Capitulo 5. pandeo

Ingeniería Estructural

Inestabilidad elástica

1

Pandeo de piezas rectas

• Imaginemos una hoja de sierra

– σy = 520 MPa

– Sección transversal 12mm x 0.5mm

– La hoja de sierra resistiría una carga de compresión de 3120 N

• Sin embargo, esta pieza puede perder su estabilidad a una carga mucho menor

La hoja de sierra perdería su estabilidad estructural para una carga que podríamos calcular:

Supongamos:

I = bh3/12 (sección rectangular) = 1,25 x 10-13 m4

E = 200 GPa y L = 300mm

La carga que produciría el pandeo sería: P = 2,74N

Equilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferenteEquilibrio estable Equilibrio inestable Equilibrio indiferente

ESTABILIDAD E INESTABILIDAD DEL EQUILIBRIO

x

.

l

PP

.

PP

.

P

k k

.

Pkx kx

a) b) c) d)

x

.

l

PP

.

PP

.

P

k k

.

Pkx kx

a) b) c) d)

Si: 2(kx)L>Px (lo que implica P<2kL) el equilibrio es estable.Si: 2(kx)L<Px (lo que implica P>2kL) el equilibrio es inestable.

L

Concepto de inestabilidad estructuralConcepto de inestabilidad estructural

PA B

A PB

wB

A PcríticaB

Para cargas bajas

∫ ⋅+=

B

AAB dz

AENww

AELPwB ⋅⋅−=

Para una cierta Pcrítica se producen grandes desplazamientos

transversales

Pandeo

Aparecen fenómenos no lineales

6

z

y

Concepto de inestabilidad estructuralConcepto de inestabilidad estructural

El pandeo aparece en barras esbeltas para cargas menores que las que producen la plastificación del material

PA B

AP compe ⋅σ<criticaPP <

Puede ser la condición de diseño crítica

7

Teoría de primer ordenTeoría de primer orden Problema de Euler

PA Bz

y

PA Bz

y

Hipótesis:

- Viga esbelta de sección constante

- Ejes principales de inercia

- Sólo existen esfuerzos de compresión

- Comportamiento lineal elástico

- Pequeños desplazamientos de flexión

- Deformaciones pequeñas

- No existen tensiones residuales

8

Teoría de primer ordenTeoría de primer orden

Aplicando la ecuación de la elástica

IEM

dzvd

⋅−=2

2

Con las condiciones de contorno:

0v 0v

====

Lzz 0

022

2

=⋅+ vdzvd

λ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

IEP2λ

( ) zsenBzcosAzv λλ ⋅+⋅=

PA Bz

y( )zv

z

A

z

y

( )zv

z

P

( )zvPM ⋅=

9

Teoría de primer ordenTeoría de primer orden

PA Bz

y( )zv

z

( ) zsenBzcosAzv λλ ⋅+⋅=

( ) 00

=⋅⋅=

LλsenBA

π⋅=⋅ nLλ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

⋅⋅= z

LnsenBzv π

IEL

nP ⋅⋅⋅

= 2

22 π

IEL

Pcritica ⋅⋅= 2

2π

Carga crítica de Euler(1744) 10

Influencia de las condiciones de apoyoInfluencia de las condiciones de apoyo

BA

PB

P

P

P Viga en voladizo

Viga biempotrada con deslizadera horizontal

Viga biempotrada con deslizadera vertical

Viga empotrada-apoyada con deslizadera vertical

11


PA Bz

y

PB

PB

Viga en voladizo

P

BA

La carga de pandeo coincide con la de una

viga biapoyada de longitud doble

( )IE

LPcritica ⋅⋅

⋅= 2

2

2π

4Euler

criticaPP =

12

PA Bz

P

Viga bi-empotrada con desplazamiento longitudinal en un extremo

La carga de pandeo coincide con la de una

viga biapoyada de longitud mitad

( ) IEL

Pcritica ⋅⋅= 2

2

2

π

Eulercritica PP ⋅= 4


P

13

P

P

P

Viga bi-empotrada con desplazamiento transversal en un extremo

La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de

longitud doble

( )IE

LPcritica ⋅⋅

⋅⋅

= 2

2

24 π

Eulercritica PP =


P

14

PA Bz

y

PB

PB

PB

Viga empotrada-apoyada con desplazamiento transversal en un extremo

La carga de pandeo coincide con la de una viga biempotrada de

longitud doble

( )IE

LPcritica ⋅⋅

⋅= 2

2

2π

4Euler

criticaPP =


15

PBA

PBA

Viga empotrada-apoyada con desplazamiento longitudinal en un extremo

No es posible aplicar simetrías

022

2

=⋅+ vdzvd

λ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅=

IEP2λ

+condiciones de contorno

( )IE

L,Pcritica ⋅⋅

⋅= 2

2

70π


16

En general:

PBA

? ?( )

IEL

Pcritica ⋅⋅⋅

= 2

2

βπ

Viene fijado en la normativa

Longitud de pandeo:

( )IE

LIE

LP

pcritica ⋅⋅=⋅⋅

⋅= 2

2

2

2 πβπ

PA Bz

y

L

Lp


17

Concepto de esbeltez mecánicaConcepto de esbeltez mecánica

x

z

y

π

( ) ξβπ IEL

Pcritica ⋅⋅⋅

= 2

2

x

y

π

AI

i ξξ =

Radio de giro de la sección respecto al eje ξ

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅

⋅=

ξ

β

πσ

iL

Ecritica

ξ

λξ: Esbeltez mecánica

Plano de pandeo

18


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=

ξ

ξ

βλ

iL La viga pandea en el plano

perpendicular al eje de mayor esbeltez mecánica

x

z

y

π

x

y

π

ξ

19

2

2

ξλπ

σE

critica =


Ejemplo:Para una viga biapoyada sobre rótulas esféricas, determine la configuración más estable frente a pandeo

4 4x

4 4y

I 2140 10 mm

I 117 10 mm

= ⋅

= ⋅x

y

IPN-200

4 4x

4 4y

I 117 10 mm

I 2140 10 mm

= ⋅

= ⋅x

y

IPN-200

Configuración I Configuración II

20

Rótula esférica


Ejemplo

x y

z

y

z

x

z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ

xx i

L⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ

yy i

L

21


Ejemplo

L47,531087,1

Li

L

L5,12108,0L

iL

2y

xzp

y

2x

yzp

x

⋅=⋅

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=λ

⋅=⋅

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=λ

−

−

L5,12108,0L

iL

L47,531087,1

LiL

2y

xzp

y

2x

yzp

x

⋅=⋅

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=λ

⋅=⋅

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=λ

−

−


Pandea respecto al eje x Pandea respecto al eje y

Ambas configuraciones tienen la misma carga crítica

22

x y

z

y

z

x

z


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=λ

xx i

L⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=λy

y iL5,0

Ejemplo: Repetir los cálculos si las rótulas son cilíndricas

23

Ejemplo

L7,261087,1

L5,0i

L

L5,12108,0L

iL

2y

xzp

y

2x

yzp

x

⋅=⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=λ

⋅=⋅

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=λ

−

−

L25,6108,0

L5,0i

L

L47,531087,1

LiL

2y

xzp

y

2x

yzp

x

⋅=⋅⋅=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=λ

⋅=⋅

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=λ

−

−


Pandea sobre el plano xz Pandea sobre el plano yz

La configuración II es más inestable


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Material de apoyoMaterial de apoyo

REFERENCIAS COMPLEMENTARIAS

1. Celigüeta, J.T. “Curso de Análsis Estructural”EUNSA. 1998Cap 14. Introducción a la estabilidad estructural

2. Garrido, J.A. Y Foces, A. “Resistencia de Materiales”.Secretariado de Publicaciones. Universidad de Valladolid. 1994Cap.15 La torsión en los problemas de pandeoCap.16 Pandeo global de pórticos planos

3. Marti Montrull, P. “Análisis de estructuras. Métodos clásicos y matricialHoracio Escarabajal Editores. 2003Parte 6. Pandeo global de estructuras

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Career

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