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Geometría Dinámica.Sistemas y objetos transformables.Ever Patiño MazoDiseñador Industrial, Jefe de la línea de Investigación en MorfologíaExperimental, Universidad Pontificia Bolivariana.Facultad de Diseño. Programa de Industrial,Grupo de Estudios en Diseño, Colombia, [email protected].

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INTRODUCCIÓNEl entorno lúdico en países como el nuestro es unsector poco explorado y desarrollado, ya que factorescomo la alta inversión monetaria y el alto desarrolloconceptual, necesarios para lograrlo, han llevado alas empresas simplemente a copiar o a comprar mol-des o diseños ya existentes.Un objeto lúdico puede ser aquel que le permita al usuario,ya sea niño, adulto o anciano, cierta dosis de diversión(necesidad tan fundamental, y que al pasar del tiempose convierte para muchos en añorada), o que posibilitecambios necesarios para la ruptura de la monotonía; lossistemas transformables geométricos que se estudiaronen el proyecto, los cuales posibilitan por ellos mismosesa mutación, ese cambio y ese divertimento, se eligie-ron para trabajar en esta tipología específica de objetospor poseer intrínsecamente ese tipo de propiedades.

La geometría que permite el movimiento, y que llamaremos di-námica, sirvió como punto de partida para explorar esa gamade posibilidades en el desarrollo de objetos que requieren elcambio físico, objetos que permiten ser descubiertos a medidaque se transforman y mutan. Todos ellos logran su morfologíaa partir de la repetición de módulos sencillos, factibles de pro-ducir, que se vinculan a morfologías mucho más complejas,ricas en movimiento y diversidad, comprobando el principiosinergético de Buckminster Fuller: "el todo es mayor que lasuma de las partes",Son muchos los requerimientos que un objeto, mueble o ac-cesorio deben cumplir necesidades que varían de acuerdo ala tipología y en el entorno en la cual están inscritos. Peroahora, además de tener en cuenta ese tipo de premisa, el dise-ño toma en cuenta la lúdica, la transformabilidad y el cambiocomo puntos de partida para la proyectación, y ellos son en símismos más que suficientes para sujustificación.

ANTECEDENTESLos sistemas desplegables han despertado la curiosidaddel hombre desde hace varios siglos, se conocen variosestudios del célebre Leonardo da Vinci sobre cálculos deestructuras de paraguas, tijeras y máquinas voladoras.Desde entonces las estructuras desplegables se aplicancontinuamente en distintos campos, desde el diseño deproductos, espacios, hasta la industria aeroespacial.Los objetivos de su desarrollo han sido básicamente losmismos, reducir el volumen general de la estructura ensu estado más amplio y útil, para poderlo transportarfácilmente y operarlo de una manera más rápida y sen-cilla. Ahora, además de valorar la plegabilidad de unaestructura, han surgido aplicaciones dinámicas en lasque la transformabilidad y el continuo movimiento ha-cen parte de su prioridad funcional.Pasaron muchos años para que se volvieran a retomarestos estudios; en los años 60 Buckminster Fuller,al que se le conoce por ser la persona que populari-zó las cúpulas geodésicas, logró innovar tanto en eldesarrollo estructural como en la investigación yaplicación de estructuras dinámicas, en su mayoría ala arquitectura. Vale recalcar que aunque la humani-dad siempre ha utilizado mecanismos para satisfacero facilitar ciertas necesidades, sólo fue hasta Fuller

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que esos mecanismos se empezaron a tomar como sistemas, yano sólo era necesaria la transmisión de movimiento, sino queel mecanismo podría ser óptimo. Fuller utilizaba los mínimosrecursos para realizar la actividad, recursos como la relación demasa y energía estaban siendo utilizados eficientemente, pocomaterial, poca mano de obra, poco tiempo de ensamble, y detransporte, la estructura cumplía con todos los parámetros deseguridad, y además de todo esto, sus creaciones resultabanparticularmente bellas.Luego de Fuller varios arquitectos e ingenieros se han dado ala tarea de innovar en sus proyectos utilizando las estructurasdinámicas, cabe mencionar a Santiago Calatrava que además deutilizar comúnmente referentes biomorfos en la apariencia desu edificación, proyecta la función a partir de ese mismo estu-dio; no solo se queda con una aproximación estética, él abordael concepto desde múltiples perspectivas, funcionales, produc-tivas y estructurales, siempre haciendo uso de la construcciónnatural. Otro gran diseñador contemporáneo de este tipo de es-tructuras es el ingeniero Chuck Hoberman, quien fundó en los90 una empresa que lleva su nombre, comenzó utilizando losconceptos de plegabilidad enjuguetes, y ahora ha crecido de talmodo su proyección tipológica, que está desarrollando objetosde mobiliario, arquitectura, exhibición y productos médicos.

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ESTRUCTURAS DINAMICASLos tres personajes antes mencionados, como muchos otros más se basan en las es-tructuras dinámicas para generar nuevas ideas que rompen con Locotidiano. Desdeeste primer acercamiento las estructuras dinámicas se podrían definir como sistemascolapsables o transformables, que cambian su forma a partir de la modulación debarras y articulaciones sencillas, que deben su forma y composición a conceptos yestructuras geométricas, y cuyo funcionamiento no se puede predecir sin tener encuenta todo el sistema; Fuller denominó esto Sinergética y es un concepto que nosdice que todas Laspartes de un sistema cuaLquiera son iguaL de importantes, no exis-tiendo por tanto un elemento accionador principal, cualquier cambio efectuado enuna de las partes modificará el conjunto. Dentro de este esquema general, la geo-metría dinámica sería Labase o fundamento de Lasestructuras dinámicas, ya que eLLacumpLe a cabalidad con las principaLes características de este tipo de estructuras.Desde esta definición las estructuras dinámicas son mecanismos, pero no todoslos mecanismos son estructuras dinámicas, ya que no cumplen con todas las ca-racterísticas. Por ejemplo un mecanismo muchas veces tiene varias entradas demovimiento, Las estructuras dinámicas para que puedan tener un funcionamientosinergético tienen en su mayoría sóLo una entrada de movimiento, esto quiere de-cir que al accionar sólo una de las piezas, todo el sistema se modificará.

Hg. L Esquema Estructuras Dinámicas


Las estructuras colapsables son aquellas que fun-cionan al estar completamente abiertas o cerradas,por tanto existen en ellas un condiciona miento deapertura y cierre muy limitante. Pueden ser total-mente desarmables, o sea que todas sus partes estánunidas por diversos medios que se pueden retirar enel cierre, estas en particular no poseen un funcio-namiento sinergético; o plegables, que se da en lamedida que en se conserva todo el sistema, tantoestando abierto como cerrado, gracias a articulacio-nes mecánicas o a diversos soportes estructurales,como sistemas hinchables. En los dos casos la fun-ción particular existe en el momento en que se en-cuentran estáticas, en el momento de estar cerradasfuncionan para guardarse, y en el momento de estarabiertas en la mayoría de las veces cumplen con unafunción primaria, que antecede al pliegue, que es lade soportar cargas.Por otro lado las estructuras transformables depen-den de un cambio morfológico continuo, no estáncondicionadas a la apertura y el cierre.

Su función principal está en la estética que producela mutación. Por esta cualidad este tipo de estructuracomúnmente es utilizada en el entorno lúdico, si ana-lizamos los productos de Hoberman, la mayoría de susjuguetes no dependen de la apertura y el cierre, soninteresantes en la medida en que el cambio ocasionadorepresente interés para el usuario.Si observamos el esquema de las estructuras diná-micas de la figura 1, podemos ver que dentro de losprincipios mencionados, ambos tipos de estructurasestán fundamentadas en la geometría y en la siner-gética. Cabe señalar que se puede proyectar un me-canismo sin tener muy en cuenta estos principios,pero la utilización de estos elementos responderáen mayor o en menor medida en la optimización y/oinnovación morfológica.

Fig. 2. Objeto Colapsable desplegable.Olafragma para la cocción de alimentes. Diseño Metaltex S.A.I1g, 3. Esfera transformable. Diseño Hoberman.

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MARCO TEÓRICOSi los sistemas dinámicos dependen en gran medida de lacomposición y estructura geométrica, fue pertinente enprimera instancia estudiar los patrones básicos que fun-damentan tal conocimiento. Enunciaremos en el momentosólo una pequeña parte de la geometría espacial, La baseteórica que sirvió para construir eLactuaL proyecto.Uno de Losenunciados de FuLleres "Space has Shape", el es-pacio tiene forma, eLespacio por ningún motivo representala nada, es en cambio una estructura espaciaL con propieda-des físicas que infLuencian y permiten que Laforma exista.Esta estructura espaciaL se asemeja a un sistema geométri-co donde todo está dispuesto, ordenado, aunque la formadeL diseño existe corporalmente, está determinada por eLmundo inmateriaL de formas puras y geométricas. Al ser Lageometría "el estudio deL orden espacial mediante la me-dición de las reLaciones entre Lasformas" (Lawlor, Robert,1996.Pág. 6), su práctica ayudará a deveLar la estructurainherente de Las superficies, los cuerpos y el espacio.


POllEDROS PLATÓNICOSPoliedro viene de las palabras, "poli" que significa muchos, y "edro" que significa caraplana, y se puede describir como un volumen que está limitado por polígonos que seinterceptan en aristas o vértices. Se pueden clasificar en cóncavos y convexos, regularese irregulares. Los poliedros convexos son aquellos que tienen todos los vértices en di-rección opuesta al centro. Y los cóncavos son los que tienen vértices alejándose y otrosacercándose, ocasionando planos en configuración cóncava. Hay poliedros convexosregulares e irregulares, los regulares son aquellos que tienen todas sus caras polígonosregulares iguales, y por consiguiente ángulos iguales.Todos los poliedros, ya sean regulares o irregulares, convexos o cóncavos poseen trescomponentes principales que constituyen el sólido geométrico: caras, aristas yvértices. Las caras son las superficies que lo limitan, las aristas son los segmentos que sonfrontera entre dos caras, y los vértices son los puntos donde convergen tres o más aristas.Mientras que en el espacio bidimensional existen infinitos polígonos regularesconvexos, en el espacio tridimensional hay un número finito de poliedros regularesconvexos. Mucho se ha hablado al respecto, y se ha llegado a la conclusión que sonsolo cinco los sólidos que cumplen esas características, reciben el nombre de Pla-tónicos, ya que se presume que fue Platón el que los describió por primera vez enTirneo, el diálogo en el cual presenta una cosmología a partir de la geometría. Sonel tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el icosaedro, y representan tridi-mensionalmente al triángulo, el cuadrado, y el pentágono, reciben sus nombre dedos raíces griegas, la primera hace referencia al número de caras, por ejemplo "te-tra" que significa 4, y la segunda, "hedrón" que como vimos anteriormente es cara.Es imposible construir volúmenes regulares que utilicen solo hexágonos, heptágonos,octágonos o cualquier otro polígono regular o irregular, es imposible ya que la suma desus ángulos empieza a ser más de 3600

, imposibilitando la tridimensionalidad.

Flg. 4. Poliedros Platónicos

TREINTAINUEVE

CUARENTA


TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICASInmerso en la producción geométrica es de igual impor-tancia conocer cuáles son los procesos que intervienen enla generación y mutación de la forma, tomando en cuenta,claro, que hablamos en este caso de formas poliédricashasta ahora regulares. El objetivo de éstas transformacio-nes no es más que el de generar otro nuevo sólido o es-tructura que parte de un módulo inicial, en otras palabras,al ser los poliedros platónicos un referente de regularidady orden, y de mínimas conformaciones, pueden ser utili-zados como módulos para ser transformados. De allí parteen gran medida, otra serie de cuerpos y estructuras seudoregulares con propiedades formales y estructurales impor-tantes para la materialización.La truncación es una de esas herramientas de variacióngeométrica, consiste en cortar los vértices de un poliedro,como resultado aparecen nuevas caras, las cuales son po-lígonos generados por la conexión de las aristas cortadas.Dependiendo desde donde se parta para el corte, se gene-ra el nuevo sólido. La truncación máxima de un poliedro esgenerada cuando los cortes de diferentes vértices se tocan.La estelación es un proceso contrario, y consiste en pro-yectar las caras del poliedro generando un nuevo vértice.Las caras del poliedro son reemplazadas por pirámides cu-yos lados son iguales al número de aristas de la cara. Lasdiferentes formas de estelar dependen de hasta dónde seproyectan las caras.Otra herramienta de variación es la dualidad. Ésta es la ca-pacidad que tiene un poliedro de generar otro a partir dela conexión de líneas perpendiculares a la mitad de sus ca-ras, desde esta premisa todo poliedro tiene un dual. El te-traedro es dual de sí mismo, el octaedro es dual del cubo yviceversa, el icosaedro es dual del dodecaedro y viceversa.Cuando se realiza la truncación máxima de dos poliedrosduales el resultado siempre es el mismo sólido.

En el caso del octaedro y el cubo, el resultadoes el cuboctaedro, y en el caso del dodecaedroy el icosaedro, el resultado es el icosidodecae-dro. (Verfig. 6)Teniendo en cuenta estas tres herramientasse construyen otras categorías de poliedros,los sólidos arquimédicos, los catalanes y lospoliedros Kepler-Poinsot. Las posibilidadesde formalización siguen siendo limitadas, porejemplo, los 13 sólidos arquimédicos tienenvértices de tercer, cuarto o quinto orden, nun-ca de sexto (el orden significa el número dearistas que están confluyendo en el vértice);si existen triángulos o hexágonos, se hallansiempre en múltiplos de cuatro; ninguno deellos posee caras con siete, nueve, once o unnúmero mayor de aristas. Esto conlleva a con-cluir que la geometría aunque es la base delordenamiento espacial, presenta gracias a suregularidad y precisión requerimientos cons-tructivos limitantes, pero que de igual formaestas limitaciones dotan a los cuerpos de pro-piedades geométricas y estructurales impor-tantes a la hora de ser utilizados.

Fig. 5. Truncación máxima del cubo y estelación del octaedroFig. 6. Estelación máxima detdodecaedro y el icosaedro

CRECIMIENTO BIOIMENSIONALAnálogo a la cantidad limitada de poliedros regulares ysemirregulares es el número limitado de redes bidirnensio-nales regulares y semirregulares que pueden construirseen el espacio bidimensional. A diferencia de los tipos devértices que utiliza el triángulo para salir al espacio, siunimos 6 triángulos alrededor de un mismo vértice, o seaen un vértice de sexto orden, tenemos los 360 o completos,la agrupación se queda en el plano, y si continuamos pegan-do triángulos, o repitiéndolos a partir de una simetría deespecular, manteniendo 6 alrededor de cada vértice, sepuede extender en el infinito mundo bidimensional. SegúnPeter Stevens sólo se pueden construir otras dos redes conestas características de uniformidad, utilizando elementosregulares idénticos que pueden crecer indefinidamente.(Ver Figura 7).Con iguales limitantes, encontramos sólo ocho redes se-mirregulares conformadas a partir de polígonos regularesde más de un manteniendo las características de susuniones, los tipos de vértices se mantienen a lo largo dela construcción. Todas estas redes utilizan triángulos ocuadrados, o ambos, y únicamente a partir devértices de tercer, cuarto o quinto orden.La ausencia de pentágonos regulares en estos grupos demosaicos regulares y semirregulares es evidente. Los pen-tágonos no se unen entre sí o con otros polígonos regu-lares para ocupar el espacio bidimensional, de la mismaforma que los poliedros que tiene caras pentagonales no

agruparse con otros para llenar el espacio de ma-nera continua. Las propiedades del pentágono le permitencon mayor facilidad encerrar el espacio, es por tanto quedos de los platónicos, el icosaedro y el dodecae-dro, deben su constitución a éste.

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Geometría Dinámica. Sistemas y objetos transforrnables ]

"Así, observamos que 105 cristales, que sonconjuntos de moléculas cuya estructura se re-pite, nunca presentan caras de cinco lados.De hecho, ninguna forma inanimada muestrasimetria peniaqonal, y, por ejemplo, jamás hacaído del cielo ningún copo de nieve en el quela estructura de sus cristales de hielo tuvieradicho disposición. Sólo las formas animadas,complejas y cuyas estructuras constituyen algomás que un simple apilamiento de moléculasidénticas, pentámeras. "(Stevens, Peter S; 1987. Pág. 15)

1---1-1-_117. Redes

Redes Semirrequlares

CUARENTAlUNO

CUARENTAIDOS


METoDOSon pocas las investigaciones que han abordado este tipo de sistemastransformables, por ende se comenzó el proyecto desde una perspectivaexploratoria, centrando el estudio en esclarecer conceptos y principiospoco profundizad os. Varios centros de investigación han desarrollado estetema sobre todo en lo referente a innovaciones de alta ingeniería, como elKinetic Design Group (Massachusetts Institute ofTechnology), que trabajaconjuntamente con la NASA,o el Deployable Structures Laboratory (Uní-versity of Cambridge) que también desarrolla productos para la industriaaeroespacial; pero en lo referente al objeto manipulable de desarrollotécnico mucho menor al que se necesita para abrir un satélite, son po-cos los estudios que se han comenzado. Traducir en términos menostécnicos todo ese conocimiento podría significar la formulación de unproyecto de investigación de gran envergadura. No siendo el objetivode esta investigación meramente emular estos desarrollos, constituyóel centro del proyecto explorar en primera instancia el territorio pococonocido de la morfología estructural y dinámica.Luego de conocer el estado del arte de las estructuras dinámicas, seprocedió a estudiar la geometría espacial, y por ende la geometría pla-na para dirigir la investigación desde esta área del conocimiento, yaque es un elemento regulador de la estructura de las superficies, loscuerpos y el espacio. Se analizaron las propiedades que le son inheren-tes a la geometría y que permiten su estabilidad, y por tal motivo, enausencia de ellas, su inestabilidad. Sabiendo cómo se diseña un cuerpoestático, se puede diseñar un cuerpo inestable, la inestabilidad en estecaso se estudió como principio de movimiento.Desde unas variables cualitativas se le hicieron pruebas de estabilidada los principales cuerpos geométricos, para constatar cuáles eran losprincipios que regían la estructura e inestabilidad de su composiciónmorfológica. De los resultados de estas pruebas se elaboraron modelosfísicos que comprobaron los principios encontrados. Se pasó luego auna etapa de proyectación en la cual se tomaron como base los mo-delos transformables generados, para diseñar objetos transformables,que utilizaran dichos principios.

Geometría Dinámica.Sistemas y objetos transformables

PRUEBAS DE ESTABILIDAD E INESTABILIDADLuego de conocer los principios que dan origen a los sistemas y for-mas tridimensionales (geometría espacial), se prosiguió la investiga-ción, haciendo pruebas que demostraran la estabilidad de los cuerposgeométricos. En primer lugar se hicieron modelos de los poliedrosplatónicos con aristas rígidas pero vértices flexibles, esto ayudaría aseleccionar desde esta premisa cuales eran los sólidos más estables,aun teniendo articulaciones.El primero en ser construido fue el tetraedro, luego fue sometido a car-gas de compresión, de tracción y de torsión, como era de esperarsesu respuesta ante tales cargas fue de total equilibrio. Teóricamente sepuede comprobar este resultado utilizando la fórmula que Artur Loebdesarrolló para predecir el funcionamiento de un sistema poliédrico.El número de aristas debe ser igual a tres veces el número de vérticesmenos 6. En el tetraedro esta fórmula es cierta; este cuerpo tiene 4 vér-tices, que multiplicados por 3 da 12, y si a 12 se le resta 6, el resultadoes 6, número igual al número de aristas que posee.Este resultado, no es nada nuevo, ya que se sabe que una manera deestructurar un sistema es triangulándolo; el ejemplo más sencillo esuna cercha convencional, la cual debe su equilibrio a la distribuciónde esfuerzos que logra el sistema triangulado. Desde esta perspectivala mínima conformación espacial que se puede construir con triángu-los es el tetraedro. Fuller decía que el tetraedro utiliza los mínimoselementos para lograr la estabilidad, y llamó a este funcionamientopatrón de integridad, o sea el comportamiento de los sistemas en bus-ca de la estabilidad. En la práctica, Fuller explicaba este concepto de lasiguiente manera: si se le hace un nudo a un cordón cualquiera, o seadándole una vuelta de 360·, este tiende a soltarse, pero si se repitela operación, o sea adicionando otros 360·, para completar 720· enun nudo ciego, el nudo logra conquistar su patrón de integridad. Lomismo pasa con el tetraedro, el cual tiene en cada vértice 180·, yaque confluyen tres triángulos equiláteros en cada uno de éstos, y comoes sabido los ángulos internos del triángulo equilátero miden 60· . Simultiplicamos estos 180· por 4 que es el número de vértices que po-see, el resultado son los mismos 720· del nudo ciego.Repitiendo la prueba con el cubo, mostró que éste no logra la estabi-lidad tan fácilmente como el tetraedro; ante una carga de compresiónhorizontal todo el sistema colapsa lateralmente, y ante una carga detorsión, no opone ninguna resistencia. Alaplicarle la fórmula 12=3(8)-6, el resultado es que 12 no es para nada igual a 18, al cubo le faltarían6 aristas para ser una forma estable. Estas 6 aristas se pueden anexarpartiendo de cada uno de los vértices al vértice opuesto en cada una desus caras logrando una configuración tetraédrica, ya que el cubo tiene6 caras y el tetraedro 6 aristas. (Ver figuras 10 y 11)

fig. 9. Ietraedro sometido a una carga de compresión.Fig. 10. Cubo sometido a una carga detorsión.Fig. 11. Ietraedro estabttizando el cubo

CUARENTAITRES


(UARENTAlCUATRO

Otra forma de estabilizar el cubo es manteniendo la defor-mación que le dio la torsión a la configuración, mediantediagonales que no formen tetraedro. El resultado es un an-tiprisma de base cuadrada con diagonales en sus caras quese ve en la figura 12.Resultados similares al del tetraedro se dieron en el octae-dro y el icosaedro, ambos cuerpos formados por triángu-los, pero con configuraciones o características geométri-cas que se alejan del triángulo, el primero tiene seccióntransversal cuadrada, y el segundo tiene una seccióntransversal hexagonal irregular, y secciones secundariaspentagonales; la primera suposición fue que estas carac-terísticas podrían influenciar la estructura, de tal formaque esta se tornara inestable, pero esto fue totalmenteerróneo, la triangulación predominó en el comportamien-to estructural y al aplicarles la fórmula de Artur Loeb seconfirmó dicho resultado.En la construcción del dodecaedro se observó que con sólola característica del vértice flexible ya se empezaba a de-formar la estructura, el componente de inestabilidad delpentágono se reproducía en todo el sistema. Aplicando lafórmula: 30 = 3(20)-6, lo que es igual a 30 = 55, la diferen-cia son 25; son entonces necesarias 25 aristas para estabi-lizar el poliedro. Portal motivo este sólido es el que más sealeja del patrón de integridad propuesto por Fuller, estoquiere decir que no sólo es el más inestable de todos, si no~l que más se le dificulta llegar a la estabilidad.IIIIIIIIIIII

Fig. 12. Estabilidad det octaedro.Fig. 13. Estabihdad det icosaedro.Fig. 14. Inestabilidad del dodecaedro.Fig. 15. Antiprlsma de base cuadrada

Luego de reaLizar esta expLoración con los sóLidos platóni-cos, se decidió construir Las redes reguLares e irreguLaresplanas para estudiar su inestabilidad. De las tres regularessolo se fabricó la red de cuadrados, ya que LaconfiguracióneLegida para Las articuLaciones excluía a La otras dos. Lared de hexágonos no dispone de una composición taL quepermita articuLar un poLígono hexagonaL con otro sin que secierre eLmecanismo o sin Laayuda de una barra adicionaL yen Lared de triánguLos anticipábamos su estructura estabLeinherente a su morfología.La red mostró que apLicándoLe un carga horizontaL se de-forma de La misma manera que eL cubo, Lointeresante esque la red se sigue comportando como sistema aún des-pués de apLicarle la carga, no es necesario apLicarLe lafuerza a todos Los eLementos de Lared, solo con inestabili-zar uno de los cuadrados, este se encarga de transmitir elmovimiento a los demás, evidenciando el comportamientosinergético propio de las estructuras dinámicas que fun-damentan este estudio. Sencillamente, el cuadrado que seinestabiLizó, rota en su eje de simetría, haciendo desplazara sus vértices entorno a su punto centro, como los vérticesson articulaciones compartidas, al trasladarlas mueven losvértices de los cuadrados que los rodean, haciéndolos ro-tar en sus puntos centros, estos por tal motivo desplazan asus vecinos y así sucesivamente.

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Geometría Dinámica. Sistemas y objetos transforrnables]

Se construyeron otras redes, en este caso semi-rregulares las cuales en general mostraron uncomportamiento similar, la constante en todasellas es que involucran un cuadrado o un polí-gono de más de cinco lados para que se puedarealizar la deformación. El movimiento resulta-ba restringido por el tipo de articulación mane-jada, ya que era un pasador que unía los vérticesmontando las superficies de los polígonos.De las redes que se fabricaron la única que sedeformó sin un patrón de giro sinergético fuela red de hexágonos y triángulos que se ve enla figura 20, en ella la configuración hexagonalque adquieren los mecanismos establece unmecanismo de más de cuatro barras con movi-miento irregular.

Hq, 16. Red de Cuadrados con articulaciones.Flg. 17. Red de cuadrados y triángulos que forman rombos.Hq. 18. Red de octágonos y cuadrados.Fig. 19. Red de hexaqonos. cuadrados y triángulos.Fiq. 20. Red de hexáqonos y triánqulos,

CUARENTAIONCO

CUARENTAISEIS


Flg. 21. Mecanismo de cuatro barras.Fig. 22. Esquema de estabilidad e inestabilidad.

PRINCIPIOS DE MOVIMIENTODespués de realizar Los modeLos de los polie-dros y las redes bidimensionales se constataque en los casos que se genera una inestabi-lidad controlada es porque se presenta un me-canismo de 4 barras, que geométricamente noes más que un cuadrado con articulaciones ensus vértices. En las redes todas tenían un gra-do de libertad, o sea que la articulación sólose podía mover en un sentido, lo que concluíacon un sistema transformable de mayor con-trol. En los poliedros, al poseer articulacionesde 3 grados de libertad el movimiento era me-nos regular y estaba condicionado al tipo decarga que soportaba.Un mecanismo de cuatro barras se puede definircomo un sistema compuesto por cuatro barrasunidas por pivotes o articulaciones, La mayoríade Lasveces una de Lasbarras, como en Lafigura21, permanece fija y se nombra como el suelo, Laotra es Labarra que proporciona eLmovimiento,la tercera la barra superior, y la última la barraque recibe el movimiento.


En todos los modelos generados aplica estadefinición, lo único diferente es que el meca-nismo de cuatro barras no determina la con-figuración final de elemento, sólo es una delas partes del sistema, que si bien tiene movi-miento no es un mecanismo de cuatro barras,si no que está compuesto por mecanismos decuatro barras; cuyas barras son las aristas, enel caso de los poliedros, o los polígonos, en elcaso de las redes, y cuyas articulaciones sonlos vértices de dichos elementos.En la figura 22 vemos un esquema resultado delas estabilidades e inestabilidades comproba-das en las construcciones, el triángulo aunqueposea articulaciones no funciona como un me-canismo sino como una estructura, primero fa-lla por una de sus barras que por sus vértices,el cuadrado, a la primera carga, se deforma,produciendo inestabilidad, o para el caso delproyecto, resultando en movimiento, la formade bloquearlo, es, otra vez, el triángulo.

Luego de sacar las conclusiones de la etapa deexploración mecánica con la geometría bási-ca, se hicieron varios modelos dinámicos queutilizaban estos conceptos y adicionaban unosmás complejos; como por ejemplo superficiescurvas, desplegabilidad de sistemas tensegri-ty, agrupaciones espaciales, diafragmas, secomprobaron principios de movimiento y mo-delos transformables de otros estudios e in-vestigaciones, no siempre de nuestra auto ría;pero todos ellos trabajaban bajo los mismosprincipios geométricos y sinergéticos plantea-dos al inicio de la investigación. Se pueden veralgunos de ellos en la figura 23.

Fig. 23. Otros modelos desplegables.

CUARENTAISIETE

CUARENTAIOCHO


RESULTADOS.UtiLizando los principios analizados en la fa-bricación de modeLos se desarroLlaron trespropuestas de objetos dinámicos, dos de eLlostransformables y pertenecientes al entorno hi-dico, y el otro desplegable, perteneciente a unentorno doméstico pero con alta carga lúdica.ESFERA lCOSAtDRICA TRANSFORMABLESe llama icosaédrica porque está construida apartir de 20 módulos de barras triangulares,similar al icosaedro. El módulo base son dospiezas triangulares que poseen el pivote en elcentro. Cuando dos módulos de estos se unengeneran un mecanismos de cuatro barras.Geométricamente estos mecanismos estándispuestos en las aristas de un dodecaedro.Toda la esfera se construye uniendo de a cincomódulos base aLrededor de cada centro de lascaras de un dodecaedro como se observa en elplano de la figura 25.

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Fig. 24. Transformación esfera icosaédrica.Fig. 25. Pianos esfera.Fig. 26. Mecanismo básico

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Geometría Dinámica. Sistemas y objetos transformables!

Este mismo sistema constructivo se puede emplear enotros poliedros o sistemas para proporcionarla transformación. La traducción sería como en el casoanterior ubicar los módulos básicos dependiendo del nú-mero de vértices del cuerpo a fabricar, por si seva a realizar un tetraedro se deben utilizar 4 módulos queson tos mismos 4 vértices que tiene el sólido, ubicados detal forma que se unan de a 3. logrando construir las carastriangulares. Se pueden ver el tetraedro en la 27.En la 28 se ve una cúpula aplicando este principio,ahora a partir de la configuración de un icosaedro trun-cado arquimédico), el cual tiene dispuestos hexá-qonos rodeando a [os pentágonos. El pentágono es el quepermite la tridimensionalidad, si sólo hubiera hexáqonos,se llenaría el espada en una red bidimensional hexaqonal,como en el modelo de la figura 30.

Fig. 27. tetraedro transformable.Fig, 28, Cúpula transformableFig, 29. Red HexagonalFig. 30. Icosaedro truncado

CUARENTAlNlJEIIE

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: Geometría Dinámica. Sistemas y objetos transformables

FRUTERO DESPLEGABLEFrutero colapsable construido con 12 piezas de madera (cedro) torneada, que giran alrededor deuna pieza en aluminio. La configuración está basada en un cuerpo geométrico reglado llamadohiperboloide, el cual puede ser construido con piezas rectas que al girar generan CUNa. El meca-nismo del sistema se bloquea cuando las piezas de madera se a apoyar una sobre otra,comportándose recíprocamente.

Fig. 31. Frutero desplegable.Fig. 32. Planos Frutero desplegable


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MALLAS TRANSFORMABlES, JUEGO DIOÁCTICO.Eljuego didáctico, mallas transformables, está compuesto de 3 piezas geométricas, basadas enun triángulo, un cuadrado y un hexágono, los cuales han sufrido una transformación en sus lados,que les permiten modular y generar movimiento visual. Eljuego permite en primera instancia laconstrucción de redes regulares y semirregulares, que le ayudarán al jugador a comprender laestructura de los polígonos básicos y del espacio bidimensional en general.la otra función que posee eljuego es la generación de movimiento sinergético a partir de la geome-tría. Esto quiere decir que accionando solo una pieza el sistema debe transformarse. la construcciónde estas mallas se realiza siguiendo en primer lugar lo aprendido en el proceso anterior de redesbidimensionales, para luego conformar sistemas que no se triangulen, y creen mecanismos decuatro barras. Las piezas poseen canales en donde van ubicadas bisagras de polipropileno.Fig. 33. Piezas básicas de las mallas transformables.Fiq. 34, Dos configuraciones en red,Flg. 35. Red de hexágonos y triángulos en transformación.

Fig. 36. Bisaqra de polipropitenc.Fig. 37. Planos, Piezas mallas transformables.

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QNCUENTAIOOS

,•,,: Geometría Dinámica. Sistemas y objetos transformables

PUZZLE JITTERBUGObjeto lúdico transformable basado en la se-cuencia jitterbug, se construye con módulostriangulares y bisagras plásticas de polipropi-leno. Al estar cerrado se configura en octae-dro, y al estar completamente abierto es uncuboctaedro. La secuencia de movimiento decerramiento completa, como se ve en la figura39, es posible, porque las caras triangularesopuestas giran en el sentido contrario, estoocasiona un moviendo en todo el sistema,haciendo que las figuras cuadradas que seforman entre los triángulos se vayan trans-formando en rombos, hasta quedar completa-mente cerrados.

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Fig. 38. Puzzlejitterbuq cerrado y abierto.Fig. 39. Secuencia de transformación.Fig. 40. Planos. Puzzle Jitterbug.


RECIPIENTE DIAFRAGMAOrganizador para la habitación infantil, se basa en barras anguladas confi-guradas en tijeretas que permite eLcerramiento. Posibilita modular por co-Lores y disponer en superficies verticaLes u horizontaLes. Para construir undiafragma a partir de barras anguladas, se debe partir de un poLígono cuaL-quiera, en este caso se tomó un poLígono de 12 lados. Éste poLígono tieneánguLos internos de 151' , éste ánguLo es eLque se utiliza para reaLizar laangulación entre Lossegmentos (Ver figura 42). Dependiendo deL niveL detransformación que se necesite se hacen más o menos segmentos.

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Fig. 41. Recipiente diafraqrna en diferentes posiciones.Piq. 42. Secuencia de transformación de un diafragma poLigonal.Fig. 43. Planos de la barra.

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CINCUENTAITRES

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ONCUENTAICUATRO :


CONCLUSIONESSe pueden sacar varias conclusiones en LoreLativo a Lame-todoLogía y a Los resuLtados de Lainvestigación, en ambosaspectos es predominante Lainnovación en la búsqueda denuevos patrones, modeLos y principios que pueden ser uti-Lizados como herramientas en un proyecto de diseño quetenga dentro de sus fines LatransformabiLidad, pLegabiLi-dad, transportabiLidad o variabiLidad.• La geometría dinámica, como un medio para mutar laconfiguración de una forma, contradice eLprincipio de es-tabilidad, ya que esta es Lacapacidad de retener Laforma.Así una estructura transformabLe debe necesariamenteser inestabLe. Se puede decir, pues, que una estructura estransformabLe si es posibLe reaLizar un movimiento entre lasbarras, aflojando, de manera intencionaL, las articuLaciones.• ELdiseño de estructuras desplegabLes pLantea dos eta-pas adicionaLes aL probLema generaL de diseño, Laprimeraes La de modeLizar Las transformaciones geométricas dela estructura en todo el curso del cambio, desde que estápLegada hasta que llega a Laposición despLegada, y la se-gunda es Lade convertir el modeLo geométrico en un mo-deLo mecánico, partiendo del hecho de que las aristas sonbarras o sistema mecánicos, Losvértices, articuLaciones dediferentes grados de Libertad, y las caras, superficies.• La geometría espacial, en eL proyecto de diseño es unaherramienta que sirve para vislumbrar de una manera másclara el funcionamiento de las formas y Lossistemas, ya seanestáticos, o dinámicos, y optimizar tanto eLproceso de pro-yectación, como eLresuLtado finaL deL proyecto o producto.

• Las estructuras dinámicas difieren de Los me-canismos convencionales entre otras cosas, enque Los primeros sólo tienen una entrada demovimiento y en Lossegundos este requisito nosiempre es cierto. La geometría y Lasinergéticason Los pilares que fundamentan La formaliza-ción y materiaLización de una estructura dinámi-ca desde Los principios teóricos que desarrollóBuckminster FuLLer;en el diseño mecánico estoeLementos de optimización no son necesarios.• Para un diseñador es mucho más fácil y co-herente diseñar desde Lageometría, que desdeLa configuración mecánica. El acercamiento acómo se comporta eLsistema que va a generarmovimiento, resuLta más tangible de ésta for-ma, que desde un anáLisis riguroso que posi-bLemente vueLva compLejo eLproceso.• Se evidencia tanto en Los resultados de Lainvestigación como en Los estudios afines queanteceden a este proyecto, que a partir deL re-pite de eLementos sencillos se puede generarformas y sistemas dinámicos de aLta eficienciaproductiva, funcionaL y estética.

,,Geometría Dinámica. Sistemas y objetos transformables ¡

REFERENCIASDELASfIGURASLos modelos de las figuras 6, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 22, Y 41 fueron construidos por estudiantes de tos cursos "Proyecto especial en biónica" y 'Optativade investigación en Biénica" del segundo semestre del 2005. Los demás modelos fueron fabricados por la Línea de Investigación en Morfologfa Experi-mentaty Ladocente Sandra Marcela Veléz. Todas las fotos son propiedad del autor.BlBUOGRAFÍAo FRANCO,Misael Ricardo Medina. ACOSTA,leonel Torres. Adaptabilidad Arquitectónica a partir de la movilidad estructuraL Universidad Nacional deColombia. Bogota, 2002. 251p.• GHYKA,Matila C. Número de Oro "1 los Ritos". Editorial Poseidón, Barcelona. 1968. Pág. 46, 47,48.oGIL, Olga M. Un Mundo de Bolsillo: La geometria plegable de Santiago Calatrava. Universitat de Valencia. En: http://www.uv.es/metode/index.htmloGRUPODEINVESTIGACIÓNENBIÓNICAU.P.B. Biónica & Diseño: De estrategia Natural a Innovación. 'Manual de Biónica". (En Proceso)oHÉRNANOEZ,Carlos Enrique. Desarrollo de Estructuras Transformables Estran 1. En Tecnología y Construcción. No. 15. IDECFacultad de ArquitecturaUCV.Mérida, Venezuela. 1999. p7-33.oLAWlOR, Robert. GEOMETRíASAGRADA.Editorial Debate S.A. Madrid, España. 1996. Pág. 6.o PATIÑO,Ever M. Sistemas desplegables para el diseño de mobiliario. En: Universitas Científica. UPB. Diciembre, 2005. Volumen V1.Pág. 57 - 61.o PATIÑO,Ever M. Mobiliario desplegable, una aproximación biónica. En: Universitas Científica. UPB. Diciembre, 2005. Volumen V1.Pág. 57 - 61.o RODRÍGUEZ,Carolina M. Arquitectura Metamórfica. Universidad Nacional de Colombia, 2000. Pág. 286p.• SANZ,Maria Agripina Garda. MORATAlLA,Ascensión. GEOMETRÍAEN LAARQUITECTURA.Escuela de Arquitectura de Madrid. 1998. 44p.oSANZ, Maria Agripina Garda. MORATALLA,Ascensión. SIMETRÍA.Escuela de Arquitectura de Madrid. 1998. 40p.• STEVENS.S.Peter. Patrones y pautas en la naturaleza. Ed. Salvat. 1 Ed. Barcelona. 1987. 105p.• STEWART,lan. GOLOBITSKY,Martin, ¿ES DIOSUNGEÓMETRA?"las simetrías en la naturaleza". Critica. Barcelona. 1995. Pág. 42,114,119,311.

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