PRESENTACIÓN CLASE 2

DINÁMICA DE LAS ESTRUCTURASDR. EDUARDO ÁLVAREZ DEULOFEU

Dr. Eduardo Álvarez Deulofeu

oumd)(p ( 1.108 ) Condiciones iniciales:

md)t(pu;0u oo

( 1.109 )

Luego la respuesta del sistema para t> :

)t(senu

e)t(u dd

o)t(

( 1.110 )

Luego para el impulso dado:

)t(senm

d)(pe)t(du dd

)t(

( 1.111 )

d)t(sene)(pm

1)t(du d)t(

d ( 1.112 )

Integral de Duhamel

t

0d

)t(

dd)t(sene)(p

m1)t(u ( 1.113 )

1.5.3 Carga dinámica general P(t). Integral de Duhamel

Fig. 1.30 Simplificación de una carga dinámica general P(t) como una sucesión de impulsos instantáneos

1.5.4 Carga sísmica

)t(um)t(p b ( 1.121 ) Así la integral de Duhamel se expresa:

t

0d

)t(b

dd)t(sene)(u1)t(u ( 1.122 )

Donde como sabemos: 2d 1

dt)t(ud)t(u ( 1.123 )

21D

; ( 1.124 )

Se obtiene:

t

0dd

)t(b d)t(cos)t(Dsene)(u)t(u ( 1.125 )

Para la aceleración, partimos de la ecuación diferencial del movimiento ya conocida:

Como sabemos: m2c , 2mk

)t(u)t(u2)t(u)t(u b2 ( 1.126 )

Sustituyendo resulta:

)t(ud)t(cosD2)t(senD1e)(u)t(u bt

0dd

2)t(bd

( 1.127 )

)t(udt

)t(ud)t(u b

( 1.128 )

Para factores de amortiguamiento ξ muy pequeños: d y D≈0, de lo que resulta:

t

0

)t(b d)t(sene)(u1)t(u ( 1.129 )

t

0

)t(b d)t(cose)(u)t(u ( 1.130 )

)t(ud)t(sene)(u)t(u bt

0

)t(b

( 1.131 )

)t(um)t(ku)t(uc)t(um b

1.6 Métodos numéricos para la solución de la Integral de Duhamel Para esto desarrollaremos la expresión (1.113) de la siguiente manera:

t)t(

eee

( 1.132 )

ddddd sentcoscostsen)t(sen ( 1.133 )

Sustituyendo en (1.113) tenemos:

tcos)t(Btsen)t(A)t(u dd ( 1.134 ) Donde:

t

0dt

ddcos

eeP

m1tA ( 1.135 )

t

0dt

ddsen

eeP

m1tB ( 1.136 )

Recordando algunas de las formas numéricas de evaluación de una integral definida: - Fórmula de la simple suma:

a

b1n210 xY...YYYdx)x(f ( 1.137 )

- Fórmula de los trapecios:

a

bn1n210 2

xYY2...Y2Y2Ydx)x(f ( 1.138 )

- Formula de Simpson:

a

bn2n421n310 3

xY)Y...YY(2)Y...YY(4Ydx)x(f

(1.139) Donde n: tiene que ser un número par

En general para la integral de Duhamel puede expresarse como:

A

d)t(1

m)t(A ( 1.140 )

B

d)t(1

m)t(B ( 1.141 )

Donde: Según la fórmula de la simple suma ( )1

e)t(cos)t(P)t()t(

A

1d

A

1 ( 1.142 )

Según la fórmula de los trapecios ( )2

tcos)t(Petcos)t(P)t()t( dA

2d

A

2

( 1.143 )

Según la fórmula de Simpson ( )3

tcos)t(Pe)t(cos)t(P4e)2t(cos)2t(P)2t()t( dd2A

3d

A

3

( 1.144 ) Análogamente para :)t(B Según la fórmula de la simple suma ( )1

e)t(sen)t(P)t()t(

B

1

B

1d ( 1.145 )

Según la fórmula de los trapecios ( )2

tsen)t(Pe)t(sen)t(P)t()t( dB

2

B

2d

( 1.146 )

Según la fórmula de Simpson ( )3

tsen)t(Pe)t(sen)t(P4e)2t(sen)2t(P)2t()t( dd2B

3

B

3d

( 1.147 )

Cargas sísmicas En lugar de una carga dinámica tP se dispone de un registro en el tiempo dado

)t(u b del movimiento del terreno, registrado por un acelerógrafo y que posteriormente se digitaliza. Para la solución numérica de las integrales que resultan de aplicar la identidad (1.133) a la integral de Duhamel para este caso particular (1.122) se obtiene la misma solución (1.134) pero aquí resultan:

A)t(1)t(A ( 1.148 )

B)t(1)t(B ( 1.149 )

Debiendo sustituirse la variable P por bu en las expresiones de la (1.142) a la (1.147), de acuerdo al método numérico utilizado.

Ejemplo de cálculo No. 3 Calcular los desplazamientos en el tiempo del tanque elevado que se muestra en la Fig. 1.31 producidos por una carga de impulso originada por la propagación de la onda expansiva de una voladura realizada en un lugar próximo a su ubicación. Datos

Ton30m

mkN27000K

05.0

Fig. 1.31 Tanque elevado sometido a una carga de impulso

Solucion Frecuencia circular de las oscilaciones libres no amortiguadas

srad30mK

Frecuencia circular de las oscilaciones libres amortiguadas

srad96.2905.01301 22d

Se comprueba que: d Período Podemos calcular el período despreciando el amortiguamiento tal que:

s209.0301416.322T

Discretización del tiempo Debe cumplirse que:

10T

Tomaremos s005.0

Cálculo de tP para cada tiempo t Se ilustra en la Fig. 1. 31

Cálculo numérico de los Desplazamientos

tcostBtsentAtU Debe calcularse para cada valor de t :

A

2t

21

mtA

B

2t

21

mtB

Se define como G el valor constante siguiente:

6107778.2

21

3030005.01

mG

(Para la Fórmula de los Trapecios 2 )

Debe calcularse para cada valor de t los términos:

tcostPetcostPttA

2

A

2

tsentPetsentPttB

2

B

2

Siendo:

9925.0ee 05.030005.0 ( Valor constante )

Calculo del Parámetro A t(seg) p(t) cos t p(t-Δτ) cos (t-Δτ) Σ A (t-Δτ) e- Δτ Σ A (t) sen t Σ A (t)*G*sen t (10-6)

0,000 0,000 1,0000 0,000 1,0000 0,000 0,9925 0,0000 0,0000 0,0000 0,005 19,320 0,9888 0,000 1,0000 0,000 0,9925 19,1031 0,1494 7,9298 0,010 38,640 0,9553 19,320 0,9888 19,103 0,9925 74,8348 0,2955 61,4311 0,015 57,960 0,9004 38,640 0,9553 74,835 0,9925 163,1040 0,4350 197,0684 0,020 77,280 0,8253 57,960 0,9004 163,104 0,9925 277,4672 0,5646 435,1937 0,025 96,600 0,7317 77,280 0,8253 277,467 0,9925 409,3804 0,6816 775,1377 0,030 77,280 0,6216 96,600 0,7317 409,380 0,9925 524,5126 0,7833 1141,2912 0,035 57,960 0,4976 77,280 0,6216 524,513 0,9925 597,1118 0,8674 1438,7462 0,040 38,640 0,3624 57,960 0,4976 597,112 0,9925 635,2754 0,9320 1644,7265 0,045 19,320 0,2190 38,640 0,3624 635,275 0,9925 648,6568 0,9757 1758,0822 0,050 0,000 0,0707 19,320 0,2190 648,657 0,9925 648,0097 0,9975 1795,5177 0,055 0,000 -0,0791 0,000 0,0707 648,010 0,9925 643,1678 0,9969 1780,9762 0,060 0,000 -0,2272 0,000 -0,0791 643,168 0,9925 638,3620 0,9738 1726,8538 0,065 0,000 -0,3702 0,000 -0,2272 638,362 0,9925 633,5922 0,9290 1634,9491 0,070 0,000 -0,5048 0,000 -0,3702 633,592 0,9925 628,8581 0,8632 1507,8783 0,075 0,000 -0,6282 0,000 -0,5048 628,858 0,9925 624,1593 0,7781 1349,0045 0,080 0,000 -0,7374 0,000 -0,6282 624,159 0,9925 619,4956 0,6755 1162,3513 0,085 0,000 -0,8301 0,000 -0,7374 619,496 0,9925 614,8668 0,5577 952,5033 0,090 0,000 -0,9041 0,000 -0,8301 614,867 0,9925 610,2725 0,4274 724,4950 0,095 0,000 -0,9578 0,000 -0,9041 610,273 0,9925 605,7126 0,2875 483,6918 0,100 0,000 -0,9900 0,000 -0,9578 605,713 0,9925 601,1867 0,1411 235,6652

Calculo del Parámetro B

t(seg) p(t) sen t p(t-Δτ) sen (t-Δτ) Σ B (t-Δτ) e- Δτ Σ B (t) cos t Σ B (t)*G*sen t (10-6) U(t) (cm)

0,000 0,000 0,0000 0,000 0,0000 0,000 0,9925 0,0000 1,0000 0,0000 0,000 0,005 19,320 0,1494 0,000 0,0000 0,000 0,9925 2,8871 0,9888 7,9298 0,000 0,010 38,640 0,2955 19,320 0,1494 2,887 0,9925 17,1500 0,9553 45,5113 0,002 0,015 57,960 0,4350 38,640 0,2955 17,150 0,9925 53,5661 0,9004 133,9817 0,006 0,020 77,280 0,5646 57,960 0,4350 53,566 0,9925 121,8236 0,8253 279,2927 0,016 0,025 96,600 0,6816 77,280 0,5646 121,824 0,9925 230,0692 0,7317 467,6086 0,031 0,030 77,280 0,7833 96,600 0,6816 230,069 0,9925 354,2400 0,6216 611,6641 0,053 0,035 57,960 0,8674 77,280 0,7833 354,240 0,9925 461,9521 0,4976 638,4833 0,080 0,040 38,640 0,9320 57,960 0,8674 461,952 0,9925 544,4146 0,3624 547,9802 0,110 0,045 19,320 0,9757 38,640 0,9320 544,415 0,9925 594,9427 0,2190 361,9345 0,140 0,050 0,000 0,9975 19,320 0,9757 594,943 0,9925 609,2074 0,0707 119,7045 0,168 0,055 0,000 0,9969 0,000 0,9975 609,207 0,9925 604,6554 -0,0791 -132,8913 0,191 0,060 0,000 0,9738 0,000 0,9969 604,655 0,9925 600,1375 -0,2272 -378,7569 0,211 0,065 0,000 0,9290 0,000 0,9738 600,137 0,9925 595,6533 -0,3702 -612,4984 0,225 0,070 0,000 0,8632 0,000 0,9290 595,653 0,9925 591,2026 -0,5048 -829,0732 0,234 0,075 0,000 0,7781 0,000 0,8632 591,203 0,9925 586,7852 -0,6282 -1023,8971 0,237 0,080 0,000 0,6755 0,000 0,7781 586,785 0,9925 582,4007 -0,7374 -1192,9407 0,236 0,085 0,000 0,5577 0,000 0,6755 582,401 0,9925 578,0491 -0,8301 -1332,8102 0,229 0,090 0,000 0,4274 0,000 0,5577 578,049 0,9925 573,7299 -0,9041 -1440,8146 0,217 0,095 0,000 0,2875 0,000 0,4274 573,730 0,9925 569,4431 -0,9578 -1515,0147 0,200 0,100 0,000 0,1411 0,000 0,2875 569,443 0,9925 565,1882 -0,9900 -1554,2558 0,179

Respuesta en el tiempo

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600

t(segundos)

U(t) (cm)

Fig. 1.32 Desplazamientos en el tiempo del tanque elevado para la carga de impulso actuante.

-0,300

-0,200

-0,100

0,000

0,100

0,200

0,300

0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

t (segundos)

U(t) (cm)

Fig. 1.32 Desplazamientos en el tiempo del tanque elevado para la carga de impulso actuante.

)t,,(umáx),(Sv

Fig. 1.33 Obtención de espectros de respuestas sísmicos

)t,,(umáx),(Sd

)t(u)t,,(umáx),(S ba

1.7 Espectros de respuesta sísmicos

Fig. 1.34 Espectro de respuesta de velocidad del sismo “El Centro”, California, 18 de Mayo de 1940, componente N –S

Fig. 1.35 Espectro de respuesta de aceleración del sismo “El Centro”, California, 18 de Mayo de 1940, componente N –S

Fig. 1.36 Osciladores monomásicos con rigidez límite

)0T(mklim

k

0mklim

0k

(T → ∞)

Fig. 1.37 Valores límites de los espectros de respuesta sísmicos

Representación logarítmica tripartita de espectros de respuesta sísmicos Si se observa en las ecuaciones aproximadas que fueron obtenidas a partir de la integral de Duhamel, aceptando que:

t

0

)t(b

t

0

)t(b d)t(sene)(umáxd)t(cose)(umáx (1.155)

Entonces obtenemos las siguientes relaciones entre las funciones que definen los espectros de desplazamientos, velocidades y aceleraciones:

dv SS ( 1.156 )

va SS ( 1.157 ) Sustituyendo ( 1.156 ) en ( 1.157 ) se obtiene:

d2

a SS ( 1.158 ) Despejando en ( 1.156 ) se obtiene:

vd S1S

( 1.159 )

A la velocidad así calculada aproximadamente se le denomina Pseudovelocidad. Expresando estas relaciones en función del Período (T) :

vd S2TS

( 1.160 )

va ST2S

( 1.161 )

Fig. 1.41 Espectro de respuesta de diseño y espectros de respuesta para distintos factores de amortiguamiento del sismo “El Centro”, (California, 18 de Mayo de 1940, componente N –S). Representación tripartita.

Fig. 1.42 Espectros de respuesta del sismo “El Centro”, California, 18 de Mayo de 1940, componente N –S. Representación tripartita magnitudes de respuestas expresadas como factores de amplificación con respecto a los valores máximos de las parámetros de respuestas del suelo registrados

Fig. 1.43 Espectros de respuestas de diseño

Ejemplo de cálculo No. 4 Obtener los espectros de respuestas de desplazamiento, velocidad y aceleración, para un factor de amortiguamiento de un 5% a partir de los registros obtenidos del sismo “El Centro”, (California, 18 de Mayo de 1940, componente N –S). Graficar además los registros de desplazamiento de respuestas obtenidos para los osciladores monomásicos con períodos de 0.6 seg, 1.0 seg y 3.0 seg., indicando los valores máximos de desplazamientos de respuestas obtenidos para estos osciladores monomásicos.

Espectros de Respuestas

Desplazamientos, Velocidades y Aceleraciones de Respuesta

dv SS d2

a SS

t

0

)t(b d)t(sene)(u1)t(u ( 1.129 )

t

0

)t(b d)t(cose)(u)t(u ( 1.130 )

)t(ud)t(sene)(u)t(u bt

0

)t(b ( 1.131 )

)t,,(umáx),(Sd ( 1.150 )

Solución

Para elaborar los espectros de respuestas de velocidad y aceleración se toman en consideración las relaciones aproximadas:

Fig. 1.44 Registros de parámetros de respuesta del suelo del sismo “El Centro”, California, 18 de Mayo de 1940, componente N – S. a) Aceleración, b) Velocidad y c) Desplazamiento

FinPrimera Parte

SDOF