7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 1/19

 Página 1 

EL NÚMERO ÁUREO

Resumen

Este trabajo está dedicado al número de oro, a la divina proporción, en especial lo

he enfocado en esta última, a las aplicaciones que ha tenido y tiene esta proporción

en arquitectura y en general en el arte, y en su presencia en todos los objetos

cotidianos que nos rodean, incluso en la proporción del cuerpo humano.

This work is focused on the gold number and especially on the divine proportion

and on its applications in architecture and art in general. It also treats the presence

of that proportion in many objects of daily use and even in human body.

Índice

1.  El número áureo: definición, valor… 

2.  Sucesión de Fibonacci

3.  Historia del número áureo: antigüedad y edad moderna

4.  El número áureo en la geometría

5.  El número áureo en el arte y en la cultura

6.  El número áureo en la naturaleza y en el ser humano

7.  Bibliografía 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 2/19

 Página 2 

1 El número áureo

 A modo de introducción comenzaremos definiendo el número áureo, así como el

cálculo de su valor y algunas aplicaciones que ha tenido este número en la

arquitectura y en general en el arte, además de la presencia en el cuerpo del

hombre. 

El número áureo es un número irracional representado por la letra fi (φ ó ϕ), en

relación al escultor griego Fidias, que nació en la antigüedad como medio de

proporción entre dos segmentos de una recta. Esta

proporción entre los dos segmentos da el número φ= 1,61803… que se calcula con la ecuación de

segundo grado a2+a-1=0 que se obtiene de comparar

los dos segmentos de una recta, es decir el segmento menor (b) es al mayor (a)

como este segmento es al total (a+b), dando como resultado:  

que es el número áureo que relaciona estos dos segmentos, a y b.

2.  La sucesión de Fibonacci

Comenzaremos conociendo a su autor: Leonardo de pisa, másconocido como Fibonacci, fue un matemático italiano que difundió el

sistema de numeración arábiga por toda Europa, conocimientos que

aprendió en un viaje al norte de África que hizo para ayudar a su

padre Guglielmo en un puesto de comercio que tenía en Bujía. 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 3/19

 Página 3 

Pero es más conocido por ser el autor de la sucesión que lleva su nombre, la

Sucesión de Fibonacci, que está presente en su libro Liber abaci, que es: 

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...

Que es una sucesión infinita de números naturales que comienza con el 0 y el 1, y

a partir de estos dos números los demás se van obteniendo de la suma de los dos

dígitos anteriores.

Esta sucesión responde a la ecuación: f n  = f n-1  + f n-2  partiendo como ya hemos

dicho de f 0 = 0 y f 1 = 1 y obteniendo la sucesión: f 2 = 1, f 3 = 2, f 4 = 3 ...

Fibonacci, en su día, explicó esta sucesión con la ayuda de un supuesto de cría de

conejos: “Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y

uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su

naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir

también.”   Bien pues esto se puede explicar como que en el primer mes tenemos

una sola pareja, la cual el siguiente mes tienen otra pareja de conejos, la cual tiene

otra pareja a la vez que la primera pareja tiene otra, y así sucesivamente. Es decir si

consideramos que los meses son los “n” de la ecuación que cumple la sucesión y el

número de parejas de conejos son los números de Fibonacci tendremos dicha

sucesión.

También podemos entenderlo con

este pequeño esquema en el que

representamos las parejas nacidas

cada mes durante 5 meses, aunque

habría que llevarlo a los 12 meses

que dura un año. 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 4/19

 Página 4 

La sucesión de Fibonacci tiene varias propiedades numéricas, algunas de las más

importantes descubiertas por el matemático escocés Robert Simson en 1753, entre

ellas la relación existente entre dos números de Fibonacci sucesivos, la cual se

acerca al número áureo, con más precisión a medida que tiende al infinito. Esto es:

Si tenemos la sucesión de Fibonacci:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377...

 Y dividimos dos dígitos continuos entre sí, siempre el mayor entre el menor,

tendremos, cada vez con más exactitud, el número áureo:

1:1 = 1

2:1 = 2

3:2 = 1,5

5:3 = 1,6666666667

8:5 = 1,6

13:8 = 1,625

21:13 = 1,61538461

34:21 = 1,61904761

55:34 = 1,61764705

… 

Cuanto mayor sean los números de Fibonacci más se acercará el cociente que surge

de su división al número de oro. En términos matemáticos podemos afirmar que

responde al:

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 5/19

 Página 5 

La presencia del número áureo también se puede observar en la construcción de un

rectángulo con la unión de cuadrados cuyos lados sean los números de la sucesión

de Fibonacci, resultando de tal construcción el rectángulo áureo, es decir un

rectángulo con proporciones áureas. 

3 Historia del número áureo: antigüedad y edad moderna

Existen numerosos textos en los que se dice que el número áureo fue utilizado en

muchas estelas babilónicas y asirias de 2000 a.C. aproximadamente, pero no fue

utilizado de forma consciente por sus autores, por lo que estos no descubrieron el

número de oro. No fue hasta el siglo XX cuando al número de oro se le asoció el

símbolo φ (fi). Fue en la época griega cuando se descubrió este número, donde era

aplicado en el ámbito arquitectónico y escultórico.

ANTIGÜEDAD  El primero que realizó un estudio sobre el número de oro fue

Euclides, quien descubrió que era un número irracional. También a Platón se le ha

atribuido el desarrollo del número φ, pero esto no es así, ya que se interpretaron

de manera equívoca sus textos en los que se refería a una sección que no tenía nada

que ver con la sección áurea. 

EDAD MODERNA Sin duda el mayor representante del número áureo fue el

matemático Luca Pacioli, quien publicó De Divina Proportione   (La divina

Proporción) referido al número áureo. En él incluyó varias similitudes del número

áureo y Dios: 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 6/19

 Página 6 

-  Compara el valor único del número áureo y con la unicidad de Dios

-  La composición de tres segmentos de la recta lo compara con la Trinidad

- 

La infinidad del número áureo la compara con la de Dios

-  La autosimilaridad del número áureo lo compara con la omnipresencia de

Dios

 Alberto Durero descubrió como crear la espiral áurea con la ayuda del rectángulo

áureo. Ambas figuras se explicarán en el apartado de El número áureo en la

geometría.

4 El número áureo en la geometría

RECTÁNGULO ÁUREO DE EUCLIDES

El rectángulo áureo o rectángulo dorado es un rectángulo con proporciones áureas

entre sus lados. Su construcción se basa en un cuadradado cuyo lado es el lado

menor del rectángulo. Se halla el punto medio de un lado del cuadrado y haciendo

un arco con centro en un extremo del lado dividido y de radio hasta el punto

medio encontramos un vértice del rectángulo áureo en el alargamiento del lado del

cuadrado inicial. Por paralelas obtenemos el rectángulo dorado total.

Fue el matemático Euclides quien descubrió la construcción del rectángulo áureo,

la proporción áurea existente entre ambos lados del rectángulo, es decir entre AD y

 AE. Al ser el triángulo GBC un triángulo

rectángulo, se tiene que la hipotenusa es

GC = √5. Como GC = GE = √5. Conocido

esto podemos afirmar que AE = AG +

GE = 1 + √5. 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 7/19

 Página 7 

Por último como la proporción se da entre los lados distintos del rectángulo

tenemos que: AE/AD = (1 + √5)/2 siendo esto igual al número áureo. 

ESPIRAL ÁUREA

La espiral áurea o espiral logarítmica se construye a través del rectángulo áureo,

 ABCD, al que le quitamos un cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor del

rectángulo áureo. Pues bien el rectángulo EBCF que queda también es áureo. Este

proceso se repetirá las veces que se pueda hasta agotar el espacio y después se

unirán los vértices opuestos de cada cuadrado con un arco de circunferencia de

centro uno de los dos vértices que esté más hacia el centro de la figura, uniendoesos dos vértices opuestos.

Esta espiral ha sido descubierta en la naturaleza y en el arte en general. El

matemático Bernoulli la llamó spira mirabilis , e hizo que la inscribieran en su

tumba. 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 8/19

 Página 8 

La espiral dorada se asemeja a la espiral

de Fibonacci cuya construcción es la que

aparece en el apartado 2 de la sucesión de

Fibonacci cuya construcción se basa en la

unión de los vértices opuestos de los

cuadrados de lados los números de

Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…  

TRIÁNGULO ÁUREO, PENTÁGONO ÁUREO Y ESTRELLA ÁUREA

El triángulo áureo es aquel triángulo que tiene la proporción áurea entre la base y

los lados del triángulo, pues es un triángulo isósceles, es decir si llamamos a la base

b y al lado a, b/a = ϕ 

El triángulo áureo está muy relacionado con el

pentágono regular. Si cogemos un pentágono

regular y trazamos sus diagonales, existe una

proporción áurea entre varios de los triángulos

formados por algunas diagonales y lados del

pentágono. En la figura se muestran los ángulos

36º, 72º y 108º que se relacionan entre ellos

porque 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Pues bien dentro del pentágono

podemos encontrar varios triángulos áureos, por ejemplo los triángulos ABF, AFG

 y ABE, los demás son semejantes a alguno de ellos. 

a/sen108º = b/sen36º a/b = sen108º/sen36º 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 9/19

 Página 9 

b/sen108º = c/sen36º b/c = sen108º/sen36º 

c/sen72º = d/sen36º c/d = sen72º/sen36º = sen108º/sen36º 

Como 72º = 108º - 108º = 72º se verifica que sen108º = sen72º

Por tanto como a/b = b/c = c/d = sen108º/sen36º = 1,618033988… 

También podemos hallar el pentágono áureo con el

teorema de Ptolomeo el cual dice que dado un

cuadrilátero con sus cuatro vértices responde a: 

Siendo los vértices A, B, C, D. 

Si consideramos el pentágono regular, la circunferencia circunscrita a este y el

cuadrilátero ABCD, podemos asegurar que el lado AD

es igual a las diagonales DB y AC. Comparando la

ecuación anterior y considerando que el lado AD es

igual a las diagonales podemos decir que b2 = ab + a

2.

Si dividimos esto entre a2

  tendremos b2

/a2

 = b/a + 1

que si lo comparamos con φ2 = φ + 1 podremos decir

que son semejantes y por tanto hemos hallado el número áureo.

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 10/19

  Página10 

También podemos construir la espiral áurea con la ayuda de

triángulos áureos como se muestra en la imagen.

ESTRELLA PITAGÓRICA

En la estrella pitagórica también existe proporción áurea entre sus diferentesaristas. Por ejemplo el segmento rojo es al segmento azul

como este es al verde, y como este es al rosa. El pentagrama

o estrella pitagórica tiene diez triángulos isósceles que tienen

proporción áurea entre el lado menor y el lado mayor.

 Además dentro del pentáculo podemos inscribir otro

pentagrama menor, y así hasta el infinito. Pues si medimosla longitud total de una de las líneas de la estrella interior veremos que es igual a

cualquiera de los brazos de la mayor.  

5 El número áureo en el arte y en la cultura

EL NÚMERO ÁUREO EN LA PINTURA Y EN ESCULTURAS

La proporción dorada también está muy presente en la pintura. Sin duda el

máximo representante de esta proporción en pintura es Leonardo da Vinci quien

llegó a obsesionarse con esto. Sus obras más conocidas como La última cena , La

Gioconda , La dama del armiño  o El hombre de Vitrubio están pintadas basándose

en la proporción áurea.

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 11/19

  Página11 

Leonardo da Vinci tardó más de dos

años en pintar La última cena   pues su

obra atañó gran complejidad debido a

que esta proporción aparece de forma

continua en este mural de cinco metros

de ancho por nueve de largo. Las

dimensiones de la habitación y la mesa se basan en la sección áurea.

En La Gioconda  podemos observar que la altura del personaje,

el ojo izquierdo y las dimensiones centrales se basan en la

proporción divina. 

El hombre de Vitrubio   muestra las proporciones áureas

presentes en el cuerpo humano, algunas de las cuales fuerondefinidas por Vitrubio y otras por da Vinci. Este dibujo sirvió

para ilustrar el libro de La divina proporción de Pacioli, y en

él se decribió al hombre perfecto relacionando las distintas

partes del cuerpo humano con proporciones áureas. Si

estiramos piernas y brazos podemos circunscribir una

circunferencia de centro el ombligo y radio desde este hasta pies o manos. Tambiénpodemos construir un cuadrado de lado la altura del cuerpo, que coincide con la

distancia desde la punta de los dedos de las dos manos cuando los brazos están

completamente estirados y forman 90º con el tronco del cuerpo. Por último existe

proporción áurea entre la altura del cuerpo y la altura desde los pies hasta el

ombligo. 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 12/19

  Página12 

También Dalí empleó el número áureo en Leda

atómica , pintado en 1949. El personaje de la pintura

 junto con el ave están inscritos en un pentagrama

pitagórico pero de tal manera que a simple vista no

es perceptible para el observador. 

 Velázquez utilizó la sección áurea en Las Meninas  

para dar importancia a la hija de Felipe IV, ya que

los triángulos áureos en los que se basa para

estructurar la disposición de los personajes

proporcionan luz a la pintura y hace resaltar la

figura de la infanta. 

 Alberto Durero también se ayudó de la sección áurea

para representar Adán y Eva . 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 13/19

  Página13 

En el  Apolo de Belvedere, de autor desconocido, también

están relacionados los lados del rectángulo que inscriben a

la figura con la sección áurea.  

Por último, aunque no con ello quiere decir que sea la última

obra con proporciones áureas, pues hay muchas, solo que esta

será la última que citaremos, El David   de Miguel Ángel el

cual se ajusta a la sección áurea en la altura del ombligo con

respecto a la altura total de la figura, como también a la

colocación de las articulaciones de los dedos.  

EL NÚMERO ÁUREO EN LA MÚSICA

En la música existe una escala logarítmica, llamada escala atemeperada cuya octava

atemeperada se basa en , que aunque es un número irracional se redondea al

primer o segundo decimal para la afinación. Esto produce un error imperceptible

para el oído humano. También se actúa con la distribución de tiempos o altura de

los tonos usando el número áureo. Algunos autores como Stockhausen, el

compositor mexicano Silvestre Revueltas, Bártok y Messiaen utilizaron la sección

áurea para componer sus obras. 

También Zeysing descubrió la presencia de la sucesión de Fibonacci en el cálculo

de los intervalos aferentes de dos tipos de acordes perfectos.

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 14/19

  Página14 

 Además en el cuerpo de los violines está presente la proporción áurea en los

orificios o efes.

En las sonatas de Mozart, en La quinta sinfonía de Beethoven o en obras de

Debussy o Schubert también está presente la proporción áurea, pero

probablemente estos compusieron sus obras sin tener conocimiento de su uso o de

su existencia siquiera, basándose en equilibrios de masas sonoras.  

LA PROPORCIÓN ÁUREA EN LA ARQUITECTURA

Pirámide de Gizeh. El primer uso del

número áureo fue en la época de los

egipcios en la construcción de la Pirámide

de Gizeh. Los griegos demostraron que el

cuadrado de la altura de la pirámide era

igual al área de una de las caras. Si se

analiza la construcción de la pirámide podemos observar la aplicación del número

áureo en tres elementos, así la razón entre la altura de cara y la mitad del lado de la

base es el número áureo, como también lo es la relación entre el área total y el área

lateral de la pirámide. 

El Partenón. Los griegos también lo utilizaron en la construcción del Partenón,

cuya fachada está contenida en un rectángulo áureo. También en la fachada se

puede ver que el largo tiene proporciones áureas con respecto a la altura de obra.

También entre AC/AD= 

φ y CD/CA= 

φ

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 15/19

  Página15 

El Templo de Ceres. Su fachada está construida

según un sistema de triángulos áureos

relacionado con el orden dórico.  

Tumba rupestre de Mira. Está construida basándose en

un pentágono áureo (ya visto en el apartado 4) apoyado

en la base de la fachada, cuyo cociente de la diagonal de

dicho pentágono y su lado es el número áureo. 

Nôtre Damme. La catedral de Nôtre Damme es otro

buen ejemplo del uso de la sección áurea. La fachada está

inscrita en un rectángulo áureo, dividido cada sección en

distintos rectángulos áureos. 

Entre otros edificios famosos cuya construcción se basó en la sección áurea están la

torre Eiffel, las escaleras del Vaticano de Durero, entre otras.

6 El número áureo en la naturaleza y en el ser humano

LA PROPORCIÓN ÁUREA EN LA NATURALEZA

En la naturaleza también aparece la sección áurea, como puede ser la disposición

de los pétalos de las flores y la cantidad de estos, con tres, cinco, ocho…pétalos, que

corresponde a los números de Fibonacci; la cantidad de espirales de una piña

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 16/19

  Página16 

también correspondientes a los números de Fibonacci; la distribución de las hojas

en el tallo de una planta, como puede ser la alcachofa o la yuca; el grosor de las

ramas principales y el tronco de un árbol cuyo cociente es el número áureo, como

también entre las ramas principales y las ramas secundarias; la distancia entre las

espiras del interior de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus; la

relación entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal; la

cantidad de elementos que constituyen las espirales de las inflorescencias en el caso

del girasol. 

LA PROPORCIÓN ÁUREA EN EL SER HUMANO

Como dijo Leonardo da Vinci el cuerpo humano se basa en la proporción áurea.

Esto lo vemos en la relación de la altura de una persona y la altura hasta su

ombligo. También en la relación de la distancia del hombro a los dedos y la

distancia del codo a los dedos, en la relación entre la altura hasta la

cintura y la altura hasta la rodilla, en la relación

entre el diámetro de la boca y el ancho de la nariz,

en la relación entre el primer hueso de los dedos y

la primera falange, o entre la primera y la segunda

falange, en la relación entre el diámetro externo de

los ojos y la línea interpupilar. Además la oreja del ser

humano se inscribe en una espiral áurea.  

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 17/19

  Página17 

7 Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%C3%A1ureo 

http://es.wikipedia.org/wiki/Fidias 

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso2002/alumnado/q

uees.html 

http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm 

https://sites.google.com/site/muralpasillo/ser-humano 

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_logar%C3%ADtmica 

http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/grupomaic/conferencias/11.Num

ero%20de%20oro.pdf  

http://ciencia-arte.blogspot.com.es/2011/06/leda-atomica-y-aurea.html 

http://es.wikipedia.org/wiki/Rect%C3%A1ngulo_dorado 

http://aureo.webgarden.es/menu/numero-aureo/el-triangulo-aureo 

http://es.wikipedia.org/wiki/Espiral_dorada 

http://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_de_Fibonacci 

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Ptolomeo 

http://suite101.net/article/el-numero-de-oro-en-la-arquitectura-y-el-arte-a2985 

http://es.wikipedia.org/wiki/Hombre_de_Vitruvio 

http://www.lne.es/sociedad-cultura/2011/11/26/leonardo-genio-obsesionado-magica-

proporcion-aurea/1162419.html 

http://www.monografias.com/trabajos75/numero-aureo/numero-aureo2.shtml 

Imágenes:

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Golden_triangle_and_Fibonacci_spiral.svg 

http://www.google.es/imgres?imgurl=&imgrefurl=http%3A%2F%2Fcampusvirtual.unex.es%2F

cala%2Fepistemowikia%2Findex.php%3Ftitle%3DNumero_aureo&h=0&w=0&sz=1&tbnid=Xmo

47cQ3HSG-

kM&tbnh=156&tbnw=200&zoom=1&docid=J42nShia2DJBbM&hl=es&ei=AonAUcGzLsW-

0QW_5ICwCg&ved=0CAEQsCU 

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Basler_Muenster_Bernoulli.jpg 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 18/19

  Página18 

https://www.google.es/search?as_st=y&tbm=isch&hl=es&as_q=triangulo+aureo&as_epq=&as

 _oq=&as_eq=&cr=&as_sitesearch=&safe=images&tbs=sur:f&biw=1366&bih=643&sei=qiHDUc

DOBozqON_mgLAO#facrc=_&imgdii=_&imgrc=oCATaMPzO4pKMM%3A%3Bm_PO5TKtUgM0u

M%3Bhttp%253A%252F%252Fupload.wikimedia.org%252Fwikipedia%252Fcommons%252F5%

252F52%252FPtolemy_Pentagon.svg%3Bhttp%253A%252F%252Fcommons.wikimedia.org%25

2Fwiki%252FFile%253APtolemy_Pentagon.svg%3B526%3B526 

https://www.google.es/search?as_st=y&tbm=isch&hl=es&as_q=espiral+aurea&as_epq=&as_o

q=&as_eq=&cr=&as_sitesearch=&safe=images&tbs=sur:f&biw=1366&bih=643&sei=qyXDUaKr

E8iAPaurgNAJ#as_st=y&hl=es&tbs=sur:f&tbm=isch&sa=1&q=espiral+logar%C3%ADtmica&oq=

espiral+logar%C3%ADtmica&gs_l=img.3..0j0i24.149545.149545.6.149706.1.1.0.0.0.0.126.126.

0j1.1.0...0.0.0..1c.1.17.img.ScZJelTqwuQ&fp=1&biw=1366&bih=643&bav=on.2,or.r_qf.&cad=b

&sei=yxHHUYXGB4nQ7AbwkYC4Dw&facrc=_&imgdii=C30ODnWqC9F6CM%3A%3BLi3Aeq5YVd

gU1M%3BC30ODnWqC9F6CM%3A&imgrc=C30ODnWqC9F6CM%3A%3B9hyjLGM1eYNOhM%3

Bhttp%253A%252F%252Fupload.wikimedia.org%252Fwikipedia%252Fcommons%252F4%252F

44%252FGolden-

Section.png%3Bhttp%253A%252F%252Fes.m.wikipedia.org%252Fwiki%252FArchivo%253AGol

den-Section.png%3B600%3B968 

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pentagram2.png 

http://www.google.es/imgres?imgurl=&imgrefurl=http%3A%2F%2Fciencia-

arte.blogspot.com%2F2011%2F06%2Fleda-atomica-y-

aurea.html&h=0&w=0&sz=1&tbnid=k5oKqGNeRNu_tM&tbnh=265&tbnw=190&zoom=1&doci

d=s7z4pmQ6urGUkM&hl=es&ei=azfEUfPtJsKf0QX20oH4Aw&ved=0CAIQsCU 

http://www.google.es/imgres?imgurl=&imgrefurl=http%3A%2F%2Frumanaladytiger.blogspot.

com%2F2009%2F09%2Fel-numero-aureo-o-proporcion-divina-

ii.html&h=0&w=0&sz=1&tbnid=vHCR__7ZOSPrdM&tbnh=144&tbnw=96&zoom=1&docid=_ob

1Fj4aRT5xtM&hl=es&ei=APLGUdqJFrHP0AX3-YC4Dw&ved=0CAQQsCU 

https://www.google.es/search?as_st=y&tbm=isch&hl=es&as_q=nautilus&as_epq=&as_oq=&a

s_eq=&cr=&as_sitesearch=&safe=images&tbs=sur:f&biw=1366&bih=643&sei=2uzGUY-

ZFYKL7AaOpoHABQ#facrc=_&imgdii=_&imgrc=580HRZUyCnt-

wM%3A%3BCc7HEuVWm2qx4M%3Bhttp%253A%252F%252Fupload.wikimedia.org%252Fwiki

pedia%252Fcommons%252F0%252F08%252FNautilusCutawayLogarithmicSpiral.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fen.wikipedia.org%252Fwiki%252FFile%253ANautilusCutawayLogarithmicSpi

ral.jpg%3B2240%3B1693 

http://www.google.es/imgres?imgurl=&imgrefurl=http%3A%2F%2Fes.123rf.com%2Fphoto_10

286343_arbol-divertido-con-los-perros-en-las-ramas-para-su-

diseno.html&h=0&w=0&sz=1&tbnid=QGE2p21jzMHWZM&tbnh=225&tbnw=225&zoom=1&do

cid=UnH-

ZnInxuoZ2M&hl=es&ei=kuvGUc7kDunE0QWknIDYCw&ved=0CAIQsCU#imgdii=QGE2p21jzMH

WZM%3A%3BsPvdeRe87m2VUM%3BQGE2p21jzMHWZM%3A 

7/17/2019 Elnúmeroáureopdf

http://slidepdf.com/reader/full/elnumeroaureopdf 19/19

  Página19 

https://www.google.es/search?as_st=y&tbm=isch&hl=es&as_q=N%C3%B4tre+dame&as_epq=

&as_oq=&as_eq=&cr=&as_sitesearch=&safe=images&tbs=sur:f&biw=1366&bih=643&sei=sh3

GUfmwHMiu7AbJ4YGwDg#as_st=y&hl=es&tbs=sur:f&tbm=isch&q=N%C3%B4tre+dame&spell=

1&sa=X&ei=4x3GUei8HsvW7Qbt14GgAg&ved=0CFYQvwUoAA&fp=1&biw=1366&bih=643&bav

=on.2,or.r_qf.&cad=b&sei=eBPHUc-

xGafE7Ab9lIGgAw&facrc=_&imgdii=_&imgrc=CgeTvDYYafbHVM%3A%3BYwx4Bk-

tNgxjqM%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.landscape-

photo.net%252Falbums%252Fuserpics%252F10001%252Fnormal_notre-dame-de-paris-

01.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.landscape-

photo.net%252Fdisplayimage.php%253Fpid%253D463%3B1024%3B768 

https://www.google.es/search?as_st=y&tbm=isch&hl=es&as_q=Templo+de+Ceres&as_epq=&

as_oq=&as_eq=&cr=&as_sitesearch=&safe=images&tbs=sur:f&biw=1366&bih=643&sei=exvG

Ua-WCIbC7AbPloG4DQ#facrc=_&imgdii=5qx-ruAvZ4EerM%3A%3BrVvLJEGI0aX3UM%3B5qx-

ruAvZ4EerM%3A&imgrc=5qx-

ruAvZ4EerM%3A%3BfzyxncEFQXBP1M%3Bhttp%253A%252F%252Ffarm4.staticflickr.com%252

F3322%252F3278420675_b6ba837c7b_o.jpg%3Bhttp%253A%252F%252Fwww.flickr.com%252

Fphotos%252Fsmorchon%252F3278420675%252F%3B2048%3B1358 

https://www.google.es/search?as_st=y&tbm=isch&hl=es&as_q=Pir%C3%A1mide+de+Gizeh&a

s_epq=&as_oq=&as_eq=&cr=&as_sitesearch=&safe=images&tbs=sur:f&biw=1366&bih=643&s

ei=b9zFUdD7L8eM7AbcqoCwDw#facrc=_&imgdii=_&imgrc=iQeaLZoaNZW9pM%3A%3BeKP1q

XV8ecuAvM%3Bhttp%253A%252F%252Fupload.wikimedia.org%252Fwikipedia%252Fcommon

s%252Fb%252Fb6%252FGreat_Pyramid_of_Giza%252C_Giza%252C_Egypt8.jpg%3Bhttp%253A

%252F%252Fcommons.wikimedia.org%252Fwiki%252FFile%253AGreat_Pyramid_of_Giza%252

C_Giza%252C_Egypt8.jpg%3B3888%3B2592 

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:David_von_Michelangelo.jpg 

http://www.google.es/imgres?imgurl=&imgrefurl=http%3A%2F%2Fwww.artehistoria.jcyl.es%2

Fv2%2Fpersonajes%2F4179.htm&h=0&w=0&sz=1&tbnid=MbSzopHXKvY4NM&tbnh=302&tbn

w=167&zoom=1&docid=r1CBjEU-

nhb09M&hl=es&ei=xkHEUZzhBoel0AWfqoCAAw&ved=0CAcQsCU#imgdii=MbSzopHXKvY4NM

%3A%3BiwGcAHNNuLLd_M%3BMbSzopHXKvY4NM%3A 

 Autora: Ana Belén Sánchez Rubio.