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Eletromagnetismo – Licenciatura: 4ª Aula (27/02/2014) Prof. Alvaro Vannucci
Na aula anterior vimos que:
O potencial elétrico em pontos próximos de uma carga pontual Q:
0
1
4 'V r
r r
Q
Para uma distribuição contínua de cargas:
0
1( )
4 '
dqV r
r r
No caso de um dipolo elétrico ( sendo p Q l o momento de dipolo elétrico):
e, portanto:
Capacitores
Correspondem, basicamente, a dois condutores com cargas +Q e –Q, separados por
um meio dielétrico (vácuo, por exemplo):
Havendo cargas de sinais contrarios, então há uma diferença de
potencial entre os condutores e a constante de proporcionalidade,
entre a carga Q e a ddp V, é chamada de capacitância C, de forma
que :
O grande interesse que se tem pelo estudo dos capacitores é devido à possibilidade
deles armazenarem energia elétrica:
0 0
ˆcos
4 ² 4 ²dipolo
p p rV
r r
0
ˆˆ(2cos )4 ³
dipolo dipolo
pE V r sen
r
( )Coulomb
FaradVolt
QC
V
2 1²
2 2
QU CV
C
O capacitor de placas paralelas:
Um capacitor plano é dito ideal quando a área das placas condutoras for muito grande e a distância de separação for muito pequena, de forma que efeitos de borda podem ser desconsiderados.
Neste caso, o campo elétrico é constante e uniforme, de forma que (pela Lei de Gauss):
0
0 0
1 QE Q EA
A
(1)
Sendo que a ddp é dada por:
( )
d
o
V E dl E dl V Ed (2)
Substituindo (1) e (2) na expressão de capacitancia:
0 EQC
V
A
E
0placas
Paralelas
AC
dd
(3)
Agora, como a energia armazenada 1
²2
U CV , usando 2 e 3:
interno
00
01
2 2
1
2
²( )( ² ²) ( )( ²)
volume
do
capacitor
olume
A E UU E ud Ad
d VE
Onde u é a densidade volumética de energia no interior do capacitor.
De forma que a Energia Total associada a um campo elétrico existente em uma região do espaço qualquer, pode ser calculada:
0
2²
volume
U u dV E dV
Cavendish e Faraday descobriram, independemente, que a capacitância modifica-se quando um material dielétrico é inserido entre as placas de um capacitor isolado (desconectado da bateria, a carga é constante).
Eles observaram que se todo o espaço disponivel for preenchido pelo dielétrico, a capacitância aumenta por um fator K ( em relação ao ar\vácuo), e que K (denominado constante dielétrica) depende do tipo de material dieltrico utilizado:
C= K C0 ; sendo que para o ar/vácuo, Kvácuo = K0 = 1
(Note que só há dependência com os parâmetros geométricos do sistema)
- - - - - - - - --
--
+ + + + + +
dl
E
x
O
A
A
d
Mas como as cargas no capacitor se mantêm constantes e C=q\V , então um aumento na capacitância implica em uma diminuição na ddp.
Ou seja, sendo 0
0 0
0
( )
( )
Qvácuo C
V C Vdividindo
C VQdielétrico C
V
Agora, como C= K C0 0V
VK
(lembrando que K0 = 1)
Ainda, como0 0 0
0 0
V E d EV EE
V Ed V E K
Portanto, o campo resultante entre as placas também diminui!
Como entender fisicamente estes resultados?
Supor uma molécula na qual os “centros de carga” coincidam e vamos submetê-la a um campo elétrico externo uniforme e constante.
Note que o campo externo atuando nos seus prótons e elétrons provoca um deslocamento dos “centros de carga” da molécula:
Ou seja, com a aplicação do campo externo ocorre a Polarização da molécula, devido à criação e alinhamento dos pequenos dipolos elétricos.
Havendo N moléculas, tem-se N dipolos, de forma que a soma de todos os ip , por
unidade de volume do material, nos fornece o Vetor Polarização:
1
1 n
i
iolume
P pV
; unidade: ²
C
m
Experimentalmente, observa-se na grande maioria das situações que quanto mais intenso for o campo externo aplicado, maior será a polarização resultante; e também maior será, proporcionalmente, o campo resultante, de forma que :
0 resP E
Onde χ corresponde à susceptibilidade elétrica do meio.
Sem Eext
Com Eext
-
- -
-
- -
- +
+ - - - -
-
-
- -
- -
-
- -
- -
-
- - -
-
- - -
extE
Agora, e em situações nas quais existam tanto cargas livres quanto cargas de polarização, como calcular o campo elétrico resultante?
Vejamos, por exemplo, o capacitor de placas paralelas ideal, com um dado meio dielétrico:
De forma que o res ext indE E E ; sendo que o
indE
tende a enfraquecer o resE .
Note também que indE e P , igualmente, dependem
diretamente das cargas de polarização que se formam.
Se aplicarmos a Lei de Gauss a este problema, escolhendo a superficie gaussiana com sendo a pastilha cilíndrica mostrada na figura:
0 res int. livre polariz.total
ˆ·n dA QE Q Q
Como as cargas de polarização estão diretamente relacionadas com o vetor polarização que surge em decorrencia, o cálculo do seu fluxo através do cilindro:
polarizaçãoˆ·n dA QP
De forma que :
0 res livreˆ ˆ· ·n dA Q n dE AP 0 res livre
ˆE P n dA Q ( somente!)
Definindo: 0 resD E P “Vetor Deslocamento Elétrico”
Então:
int. livreˆ·n dAD Q
E será esta a equação que estaremos utilizando coma sendo a Lei de Gauss, por não depender explicitamente das cargas de polarização!
Note que usando: 0
0
0
1D E P
DE
EP
D E
Sendo ε a permissividade elétrica do meio.
No vácuo: χ=0 (P = 0) 0D E
E lembre-se sempre: D está associado apenas com as cargas livres.
++++++
------
------
++++++
extE
n̂
P
indE