CONSIDERACIONES DEL ESPACIO COMO BASE PARA DIBUJAR

(El plano; posibilidades estéticas de los polígonos y su combinación)

ó

DE PLANOTITLÁN AL DODECAEDRO

(Ensayo elaborado en base al libro:. ¿En Qué Espacio Vivimos? De Javier Bracho1

Por Lise Florencia Canseco Ruíz

Todos mis trabajos son juegos. Juegos serios.

M. C. ESCHER.

Se necesitan. Se inventan. Se urgen.

Explotan una mujer y un hombre: " Se sigue expandiendo el universo".

Abraham O. Nahón2

INTRODUCCIóN

Escogí el libro “¿En que espacio vivimos?” de Javier Bracho, porque menciona la

palabra “espacio” lo cual me parece perturbador por los múltiples significados que tiene y

porque al hojearlo encontré un gráfico de M .C. Escher: mi admiradísimo quien según he

investigado decía que encontraba mas semejanza de su obra con las matemáticas que con la

gráfica. Sucede que yo quiero dibujar (más bien, hacer grabado, pero en el inicio, necesito

trazar). Para dibujar preciso un instrumento por lo general puntiagudo capaz de dejar una

huella o marca permanente (lápiz, pincel, etc.) y una superficie donde intervenir: necesito

donde dibujar, puede ser un plano (lo más común), puede ser una esfera, un cuerpo humano

para hacer un tatuaje o maquillar, tal vez las ojivas de un tigre sobre un joven modelo. Pero

a esto, lo importante. Cuando dibujo, hago mi grabado, pinto, admiro la obra de los

maestros, o-lo-que-sea-que-haga, tengo la inquietud, siento la búsqueda de la belleza. Lo

que mas me obsesiona es:

1.- saber cuando una obra es bella

2.- Que la mía lo sea.

Desde un punto de vista geométrico. Claro, no solo quiero el plano. Quiero pintar

esferas, poliedros, tiras de moebius, por eso leo este libro. Para entender, para trazar. Y un

trazo puede significar una fórmula, un concepto, además de provocar una emoción,

fascinación. Declaro que mis conocimientos son incipientes, solo me obsesiona la delicada

danza de la geometría y las artes como e de las ornamentaciones del Mudéjar. De verdad

que jugando con los polígonos, tratando de acomodarlos entre ellos he tenido una sensación

del universo ordenado y he (no quiero decir comprendido, cosa harto alta) más bien intuido

porque se ha identificado a Dios3 con figuras geométricas (el ojo de Horus, las pirámides,

el dodecaedro, el círculo (el todo) etc).

Entonces vamos por partes. Si quiero dibujar, necesito un lápiz (o lo que sea, hay

muchas posibilidades que en este caso nos dan el mismo resultado) pero hay una constante:

el plano (un espacio proyectivo de dos dimensiones ‘P2’). ¿Qué puedo dibujar ahí?

DESARROLLO

Mis posibilidades son: dibujo un punto ó dibujo una recta. Únicos habitantes

posibles de P2 (ó de R2). Luego, Estas rectas o puntos, se pueden combinar entre si, para

hacer formas regulares, una retícula, una estalación, o una sucesión de puntos puede dar

una línea curva o cualquier figura imaginable. Trabajaría con el punto, un Término

indefinido considerado la unidad básica de la geometría. No tiene tamaño, es infinitamente

pequeño y sólo tiene ubicación. “La idea de punto está sugerida por la huella que deja en el

papel un lápiz bien afilado.1 Aún así, el punto (o el concepto de qué es un punto) ha sido

usado por las artes. Ya tenemos el puntillismo en las artes plásticas (Ver anexo 01) ó un el

llamado “puntillo” en la música (la cual desarrolla su notación por medio de gráficas en un

R2) . El “puntillo” le confiere a una nota la mitad de su valor adicional. (Ver anexo 02)

El otro elemento (además del punto) que puedo realizar en un R2 es la recta. Se

define como “ la línea más corta que une dos puntos y el lugar geométrico de los puntos del

plano (o el espacio) en una misma dirección. Es uno de los entes geométricos

fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos primitivos ya que no

es posible su definición a partir de otros elementos conocidos. Sin embargo, es posible

elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones

entre los entes fundamentales”4. Recordemos los cinco postulados de Euclides que nos

recuerda el Maestro Fausto Ongay en su libro “Máthema: el arte del conocimiento”5: “P1.

Entre dos puntos cualesquiera se puede trazar una (única) línea recta. P2. Todo segmento de

recta se puede prolongar indefinidamente. P3 Dado un punto y un segmento de recta, se

puede trazar un único círculo con ese punto como centro y con radio el segmento de recta.

P4. Todos los ángulos rectos son iguales entre si. P5 Si una línea recta intersecta dos líneas

rectas, de modo que los ángulos internos en un lado sumen menos de dos ángulos rectos,

entonces esas dos rectas si se prolongan indefinidamente, se intersectaran de ese lado donde

los ángulos en conjunto suman menos que dos ángulos rectos.”6

Entonces, si dibujo en un soporte rígido (madera, cartón) dibujo sobre un plano, “el

concepto de plano es uno de los entes geométricos fundamentales, junto a la recta y el

punto. Suelen ser definidos con base en otros elementos ya conocidos. Suele representarse

1 BALDOR, Aurelio, “GEOMETRÍA PLANA Y DEL ESPACIO Y TRIGONOMETRÍA “ Publicaciones Cultural, México 1995

el plano como una figura delimitada por bordes irregulares (no es apropiado usar bordes

regulares porque no es una figura finita, y puede prestarse a confusión), y puede notarse

con una letra del alfabeto griego. Es bidimensional. (Ver anexo 03)”7

Claro, estaría hablando de un plano a menos prefiriera dibujar en una cartulina

flexible y la doblara. Entonces tendría un espacio tridimensional (E3). Ahora, trabajando

como plano, veo dos posibilidades: 1.- El plano como superficie que se puede subdividir en

más planos que se pueden subdividir en más planos (creando áreas mediante líneas

ortogonales, curvas, creando un patrón) ó 2.- El plano en el que mediante líneas se simule

el efecto de profundidad (perspectiva8).

Ahora, si tomo mi plano y uno el límite inferior al superior sin girarlo (puesto que

girándolo obtendría una tira de Moebius) obtendría un cilindro que conservaría cualquier

teselación que tuviera dibujada. Obtener un toroide es más complicado. Un toroide es “una

superficie de revolución engendrada por una curva cerrada y plana que gira alrededor de

una recta fija de su plano, que no la corta. (Ver anexo 04)”9

Cuando jugamos un juego de video y vemos como un personaje por ejemplo, está

peleando y “sale” de la pantalla por la izquierda y aparece por el lado derecho ó la

“Viborita” del celular que cuando alcanza el límite superior y pensamos que va a

desaparecer “hacia arriba” inmediatamente empieza a salir su cabeza por el extremo

inferior. “El sitio virtual donde este efecto acaece lleva el nombre de mundo toroide por las

características matemáticas anteriormente descritas. El jugador siente la seudo impresión de

un mundo esférico,” también se utiliza para generar un campo magnético para crear un

imán.

Topológicamente10, un toro es una superficie cerrada definida como el producto

cartesiano de dos circunferencias: con la topología producto. La superficie

descrita, dada la topología relativa de R3, es homeomorfa con el toro topológico mientras

éste no intercepte con su propio eje. Me gustaría dibujar sobre un toroide, observar como se

iría deformando por ejemplo, un cuadrado al adaptarse a su forma.

Otro “ente” que nace de las circunferencias es la esfera, su definición: “ (del griego

σφαῖρα, «sfaira») es la superficie formada por todos los puntos del espacio tales que la

distancia (llamada radio) a un punto determinado, denominado centro, es siempre la

misma”11

Ahora, aparte de dibujar sobre un toroide, una esfera, también podría dibujar en

planos (polítopos de n=2) relacionados entre si 1.- por sus lados en un plano mayor ó 2.-

por sus lados formando estructuras tridimensionales. Es por esto que digo que me quedé en

Planotitlán, porque exploré el espacio plano, cómo se comportan los polígonos al

relacionarse entre ellos? En que espacio vivía Escher? Cómo le hago para hacer

teselaciones, pero con un conocimiento, aunque sea básico, de la geometría?.

Comencemos. Usaré solo polígonos regulares, “cuyos lados tienen la misma

longitud y todos sus ángulos son iguales son llamados polígonos regulares.”12

Primero triángulos equiláteros. Con ellos puedo llenar un plano. Mejor digo, los

triángulos funcionan como teselas. (Ver anexo -triángulos)

Los cuadrados también son teselas. Llenan el plano de manera regular. (Ver anexo -

cuadrados)

Los pentágonos son muy curiosos. Dibujo un pentágono, Dibujo otro a partir de uno

de sus lados. Veo que no forman una malla ortogonal sino concéntrica. Por cierto, muy

bella. Se organizan relacionándose por medio de un cuadrilátero irregular o rombo. (Ver

anexo –pentágonos.)

El hexágono, al igual que el triángulo y el cuadrado consigue una teselación regular

sin necesidad de otra figura para relacionarse. (Ver anexo - hexágonos)

El heptágono se organiza en grupos de seis, dejando al centro un tipo “vestíbulo”

muy hermoso (octágono irregular). (Ver anexo - heptágonos)

El octágono da una malla totalmente ortogonal, relacionándose por medio de

cuadrados. (Ver anexo - octágonos)

El eneágono Se organiza también en grupos de seis para dar lugar a una trama que

puede llenar un plano. La pieza en torno a la cual se organiza es también fascinante

(dodecágono irregular). (Ver anexo - eneágonos)

El decágono da una traza bastante regular agrupándose de cuatro en cuatro, por

medio de un polígono irregular (hexaedro). (Ver anexo - decágonos)

El endecágono logra agruparse (seis endecágonos) en torno a una figura (16 lados).

(Ver anexo – endecágono)

El dodecágono es la primera figura que se genera dos figuras para relacionarse:

triángulo equilátero y un decágono. (Ver anexo - dodedecágono)

Al tridecágono no pude encontrarle relación como malla, mas bien como espiral. Tal

vez influyó el error humano, de todos modos me parece interesante la forma. (hasta este

polígono llegué para esta ocasión con mi programa de dibujo (auto cad) para investigar las

formas, descubrirlas a partir de construir figuras, ver como puedo integrarlas a mi trabajo

plástico y gráfico.) (Ver anexo - tridecagono)

Hemos explorado el plano en la relación que los polígonos regulares hacen entre si,

ahora vamos a ver como se relacionan los polígonos si, en lugar de atraparlos en un plano y

acomodarlos entre ellos, los unimos por sus lados para obtener las figuras tridimensionales.

Sabemos que obtendríamos cinco sólidos (poliedros regulares) relacionados por la fórmula

ó característica de Euler. Los poliedros regulares son: tetraedro (4 triángulos equiláteros),

hexaedro (6 cuadrados), octaedro (8 triángulos equiláteros), dodecaedro (12 pentágonos

regulares) e icosaedro (20 triángulos rectángulos).

De estas formas capaces de circunscribirse en una esfera, Javier Bracho hace

referencia al dodecaedro (al que llama “euclidiano” diferenciándolo del “esférico). Es

paradójico e interesante que el dodecaedro desde la antigüedad haya sido identificado con

la Deidad, el Dios, el Infinito, el Cosmos, el Todo.

La idea de que el universo pueda estar “armado” por dodecaedros es insinuada por

datos obtenidos por la sonda WMAP 13que “realiza observaciones del universo de cuando

apenas tenía unos 380,000 años de edad, revelando la distribución de la radiación de

microondas que impregna todo el universo y que quedó del Big Bang – la llamada

radiación de fondo”14

Podría haber otras geometrías que podrían generar patrones similares para la

radiación de microondas del fondo “Seria una tremenda sorpresa que el Universo haya

escogido tan bella forma platónica” dice Janna Levin de la Universidad de Cambridge,

Reino Unido.

CONCLUSIóN

Inicié este ensayo queriendo encontrar, aprender más como ya he dicho, para mi

ejercicio de artes plásticas. Me he quedado sin palabras, lo cual no me es muy conveniente

puesto que necesito concluir. De paso aprovecho este espacio para quejarme porque no hay

más libros de matemáticas y en especial de geometría en el Fondo de Cultura Económica.

Por cierto, los que encontré me dejaron muy contenta. Paso a la conclusión.

En algún lugar de Internet leí “después de todo, la ciencia ficción es la mitología de

nuestra época”15 y me parece acertado. Es fantástico pensar en la vida en términos

geométricos e incluso inmemorialmente se ha hecho. El dodecaedro, identificado con el

yin, su dual (icosaedro) el yang; el chacra corazón, dos triángulos equiláteros formando una

estrella circunscrita en un círculo e incluso las instrucciones metafísicas para “acelerar” la

evolución: imaginarse uno dentro de una estrella tetraédrica gigantesca que en la parte

superior, tiene una línea que la conecta con el centro del universo (el origen) y de su punta

inferior, otra línea la conecta al centro de la tierra. Geometría pura. La religión y la ciencia

empiezan a tocarse. Los filósofos lo saben. Los religiosos lo intuyen. Los científicos

alegran. Tal vez hoy converge, se toca el conocimiento humano en un punto del toroide de

la realidad.

BIBLIOGRAFíA

- Berlanga, Ricardo et all. “Las Matemáticas, Perejil de Todas Las Salsas” Editorial Fondo

de Cultura Económica, (Colección la Ciencia para Todos, No. 163) Primera Edición,

México 1999.

- Bracho, Javier. ¿En Qué Espacio Vivimos? Editorial Fondo de Cultura Económica

(Colección la ciencia para todos No. 77), 1ª edición, México, 1989.

- Ongay, Fausto, “Máthema: El Arte Del Conocimiento”, Editorial Fondo de Cultura

Económica (Colección la ciencia para todos No. 177), 1ª edición, México, 2000.

www.axxon.com.ar

www.hispayoga.com/art12.htm

www.mcescher.com

www.profisica.cl

www.rae.es

www.spanisharts.com

www.wikipedia.com

Notas

1 Bracho, Javier. ¿En Qué Espacio Vivimos? Editorial Fondo de Cultura Económica

(Colección la ciencia para todos No. 77), 1ª edición, México, 1989.

2 Oaxaca, 1974. Poeta y aforista. Investigador social. Coordinador editorial de la revista

Luna Zeta.. Obtuvo la beca del FOESCA en la disciplina de Letras 2002.

3 Me refiero a Dios no con la connotación judeo cristiana sino como el inmenso mar en el

que existimo y que también tiene leyes, principios, formas, etc. De las que el hombre se ha

preguntado inmemorialmente y que en muchas culturas, ha identificado con el dios.

4 www.wikipedia.com

5 Ongay, Fausto, “Máthema: El Arte Del Conocimiento”, Editorial Fondo de Cultura

Económica (Colección la cuenca para todos No. 177), 1ª edición, México, 2000.

6 ibidem

7 www.wikipedia.com

8 En el libro “Las Matemáticas, Perejil De Todas Las Salsas” Berlanga Ricardo et all.. nos

narran: “La esencia de la representación tridimensional se encuentra en lo que se conoce

como el principio de proyección y sección. El pintor renacentista imaginaba que un rayo de

luz provenía desde cada punto de la escena a que se proponía pintar hacia uno solo de sus

ojos. Llamemos pues a esta colección de líneas concurrentes (el ojo del observador) una

proyección. … La colección de puntos donde las líneas de la proyección intersecan la

ventana es una sección… Hay quien acredita a Bruneleshi (1377 – 1446) la invención de la

perspectiva.

9 www.rae.es (Página Oficial de la Real Academia de la Lengua Española)

10 La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de

consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros

múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad, etcétera.

11 www.wikipedia.com

12 www.wikipedia.com

13 Se refiere a las siglas de: Wilkinson Microwave Anisotropy Probe

14 www.profisica.cl

15 www.axxon.com.ar

A Paul Signac se le considera divulgador y propagandista del Puntillismo. Signac descubrió

a los impresionistas cuando apenas contaba con 15 años, como punto de partida tuvo a

Monet aunque luego se separó de él. La pincelada puntillista también influyó en el

Futurismo.

anexo 01

En el gráfico, tenemos una “blanca” cuyo valor métrico es de 2 (tiempos).

Como tiene “puntillo”, se le agrega la mitad de su valor (la nota “negra” mide 1

(tiempo)). Entonces, el valor de la blanca con puntillo es de tres.

anexo 02

Suele representarse el plano como una figura delimitada por bordes irregulares (no

es apropiado usar bordes regulares porque no es una figura finita, y puede prestarse a

confusión), y puede notarse con una letra del alfabeto griego. Es bidimensional

anexo 03

anexo 04

Un toroide es una superficie de revolución engendrada por una curva cerrada y plana que gira

alrededor de una recta fija de su plano, que no la corta. De modo que un toro es un tipo particular

de toroide.