Enciclopedia Temática - Matemáticas

LOS NÚMEROS NATURALES

Desde que se tiene constancia, el hombre ha tenido necesidad de contar losobjetos y seres de su entorno y ponerles nombre para poder transmitir sus

pensamientos sobre ellos a las personas que le rodean (figura 1). Su supervivencia dependía de la precisión con la que pudiera identificar lugares,

indicar el número de piezas de caza que había localizado o de enemigos que les estaban amenazando.

Basándonos en observaciones sobre aborígenes aus-tralianos y sobre tribus amazónicas, parece que loshombres primitivos contaban las cosas ayudándosecon los dedos de las manos, como hacen los niños pe-queños, y cuando la cantidad era grande se ayudabancon piedras, marcas en las paredes de sus viviendas ode los árboles, etc. Cuando nos referimos a las opera-ciones numéricas, todavía utilizamos la palabra cálcu-lo, que procede del latín calculus, pequeñas piedrasusadas para ayudarse a contar (figura 2).

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES

La forma más intuitiva de contar las cosas es hacerloutilizándolas como entidades completas; así, habla-mos de una casa, cinco árboles, dos automóviles o tres compañeros, sin tener en cuenta las posibles par-tes en las que pudiéramos dividir estas entidades (la casa en sus habitaciones, los árboles en sus ra-mas, etc.).

3

Figura 1Los niños sefamiliarizan con losnúmeros y lasoperacionesmatemáticas desdemuy pequeños.

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se deduce que la su-cesión 0, 1, 2, 3, 4,...etc., de los números

naturales es una suce-sión con infinitos tér-

minos.

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

La numeración es la parte de la aritmética que tienepor objeto expresar y escribir los números (figura 5).Los signos empleados para representar los números sedenominan cifras. En el sistema decimal de numera-ción, que es el más empleado en la práctica, las cifrasutilizadas son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.La cifra cero tiene un valor exclusivamente posicio-nal, o sea, no tiene valor por sí misma. Por ello, se di-ce que el cero no es una cifra significativa, al contra-rio que las restantes cifras, que se denominan cifrassignificativas. Los números que constan sólo de unacifra reciben el nombre de dígitos. Así, los números3 y 8 son dígitos. Los números como 45 o 154, queestán constituidos por más de una cifra, se denomi-nan polidígitos. Un sistema de numeración es unconjunto de normas que se utilizan para escribir yexpresar cualquier número. Se llama base de un sis-tema de numeración al número de unidades de un orden inferior que forman una unidad de or-den inmediatamente superior. Todo sistema de nu-meración cumple los siguientes requisitos:

a) Utilizando un sistema de numeración se puede es-cribir cualquier número.

b) Un número de unidades de cualquier orden quecoincida con la base del sistema de numeraciónconstituye una unidad del orden inmediatamentesuperior.

c) Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquier-da de otra representa unidades tantas veces mayoresque ésta como unidades tenga la base del sistema denumeración.

SISTEMA DECIMALEl sistema decimal de numeración ha sido empleadopor la humanidad desde tiempos muy remotos a causa de tener diez dedos en las manos. Como la ba-se del sistema decimal es diez, diez unidades de

4

Figura 3

Según el uso que vayamos a darles, los números natu-rales se pueden clasificar en ordinales y en cardinales.Los números ordinales sirven para ordenar los ele-mentos de un conjunto, y diremos la tercera pági-na de un libro o la segunda calle a la izquierda (figura 3).Los números cardinales se utilizan para contar los objetos de un determinado conjunto; así, de-cimos: en esta clase hay 25 alumnos o tengo 3 her-manos (figura 4).Siempre se ha considerado que el concepto de núme-ro natural es tan evidente, que no hacía falta definir-lo, pero para hacer un estudio más riguroso del con-junto de los números naturales, que denominaremos, dejaremos aparte la anterior consideración y lo ba-saremos en los siguientes tres axiomas:

• El 0 es el primer número natural.• Cada número natural se obtiene sumando 1 al an-

terior.• No existe un último número natural.

Mediante el uso de estos axiomas queda perfecta-mente fijado el conjunto de los números naturales y es posible hallar cualquiera de los infinitos núme-ros que lo componen. De lo anteriormente expuesto

Figura 2

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5

L O S N Ú M E R O S N A T U R A L E S

SISTEMAS DE BASE DIFERENTE A 10Los sistemas de numeración de base diferente a 10 sonde tipo posicional; por tanto, las cifras tienen un valorabsoluto y un valor relativo que dependen de la posi-ción que ocupen en el número.Para trabajar en un determinado sistema de numera-ción necesitamos tantos símbolos o cifras como expre-sa su base.Para su estudio los podemos dividir en dos tipos: debase inferior a 10 y de base superior a 10.Para expresar valores en los sistemas de numeración debase inferior a diez se emplean las mismas cifras que enel decimal, empezando por el 0 hasta la cifra inferior ala base utilizada. Así, si trabajamos con base 6, las ci-fras a utilizar serán: 0, 1, 2, 3, 4 y 5; si fuera la base 2,las cifras serían 0 y 1, etc. Cuando la base en la que está expresado un número essuperior a 10, como sólo disponemos de 10 cifras di-ferentes y necesitaríamos tantas como nos indica la ba-se, se escriben estos números separando con letras ma-yúsculas cada uno de los coeficientes de las sucesivaspotencias de la base utilizada, teniendo en cuenta queestos coeficientes pueden ser superiores a 10 y hastaun valor inferior en una unidad a la base utilizada.

cualquier orden constituyen una unidaddel orden inmediatamente superior. Así,por ejemplo, diez unidades forman unadecena. Las unidades de primer ordenreciben el nombre de unidades mientrasque las de segundo orden se denominandecenas, las de tercer orden centenas y lasde cuarto orden millares. Las unidades delos órdenes siguientes se denominan, res-pectivamente, decenas de millar, centenasde millar, unidades de millón, decenas demillón, centenas de millón, etc.Las unidades destacables son el billón y el trillón,que corresponden, respectivamente, a los órdenesdecimotercero y decimonoveno. Para evitar confusio-nes, conviene tener en cuenta que en algunos países,como Estados Unidos, un billón equivale a un millarde millones.Se dice que el sistema de numeración decimal es posicio-nal porque, dependiendo de la posición que ocupa unacifra en el número, representa el número de unidades,decenas, centenas, etc., que queremos indicar.Toda cifra que forma parte de un número posee simul-táneamente un valor absoluto y un valor relativo. Elvalor absoluto de una cifra es el que tiene dicha cifrapor sí misma, independientemente del lugar que ocu-pe o del signo de que vaya precedida. Así, si conside-ramos el número 55555, el valor absoluto de todas lascifras que aparecen es el mismo. Por el contrario, el va-lor relativo de una cifra depende de la posición quedicha cifra ocupa en el número (figura 6). En el ejem-plo anterior, el valor relativo de la cifra situada más ala derecha es 5, porque representa 5 unidades de pri-mer orden. Por su parte, el valor relativo de la cifra si-tuada a la izquierda es 50, ya que representa 5 unida-des de segundo orden o decenas; mientras que el valorrelativo de la cifra situada en el centro es 500, ya querepresenta 5 unidades de tercer orden o centenas.

Ábaco

A R I T M É T I C A

Figura 4 Figura 5

Figura 6

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Se empieza con A por la derecha y se continúa haciala izquierda con B, C, D, etc., hasta completar el nú-mero. Así, escribiremos 3D0C20B17A1821 la expre-sión de un número escrito en base 21.El valor de esta expresión sería:

18 210 + 17 211 + 20 212 + 0 213 + 3 214

SISTEMA ROMANOUn sistema de numeración que se estudia por moti-vos históricos es el sistema romano de numeración,aunque ha caído en desuso en la actualidad y única-mente se utiliza para indicar fechas de efemérides,para numerar capítulos de libros, en los números or-dinales de las sucesiones de los reyes de una dinastíao en las esferas de algunos relojes (figura 7).La característica más notable de este sistema de nu-meración es que al contrario que el decimal, no es unsistema posicional, y las cifras empleadas tienen siem-pre el mismo valor estén donde estén situadas den-tro del número.El sistema de numeración romana emplealas cifras siguientes: I, cuyo valor es uno;V, cuyo valor es cinco; X, cuyo valor esdiez; L, cuyo valor es cincuenta; C, cu-yo valor es cien; D, cuyo valor es qui-nientos, y M, cuyo valor es mil.Para su empleo se ha de seguir una se-rie de reglas muy sencillas:

• Regla de repetición. Las cifras I, X, C y M no sepueden utilizar más de tres veces seguidas, mien-tras que las cifras V, L y D no se pueden escribir se-guidas en un número.

• Regla de la suma. Cuando una cifra de menor va-lor está colocada a la derecha de otra le suma a és-ta su valor.

• Regla de la resta. Si la cifra I está colocada a la iz-quierda de las cifras V o X, la cifra X está colocadaa la izquierda de L o C o bien la cifra C está colo-cada a la izquierda de D o M, su valor se le resta alposterior.

• Regla del producto. Cuando estas cifras o un grupode estas cifras van escritas con una línea horizontal en-cima, su valor queda multiplicado por mil; así: V = 5.000, IX = nueve mil, L = cincuenta mil, etc.

• Para preparar la confección del número pedido lo haremos en el mismo orden en que nos aparecen susvalores relativos; esto es, en último lugar las unidades, en penúltimo lugar las decenas, anterior-mente las centenas, las unidades de millar, etc.

• Las cifras de mayor valor han de ocupar posicio-nes a la izquierda del número y las de menor

valor a la derecha (excepto cuando se utili-zan para restar al posterior).

SISTEMAS DE BASE SEXAGESIMAL

Otros sistemas numéricos que se utilizanactualmente por motivos históricos son

los sistemas de base sexagesimal, em-pleados para medir el tiempo o los ángulos.

6

Figura 7

Figura 8

Figura 9

31º42´30’’

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1 2 3 4 5 6 70

Para medir el tiempo (figura 8) decimos que unahora tiene 60 minutos y un minuto 60 segundos.Para unidades mayores se pierde el sistema sexa-gesimal, y decimos que un día tiene 24 horas oque un mes tiene 30 o 31 días, y para unidades in-feriores al segundo se emplea el sistema decimal,pues hablamos de décimas de segundo o milési-mas de segundo. Para medir ángulos (figura 9) seemplea como unidad el grado y se simboliza °; cadagrado tiene 60 minutos, que se simboliza ', y ca-da minuto tiene 60 segundos, simbolizado ''. Paraunidades superiores se abandona la base sexagesi-mal, y diremos que 90° forman un ángulo recto yque 4 ángulos rectos forman una circunferencia.Para unidades inferiores se utiliza el sistema deci-mal, y hablamos de décimas o centésimas de se-gundo de arco.

CAMBIOS DE BASE

Cuando queremos expresar en base decimal un número que venía dado en una base diferente a 10,se ha de tener en cuenta que el valor relativo de ca-da cifra va creciendo de derecha a izquierda, si-guiendo el orden de las potencias de exponente na-tural y base que se haya utilizado para expresar elnúmero.Por ejemplo, vamos a ver cómo se expresaría enbase decimal el número 535036, que está expresa-do en base 6. Para ello tendremos que calcular elvalor numérico del siguiente desarrollo:

3 60 + 0 61 + 5 62 + 3 63 + 5 64 =

= 3 + 0 + 180 + 648 + 6480 = 731110

Cuando hemos de pasar un número en base decimala su expresión en una base cualquiera, hemos de di-vidir el número en base decimal por el número que

nos indica la base en la que lo queremos expresar, yefectuaremos la misma operación con los cocientesobtenidos mientras sea posible hacerlo: el nuevo nú-mero será el resultado de ordenar los sucesivos restosque hayamos obtenido escribiéndolos en el orden in-verso a su obtención, encabezado por el último co-ciente. Hay que utilizar las normas ya conocidas paralos números expresados en base superior 10.Como ejemplo, vamos a expresar en base 8 el número91528610; procediendo según lo indicado, obtendre-mos la siguiente serie de divisiones:

El resultado obtenido será: 33735268Como podemos observar ninguna de las cifras quecomponen este número expresado en base 8 nos sale8 o una cifra mayor que 8.Cuando en el ejercicio a resolver se trata de pasar nú-meros expresados en una base cualquiera diferente de10, a otra base cualquiera también diferente de 10, elprocedimiento será pasar el primer número a otro debase decimal, y este resultado se pasa posteriormentea la base requerida.

REPRESENTACIÓNDE LOS NÚMEROS

NATURALES SOBRE UNA RECTA

Para representar el conjunto de los números naturalesse dibuja una recta, conocida como recta real, y en unpunto cualquiera de esta recta se marca un punto, alque llamaremos punto origen de la recta real, y esepunto será la representación gráfica del primer núme-ro natural, el 0 (figura 10).

A R I T M É T I C AL O S N Ú M E R O S N A T U R A L E S

7

Figura 10

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Figura 13

8

2 9 4

7 5 3

6 1 8

15

15

15

1515151515

Figura 11

• Propiedad conmutativa. La suma de números na-turales cumple que:

a + b = b + a

• Elemento neutro. La suma de números naturalescumple que para todo número natural a se verificaque:

a + 0 = 0 + a = a

Por este motivo se dice que el número cero es el ele-mento neutro respecto de la suma de números natu-rales.Con la suma de números naturales no hay elementosimétrico, ya que sólo existe elemento simétrico cuan-do al operar cualquier elemento con su elemento si-métrico se obtiene el elemento neutro. Obviamente, lasuma de números naturales no cumple esta propie-dad. Así, por ejemplo, el elemento simétrico del nú-mero 5 debería cumplir que:

5 + s = s + 5 = 0

Para ello, debería ser s = –5, pero –5 no es un nú-mero natural. Así pues, la suma de números natura-les no posee elemento simétrico. Por todo lo ex-puesto, el conjunto de los números naturales conla operación suma posee estructura de semigrupoabeliano con elemento neutro.

A continuación, a la derecha de 0fijamos una distancia d y marca-mos el punto obtenido, y esepunto será la representación grá-fica del número natural 1; a la de-recha de 1 y a idéntica distancia d,marcamos el punto obtenido, y esepunto será la representación gráfica delnúmero natural 2, etc. De esta manera obtene-mos una recta que a partir de un determinado punto, el0, nos presenta a distancias iguales, d, la serie de los nú-meros naturales colocados de forma ordenada y hasta elinfinito. Como se puede observar, en la recta real nohay ningún punto representado a la izquierda de 0.

SUMA DE NÚMEROS NATURALES

La suma de dos números naturales es la operaciónmediante la cual se reúnen en un solo número lasunidades que forman ambos números. Los númerosque se suman se llaman sumandos y el resultado dela operación es la suma. La operación suma se repre-senta con el signo más (+) (figura 11).En el conjunto de los números naturales, , la ope-ración suma es una operación interna: el resultado decualquier suma de números naturales da como resul-tado otro número natural.La operación suma de números naturales cumple laspropiedades asociativa y conmutativa, y tiene ele-mento neutro.

• Propiedad asociativa. La suma de números natu-rales cumple que:

a + (b + c) = (a + b) + c

8 baldosas

6 baldosas

Figura 12

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RESTA DE NÚMEROS NATURALES

La resta es la operación opuesta a la suma y consisteen hallar uno de los sumandos, llamado diferencia,conocida la suma, que se denomina minuendo y elotro sumando, que recibe el nombre de sustraendo.El signo menos (–) colocado entre el minuendo y elsustraendo indica que ambos deben restarse. Unarestricción muy importante de la sustracción de nú-meros naturales consiste en que la resta sólo puedeefectuarse cuando el minuendo es mayor que el sus-traendo.

MULTIPLICACIÓNDE NÚMEROS NATURALES

La multiplicación o producto es la operación queconsiste en hallar un número denominado productoa partir de dos números llamados multiplicando ymultiplicador, que indican, respectivamente, el nú-mero que hay que multiplicar y el número de vecesque el multiplicando se repite como sumando. Lossignos por () o (·) situados entre el multiplicando yel multiplicador indican que ambos números debenmultiplicarse. El multiplicando y el multiplicador sedenominan también factores. La multiplicación denúmeros naturales puede considerarse como una su-ma de tantos sumandos iguales al multiplicando co-mo indique el multiplicador (figura 12).Por tanto, al poder sustituirse la operación productopor un conjunto de sumas, se cumple que el produc-to en también es una operación interna: el resulta-do de un producto entre números naturales siempreda como resultado un número natural.La operación producto en cumple las propiedadesasociativa, conmutativa, distributiva respecto de lasuma y posee elemento neutro.

9


Resto

6 baldosas

2 7 9 2

Dividendo

3 93 2

0

46 9 8

Cociente

Figura 14

• Propiedad asociativa. El producto de números na-turales verifica que:

a (b c) = (a b) c

• Propiedad conmutativa. La multiplicación de nú-meros naturales cumple que:

a b = b a

• Elemento neutro. El producto de números natura-les verifica que para todo número natural a se cum-ple que:

a 1 = 1 a = a

Por este motivo se dice que el número 1 es el ele-mento neutro del producto de números naturales.

• Propiedad distributiva. La multiplicación de nú-meros naturales verifica que:

a (b + c) = (a b) + (a c)

El producto de números naturales no posee, en gene-ral, elemento simétrico. En efecto, si consideramos,por ejemplo, el número 4, su elemento simétrico de-bería ser 1/4, pero 1/4 no es un número natural.Así pues, el conjunto de los números naturales conla operación producto tiene estructura de semigrupoabeliano con elemento neutro.

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

La división es la operación mediante la que se repar-te un número dado, llamado dividendo, en tantaspartes como nos indica otro, llamado divisor(figura 13). El resultado de la división será el cocien-te y en su caso, si la división no es exacta, nos sobra-rá una cierta cantidad que llamaremos resto.Si el dividendo es múltiplo del divisor, obtendre-mos como resto 0. En este caso se puede decir quela división es la operación inversa a la multipli-cación (figura 14).El signo (:) colocado entre el dividendo y el divisorindica que dichos números deben dividirse.

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10

Figura 16

Figura 15

POTENCIACIÓNDE NÚMEROS NATURALES

A veces tenemos que indicar la multiplicación de unnúmero natural a por sí mismo n veces:

(a a a ... (n veces) ... a)

y lo expresaremos como an. Al número natural a quese va a multiplicar se le llama base de la potencia y alnúmero natural n que nos indica el número de vecesque se multiplicará a por sí mismo se le llama expo-nente. Como ejemplo, pondremos:

24 = 2 2 2 2 = 16

la base es 2 y el exponente 4 (figura 15).Las potencias de base y exponente naturales y el cálculo con potencias de números naturales cumplenlas siguientes propiedades:

• Si a = 0, an = 0n = 0, cualquiera que sea el valornatural n.

• Si n = 0, an = a0 = 1, cualquiera que sea el valor na-tural a.

• Si a = 1, an = 1n = 1, cualquiera que sea el valornatural n.

• Si n = 1, an = a1 = a, cualquiera que sea el valor na-tural a.

• Cuando tenemos una potencia de base natural yexponente natural elevada a una potencia de expo-nente natural, el resultado es esa base elevada alproducto de los exponentes:

(an)p = an · an · ... (p veces) ... · an = an · p

• El producto de varias potencias con la misma baseda como resultado una potencia con esa base y deexponente la suma de los exponentes:

an ap = an + p

• El cociente de dos potencias con la misma base dacomo resultado una potencia con esa base y de ex-ponente la resta de los exponentes. En el cálculocon números naturales el exponente de la potenciaque actúa como dividendo ha de ser mayor o igual que el exponente de la potencia que actúa co-mo divisor; de no ser así, el resultado no es un nú-mero natural:

an : ap = an – p para n p, con lo que n – p 0

• El producto de varios números naturales elevadoa una potencia es igual al producto de potenciasresultantes de elevar cada uno de los facto-res que formaban la base a ese exponente:

(a · b · c · d)n = an · bn · cn · dn

• El resultado de un producto de potencias con dis-tinta base y con el mismo exponente es otra poten-cia de base el producto de las bases y como expo-nente el común a ellas:

an bn = (a b)n

.

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MÚLTIPLOS Y DIVISORES

Se dice que un número m es múltiplo de un número ncuando al efectuar la división m : n el resto es cero. Eneste supuesto diremos que m es divisible por n o bienque n es un divisor de m. Así, 26 es múltiplo de 13porque al efectuar la división 26 : 13 el cociente es 2 yel resto es 0. También diremos que 13 es divisor de 26y que 26 es divisible por 13. Cuando un número sóloes divisible por sí mismo y por la unidad se dice que esprimo. Así, 7 es un número primo, ya que sólo es divi-sible por 1 y por 7 (figura 16). Cuando un número esdivisible por otros números, además de la unidad y desí mismo, se dice que es compuesto. Así, 6 es un nú-mero compuesto, ya que, además de ser divisible por 1y por 6, lo es por 2 y por 3. Para indicar que un número m es múltiplo de n se suele escribir m = .

n. Así, por ejemplo, 9 =

.3. Los múltiplos de 2 reciben el nom-

bre de números pares. La fórmula general de los nú-meros pares es 2n, donde n representa un número na-tural cualquiera. Los números impares son aquellosque no son múltiplos de 2 (figura 17). La fórmula ge-neral de los números impares puede representarse por2n – 1, donde n representa un número natural cual-quiera. La divisibilidad está fundamentada en los prin-cipios siguientes:

a) Si un número es divisor de otros varios, también lo esde su suma.

b) Un número m es divisor de la suma de otros varios,aunque no sea divisor de ellos por separado, cuandola suma de los restos obtenidos al dividir los númerospor m es divisible asimismo por m.

c) Si un número es divisor de otro, también lo es de susmúltiplos.

d) Si un número es divisor de otros dos, también lo es desu diferencia.

e) Si un número es divisor de la suma de dos números yde uno de ellos, también lo es del otro.

f) Si un número divide al dividendo y al divisor de unadivisión no exacta, también es divisor del resto.

g) Si un número es divisor del resto y del divi-sor de una división no exacta, también lo es del dividendo.

Los criterios de divisibilidad son unas señales de los nú-meros que permiten conocer cuáles son sus divisores:

a) Un número es divisible por 2 cuando acaba en cero oen cifra par. Así, 20 y 36 son divisibles por 2.

b) Un número es divisible por 3 cuando la suma de losvalores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3. Así,123 es divisible por 3, puesto que 1 + 2 + 3 = 6, quees múltiplo de 3.

c) Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimascifras son ceros o forman un múltiplo de 4. Así, 1.992es divisible por 4, puesto que 92 también lo es.

d) Un número es divisible por 5 cuando acaba en cero oen 5. Así, 275 es divisible por 5 al igual que 870.

e) Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimascifras son ceros o forman un múltiplo de 8. Así, 4.656es divisible por 8 ya que 656 es un múltiplo de 8.

f) Un número es divisible por 9 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es un múl-tiplo de 9. Así, 3.546 es divisible por 9, ya que3 + 5 + 4 + 6 = 18, que es un múltiplo de 9.

g) Un número es divisible por una potencia de 10 cuan-do el número de ceros que hay a la derecha del nú-mero es mayor o igual que el número de ceros de lapotencia de diez. Así, 39.000 es divisible por 10, 100,1.000, ya que acaba en tres ceros.

h) Un número es divisible por 11 cuando el valor abso-luto de la diferencia entre la suma de los valores ab-solutos de las cifras que ocupan lugar impar y la su-ma de los valores absolutos de las cifras que ocupanlugar par es cero o un múltiplo de 11. Así, 528 es di-visible por 11, ya que la suma de las cifras que ocu-pan lugar impar es 5 + 8 = 13 y la suma de las cifrasque ocupan lugar par es 2 y la diferencia 13 – 2 = = 11, que obviamente es un múltiplo de 11.

11


Figura 17

.

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i) Un número es divisible por 25 cuando las dos últi-mas cifras de la derecha son ceros o forman un múl-tiplo de 25. Así, 475 y 900 son divisibles por 25.

j) Un número es divisible por 125 cuando las tres úl-timas cifras de su derecha son ceros o bien formanun múltiplo de 125. Así, por ejemplo, 4.375 es di-visible por 125, ya que 375 es múltiplo de 125.

NÚMEROS PRIMOS

Se dice que dos números son primos entre sí cuandosu único divisor común es la unidad. Para que dosnúmeros sean primos entre sí no es imprescindibleque sean primos. En efecto, 27 y 25 son primos en-tre sí, aunque ninguno de los dos sea número primo.Ahora bien, si dos números son primos, también sonprimos entre sí. Así, 3 y 7 son números pri-mos, y, por tanto, también son primos entre sí.Dos números consecutivos son siempre pri-mos entre sí (figura 18), ya que si tuvieran undivisor común distinto de la unidad, este divi-sor común debería ser también divisor de ladiferencia entre ambos números, pero como la diferencia entre dos números consecutivoses 1, dicho divisor común debería ser divi-sor de 1, lo cual es imposible.Los números primos cumplen las siguientespropiedades:

a) Cualquier número com-puesto tiene por lo menosun divisor, que es un nú-mero primo mayor que 1.

b) Si un número primo no esdivisor de otro número da-do, ambos números sonprimos entre sí.

c) Si un número es divisor delproducto de otros dos nú-meros y es primo con uno deellos, es divisor del otro.

d) Si un número primo es di-visor del producto de va-rios números, por lo me-nos es divisor de uno delos factores.

Un método muy empleado para determinar si un nú-mero es primo o no, consiste en dividir dicho núme-ro entre todos los números primos menores que él. Sila división no es exacta y el cociente obtenido es me-nor o igual que el divisor, el número es primo. Por elcontrario, si alguna división es exacta, el número noes primo. Este procedimiento es análogo al empleadopor Eratóstenes para obtener su famosa criba. Era-tóstenes escribió los números naturales hasta un nú-mero dado y fue agujereando en un pergamino, enprimer lugar, todos los múltiplos de dos, excepto 2. A continuación procedió análogamente con los múl-tiplos de 3 y después hizo lo mismo con los múlti-plos de 5, 7, 11 y de los sucesivos números primos.Los números que no resultaron agujereados constitu-yen la serie de los números primos hasta el númerodado (figura 19).

Figura 18

Figura 19

12

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DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO

EN FACTORES PRIMOS

Todo número compuesto puede escribirse como pro-ducto de factores primos. El sistema más utilizado paradescomponer un número en el producto de sus factoresprimos consiste en escribir el número considerado y tra-zar a su derecha una recta vertical. A la derecha de larecta se escribe el menor de los divisores que sea un nú-mero primo. El cociente obtenido se escribe debajo delnúmero y se vuelve a dividir por el menor de sus divi-sores que sea un número primo, y así sucesivamentehasta obtener como cociente un número primo. Así, por ejemplo, para descomponer el número 630 en producto de factores primos procederemos así:

630 2

315 3

105 3

35 5

7 7

1

Por consiguiente, 630 = 2 · 32 · 5 · 7Para saber cuántos divisores tiene un número dado sedescompone el número en sus factores primos. A conti-nuación se escriben los exponentes de los factores pri-mos y se suma la unidad a cada exponente. El produc-to de todos los números así obtenidos coincidirá con elnúmero total de divisores del número. Así, en el ejem-plo anterior, como los exponentes de los factores pri-mos son, respectivamente, 1, 2, 1 y 1, el número totalde divisores será:

(1 + 1) (2 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 24

es decir, el número 630 tendrá 24 divisores.Para hallar todos los divisores de un número dado sedescompone éste en sus factores primos. Seguidamen-te se escriben la unidad y las potencias sucesivas delprimer factor primo. Cada uno de los divisores así ob-tenido se multiplica por las potencias del segundo fac-tor primo y, a continuación, se multiplican los divisoresasí obtenidos por las potencias del tercer factor primo,y así sucesivamente, hasta multiplicar por las potenciasdel último factor primo.

Si un número es divisible por varios números primosentre sí dos a dos, también es divisible por su produc-to. Así 198 es divisible por 33, que es el producto de 3 11, ya que lo es por 3 y por 11, que son núme-ros primos entre sí. Esta propiedad nos permite ampliarlos criterios de divisibilidad para números compuestos.Así, un número es divisible por 6 si lo es a la vez por 2 y por 3; será divisible por 12 si lo es a la vez por 3 y por 4, y así sucesivamente.

MÁXIMO COMÚN DIVISORY MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Se denomina máximo común divisor (m.c.d.) de va-rios números al mayor de los divisores comunes de to-dos ellos (figura 20).

Para hallar el máximo común divisor de varios núme-ros se descomponen en primer lugar los números ensus factores primos y luego se calcula el máximo co-mún divisor, que es igual al producto de todos los fac-tores primos comunes con el menor exponente. Así, por ejemplo, para hallar el máximo común divisorde 960 y 1.200 procederemos así:

960 2 1.200 2480 2 600 2240

2 300

2

120 2 150 260

2 75 3

30 2 25 515 3 5 5

5

5 1

1


56 m

42 m

13

Figura 20

002-016-MATES 5/6/02 16:11 Página 13

o sea:

960 = 26 · 3 · 5 y 1.200 = 24 · 3 · 52

por tanto, el m.c.d. (960, 1.200) = 24 · 3 · 5 = = 240 (figura 21).

El máximo común divisor presenta algunas propie-dades interesantes:

a) Cualquier divisor de varios números es también divi-sor de su máximo común divisor. Así, por ejemplo, 4es divisor del máximo común divisor de 36 y 60. Ob-viamente, 4 es divisor de 36, ya que 36 : 4 = 9 y tam-bién lo es de 60, puesto que 60 : 4 = 15. El máximo co-mún divisor de 36 y 60 se calcula así:

36 2 60 2

18 2 30 2

9

3 15

3

3 3 5 5

1 1

o sea, 36 = 22 · 32 y 60 = 22 · 3 · 5

por tanto, el m.c.d. (36, 60) = 22 · 3 = 12

y es inmediato comprobar que 4 es divisor de 12, yaque 12 : 4 = 3.

b) Al multiplicar o dividir varios números por un mis-mo número, su máximo común divisor queda mul-tiplicado o dividido por el mismo número. Así, porejemplo, el máximo común divisor de 108 y 120 estres veces mayor que el máximo común divisor de

36 y 40. En efecto, efectuemos las descompo-siciones factoriales para encontrar los máximos co-munes divisores de la manera siguiente:

108 2 120 2 36 2 40 2

54 2 60 2 18 2 20 2

273 30 2 9 3 10 2

9 3 15 3 3 3 5 5

3 3 5 5 1

1 1 1

o sea:

108 = 22 · 33; 120 = 23 · 3 · 5

36 = 22 · 32; 40 = 23 · 5

por consiguiente:

m.c.d. (108, 120) = 22 · 3 = 12y:

m.c.d. (36, 40) = 22 = 4

ya que 12 es tres veces mayor que 4.

c) Al dividir varios números por su máximo común di-visor los cocientes obtenidos son números primosentre sí.

14

Figura 22

1.200 cm3

240 cm3 240 cm3

960 cm3

240 cm3 240 cm3 240 cm3 Figura 21

002-016-MATES 5/6/02 16:11 Página 14

Se denomina mínimo común múltiplo (m.c.m.) devarios números al menor de los múltiplos co-munes de dichos números.Para determinar el mínimo común múlti-plo de varios números se descomponentodos ellos en factores primos y a conti-nuación se calcula el mínimo comúnmúltiplo multiplicando todos los facto-res primos comunes y no comunes ele-vados al mayor exponente. Así, para de-terminar el m.c.m. de 30, 40 y 45procederemos así:

30 2 40 2 45 3

15 3 20 2 15 3

55 10

2 5

5

1 5 5 1 1

o sea:

30 = 2 · 3 · 5; 40 = 23 · 5; 45 = 32 · 5

por consiguiente:

m.c.m. (30, 40, 45) = 23 · 32 · 5 = 360 (figura 22).

OPERACIONES COMBINADAS

Llamaremos operaciones combinadas aquellas en lasque aparecen en la misma expresión sumas y restas,acompañadas con productos y divisiones e inclusoalguna potencia sencilla (figura 23).También es frecuente que aparezcan unos símbolosque se denominan paréntesis, con «(» apertura deparéntesis y «)» cierre de paréntesis, y corchetes, con«[» apertura de corchete y «]» cierre de corchete.Los paréntesis se utilizan para separar operaciones dan-do preferencia a unas sobre otras, que normalmente nola tienen.Los corchetes se emplean con el mismo fin, perousualmente se utilizan para englobar expresiones quecontienen varios paréntesis.En una operación combinada puede ocurrir que exis-tan algunas operaciones individuales que se podríanrealizar simultáneamente. Para saber cuál ha de ser elorden en el que se han de realizar esas operacionesexisten unos criterios que se han de conocer y utili-zar correctamente:

15

L O S N Ú M E R O S N A T U R A L E S


Figura 24

• Si en una operación combinada hay expresionesen forma de potencia de base y exponente natura-les, éstas se han de pasar a número natural antesde comenzar a realizar las operaciones indicadas.

• Cuando se dan sumas y restas junto con multipli-caciones y divisiones, estas últimas, las multiplica-ciones y divisiones, tienen preferencia sobre las su-mas y restas.

• El orden de preferencia de multiplicaciones y divi-siones es el mismo. Es indiferente cuál de estasoperaciones realicemos primero.

• El orden de preferencia de las sumas y de las restases el mismo. El resultado obtenido no variará conel orden utilizado para realizar estas operaciones.

• Cuando en una operación combinada nos aparezcanparéntesis y corchetes, la resolución de éstos tienepreferencia sobre las multiplicaciones y divisiones.Cuando nos aparecen varios, se han de comenzar aresolver por los que ocupan la posición más interior, ycontinuar sucesivamente hasta los que ocupan la posi-ción exterior. Si todos tienen el mismo nivel, es indife-rente cuál de ellos resolvamos primero (figura 24).

Figura 23

002-016-MATES 5/6/02 16:12 Página 15

Como aclaración a lo que se ha expuesto se va a obte-ner el resultado de la siguiente operación combinada:

3 · [7 · (5 – 3 + 4 : 2) – 3 · (9 – 2 · 4 + 3 · 2) +

+ 3 · (4 + 23 · (5 · 3 – 8 : 2) – 3 · 2)] + 34

De acuerdo con los criterios citados anteriormente, enprimer lugar se transforman en números naturales laspotencias de base y exponente natural que aparecenen la expresión, 23 = 8 y 34 = 81, con lo que la ex-presión original quedará como:

3 · [7 · (5 – 3 + 4 : 2) – 3 · (9 – 2 · 4 + 3 · 2) +

+ 3 · (4 + 8 · (5 · 3 – 8 : 2) – 3 · 2)] + 81

A continuación se comienzan aresolver los paréntesis, el queocupa la posición más interior enla expresión dada es (5 · 3 – 8 : : 2); como los productos y los co-cientes tienen preferencia sobrelas restas, se operan éstos prime-ro y queda (15 – 4); restandoqueda 11, por lo que todo el in-terior del paréntesis se puedesustituir por 11. La expresión delejemplo quedará:

3 · [7 · (5 – 3 + 4 : 2) – 3 · (9 – 2 · 4 + 3 · 2) +

+ 3 · (4 + 8 · 11 – 3 · 2)] + 81

Se han de hallar ahora los valores naturales que co-rresponden a tres paréntesis que tienen el mismo or-den de preferencia:

• (5 – 3 + 4 : 2): En primer lugar se efectúa la división,y la expresión queda (5 – 3 + 2), y como sumas y res-tas tienen el mismo orden de preferencia, se puedenrealizar simultáneamente, 5 – 3 + 2 = 4.

• (9 – 2 · 4 + 3 · 2): Efectuando en primer lu-gar los productos, se transforma en (9 – 8 + 6); lassumas y restas se pueden realizar a la vez, con loque 9 – 8 + 6 = 7.

• (4 + 8 · 11 – 3 · 2): Efectuando en primer lugar losproductos, se obtiene la expresión (4 + 88 – 6); realizando las sumas y restas a la vez, el resultadoserá 4 + 88 – 6 = 86.

Sustituyendo los resultados obtenidos por los parén-tesis, en la expresión original queda 3 · [7 · 4 – 3 · 7 ++ 3 · 86] + 81.El siguiente paso es averiguar el valor de la expresiónencerrada por el corchete [7 · 4 – 3 · 7 + 3 · 86]; efec-tuando los productos, por tener preferencia sobre su-mas y restas, se transforma en [28 – 21 + 258], y su-mando y restando se obtiene 28 – 21 + 258 = 265,valor que al colocarlo en lugar del corchete nos dejala expresión inicial reducida a 3 · 265 + 81, que, alefectuar el producto en primer lugar, es igual a 795 + 81 y, como resultado final, 876.

USO DE CALCULADORAS SENCILLAS

Cuando se emplea una calculadora no científica pa-ra resolver operaciones combinadas con números

naturales, se ha de tener en cuenta que este ti-po de calculadoras no tiene la posibilidad dedejar en suspenso un cierto número de opera-ciones mediante el uso de paréntesis sucesivos,por lo que el criterio para el uso de paréntesisy corchetes lo ha de asignar la persona que realiza el cálculo (figura 25).

16

AU T O E VA L UA C I Ó N

Figura 25

1. Al decir «vivo en el primer piso», ¿qué tipo de número estoy empleando?

2. ¿Por qué en el número5F5D20E21C7B21A424 aparecen letras?

3. Poner en cifras romanas el número 1.794.4. Expresar en base decimal

el número 40324536.5. ¿Qué resultado se obtiene al multiplicar

cualquier número natural por 0?6. ¿Qué propiedad del producto de losnúmeros naturales estamos utilizando

al afirmar que 2 x 1 = 2?7. ¿Cómo se denominan las divisiones

en las que se obtiene resto 0?8. ¿Qué número natural se obtiene

al efectuar 70?9. Hallar todos los divisores de 60.

10. Hallar el m.c.m. y el m.c.d. de: 25.200, 17.640 y 8.400.

002-016-MATES 5/6/02 16:12 Página 16

Figura 26En contabilidadtenemos quetrabajar connúmeros enteros,pues los saldos seexpresan a menudocon númerosnegativos.

LOS NÚMEROS ENTEROS

Dado un par ordenado de números naturales (a, b), diremos que la diferencia a – bes el número entero que representa a dicho par ordenado. Todos los pares

ordenados que vienen representados por el mismo número entero se dice que sonequivalentes. Para un número entero dado se llama par canónico al más sencillo de

todos los pares equivalentes, es decir, aquel que tiene nulo alguno de suscomponentes. O sea, un par canónico adopta una de las formas (a, 0) o bien (0, b).

Los números enteros cuyo par canónico es del tipo (a, 0) suelen representarsecomo +a o simplemente a, mientras que los números enteros cuyo par canónico es

del tipo (0, b) se representan por –b. Esta forma de representar los númerosenteros se denomina forma simplificada (figura 26).

FORMA SIMPLIFICADA DE LOS NÚMEROS ENTEROS

Teniendo en cuenta todo lo expuesto, a continuaciónusaremos precisamente la forma simplificada de losnúmeros enteros.El conjunto de los números enteros lo denotaremospor Z y, según lo que hemos visto, está formado porel conjunto de los números naturales , que corres-

pondería al conjunto de los enteros positivos Z+ másel 0, más el conjunto de los números enteros negati-vos Z–. Los conjuntos Z+ y Z– son subconjuntos delconjunto Z de los números enteros.Llamaremos valor absoluto de un número entero a, y lodenotaremos como |a|, al valor numérico del númeronatural que resulta de eliminar el signo que precede alnúmero entero. Así, diremos que el valor absoluto de +9 es 9, |+9| = 9 o que el valor absoluto de –3 es 3,|–3| = 3.

17

017-024-MATES 27/6/02 15:46 Página 17

18

–2 –1 0 +1 +2–∞ +∞

Figura 28

–15

–10

–5

0

5

10

15

–5 °C

Figura 27

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

SOBRE UNA RECTALa representación gráfica del subconjunto Z+ másel 0 coincide totalmente con la del conjunto .Estaremos hablando de la semirrecta real positiva.Para representar el conjunto de los números enterosZ nos faltará solamente añadir a la representaciónde la de los números negativos, elementos delsubconjunto Z–. Para ello, a la misma distancia dutilizada para marcar los números positivos, pero ala izquierda del origen 0, marcamos el punto obte-nido, que será la representación gráfica del númeroentero negativo –1; a la izquierda de –1 y a distan-cia d marcamos el punto obtenido, que será la repre-sentación gráfica del número entero negativo –2;etc. De esta manera obtenemos otra semirrecta, quea partir de un determinado punto, el 0, nos presen-ta a distancias iguales, d, la serie de los númerosenteros negativos colocados de forma ordenada demayor a menor y hasta el infinito (figura 28).La unión de las dos semirrectas constituye la repre-sentación gráfica de todos los números enteros,empezando por el extremo izquierdo, donde estaría–∞, seguido por los números enteros negativos orde-nados de menor a mayor, a continuación 0, le siguenlos números enteros positivos ordenados de menor amayor, para acabar en el extremo derecho de la rectacon +∞. (Hay que tener en cuenta que ni –∞ ni +∞son números enteros y simplemente los utilizamospara marcar los extremos inferior y superior de larecta real.)

SUMA DE NÚMEROS ENTEROS

Dados dos números enteros a y b, llamaremos sumade a y b, y la representaremos como a + b, al núme-ro c resultado de añadir a a la cantidad expresada porel número b.Al sumar números enteros en su forma simplificadahay que tener en cuenta que un número entero se

ORDENACIÓNDE LOS NÚMEROS

ENTEROS

Dados dos números enteros a y b, diremos que a esmayor que b, a > b, si se cumple que:

a – b = c y c > 0, o sea c Z+

En Z, cualquier a Z+ es mayor que 0, ya que,dado un número a positivo, a – 0 = a y a Z+, porlo que se cumple la relación de orden establecida.En Z, 0 es mayor que cualquier número negativo(figura 27). Dado un número negativo –a, de valorabsoluto |–a| = a, es 0 – (–a) = a y a Z+, por loque se cumple la relación de orden.La ordenación en Z+ es igual que en el conjunto de losnaturales, , y un número es mayor cuanto más gran-de sea su valor absoluto. Diremos que 48 > 23, porqueel valor absoluto de 48 es mayor que el valor absolutode 23, |+48| > |+23|. Ya que según la relación de ordenestablecida en Z, dado que |+48| = 48 y |+23| = 23y 48 – 23 = 25, y 25 es un número positivo, 25 Z+.En Z–, al contrario que en Z+, un número es mayorcuanto más pequeño sea su valor absoluto. Así, diremos que –23 > –48, ya que, según la relaciónde orden establecida en Z, –23 – (–48) = –23 + 48 == 25 y 25 Z+, y el valor absoluto de –23 es menor que el valor absoluto de –48, |–23| < < |–48|.

–15

–10

–5

0

5

10

15

5 °C

017-024-MATES 5/6/02 16:20 Página 18

compone del signo, que puede ser positivo o negati-vo y de un número natural. De este modo, sólo cabeconsiderar los dos casos posibles siguientes:

• Los números que se suman tienen el mismo sig-no. En este caso se suman los números y se deja el mismo signo que tenían los sumandos (figuras 29y 29a).

• Los números que se suman tienen signos distintos.En este caso se restan ambos números y al resulta-do obtenido se le pone el signo del sumando quetenga mayor valor absoluto (figura 30).

La operación suma de números enteros es una opera-ción interna: el resultado de sumar dos números ente-ros siempre nos da otro número entero. La suma denúmeros enteros verifica las propiedades asociativa,conmutativa, elemento neutro y elemento simétrico:

• Propiedad asociativa. La suma de números enteroscumple que:

a + (b + c) = (a + b) + c

• Propiedad conmutativa. La suma de númerosenteros verifica que:

a + b = b + a

• Elemento neutro. El número cero es el elementoneutro respecto de la suma de números enteros, yaque para cualquier número entero a se verifica que:

a + 0 = 0 + a = a

A R I T M É T I C AL O S N Ú M E R O S E N T E R O S

0

2 + 3 = 5

5

0

2 + (– 5) = – 3

2– 3

Figura 30

0

(– 2) + (– 3) = (– 5)

– 2– 5

• Elemento simétrico. Para cualquier número ente-ro a existe un número entero s tal que:

a + s = s + a = 0

Obviamente, s = –a.

Por tanto, el conjunto Z de los números enteros con laoperación suma tiene estructura de grupo conmutativo oabeliano.De forma práctica, para sumar varios números ente-ros, en primer lugar se agrupan éstos por separado enpositivos y negativos. Se suman todos los positivos yal resultado obtenido se le resta el valor absoluto delresultado obtenido al sumar todos los negativos. El resultado obtenido será un número entero, positi-vo o negativo según sean los valores absolutos delresultado de la suma de los sumandos positivos y delos sumandos negativos que teníamos.

RESTA DE NÚMEROS ENTEROS.REGLA DE LOS SIGNOS

Dados dos números enteros a y b, llamaremos restade a y b, y la representaremos como a – b, al núme-ro c resultado de quitar a a la cantidad expresada porel número b. Diremos c = a – b.De hecho, para restar dos números enteros basta consumar al primero el opuesto del segundo (figura 31).

19

Figura 31

Figura 29

Figura 29a

017-024-MATES 5/6/02 16:20 Página 19

De forma práctica cuandocomo resultado final de unaserie de operaciones se obtie-ne una resta en la que elminuendo es menor que el sustraendo se invierte la operación, haciendo que el minuendo actúe como sustraendo, y vicever-sa, pero teniendo en cuenta que el resultado ha dellevar signo negativo. Se ha de tener en cuenta que aveces pueden salir dos signos de operación seguidos,++ , +–, –– y –+. Éstos obligatoriamente se han deseparar mediante un paréntesis. Así, si deseamosindicar que queremos sumar un número negativo,se habrá de poner éste entre paréntesis, por ejemplo+ (–3), o la resta de un número negativo sería – (–8). Para transformar estos pares de signos enuno solo se habrá de utilizar la llamada regla de lossignos: ++ = +, +– = –, –+ = – y –– = +.Por tanto, cuando en una operación nos encontre-mos estos pares de signos, los podremos transformaren el resultado indicado.En el cálculo con números enteros no se suele dis-tinguir entre sumas y restas, ya que con la posibleexistencia de dos signos seguidos de operación, eshabitual la transformación de sumas en restas yviceversa.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.REGLA DE LOS SIGNOS

La multiplicación o producto de números enteroses igual a la de números naturales, salvo que en elcaso de productos de números enteros los factoresvan a estar afectados de su signo. La regla de los sig-nos (figura 32) quedaría:

• El producto de dos números enteros positivos nosda otro entero positivo: + + = +.

• El producto de dos números enteros negativos nos da un entero positivo: – – = +.

• El producto de un número entero negativo por unnúmero entero positivo o el producto de un núme-ro entero positivo por un número entero negativonos da un número entero negativo en los dos casos:– + = – o + – = –.

• En el caso de productos con varios factores el resul-tado será:

a) Positivo si todos los factores son positivos o si elnúmero de factores negativos es par.

b) Negativo si el número de factores negativos esimpar.

El producto de números enteros es una operacióninterna, ya que siempre da como resultado otronúmero entero.La multiplicación de números enteros cumple lasmismas propiedades que la multiplicación de núme-ros naturales. Así pues, el conjunto Z de los nú-meros enteros con la operación producto tiene es-tructura de semigrupo abeliano con elemento neutro.

DIVISIÓNDE NÚMEROS ENTEROS.REGLA DE LOS SIGNOS

La división entre números enteros es igual que ladivisión entre números naturales; se trata de la ope-ración de cálculo mediante la cual se reparte unnúmero dado, llamado dividendo, en tantas partescomo nos indica otro, llamado divisor. El resultadode la división será el cociente y en su caso, si la divi-sión no es exacta, nos sobrará una cierta cantidad quellamaremos resto. Si el dividendo es múltiplo deldivisor obtendremos como resto 0.En la práctica, la única diferencia con la división denúmeros naturales es la existencia de los signos. Si

20

Figura 33

Figura 32

017-024-MATES 5/6/02 16:20 Página 20

queremos hacer una división entre números enteros,en el cálculo no tendremos en cuenta los signos deldividendo y del divisor. Para hallar el signo que ten-drá el cociente obtenido utilizaremos la regla de lossignos: [ + : + = +, + : – = –, – : + = – y – : – = + ], yel signo del resto coincide con el signo del dividendo(figura 33).Puesto que el conjunto Z de los números enteros,con la operación suma tiene estructura de grupo abe-liano y con la operación producto es un semigru-po y, además, se verifica la propiedad distributiva delproducto respecto de la suma, diremos que Z tieneestructura de anillo. Como, además, el producto denúmeros enteros cumple la propiedad conmutativa,diremos que se trata de un anillo conmutativo o abe-liano y, puesto que el producto de números enterostiene elemento neutro, diremos que Z es un anillounitario con las operaciones suma y producto.

POTENCIAS DE BASEY EXPONENTE ENTEROS

Dados los números enteros a y b, llamaremos poten-cia de base a y exponente b, que se expresa como ab,a elevado a b, a la operación que, según sea el expo-nente, dará como resultado:

• El producto de a por sí mismo b veces(a a a ... (b veces) ... a), cuando b > 0,

• 1, cuando b = 0. (Excepto en el caso en que labase a sea también igual a 0, 00 da lugar a unaindeterminación.)

• Un conjunto numérico diferente de los númerosenteros Z, que llamaremos números racionales Q,del que Z es un subconjunto, a estudiar en uncapítulo posterior, cuando b < 0. (Excepto en elcaso en que la base sea 1 en que, aunque el expo-nente sea un número negativo, el resultado es 1.)

Las potencias de base y exponente enteros y el cálculo con potencias de base y exponente enteroscumplen las mismas propiedades que en el ca-so de potencias de base y exponente naturales, aexcepción de los casos en los que intervienen signosnegativos tanto en la base como en el exponente.Dada una potencia de base y exponente enteros ab,sean cuales fueren los signos de a y b, se cumplen lassiguientes propiedades:

• Si a = 1, ab = 1b = 1. Así (1)2 = 1, 10 = 1 y 1–2 = 1.• Si b = 1, ab = a1 = a. Así (5)1 = 5, (–3)1 = –3 y 11 = 1

Dada una potencia de base y exponente enteros, ab,en el caso de que a o b sean negativos, se cumplen lassiguientes propiedades:

• Si a < 0 pero b es par, ab > 0. Así, diremos que(–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81. El resultado espositivo porque en el producto indicado nos apare-ce un número par de factores con signos negativos.

• Si a < 0 y b es impar ab < 0. Por ejemplo (–2)3 == –2 (–2) (–2) = –8. El resultado es negativoporque en el producto indicado nos aparece unnúmero impar de factores con signos negativos.

• Si a = 0 y b < 0 el resultado no pertenece a Z, nisiquiera al anteriormente mencionado conjuntoQ. Así, diremos que 07 = 0, pero el resultado de 0–7

Z.

A efectos prácticos, las divisiones por potencias sepueden convertir en multiplicaciones invirtiendo elsigno de los exponentes.Los ejercicios en los que intervienen potencias debase y exponente enteros, en general, se han de resolver siguiendo los mismos criterios que en elcaso de base y exponente naturales, teniendo encuenta las reglas dadas para los signos.

MÚLTIPLOS Y DIVISORESDE UN NÚMERO ENTERO

El concepto de múltiplos y divisores en el conjunto delos números enteros Z es exactamente igual que elempleado en el conjunto de los números naturales .

MÚLTIPLOSDentro del conjunto de los números enteros Z, se diceque un número a es múltiplo de otro número b cuandoa contiene a b un número entero de veces. Se denota dela forma a =

.b y se lee a es múltiplo de b. Dicho de otra

forma, al dividir a entre b obtenemos como resultado unnúmero entero y de resto 0.Diremos que –15 es múltiplo de 3 porque contiene a 3un número entero de veces, en nuestro ejemplo –5veces. Al dividir –15 entre 3 obtenemos como resulta-do –5 y como resto 0; así, –15 : 3 = –5, y –5 es unnúmero entero.

21


017-024-MATES 5/6/02 16:20 Página 21

22

El número – 6 equivale a tres veces el número – 2.Por tanto – 6 es un múltiplo de – 2.

– 2 – 2 – 2

Figura 34

Divisores enteros de 6

1 2 3 6

–1 –2 –3 –6

Figura 35

–5 · [–3 · (18 : (–3) – (–5)3 · (25 : 8 – 3 · (–7)2) + 41) +

+ 5 · (4 · 33 – 42 : 7) – 42] – 131

Al igual que ocurría en el caso de operaciones combi-nadas con números naturales, en primer lugar se trans-formarán las potencias de base entera y exponentenatural en números enteros, que se habrán de sustituir:

• (–5)3: Como la base es negativa y el exponenteimpar, el resultado será negativo: (–5)3 = (–125).

• (–7)2: Como la base es negativa y el exponente par,el resultado será positivo: (–7)2 = 49.

• 25 = 32, 33 = 27 y 42 = 16.

Sustituyendo en la expresión inicial, queda:

–5 · [–3 · (18 : (–3) – (–125) · (32 : 8 – 3 · 49) + 41) +

+ 5 · (4 · 27 – 42 : 7) – 16] – 131

El paréntesis más interior que nos aparece es (32 : 8 – 3 · 49); como tienen preferencia las divisio-nes y las multiplicaciones sobre la resta, quedaría (4 – 147), y restando el resultado, será –143, que,sustituido, nos deja la expresión original como:

–5 · [–3 · (18 : (–3) – (–125) · (–143 ) + 41) +

+ 5 · (4 · 27 – 42 : 7) – 16] – 131

Expresión en la que aparecen dos paréntesis delmismo orden:

DIVISORESDentro del conjunto de los números enterosZ, se dice que un número a es divisor deotro número b, se representa como a/b y selee como a divide a b o a es divisor de b,cuando el número b contiene al a un núme-ro entero de veces o, lo que es lo mismo, b esmúltiplo de a (figura 34).Así, diremos que 5 es divisor de –25 porqueal dividir –25 entre 5 la división nos da comocociente un número entero, –5, y resto 0.Como en el conjunto de los números natu-rales , se puede observar que también en Z cualquiernúmero entero tiene infinitos múltiplos, pero el númerode divisores es limitado, y el valor absoluto de cualquie-ra de estos divisores nunca puede ser mayor que el delpropio número estudiado.Si queremos encontrar todos los divisores de unnúmero entero, procederemos como si se tratara deun número natural; una vez obtenido el cuadro de losdivisores de éste, los del número entero correspon-diente los obtendremos añadiendo a los anteriores susopuestos. Por tanto, el número de divisores de unnúmero entero es exactamente el doble que los del número natural que se obtiene al hallar el valorabsoluto del número entero (figura 35).

OPERACIONES COMBINADAS

CON NÚMEROS ENTEROS

Los criterios para realizar operaciones combinadascon números enteros van a ser, en esencia, los mis-mos que se utilizaron en el caso de los númerosnaturales (figura 36).Las diferencias que se han de considerar serán las deriva-das de las posibles soluciones negativas en las restas y elpropio empleo de números negativos, por todo lo cual setendrá siempre presente la regla de los signos al efectuareste tipo de cálculos.Otra regla a tener en cuenta es que nunca pueden apare-cer dos signos de operación seguidos; cuando esto ocurra,se habrán de separar mediante el uso de un paréntesis. Porello, la presentación del siguiente producto 4 · –3 es inco-rrecta; la forma correcta de indicarlo será 4 · (–3).Ejemplo. Como recordatorio de lo citado, se va a pro-ceder a la resolución comentada de la siguiente ope-ración combinada de números enteros:

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• (18 : (–3) – (–125) · (–143 ) + 41): De acuerdo conlos criterios de preferencia, se efectuarán antes lasdivisiones y los productos que la resta y, aplicando laregla de los signos, quedará: (–6 – 17.875 + 41),que, considerada como la suma de dos númerosnegativos y uno positivo, dará como resultado–17.840.

• (4 · 27 – 42 : 7): Al efectuar antes los productos y divi-siones, se tendrá (108 – 6), que, al restar, dará comoresultado 102.

Sustituyendo los paréntesis originales por los resulta-dos obtenidos, el ejemplo queda:

–5 · [–3 · (–17.840) + 5 · 102 – 16] – 131

El corchete nos señala que el siguiente paso consiste enhallar su valor interior: [–3 · (–17.840) + 5 · 102 – 16];efectuando en primer lugar los productos y teniendoen cuenta la regla de los signos, se transforma en[53.520 + 510 – 16], cuyo resultado será 54.014.El ejemplo se resume en la siguiente expresión:–5 · 54.014 – 131; efectuando el producto, quetiene preferencia sobre la resta, se transforma en–270.070 – 131, suma de dos números negativos deresultado –270.201.Ejemplo. El empleo de números enteros negativos eshabitual en la resolución de ejercicios de plantea-miento como el siguiente:

José sale una mañana de su casa con 2.315 pesos ensu cartera; al pasar por el quiosco, compra dos libros

al precio de 125 pesos cada uno y un diccionario quele cuesta 350 pesos. Retira de su cuenta en el banco12.000 pesos y va al supermercado, donde compra 2 kg de angulas, a 1.600 pesos cada kg, y 2 botes deatún, a 85 pesos cada uno. De vuelta a su casa seencuentra con su amigo Antonio y le devuelve los4.500 pesos que le prestó la semana anterior. Expre-sar la contabilidad de José de ese día, en el mismoorden en que se hicieron los ingresos y gastos, enforma de sumas y productos de números positivos ynegativos.Anotando el dinero inicial y el que saca de su cuentacomo valores positivos, y el resto como númerosnegativos, y sumándolo todo en el orden indicadonos quedará:

2.315 + 2 · (–125) + (–350) + 12.000 ++ 2 · (–1.600) + 2 · (–85) + (–4.500)

Al efectuar los productos, por tener éstos preferenciasobre las sumas, teniendo en cuenta la regla de lossignos, se nos transforman en la siguiente serie desumas y restas:

2.315 – 250 – 350 + 12.000 –– 3.200 – 170 – 4.500

de resultado igual a 5.845 pesos.

USO DE CALCULADORASLas calculadoras para resolver operaciones combina-das con números enteros es necesario que tengan latecla de opción de cambio de signo para el uso denúmeros negativos, viene indicada por el símbolo:

y es conveniente que tengan la posibilidad de dejaren suspenso un cierto número de operacionesmediante el uso de paréntesis sucesivos, por lo que seha de tener muy claro el criterio para el uso de parén-tesis y corchetes por la persona que realiza el cálculo.El criterio de preferencia de los productos y divisio-nes sobre sumas y restas lo llevan incorporado y fun-ciona de la misma forma que se comentó en el casode cálculo con números naturales; pero al contrarioque ocurre en la notación de este tipo de cálculos,

23


Figura 36

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ahora sí que es posible utilizar la tecla de operaciónproducto y a continuación un número negativo, sintener que utilizar un paréntesis intermedio, de talmanera que para realizar el producto 7 · (–5), el pro-ceso se podría hacer directamente utilizando lasiguiente combinación de teclas de la calculadora:

con lo que se obtendría un resultado en la pantalla de–35.Ejemplo. Hallar el resultado de la siguiente opera-ción combinada –3 · (2 · (–5) – 3 · (–8 + 2)), se ilus-tra el uso de este tipo de calculadoras. Los pasos arealizar sobre la calculadora serían:

Los resultados que aparecerán en la pantalla serán, alfinal de la siguiente serie:

Al tener la operación producto preferencia sobre laresta que viene a continuación, la calculadora lo efec-túa, y en pantalla aparece el resultado del productoanterior, –10, pero no el producto por –3, ya que lo ha dejado en suspenso por la existencia delparéntesis.Al final de la serie:

la calculadora efectúa la operación encerrada en elinterior del paréntesis más interno al darle prefe-rencia a la resolución de éste sobre el producto indi-cado, aparecerá en la pantalla el valor –6.Al presionar nuevamente:

24

Figura 37

11. ¿Por qué decimos que 3 es mayor que –3?

12. ¿Qué propiedad del cálculo connúmeros enteros estamos utilizando al

indicar que: –7 · (358 – 477 + 321) == –7 · 358 –7 · (–477) – 7 · 321?

13. Efectuar la siguiente división, hallandoel cociente y el resto: –763542 : 357.

14. ¿Qué queremos indicar con la expresión 73?

15. Descomponer en números primos las bases de las potencias

y agruparlas en potencias de la misma base, en:

16. Efectúa la operación siguiente:3 – (–2)3 + 8 : (7 – 3) + 5 – 2 · (4 – 1)

17. Calcula el resultado de la siguienteoperación combinada:

2 · 4 – 3 · (6 – 1) + (–2)4 : 4

27 · (–6)3 · 104 · (–21)2–––––––––––––––––

154 · (–14)2 · 45


la calculadora halla el valor del paréntesis exterior yse leerá en la pantalla 8; por último, al presionar:

obtendremos el resultado total de la operación com-binada, que será –24.Estas calculadoras (figura 37) también suelen tener elefecto comentado en el tema anterior, con constantesen productos y cocientes, así como con sumas y restas.

017-024-MATES 5/6/02 16:20 Página 24

LOS NÚMEROS RACIONALES

Hemos visto que en el conjunto N de los números naturales se puedesumar y multiplicar; que en el conjunto Z de los números enteros se

puede sumar, restar y multiplicar. Vamos a verahora un nuevo conjunto Q, ampliación

de los anteriores, donde se puedanrealizar las cuatro operaciones

básicas: sumar, restar, multiplicary dividir. Dicho conjunto Q seráel de las fracciones positivas onegativas, o númerosracionales (figura 38).

FRACCIONES.FRACCIONES EQUIVALENTES

Llamaremos fracciones a todos los elementos delconjunto:

aF = —b

donde a y b pertenecen a Z y siempre b ≠ 0.El número a se denomina numerador y el b denomi-nador. Se dice que una fracción es común cuando sudenominador no es la unidad seguida de ceros y que espropia cuando su numerador es menor que su denomi-nador. Se dice que dos fracciones son equivalentes y sesimboliza a/b c/d cuando se verifica que a · d = b · c.

La equivalencia de fracciones constituye una relación deequivalencia, ya que cumple las propiedades reflexiva,simétrica y transitiva:

• Propiedad reflexiva. Toda fracción es equivalentea sí misma.

• Propiedad simétrica. Si una fracción es equivalen-te a otra, ésta también es equivalente a la primera.

• Propiedad transitiva. Si una fracción es equiva-lente a otra y ésta es equivalente a una tercera, laprimera fracción es equivalente a la tercera.

Simplificar una fracción es convertirla en otra frac-ción equivalente cuyos términos sean menores quelos de la fracción original. La mayor simplificación

25

Figura 38Para repartir una cierta

cantidad en partes igualestenemos que emplear

números racionales.

025-034-MATES 5/6/02 16:23 Página 25

nan números decimales periódicos puros. Así, 0,3 esun número decimal periódico puro (figura 40).Los números decimales periódicos cuyo períodoempieza después de una serie de números que no serepiten reciben el nombre de números decimalesperiódicos mixtos. Así, 0,123 es un número deci-mal periódico mixto. La parte no periódica de unnúmero decimal periódico mixto es la cifra o grupode cifras que se encuentran entre la coma y el perío-do. Así, la parte no periódica de 0,123 es 12. Al con-vertir fracciones en números decimales sólo puedenobtenerse números decimales no limitados que seanperiódicos. Es decir, no existe ninguna fracción que alconvertirla en número decimal origine, por ejemplo, el número π = 3,14159265... o el número e = 2,7182818285... Estos números, tales como π oe, reciben el nombre de números irracionales, yaque no existe ninguna fracción que los represente.Se denominan fracciones decimales las que tienencomo denominador la unidad seguida de ceros. Así,por ejemplo, 3/10 y 73/100 son fracciones decima-

26

que puede efectuarse en una fracción con-siste en convertirla en una fracción irre-ducible, en la que el numerador y el deno-minador son primos entre sí (figura 39).

EXPRESIÓN DECIMAL DE UNA FRACCIÓN

A veces, en la práctica no resulta cómodo ni claro eluso de los números racionales. Para evitar estas difi-cultades expresamos las fracciones en forma denúmeros decimales.Para convertir una fracción en un número decimal sedivide el numerador entre el denominador hasta queel resto se anule o hasta que en el cociente se repitaindefinidamente una cifra o un grupo de cifras. En elprimer caso la fracción es decimal y el número deci-mal obtenido es limitado. En el segundo caso la frac-ción no es decimal y el número decimal obtenido esperiódico. La cifra o grupo de cifras que se repitenindefinidamente en el mismo orden se denominaperíodo. Los números decimales periódicos se repre-sentan con el símbolo «» que abarca todo el pe-ríodo. Los números decimales periódicos cuyo período empieza detrás de la coma se denomi-

Figura 40

Figura 39

025-034-MATES 5/6/02 16:24 Página 26

les. Toda fracción decimal equivale a un númerodecimal con un número limitado de cifras. En losejemplos anteriores tenemos que 3/10 = 0,3 y73/100 = 0,73. El número que aparece a la izquierdade la coma representa la parte entera, mientras que laparte decimal viene representada por el número queaparece a la derecha de la misma. Hay fracciones que no parecen decimales, pero que son equivalentesa otras que sí lo son. Así, las fracciones 3/5 (figu-ra 41) y 9/20 son fracciones decimales, aunque no loparezcan a simple vista, ya que 3/5 es equivalente a60/100 mientras que 9/20 es equivalente a 45/100,que son fracciones decimales típicas.Para saber si una fracción es decimal deberemos des-componer su denominador en factores primos. Si alhacer esta descomposición obtenemos potencias de 2o de 5, será una fracción decimal; si nos aparecen po-tencias de cualquier otro número primo, la fracciónserá no decimal y dará lugar a un número periódico.Los números decimales limitados presentan las si-guientes propiedades:

a) Todo número decimal resulta inalterado si seañaden o se suprimen ceros a la derecha de laúltima cifra decimal.

b) Si en un número decimal se corre la coma hacia laderecha uno o varios lugares, el número decimalqueda multiplicado por la unidad seguida de tan-tos ceros como lugares se haya corrido la coma ha-cia la derecha.

c) Si en un número decimal se corre la coma hacia laizquierda uno o varios lugares, el número decimalqueda dividido por la unidad seguida de tantos ce-ros como lugares se haya corrido la coma hacia la iz-quierda.

CÁLCULO DE LA FRACCIÓN GENERATRIZ

DE UN NÚMERO DECIMAL

Se denomina fracción generatriz de un número decimal a la fraccción irreducible que equivale al mis-mo. Para calcular la fracción generatriz de un núme-ro decimal limitado se pone como numerador el nú-mero decimal sin la coma y como denominador launidad seguida de tantos ceros como cifras decimaleshaya. A continuación se simplifica la fracción obteni-da hasta convertirla en irreducible.

SUMA Y RESTADE NÚMEROS DECIMALES

La suma o resta de números decimales tiene como re-sultado otro número decimal, y el procedimiento pa-ra realizarla coincide con el empleado en el caso delos números enteros, por lo que al realizar la opera-ción se ha de tener la precaución de hacer concordaren la misma columna aquellas cifras cuyo valor rela-tivo coincide, tanto en la parte entera como en la par-te decimal del número.Se pueden diferenciar ligeramente el caso de sumas orestas de decimales limitados, de decimales periódi-cos y el de decimales limitados con el de periódicos:

27

A R I T M É T I C AL O S N Ú M E R O S R A C I O N A L E S

Figura 41

025-034-MATES 5/6/02 16:24 Página 27

28

• Sumas o restas entre números decimales limita-dos. Como resultado se obtiene siempre un de-cimal limitado o un número entero. En el ejemplo, la suma de tres decimales finitos 5,71483 + + 342,2712 + 0,043 = 348,02903 da como resulta-do otro decimal finito (figura 42).

• Sumas o restas entre números decimales perió-dicos. Para sumar decimales periódicos es conve-niente hallar sus fracciones generatrices previamen-te y sumar o restar esas fracciones generatrices,hallando posteriormente el número decimal que re-presentan. Si se suman o restan en forma de núme-ro decimal, es conveniente repetir varias veces el pe-ríodo de los números que intervienen en laoperación, para hallar con más precisión cuál será elperíodo del resultado de la suma. Como resultadosiempre dan un decimal periódico o un número en-tero. En el ejemplo, la suma de los tres decimalesperiódicos 2,26 + 13,153 + 0,43121 = 15,84737282da como resultado otro decimal periódico (figura 43).

• Sumas o restas entre números decimales limita-dos y números decimales periódicos. Este casoes similar al anterior y la única diferencia es que co-mo resultado siempre se obtienen decimales perió-dicos. En el ejemplo, la suma del decimal periódi-co 1,153 más la del decimal limitado 12,1213, dacomo resultado 13,2744531, un decimal periódico(figura 44).

La suma de números decimales tiene las mismas pro-piedades que la suma de números racionales de loscuales provienen.

MULTIPLICACIÓNDE NÚMEROS DECIMALES

El producto de dos números decimales es otro núme-ro decimal. La operación se realiza exactamente igualque si se tratara de números enteros, sin tener encuenta la existencia de la parte decimal hasta el final,en que al resultado se le ha de poner la coma, de for-ma que tenga tantos decimales como tenían el multi-plicando y el multiplicador juntos. Como ejemplo, elproducto de 1,12 5,613 = 6,28656, donde el mul-tiplicando lleva dos decimales y el multiplicador tres,y el resultado ha de tener cinco decimales.

1,153153153153...+ 12,1213

13,274453153153...

Figura 44

En la práctica, cuando la suma de decimales entremultiplicando y multiplicador es excesiva para que elresultado sea operativo, se realiza la operación, si esposible, con todas las cifras decimales, pero el resulta-do se expresa con el número de decimales adecuado,teniendo la precaución de aproximar por exceso o de-fecto la última cifra decimal utilizada, para cometer elmenor error posible. Así, en el ejemplo 0,4789

5,6792 = 2,71976888, la suma de decimales entremultiplicando y multiplicador es de ocho, pero por logeneral el resultado se expresaría sólo con cuatro cifrasdecimales, para evitar trabajar con números poco ope-rativos; diríamos que el resultado es 2,7198, donde laúltima cifra se ha redondeado por exceso, al ser el de-cimal que le sigue mayor que 5.Aunque es poco práctico, cuando se desea saber elresultado exacto del producto de dos decimales pe-riódicos o de un decimal periódico por uno limitado,se han de hallar previamente las fracciones generatri-ces y a continuación efectuar el producto con éstas.El producto de números decimales cumple las mis-mas propiedades que el de números racionales.

DIVISIÓNDE NÚMEROS DECIMALES

Antes de efectuar la división de números decimalescomo si se tratara de números enteros, se han de elimi-nar los decimales del divisor; para ello, en el dividendose hace correr hacia la derecha la posición de la comatantos lugares como decimales tenía el divisor, aña-diendo ceros si es necesario. Al efectuar la división, lacoma nos aparecerá en el cociente en el momento enque nos aparezca en el dividendo o cuando en él seterminen las cifras enteras, según el caso.Como resultado se puede obtener un número enteroo un decimal limitado o periódico.

2,262626262626262626...+ 13,153535353535353535...

0,431211211211211211...

15,847372827372827372...

5,71483+ 342,2712

0,043

348,02903

Figura 42

Figura 43

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EL NÚMERO RACIONAL

Cada uno de los conjuntos formados por todas las frac-ciones equivalentes entre sí forma una clase de equiva-lencia que recibe el nombre de número racional.Como un número racional está formado por un con-junto de fracciones equivalentes, llamaremos repre-sentante canónico a la fracción irreducible de deno-minador positivo.

ORDENACIÓN EN LOS NÚMEROS RACIONALES

Para ordenar dos o más números racionales utilizare-mos los siguientes criterios según los casos que senos presenten:

• Cuando tienen el mismo denominador. Que a suvez nos presenta dos casos: si se trata de númerospositivos, es mayor el que tiene el numerador másgrande, como en el siguiente ejemplo:

7 5—– > —–12 12

si se trata de números negativos, es mayor el quetiene el numerador más pequeño, como en el si-guiente ejemplo:

7 5– —– < – —–

12 12

• Cuando tienen distinto denominador. En primerlugar se buscan los representantes de los númerosracionales que se han de comparar que tienen elmismo denominador (se reducen a común deno-minador) y a continuación se utilizan los criteriosdados en el primer apartado.

Otra forma sencilla de ordenar los números raciona-les consiste en hallar los números decimales equiva-lentes a esos racionales y compararlos.

29

– 2 – 1 0 1 2

0 1

1—6

Entre 0 y 1 se ha ampliado el espacio disponiblepara representar las fracciones de denominador 6

2—6

3—6

4—6

5—6

– 2 – 1 0

Entre –4 y – 3 se ha ampliado el espacio disponiblepara representar las fracciones de denominador 4

– 3– 4

– 3– 4

1– —4

2– —4

3– —4

Figura 46

REPRESENTACIÓN GRÁFICADE LOS NÚMEROS RACIONALES

Si tomamos la recta real en la que se han representa-do los números racionales que tiene por representan-te canónico un número entero, veremos que entre es-tos puntos quedan grandes espacios vacíos, algunosde los cuales están ocupados por puntos que repre-sentan números racionales.Cuando queremos representar números racionalescualesquiera, se ha de trabajar sobre el repre-sentante canónico de éstos, y se nos plantean dos casos:

• El denominador es mayor que el numerador. Elpunto de la recta real que representa a este tipo defracciones siempre está entre el 0 y el 1 (o entre el0 y el –1 si es negativa). Para realizarlos se divide launidad entre tantas partes como indica el denomi-nador y se toman tantas como indica el numerador.En la figura 45 tenemos la representación del nú-mero racional 5/6.

• El numerador es mayor que el denominador.Primero se descompone el número fraccionario enun número compuesto por una parte entera y unafraccionaria, separando el numerador en dos su-mandos, uno el mayor múltiplo del denominadorposible y el otro la diferencia hasta el numerador.Se divide el primero de los sumandos por el deno-minador, con lo que se obtiene la parte entera delnúmero. La parte entera nos indica a partir de quéunidad hemos de hacer la representación, y la par-te fraccionaria se trata igual que en el primer caso,sólo que en la unidad señalada. En la figura 46 seve la representación gráfica del número racional

L O S N Ú M E R O S R A C I O N A L E S

Figura 45


025-034-MATES 5/6/02 16:24 Página 29

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a) Para sumar números racionales que tengan igualdenominador se suman los numeradores y semantiene el mismo denominador (figura 47).

b) Para sumar números racionales que tengan distin-to denominador se reducen a común denomina-dor y a continuación se procede como en el casoanterior.

La suma de números racionales es una operación in-terna y verifica las propiedades asociativa, conmuta-tiva, elemento neutro y elemento simétrico. Por con-siguiente, el conjunto Q de los números racionalescon la operación suma tiene estructura de grupo con-mutativo o abeliano.

RESTA DE FRACCIONES

La resta de números racionales es un caso particularde la suma, ya que restar dos números racionales noes más que sumar al primero de ellos el opuesto delotro. Para restar fracciones cabe considerar:

a) Para restar fracciones que tengan igual denomina-dor se restan los numeradores y se mantiene inalte-rado el denominador (figura 48).

b) Para restar fracciones que tengan distinto denomi-nador se reducen previamente a común deno-minador y a continuación se procede como en elcaso anterior.

PRODUCTO DE FRACCIONES

El resultado del producto de dos o más números ra-cionales es otro número racional que tiene por nu-merador el producto de todos los numeradores y como denominador el producto de todos losdenominadores (figura 49):

a c a · c–– · — = ——b d b · d

Si intervienen números racionales negativos, el signodel resultado vendrá dado por la regla de los signos.El producto de números racionales es una operacióninterna y cumple las propiedades asociativa, conmu-tativa, elemento neutro y elemento simétrico. Portanto, el conjunto Q de los números racionales ex-ceptuando el cero con la operación producto posee

–13/4, que al hallar su parte entera y su parte frac-cionaria nos queda:

12 + 1 12 1 1– –––––– = – ––– – –– = –3 – –––

4 4 4 4

donde –3 será la parte entera y –1/4 la parte fraccionaria. Por tanto, la representación gráfica se hará entre las unidades enteras –3 y –4.

SUMA DE FRACCIONES

El resultado de cualquier operación con números ra-cionales es independiente de los representantes elegi-dos. Para facilitar el cálculo se suele escoger el repre-sentante canónico.La suma de números racionales presenta dos casos,dependiendo de que los números que se sumen ten-gan igual o distinto denominador:

Figura 47

Figura 48

025-034-MATES 5/6/02 16:24 Página 30

Sea la expresión:

Se hallará en primer lugar el resultado de la expre-sión que actúa como numerador:

3 8 7 2 3 2 –5–– · (–– – ––) – — · (–– – –– (–––))2 5 3 3 4 5 3

Aplicando los criterios conocidos, efectuaremosen primer lugar el producto dentro del parénte-sis, teniendo en cuenta la regla de los signos, yaque esta operación tiene preferencia sobre sumasy restas, con lo que se obtiene:

3 8 7 2 3 10––– · (––– – –––) – ––– · (––– + –––)2 5 3 3 4 15

31

15 / 24

5 / 6

3 / 4

Figura 49

3 8 7 2 3 2 –5––– · (––– – –––) – ––– · (––– – ––– (–––))2 5 3 3 4 5 3–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––5 3 6 –2 3 4 2 5 1 3––– · (––– + ––– · (–––) – ––– · –––) – ––– · (––– – ––– · –––)4 4 5 7 12 5 3 3 4 5

Figura 50

L O S N Ú M E R O S R A C I O N A L E S

una estructura de grupo conmutativo o abe-liano. También se verifica la propiedad distributivadel producto respecto de la suma. Por consi-guiente, el conjunto Q de los números raciona-les tiene una estructura de cuerpo conmutativoo abeliano con las operaciones suma y produc-to (figura 50).

DIVISIÓN DE FRACCIONES

Para dividir dos números racionales basta conmultiplicar el primero por el inverso del segun-do. O sea, la división es un caso particular de lamultiplicación de números racionales. Es decir:

a c a d ad— : — = — — = –––b d b c bc

La división de números racionales es posiblesiempre que el divisor sea distinto de cero. Paradividir números enteros y fracciones se le ponecomo denominador la unidad al número ente-ro y se efectúa la división del modo indicado.

OPERACIONES COMBINADASCON NÚMEROS RACIONALES

Los criterios para resolver operaciones combinadasde números racionales son, en principio, las mismasque los que se emplearon en el caso de números en-teros, con la salvedad que en expresiones como laque se resolverá como ejemplo y práctica de este ti-po de cálculos, la línea de fracción que separa el nu-merador del denominador actúa como si de un pa-réntesis se tratara y, por tanto, será preciso resolverpor separado ambos.


025-034-MATES 5/6/02 16:24 Página 31

Si se tiene en cuenta que siempre es conveniente sim-plificar cuando sea posible, la expresión se transfor-mará en:

3 8 7 2 3 2––– · (––– – –––) – ––– · (––– + –––)2 5 3 3 4 3

Hallando el mínimo común denominador y efectuan-do las sumas y las restas en el interior de losparéntesis la expresión del numerador queda reduci-da a:

3 11 2 17––– · (– –––) – ––– · –––

2 15 3 12

donde efectuando en primer lugar los productos yaplicando la regla de los signos se obtendrá:

33 34– ––– – –––

30 36

Simplificando en lo posible se obtiene:

11 17– ––– – –––

10 18

que al hallar mínimo común denominador se trans-formará en:

–99 – 85–––––––––

90

cuyo resultado será:

–184––––––

90

que, simplificado, da:

–92–––––

45

que ya es irreducible.

A continuación se halla el resultado de la expresiónque actúa como denominador:

5 3 6 –2 3 4–– · (––– + ––– · (–––) – ––– · –––) –4 4 5 7 12 5

2 5 1 3– –– · (––– – ––– · –––)3 3 4 5

Realizando los productos del interior de los parénte-sis y aplicando la regla de los signos, queda:

5 3 12 12 2 5 3––– · (––– – ––– – –––) – ––– · (––– – –––)4 4 35 60 3 3 20

Simplificando en lo posible los valores racionales ob-tenidos se tendrá:

5 3 12 1 2 5 3––– · (––– – ––– – –––) – ––– · (––– – –––)4 4 35 5 3 3 20

A continuación se ha de hallar el resultado delas sumas y restas de números racionales que hay en elinterior de los dos paréntesis del mismo orden:

3 12 1• (––– – ––– – –––):4 35 5

Hallando el mínimo común denominador se trans-formará en:

105 – 48 – 28(–––––––––––––)140

cuyo resultado será:

29–––––140

5 3• (––– – –––):3 20

Al hallar el mínimo común denominador se obtendrá:

100 – 9(––––––––)60

32

025-034-MATES 5/6/02 16:24 Página 32

de resultado igual a:

91––––60

Sustituyendo los valores hallados por los paréntesisde donde procedían, el denominador de la expresiónproblema quedará reducido a:

5 29 2 91––– · –––– – ––– · –––4 140 3 60

Efectuando los productos se obtendrá:

145 182–––– – ––––560 180

que, simplificado, se transformará en:

29 91–––– – ––––112 90

Se procede a hallar el mínimo común denominadorpara efectuar la resta y se obtendrá:

1.305 – 5.096–––––––––––––

5.040

de resultado:

–3.791––––––––

5.040

fracción que ya es irreducible.

Al sustituir el numerador y el denominador por los re-sultados hallados, quedará:

–92–––––45

————––3.791–––––––5.040

expresión que aplicando las reglas de cálculo parafracciones se transformará en:

–92 · 5.040–––––—–––––––45 · (–3.791)

que una vez se hayan efectuado los productos, que-dará:

– 463.680––––—––––––

– 170.595

simplificando y aplicando la regla de los signos darácomo resultado final:

10.304–––––—––

3.791

Ejemplo. Como ejercicio de cálculo con números ra-cionales es habitual encontrarse problemas con unplanteamiento similar al que se expone a continua-ción:En el testamento abierto a la muerte de don Pedro (fi-gura 51) se especifica que al reparto del capital que deja, 222.264 $, a su hijo Fernando se le asignen 2/9 partes, 2/7 partes del resto será lo asignado a suhija Julia y 1/3 a su hija Lupe, repartiéndose a partesiguales el capital sobrante entre su viuda doñaFederica y obras sociales. ¿Qué dinero asignó a cadahijo y qué fracción del total dedicó a obras sociales?El dinero asignado a su hijo Fernando será:

2222.264 · ––– = 49.392 $

9

y el sobrante de la herencia serán:

2 71 – ––– = ––– partes

9 9

que corresponden a:

7222.264 · ––– = 172.872 $

9

33

A R I T M É T I C AL O S N Ú M E R O S R A C I O N A L E S

025-034-MATES 5/6/02 16:24 Página 33

34

De este capital, corresponde a Julia:

2172.872 · ––– = 49.392 $

7

y a Lupe:

1172.872 · ––– = 57.624 $

3El capital sobrante será:

2 1 81 – ––– – ––– = ––– de 172.872

7 3 21

o sea:

8172.872 · ––– = 65.856 $

21

de los cuales 1/2 corresponde a doña Federica:

165.856 · ––– = 32.928 $

2

y una cantidad similar a ésta se destinará a obras so-ciales, que en fracción del total representa:

32.928––––––––222.264

que, simplificado, dará:

4––– partes27

Figura 51


18. ¿Cómo podemos averiguar si dosfracciones dadas son equivalentes?

19. ¿Cómo se puede saber si una fraccióndada es una fracción decimal?

20. ¿Qué criterio se ha de seguir paraordenar de menor a mayor una serie de

fracciones dadas?21. Realizar la siguiente operación:

17 41 7 11––– – ––– + ––– – –––35 45 30 18

22. Hallar el resultado, expresándolocomo un número decimal, de la siguiente

operación combinada:

3 2 3 2 3 5––– – ––– · ––– – ––– : ––– – –––5 3 7 5 4 923. Efectúa la operación siguiente:

3 5––– – –––4 6––––––––––

3––––2224. Si realizamos la tercera parte de un

viaje en tren y la mitad del resto enautobús. ¿Qué parte del viaje nos falta

por recorrer?25. Efectúa la siguiente operación

combinada:

5 13 – 2 · ––– – –––4 2

025-034-MATES 5/6/02 16:24 Página 34

LOS NÚMEROS REALESCuando estudiábamos el conjunto de los números racionales, Q , lo identificábamos

con el conjunto de los números decimales limitados o ilimitados periódicos. Se caracterizaban porque podían expresarse mediante una fracción. No obstante,

como veremos, hay otros números que tienen un número ilimitado de cifrasdecimales y que son periódicos (figura 52).

35

Figura 52Las calculadoras nospermiten realizar lasoperaciones en lasque intervienennúmeros decimalesno periódicos con la suficienteaproximación.

NÚMEROS IRRACIONALES

Ya los griegos descubrieron que existían números queno eran racionales, pues no se podían poner enforma de fracción, al intentar medir la diagonal de uncuadrado de lado 1.Al aplicar el teorema de Pitágoras sabían que su dia-gonal (figura 53) es:

d = 12+ 12 = 2

y este valor no podía ponerse en forma de fracción ylo demostraron por reducción al absurdo, con elsiguiente razonamiento:

• En primer lugar, 2 no podía ser un númeroentero porque los dos primeros cuadrados denúmeros enteros eran 12 = 1 y 22 = 4; por tanto, no había ningún número entero cuya raíz cuadrada diera 2.

• En segundo lugar, se podía suponer que:

p2 = –––q

donde p/q es irreducible y q ≠ 1, ya que p/q no eraun número entero. Elevando al cuadrado los doslados de la igualdad:

035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 35

imposible ya que p y q eran primos entre sí y no te-nían ningún divisor común. Esto indicaba que elsupuesto de partida era falso y que 2 no era unnúmero racional.Del mismo modo se pueden idear números que noson finitos y que no están compuestos por ningúnperíodo como 1,1020030004..., número que se haformado añadiendo después de cada cifra diferentede cero un cero más que en el paso anterior, con loque nunca se podrá formar un período.A este conjunto de números que tienen infinitos deci-males, pero con los que no se forma nunca un perío-do se les llama números irracionales ().

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DE LOS NÚMEROS IRRACIONALES

Si sobre la recta real se representan losnúmeros enteros y los números racionales,todavía quedaría una enorme multitud dehuecos que vendrían rellenados por losque se han denominado números irracio-nales (figura 54).Algunos de ellos son fáciles de representarcomo 5 , que es la hipotenusa de un trián-gulo rectángulo con un cateto de valor 2 y elotro de valor 1:

22+ 12 = 5

tomando sobre la recta real 2 unidades y tra-zando una vertical sobre la unidad 2 devalor 1, obtenemos ese triángulo rectángulo,se dibuja su hipotenusa y a continuación se

Figura 53

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5

1,0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2,0

1,10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,20

1,150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,160

1,1520 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,1530

1,15270 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1,1528

Figura 55

36

p22 = –––

q2

lo cual quería decir que era posible simplificar la frac-ción inicial p/q, ya que:

p · p––––––

q · q

da como resultado 2 (el numerador es el doble deldenominador y, por tanto, simplificable), lo cual es

Figura 54

Figura 56

035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 36

traza un arco con el compás de centro 0 y radio iguala la de la hipotenusa obtenida, y el lugar en el quecaiga sobre la recta real será el punto representativode 5 (figura 55).En el caso de un número irracional cualquiera, laúnica forma de representarlo consiste en acotar inter-valos cada vez más pequeños en la recta real,mediante sucesivas ampliaciones de ésta en la zonadonde se encuentra el punto que representa esenúmero.En la figura 56 se puede observar el proceso seguidopara representar el número 1,15273... El intervalo mar-cado es el lugar de la recta real donde se encuentra elnúmero pedido, sin poder llegar a precisar nunca susituación exacta.Está claro que con esta forma de representar los núme-ros mediante la recta real, cualquier número real, searacional o irracional, tiene un punto sobre la recta quelo representa y cualquier punto de la recta real es larepresentación gráfica de un número real.

EL NÚMERO REAL

Se llama conjunto de los números reales () al con-junto formado por todos los números racionales (Q )más todos los irracionales () (figura 57).El conjunto de los números reales tiene estructura decuerpo abeliano y ordenado; esta relación de ordenentre sus elementos la denotaremos x y o y x, y laleeremos, respectivamente, x es menor o igual que yo y es mayor o igual que x, y posee dos operacionesinternas, la suma y el producto.El cuerpo de los números reales cumple una serie deaxiomas que a continuación se enumeran:

37

A R I T M É T I C AL O S N Ú M E R O S R E A L E S

• , con las operaciones internas suma y producto,tiene estructura de cuerpo conmutativo por cum-plir las siguientes propiedades:

Para la suma y ∀ x,y,z se cumplen:

a) Asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z.b) Conmutativa: x + y = y + x.c) Elemento neutro: Existe un elemento de , que

es el 0, que actúa como elemento neutro para lasuma: 0 + x = x.

d) Elemento opuesto: Para cada x de existe siem-pre su elemento opuesto para la suma, –x, de talmanera que la suma de un elemento más suopuesto da lugar al elemento neutro: x + (–x) = 0.

Para el producto y ∀ x,y,z se cumplen:

a) Asociativa: x · (y · z) = (x · y) · z.b) Conmutativa: x · y = y · xc) Elemento neutro: Existe un elemento de , que

es el 1, que actúa como elemento neutro para elproducto: 1 · x = x

d) Elemento inverso: Para cada x de distinto de 0,existe siempre su elemento inverso para el produc-to x–1 o 1/x, de tal manera que el producto de unelemento por su inverso da lugar al elemento neu-tro: x · x–1 = 1

e) Distributiva del producto respecto de la suma:x · (y + z) = x · y + x · z.

• es un cuerpo totalmente ordenado, por cumplirlas siguientes propiedades ∀ x,y,z :

a) Dados cualesquiera x e y de , se ha de cumplir quex y, o bien que y x. Además, x = y sólo cuandose cumplen simultáneamente esas dos condiciones.

b) Si x y, y z, se cumple que x z.c) Si x y, se cumple que x + z y + z.d) Si x 0, y 0, se cumple que x · y 0.

• El orden en es arquimediano, porque se cumpleque, dados dos elementos x,y positivos de , exis-te algún n que cumple que y < n · x.

• Q es denso en , ya que ∀ x,y de tal maneraque x < y existe algún q Q entre ellos, es decir x < q < y. Por el mismo motivo, entre x y q existiráalgún q1, y así sucesivamente, por lo que se puedededucir que entre dos elementos cualesquiera de Z siempre existen infinitos racionales.

Figura 57

035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 37

38

males significativos que debe-remos utilizar en los suman-dos; de manera que, si necesi-táramos 5 cifras decimales seobtendría que el resultado dela suma 2 + 3 estaríaentre 3,146263 y 3,146265;por tanto, si para nuestros cálculos necesitábamos saber5 decimales exactos, podría-mos asegurar que:

2 + 3 = 3,14626...

teniendo la certeza de que lascifras significativas que ofrece-mos son exactas. Para aumentar

el número de cifras significativas exactas debemos partirde más decimales significativos en los sumandos queintervienen.

PRODUCTO DE NÚMEROS REALES

Al igual que ocurría en el caso de la suma, al operarcon números irracionales no podemos esperar resul-tados exactos; todo lo más, podemos fijar las cifrasdecimales significativas exactas que necesitamosobtener. Se ha de resaltar que en el producto denúmeros reales se pierde exactitud mucho más rápi-damente que con la suma, por lo que si se necesitanen el resultado varios decimales exactos, se ha de par-tir de un multiplicando y un multiplicador con mu-chos decimales significativos conocidos. En nuestroejemplo inferior vamos a efectuar el producto de losnúmeros reales:

2 = 1,414213... y 3 = 1,732050...

El resultado de 2 3 se encuentra entre2,44948762... y 2,449490772..., por lo que pode-mos decir que:

2 3 = 2,4494...

y que los cuatro decimales dados son cifras significa-tivas. Al igual que en el caso de la suma, si se necesi-taran más decimales con cifras significativas, tendríamos que partir de un multiplicando y un mul-tiplicador con más decimales.

Figura 58

• Cuando un subconjunto A de no vacío estáacotado superiormente, se cumple que el conjunto de sus mayorantes posee elemento mínimo, cotainferior de y que pertenece a .

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES.

APROXIMACIONES

En principio, el trabajar con números con infinitosdecimales y que en algunos casos no presentan ningu-na regularidad (período) de forma aparente, complicaenormemente el cálculo. De hecho, hemos de renun-ciar a la exactitud y decidir el grado de error con elque queremos trabajar (o, lo que es lo mismo, quénúmero de decimales exactos nos interesa conocerpara poder realizar el cálculo de forma adecuada).

SUMA DE NÚMEROS REALESTomemos como ejemplo la suma de los númerosreales:

2 = 1,414213... y 3 = 1,732050...

del número de decimales significativos que vayamos anecesitar en el resultado dependerá el número de deci-

035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 38

(48,36 < l < 48,38)

Designando por m lamedida exacta de la mag-nitud deseada, cualquiermedida se puede expresarcomo m ± ea donde earecibe el nombre de errorabsoluto o también cotade error absoluto.El mismo razonamiento sepuede aplicar a cualquiernúmero real irracional alcortarlo por un determina-do decimal; por ejem-plo, podemos afirmar que 2 está compren-dido entre 1,4142 y 1,4143 y, por tanto, que:

2 = 1,41425 ± 0,00005

En el caso de medidas de magnitudes físicas, el errorabsoluto también nos indica la precisión del instru-mento usado para obtenerlas (figura 59). Si al medirlongitudes el instrumento utilizado estaba calibradohasta los milímetros, la medida dada como resultadonunca debe exceder esa precisión.Se llama margen de error o margen de incertidum-bre de una determinada medida al intervalo entrelos extremos del cual está la cantidad utilizada. Nor-malmente el valor central de este intervalo se tomacomo valor de la medida, m. Por consiguiente, tam-bién se puede definir el error absoluto como la dife-rencia entre el valor m y cualquiera de los extremosdel margen de incertidumbre (figura 60).

ERRORES: ERROR ABSOLUTOY ERROR RELATIVO. MARGEN DE ERROR

Al medir magnitudes físicas, los valores obtenidos sehan de utilizar como números reales. Así, al decir quela longitud de una varilla es de 48,37 unidades delongitud (u.l.), parece que estamos afirmando queesa medida es una cantidad exacta, cuando lo únicoque podemos expresar es que la longitud de esa vari-lla se acerca bastante a la cantidad dada.Esa incertidumbre en la expresión de medidas demagnitudes es debida a la existencia de los errores.La existencia de errores proviene en general de dosfuentes: la precisión finita de los instrumentos demedida utilizados y los posibles fallos humanos en laobtención de esas medidas (figura 58).En el caso de números reales la incertidumbre pro-viene del uso de números con infinitos decimales yno periódicos que obligan a utilizar un número dedecimales manejable.Así, en el ejemplo indicado, lo correcto sería expre-sar esa cantidad como:

48,37 ± 0,01 u.l.

es decir la longitud exacta, l, de la varilla estaría com-prendida entre 48,36 y 48,38 u.l.:

L O S N Ú M E R O S R E A L E S

Figura 60

39

Figura 59


035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 39

40

Figura 64

Figura 61

Figura 62

Figura 63

En la práctica, el valor medido m se suele obtenercomo media aritmética de una serie de medidas inde-pendientes sobre la misma magnitud, una vez dese-chadas las medidas más alejadas del valor central, yel error absoluto se obtiene como la diferencia entreese valor hallado m y la medida más alejada de lasconsideradas como válidas, redondeada a la precisióndel instrumento utilizado para obtenerlas.Se llama error relativo (er) o también cota de errorrelativo al cociente entre el error absoluto y la canti-dad medida:

eaer = –––m

Es usual expresar el error relativo en forma de porcen-taje multiplicando el valor obtenido anteriormente por100:

ea% er = ––– · 100m

Al comparar varias medidas, será más precisa aquellaque tenga un error relativo más bajo.

INTERVALOS Y ENTORNOS

En el estudio de los números reales y las opera-ciones que con ellos se pueden realizar son deespecial utilidad los subconjuntos de quedenominaremos intervalos y entornos.Consideremos dos números reales a, b siendo a < b. El conjunto x a < x < b recibe el nom-bre de intervalo abierto de extremos a, b (figu-ra 61) y se denota por (a, b). Análogamente, el conjunto x a x b sedenomina intervalo cerrado de extremos a , b yse denota por [a, b]. De modo similar, se empleala notación (a, b] y [a, b) para indicar intervalossemiabiertos o semicerrados (figura 62).

Figura 65

035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 40

Llamaremos entorno de un determinado valor x reala cualquier intervalo abierto que contenga ese ele-mento x.Se denomina entorno simétrico de un número realx cualquier intervalo abierto cuyo valor central sea xy se denota como N(x;r) y se lee como entorno simé-trico de centro x y distancia o radio r, que consta delconjunto x x – r < x < x + r (figura 63).Se habla también de entornos del infinito, que ven-drían definidos como el conjunto de valores realesmayores (o menores, si es un entorno de –∞) queuno dado. Lo denotaríamos como N(a;∞), y lo lee-ríamos como entorno del infinito de a, que constadel conjunto x x > a (figura 64) o bien N(b;–∞),que sería el subconjunto de formado por x x < b (figura 65).

RADICALES

La radicación es la operación inversa de la potencia-ción y consiste en hallar la base conocidos la potenciay el exponente; el signo es el indicativo de radi-cal (figura 66).Si partimos de la ecuación xn = a, donde x y a sonnúmeros reales y n es un número natural, para cono-cer los posibles valores de x se ha de introducir elconcepto de radical x = na , que leeremos «x es laraíz de índice n de a, o raíz enésima de a». Hallar la raíz enésima de a es equivalente a elevar a al inver-

41


Figura 66

so de n : na = a1/n. De acuerdo con las propiedadesconocidas de la potenciación, (xn)1/n = a1/n, con loque x = a1/n = na .Se ha de tener en cuenta que si n es un número par,a no puede ser negativo, de lo contrario la soluciónobtenida no es un número real, ya que no existe nin-gún número real que elevado a una potencia par déun número negativo.

• Raíz cuadrada. En el caso particular de que laecuación planteada sea x2 = a, la solución seráx = ±a , de modo que es doble, una positiva yotra negativa (al igual ocurre con cualquier índicepar). Al término a se le llama radical cuadráticoo «raíz cuadrada de a» y, como se puede apreciar, nose acostumbra a poner el índice 2 que se sobren-tiende.

• Raíz cúbica. Si la ecuación planteada es x3 = a, lasolución sería x = 3a , que en este caso es única. Sia es positiva, 3a es un número real positivo, y si aes negativa, 3a es un número real negativo. Entodo caso 3a recibe el nombre de «raíz cúbica de a».

Del mismo modo se puede resolver la ecuación xn = a, con lo que se obtienen los radicales de a deíndice superior a 3.Una raíz es exacta cuando al elevarla a la potenciaque indica el índice coincide con la cantidad subra-dical. Así, 3 es la raíz cúbica exacta de 27, ya que33 = 27. En caso contrario, se dice que la raíz es ine-xacta. Así, 2 es inexacta en el conjunto de losnúmeros racionales, ya que no existe ningún númeroracional que elevado al cuadrado dé 2.

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

La raíces que no pueden expresarse exactamentemediante números enteros o fraccionarios represen-tan números irracionales y se denominan radicales.Así, 2 y 5 son radicales.El grado de un radical coincide con el índice de suraíz. Así 3 es un radical de segundo grado y 37 esun radical de tercer grado. Se dice que dos radicalesson semejantes cuando tienen el mismo grado y lamisma cantidad subradical. Así, 5 y 35 sonradicales semejantes. El número situado delante deun radical y que lo multiplica recibe el nombre

035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 41

de coeficiente. En el ejemplo anterior, 3 es el coefi-ciente de 3 5 .Se dice que un radical está simplificado al máximo,cuando al efectuar la descomposición en factoresprimos de la cantidad subradical, todos los facto-res primos aparecen elevados a exponentes menoresque el índice del radical. Así, 70 está simplifica-do al máximo, porque al efectuar la descomposi-ción en factores primos de 70, obtenemos que70 = 2 · 5 · 7 y, como puede observarse, todos losfactores primos aparecen elevados a exponentesmenores que 2.La radicación y el uso de radicales verifican lassiguientes propiedades:

a) Si a los dos miembros de una igualdad se les extraela misma raíz, se obtiene otra igualdad.

b) La raíz enésima de un producto de varios facto-res es igual al producto de las raíces enésimas decada uno de los factores.

c) La raíz enésima de una fracción es igual a la raízenésima del numerador dividida por la raíz enési-ma del denominador.

d) La raíz enésima de una potencia se obtiene divi-diendo el exponente de la potencia por el índicede la raíz. Así pues, un número elevado a un expo-nente fraccionario es equivalente a una raíz cuyoíndice es el denominador del exponente y cuyacantidad subradical es también la base de la poten-cia elevada al exponente que indica el numeradordel exponente.

e) La raíz enésima de una raíz se obtiene multipli-cando los índices de ambas raíces.

f) Si un número no tiene raíz exacta entera, tampocola tiene fraccionaria.

OPERACIONES CON RADICALES

Para sumar y restar radicales se simplifican al máxi-mo y a continuación si los radicales obtenidos sonsemejantes, se efectúan las operaciones indicadas.Para multiplicar radicales del mismo índice se mul-tiplican entre sí los coeficientes y las cantidadessubradicales y se mantiene el mismo índice. Si losradicales no poseen el mismo índice, se reducenpreviamente a común índice. Para dividir radicalesdel mismo índice se dividen entre sí los coeficientes

y las cantidades subradicales y se mantiene el mis-mo índice. Si los radicales no tienen el mismo índi-ce, se reducen previamente a común índice.Para introducir un factor dentro de un radical se hade elevar aquél a una potencia igual al índice delradical:

b · na =

nbn · a

Para extraer un factor fuera de un radical, aquélha de estar elevado a una potencia igual o supe-rior a la del índice de la raíz (figura 67). Partiendode esta figura, podemos calcular la longitud de laaltura de un triángulo equilatero de lado l, apli-cando el teorema de Pitágoras:

l l2h =

l2 - (––)2

=

l2 - –– =2 43 l2 3= –– = l–––4 2

en el que hemos extraído dos factores fuera delradical.

Se procederá de la siguiente forma: se divide lapotencia del factor por el índice de la raíz y seobtiene el cociente y el resto. Fuera de la raíz que-dará el factor elevado al cociente y dentro de laraíz quedará el factor elevado al resto, permane-ciendo invariados los otros factores del radicando.Sea:

nap · b y p > n

de tal manera que p : n da cociente c y resto r, enton-ces:

42

Figura 67

035-046-MATES 27/6/02 15:48 Página 42

nap · b = ac ·nar · b

Para elevar un radical a una potencia se eleva la can-tidad subradical a dicha potencia. Para calcular raí-ces de radicales se multiplican entre sí los índices delos radicales, y la cantidad subradical se pone bajoun signo radical cuyo índice es el producto de losíndices de los radicales.La racionalización es un proceso que se debe efectuar(si es posible) cuando aparecen radicales en el deno-minador de una fracción y que consiste en eliminar-los del denominador, aunque aparezcan los mismosradicales u otros en el numerador. Cuando el divisorde un cociente es un número irracional (y muchosradicales lo son), esta operación resulta incómoda yda lugar a errores de precisión en el resultado.Los casos más frecuentes que se pueden presentarson:

• Denominador formado por una raíz cuadrada:

1–––––a

(o por el producto de un número por una raíz cua-drada:

1––––––––)b · a

Se multiplica numerador y denominador por esamisma raíz cuadrada:

1 a a––––– · ––––– = ––––––––––– =a a a · a

a a= ––––––– = –––––

(a )2 a

o bien:

1 a–––––––– · ––––– =

b · a a

a a a= ––––––––––––––– = –––––––––– = –––––––

b · a · a b · (a )2 b · a

43


• Denominador formado por un radical de índicecualquiera:

1–––––– y p < nnap

Se multiplica numerador y denominador por unradical del mismo índice y con el radicando elevadoa una potencia igual a la diferencia entre el índice dela raíz y la potencia original de éste:

1nan – p nan – p

––––– · –––––––– = ––––––––– =nap nan – p nan – p + p

nan – p nan – p= ––––––– = –––––––nan a

• Denominador formado por una suma o resta deraíces cuadradas:

1––––––––––––a + b

(o la suma o resta de un número y una raíz cua-drada:

1––––––––– )c + d

Se multiplica numerador y denominador por la restao suma de las raíces cuadradas, conjugado del deno-minador (para utilizar la propiedad de la suma pordiferencia):

1 a – b––––––––––– · ––––––––––– =a + b a – b

a – b a – b= –––––––––––––––– = –––––––––––

(a )2 – (b )2 a – b

Se va a racionalizar la expresión:

–3––––––––4 · 5

035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 43

como ejemplo de racionalización de fracciones del pri-mer tipo, cuando el denominador está formado poruna raíz cuadrada o por el producto de un númeroentero por una raíz cuadrada; para ello se habrá demultiplicar numerador y denominador por esa raízcuadrada, en el ejemplo 5 , con lo que se obtiene:

–3 5––––––––– · –––––4 · 5 5

Al efectuar la multiplicación quedará:

–3 · 5–––––––––––4 · (5 )2

como (5 )2 = 5, la fracción original se transforma-rá en:

–3 · 5––––––––––

4 · 5

igual a:

–3 · 5––––––––––

20

El racionalizar la fracción:

2–––––––––7 · 532

servirá como ejemplo ilustrativo de la técnica a seguircuando la fracción tiene como denominador una raízde índice cualquiera o el producto de un número poruna raíz de este tipo. Tal como se indicó, se multipli-can el numerador y el denominador por una raíz delmismo índice, en nuestro caso 5, y con el radicandoelevado a una potencia igual a la resta entre el índicede la raíz y el exponente original del radicando; en elejemplo este exponente será 5 – 2 = 3. Se multiplica-rá numerador y denominador por 533, con lo quequedará:

2 533––––––––– · ––––––7 · 532 533

Al efectuar el producto se tendrá:

2 · 533––––––––—–––––––7 · 532 · 533

al tener las potencias de los radicandos la mismabase, los exponentes se suman:

2 · 533–––––––––––––

7 · 532 + 3

de resultado:

2 · 533–––––––––––––

7 · 535

y teniendo en cuenta que 535 = 3, se tendrá:

2 · 533–––––––––––––

7 · 3igual a:

2 · 533–––––––––––––

21

que será el resultado de la fracción problema yaracionalizada.Para racionalizar la fracción:

2–––––––––––––3 – 7

como ejemplo de fracciones cuyo denominador estáformado por una suma o una resta de raíces cuadra-das, aunque la técnica también sirve cuando eldenominador está formado por la suma o resta de unnúmero más, o menos, una raíz cuadrada, se ha demultiplicar numerador y denominador por el conju-gado del denominador. Como el denominador es3 – 7 , su conjugado será 3 + 7 , por loque la operación a realizar quedará:

2 3 + 7–––––––––––– · ––––––––––––3 – 7 3 + 7

44

035-046-MATES 5/6/02 16:30 Página 44

al efectuar la multiplicación se tendrá:

2 · (3 + 7 )––––––––––––––––––––––––––(3 – 7 ) · (3 + 7 )

Como en el denominador de la expresión nos apare-ce una suma por una diferencia, el resultado será unadiferencia de cuadrados:

2 · (3 + 7 )–––––––––––––––––––

(3 )2 – (7 )2

Como (3 )2 = 3 y (7 )2 = 7, efectuando el pro-ducto indicado en el numerador, aplicando la propiedad distributiva del producto de números rea-les y sustituyendo, se tendrá:

2 · 3 + 2 · 7––––––––––––––––––––––––

3 – 7

de resultado:

6 + 14–––––––––––––

–4

y quitando el signo negativo del denominador pasándolo delante de la fracción el resultado se expresará:

6 + 14– –––––––––––––

4

POTENCIAS DE BASEY EXPONENTE RACIONALES

Es habitual, y en algunos casos clarifica y facilita elcálculo, el uso de potencias de exponente fracciona-rio, en lugar de radicales.Para el cálculo con este tipo de potencias se emplearán las mismas propiedades y normas que en el caso del cálculo con potencias de exponenteentero.Habitualmente utilizaremos:

a p a p/nn(–––) = (–––)b b

que podríamos poner como:

ap/n–––––bp/n

y si deseamos transformarlo en un producto, lodenotaríamos como ap/n · b–p/n.Mediante esta transformación de radicales en exponen-tes fraccionarios se simplifican notablemente operacio-nes que en su forma original serán engorrosas de realizar.Como complemento se efectuará la siguiente ope-ración:

23 34 244

––– · 7––– · 5

–––35 53 72

————–––––––––––––––––37 74

3––– · 6–––52 32

que en su forma radical es bastante compleja.Para llevarla a cabo se procederá a transformar lasraíces de índices cualesquiera en potencias que serán iguales al inverso del índice de la raíz en cada caso. El ejercicio se transformará en:

23 34 24(–––)1/4

· (–––)1/7· (–––)1/5

35 53 72––––––––––––––––––––––––

37 74(–––)1/3· (–––)1/6

52 32

expresión potencial del ejercicio original en el que yase pueden utilizar las reglas del cálculo con poten-cias. Como el exponente de una potencia elevada aotro exponente es igual al producto de los exponen-tes se obtendrá:

23/4 34/7 24/5–––– · –––– · ––––35/4 53/7 72/5

––––––––––––––––––37/3 74/6

–––– · ––––52/3 32/6

que, simplificando en lo posible, se quedará como:

45


035-046-MATES 27/6/02 15:53 Página 45

23/4 34/7 24/5–––– · –––– · ––––35/4 53/7 72/5

––––––—––––––––––––37/3 72/3–––– · ––––52/3 31/3

Mediante producto cruzado, se transformará en:

23/4 · 34/7 · 24/5 · 52/3 · 31/3––––––––—–––––––––––––

35/4 · 53/7 · 72/5 · 37/3 · 72/3

Transformando el cociente en un producto, utilizan-do exponentes negativos, nos quedará:

23/4 · 34/7 · 24/5 · 52/3 · 31/3 · 3–5/4 ·

· 5–3/7 · 7–2/5 · 3–7/3 · 7–2/3

que, agrupándolo por bases iguales:

(23/4 · 24/5) · (34/7 · 31/3 · 3–5/4 · 3–7/3) ·

· (52/3 · 5–3/7) · (7–2/5 · 7–2/3)

Como el resultado del producto de potencias de la misma base es otra potencia de base la mismay exponente la suma de los exponentes, se obtendrá:

3 4 4 1 5 7 2 3 2 2

2— + —

· 3— + — – — – —

· 5— – —

· 7– — – —

4 5 7 3 4 3 3 7 5 3

Efectuando las sumas y restas en los exponentes, seobtiene:

15 + 16 48 + 28 – 105 –196 14 – 9 –6 – 10

2––––––––

· 3––––––––––––––––

· 5–––––––

· 7–––––––

20 84 21 15

de resultado:

31 –225 5 –16

2––––

· 3––––

· 5––––

· 7––––

20 84 21 15

Pasando al denominador comopotencias de exponente positivo lasque en el numerador lo tienen negativo,quedará:

231/20 · 55/21–––––––––––—–3225/84 · 716/15

que sería el resultado pedido expresado en forma depotencias de exponente fraccionario que, si se deseapasar a su forma radical, quedará:

20231 · 2155–––––––—––––––

843225 · 15716

Como hay algún exponente superior al índice de laraíz, es posible sacar algún factor fuera de los radicales,con lo que el resultado se expresará como:

2 · 20211 · 2155––—–––––—––––––7 · 843225 · 1571

Para calcular el valor aproximado de estos radicalesse necesita una calculadora científica (figura 68).


46

26. ¿Por qué al hacer una división entre dos números decimales periódicos no podemosobtener como resultado un número irracional?27. ¿Qué medida será más exacta, la que da eldiámetro de una moneda de cinco euros con

un error de 1 mm o la que da la longitud de un automóvil con un error de 10 cm?28. ¿Por qué es frecuente racionalizar los resultados del cálculo con raíces?

29. Extraer fuera de la expresión 397200 todos los factores posibles.

30. Racionalizar la expresión:

32–––––––5 724

31. Simplifica la resta de radicales siguiente: 45 – 20

32. Reduce a un único radical y simplifica lo más posible el producto siguiente:

54 · 1233. Convierte la expresión siguiente en otra equivalente que no tenga denominadores:

7–––––––––2 – 3

Figura 68

035-046-MATES 27/6/02 16:01 Página 46

SISTEMAS DE MEDIDAS DE MAGNITUDES

Dado el gran inconveniente que suponía para el comercio la existencia dediferentes sistemas de medidas de magnitudes, incluso entre zonas geográficas

muy próximas y pertenecientes a las mismas culturas, y debido a la corrienteracionalizadora que comenzó a producirse a finales del siglo XVIII, la Academia de

Ciencias de París designó en 1792 a los profesores Delambre y Méchain para quediseñaran un sistema de medidas universal que pudiera ser aceptado

por todos los países del mundo (figura 69).

EL SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Para ello se decidió elegir como unidad fundamen-tal la unidad de longitud, de modo que estuvierarelacionada con las dimensiones del globo terrá-queo y que sus múltiplos y submúltiplos fueranpotencias de diez. Para determinar la unidad delongitud se midió el arco del meridiano terrestrecomprendido entre Dunkerque y Barcelona. A ladiezmillonésima parte del cuadrante de dicho meri-

diano se le dio el nombre de metro (del griegométron, que significa medida). En 1889 se celebróen París una Conferencia Internacional de Pesos yMedidas, en la que se acordó que el metro legalinternacional fuera la longitud a 0 °C de temperatu-ra de la distancia entre dos marcas de una regla deplatino iridiado que se conserva en la Oficina de Pesos y Medidas de Sèvres.El sistema métrico decimal ha sido aceptado casi entodo el mundo y establece cinco tipos de unidades de

47

Figura 69Medir una cantidadconsiste en compararlacon otra que se toma como unidad.

047-050-MATES 5/6/02 16:35 Página 47

medida: de longitud, de superficie, de volumen, decapacidad y de masa.Por razones históricas, algunas magnitudes, como la medida de ángulos o el tiempo, no siguen el sistema decimal, sino un sistema de base sexage-simal.

UNIDADES DE LONGITUDEl metro es la unidad fundamental de longitud y serepresenta por el símbolo m. Los múltiplos del metrose forman anteponiendo a la palabra metro los prefi-jos griegos deca, hecto y kilo, entre otros, que signifi-can respectivamente, diez, cien y mil, y se representancon los símbolos dam, hm y km, respectivamente. Los submúltiplos del metro se forman anteponiendoa la palabra metro los prefijos latinos deci, centi y mili,entre otros, que significan, respectivamente, décimacentésima y milésima parte, y se representan con lossímbolos dm, cm y mm, respectivamente. Las unida-des de longitud aumentan y disminuyen de diez endiez, tal como puede observarse en la tabla inferior demúltiplos y submúltiplos.

UNIDADES DE SUPERFICIELa unidad fundamental de superficie es el metrocuadrado, que se representa con el símbolo m2 y quese define como la superficie de un cuadrado cuyolado mide 1 metro de longitud (figura 70). Las uni-

48

Figura 71Figura 70

dades de superficie aumentan o disminuyen de cienen cien, tal como puede observarse en la tabla infe-rior de múltiplos y submúltiplos. Para medir tierras,los agrimensores utilizan medidas de superficie quereciben nombres especiales. La unidad de las medidasagrarias es el área, que equivale a 1 dam2 y se simboli-za a. Un múltiplo es la hectárea, que se representa hay equivale a 1 hm2, y un submúltiplo es la centiárea,que se simboliza ca y equivale a 1 m2.

UNIDADES DE VOLUMENLa unidad fundamental de volumen es el metro cúbi-co, que se representa con el símbolo m3 y se definecomo el volumen de un cubo de un metro de arista(figura 71). Las unidades de volumen aumentan y dis-minuyen de mil en mil tal como puede observarse en latabla inferior de múltiplos y submúltiplos.

047-050-MATES 5/6/02 16:35 Página 48

Los submúltiplos del kilogramo son:

UNIDADES ANGULARESPara medir ángulos se usa frecuentemente el sistemasexagesimal. En este sistema se supone que a todacircunferencia le corresponden 360°, donde el peque-ño cero situado en la parte superior derecha es el sím-bolo que representa al grado, la unidad empleadapara medir ángulos. Si la circunferencia se divide encuatro partes iguales, se obtienen cuatro ángulos rec-tos, cada uno de los cuales mide 90°. A su vez, cadagrado está dividido en 60 partes iguales llamadas minu-tos, es decir, 1° = 60’, donde la coma situada en laparte superior derecha simboliza los minutos. Por su parte, cada minuto se divide en 60 partes iguales,

que reciben el nombre de segundos, o sea, 1’ = 60’’, donde las dos comas situadas

en la parte superior derecha simbo-lizan los segundos.

UNIDADES DE TIEMPO

La unidad fundamental em-pleada para medir el tiempoes el segundo, que se defi-ne como 1/86400 del díasolar medio, o sea, del tiem-po invertido por la Tierra en

dar una vuelta completa alre-dedor de su eje y se represen-

ta mediante el símbolo s. Unminuto (mn) equivale a 60 se-

gundos y 60 minutos equivalen auna hora (h) (figura 72). Cada día

tiene 24 horas y la semana equivale asiete días. Un año es el tiempo empleadopor la Tierra en completar su mo-vimiento de traslación alrededor del Sol(figura 73).

49

A R I T M É T I C AS I S T E M A S D E M E D I D A S D E M A G N I T U D E S

UNIDADES DE CAPACIDADLa unidad fundamental de capacidad es el litro, quese representa por el símbolo l y se define como lacapacidad de un recipiente cuyo volumen equivale a1 dm3. Las unidades de capacidad aumentan y dis-minuyen de diez en diez.Las tablas de múltiplos y submúltiplos de la unidadde capacidad, el litro, son en todo semejantes a las dela unidad de longitud, el metro.

UNIDADES DE MASALa unidad fundamental de masa es el kilogramo, quese simboliza con la expresión kg y se define como lamasa que tiene 1 dm3 de agua pura destilada a la tem-peratura de 4 °C. Las unidades de masa aumentan ydisminuyen de diez en diez. Para cargas pesadas seemplean los siguientes múltiplos del kilogramo:

Figura 73

Figura 72

047-050-MATES 5/6/02 16:36 Página 49

Los años cuentan con 365 días, aproximadamente,ya que cada cuatro años se tieneun año bisiesto de 366 díaspara compensar el error quese va acumulando al suponer365 días exactos. Un año tiene 12 meses, que generalmentecuentan con 30 o 31 días, excep-to febrero que tiene 28 días o 29 siel año es bisiesto.

OTROS SISTEMAS DE MEDIDAS

De los sistemas de medidas distintos del sistema mé-trico decimal (figuras 74 y 75) el más utilizado en la prác-tica es el sistema anglosajón. Por ello resulta conve-niente conocer sus unidades y la equivalencia con lascorrespondientes del sistema métrico decimal. Las másempleadas se exponen en la tabla superior.

50

Para líquidos1 galón U.S. = 3,7854 litros1 cuarto U.S. = 0,94636 litros1 pinta U.S. = 0,47312 litros1 gill U.S. = 0,11828 litros

1 tonelada U.S. = 907,18 kg1 quintal U.S. = 45,359 kg1 libra U.S. = 0,45359 kg1 onza U.S. = 0,028349 kg1 grano = 0,0000648 kg

1 milla = 1.609,35 m1 furlong = 201,1644 m1 pole = 5,029 m1 yarda = 0,9144 m1 pie = 0,3048 m1 pulgada = 0,0254 m

1 milla2 = 2.589,900 m2

1 acre = 4.046,8 m2

1 rod2 = 25,293 m2

1 yarda2 = 0,8361 m2

1 pie2 = 0,0929 m2

1 pulgada2 = 0,000645 m2

Para áridos1 bushel U.S. = 35,237 litros1 peck U.S. = 8,80925 litros1 cuarto U.S. = 1,1012 litros

1 onza Troy = 0,031103 kg1 libra Troy = 0,37324 kg1 dracma = 0,00177 kg1 stone = 6,348 kg

Figura 75

1 cord = 3,624 m3

1 yarda3 = 0,7645 m3

1 pie3 = 0,028317 m3

1 pulgada3 = 0,00001639 m3


Pintas de cerveza.

Balanza inglesa.

Medidas de capacidad Medidas de longitud Medidas de superficie

Medidas de masa

Medidas de volumen Figura 74

34. ¿A cuántos km2

corresponden 1.987.000 m2?35. ¿Cuántos dm3 tenemos en 0,376 hm3?

36. Expresar en grados sexagesimales (°) el ángulo

formado por 12 circunferencias,7 ángulos rectos y 37°.37. Pasar a segundos

3 días, 14 horas, 53 minutos y 35 segundos.

38. Expresar en millas y en yardas 4.830 m.39. Compara las cantidades siguientes:

a) 0,376 km. b) 328.798 mm.40. Expresa en centímetros la suma: 32 km + 25 hm + 789 m + 745 dm

41. Lucrecia ha heredado la tercera partede una finca de 72 ha. ¿Cuántos metros

cuadrados le corresponden?42. El jugador de la NBA, Pau Gasols,

mide más de siete pies. ¿A cuántos metros equivale

dicha cantidad?

047-050-MATES 5/6/02 16:36 Página 50

51

Figura 1Varios fenómenosnaturales, como porejemplo el desarrollo delos girasoles, se ajustanmuy bien a un modelomatemático: la sucesión de Fibonaci (1, 1, 2, 3, 5, 8,13...). A partir del tercertérmino, todos se obtienen sumando los dos anteriores.

SUCESIONESLlamaremos sucesión a un conjunto ilimitado de números dados ordenadamente

de modo que se pueden numerar: primero, segundo, tercero, ..., y tales que existeuna manera determinada de calcularlos. Una definición rigurosa es:

Sucesión de números reales es toda aplicación f : * → representada porsus imágenes: a1, a2, ..., con an = f(n), denominándose término general al an.

TÉRMINO GENERAL

Para tener una sucesión completamente definidanecesitamos una fórmula o método para poder cal-cular cualquier término. Usaremos el término ge-neral para obtener la descripción total de la sucesión.Escribiremos las sucesiones como (an).Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir delos anteriores se denominan recurrentes (figura 1). En las sucesiones cuyos términos se obtengan siguien-

do algún criterio o fórmula general, calcularemos lostérminos generales observando el comportamiento desus primeros términos e intentando encontrar la rela-ción entre ellos. Existen dos casos concretos de suce-siones en los que será fácil calcular los términos gene-rales: las progresiones aritméticas y las geométricas.Una vez calculado el término general, la obtención decualquier término de la sucesión se reduce a resolverlos cálculos indicados en él.

051-060-MATES 5/6/02 16:39 Página 51

OPERACIONES CON SUCESIONES

Dentro del conjunto de las sucesiones de númerosreales podemos definir las siguientes operaciones:

• Suma. Dadas dos sucesiones, (an) y (bn), definimossu suma como la sucesión que se obtiene sumandotérmino a término las sucesiones iniciales:

(an) + (bn) = (a1, a2, ..., an, ...) + (b1, b2, ..., bn, ...) =

= (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn, ...) = (an + bn).

La suma de sucesiones verifica las propiedades: asocia-tiva; existencia de elemento neutro, (0, 0, 0, ..., 0, ...);existencia del simétrico de cada sucesión (an),(–a1, –a2, ..., –an, ...), y conmutativa.

• Producto. Dadas dos sucesiones, (an) y (bn), defini-mos su producto como la sucesión que se obtienemultiplicando término a término las sucesiones ini-ciales:

(an) · (bn) = (a1, a2, ..., an, ...) · (b1, b2, ..., bn, ...) =

= (a1 · b1, a2 · b2, ..., an · bn, ...) = (an · bn)

El producto de sucesiones verifica las propiedades:asociativa; existencia de elemento neutro, (1, 1, 1, ...,1, ...); distributiva del producto respecto de la suma,y conmutativa.

• Cociente. Dadas dos sucesiones, (an) y (bn), contodos los bn ≠ 0, definimos su cociente como lasucesión que se obtiene calculando el cociente, tér-mino a término, de las sucesiones iniciales:

(an) (a1, a2, …, an, …)–––– = –––––––––––––––– =(bn) (b1, b2, ..., bn, ...)

a1 a2 an an= (–––, –––, ...,–––, ...) = (–––)b1 b2 bn bn

• Potencia. Dadas dos sucesiones, (an) y (bn), defini-mos la potencia cuando tenga sentido, como:

(an)(bn) = (a1

b1, a2b2, ... an

bn, ...) = (anbn)

PROGRESIONES ARITMÉTICAS

Se dice que una sucesión de números reales (an) esuna progresión aritmética cuando la diferencia entreun término cualquiera de la sucesión y el anterior esconstante. Así, la sucesión 2, 5, 8, 11... es una pro-gresión aritmética porque 5 – 2 = 8 – 5 == 11 – 8 = 3.Como puede observarse, la diferencia entre los tér-minos es siempre constante e igual a 3. En toda pro-gresión aritmética se verifica que para todo n *,an + 1 – an = d, siendo d constante. El número d sellama diferencia de la progresión aritmética. Cada tér-mino de una progresión aritmética es igual al primertérmino de la progresión más tantas veces la diferen-cia como términos le preceden. Así pues, como al tér-mino general, an, le preceden n – 1 términos, se tiene:

an = a1 + (n – 1)d

fórmula, que permite calcular el término general deuna progresión aritmética. Si (an) es una progresiónaritmética y p, q, m, n son números naturales tales que:

p + q = m + n

se cumple que:

ap + aq = am + an

o sea, que la suma de términos equidistantes de unaprogresión aritmética permanece constante (figura 2).Si llamamos Sn a la suma de los n primeros términosde una progresión aritmética (an), tendremos que:

(a1 + an)Sn = –––––––– · n2

Se denominan medios aritméticos aquellos númerosque intercalados entre dos números dados hacen quetodos los números constituyan una progresión arit-mética en la cual los dos números dados ocupan elprimer y el último lugar, respectivamente. Así, dadoslos números 2 y 14, 6 y 10 serían medios aritméticos,ya que se podría formar la progresión aritmética(an) = 2, 6, 10, 14... Interpolar medios aritméticos

52

051-060-MATES 5/6/02 16:39 Página 52

Figura 3Leyenda hindú del rey que quiso recompensar a unsabio con el trigo que cupiera en un tablero de ajedrez, de modo que hubiera 1 grano

en la primera casilla, 2 en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta y así

sucesivamente. Pronto se dieroncuenta de que no había

suficiente trigo. Esta situación no se hubiera dado, si hubieran aplicadouna progresiónaritmética.

entre dos números dados consiste en formar una progresión aritmética cuyos extremos sean dichosnúmeros. Dados a y b, la diferencia de esta progre-sión aritmética es:

b – ad = ––––––

n – 1

y una vez calculado d, es fácil obtener los términosde la progresión sumando d sucesivamente.

PROGRESIONES GEOMÉTRICAS

Se dice que una sucesión (an) es una progresión geo-métrica cuando el cociente entre cada término y elanterior es constante. Así, la sucesión 1, 3, 9, 27... esuna progresión geométrica, puesto que:

3 : 1 = 9 : 3 = 27 : 9 = 3

53

A N Á L I S I SS U C E S I O N E S

y así sucesivamente. Por consiguiente, se dice que unasucesión (an) es una progresión geométrica cuandopara cualquier número natural positivo n, el cociente:

an + 1 : an = r

siendo r constante. La constante r se denomina razónde la progresión geométrica (figura 3). Si (an) es unaprogresión geométrica de razón r, el término generalan vendrá dado por la expresión:

an = a1 · rn – 1

para todo n ≠ 0. Así pues, si (an) es una sucesión cuyotérmino general es:

an = arn

entonces (an) es una progresión geométrica de razón r.Consideremos una progresión geométrica (an). Si llama-mos Pn al producto de los n primeros términos de lamisma tendremos que:

Pn = ±(a1 · an)n

Figura 23

7

11

15

19

23

27

31 3

7

11

15

19

23

27

31

a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8a1

a2

a3

a4

a5

a6

a7

a8

051-060-MATES 5/6/02 16:39 Página 53

Figura 5

Figura 4

Si n + 1 es par, existen dos soluciones:

br = ±

n + 1

–––a

Consideremos una progresión geométrica de razón r,siendo |r| < 1.La suma de todos los términos de esta progresióngeométrica es:

a1S = –––––1 – r

En efecto, si en la expresión:

rn– 1Sn = a1 · –––––

r – 1

tenemos que |r| < 1, al elevar la razón a una poten-cia que sea un número natural, cuanto mayor sea elexponente n, menor será el valor de rn. Cuando ntoma un valor suficientemente elevado, rn tiende acero y, por consiguiente:

–1 1 a1Sn = a1 · ––––– = a1 · ––––– = –––––r – 1 1 – r 1 – r

como queríamos demostrar.

54

donde el signo de Pn depende del tipo de progresión.Si en la misma progresión denominamos Sn a la sumade los primeros n términos, se cumple que:

an · r – a1Sn = –––––––––r – 1

La fórmula anterior puede transformarse así:

anr – a1 a1 · rn – 1 · r – a1Sn = ––––––––– = –––––––––––––––r – 1 r – 1

ya que:

an = a1 · rn – 1

por consiguiente:

a1rn – a1 rn – 1Sn = ––––––––– = a1 · ––––––

r – 1 r – 1

Si consideramos n términos de una progresión geo-métrica a1, a2, ..., an – 1, an, se verifica que el produc-to de dos términos equidistantes de los extremos esigual al producto de los extremos, es decir:

ai · an – i + 1 = a1 · an

Interpolar n medios geométricos entre dos númerosdados, a y b, consiste en formar una progresión geo-métrica en la que los dos números dados sean el pri-mer término y el último.Dados a y b, la razón de esta progresión es:

br =

n + 1

–––a

051-060-MATES 5/6/02 16:40 Página 54

Como que en toda progresión geométrica:

an = a1 · rn – 1

siendo r la razón de la progresión, se cumplirá que:

an = (a1 : r) · rn

Llamando a al cociente a1 : r, queda demostradoque una sucesión es una progresión geométrica si, ysólo si, el término general de la misma es del tipo:

an = a · rn

Consideremos dos términos cualesquiera de una pro-gresión geométrica, ak y am. Evidentemente:

ak = a1 · rk – 1, am = a1 · rm – 1

Dividiendo miembro a miembro las dos igualdadesprecedentes tendremos que:

ak a1 · rk – 1

––– = –––––––– = rk – m

am a1 · rm – 1

Así pues, en una progresión geométrica se verifica que:

ak = am · rk – m

para cualesquiera k y m.

MATEMÁTICA COMERCIAL

Una de las aplicaciones más comunes de las matemá-ticas es, sin duda, la comercial. En una sociedad deconsumo, se necesita hacer cálculos para conocer elprecio resultante (figura 4) de un impuesto, para pre-ver la cantidad de un préstamo, para saber qué inte-reses nos dará una cantidad de dinero en cierto tiem-po, etc. En todas las naciones se utilizan herramientas de cálculo similares para resolver las cuestiones de tipo comercial que se presentan; sin embargo, no todas ellas coinciden, ni son de uso cotidiano. Sin pretender profundizar en estas cuestiones, comenta-remos los métodos de uso más frecuente, proporcio-

55


nando las fórmulas comunes en su presentación más habitual.Para poder introducir algunos de estos métodos decálculo bastan las nociones, ya expuestas en otroscapítulos, de razones y cocientes entre números rea-les, pero para otros resultaba imprescindible definirprimero las sucesiones y, en concreto, conocer el casoparticular de éstas que suponen las progresiones. De hecho, el comportamiento de las progresionesaritméticas y el cálculo de la suma de algunos de sustérminos nos han de permitir el desarrollo de partede las fórmulas que veremos en este apartado; paracomprender bien las restantes, se requieren los cono-cimientos de las progresiones geométricas.

PORCENTAJEPara calcular un porcentaje de una cantidad dada esnecesario pensar en una proporción. Ejemplo. Para calcular el 15 % de 200 dólares, debe-mos escribir la proporción existente entre 15 y 100 (%), para calcular el valor que nos determinarála misma proporción respecto a 200, es decir:

15 x–––– = ––––100 200

Resolviendo obtenemos:

15x = 200 · –––– = 200 · 0,15 = 30

100

Hemos escrito el porcentaje a calcular en forma decimaly hemos multiplicado por 0,15. Si lo que queremos escalcular el valor final, después de aplicar este aumentoporcentual podemos hacerlo de la siguiente manera: Unavez calculado el porcentaje, debemos sumarlo a la canti-dad inicial, en nuestro ejemplo 200 + 30 = 230. Si aumentamos un 15 %, el valor final será el 115 % delque teníamos; por tanto, podemos multiplicar directa-mente por 1,15 para obtener el mismo resultado final:

200 · 1,15 = 230

El número por el que hemos multiplicado la cantidadinicial recibe el nombre de índice de variación.Para conocer una disminución porcentual, o des-cuento (figura 5), debemos calcular el porcentaje a

051-060-MATES 5/6/02 16:40 Página 55

descontar y restarlo de la cantidad inicial; en el caso de un 15 % de 200 dólares, tenemos: 200 – 30 == 170. De hecho, hemos quitado un 15 % al precioinicial, por lo que nos queda un 85 % del total. El índice de variación será ahora un 0,85. Veá-moslo:

200 · 0,85 = 170

Calculando previamente los índices de variación,podemos realizar estos cálculos fácilmente. Si se tratade encadenar aumentos y disminuciones porcentua-les, basta con calcular los correspondientes índices y multiplicarlos entre ellos, antes de realizar la ope-ración.Se nos puede plantear la necesidad de calcular la can-tidad inicial conociendo la cantidad final y la variación porcentual. Si pensamos cómo calculamosla cantidad final, es rápido observar que, conocien-do el índice de variación, será suficiente con divi-dir la cantidad final por él para obtener la cantidad inicial.

REGLA DE TRESLa llamada regla de tres sirve para resolver los pro-blemas que dependen de una o más proporciones. Laregla de tres puede ser simple o compuesta. Es sim-ple si el problema depende de una proporción, ycompuesta cuando el problema depende de dos omás proporciones.En las reglas de tres intervienen una cantidad conoci-da de la cuestión (supuesto), la cantidad desco-nocida de la cuestión (pregunta) y doscantidades principales conocidas,una relativa al supuesto y otra ala pregunta.Las reglas de tres simplesse dividen en directas einversas. Las directasvan de más a más o demenos a menos, y lasinversas, de más a menoso de menos a más. Pararesolverlas hay que formaruna proporción.Ejemplo. Supongamoslos siguientes casos:

Figura 6

56

1) Si 20 juguetes han costado 120 dólares, ¿cuál seráel valor de 9 juguetes?

Planteando la proporción nos queda:

20 120––– = ––––9 x

de donde x = 54 dólares. A menos juguetes, menosdinero; se trata de una proporción directa (figura 6).

2) Si 20 hombres necesitan 40 días para hacer un tra-bajo, ¿cuántos días necesitarán 8 hombres?

Planteando la proporción nos queda:

8 40––– = –––20 x

de donde x = 100 días. A menos hombres más días;por tanto, hemos aplicado la proporción inversa.Para resolver la regla de tres compuesta se descompo-ne en tantas simples como pares de cantidades prin-cipales haya en el problema.

INTERÉS SIMPLELa regla de interés nos permite calcular el aumentoque sufre una cantidad de dinero pasado un tiempo.El porcentaje o rédito es la cantidad que producen100 unidades anualmente.El interés se llama simple cuando se retiran los inte-reses al acabar el tiempo concertado. Para calcular el

051-060-MATES 5/6/02 16:40 Página 56

capital final C, necesitamos conocer el capital inicialc, el rédito r y el tiempo t; nos queda:

C = c + ic · r · t

i = ––––––100

INTERÉS COMPUESTODiremos que un capital c está a interés compuesto aun rédito r en t años cuando los intereses anuales seacumulan al capital inicial para formar nuevos inte-reses. Si calculamos el capital al final del primer añoy tomamos este resultado como capital inicial delsegundo, aplicando repetidas veces la fórmula del interés simple obtendremos el resultado.Para facilitar los cálculos tenemos la fórmula del interéscompuesto:

100 + rC = c(–––––––)

t

100

ANUALIDADES DE CAPITALIZACIÓNLlamamos anualidad de capitalización a la cantidadque se ha de ingresar al principio de cada año paraque, a interés compuesto, se forme un capital C.Para simplificar la fórmula, consideraremos el rédito r entanto por uno, es decir, dividido por cien. Nos queda:

C · ra = ––––––––––––––––

(1 + r) [(1 + r)t–1]

Fácilmente obtenemos el capital final:

a(1 + r)[(1 + r)t–1]C = –––––––––––––––––

r

ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓNLlamamos anualidad de amortización a la cantidadque se ha de ingresar al final de cada año, a interéscompuesto, para que salde una deuda con su inte-rés compuesto.Consideraremos el rédito r en tanto por uno paraobtener la siguiente expresión:

D · r(1 + r)ta = –––––––––––

(1 + r)t–1

Donde la deuda es:

a[(1 + r)t–1]D = –––––––––––

r(1 + r)t

LETRAS DE CAMBIO Y PAGARÉSAlgunos comerciantes permiten a sus clientes unpago aplazado, lo hacen mediante documentos mer-cantiles llamados efectos de comercio.Una letra de cambio es un documento mercantil porel cual una persona manda a otra que pague, a suorden o a la de una tercera persona, una determinadacantidad de dinero en el lugar y tiempo que se indi-can en el documento. La persona que manda pagar sellama librador. La persona a la que se dirige la letra yque paga se llama librado, y la persona que cobra laletra se denomina tenedor o pagador. Las letras decambio pueden girarse al contado o a plazos:

a) A la vista. El librado debe pagar la letra el día quese la presenten.

b) A uno o más días. La letra vence el día en que secumple el plazo señalado a contar desde el díasiguiente al de la aceptación de la misma.

c) A uno o más días, a uno o más meses fecha. Laletra vence el día en que se cumplen los días omeses señalados, a contar desde el día siguiente alde la fecha de la letra.

d) A día fijo. La letra vence el día señalado.

Un pagaré es una promesa escrita de pagar una can-tidad de dinero a una persona determinada en eldocumento, o a su orden o al tenedor del documen-to, en una fecha determinada. La persona que con-trae la obligación de pagar recibe el nombre de otor-gante, mientras que la persona que tiene derecho acobrar el pagaré recibe el nombre de tenedor. Lospagarés pueden otorgarse a su presentación, a díafecha, a meses fecha y a fecha fija. Los pagarés delprimer tipo vencen a cualquier tiempo, los demás eldía señalado.La utilidad de las letras de cambio y de los pagarés enel mundo comercial es enorme. Como estos docu-mentos son negociables, con ellos se puede comprary pagar, o sea, circulan como si fueran dinero. Noobstante, el pago de una letra de cambio o de unpagaré no puede exigirse al deudor hasta la fecha delvencimiento. Ahora bien, si una persona posee unaletra de cambio o un pagaré y necesita hacerlo efecti-

57


051-060-MATES 27/6/02 16:03 Página 57

vo antes de su vencimiento, lo que hace es dirigirse aotra persona o a una entidad financiera para que lepague el documento. El banco se lo paga, pero comono puede exigir el pago al deudor hasta el día delvencimiento, no le paga la cantidad escrita en eldocumento, sino algo menos, puesto que le rebaja unporcentaje de interés, generalmente sobre el valornominal, dependiendo del tiempo que media entre eldía en que el banco le paga la letra de cambio o el pagaré y el día del vencimiento del documento en el cual el banco ya puede cobrárselo al deudor.Esta rebaja se llama descuento.Recibe el nombre de valor nominal de un documen-to la cantidad escrita en él o bien la cantidad escritamás el interés producido desde la fecha hasta el díadel vencimiento, si el documento gana interés. Sedenomina tipo de descuento el porcentaje de interésque cobra el banco por pagar la letra o el pagaré antesdel vencimiento. El tipo de descuento puede calcu-larse sobre el valor nominal, y en este caso recibe elnombre de descuento comercial, o bien sobre el valor actual del documento, y se llama descuentoracional.Como el descuento comercial es el interés pro-ducido por el valor nominal durante el tiem-po que falta hasta el vencimiento, tenemosun caso particular del interés simpleque produciría un capital N, al R porciento, durante los d días que pasenentre la negociación del documento ysu vencimiento:

N · R · dD = ––––––––

36.000

Por ejemplo, para una letra de valor nominal 14.600 unidades, cuyo vencimiento fuese el 2 de mayoy se negociase el 6 de junio (35 días), tendríamos:

14.600 · 5 · 35D = ––––––––––––– = 70

36.000

REGLAS DE COMPAÑÍAComo ya sabemos, repartir proporcionalmente unnúmero o una cantidad dada consiste en dividirdicho número o cantidad en partes proporcionales aotros varios números. Los repartos proporcionalespueden ser directos, inversos y compuestos.Para repartir un número dado en partes directamen-te proporcionales a varios números, se determinacada una de las partes multiplicando el número quese quiere repartir por cada uno de los números ydividiendo por la suma de todos ellos.

Para repartir un número dado en par-tes inversamente proporcionales a

varios números, se calcula cadauna de las partes repartiéndolo

Figura 8

58

Figura 7

051-060-MATES 5/6/02 16:40 Página 58

en partes directamente proporcionales a los inversosde dichos números.El reparto proporcional compuesto consiste en repar-tir un número o una cantidad dada en partes directa-mente proporcionales a los productos de variosnúmeros.Ejemplo. Un abuelo desea repartir 33 monedas entresus tres nietos en partes directamente proporcionalesa sus edades, 2, 4 y 5 años (figura 7), e inversamen-te proporcionales a las veces que han sido castigadosdurante las vacaciones, 3, 2 y 5, respectivamente.¿Cuánto corresponderá a cada nieto?Queremos repartir 33 monedas en partes directa-mente proporcionales a los productos:

1 1 12 · —, 4 · — y 5 · —

3 2 5

Es decir, queremos repartir 33 monedas en par-tes directamente proporcionales a 2/3, 2 y 1. Las partes serán:

33 2x = ––––––––––– · ––– = 6 monedas

2 31 + 2 + –––3

33y = ––––––––––– · 2 = 18 monedas

21 + 2 + –––3

33z = ––––––––––– · 1 = 9 monedas

21 + 2 + –––3

Corresponderán, pues, 6 monedas al menor, 18 monedas al mediano y 9 monedas al mayor de losnietos.Una compañía mercantil es una sociedad constituidapor varias personas que aportan sus bienes o su tra-bajo con intención de obtener una ganancia (figu-ra 8). El objetivo de una compañía es obtener bene-ficios y repartirlos entre los socios. Para ello, lossocios estipulan la proporción en que cada uno deellos participa en los beneficios o en las pérdidas de la compañía. Los socios que no aportan capital,sino su trabajo, normalmente quedan libres de laspérdidas de la compañía.

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Figura 9

Generalmente, la distribución de las pérdidas y de lasganancias de una compañía se hace en partes direc-tamente proporcionales al capital aportado y al tiem-po que ha permanecido cada socio en la compañía.Hay dos tipos de reglas de compañía: la regla decompañía simple, que es aquella en que los capita-les o los tiempos son iguales, y la regla de compañíacompuesta, que es aquella en que tanto los capitalescomo los tiempos son distintos. Cuando la regla decompañía es simple, podemos considerar dos casos,dependiendo de que sean iguales los capitales o lostiempos. Cuando los tiempos son iguales, las ganan-cias o las pérdidas se reparten en partes directa-mente proporcionales a los capitales. Cuando los capitales son iguales, las ganancias o las pérdidas sereparten en partes directamente proporcionales a lostiempos. En el caso de la regla de compañía com-puesta, las ganancias o las pérdidas se reparten enpartes directamente proporcionales a los productosde los capitales por los tiempos.

ALIGACIÓNLa regla de aligación se utiliza para resolver proble-mas de mezclas. La aligación puede ser de dos cla-ses: aligación directa y aligación inversa. En la ali-gación directa se trata de determinar el precio mediode una mezcla conocidas las cantidades de las sus-tancias que se mezclan y sus precios respectivos. Así,si consideramos una mezcla formada por unas can-tidades a, b, c de unas sustancias cuyos precios res-pectivos son x, y, z, el precio medio de la mezclavendrá dado por la expresión:

a · x + b · y + c · zp = –––––––––—–––––––

a + b + c

que es la fórmula fundamental de la aligación directa.Ejemplo. Se mezclan 3 litros de vino de 9 grados con5 litros de vino de 10 grados y 2 litros de vino de 15 grados (figura 9). ¿Qué graduación tiene lamezcla?

051-060-MATES 5/6/02 16:40 Página 59

Sustituyendo en la fórmula, tenemos:

3 · 9 + 5 · 10 + 2 · 15p = –––––––––––––––––—– = 10,7 grados

3 + 5 + 2

En la aligación inversa se trata de determinar lascantidades que deben mezclarse de cada sustancia,conocido el precio medio de la mezcla y los preciosde cada sustancia. En la aligación inversa puedenpresentarse dos casos:

a) Calcular las cantidades de los ingredientes, cono-cidos el precio medio de la mezcla, los precios delos ingredientes y la cantidad total de la mezcla.

b) Determinar las cantidades de los ingredientes,conocidos el precio medio, los precios de losingredientes y la cantidad de uno de los ingre-dientes.

Para resolver estos casos, debemos multiplicar la can-tidad total de la mezcla por el precio medio e igualareste resultado a la suma de losproductos correspondien-tes a multiplicar la canti-dad de cada ingredien-te (incógnitas rela-cionadas por lacantidad total) porel precio de cadauno, para despejarlos pesos buscados.

Una aleación es una mezcla obtenida fundiendometales (figura 10). El metal más valioso de los queforman la aleación se llama metal fino (figura 11).El metal con que se funde el metal fino para obtenerla aleación se llama liga.La ley de una aleación es la proporción en que entraa formar parte el metal fino en dicha aleación y lacual se suele expresar en milésimas.Cuando decimos que una pieza de oro tiene una leyde 900 milésimas queremos indicar que de cada1.000 partes en peso, 900 son de oro y 100 son deliga. Tenemos pues:

peso metal finoley = ––––––––––—––––

peso total

La ley de una aleación se expresa frecuentemente enquilates. Un quilate equivale a 1/24 del peso de laaleación. Así, si una pieza de oro es de 20 quilates,nos indica que 20/24 del peso de la moneda es oro y4/24 son liga. Conocida la ley de una aleación enquilates, basta con dividir el número de quilates por24 para convertirla en milésimas.


Figura 11

60

Figura 10

43. Calcular el término general de la sucesión 1, 4, 7, 10, 13, 16, ...

44. Calcular a2 y a6 en la progresión geométrica de término general an = 3 · 2n.

45. Calcula la suma de los 35 primeros números impares.

46. Si en un día 2 máquinas cortan 30 piezas, ¿cuántas máquinas serían necesarias para cortar

75 piezas en 1 día?47. Calcular el valor nominal de una letra

que vence dentro de 45 días y por la que unbanco nos hace un descuento

de 3,3 unidades al 6 %.48. En una compañía formada por

dos socios, el primero aporta 1.000 dólaresdurante 5 años y el segundo 2.000 dólares

durante 2 años. Si al final tienen un beneficio de 720 dólares, ¿cuánto le corresponde

a cada socio?

051-060-MATES 5/6/02 16:40 Página 60

61

Figura 12La notación y = f(x) la empleópor primera vez Euler en 1748para expresar una función.

FUNCIONESSe llama función a una aplicación entre dos conjuntos A y B que son conjuntos

numéricos. Por tanto, una función es una correspondencia entre dos conjuntos, unoA, llamado conjunto inicial, y otro B, llamado conjunto final, tal que, a cadaelemento del conjunto A le asocia un elemento y sólo uno, del conjunto B.

A una función (figura 12) se le asigna generalmente una letra, f, g, h, ... Así, pararepresentar una función se escribe:

f: A → B

Para expresar que en una función a un elemento a del conjunto A (a A) lecorresponde mediante la misma el elemento b del conjunto B (b B),

se escribe b = f(a). Se dice que b es la imagen del elemento a, o bien que aes la antiimagen del elemento b.

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.

DOMINIO Y RECORRIDO

Muchas veces solemos expresar un elemento genéri-co del conjunto inicial A con una letra, x (u otra). Adicha letra se le denomina variable independiente. A un elemento genérico del conjunto final B se lesuele expresar también mediante otra letra, y (u otra).

A dicha letra, cuyo valor depende en general del valorde la variable independiente y = f(x), se le llama varia-ble dependiente o variable función.Cuando el conjunto inicial A es un subconjunto delos números reales, , de la función se dice que esuna función de variable real. Si el conjunto B es unsubconjunto de , se dice que la función es una fun-ción real. Si tanto el conjunto inicial como el finalson subconjuntos del conjunto se dice que la fun-ción es una función real de variable real.

061-066-MATES 5/6/02 16:45 Página 61

Al conjunto formado por todos los elementos de Aque tienen imagen se le llama dominio de defini-ción o campo de definición o simplemente domi-nio de la función. Al conjunto formado por los ele-mentos de b que tienen antiimagen se le denominaconjunto imagen o recorrido de la función.Una función está constituida, pues, por una terna:dos conjuntos A y B y una regla que relaciona cadaelemento de A con cada elemento de B.Muy a menudo, para nombrar una función se da laregla que relaciona los elementos del conjunto A conlos del B. En este caso deberemos encontrar los ele-mentos que tienen imagen, para hallar el conjuntoinicial, que coincidirá con el dominio de la función.Si no se dice nada, supondremos que el conjuntofinal es . Por ejemplo, si tenemos la función y = f(x) = x2, como existe f(x) para cualquier valor dex, podemos afirmar que el dominio de dicha funciónes Dom (f) = . Como y = x2, la y siempre tomarávalores positivos o cero. Por tanto, el recorrido dedicha función serán los reales positivos, incluido elcero Im (f) = + 0.A la hora de hallar el dominio de una función hayque tener en cuenta que si la misma es polinómica, eldominio siempre será el conjunto de los númerosreales. Si se trata de una función racional, el dominioserá el conjunto de los números reales, excepto aque-llos valores para los cuales se anula el denominadorde la función, ya que en dicho caso no existe la ima-gen. Cuando hay una raíz de índice par, únicamentetendrán imagen aquellos valores que hagan que elradicando sea positivo o cero, si dicha raíz está en el numerador, y positivo estrictamente, si se encuen-tra en el denominador. En estos casos habremos deresolver una inecuación para hallar los valores quetienen imagen.

Dada una función real de variable real, hallar el reco-rrido de la misma quiere decir hallar todos los valo-res que tienen antiimagen. Esto es, planteada la ecuación f(x) = b, donde b puede ser un número realcualquiera, hay que hallar dichos valores para loscuales existe algún valor de x. Dichos valores de bformarán el recorrido de la función. Por ejemplo, siconsideramos la función:

1f(x) = ––––––

x + 1

resulta que dicha función tiene como dominioDom (f) = \ –1, pues en ella se anula el denomi-nador cuando x = –1. Para hallar el recorrido habre-mos de resolver la ecuación:

1f(x) = ––––– = b

x + 1

Si se despeja x en función de b, tendremos:

1 1 – bx = — – 1 = –––––

b b

El valor de x existe para cualquier valor de b, excep-to cuando b = 0, que anula el denominador. Así pues,el recorrido de dicha función será:

Im (f) = \ 0

62

–1

–1 –0,5 2

Figura 14

Figura 13

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Si f: A → B es una función real de variable real, dadapor y = f(x), podemos pensar en considerar el conjun-to de los pares de números, (x, y) tales que y = f(x).A dicho conjunto, que será un subconjunto del con-junto producto A B, se le llama grafo de la función,y a su representación gráfica en un sistema de coor-denadas se le denomina gráfica de la función f. Unafunción podremos darla, pues, por los conjuntos A,B y por el grafo:

G: f = (A, B, G)

Dada una función f: A → B tal que y = f(x), se diceque dicha función es inyectiva cuando dos elemen-tos distintos cualesquiera, del conjunto inicial, A, tienen imágenes distintas. Es decir, si x1, x2 A sontales que:

x1 ≠ x2 ⇒ y1 = f(x1) ≠ f(x2) = y2

Para comprobar si una función es inyectiva se puedeproceder al revés: suponer que las imágenes de dos elementos del conjunto A son iguales y demos-trar que en este caso los elementos considerados hande serlo también, es decir, si x1, x2 A son tales que:

y1 = f(x1) = f(x2) = y2 ⇒ x1 = x2

Dada una función f: A → B tal que y = f(x), se diceque dicha función es exhaustiva o suprayectivacuando cualquier elemento del conjunto B tiene almenos una antiimagen. Es decir:

∀ b B ⇒ ∃ a Atal que f(a) = b

Para ver si una función determinada es exhaustiva,se da a y el valor b, o sea y = b, y se despeja xen función de b. Si existe dicho valor de x para cualquier valor de b, entonces la función será supra-yectiva.Cuando una función es a la vez inyectiva y su-prayectiva, decimos de ella que es biyectiva (figu-ra 13).Ejemplo. Tenemos la función dada por:

x + 1f(x) = ———

x – 2

su dominio es Dom (f) = \ 2, ya que el denomi-nador de la misma se anula para x = 2 y, por tanto,/∃ f(2) (figura 14). Esta función, siempre que el conjunto inicial sea A = \ 2, es inyectiva, pues si tomamos dos valo-res cualesquiera, x1, x2 A:

x1 + 1 x2 + 1f(x1) = –––––– y f(x2) = ––––––

x1 – 2 x2 – 2

x1 + 1 x2 + 1Si f(x1) = f(x2), –––––– = ––––––

x1 – 2 x2 – 2

y multiplicando extremos y medios:

x1 · x2 – 2x1 + x2 – 2 = x1 · x2 – 2x2 + x1 – 2

con lo que:

3x2 = 3x1 y x2 = x1

de modo que podemos afirmar que la función esinyectiva.Para comprobar la exhaustividad, se hace f(x) = b, es decir:

x + 1——— = bx – 2

y despejando x:

x + 1 = bx – 2b ⇒ x(b – 1) = 2b + 1

y despejando x:

2b + 1x = ———–

b – 1

La función no es exhaustiva, ya que si b = 1, no exis-te ningún valor de x tal que f(x) = 1. Ahora bien, si lafunción fuera tal que:

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cualesquiera que sean x1, x2 de un intervalo, la fun-ción se dice que es estrictamente decreciente en elmismo (figura 16).Decimos que una función presenta un máximo localo relativo en un punto x = a, cuando existe un entor-no de a tal que, si x es un punto cualquiera del entorno, la imagen de x es menor que la de a:

f(x) f(a)

Si ocurre que en un entorno de a la imagen de cual-quier punto x del mismo es mayor que la imagen de a:

f(x) f(a)

se dice que en el punto x = a hay un mínimo local orelativo.Se llama función monótona en un intervalo (a, b) auna función que es creciente (o decreciente) en todoel intervalo. Una función monótona será, pues,monótona creciente o monótona decreciente.

FUNCIONES LINEALES

Un caso particular de las funciones reales de variablereal es la función de proporcionalidad, que vienedada por:

f: →

Figura 16

f: \ 2 → \ 1

dicha función sería bi-yectiva.Si tenemos una funciónreal de variable real, sedice que es creciente(figura 15) en un inter-valo del dominio cuan-do tomando cualquier parde puntos del mismo, x1, x2:

si x1 < x2 ⇒ f(x1) f(x2)

De la misma forma, se dice que una función f(x) esdecreciente en un intervalo del dominio si cuales-quiera que sean x1, x2 del mismo, si:

x1 < x2 ⇒ f(x1) f(x2)

Si ocurre que cualesquiera que sean x1, x2 de unintervalo del dominio de una función, si:

x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)

entonces se dice que dicha función es estrictamentecreciente en dicho intervalo, y si ocurre que si:

x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Figura 15

64

061-066-MATES 5/6/02 16:45 Página 64

definida por:

y = f(x) = mx

donde m es un número real. La representación gráfi-ca de esta función es una recta que pasa por el ori-gen de coordenadas. Al número m se le llamapendiente de la recta y nos da la inclinación de lamisma. Cuanto mayor es m (en valor absoluto), másvertical es la recta que representa. La pendiente es elaumento, positivo o negativo, de la y cuando el valorde la x aumenta en una unidad. Si la x aumenta endos unidades, la y aumentará en 2m unidades; si xaumenta en tres unidades, la y en 3m unidades; etc.Así, si tomamos un punto cualquiera de la gráfica dela función, se cumple que y/x = m. Por ejemplo, lafunción y = 3x tiene pendiente 3, pues cuando la xaumenta en 1 unidad la y aumenta en 3 unidades. Sila función es y = –3x, al aumentar la x en 1 uni-dad, la y aumenta en –3 unidades (disminuye 3 unidades) y, por tanto, la pendiente será –3.Si una función de proporcionalidad tiene pendientenegativa, dicha función será estrictamente decrecien-te en todo , y si la pendiente m es positiva, la fun-ción será estrictamente creciente en todo .En el caso particular de que m = 0, se tiene la funcióny = 0, que representa el eje de abscisas.En general, la función lineal es una función:

f: →

tal que:

y = f(x) = mx + n

donde m y n son números reales cualesquiera:

m, n

Si n = 0, la función lineal es la función de propor-cionalidad anterior. La representación gráfica dela función y = mx + n es una recta; m es la pendien-te de la misma y n se denomina ordenada en el ori-gen de la recta y representa el punto en que la rectacorta al eje de ordenadas. Así, si la función vienedada por y = 2x – 5, la pendiente es m = 2 y la orde-

nada en el origen n = –5, lo cual significa que la rectaque representa a la función pasa por el punto P(0, –5).Cuando la pendiente de la recta es cero, m = 0, lafunción lineal queda reducida a y = n, que es unarecta paralela al eje de abscisas. Las funciones repre-sentadas por una recta horizontal se caracterizan portener pendiente 0.Si tenemos dos puntos de una recta, P(x1, y1) y Q(x2, y2), la pendiente de la recta viene dada por:

y2 – y1m = ––—––––x2 – x1

Conociendo un punto de una recta y la pendiente dela misma, se puede calcular su ecuación. Así, si elpunto es P(x1, y1) y la pendiente m, la ecuación de larecta vendrá dada por:

y – y1 = m(x – x1)

La función lineal es inyectiva, ya que si tomamos dosvalores de x, como x1, x2 , si:

f(x1) = f(x2) ⇒ mx1 + n = mx2 + n ⇒ mx1 = mx2,

y si m ≠ 0, x1 = x2

Es decir, la función lineal es inyectiva, excepto cuan-do m = 0. Para ver la exhaustividad, si hacemos:

b – ny = b ⇒ mx + n = b ⇒ x = –––––

m

que existe siempre que m ≠ 0. Es decir, la funciónlineal es exhaustiva, excepto para m = 0. Podemosafirmar, por tanto, que la función lineal es biyectivasiempre que m ≠ 0. Dicha función es creciente estric-tamente si m > 0 y estrictamente decreciente si m < 0.Las ecuaciones de las rectas paralelas al eje de ordenadas serán de la forma x = k, pero dichas rectasno representan a ninguna función, ya que un elemento del conjunto inicial tiene más de unaimagen.

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El recorrido de la función será el intervalo (yv, +∞) sia > 0, y si a < 0, el recorrido será el intervalo (–∞, yv).La función cuadrática no es inyectiva, ya que habrásiempre dos valores de x con la misma imagen. Esdecir, ∃ x1, x2 tales que x1 ≠ x2 y f(x1) = f(x2). La fun-ción no es exhaustiva, ya que el dominio de la mismano coincide con .Como la función cuadrática depende de 3 parámetros,a, b, c, para calcular la ecuación de la misma se necesi-tará conocer tres puntos. Si imponemos que cada unode los puntos cumpla la ecuación de la parábola, se nosformará un sistema de tres ecuaciones con tres incógni-tas y al resolverlo hallaremos a, b y c.

66


49. ¿Cuáles son el dominio y el recorrido

xde la función?: f(x) = ––––––x – 2

50. Si una función f: A → B es exhaustiva, ¿cuál es su recorrido?

51. ¿Cuáles son el vértice y el eje de simetría de la parábola que corresponde

a la función y = x2 – 4x + 5?

52. Dadas las funciones f(x) = x + 1, g(x) = x – 1, ¿cuál será la función f + g

y la f · g?

53. Dada la función f (x) = x2 + 8x – 3. Calcula f (–3) y f (–5), ¿puede asegurarse

que es inyectiva?

2x – 154. Dada la función f (x) = –––––––, calcula x

los valores de x que se transforman en 2. A la vista del resultado, ¿qué se puede asegurar?

55. Calcula la pendiente de la recta que une los puntos P1 = (2, 1) y P2 = (8, 3)

56. Una compañía telefónica no cobra ninguna cantidad fija, sino que establece una cuota

de cinco centavos el minuto. Otra compañía sólo cobra tres centavos el minuto, pero

establece un fijo de un dólar. ¿Cuál es el coste con cada compañía?

57. Calcula, con los datos de la pregunta anterior, a partir de qué cantidad de minutos

hablados sale más rentable contratar los servicios de la segunda

compañía.

Y

X– b/2a0

V4ac – b2

4a

Figura 17

FUNCIONES CUADRÁTICAS

Una función cuadrática es una función:

f: →

definida por:

y = f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b, c son números reales cualesquiera, cona ≠ 0. El dominio de la función cuadrática es , perono así el recorrido. La representación gráfica (figu-ra 17) de la función cuadrática es una parábola cuyoeje de simetría es una recta vertical. El vértice de laparábola es el punto V, cuya abscisa es:

–bxv = ––––

2a

y la ordenada, yv, se obtiene sustituyendo xv en lafunción, y el eje de simetría será la recta de ecuación:

–bx = ––––

2a

El vértice de la parábola que representa a una funcióncuadrática será un máximo siempre que el coeficien-te a < 0. Si dicho coeficiente es a > 0, el vértice de laparábola tendrá un mínimo. Por tanto, si a > 0, la función será decreciente en el intervalo (–∞, xv) ycreciente en el intervalo (xv, +∞). Si a < 0, la funciónserá creciente en el intervalo (–∞, xv) y decrecienteen el (xv, +∞).

061-066-MATES 27/6/02 16:04 Página 66

Figura 1Los meses del año son una

colección perfectamentedefinida y, por tanto,

constituyen un conjunto.

CONJUNTOS

67

Toda colección de objetos perfectamente definida recibe el nombre de conjunto. Cada uno de los objetos que forman parte de un conjuntose denomina elemento del conjunto. Así, por ejemplo, son conjuntos los

meses del año, los miembros de una familia olos números naturales, ya que puedenconocerse todos los elementos que los

constituyen sin ningún tipo de duda. Sin embargo, si consideramos las

personas buenas de una ciudad, no siempre resulta fácil ponerse de acuerdo sobre lainclusión de una personadeterminada en dicha colección. Por consiguiente, esta colección noes un conjunto, ya que no estáperfectamente definida.

referimos al conjunto formado por los elementoslunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado ydomingo, y queremos definirlo por comprensión,podemos decir que el conjunto anterior está cons-tituido por los días de la semana.

Los conjuntos se suelen representar por medio de letras mayúsculas, mientras que los elementos de unconjunto se representan con letras minúsculas. Cuandose representa un conjunto por extensión, sus elemen-tos se representan con letras minúsculas o númerosseparados con comas y encerrados entre llaves. Así, porejemplo, el conjunto E de las estaciones del año será:

E = primavera, verano, otoño, invierno

GENERALIDADES

Para determinar un conjunto pueden emplearse dosprocedimientos:

• Por extensión. Un conjunto se define por extensióncuando se enumeran todos y cada uno de los ele-mentos que lo constituyen. Así, por ejemplo, el con-junto de los meses del año definido por extensiónconsta de los elementos siguientes: enero, febrero,marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre,octubre, noviembre y diciembre (figura 1).

• Por comprensión. Un conjunto se define por com-prensión cuando se enuncian todas las propiedadescomunes de sus elementos. Así, por ejemplo, si nos

067-072-MATES 5/6/02 16:48 Página 67

Ø se halla contenido en todos los conjuntos. Dado unconjunto A, los elementos x de A que cumplen unadeterminada propiedad P forman un conjunto quesuele designarse mediante la notación x x cumpleP. Así, si es el conjunto de los números naturalesy P es la propiedad «ser múltiplo de 5», los númerosque verifican dicha propiedad se representarán por x x es múltiplo de 5.Sea E un conjunto cualquiera. Se denomina conjun-to de las partes de E y se representa por (E) al con-junto formado por todos los subconjuntos de E. Así,por ejemplo, si E = 1, 2, 3, 4, el conjunto (E) esta-rá formado por los 16 subconjuntos siguientes:

E1 = Ø; E2 = 1; E3 = 2; E4 = 3; E5 = 4

E6 = 1, 2; E7 = 1, 3; E8 = 1, 4; E9 = 2, 3

E10 = 2, 4; E11 = 3, 4; E12 = 1, 2, 3

E13 = 1, 2, 4; E14 = 1, 3, 4; E15 = 2, 3, 4

E16 = 1, 2, 3, 4

UNIÓN E INTERSECCIÓNDE CONJUNTOS

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, se denominaunión de A y B y se representa por A B, el conjuntoformado por todos los elementos que pertenecen a A o aB (figura 3). O sea:

A B = x x A o x B

Así, por ejemplo, si:

A = a, e, i, o, u y B = a, b, c, d, e

se tiene que:

A B = a, b, c, d, e, i, o, u

La unión de conjuntos presenta las siguientes propie-dades:

a) Idempotente:

A A = A

b) Asociativa:

68

Figura 2

Los conjuntos pueden representarse gráficamenteempleando diagramas de Venn, que son líneas cur-vas cerradas en cuyo interior se sitúan los elementosdel conjunto.Cuando un conjunto A no posee ningún elemento sedice que se trata de un conjunto vacío y se represen-ta por A = Ø. Para indicar que un elemento a perte-nece a un conjunto A se escribe a A. En cambio,para indicar que un elemento b no pertenece al con-junto A se escribe b A. Así, en el conjunto P de losnúmeros pares tendremos las siguientes relaciones depertenencia: 4 P pero 7 P. Cuando un conjuntotiene un número limitado de elementos se dice quees finito. En caso contrario se dice que el conjunto esinfinito. Así, el conjunto de las consonantes es unconjunto finito, mientras que el conjunto de losnúmeros pares es un conjunto infinito.Dado un conjunto finito A, llamaremos cardinal de A alnúmero de elementos del conjunto. Lo podemos escri-bir: card(A).

SUBCONJUNTOS

Cuando todos los elementos de un conjunto A perte-necen también a otro conjunto B se dice que A es unsubconjunto de B (figura 2). Para indicar que A esun subconjunto de B se emplea la notación A B.Así, si consideramos el conjunto I de los númerosimpares y el conjunto de los números naturalestendremos que I . Por el contrario, para indicarque un conjunto no es subconjunto de otro seemplea la notación . Así, si consideramos el con-junto I de los números impares y el conjunto P de losnúmeros pares se tiene que I P. El conjunto vacío

067-072-MATES 5/6/02 16:48 Página 68

A (B C) = (A B) C

c) Unión con el conjunto vacío:

A Ø = A

d) Absorción:

Si A B entonces A B = B

e) Unión con el referencial:

A E = E

f) Conmutativa:

A B = B A

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera se denominaintersección de A y B y se representa por A B(figura 4), el conjunto formado por todos los ele-mentos que están simultáneamente en A y en B, o sea:

A B = x x A y x B

Así, por ejemplo, si:

A = a, e, i, o, u y B = a, b, c, d, e

se tiene que:

A B = a, e

La intersección de conjuntos presenta las siguientespropiedades:

a) Idempotente:

A A = A

b) Asociativa:

A (B C) = (A B) C

c) Intersección con el conjunto vacío:

A Ø = Ød) Absorción:

Á L G E B R AC O N J U N T O S

Figura 4

Figura 3

69

Si A B entonces A B = A

e) Intersección con el referencial:

A E = A

f) Conmutativa:

A B = B A

Además de estas propiedades, la unión y la intersecciónpresenta una serie de propiedades denominadas pro-piedades combinadas o de enlace, que son las siguientes:

a) Distributiva respecto de la intersección:

A (B C) = (A B) (A C)

b) Distributiva respecto de la unión:

A (B C) = (A B) (A C)

c) Simplificativa respecto de la intersección:

A (B A) = A

d) Simplificativa respecto de la unión:

A (B A) = A

067-072-MATES 5/6/02 16:48 Página 69

Figura 6

CONJUNTO COMPLEMENTARIO

Dados los conjuntos A y B, se llama complementariode A con respecto a B al conjunto formado por todoslos elementos de B que no pertenecen a A. Así, porejemplo, si consideramos el conjunto de los núme-ros naturales y los subconjuntos P, formado por losnúmeros pares, e I, formado por los números impa-res, inmediatamente se comprueba que P e I soncomplementarios en , ya que ningún número per-tenece simultáneamente a P e I.Designaremos al complementario de A por A. Sitomamos E como conjunto referencial tenemos (fi-guras 5 y 6):

A = x E x A

A A = Ø

A A = E

A = A

E = Ø

Ø = E

AB = A B

AB = A B

ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos cuan-do no tienen ningún elemento común, o sea, cuandola intersección de ambos es el conjunto vacío(figura 7). Si A es un conjunto cualquiera, se dice quese ha efectuado una partición en A cuando se hanclasificado todos los elementos de A en subconjuntosA1, A2, A3, ... no vacíos y disjuntos entre sí. Si E es unconjunto referencial y A, B, C (E), se dice que

(E) tiene estructura de retículo cuando A, B, Ccumplen respecto a la unión y la intersección laspropiedades idempotente, asociativa, conmutativay de absorción. Si además se verifica la propiedaddistributiva se dice que (E) tiene estructura deretículo distributivo. Por tanto, diremos que (E)es un retículo cuando se cumplen las siguientespropiedades:

a) A (B C) = (A B) (A C)b) A B = B Ac) A A = Ad) A (B C) = (A B) (A C)e) A B = B Af) A A = Ag) A (B A) = Ah) A (B A) = A

(E) es un retículo distributivo cuando además delas anteriores se verifican las siguientes propiedades:

i) A (B C) = (A B) (A C)j) A (B C) = (A B) (A C)

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, se denomi-na diferencia de A y B y se representa por A – B elconjunto formado por todos los elementos de A queno están en B, o sea:

A – B = x x A y x B

PRODUCTO CARTESIANO

Se denomina par ordenado a una pareja de númeroscolocados en un orden determinado. Así, (a, b)representa un par ordenado donde a es el primer ele-

Figura 5

70

067-072-MATES 5/6/02 16:48 Página 70

71

Á L G E B R AC O N J U N T O S

Figura 7

mento del par y b es el segundo. Si A y B son dos con-juntos cualesquiera, se denomina producto cartesia-no de A y B y se representa por A B el conjunto for-mado por todos los pares ordenados que puedenexistir con los elementos de dichos conjuntos, de talmodo que el primer elemento del par sea un elemen-to del conjunto A y el segundo elemento del par seaun elemento del conjunto B (figura 8). O sea:

A B = (a,b) a A y b B

En el caso de que A = B se tiene el producto cartesia-no de un conjunto por sí mismo. Así, por ejemplo, siA = B = 1,2,3, el producto cartesiano de A A será:

A A = (1,1), (1,2), (1,3), (2,1),

(2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)

Evidentemente el producto cartesiano no goza de lapropiedad conmutativa, ya que A B ≠ B A. El producto cartesiano verifica las siguientes propie-dades:

a) Si A' A y B' B, se cumple que A' B' A Bb) A (B C) = (A B) (A C)c) A (B C) = (A B) (A C)d) Si A B = Ø, o bien A = Ø, o bien B = Ø

El producto cartesiano suele representarse mediante unsistema de ejes cartesianos, colocando los elementos delprimer conjunto sobre el eje de abscisas y los del segun-do conjunto sobre el eje de ordenadas. Trazando rectasparalelas a ambos ejes se obtienen los pares en las inter-secciones de las mismas. No es difícil comprender quela definición de producto puede extenderse a más dedos conjuntos factores. Así, por ejemplo, si E, F, G sonconjuntos cualesquiera, E F G será un conjuntocuyos elementos serán de la forma (a,b,c) con a E, b F, c G, cumpliéndose la igualdad (a,b,c) = (a',b',c') si, ysólo si: a = a', b = b', c = c'. Evidentemente, con la defi-nición de producto cartesiano que acabamos de darnada impide que F = E, y entonces se escribe tambiénE2 en lugar de E E.

Figura 8

Análogamente, se indica por En el producto cartesia-no de n conjuntos idénticos a E; sus elementos sontodos los conjuntos de n elementos de E que se pue-den formar teniendo en cuenta el orden en que figu-ran tales elementos.Dados dos conjuntos A y B cualesquiera, se denomi-na correspondencia entre ambos conjuntos (figu-ra 9), a todo subconjunto del producto cartesiano A B. El conjunto A recibe el nombre de conjuntoinicial, mientras que el conjunto B se denomina con-junto final. Para indicar que f es una corresponden-cia entre A y B se escribe f: A → B. El conjunto de ele-mentos de A que intervienen en la correspondenciarecibe el nombre de conjunto original, mientras queel conjunto de elementos de B que interviene en lacorrespondencia se denomina conjunto imagen.Dada una correspondencia f: A → B, se denominacorrespondencia inversa de f y se representa por f–1

la que tiene todos sus pares ordenados en ordeninverso a los de la correspondencia f. La correspon-dencia inversa es única.Se dice que una correspondencia es unívoca cuandoa cada elemento del conjunto inicial le correspondeuno o ninguno del conjunto final. Una correspon-dencia f entre dos conjuntos A y B es biunívocacuando tanto f como su inversa son unívocas.Consideremos una correspondencia f: A → B. Se diceque f es una aplicación cuando se cumplen lassiguientes propiedades:

a) El conjunto original de f coincide con el conjuntoinicial.

b) Todo elemento del conjunto original tiene unaimagen, y sólo una. Sea f: A → B una aplicación.Se dice que la aplicacion anterior es inyectiva(figura 10) cuando se cumple que si:

067-072-MATES 5/6/02 16:48 Página 71

72

f(x) = f(y) ⇒ x = y

cualesquiera que sean x e y en A.

O sea, una aplicación es inyectiva cuando ningúnelemento de B posee más de un original.Sea f: A → B una aplicación. Se dice que la aplicaciónprecedente es exhaustiva (figura 11) cuando se cum-ple que para todo y Im(f) siempre existe un ele-mento x A tal que y = f(x).O sea, una aplicación es exhaustiva cuando cada ele-mento del conjunto imagen es la imagen de uno omás elementos del conjunto original.Se dice que una aplicación f: A → B es biyectiva (figu-ra 12) cuando es inyectiva y exhaustiva a la vez. O sea, una aplicación es biyectiva cuando cada ima-gen tiene un único original y cada original tiene unasola imagen. Si f: E → F y g: F → G son dos aplica-ciones, existe una única aplicación de E en G quehace corresponder a cada elemento x de E el elemen-to g[f(x)].

Figura 11

Figura 12


58. Dados los conjuntos A = 2, 4, 6,B = 1, 3, 5, C = 1, 2, 3, 4, calcular: a) A B; b) A C; c) C – B; d) A B

59. Establece una relación de inclusión entre elconjunto P de los números pares y el conjunto M de los múltiplos de seis.

60. El conjunto A = lunes, miércoles, viernesestá formado por los días de la semana en los

que trabaja Juana. El conjunto B = viernes, sábado, domingo por los días

en los que trabaja su novio Andrés. ¿Qué significado tiene el conjunto A B ypor qué días de la semana está formado?

61. ¿Es posible que el 80 % de las personas deedades comprendidas entre los 25 y los 35

años vea más de tres horas diarias la televisión y que el 60 % de dicha población

coma en casa menos de tres días a la semana?

62. Si lanzamos una moneda, podemos expresar el conjunto de los posibles

resultados de la siguiente manera: E = C, +. Escribe E2 ¿Qué representa este conjunto?

63. Dados los conjuntos A = 3, 4, 5, 6 y B = 2, 4, 6, calcula: (A B) – (A B).

64. Dados los conjuntos A = 3, 4, 5, 6 y B = 2, 4, 6, calcula: (A – B) (B – A)

Para ello se calcula en primer lugar la imagen de xpor f y, a continuación, la imagen de f(x) por g.La aplicación así definida se representa por g f y sedenomina la aplicación compuesta de f y g.La aplicación x → x de un conjunto E en sí mismo esuna aplicación biyectiva que recibe el nombre deaplicación identidad de E y se representa por IE. La restricción de la aplicación identidad a un con-junto A de E se denomina inclusión canónica de Aen E y es una aplicación inyectiva.

Figura 9Figura 10

067-072-MATES 5/6/02 16:48 Página 72

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

73

Figura 13Los matemáticos del Renacimiento dieron ungran impulso al álgebra y fueron los primeros queusaron profusamente en lasexpresiones matemáticasvariables que podían sustituirsepor diferentes números.

Llamamos expresión algebraica a aquella en la que intervienen números, letras,operaciones y el signo de igualdad (figura 13). Tenemos tres tipos distintos deexpresiones algebraicas: fórmulas, que nos permitirán obtener un valor concreto apartir de unos datos conocidos; ecuaciones, en las que obtendremos todos losnúmeros que cumplan el enunciado inicial que las determina; identidades, que son

aquellas que se verifican paracualquier valor de las variables, oletras, en ellas indicadas. En estasexpresiones algebraicas aparece elsigno de igualdad, que nos permiterealizar una serie de operaciones y obtener resultados (figura 14). En este tema veremos tambiénexpresiones algebraicas sin signode igualdad, que forman un ente propio: son los llamados polinomios.

POLINOMIOS

Llamamos polinomio a una expresión algebraica dela forma:

anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a2x2 + a1x + a0

donde cada término está formado por el producto deuna letra ai, llamada coeficiente, y una x, llamada

indeterminada o variable, elevada a una potencianatural. Los términos del polinomio reciben el nom-bre de monomios. La máxima potencia a la que está elevada la indeterminada la llamaremos grado delpolinomio.Un polinomio recibe el nombre de monomio si tieneun solo término, binomio si tiene dos términos, tri-nomio si tiene tres, y, en general, polinomio, si cons-ta de cuatro o más términos. El monomio de grado cerorecibe el nombre de término independiente.

073-078-MATES 5/6/02 16:51 Página 73

Figura 14

x3 + x2 + 2x – 5

+ 3x2 + 0x + 1

x3 + 4x2 + 2x – 4

Para restar haremos lo mismo, cambiando el signo delpolinomio sustraendo.Dados dos monomios axn y bxm definimos su pro-ducto de la siguiente forma:

(axn) · (bxm) = (a · b)xn + m

Para multiplicar dos polinomios es necesario recu-rrir a la propiedad distributiva del producto respec-to de la suma, para multiplicar cada monomio del primer polinomio por todos los del segundo,sumando finalmente los términos obtenidos. Porejemplo, el volumen de la caja de la figura 15, obte-nida a partir de un cartón cuadrado de lado 6, secalcula efectuando la multiplicación de polinomiossiguiente:

x (6 – 2x) · (6 – 2x)

El grado del polinomio producto no es más que lasuma de los grados de los polinomios multipli-cados.Las propiedades se deducen de las del producto denúmeros reales: asociativa, conmutativa, elementoneutro y distributiva del producto respecto de lasuma.Por ejemplo:

P(x) · Q(x) = (x3 + 2x2 – x) · (x4 + x2 – 2) =

= x3 (x4 + x2 – 2) + 2x2 (x4 + x2 – 2) – x (x4 + x2 – 2) =

= x7 + x5 – 2x3 + 2x6 + 2x4 – 4x2 – x5 – x3 + 2x =

= x7 + 2x6 + 2x4 – 3x3 – 4x2 + 2x

También podemos calcularlo de la siguiente manera:

74

Para trabajar usaremos la forma reducida de los poli-nomios, agrupando los monomios con la indetermi-nada del mismo grado, llamados semejantes, en unosolo. Escribiremos los términos en orden decrecientey usaremos una letra mayúscula para designarlos.El polinomio P(x) = x3 + 4x2 + 5x – 6 diremos que esde grado 3 y completo; el polinomio Q(x) = x2 + 2diremos que es de grado 2 e incompleto, pues lefalta el término de grado 1.

OPERACIONESCON POLINOMIOS

Para sumar dos polinomios agruparemos los monomiossemejantes de la siguiente forma:

P(x) + Q(x) = anxn + an – 1xn – 1 +

+ an – 2xn – 2 + ... + a2x2 + a1x + a0 +

+ bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2x

n – 2 + ... +

+ b2x2 + b1x + b0 = (an + bn)xn +

+ (an – 1 + bn – 1)xn – 1 + (an – 2 +

+ bn – 2)xn – 2 + ... + (a2 + b2)x

2 +

+ (a1 + b1)x + a0 + b0

Si los polinomios son incompletos, o no son delmismo grado, consideraremos cero los coeficientesque falten. El grado del polinomio resultante será elmayor de los dos polinomios si no se anulan los tér-minos de mayor grado.Las propiedades de la suma de polinomios coincidencon las de la suma de números reales: asociativa, con-mutativa, elemento neutro y elemento simétrico.Podemos definir el polinomio diferencia de P(x) yQ(x) como el que se obtiene de sumar a P(x) el poli-nomio opuesto de Q(x), –Q(x).Para sumar podemos escribir los polinomios unodebajo del otro y sumar sólo los coeficientes, ponien-do un cero cuando falte algún término:

073-078-MATES 27/6/02 16:05 Página 74

x3 + 2x2 – x

x4 + x2 – 2

–2x3 –4x2 + 2x

x5+2x4 – x3

+x7 + 2x6 – x5

x7 + 2x6 + 2x4 – 3x3 – 4x2 + 2x

Los términos que no aparezcan en los productosintermedios deben dejarse en blanco para facilitar laoperación final.Para elevar un polinomio a un número natural n bas-tará con multiplicar el polinomio por sí mismo n veces:

(P(x))n = P(x) · ... · P(x)

Hay una serie de resultados que conviene tener encuenta, puesto que facilitan notablemente los cálcu-los. Así, por ejemplo:

(x + y)2 = x2 + 2xy + y2

También se tiene que (figura 16):

(x – y)2 = x2 – 2xy + y2

Análogamente:

(x + y) (x – y) = x2 – y2

Otro resultado importante es:

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Por último:

(x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

Para dividir dos polinomios se procede del modosiguiente:

• Se ordena dividendo y divisor con respecto a unaletra.

• Se divide el primer término del dividendo entre elprimer término del divisor, obteniéndose de estemodo el primer término del cociente.

• Se multiplica el primer término del cociente portodo el divisor, y el producto así obtenido se restadel dividendo, para lo cual se le cambia de signo yse escribe cada término debajo de su semejante. Si algún término de este producto no tiene ningúntérmino semejante en el dividendo, se escribe dichotérmino en el lugar correspondiente, de acuerdo conla ordenación del dividendo y del divisor.

• Se divide el primer término del resto entre el pri-mer término del divisor, obteniéndose así el segun-do término del cociente.

• El segundo término del cociente se multiplica portodo el divisor y el producto así obtenido se restadel dividendo tras cambiarle los signos.

• Se repiten las operaciones hasta que el resto no sepueda dividir más, lo cual sucederá cuando el restotenga grado menor que el divisor.

75

Á L G E B R AE X P R E S I O N E S A L G E B R A I C A S

Figura 15

Figura 16

073-078-MATES 5/6/02 16:51 Página 75

Veamos un ejemplo:

x4 –2x3 + x + 1 | x2 + 3x

–x4 –3x3 x2 – 5x + 15

–5x3 + x

5x3 + 15x2

15x2 + x

–15x2 – 45x

–44x + 1

DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOSEn las divisiones de polinomios, como en las de núme-ros reales, obtenemos un cociente C(x) y un resto R(x)que nos permiten escribir:

P(x) | Q(x)

R(x) C(x)

P(x) = Q(x) · C(x) + R(x)

En el caso particular que el divisor sea un binomio deltipo x – a, el resto de la división siempre será unnúmero, por ser de grado menor que el divisor, cosaque nos facilitará algunos cálculos posteriores.Diremos que dos polinomios pueden dividirse deforma exacta cuando el resto sea 0. Nos quedará larelación:

P(x) = Q(x) · C(x)

En caso contrario diremos que la división es entera,por la relación con el cociente de dos números ente-ros, no exacta.

LA REGLA DE RUFFINI

Es un método que se emplea para calcular rápidamen-te el cociente y el resto que se obtienen al dividir unpolinomio cualquiera por un binomio del tipo x – a(figura 17). Para ello se utiliza el siguiente procedi-miento:

• El primer coeficiente del cociente es igual al primercoeficiente del dividendo.

• El segundo coeficiente del cociente es igual al pro-ducto de a por el primer coeficiente del cocientemás el segundo coeficiente del dividendo.

• El tercer coeficiente del cociente es igual al pro-ducto de a por el segundo coeficiente del cocientemás el tercer coeficiente del dividendo.

• El resto es igual al producto de a por el último co-eficiente del cociente más el último coeficiente deldividendo.

• El grado del cociente es una unidad inferior algrado del dividendo.

Ejemplo. Hallar el cociente y el resto de la división(x4 – x3 + 2x2 – x + 1) : (x – 1) empleando la regla deRuffini.Solución. Dispondremos las operaciones del modosiguiente:

1 –1 2 –1 1

1 1 0 2 1

1 0 2 1 |2

Así pues, el cociente es x3 + 2x +1 y el resto es 2.

76

Figura 17El algoritmo del matemático italiano Paolo Ruffini (1765-1822) nos permite efectuar rápidamente ladivisión entre x – 3. Comenzamos bajando el –5 y lo multiplicamos por 3, el resultado, –15, se lo sumamos a –2. Volvemos a multiplicar –17 por 3 y sumamos el resultado a 1 y así sucesivamente.

073-078-MATES 5/6/02 16:51 Página 76

Es necesario comentar la necesi-dad de escribir ceros para cubriraquellos términos que falten enlos polinomios incompletos,para evitar así posibles erroresde cálculo.

EL TEOREMA DEL RESTO

Al dividir por x – a obtenemos de resto un núme-ro y podemos, pues, escribir:

P(x) = (x – a) · C(x) + R

Si sustituimos x por a nos queda:

P(a) = (a – a) · C(a) + R = 0 · C(a) + R = R

Este resultado nos permite enunciar el teorema delresto:El valor numérico que toma el polinomio P(x) cuandox = a coincide con el resto de dividir P(x) por x – a.Una aplicación directa del teorema es la de calcularlos restos de las divisiones por x – a sin realizarlas,sabiendo de antemano si la división será exacta o no.

DESCOMPOSICIÓNDE UN POLINOMIO

EN FACTORES

Dados dos polinomios, P(x) y Q(x), diremos queQ(x) es divisor de P(x) si el resto de la divisiónP(x) : Q(x) es cero (figura 18). Obtendremos uncociente C(x) tal que:

P(x) = Q(x) · C(x)

En el caso que Q(x) o C(x), o ambos, puedan dividir-se por otros polinomios repetiremos el proceso yobtendremos una descomposición de P(x) como pro-ducto de otros polinomios de grado inferior. Cuandolos polinomios sean de grado uno, no podrán reducir-se más. Los polinomios que no pueden descompo-nerse más reciben el nombre de polinomios irreduci-

77

Á L G E B R A

4 0 28 24

1 4 4 24

4 4 24 0

2 8 24

4 12 0

3 12

4 0

Soluciones

Coeficiente

Restos

Figura 18Resolución de la ecuación

–4x3 + 28x + –24 = 0aplicando el algoritmo de Ruffini.

bles o polinomios primos. Observemos que algunospolinomios de segundo grado tampoco pueden des-componerse como producto de otros dos de grado uno.Diremos que un número a es una raíz o un cero deun polinomio P(x) si se cumple P(a) = 0.Como el cociente de un polinomio P(x) por x – a seráexacto si el valor numérico de P(x), para x = a, nosda 0, las posibles raíces enteras de un polinomioserán los divisores enteros del término independien-te. Por tanto, para encontrar los polinomios primos,de primer grado, divisores de P(x), sólo habrá queprobar aquellos valores de a divisores del término degrado cero.Para hallar el máximo común divisor de varios poli-nomios suele emplearse el método de la descomposi-ción factorial, que consiste en descomponer los po-linomios dados en sus factores primos y determinarel máximo común divisor, que será el producto detodos los factores comunes con el menor exponente.Para calcular el mínimo común múltiplo de variospolinomios se descomponen en sus factores primos y,a continuación, se halla el mínimo común mútiploque es el producto de todos los factores primoscomunes y no comunes elevados al mayor exponen-te que aparezca en la descomposición factorial.

Ejemplo. Dados los polinomios 3x2 – 3, 2x2 – 4x + 2,x2 + x – 2, calcular: a) su máximo común divisor;b) su mínimo común múltiplo.Solución. Descompongamos factorialmente los poli-nomios. Para facilitar el cálculo se puede extraer fac-tor común del modo siguiente:

E X P R E S I O N E S A L G E B R A I C A S

073-078-MATES 5/6/02 16:51 Página 77

3x2 – 3 = 3(x2 – 1)

2x2 – 4x + 2 = 2(x2 – 2x + 1)

Ahora bien, como x2 – 1 es una diferencia de cua-drados se tiene que:

(x2 – 1) = (x + 1) (x – 1)

Al mismo tiempo resulta inmediato comprobar que:

(x2 – 2x + 1) = (x – 1)2

Para descomponer factorialmente x2 + x – 2 basta contener en cuenta que las posibles raíces enteras del poli-nomio son 1, –1, 2 y –2. 1 es raíz, ya que 12 + 1 – 2 = 0.Así pues, tendremos que:

1 1 –2

1 1 2

1 2 0

Por consiguiente:

x2 + x – 2 = (x – 1) (x + 2)

Así pues, tenemos la siguiente descomposiciónfactorial:

3x2 – 3 = 3(x + 1) (x – 1)

2x2 – 4x + 2 = 2(x – 1)2

x2 + x – 2 = (x – 1) (x + 2)

a) El máximo común divisor será x – 1.b) El mínimo común múltiplo será

6(x + 1) (x – 1)2 (x + 2)

es decir:

6x4 + 6x3 – 18x2 – 6x + 12

La figura 19 es un ejemplo de la aplicación de lospolinomios. Conocida la cantidad de alumnosmatriculados en un colegio a lo largo de seis añosconsecutivos, podemos obtener un polinomiointerpolador de quinto grado que nos permitavaticinar la matrícula de dicho colegio en los añossucesivos.

78


65. Dados los polinomios:

P(x) = x3 – 2x2 + x – 1

Q(x) = 4x3 + 2x2 – x + 2,

calcular P(x) + Q(x).

66. Comprobar si Q(x) = x2 – 1es un divisor de P(x) = x3 + 2x2 – x – 2

67. Comprobar si el siguiente producto es correcto: (x + 1)(x – 2)

(x + 3)(x – 3) = x4 – x3 – 11x2 + 9x – 18

68. Calcular el resto de la división: (x4 – x2 + 5x – 7) : (x + 1)

69. Simplificar la siguiente fracción algebraica:

x2 + 7x + 10––––––––––––

x + 2

70. Escribe un polinomio cuyas solucionessean –1, 4 y –2.

Figura 19

073-078-MATES 5/6/02 16:51 Página 78

ECUACIONES Y SISTEMASDE ECUACIONES

79

Figura 20El uso deecuaciones nospermite resolverfácilmente muchosproblemas que, sinellas, resultaríanmuy complicados.

Una igualdad es una relación entre dos expresiones distintas de una mismacantidad. Así, por ejemplo, 6 – 2 = 5 – 1 es una igualdad.

Una ecuación (figura 20) es una igualdad en la que aparecen una o variascantidades denominadas incógnitas que, frecuentemente, sólo se cumple paradeterminados valores de las incógnitas. Así, por ejemplo, x – 3 = 2x – 4 es una

ecuación, puesto que es una igualdad en la que aparece una incógnita y que únicamente se cumple para x = 1.

ECUACIONESDE PRIMER GRADO

En toda ecuación pueden distinguirse dos miembros:el primer miembro es la expresión que queda a laizquierda del signo de la igualdad, mientras que el se-gundo miembro es la expresión que queda a la derecha del signo de la igualdad. Así, por ejemplo, enel caso anterior x – 3 es el primer miembro de la ecuación, mientras que 2x – 4 es el segundo miembro.

Se denomina término de una ecuación cada una de lascantidades que están relacionadas con otras mediantelos signos + o –, o bien la cantidad que aparece sola enun miembro. En el ejemplo precedente los términosserían x, 3, 2x y 4. Se dice que una ecuación es literalcuando las cantidades conocidas vienen representadaspor letras. Así, la ecuación 2x – a = 3x – 2b es una ecua-ción literal, ya que a y b representan cantidades conocidas. Cuando las cantidades conocidas estánrepresentadas por números se dice que la ecuación esnumérica. Así, por ejemplo, la ecuación x – 3 = 2x – 4

079 -084-MATES 5/6/02 17:16 Página 79

es una ecuación numérica. Los valores de las incógnitasque satisfacen la ecuación reciben el nombre de raícesde la ecuación. Así, por ejemplo, en la ecuación 2x – 1 = 3x – 4, la raízes 3, ya que 2 · 3 – 1 = 3 · 3 – 4 = 5. Toda ecuacióntiene tantas raíces como indique su grado. Por consi-guiente, las ecuaciones de primer grado sólo tendránuna raíz. Se dice que dos ecuaciones son equivalentescuando tienen las mismas raíces.Cualquier ecuación se convierte en otra equivalenteen los siguientes casos:

• Cuando a los dos miembros de la ecuación se lessuma una misma cantidad.

• Cuando a los dos miembros de la ecuación se les resta la misma cantidad.

• Cuando los dos miembros de la ecuación se multi-plican por la misma cantidad.

• Cuando los dos miembros de la ecuación se dividenpor la misma cantidad.

De los dos primeros casos precedentes se deduce quecualquier término de una ecuación puede pasar de unmiembro a otro cambiando de signo. A esta operaciónse la conoce con el nombre de transposición de tér-minos. Del tercer caso anterior se deduce que se pue-den cambiar los signos de todos los términos de unaecuación, puesto que esto equivale a multiplicar losdos miembros por –1.Así pues, teniendo en cuenta las consideracionesanteriores, para resolver una ecuación de primergrado con una incógnita se debe seguir el procedi-miento que se indica a continuación:

• Se eliminan los radicales en el caso de que loshaya, elevando ambos miembros de la ecuación auna sola potencia.

• Se suprimen los signos de agrupación efectuando las operaciones indicadas en la ecuación.

• Se eliminan los denominadoresen el caso de que los haya.

• Se trasponen y reducen los tér-minos.

• Se despeja la incógnita.• Se dividen ambos miembros

por el coeficiente de la incógni-ta una vez despejada la misma.

Las funciones polinómicas del tipo y = ax se denomi-nan funciones lineales, y su representación gráficaes una recta que pasa por el origen de coordenadas. Sila función polinómica es del tipo y = ax + b, se deno-mina función afín, y su representación gráfica es unarecta cuya intersección con el eje de coordenadascoincide con el término independiente b.Consideremos la ecuación de primer grado con dosincógnitas 2x – 5y = 0 (figura 21). Si despejamos ten-dremos:

5y = 2x

2y = ––– x

5

Como puede observarse, para cada valor de x seobtiene un valor de y. Así pues, podemos construir lasiguiente tabla de valores:

Todos los pares de valores así obtenidos, al ser susti-tuidos en la ecuación inicial, la convierten en unaidentidad, es decir, satisfacen la ecuación. Así pues,dando valores a x se obtienen infinitos pares de valo-res que cumplen la ecuación. Por esta razón se dice que la ecuación anterior es indeterminada. En general, toda ecuación de primer grado que tenga dos o más incógnitas es una ecuación indeter-minada.

80

Figura 21

079 -084-MATES 5/6/02 17:16 Página 80

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Las ecuaciones de segundo grado con una incógnitason del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 y a, b, c R.Desde el punto de vista geométrico, resolver unaecuación de segundo grado significa encontrar lospuntos de intersección de la parábola y = ax2 + bx + ccon el eje de abscisas. Cuando la ecuación de segun-do grado ax2 + bx + c = 0 verifica que a,b,c ≠ 0, sedice que es completa. En cambio, las ecuaciones deltipo ax2 = 0, ax2 + c = 0 y ax2 + bx = 0 se denominanecuaciones incompletas de segundo grado.La resolución de ecuaciones incompletas del tipoax2 = 0 es inmediata, ya que como a ≠ 0, se cumpleque x = 0. Para resolver ecuaciones incompletasdel tipo ax2 + c = 0 se utiliza el siguiente método:ax2 + c = 0. Trasponiendo el término c resulta ax2 = –c.Dividiendo ambos miembros por a se obtiene:

–cx2 = –––

a

Despejando x resulta:

–cx = ± –––

a

Las raíces sólo serán reales en el caso de que a y c ten-gan signos distintos. Si a y c tienen el mismo signo,las raíces serán imaginarias.Para resolver ecuaciones incompletas del tipoax2 + bx = 0 se emplea el siguiente procedimiento:Extrayendo factor común resulta x(ax + b) = 0. Comoel producto de ambos factores es nulo, o bien x = 0 obien ax + b = 0. Si ax + b = 0, se tiene que ax = –b y,por consiguiente:

–bx = —–

a

Así pues, las raíces de esta ecuación serán:

–bx = 0 y x = –––

a

Se podría demostrar que las dos soluciones o raícesde la ecuación completa de segundo grado son:

–b + b2 – 4acx1 = ————————

2ay:

–b – b2 – 4acx2 = ————————

2a

La expresión b2 – 4ac recibe el nombre de discrimi-nante y suele representarse con el símbolo ∆. Puedenpresentarse los tres casos siguientes (figura 22):

• Si el discriminante es menor que cero, no haysoluciones reales, ya que las raíces cuadradas denúmeros negativos son imaginarias.

• Si el discriminante es nulo, las soluciones coinci-den, por lo que tendremos una raíz doble, es decir,

–bx1 = x2 = ––––

2a

• Si el discriminante es positivo, hay dos raíces rea-les distintas, que son:

–b + ∆x1 = —————

2a

y:

–b – ∆x2 = —————

2a

La suma de las raíces de la ecuación de segundogrado es igual al coeficiente del segundo término dela ecuación cambiado de signo, dividido por el coefi-ciente del primer término.El producto de las raíces de la ecuación de segundogrado es igual al término independiente dividido porel coeficiente del primer término.El trinomio de segundo grado puede descomponerseen los tres factores siguientes: el coeficiente de x2; xmenos una de la raíces de la ecuación correspondien-te; x menos la otra raíz de la ecuación:

ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)

81

Á L G E B R AE C U A C I O N E S Y S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S

079 -084-MATES 5/6/02 17:16 Página 81

Al efectuar la descomposición factorial del trinomio de segundo grado pueden presentarse los tres casossiguientes:

• Que el discriminante sea positivo. En este casolas raíces son reales y distintas y cabe considerardos posibilidades dependiendo de que los valoresde x sean mayores o menores que ambas raíces, obien que dichos valores estén comprendidos entrelos de ambas raíces. Cuando los valores de x sonmayores o menores que ambas raíces, el signo deltrinomio es el mismo que el del coeficiente a.Cuando los valores de x se hallan comprendidosentre los de ambas raíces, el signo del trinomio esopuesto al signo de a.

• Que el discriminante sea nulo. En este caso lasraíces son reales e iguales, y para cualquier valor dex distinto de la raíz el trinomio tiene el mismo signoque a.

• Que el discriminante sea negativo. En este casolas raíces son imaginarias, y para cualquier valor dex el trinomio tendrá el mismo signo que a.

La gráfica de una función cuadrática del tipoy = ax2 + bx + c será una parábola, más o menos alar-gada dependiendo del valor de a y cuyo vértice sehalla situado hacia abajo de la gráfica si a > 0 o haciaarriba de la gráfica si a < 0.Las coordenadas del vértice son las siguientes:

–b 4ac – b2

(––– , ––––––––)2a 4a

ECUACIONESDE GRADO SUPERIOR

Para resolver muchas de las ecuaciones que se pue-den presentar con grado mayor que dos, deberemosdescomponerlas como producto de factores de gradomenor. Puesto que un producto es cero si lo es algu-no de sus factores las resolveremos igualando a cerocada uno de los factores y resolviendo las nuevasecuaciones más simples. Por ejemplo:

(x – 2) · (x + 3) · (x – 1) = 0

82

Figura 22

079 -084-MATES 5/6/02 17:16 Página 82

x = 2, x = –3, x = 1

Para las ecuaciones del tipo ax4 + bx2 + c = 0, llama-das bicuadradas, es necesario realizar el cambio x2 = z, x4 = z2, para obtener una ecuación de segundogrado que podremos resolver. Una vez encontrados losvalores de z habrá que calcular los de x = ± z . Porejemplo: x4 – x2 – 12 = 0, nos queda z2 – z – 12 = 0,de donde:

1 ± 1 + 48 1 ± 7 4z = ––––––––—–––– = ––––– = – 32 2

por tanto:

x = ± 4 = ± 2, serán las soluciones reales;

x = ± –3 , serán las soluciones imaginarias.

SISTEMAS DE ECUACIONESCON DOS INCÓGNITAS

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos omás ecuaciones con dos o más incógnitas. Los valo-res de las incógnitas que satisfacen simultáneamentetodas las ecuaciones del sistema se denominan solu-ciones del sistema de ecuaciones.Cuando un sistema de ecuaciones admite solucio-nes se dice que es compatible y en caso contrario sedice que es incompatible. Los sistemas compatiblespueden ser determinados e indeterminados. Se dice que un sistema de ecuaciones es compatibledeterminado cuando la solución del sistema esúnica. Por el contrario, se dice que un sistema de ecua-ciones es compatible indeterminado cuando tiene másde una solución.El método general de resolución de sistemas deecuaciones consiste en eliminar una de las incógni-tas para reducir el número de éstas y obtener unaecuación que pueda resolverse. Este proceso recibeel nombre de eliminación. Para llevar a cabo la eli-minación pueden seguirse tres procedimientos: elde sustitución, el de igualación y el de reducción. El método de eliminación por sustitución consisteen despejar en una de las ecuaciones la incógnitaque se quiere eliminar y sustituir su valor en la otraecuación o ecuaciones. El procedimiento de elimi-

nación por igualación consiste en despejar unamisma incógnita en las dos ecuaciones e igua-

lar seguidamente los valores así obtenidos.El método de eliminación por reducción

consiste en convertir las ecuaciones enotras que tengan los mismos coefi-

cientes de la incógnita que se

Á L G E B R A

Figura 23

E C U A C I O N E S Y S I S T E M A S D E E C U A C I O N E S

83

Figura 24

Figura 25

079 -084-MATES 5/6/02 17:16 Página 83

quiere eliminar. Una vez efectuada esta operación,las ecuaciones resultantes se suman, si la incógnitatiene en ellas distinto signo y se restan en el caso deque tengan el mismo signo, eliminando así una de las incógnitas.Al resolver geométricamente un sistema de dosecuaciones con dos incógnitas pueden plantearse lossiguientes casos:

• Que las dos rectas se corten en un punto. El sis-tema será compatible determinado y por consi-guiente habrá una única solución para el sistema(figura 23).

• Que las dos rectas sean paralelas. El sistema seráincompatible, o sea, no habrá ninguna soluciónpara el sistema (figura 24).

• Que ambas rectas coincidan. El sistema será com-patible indeterminado y existirán infinitas solucio-nes para el mismo (figura 25).

Los sistemas de segundo grado pueden agruparse endos grandes tipos:

• Los sistemas constituidos por una ecuación de pri-mer grado y una ecuación de segundo grado.

• Los sistemas formados por dos ecuaciones de se-gundo grado.

Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas en los cuales una de las ecuaciones o ambas sean desegundo grado pueden resolverse fácilmente. Si una de las ecuaciones es de primer grado y la otra es desegundo grado, las soluciones vendrán dadas por lospuntos de intersección de una recta y una curva (figu-

ra 26). Si las dos ecuaciones son de segundo grado lassoluciones del sistema serán los puntos de intersecciónde dos curvas. Sin embargo, cuando las dos ecuacionesson de segundo grado, pero alguna de ellas presenta tér-minos del tipo xy, pueden presentarse más de dos solu-ciones.Para resolver sistemas constituidos por una ecuaciónde primer grado y otra de segundo grado el procedi-miento que suele emplearse consiste en despejar unaincógnita de la ecuación de primer grado y sustituir elvalor así obtenido en la de segundo grado, resultandode este modo una ecuación de segundo grado con unasola incógnita, que se resuelve por el método generalde resolución de ecuaciones de segundo grado.Para resolver estos sistemas constituidos por dosecuaciones de segundo grado se procede como siambas fueran de primer grado, aunque en este casoel número de soluciones suele ser mayor.

84

Figura 26


71. ¿Existen dos números paresconsecutivos tales que su suma sea 13?

72. Resolver la ecuación x2 + 7x + 10 = 0.

73. Marta tendrá dentro de dieciséis años eltriple de los años que tiene ahora. ¿Cuál

es su edad actual?

74. He comprado una camisa y he pagadosu valor más un 16 % en concepto deimpuestos, desembolsando en total

30,16 $. ¿Cuál es el valor de la camisa sin impuestos?

75. Resuelve la ecuación: x4 – 20x2 + 64 = 0

76. Plantea el siguiente problema: EntreLuisa y Antonio han cobrado este mes

6.000 $. Sabiendo que Luisa ha cobrado eldoble que Antonio, calcula cuanto

ha ganado cada uno.

77. Resuelve el sistema siguiente por elmétodo de igualación:

2x + y = 4x – y = –1

78. Resuelve el sistema siguiente por elmétodo de reducción:

2x + y = 4x – y = –1

y = x2 – 1

y = x + 1

079 -084-MATES 5/6/02 17:16 Página 84

GEOMETRÍA PLANALa geometría plana es la parte de la geometría que estudia las figurasplanas, o sea, las figuras que pueden dibujarse sobre una superficie

plana. Una superficie posee dos dimensiones. A diferencia de lageometría plana, la geometría del espacio es la parte de la geometría que

estudia los elementos geométricos en tres dimensiones. Los cuerposgeométricos son esquemas ideales, de los cuales, geométricamente,

tan sólo se consideran su forma y su tamaño (figura 1).

85

Figura 1Euclides, a partir de unos postuladoselementales, elaboróuna gran parte de la geometría que hoy conocemos.

PUNTO, RECTA Y PLANO

En geometría hay una serie de términos sin definir,como punto, línea y superficie, ya que el proceso dedefinición empieza una vez se admite la existencia de dichos conceptos previos, que son el fundamentosobre el que se sustentan las definiciones del resto deconceptos geométricos. A los conceptos no definidosse les puede dar significado mediante descripcionesintuitivas, pero nunca estas descripciones puedenemplearse como definiciones de tales conceptos.

El punto viene caracterizado por tener únicamenteposición. No posee ni longitud ni anchura ni espesor,o sea, carece totalmente de dimensiones. Se admitecomo postulado la existencia de infinitos puntos. Los puntos geométricos acostumbran representarsemediante un trazo, una cruz o un pequeño círculo.Sin embargo, hay que tener en cuenta que el puntográfico representa el punto geométrico, pero no es elpunto geométrico de modo similar a como un puntopuede representar una ciudad en un mapa. A dife-rencia del punto geométrico, el punto gráfico tieneun tamaño determinado. Los puntos geométricos

085-093-MATES 6/6/02 12:26 Página 85

A diferencia de lo que sucede con las rectas, una líneacurva puede considerarse engendrada por un puntoque experimenta cambios de dirección durante sumovimiento. Un tipo especial de curva es la curvasimple cerrada, que es aquella que puede trazarse demanera que empieza y termina en un mismo punto.En este tipo de curvas se distingue un interior y unexterior y se admite el siguiente postulado:

• Al unir un punto interior con un punto exterior de una curva simple cerrada se corta dicha curva.

Se denomina línea quebrada la que es una combina-ción de trazos de líneas rectas.Las superficies tienen longitud y anchura, aunquecarecen de espesor.Una superficie plana o simplemente un plano es unasuperficie tal que si cualquier recta tiene en comúncon ella dos de sus puntos, los tiene todos comunes,o sea, toda la recta se halla contenida en el plano.Geométricamente, los planos se representan median-te paralelogramos y suelen nombrarse mediante tresde sus puntos que no estén alineados o mediante unaletra griega. Los planos presentan las dos propieda-des características siguientes:

• Por tres puntos no alineados pasa un plano y sólouno (figura 4).

• Si una recta tiene dos puntos comunes en un pla-no, toda la recta está contenida en el plano (figura 5).

Toda recta de un plano divide a dicho plano en dosregiones que se denominan semiplanos (figura 6).

86

suelen designarse mediante letras mayúsculas colo-cadas en las proximidades de los puntos gráficoscorrespondientes.A diferencia del punto, la línea tiene longitud, perocarece de anchura y de espesor. Una línea se designamediante las letras mayúsculas de dos cualesquierade sus puntos o bien mediante una letra minúscula.Las líneas se clasifican en rectas, curvas, o combina-ciones de rectas y curvas (figura 2).

Una línea recta puede considerarse engendrada porun punto que se mueve siempre en la misma direc-ción, y en el mismo sentido. Una recta es ilimitada, osea, puede prolongarse indefinidamente en cualquie-ra de sus dos sentidos y, por tanto, no tiene origen nifinal. La línea recta es la más corta que se puede tra-zar entre dos puntos dados. Se admiten como ciertoslos dos postulados siguientes:

• Por dos puntos pasa una recta y solamente una(figura 3).

• Dos rectas, si no son coincidentes, sólo puedentener un punto en común.

Figura 2

Figura 3

Línea curva

Línea quebrada

Segmento rectilíneo

Línea recta

Figura 4

Figura 5

Figura 6

085-093-MATES 6/6/02 12:26 Página 86

Así pues, cada punto del plano pertenece a uno delos semiplanos, excepto los puntos de la recta, quepertenecen a ambos semiplanos.Se admiten los siguientes postulados:

a) Dos puntos de un mismo semiplano determinanun segmento que no corta a la recta que origina los dos semiplanos, y dos puntos de diferente semi-plano determinan un segmento que corta dicha recta.

b) Si dos planos tienen un punto en común, tienenuna recta en común.

Si sobre una recta señalamos un punto P, se denomi-na semirrecta al conjunto de puntos formados por Py todos los puntos que le siguen o le preceden (figura 7). El punto P se denomina origen de la semirrecta.

SEGMENTOS RECTILÍNEOS

Se denomina segmento rectilíneo de una recta a unaparte de la misma comprendida entre dos puntos A y B, a los que se les llama extremos del segmento.A los segmentos se les nombra escribiendo las letras de sus extremos o bien mediante una letraminúscula.Se dice que dos segmentos son iguales cuando sepuede llevar uno sobre otro de manera que coincidanlos extremos. En caso contrario decimos que son dis-tintos.

MEDIDA DE SEGMENTOS

La medida de un segmento es el número de veces quedicho segmento contiene la unidad de longitud.Para sumar segmentos se dibuja una semirrecta OX,y a partir del origen O se van colocando sobre ella lossegmentos uno a continuación de otro.Análogamente se pueden restar dos segmentos. Sedibuja el minuendo y se coloca el sustraendo desde

el extremo del anterior en sentido inverso. La dife-rencia es la distancia del origen del minuendo alextremo del sustraendo.Para multiplicar un segmento por un número naturalse lleva el segmento tantas veces como indica elnúmero natural.Para medir segmentos utilizamos el Sistema MétricoDecimal, que es el conjunto de pesas y medidas quese derivan del metro.La unidad principal de longitud es el metro (m), ysus múltiplos: el decámetro (1 dam = 10 m), el hec-tómetro (1 hm = 100 m), el kilómetro (1 km = 1.000 m),y los submúltiplos: el decímetro (1 dm = 0,1 m),el centímetro (1 cm = 0,01 m) y el milímetro (1 mm == 0,001 m).Los instrumentos de medida más utilizados son la regla, el compás, el pie de rey, el tornillo micrométri-co, etc.

ÁNGULOS

Un ángulo es la abertura formada por dos semi-rrectas con un mismo origen denominado vértice (figura 8).

Las dos semirrectas que constituyen el ángulo reciben el nombre de lados. Para nombrar un ángulo pueden emplearse los siguientes procedi-mientos:

• Con la letra correspondiente al vértice en el caso deque tan sólo haya un ángulo que tenga dicho vértice.

• Con una letra minúscula o un número colocadoentre los lados del ángulo en las inmediaciones delvértice.

• Con tres letras mayúsculas de las cuales la del vér-tice se halla situada entre las otras dos, que se colo-can sobre los lados del ángulo.

Bisectriz de un ángulo es la semirrecta cuyo origenes el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángu-

87

G E O M E T R Í AGEOMETRÍA PLANA

Figura 8

Figura 7

085-093-MATES 6/6/02 12:26 Página 87

longitud de su radio. Como unidad de medida de ángulos se toma el radián, que es el ángulo cuyoslados comprenden un arco cuya longitud es lamisma que la del radio de la circunferencia. Portanto, 360° = 400g = 2 π radianes.

TIPOS DE ÁNGULOS

Los ángulos suelen clasificarse de la manera si-guiente:

• Ángulos agudos. Son los que miden menos de 90°(figura 9).

• Ángulos rectos. Son los que miden 90° (figura 10).

• Ángulos obtusos. Son los que miden más de 90°,pero menos de 180° (figura 11).

• Ángulos llanos. Son los que miden 180° (figura 12).

los iguales. El tamaño de un ángulo depende de laextensión de plano que debe barrer uno de los ladosdel ángulo cuando se le hace girar alrededor del vér-tice hasta alcanzar la posición del otro lado. El tama-ño de un ángulo no depende, pues, de la longitud desus lados.

MEDIDA DE ÁNGULOS

Para medir ángulos existen diversos métodos:

• Sistema sexagesimal. En este sistema se suponeque la circunferencia está dividida en 360 partesiguales y se considera que un ángulo de un gradoes el que tiene el vértice en el centro de la circun-ferencia y sus lados pasan por dos divisiones con-secutivas. Cada grado sexagesimal se supone que está dividido en 60 partes iguales que se llaman minutos y cada minuto está dividido en 60 partes iguales que se denominan segundos. Lasunidades anteriores se simbolizan del modosiguiente:

1° = 1 grado

1’ = 1 minuto

1’’ = 1 segundo

• Sistema centesimal. En este sistema se suponeque la circunferencia está dividida en 400 partesiguales denominadas grados centesimales, y unángulo de un grado centesimal es el que tiene elvértice en el centro de la circunferencia y sus ladospasan por dos divisiones consecutivas. En el siste-ma centesimal se considera que cada grado estádividido en 100 partes iguales denominadas minu-tos centesimales y cada minuto centesimal se supo-ne que está dividido en cien partes iguales que reci-ben el nombre de segundos centesimales. Pararepresentar cada una de las unidades anteriores seemplean los siguientes símbolos:

1g = 1 grado centesimal

1m = 1 minuto centesimal

1s = 1 segundo centesimal

• Sistema circular. Este sistema se fundamenta enque la longitud de la circunferencia es 2 π veces la

88

Figura 9

Figura 10

Figura 11

Figura 12

085-093-MATES 6/6/02 12:26 Página 88

Si por un punto exterior a una recta se traza una per-pendicular y varias oblicuas, se cumplen las tressiguientes propiedades:

• El segmento de perpendicular comprendido entre elpunto y la recta es menor que cualquier segmento deoblicua.

• Los segmentos de oblicuas cuyos pies equidistandel pie de la perpendicular son iguales.

• De dos segmentos de oblicuas cuyos pies no equi-distan del pie de la perpendicular, es mayor el quedista más.

Se denomina distancia de un punto a una recta a lalongitud del segmento perpendicular trazado desdeel punto a la recta. En un plano, por un punto exte-rior a una recta pasa una perpendicular a dicha rectay sólo una.Se dice que dos rectas son paralelas cuando están enun mismo plano y no se cortan por mucho que se lasprolongue. Las rectas paralelas verifican las cincopropiedades siguientes:

• Si dos rectas de un mismo plano son perpendicu-lares a una tercera, entonces son paralelas entre sí.

• Por un punto exterior a una recta tan sólo pasa unaparalela a dicha recta.

• Si dos rectas son paralelas a una tercera, son para-lelas entre sí.

• Si una recta corta a otra, también corta a todas lasrectas paralelas a ella.

• Si una recta es perpendicular a otra también es per-pendicular a todas las rectas paralelas a ella.

Se llama mediatriz de un segmento a una recta per-pendicular al mismo y que pasa por su punto medio.Los puntos de la mediatriz equidistan de los extre-mos del segmento (figura 16).


• Ángulos cóncavos. Son los que miden más de 180°pero menos de 360° (figura 13).

• Ángulos adyacentes. Son los que tienen un lado co-mún y los otros dos pertenecen a la misma recta.

• Ángulos complementarios. Dos ángulos son com-plementarios cuando su suma vale 90° (figura 14).

• Ángulos suplementarios. Dos ángulos son suple-mentarios cuando su suma vale 180° (figura 15).

• Ángulos opuestos por el vértice. Dos ángulos sonopuestos por el vértice cuando los lados de uno deellos son las prolongaciones de los lados del otro.

• Ángulos consecutivos. Dos ángulos son consecu-tivos cuando tienen un lado común que separa alos otros dos.

RECTAS PERPENDICULARESY PARALELAS

Se dice que dos rectas son perpendiculares cuandose cortan formando cuatro ángulos iguales, todosellos rectos. Para denotar que dos rectas son perpen-diculares se emplea el símbolo . Por el contrario, sedice que dos rectas son oblicuas cuando se cortan yno son perpendiculares.

89

Figura 13

Figura 14

Figura 15

Figura 16

085-093-MATES 6/6/02 12:26 Página 89

• Si una secante forma ángulos correspondientesiguales con dos rectas de un plano, estas rectas sonparalelas (figura 18).

• Toda secante forma ángulos alternos internos igua-les al cortar a dos paralelas.

• Toda secante forma ángulos alternos externos igua-les al cortar a dos paralelas.

De la misma manera, si dos ángulos son conjugadosinternos entre paralelas son suplementarios.Si dos ángulos son conjugados externos entre parale-las son suplementarios.

SEGMENTOS PROPORCIONALES

Decimos que dos magnitudes son directamente pro-porcionales cuando a cada cantidad de la primeracorresponde una, y solo una, cantidad de la segunda,y si multiplicamos o dividimos una cantidad de laprimera magnitud por un número, la cantidadcorrespondiente de la segunda magnitud queda mul-tiplicada o dividida a su vez por el mismo número.Se denomina razón de dos segmentos al cocienteobtenido al dividir sus medidas expresadas en lasmismas unidades. El teorema de Tales establece quesi varias paralelas cortan a dos rectas transversales,determinan en ellas segmentos correspondientesproporcionales (figura 19). Si a los segmentos my n les corresponden los segmentos p y q, de mane-ra que:

m p— = —n q

se dice que los segmentos son proporcionales.

90

Figura 17

Se llama secante de dos o más rectas a otra recta quelas corta.Cuando dos rectas son cortadas por una secante seforman distintos ángulos que reciben los nombressiguientes (figura 17):

• Ángulos internos. Son los ángulos formados pordos rectas cortadas por una secante que quedanentre las dos rectas.

• Ángulos externos. Son los ángulos formados pordos rectas cortadas por una secante y que quedan fuerade dichas rectas.

• Ángulos correspondientes. Son los ángulos for-mados por dos rectas cortadas por una secante quequedan situados al mismo lado de la secante y almismo lado de las rectas, siendo uno de ellos inter-no y el otro externo.

• Ángulos alternos internos. Son los ángulos for-mados por dos rectas cortadas por una secante queson internos, pero no son contiguos ni adyacentesy que están situados entre las dos rectas a uno yotro lado de la secante.

• Ángulos alternos externos. Son los ángulos for-mados por dos rectas cortadas por una secante queson externos, pero no son contiguos ni adyacentesy que están situados fuera de las dos rectas a uno yotro lado de la secante.

• Ángulos conjugados o colaterales internos. Sonlos ángulos formados por dos rectas cortadas poruna secante que son internos y están situados enun mismo semiplano respecto de la secante.

• Ángulos conjugados o colaterales externos. Son los ángulos formados por dos rectas cortadaspor una secante que son externos y están si-tuados en el mismo semiplano respecto de la se-cante.

La rectas cortadas por secantes cumplen las tres pro-piedades siguientes:

Figura 18

085-093-MATES 6/6/02 12:26 Página 90

Llamamos cuarto proporcional de tres segmentosdados, a, b, c, a un segmento x que cumple la condi-ción:

a c— = —b x

Se llama tercero proporcional de dos segmentosdados, a y b, a un segmento x que cumple la condi-ción:

a b— = —b x

Se llama medio proporcional de dos segmentosdados, a y b, a un segmento x que cumple la con-dición:

a x— = —x b

91


Figura 19

Figura 20

TRIÁNGULOS

Se denomina triángulo la porción de plano limitadapor tres rectas que se cortan dos a dos. Vértices deun triángulo son los puntos de intersección de lasrectas que lo forman. Lados de un triángulo son lossegmentos de recta que lo limitan y que se cortan enlos vértices. Perímetro de un triángulo es la suma desus tres lados.Atendiendo a la igualdad o desigualdad de sus lados,los triángulos se clasifican en (figura 20):

• Equiláteros. Son los que tienen sus tres lados igua-les.

• Isósceles. Son los que tienen dos lados iguales.• Escalenos. Son los que tienen sus tres lados dis-

tintos.

Atendiendo a sus ángulos, los triángulos se clasificanen (figura 21):

• Rectángulos. Son los que tienen un ángulo recto.Se denominan catetos de un triángulo rectángulo alos lados que forman el ángulo recto. La hipotenu-sa de un triángulo rectángulo es el lado opuesto alángulo recto.

• Obtusángulos. Son los que tienen un ángulo obtuso.• Acutángulos. Son los que tienen todos sus ángulos

agudos.

Se denomina bisectriz de un ángulo de un triánguloal segmento de recta que divide al ángulo de dos par-tes iguales y llega hasta el lado opuesto. El punto

Figura 21

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donde se cortan las tres bisectrices de un triángulorecibe el nombre de incentro del triángulo (figu-ra 22).

Las medianas de un triángulo son los segmentos derecta que van desde los vértices hasta los puntosmedios de los lados opuestos. El punto donde se cor-tan las medianas de un triángulo se llama baricentro(figura 23).

Las mediatrices de los lados de un triángulo son lasrectas perpendiculares a los puntos medios de loslados. El punto donde se cortan las mediatrices de untriángulo recibe el nombre circuncentro (figura 24).Las alturas de un triángulo son las perpendicularestrazadas desde los vértices hasta los lados opuestos osus prolongaciones. El punto donde se cortan lasalturas de un triángulo se denomina ortocentro(figura 25).Para que dos triángulos sean iguales deben teneriguales sus tres lados y sus tres ángulos correspon-dientes. Sin embargo, para demostrar que dos trián-gulos son iguales no hace falta demostrar estas seisigualdades, ya que si cumplen tres de ellas, siempreque al menos una esté referida a los lados, entoncesse cumplen necesariamente las tres condiciones res-tantes. O sea, dos triángulos son iguales si tieneniguales:

• Un lado y los dos ángulos adyacentes.• Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.• Los tres lados.

Entre las propiedades de los triángulos cabe destacar:

• A mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.• Si dos ángulos son iguales, también lo serán sus

lados opuestos.• La suma de los ángulos interiores de un triángulo

vale 180°.• La suma de los ángulos exteriores de un triángulo

vale 360°.• Un lado es menor que la suma de los otros dos y

mayor que su diferencia.• Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la

suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.

Se dice que dos triángulos son semejantes cuandotienen sus ángulos respectivamente iguales y suslados son proporcionales. Para que dos triángu-los sean semejantes basta con que se cumpla algunade las tres condiciones siguientes:

a) Que tengan dos ángulos respectivamente iguales.b) Que tengan dos lados proporcionales y el ángulo

comprendido entre ellos sea igual.c) Que tengan sus tres lados proporcionales.

92

Figura 24

Figura 25

Figura 22

Figura 23

085-093-MATES 6/6/02 12:27 Página 92

93

GEOMETRÍA PLANA

G E O M E T R Í A

Figura 27

sobre él, y el cuadrado del lado opuesto a un ánguloobtuso es igual a la suma de los cuadrados de losotros dos lados más el duplo del producto de uno deellos por la proyección del otro sobre él.

POLÍGONOS

Se denomina polígono la porción de plano limitadapor una línea poligonal cerrada denominada contor-no. Ángulos interiores de un polígono son los for-mados por dos lados consecutivos. Ángulos exterio-res son los ángulos adyacentes a los interiores, que seobtienen al prolongar los lados en un mismo sentido.Diagonal de un polígono es el segmento determina-do por dos vértices no consecutivos (figura 27). Sedice que un polígono es regular cuando tiene igualestodos sus lados y todos sus ángulos. Apotema de unpolígono regular es el segmento de perpendicular tra-zado desde el centro del polígono a uno de sus lados.Atendiendo al número de lados los polígonos se cla-sifican en:

Figura 26

En todo triángulo rectángulo se verifica el teoremade Pitágoras (figura 26), que establece que la su-ma de los cuadrados de las longitudes de los catetoses igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa.Para determinar si un triángulo es rectángulo, acután-gulo u obtusángulo se procede del modo siguiente:

• Si se cumple que a2 = b2 + c2, el triángulo es rec-tángulo.

• Si a2 < b2 + c2, siendo a el lado mayor, el triánguloes acutángulo.

• Si a2 > b2 + c2, siendo a el lado mayor el triánguloes obtusángulo.

Se demuestra sin dificultad que el área de un triánguloes igual a la mitad del producto de su base por su altu-ra. El área de un triángulo también puede determinar-se a partir de la fórmula de Herón, según la cual:

A = p(p – m)(p – n)(p– q)

siendo p el semiperímetro del triángulo, y m, n y q loslados.Asimismo, en todo triángulo rectángulo se cumplen elteorema de la altura que dice que en todo triángulorectángulo la altura correspondiente a la hipotenusa esmedia proporcional entre los dos segmentos en quedicha altura divide a la hipotenusa, y el teorema delcateto, cuyo enunciado dice que en todo triángulo rec-tángulo un cateto es media proporcional entre la hipo-tenusa y su proyección sobre ella.Otros resultados importantes en triángulos no rec-tángulos son:En todo triángulo se verifica que el cuadrado del ladoopuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de loscuadrados de los otros dos lados menos el duplo delproducto de uno de ellos por la proyección del otro

085-093-MATES 6/6/02 12:27 Página 93

Figura 28

Atendiendo a sus ángulos los polígonos seclasifican en cóncavos y convexos (figura 28).Decimos que un polígono es cóncavo cuando, sitrazamos una recta que lo corte, puede hacerlo enmás de dos puntos. Si cualquier recta que lo corte,únicamente puede hacerlo en dos puntos, el polígo-no se dice convexo.Se llama centro de un polígono regular a un puntointerior del mismo que equidista de todos sus vértices.Si un polígono tiene todos sus lados iguales se diceque es equilátero y si tiene todos sus ángulos iguales,equiángulo.Entre las propiedades de los polígonos cabe citar quela suma de los ángulos interiores de un polígono con-vexo es igual a (n – 2) · 180°, siendo n el número delados del polígono, y la suma de los ángulos exterio-res de un polígono convexo es igual a 360°.Se dice que un polígono es inscrito cuando todos susvértices están situados sobre una circunferencia. Encambio, se dice que un polígono es circunscritocuando sus lados son tangentes a la circunferencia.

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Se dice que dos polígonos son semejantes cuandotienen sus ángulos respectivamente iguales y suslados homólogos son proporcionales.Los cuadriláteros, polígonos de cuatro lados, se clasi-fican, atendiendo al paralelismo de los lados opuestos,en: paralelogramos, trapecios y trapezoides (figu-ra 29). Cuando los lados opuestos son paralelos dos ados el cuadrilátero se denomina paralelogramo. Cuan-do son paralelos un par de lados opuestos el cuadrilá-tero se llama trapecio. Si no existe ningún tipo de para-lelismo el cuadrilátero se denomina trapezoide.Los paralelogramos se clasifican en cuadrados, rec-tángulos, rombos y romboides. Los cuadrados sonlos paralelogramos que tienen iguales los cuatrolados y los cuatro ángulos. Los rectángulos son para-lelogramos con cuatro ángulos iguales y los ladoscontiguos desiguales. Los rombos son los paralelo-gramos que tienen los cuatro lados iguales y losángulos contiguos desiguales. Los romboides son los paralelogramos que tienen los lados y los ánguloscontiguos desiguales.Los trapecios se clasifican en rectángulos, isósceles yescalenos. Un trapecio rectángulo es el que tiene

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dos ángulos rectos. Un trapecio isósceles es elque tiene iguales los lados no paralelos. Un trapecio escaleno es el que no es rec-tángulo ni isósceles. En un trapecio loslados paralelos se denominan bases y,como son desiguales, uno de ellos es labase mayor y el otro la base menor. La perpendicular común a las bases deltrapecio se denomina altura del trapecio.Los trapezoides se clasifican en simétricos yasimétricos. Los simétricos tienen dos pares delados contiguos iguales, pero el primer par de ladoscontiguos iguales es diferente del segundo.

LA CIRCUNFERENCIAY EL CÍRCULO

La circunferencia (figura 30) es una curva cerrada yplana cuyos puntos equidistan de uno fijo llamadocentro. Se llama radio a cualquier segmento que uneel centro con un punto de la circunferencia. Se deno-mina círculo a la superficie limitada por una circun-ferencia. Ángulo central es el formado por dosradios. A toda circunferencia le corresponde unángulo central de 360°. Arco es una porción de cir-cunferencia. Si un arco coincide con la mitad de lacircunferencia recibe el nombre de semicircunferen-cia. Una cuerda es un segmento que une dos puntosde la circunferencia. La mayor de las cuerdas es eldiámetro, que es la cuerda que pasa por el centro dela circunferencia y equivale a dos radios. Secante de una circunferencia es toda recta que corta a la cir-cunferencia en dos puntos. Tangente a una circunfe-rencia es toda recta que toca a la circunferencia en un punto. Normal a una circunferencia es la per-pendicular a la tangente en el punto de contacto.

Recta exterior esla que no tiene nin-gún punto en comúncon la circunferencia. Cir-cunferencia circunscrita es la que pasa por los vér-tices de un polígono. Una circunferencia es inscritacuando es tangente a todos los lados de un polígono.Las circunferencias concéntricas tienen el mismocentro pero distinto radio. Segmento circular(figura 31) es la parte de círculo comprendida entre una cuerda y su arco. Sector circular (figura 32) es la parte de círculo limitada por dos radios y el ar-co comprendido entre ellos. Corona circular (fi-gura 33) es la porción de plano limitada por dos circunferencias concéntricas. Trapecio circular (fi-gura 34) es la porción de plano limitada por dos cir-cunferencias concéntricas y dos radios.En un mismo plano dos circunferencias puedenadoptar las siguientes posiciones relativas:

• Circunferencias exteriores.• Circunferencias tangentes exteriormente.• Circunferencias interiores.• Circunferencias concéntricas.• Circunferencias tangentes interiormente.• Circunferencias secantes.


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Figura 30

Figura 34

Figura 33

Figura 31

Figura 32

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Figura 39

ferencia por n° y dividiendo el producto obtenidopor 360°. Es decir, lcircunferencia = 2 · π · r:

2 · π · r · n° π · r · n°larco = –––––––—––– = –––—–––––

360° 180°

ÁREAS DE LAS FIGURASPLANAS MÁS USUALES

• Triángulo. El área de un triángulo es igual al semi-producto del lado considerado por su altura corres-pondiente (figura 35). Es decir:

b · hA = –––––

2

siendo A el área del triángulo, b la base y h la altura.• Paralelogramo. El área de un paralelogramo es

igual al producto de su base por su altura (figu-ra 36). Es decir:

A = b · h

siendo A el área del paralelogramo, b la base y h laaltura.

96

Figura 37

Figura 38

Figura 36

Figura 35

PERÍMETROS Y ÁREASDE FIGURAS PLANAS

Se llama perímetro de un polígono a la longitud de sucontorno, es decir, a la suma de las longitudes detodos sus lados. En el caso de ser polígonos regula-res, el perímetro será igual a la longitud de uno de loslados por el número de ellos:

P = l · n

La razón entre la longitud de la circunferencia y su diá-metro es una cantidad constante, que se representamediante la letra griega π. Así pues, la longitud de lacircunferencia es igual al doble de πmultiplicado porel radio. La longitud de un arco de circunferencia den° se obtiene multiplicando la longitud de la circun-

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siendo A el área del polígono regular, P el perímetroy ap la apotema. Para hallar el área de un polígonoirregular se divide en triángulos y seguidamente sesuman las áreas de los triángulos así obtenidos.

• Círculo. El área del círculo es igual al cuadrado delradio multiplicado por π. Es decir:

A = π · r2

siendo A el área del círculo y r el radio.• El área de una corona circular de radios R y r es igual

al producto de π por la diferencia de los cuadradosde los radios.

• El área de un sector circular es igual al semipro-ducto de la longitud de su arco por el radio.

• El área de un segmento circular es igual al área delsector circular que abarca el mismo arco menos elárea del triángulo formado por los radios que lodelimitan y la cuerda correspondiente.

• El área de un trapecio circular limitado por dosarcos de radios R y r y por dos radios que forman unángulo central de n° viene dada por la expresión:

π(R2 – r2) · n°A = –––––––––—––––

360°

MEDIDA DE ÁNGULOSEN LA CIRCUNFERENCIA

Se dice que un ángulo es central (figura 40) cuan-do tiene su vértice situado en el centro de la

circunferencia. La medida de un ángulocentral es igual a la de su arco corres-pondiente. Se dice que un ángulo esinscrito cuando tiene su vértice en lacircunferencia y sus lados son secan-tes (figura 41). Se dice que un ángu-lo es semiinscrito (figura 42) cuando

tiene su vértice en la circunferencia yuno de sus lados es una tangente y el

otro es una secante. La medida de un ángu-lo semiinscrito es igual a la mitad del ángulo cen-

tral correspondiente al arco comprendido entre suslados. Se dice que un ángulo es interior (figura 43)cuando su vértice es un punto interior a la circunfe-rencia. La medida de un ángulo interior es igual a lasemisuma de las medidas de los arcos comprendidospor sus lados y por sus prolongaciones. Se dice queun ángulo es exterior (figura 44) cuando su vértice

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• Cuadrado. El cuadrado es un caso particular deparalelogramo en el que todos los lados son igua-les y perpendiculares entre sí. Si llamamos l al lado del cuadrado, tanto la base como la altura valdránl y, por consiguiente, tendremos que:

A = l · l = l2

siendo A el área del cuadrado y l el lado. El área delcuadrado puede expresarse también en función dela diagonal. En este caso se tiene que:

d2A = –––

2

siendo A el área del cuadrado y d la diagonal.• Rombo. El rombo es un caso particular de parale-

logramo en el que todos los lados son iguales, perono son perpendiculares entre sí. El área del rombose suele expresar en función de sus diagonales(figura 37). En este caso, se tiene que:

D · dA = –––––

2

siendo A el área del rombo, D la diagonal mayor yd la diagonal menor.

• Trapecio. El área de un trapecio es igual a la semi-suma de las bases por la altura (figura 38). O sea:

B + bA = –––––– · h

2

siendo A el área del trapecio, B labase mayor, b la base menor y hla altura.

• Polígono. El área de un polígonoregular es igual al semiproducto delperímetro por la apotema (figura 39).O sea:

P · apA = –––––

2

Figura 41

Figura 40

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es un punto exterior a la circunfe-rencia. La medida de un ángulo ins-crito es igual a la mitad del ángulo cen-tral correspondiente al arco comprendidoentre sus lados. La medida de un ángulo exte-rior es igual a la semidiferencia de las medidas de losarcos comprendidos por sus lados.

CONSTRUCCIONESGEOMÉTRICAS

CONSTRUCCIÓN DE RECTASPERPENDICULARES POR UN PUNTO

a) Una forma de construir una recta r' perpendicular aotra por el punto P sería colocar la escuadra en ladirección de la línea y, con el cartabón apoyado en la misma, trazar la recta perpendicular deslizandouno sobre la otra (figura 45).

b) Otra forma sería la siguiente: se traza por P, con elcompás, un arco de circunferencia que corte a r enlos puntos Q1 y Q2. Por Q1 trazamos un arco decircunferencia (figura 46) y, con el mismo radio,trazamos desde Q2 otro arco igual. Estos dos últi-mos arcos se cortan en el punto M.

La recta PM será perpendicular a r y pasará por P,como se puede observar en la figura.

CONSTRUCCIÓN DE RECTASPARALELAS POR UN PUNTO

a) Una forma de construir una recta r' paralela a otrapor el punto P sería colocar el cartabón en la direc-ción de la línea y, apoyándolo sobre la regla,moverlo hasta que encontremos el punto, pordonde trazaremos la paralela (figura 47).

b) Supongamos (figura 48) la recta r y el punto P exte-rior a ella. Haciendo centro en un punto O cual-quiera de r, dibujamos una semicircunferencia quepase por P, la cual cortará a r en dos puntos, A y B.

98

Figura 44

Figura 45

Haciendo centro en A, dibujamos un arco de circun-ferencia que pase por P y, con centro en B y con elmismo radio, trazamos un arco que cortará a la pri-mera semicircunferencia en el punto P'.La recta PP' será paralela a la recta r primera.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO ABLa mediatriz de un segmento AB es la recta perpen-dicular a dicho segmento pasando por su puntomedio. La mediatriz de un segmento equidista de losextremos del mismo.Para construir la mediatriz (figura 49) se traza unarco en el semiplano superior y otro en el inferior,haciendo centro en A, y lo mismo haciendo centro enB, ambos con el mismo radio. Estos arcos se cortaránen los puntos P y Q.La recta PQ será la mediatriz del segmento AB.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULOSi tenemos un ángulo en el plano de vértice O, paratrazar la bisectriz centramos el compás en O y traza-mos, con un radio cualquiera, un arco. Dicho arcocortará a los lados del ángulo en dos puntos, A y B(figura 50).Haciendo centro en A, se traza con el compás un arcode radio cualquiera y después, haciendo centro en B y

Figura 42

Figura 43

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Figura 50

Figura 49

Figura 48

Figura 47

99


Figura 51

Figura 46

con el mismo radio, trazamos otro arco, dichos dosarcos se cortarán en el punto C. La recta que une el vértice del ángulo con C, OC, será la bisectriz delmismo.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES

Entre los diversos métodos para la construcción depolígonos, podemos citar los siguientes:

a) Dibujamos una circunferencia de diámetro AB ydividimos éste en tantas partes iguales como ladostenga el polígono que queremos dibujar. Haciendocentro en el punto A, trazamos con el compás unarco de radio el diámetro de la circunferencia.Desde el punto B, trazamos otro arco con el mismoradio que el anterior. Ambos arcos se cortarán enel punto P.Si unimos el punto P anterior con la segunda divi-sión del diámetro realizada anteriormente, dicharecta cortará a la circunferencia en un punto Q. El lado AQ es el lado del polígono de n lados quequeríamos dibujar (figura 51).

b) Para construir un cuadrado, podemos dibujar unacircunferencia y trazar dos diámetros perpendicu-lares entre sí. Dichos diámetros cortan a la circun-

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Figura 52

Figura 53

Figura 54

Figura 55

d) Conocidos dos lados, b, c, y un ángulo no com-prendido, B (figura 59).Se traza el lado c, de extremos A y B. Por B, con laayuda de un transportador de ángulos, trazamos elángulo B y dibujamos la semirrecta que es el ladodel mismo del ángulo. Con centro A, y con laayuda del compás, se dibuja un arco de radio b. Elpunto en que dicho arco corta a la semirrecta ante-rior es el vértice C.Se puede dar el caso de que la intersección sean dospuntos, uno o ninguno, y así existirán dos solucio-nes, una o ninguna.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTOEN PARTES IGUALES

Para dividir un segmento en partes iguales procede-remos de la siguiente manera (figura 60):En primer lugar, dibujaremos el segmento AB quequeremos dividir y, desde uno de sus extremos, dibu-jaremos una semirrecta cualquiera.Con la ayuda de un compás, sobre la semirrecta dibu-jada, llevaremos tantos segmentos iguales, uno a conti-nuación del otro, como el número de veces en que que-remos dividir AB.Uniremos el último de los puntos así dibujados conel punto B del segmento primitivo.Finalmente, con la ayuda de escuadra y cartabón,dibujaremos líneas paralelas a esta última por lasdivisiones realizadas con el compás.

ferencia en cuatro puntos. Uniéndolos, obtendre-mos un cuadrado (figura 52).

c) Para dibujar un octógono, podemos partir deldibujo de un cuadrado y trazar los diámetros per-pendiculares a los lados del cuadrado. Dichos diá-metros cortan a la circunferencia en cuatro puntos que, junto con los cuatro vértices del cua-drado, forman los vértices de un octógono(figura 53).Si a su vez trazáramos los diámetros perpendicula-res a los lados del octógono, podríamos dibujar unpolígono de dieciséis lados, y así sucesivamente,de 32 lados, etc.

d) Para dibujar un hexágono se procede de la si-guiente manera (figura 54):En primer lugar, dibujamos una circunferencia deradio igual al lado del hexágono que queremosdibujar.Con centro en cualquier punto de la circunferen-cia, trazamos un arco de radio el de la misma y quela corte. Desde dicho punto de corte, trazamosotro arco, y así sucesivamente, hasta completartoda la circunferencia. Si unimos los seis puntosde corte de los arcos con la circunferencia, obten-dremos un hexágono regular.

e) Para construir un triángulo equilátero se procede dela misma manera que en el caso del hexágono, peroen lugar de unir los puntos en que queda dividida lacircunferencia, se unen los alternos (figura 55).

CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOSa) Conociendo los tres lados: a, b, c (figura 56).

Se traza el lado a, cuyos extremos serán B y C.Haciendo centro en B, dibujamos un arco de circun-ferencia de radio c y, con centro en C, trazamos otroarco de circunferencia de radio b. Los dos arcos secortarán en un punto. Dicho punto es el vértice A.

b) Conociendo dos lados, b y c, y el ángulo com-prendido, A (figura 57).Se traza el lado b, de extremos A y C. Por el extremo,A, llevamos con un transportador el ángulo A y, sobreel lado extremo de dicho ángulo, se lleva el lado c. Su extremo será el vértice B. BC será el lado a.

c) Conocidos un lado, a, y los ángulos adyacentes, By C (figura 58).Trazamos el lado a, cuyos extremos son B y C. En elvértice B, y con la ayuda de un transportador deángulos, trazamos el ángulo B y, en el vértice C, el ángulo C. Los lados de los ángulos dibujados secortarán en un punto, que será el vértice A.

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Figura 60

Figura 59

GEOMETRÍA PLANA

G E O M E T R Í A

Figura 57

Figura 58

Figura 56

Figura 61

Los segmentos que dichas rectas paralelas determinenen el AB serán todos iguales por el teorema de Tales.

CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS SEMEJANTES

Para construir polígonos semejantes a uno dado(figura 61), con una razón de semejanza dada k,tomaremos un punto O, interior o exterior al polígo-no. Si se unen los vértices del polígono con el puntoO, se obtienen las semirrectas OA, OB, OC,... Sobre lasemirrecta OA se toma el punto A' de manera tal queel cociente OA/OA' sea la razón de semejanza dada.Por A' dibujamos una paralela a AB, que cortará a OBen B'. Por B' trazamos una paralela a BC, que cortaráa OC en C', y así sucesivamente, obtendremos el polí-gono A'B'C'D'E' semejante al ABCDE.

094-102-MATES 6/6/02 12:34 Página 101

CUARTO PROPORCIONALA TRES SEGMENTOS DADOS

El cuarto proporcional a tres segmentos dados, a, b,c, es otro segmento x que cumple la condición:

a c— = —b x

Para construir el cuarto proporcional (figura 62), di-bujamos dos semirrectas de origen común O cual-quiera. Sobre una de dichas semirrectas se llevan lossegmentos OA = a y AB = b, y sobre la otra, OC = c. Setraza AC y luego la paralela a la anterior que pase porel punto B, BX, que determinará el segmento CX = x,que es el cuarto proporcional que queríamos dibujar.

TERCERO PROPORCIONALA DOS SEGMENTOS DADOS

Se denomina tercero proporcional a dos segmentosdados a y b, a un segmento x que cumple la condición:

a b— = —b x

Para construirlo (figura 63), al igual que hacíamos enel caso del cuarto proporcional, se dibujarán dos semi-rrectas de origen común O. Sobre una de dichas semirrectas se lleva el segmento OA = a y el AB = b.Sobre la otra semirrecta se traza OC = b. Dibujando larecta AC y otra paralela a la misma por el punto B,esta última determinará el segmento buscado CX = x.

102

Figura 62


79. ¿Cuáles serán el ángulocomplementario y el suplementario del

ángulo 25°37’45”?80. ¿Cuánto medirán los ángulos interiores

de un triángulo equilátero?81. Los lados de un triángulo miden

10, 13 y 20 cm. ¿Se trata de un triángulorectángulo, acutángulo u obtusángulo?

82. Los lados de un triángulo miden 10, 12 y 18 cm. ¿Cuánto medirán los ladosde un triángulo semejante al mismo cuya

área sea nueve veces mayor?83. ¿Cuántos lados ha de tener

un polígono regular para que el ángulointerior mida 150°?

84. Hallar el área de un sector circular queabarca un ángulo de 60° correspondiente

a una circunferencia de 20 cm de radio.

85. Un ángulo inscrito en una circunferenciaabarca un arco cuyo ángulo central

correspondiente mide 140°. ¿Cuánto medirá aquél?

86. ¿Por qué el lado de un hexágonoregular mide igual que el radio?

87. ¿Cuál será el medio proporcional de dos segmentos: a = 9 cm

y b = 4 cm?

Figura 63

094-102-MATES 6/6/02 12:35 Página 102

Figura 64Los cuerposgeométricos sonmodelostridimensionalesesquemáticos, que nospermiten representar los objetos que nos rodean.

GEOMETRÍA DEL ESPACIOUn plano es una superficie indefinida tal que si una recta tiene dos puntos en ella,

toda la recta está contenida en la superficie. Un plano es ilimitado y divide elespacio en dos regiones (figura 64). Los puntos del espacio sólo pueden

pertenecer a una de las dos regiones, excepto los del plano que pertenecen aambas. Una recta y un plano pueden tener las siguientes posiciones relativas: quela recta esté contenida en el plano, o bien que la recta tenga un punto en común

con el plano, y en tal caso se cortan, o bien que no tengan ningún punto en comúny serán paralelos. Las posiciones relativas de dos planos pueden ser: coincidentes,

secantes (se cortan en una recta) y paralelos (sin puntos comunes).

103

PLANOS Y RECTASEN EL ESPACIO

Un plano puede venir determinado por tres puntos nosituados en línea recta (figura 65), o bien por dos rec-tas que se cortan (figura 66), o bien por dos rectasparalelas (figura 67) o por una recta y un punto exte-rior a ella (figura 68).Dos rectas en el espacio pueden ser: coincidentes sitienen todos sus puntos comunes, secantes si tienen

sólo un punto común, paralelas si no tienen puntoscomunes pero existe un plano que contiene a ambasy se cruzan, si no tienen puntos en común y no exis-te ningún plano que contenga a ambas.Entre las propiedades que cumplen dos rectas paralelascabe citar las siguientes: a) todo plano que corte a unade ellas, cortará también a la otra; b) todo plano quecontenga o sea paralelo a una de ellas, contendrá o seráparalelo a la otra, y c) toda recta paralela a una de ellas, será paralela a la otra o será coincidente con ella.

103-110-MATES 5/6/02 17:36 Página 103

Otras propiedades del parale-lismo de rectas y planos son: a) si una recta esparalela a un plano, todo plano que la contengay corte al mismo lo hará según una recta paralelaa la dada; b) si una recta es paralela a un plano,toda paralela a la misma con un punto en el planoestará contenida en el mismo, y c) si una recta esparalela a dos planos que se cortan, es paralela a larecta intersección de ambos.Entre las propiedades de los planos paralelos, se tie-nen: a) dos planos paralelos a un tercero son parale-los entre sí; b) por un punto exterior a un plano sepuede trazar un solo plano paralelo a él; c) si unplano corta a otros dos paralelos, las interseccionesson dos rectas paralelas, y d) toda recta que corta aun plano, corta también a su paralelo.

ÁNGULOS Y DISTANCIAS

Se define el ángulo de dos rectas que se cruzan comoel ángulo formado por una paralela a cada una deellas por un punto fijo del espacio. Si dicho ángulo esrecto, se dice que las rectas se cruzan perpendicular-mente o que son perpendiculares.Decimos que una recta es perpendicular a un planocuando lo corta y además es perpendicular a todaslas rectas del mismo.Las rectas y planos perpendiculares tienen las pro-piedades siguientes: a) por un punto del espacio sepuede trazar un único plano perpendicular a unarecta e infinitas rectas perpendiculares a la misma; b) por un punto del espacio se puede trazar unaúnica recta perpendicular a un plano dado, y c) sidesde un punto exterior a un plano se traza una per-pendicular y varias oblicuas al plano, los segmentosdeterminados entre el punto y el plano cumplen quela perpendicular es menor que cualquiera de las obli-cuas.Se denomina distancia de un punto a un plano alsegmento de perpendicular trazada desde el punto al plano.Denominamos ángulo diedro a la figura formada pordos semiplanos que parten de una recta común a la

que se denomina arista del mismo. A los semiplanosse les llama caras del diedro. Si se traza un planoperpendicular a la arista del diedro, aquél corta a lascaras en dos semirrectas con un punto común. A dicho ángulo se le llama rectilíneo correspon-diente del diedro. La medida de un diedro es la de surectilíneo correspondiente. Dos diedros se dice queson consecutivos cuando tienen la misma arista y unacara común.Podemos afirmar que dos planos son perpendicula-res cuando se cortan formando diedros adyacentesiguales, esto es, rectos.Se llama ángulo poliedro la porción de espacio limita-da por varios ángulos planos que tienen el mismo vér-tice y cada uno un lado común con el siguiente. El vértice común es el vértice del ángulo poliedro, los ángu-los que lo limitan son las caras, y los lados de dichosángulos, las aristas. Además, cada dos caras consecuti-vas forman un ángulo diedro del ángulo poliedro.Si trazamos un plano que corte a todas las aristas deun ángulo poliedro, se formará un polígono. Cuandodicho polígono sea cóncavo diremos que el ángulopoliedro es cóncavo, y si el polígono es convexo dire-mos que el ángulo poliedro es convexo.Se verifica que una cara de un ángulo poliedro esmenor que la suma de las demás. Y también que lasuma de todas las caras de un ángulo poliedro con-vexo es menor que 360°.

POLIEDROS

Se llama poliedro a un cuerpo geométrico limitadopor polígonos. A dichos polígonos se les llama carasdel poliedro, y a los lados de los mismos, lados delpoliedro. Se llama diagonal de un poliedro al seg-mento que une dos vértices del mismo que no perte-necen a la misma cara.

104

Figura 68Figura 67

Figura 65

Figura 66

103-110-MATES 5/6/02 17:37 Página 104

Se dice que un poliedro es regularcuando sus caras son polígonos regu-lares iguales y sus ángulos poliedros tie-nen el mismo número de caras. Tan sóloexisten cinco poliedros regulares, que recibensus nombres del número de caras: tetraedro,(figura 69) que tiene 4 caras que son triángulosequiláteros iguales; hexaedro (figura 70), que tiene 6 caras que son cuadrados iguales; octaedro (figu-ra 71), que tiene 8 caras que son triángulos equiláte-ros iguales; dodecaedro (figura 72), que tiene 12 ca-ras que son pentágonos regulares iguales, e icosaedro(figura 73), que tiene 20 caras que son triángulosequiláteros iguales.En la tabla se muestran las características de cada uno delos poliedros regulares:

De la tabla se deduce inmediatamente que en todos lospoliedros regulares se cumple la relación c + v = a + 2.La relación anterior es válida para cualquier poliedroconvexo y recibe el nombre de relación de Euler.Prisma (figura 74) es el poliedro limitado por variosparalelogramos y por dos polígonos iguales cuyosplanos son paralelos. Los polígonos iguales y paralelosreciben el nombre de bases del prisma, mientras queel resto de los paralelogramos se denominan caras delprisma. Atendiendo al número de lados de los polígo-nos que forman las bases, los prismas se dividen en

105

G E O M E T R Í AGEOMETRÍA DEL ESPACIO

triangulares, cuadrangulares, pentagonales, he-xagonales, etc.Se denomina paralelepípedo a un prisma cuyasbases son paralelogramos. Diagonal de un paralelepí-pedo es el segmento que une dos vértices opuestos.Se dice que un paralelepípedo es recto cuando susaristas laterales son perpendiculares a las bases.Cuando estas bases son rectángulos el paralelepípedorecibe el nombre de ortoedro.La pirámide (figura 75) es un poliedro con una cara,denominada base, que es un polígono cualquiera,

Figura 74

Figura 75

Figura 69

Figura 71

Figura 70

Figura 73

Figura 72

103-110-MATES 5/6/02 17:37 Página 105

mientras que las otras caras, denomina-das caras laterales, son triángulos que sejuntan en un punto común, que recibe elnombre de vértice de la pirámide. Aten-diendo al polígono que constituye la base, laspirámides se dividen en triangulares, cuadrangulares,pentagonales, hexagonales, etc. Se dice que una pirá-mide es regular cuando su base es un polígono regu-lar y el pie de su altura coincide con el centro de labase. Las caras laterales de una pirámide regular sontriángulos isósceles iguales y la altura de cada uno deestos triángulos recibe el nombre de apotema de lapirámide.

CUERPOS CON SUPERFICIES NO PLANAS

Se denomina superficie de revolución toda superfi-cie engendrada por una línea, denominada genera-triz, que gira alrededor de una recta que recibe elnombre de eje. Una superficie cilíndrica (figura 76)es la engendrada por una recta que gira paralelamen-te a un eje. Una superficie cónica (figura 77) puedeconsiderarse engendrada por una semirrecta no per-pendicular al eje, uno de cuyos extremos está en eleje y que gira alrededor de él. Una superficie esféri-ca (figura 78) puede suponerse que está engendradapor una semicircunferencia que gira alrededor de su

diámetro. Los cuerpos de revoluciónlimitados por las tres superficies anterio-

res se llaman, respectivamente, cilindro,cono y esfera.

Un cilindro circular recto es la porción deespacio limitado por una superficie cilíndrica de revolución y dos planos perpendiculares al eje.Las secciones producidas por dichos planos son doscírculos que se llaman bases del cilindro. La distan-cia entre las bases se denomina altura del cilindro. Un cilindro puede considerarse engendrado por larevolución de un rectángulo alrededor de uno de suslados. El lado que engendra la superficie cilíndrica sedenomina generatriz.Se denomina cono circular recto la porción de espa-cio limitada por una superficie cónica de revolucióny un plano perpendicular al eje.

106

Figura 78

Figura 79

Figura 80

Figura 81

Figura 76

Figura 77

Figura 82

103-110-MATES 5/6/02 17:37 Página 106

Tronco de cono es la porción de cono circular rectocomprendida entre la base y un plano paralelo a ella.Un tronco de cono circular puede considerarseengendrado por la revolución de un trapecio rectán-gulo que gira alrededor del lado perpendicular a lasbases.Superficie esférica es el lugar geométrico de lospuntos del espacio que equidistan de un punto inte-rior llamado centro.Una esfera es el conjunto formado por los puntos deuna superficie esférica y los puntos interiores a ella.Se denomina radio de una esfera a la distancia quehay desde el centro y un punto de la superficie. Cual-quier recta que pasa por el centro de la esfera se de-nomina diámetro y cualquier plano que pasa por elcentro de la esfera recibe el nombre de plano diame-tral. Todo plano diametral divide a una esfera en dos partes iguales denominadas hemisferios o semiesferas.Si se corta una esfera por un plano secante, cada unade las porciones resultantes se denomina casqueteesférico (figura 79). Si se corta una esfera por dosplanos paralelos, la porción de esfera resultante sedenomina zona esférica (figura 80). Un huso esfé-rico (figura 81) es la porción de superficie esféricalimitada por dos semicírculos máximos. La porciónde esfera limitada por dos semicírculos máximos sellama cuña esférica (figura 82). Se denomina trián-gulo esférico la porción de superficie esférica limita-da por tres arcos de círculo máximo.

Se dice que una recta es secante, tangente o exteriora una esfera dependiendo de que tenga, respectiva-mente, dos, uno o ningún punto común con ella.

ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

La superficie de un poliedro es el conjunto de todas lascaras. La medida de la superficie de un poliedro es elárea del poliedro y es la suma de las áreas de las caras.A continuación se indican las áreas de prismas, pirá-mides, cilindros, conos y superficies esféricas.

• Prisma. El área lateral de un prisma regular esigual al perímetro de la base por la altura (figu-ra 83). El área total es igual a la lateral más las delas bases. O sea:

Al = P · h ; At = P · h + 2Ab

donde Al es el área lateral, P, el perímetro de labase, h, la altura, At , el área total y Ab, el área de la base.

• Pirámide. El área lateral de una pirámide regulares igual al semiperímetro de la base por la apotemalateral (figura 84). El área total es igual a la lateralmás la de la base. O sea:

107

Figura 83

G E O M E T R Í A

Figura 84

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

103-110-MATES 5/6/02 17:38 Página 107

108

Figura 86

As = 4 · π · r2

donde As es el área de la superficie esférica y r, elradio de la misma.

• Casquete esférico. El área de un casquete esféricoes igual a la longitud de una circunferencia máximapor la altura del mismo. Es decir:

Acasquete = 2 · π · R · h

donde R es el radio de la superficie esférica y h, laaltura del casquete.

• Zona esférica. El área de una zona esférica es iguala la longitud de una circunferencia máxima por laaltura de la misma. Es decir:

Azona = 2 · π · R · h

donde R es el radio de la superficie esférica y h, laaltura del casquete.

• Huso esférico. El área de un huso esférico de n° deamplitud viene dada por la expresión:

Al = P · a/2 At = Al + Ab

donde Al es el área lateral, P, el perímetro de labase, a, la apotema lateral, At, el área total y Ab, elárea de la base.

• Cilindro. El área lateral de un cilindro recto esigual a la longitud de la circunferencia de la basepor la altura (figura 85). El área total es igual a lalateral más las de las bases. O sea:

Al = 2 · π · r · h

At = 2 · π · r · h + 2 · π · r2 = 2 · π · r · (h + r)

donde Al es el área lateral, r, el radio de la base, h,la altura y At, el área total.

• Cono. El área lateral de un cono recto es igual a lalongitud de la semicircunferencia de la base por la generatriz (figura 86). El área total es igual a lalateral más la de la base. O sea:

Al = π · r · g; At = π · r · g + π · r2 = π · r · (g + r)

donde Al es el área lateral, r, el radio de la base, g,la generatriz y At, el área total.

• Superficie esférica. El área de la superficie esféri-ca es igual a la de cuatro círculos máximos, esdecir:

Figura 85

103-110-MATES 5/6/02 17:38 Página 108

• Pirámide. El volumen de una pirámide es igual ala tercera parte del producto del área de su base porsu altura (figura 90). Es decir:

1V = — S · h

3

donde V es el volumen de la pirámide, S, el área dela base y h, la altura.

• Cilindro. El volumen de un cilindro es igual a sualtura mutiplicada por el área de su base (figu-ra 91). O sea:

V = h · S

es decir:

V = h · π r2

donde V es el volumen del cilindro, S, el área de labase, h, la altura del cilindro y r, el radio del círcu-lo de la base.

• Cono. El volumen de un cono es igual a la terceraparte del producto de su altura multiplicada por elárea de la base (figura 92). O sea:

1 1V = — h · S = — h · πr2

3 3

donde V es el volumen del cono, S, el área de labase, h, la altura del cono y r, el radio del círculode la base.

109

G E O M E T R Í AGEOMETRÍA DEL ESPACIO

Figura 90

π · R2 · n°Ahuso = ––––––––––

90°

donde n° es la amplitud del huso y R, el radio de lasuperficie esférica.

VOLÚMENESDE CUERPOS GEOMÉTRICOS

El volumen de un poliedro es la región del espacio limi-tada por la superficie poliédrica. A continuación seindican los volúmenes de los cuerpos geométricosmás comunes:

• Prisma. El volumen del prisma es igual al produc-to del área de su base por su altura (figura 87). Es decir:

V = S · h

donde V es el volumen del prisma, S, la superficiede la base y h, la altura.

• Ortoedro. El ortoedro es un prisma cuyas basesson rectángulos (figura 88). Así pues, el volumendel ortoedro es igual al producto de sus tres dimen-siones.

• Cubo. El volumen de un cubo es igual al cubo desu arista (figura 89).

Figura 89

Figura 92

Figura 91

Figura 88

Figura 87

103-110-MATES 5/6/02 17:38 Página 109

110

• Esfera. El volumen de la esfera es igual a 4/3 de πpor el cubo del radio (figura 93). O sea:

4V = — · π · r3

3

donde V es el volumen de la esfera y r, el radio.• Tetraedro. El volumen de un tetraedro es igual a

2/12 por el cubo de su arista (figura 94). Es decir:

2V = —–—— · a3

12

donde V es el volumen del tetraedro y a, la arista.• Octaedro. El volumen del octaedro es igual a

2/3 por el cubo de su arista (figura 95). Es decir:

2V = ––––– · a3

3

donde V es el volumen del octaedro y a, la arista.• Sector esférico. El volumen de un sector esférico

es igual a un tercio del área del casquete o zonacorrespondiente por el radio de la esfera (figu-ra 96). Esto es:

2 · π · R2 · hVsector = –––––––––––

3

Figura 94

Figura 95

Figura 96

88. Calcula la superficie lateral de unapirámide cuadrangular de 4 dm de altura y

tal que el lado de su base mide 6 dm.89. Calcula la superficie de un huso

esférico que corresponde a 60º en unaesfera de 10 m de radio.

90. Queremos construir un depósitocónico de 10 m de altura con una

capacidad de 100.000 litros. Calcula cuáltiene que ser el radio de su base.

91. Una esfera de15 cm de radio es cortada por un plano

que dista de su centro 5 cm. Hallar el áreade cada uno de los dos casquetes en quequeda dividida la superficie esférica y el

volumen de la esfera.92. Si 1 m3 de plomo se prensa para

obtener una lámina cuadrada de 0,2 m de espesor, ¿cuál es el área

del cuadrado?93. Un depósito cilíndrico cuyo diámetro

es 8 m se llena mediante un grifo que mana 90 litros de agua porminuto. ¿Hasta qué altura se llenará si lomantenemos abierto durante 10 horas?

94. Calcula la relación que tiene que existirentre el radio de la esfera y la altura de

uno de sus casquetes para que el volumende dicho casquete sea la octava parte del

volumen total de la esfera.


Figura 97

Figura 93donde h es la altura del casquete o la zona corres-pondiente y R, el radio de la esfera.

• Cuña esférica. El volumen de una cuña esférica(figura 97) de n° de amplitud viene dado por laexpresión:

4––– πR3 · n°3 π · R3 · n°

Vcuña = ––––––––––– = –––––––––360° 270°

103-110-MATES 5/6/02 17:38 Página 110

Figura 1La trigonometríaes la parte de lasmatemáticas quepone en relaciónlas distancias conlos ángulos, por loque encuentraaplicación en unagran variedad de problemas.

RAZONESTRIGONOMÉTRICAS

Una vez definido un ángulo como cada una de las regiones en que dividen el planodos semirrectas con origen común y tomando como sentido

positivo el contrario al movimiento de las agujas del reloj, y como sentido negativo el del movimiento de las agujas del reloj,

debemos hablar de las unidades adecuadas para medirlos (figura 1).

111

MEDIDA DE ÁNGULOS

El sistema sexagesimal es el más utilizado. Comounidad fundamental emplea el grado, que es lanoventava parte del ángulo recto (el ángulo rectomide 90 grados sexagesimales). Como subunidadestenemos el minuto, que es la sesentava parte delgrado, y el segundo, que es la sesentava parte

del minuto. Los segundos se subdividen en déci-mas, centésimas, etc. Para facilitar la notación escri-biremos 12 grados, 20 minutos y 10 segundos, porejemplo, como 12°20’10’’.El sistema centesimal tiene como unidad funda-mental el grado centesimal, que es la centésimaparte del ángulo recto; sus subunidades son el minu-to y el segundo centesimales, que son la centésima

111-116-MATES 5/6/02 17:47 Página 111

RAZONESTRIGONOMÉTRICAS

DE UN ÁNGULOAGUDO

Usaremos triángulos rectángulos paraestablecer las relaciones entre segmen-

tos y ángulos que nos permitan calcular las longitu-des de los segmentos a partir de las amplitudes de losángulos o viceversa.Seno de un ángulo agudo. Tomemos un triánguloABC, rectángulo en A (figura 2), y definiremos elseno de un ángulo agudo como el cociente entre laslongitudes del cateto opuesto y de la hipotenusa.Tendremos:

b csen B = — y sen C = —

a a

Al observar el cociente que nos proporciona el senode un ángulo agudo, podemos afirmar que su valorserá siempre menor que 1 (los catetos de un triángu-lo rectángulo son siempre menores que su hipote-nusa). Si tomamos otros triángulos rectángulos con los mismos ángulos agudos, observaremos que los cocientes correspondientes nos determinarán elmismo valor para el seno, es único.Tomando el mismo triángulo rectángulo ABC, defini-remos el coseno de un ángulo agudo como el cocien-te entre el cateto continuo al ángulo y la hipotenusa.Tendremos:

c bcos B = — y cos C = —

a a

Al igual que el seno, el coseno de un ángulo agudoserá siempre menor que 1 y positivo; además, suvalor es único independientemente del triángulotomado (con los mismos ángulos).Para calcular la tangente de un ángulo agudo se nece-sitan los dos catetos. Tomando el mismo triángulorectángulo ABC, definiremos la tangente de un ángu-lo agudo como el cociente entre el cateto opuesto yel cateto contiguo. Tendremos:

b ctg B = — y tg C = —

c b

La tangente de un ángulo agudo es única para cadaángulo, pero puede ser cualquier número positivo.

parte de la unidad superior. Para facilitar la notación escribiremos31g15m73s, por ejemplo.En el sistema trigonométrico toma-mos como unidad el radián, que es elángulo cuyos lados comprenden unarco cuya longitud es igual a la delradio. Para medir un ángulo en radia-nes hay que medir el arco correspondiente y dividir-lo por la longitud del radio. El cociente entre el perí-metro de una circunferencia y su diámetro nos deter-mina un valor constante, π; será habitual usarlo paraexpresar los ángulos en este sistema, por ejemplo, 2π rad.Para pasar de un sistema a otro es necesario conside-rar las siguientes relaciones:

• De sexagesimal a centesimal y viceversa. Como90° sexagesimales equivalen a 100g centesimales, s°sexagesimales equivaldrán a cg centesimales en lamisma proporción. Por tanto:

100 c 100s 90c––––– = —, c = –––––, y s = –––––

90 s 90 100

• De sexagesimal a trigonométrico y viceversa.Como 360° sexagesimales equivalen a 2π radianes,a° sexagesimales equivaldrán a b radianes en lamisma proporción. Por tanto:

360 a πa 180b––––– = —, b = –––––, y a = –––––

2π b 180 π

Calculando a° de esta forma obtenemos los grados enforma decimal; para transformarlos en grados, minu-tos y segundos es necesario tomar la parte enteracomo grados y multiplicar la parte decimal por 60, ydel resultado obtenido tomaremos la parte enteracomo minutos y la nueva parte decimal la volvere-mos a multiplicar por 60 para obtener los segundos,la parte entera del nuevo resultado; si aún nos que-dan decimales debemos despreciarlos o transformar-los a notación decimal, dividiendo por 60. Para pasargrados, minutos y segundos a notación decimaldeberemos dividir por 60 los segundos y añadir elresultado a los minutos, dividiremos nuevamente por60 y obtendremos la parte decimal de los gra-dos. Por ejemplo, 20°12’30’’ = 20,208333°.

112

Figura 2

111-116-MATES 27/6/02 16:07 Página 112

T R I G O N O M E T R Í ARAZONES TRIGONOMÉTRICAS

OC x abscisactg = –––– = ––– = –––––––––

BC y ordenada

Estos cocientes nos permiten generalizar las definicio-nes a cualquier ángulo, tomando el triángulo rectángu-lo que determinan. Los signos de las razones trigono-métricas dependen del signo de la abscisa y la ordenadacorrespondientes (el radio siempre se considera positi-vo); por ello podemos simplificar las cosas hablando decuadrantes (figura 3) y obtener la siguiente tabla:

Los valores inversos de las razones trigono-métricas seno, coseno y tangente nosdeterminan, respectivamente, la cose-cante, la secante y la cotangente.Tendremos:

1csc = ——

sen

1sec = ––––––

cos 1

ctg = ——tg

RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE OTROS ÁNGULOS

Para generalizar las razones trigonomé-tricas a cualquier ángulo, necesitaremos lascoordenadas cartesianas rectangulares. Si dibu-jamos una circunferencia con centro en el origende coordenadas, O, y representamos los ánguloscon vértice en dicho origen y el primer lado coin-cidiendo con el semieje positivo de abscisas, elsegundo lado nos determina un punto B al cortarcon la circunferencia. Supongamos que la abscisade B es x y la ordenada y; si llamamos R al radio dela circunferencia dibujada, tenemos un triángulorectángulo CBO, del que obtenemos las siguientesrelaciones:

BC y ordenadasen = –––– = ––– = –––––––––

OB R radio

OB R radiocsc = –––– = ––– = –––––––––

BC y ordenada

OC x abscisacos = –––– = ––– = –––––––

OB R radio

OB R radiosec = –––– = ––– = –––––––

OC x abscisa

BC y ordenadatg = –––– = ––– = –––––––––

OC x abscisa

Figura 3

113

111-116-MATES 5/6/02 17:47 Página 113

RELACIONES ENTRE LAS DIVERSAS RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS

Las siguientes relaciones nos permitirán deducircualquier razón trigonométrica a partir de otrasdadas.La tangente es igual al cociente entre el seno y elcoseno:

sen tg = ––––––

cos

La cotangente es igual al cociente entre el coseno y elseno:

cos ctg = ––––––

sen

La suma de los cuadrados del seno y del coseno de unángulo es igual a la unidad:

sen2 + cos2 = 1

La diferencia entre el cuadrado de la cosecante y elcuadrado de la cotangente de un mismo ángulo esigual a la unidad:

csc2 – ctg2 = 1

La diferencia entre el cuadrado de la secante y el cua-drado de la tangente de un mismo ángulo es igual ala unidad:

sec2 – tg2 = 1

Despejando convenientemente, obtendremos todaslas razones trigonométricas en función de otras.

Si tomamos una circunferencia de radio 1, obtene-mos resultados mucho más sencillos; de hecho,podemos identificar cada razón trigonométrica conun segmento; el seno y el coseno con el valor de laabscisa y la ordenada, respectivamente, es decir, conlos segmentos BC y OC, y las demás razones se dedu-cen por comparación de triángulos y tenemos tg = AT, ctg = DE, csc = OE y sec = OT(figura 4).

114

Figura 4

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115

Veamos a continuación la relación entre las razones tri-gonométricas de algunos ángulos.Las razones trigonométricas de ángulos que difierenen un número completo de circunferencias coinciden:

sen ( + 2kπ) = sen cos ( + 2kπ) = cos tg ( + 2kπ) = tg ctg ( + 2kπ) = ctg sec ( + 2kπ) = sec csc ( + 2kπ) = csc

Las razones trigonométricas de ángulos complementa-rios verifican las siguientes igualdades:

sen (90° – x) = cos xcos (90° – x) = sen xtg (90° – x) = ctg xctg (90° – x) = tg xsec (90° – x) = csc xcsc (90° – x) = sec x

Por su parte, las razones trigonométricas de ángulossuplementarios cumplen las siguientes igualdades:

sen (180° – x) = sen xcos (180° – x) = – cos xtg (180° – x) = – tg xctg (180° – x) = – ctg xsec (180° – x) = – sec xcsc (180° – x) = csc x

Los ángulos que difieren en 180° verifican las siguien-tes igualdades entre sus razones trigonométricas:

sen (180° + x) = – sen xcos (180° + x) = – cos xtg (180° + x) = tg xctg (180° + x) = ctg x

T R I G O N O M E T R Í ARAZONES TRIGONOMÉTRICAS

sec (180° + x) = – sec xcsc (180° + x) = – csc x

Las razones trigonométricas de los ángulos opuestoscumplen la siguientes igualdades:

sen (360° – x) = – sen xcos (360° – x) = cos xtg (360° – x) = – tg xctg (360° – x) = – ctg xsec (360° – x) = sec xcsc (360° – x) = – csc x

Por lo que respecta a los ángulos que difieren en 90°se cumple que:

sen (90° + x) = cos xcos (90° + x) = – sen xtg (90° + x) = – ctg xctg (90° + x) = – tg xsec (90° + x) = – csc xcsc (90° + x) = sec x

Estas expresiones nos permitirán reducir las razonestrigonométricas de un ángulo a las de otro del primercuadrante, puesto que los valores numéricos coinci-den si despreciamos el signo correspondiente.Dada una razón trigonométrica podemos calcular elángulo o los ángulos correspondientes a partir deella. Bien sea el seno (figura 5), el coseno (figura 6) ola tangente (figura 7).

Figura 6

Figura 5

Figura 7

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USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICAPara abordar el tema de trigonometría es suficientedisponer de una calculadora científica (figura 8).Empecemos por las distintas unidades de medida deángulos; es preciso determinar en cuál trabajamospara plantear o resolver un problema correctamente.En las calculadoras también deberemos indicar enqué unidades queremos trabajar:

a) Radianes.b) Grados sexagesimales y fracción decimal de grado.b') Grados sexagesimales, minutos y segundos.c) Grados centesimales, minutos y segundos.

En las calculadoras suelen aparecer como RAD, DEGy GRAD, respectivamente, y debemos indicarlo antesde empezar a trabajar.Nos interesa, además, saber pasar de un sistema aotro; para ello usaremos las relaciones que ya calcu-lamos al introducir los distintos tipos de unidadespara medir ángulos.Si tomamos a en grados sexagesimales y b en radia-nes, tenemos:

180 · b π · aa = –––––––– y b = ––––––

π 180

Para pasar de grados sexagesimales y fracciones deci-males de grado, a grados, minutos y segundos sexa-gesimales, y viceversa, algunas calculadoras disponende teclas que lo hacen directamente; si no tenemosesta función, es necesario hacer lo siguiente:Tomemos la parte entera como grados y multiplique-mos la parte decimal por 60; del resultado obtenido,tomemos la parte entera como minutos y la nuevaparte decimal la multiplicamos otra vez por 60, paraobtener ahora los segundos. Para el cambio inversoserá necesario dividir repetidas veces por 60.La forma centesimal tiene un uso muy res-tringido y, por tanto, no entraremosen detalles referentes a su com-portamiento.Una vez indicada en la calculado-ra la unidad de medida escogida,podemos iniciar los cálculos. Escri-biendo un ángulo en la calculadora ypresionando la tecla correspondientea la razón trigonométrica buscadaobtendremos el valor deseado.

Las calculadoras tienen teclas directas para , , ; para calcular la cosecante, la

secante o la cotangente, es necesario recurrir a lasinversas numéricas del seno, del coseno y de la tan-gente, respectivamente.Veamos el problema inverso, queremos calcular unángulo conocida una razón trigonométrica concreta.Para resolverlo hay que usar la doble función quetiene cada tecla. Para calcular el ángulo que tiene unseno dado, escribiremos el valor del seno y presiona-remos las teclas y , obteniendo el ánguloen el sistema de unidades que hubiésemos escogi-do previamente. En algunas calculadoras la tecla

se sustituye por o por . Para hacercálculos combinados, tendremos que usar los parén-tesis y las memorias para encontrar más rápidamen-te el resultado.

2NDSHIFTINV

SENINV

TANCOSSEN

116


Figura 8

95. Expresar en radianes el ángulo de 40°.96. ¿Puede ser cos = –1,666666?

97. De un triángulo rectángulo cuyos catetosmiden 7 y 9 cm, calcular tg B y cotg C.

98. Hallar todos los ángulos cuyo seno valga 1.

99. Si cos = cos , ¿ = ?

100. La tangente de un ángulo vale –1. ¿Cuánto mide dicho ángulo?

101. El seno de un ángulo del tercer cuadrante vale –0,5.

Calcula el coseno y la tangente.

102. Una señal de tráfico indica que la carretera tiene una

pendiente del 8 %. ¿Cuál es el ángulo queforma la carretera con la horizontal?

103. Una escalera de 7 m está apoyada en una pared formando un ángulo de 50º

con el suelo. Calcula hasta qué altura de la pared llega la escalera.

104. Si una cometa atada a un hilo de 70 m alcanza una altura de 60 m,

¿qué ángulo forma el hilo con la horizontal?

111-116-MATES 5/6/02 17:48 Página 116

PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

117

Muchas ciencias recurren a la estadística como ins-trumento de trabajo (figura 1), como la política, laeconomía, la medicina, etc. Una de las mayores difi-cultades de la estadística reside en la recogida de da-tos, ya que hay que determinar minuciosamente elgrupo con el que se va a trabajar y seleccionar de for-ma muy clara la información que se precisa. Dicha

información suele obtenerse por dos vías: la observa-ción directa y la observación indirecta. Cuando ha-blamos de observación directa, nos referimos bási-camente a la realización de encuestas, o bien a la anotación de resultados de una determinada expe-riencia, como, por ejemplo, la recogida de agua delluvia en distintas localidades. Pero son precisamen-

En general se entiende por estadística los censos de población con los que seanalizan cuantitativamente fenómenos demográficos como edades,

nivel económico, profesiones, etc. Pero esto es tan sólo la primera parte de la estadística, la estadística descriptiva. La segunda parte de la estadística, que

recibe el nombre de estadística inductiva o inferencia estadística, se encarga de obtener, a partir del estudio de una parte de un gran grupo, conclusiones

válidas sobre el grupo total e, incluso, calcula la probabilidad de que dichas conclusiones sean realmente correctas.

A la tercera y última parte de la estadística corresponde el analizar e interpretar las conclusiones obtenidas.

Figura 1Los gráficosestadísticos nospermitenobtenerrápidamenteuna visión deconjunto defenómenos enlos queinterviene unagran cantidadde datos.

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te las encuestas el procedimiento de mayor compleji-dad, pues puede influir directamente en los datosque se estudian. La observación indirecta, muchomás sencilla que la directa, consiste en recoger datosya anotados en ocasiones anteriores. El propósito dela estadística es estudiar de forma global un conjun-to, es decir, efectuar un estudio global de una o máscaracterísticas de que dispone cada uno de los ele-mentos que constituyen el conjunto.

POBLACIÓN

Cuando se tiene una serie de datos correspondientesa determinadas características de un grupo de perso-nas u objetos, como, por ejemplo, las notas de losestudiantes de una escuela o el número de piezasdefectuosas y no defectuosas producidas por untaller en un día, resulta prácticamente imposible opoco realista observar la totalidad de los individuos,especialmente si son muy numerosos. Por ello, envez de examinar todo el grupo, que se denominapoblación o universo (figura 2) lo que suele hacer-se es examinar una pequeña parte del mismo, que sedenomina muestra.Así pues, una población, que también puede recibirel nombre de colectivo, es el conjunto objeto delestudio y ha de quedar definida de forma muy con-creta y clara, es decir, podemos estar trabajando conun sinfín de cosas, como temperaturas, notas,plantas, etc., pero si, por ejemplo, nos referi-mos a las notas o calificaciones de exámenes,entonces debemos aclarar totalmente dequé materia son esos exámenes, los indi-viduos que los han hecho, así como susedades, curso, centro de estudios ylocalidad de éste.

MUESTRAS

Es habitual encontrarse con poblacionesimposibles de abarcar por completo,bien por ser muy numerosas, o bien por-que supondría su destrucción como puedeser el caso de la resistencia de una determina-da marca de automóviles frente a una colisiónfrontal. Trabajaremos entonces con una muestra,pero con la condición imprescindible de haber sidoseleccionada con carácter representativo. Cuando

118

Figura 2

una muestra es representativa de una población, pue-den deducirse importantes conclusiones sobre ésta, apartir del análisis efectuado.Una muestra representativa o, equivalentemente,una buena muestra, ha de verificar las dos condi-ciones siguientes:

a) Trabajaremos preferiblemente con muestras alea-torias, esto es, elegiremos la muestra de formacasual, tal que cada miembro de la poblacióntenga la misma posibilidad de resultar incluido enla muestra.

b) Una muestra ha de disponer de la mayoría de lascaracterísticas de la población y en la misma pro-porción con que se encuentre en ésta, esto es, seexige que la muestra sea uniforme y homogéneacon respecto a la población que representa.

Imaginemos, por ejemplo, que pretendemos hacerun estudio sobre el nivel económico de los indivi-duos de un determinado país; lo que no podemoshacer es atender a cada una de las personas de esepaís, pues resultaría un conjunto excesivamentenumeroso; así, trabajaremos solamente con un sub-conjunto de la población, es decir, con una muestra,pero ésta es evidente que no podrá ser formada tan

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sólo por personas de un barrio o de unamisma edad, pues no resultaría una mues-tra representativa. Tenemos que efectuarun riguroso muestreo, teniendo en cuen-ta los dos requisitos anteriormente ex-puestos.

VARIABLESESTADÍSTICAS

Se denominan así las propiedades que pretendemosestudiar y de que dispone cada uno de los individuosde la población que trataremos. Por ello, recibentambién el nombre de características estadísticas,ya que caracterizan todos los elementos del conjuntocon que se trabaja, determinando así la población.Según el tipo de variable a que atendamos, los ele-mentos de un determinado conjunto quedarán clasi-ficados de una u otra manera, pero siempre darálugar a una partición de la población en dos o mássubpoblaciones, que reciben el nombre de catego-rías. Por ejemplo, en un conjunto de personas lavariable estadística «sexo» determina dos categoríaso modalidades: el subconjunto formado por los varo-nes y el de las mujeres. Si en vez del sexo, atendemosal estado civil, se obtendrían tres categorías: solteros,casados y viudos.Según el número de categorías que, en una determi-nada población, determina la variable, ésta recibedistintos nombres. Si son dos las categorías determi-nadas, la variable se llama dicotómica, como es elcaso del sexo. Si son tres las categorías, se dice que lavariable es tricotómica, como por ejemplo el estadocivil, y si, en general, la población queda partida enk subpoblaciones o categorías, se dice que la variablees de orden k.También podemos clasificar las variables según quelas categorías que determinen sean o no mediblesnuméricamente. Distinguiremos entonces entrevariables cuantitativas y variables cualitativas. Porejemplo, si anotamos las edades de todos los alum-nos de una determinada aula, estaríamos observandouna variable cuantitativa; pero si contabilizamos el

número de chicos y el de chicas de esa misma aula,es decir, trabajamos con la variable sexo, entoncesésta sería cualitativa.

VARIABLES CUANTITATIVASLas variables cuantitativas se definen, pues, comoaquellas en las que las categorías determinadas sonmedibles numéricamente, es decir, son números.Diremos entonces que los elementos con los que tra-bajamos son datos.Las variables cuantitativas se pueden dividir en dos grupos: variables discretas y variables conti-nuas.Definimos como variables cuantitativas discretasaquellas que al observarlas proporcionan datos que for-man un conjunto finito o bien contablemente infinito.Llamaremos, entonces, variables cuantitativas conti-nuas a las que no son discretas, es decir, las que pue-den tomar cualquier valor real en algún intervalo de larecta real. Ahora bien, en múltiples ocasiones y parafacilitar su estudio, algunas variables discretas se traba-jan como si fueran continuas, debido a que se está tra-tando con una muestra en vez de con la poblacióncompleta, y algunas variables continuas se trabajancomo si fueran discretas, ya que al realizar efectiva-mente una medida, se da una aproximación, como esel caso de dar alturas de individuos.Así, el número de miembros de familias, las edadesde individuos o el número del calzado son ejem-plos de variables cuantitativas discretas; mientras queel peso y la altura de los individuos o el tiempo deespera a un determinado acontecimiento son ejem-plos de variables cuantitativas continuas (figura 3).

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E S TA D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A DPROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

Figura 3

117-128-MATES 5/6/02 17:56 Página 119

VARIABLES CUALITATIVASLas variables cualitativas se definen como aquellasen las que las categorías determinadas no son medi-bles numéricamente. Diremos entonces que los ele-mentos con los que trabajamos son atributos. Ahorabien, siempre podemos y solemos recurrir al artificiode asignar números a los atributos; un ejemplo habi-tual de ello es cuando asignamos el número 0 a unindividuo varón y 1 a un individuo hembra.

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS EN ESTADÍSTICA

Por lo general, los datos estadísticos se organizan enforma de tablas que muestran los recuentos de los ele-mentos de la población que corresponden a cada una de las categorías que quedan determinadas por la varia-ble estadística. Dichos números se denominan fre-cuencias.Así, definimos distribución de frecuencias como elconjunto formado por todos los valores que toma lavariable estadística estudiada, junto a sus respectivasfrecuencias. Dicha distribución suele organizarsemediante lo que denominamos tabla de frecuencias.Ésta consiste en expresar los valores de la variable enuna columna y la frecuencia de cada uno de éstos enotra columna. Ahora bien, disponemos de diversas modalidades defrecuencias con que trabajar dependiendo de lasnecesidades de cada estudio, tal y como exponemosa continuación.

FRECUENCIA ABSOLUTA Y FRECUENCIA RELATIVA

Supongamos que trabajamos con una variable esta-dística X; así, los valores que toma ésta serán: x1, x2,x3, ..., xn.Definimos la frecuencia absoluta o, simplemente,frecuencia de un valor de la variable como la cantidadde veces que aparece ese valor entre todos los datosobservados en la población o en la muestra, y lo repre-sentamos por F. De este modo, diremos que Fi es lafrecuencia absoluta del valor xi de la variable X.Veamos el concepto expuesto de frecuencia con unejemplo concreto: Elegimos una muestra aleatoria de 20 personas a lasque preguntamos por su número preferido entre 0 y

7, y a medida que nos daban la respuesta la vamosanotando tal y como aparece a continuación:

3, 3, 5, 6, 5, 7, 3, 7, 1, 0,

3, 7, 5, 7, 4, 7, 7, 5, 4, 7.

Pero esa serie de números tal y como aparecenexpuestos, no nos da una lectura fácil; resultaría másclarificador ordenarlos de menor a mayor y agruparlos que sean iguales:

0, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5,

5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7.

Así, vemos rápidamente la cantidad de veces que serepite cada uno de los números, es decir, la frecuen-cia absoluta de cada uno de los valores de la variable.Por ejemplo: el valor x1 = 0 tiene como frecuenciaabsoluta F1 = 1, al valor x3 = 2 le corresponde F3 = 0,etc. Todo ello quedará expresado con total claridad sihacemos uso de la tabla de frecuencias correspon-diente, como aparece en la figura 4, donde se puedeobservar que al sumar todas las frecuencias absolutasse obtiene el total de datos disponible que sueledenotarse por N.De todas formas, la frecuencia absoluta no es deltodo informadora, ya que, por ejemplo, decir quehay 4 personas de un total de 20 cuyo número pre-

120

Figura 4

117-128-MATES 5/6/02 17:56 Página 120

propias definiciones de frecuenciaabsoluta y relativa.De forma análoga, podríamosconstruir una tabla de frecuenciaspara una variable estadística cua-litativa, pero en la columnadonde irían los valores de lavariable, en caso de ser ésta cuan-titativa, pondríamos los atributosde la variable cualitativa.

REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS

GRÁFICAS

Hemos visto que, dando la distribución de frecuen-cias mediante una tabla de frecuencias, conseguimosuna lectura más fácil de la información, pero resultaaun más sencilla si recurrimos a los gráficos estadís-ticos. Disponemos de una abundante variedad deellos, dependiendo del tipo de variable con que tra-bajemos o bien del público a quien va dirigido elestudio.

Figura 6

ferido es el 5, tendría un significado muy distintoque si fueran 4 de un total de 100. Por ello, intro-ducimos el concepto de frecuencia relativa.Definimos la frecuencia relativa de un valor de lavariable como la cantidad de veces que aparece esevalor en relación al total de datos de la población omuestra estudiada, es decir, el cociente entre la fre-cuencia relativa de ese valor y el total de datos dis-ponibles, y lo representaremos por f. Esto es:

Ff = ––––

N

Con la serie estadística dada anteriormente, tendría-mos, por ejemplo, que la frecuencia relativa del valorx6 = 5 es:

F6 4f6 = –––– = –––– = 0,2

N 20

No obstante, es bastante habitual encontrarse conque las frecuencias relativas vienen expresadas enporcentajes. Así, f6 sería 20 %.La figura 5 mostraría una tabla de frecuencias generalpara una variable dada X, mientras que la figura 6correspondería a la tabla de frecuencias de la serieestadística que hemos expuesto antes como ejemplo.En esta última podemos comprobar que, si sumamostodas las frecuencias relativas, nos da como resultado 1y, evidentemente, si sumamos todas las frecuenciasrelativas dadas en porcentajes, el resultado nos da 100.Ambas propiedades se verifican siempre, debido a las

121

E S TA D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A D

Figura 5


117-128-MATES 5/6/02 17:56 Página 121

DIAGRAMA DE BARRASSe utiliza únicamente para variables cualitativas ycuantitativas discretas. Consiste en situar sobre unode los ejes de coordenadas, habitualmente el de abs-cisas, los valores que toma la variable, y sobre cadauno de éstos dibujar un segmento de longitud igual asu correspondiente frecuencia. La frecuencia podríaser cualquiera de las cuatro modalidades de frecuen-cia, y su escala de valores iría situada en el otro eje.La tabla de frecuencias de la figura 7 se puede repre-sentar mediante el diagrama de barras de la figura 8,en el que se consideran las frecuencias absolutas orelativas, o bien el diagrama de barras de la figura 9,en el que se consideran las frecuencias absolutas acu-muladas o relativas acumuladas.Considerando la variable de la figura 10, el diagramade barras correspondiente sería el que muestra lafigura 11, en el que podemos observar que las barrastambién pueden dibujarse horizontales e incluso enforma de estrechos rectángulos en vez de barras.

HISTOGRAMASEste tipo de gráfico se utiliza cuando trabajamos condistribuciones agrupadas. Consiste en representarsobre el eje horizontal los intervalos de clase de lavariable y, sobre ellos, dibujar rectángulos de base la amplitud de cada intervalo y las alturas tales que las áreas de los rectángulos sean proporciona-les a las frecuencias correspondientes. Ahora bien, si las amplitudes de los intervalos de clase son todasiguales, las alturas de los rectángulos del histogramacoincidirán con las frecuencias correspondientes.Así pues, la tabla de frecuencias correspondiente a lafigura 12 quedará representada por el histograma de

Figura 8

Figura 7

Figura 9

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Figura 11


Figura 10

Figura 12

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117-128-MATES 5/6/02 17:57 Página 123

124

Figura 13

Figura 15

Figura 14

la figura 13, considerando las frecuencias absolutas orelativas, y por el histograma de la figura 14, al consi-derar las frecuencias absolutas acumuladas o relativasacumuladas.Un ejemplo muy habitual de histograma es la deno-minada pirámide de población. Se trata de un histo-grama para una variable bidimensional en la que lascaracterísticas más usuales son el sexo y la edad, tal ycomo se muestra en la figura 15.

POLÍGONO DE FRECUENCIASEste tipo de gráfico consiste en unir, mediante lí-neas poligonales, los extremos superiores de las ba-rras, que se representarían en el diagrama de barrascorrespondiente a una tabla de frecuencias de unadistribución agrupada.Así, a la figura 7 corresponderían los polígonos defrecuencias de las figuras 16 y 17, considerando fre-

cuencias absolutas o relativas y frecuencias absolutasacumuladas o relativas acumuladas, respectivamente.Igualmente podemos recurrir al polígono de frecuen-cias cuando trabajamos con distribuciones agrupa-das, pero en vez de dibujarlo a partir de un diagramade barras, lo haremos a partir del histograma corres-pondiente. En este caso, el polígono de frecuencias

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Figura 19

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consistirá en unir, mediante líneas poligonales, lospuntos medios de los lados superiores de los rectán-gulos del histograma.Así, la tabla de frecuencias de la figura 12 se repre-sentará mediante los polígonos de frecuencias de lafigura 18, si consideramos frecuencias absolutas orelativas, y la figura 19, considerando frecuenciasabsolutas acumuladas o relativas acumuladas. Aun-que su aspecto es parecido, no hay que confundir elpolígono de frecuencias con otro tipo de gráfico,también formado por líneas poligonales: el gráficoevolutivo, en el que en el eje horizontal se represen-ta el tiempo y en el eje vertical los valores de unavariable determinada. Por ejemplo, los valores delíndice de precios a lo largo de los meses del año.Es interesante fijarse en el perfil que presenta el polí-gono de frecuencias correspondiente a una determi-nada distribución, ya que mediante un proceso muyhabitual, que consiste en aproximar el polígono porlo que se denomina una curva suave (alisando lasesquinas del polígono), se consiguen curvas que

Figura 16

Figura 18

Figura 17

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126

Figura 20

Figura 23

Figura 22

corresponden a modelos teóricos de importantestipos de distribución.Algunas de estas curvas presentan las siguientes formascaracterísticas:

• Curvas simétricas. Son aquellas en las que lasobservaciones que equidistan del máximo centraltambién tienen la misma frecuencia. A este tipopertenece la conocida campana de Gauss, quecorresponde a la denominada distribución normal,y se muestra en la figura 20.

• Curvas sesgadas. Se caracterizan porque la cola dela curva a un lado del máximo central es mayor queal otro lado. Si la cola mayor aparece a la derechade la curva, se dice que ésta tiene sesgo positivo oque está sesgada a la derecha, mientras que si lacola mayor aparece a la izquierda de la curva, sedice que ésta tiene sesgo negativo o que está sesga-da a la izquierda (figura 21).

• Curvas bimodales. Son las que presentan dosmáximos (figura 22).

• Curvas multimodales. Son las que presentan másde dos máximos (figura 23).

• Curvas en forma de U. Son las que presentan elmáximo en ambos extremos.

DIAGRAMA DE BANDASEste tipo de gráfico estadístico se utiliza cuando tra-bajamos con variables cualitativas y consiste enrepresentar en una banda o rectángulo los diversosatributos, asignando a cada uno de éstos una partedel rectángulo dependiendo de su frecuencia. Ahorabien, es muy habitual recurrir a un diagrama de ban-das no solamente para representar una distribución, sino para comparar dos que podrían correspon-der a la misma variable, pero en distintos tiem-pos, o en distintas localidades o comparando ambos sexos.Así, la tabla de frecuencias de la figura 24 (datos fic-ticios), que correspondería a las inclinaciones políti-cas de un grupo de hombres y mujeres, quedaríarepresentada por los diagramas de bandas de las figu-ras 25 y 26.

DIAGRAMA DE SECTORESEste tipo de gráfico estadístico se utiliza habitualmentecon variables cualitativas, aunque puede servir tambiénpara variables cuantitativas. Consiste en representar lapoblación mediante un círculo (también puede ser unsemicírculo), y asignar a cada una de las categorías de

Figura 21

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Figura 24

Figura 25


Figura 27

Figura 29

la variable una porción o sector de ese círculo, cuyaárea sea proporcional a su correspondiente frecuencia.Para calcular el ángulo de cada sector se tiene encuenta el siguiente razonamiento: sabiendo que el100 % de la población corresponde al círculo com-pleto, que son 360°; se busca el ángulo que corres-ponde al porcentaje de la frecuencia considerada.Así, siendo x el porcentaje considerado, el ánguloque correspondería se calcula con la siguiente fórmula:

360 · x = –––––––

100

El diagrama de sectores que representaría la tabla defrecuencias de la figura 24 sería el que muestra lafigura 27, si consideramos sólo el grupo de hombres,mientras que si se considera sólo el grupo de muje-res, obtendríamos el diagrama de sectores de la figu-ra 28. No obstante, también podemos optar pordibujar un diagrama de sector global como el quemuestra la figura 29.

PICTOGRAMASLos pictogramas, también denominados diagramasfigurativos, se utilizan básicamente con variablescualitativas, y deben su nombre a que consisten enrepresentar las frecuencias de las categorías de lavariable mediante figuras o símbolos gráficos identi-ficativos del estudio que se realiza.

Figura 28Figura 26

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105. Pretendemos efectuar un estudiosobre la opinión que tienen del

machismo/ feminismo los individuos deuna determinada localidad cuya

población sabemos que es de 100.000habitantes, de los cuales 57.340 son

mujeres y el resto hombres. ¿Cuántasmujeres y cuántos hombres tendría que

haber en una muestra de 1.500 personas,a las que pretende encuestar?

106. La cantidad de dianas conseguidaspor un grupo de 10 tiradores en una

serie completa de 7 disparos porpersona ha sido: 3, 5, 4, 3, 3, 5, 6, 6, 7, 2.

Razonar con qué tipo de variableestadística trabajamos.

107. Dados los siguientes datos, quecorresponden al número de hijos de losempleados de una determinada fábrica,

describir la tabla de frecuencias completacorrespondiente: 4, 5, 3, 2, 0, 2, 2, 2, 0, 3,

0, 1, 4, 3, 3, 2, 2, 0, 2, 2, 3, 1, 2, 3.108. La estructura etnográfica de

América del Sur es la siguiente: blancos,50 %; mestizos, 19 %; mulatos, 18 %;indios, 8 %; negros, 4 %, y otros, 1 %.

Hacer un diagrama de sectores que la represente.Figura 30

Algunos de estos gráficos estadísticos sonrealmente vistosos, pero pueden provocarconclusiones erróneas.Existen dos modalidades de pictogramas.Uno que consiste en dibujar una única figu-ra o símbolo gráfico repetido tantas vecescomo indique la frecuencia correspondien-te, asignando claramente el valor de la figu-ra base; dicha figura, además de repetirse, podríaquedar fraccionada si la frecuencia de la categoría encuestión fuera más pequeña que el valor de esa figu-ra base. Un ejemplo de esta primera modalidad depictograma sería el que se muestra en la figura 30.Una segunda modalidad de pictograma consiste enuna sola figura para cada categoría de la variable,pero con el tamaño proporcional a la frecuenciacorrespondiente. En este caso, y para mayor claridad,tendremos que acompañar cada una de las figuras delvalor numérico de la frecuencia que representa, tal ycomo aparece en la figura 31. Si observamos estafigura, vemos que la altura de cada urna es propor-cional a la frecuencia, pero un lector poco atentopuede recibir fácilmente una impresión errónea,debido a que en un rápido examen visual lo primeroque se percibe es el área de las figuras, y la urna delseñor X tiene un área cuatro veces mayor que la urnade la señora Z.

CARTOGRAMASLos cartogramas resultan, como lospictogramas, gráficos estadísticosvistosos. Son mapas en los que cadalocalidad queda resaltada con distin-tos trazados o colores, indicando asílas frecuencias correspondientes.Este tipo de gráfico es utilizado, porlo general, para indicar tasas enrelación a la población de las locali-dades marcadas: densidad de po-blación, índice de analfabetismo,

128

cantidad de producción de un determinado material,etc. De hecho, en los atlas se recurre constantementea los cartogramas para indicar datos estadísticoscomo la estructura geológica, el aprovechamiento delsuelo, altitud sobre el nivel del mar, etc.

Figura 31

117-128-MATES 5/6/02 17:57 Página 128

Figura 32La teoría de la probabilidadnació en un intercambio de correspondencia entrePascal y Fermat, en el queestos dos grandesmatemáticos discutíansobre diversosproblemas referentes al juego de los dados.

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

129

La ley del azar se enuncia de la siguiente manera: «Alaumentar infinitamente el número de repeticiones dela experiencia aleatoria, las frecuencias relativas de un suceso observable A tienden a estabilizarse, esdecir, tienden a coincidir con un determinado valorconstante. Este valor recibe el nombre de probabili-dad del suceso A y se representa por P(A).» Por ejem-

plo, si efectuáramos muchos lanzamientos de unamoneda, podríamos observar que la frecuencia rela-tiva del suceso «salir cara» tiende al valor 0,5, por lo que podemos decir que la probabilidad de «salir cara» es 0,5. Esta idea es intuitiva y, por tanto, una aproximación. A continuación expo-nemos una definición más formal de la probabilidad.

El cálculo de probabilidades es un modelo matemático de las realidadesestadísticas que presentan las frecuencias relativas asociadas a lasexperiencias aleatorias. Una experiencia aleatoria se define como un

fenómeno que puede realizarse en las mismas condiciones tantas vecescomo queramos y del que es imposible predecir el resultado de una prueba

aislada. Ahora bien, si realizáramos muchísimas veces la misma prueba, nos daríamos cuenta

de que se verifica la denominada ley del azar (figura 32), también conocida como ley empírica

del azar o principio de regularidad estadística.

129-139-MATES 5/6/02 18:12 Página 129

Ahora bien, la definición de probabilidad no nos daresultados ni siquiera iniciales; éstos los tendremosque conseguir a partir de la experiencia, es decir,observando las frecuencias relativas al ir repitiendo laexperiencia aleatoria, o bien, en determinadas oca-siones, recurriendo a la regla de Laplace, que expo-nemos a continuación.

SUCESOS EQUIPROBABLES.

REGLA DE LAPLACE

En muchas experiencias aleatorias todos los sucesoselementales asociados tienen las mismas probabili-dades de ocurrir; decimos entonces que trabajamoscon sucesos equiprobables. Ahora bien, este con-cepto de equiprobabilidad es, sin duda, una situa-ción intuitiva que sirve para elaborar un modeloteórico y uniforme de probabilidad. Por ejemplo, esintuible que en la experiencia aleatoria del lanza-miento de una moneda la probabilidad de que salgacara es la misma de que salga cruz; trabajamosentonces con sucesos equiprobables y, debido a quela probabilidad total es 1, entonces:

P(salir cara) = P(salir cruz) = 1/2

De forma análoga, se puede presuponer que, al lan-zar un dado ordinario, cada uno de los números queformarían el espacio muestral tiene la misma proba-bilidad de aparecer en la realización de la experien-

cia, y añadido a que se cumple:

P(1) + P(2) + P(3) + P(4) +

+ P(5) + P(6) = 1

en esta ocasión tendremos:

P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) =

= P(6) = 1/6

De forma generalizada, si considera-mos el espacio muestral Ω asociado a

una experiencia aleatoria, y A1, A2, ..., Anson todos los sucesos elementales de Ω y, por

tanto, incompatibles dos a dos; suponiendo, además,

130

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Definimos como función de probabilidad, o simple-mente probabilidad, toda aplicación P definidasobre el conjunto de las partes del espacio muestralΩ asociado a una experiencia aleatoria (Ω), queverifica los siguientes axiomas:

• Axioma 1: P(Ω) = 1.• Axioma 2: 0 P(A) 1, para todo suceso A del

conjunto (Ω).• Axioma 3: P(A1 A2 ...) = P(A1) + P(A2) + ...,

para todo suceso Ai del conjunto (Ω), siendoAi Aj = Ø para cualesquiera valores i, j, con i ≠ j.

De dichos axiomas se pueden deducir las propieda-des fundamentales de la probabilidad, de las queexponemos algunas a continuación:

1) P(Ø) = 0.2) P(A) = 1 – P(A), siendo A un suceso cual-

quiera.3) Si A B ⇒ P(A) P(B), siendo A y B sucesos cua-

lesquiera.4) P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B).5) P(A B) P(A) + P(B).6) P(A B) P(A B).7) P(A – B) = P(A) – P(A B) = P(A B).

Figura 33

129-139-MATES 5/6/02 18:12 Página 130

que son sucesos equiprobables, tenemos entonces:

1 = P(Ω) = P(A1 + A2 + ... + An) =

= P(A1) + P(A2) + ... + P(An) =

= n · P(Ai), i = 1,2,...,n

y, por tanto:

1P(Ai) = —, i = 1, 2, ..., n

nes decir:

1P(Ai) = ––––––––, i = 1, 2, ..., n

card (Ω)

Suponiendo ahora un suceso A cualquiera, tal que con-tiene a los elementos de los sucesos A1, A2, ..., Ak (sien-do k n), entonces:

P(A) = P(A1 + A2 + ... + Ak) =

card (A)= P(A1) + P(A2) + ... + P(Ak) = k · P(Ai) = ————

card (Ω)

Obtenemos así la definición clásica de Laplace, quese suele enunciar de la siguiente manera:

número de casos favorables a AP(A) = –––––––––––––––––––––––––––

número de casos posibles

Por ejemplo, si consideramos la experiencia del lan-zamiento de un dado ordinario, la probabilidad deque obtengamos un número impar se calcularía de lasiguiente manera:

P (salir impar) = P(1,3,5) =

cantidad de números impares en el dado= –––––––––––––––——––––––––––––––––– =

cantidad de números en el dado

3 1= — = —

6 2

Siguiendo el mismo procedimiento, la probabilidad de obtener una figura en la experiencia aleatoria

131

E S TA D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A DCÁLCULO DE PROBABILIDADES

de extraer una carta de una baraja española (48 cartas),será:

12 1P(figura) = —— = —

48 4

dado que disponemos de 3 figuras en cada uno de loscuatro palos de la baraja, de un total de 48 cartas.Sin embargo, podemos encontrarnos con experien-cias aleatorias con sucesos elementales no equiproba-bles; por ejemplo, si consideramos la ruleta de la figura 33, donde la probabilidad de obtener un nú-mero par será:

P(número par) = P(2,4) = P(2) + P(4) =

1 1 3= — + — = —

4 8 8

PROBABILIDADDE LOS SUCESOS UNIÓN,

CONTRARIO E INTERSECCIÓN

Si A y B son dos sucesos incompatibles, es decir,A B = Ø, haciendo uso del axioma 3 de la proba-bilidad, se verifica:

P(A B) = P(A) + P(B)

Ahora bien, si los sucesos A y B son compatibles, estoes A B ≠ Ø, entonces se verifica:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

Como conclusión directa, debido a que un suceso Ay su suceso contrario A son dos sucesos incompati-bles, pues A A = Ø y, además, A A = Ω, entonces:

1 = P(Ω) = P(A A) = P(A) + P(A)

por tanto:

P(A) = 1 – P(A)

129-139-MATES 5/6/02 18:12 Página 131

Veamos estas trespropiedades enunciadas a

través de un ejemplo concreto (figura 34). Conside-remos la experiencia aleatoria del lanzamiento de undado ordinario (figura 35) y la anotación del resulta-do obtenido. Calcularemos la probabilidad de los tressiguientes sucesos:

A = obtener un número impar o un 3

B = obtener un número par o un 5

C = obtener un número distinto de 1

Aunque hay caminos más fáciles, utilizaremos las pro-piedades antes expuestas:

P(A) = P(1,3,5) 3 =

= P(1,3,5) + P(3) – P(1,3,5 3) =

= 3/6 + 1/6 – 1/6 = 3/6 = 1/2

pero podríamos haberlo calculado directamente:

P(A) = P(1,3,5) 3 = P(1,3,5) = 3/6 = 1/2

P(B) = P(2,4,6) 5 = P(2,4,6) + P(5) =

= 3/6 + 1/6 = 4/6 = 2/3

P(C) = 1 – P(C) = 1 – P(1) = 1 – 1/6 = 5/6

Dados dos sucesos A y B independientes, es decir,que la realización de A no influye en la realización deB, y recíprocamente, entonces se verifica:

P(A B) = P(A) · P(B)

Figura 34

Consideremos, por ejemplo, el lanzamiento de undado ordinario dos veces. La probabilidad (figura 36)de obtener primero un número par y segundo un 3 es:

P(número par 3) = P(2,4,6) ·

· P(3) = (3/6) · (1/6) = 3/36 = 1/12

Ahora bien, si los dos sucesos A y B no son indepen-dientes, en esta última propiedad, en vez de P(B) escribiremos P(B/A), que se lee «probabili-dad de B condicionada a A»; así, en este caso tenemos:

P(A B) = P(A) · P(B/A)

Supongamos, por ejemplo, la extracción de dos car-tas simultáneamente de una baraja española de 48 cartas (figura 37). A la hora de calcular probabili-

Figura 37

132

Figura 36

Figura 35

129-139-MATES 5/6/02 18:13 Página 132

133

Figura 39


espacios muestrales de cada uno de los espaciosmuestrales de cada una de las experiencias aleatorias simples que se efectúan de forma sucesiva y que, todasjuntas, constituyen la experiencia aleatoria compues-ta. Ahora bien, en este tipo de procesos, las experien-cias aleatorias simples, que intervienen no tienen porqué ser todas diferentes, podría tratarse de la mismaexperiencia, pero repetida dos o más veces.Así, ejemplos de experiencias aleatorias compues-tas, también conocidas con el nombre de experien-cias sucesivas, sería el caso del lanzamiento de unamoneda y un dado, o bien extraer dos o más cartasde una baraja, etc.Al igual que al tratar con sucesos de experienciasaleatorias simples distinguíamos entre sucesosdependientes y sucesos independientes, tambiéntrabajando con experiencias aleatorias compuestasdistinguiremos entre experiencias dependientes eindependientes.Diremos que dos experiencias aleatorias son inde-pendientes cuando lo que ocurra en la segunda deellas que se realice, no dependa de lo que haya suce-dido en la primera. Por el contrario, dos experien-cias aleatorias son dependientes cuando lo queocurre en la primera que tiene lugar, influye en loque ocurra en la segunda, es decir, dos experienciasson dependientes si no son independientes.Para trabajar con experiencias aleatorias compuestasadoptaremos, habitualmente, el diagrama en árbolcomo soporte básico. Así, por ejemplo, para el expe-rimento aleatorio que consiste en el lanzamiento deun dado, seguido del de una moneda, nos ayuda el diagrama en árbol como el que se muestra en la figura 39.

Figura 38

dades se considera, en este caso, que se extrae la pri-mera carta, se anota cuál es y a continuación se extrae la segunda carta, teniendo en cuenta que des-pués de la primera extracción tenemos sólo47 cartas. En estas condiciones, la probabilidad deobtener primero un as y segundo una figura del palode oros, será:

P(1.º as y 2.º oro) =

2.º figura de oros= P(1.º as) · P –––––––––––––––– =

1.º as

4 3 1= (–––) · (–––) = ––––

48 47 188

EXPERIENCIAS COMPUESTAS

Hasta ahora hemos expuesto experiencias aleatoriassimples, en las que disponemos de un único espa-cio muestral, como es el caso del lanzamiento de undado normal, cuyo espacio muestral vimos que era = 1, 2, 3, 4, 5, 6, o bien la extracción de unacarta de una baraja española, cuyo espacio muestralsería el conjunto formado por las 48 cartas de labaraja (figura 38). Pero también es habitual encon-trarse con experimentos aleatorios en los que seextraen resultados compuestos por dos o más expe-riencias aleatorias simples; así, esas experiencias ale-atorias compuestas dispondrán igualmente de unespacio muestral, pero constituido a partir de los


129-139-MATES 5/6/02 18:13 Página 133

En este caso, si nos piden la probabilidad de obte-ner como resultado del lanzamiento del dado uncuatro, podríamos recurrir a la regla de Laplace, yaque cada uno de los sucesos elementales del espaciomuestral son equiprobables; por tanto:

2 1P(obtener un cuatro) = P((4,c),(4,x)) = ––– = —

12 6

Pero también podríamos plantearlo de diferentemanera, con ayuda del diagrama en árbol que semuestra en la figura 40; así, tendríamos:

P(obtener un cuatro) =

P(obtener un cuatro y una cara, o bien,

obtener un cuatro y una cruz) =

= P((4 c) (4 x)) =

= P(4) P(c) + P(4) P(x) =

1 1 1 1 1= ––– · ––– + ––– · ––– = –––

6 2 6 2 6

Siguiendo con el mismo ejemplo, podemos practicarcon la probabilidad condicionada, y para ello

134

Figura 40

calcularemos la probabilidad de obteneruna cara sabiendo que en el lanzamientodel dado ha resultado un cuatro, y para ellorecurriremos a la fórmula de la probabili-dad condicionada:

P(A B)P (B/A) = ––––—–––––, siendo P(A) ≠ 0

P(A)

y así tenemos, en nuestro caso:

P(4 c)P(c/4) = –––––––––––– =

P(4)

1–––P((4, c)) 12 1

= –––––––––––––––– = ––––– = –––P((4, c), (4, x)) 2 2–––

12

o bien, sin tener en cuenta el conjunto total del espaciomuestral correspondiente:

P(4 c)P(c/4) = ––––––––—–––– =

P(4)

1 1 1––– · ––– –––6 2 12 1

= –––––––––––––––––– = ––––– = –––1 1 1 1 2 2––– · ––– + ––– · ––– –––6 2 6 2 12

donde podemos observar que estamos trabajando, eneste ejemplo concreto, con una experiencia aleatoriacompuesta de dos experiencias aleatorias simplesindependientes.Veamos a continuación un ejemplo de experiencia aleatoria compuesta en la que intervengan experien-cias aleatorias simples dependientes. Consideremos,para ello, una urna que contiene 5 bolas blancas, 2 bo-las negras y 1 bola azul, y la experiencia consistirá enextraer 3 bolas de la urna. Ahora bien, esa extracciónpuede efectuarse de dos maneras bien distintas: conreposición o sin reposición. Si optamos por la extrac-ción con reposición, estaríamos trabajando con expe-

129-139-MATES 27/6/02 16:08 Página 134

135


5 4 3 60 5P(salgan bolas blancas) = P(B B B) = ––– · ––– · ––– = ––––– = ––––

8 7 6 336 28

P(salgan 2 bolas blancas) = P((B B no B) (B no B B) (no B B B) =

5 4 3 5 3 4 3 5 4 5= ––– · ––– · ––– + ––– · ––– · ––– + ––– · ––– · ––– = –––

8 7 6 8 7 6 8 7 6 28

3 5 2 30 5P(sólo la segunda bola sea blanca) = P(no B B no B) = ––– · ––– · ––– = ––––– = ––––

8 7 6 336 56

P(alguna sea blanca) = 1 – P(ninguna sea blanca) = 1 – P(no B no B no B) =

3 2 1 6 1 55= 1 – ––– · ––– · ––– = 1 – ––––– = 1 – –––– = ––––

8 7 6 336 56 56

2 1 0P(salgan 3 bolas negras) = P(N N N = ––– ––– ––– = 0

8 7 6

evidentemente, ya que sólo disponemos de dos bolas negras.Veamos, a continuación, algunas probabilidades condicionadas:

P(B1 B2)P(la 2.ª sea blanca habiendo salido la 1.ª blanca) = P(B2 /B1) = ––––––––––– =

P(B1)

5 4 3 5 4 3––– · ––– · ––– + ––– · ––– · –––P((B B B) (B B no B)) 8 7 6 8 7 6

= –––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––––––––––––––––––––––––––– =P(B (B N A) (B N A)) 5 7 6––– · ––– · –––

8 7 6

5 5 10 5––– + ––– ––– –––28 28 28 14 8 4

= ––––––––––– = –––– = –––– = –––– = ––––5 5 5 14 7––– ––– –––8 8 8

P(B1 B2)P(la 1.ª sea blanca sabiendo que la 2.ª sale blanca) P(B1 /B2) = ––––––––––– =

P(B2)

P((B B B) (B B no B))= –––––––––––––––––––––––––––––––––– =

P((B N A) B (B N A))

5–––14

= –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =P((B B B) (B B no B) (no B B B) (no B B no B))

5 5 5––– ––– –––14 14 14 4

= –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = –––– = –––– = –––5 4 3 5 4 3 3 5 4 3 5 2 210 5 7––– · ––– · ––– + ––– · ––– · ––– + ––– · ––– · ––– + ––– · ––– · ––– –––– –––8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 336 8

129-139-MATES 5/6/02 18:13 Página 135

136

Figura 42

la probabilidad de la intersección de dos sucesos,esto es:

P(A B) = P(A) P(B/A)

pero ampliada a tres sucesos, lo que de forma gene-ralizada se expresaría de la siguiente manera:

P(A B C) = P(A) P(B/A) P(C/A B)

En efecto, ya que si consideramos que:

A B C = (A B) C

podemos aplicar la fórmula de la probabilidad de laintersección de dos sucesos, y así deducimos la yaexpuesta para tres sucesos:

P((A B) C) =

= P(A B ) · P(C/(A B)) =

= P(A) · P(A/B) · P(C/(A B))

Figura 41

riencias aleatorias simples independientes, pues el extraer cada bola, y reponerla en la urna antes deextraer la siguiente bola no condiciona para nada elresultado de la siguiente extracción. Mientras que sioptamos por la extracción sin reposición, es evidenteque trabajaríamos con experiencias dependientes,debido a que al extraer una bola y no reponerla, dis-pondríamos de una bola menos a elegir en la siguien-te extracción. Las figuras 41 y 42 mostrarían las situa-ciones consideradas según la forma de extracción.En la tabla de la página anterior se muestran algunasposibilidades, considerando la extracción sin repo-sición.En este último ejemplo hemos estado calculando,entre otras, la probabilidad de la intersección de tressucesos correspondientes a tres experiencias aleato-rias simples dependientes, respectivamente. Así quelo que hemos aplicado es la fórmula ya expuesta de

129-139-MATES 5/6/02 18:13 Página 136

137


Figura 43


También podríamos deducir la fórmula de la probabili-dad de la intersección de un número finito de sucesos:

P(A1 A2 ... An) =

= P(A1) · P(A2/A1) · P(A3/A1 A2) · ...

... · P(An/A1 A2 ... An – 1).

Después de exponer los conceptos de: sucesos inde-pendientes o dependientes de distintas experienciasaleatorias simples, sucesos compatibles o incompati-bles de una misma experiencia aleatoria simple y,finalmente, la probabilidad condicionada, estamosen condiciones de exponer la fórmula conocidacomo de la probabilidad total.Siendo el espacio muestral de una determinadaexperiencia aleatoria, si consideramos un conjuntode sucesos Ai, i = 1, 2, ..., n, tales que son posibles(Ai ≠ 0 ∀ i), y además la unión de todos ellos formael total del espacio muestral (A1 A2 ... An = ),entonces se cumple que:

P(B) = P(A1) · P(B/A1) + P(A2) · P(B/A2) + ...

... + P(An) · P(B/An) = n

i=1P(Ai) · P(B/Ai)

siendo B un suceso cualquiera del espacio muestral, igualdad conocida con el nombre de probabilidadtotal de un suceso, estando este suceso condicionadopor otros varios.La situación del suceso B respecto a los sucesos A1,A2, ..., An podría representarse como se muestra en lafigura 43.Veamos un caso concreto donde tendremos querecurrir a la fórmula dada de la probabilidad total:un determinado grupo de estudiantes (figura 44) haelegido el idioma extranjero que quieren aprender

quedando distribuidos del siguiente modo: 20 %elige inglés, 35 % francés y 45 % alemán. Al finali-zar el curso, el porcentaje de alumnos que apruebanesta asignatura es del 5, 12 y 18 %, respectivamen-te. Si seleccionamos al azar un estudiante, ¿cuálsería la probabilidad de que haya aprobado la asig-natura de idioma?La situación planteada es la que se muestra en la figu-ra 45, en la que están calculadas todas las probabili-dades de cada uno de los sucesos.Es evidente que los que estudian inglés, francés y ale-mán forman el total de lo que determinaría nuestroespacio muestral, además de no haber intersecciónentre ellos, por lo que podríamos hablar de incompa-tibilidad. De este modo, la probabilidad pedida se calculará así:

P(S) = P(I) · P(S/I) + P(F) · P(S/F) + P(A) · P(S/A) =

= 0,2 · 0,05 + 0,35 · 0,12 + 0,45 · 0,18 = 0,133

Figura 45

Figura 44

129-139-MATES 27/6/02 16:09 Página 137

lo que significa que el 13,3 % de ese grupo de estu-diantes aprueba la asignatura de idioma.La situación del suceso S (aprueban) respecto a los sucesos I (inglés), F (francés) y A (alemán) po-dría representarse tal y como aparece en la figura 46.

TEOREMA DE BAYES

El teorema o fórmula de Bayes, también se conocecon el nombre de fórmula de probabilidad a posterio-ri debido a que se calcula después de disponer deuna información adicional, es decir, un resultadoobtenido después de realizarse la experiencia. Así, endefinitiva, el teorema de Bayes nos va a ayudar aresolver el problema de la inversión de condiciones.Consideremos el ejercicio anterior, situación quequedaba representada mediante el diagrama en árbolde la figura 45, e invirtamos las condiciones de lasiguiente manera: supongamos que ya hemos selec-cionado a un estudiante y resultaba tener la asigna-tura de idioma aprobada; entonces, la probabilidadde que el estudiante seleccionado haya sido uno queeligió inglés (figura 47), se hallaría de la siguien-te manera:

P(I S) P(I) · P(S/I)P(I/S) = –––––––– = ––––––––––– =

P(S) P(S)

P(I) · P(S/I)= ––––––––––—–––––––––––––––––––––––––––– =

P(I) · P(S/I) + P(F) · P(S/F) + P(A) · P(S/A)

0,2 · 0,05 0,01= ––––––––– = –––––– 0,075

0,133 0,133

Si generalizamos la fórmula utilizada para el casoconcreto de los idiomas, obtendremos la fórmula deBayes.Suponiendo, al igual que para la fórmula de la proba-bilidad total, que es el espacio muestral de unadeterminada experiencia aleatoria y que A1, A2, ..., Anes una partición de , esto es: todos los sucesos Ai sonposibles e incompatibles dos a dos, y la unión detodos ellos forman el total del espacio muestral , yademás, que B es un suceso cualquiera del espaciomuestral , entonces se verifica:

P(Ai) · P(B/Ai)P(Ai/B) = –––—––––––––– =P(B)

P(Ai) · P(B/Ai)= ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– =P(Ai) ·P(B/A1)+P(A2) ·P(B/A2)+...+P(An) ·P(B/An)

P(Ai) · P(B/Ai)= –––––—––––––––––––n

j=1P(Aj) · P(B/Aj)

igualdad conocida con el nombre de fórmula deBayes y válida para cualquier i tal que 1 i n.Entre el amplio campo de aplicaciones del teoremade Bayes, cabe citar la investigación genética y médi-ca. La probabilidad de que el contraer una determi-

138

Figura 46

Figura 48

Figura 47

129-139-MATES 5/6/02 18:13 Página 138

nada enfermedad se deba a una causa concreta, laprobabilidad de que el diagnóstico de un pacientesea incorrecto, teniendo en cuenta los márgenes deerror de los métodos realizados, etc. Todos estos valores de probabilidad son datos que pueden resultar de gran ayuda en el progreso de la cien-cia y se calculan siempre mediante el teorema de Bayes. Veamos un caso concreto donde tendremos que recu-rrir a esta fórmula. Ejemplo. En una determinada población se ha detec-tado una enfermedad muy grave (A), cuyo síntomamás importante es X, pero este síntoma también sepresenta en personas que padecen una enfermedad notan grave (B) e, incluso, en personas que no padecennada serio (C). El síntoma X se presenta en el 99 % delos que padecen la enfermedad A, en el 50 % de losque padecen la enfermedad B y en el 0,4 % de los queno tienen nada serio. Examinando a un individuo de dicha población que padece el síntoma X, se pre-tende conocer la probabilidad de que tenga la enfer-medad A, sabiendo que el 2 % tiene esa enfermedad A,el 0,5 % la enfermedad B y el 97,5 % no tienen na-da serio.Así, dicha población sería lo que corresponde a unespacio muestral , y los tres conjuntos formadospor los que tienen la enfermedad A, B y C, respecti-vamente, formarían una partición del conjunto total. De esta manera podríamos representar esta situa-ción mediante los diagramas de la figura 48, o bienmediante el diagrama en árbol que se muestra en lafigura 49.Para calcular la probabilidad que nos piden, recu-rriremos a la fórmula de Bayes de la siguiente manera:

P(A) · P(X/A)P(A/X) = ––––––––––––– =

P(X)

P(A) · P(X/A)= –––––––––––––––––––––––––––––––––––– =

P(A) · P(X/A) + P(B) · P(X/B) + P(C) · P(X/C)

0,02 · 0,99= ––––––––––––––––––––––––––––––––– =

0,02 · 0,99 + 0,005 · 0,5 + 0,975 · 0,004

0,0198= ––––––– 0,7557

0,0262

139


Figura 49


109. Considerando la experienciaaleatoria del lanzamiento de un

dado ordinario dos veces,determinar el espacio muestral

Ω asociado.

110. Dada la experiencia aleatoriadel lanzamiento de un dado

ordinario dos veces, de lapregunta anterior, calcular laprobabilidad de obtener al

menos un número par en alguno de los dos

lanzamientos.

111. Dada la experiencia aleatoriade la pregunta anterior, calcular la

probabilidad de obtener un 5 o un 6.

112. Supongamos una monedatrucada de modo que la

probabilidad de que salga cara es el doble de la que

salga cruz. Calcular laprobabilidad

de los sucesos: A = «salir cara» y B = «salir cruz».

lo que significa que, aproximadamente, el 75,57 %de los que padecen el síntoma X tienen la enferme-dad A.

129-139-MATES 5/6/02 18:13 Página 139

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