En un experimento donde se evalúa la cantidad de combustión foliar (y) en segundos en muestras de tabaco, se tomó como referencia para dicho análisis el porcentaje de nitrógeno (X1) y de cloro (X2) obteniéndose:

Combustión(y)

Nitrógeno (%)(X1)

Cloro (%)(X2)

0.68 75.8 8.30

1.67 140.3 11.15

0.98 157.0 7.90

1.14 144.1 7.80

0.72 62.9 13.50

a) Realice el diagrama de dispersión

b) Hallando el modelo y i= β0+ β1 x i1+ β2 x i2 , mediante ecuaciones normales y plantee matricialmente β �

Como tenemos 2 variables independientes (X1, X2), entonces el modelo a seguir tendrá la forma:

y i= β0+ β1 x1+ β2 x2para hallar los estimadores β0,β1 y β2planteamos las siguientes

ecuaciones:

Q=∑ εi2=∑ ( y i− y i )

2=∑ ( y i− β0− β1 x1− β2 x2 )2

∂Q∂ β0

=2∑i=1

n

( y i− β0− β1 x1− β2 x2 ) (−1 )=0 ∂Q∂ β1

=2∑i=1

n

( y i− β0− β1 x1− β2 x2 ) (−x1 )=0

∂Q∂ β2

=2∑i=1

n

( y i− β0− β1x1− β2 x2 ) (−1 )=0Luego las ecuaciones normales son:

n β0+ β1∑ x1+ β2∑ x2=∑ yi

β0∑ x1+ β1∑ x12+ β2∑ x1 x2=∑ x1 y i

β0∑ x2+ β1∑ x1 x2+ β2∑ x22=∑ x2 y i

y x1 x2 x12 x2

2 x1 x2 y i x1 y i x20.68 75.8 8.30 5745.64 68.89 629.14 51.544 5.644

1.67 190.3 11.15 36214.09 124.3225 2121.845 317.801 18.6205

0.98 157.0 7.90 24649 62.41 1240.3 153.86 7.742

1.14 144.1 7.80 20764.81 60.84 1123.98 164.274 8.892

0.72 62.9 13.50 3956.41 182.25 849.15 45.288 9.72Sumatori

a 5.19 630.1 48.65 91329.95 498.7125 5964.415 732.767 50.6185

Reemplazando:

5 β0+630.1 β1+48.65 β2=5.19630.1 β0+91329.95 β1+5964.415 β2=732.767

48.65 β0+5964.415 β1+498.7125 β2=50.6185

Luego de operar obtenemos:

β0=−0.41777186β1=0.00742321 β2=0.05347373

Expresando matricialmente: y i �= x β � +ε i �

[y1y2y3y4y5

]=[11111x11x12x13x14x15

x21x22x23x24x25

][ β0β1β2]+[ε1ε2ε3ε4ε5

]y1= β0+ β1 x11+ β2 x21+ε1

y2= β0+ β1 x12+ β2 x22+ε2

y3=β0+ β1 x13+ β2 x23+ε3

y4= β0+ β1 x14+ β2 x24+ε4

y5=β0+ β1 x15+ β2 x25+ε5

Reemplazando y i , x1 i , x2 i:

0.68= β0+75.8 β1+8.3 β2+ε1

1.67= β0+190.3 β1+11.15 β2+ε2

0.98= β0+157 β1+7.9 β2+ε3

1.14= β0+144.1 β1+7.8 β2+ε4

0.72= β0+62.9 β1+13.5 β2+ε 5

Luego reemplazando los valores de β0 , β1 , β2 obtenemos:

ε 1=0.91260583ε 2=0.078902907ε 3=−0.190114577ε 4=0.070992205ε 5=−0.051043404

c) Interprete β1 y β2:

El coeficiente β1 indica el incremento en la combustión foliar por el incremento unitario del porcentaje de nitrógeno, es decir si aumentamos en una unidad el porcentaje de nitrógeno y si no variamos el porcentaje de cloro esto genera un incremento del 0.00742321 por ciento en la combustión foliar.

El coeficiente β2 indica el incremento en la combustión foliar por el incremento unitario del porcentaje de cloro, es decir si aumentamos en una unidad el porcentaje de cloro y si no variamos el porcentaje de nitrógeno esto genera un incremento del 0.05347373 por ciento en la combustión foliar.

d) Halle r y.122 :

r y.122 =

∑ ( yi− y )2

∑ ( yi− y )2y i= β0+ β1 x1 i+ β2 x2 i y=

∑i=1

n

y i

n=5.19

5=1.038

y y i y i− y y i− y ( y i− y )2 ( y i− y )20.68 0.588739417 -0.449260583 -0.358 0.201835071 0.1281641.6 1.59109709 0.55309709 0.632 0.30591639 0.39942

7 3 3 4 40.98 1.170114577 0.132114577 -0.058 0.017454261 0.0033641.14 1.069007795 0.031007795 0.102 0.000961483 0.0104040.72 0.771043404 -0.266956596 -0.318 0.071265824 0.101124Sumatoria 5.19 0.597433034 0.64248

r y.122 =

∑ ( yi− y )2

∑ ( yi− y )2=0.5974330340.64248

r y .122 ≈0.93

Como el coeficiente de determinación es aproximadamente de 0.93 posee un buen ajuste.

e) Halle ε 4. Si x1=76.5 y x2=10.18 , ¿cuánto será y?

De b) se obtiene que ε 4=0.070992205, entonces:

y=−0.41777186+76.5 (0.00742321 )+10.18 (0.05347373 )+0.070992205

y=0.765458481 y ≈0.77