INSTITUTO TECNOLOGICO DE TUXTLA GUTIERREZ

ALUMNA: PEREZ BENITEZ ITZEL

NUMERO DE LISTA: # 14

ASINATURA: METODOS NUMERICOS

CATEDRATICO: ING. MENDEZ ANCHEYTA MARCA ANTONIO

TRABAJO: ENSAYO UNIDAD IV (AJUSTE DE FUNCIONES)

CARRERA: ING. QUIMICA 4to SEMETRE

En ajuste de curva nos dice que cuando se trata de aproximación polinomial se establecen los métodos de interpolación de Newton y La Grange. Para encontrar la ecuación de la cuna que contiene a todos y cada uno de los n puntos que definen a una fusión tabular dada. Entre los Fundamentos de estadística nos dice

que la media aritmética (y) de una muestra, se define como la suma de los datos individuales (yi) dividida entre el número de puntos (n).

Y la desviación estándar (s) es una medida del espaciamiento de los datos individuales, respecto, a la media.

St = (yi - y)2 = es la suma total de los cuadrados de los residuos entre los datos y la media.

La varianza (S2) es la desviación estándar al cuadrado:

S2 = (yi - y)2/n-1 = St /n-1 otra manera de calcular la desviación estándar es:

S2 = (yi - (yi)2 / n)/n-1

El coeficiente de variación (c.v.) es la razón de la desviación estándar a la media:

c.v. = S/y (100) %

Que es similar al ERP, es decir, es la razón del error de medición (s), a un estimado del valor real (y). Estos son algunos fundamentos de estadística que son utilizados en el ajuste de funciones para poder tener más claros los temas a tratar.

En la interpolación abarca que dada una tabla de valores (xi, fi) se desea estimar f(x) para valores de x que no se encuentran en la tabla, eso quiere decir con el objetivo de buscar un numero que no se encuentra el dicha tabla y con los datos que se obtienen poder calcular el valor requerido, para ellos existe diversos métodos como el de interpolación directa que nos dice que dado por un polinomio de orden n: Pn(x) = C1xn + C2xn−1 + ……. + Cnx + Cn+1 donde los coeficientes ci se obtienen de resolver el sistema de ecuaciones dado por:

X1n X1

n-1 X1 1 C1 f1

X2n X2

n-1 X2 1 C2 = f2

Xn+1n Xn+1

n-1 Xn+1 1 Cn+1 f3

La forma anterior es para obtener directamente los coeficientes de C i generando un sistema de n ecuaciones con n incógnitas se le denomina interpolación directa. El método de interpolación directa tiene el problema de que las ecuaciones que se

generan están mal condicionadas en el caso general a medida que se incrementa el orden del polinomio de interpolación debido a que se tienen valores de xni, Los demás métodos de interpolación escriben este polinomio de formas que resultan más sencillas de evaluar.

También se encuentra lo que es el polinomio de la Lagrange ya que es de orden n y tiene la forma general de:

Pn ( x )=∑i=1

n+1

fi∏j=1j ≠ i

n+1 x−x jx i−x j

Es facil demostrar que los polinomios de Lagrange pasan por todos lo puntos evaluándolos para valores xi n = 1, 2,… Para n = 1, es decir, para dos datos, el polinomio tiene la siguiente forma:

P1 (x )=f 1x−x2x1−x2

+ f 2x−x1x2−x1

Sustituyendo los valores de xi, es fácil demostrar que P1(x1) = f1, y que P1(x2) = f2.

Es fácil demostrar que P3(x1) = f1, P3(x2) = f2, y P3(x3) = f3. En general se puede demostrar que Pn(xi) = fi para i = 1, 2, . . . , n + 1, es decir que el polinomio de Lagrange es efectivamente igual al polinomio de interpolación. Cuando se utiliza el polinomio de Lagrange para interpolación se debe evaluar la ecuación original para cada valor que se vaya a interpolar.

Entre los polinomios están los de Newton y diferencias divididas, el polinomio de Newton es una forma más eficiente de evaluar el polinomio de interpolación. En este método, se calcula una tabla de diferencias dividas una vez, y ´estas son utilizadas para cada dato que se vaya a interpolar.

Las diferencias divididas se definen de la siguiente manera:

a) Diferencias divididas de orden 0: f [ x i ]=f i

b) Diferencias divididas de orden 1:f [ x i , x j ]=f j−f ix j−x i

c) Diferencias divididas de orden 2: f [ x i , x j , xk ]=f [ x j , xk ]−f [ xi , x j ]

xk−x id) Diferencias divididas de orden más alto:

f [ x1 , x2 ,... , xn ]=f [ x2, x3 ,… , xn ]−f [ x1 , x2 ,… , xn−1 ]

xn−x1Ya que las diferencias divididas se suelen calcular en forma tabular, y el polinomio de Newton tiene la siguiente forma general:

Pn ( x )=∑i=1

n+1

ai∏j=1

i−1

(x−x j¿)¿

Podemos probar que Pn(xi) = fi, por lo tanto, el polinomio de Newton es efectivamente un polinomio de interpolación.

Al igual que los demás polinomios el de Newton-Gregory y diferencias se dice que los datos estén uniformemente espaciados si xi+1 − xi = Δx es constante para i = 1, 2, 3, . . . Para el caso particular de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una forma más sencilla del polinomio de Newton. Esta forma más sencilla se basa en diferencias que se definen de la siguiente manera:Diferencia de orden 0: Δ0fi = fi

Diferencia de orden 1: Δ1fi = fi+1 − fi

Diferencia de orden 2: Δ2fi = Δ(Δfi) = Δ(fi+1 − fi) = Δfi+1 − Δfi = fi+2 − 2fi+1 + fi

Diferencia de orden 3: Δ3fi = Δ(Δ2fi) = Δ2fi+1 − Δ2fi = fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1 − fi

Diferencia de orden k: Δkfi = fi+k − kfi+k−1 + k(k − 1)/2! fi+k−2 − k(k − 1)(k − 2)/3! fi+k−3

El polinomio de Newton-Gregory de orden n tiene la siguiente forma general:

Pn (xk+1 )=∑i=0

k

(ki )∆i f 1donde K = 1,2….n

FUENTES BIBLIOGRAFICAS Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería.

Nieves Hurtado, Antonio, Et al. Ed. Continental, México. Métodos Numéricos Ingenieros.

C. Chapra, Steven, Et al. Metodos Numericos

Rafael Iriarte V. BalderramaEd. Trillas. Primera edición, México 1990

Programing in Matlab Marc E. Herniter Editorial: Thomson learning Año: 2001

http://www.mty.itesm.mx/dtie/deptos/cb/cb00854-1/Apuntes/interpol.pdf