α≠0, las ecuaciones no tienen solución.

Y para τ→'=0→; v→'=0; α=0, las dos intersecciones coinciden y son todo el espacio de S,

6.09.- TEOREMA 14.- Sea una cuádrica, la polar de un punto cualquiera respecto a la misma y una recta secante a la cuádrica que contiene al punto.

Sobre esta recta se verifica, que el segmento entre las dos intersecciones con la cuádrica queda dividido armónicamente por el segmento entre el punto y la intersección con la polar.

Tomando el punto como origen y considerarando un versor m→ con la dirección de la recta, las distancias λ1 y λ2 del punto a las intersecciones con la cuádrica serán las soluciones de la ecuación:

λ2τ→(m→⊗m→) +2λv→m→ + α = 0 ⎩⎨⎧

⊗⊗

)mm()+(- = mv2

)mm( =

21

21rrrrr

rrr

τλλτλλα

y la intersección con la polar, estará a una distancia µ tal que

µv→m→ + α = 0 ⇔ mv

- = rrαµ

Y por lo tanto:

λλλλµ21

21

+2

= ⇔ (λ1+λ2)µ = 2λ1λ2 ⇔ λ1µ-λ1λ2 = λ1λ2-λ2µ ⇔

⇔ λ1(µ-λ2) = -λ2(µ-λ1) ⇔ λµλµ

λλ

2

1

2

1

--

- =

33

7. Tangentes.

7.01.- Definición.

Llamamos tangente a una cuádrica en uno de sus puntos,

a la polar del punto respecto a la cuádrica.

En consecuencia, las tangentes son planos, a excepción de las tangentes a puntos del vértice de un cono, pues entonces ocupan todo el espacio.

Para una cuádrica de ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0, la ecuación de la tangente en su punto x→' será pues: (τ→x→'+v→)x→ + v→x→' + α = 0 y podemos ver fácilmente que también puede expresarse en las dos formas que siguen: (τ→x→+v→)x→' + v→x→ + α = 0; (τ→x→'+v→)(x→-x→') = 0

7.02.- TEOREMA 15.- Si y sólo si un punto pertenece a su polar, el punto pertenece a la cuádrica, es decir, la polar es la tangente a la cuádrica por el punto.

La ecuación de la cuádrica puede expresarse por (τ→x→+v→)x→ + v→x→ + α = 0 y evidentemente un punto p→ pertenece a la cuádrica si y sólo si la ecuación de la polar de p→ se verifica para x→=p→.

7.03.- Consecuencias de los teoremas anteriores:

11. El l.g. de los puntos de la cuádrica cuyas tangentes tienen un punto común, es la intersección de la cuádrica con la polar del punto.

20. Todo punto que tiene por polar una tangente dada, estará en todas las polares de sus puntos y entre ellas la del punto de tangencia y por consiguiente pertenecerá a esta tangente y será a su vez otro punto de tangencia de la misma. Por consiguiente, el l.g. de los puntos cuya polar es una tangente dada, coincide con el l.g. de sus puntos de tangencia.

30. Tomando como origen un punto del vértice de un cono, como la ecuación del cono es τ→(x→⊗x→)=0, la ecuación de la tangente en un punto x→1 del cono no perteneciente al vértice, es: (τ→x→1)x

→=0. Por tanto la tangente es común a todos los puntos de la generatriz cónica de x→1, y la generatriz es el l.g. de los puntos de tangencia.

40. Sean la tangente T a una cuádrica X por uno de sus puntos y una variedad m-dimensional S secante a la cuádrica X por este mismo punto. Tomando como origen un punto de S y aplicando

34

el teorema 13 con p→ como punto de tangencia, al considerar los coeficientes de la ecuación de la cuádrica y sus proyecciones sobre S, tendremos:

a) τ→'≠0→.- La intersección S∩X es una cuádrica, el punto pertenece a la misma y, en el espacio de S, la tangente a S∩X por tal punto es S∩T.

b) τ→'=0→, v→≠0→ .- S∩X es un plano del espacio S y coincide con S∩T.

c) τ→'=0→, v→=0→; α≠0 .- S∩X y S∩T son vacíos.

d) τ→'=0→, v→=0→; α=0 .- S∩X lo mismo que S∩T ocupan todo el espacio S.

7.04.- TEOREMA 16.- La intersección entre una cuádrica y una de sus tangentes planas, es un cono cuyo vértice es el conjunto de sus puntos de tangencia.

Podemos situarnos en '7.03-30, y como ahora tenemos por hipótesis S=T y que S es un plano, esto elimina que nos hallemos en los casos b) y c) y condiciona los casos a) y d) posibles.

En el caso a) la intersección X∩S es una cuádrica, y la secante S que contiene al punto de tangencia es la misma tangente T. La tangente en tal punto a la cuádrica intersección es T∩S, que ocupa todo S=T. Por consiguiente ('6.03), la cuádrica intersección es un cono, y el punto pertenece a su vértice, al igual que los demás posibles puntos de tangencia.

En el caso d) la intersección X∩S es el subespacio T y más adelante veremos que esto exige que la cuádrica consista en dos planos paralelos, un plano doble ó dos planos secantes, también de acuerdo con el enunciado del teorema.

7.05.- TEOREMA 17.- La tangente plana en el punto x→' de una cuádrica y la cuádrica, tienden a confundirse cuando nos acercamos indefinidamente a x→'.

Pues en tal punto, cuádrica y tangente tienen igual ecuación diferencial. Ec. diferencial plano tangente: 0 = (τ→x→+v→)dx→ Ec. diferencial cuádrica. 0 =τ→[x→'+dx→)⊗(x→'+dx→)]+2v→(x→'+dx→)+α=

τ→[(x→'⊗x→') + 2(x→'⊗dx→)+(dx→⊗dx→)]+ 2v→x→' + 2v→dx→ + α =

2(τ→x→')dx→ + 2v→dx→ + τ→(dx→⊗dx→) ⇒ 2(τ→x→'+v→)dx→ = 0 (pues siendo la tangente plana, tendremos τ→x→'+v→ ≠ 0 y por tanto el término τ→(dx→⊗dx→) es despreciable frente a los demás)

35

8.- Normal.

8.01.- Definición.

Llamamos normal a una cuádrica en su punto x→', a la

recta ortogonal a la tangente plana de dicho punto.

Por lo tanto, tendrán normal todos los puntos de una cuádrica que no sean vértices de un cono.

La dirección de la normal en x→' es pues la de τ→x→' + v→ ya que hemos visto que una expresión de la ecuación de la tangente es: (τ→x→'+v→)(x-x→') = 0

La ecuación paramétrica de la normal es: X = {x→/x→ = x→' + λ(τ→x→'+v→); λ escalar}

8.02.- Consecuencia. Dada la ecuación de una cuádrica referida a uno de sus puntos, la dirección de la normal en este punto origen, es la del coeficiente v→.

9.- Polares de puntos del infinito.

9.01.- Generalidades.

Dada una cuádrica por su ecuación general, vamos a examinar como varía la polar de un punto p→ cualquiera cuando lo desplazamos tanto como se quiera en una dirección a→.

Para ello consideraremos la ecuación de la polar de un punto genérico p→+ka→, que es: [τ→(p→+ka→) + v→]x→ + v→(p→+ka→) + α = 0 con k tan grande como se quiera y observaremos lo que ocurre en los distintos casos.

Cuando para una dirección a→, la anterior expresión tiene un valor límite independiente de p→ al crecer k tanto como se quiera, diremos que tal expresión es la ecuación de la polar del punto del infinito de dirección a→.

Veremos que esto ocurre si, y sólo si, la dirección a→ no es de Nuc τ→.

a) τ→a→=0→; v→a→=0; ⇔ a→∈ Nuc τ→ ∩ A (La dirección de a→ es de las generatrices cilíndricas).

La ecuación puede simplificarse y queda en:

36

(τ→p→+v→)x→ + v→p→ + α = 0 ó sea que al desplazarse el punto en dirección a→, se mantiene el mismo valor inicial de su polar.

No existe pues un límite y por lo tanto carece de sentido hablar de polar del punto del infinito de dirección a→.

b) τ→a→=0→, v→a→≠0; ⇔ Cuádrica sin centros y a→ de dirección diametral.

Ecuación: (τ→p→+v→)x→ + v→(p→+ka→) + α = 0 y los puntos solución, si existen, tienden a alejarse infinitamente al crecer k infinitamente. No hay polar del punto del infinito de dirección a→.

c) τ→a→≠0→.

Ecuación (τ→p→ + kτ→a→ + v→)x→ + v→p→ + ka→v→ + α = 0

Límite: (τ→a→)x→ + a→v→ = 0 ⇔ (τ→x→+v→)a→ = 0

Como la expresión límite es independiente de p→, hay una polar del punto del infinito de dirección a→ y es un plano. Su ecuación es esta expresión límite.

9.02.- Definición.

Dada una cuádrica por su ecuación general, llamamos polar del punto del infinito de dirección a→ respecto a la cuádrica, a la variedad de expresión: (12) 0 = (τ→a→)x→ + v→a→ = (τ→x→+v→)a→ si y sólo si a→ verifica τ→a→≠0→, es decir, a→∉ Nuc τ→.

9.03.- TEOREMA 18. Dada la polar del punto del infinito de dirección a→, la de la dirección a→+n→ con n→∈ Nuc τ→ será la misma si la cuádrica es centrada y mutuamente paralela si no es centrada.

Se deduce fácilmente de la ecuación de la polar: 0 = [τ→(a→+n→)]x→ + v→(a→+n→)

C. centrada: 0 = (τ→a→)x→ + v→a→ C. sin centros: 0 = (τ→a→)x→ + v→a→ + v→n→

9.04.- TEOREMA 19. Cualquier polar de un punto del

infinito, respecto a una cuádrica, contiene a su variedad central si existe.

Puesto que para toda dirección a→ posible, la ecuación de la polar del punto del infinito se satisface con las

37

soluciones de la ecuación τ→x→+v→=0→ que corresponde a la variedad central si existe,

9.05.- Veremos más adelante la definición y propiedades del eje de una cuádrica sin centros y adelantaremos aquí que es una variedad lineal de ecuación τ→x→+ v→i=0. Consideraremos también que v→i y v

→n son los componentes ortogonales del coeficiente v

→ en Im τ→ y Nuc τ→ respectivamente.

9.06.- TEOREMA 20. Dada una cuádrica sin centros, el eje de la cuádrica es paralelo a toda polar de un punto del infinito y cuando para la dirección a→ se verifique a→v→n=0, estará contenido en la polar.

Efectivamente. La ecuación de la polar puede escribirse así: (τ→x→+v→i+v

→n)a→ = 0 ⇔ (τ→x→+v→i)a

→ + v→na→ = 0

y vemos que cuando v→na

→=0, todos los puntos del eje verifican esta ecuación. Por consiguiente el eje está contenido en la polar.

Cuando v→na→≠0, como por hipótesis a→∉ Nuc τ→, siempre

habrá un vector w→ de Im τ→, tal que v→na→ = w→a→ y entonces la

ecuación de la polar puede escribirse así: (τ→x→ + v→i + w

→)a→ = 0 y por tanto los puntos de la variedad de ecuación τ→x→ + v→i + w

→ = 0 pertenecerán a la polar. Pero como esta variedad es mutuamente paralela al eje de la cuádrica, queda demostrado que el eje es paralelo a toda polar de un punto del infinito.

9.07.- TEOREMA 21. Sea una cuádrica y un plano de ecuación b

→x→+β=0. Si y sólo si b pertenece a Im τ→ el plano será

paralelo ó coincidirá con la polar de algún punto del infinito.

Pues esta es la condición para que podamos escribir b→=τ→

a→ para alguna dirección a→ no perteneciente a Nuc τ→ y τ→a→ es entonces el coeficiente de la ecuación de la polar del punto del infinito de la dirección a→.

38

10.- Puntos del infinito de una cuádrica. Asíntotas.


Dada una cuádrica de ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x+α=0, adoptemos

una nueva referencia p→ y llamemos ka→ al nuevo vector de posición de los puntos de la cuádrica. La nueva ecuación de la misma será: τ→(ka→⊗ka→) + 2(τ→p→+v→)ka→ + τ→(p→⊗p→) + 2v→p→ + α = 0 ⇔

0 = k

+pv2+)pp( +

ka)v+p2(

+ )aa(2

ατττrrrrrrrrr

rrr ⊗⊗

Al dar a k valores tan grandes como se quiera, las

direcciones a→ de las soluciones ó puntos de la cuádrica tendrán como límite las direcciones de las soluciones de la ecuación: (13) τ→(a→⊗a→) = 0 que es independiente del origen p→ elegido.


Diremos que las direcciones de los puntos del infinito de la cuádrica son las de las soluciones de la ecuación anterior, siempre que no pertenezcan a Nuc τ→, ó sea que admitan polar.

Llamamos asíntotas de una cuádrica a las polares de sus puntos del infinito, que a su vez también se denominan tangentes a la cuádrica en sus puntos del infinito.

10.03.- Ecuación de las asíntotas.

Sabemos que la ecuación general de la polar de un punto del infinito de dirección a→, es la siguiente: 0 = (τ→a→)x→ + v→a→ y por tanto, cuando a→ sea una solución de τ→(x→⊗x→)=0 también será la ecuación de la asíntota correspondiente a la dirección a→ de un punto del infinito de la cuádrica.

10.02.- Consecuencias.

10.- Si y sólo si τ→><0, es decir, cuando τ→ tiene valores propios de signos distintos, y la cuádrica es forzosamente propia, tiene puntos en el infinito y por lo tanto asíntotas.

20.- Como cuando la cuádrica es un cono, su ecuación, referida a un punto del vértice, coincide con la ecuación (13), las direcciones de los puntos del infinito de un cono pertenecen a las generatrices cónicas.

30.- Sabemos por '7.03-30, que la tangente a un punto que no

39

pertenece al vértice, es común a todos los puntos de su generatriz cónica sea cual sea su distancia al vértice.

Por consiguiente las asíntotas de un cono coinciden con la tangente a la generatriz cónica correspondiente a la dirección del punto de tangencia del infinito.

10.03. TEOREMA 22. Sea una cuádrica y b→x→+β=0 la ecuación de un plano. Este plano será una asíntota de la cuádrica o una paralela a una asíntota, si y sólo si se verifica: b

→∈ Im τ→; τ→-1(b→⊗b→)= 0

Pues sólo podemos escribir b

→=τ→a→ para algún a→∉ Nuc τ→ si

y sólo si b→∈ Im τ→, y como para que a→ sea una dirección de punto

del infinito de la cuádrica será necesario y suficiente que sea una solución de la ecuación τ→(a→⊗a→)=0, bastará demostrar que esta ecuación es equivalente a la ecuación τ→-1(b

→⊗b→)=0 para b→∈ Im τ→.

Efectivamente, se verifica: τ→-1(b

→⊗b→) = τ→-1(τ→a→⊗τ→a→)= (τ→0a→)(τ→a→) = a→[τ→0(τ→a→)] = a→(τ→a→) =

= τ→(a→⊗a→)

40

11.-Polos y variedad polo de un plano.

11.01.- Definición.

Llamamos polo de un plano respecto a una cuádrica

propia, a todo punto cuya polar es el plano ó contiene al plano.

Llamamos variedad polo de un plano, al l,g. de sus polos.

11.02.- Dada una cuádrica y un plano B conocidos por sus ecuaciones:

Plano B: b→x→ + β = 0

Cuádrica: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 vamos estudiar la determinación de la variedad polo, ó l.g. de los puntos cuya polar respecto a la cuádrica es el plano dado.

11.03.- Bases para el cálculo.

10. Tendremos en cuenta que la ecuación de la polar de un punto p→ respecto a la cuádrica es: Polar de p→: (τ→p→ + v→)x→ + v→p→ + α = 0 y nos basaremos en que para que la ecuación del plano sea equivalente a la de la polar de un punto p→, se habrá de verificar que el vector p→ sea solución del sistema:

⎩⎨⎧

)ª2 (Ecuación + xv = k

)ª1 (Ecuación v + x = bk

αβτrr

rrrr

para algún valor de la constante escalar k.

21.- Toda solución x→ de la 10 ecuación, según sabemos por el estudio de las variedades lineales, si existe, tiene por expresión general: (14) x→ = τ→-1(kb→-v→) + n→ en que n→ es cualquier vector de Nuc τ→.

30.- Las soluciones del sistema son las soluciones de la 10 ecuación que sustituídas en la 20 ecuación la transforman en identidad. El resultado de la sustitución es: kβ = v→[τ→-1(kb→-v→) + n→] + α ⇔ (15) ⇔ kβ = kb→(τ→-1v→) - τ→-1(v→⊗v→) + v→n→ + α y esta ecuación (15) establece las relaciones necesarias y suficientes entre los valores k y n→ que figuran en (14), para que

41

una solución x→ de la 10 ecuación sea solución del sistema.

11.04.- Proceso del cálculo.

11. Hallar los valores de k correspondientes a las soluciones de la ecuación 10, o sea los valores de k admisibles para ensayar en la segunda ecuación.

Esta ecuación, es la de una variedad lineal, y recordando el estudio de estas variedades es fácil ver que los valores admisibles para k son los siguientes:

a) Cuádrica con centros (v→∈ Im τ→).

b→∈ Im τ→: Todos los valores de k son admisibles. b→∉ Im τ→: Sólo es admisible el valor k=0.

b) Cuádrica sin centros (v→∉ Im τ→). (Ver '5.03).

B diametral: Ningún valor de k es admisible. B no diametral: Un solo valor de k admisible, y

este valor no es nulo.

21. Utilizar la ecuación (15) para determinar definitivamente los pares {k,n→} que la convierten en identidad, y que son los que convierten la expresión (14) en la expresión de las soluciones del sistema y por tanto del problema. 11.05.- Cuadro de los casos a estudiar.

Cuádrica centrada cónica ⎩⎨⎧

⊄⊂

B C

B C

Cuádrica centrada no cónica ⎩⎨⎧

∅∩∅≠∩ = CB

diametral) (Plano CB

Cuádrica sin centros ⎩⎨⎧

diametral no Plano

diametral Plano

Desarrollaremos seguidamente cada caso, y tendremos en

cuenta que todo punto se puede considerar como una variedad lineal paralela a cualquier otra variedad lineal ó incluida en ella.

11.06.- Cono. B⊃C.

Como hay centro, tenemos v→∈ Im τ→, y como C es mutuamente paralela a Nuc τ→, tenemos b→∈ Im τ→ y por consiguiente la primera ecuación admite cualquier valor de k.

En la segunda ecuación, como -τ→-1v→ es un punto c→ de la variedad central y por tratarse de un cono se verifica:

42

v→n→ = 0; α-τ→-1(v→⊗v→)=0 la condición (15) queda en: kβ = -kb→c→ ⇔ k(b

→c→+β) = 0

que para B⊃C se verifica también para todo n→, y también para todo k, pues el paréntesis es nulo.

La expresión de la variedad polo es pues en este caso:

τττττrrrrrrrrr Nuc + v - bk = Nuc + )v-b(k = P -1-1

k-1

k ∪∪

C + bk = P -1k

rrτ∪

11.07.- Cono. C⊄B.

En un cono siempre tenemos v→∈ Im τ→.

Si C es paralelo a B, tendremos b→∈ Im τ→ y la 10 ecuación admite todo valor de k.

Pero ahora la ecuación (15) para un cono, hallada en el último párrafo, si bien se cumple para cualquier n→, como ahora nunca se anulará b

→c→+β, exige el valor k=0.

Si C no es paralelo a B, tendremos b

→∉ Im τ→, y la 10 ecuación sólo admite el valor k=0.

La ecuación (15) sigue admitiendo todo n→, y también admite k=0.

En ambos casos la variedad polo resulta ser: P = C

11.08.- Cuádrica centrada no cónica; B∩C≠Ø.

Tendremos v→∈ Im τ→; v→n→=0 y la condición (15) queda de esta manera: (c→=-τ→-1v→): k(b

→c→+β) = α - τ→-1(v→⊗v→)

a) Si B⊃C, se tiene b→∈ Im τ→ y la 10 ecuación admite

cuelquier valor de k, y la ecuación (15) cualquier n→. Pero como ningún valor finito de k verifica la ecuación (15) anterior, pues el primer miembro siempre es nulo por verificarse b

→c→+β=0, y el

segundo miembro no se anula nunca porque ahora la cuádrica no es un cono, no existe variedad polo.

No obstante, y sólo para el caso B⊃C, podríamos considerar k=∞ y entonces la variedad polo sería el conjunto de puntos del infinito en direcciones τ→-1b

→+ Núc τ→, y estaríamos en un caso límite de '11.09.

b) Si C⊄B, se verificará b→∉ Im τ→, y la primera ecuación

43

sólo admite k=0. Como este valor solo anula al primer miembro de (15) y hemos visto que el segundo no es nulo, no se verifica la condición.

No existe ningún polo ni por tanto, variedad polo.

11.09.- Cuádrica centrada no cónica. B∩C=Ø. Se tendrá v→∈ Im τ→; v→n→=0 y la condición (15) queda como en el caso anterior.

Ahora C es paralelo a B y por tanto b→∈ Im τ→, con lo que

la 10 ecuación admite todo valor de k.

Pero ahora, si bien es admisible cualquier n→, con k no sucede lo mismo, pues no se puede anular ni el 11 ni el segundo miembro de (15) con ningún valor de k, y por lo tanto queda determinado un único valor para k:

0 )v(b - )vv( -

= k1-

-1

≠⊗rrrrrr

τβτα

La variedad polo es pues:

P = τ→-1(kb

→-v→) + Nuc τ→ = kτ→-1b

→ - τ→-1v→ + Nuc τ→ = kτ→-1b

→ + C

en cuya expresión k tiene el valor hallado.

11.10.- Cuádrica sin centros; B diametral.

No hay polos puesto que la ecuación 10 no tiene solución para ningún valor de k.

No obstante, en el caso b→∈ Im τ→ podría considerarse un

valor infinito para k. En tal caso, la variedad polo sería una paralela a las generatrices cilíndricas trazada por un punto del infinito correspondiente a la dirección τ→-1b

→+n→, siendo n→ un vector

del núcleo de τ→, es decir, llamando A al subespacio ortogonal a v→, el conjunto de puntos del infinito correspondientes a las direcciones τ→-1b

→+n→+ A ∩ Nuc τ→. Es una situación límite del caso

que sigue.

11.11.- Cuádrica sin centros; B no diametral.

Como se tiene b→∉ Im τ→; v→∉ Im τ→, la primera ecuación

determina un valor único de k por la relación v→n-kb→n = 0.

Este valor, que no es nulo, es válido para (15) y esta

ecuación nos determina el conjunto de vectores n→ de Nuc τ→ que denominaremos N admisible, mediante el sistema siguiente:

⎩⎨⎧

∈⇔

⎩⎨⎧

∈ τβατ

ταττβ

rr

rrrrrr

rr

rrrrrrrr

Nuc n

0 =k-+)v-b)(kv(+nv

Nuc n

+nv+)v(v-)v(bk=k -1-1-1

Resulta N una variedad mutuamente paralela a A ∩ Nuc τ→,

siendo A el subespacio ortogonal a v→.

44

11.12.- Observaciones.

11.- Si entre los planos considerados, incluyésemos el

plano del infinito, tendríamos como variedad polo respecto a las cuádricas centradas, su variedad central, y respecto a las no centradas no habría polos

21.- Todos los polos tienen polares planas, excepto los puntos del vértice de un cono respecto al mismo, cuya polar es todo el espacio.

31.- Cuadro resumen de los tipos de variedad polo respecto a cuádricas propias:

a) Cuádricas centradas (existe variedad central C).

10.- Cono; B⊇C: C + bk = P -1k

rrτ∪ 21.- Cono; C⊄B: P=C

30.- No cono; B∩C=∅: P = kτ→-1b

→ + C

b) Cuádricas no centradas.

40.- B no diametral. P = kτ→-1b

→ - τ→-1v→ + N

No existen polos para los siguientes casos: Cuádricas centradas no conos con B∩C≠∅ y cuádricas sin centros con B diametral.

11.13.- TEOREMA 23. Las generatrices cilíndricas de una

cuádrica propia son paralelas a las variedades polo si existen.

Pues las variedades polo contienen todas las direcciones de las generatrices cilíndricas y tienen la misma dimensión que ellas, excepto las del tipo 11, que serían generatrices cónicas si contuvieran un punto no central del cono, y tienen una dimensión más.

Las expresiones de P hacen evidente el teorema. 11.14.- Señalemos una propiedad de τ→ ó τ→-1 simétricos,

alguna de cuyas aplicaciones veremos en los próximos párrafos. τ→-1({τ→a→} ⊗ {τ→a→'}) = [τ→-1(τ→a→)](τ→a→') = (τ→0a→)(τ→a→') = [τ→0(τ→a→')]a→ = (τ→a→')a→ = τ→(a→⊗a→') ⇔ τ→({τ→-1b

→} ⊗ {τ→-1b

→'}) = τ→-1(b

→⊗b→')

11.15.- Conos mutuamente ortogonales.

Dos conos son mutuamente ortogonales si al ser τ→(x→⊗x→)=0 la ecuación del uno, la ecuación del otro es τ→-1(x→⊗x→)=0.

Puesto que (τ→-1)-1 = τ→ la ortogonalidad es recíproca y

45

dado que Nuc τ→ = Nuc τ→-1, los conos ortogonales tienen la misma variedad central. Por otra parte, las ecuaciones utilizadas en la definición se refieren evidentemente a un punto origen de esta variedad central común.

11.16.- Propiedad característica: Si el cono A' es el ortogonal al cono A, el conjunto de direcciones de sus generatrices cónicas, coincide con el conjunto de direcciones normales al cono A.

Pues de '11.14 deducimos: τ→-1[(τ→a→)⊗(τ→a→)]=0 ⇔ τ→(a→⊗a→)=0 τ→-1(b

→⊗b→)=0 ⇔ τ→[(τ→-1b→)⊗(τ→-1b

→)]=0

y por '8 sabemos que las normales al cono τ→(a→⊗a→)=0, tienen por dirección τ→a→ y las del cono de ecuación τ→-1(b

→⊗b→)=0, son de dirección τ→-1b→.

11.17.- Consecuencia del párrafo anterior es que el polo del primer tipo señalado en '11.12 y correspondiente a un cono con B⊇C, de ecuación τ→(x→⊗x→)=0, es una generatriz cilíndrica de este cono, y por tanto τ→-1b→ es una solución de su ecuación, si y sólo si b→ es un punto del cono de ecuación τ→-1(x→⊗x→)=0, ó sea si y sólo si b→ verifica τ→-1(b

→⊗b→)=0.

Esta será también la condición para que exista un plano tangente al cono, que sea paralelo a B.

46

12.- Diámetros conjugados.

12.01.- Definición y características.

Sea una cuádrica propia de ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0 y

cualquier plano ortogonal a b→, del que diremos que es un plano de

dirección plana B.

Llamaremos diámetro conjugado a B a la variedad: D = {x→/τ→x→+v→=kb→; k escalar} siempre que existan puntos para k≠0. En caso contrario, diremos que B no tiene diámetro conjugado.

Para los valores de k que hagan kb→-v→∈ Im τ→, y siempre que alguno de ellos no sea nulo, podremos expresar D en las formas siguientes:

(16) D=Uk τ→-1(kb

→-v→) + Nuc τ→ =Uk kτ→

-1b→ - τ→-1v→ + Nuc τ→

Vemos que Nuc τ→ siempre es paralelo a D, y que siempre

que existan D y variedad central C, tendremos D≠C y D⊃C, y por tanto Dim D = 1 + Dim Nuc τ→.

En las cuádricas sin centros, k no admite más de un valor, y entonces éste no es nulo. Si existe, también existirá D y tendremos Dim D = Dim Nuc τ→. Por tanto en las cuádricas sin centros, D y Nuc τ→ son mutuamente paralelos.

12.02.- La ecuación que figura en la expresión que define el diámetro conjugado a una dirección plana B, es la misma que la primera ecuación del sistema resolutorio de los puntos polos de un plano B, que figura en '11.03-11.

Por consiguiente habrá diámetro conjugado a la dirección B si y sólo si para aquella ecuación hay algún valor de k admisible, no nulo. Este problema aparece resuelto en '11.04-11 y por tanto podremos decir que existen diámetros conjugados sólo en las siguientes casos:

11. Cuádrica con centros: Para v→,b→ ∈ Im τ→, ó sea C

paralelo a B (B⊇C ó B∩C=∅). Cualquier valor de k sirve.

21. Cuádrica sin centros: Para B no diametral. Hay un valor único de k.

31. Cuádrica sin centros: Para B diametral,no hay diámetros conjugados. No obstante, si admitimos k=∞ ('11.10), podemos considerar el caso si y sólo si se verifica b

→∈ Im τ→.

12.03.- Teniendo en cuenta el análisis de '11.06 y siguientes, vamos a comprobar que la expresión adoptada para los diámetros conjugados D, aplicada a los existentes según el

47

párrafo anterior, corresponde a la expresión de un diámetro.

Veamos los casos 10, 20 y 30 de dicho párrafo.

11. Si existe D expresemos su valor a partir de (16) en función de uno de sus puntos d

→:

d

→ = τ→-1b

→ - τ→-1v→ + n→1

y de n→1∈ Nuc τ

→ y k1=1 (cualquier valor de k sirve). Tendremos: kn→1+Nucτ

→ = Nuc τ→ = (1-k) Nuc τ→; τ→-1b→ = d

→ + τ→-1v→ - n→1

y sustituyendo en (16):

D =Uk [kd→ + (1-k)(-τ→-1v→) + (1-k)Nuc τ→] =

=Uk [kd→ + (1-k)(-τ→-1v→ - Nuc τ→)] =Uk [kd

→ + (1-k)C]

21. Hay un valor de k único. Expresando D igual que antes, en función de su punto d

→:

d

→ = kτ→-1b

→ - τ→-1v→ + n→1

y sustituyendo en (16), tendremos: D = d

→ - n→1 + Nuc τ

→ = d→ + Nuc τ→.

31. Tomando k infinitamente grande, el diámetro D

estará en el infinito con sus puntos en las direcciones de τ→-1b→+ Nuc τ→.

12.04.- TEOREMA 24. Si existe el diámetro D conjugado a

B, D es la reunión de todas las variedades polo de los planos paralelos a B con la variedad central C, si existe.

De acuerdo con '11.06 y siguientes, para cada caso resulta, en efecto:

a) Cono; C paralelo a B.

El diámetro conjugado a la dirección plana B. coincide con el polo P de B cuando B contiene a C, puesto que P incluye a C que es el polo común a las demás posiciones paralelas de B.

P =Uk τ→-1b→ - τ→-1v→ + Nuc τ→ = D (con D⊃C)

b) Cuádrica no cono, con centros; C paralelo a B.

Con B en la posición B⊇C no hay polo. Para las demás

posiciones tenemos B∩C =∅, y el polo tiene la siguiente forma: Pk = kτ

→-1b→ - τ→-1v→ + Nuc τ→

Y como k recorre todos los escalares cuando B se mueve

paralelamente a sí mismo, tendremos:

48

Uk Pk = Uk kτ→-1b→ - τ→-1v→ + Nuc τ→ = D

Para k=0 (B en el infinito), resulta P0= C.

c) Cuádrica sin centros; B no diametral.

Tenemos

PN = kτ

→-1b→ - τ→-1v→ + N

con k función de b→, y como al moverse B paralelamente a sí mismo, N recorre todo Nuc τ→,se tendrá:

PNNU = τ→-1b→ - τ→-1v→ + Nuc τ→ = D

12.05.- TEOREMA 25. Si no existe diámetro conjugado correspondiente a B, la expresión D es la de la variedad central C si existe, y si tampoco C existe, es el subespacio vacío.

Si no existe diámetro conjugado correspondiente a B, la expresión de D no tiene ningún valor de k admisible y entonces D=∅, ó bien solo admite el valor k=0 y la expresión de D queda así: D = {x→/τ→x→ + v→ = 0} y entonces su valor es C si existe, y si no existe C, es ∅.

12.06.- TEOREMA 26. Sea una cuádrica de ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0 y un punto x→1 del diámetro de la cuádrica conjugado a B siempre expresable por x→1=τ

→-1(k1b→-v→)+n1.

Este punto pertenecerá a la cuádrica si y sólo si los

valores k1 y n1, que verifican la ecuación del diámetro conjugado, verifican a su vez la siguiente relación: k1

2τ→-1(b→⊗b→) + 2v→n→1 + α - τ

→-1(v→⊗v→) = 0

Efectivamente. Vamos a sustituir en cada término de la ecuación de cuádrica, x→ por x→1, y con '11.14 obtendremos:

τ→(x→1⊗x→1) = τ

→{[τ→-1(k1b→-v→) +n→1]⊗[τ→-1(k1b

→-v→) + n→1]} =

= τ→{[τ→-1(k1b

→-v→)]⊗[τ→-1(k1b

→-v→)]} =τ→-1[(k1b

→-v→)⊗(k1b

→-v→) ] =

= k1

2τ→-1(b→⊗b→) - 2k1τ

→-1(b→⊗v→) + τ→-1(v→⊗v→)

2v→x→1 = 2v→[τ→-1(k1b

→-v→)+ n→1] = 2k1τ

→-1(b→⊗v→) -2τ→-1(v→⊗v→) +2v→n→1

Sustituyendo los términos en la ecuación, obtenemos:

(17) k1

2τ→-1(b→⊗b→) + 2v→n→1 + α - τ

→-1(v→⊗v→) = 0

49

y esta es pues la condición para que en la expresión del diámetro conjugado, los valores de k1 admisible según '12.02, y de n→1 correspondan a puntos de la intersección cuádrica-diámetro conjugado.

12.07.- TEOREMA 27. Las intersecciones no centrales entre una cuádrica y un diámetro conjugado a B, son las variedades polo de las tangentes paralelas a B.

Pues por ser puntos de la cuádrica son polos de sus tangentes y por ser puntos del diámetro son polos de planos paralelos a B ('12.03).

12.08.- Consecuencia. Las intersecciones no centrales entre una cuádrica y un diámetro conjugado a B, son generatrices cónicas si la cuádrica es un cono, ó generatrices cilíndricas cuando no lo es. Pues existe paralelismo por '11.13 y pertenecen a la cuádrica.

12.09.- TEOREMA 28.- La intersección de una variedad diametral conjugada con la cuádrica es:

a) Cono.- Es el vértice ó una generatriz cónica. En este último caso, la generatriz coincide con el diámetro.

b) Cuádrica centrada no cónica.- Si existe intersección, es un par de generatrices cilíndricas (ó puntos en las cuádricas simples).

c) Cuádrica sin centros.- Es una generatriz cilíndrica (un punto en las cuádricas simples).

Lo comprobaremos a continuación.

12.10.- Vamos a ver la forma de las intersecciones en cada caso.

a) Cono; C paralelo a B.

Como α-τ→-1(b→⊗b→) = 0, n1∈ Nuc τ

→ y v→∈ Im τ→, la condición (17) de intersección se reduce a: k1

2τ→-1(b→⊗b→) = 0

que sólo afecta al valor de k, quedando admisible todo n→.

a1) τ→-1(b→⊗b→)=0.- El valor de k1 puede ser cualquiera. Para x

→1

perteneciente a la intersección, ésta será, según '11.17 y '12.02-11:

D =Uk [kx→1 + (1-k)C] = Generatriz cónica de x

→1

a2) τ→-1(b

→⊗b→)≠0.- El valor de k1 ahora deberá ser nulo y laintersección es C (polo común de B y sus paralelos).

50

b) Cuádrica centrada no cónica; C paralelo a B.

Como n→1∈ Nuc τ

→ y v→∈ Im τ→, la condición (17) es: k1

2τ→-1(b→⊗b→) = -[α - τ→-1(v→⊗v→)] ≠ 0

que sólo afecta al valor de k, quedando admisible todo n→.

b1) τ→-1(b→⊗b→) ≠ 0.- Habrá dos valores de k ó ninguno según

sea τ→-1(b→⊗b→) de distinto o igual signo que α - τ→-1(v→⊗v→).

Las intersecciones, si existen, son 2 generatrices cilíndricas.

b2) τ→-1(b→⊗b→) = 0.- No existe solución. A base de considerar un valor infinito para k, hay una solución única con intersección en el infinito (solución asintótica).

c) Cuádrica sin centros; B no diametral.

Tendremos v→∉ Im τ→, b→∉ Im τ→, k tiene un valor único

determinado por v→ y b→, y la condición (17) nos permite determinar

los valores de n→1. Siempre hay solución, y si una de ellas es n→,

el conjunto será N = n→ + A∩Nuc τ→.

La intersección con la cuádrica será: (18) k(τ→-1b

→) - τ→-1v→ + n→ + A ∩ Nuc τ→

ó sea la generatriz cilíndrica de x→1= k(τ

→-1b→) - τ→-1v→ + n→

d) Cuádrica sin centros; B diametral.

Tendremos kb

→-v→ ∉ Im τ→ para todo escalar k, y por tanto

no hay diámetro conjugado.

No obstante, para b→∈ Im τ→ y k infinitamente grande,

podemos admitir que tiende a verificarse kb→-v→ ∈ Im τ→ y que

entonces hay un diámetro conjugado en el infinito, de ecuación D=kτ→-1b

→ + Nuc τ→, con sus puntos en las direcciones de

τ→-1b→ + Nuc τ→.

Para tales planos B, resulta como condición de

intersección de D con la cuádrica, la siguiente: τ→-1(b

→⊗b→) = 0

Si se cumple, podríamos decir que la intersección entre D y la cuádrica (en el infinito) es D, ya que entonces las direcciones τ→-1b

→ + Nuc τ→ de los puntos de D, son de puntos del

infinito de la cuádrica:

(n→∈ Nuc τ→): τ→[(τ→-1b→+n→)⊗(τ→-1b

→+n→)]=τ→(τ→-1b

→⊗τ→-1b→) =

= τ→-1(b

→⊗b→) = 0

51

12.11.- Vamos a estudiar en qué condiciones el diámetro D conjugado a una dirección plana B resulta paralelo a B, es decir, que si B es un plano de esa dirección, tengamos D⊂B ó D∩B=∅.

La condición de paralelismo será que b→ sea ortogonal a cualquier dirección de D, cuya dimensión mínima es uno, de acuerdo con su definición.

a) Cuádrica centrada; C paralelo a B.

Sean x→1,x→

2 ∈D: x→1= k1τ

→-1b→ - τ→-1v→ + n1 x→2= k2τ

→-1b→ - τ→-1v→ + n2 y por tanto una dirección de D es: x→2-x

→1 = (k2-k1)τ

→-1b→ + n→3

La condición de paralelismo será: 0 = b→[(k2-k1)τ

→-1b→ + n→3] = (k2-k1)τ

→-1(b→⊗b→) + b→n→3

para todo escalar k1 y k2 y todo n

→3∈ Nuc τ

→, que puesto que se tiene b∈ Im τ→ podremos expresar así: τ→-1(b

→⊗b→) = 0 ⇒ τ→><0. b) Cuádrica sin centros; B no diametral.

Seguiremos el proceso anterior con k1=k2, con lo que la

condición de paralelismo es b→n→3=0 ó sea b

→∈ Im τ→, que nunca se verifica.

c) Cuádrica sin centros; B diametral; b→∈ Im τ→.

Sólo podríamos considerar valores de k infinitamente

grandes, con lo que la condición de paralelismo resulta ser: τ→-1(b

→⊗b→) = 0 con el diámetro conjugado en el infinito que para fragmentos finitos se puede considerar entonces como paralelo a B.

12.12.- Intersecciones entre una cuádrica P de ecuación normal (τ→ no nulo)), y un plano B ortogonal a un versor b→.

Utilizaremos en los cálculos, el tensor τ→' y el vector v→' ó proyecciones ortogonales de τ→ y v→ respectivamente sobre B, así como la variedad lineal X siguiente: X = {x→/τ→x→+v→=kb→; k escalar} que coincide con el diámetro D de P conjugado a la dirección plana B, cuando éste existe. Si no existe D . es la variedad central C y si tampoco existe C, es el subespacio vacío.

52

12.13.- TEOREMA 29. Para τ→'≠0→ la variedad central C' de la intersección P∩B es X∩B.

Efectivamente. Teniendo en cuenta que el coeficiente tensorial τ→1

0 de la ecuación de B es b→⊗b→ y por tanto:

Im τ→1 = bkkr

U y refiriéndonos a un punto de B, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

(P) τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0 ⇒ (P∩B) τ→'(x→⊗x→)+2v'x→+α = 0

(X) {x→/τ→x→+v→=kb→; k esc.}⇒ (X∩B) {x→/τ→'x→+v→=0} y evidentemente la expresión de X∩B es la de la ecuación de la variedad central C' de P∩B.

Por consiguiente, si X∩B no es vacío, P∩B es una cuádrica centrada y si es vacío, P∩B es una cuádrica sin centros.

12.14.- Para τ→'=0 sucede lo siguiente:

a) Sólo hay 5 tipos de cuádrica de los que figuran en la nomenclatura que más tarde expondremos en C'2, con proyecciones τ→'=0→ sobre algún plano B, y su descripción se completa con la de la posición relativa de estos planos, que se deducirá en el próximo párrafo '12.15.

Del examen de las dos condiciones alternativas de A'3.04 para tener τ→'=0→, y de la clave de la nomenclatura, deducimos:

Condición 1: τ→ = λ(b→⊗b→) ⇒ p=n-1; s=1.

11. Dos planos paralelos a B. 21. Sección recta parabólica y B diametral (B ⊃ Nuc τ→).

Condición 2: b

→∈Im τ→: τ→-1(b→⊗b→)=0; Dim Im τ→=2]

τ→=>< [ τ→ coef. ec. cono ('3.04b)]; p=n-2: ⇒ s=1

31. Sección recta hiperbólica. B asintótico ó paralelo. 41. Cono de 2 planos secantes. B un plano ó paralelo. 51. Sección recta paraboloide hiperbólico. B asintótico.

b) Otras características (A'3.03) de las cuádricas

anteriores en relación a v→:

Como para tener v→'=0 es preciso y suficiente que v→ y b→

tengan igual dirección, esto ocurrirá siempre en el caso 11 y no ocurrirá nunca en los casos 21 y 51.

11 a. B es uno de los planos. . v→'=0→; α=0

b. B paralelo. . . . . . . . v→'=0→; α≠0

53

21 . . . . . . . . . . . . . . v→'≠0→ 30 a. B asintótico. . . . . . . v→'=0

→; α≠0

b. B paralelo. . . . . . . . v→'≠0→ 41 a. B es uno de los planos. . v→'=0

→; α=0

b. B es paralelo . . . . . . v→'≠0→ 51 . . . . . . . . . . . . . . v→'≠0→

12.15.- A continuación examinaremos las características

de la intersección de los distintos planos B ortogonales a un versor b

→, con una cuádrica P, y examinaremos también la

posibilidad de que alguno de estos planos sea un plano tangente.

Partiremos para ello, como en '12.10, de las siguientes ecuaciones de plano, cuádrica y variedad lineal:

B Plano: b→x→ + β = 0

P Cuádrica: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 X Variedad: {x→/τ→x→+v→=kb→; k escalar}

Tendremos también en cuenta, que los planos tangentes

paralelos a B, son las intersecciones del diámetro conjugado a B con la cuádrica, y en general todas las propiedades y teoremas anteriormente reseñados.

a) Cuádricas con centro; C no paralelo a B.

No hay diámetro conjugado ni, por tanto, tangentes paralelas a B. Tendremos τ→'≠0→, X=C, y las secciones son centradas (X∩B≠∅).

b) Cuádricas con centro; C paralelo a B.

Siempre existe diámetro conjugado (X=D).

b1) Cono; τ→-1(b→⊗b→)≠0.

No hay tangentes paralelas a B, pues la intersección

entre diámetro conjugado y cuádrica, es la variedad central C del cono.

Tenemos τ→'≠0→, y las intersecciones P∩B son centradas, puesto que X∩B≠∅ por no ser D paralelo a B.

b2) Cono; τ→-1(b→⊗b→)=0.

Como el diámetro conjugado D corta a la cuádrica según

una generatriz cónica que coincide con D, habrá una tangente paralela a B, y esta generatriz será la variedad central de la intersección cuádrica-tangente. Tenemos D paralelo a B.

Para τ→'≠0→, las intersecciones de los planos paralelos a B con la cuádrica son ó bien centradas cuando D⊂B y entonces D∩B=D (B tangente) ó bien no centradas cuando D∩B=∅.

Para τ→'=0→ (planos secantes), si v→'≠0→ la intersección es una variedad lineal (n-2)-dimensional y si v→'=0 entonces

54

tendremos α=0 (puesto que v→ y b→ tendrán igual dirección y por tanto τ→-1(v→⊗v→)=0, y por tratarse de un cono, α valdrá lo mismo), y en consecuencia la intersección es B.

Como B es un plano, la intersección es uno de los dos planos secantes (que coincide con la tangente paralela a B).

b3) No cono; τ→-1(b→⊗b→)≠0.

D no es paralelo a B.

Para τ→'≠0→, las intersecciones serán centradas, pues

X∩B≠∅. Para τ→-1(b→⊗b→) de igual signo que α-τ→-1(v→⊗v→), D corta a la

cuádrica en dos intersecciones y habrá dos tangentes paralelas a B. Si es de distinto signo, D no corta a la cuádrica y no hay tangentes paralelas a B.

Cuando τ→'=0→ (planos paralelos entre sí), también tendremos v→'=0

→. No habrá intersección para α≠0 y coincidirá con B

para α=0, y entonces será también uno de los planos paralelos.

b4) No cono; τ→-1(b→⊗b→)=0.

Tendremos D paralelo a B. La intersección de D con la

cuádrica está en el infinito y por tanto hay una asíntota paralela a B.

τ→'≠0→.- Para D∩B=∅, B no es tangente y la intersección de B y cuádrica no es centrada. Para D⊂B ó sea D∩B=D, B es tangente asintótica y la intersección con la cuádrica tiene por centro D.

τ→'=0→.- Cuádrica con sección recta hiperbólica.

Para v→'≠0→, la intersección de B con la cuádrica es una variedad lineal de dimensión n-2. Al no ser B una asíntota, será pues un plano paralelo a una asíntota.

Para v→'=0→ (ó sea v→ y b→ en igual dirección), tendremos

τ→-1(v→⊗v→)=0 y α no puede anularse, puesto que ello exigiría que la cuádrica fuera un cono. Por lo tanto, la intersección de B con la cuádrica está en el infinito y B es tangente asintótica. B contiene a C, puesto que la ecuación de B respecto uno de sus puntos se satisface por los puntos centrales: b

→(τ→-1v→+ Nuc τ→) = b→(τ→-1v→) = λb→(τ→-1b

→) = λτ→-1(b

→⊗b→) = 0

c) Cuádricas sin centro; B no diametral.

Siempre hay diámetro conjugado y no es paralelo a B. Siempre corta a la cuádrica y por tanto hay una tangente paralela a B.

En todos los casos τ→'≠0→ y por consiguiente las secciones de la cuádrica por planos paralelos a B son todas centradas (D∩B≠∅).

55

d) Cuádricas sin centro. B diametral.

d1) b

→∉ Im τ→.

No hay diámetro conjugado a B y tenemos τ→'≠0→. Por consiguiente X=∅, no existen tangentes paralelas a B y las intersecciones de los planos paralelos a B con la cuádrica no son centradas (X∩B=∅).

d2) b→∈ Im τ→; τ→-1(b

→⊗b→) ≠0.

No hay diámetro conjugado a B, y supuesto en el infinito, no es paralelo a B. No hay tangentes (ni asíntotas).

Para τ→'≠0→ las intersecciones de los planos paralelos a B con la cuádrica son cuádricas no centradas (X∩B=∅, en términos finitos).

Para τ→'=0→ (Cuádrica de sección recta parabólica), tendremos v→'≠0→ y por tanto las intersecciones serán variedades lineales de n-2 dimensiones (planos de un espacio (n-1)-dimensional).

d3) b→∈ Im τ→; τ→-1(b

→⊗b→) =0.

No hay diámetro conjugado finito, aunque podemos suponerlo en el infinito, casi paralelo a B, con sus puntos en las direcciones de τ→-1b

→ + Nuc τ→. Todos los planos paralelos a B

cortan a D en puntos del infinito y son asíntotas, cuyas ecuaciones serán las de las polares de dichos puntos, o sea ('9.03): 0 = (τ→x→+v→)(τ→-1b

→ +n→) = (τ→x→)(τ→-1b

→) + v→(τ→-1b

→) + v→n→ =

= x→(τ→0b

→) + v→(τ→-1b

→) + v→n→ = b

→x→ + v→(τ→-1b

→) + v→n→

de manera que la distancia entre las asíntotas correspondientes a n→1 y n2 es: v→n→2 - v

→n→1 = v→(n→2-n

→1)

Para n→=0

→, la asíntota contiene a la variedad de

ecuación: τ→x→ + v→i = 0

→

siendo v→i la proyección ortogonal de v

→ sobre Im τ→, variedad que según veremos más adelante se denomina eje de la cuádrica: 0 = (τ→x→+v→)(τ→-1b

→) = (τ→x→+v→i)(τ

→-1b→)

Si tenemos τ→'≠0→, tendremos, en términos finitos,

D∩B=∅, y por tanto las intersecciones de la cuádrica con los planos B serán cuádricas sin centro.

56

Si tenemos τ→'=0→ (cuádrica con un paraboloide hipérbólico por sección recta), tendremos v→'≠0→ y por tanto, todas las intersecciones de las asíntotas B con la cuádrica, son variedades lineales de dimensión n-2.

12.16.- TEOREMA 30. Sea el punto x→1 de una cuádrica y a→

un vector de cualquier dirección del diámetro conjugado a la tangente en x→1. Si y sólo si la cuádrica es un cono ó no tiene centros, se verifica que x→1-a

→ pertenece a la polar de x→1+a→.

Tomando como origen el punto de la cuádrica, tenemos

las siguientes ecuaciones:

Cuádrica: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ = 0

Tangente en el origen: v→x→ = 0 ⇒ b→=v→; β=0

Diámetro conjugado: D =Uk kτ→-1v→ - τ→-1v +Nuc τ→

Punto del diámetro: a→ = (k1-1)τ

→-1v→ + n→1

La polar de este punto será: 0 = [τ→{(k1-1)τ

→-1v→ + n→1} + v→]x→ + v→{(k1-1)τ

→-1v→ + n→1} ⇔ 0 = [(k1-1)τ

→0v→ + v→]x→ + (k1-1)τ→-1(v→→⊗v→) + v→n→1

El punto -a→ pertenecerá a esta polar si y sólo si se verifica: 0 = -[(k1-1)τ

→0v→ + v→][(k1-1)τ→-1v→ + n→1] + (k1-1)τ

→-1(v→→⊗v→) + v→n→1 = = -(k1-1)

2τ→-1(v→⊗v→) -(k1-1)τ→-1(v→⊗v→) - v→n→1 +(k1-1)τ

→-1(v→⊗v→) +v→n→1 ⇔ -(k1-1)

2τ→-1(v→⊗v→) = 0 y esta ecuación sólo se verifica si k1= 1 es una solución de la ecuación kb→-v→∈ Im τ→ o bien, si τ→-1(v→⊗v→) = 0.

El primer caso corresponde a que la cuádrica no tenga centros:

b→= v→ ⇔ 1 =

bv = kn

n1

y como si no estamos en este caso tendremos v→∈ Im τ→, y además α por hipótesis es nulo, la segunda condición es equivalente a α-τ→-1(v→⊗v→) = 0 que la cumplen solamente los conos.

57

13.- Ejes.


Decimos que un diámetro conjugado a B es un eje de la

cuádrica, cuando es perpendicular a B. Es decir, cuando contiene a la dirección b

→ ortogonal a B.

13.02.- TEOREMA 31.- Una cuádrica centrada tiene por

ejes los diámetros conjugados a las direcciones planas B ortogonales a cada una de los vectores propios del coeficiente tensorial de la cuádrica no pertenecientes al núcleo.

Una cuádrica sin centros, tiene un solo eje, mutuamente paralelo al núcleo del coeficiente tensorial de la ecuación.

En efecto. Si existe diámetro conjugado a B (B de ecuación b

→x→+β=0) un punto cualquiera del mismo sabemos que

verifica la ecuación τ→x→1 + v

→ = k1b→

para cierto valor k1≠0 del escalar k. Si este diámetro conjugado es un eje, a él pertenecerán los puntos x→1 + λb

→, o sea que para

todo valor de λ habrá un escalar k2 que verificará la ecuación τ→x→1 + λτ

→b→ + v→ = k2b→

o lo que es lo mismo, que verifique la ecuación λτb→ = (k2-k1)b

→

obtenida restando miembro a miembro las dos anteriores.

Si la cuádrica es centrada, sabemos que debe verificarse b∈ Im τ→ y que k puede tomar cualquier valor y por lo tanto, la condición de eje es: b∈ Im τ→; b→ = vector propio de τ→

La ecuación paramétrica del eje será:

(λ escalar): E = C + br

U λλ y habrá tantos ejes como sea la dimensión de Im τ→.

Si la cuádrica es sin centros, tendremos forzosamente k2=k1 y la condición de eje es b

→∈ Nuc τ→. La ecuación (16) será: (19) E = -τ→-1v→ + Nuc τ→ ⇔ τ→x→ + v→i = 0

→

y habrá un eje único mutuamente paralelo a Nuc τ→.

13.03.- TEOREMA 32. Sea la cuádrica sin centros de

58

ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0. Su ecuación referida a cualquier punto a→=-τ→-1v→+n→1 del eje, correspondiente a n

→1∈ Nuc τ

→, es: (20) τ→(x→⊗x→) + 2v→nx

→ + α' = 0 con v→n común, que es la proyección ortogonal de v

→ en Nuc τ→ y α' = α - τ→-1(v→⊗v→) + 2 v→n→1 variable con el punto considerado como origen en el eje.

Puesto que v→' = τ→a→ + v→ = τ→(-τ→-1v→+ n→1) + v

→ = -τ→0v→ + v→ = v→ - v→i = v→n

α' = τ→(a→⊗a→)+2v→a→+α = τ→[(-τ→-1v→)⊗(-τ→-1v→)]+2v→(-τ→-1v→ + n→1) + α = = τ→-1(v→⊗v→) -2τ→-1(v→⊗v→) +2v→n→1+α = α -τ

→-1(v→⊗v→) + 2v→n→1

14.- Vértices.- Ejes reales e imaginarios.


Llamamos vértices de una cuádrica a las intersecciones reales con la misma, de sus ejes.

Llamamos ejes reales a los que tienen intersecciones reales con la cuádrica y ejes imaginarios a los que las tienen imaginarias.


De acuerdo con lo visto en '12.14, podemos establecer:

a) Cono.- Hay un vértice único, al que ya hemos llamado vértice del cono.

Puesto que b→∈ Im τ→ debe ser un vector propio de τ→,

tendremos τ→-1(b→⊗b→) ≠ 0 y el vértice es C.

b) Cuádrica centrada no cónica.- Hay dos vértices o

ninguno por eje.

c) Cuádrica sin centros.- Hay siempre un vértice, que es único.

Para este último caso, recordaremos de '13.02 que tenemos b∈ Nuc τ, lo que implica τ→-1b

→=0→ y τ→-1(b

→⊗b→)=0 y la ecuación (18) queda en: (21) V = -τ→-1v→ + n→ + A∩Nuc τ→ = -τ→-1v→ + N siendo N mutuamente paralelo a A∩Nuc τ→. También es N la solución del sistema:

59

(22) ⎩⎨⎧

∈⊗τ

ταrr

rrrrr

Nuc n

0 = )vv( - + nv2 -1

cuya primera ecuación es la (17) aplicada al caso que nos ocupa.

14.03.- Condición para que un eje de una cuádrica centrada no cono, sea real. Vamos a ver que consiste en que el valor propio correspondiente al vector propio, sea de signo opuesto al de α-τ→-1(v→⊗v→).

En '12.10-b1 hemos visto que la condición para que un diámetro conjugado a B corte a la cuádrica es: α-τ→-1(v→⊗v→) de signo opuesto a τ→-1(b

→⊗b→) y si aquí designamos por µ el valor propio correspondiente al vector propio b→, tendremos:

τ→-1(b→⊗b→) = (τ→-1b

→)b→ =

µµb = b

b 2rrr

(del signo de µ)

14.04.- Las ecuaciones de una cuádrica sin centros, de

su eje y la del plano tangente en el vértice, al tomar como referencia un punto del vértice se transforman de la manera siguiente:

Cuádrica: τ→(x→⊗x→) + 2v→nx→ = 0

Eje: E = Nuc τ→ Vértice V = N = A ∩ Nuc τ→ Tangente V. v→nx

→ = 0

Pues como el vértice pertenece al eje tendremos v→i=0→, y

como pertenece a la cuádrica será α=0 y por otra parte el sistema que define a N es N = {v→n→=0; n→ ∈ Nuc τ→}.

60

15.- Conos asintóticos.

15,01.- Definición.

Denominamos cono asintótico de una cuádrica, no cono,

de ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0, con v→i proyección ortogonal de v→ en

Im τ→, al cono de ecuación: τ→(x→⊗x→) + 2v→ix

→ + τ→-1(v→⊗v→) = 0 siempre y cuando el cono sea propio, ó sea ('3.04b) cuando τ→ tenga valores propios de signos opuestos.

Por consiguiente, una cuádrica tendrá cono asintótico si, y sólo si la cuádrica es real, propia y no cono, con τ→><0.

La ecuación anterior corresponde efectivamente a un cono pues verifica α=τ→-1(v→⊗v→)('3.03).

15.02.- TEOREMA 33. La intersección entre una cuádrica y su cono asintótico es vacía para las cuádricas centradas y coincide con la intersección de la cuádrica con su tangente en el vértice, para las cuádricas sin centros.

Efectivamente, para las cuádricas centradas tenemos v→=v→

i y comparando las ecuaciones es evidente que no hay punto común, pues por hipótesis la cuádrica no es un cono y por tanto α ≠ τ→-1(v→⊗v→)('3.03).

Para las cuádricas no centradas, refiriendo las ecuaciones a un punto del vértice de la cuádrica, la intersección será la solución del sistema

⎩⎨⎧

⊗⊗

0 = )xx(

0 = xv2+)xx( nrrr

rrrrr

ττ

⇔ ⎩⎨⎧ ⊗

0 = xv

0 = xv2+)xx(

n

nrr

rrrrrτ

y como la última ecuación es la de la tangente en el vértice, queda demostrada la proposición.

15.03.- TEOREMA 34. La variedad central del cono asintótico coincide con la de la cuádrica si ésta es centrada, y con el eje si no tiene centros.

Si la cuádrica es centrada tenemos v→=v→i, y por tanto coinciden las ecuaciones de las variedades centrales.

Si la cuádrica es sin centros, la ecuación de la variedad central del cono asintótico referida a un punto del vértice, es τ→x→=0, y por tanto es Nuc τ→ = Eje.

15.04.- Teniendo en cuenta que, como es fácil deducir de las ecuaciones, cuádrica y cono asintótico tienen las mismas direcciones a→ de sus puntos del infinito, podemos decir:

61

a) En una cuádrica centrada, las asíntotas son las tangentes al cono asintótico.

Pues refiriéndonos a un punto central, tenemos:

Cuádrica Cono asintótico Ecuación τ→(x→⊗ x→) + α = 0 τ→(x→⊗x→) = 0 Tangente en ka→ (τ→ka→)x→ = 0 Asíntota de a→ (τ→a→)x→ = 0 (τ→a→)x→ = 0

b) En una cuádrica sin centros, las asíntotas son las tangentes al cono asíntótico y sus paralelas.

Con referencia a un punto del vértice, tenemos:

Cuadrica Cono asintótico Ecuación τ→(x→⊗ x→)+2v→n x

→ = 0 τ→(x→⊗x→) = 0 Tangente en ka→ (τ→ka→)x→ = 0 Asíntota de a→ (τ→a→)x→ + v→na

→ = 0 (τ→a→)x→ = 0

Vemos que las asíntotas de cuádrica y cono asintótico son paralelas, y que coinciden para v→na

→=0, lo que siempre ocurre para a→∈ Im τ→.

Por otra parte, como para todo n→∈ Nuc τ→ la dirección a→+n→ también es asintótica, siempre podremos elegir n→ para que v→na→ +v→nn

→ tenga un valor arbitrario cualquiera. Por lo tanto, todo plano paralelo a una asíntota, también es una asíntota.

15.05.- Las direcciones b→ de las normales al cono asíntótico, tomadas a partir de los puntos de su vértice, forman un cono de igual vértice, cuya ecuación referida al mismo es: τ→-1(b

→⊗b→) = 0

Pues la ecuación del cono asintótico referida al vértice es τ→(x→⊗x→) = 0 y la dirección de la normal en su punto a→ es la de λτ→a→, siendo λ un escalar cualquiera. Sustituyendo en la ecuación propuesta, tendremos: τ→-1(λτ→a→ ⊗ λτ→a→) = [τ→-1(λτ→a→)](λτ→a→) = λ2(τ→0a→)](τ→a→) = λ2a→[τ→0(τ→a→)] = λ2a→(τ→a→)] = λ2τ→(a→⊗a→) = 0 y por tanto, los puntos λτ→a→ pertenecen al nuevo cono.

62

16.- Cuádricas conjugadas.


Decimos que dos cuádricas son conjugadas, una de la

otra, cuando si la ecuación de la una es: τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 la de la otra es: τ→(x→⊗x→) + 2(v→i-v

→n)x→ + 2τ→-1(v→⊗v→) - α = 0

16.02.- De esta definición se deducen las propiedades

fundamentales de sus ecuaciones.

10.- Las ecuaciones de dos cuádricas conjugadas, tienen en común los valores de v→i y de τ

→-1(v→⊗v→): (v→i-v

→n)i = v

→i

τ→-1[(v→i-v

→n)⊗(v→i-v

→n)] = τ

→-1(v→i⊗v→

i) = τ→-1(v→⊗v→)

20.- Dos cuádricas conjugadas tienen opuestos los

valores de v→n y de α-τ→-1(v→⊗v→):

v→n + (-v

→n) = 0

[2τ→-1(v→⊗v→) -α]-τ→-1[(v→i-v

→n)⊗(v→i-v

→n)] =2τ

→-1(v→⊗v→) - α - τ→-1(v→⊗v→) = -[α - τ→-1(v→⊗v→)]

31.- De estas dos propiedades se deduce fácilmente que en el que una cuádrica sea conjugada de otra hay reciprocidad.

16.03.- TEOREMA 34.- Una cuádrica será conjugada de sí misma si y sólo si es un cono, pues se verifica ('3.03):

⎩⎨⎧

⊗

∈⇔⇔

⎩⎨⎧

⊗ )vv( =

Im v 0 = v

- )vv(2 =

v - v = v1-

n

1-

ni

rrr

rrrr

rrr

rrr

τατ

ατα

16.04.- TEOREMA 35.- Dos cuádricas conjugadas tienen,

si existe, el mismo cono asintótico.

Pues tienen el mismo v→i y el mismo τ→-1(v→⊗v→).

16.05.- TEOREMA 36. Si dos cuádricas conjugadas

distintas no tienen cono asintótico, una es real y la otra imaginaria.

Pues si no tienen cono asintótico, por una parte todos los valores propios no nulos de τ→ tendrán igual signo y por otra, el valor α-τ→-1(v→⊗v→) en la conjugada será el valor opuesto y según

63

A'2.07, si una cuádrica es real, la otra es imaginaria.

16.06.- TEOREMA 37.- Si dos cuádricas conjugadas tienen cono asintótico, la intersección entre las dos cuádricas coincide con la intersección de cualquiera de ellas con el cono asintótico.

Pues sustituyendo en el sistema formado por las ecuaciones de la cuádricas, una de ellas por la semisuma miembro a miembro de ambas, tenemos:

⎩⎨⎧

⊗⊗

⊗

0 = - )vv(2 + x)v-v2( + )xx(

0 = + xv2 + )xx(1-

ni αττατ

rrrrrrrrr

rrrrr

⇔

⇔ ⎩⎨⎧

⊗⊗

⊗

0 = )vv( + xv2 + )xx(

0 = + xv2 + )xx(1-

irrrrrrrr

rrrrr

ττατ

y la última ecuación es la del cono asintótico común.

16.05.- Consecuencia. En virtud del párrafo anterior y de '15.02, dos cuádricas conjugadas centradas distintas, por no tener puntos comunes con su cono asíntotico tampoco tienen puntos reales en su intersección.

16.06.- TEOREMA 38. Dos cuádricas conjugadas tienen los mismos ejes y variedad central si son centradas, y los mismos eje y vértice si no lo son.

Pues teniendo τ→ común, si son centradas tendrán los mismos vectores propios, y por tanto los mismos ejes. Por otra parte, como ahora v→ = v→i - v→n = v→i, las ecuaciones de las variedades centrales, serán una misma ecuación.

Y si las cuádricas conjugadas no son centradas, al tener τ→ común se verificará τ→-1v→ = τ→-1(v→i-v

→n) = τ

→-1v→i y coincidirán las ecuaciones (19) de los ejes. Como además los subespacios N de (21) coinciden, por ser opuestos tanto los valores v→n→ como los α - τ→-1(v→⊗v→), las ecuaciones (21) de los vértices también coinciden.

16.07.- TEOREMA 39. Si tenemos dos cuádricas conjugadas centradas distintas, los ejes reales de la una son los imaginarios de la otra.

Pues los valores propios de los vectores propios de τ→ son comunes, y en cambio los valores de α - τ→-1(v→⊗v→) son opuestos ('14.03).

64

17.- Familias de cuádricas. Secciones principales.

17.01.- Definiciones:

Dos cuádricas del mismo espacio E n-dimensional decimos

que pertenecen a la misma familia, cuando los coeficientes τ→ de sus ecuaciones tienen el mismo número de valores propios no nulos, y éstos se reparten en igual proporción entre los dos signos indistintamente. Si además ambas cuádricas son m-cilindros con un mismo valor para m, son de una misma familia estricta.

Así pues, pertenecen a una misma familia, dos cuádricas del mismo espacio, ambas con Dim Im τ→= 3, una con valores propios no nulos de τ→: +3,+3,-1 y la otra con valores propios no nulos de τ→: -1,-2,+2.

Llamamos sección principal de una cuádrica simple respecto a uno de sus ejes, a las intersecciones de la cuádrica con planos perpendiculares a tal eje. En una cuádrica simple sin centros, como hay un solo eje habrá un solo sistema de secciones principales.

Las secciones son siempre centradas, en el eje respectivo ('12.12 Y '13.01).

17.02.- TEOREMA 40. Pertenecen a la misma familia las cuádricas intersección de una cuádrica con variedades lineales paralelas entre sí siempre que se tenga τ→'≠0.

Pues τ→' es común y no es nulo.

De acuerdo con el examen hecho en '12.15, las secciones por planos paralelos son de la misma familia estricta, mientras las direcciones planas no correspondan a asíntotas (entre las que se incluyen las tangentes a conos o a dos planos paralelos).

17.03.- TEOREMA 41. Las secciones principales de una cuádrica simple sin centros, tienen el coeficiente τ→' igual al τ→. Dos secciones por planos equidistantes del vértice (que es un solo punto) son conjugadas y centradas.

La primera proposición es obvia, pues por tener el eje la dirección Nuc τ→, tenemos evidentemente τ→'=τ→.

Tomando como origen un punto del vértice, sea n→ un vector de Nuc τ→ y λn→ un punto del eje. La ecuación de la cuádrica referida al vértice sabemos que es τ→(x→⊗x→) + 2v→nx

→ = 0 y referida al punto del eje será: τ→(x→⊗x→) + 2(τ→λn→ + v→n)x

→ + τ→(λn→ ⊗ λn→)+ 2v→nλn→ = 0

τ→(x→⊗x→) + 2v→nx

→ + 2 v→nλn→ = 0

Con τ→'=τ→ y v→n'=0

→, la sección será:

65

τ→(x→⊗x→) + 2λv→nn→ = 0

y obtendremos la sección equidistante del vértice, sustituyendo λ por -λ: τ→(x→⊗x→) - 2λv→nn

→ = 0

Estas dos últimas ecuaciones corresponden efectivamente a dos cuádricas conjugadas.

66

18.- Cono tangente desde un punto a una cuádrica propia

real.


Sea un punto, al cual, para mayor facilidad, supondremos en lo sucesivo que se halla referido el espacio vectorial n-dimensional. Será pues el punto p→=0→. Sea también la cuádrica propia real de ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0 referida a tal punto, y la polar de p→ de ecuación v→x→+α=0 ('6.03).

Denominamos cono tangente desde el punto a la cuádrica real y propia, al cono propio o variedad lineal, de ecuación: (ατ→ - v→⊗v→)(x→⊗x→) = 0 cuyo vértice contiene al punto.

18.02.- Para p→ perteneciente a la cuádrica el cono tangente desde p→ coincide con la tangente en p→ (que entonces es su polar).

Pues ahora evidentemente α=0, y por tanto la ecuación del cono tangente coincide con la de la tangente en sus soluciones reales.

18.03.- Si A es el subespacio ortogonal a v→, una dirección a→ de Nuc τ→ (ó A) pertenece a Nuc (ατ→ - v→⊗v→) si y solo si también pertenece a A (ó Nuc τ→).

Pues tendremos (ατ→ - v→⊗v→)a→ = ατ→a→ (ó = -v→[v→a→])

En consecuencia toda dirección de las generatrices cilíndricas de una cuádrica pertenece también a la generatrices cilíndricas de los conos tangentes.

18.04.- Un cono tangente ocupará todo el espacio, si y sólo si la cuádrica es un cono y el punto es de su vértice.

Pues para ello se requiere que estemos en uno de los dos casos siguientes:

a) α=0; v→=0→.

Corresponde a una cuádrica de ecuación τ→(x→⊗x→)=0, ó sea un cono referido a un punto del vértice.

b) α≠0; v→≠0→; ατ→=v→⊗v→.

La ecuación de la cuádrica también se podrá expresar así: τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0 ⇔ ατ→(x→⊗x→)+2αv→x→+α2=0 ⇔ (v→⊗v→)(x→⊗x→)+2αv→x→+α2=0 ⇔ (v→x→)2+2αv→x→+α2=0 ⇔ (v→x→+α)2 = 0

67

y resulta que la cuádrica es un plano doble, impropia y por tanto fuera de hipótesis.

18.05.- En lo sucesivo no consideraremos el caso de un cono tangente que ocupe todo el espacio y, por lo tanto, supondremos que si la cuádrica es un cono, el punto no pertenece a su vértice, y que por tanto su polar es un plano, sea de puntos finitos o en el infinito.

18.06.- Ecuación del vértice del cono tangente.

Evidentemente es la de su variedad central, o sea: (ατ→ - v→⊗v→)x→ = 0→ ⇔ ατ→x→ = (v→x→)v→ y atenderemos a la segunda expresión para resolverla.

Por lo que hemos visto, los únicos vectores de Nuc τ→ que son solución son los pertenecientes a A ∩ Nuc τ→. Toda solución s→ no perteneciente a Nuc τ→ exige que para algún escalar β no nulo se verifique a la vez:

a) v→ ≠ 0 b) v→∈ Im τ→ ⇒ A ∩ Nuc τ→ = Nuc τ→ c) (n→∈Nuc τ→): s→ = -βτ→-1v→ + n→

En este supuesto, si y sólo si s→ es solución,

tendremos: ατ→(-βτ→-1v→ + n→) =[v→(-βτ→-1v→ + n→)]v→ ⇔ αβv→ = [βτ→-1(v→⊗v→)]v→ ⇔ ⇔ α = τ→-1(v→⊗v→)

La cuádrica es un cono, y β puede tomar cualquier valor.

Por consiguiente, la solución general para el vértice del cono tangente es:

La cuádrica no es cono ... X = A ∩ Nuc τ→ (gener. cilín0) La cuádrica es un cono ... X = ττββ

rrrU Nuc + )v(- -1

En consecuencia, si la cuádrica no es un cono, el

vértice del cono tangente es mutuamente paralelo a las generatrices cilíndricas de la cuádrica y si la cuádrica es un cono, tiene una dimensión más que dichas generatrices y según (5) contiene al vértice de la cuádrica cono, para β=1. 18.07.- TEOREMA 42. Si y sólo si el cono tangente coincide con la polar del punto, el punto pertenece a la cuádrica. Ec. cono tangente: (ατ→ - v→⊗v→)(x→⊗x→)=0 ⇔ ατ→(x→⊗x→)-(v→x→)2 = 0 Ec. polar: v→x→ + α = 0

68

Si y sólo si el punto pertenece a la cuádrica,

tendremos α=0 y ambas ecuaciones anteriores se reducen a dos ecuaciones con iguales soluciones reales. Por lo tanto el cono tangente coincide con la polar.

Al coincidir el cono tangente con la polar del punto, como esta polar contiene al punto ó sea que es la tangente, el cono tangente es esta tangente.

18.08.- Intersección del vértice del cono tangente por p→ no perteneciente a la cuádrica, con la polar de p→.

a) Si la cuádrica es un cono, la intersección es el vértice de este cono.

⎭⎬⎫

0 = + xv

n + v- = x -1

ατβ

rr

rrrr

⇔ -βτ→-1(v→⊗v→) + α = 0 ⇒ β=1

X' = - τ→-1v→ + Nuc τ→ = C

b) Si la cuádrica no es cono, la intersección es vacía.

⎭⎬⎫⊂∩

0 = + xv

A A Nuc = X

ατ

rr

r

⇔ x→∈A; v→x→=0; α≠0 ⇒ X'=∅

18.09.- La polar de los puntos del vértice del cono

tangente por p→ a la cuádrica, es la misma para todos ellos, excepto cuando la cuádrica es un cono y los puntos pertenecen también al vértice de la cuádrica.

Si la cuádrica no es un cono es evidente y si es un cono, como la ecuación de la polar de un punto s→ es (τ→s→+v→)x→ + v→s→ + α = 0 para un punto s→= -βτ→-1v→ + n→ del vértice del cono tangente la ecuación de la polar será: [τ→(-βτ→-1v→ + n→)+v→]x→ + v→(-βτ→-1v→ + n→) + α = 0 ⇔ ⇔ (-βv→+v→)x→ - βτ→-1(v→⊗v→) + α = 0 ⇔ y como tratándose de un cono, α = τ→-1(v→⊗v→), resulta: ⇔ (1-β)v→x→ + (1- β)α = (1-β)(v→x→ + α) = 0 y cuando la cuádrica es un cono y el punto pertenece a su vértice tendremos β=1 y las soluciones de esta ecuación ocupan todo el espacio. Para los puntos que no pertenecen a este vértice, esta ecuación coincide con la polar del origen.

18.10.- TEOREMA 43.- Las intersecciones cuádrica-cono tangente y cuádrica-polar del punto, coinciden siempre. Si y sólo si el punto no pertenece a la cuádrica, ambas intersecciones

69

coinciden además con la intersección polar-cono tangente.

Efectivamente. Para cualquier valor de α se tiene:

⇔⎭⎬⎫

⊗⊗⊗⊗

⇔⎭⎬⎫

⊗⊗⊗

0=)xx)(vv(-)xx(

-xv-2=)xx(

0=)xx)(vv-(

0= +xv2+)xx(rrrrrrr

rrrrr

rrrrr

rrrrr

ταατ

ταατ

⎭⎬⎫⊗

⇔⎭⎬⎫⊗

⇔⎭⎬⎫⊗

0=+xv

0=+xv2+)xx(

0=)+xv(

0=+xv2+)xx(

0=)xv(--xv2-

0= +xv2+)xx(222 α

ατα

ατ

ααατ

rr

rrrrr

rr

rrrrr

rrrr

rrrrr

y por otra parte si y solo α≠0, se verifica:

⎭⎬⎫

⊗⇔

⎭⎬⎫

⊗⇔

⎭⎬⎫

⊗ 0=-)xx(

-=xv

0=-)xx(

0=+xv

0=+xv2+)xx(

0=+xv2ατα

αατ

αατ

αrrr

rr

rr

rr

rrrrr

rr

pero α2 =(v→x→)2 =(v→⊗v→)(x→⊗x→), y tendremos finalmente:

⎭⎬⎫

⊗⊗⇔

0 = )xx)(vv - (

0 = + xv rrrrr

rr

ταα

18.11.- TEOREMA 44. El conjunto de los planos tangentes a la cuádrica que contienen al punto, coincide con el conjunto de planos tangentes al cono tangente.

a) Si el punto pertenece a la cuádrica esto se verifica, pues hemos visto que tangente y cono tangente coinciden.

b) Si no pertenece a la cuádrica, hemos visto que los puntos de tangencia de las tangentes a la cuádrica a las que pertenece, son los puntos de la intersección de la polar del punto con la cuádrica y que estos coinciden con los puntos de intersección de cuádrica y cono tangente.

Demostraremos en primer lugar que dos tangentes, una a la cuádrica y otra al cono tangente, por cada punto z→ de la intersección de cuádrica y cono tangente, son coincidentes.

Los puntos z→ como también pertenecen al plano polar del origen, verificarán su ecuación, con lo que tendremos: v→z→ + α = 0

Teniendo presente que por hipótesis el punto origen no

pertenece a la cuádrica y por tanto se tiene α≠0, al aplicar la ecuación general de la tangente por z→ al caso de la cuádrica y al del cono tangente, tendremos: Tangente a la cuádrica: (τ→z→+v→)x→ + v→z→ + α = 0 ⇔

⇔ (τ→z→+v→)x→ = 0

70

Tangente al cono tangente: [(ατ→-v→⊗v→)z→]x→ = 0 ⇔ ⇔ [ατ→z→-(v→z→)v→]x→ = 0 ⇔ (ατ→z→+αv→)x→)= 0 ⇔ α(τ→z→+v→)x→ = 0

Vemos pues que para toda tangente a la cuádrica que contiene al origen hay una tangente al cono tangente que coincide con ella que, como todas las del cono tangente, contiene al origen. Si la cuádrica es un cono, ambas tangentes ocuparán todo el espacio ó ambas serán planas según que z→ pertenezca o no a su vértice.

Cuando el punto z→ es un punto del infinito de la polar del origen, de su ecuación se deduce que su dirección pertenece al plano A ortogonal a v→, y en tal caso puede suceder que pertenezca a Nuc τ→ y entonces será una dirección de las generatrices cilíndricas, tanto de la cuádrica como del cono tangente y no corresponderá a ninguna tangente de la cuádrica ni del cono tangente o puede suceder que no pertenezca a Nuc τ→ y entonces tampoco pertenecerá al núcleo de ατ→-v→⊗v→ y habrá tangentes planas coincidentes.

Por otra parte, a toda tangente al cono tangente corresponde una generatriz cónica como l.g. de puntos de tangencia, y por tanto con intersección, finita ó infinita, con el plano de la polar del origen. Por tanto esta tangente coincide con la tangente, al cono tangente, por dichos puntos de intersección.

La correspondencia es pues recíproca.

l8.12.- Definición. Los puntos no pertenecientes a una cuádrica real y propia, reciben los siguientes nombres:

Punto estrictamente exterior a la cuádrica: El cono tangente desde el mismo es real y propio y por tanto tiene planos tangentes y es posible trazar planos tangentes a la cuádrica desde el punto.

Punto interior a la cuádrica: El cono tangente es una variedad lineal (cono o cuádrica impropios) que considerado como cuádrica coincide con su vértice y como no tiene tangentes planas en ninguno de sus puntos no podrá tener tangentes planas comunes con la cuádrica.

18.13.- TEOREMA 45. Si y sólo si el cono tangente es real y propio y se refiere a un centro de una cuádrica centrada no cono, el cono tangente coincide con el cono asintótico.

Efectivamente. Sean las ecuaciones: Ec. cuádrica centrada no cono: τ→(x→⊗x→) + α = 0 Ec. cono tangente: ατ→(x→⊗x→) = 0 Ec. cono asintótico: τ→(x→⊗x→) = 0

Ambos conos son pues iguales y para un cono tangente propio, existe cono asintótico.

71

Recíprocamente: si ambos conos son iguales, son reales

y propios por serlo siempre el cono asintótico y entonces serán equivalentes sus ecuaciones: Ec. cono tangente: (ατ→-v→⊗v→)(x→⊗x→) = 0 Ec. cono asintótico: τ→(x→⊗x→) + 2v→ix

→ + τ→-1(v→⊗v→) = 0

Dada la equivalencia, tendremos: v→i=0 ⇔ v→∈ Nuc τ→ ⇔ τ→v→ = 0→ (∃k;k escalar): ατ→ - v→⊗v→ = kτ→ ⇔ (α-k)τ→ = v→⊗v→ ⇔ (α-k)τ→v→ = (v→⊗v→)v→ ⇔ 0 = (v→v→)v→ ⇔ v→ = 0

→

con lo que las ecuaciones equivalentes quedan en: ατ→(x→⊗x→) = 0 τ→(x→⊗x→) = 0 lo que implica α≠0. La ecuación de la cuádrica será pues: τ→(x→⊗x→) + α = 0 que corresponde a una cuádrica centrada no cónica, referida a un centro. Además es real y propia al serlo los conos tangente y asintótico.

18.13.- TEOREMA 46. Sea una variedad lineal tal que su intersección con una cuádrica es una cuádrica real y propia.

La intersección de esta variedad con el cono tangente a la cuádrica desde un punto, es, en el espacio de la variedad, el cono tangente a dicha cuádrica intersección.

Pues tenemos: Intersección.

Espacio normal. Espacio variedad. Ec. cuádrica τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α =0 τ→'(x→⊗x→)+2v→'x→+α=0 Ec.cono tang. (ατ→-v→⊗v→)(x→⊗x→)=0 [ατ→'-(v→'⊗v→')](x→⊗x→)=0 y vemos que la intersección del cono tangente es en la variedad, la expresión del cono tangente por el punto, a la cuádrica intersección.

18.14.- Ecuación del cono tangente referida a un punto a→≠0→ que no es el origen.

Sea τ→' = [τ→(a→⊗a→)+2v→a→+α]τ→ - [(τ→a→+v→)⊗(τ→a→+v→)]

Con y→=x→-a→, la calcularemos así: Ec. cuádrica: τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α=0 Ec cuádrica resp. a→: τ→(y→⊗y→)+2(τ→a→+v→)y→+τ→(a→⊗a→)+2v→a→+α=0

72

Ec. cono tg. resp. a→: τ→'(y→⊗y→)= 0 Ec. cono tg.: τ→'(x→⊗x→) - 2(τ→'a→)x→ + τ→'(a→⊗a→) = 0

τ→'=0→ implica que el cono ocupará todo el espacio y hemos visto que esto ocurre si, y sólo si la cuádrica es un cono, y a→ pertenece a su vértice ('18.04).

18.15.- Vamos a obtener otra expresión.

Se tiene: (τ→a→+v→)⊗(τ→a→+v→) = τ→a→⊗τ→a→ + τ→a→⊗v→ + v→⊗τ→a→ + v→⊗v→ y por tanto, podremos agrupar así los términos de τ→': τ→'= [τ→(a→⊗a→)]τ→ - τ→a→⊗τ→a→ + 2(v→a→)τ→ - τ→a→⊗v→ - v→⊗τ→a→ + ατ→ - v→⊗v→ <------τ→'1------> <--------τ

→'2--------> <--τ→'3-->

con lo que resulta: τ→'1a

→ =[{τ→(a→⊗a→)}τ→ -τ→a→⊗τ→a→]a→ =[τ→(a→⊗a→)](τ→a→)-[(τ→a→)a→](τ→a→) = 0→ τ→'2a

→ =[2(v→a→)τ→- τ→a→⊗v→- v→⊗τ→a→]a→= 2(v→a→)(τ→a→)-[(τ→a→)a→]v→-(v→a→)(τ→a→) = = (v→a→)(τ→a→) - [τ→(a→⊗a→)]v→ τ→'3a

→ = (ατ→ - v→⊗v→)a→ τ→'1(a

→⊗a→) = (τ→'1a→)a→ = 0

τ→'2(a

→⊗a→) = (τ→'2a→)a→ = (v→a→)[τ→a→)a→] - [τ→(a→⊗a→)](v→a→) = 0

τ→'3(a

→⊗a→) = (ατ→ - v→⊗v→)(a→⊗a→) = ατ→(a→⊗a→) - (v→a→)2 obteniendo otra expresión de la ecuación general del cono tangente: τ→'(x→⊗x→) - 2[(τ→'2 + τ

→'3)a→]x→ + ατ→(a→⊗a→) - (v→a→)2 = 0

18.16.- Caso particular 11. La dirección a→ es de las

generatrices cilíndricas de la cuádrica, ó sea: τ→a→= 0→; v→a→= 0.

Tendremos τ→(a→⊗a→) = 0 y también:

τ→' = τ→'3 τ→'a→ = τ→'3a

→ = (ατ→ - v→⊗v→)a→ = ατ→a→ - (v→a→)a→ = 0→ τ→'(a→⊗a→) = τ→'3(a

→⊗a→) = ατ→(a→⊗a→) - (v→a→)2 = 0 con lo que la ecuación del cono tangente queda en: (ατ→ - v→⊗v→)(x→⊗x→) = 0 y el cono desde a→ coincide con el cono tangente desde el origen.

18.17.- Caso particular 21. Para a→ de dirección diametral (a→∈ Nuc τ→, a→∉A). Tendremos τ→a→=0→; v→a→≠0 y por

73

consiguiente τ→(a→⊗a→)=0:

τ→'1=0→; τ→'2= 2(v

→a→)τ→; τ→'3 = ατ→-v→⊗v→; ⇒ τ→'=2(v→α→)τ→ +ατ→ - v→⊗v→

τ→'a→ = τ→'3a→ = -(v→⊗v→)a→ = -(v→a→)v→

τ→'(a→⊗a→) = τ→'3(a→⊗a→) = -(v→⊗v→)(a→⊗a→) = -(v→a→)2

La ecuación del cono tangente pasa a:

[2(v→a→)τ→ + ατ→ - v→⊗v→](x→⊗x→) + 2(v→a→)v→x→ - (v→a→)2 = 0

Al crecer a→ infinitamente, lo mismo pasa con las soluciones.

En este caso, no existe un límite finito para los conos tangentes al alejarse el punto a→ indefinidamente en su dirección.

18.18.- Definimos como cono tangente a una cuádrica

propia real desde un punto del infinito de dirección a→ a la cuádrica finita límite, si existe, de los conos tangentes relativos a puntos que se alejan indefinidamente en sentido a→.

Vamos a ver seguidamente, un método para poder determinar las ecuaciones de los conos tangentes desde puntos del infinito en cualquier dirección a→, cuando existan.

Partiremos de la ecuación del cono tangente con a→ finito: τ→'(x→⊗x→) - 2(τ→'a→)x→ + τ→'(a→⊗a→) = 0 y eliminaremos aquellos términos que se puedan despreciar al crecer a→ infinitamente en su misma dirección.

De esta manera, para a→ infinitamente grande, actuaremos bajo los siguientes supuestos: τ→' = τ→'1; τ

→'a→ = τ→'2a→; τ→'(a→⊗a→) = τ→'3(a

→⊗a→) y por tanto, la ecuación general de una cuádrica límite, ó sea de un cono tangente desde un punto del infinito de dirección a→, será: (23) τ→'1(x

→⊗x→) - 2(τ→'2a→)x→ + τ→'3(a

→⊗a→) = 0 ⇔ ⇔ [{τ→(a→⊗a→)}τ→ - (τ→a→⊗τ→a→)](x→⊗x→) - 2[(v→a→)(τ→a→) - {τ→(a→⊗a→)}v→]x→ + + ατ→(a→⊗a→) - (v→a→)2 = 0

18.19.- Vamos a expresar esta ecuación también en otra forma, separando los términos que contienen τ→(a→⊗a→) y teniendo en cuenta que se verifica (τ→a→⊗τ→a→)(x→⊗x→) = [(τ→a→)x→]2: [τ→(a→⊗a→)][τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α] - [(τ→a→)x→]2 - 2(v→a→)[(τ→a→)x→] - (v→a→)2 =0 ⇔ (24) ⇔ [τ→(a→⊗a→)][τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α] - [(τ→a→)x→ + v→a→]2 = 0

Observaremos que (τ→a→)x→ + v→a→ = 0 es la ecuación de la polar del punto del infinito de dirección a→:

74

(τ→a→+v→)x→ + v→a→ + α = 0 ⇒ (τ→a→)x→ + v→a→ = 0

18.20.- Cuando existe un cono tangente a una cuádrica desde un punto del infinito de dirección a→, lo denominamos cilindro tangente a la cuádrica paralelo a la dirección a→.

Puesto que se anulan τ→'a→ y v→'a→: τ→'a→ = [{τ→(a→⊗a→)}τ→ - τ→a→⊗τ→a→]a→ = [(τ→a→)a→]τ→a→ - [(τ→a→)a→]τ→a→ = 0 v→'a→ = [(v→a→)(τ→a→) -{τ→(a→⊗a→)}v→]a→ =[(τ→a→)a→]v→a→ - [(τ→a→)a→]v→a→ = 0 y por consiguiente la dirección de a→ resulta ser de las generatrices cilíndricas del cilindro tangente.

18.21.- A continuación veremos que no existe cilindro tangente cuando se verifica una de estas dos condiciones alternativas:

a) La dirección a→ pertenece a Nuc τ→. b) La cuádrica consiste en dos planos paralelos.

Veremos también que para a→∉ Nuc τ→, el cilindro se

convierte en un plano si y sólo si la cuádrica es sin centros y tiene una parábola por sección recta.

En los demás casos, la ecuación del cilindro tangente es normal, lo que no impide que el cilindro pueda resultar una cuádrica impropia.

a) Para τ→a→=0→; v→a→=0, ó sea cuando la dirección a→ es de las generatrices cilíndricas de la cuádrica, no hay cilindro tangente.

Pues hemos visto en '18.16 que la ecuación del cono tangente por el punto p→+ka→ no varía al aumentar k, y por tanto el cono tangente no tiene un límite independiente de p→ al crecer a→ infinitamente,

b) Para τ→a→=0→; v→a→≠0, se anulan los coeficientes tensorial y vectorial de la ecuación (23) del cono tangente y no el escalar. Por lo tanto en este caso, que es el de una dirección diametral de una cuádrica no centrada, no hay cilindro tangente paralelo a a→.

c) Para τ→a→≠0→, el coeficiente tensorial de la ecuación (23) sólo se anulará cuando, para algún versor b

→ y algún escalar

λ, se verifique τ→=λ(b→⊗b→).

Pues si y sólo si se anula, para todo vector w→ se verificará: (∀w→): 0 = [τ→(a→⊗a→)]τ→w→ - (τ→a→⊗τ→a→)w→ = [(τ→a→)a→]τ→w→ - [(τ→a→)w→]τ→a→ ⇔ ⇒ (∀w→): τ→w→ de igual dirección que τ→a→. lo que es igual que decir que la imagen de τ→ es unidireccional,

75

lo que a su vez significa que el tensor τ→ (simétrico) es de la forma τ→=λ(b→⊗b→), con b→ versor de tal dirección y λ un escalar cualquiera. Tendremos pues entonces: 0

→ ≠ τ→a→ = λ(b→⊗b→)a→ = λ(b→a→)b→ ⇒ b

→a→≠0

(∀w→): τ→w→ = λ(b→⊗b→)w→ = λ(b→w→)b→;

De acuerdo con todo ello, la ecuación (23) del cono tangente desde un punto del infinito en dirección a→, para este caso c), queda así: -2[λ(v→a→)(b→a→)b→ - λ(b→a→)2v→]x→ + αλ(b→a→)2 - (v→a→)2 = 0

c1) τ→=λ(b→⊗b→); (∀µ): v→≠µb→.

Como la imagen de τ→ es unidimensional, v→ no pertenece a esta imagen, y el núcleo es (n-1)-dimensional, este caso corresponde a una cuádrica sin centros con eje (n-1)-dimensional y como τ→a→≠0→ la dirección a→ no pertenece al núcleo y por tanto tampoco al eje.

Por tratarse de una cuádrica sin centros, las generatrices cilíndricas tendrán dimensión n-2. Las secciones rectas se producirán por secantes de dimensión 2 y serán cuádricas sin centros que, como veremos más adelante, son parábolas.

En nuestro caso, como el coeficiente vectorial de la ecuación del cono tangente no se anula, éste se reduce a un plano. Finalmente, según hemos visto en '18.11, este plano será tangente a la cuádrica, y coincidirá con la tangente a la cuádrica en los puntos de intersección de la cuádrica con la polar del origen respecto a la cuádrica.

c2.1) τ→=λ(b→⊗b→); (∃µ): v→=µb→; α≠µ2/λ.

Como la imagen de τ→ es unidimensional y v→ pertenece a ella, este caso corresponde a una cuádrica centrada propia. El núcleo de τ→ así como las generatrices cilíndricas serán de dimensión n-1 ó sea planos. La sección recta se obtendrá con una secante unidimensional de un espacio unidimensional y será una cuádrica propia centrada ó sea "dos puntos". La cuádrica original es pues "dos planos paralelos".

Ahora el único coeficiente de la ecuación del cono tangente que no es nulo es el escalar. Por consiguiente no hay cono ni cilindro tangente.

c2.2) τ→=λ(b→⊗b→); (∃µ): v→=µb→; α=µ2/λ.

No consideraremos este caso, para el que se anulan todos los coeficientes de la ecuación del cono tangente, pues la cuádrica correspondiente es un plano doble, por tanto impropia y fuera de la hipótesis.

d)τ→a→≠0; (∀λ)(∀b→): τ→≠λ(b→⊗b→).

76

La ecuación del cilindro tangente es normal y su

solución es un cono propio ó impropio. 18.22.- Vamos a ver finalmente el caso particular en que además de τ→a→≠0→ se verifica τ→(a→⊗a→)= 0, es decir,, cuando la dirección a→ es la de un punto del infinito de la cuádrica.

Puesta la ecuación del cono tangente en la forma (24), vemos que el cilindro tangente existe, y que es una cuádrica impropia, cuyos puntos reales son los de la polar del origen, o sea la asíntota correspondiente al punto del infinito de la cuádrica en dirección a→. Pues la ecuación del cilindro es el cuadrado miembro a miembro de la ecuación de la polar.

77

C.- CLASIFICACION DE LAS CUADRICAS.

1.- Bases para la clasificación.

1.01.- Los elementos característicos de las cuádricas

que se han estudiado en la parte B anterior nos proporcionan datos para la clasificación de las cuádricas de un espacio puntual afín n-dimensional.

En este texto elegimos como fundamento de una clasificación, las siguientes características:

10.- Dimensión n del espacio considerado.

20.- Valor m de la dimensión de A ∩ Nuc τ→ ó sea de la dimensión de las generatrices cilíndricas.

30.- Valor p de la dimensión de Nuc τ→. Tendremos p=m en las cuádricas centradas y p=m+1 en las cuádricas que no tienen centros.

40.- Cantidad s de valores propios iguales o distintos, pero de un mismo signo, de los n-p vectores propios que siempre constituyen una base de Im τ→. Si la cantidad de valores propios positivos es distinta de la cantidad de valores propios negativos, se tomará para s el mayor valor absoluto.

50. Sólo para cuádricas centradas. Signo o nulidad del tensor τ→'= τ→[α-τ→-1(v→⊗v→)]. Para τ→' nulo escribiremos τ→'=0→ y la cuádrica es un cono. En los demás casos le atribuiremos un signo a partir de los signos de sus valores propios. Si son mayoría los positivos escribiremos τ→'=+, si son mayoría los negativos, τ→'=-, y si están en igual número los positivos y los negativos, escribiremos τ→'=±.

Teniendo en cuenta la clasificación de A'2.07c), puede verse fácilmente, que los signos atribuídos a τ→' no varían con los coeficientes adoptados para la ecuación normal de una cuádrica determinada, aún en caso de pasar de un τ→>0 a un τ→<0.

1.02.- Observaciones fundamentales para las cuádricas no conos (τ→≠0):

a) Cuádricas con centro (p=m). p=0 La cuádrica es simple (no es cilíndrica), tiene n ejes, de ellos s reales para τ→'=-, s imaginarios para τ→'=+, y ambas cosas a la vez para τ→'=±. p≠0 La cuádrica es cilíndrica con generatriz cilíndrica p- dimensional. La sección recta, en su espacio (n-p)- dimensional, tiene n-p ejes, de ellos s reales para τ→'=-, s imaginarios para τ→'=+, y ambas cosas simultáneamente para τ→'=±.

78

b) Cuádricas sin centro (p=m+1). p=1 La cuádrica es simple (no es cilíndrica). Las secciones principales son cuádricas centradas y las que no contienen al vértice tienen s ejes reales ó bien s ejes imaginarios, según su posición. p>1 La cuádrica es cilíndrica con generatriz cilíndrica de dimensión p-1. Tiene por sección recta una cuádrica sin centros, que en su espacio de n-p+1 dimensiones es de las características anteriores.

Hacemos notar para no inducir a confusión, que al decir que existen s ejes, p.e. reales, significamos que siempre podemos considerar sistemas ortonormales de s ejes reales, y nunca de más de s.

1.03.- Denominaciones.

Siempre deberá hacerse una referencia al valor de n y como normas para las denominaciones, adoptaremos las siguientes:

a) Cuádricas simples centradas (no conos). Se les dará el nombre ordinario hasta n=2 inclusive. A partir de n=2 procederemos así:

Elipsoide real a la cuádrica que no tiene ejes imaginarios. Elipsoide imaginario a la cuádrica que no tiene ejes reales. Hiperboloide 1,2,.. a la cuádrica que tiene un sistema

ortonormal de 1,2,.. ejes imaginarios respectivamente.

b) Conos simples. Si son impropios reciben el nombre de punto real. Si son propios, para n=2 ó n=3 les llamaremos sencillamente conos, y para valores mayores de n se denominarán en relación con los hiperboloides de los que puedan ser conos asintóticos. Por ejemplo para n=4, si se trata de los hiperboloides 1 y 3, diremos: Cono 1-3.

c) Cuádricas simples sin centros. Su notación será la de la sección principal, precedida de la letra P. Así pues P-elipse indica que la cuádrica no tiene centros y que sus secciónes principales son de la familia de las elipses.

d) Cuádricas no simples ó cilindros. Su notación será la de su sección recta, precedida de la cifra valor de m, o sea de la dimensión de las generatrices cilíndricas. Ejemplos:

3-elipse: Cuádrica centrada de generatriz cilíndrica tridimensional, cuya sección recta es una elipse.

2-P-2 puntos: Cuádrica sin centros, de generatriz cilíndrica bidimensional. La sección principal de su sección recta es de la familia de dos puntos.

79

2.- Nomenclatura.

2.01.-En los párrafos que siguen, se desarrolla una

nomenclatura de las cuádricas en espacios de 1, 2, 3, 4 y 5 dimensiones sucesivamente, de las que es fácil deducir los desarrollos para espacios de mayor dimensión.

2.02.- n = 1

Las bases de clasificación adoptadas permiten definir cuádricas para n=1, con correspondencia biunívoca entre vectores (de dirección única) y escalares y equivalencia de los diversos productos de vectores con el producto entre escalares.

Es fácil ver que para n=1, τ→ siempre tiene un sólo valor propio λ no nulo y que por tanto se tiene τ→=λI→, con I→ tensor unidad ó idéntico. Todas las cuádricas serán centradas, pues siempre se tiene v→∈ Im τ→, forzosamente.

La variedad central es un punto y su posición viene determinada por:

λI→x→ + v→ = 0 ⇔ λv

- = cr

r

El valor de τ→' será:

I)v - ( = )v - (I = )]vv(I

- [I=’ 22 rrrrrr

rrr λα

λαλ

λαλτ ⊗

Las cuádricas son las siguientes:

│ τ→'=- ⇔ v→2-λα>0 ⇔ 2 puntos reales.

m=0 p=0 s=1 │ τ→'=0 ⇔ v→2-λα=0 ⇔ 1 punto doble real. │ τ→'=+ ⇔ v→2-λα<0 ⇔ 2 puntos imaginarios.

2.03.- n = 2

│ τ→'=- Elipse real. │s=2 │ τ→'=0 1 punto real. │ │ τ→'=+ Elipse imaginaria.

│p=0 │ │ │s=1 │ τ→'=± Hipérbola.

m=0 │ │ τ→'=0 Cono (2 rectas secantes). │ │p=1 s=1 P- 2 puntos (parábola)

│ τ→'=- 1- 2 puntos reales (2 rectas paralelas)

m=1 p=1 s=1 │ τ→'=0 1- 1 punto doble real (recta doble real) │ τ→'=+ 1- 2 puntos imaginarios (2 rectas imag.)

80

2.04.- n = 3

│ τ→'=- Elipsoide real. │s=3 │ τ→'=0 Un punto real. │ │ τ→'=+ Elipsoide imaginario.

│p=0 │ │ │ │ τ→'=- Hiperboloide 1 (de una hoja). │ │s=2 │ τ→'=0 Cono (cono ordinario).

m=0 │ │ τ→'=+ Hiperboloide 2 (de dos hojas). │ │ │s=2 P-elipse (paraboloide elíptico). │p=1 │

│s=1 P-hipérbola (parab. hiperbólico).

│ τ→'=- 1- elipse real (cil.elíptico). │s=2 │ τ→'=0 1- un punto. │ │ τ→'=+ 1- elipse imaginaria.

│p=1 │ │ │s=1 │ τ→'=± 1- hipérbola (cil. hiperbólico).

m=1 │ │ τ→'=0 1- 2 secantes (planos secantes). │ │p=2 s=1 1- P- 2 puntos (cil. parabólico).

│ τ→'=- 2- 2 puntos (planos paralelos).

m=2 p=2 s=1 │ τ→'=0 2- 1 punto doble (plano doble). │ τ→'=+ 2- 2 puntos imaginarios.

2.05.- n = 4

│ τ→'=- Elipsoide real.

│s=4 │ τ→'=0 Un punto real. │ │ ⊗→'=+ Elipsoide imaginario. │ │ │ τ→'=- Hiperboloide 1.

│p=0 │s=3 │ τ→'=0 Cono 1-3. │ │ │ τ→'=+ Hiperboloide 3. │ │

m=0 │ │s=2 │ τ→'=± Hiperboloide 2. │ │ τ→'=0 Cono 2-2. │ │ │s=3 P- elipsoide (3n) │p=1 │

│s=2 P- hiperboloide 1-2 (3n)

│ τ→'=- 1- elipsoide real (3n) │s=3 │ τ→'=0 1- un punto real. │ │ τ→'=+ 1- elipsoide imag1 (3n)

│p=1 │ │ │ │ τ→'=- 1- hiperboloide 1 (3n) │ │s=2 │ τ→'=0 1- cono 1-2 (3n)

m=1 │ │ τ→'=+ 1- hiperboloide 2 (3n) │ │ │s=2 1- P- elipse. │p=2 │

│s=1 1- P- hipérbola.

81

│ τ→'=- 2- elipse real. │s=2 │ τ→'=0 2- punto real.

│p=2 │ │ τ→'=+ 2- elipse imaginaria │ │

m=2 │ │s=1 │ τ→'=± 2- hipérbola. │ │ τ→'=0 2- rectas secantes. │ │p=3 s=1 2- P- 2 puntos.

│ τ→'=- 3- 2 puntos reales.

m=3 p=3 s=1 │ τ→'=0 3. 1 punto doble real. │ τ→'=+ 3- 2 puntos imaginarios.

Nota. Las cuádricas a cuyo nombre se antepone el

prefijo 1-, 2-, .. pertenecen a un espacio con 1, 2, .. dimensiones menos. Cuando puede haber error, el valor de n correspondiente lo hemos indicado con un paréntesis. Así por ejemplo un espacio tridimensional se ha indicado con (3n).

2.06.- n = 5

Nos limitaremos a reseñar las cuádricas simples (m=0).

│ τ→'=- Elipsoide real.

│s=5 │ τ→'=o Un punto real. │ │ τ→'=+ Elipsoide imaginario. │ │ │ τ→'=- Hiperboloide 1.

│p=0 │s4 │ τ→'=0 Cono 1-4. │ │ │ τ→'=+ Hiperboloide 4. │ │ │ │ │ τ→'=- Hiperboloide 2.

m=0 │ │s=3 │ τ→'=0 Cono 2-3. │ │ τ→'=+ Hiperboloide 3. │ │ │s=4 P- elipsoide (4n) │ │ │p=1 │s=3 P- hiperboloide 1-3 (4n)

│ │s=2 P- hiperboloide 2-2 (4n)

82

3.- Clasificación elemental de las cuádricas.

3.01.- Dada la ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x→+α general de una

cuádrica con τ→ no nulo y simétrico, y llamando τ→' al valor de τ→[α-τ→-1(v→⊗v→)], podemos adoptar el siguiente criterio para clasificar la cuádrica correspondiente, basándonos en A'2.07, B'2.01/03 y B'3.03:

│ τ→'>0 Imaginaria. v→∈ Im τ→; τ→>0 ó τ→<0 │ τ→'=0 Impropia.

│ τ→'<0 Propia centrada (no cono). v→∈ Im τ→; τ→><0 │ τ→'≠0 Propia centrada (no cono).

│ τ→'=0 Cono propio. v→∉ Im τ→; │ Dim Nuc τ→ = 1 Propia sin centros, simple.

│ Dim Nuc τ→ > 1 Propia sin centros cilíndrica.

4.- Método matricial de clasificación.

4.01.- Para la aplicación de este método conociendo la ecuación general de la cuádrica, será útil el estudio del determinante D que se expresa a continuación:

α

α

τ

vvv

wttt

wttt

wttt

= }v{

}w{}{ = D

n21

nnn

n2

n1

22n

22

21

11n

12

11

K

K

KKKKK

K

K

r

rr

′

′

Hemos llamado tj

i al elemento de fila i y columna j de la matriz mixta {τ→}' de un tensor τ→ de imagen ortogonal al núcleo (y por tanto con inverso), v→j al elemento de lugar j de la matriz fila {v→}' de un vector v→, y wi al elemento de lugar i de la matriz columna {w→} de un vector w→. Y llamaremos |τ→| al determinante de τ→, que según sabemos, coincide con el determinante de cualquiera de sus matrices mixtas.

Para ello procederemos en primer lugar a la definición de tensor adjunto a τ→ así como a recordar algunas propiedades del cálculo matricial.

4.02.- Definición.

Definiremos como tensor adjunto a τ→ al tensor χ→=|τ→|τ→-1, y en consecuencia, según la definición de matriz adjunta en cálculo matricial, una matriz mixta de χ→ será la matriz adjunta a una matriz mixta de τ→.

Por tanto se verifica χ→∗τ→ = |τ→|I→

83

4.03.- Para el cálculo de D recordaremos del cálculo

matricial:

a) La matriz adjunta {χ→}' = {ki

j} de la matriz {τ→}' = {tj

i} es la transpuesta de la matriz {cj

i} cuyos elementos son los cofactores cj

i correspondientes a cada elemento tj

i.

b) Si llamamos mj

i al valor del determinante de la matriz que resulta de eliminar la columna j y la fila i de la matriz {tj

i} tendremos el siguiente valor para cada cofactor: cj

i = (-1)i+j mj

i

4.04.- Cálculo de D.

De acuerdo con lo que acabamos de decir y con el cálculo matricial, al desarrollar el determinante D por la última columna y la última fila sucesivamente, obtenemos:

=]m v )(-1w )[(-1 + || = D j

ij

j+ni1+i+n

ji∑∑τα r

vwc - || = vw m )(-1 + || = j

iji

jij

iji1+j+i

ji

∑∑∑∑ τατα rr

y finalmente teniendo en cuenta que ki

j = cj

i tendremos: )vw( - || = vw k - || = D j

iij rrrrr

⊗χτατα que es una expresión de álgebra tensorial por la que vemos que D es un invariante con un cambio de base.

4.05.- Casos particulares.

a) v→=w→; τ→ simétrico de rango n (Dim Nuc τ→ = 0).

Se tiene χ→ ≠ 0 y por consiguiente: D = α|τ→| - |τ→|τ→-1(v→⊗v→) = |τ→|[α-τ→-1(v→⊗v→)] = |τ→'|

b) v→=w→; τ→ simétrico de rango n-1 (Dim Nuc τ→ = 1).

Se verifica χ→≠0→; |τ→|=0→ y también χ→∗τ→ = τ→∗χ→ = 0 ⇒ Im χ→ = Nuc τ→ ⇒ Dim Im χ→ = 1 y por tanto el valor propio k, único no nulo de χ→, que también será su traza, coincidirá con el n-1 invariante de τ→ que denominaremos δn-1.

Esto es evidente si se adopta la base adecuada para que la matriz de τ→ tenga nulas la primera fila y la primera columna, lo que siempre es posible siendo de rango n-1.

84

Con |τ→|= 0, podremos escribir pues:

v→∈ Im τ→ ⇒ χ→v→=0→ ⇒ D= -χ→(v→⊗v→)=0 ⇒ D = 0

v→∉ Im τ→ ⇒ χ→v→=kv→n ⇒ D= -χ→(v→⊗v→)= (kv→n)v

→= kv→n

2 ⇒

⇔ D = -δn-1v→

n

2 ≠ 0

c) w→=v→ y τ→ simétrico y de rango inferior a n-1, se verificará: χ→ = 0→; |τ→| = 0 ⇒ D = 0

4.06.- Las propiedades del determinante D que acabamos de ver nos permiten deducir un método para identificar una cuádrica de un espacio n-dimensional, cuando damos a τ→, v→ y α los valores que corresponden a los coeficientes de igual notación de la ecuación normal de la cuádrica. El método de uso general es aplicable especialmente para n=2 y n=3.

El método utiliza las siguientes propiedades fáciles de deducir:

Cuádricas simples centradas: |τ→|≠0 ⇔ 3 valores propios no nulos.

Cuádricas simples sin centros: |τ→|=0;Rango τ→=n-1;v→∉Im τ→. Cilindros centrados: |τ→|=0;Rango τ→=n-1;v→∈Im τ→. Cilindros sin centros: |τ→|=0;Rango τ→<n-1;v→∉Im τ→.

A continuación vamos a ver su aplicación para n=3.

4.07.- Se verifica:

a) Cuádricas simples centradas:

D>0 ⇔ |τ→'|>0 ⇒ τ→' tiene 1 ó 3 valores propios positivos, y ninguno nulo. D<0 ⇔ |τ→'|<0 ⇔ τ→' tiene 0 ó 2 valores propios positivos, y ninguno nulo. D=0 ⇔ |τ→'|=0 ⇔ α-τ-1(v→⊗v→) = 0 ⇔ Punto ó cono ordinario.

b) Cuádricas simples sin centros: D>0 ⇔ δ2<0 ⇔ τ→ tiene sus dos valores propios no nulos, de distinto signo. D<0 ⇔ δ2>0 ⇔ τ→ tiene sus dos valores propios no nulos, de igual signo.

c) Cilindros: D = 0.

4.08.- En relación con la ecuación de tercer grado característica de τ→ de coeficientes δ1=traza, δ2= 21invariante y ∆= determinante y sabiendo que las raíces de la ecuación son los valores propios de τ→, al aplicar las propiedades de matrices y álgebra escalar, tendremos:

85

│δ2>0; ∆δ1>0 3 raíces no nulas del mismo signo. ∆≠0 │ │δ2>0; ∆δ1>0 no a la vez. 3 raíces no nulas. Signos + y -. ∆ = 0 Una o más raíces nulas.

4.09.- Teniendo en cuenta nuestra clasificación y los párrafo que anteceden, deducimos finalmente: Elipsoide real ⇔ τ→'=-; 3 raíces no nulas del mismo signo ⇔

D<0; ∆≠0; δ2>0; ∆δ1>0. Punto ⇔ τ→'=0; 3 raíces no nulas del mismo signo ⇔

D=0; ∆≠0; δ2>0; ∆δ1>0. Elipsoide imag.⇔ τ→'=+; 3 raíces no nulas del mismo signo ⇔

D>0; ∆≠0; δ2>0; ∆δ1>0. Hiperboloide 1 ⇔ τ→'=-; 3 raíces no nulas. Signos distintos ⇔

D>0; ∆≠0; Sólo se verifica una de las dos condiciones δ2>0 y ∆δ1>0. Cono ordinario ⇔ τ→'=0; 3 raíces no nulas. Signos distintos ⇔

D=0; ∆≠0; δ2>0 ó bien ∆δ1>0. Hiperboloide 2 ⇔ τ→'=+; 3 raíces no nulas. Signos distintos ⇔

D<0; ∆≠0; Sólo se verifica una de las dos condiciones δ2>0 y ∆δ1>0. P-elipse ⇔ v→∉Im τ→; 1 raíz nula; 2 de igual signo. ⇔

D<0; ∆ = 0. P-hipérbola ⇔ v→∉Im τ→; 1 raíz nula; 2 de distinto signo. ⇔

D>0; ∆ = 0. Cilindros ⇔ D = 0; ∆ = 0.

87

D.- ESFERAS

1.- Esfera. Radio.

1.01.- Definición.

Denominamos esfera a todo elipsoide cuyo coeficiente

tensorial es escalar, ó sea τ→=kI→, siendo I→ el tensor idéntico y k un escalar no nulo. Su ecuación general es pues: kI

→(x→⊗x→) + 2v→x→ + α = 0 ⇔ kx→2 + 2v→x→ + α = 0

Las esferas tienen variedad central, pues Nuc I

→ = 0

→, y

ésta es el único punto solución de la ecuación kI→x→+v→=0

→, ó sea:

kv

- = cr

r

1.02.- La ecuación de la esfera se acostumbra a

expresar de otras maneras.

Si dividimos miembro a miembro la ecuación general por k y sumamos y restamos un término v→2/k2, la ecuación pasa a ser:

0 = kv-k

+kv

+x 0 = kv-

k+

kv+

kxv2

+x 2

22

2

2

2

22

rrr

rrrrr αα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔

y llamando radio de la esfera, al escalar no negativo:

k

k-v = r k

k-v = r2

22

2

2 αα rr⇒

podremos escribir:

r = kv

+x 22

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rr

y finalmente en función de c→ tendremos la ecuación usual: (x→ - c→)2 = r2

La ecuación de la esfera referida a su centro es: x→2 = r2

1.03.- Clasificación de las esferas.

Tendremos evidentemente:

r2>0 ⇔ v→2>αk Esfera real. r2=0 ⇔ v→2=αk Punto.

88

r2<0 ⇔ v→2<αk Esfera imaginaria.

Para n=3, la esfera coincide con el concepto habitual de superficie esférica.

Para n=2, la esfera es el perímetro de un círculo, ó circunferencia.

Para n=1, todas las cuádricas son esferas y son dos puntos distintos en general, ó uno doble para r=0.

1.04.- Llamamos radio de un punto x→i de una esfera, al vector: r→i = x

→i - c

→ que a la vista de la ecuación de la esfera, verifica: r→i

2 = r2

El radio de la esfera es el módulo común de los radios de sus puntos, y para r≠0 hay un radio para cada dirección y sentido.

1.05.- La intersección de una esfera con una variedad lineal, en su espacio es otra esfera.

Pues la proyección de I→ sobre una variedad de ecuación

τ→x→=0 es: I

→' = (I

→-τ→0)∗I→∗(I→-τ→0) = I

→-τ→0

y coincide con el tensor unidad en el espacio de la variedad.

1.06.- Todas las rectas que contienen al centro de una esfera son ejes de la esfera puesto que todos los vectores son vectores propios de I

→

1.07.- La intersección de dos esferas es otra esfera.

Puesto que la recta que une sus centros es un eje común de las dos esferas y las secciones principales respecto a este eje común tienen igual dirección plana para las mismas.

Las intersecciones con planos, acabamos de ver que son esféricas y sabemos que tendrán su centro en el eje. Por tanto, para que coincidan las dos esferas intersección, bastará que la sección principal corresponda a un punto común.

2.- Volumen de una esfera.

2.01.- El volumen Vn de una esfera de radio r en un

espacio n-dimensional, lo podemos obtener por cálculo escalar integrando en los dos sentidos a partir de un plano diametral, los cilindros rectos de altura dx y de base V'n-1.

La base V'n-1 es una esfera de una dimensión menos que

89

el objeto del problema, y si bien a priori desconocemos su valor, conocemos su radio (r2-x2)2 y su valor relativo respecto a otra de radio r, mediante la relación siguiente:

r

)x-r(V = ’V n

2

n22

nn

Escribiremos pues:

ArV2 = dx

r

)x-r(V2 = dx’V2 = V n1n-

1n-r

0 1n-

2

1n-22

1n-

r

01n-n ∫∫

habiendo hecho

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⇒ ∫∫

r

02

3n-22

2n-

r

02

1)(n-22

n dx)x-r( = A dx)x-r( = A

2.02.- Vamos a resolver la integral de An, que tiene

los siguientes valores inmediatos: A0 = 2π; A1 = r

a) Por cálculo integral, tenemos:

= dx) (-2x)x-r(21-n

x-)x-rx( = dx)x-r( = Ar

02

3-n22

2

1-n22

r

0

r

02

1-n22

n ∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

= )]dxx-r(-r[)x-r(1)-(n = dx x)x-r(1)-(n =r

0

2222

3-n22

r

0

22

3-n22 ∫∫

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∫∫

r

02

1n-22

r

02

3n-222 dx)x-r(-dx)x-r(r1)-(n =

y por consiguiente: An = (n-1)r

2An-2 - (n-1)An y podremos obtener An en función de An-2 y después A2 directo: nAn = (n-1)r

2An-2 ⇔

r41 = A Ar

n1-n

= A 222n-

2n π⇒⇔

b) Valor del producto AnAn-1.

Valores inmediatos: A1A0 = 2πr; A2A1 = 3πr3

Vamos a obtener una fórmula recurrente

90

AArn2-n

= AA

Ar1-n2-n

= A

Arn1-n

= A3n-2n-

41n-n

3n-2

1n-

2n-2

n

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

de la que deducimos:

4r

rn2

= AAr42

64

2-n4-n

n2-n

=AApar n3

42n-122

2n-4

1n-nπ

KK

2r

rn1

= AAr31

53

2-n4-n

n2-n

= AAimpar n 22n-012

1n-4

1n-nπ

KK

y por consiguiente, sea n par o impar, siempre se tiene:

r2n = AA 1-2n

1-nnπ

c) Ahora ya podemos determinar inmediatamente V1 y

deducir V2 y obtenemos: V1 = 2r; V2 = πr

2

Para los volúmenes en más dimensiones, tendremos:

VAAr

4= V

rA2

rA2 = V

rA2 = V 2-n1-nn3-2n2-n2-n

1-n

1-n

n1-n1-n

nn

y sustituyendo el valor de AnAn-1 hallado en b) obtenemos una fórmula recurrente:

Vrn2

= Vr2nr

4 = V 2-n

22-n

1-2n3-2nn ππ

Aplicando reiteradamente la fórmula, tendremos:

n par n impar

2r = r12 = V1

r = r11 = V 22

2 ππ r34 = r

12

32 = V 33

3 ππ

r2!1

= r11

21 = V 4242

4 ππ r5l8 = r

12

32

52

= V 52525 ππ

r3!1

= r11

21

31 = V 6363

6 ππ r10516

= r12

32

52

72 = V 7373

7 ππ

... ....

rp!1

= V 2pp2p π r

1·3·53)-1)(2p-(2p2 = V 1-2p1-pp

1-2p πK

... ....

2.03.- Conociendo los semiejes ri de un elipsoide,

91

deducimos de estas expresiones la del volumen de un elipsoide, sustituyendo rn por el producto r1r2....rn.

3.- Area de la esfera

3.01.- Teniendo presente que la fórmula

Vrn

= S Snr

= V nnnn ⇔

que relaciona áreas y volúmenes de esferas en espacios de 2 y 3 dimensiones, es ampliable a esferas de espacios de n dimensiones, podemos obtener las áreas de las esferas a partir de las expresiones volumétricas halladas:

n par n impar S2 = 2πr

S3 = 4πr

2

S4 = 2π

2r3

r

38 = S 42

5 π

S6 = π

3r5

r

1516 = S 63

7 π

.... .... .... ....

r1)!-(p2

= S 1-2pp2p π

r5)..3.1-3)(2p-(2p

2 = S 2-2p1-pp

1-2p π

.... ....

Obsérvese que para S1 no es válida la fórmula general,

y que resulta el valor S1=2.

93

E.- CONICAS.

1. Generalidades.

1.01.- Definición de cónica.

Llamamos cónica en sentido general, a toda cuádrica de un espacio bidimensional, y sus nombres y características distintivas se hallan reseñados en C'2.03. En sentido restringido, las cónicas son solamente la elipse, la hipérbola y la parábola, y a éstas dedicaremos nuestra atención preferente.

Es aplicable pues a las cónicas la ecuación general de las cuádricas y el coeficiente tensorial τ→, que como siempre es no nulo y simétrico, ahora es de segundo orden.

Las ecuaciones correspondientes a cónicas reciben también expresiones especiales, a causa de las propiedades particulares que pasamos a indicar a continuación:

1.02.- Coeficiente tensorial τ→. Excentricidad e.

a) Adoptaremos la ecuación general en su forma con τ→>0 ó τ→><0 y 1 ó 2 valores propios positivos, y designaremos con µ el mayor ó único valor propio positivo, con m→ su versor propio, y con v, n→ el otro valor y versor propios. La expresión de τ en función de la base ortonormal (m→;n→) es: τ→ = µ(m→⊗m→) + v(n→⊗n→)

Sabiendo que I→= m→⊗m→ + n→⊗n→, podemos sustituir el

primer término de la expresión de τ→, de la siguiente manera:

τ→ = µI→ - µ(n→⊗n→) + v(n→⊗n→) = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⊗⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛)nn(-1 - Irrr

µνµ

Y si definimos como excentricidad de la cónica al valor

positivo

µν

- 1 = e

característico de la cónica, cuya cantidad subradical nunca es negativa, y como vector excentricidad e→ al vector en→, tendremos: τ→ = µ(I→ - e→⊗e→)

No trataremos aquí del caso límite v=µ, ó sea e=0, para el cual τ→=µI→ y la cónica es por tanto una esfera de las que se ocupa el capítulo D. Ahora es una esfera bidimensional llamada círculo, a cuya frontera llamamos circunferencia.

b) El valor de µ (máximo valor propio positivo)

94

nunca es nulo, pues siendo τ→>0 ó τ→><0, implicaría también v=0 y no habría cónica.

Podemos pues simplificar la ecuación dividiendo por µ, con lo que el coeficiente tensorial pasa a ser: I

→ - e→⊗e→ = m→⊗m→ + (1-e2)(n→⊗n→)

con los mismos vectores propios m→ y n→ que τ→. Los valores propios quedan divididos por µ con lo que µ pasa a valer +1, y los valores de e y de e→ quedan invariantes con esta ó cualquier otra división.

En lo sucesivo, y de no indicar lo contrario, siempre supondremos que τ→= I→ - e→⊗e→ es el coeficiente tensorial de la ecuación general de las cónicas. Esto implica el valor propio µ=+1 para m→, con m→∈Im τ→, y un valor propio v=1-e2 para n→.

La ecuación de una cónica quedará ahora así: (I

→-e→⊗e→)(x→⊗x→) + 2v→x→ + α =0

1.03.- Coeficiente vectorial.

Siempre es posible el cambio a un nuevo origen a→, que

convierta al coeficiente v→ de la ecuación de una cónica, en un vector v→' cuya dirección sea la del versor n→ antes definido.

Sean vm y vn los coeficientes de v→ según m→ y n→

respectivamente, y am y an los de a→ cualquiera. Se verifica:

v→' = τ→a→+v→ = a→m+va→n+v

→m+v→n = (am+vm)m

→ + (van+vn)n→

Los nuevos puntos origen a→ utilizados, que deberán

cumplir am=-vm, tendrán por expresión general: (25) a→ = -vmm

→ + ann→

siendo arbitrario an. A ellos corresponderán los vectores v

→' de dirección n→ siguientes: (26) v→' = (van + vn)n

→

1.04.- El l.g. de los puntos a→ utilizados en el párrafo anterior, es un eje de la cónica, cualquiera que ésta sea.

Efectivamente, cumple una primera condición, la de ser una recta de dirección n→, que es la de Nuc τ→ cuando éste no es nulo y bastará demostrar ahora, que contiene todos los puntos con v→'=0

→ (ó sea la variedad central en las cónicas centradas), y los

puntos con v→'=vnn→ (eje y vértice en las cónicas sin centro),para

lo que utilizaremos las ecuaciones (25) y (26).

a0) Cónicas centradas (v→∈Im τ→).

Caso v≠0 (cónica simple centrada). Para algún valor

95

único de an tendremos v→'=0

→ , y el centro es un punto.

Caso v=0 (cónica cilíndrica centrada). Como Im τ→ es ahora unidimensional, siempre se tienen vm=v y vn nulo. Con todo an resultará v

→'=0→, y la variedad central es la recta.

b) Cónicas sin centro (v→∉ Im τ→, vn≠0

→)

Caso v=0 (parábola). Para cualquier an: tendremos

v→=vnn→, y la recta es el eje.

Caso v≠0 Imposible. Pues Nuc τ→ se reduciría a 0→.

1.05.- Forma de la ecuación general de las cónicas, para un origen situado en un punto cualquiera de su eje de dirección n→, cuando al versor propio m→ de τ→ corresponde el valor propio µ=+1. (I

→- e→⊗e→)(x→⊗x→) + 2hn→x→ + α = 0

Si en la ecuación A=0 original, el coeficiente

tensorial no fuera igual a I→-e→⊗e→, siempre habrá una ecuación

sA=0 equivalente, en que esto ocurra para algún valor del escalar s.

1.06.- Clasificación de las cónicas atendiendo a los valores de e,h y α que las determinan en la ecuación anterior. Nos basaremos en la clasificación de C'2.03 y en lo siguiente:

a) Con cualquier cónica siempre se verifica m→∈Im τ→; v=1-e2; τ→>0 ó τ→><0, así como: τ→ = m→⊗m→ + (1-e2)(n→⊗n→) ⇒ v→ = hn→ ⇒ v→⊗v→ = h2(n→⊗n→)

b) Sólo con parábola y cilindros se tendrá Nuc τ→ = kn→ y unidimensional. Por tanto v = 1-e2 = 0, ó sea e=1, y también:

ατταττττ

rrrrrrrrrrrr = )]vv( - [ = ’ 0;=)vv( ;mm = -1-1-1 ⊗⊗⊗ c) Sólo con cónicas centradas simples se tiene n→∈Im τ→ y

por tanto Im τ→ es bidimensional y también v = 1-e2 ≠ 0, ó sea e≠1. También sabemos que, para valores propios de igual signo, tendremos e<1 y para valores propios de distinto signo, e>1.

d) Finalmente, con las cuádricas centradas en general, podremos aplicar el criterio de A'2.07 conociendo:

;e-1h=)vv( );nn(

e-11

+ mm = 2

21-

21- rrrrrrrr ⊗⊗⊗ ττ

e-1

h -)e-(1 =

e-1h- = )vv( -

2

22

2

21- αατα rrr ⊗

La clasificación es pues:

96

e>1 │(1-e2)α ≠ h2 Hipérbola. (a) │(1-e2)α = h2 Cono.

│(1-e2)α < h2 Elipse real. (b)

e<1 │(1-e2)α = h2 Punto. │(1-e2)α > h2 Elipse imaginaria. (c)

│ α<0 2 rectas reales paralelas.

│h=0 │ α=0 1 recta doble. e=1 │(d) │ α>0 2 rectas imag. paralelas.

│ │h≠0 Parábola.

Las notas que se detallan a continuación, se justifican

por el estudio de los focos de las cónicas que se desarrolla en los párrafos siguientes.

(a) Para (1-e2)α>h2 precisa α<0. La dirección de n→ es la del eje imaginario.

Para (1-e2)α<h2 es suficiente α>0. La dirección de n→ es siempre la del eje real, donde se encuentran los focos.

(b) Para (1-e2)α<h2 es suficiente α<0. La dirección de n→ es la del eje mayor.

(c) Para (1-e2)α>h2 precisa α>0.

(d) Como foco se puede considerar el punto del infinito de dirección n→.

2.- Focos de una cónica.

2.01 Definición.

Llamaremos foco de una cónica a todo punto desde el cual, tomado como referencia, la ecuación de la cónica tiene la siguiente expresión: (27) (I

→-e→⊗e→)(x→⊗x→) - 2pe→x→ - p2 = 0

Todo foco está en el eje de la cónica de dirección n→,

ya que esta ecuación se ajusta a la ecuación general antes obtenida, relativa a puntos de tal eje, y que es: (I

→- e→⊗e→)(x→⊗x→) + 2hn→x→ + α = 0

2.02.- Partiendo de esta última ecuación, podemos

hallar las condiciones de existencia de los focos, al cambiar el origen al punto b

→=kn→ (que es del mismo eje), exigiendo a la nueva

ecuación resultante, que los coeficientes vectorial y escalar estén en la relación pen→ a p2. Efectivamente:

Omitiendo el cálculo, la nueva ecuación para el nuevo origen b

→=kn→ resulta:

(I

→-e→⊗e→)(x→⊗x→) + 2[(1-e2)k+h]n→x→ + (1-e2)k2 + 2hk + α = 0

97

La condición para la existencia de focos será:

α- 2hk- k)e-(1- = e

h + )ke-(1 222 2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

de donde se obtiene la ecuación de 21 grado en k: (1-e2)k2 + 2hk + h2 + αe2 = 0

Para e≠1, el discriminante es e2[h2-(1-e2)α], de donde:

e=0 (Circunferencia) Raíz doble. e>0; h2 = (1-e2)α Raíz doble. e>0; h2 < (1-e2)α No hay solución. e>0; h2 > (1-e2)α 2 raíces distintas.

Para e=1, la ecuación en k es:

2hk + h2 + α = 0 y hay un foco para:

2h + h- = k

2 α

2.03. Cónicas representables por la ecuación:

(I

→-e→⊗e→)(x→⊗x→) - 2pe→x→ - p2 = 0

Como esta ecuación es un caso particular de la anterior

ecuación general, con una ligadura especial entre los dos últimos coeficientes, veamos qué ocurre ahora con las expresiones usadas en la clasificación de cónicas de '1.06.

Tendremos h=-pe; h2=p2e2; α=-p2. Para e>1 se verifica:

(1-e2)α = h2 ⇔ (1-e2)(-p2) = p2e2 ⇒ p=0 (1-e2)α > h2 ⇔ (1-e2)(-p2) > p2e2 ⇒ e2-1>e2 Imposible (1-e2)α < h2 ⇔ (1-e2)(-p2) < p2e2 ⇒ e2-1<e2 Se cumple.

Para e<1:

(1-e2)α = h2 ⇔ (1-e2)(-p2) = p2e2 ⇒ p=0 (1-e2)α > h2 ⇔ (1-e2)(-p2) > p2e2 ⇒ e2-1>e2 Imposible (1-e2)α < h2 ⇔ (1-e2)(-p2) < p2e2 ⇒ e2-1<e2 Se cumple

Para e=1:

h=0 ⇔ p=0 ⇒ α=0 h≠O ⇔ p2≠0

Por consiguiente las cónicas representadas son:

98

e>1 │p=0 Cono. Eje dirección n→.

│p≠0 Hipérbola. 2 focos en eje dirección n→.

e<1 │p=0 Punto │p≠0 Elipse real. 2 focos en eje dirección n→.

e=1 │p=0 Una recta doble dirección n→.

│p≠0 Parábola. Eje dirección n→ y, por no tener focos, ni la elipse imaginaria, ni las dos rectas paralelas, sean éstas reales ó imaginarias, son representables. 2.04.- La ecuación (27) de las cónicas referida a un foco, se puede simplificar efectuando el producto del primer término y agrupando los 3 últimos términos que resultan al sustituirlo en la ecuación: (I

→-e→⊗e→)(x→⊗x→) = I→(x→⊗x→) - (e→⊗e→)(x→⊗x→) = x2 - (e→x→)2

x2 - (e→x→)2 - 2pe→x→ -p2 = 0 (28) x2 - (e→x→ + p)2 = 0 2.05.- Hay un par de ecuaciones distintas de la misma cónica respecto a focos, que se distinguen solamente por el signo de pe→ y ambas cumplen las condiciones solicitadas, pues (pe→)2=(-pe→)2. Corresponden a las dos soluciones que se obtienen en '2.03 cuando el discriminante es positivo, o sea una a cada uno de los dos focos de la cónica.

Como v→=-pen→, o bien el signo de p, o bien el sentido de n→ en su dirección, son arbitrarios para una determinada cónica y foco origen, y por tanto, para pasar de la ecuación respecto a un foco a la ecuación respecto al otro, es lo mismo cambiar en la ecuación el signo de p, que cambiar -n→ por n→. Efectuando los dos cambios a la vez, la ecuación resulta entonces equivalente a la primitiva, y por tanto, para las mismas cónica y foco.

3.- Cónicas centradas reales.

3.01.- Convenio. Establecido un foco F de referencia de una cónica de centro O, tomaremos siempre, de ahora en adelante, n→ en sentido F

_O→.

3.02.- Dada la ecuación (27) de la cónica, al referirla

al centro (Punto F_O→=fn→), sabemos (B'1.04) que v→' debe ser nulo:

v→' = (I

→-e→⊗e→)fn→-pen→ = fn→ - fe2n→ - pen→ = (1-e2)fn→ - pen→ =0;

e-1

pe = f

2

y dado el convenio adoptado, se tendrá también:

99

f positivo. p>0...Elipse. p<0...Hipérbola.

3.03.- Obtención de la ecuación repecto al centro O. τ→(fn→ ⊗ fn→) = [(1-e2)fn→]fn→ = f2(1-e2); v→(fn→) = -pen→(fn→) = -pef

α' = τ→(fn→⊗fn→) + 2v(fn→) - p2

α' = f2(1-e2) - 2pef - p2 =e-1p

- = e-1

)e-(1p-

e-1ep2-

e-1ep

2

2

2

22

2

22

2

22

La ecuación de la cónica respecto a su centro será:

(29) 0 = e-1p

- )xx)](nn(e - I[ 2

22 rrrrr

⊗⊗

ó también, como I

→=(m→⊗m→ + n→⊗n→), al sustituir y operar resulta:

0 = 1 + )xx()mm(pe-1 - )nn(

p)e-(1

- 2

2

2

22 rrrrrr⊗⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⊗⊗

y haciendo

e-1p

= b ;e-1p

= a2

22

2

obtendremos finalmente:

1 =b

)xm( +

a

)xn(2

2

2

2 rrrr

que es la ecuación que se utiliza corrientemente para la elipse. Por ella es fácil ver que a es la longitud del semieje mayor y b la del semieje menor.

Para una hipérbola, tendremos 1-e2 negativo y por tanto

b2 también negativo. Escribiremos para este caso:

1 = b

)xm( -

a

)xn(2

2

2

2 rrrr

y es la ecuación usada habitualmente para la hipérbola. Se ve por ella que a es el semieje, ó semieje real. A |b| lo expresamos por b y referido al 21 eje de la hipérbola, lo denominamos semieje imaginario.

3.04.- De las expresiones que definen f,a y b se deducen fácilmente los valores de p, e y f en función de a y b, y que son los siguientes:

100

Semiparámetro fe-a = ab = p2

Distancia focal b-a = f 22

Excentricidad af =

ab-a = e22

Corrientemente las letras f,b y p se utilizan con el significado |f|,|b| y |p|. Al semieje a y a la distancia focal f se las considerará siempre positivas. El valor p de una cónica centrada, entenderemos aquí que coincide con el que figura en la ecuación de la misma referida a uno de sus focos F tal que F

_O→

tiene el mismo sentido que n→. Asimismo, de la expresión de la excentricidad, resulta

que, en módulos, f es mayor que a en la hipérbola y que es menor que a en la elipse, llegando a anularse en la circunferencia.

3.05.- Para elipses y hipérbolas, las dos formas de la ecuación (28): x→2 - (e→x→ + p)2 = 0; x→2 - (e→x→ - p)2 = 0 se refieren respectivamente a los dos focos de la cónica. La 20 ecuación se obtiene de la primera, cambiendo el signo de p ó lo que es equivalente cambiando n→ por -n→.

3.06.- Sea, con f≠0, el vector -fn→ con origen en el centro determina un foco F. Para una elipse se tiene p>0; a>f y

para una hipérbola p<0;a<f y en los dos casos si A es el vértice

A F

r→ r→’b

af FO O

b

A

a

f

r→r→’

101

contiguo a F, el versor de pA_F→ es n→.

3.07.- Radios vectores.

Se denomina radio vector de un punto de una elipse o

hipérbola al vector de posición del punto respecto al foco origen. Como hay dos focos que podemos tomar como origen, cada punto de la curva tiene dos radios vectores, que denominaremos r→ ó r→' según se refieran al foco F ó al foco F'

Las ecuaciones corrrespondientes las estableceremos así:

Origen F: r→2 - (e→r→ + p)2 = 0 Origen F': r→'2 - (e→r→' - p)2 = 0

y tomaremos n→ en el sentido pA

_F→.

3.08.- Expresión de la norma de un radio vector: r→2 = (e→r→+p)2 = (en→r→+a-ae2)2 = [e(n→r→)+a-fe]2=[a+e(n→r→-f)]2

Por tanto, para r→' tenemos, con -n→ en vez de n→: r→'2 = [a+e(-nr→'-f)]2

Cuando r→ y r→' se refieren al mismo punto, tendremos: r→-r→'= 2fn→; n→r→ - n→r→' = 2f > 0

a) Elipse. Los módulos de los radios vectores son. r = a + e(n→r→ - f) > 0 r' = a + e(-n→r→' - f) > 0 y por tanto, para un mismo punto, tenemos: r + r' = 2a + e(n→r→-n→r→'-2f) = 2a

b) Hipérbola. Los módulos de los radios vectores son: Radio vector largo: r = a + e(n→r→ - f) > 0 Radio vector corto; r' = -[a + e(-n→r→' - f)] > 0 y para un mismo punto tendremos: r - r' = 2a + e(n→r→-n→r→'-2f) = 2a

4.- Parábola.

4.01.- Para una parábola, como e=1 y p≠0, la ecuación general (28) referida al foco, toma la siguiente forma: 0=x→2-(x→n→+p)2 = I

→(x→⊗x→)-(n→⊗n→)(x→⊗x→) - 2px→n→ - p2 ⇔

⇔ (m→⊗m→)(x→⊗x→) - 2pn→x→ - p2 = 0

102

La ecuación de la parábola respecto al punto s→=kn→ que sea el vértice habrá de tener el coeficiente escalar nulo, y esto nos permite determinar k: 0 = τ→(kn→ ⊗ kn→) + 2v→(kn→) - p2 = 2(-pn→)(kn→) - p2 = -2pk-p2

Tenemos por consiguiente k=-2p y s→=-2pn→ y la ecuación de la parábola respecto al vértice será: v→' = τ→(-2pn→) + v→ = v→ = -pn→ (m→⊗m→)(x→⊗x→) - 2pn→x→ = 0 ⇔ (m→x→)2 - 2p(n→x→) = 0 ecuación en la que p llamado semiparámetro, tiene igual valor que en la ecuación respecto al foco, y que es la usada habitualmente.

4.02.- La definición de radio vector de '4.01 es válida

para las parábolas, pero para éstas hay un radio vector único que corresponde al foco único.

4.03.- Las parábolas, pueden considerarse como límites sea de una elipse ó de una hipérbola al hacerse infinito su eje mayor y alejarse infinitamente el segundo foco. El signo de p y el sentido de n→ cambiarán ambos, según que la parábola se considere extremidad de una elipse de eje infinito ó de una hipérbola de eje infinito.

5.- Propiedades comunes a elipse, hipérbola y parábola.

5.01.- La sección ortogonal a n→ por un foco, determina dos puntos de la cónica cuya distancia al foco es el semiparámetro p.

Pues para ellos r→ es ortogonal a e→ y por tanto r→e→=0 y la ecuación (28) se convierte en x→2-p2=0 y se tiene |x→| = |p|.

5.02.- Sabemos por el estudio general de las cuádricas que el vector τ→x→+v→ es normal a la cuádrica por su punto x→.

Vamos a ver ahora que los vectores τ→x→+v→ normales a un punto x→ de una cónica que se obtienen de las ecuaciones (27) referidas a cada foco, coinciden.

Sean r1 y r2 los radios vectores de un punto y v→1=-pe

→ y v→2=pe

→, los coeficientes vectoriales respectivos para cada foco de referencia. Tendremos: (τ→r→1+v

→1) - (τ

→r2+v→2) = τ

→(r→1-r→

2)-2pe→ = τ→(2fn→)-2pen→ =

= 2(fτ→n→ -pen→) = 2[f(I→-e→⊗e→)n→-f(1-e2)n→] = = 2[f(n→ - e2n→) - f(1-e2)n→] = 0

5.03.- La proyección del vector anterior sobre

103

cualquier radio vector del punto, es de igual módulo que p. La proyección será:

r

p)re)(re(-r=

rr

p)]re(e-r[=rr]epe)re(-r[=

rr)v+r(

mrrrrr

mrrrr

rrrrrr

rrrr

±τ

Como (e→r→m p)2=r2, el cuadrado de la proyección será:

=)re(+p)re)(re2(-r=r

)pre()re(+p)re)(re2(-r 22

2

222 rr

mrrrrm

rrrrmrrrr

= r2- (e→r→)2±2e→r→p = r2-(e→r→m p)2+p2 = p2

5.04.- TEOREMA 1.- En un punto de una cónica, las direcciones de tangente y normal son bisectrices del ángulo formado por sus radios vectores. El caso de parábola lo consideraremos igual al de una cónica centrada en el caso límite de que uno de los focos se desplaza infinitamente.

Es consecuencia evidente de los dos párrafos anteriores. 5.05.- De la ecuación ((28) general de las cónicas y en relación con sus soluciones, que son los radios vectores, se obtienen dos relaciones complementarias entre el valor de p de la cónica y los módulos r de los radios vectores. (30) (e→=en→): e→r→ + p = ± r y observaremos que la del signo superior corresponde a puntos de:

Elipse. Rama de hipérbola opuesta al foco origen. Parábola con p positivo

y la del signo inferior a puntos de:

Rama de hipérbola correspondiente al foco origen. Parábola con p negativo.

En lo sucesivo la presencia de los dos signos se

interpretará del modo que hemos descrito.

5.06.- Valores a considerar para un punto de una cónica de radio vector r→ de origen F.

Son los siguientes:

F_S→ = Proyección sobre n→

N_P→ = Normal.

F_N→

S_N→ = Subnormal.

D

r→

F

P

N SO

R

T

104

5.07.- Vamos a hallar estos valores en función de r→, p

y e, partiendo de las ecuaciones (27) y (29).

a) El vector normal τ→r→+v→ es la suma vectorial del vector r→ y de un vector de dirección n→. Efectivamente: τ→r→+v→= (I→-e→⊗e→)r→-pe→= r→-(e→r→)e→ -pe→ =r→-e→(e→r→+p) = r→m e→r

Por consiguiente se tiene: N

_P→ = r→ m e→r

F_N→ = r→-N

_P→ = ±e→r = ±ern→

b) La norma y módulo de N_P→ es

N_P→2 = (r→m e→r)2 = r2+e2r2m 2r(e→r→) = r2+e2r2m 2r(±r-p) = (e2-1)r2±2rp

2rp r1)-e( = NP 22 ± c) La proyección de r→ sobre el eje será:

nep- r

= nere

= n)rn(=FSrr

rrrrr ±

d) Para la subnormal tendremos:

ne

)re-(1p = n

ererp

= nererp

= ner)rn(- = FN+FS- = SN22 rmrmrmrrr ±

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ±±

5.08.- En una parábola, con e=1, los valores serán:

N_P→ = r→m rn→; F

_N→ = ±rn→; F

_S→ = (±r-p)n→; NP = rp = NP ± ; S

_N→ = pn→

5.09.- Se llaman directrices de una cónica a las 2

rectas ortogonales al eje n→, tales que para todo punto de la cónica de radio vector r→ y distancia d=|D

_F→+F_S→| a la directriz del

lado de F , ó sea con D_F→ y F

_O→ de igual signo, se verifica r=ed.

r = e|D

_S_| = |eD

_F_n→+(±r-p)n→| = eD

_F_

±r-p

ep

= e

p)-r(- r=

eFSe-r

= DF±±

y para f≠0 hay tantas directrices como focos.

105

6.- Aplicaciones diversas a las cónicas. 6.01.-Diámetros conjugados a una dirección plana T.

Aquí la dirección plana por ser unidimensional, será la

de un vector tal como t→ y dado que en una parábola todos los

diámetros son de igual dirección, que es la de Nuc τ→, solo tienen interés las cónicas centradas. Éstas corresponden al caso b) de B'12.04, por el cual sabemos que la dirección del diámetro conjugado a la dirección de t

→ es la dirección de t→'=τ→-1b→ con la

condición b→t→=0, que para b

→∈Im τ→, puede escribirse, con reciprocidad entre t

→ y t

→', así:

0 = (τ→t→')t→ = τ→(t→'⊗t→)

6.02.- Cuádricas conjugadas. Recordaremos que en B'16.01 vimos que si la ecuación de una cuádrica es τ→(x→⊗x→)+2vx→+α=0, la ecuación de la cuádrica conjugada es: τ→(x→⊗x→) + 2(v→i-v

→n)x→ + 2τ→-1(v→⊗v→) - α = 0

La ecuación general (29) obtenida ahora para las

cónicas con referencia a su centro y a sus valores de p y e es:

[m→⊗m→ + (1-e2)(n→⊗n→)](x→⊗x→) -e-1p

2

2

= 0

y aplicando la regla anterior a esta ecuación, la ecuación de la cónica conjugada será:

[m→⊗m→ + (1-e2)(n→⊗n→)](x→⊗x→) +e-1p

2

2

= 0

y haciendo

e-1p

= b ;e-1p

= a2

22

2

obtendremos finalmente la ecuación de la conjugada:

1- = b

)xm( +

a

)xn(2

2

2

2 rrrr

tal que, si la ecuación original era de una elipse real, resultaría ser ahora la ecuación correspondiente a una elipse imaginaria, y si la ecuación original hubiese sido de una hipérbola, tendríamos b2<0 con la ecuación de la conjugada así:

1 = a

)xn( -

b

)xm(2

2

2

2 rrrr

106

que también es de una hipérbola en la que los semiejes conservan la posición y magnitud de la hipérbola original pero permutando las funciones de real e imaginario.

6.03.- Cono asintótico. De acuerdo con su definición, solo existe para las hipérbolas, es común para una hipérbola y su conjugada y su ecuación referida al centro es: [m→⊗m→ + (1-e2)(n→⊗n→)](x→⊗x→) = 0 ⇔

a

b =

xnxm

0 = b

)xm( -

a

)xn(2

2

2

2

±⇔ rr

rrrrrr

El cono asintótico está formado pues por las diagonales

del rectángulo que forman las paralelas a los ejes por los extremos de los semiejes.

6.04.- Hemos desarrollado el estudio de las propiedades de las cónicas a partir de la ecuación general de las cónicas cuyo foco o focos se encuentran situados en el eje n→ definido al principio, pero esta ecuación no corresponde a la totalidad de las cónicas.

Las cónicas que faltan son las cónicas centradas conjugadas de las estudiadas y son las elipses imaginarias que tienen escasa utilización y las hipérbolas conjugadas cuyas propiedades son las mismas que hemos visto y que sólo difieren en la orientación en el espacio

107

F.- CUADRICAS OSCULATRICES - CURVATURAS.(Dim E =n>1)

1.- Cuádricas tangentes y osculatrices.


Sean dos cuádricas reales A1 y A2, con un punto a→ no

central de ninguna, que sea común a las dos cuádricas. Estaremos pues en el caso de cuádricas propias y de que las respectivas tangentes por a→ serán planos.

Decimos que las dos cuádricas son tangentes en a→, cuando coinciden los respectivos planos tangentes en a→, o sea cuando coinciden las respectivas direcciones normales en a→.

Decimos que las dos cuádricas son osculatrices en a→, cuando son tangentes en a→ y cumplen la siguiente condición:

Sea un plano secante paralelo a la tangente común en a→ y a la distancia n→ de ésta. Consideremos para los dos cuádricas que resultan de la intersección del plano secante con A1 y A2, las dos ecuaciones correspondientes al plano secante, obtenidas tomando como referencia el punto intersección de dicho plano con la normal en a→.

La condición es, que las dos ecuaciones sean equivalentes en el entorno infinitesimal de a→, al tender n a cero.

1.02.- TEOREMA 1.- Dos cuádricas A1 y A2 son tangentes en un punto si y sólo si, los coeficientes vectoriales de sus respectivas ecuaciones respecto al punto son de igual dirección. Esta dirección común es la de la normal en el punto.

Sean, referidas al punto, las siguientes ecuaciones de las cuádricas:

A1 τ→1(x→⊗x→) + 2v→1x

→ = 0 A2 τ→2(x

→⊗x→) + 2v→2x→ = 0

en las que v→1 y v→2 no son nulos, pues las ecuaciones, por hipótesis, no se refieren a un centro.

Las ecuaciones de las respectivas tangentes en el origen son: v→1x

→ = 0; v→2x→ = 0

y como para que las cuádricas sean tangentes estas tangentes deben coincidir, sus ecuaciones serán equivalentes, o sea: (∃λ; λ≠0): v→1 = λv

→2

y su dirección es la de la normal común en el punto.

108

1.03.- TEOREMA 2.- Sean dos cuádricas A1 y A2,

distintas, tangentes en un punto, y sea v→1=λv→2 la relación entre

los coeficientes vectoriales de sus respectivas ecuaciones referidas al punto. Tales cuádricas son osculatrices en este punto si, y solo si, las proyecciones de los coeficientes tensoriales τ→1 y τ

→2 sobre el plano tangente verifican la relación τ

→'1 = λτ

→'2.

Sean las ecuaciones de les cuádricas tangentes respecto al punto de tangencia, las siguientes: τ→1(x

→⊗x→) + 2v→1x→ = 0

τ→2(x→⊗x→) + 2v→2x

→ = 0

Las ecuaciones respecto al punto n→ en dirección de la normal serán: τ→1(x

→⊗x→) + 2(τ→1n→+v→1)x

→ + τ→1(n→⊗n→) + 2v→1n

→ = 0 τ→2(x

→⊗x→) + 2(τ→2n→+v→2)x

→ + τ→2(n→⊗n→) + 2v→2n

→ = 0 y desarrollando las expresiones: τ→1(x

→⊗x→) + 2(τ→1n→)x→ + 2v→1x

→ + (τ→1n→)n→) + 2v→1n

→ = 0 τ→2(x

→⊗x→) + 2(τ→2n→)x→ + 2v→2x

→ + (τ→2n→)n→) + 2v→2n

→ = 0

Cuando n→ y x→ tienden a cero, en cada ecuación pueden despreciarse los términos segundo y cuarto frente al valor del quinto, con lo que queda: τ→1(x

→⊗x→) + 2v→1x→ + 2v→1n

→ = 0 τ→2(x

→⊗x→) + 2v→2x→ + 2v→2n

→ = 0

Como v→1 y v→2 tienen la dirección normal a la tangente

común, tendrán una proyección nula sobre el plano tangente. Por lo tanto, designando por τ→'1 y τ

→'2 las proyecciones de τ→

1 y τ→2

respectivamente, sobre dicho plano, las ecuaciones de las cuádricas intersección de las originales por un plano paralelo al tangente común a la distancia n→, referidas al espacio de este plano y al punto n→ serán las siguientes: τ→'1(x

→⊗x→) + 2v→1n→ = 0

τ→'2(x→⊗x→) + 2v→2n

→ = 0

Las cuádricas intersección son tangentes en el punto común, pues v→1 = λv

→2. Por consiguiente, sus anteriores ecuaciones

serán equivalentes si, y sólo si, se verifica τ→'1=λτ→'2.

Queda pues demostrada la proposición.

1.04.- Consecuencias de los párrafos anteriores:

10.- Si dos cuádricas son osculatrices (resp.

tangentes) en a→, sus intersecciones con una variedad de dimensión n>1 que contenga a a→, son también osculatrices (resp. tangentes)

109

en a→

20.- Si dos cuádricas son osculatrices en un punto y una de ellas es un cilindro de generatriz m-dimensional también lo es la otra, y coinciden las direcciones de las generatrices cilíndricas.

30.- Si dos cuádricas son osculatrices en un punto, también lo son en otro cualquiera de su generatriz cilíndrica.

40.- Si en un mismo punto dos cuádricas son osculatrices (resp. tangentes) de una tercera, son osculatrices (resp. tangentes) entre sí.

1.05.- Recordaremos que el tensor τ→' es invariante respecto al punto de referencia utilizado en el cálculo, puesto que tanto el coeficiente τ→ como el plano tangente y su coeficiente τ→0 tienen esta invariancia.

Se demuestra (Variedades lineales E'2.03) que la proyección ortogonal τ→' de un tensor simétrico τ→ de segundo orden sobre un plano ortogonal a un versor b

→,

a) Es nula si y sólo si estamos en uno de los dos casos

siguientes:

11. (∃λ): τ→ = λ(b→⊗b→) 21. b

→∈Im τ→; τ→-1(b→⊗b→)=0; Dim (Im τ→) = 2

b) Es igual a τ→ (en su espacio) si y sólo si:

(b→≠0): b→∈ Nuc τ→

1.06.- Caso τ→'=0→.- Como respecto a un punto de

tangencia, en las ecuaciones de cuádrica y tangente tenemos b→=v→,

de las cinco posibilidades descritas en B'12.14 para τ→'=0→, sólo quedan dos:

10. τ→=λ(v→⊗v→): La cuádrica es dos planos paralelos, pues:

s=1; p= Dim Nuc τ→ = n-1; v→∈Im τ→ ⇒ m=p

20. v→∈Im τ→; τ→-1(v→⊗v→)=0; Dim (Im τ→) )= 2 La cuádrica es dos planos secantes, pues:

Dim (Im τ→) = 2 ⇒ p=n-2 que junto con τ→-1(v→⊗v→)=0 ⇒ τ→><0 determina s=1. Dim Im τ→ = 2; v→∈Im τ→ ⇒ m=p

1.07.- Caso τ→'=τ→,- Por igual motivo, el tensor τ→' coincide con τ→ (en el espacio de τ→) si, y sólo si el punto de tangencia origen pertenece al vértice de una cuádrica sin centros.

Pues la ecuación de la cuádrica respecto a un punto de tangencia no central, es:

110

(v≠0→): τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ = 0 y coincide con la ecuación de una cuádrica sin centros respecto a un punto del vértice si y sólo si v→=b

→ pertenece a Nuc τ→.

1.08.- TEOREMA 3. Dos cuádricas sin centros,

osculatrices en un punto común de sus vértices, coinciden.

Las ecuaciones de las dos cuádricas, referidas al punto común de sus vértices, son: (v→1≠0

→;v1∈Nuc τ

→1): τ

→1(x→⊗x→) + 2v→1x

→ = 0 (v→2≠0

→;v2∈Nuc τ

→2): τ

→2(x→⊗x→) + 2v→2x

→ = 0

Siendo tangentes en el vértice, tendremos v→1=λv→

2, y siendo osculatrices en el vértice, tendremos τ→'1=λτ

→'2, y acabamos de ver que entonces τ→1=τ

→'1 y τ→

2=τ→'2.

Por consiguiente tendremos también τ→1=λτ

→2 y las

ecuaciones son equivalentes.

1.09.- TEOREMA 4. Dada una cuádrica propia real cualquiera, para todo punto no central de la misma existe siempre una cuádrica osculatriz sin centros, con vértice en el punto, y es única. Para τ→'=0→ degenera en el plano tangente.

La ecuación general de la cuádrica referida al punto es de la forma: (v→≠0→): τ→(x→⊗x→) + 2v→x→ = 0

Si τ→' es la proyección de τ→ sobre la tangente en el punto, tendremos que la ecuación: τ→'(x→⊗x→) + 2v→x→ = 0 por ser v→ ortogonal a la tangente en el origen y por tanto a todas las direcciones de la tangente que constituyen Im τ→', es la ecuación de una cuádrica sin centros con vértice en el origen. Es también osculatriz en el origen con la cuádrica original, puesto que hemos visto que la proyección de τ→' sobre la cuádrica original es τ→'.

Es única, puesto que si hubiese otra, su ecuación debería tener iguales coeficientes o proporcionales.

Par τ→'=0→, la ecuación se convierte en v→x→ = 0 ó sea que la cuádrica sin centros degenera en la tangente.

1.10.- En un espacio bidimensional, una parábola tiene en el vértice un único círculo osculador. Dada la parábola por su ecuación general relativa al vértice y a cualquier valor de µ no normalizado a +1:

111

µ(t→⊗t→)(x→⊗x→) + 2v→x→ = 0 (t

→=m→= versor de la tangente en el vértice)

(v→=kn→; n→=versor normal a la tangente en el vértice) el centro del círculo osculador es

µv

- = cr

r

Pues la ecuación del círculo osculador, por ser círculo

y por ser tangente en el vértice, ha de tener la forma: (∃λ≠0): λI→(x→⊗x→) + 2v→x→ = 0 y por ser osculador, tendremos: (λI→)' = (I→-τ→0)∗λI→∗(I→-τ→0) = µ(t→⊗t→) ⇔ λ(I→-τ→0) = µ(t→⊗t→)

Pero I

→= t

→⊗t→ + n→⊗n→ con τ→0= n→⊗n→ y por tanto: I

→-τ→0 = t

→⊗t→ ⇔ µ=λ

El círculo osculador queda pues determinado por la siguiente ecuación: µI→(x→⊗x→) + 2 v→x→ = 0 y el centro del círculo será

µ

µ v- = v)I(- = c 1-r

rrr

1.11.- Consecuencia:

En un espacio bidimensional y en un punto de una

cuádrica, hay un círculo osculador y es único. En el límite, cuando µ tiende a cero, coincide con la tangente y su radio es infinito.

2.- Curvatura.


Llamamos radio de curvatura de una cuádrica real propia en uno de sus puntos y respecto a una variedad bidimensional perpendicular en el punto a su tangente, al radio del círculo osculador, en el punto, de la cuádrica intersección de la cuádrica original con la citada variedad.

Respecto a la misma cuádrica, punto y variedad lineal utilizadas para definir un radio de curvatura, llamamos curvatura de la cuádrica al valor inverso del radio de curvatura.

112

2.02.- TEOREMA 5. Sea la cuádrica real propia de

ecuación τ→(x→⊗x→)+2v→x→ = 0 referida a uno de sus puntos, y una variedad lineal secante, que contiene al punto y es perpendicular a la tangente en el punto, cuya ecuación es τ→1x

→ = 0.

Sean también τ→' la proyección de τ→ sobre la tangente, {e→i} una base ortonormal del espacio tangente, ó sea de Im τ

→', formada por versores propios de τ→', y {αi} los valores propios correspondientes a esta base. Por tanto τ→'= ∑αi(e

→i⊗e→

i).

Sea finalmente t→=∑(βje

→j) la expresión del versor de la

intersección entre tangente y variedad lineal en función de la base ortonormal anterior

Llamando ρ al radio de curvatura, se verifica:

v

)( =

1 ;

)(

v =

i2

i

i2

i

βαρβα

ρ∑

∑

Evidentemente, para un mismo punto de la cuádrica y la

misma variedad secante, tienen los mismos radio de curvatura y curvatura tanto la cuádrica original como cualquier otra que le sea osculatriz en el punto. Por consiguiente, para el cálculo de curvaturas podremos sustituir la cuádrica original por la que tiene por ecuación: τ→'(x→⊗x→) + 2v→x→ = 0 que es osculatriz en el punto y no tiene centros. El punto de osculación es el vértice de esta última cuádrica.

Si llamamos n→ al versor de la normal en el punto, n→ será ortogonal a t→ y el tensor unidad del espacio de la variedad bidimensional será: I

→ - τ→1

0 = t→⊗t→ + n→⊗n→

La proyección de τ→' sobre dicho espacio es:

τ→" = (I→ - τ→0) ∗ τ→' ∗ (I→ - τ→0) = = (t

→⊗t→ + n→⊗n→) ∗ ∑[αi(e→i⊗e→i)] ∗ (t→⊗t→ + n→⊗n→) =

= (t→⊗t→) ∗ ∑[αi(e

→i⊗e→i)] ∗ (t→⊗t→) = (t→⊗t→) ∗ ∑[αi(t

→e→i)(t

→∗e→i)] = = [∑αi(t

→e→i)

2](t→⊗t→) = (∑αiβi

2)(t→⊗t→)

La proyección de v→ es:

v→" = (I

→-τ→1

0))v→ = (t→⊗t→ + n→⊗n→)v→ = v→

Por consiguiente, la cuádrica bidimensional

intersección tendrá por ecuación: (∑αiβi

2)(t→⊗t→) + 2v→x→ = 0

113

que, en el espacio de la variedad, corresponde a una parábola con vértice en el origen.

El centro del círculo osculador será por lo tanto

)(

v- = c

i2

iβα∑

rr

y en consecuencia, el radio de curvatura y la curvatura son, respectivamente:

v

)( =

1 ;

)(

v =

i2

i

i2

i

βαρβα

ρ∑

∑


Sea una cuádrica real propia y uno de sus puntos no

central.

Llamamos direcciones principales de la cuádrica en el punto, a las direcciones propias del tensor τ→', proyección ortogonal del coeficiente τ→ de la ecuación de la cuádrica sobre la tangente en el punto.

Variedades normales principales de la cuádrica en el punto, son las variedades bidimensionales determinadas por la normal en el punto y una dirección principal. Son, por lo tanto, perpendiculares al plano tangente.

Tanto las direcciones principales como las variedades normales principales, son evidentemente comunes a todas las cuádricas osculatrices en el punto con la cuádrica original.

Secciones normales principales. Son las cuádricas que resultan de la intersección de la cuádrica con una variedad normal principal. Para dos cuádricas osculatrices en el punto, son dos cuádricas también osculatrices en el punto, ambas del espacio de la variedad normal principal común.

Radios de curvatura principales y ccurvaturas principales. Son los correspondientes a secciones normales principales en el punto. Para dos cuádricas osculatrices en el mismo, sus valores son comunes.

2.04.- TEOREMA 6. Si los versores propios de τ→' (proyección ortogonal del coeficiente τ→ de la ecuación de la cuádrica sobre la tangente en un punto), es decir, los versores de las direcciones principales de la cuádrica en el punto, son {e→

i} con valores propios {αi}, y el coeficiente vectorial de la ecuación de la cuádrica referida al punto es v→, para cuádrica y punto los radios de curvatura y curvaturas principales de cada dirección principal son los siguientes:

114

v

= 1

;v

= i

iii

αρα

ρ

Pues en este caso el coeficiente βj será nulo para j≠i

y valdrá 1 para j=i, con lo que las ecuaciones generales se convierten an las últimas.

2.05.- Vemos así que las curvaturas principales nulas o radios de curvatura infinitos, corresponden a vectores propios de valor propio nulo, o sea a los vectores de Nuc τ→'.

2.06.- Como los radios de curvatura son módulos y por tanto siempre los podemos suponer positivos, podrá convenir considerarlos como coeficientes del vector centro y darles valores de distinto signo cuando los centros caigan en distinta zona de las dos en que el plano tangente divide al espacio. Podemos convenir a tal efecto, por ejemplo, que un radio principal de curvatura tiene siempre el signo del valor propio correspondiente.

Con tal convenio podemos escribir:

)1

( = v

)( =

1 ;

v =

1i2

i

i2

ii

i

βρ

βαρ

αρ

∑∑

y tendremos que algebraicamente, los máximos y los mínimos de la curvatura corresponden a los valores propios máximo y mínimo respectivamente.

También resulta que, si hay curvaturas principales de signos opuestos, existen siempre secciones normales con curvatura nula.

2.07.- De los valores τ→' y v→ que determinan las curvaturas de una cuádrica en un punto, se pueden deducir diversos escalares característicos.

Así por ejemplo:

a) Curvatura media. Llamaremos así al valor medio aritmético de las curvaturas principales en un espacio de n dimensiones:

1)v-(n

= v1-n

1 =

1 1i

m

δαρ

∑

(δ1 = ∑αi = traza de τ

→')

b) Coeficiente de curvatura de Gauss. Llamamos así al producto de las curvaturas principales:

115

v

= v

= 1

1-n

1-ni

1

δαρ

∏∏

(δn-1 = Determinante de τ

→' en el espacio de la tangente ó sea, invariante n-1 de la ecuación característica de τ→', considerando τ→' en el espacio total).

3.- Superficies osculatrices cualesquiera.

3.01.- Sea una superficie contínua cualquiera que respecto uno de sus puntos pueda representarse por la siguiente ecuación: 0 = 2v→x→ + τ→2(x

→⊗x→) + τ→3(x→⊗x→⊗x→) + ...

en que los coeficientes tensoriales son totalmente simétricos, con un subíndice que indica el orden tensorial. Esto siempre será posible si limitamos su validez a un entorno del origen con x suficientemente pequeño.

Evidentemente, para x→=dx→ infinitamente pequeño en el entorno del origen, en aproximaciones sucesivas, la superficie equivaldrá a las dadas por las siguientes ecuaciones;

0 = 2v→x→ Plano tangente. 0 = 2v→x→+τ→2(x

→⊗x→) Cuádrica. 0 = 2v→x→+τ→2(x

→⊗x→)+τ→3(x→⊗x→⊗x→) Superficie 3er grado.

etc, Así pues, a los efectos de osculación en un punto de la

superficie tomado como origen, podemos sustituir en el entorno infinitesimal del punto, la superficie dada por la cuádrica equivalente y será válido todo lo dicho hasta ahora.

3.02.- Vamos a relacionar ahora los resultados obtenidos para las cuádricas, con los relativos a una superficie cualquiera, al ser estudiados con un sistema de coordenadas curvilíneo que, por lo menos para el entorno del punto, reúna las siguientes características:

10.- A todo punto de la superficie corresponden n-1 curvas coordenadas sobre la superficie.

20.- La enésima curva coordenada, para la que sólo varía la coordenada yn, es ortogonal a la superficie para todo punto de la misma y el vector correspondiente de la base natural, es unitario. Por lo tanto, en los puntos de la superficie, el vector e→n=e

→n es ortogonal a los demás vectores de la base natural {e→i} y a sus duales de {e

→i}.

En consecuencia tendremos ∂i(e→

je→n) = 0.

3.03.- TEOREMA 7. Considerando para cada punto de la

superficie que el sentido de e→n es opuesto al del coeficiente v→

116

de la ecuación τ→(x→⊗x) +2v→x→=0 de la cuádrica equivalente que corresponde a su entorno, y llamando L

→ al tensor

v’

= Lτrr

se verifica:

El tensor simétrico L→ del plano tangente es la

proyección sobre este plano de las derivadas ∇⊗e→n y ∇⊗e→n y los coeficientes de L en al espacio tangente son las magnitudes fundamentales de Gauss de segundo orden correspondientes a superficie, punto y cuádrica.

Efectivamente:

a) Vamos a hallar una expresión de e→n=e→n al pasar del punto origen al punto dx→ de la superficie.

Versor normal en el origen: vv

- = e = e nn

rrr

Versor normal en el punto dx→:

=e

vxd

-1

vxd

-e=

evxd

2-1

vxd

-e=

)vxd

-e(

vxd

-e=

)v + xd(

v + xd-=ed+e

n

n

n

n

2n

n

2nn

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrr

rrrrr

τ

τ

τ

τ

τ

τ

ττ

= e)evxd

( + vxd

- e = )evxd

+)(1vxd

-e( = nnnnnrr

rrrrr

rrrrr ττττ

vxd

)ee - I( - e = vxd

)ee( + vxd

I- e = nnnnnn

rrrrrr

rrrr

rrrr τττ

⊗⊗

Ahora bien, I

→-e→n⊗e

→n es el tensor unitario G

→ del espacio

tangente y por tanto:

v

xd)GG(- =

vx)dG)(G(

- = vxd

G- = ed = ed nn

rrrrrrrrrrrrr ∗∗∗ τττ

Por ser dx→ un punto de la cuádrica o superficie, se

diferencia infinitamente poco de G→dx→, y como G∗τ→∗G es la

proyección de τ→ sobre el plano tangente, se verifica:

xdL- = xdv’

- = ed = ed nn

rrrr

rr τ

Por consiguiente, -L

→ coincide con la proyección sobre

el plano tangente de los tensores ∇⊗e→n y ∇⊗e→n.

b) Sabemos (Variedades lineales E) que si τ→' es la proyección ortogonal de τ→ sobre una variedad y σ→ es un tensor de

117

esta variedad, se verifica τ→'σ→= τ→σ→ y por consiguiente, para dos vectores base e→i y e

→j correspondientes al espacio tangente, con

e→j=∂jx→, tendremos:

-Lij = (∇⊗e→n)(e

→i⊗e→j) = [(e

→i∇)e

→n]e→

j = (∂ie→n)e→

j = = - e→n(∂ie

→j) = - e

→n(∂ijx

→) y la última expresión es la de una magnitud fundamental de Gauss de segundo orden correspondiente al punto,

3.04.- Consecuencias de los últimos párrafos:

10. Lij = - Γijn = Γinj = Γi

n

j = 2∂ngij Li

j = - Γi

j

n

20. El radio de curvatura y la curvatura en dirección del versor t→, se pueden expresar así:

)tt(L = 1

;)tt(L

1 =

rrrrrr ⊗

⊗ ρρ

Puesto que para la base ortonormal {p→i} de versores

propios de τ→', con t→ = ∑βjp→j se verifica:

ρ

βαΣβΣβΣαΣτ 1=

v)(

= )]p()p([v

)]pp([=)tt(

v’

= )tt(L i2

ikkjj

iii rrrrrr

rrrr

⊗⊗

⊗⊗

30. En vez de utilizar un versor t→ podemos utilizar un

vector u→ de igual dirección. Tomando una base {e→i} del espacio tangente, si este vector lo representamos por u→=st

→=uke→k tendremos:

uuguuL =

)uu(G)uu(L

= )tst(sG)tst(sL

= s

)tst(sL =

1nm

mn

jiij

2 rrrrrr

rrr

rrrrrr

⊗⊗

⊗⊗⊗

ρ

118

APENDICE

1.- Movimiento gravitatorio respecto un punto fijo.

1.01.- Vamos a estudiar la aplicación del álgebra

tensorial y de las cónicas al movimiento gravitatorio en el espacio tridimensional ordinario, respecto a un punto fijo que tomaremos como referencia, a través de la ecuación

r

rk- =

dt

rd312

2 rr

y de k1 y otras constantes, que vamos a calcular

El símbolo t es de una variable escalar (tiempo).

1.02.- 20 constante (escalar): dtrd

r = k2r

r× .

El valor mC

= dtrd

xrrr

r, que corresponde al momento cinético

específico del móvil, es un invariante incluso para esta ecuación más general:

dt

rd2

2r= φr→ (φ = escalar función de r→)

Efectivamente:

0 = )rxr( + 0 = dt

rdxr + dtrd

xdtrd

= dtrd

xrdtd

2

2 rrrrrr

rrrr φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

De aquí se deduce inmediatamente que, en este caso más

general la órbita del móvil es plana.

Ahora bien, siempre hay un único tensor σ→ de giro de 90 grados en el plano, y por tanto antisimétrico, que verifica:

k = dtrd

)r( 2

rrrσ

y esta igualdad también define a la 20 constante.

1.03.- 30 constante (vectorial):

rr +

dtrd

kk = s1

2rr

rr σ

a) Antes de demostrar su invariancia, vamos a hallar el

119

valor de la siguiente derivada:

;r1

dtd

r + dtrd

r1 =

rr

dtd r

rr

pero tenemos:

;r

rdr- =

r

rdr221

- = rr

)rd(21

- = r

1d =

r1

d3322

2

2

rrrrr

r

y sustituyendo este valor:

;dtrd

rr

r -

dtrd

r1 =

dtr

)rdr(r -

dtrd

r1 =

rr

dtd

33 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

rr

rrrrrrr

b) La constancia de s→ la demostraremos a continuación

por integración de la ecuación diferencial del movimiento.

Efectivamente, si multiplicamos miembro a miembro su expresión por

σrkk

1

2

obtendremos para el primer miembro:

;dtrd

kk

dtd

= dt

rdkk

1

2

2

2

1

2⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡r

rr

r σσ

y para el segundo miembro:

= dtrd

r

r rr1

- = r

rdtrd

)r(- = r

rk-

kk

23311

2rrrrrrrr

rrr

r σσσσσ ⊗⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

;rr

dtd

- = dtrd

rr

r+

dtrd

r1

- = dtrd

r

rr - I

r1

- =32

rrr

rrrrrr⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⊗

Por consiguiente, la ecuación integral es:

rr +

dtrd

kk = s1

2rr

rr σ = Constante

1.04.- La constante s→ es igual a la constante de

Rongelet dividida por -k1m.

120

= rrk+ )

dtrd

)(dtrd

}r({k

1=

rrk+

dtrd

kk

1 = s 1

1

12

1⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rrrrr

rrrr σσσ

= rrk + )r(

dtrd

)dtrd

( - dtrd

)dtrd

r(k

1= 1

1 ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡××

rrr

rrr

rrrrr σσσσ

Pero 0 = dtrd

)dtrd

(rr

rσ y dtrd

r = dtrd

rr

rr

rrr×× σσ . Lo primero por ser

un producto contracto de vectores ortogonales y lo segundo porque los factores de cada uno de los productos vectoriales son ortogonales entre sí y coplanarios de los factores del otro producto vectorial. Por lo tanto se tendrá:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×

rrk +

dtrd

mC

k

1 =

rrk +

dtrd

)dtrd

xr(k

1 = s 1

1

1

1

rrrrrrrr

y designando por α al valor -k1m, tenemos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ×

rr

+ Cdtrd1

= rrmk- +

dtrd

C-mk-

1 = s 1

1

rrrrrrr αα

1.05.- Existirá una trayectoria estable, siempre que

sea posible eliminar la derivada de r→ entre las expresiones de las constantes.

Esto es posible en nuestro caso, pues teniendo en cuenta que por ser σ→ antisimétrico, se verifica:

k- = dtrd

)r(- = )dtrd

(r 2

rrr

rrr σσ

al multiplicar miembro a miembro la expresión de s→ por r→, obtenemos:

kk + rs = r r +

kk- = rs

1

22

1

22 rrrr

⇔

y esta expresión sabemos que corresponde a un arco ilimitado de una cónica con un foco en el punto de referencia, de ecuación:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

kk- = p ;s- = e

kk+ = p ;s+ = e

)p + re( = r

1

22

1

22

22

rr

rr

rr

1.06.- Obsérvese que la trayectoria viene determinada

por k1, k2

2 y s→ y como s→ es función de k2σ→, para determinar s→

121

podemos tomar como valor de k2 el de

dtrd

)r( = k2r

rrσ

adoptando un tensor de giro σ→ de un sentido arbitrario, ya que tomando el tensor de giro de sentido opuesto que será -σ→, resultará para k2 el valor opuesto con lo que s

→ y k2

2, seguirán siendo los mismos.

1.07.- La excentricidad viene dada por e=|s→|, y su valor nos indicará la clase de cónica de que se trata.

El valor de p, será el correspondiente al valor de e:

Hipérbola (e>1) ⇒ p<0 Elipse (e<1) ⇒ p>0 Parábola (e=1) ⇒ cualquier signo.

Y el valor de e→ será del mismo signo que el de p.

1.08.- Además de los tres invariantes k1, k2 y s→,

fundamentales podemos utilizar un cuarto invariante k3 de interés en Mecánica, y que obtenemos a partir de la ecuación original:

= dtrd

r

rk +

dt

rd = 0 ;r

rk +

dt

rd = 0312

2

312

2 rrrrr

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⇒

rk - )

dtrd

(21

dtd

= dtrd

r

rk +

dtrd

dt

rd = 12

312

2

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

rrrrr

Por consiguiente:

constante = k = rk -

dtrd

21

31

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

r

y para k1<0, siempre es positivo k3.

En Mecánica, a esta constante se la denomina energía específica, al primer sumando energía cinética específica y al segundo sumando energía potencial específica. Todas relativas al móvil.

1.09.- Podremos poner k3 en función de las otras constantes desarrollando el cuadrado de la expresión de s→:

= rdtrd

rkk2+

dtrd

dtrd

kk+

rr =

dtrd

kk+

rr

= s1

2

1222

2

2

1

22

2 rr

rr

rr

rrr

rr

r⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ σσσσ

122

= krkk2 -

dtrd

kk+ 1 = r

dtrd

rkk2-

dtrd

kk + 1= 2

1

22

1222

1

22

1222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

rrr

rrσ

kkk2 + 1 =

rk -

dtrd

21

kk2 + 1 = 3

1222

12

1222

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

r

Por lo tanto:

k2k1)-e( =

k2k1) - s( = k

22

122

22

122

3

r

De esta expresión deducimos:

k3>0 ⇔ e2>1 ⇔ Hipérbola k3=0 ⇔ e2=1 ⇔ Parábola k3<0 ⇔ e2<1 ⇔ Elipse

así como también deducimos:

k2k- =

)e-(1kk =

e-1p

= b3

22

212

24

2

22

k2k =

pb = a

3

12

1.10.- Ejemplo 11. Determinar la trayectoria de un

punto con las siguientes características de una posición A en una base ortonormal:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

2

1=

dtrd

3;=r ;3

0=}r{ 4;=k

AAA1

rr

Tomando p. ej. {σ}'= ,01-

10

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

tendremos:

3 = 3

0

01-

102} {1 = )r(

dtrd

= k2⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧rr

rσ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

1

6

41

4

0

3

6

41

1

0

1

2

43

3

0

31

2

1

01

10

43

Sr

437

= e >1 ⇒ Hipérbola (p<1)

123

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧1

6

41- = }e{ ;

49- =

kk- = p1

22 r

7373

= ae = f ;727

- = ap = b ;712 =

e-1p

= a 22

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧1

6

73

- = }e{a = }eef{:Centro

rr

Podemos confirmar los resultados con:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒>⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

727

-=k2k-=b

712

=k2k=a

067 =

34

-2

12} {1

21

=k

3

22

2

3

1

3

F

O

V→

A(1,2)

(6,1)

O - 73−(6,1)

727

712

n→

A(0,3)

124

1.11.- Ejemplo 21

;2

0=

dtrd

5=4+3=r ;4

3=}r{ 10;=k

A

22A1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

rr

Tendremos:

-6=3-

42} {0=

4

3

01-

102} {0= )r(

dtrd

=k2⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧rr

rσ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

4

3-

51

=4

3

51

+0

2

53-=

4

3

51

+2

0

01-

10

106

-=}s{r

e =1 ⇒ Parábola.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧4

3-

51

+ = }e{ ;518 =

kk = p1

22 r

Vértice: -{2pe→} =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧××

4-

3

259

=4

3-

51

518

21-

Podemos comprobar:

0 = 510 -

2

02} {0

21 = k3

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

VR(0,2)

A(3,4)

259(3,-4)

F

n→

125

INDICE DE EQUACIONES (1)............. 4 (10)........... 28 (11)........... 28 (12)........... 36 (13)........... 38 (14)........... 40 (15)........... 40 (16)........... 46 (17)........... 48 (18)........... 50

(19) .......... 57 (2) ............ 4 (20) .......... 58 (21) .......... 58 (22) .......... 59 (23) .......... 73 (24) .......... 73 (25) .......... 94 (26) .......... 94 (27) .......... 96

(28) .......... 98 (29) .......... 99 (3) ........... 11 (30) ......... 103 (4) ........... 19 (5) ........... 20 (6) ........... 20 (7) ........... 21 (8) ........... 22 (9) ........... 28

ENSAYO SOBRE CUADRICAS - javiermontoliu.comjaviermontoliu.com/pdf/Cuadricas.pdf · tiene positivo...

Documents

Transcript of ENSAYO SOBRE CUADRICAS - javiermontoliu.comjaviermontoliu.com/pdf/Cuadricas.pdf · tiene positivo...