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ENCUENTRO # 4TEMA: Operaciones con números racionales, resolución de problemas.

CONTENIDOS:

1. Operaciones con números fraccionarios.

2. Resolución de problemas aritméticos.

DESARROLLO

Ejercicio Reto1. Un terreno de forma rectangular de 952 m de largo y 544 m de ancho, se desea cercarcon alambre sujeto a postes equidistantes 30 a 40 m.Debe corresponder un poste a cada vértice y otro a cada punto medio de los lados delrectángulo. El número de postes que se necesita es:A) 68 B) 70 C) 88 D) 100Solución

La distancia entre poste y poste debe ser divisor común de 476 y 272. Sea "l" la distanciaentre poste y poste.MCD(476,272)=68=l.Pero como la distancia entre poste y poste debe estar entre 30 y 40 m entonces:l = 68

2 = 34El perímetro del terreno:(952 + 544)2 = 2992m

∴ Se requiere:2992 ÷ 34 = 88 Rpta. 88 postes.

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Operaciones con números fraccionarios

Fracción comúnSi a y b son números enteros y b es diferentes de cero, se llama fracción común a la ex-presión a

b, donde a recibe el nombre de numerador y b el denominador. En una fracción

común el denominador indica el número de partes iguales en las que se divide la unidady el numerador indica el número de partes que se toma de la unidad.

Ejemplo 1.1.La fracción 3

4 indica que la unidades divide en 4 partes iguales, de las cuales se tomanúnicamente 3, la representación gráfica de esta fracción es:

La parte sombreada de la figura representa el numerador.

Ejemplo 1.2.La fracción 5

3 indica que la unidades divide en 3 partes iguales, de las cuales se debentomar 5, lo cual no es posible. Por lo tanto, se toman 2 unidades y se dividen en 3partes iguales cada una, de la primera se toman 3 partes y de la segunda únicamente 2para completar las 5 partes indicadas en el numerador.

Otra forma de representar la fracción 53 es como un números formado por una parte

entera y una fraccionaria 123 , este tipo de fracciones recibe el nombre de mixtas.

Ejercicios Propuestos1. Representa gráficamente las siguientes fracciones.

(a) 38

(b) 14

(c) 35

(d) 76

(e) 94


2. Indica la fracción que representa la parte sombreada de las figuras.

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Resolución de problemasEjemplo 1.3.En una familia que forman 3 hombre y 4 mujeres, ¿qué fracción de la familia represen-tan las mujeres?SoluciónEn este caso la unidad la representa la familia que a su vez está formada por 7 miem-bros(3+4=7), la fracción de la familia que representa las mujeres es el número de ellasdividida entre el total de miembros. Por lo tanto la fracción es igual a 4

7 .

Problemas propuestos1. Una caja tiene 9 pelotas verdes y 5 azules,¿qué parte de las pelotas que hay en la

caja son azules?

2. ¿Qué fracción del día ha transcurrido cuando un reloj marca las 6:00 pm?

3. Un obrero trabaja diariamente jornadas de 8 horas, ¿Qué fracción del día ocupapara realizar sus otras actividades?


Clasificación de fraccionesFracciones propias

Son aquellas que tienen el numerador menor que el denominador.

Ejemplo 1.4.Las fracciones,3

8 ,56 ,−3

4 , 821 ,1

3 ; tiene el numerador menor que el denominador, por lo tanto,son propias.

Fracciones impropias

Son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador.

Ejemplo 1.5.Las fracciones 8

3 ,65 ,−4

3 ,218 ,3

1 ; son impropias, ya que el numerador es mayor que el de-nominador.

Fracciones mixtas

Son aquellas formadas por una parte entera y una parte fraccionaria.

Ejemplo 1.6.Las fracciones: 21

3 ,534 ,32

3 son ejemplos de fracciones mixtas.

ConversionesPara realizar la conversión de una fracción impropia a mixta se efectúa la divisióndel numerador entre el denominador, el cociente es la parte entera, el residuo es elnumerador de la fracción y el divisor es el denominador.

Ejemplo 2.1.Convierte a fracción mixta 43

6SoluciónSe efectúa la división:

Por lo tanto, la fracción en forma mixta es 716


Ejemplo 2.2.Expresa en fracción mixta 125

12 .SoluciónSe realiza el cociente

se obtiene que 12512 = 10 5

12

Ejercicios PropuestosConvierte las siguientes fracciones impropias a fracciones mixtas.

1. 43

2. 75

3. 32

4. 134

5. 123

6. 2813

7. 2512

Conversión de fracción mixta a un impropiaPara convertir una fracción mixta a una impropia se multiplica la parte entera de lafracción mixta por el denominador de la parte fraccionaria y al producto se le suma elnumerador este resultado es el numerador de la fracción impropia y su denominador esel denominador de la parte fraccionaria de la fraccionaria mixta.

Ejemplo 3.1.Convierte a fracción impropia 23

5 .Soluciónal aplicar el procedimiento anterior se obtiene:23

5 = (2·5)+35 = 10+3

5 = 135

Ejemplo 3.2.La fracción impropia de 17

9 es igual a:SoluciónSe realiza el procedimiento para obtener:17

9 = (1·9)+79 = 9+7

9 = 169


Ejercicios Propuestos1. Convierte las siguientes fracciones mixtas en fracciones impropias.

(a) 325

(b) 129

(c) 427

(d) 546

(e) 2 813

(f) 151920

Fracciones equivalentesSon aquellas que se expresan de manera diferente, pero representan la misma cantidad.Para averiguar si dos fracciones son equivalentes se efectúa la multiplicación del numer-ador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el resultado debe serigual a la multiplicación del denominador de la primera fracción por el numerador dela segunda.

Ejemplo 4.1.

¿Son equivalentes las fracciones 34 y 15

20?SoluciónSe efectúa las multiplicaciones indicadas y se comparan los resultados:

(3)(20) y (4)(15)60=60 ∴ 3

4 = 1520

Ejemplo 4.2.¿Son equivalentes las fracciones 11

4 y 3024?

SoluciónSe convierte la fracción mixta en fracción impropia 11

4 = 54 , entonces para comparar 5

4y 30

24 se realizan los productos:(5)(24) y (4)(30)120=120 ∴ 11

4 = 3024

Ejercicios Propuestos1. Indica si las siguientes fracciones son equivalentes.

(a) 25 y 6

15

(b) 38 y 48

17

(c) 16 y 12

72

(d) 49 y 28

72

(e) 134 y 33

4

(f) 6 y 578

(g) 138 y 66

48


PropiedadesEl valor de una fracción no se altera al multiplicar su numerador y denominador porun mismo número.

Ejemplo 5.1.Al multiplicar por 2 el numerador y denominador de la fracciones 6

7 , se obtiene unafracción equivalente.67 = 6·2

7·2 = 1214

Simplificación de una fracciónEl valor de una fracción no se altera cuando el numerador y el denominador se les divideentre el mismo número. A este procedimiento se le denomina como "simplificación deuna fracción".

Ejemplo 6.1.Simplifica la fracción 12

14SoluciónPara simplificar 12

14 se debe dividir el numerador y denominador entre 2 que es el máximocomún divisor de 12 y 14.1214 = 12÷2

14÷2 = 67

Ejercicios Propuestos1. Simplifica las siguientes fracciones:

(a) 2024

(b) 1812

(c) 912

(d) 2842

(e) 2510

(f) 90200

(g) 24570

Ubicación en recta numéricaPara ubicar la fracción a

ben la recta numérica, se divide cada unidad en el número de

partes que indica el denominador b y se toman las partes que indica el número a.


Ejemplo 7.1.Localiza en la recta numérica el número 2

3SoluciónSe divide la unidad en 3 partes iguales y se toman 2.

Ejemplo 7.2. Representa la fracción −234 en la recta numérica.

soluciónSe convierte la fracción mixta a fracción impropia −23

4 = −114 , ahora se divide en 4

partes iguales a las unidades que se encuentran a la izquierda del 0 y se toman 11 deesas divisiones.

Ejercicios propuestos1. Representa en la recta numérica las siguientes fracciones.

(a) 58

(b) −94

(c) −26

(d) 95

(e) 59

(f) 812

(g) 115

(h) −213

(i) −126

(j) 2 510

Suma o resta con igual denominadorSe suman los numeradores y se escribe el denominador en común.

Ejemplo 8.1.Efectúa la operación 3

4 + 24 + 1

4SoluciónSe suman los numeradores, el resultado tiene como denominador 4 y la fracción resul-tante se simplifica.34

+ 24

+ 14

= 3 + 2 + 14

= �63

�42 = 32

Por tanto el resultado de la operación es 32 .


Ejemplo 8.2.Efectúa la siguiente operación 7

9 − 59

El denominador de las fracciones es el mismo, por lo tanto, se restan únicamente losnumeradores y el resultado tiene el mismo denominador.79 − 5

9 = 7−59 = 2

9Por consiguiente, el resultado es 2

9 .

Ejemplo 8.3.¿Cuál es el resultado de 13

5 + 45 − 21

5?SoluciónSe convierte las fracciones mixtas en fracciones impropias y se efectúan las operaciones.13

5 + 45 − 21

5 = 85 + 4

5 − 115 = 8+4−11

5 = 15

el resultado es 15

Ejercicios propuestos1. Efectúa las siguientes operaciones.

(a) 15 + 3

5

(b) 38 + 1

8

(c) 76 + 5

6 + 16

(d) 159 + 31

9 + 79

(e) 1115 − 7

15

(f) 313 − 8

3

(g) 46 + 7

6 − 86

(h) 312 − 5

12 + 1012

(i) 320 + 18

20 − 1320 − 4

20

Suma o resta con diferente denominadorSe busca el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores, también conocidocomo común denominador, este se divide entre cada uno de los denominadores delas fracciones y los resultados se multiplican por su correspondiente numerador. Losresultados se suman o se restan para obtener el resultado final.

Ejemplo 9.1.Efectúa 3

2 + 13 + 2

6SoluciónEl MCM de los denominadores es 6, se divide por cada uno de los denominadores yel resultado se multiplica por su respectivo numerador, posteriormente se suman losresultados de los productos.32

+ 13

+ 26

= (3)(3) + (2)(1) + (1)(2)6

= 9 + 2 + 26

= 136

= 216

Por lo tanto, el resultado de la suma es 136 ó 21

6 .


Ejemplo 9.2.¿Cuál es el resultado de 1

2 − 15?

SoluciónEl común denominador de 2 y 5 es 10, se efectúa las operaciones y se obtiene el resul-tado.12 − 1

5 = 5−210 = 3

10

Ejercicios propuestos1. Efectúa las siguientes operaciones.

(a) 12 + 1

3

(b) 724 + 11

30

(c) 53 + 4

9 + 618

(d) 11164 − 5

8

(e) 13 − 1

12 − 234

(f) 712 − 12

5 + 910

(g) 615 + 32

3 − 114

(h) 312 − 21

3 + 114

(i) 116 − 3

2 + 2 712 − 4 + 1

3

Resolución de problemasEjemplo 9.3.Para preparar un pastel se emplean los siguientes ingredientes: 11

2kg de harina, 12kg de

huevo, una tasa de leche equivale a 14kg y azúcar 5

8kg ¿Cuánto kilogramos pesa estosingredientes?SoluciónSe suman los kilogramos de todos los ingredientes y se obtiene:11

2 + 12 + 1

4 + 58 = 3

2 + 12 + 1

4 + 58 = 12+4+2+5

8 = 238 = 27

8Por consiguiente, los ingredientes pesan 27

8kg.

Ejemplo 9.4.Miguel perdió 1

3 de su dinero y prestó 14¿Qué parte de su dinero le queda?

Solución13 + 1

4 = 4+312 = 7

12 1 − 712 = 1

1 − 712 = 12−7

12 = 512

Por tanto Miguel le sobran 512 de su dinero.

Ejercicios propuestos1. Juan compró en el supermercado 1

2kg de azúcar, 34kg de harina y 1 kg de huevo,

estos productos los colocó en una bolsa.¿Cuántos kilogramos pesa dicha bolsa?


2. Dos calles tienen las siguientes longitudes 223 y 13

4 de kilómetro, ¿cuál es la longitudtotal de ambas?

3. Al nacer un bebe pesó 214kg en su primera visita al pediatra este informó a los

padres que el niño había aumentado 12kg; en su segunda visita observa que su

aumento fue de 58kg. ¿Cuántos kilos pesó el bebe en su última visita al médico?

4. A Joel le pidieron que realizara una tarea de física que consistía en contestar uncuestionario y resolver problemas. Se tardó 3

4 de hora en responder el cuestionarioy 21

2 para solucionar los problemas. ¿Cuánto tiempo le tomó a Joel terminar todala tarea?

5. Tres cuerdas tienen las siguientes longitudes 325 , 2 3

10 y 412 metros cada una.¿Cuáles

es la longitud de las 3 cuerdas juntas?

Multiplicación de fraccionesPasos para efectuar la multiplicación entre números racionales:

• Se simplifica si es posible el numerador de la primera fracción con el denominadorde la segunda y el denominador de la primera fracción con el numerador de lasegunda.

• Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

Ejemplo 11.1.Efectúa 2

5 · 16

SoluciónSe aplica el procedimiento descrito y se simplifica el resultado.�21

5· 1�63 = 1

5· 1

3= 1

15Ejemplo 11.2.¿Cuál es le resultado de 32

4 · 416 .

SoluciónSe convierten las fracciones mixtas a impropias y se efectúan el producto.

324

· 416

= ��147

4· 25�63 = 175

12= 14 7

12


Ejercicios propuestos1. Efectúa los siguientes productos:

(a) 25 · 10

8

(b) 54 · 2

7

(c) 36 · 2

9

(d) 125 · 22

7

(e) 223 · 31

5

(f) 15 · 9

4 · 126

(g) 116 · 12

7 · 142

(h) 79 · 8

5 · 314 · 15

(i) 225 · 5

9 · 13 · 13

5

(j) 2 · 735 · 1 6

19 · 34

Resolución de problemasEjemplo 12.1.En un grupo hay 40 estudiantes, de ellos las tres quintas partes son mujeres. ¿Cuántasmujeres hay en el grupo?SoluciónPara obtener el total de mujeres del grupo se multiplica el total de estudiantes por lafracción que representa las mujeres.40 · 3

5= ��408 · 3

�51 = 24 mujeres

Por consiguiente, hay 24 mujeres en el grupo.

Ejemplo 12.2.Se realizó una encuesta para averiguar que medios informativos se prefieren, de cada 10personas, 4 prefieres el periódico, si se encuestó a 600 individuos. ¿Cuántos prefierenotros medios?SoluciónLa fracción 4

10 representan a las personas que prefieren el periódico, por lo tanto, 610 rep-

resentan a las personas que prefieren otros medios, entonces para obtener el númerosde personas que representa esta última fracción se multiplica por el total de la muestra.6

��101 ·��60060 = 360

Rta: Prefieren otros medios 360 personas

Resolución de problemas1. Una alberca tiene capacidad para 3000 litros de agua, si sólo se encuentra a tres

cuartas partes de su capacidad. ¿Cuántos litros de agua tiene?


2. En un estadio de beisbol 23 de los aficionados apoyan al equipo local, si el número

de asistentes es de 6300 personas. ¿Cuántos apoyan al equipo visitante?

3. La tercera parte de una población de 2100 habitantes es afectada por cierto virus.¿Cuántos habitantes no padecen el virus?

4. El costo de un kilogramo de azúcar es de C$9. ¿Cuál es el precio de 334kg?

División de fraccionesPasos para efectuar la división entre números racionales:

• La división de fracciones se transforma en una multiplicación de la primera frac-ción por el recíproco de la segunda fracción.

• Se simplifica si es posible el numerador de la primera fracción con el denominadorde la segunda y el denominador de la primera fracción con el numerador de lasegunda.

• Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador.

a

b÷ c

d= a

b· d

c= ad

bc

Ejemplo 13.1.Realiza 2

3 ÷ 45

SoluciónSe aplican los pasos anteriores en el ejercicio y se obtiene el resultado.23

÷ 45

= �21

3· 5�42 = 1

3· 5

2= 5

6Ejemplo 13.2.Determina el resultado de 42

5 ÷ 234 .

SoluciónSe convierte las fracciones mixtas a fracciones impropias y se aplica los pasos prop-uestos.42

5÷ 23

4= 22

5÷ 11

4= ��222

5· 4��111 = 2

5· 4

1= 8

5= 13

5


Ejercicios propuestos1. Efectúa

(a) 16 ÷ 2

3

(b) 34 ÷ 1

2

(c) 68 ÷ 1

4

(d) 139 ÷ 4

3

(e) 78 ÷ 21

16

(f) 223 ÷ 4

15

(g) 12 ÷ 31

4

(h) 49 ÷ 8

(i) 314 ÷ 26

(j) 514 ÷ 11

6

Resolución de problemasEjemplo 14.1.¿Cuántas bolsas de 5

8 de kg se pueden llenar con 20 kilogramos de galleta?SoluciónSe dividen los 20 kg de galleta entre la capacidad de las bolsas para obtener el númerode bolsas que se puede llenar.20 ÷ 5

8= ��204 · 8

�51 = 4 · 81

= 32Por tanto con 20 kg se pueden llenar 32 bolsas de 5

8 de kilogramos.

Ejercicios propuestos1. El peso aproximado de una pizza familiar es de un kilogramo y si la pizza se divide

en 8 porciones iguales ¿Cuánto pesa cada rebanada?

2. ¿Cuántas botellas de tres litros se llenan con 60 litros de agua?

3. ¿Cuántas piezas de 223 de metro de longitud se obtienen de una varilla de 131

3metros de largo?

4. Si una llave vierte 613 litros de agua por minuto, ¿Cuánto tiempo empleará en

llenar un depósito de 8823 litros de capacidad?

5. ¿Cuál es la velocidad por hora de un automóvil que en 212 horas recorre 120

kilometros?

6. Francisco compró 823 kilogramos de jamón con $156, ¿Cuál es el costo de un

kilogramo?

7. Una Familia de 6 integrantes consume diariamente 112 litros de leche, si todos

ingieren la misma cantidad, ¿Cuánto toma cada uno?


8. Javier repartió 160 kilogramos de arroz entre un grupo de personas, de tal formaque a cada una le tocó 62

3kg ¿Cuántas personas eran?


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