ab

A

C

c

F1

DP

BF2

2a= Eje Real

2B

= E

je Im

agin

ario

2c Distancia Focal

F2A

F1

C

PD

B

ELIPSE

DEFINICIN Y PROPIEDADES. (Ilustracin n 1).

La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos tiene la propiedad que la suma de distancia de cada uno de ellos a

otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor de la elipse.

Los ejes se cortan perpendicularmente en el centro de la elipse, esta es simtrica respecto a los dos ejes.

El "eje mayor" se denomina eje real y el menor "eje imaginario".

La distancia focal, o la determinacin de los focos, se realiza de la siguiente manera: Se traza un arco de radio igual al

semieje mayor y de centro un extremo del eje menor; los puntos de corte del arco anterior con el eje de simetra mayor

son los focos de la elipse (F1 y F2).

En la Ilustracin n 1 observamos como trazando dos rectas desde un punto (P) cualquiera de la Elipse, hasta los focos

(F1 F2) se obtienen dos segmentos que al sumarlos nos darn una magnitud igual al eje de simetra mayor AB.

PARMETROS DE LA ELIPSE: (Ilustracin n 1)

a= La distancia que hay desde el centro de la elipse a un extremo del eje de simetra mayor (a). Eje de simetra Mayor

(AB) se denomina 2a.

b= La distancia que hay desde el centro de la elipse a un extremo del eje de simetra menor (b). Eje de simetra Menor

(CD) se denomina 2b.

c=La distancia que hay desde el centro de la elipse a uno de los focos (F1, por ejemplo) Distancia Focal se denomina

2c.

A

C

OB

R

S

C

S'

M

A

D

B

M'

O

D

R'

DIMETROS CONJUGADOS: (Ilustracin n 2)

Son las cuerdas que pasan por el centro de la elipse de tal modo que cualquier

cuerda paralela a uno de dichos dimetros queda dividida en dos partes iguales.

Para construir una elipse a partir de sus dimetros conjugados se sigue el si-

guiente mtodo:

1) Se traza una circunferencia de dimetro igual al conjugado mayor

(AB) y se levanta perpendiculares a l de manera arbitraria.

2) Por los puntos de interseccin entre las cuerdas anteriores con el

dimetro conjugado AB se trazan paralelas al otro conjugado (CD).

3) Unir mediante rectas los extremos del dimetro de la circunferencia

con los extremos del conjugado menor (CD) y trazar por los extre-

mos de las cuerdas obtenidas anteriormente paralelas a los segmen-

tos anteriores (extremos del dimetro de la circunferencia y CD)

hasta que corten a cada paralela a CD en dos puntos, stos determi-

nan la elipse.

ILUSTRACIN N 1

ILUSTRACIN N 2

PF1 F2

R

A B

C

D

T

a =

AB/2

F1 F2

CIRCUNF. FOCAL= a= AB= 2a

F1'

A B

C

D

T

CIRCUNF. FOCAL= a= AB= 2a

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL:

(Ilustracin n 3)

Es el lugar geomtrico de los

pies de las perpendiculares traza-

das desde un foco a las tangen-

tes de la cnica correspondiente.

El centro de esta circunferencia es

el de la elipse, siendo su radio el

semieje mayor (a).

La interseccin de una recta tan-

gente a la cnica con la circunferen-

cia principal determina dos puntos

(P y R) que son los pies de las per-

pendiculares trazadas a dicha recta

tangente, stas cortarn al eje de

simetra mayor determinando los

focos.

CIRCUNFERENCIAS FOCALES:

(Ilustracin n 4)

Las circunferencias focales se defi-

nen como: el lugar geomtrico de

los puntos simtricos del otro

foco respecto de las tangentes a

la cnica.

Los centros de estas circunferen-

cias son los focos de la cnica, y su

radio es igual al eje de simetra ma-

yor (2a).

La elipse tiene dos circunferencias

focales.

OTRA DEFINICIN DE ELIPSE:

(Ilustracin n 5)

Es el lugar geomtrico de todos

los centros de las circunferencias

que son tangentes a una circun-

ferencia focal y que pasan por el

otro foco.

Los puntos de tangencia de las cir-

cunferencias con la focal estarn

alineados con su foco correspon-

diente.

En la ilustracin n 4 F1 est en

lnea con P y F2 y F2 con R y F1.

ILUSTRACIN N 3

ILUSTRACIN N 4

F1

F2

F1'

F2'

A B

C

D

P

R

ILUSTRACIN N 4

ELIPSE FUNDAMENTOS (II)

elipse-fundamentos1elipse-fundamentos2