Ensayo No. 10 Pandeo

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1. INTRODUCCION PANDEO En forma normal se piensa que las deflexiones dentro del lmite elstico varan en forma lineal con la carga, sin embargo ocurren varias excepciones notables, como la falla por estabilidad o pandeo cuando se aplican cargas de compresin. Se entiende por estabilidad la propiedad del sistema de mantener su estado durante las acciones exteriores. Si el sistema no tiene esta propiedad se dice que el sistema es inestable. En la misma medida se puede afirmar que su estado es inestable. En las condiciones reales siempre existen causas que pueden conducir a la perturbacin del estado original de equilibrio. Es decir, que siempre se realiza la posibilidad del paso del sistema inestable a un nuevo estado. En este caso se dice que no tiene lugar la prdida de estabilidad. Al perder la estabilidad, el sistema se puede comportar de diversas formas. Generalmente, tiene lugar el paso a un nuevo estado de equilibrio, lo que, en la mayora de los casos va acompaado de grandes deformaciones, de deformaciones plsticas o de una rotura completa. En algunos casos, despus de perder la estabilidad, la estructura sigue trabajando y cumple, como antes, sus funciones principales. Pueden ocurrir, por fin, casos cuando el sistema perdi estabilidad, al no tener una posicin estable de equilibro, pasa al rgimen de las oscilaciones no amortiguadas. Es necesario destacar que el fenmeno de la prdida de estabilidad se manifiesta de la forma ms clara en las estructuras ligeras de paredes delgadas: en las cscaras comprimidas y en las paredes delgadas. Tal vez los ms comunes son

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las columnas largas esbeltas trabajando a la compresin. Los ejemplos incluyen columnas en edificios, eslabones estructurales a la compresin (como en puentes), bielas conectadas a pistones, resortes helicoidales a la compresin y tornillos de gatos; tambin los tubos de paredes delgadas solicitado por una presin exterior es capaz de perder estabilidad. En este caso, la forma circular de la seccin pasa a ser elptica y el tubo se aplasta, a pesar de que, en el momento de perder la estabilidad, las tensiones estn lejos de alcanzar el lmite de fluencia

Presiones externas sobre un cilindro de pared delgada.

Elementos que fallaron por Pandeo.

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En el caso de barras esbeltas, debemos tener en cuenta que si la fuerza aplicada sobre una barra perfecta sigue la direccin exacta del lugar geomtrico de los centros de gravedad de la seccin no se producir el pandeo. Pero en las condiciones reales en que acta el sistema pueden existir una o ms de las siguientes causas que determina el pandeo, como por ejemplo: Irregularidades en la forma. Irregularidades en la estructura. Excentricidad de la carga respecto al centroide geomtrico. Pequea flexin del eje. En el caso de barras esbeltas sometidas a fuerzas axiales de compresin, stas corresponden al caso general tratado por Leonard Euler en 1744 cuando public el primer tratado conocido sobre la estabilidad elstica. La carga axial que da inicio a la inestabilidad por pandeo en un elemento estructural se conoce como carga crtica de pandeo del elemento o carga de Euler. Para el anlisis de Euler se considera que la barra est articulada en ambos extremos. Se puede tomar como referencia a un elemento estructural ideal de eje recto, sin imperfecciones del material ni de alineacin del elemento, con una longitud L, de seccin constante A e inercia I, constituido por un material lineal elstico cuyo mdulo de elasticidad es E. En uno de sus extremos se coloca un apoyo fijo y en el otro, un apoyo deslizante longitudinal. Al elemento mencionado se lo somete a una carga axial de compresin en el extremo del apoyo deslizante, y se le proporciona una elstica de deformacin flexionante continua similar a la que se observa en piezas de libre rotacin en

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sus extremos (elementos articulados- articulados), debido a la inestabilidad por pandeo.

El momento flector M inducido por la deformacin inicial, a una distancia genrica x, determinado sobre la pieza deformada sera: M(x, y) = P . y Las deformaciones transversales del elemento por el efecto de flexin se pueden describir mediante la Ecuacin General de la Flexin, tomada de la Resistencia de Materiales:

Reemplazando la ecuacin de momentos flectores en la ecuacin general de flexin, y considerando la seccin constante del elemento y un nico material elstico, se obtiene la siguiente ecuacin diferencial:

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Rescribiendo:

Se define un parmetro auxiliar C , donde C es siempre positiva y se puede calcular con la expresin:

Entonces la ecuacin diferencial se puede rescribir como: y'' + C2 . y = 0 La solucin a la ecuacin diferencial planteada es: y = A . Sen (C . x) + B . Cos (C. x) Por la condicin de borde del extremo inferior: para x = 0 y = 0, de donde: B=0 La solucin simplificada es: y = A . Sen (C . x) Por la condicin de borde del extremo superior: para x = L y = 0, por lo que: 0 = A . Sen (c . L)

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Como A0 Sen (c . L) = 0 Por lo tanto: C . L = n . p Despejando C:

Elevando al cuadrado:

Donde n puede tomar cualquier valor entero mayor o igual a 1 (n = 1, 2, 3, ....). Igualando los valor definidos anteriormente para C2 se obtiene:

Despejando P de la igualdad, se obtienen las cargas axiales especficas o cargas crticas de pandeo correspondientes a todos los modos de deformacin por pandeo:

La menor carga crtica est asociada a n = 1, y corresponde al primer modo de deformacin por pandeo:

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Las cargas crticas para los restantes modos de deformacin se obtienen con los otros valores que puede tomar n (n = 2, 3, 4, ...).

A continuacin se presenta un grfico que describe la geometra de las deformaciones causadas por el pandeo de acuerdo con los tres primeros modos de deformacin.

Debe anotarse que, en el presente caso, la carga crtica de pandeo para el segundo modo de deformacin es 4 veces mayor que la carga crtica de pandeo para el primer modo de deformacin, y la carga crtica de pandeo para el tercer modo de deformacin es 9 veces mayor que la carga crtica de pandeo para el primer modo de deformacin. Es evidente que el primer modo de deformacin controlar el pandeo de las columnas.

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El segundo modo de deformacin tiene utilidad por su semejanza a las deformaciones producidas por estados de carga flexionantes frecuentes, que afectan a las columnas, lo que podra provocar un amortiguamiento temporal del primer modo de deformacin en elementos estructurales reales (no ideales). Los restantes modos de deformacin tienen una utilidad estrictamente acadmica, por lo que no son trascendentales para la prctica ingenieril. Para otros tipos de condiciones de borde (bordes empotrados, bordes libres, bordes elsticamente sustentados, etc.), la ecuacin bsica de Euler para el primer modo de deformacin se ve modificada por un factor de forma de la elstica de deformacin que afecta a la longitud de pandeo:

donde Lp toma los siguientes valores para condiciones de borde bien definidas: Barras articuladas-articuladas en los extremos: Lp = L

Barras empotradas en un extremo y libres en el otro : Lp = 2xL

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Barras empotradas en los dos extremos : Lp =0.5L

Barras empotradas en un extremo y articulada en el otro : Lp = 0.70.L

Barra empotrada en un extremo y empotrada monodeslizante en el otro extremo: Lp = 0.70.L

Barra articulada-empotrada monodeslizante : Lp = 0.70.L

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Ahora s podemos generalizar la expresin que nos da Pcr para n=1; para cualquier caso de extremos del elemento analizado, pero no con la longitud real L sino con la equivalente o efectiva Lp.

El esfuerzo correspondiente ser: Y el factor de esbeltez queda redefinido como: Debemos definir tambin el plano crtico de pandeo; que es el plano en el cual es ms probable que se produzca el pandeo teniendo en cuenta no solo el tipo de apoyo en las distintas direcciones sino tambin el momento de inercia en los ejes correspondientes a cada una de estas direcciones. En muchos casos el plano crtico de pandeo no es fcil de identificar y por ello se debern realizar clculos previos. El plano para el que se obtenga el mayor coeficiente de esbeltez ser el crtico.

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1. OBJETIVOS El objeto del ensayo de pandeo es investigar el comportamiento de elementos largos (esbeltos) sometidos a cargas de compresin axial, es decir, que no fallan por aplastamiento Determinar los aspectos importantes de la resistencia y alargamiento de los materiales materiales. Observar el comportamiento de varias probetas de madera y de acero de seccin transversal constante, la seccin resistente donde observaremos el

comportamiento del material es de forma rectangular y cilndrica, sometida a esfuerzos axiales. Determinar la carga crtica de todas las probetas ensayadas. Determinar la relacin de esbeltez de todas las probetas ensayadas. Ajustar los dispositivos y procedimientos de ensayo ya existentes, para obtener la falla esperada para la resistencia al pandeo de la madera y el acero.

1. EQUIPO UTILIZADO

Maquina universal de 30 Ton Calibrador o Vernier A = +-2 x 10 mm Flexometro A = +- 1 x 10 mm Apoyos para columnas Mandril de carga

1. MATERIAL UTILIZADO

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Ocho probetas de madera de seccin transversal cuadrada y de forma rectangular. (Madera de Laurel)

Tres probetas de acero laminado en caliente de forma cilndrica y de seccin transversal circular.

1. PROCEDIMIENTO Medir adecuadamente las dimensiones de las probetas a ser ensayadas y para esto

utilizaremos el calibrador y el flexmetro respectivamente. Colocar la primera probeta de madera de 150mm de luz en la mquina universal

utilizando los apoyos de doble articulacin, la vamos a colocar lo ms centrada posible para reducir la excentricidad. Someter a una carga de compresin paralela a sus fibras estas van a ir aumentando

progresivamente de acuerdo al material hasta que la probeta falle. Determinar la carga de falla para la probeta. Repetir los pasos anteriormente enunciados para las siguientes siete probetas, pero

en cada una de ellas vamos a aumentar la luz de la viga en 50cm. Luego continuamos con las probetas de acero laminado en caliente; y as tenemos: Colocamos la primera probeta de acero en la mquina universal utilizando los

apoyos de doble articulacin. Sometemos a la probeta a una carga de compresin y esta va a aumentar

progresivamente de acuerdo al material hasta el punto en que falle. Registramos la carga crtica para la probeta. Colocar la segunda probeta de acero en la mquina universal utilizando los

apoyos de articulacin y empotramiento.

Pgina 13 de 50 Sometemos a la probeta a una carga de compresin y aumentamos

progresivamente de acuerdo al material hasta que el material falle. Determinamos la carga crtica para la probeta ensayada. Colocar la tercera probeta de acero en la mquina universal utilizando los apoyos

de doble empotramiento. Sometemos a una carga de compresin aumentando progresivamente de acuerdo

al material hasta el punto en que el material falle. Determinar la carga crtica de la probeta ensayada Determinar la relacin de esbeltez y la carga crtica de todas las probetas ensayadas. Con los resultados de la relacin de esbeltez de las probetas, graficar una curva de carga crtica contra esbeltez, que son independientes de la geometra de la probeta. Comparar las cargas crticas de estos materiales (madera y acero) con otros materiales.

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1. TABLAS DE LAS PROBETAS ENSAYADAS PROBETA No. 1: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA Dimensiones: b = 20mm ; a = 20mm ; L = 150mm

Apoyo de doble articulacin. 1 rea A mm 400 3 4 Carga critica Radio de Inercia experimenta giro l I P (Cr) r mm N mm 13333,33 6729 5,774 2 5 Longitud efectiva Le = L mm 150 6 Relacin de esbeltez k mm/mm 25,978 7 Carga critica terica P (Cr) n 67259,51

PROBETA No. 2: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA Dimensiones: b = 20mm ; a = 20mm ; L = 200mm

Apoyo de doble articulacin 1 rea A mm 400 2 Inercia I mm 13333,33 3 Carga critica P (Cr) N 15637 4 Radio de giro r mm 5,774 5 Longitud efectiva Le = L mm 200 6 Relacin de esbeltez k mm/mm 34,638 7 Carga critica terica P (Cr) n 37833,47

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Apoyo de doble articulacin 1 rea A mm 400 2 Inercia I mm 13333,33 3 Carga critica P (Cr) N 16107 4 Radio de giro r mm 5,774 5 Longitud efectiva Le = L mm 250 6 Relacin de esbeltez k mm/mm 43,298 7 Carga critica terica P (Cr) n 24213,42


Apoyo de doble articulacin 1 rea A mm 400 2 Inercia I mm 13333,33 3 Carga critica P (Cr) N 10807 4 Radio de giro r mm 5,774 5 Longitud efectiva Le = L mm 300 6 Relacin de esbeltez k mm/mm 51,96 7 Carga critica terica P (Cr) N 16814,88

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PROBETA No. 9: ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE Dimensiones: = 15mm ; L = 500mm

Apoyo de doble articulacin. 1 rea A mm 176,714 2 Inercia I mm 2485,04 3 Carga critica P (Cr) N 3905 4 Radio de giro r mm 3,75 5 Longitud efectiva Le = L mm 500 6 Relacin de esbeltez k mm/mm 133,33 7 Carga critica terica P (Cr) n 16972,24


Columna libre articulada empotrada. 1 rea A mm 176,714 2 Inercia I mm 2485,04 3 Carga critica P (Cr) N 34360 4 Radio de giro r mm 3,75 5 Longitud efectiva Le = L mm 470 6 Relacin de esbeltez k mm/mm 125,33 7 Carga critica terica P (Cr) n 19208,06

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Apoyo de doble empotramiento. 1 rea A mm 176,714 2 Inercia I mm 2485,04 3 Carga critica P (Cr) N 49943 4 Radio de giro r mm 3,75 5 Longitud efectiva Le = L mm 440 6 Relacin de esbeltez k mm/mm 117,33 7 Carga critica terica P (Cr) n 21916,63

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DIAGRAMA DEL ENSAYO DE PANDEO EN MADERA (CARGA CRITICA TEORICA VS. RELACION DE ESBELTEZ)

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DIAGRAMA DEL ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE (CARGA CRITICA EXPERIMENTAL VS. RELACON DE ESBELTEZ)

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2. FOTOGRAFIAS DE LOS ENSAYOS PROBETA No. 1 ANTES DEL ENSAYO

DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Comienza por aplastamiento luego por traccin.

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PROBETA No. 2 ANTES DEL ENSAYO

DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Aplastamiento en una esquina y traccin en la otra.

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DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Comienza por aplastamiento y luego la falla se produce violentamente.

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DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: La falla se produce por flexin pura.

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DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Se produce pandeo y luego un giro rpido de la probeta.

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DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Se produce pandeo y la falla se da por un giro en medio de la probeta.

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DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Se produce pandeo y la pieza gira lentamente hasta que falla.

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DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: La pieza falla por pandeo.

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PROBETA No. 9: PROBETA DE ACERO LAMINADO EN CALIENTE ANTES DEL ENSAYO

DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Deformacin en la mitad de la longitud de la barra. Deformacin permanente.

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PROBETA No. 10: ENSAYO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE ANTES DEL ENSAYO

DEPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Existe una mayor deformacin en la articulacin.

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PROBETA No. 11: ENSAYO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE ANTES DEL ENSAYO

DESPUES DEL ENSAYO

Forma de la falla: Se produce una deformacin en el centro de la barra.

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3. CONCLUSIONES Debemos tener en cuenta hay una pequea excentricidad en la aplicacin de la carga, pero para efectos de clculo se desprecia. Las probetas adems de ser relativamente simtricas, no presentan la zona crtica de pandeo en el centro; pues sta depende de varios factores como por ejemplo al momento de tornear la probeta. Debemos tener en cuenta que para la deduccin de la fuerza crtica de pandeo se ha empleado la frmula de la lnea elstica del elemento deformado; luego, el resultado obtenido slo podr ser empleado en el rango elstico del material. Observamos una diferencia notable entre los resultados tericos y prcticos. Debido a la gran diferencia de la carga para la falla, en estructuras esbeltas se suelen usar factores de seguridad bastante altos.

Parte de la gran diferencia que existe entre los valores terico y prctico es consecuencia de la poca precisin y fugas de los equipos utilizados.

La falla por pandeo se produce de forma rpida, produciendo un sonido estridente debido a la brusca liberacin de energa.

El valor de la carga crtica depende del material del que est fabricada la columna.

Para un material dado, el valor de la carga crtica no depende de la calidad del mismo, esto es de su resistencia.

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1. RECOMENDACIONES Comprobar que la mquina de ensayo se encuentre en perfectas condiciones. Medir adecuadamente las probetas a ser ensayadas ya que un error puede provocar una errada toma de datos. Tener mucho cuidado al momento de que las probetas de madera fallan ya que pueden saltar astillas al rostro y pueden provocar daos muy graves. Para esto utilizar gafas se seguridad. Verificar que las probetas de acero y madera no tengan imperfecciones en su parte exterior ya que esto puede daar la prctica. Con la ayuda de un estudiante verificar al momento de colocar las probetas que estas se encuentren lo mas centradas posible. Atender detenidamente la explicacin del profesor para realizar la practica sin inconvenientes.

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1. CALCULOS TIPICOS PROBETA No. 1: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm ; a = 20mm ; L = 150mm

Clculo de rea:A=b x h=20mm x 20mm=400mm2

Clculo de la inercia:I= b x h312= 20 x 20312=13333.33mm4

Clculo del radio de giro:r= IA= 13333.33 mm4400 mm2=5.774 mm Longitud efectiva=Le=150mm

Clculo de la relacin de esbeltez:k= Ler= 1505.774=25.978

Clculo de la carga critica experimental:Pcr= 2 x Ec x ILe2= 2 x 1.15x104 x 13333.331502=67.259 N

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PROBETA No. 2: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm ; a = 20mm ; L = 200mm





Clculo de la carga critica experimental:Pcr= 2 x Ec x ILe2= 2 x 1.15x104 x 13333.332002=37833 N

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PROBETA No.6: ENSAYO DE PANDEO EN MADERA b = 20mm ; a = 20mm ; L = 400mm






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PROBETA No. 9: ENSAYO DE PANDEO EN ACERO LAMINADO EN CALIENTE = 15mm ; L = 500mm

Clculo de rea:A= x D24= x (15mm)24=176.714mm2

Clculo de la inercia:I= x r44= x (7.5mm)44=2485.04 mm4

Clculo del radio de giro:r= IA= 2485.04 mm4176.714 mm2=3.75 mm Longitud efectiva=Le=500mm



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2. APENDICE El fenmeno de PANDEO ocurre solamente cuando hay COMPRESION. Por el contrario, cuando hay TRACCION la pieza falla por falta de resistencia, no por falta de estabilidad, o sea por pandeo. En el caso de las estructuras de acero la esbeltez necesaria para que resulten econmicas hace que el pandeo sea sumamente critico. No solamente las columnas de acero, o sea los elementos a compresin, fallan por pandeo, tambin las vigas pueden fallar por pandeo de sus fibras sometidas a compresin al estar la seccin sometida a flexin, como veremos mas adelante. El PANDEO puede ser definido as: Proceso por el cual una Estructura (o parte de ella) cambia de un estado deflectado a otro sin que se produzca NINGUNA MODIFICACION de la carga aplicada. A continuacin manejaremos el concepto de EQUILIBRIO, donde para tratar de aclarar, tomaremos ilustraciones representativas con los siguientes casos: a) Equilibrio Estable b) Equilibrio Inestable c) Equilibrio Neutro Suponemos en los tres casos una esfera la cual se encuentra inicialmente en equilibrio perfecto para luego dejarle libre sometida a una carga. a) Equilibrio Estable: ejemplo el caso de una viga que se flecta bajo una carga aplicada pero regresa a su posicin al retirar la carga

b) Equilibrio Inestable: ejemplo el caso de una columna articulada en la base y libre en su parte superior, si es empujada por una carga cualquiera se cae y no se recupera.

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c) Equilibrio Neutro: ese considera un equilibrio neutral o NEUTRO, una columna articulada arriba y abajo que es cargada axialmente; y se flexara ligeramente pero sin caer. (Mantiene el equilibrio pero toma una nueva posicin).

Una COLUMNA puede ser definida como un elemento sometido a COMPRESION que es tan esbelto que al recibir carga cada vez mayor fallara por PANDEO mucho antes de que falle por aplastamiento. Las columnas pueden ser clasificadas en tres grupos segn su comportamiento: 1) Columnas Largas: Fallan por pandeo o flecha lateral excesiva 2) Columnas Intermedias: Fallan por una combinacin de aplastamiento y pandeo 3) Columnas Cortas: Fallan por aplastamiento (exceso de compresin)

Por definicin la columna ideal es aquella que rene las siguientes caractersticas: es homognea, su seccin es constante, inicialmente recta (al empezar a aplicarle carga axial). En la realidad las columnas tienen pequeos defectos de fabricacin y existen excentricidades accidentales que resultan de una combinacin de FLEXION y CARGA AXIAL de magnitud indeterminada tal y como podemos observar en la figura siguiente.

Si la e es muy pequea y la columna es corta, la deflexin lateral ser mnima y el esfuerzo de flexin despreciable; en cambio, en un elemento largo y por lo tanto flexible, un valor no muy alto de P puede causar un esfuerzo grande de flexin

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acompaado por un pequeo esfuerzo de compresin axial; dicho de otra forma, una columna corta recibe principalmente compresin y una columna larga bsicamente esfuerzos de flexin. A medida que la longitud de la columna aumenta disminuye la importancia del esfuerzo de compresin y aumenta la de los esfuerzos de flexin. 14. BIBLIOGRAFIA http://html.rincondelvago.com/resistencia-de-materiales_ensayo-de-pandeo.html http://www.slideshare.net/wlopezalmarza/acero-estructural-pandeo/download http://www.df.uba.ar/users/sgil/labo5_uba/guias/barras_2k4.pdf http://es.wikipedia.org/wiki/Pandeo

Ensayo No. 10 Pandeo

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