ENSAYO MATRICES ESTOCÁSTICAS

PROFESOR: EUGENIO DOULOV

PRESENTADO POR: FABIAN WITTINGHAM COD: 133054

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA NOV. 2005.DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Un vector fila o vector columna como entrada no negativa que suma 1, se llama VECTORDE PROBABILIDAD.

Ejemplo:

x=[0.600.40] 60% 40%

sumo estos porcentajes dando 1.

una matriz cuadrada cuyas columnas son vectores de probabilidad es llamada matrizEstocástica y se dice que es doblemente Estocástica cuando también cada una de susfilas o renglones suman 1.

1. Una Matriz Estocástica tiene como elementos a números que se encuentran en elintervalo entre 0 y 1 0aij1 .

2. La transpuesta de una matriz doblemente Estocástica es también doblementeEstocástica.

● Teorema

Si A y B son matrices estocásticas de tamaño n*n entonces el producto es tambiéndoblemente estocástico

Prueba. Sean

A = [a11 a12 ... a1 n

a21 a22 ... a2 n

an1 an2 ... ann]

B = [b11 b12 ... b1 n

b21 b22 ... b2 n

bn1 bn2 ... bnn]

Como son matrices de probabilidad tenemos que:

Columnas Matriz A.

∑i=1

n

ai1=a11a21...an1=1

∑i=1

n

ai2=a12a22...an2=1

.

.

.

∑i=1

n

a i2=a12a22...an2=1

Columnas Matriz B

∑i=1

n

bi1=b11b21...bn1=1

∑i=1

n

bi2=b12b22...bn2=1

.

.

.

∑i=1

n

bi n=b1 nb2 n...bnn=1

Como

[a11 a12 a13 ... a1 n

a21 a22 a23 ... a2 n

an1 an2 an3 ... ann]∗[b11 b12 b13 ... b1 n

b21 b22 b23 ... b2 n

bn1 bn2 bn3 ... bnn]

[∑j=1

n

a1 j∗ b j1 ∑j=1

n

a1 j∗ b j2 ... ∑j=1

n

a1 j∗ b jn

∑j=1

n

a2 j∗ b j1 ∑j=1

n

a2 j∗ b j2 ... ∑j=1

n

a2 j∗ b jn

∑j=1

n

anj∗ b j1 ∑j=1

n

anj∗ b j2 ... ∑j=1

n

anj∗ b jn]

Tomo la primera columna.

Como

∑j=1

n

a1 j∗ b j1=a11∗ b11a12∗ b12a1 n∗ bn1

∑j=1

n

a2 j∗ b j1=a21∗ b11a22∗ b21a2 n∗ bn1

.

.

.

∑j=1

n

anj∗ b j1=an1∗ b11an2∗ b21ann∗ bn1

∑j=1

n

a1 j∗ b j1∑j=1

n

a2 j∗ b j1∑j=1

n

a3 j∗ b j1...∑j=1

n

anj∗ b j1

Asociando me queda

b11[a11a21a31...an1]b21[a12a22a32...an2]...bn1 [a1 na2 na3 n...ann]

Reemplazando

b111b211...bnn1b11b21b31...bn1=1

Realizo el proceso con cada una de las columnas y que demostrado que el producto de A*B esEstocástico.

● COROLARIO Si A es una Matriz Estocástica de tamaño n*n, entonces para cualquier enteropositivo n n∈ℤ+ la potencia An es Estocástica.

Principios Estadístico

La ocurrencia de un evento esta muy relacionado con las matrices estocásticas.

1. Si existe la certeza de que acontecerá un evento, se dice que la ocurrencia es 1.

2. Mientras mas alta es la posibilidad que ocurra un evento, hay mayor certeza de que ocurra.

3. Si un evento tiene n resultados igualmente probables de ocurrir, de los cuales interesan solamentem, la probabilidad de que ocurra uno de los que interesan es m/n.

Cadena de Markov

En una cadena de Markov el siguiente experimento o proceso de un sistema solo depende de suestado actual.

Las estocásticas se emplean como matrices de transición en las cadenas de Markov.Sea A= a ij con aij0 i , j=1, ... , n , es decir matriz positiva. Entonces se verifica que:

i) A es estocástica si y solo si i=1 es un auto valor de A con auto valor asociado v=(1,1,...,1)Demostración: Si A es estocástica, entonces dado v=(1,1,...,1) es trivial que:

Av= [∑i=1

n

ai1

:

∑i=1

n

ai1]=[1:1]

ii) Por lo que i=1 es un auto valor de A con valor auto asociado de v.

Aplicaciones de las Matrices Estocásticas

Ejemplo 1.1. El clásico de football estudiantil entre el ejercito y la marina.

Suponga que la probabilidad que el ejercito obtenga la victoria en un año y que la marina gane elsiguiente es del 70% por lo tanto la probabilidad que el ejercito obtenga la victoria en dos añosconsecutivos es del 30%. Considere también la probabilidad que la marina resulte triunfadora un año,y el ejercito lo sea el siguiente es de 30% por consiguiente, probabilidad que la marina gane dos añosseguidos es de 70%. Esta situación puede expresarse como:

a)

Este año

Gana marina Gana ejercito

Año próximo <Gana marinaGana ejercito

[0.7 0.30.3 0.7]

b) Si la marina triunfa este año, cual es la probabilidad de que gane dentro de dos años?Como gano este año, la marina, su probabilidad de ganar es 1 mientras que la probabilidad deque triunfe el ejercito es igual a 0 por consiguiente el vector de estado inicial de probabilidad es<1,0> entonces:

[0.7 0.30.3 0.7]∗[10]=[0.70.3]

que comprueba la hipótesis dada.Para dentro de dos años, las probabilidades son:

[0.7 0.30.3 0.7]

2

∗[10]=[0.58 0.420.42 0.58]∗[10]=[0.580.42]

Por consiguiente, probabilidad que gane la marina es del 50%.

Ejemplo 1.2. Estado de una maquina.

Considérese el estado que presenta una determinada maquina cada semana. Supongamos que lamaquina siempre representa uno de los tres estados siguientes:

Estado I Dañada (Perdida Total) ( D )Estado II En Reparación ( R )Estado III Trabajando Bien ( B )

Y que las posibilidades de transición son dadas en la siguiente matriz:

D R B

T= DRB [ I 0 0

1 / 2 1 /4 1 /40 1 / 2 1 / 2]

Esto significa que las posibilidades que tiene una maquina de pasar de un estado fila i a un estadocolumna j en un periodo de tiempo (una semana) es indicada en esta matriz como la entrada T ij .Por ejemplo: T 23=I /4 nos dice que existe un 25% de probabilidad de que si la maquina esta enreparación en esta semana, se encuentre trabajando bien la semana siguiente.