ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Tesis Memoria

E S C U E L A S U P E R I O R D E F Í S I C A Y M A T E M Á T I C A S

ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Tesis Memoria

MARIO SÁNCHEZ DOMÍNGUEZ

I N S T I T U T O P O L I T É C N I C O N A C I O N A L --- M É X I C O ---

Te agradezco Madre, por la lección de vida tan maravillosa que me has dado, por haberme educado en cada momento de tu vida para que yo sea una mejor persona, por

mostrarme con tu enorme corazón y voluntad que es posible llegar a un lugar lleno de alegría, autosuficiencia y sobre todo felicidad.

Madre eres el ser humano más fuerte y grande que yo conozco.

Te AMO.

Omar, yo sé que nuestro camino no fue fácil, sin embargo todo tuvo razón y sentido al saberte mi hermano, y sobre todo darme cuenta que has podido salir adelante, me siento más que

orgulloso de ti. Te agradezco con todo el corazón cada instante que hemos compartido juntos; hermano, sé feliz… hermano, nunca olvides que por toda la vida me

sentiré contento por haberte pedido con mi mamá. Y pues si… también te AMO.

Piti, yo creo que la vida es sabia… te coloca en el camino a las personas junto con las cuales, cruzarás el sendero de la forma más hermosa posible; desde que yo era niño recuerdo todo ese

apoyo, confianza y cariño que me brindaste… lo veía inclusive en tus ojos. Tú eres de esos ángeles que la vida me regalo. Es claro que te agradezco por el gran apoyo que me brindaste

en la elaboración del texto, pero sobre todas las cosas, te agradezco por brindarme tus manos y corazón como un punto de apoyo en mi vida… te agradezco por los tremendos

sustos que me metías cuando yo era niño y los regaños y todo eso. Ten la seguridad que yo seré la consecuencia

natural de todo ese amor que me brindaste. Te AMO.

Tío Vicente, aprendí a mirar el cielo de frente y bien cimentado en la tierra gracias a ti… la grandeza que surge de tu ser, tus ojos y tus palabras me ha mostrado el camino a seguir.

Eres un hombre de bien, honesto y fuerte… sigue tu camino, no olvides que habemos aprendices detrás de ti. Gracias por todo, gracias por hacerme entender que es posible

crear una antena parabólica con tus propias manos. Te AMO.

Agradezco a cada uno de los corazones que integran mi núcleo familiar, a mis amigos, a mis profesores y finalmente agradezco al INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL, creador de profesionistas con sangre guinda.

ÍNDICE

PRÓLOGO 11INTRODUCCIÓN 13

Capítulo 1. CONJUNTOS

1.1. Introducción 17 1.2. Conjunto subconjunto 17 1.3. Conjuntos especiales 11 1.4. Conjuntos universo (espacio muestra) y vacío 11 1.5. Operaciones entre conjuntos (eventos) 23 1.6. Cardinalidad de un conjunto (medida) 32 1.7. Particiones 47 1.8. Conjunto potencia 53 1.9. Producto cartesiano de conjuntos 54 Ejercicios 63

Capítulo 2. SUMATORIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA

2.1. Introducción 67 2.2. Sumatoria 67 2.3. Inducción matemática 80 Ejercicios 87

Capítulo 3. CONTEO

3.1. Introducción 89 3.2. Principios básicos de conteo 89 3.3. Binomio de Newton 110 3.3.1. Binomio de Newton 114 Ejercicios 124

Capítulo 4. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

4.1. Introducción 127 4.2. Tipos de variables 127 4.3. Distribuciones de frecuencia 128 4.4. Clases 134 4.5. Medidas de tendencia central 136 4.6. Medidas de dispersión 143 4.7. Tercer y cuarto momento central (simetría y curtosis) 150 Ejercicios 155

Ejercicios 203

Capítulo 6. VARIABLES ALEATORIAS

Ejercicios 256

Capítulo 7. ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS

7.8.1. Teorema de De Moivre-Laplace 332

CONCLUSIONES 345BIBLIOGRAFÍA 347

Capítulo 5. PROBABILIDAD

5.1. Introducción 157 5.2. Enfoque frecuencial de la probabilidad 157 5.3. Espacios finitos equiprobables 160 5.4. Propiedades de P 162 5.5. Espacios uniformes no numerables 178 5.6. Probabilidad condicional 180 5.7. Teorema de la probabilidad total 188 5.8. Fórmula de Bayes 192 5.9. Independencia 195

6.1. Introducción 207 6.2. Variables aleatorias 207 6.3. Funciones de una variable aleatoria 216 6.4. Distribución de una variable aleatoria finita 217 6.5. Valor esperado y varianza 225 6.6. Desigualdad de Chebyshev 241 6.7. Tercer y cuarto momento central (simetría y curtosis) 245 6.8. Función generadora de momentos (fgm) 250 6.9. Distribución de una variable aleatoria discreta (vad) 253 6.10.Distribución de una variable aleatoria continua (vac) 255

Y CONTINUAS DE PROBABILIDAD

7.1. Introducción 259 7.2. Distribución binomial 259 7.3. Fgm de la distribución binomial 274 7.4. Distribución hipergeométrica 280 7.5. Distribución binomial negativa 290 7.6. Distribución de Poisson 301 7.7. Distribución normal 311 7.8. Aproximación normal a la distribución binomial 329

Ejercicios 335

Tabla I VAD 342Tabla II N(0,1) 343

PRÓLOGO

JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO Y OBJETIVOS METODOLÓGICOS

Basado en mi experiencia docente, es notorio que existe gran necesidad en las escuelas de nivel medio superior por mejorar la formación teórica del alumno en lo concerniente a la materia de Estadística y Probabilidad. Por lo tanto es de suma importancia hacer énfasis en el carácter constructivista de dicha materia para que de esta manera, sea posible satisfacer la necesidad mencionada.

El presente texto, fue elaborado con la finalidad de brindar apoyo a los alumnos

de nivel bachillerato, y de esta forma se familiaricen con temas que tiempo después, se asumen por conocidos a nivel superior.

Comúnmente, la materia se maneja (tanto en aula como en textos), desde el

punto de vista de la aplicación, es decir, se muestran las fórmulas y directamente se abordan ejercicios, sin embargo se ha dejado a un lado la discusión referente al desarrollo y motivación de tales fórmulas, provocando con esto la mala formación teórica. No hay que perder de vista el cambio reciente en la competitividad entre las universidades, generando mayor exigencia al alumno. El corazón del proyecto, es satisfacer tales necesidades sin olvidar que se sigue hablando de alumnos que se encuentran en plena formación razón por la cual, temas complicados fueron abordados de manera simple y dirigida, procurando explicar todos los detalles sin sacrificar nivel y además, brindar el tiempo necesario y suficiente como para que sea posible discutirlos en clase. La idea que marca la discusión del texto, es llevar al alumno a que él mismo pueda ir sospechando los pasos futuros que se darán en la teoría, apoyándose en ejemplos, comparaciones y situaciones reales. En pocas palabras, motivarlos a dar el salto entre lo particular y lo general vía análisis de resultados particulares, proposición de fórmulas y posteriormente su correspondiente demostración. Lo que se busca es que al final, el alumno pueda tener una visión más clara y profunda del tema; otro punto por mencionar es que el contenido, incluye temas propios del nivel superior, permitiendo que el texto pueda ser usado inclusive por estudiantes de ese nivel.

PORCENTAJE DE TEMAS CUBIERTOS POR EL TEXTO, CON RESPECTO AL PROGRAMA DE ESTUDIOS PARA

EL QUE FUE DESARROLLADO Desde la misma estructura temática del texto, fue considerado el programa de estudios de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM), cubriendo todos los temas requeridos, y de paso, agregando la profundidad necesaria (considerada por el autor) sobre los temas importantes, junto con temas no mencionados en el programa, los cuales no dejan de ser útiles.

11

12 ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Existe la preocupación por parte del profesor que imparte la materia, del tiempo requerido para cubrir un curso, razón por la cual se genera la duda de agregar nuevos temas o no. Es importante señalar que el texto también fue pensado para que se adapte a los tiempos frente a clase que hay en un año escolar.

TIPO DE EVALUACIONES Y ACTIVIDADES QUE INCLUYE Siendo congruente con los objetivos del texto, gran parte de los ejercicios van dirigidos a una construcción por parte del alumno, del contenido temático. Los ejercicios que se aprecian en el presente trabajo son de aplicación, con la intención de familiarizar al alumno desde la notación hasta la resolución de problemas reales; también son de tipo demostrativo, con el objetivo de generar sentido crítico en el alumno (entre otras cosas) deseando provocarle una actitud propositiva. Dentro de la discusión de varios temas, hay ejemplos que se van resolviendo a la par del desarrollo teórico, con la finalidad de no perder en ningún momento de vista, el avance (en los temas) que se ha logrado y los temas posteriores que intentan alcanzarse. Tanto los ejemplos como los ejercicios abordan la mayor parte de problemas por resolverse con la teoría usada, y por supuesto manejados a nivel bachillerato. Ya que la aplicación que tiene la materia dentro de varias ramas de la ciencia y en la sociedad es muy amplia, hay ejemplos no convencionales que hacen uso del contenido, los cuales se prestan para darles uso como material de exposición e inclusive crítica por parte del alumno.

INTRODUCCIÓN El presente texto tiene como antecedente las experiencias docentes adquiridas a lo largo de los últimos nueve años, refleja de manera directa los métodos de enseñanza de la matemática aplicados en dicha labor.

Se considera que la matemática debe de enseñarse en forma secuencial, en donde cada uno de los temas tenga sentido y encaminado a fundamentar los temas posteriores sin que haya desconexión entre uno y otro; por ejemplo, en el primer capítulo de este texto que incluye la teoría de conjuntos se da un sentido dirigido a lo que se conoce como espacio muestra y eventos en probabilidad, concibiendo las operaciones entre conjuntos como una forma directa de hacer cálculos de probabilidades, usando varios eventos; además, se hace uso del concepto de cardinalidad de un conjunto para comprender la necesidad de que se debe crear una herramienta que permita realizar conteos de manera eficiente, dando pie al capítulo de conteo.

De acuerdo a la experiencia se establece también en el texto, la gran diferencia que existe entre los tipos de conjuntos, en lo referente a la forma de medir, todo esto, con la intención de marcar desde un principio que el concepto de medición es mas general de lo que uno cree y en consecuencia, el de probabilidad. Por otra parte se suele hablar de conjuntos finitos, infinitos numerables e infinitos no numerables y el tema se aborda de una forma muy natural haciendo uso del concepto de función, de tal manera que un alumno de bachillerato sea capaz de comprender en forma razonada. La metodología didáctica empleada para abordar temas difíciles de comprender, se facilita aplicando problemas cotidianos simples en donde el alumno vaya dando sugerencias acerca de la forma con la cual pueden resolverlos, logrando con esto, que los alumnos sean capaces de aportar nuevas ideas susceptibles de aplicarlas en la solución de otros problemas del mismo tipo; dando así un gran paso hacia la generalización, es decir, se tiene que dar pie a que el alumno, por simple observación y sentido común sea capaz de fundamentar un concepto teórico. En el capítulo de conteo, se aborda un problema de ajedrez, en el cual, de inicio, parece no tener relación de momento con la teoría planteada. La idea es simple: se busca colocar ocho torres sin que una capture a la otra; al momento en que el alumno comienza a buscar estrategias para resolver el problema, se forja la necesidad de definir algo conocido como el factorial de un número natural, sin embargo, esto aún no lo sabe el alumno, hasta que se le presenta otro problema de naturaleza distinta y que puede ser resuelto con la misma idea. He aquí la importancia de presentar diversas situaciones al alumno, ya que con esto, se logra que tenga una idea mucho más clara del porqué de las definiciones y teoremas, en consecuencia adquiera una visión más natural del desarrollo teórico posterior para enfrentar casos.

Por otra parte muy a menudo se cae en el error de asumir por conocidos ciertos temas, cuando en realidad no se han trabajado lo suficiente o no se han visto. En estadística y probabilidad se hace uso con frecuencia de sumatorias, inclusive se aplican resultados, sin embargo, en la secundaria dicho tema se aborda de manera muy superficial en tanto que en el nivel medio superior, comúnmente se trabaja a la par de un tema mucho más general como lo es la estadística, evitando así que se logre una base fuerte en sumatorias. Dichas razones, motivaron a la realización de un capítulo

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completo que se encargue de abordar el tema en una forma más profunda y, obviamente, orientado a la solución de problemas teóricos y prácticos concernientes a la probabilidad y estadística. Como el tema de inducción matemática es uno de los que no se toca en un curso clásico, aquí se incluye acompañando al tema de sumatorias, con la finalidad de brindar un soporte teórico posterior muy importante al tema de binomio de Newton.

Es básico proporcionar una idea general de la forma en que se llevará el curso;

por lo mismo, se considera que a menudo es conveniente marcar los temas que se han visto y para qué sirven en los temas posteriores, es decir, recordar las bases y fijar las metas desde un principio.

Uno de los ejes del texto (patente a lo largo de su discusión), es destacar la

importancia que tiene el binomio de Newton en la teoría de probabilidad; esta discusión comienza, desde la teoría de conjuntos con un ejemplo que deja en evidencia la necesidad de clasificar a los elementos de un conjunto muy específico como el de las cadenas, posteriormente en el capítulo de conteo se enlaza este ejemplo, para poder observar la conexión que tiene con el triángulo de Pascal y en consecuencia, con combinatorias, dando así, forma al binomio de Newton, que justamente se demuestra con inducción matemática.

A lo largo del texto se presentan problemas que sugieren un mismo tipo de

solución, estos problemas tienen como finalidad ir induciendo el camino para establecer en el capítulo siete a la distribución binomial una vez establecidas las bases fuertes, a saber el binomio de Newton.

Particularmente hablando del curso de probabilidad y estadística, resulta muy

útil y productivo hacer en todo momento, énfasis en las conexiones que existen entre la teoría de estadística descriptiva y la de variable aleatoria vía probabilidad, por ejemplo, en estadística descriptiva se manejan conceptos como frecuencia relativa, frecuencia acumulada relativa, media, varianza, desviación estándar, simetría, curtosis, teorema de Chebyshev, estandarización de una variable etc. Y de manera análoga, en variable aleatoria se trabaja la función de probabilidad, función de distribución, esperanza, segundo momento central, desviación estándar, tercer y cuarto momento central, desigualdad de Chebyshev, variable aleatoria estandarizada junto con la función generadora de momentos (tema propio de nivel superior).

La utilidad que tiene realizar dicha analogía, es que el alumno, en todo

momento, aclara los conceptos trabajados en temas anteriores y sobre todo, toma las ideas para proponer la manera en que serán construidos los temas posteriores: como en el caso de la varianza definida en estadística descriptiva, que se considera como la media de las diferencias al cuadrado entre los datos y la media; en el caso de variable aleatoria, la varianza se construye como la esperanza del cuadrado de la diferencia entre la variable aleatoria y la esperaza (un resultado completamente análogo); permitiendo observar, que el tema de variable aleatoria, de hecho, es el tema unificador entre los resultados logrados en probabilidad y los de estadística descriptiva.

Finalmente, de forma muy general, se deben entender los tres primeros capítulos

de este texto como una base fuerte y fundamental de los capítulos cuarto y quinto. Es conveniente aclarar que se trata de temas ya trabajados en niveles anteriores, esto quiere decir que es posible llevar un curso bien cimentado teórica y prácticamente si se

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trabajan a conciencia los tres primeros capítulos. Los capítulos cuatro y cinco son básicamente el curso de estadística y probabilidad, y en último lugar los capítulos seis y siete pueden ser trabajados en el curso de bachillerato y con mayor madurez a nivel superior.

Capítulo 1

CONJUNTOS

1.1. INTRODUCCIÓN Presentaremos en este capítulo conceptos elementales de la teoría de conjuntos, debido a su gran aplicación en el manejo de lo que entenderemos más adelante por teoría de probabilidad, es conveniente hacer mención de que para nuestros fines, se asociarán desde este momento los nombres de conjunto por evento y de universo por espacio muestra .

, , ,A B C …S

1.2. CONJUNTO, SUBCONJUNTO Entenderemos por conjunto (evento) a una agrupación de objetos los cuales reciben el nombre de elementos; a los conjuntos los denotaremos con letras mayúsculas o en caso de ser muchos, se escriben con subíndices por otro lado, a los elementos los denotaremos con letras minúsculas y de igual forma también pueden ser escritos como ; en otras palabras, el conjunto es el nombre que se le asigna a la agrupación de elementos, para nuestros intereses los elementos que consideraremos estarán determinados bajo cierta característica ( ) y sujetos a cierta condición ( : ).

, , ,A B C …1 2 3, , ,A A A …

, ,a b c …

S

,

1 2 3, , ,a a a …

talque La notación correspondiente a lo que acabamos de expresar es por ejemplo:

{ }: 2,3,5,7,11,13A = es decir, tenemos una agrupación de números (elementos) mayores o iguales a dos y menores o iguales a trece (condición) que sean primos (característica), a dicha agrupación le llamamos A (conjunto), sin embargo esta no es la única manera de representarlo, también podemos escribir lo siguiente:

{ }: : 2A x S x= ∈ ≤ ≤13

En este caso juega el papel de “el conjunto de todos los números primos” llamado conjunto universo o espacio muestra.

S

17


Lógicamente, existen elementos de nuestro espacio muestra que no están considerados en , por ejemplo 17

SA S∈ y 17 A∉ , esto nos dice (entre otras cosas) que

es posible crear conjuntos cuyos elementos sigan perteneciendo nuestro espacio muestra y además, agrupen a una mayor cantidad de elementos junto con los que ya se habían

considerado, es decir: S

{ }: 2,3,5,7,11,13,17,19, 23B =

Para este caso, decimos que está contenido propiamente en A B o equivalentemente . Notemos que existen (A B⊂ ∃ ) elementos en B que no están en y además que para todo ( ) elemento que pertenezca a de igual forma pertenece a

A∀ A

B , escrito de manera distinta: [1.2.1] y talqueA B a A a B b B b A⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ ∃ ∈ ∉ El siguiente esquema denominado “Diagrama de Venn”, ayudará de una manera importante a visualizar el concepto del que acabamos de hablar.

Observamos que ambos conjuntos se encuentran dentro del espacio muestra y a su vez exponen la propiedad de contención. Una forma equivalente de decir esto es

: la palabra propio se refiere a que existe un elemento en este caso de

es subconjunto propio deA BB que no se

encuentra en . Pero si quitamos esta condición, se expresa , y se escribe , es decir cabe

la posibilidad de que ambos conjuntos sean iguales

Aes subconjunto deA B

. A⊆ B

La definición formal de igualdad de conjuntos es la siguiente: [1.2.2] yA B A B B A= ⇔ ⊆ ⊆ Antes de continuar con el desarrollo teórico, se hace mención que el espacio muestra del que hablamos en el ejemplo inicial, no es uno muy trivial, de hecho aún no hay forma de “calcular” a todos sus elementos que no sea la propia definición de números primos, sin embargo, el objetivo de utilizarlo es para darle la importancia que merece. Referente a la notación, aclaremos que se ocupó el símbolo (:= ) en la definición de conjunto, sin embargo una vez entendido el punto sustituyámoslo por (= ) para simplificar. Dos propiedades de contención adicionales a la definición de igualdad de conjuntos son:

• A A⊆ • Si y entoncesA B B C⊆ ⊆ A C⊆

CONJUNTOS 19

1.3. CONJUNTOS ESPECIALES Hay cuatro conjuntos que por su importancia y utilidad en nuestro desarrollo es necesario presentarlos y asignarles nombre, se trata de:

• El conjunto de los números naturales { }1, 2,3,= …N

• El conjunto de los números enteros { }, 3, 2, 1,0,1, 2,3,= − − −… …Z

• El conjunto de los número reales R • El intervalo cerrado de cero a uno

[ ] { }0,1 : 0 1I x x= = ∈ ≤ ≤R Veamos que y por otro lado ⊂ ⊂N Z R I ⊂ R . 1.4. CONJUNTOS UNIVERSO (ESPACIO MUESTRA) Y VACÍO Hasta este momento no hemos hecho una discusión más a fondo de lo que comprenderemos por espacio muestra ; un primer comentario es que se trata de un conjunto en si, sin embargo adquiere importancia cuando decimos que será el conjunto que agrupa a todos los elementos posibles que cumplen con la característica sin considerar la condición. Aun así no deja de ser informal esta definición porque no se ha dicho claramente lo que comprendemos por característica. Siempre es conveniente dar ejemplos que comiencen a darle forma a la definición.

S

Ejemplo 1.4.1 Supongamos que nuestra característica de estudio es lanzar dos monedas escribiendo cuando caiga sol y a cuando caiga águila, posteriormente registraremos a todos los resultados posibles, por lo que tenemos al espacio muestra

s

{ }, , ,S ss sa as aa=

Veamos que no hay otro resultado posible que no se haya considerado en referente a la característica planteada, y además que esta no necesariamente tiene porque ser numérica.

S

Ejemplo 1.4.2 Supongamos que nuestra característica de estudio es buscar a todos los números que cumplan con la propiedad de al dividirlos entre tres arrojen residuo uno, de esta forma:

x∈Z

{ } { }, 8, 5, 2,1, 4,7,10, : 3 1,S x x= − − − = ∈ = + ∈… … Z Zn n


Ejemplo 1.4.3 Supongamos que nuestra característica de estudio es ahora buscar a el total de conjuntos de dos elementos que es posible generar partiendo de la siguiente lista de letras ,a b c, , d

{ } { } { } { } { } { }{ }, , , , , , , , , , ,S a b a c a d b c b d c d= Aquí S es un conjunto de conjuntos, y cabe decir que no se consideró por ejemplo { },b a debido a su igualdad con { },a b además de que en un conjunto interesa la agrupación de elementos mas no importa el orden que tengan, agregando de que no representa diferencia repetirlos, para ser más claro { } { } { } { }, , y ,r s s r r r r= = . Aprovechando esta descripción del podemos ver lo que ocurre si agregamos una condición sobre él, con la finalidad de generar a un conjunto (evento) del espacio muestra. El evento será condicionar a que, de los elementos de , nos quedemos con los que incluyen a la letra , teniendo así:

S

Sa

{ } { } { }{ }, , , , ,A a b a c a d=

y si ahora generamos al evento B con la condición de que consideraremos ahora sólo a los elementos de que incluyen la letra : S d

{ } { } { }{ }, , , , ,B a d b d c d= Podemos percibir que sin embargo hay un elemento en común entre ellos {

, yA B S A B⊆ ⊄

},a d . El objetivo que se persigue, es hacer notar que es posible y necesario inclusive “relacionar” a los eventos más allá de lo que es contención; razón por la cual más adelante hablaremos de operaciones de conjuntos. Ejemplo 1.4.4 Ocupando nuevamente del ejemplo anterior haremos a , con el cambio de que ahora formaremos puntos del plano cartesiano, cuyas entradas son justamente cualesquiera de las cuatro letras por cada una de las dos que hay, con la restricción de que no se tomarán en cuenta las repeticiones, por ejemplo

, , ,a b c d S

( ) ( ), o ,a a b b

( , ) ( , )a b b a≠

( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )a b a c a d b c b d c d

Sb a c a d a c b d b d c

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

S

; advirtamos que el efecto provocado (en este caso) es que se duplicará el número de eventos del espacio muestra ya que ahora sí importa el orden de las agrupaciones .

Es posible graficar , sólo que no lo haremos por ahora hasta que presentemos al producto cartesiano de conjuntos.

CONJUNTOS 21

jemplo 1.4.5

upongamos que nuestra característica de estudio, es ahora buscar a todos los números

E S

,x y∈R que cumplen con la desigualdad 2 2 4x y+ ≤ . Aquí tenemos un pequeño a ¡son muchos! tantos que es imposible escribirlos en una lista, sin embargo

propongamos dos maneras alternas de describir al espacio muestra en cuestión, la primera es simplemente conceptual, considerando a parejas de números reales que satisfacen la condición.

problem

{ }2 2( , ) : 4S x y x y= + ≤

la segunda es con el uso de geometría analítica graficando en el plano, con lo que

jemplo 1.4.6

upongamos que nuestra característica de estudio es considerar a todos los números

elem

rvamos con cuidado, la clase de conjunto que puede llegar a ser S es

También es importante mencionar la manera en que se tendrá que manejar a S

S queda descrito como la parte interna (con el borde) del círculo centrado en el origen y radio 2 , o sea, la porción sombreada de la gráfica:

de

E Sposibles de cuatro dígitos que se pueden formar si solamente tenemos a 1,2,3,4 para hacerlos, por ejemplo 3241 sería un elemento del espacio muestra en camb mero 1134 no, porque tampoco se permiten repeticiones y por último el número 2430 no es

ento del espacio muestra porque el cero no está considerado dentro de los número que podemos tomar. De esta manera nuestro espacio muestra queda:

io el nú

1234,1243,1324,1342,1423,14322134,2143,2314,2341,2413,24313124,3142,3214,3241,3412,34214123,4132,4213,4231,4312,4321

S

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Si obsemuy variada; más adelante hablaremos de algunas clasificaciones que puede haber. dependiendo del conjunto que se forme, refiriéndonos básicamente al análisis de sus propiedades y posibles consecuencias que pueda generar. Siendo más específicos, queremos determinar la “cantidad” de elementos que tiene el espacio muestra.


Se discutirá ahora lo que se entiende por vacío, para lograr el objetivo expongamos tres conjuntos:

• { }2: 1 0A x x= ∈ + =R

• { }: ( ) 2B x sen x= ∈ =R

• { }: 0C x I x= ∈ < ¿Cuál sería la particularidad que comparten? Notemos que no existe número real que sea solución del polinomio establecido, de igual forma no hay número real cuya función seno sea igual a dos ni tampoco hay un número real, de cero a uno, que sea negativo, en pocas palabras ninguno de los tres conjuntos cuenta con elementos, y al conjunto que no tiene elementos se le denomina conjunto vacío ∅ , por lo que escribimos . Como siempre hay ciertos detalles finos que es importante mencionar, supongamos por ejemplo que

A B C= = =∅{ }: 0C x I x= ∈ ≤ ¿Quién es ahora? Hay

un único número que cumple con la condición y que pertenece a C

I , es el cero ya que ahora se permite la igualdad, por lo que { }0C =

C; a pesar de que el único elemento de

carezca de valor numérico, se considera a como un conjunto de un elemento y esto es suficiente para decir que . C

C ≠ ∅ Otro detalle que no debe olvidarse del vacío es que es el único conjunto que está contenido en cualesquier otro:

conjunto.A A∅⊆ ∀

Para darle fin a esta sección expongamos un pequeño ejemplo que ocupe los conceptos mencionados hasta ahora. Ejemplo 1.4.7 Supongamos que es lanzado un dado de seis caras, de esta manera todos los resultados posibles son { }1, 2,3, 4,5,6S = ; por otro lado generaremos a cuatro eventos basados en nuestro espacio muestra, es decir, establezcamos condiciones:

: al lanzar el dado cayó número par: al lanzar el dado, el número cayó primo: al lanzar el dado, el número es natural del uno al seis: al lanzar el dado, el número cayó siete

ABCD

Los resultados serían:

{ } { }{ }

: es par 2,4,6

: es primo 2,3,5

A x S x

B x S x

= ∈ =

= ∈ ={ }

Notamos que cada uno de estos dos eventos de manera individual tiene tres

oportunidades de ocurrir (o cada uno de estos dos conjuntos tiene tres elementos) de las

CONJUNTOS 23

seis que hay (de la cantidad de elementos que tiene el conjunto ), pero si los tomamos de tal manera que sucedan

S y A B al mismo tiempo sólo hay una opción de que esto pase

{ }2 S⊆ (conjunto de un elemento, note que { }2 yA B⊆ ), ahora que si somos tolerantes y nos conformamos con que alguno de los dos ocurra vemos que hay cinco oportunidades de tener éxito{ }2,3, 4,5,6 S⊆ (o cinco elementos de que cumplen las condiciones o ) y así, sucesivamente podemos establecer relaciones entre los eventos.

SA B

Respecto al evento C , notamos que las condiciones que pide son en extremo

flexibles, a tal grado que cualquier elemento de cumple con la condición de , de esta manera

S C{ }1,2,3,4,5= ,6C cuando esto pase decimos que es un evento de sí

mismo y es llamado el evento total. S= S

Por último, el evento resulta hasta cierto punto absurdo ya que no está

considerado el número siete en el espacio muestra, por lo que el conjunto se convierte en el vacío (consecuente con nuestra definición) o equivalentemente es imposible que ocurra, en otras palabras:

D

{ }: 7D x S x= ∈ = =∅

Concluyendo que el vacío ∅ es el evento imposible o nulo; con todo esto garantizamos que: A S∅⊆ ⊆ [1.4.1] La relación de conjuntos recién escrita, adquirirá gran importancia el momento de definir las propiedades de la probabilidad de un evento. 1.5. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS (EVENTOS) En la sección anterior se estableció cierta necesidad de un manejo entre conjuntos (eventos) para tomarlos como base y crear otros, a continuación comentaremos varias situaciones que pueden surgir en la interrelación de las condiciones, dependiendo de la dificultad por resolver. Todo esto lo comprenderemos como operaciones de conjuntos. Retomando el ejemplo 1.4.6, imaginemos que nos encontramos en medio de una apuesta, en donde ganamos si al lanzar el dado ocurre por lo menos alguna de las dos condiciones oA B , esto es, el número que cae es par o primo (interrelación de dos condiciones “o”), la dificultad por resolver sería buscar a los números que nos den el triunfo los cuales son { }2,3, 4,5,6 , lógicamente perderíamos si cae { }1 sin embargo veamos que, por el número de opciones que provoca cada circunstancia (ya sea la de ganar o perder) es más “probable” ganar en este caso, es decir, hay cinco opciones de seis para ganar y una de seis para perder; también observemos que “juntando” las opciones para ganar con las de perder se tiene a todo el espacio muestra.


A el conjunto que surge de interrelacionar dos condiciones cuando manejamos la situación de por lo menos uno de los eventos ocurre se le denomina unión de conjuntos, y la operación definida sería .

oA B∪

Definamos de manera técnica a unas cuantas situaciones que surgen del manejo de condiciones, cada una de tres formas distintas pero en concepto equivalentes entre sí, una por diagrama de Venn otra verbal y la última por notación matemática. La parte sombreada de los diagramas de Venn corresponde a la localización de los elementos que cumplen con la situación definida.

a) Por lo menos uno de los dos eventos oA B ocurre, unión .∪ { }:A B x S x A o x B∪ = ∈ ∈ ∈ [1.5.1]

b) Ambos eventos yA B ocurren, intersección .∩ { }:A B x S x A y x B∩ = ∈ ∈ ∈ [1.5.2]

c) No ocurre A , complemento .c

{ :c }A x S x A= ∈ ∉ [1.5.3] d) A ocurre y B no, diferencia .−

{ }:A B x S x A y x B− = ∈ ∈ ∉ [1.5.4] e) Ni A ni B ocurren.

[1.5.5] ( ) { :cA B x S x A B∪ = ∈ ∉ ∪ }f) A y B se excluyen mutuamente, disjuntos.

A B∩ =∅ [1.5.6]

CONJUNTOS 25

g) Exactamente ocurre uno de los eventos A o B , diferencia simétrica .⊕ ( ) ( )A B A B A B⊕ = ∪ − ∩ [1.5.7]

h) A lo más uno de los eventos A o B ocurre. ( ) { :c }A B x S x A B∩ = ∈ ∉ ∩ [1.5.8]

i) A y C ocurren pero B no. ( ) { }:A C B x S x A C y x B∩ − = ∈ ∈ ∩ ∉ [1.5.9] Referente a [1.5.5], [1.5.6], [1.5.8], [1.5.9], cabe decir que no son operaciones definidas como tal, más bien son mezclas de las operaciones básicas, sin embargo se agregaron en este contexto debido a la importancia que adquirirán más adelante.

Hagamos unas cuantas observaciones. Existe una forma equivalente de escribir a la operación diferencia (que resulta útil en ocasiones); si analizamos detenidamente agrupamos elementos del conjunto que no están en A B (y a eso le llamamos ) el punto es, que sería equivalente decir que agrupamos elementos de y además de

A B−A cB

(si no están en B quiere decir que se encuentran en su complemento cB y viceversa), posteriormente, si tenemos elementos que están en dos conjuntos al mismo tiempo quiere decir que son de la intersección entre ellos, concluyendo que los elementos de

son elementos de y viceversa, entonces se daría la doble contención cumpliendo así con la definición de igualdad de

conjuntos [1.2.2],

A B−A B− ⊆

cA B∩A B⊆ −

nto A Byc cA B A B∩ ∩

por lo ta .cA B∩− = Una forma más reducida de escribir lo anterior sería la siguiente, teniendo en cuenta de que ocuparemos [1.5.3] y [1.5.2] respectivamente para dar cada uno de los pasos.

{ }

{ }:

: c

c

A B x S x A y x B

x S x A y x B

A B

− = ∈ ∈ ∉

= ∈ ∈ ∈

= ∩

De manera análoga podemos escribir cB A B A− = ∩ . El hecho de demostrar

igualdades entre conjuntos ocupando sus definiciones lo adoptaremos de aquí en adelante, por tratarse de un método más concreto; sin perder de vista que también es posible alcanzar el objetivo por la vía verbal.

Concerniente nuevamente al ejemplo 1.4.6, nos damos cuenta de que ya es

posible ponerle nombre a las situaciones manejadas. Recordemos que { }1, 2,3, 4,5,6S = y además ,A B S⊆ con { }2, 4,6A =

{ }2,3,5B =

{

; de igual forma tengamos en mente que ganábamos la apuesta si por lo menos uno de los dos eventos ocurría, los resultados que nos daban el gane eran oA B

}2,3, 4,5,6

{, y justamente a este nuevo conjunto ( ocupando [1.5.1] ) lo llamaremos

}2,3A B∪ = , 4,5,6 luego, siguiendo la misma idea perderíamos si pasa [1.5.5], es


decir . Haciendo uso del diagrama de Venn podemos visualizar más claramente las ideas expuestas, es importante compararlo con las regiones sombreadas de los diagramas que utilizamos para definir las operaciones, notando que hay coincidencia en cada una de ellas.

( ) {1cA B∪ = }

Otra observación, es la que surge al basarnos en la siguiente igualdad:

{ }{ }

:

:

cA x S x A

x x S y x AS A

= ∈ ∉

= ∈ ∉

= −

[1.5.10] cA S A∴ = − Si consideramos en particular al ejemplo 1.4.6, al ocurrir el evento A B∪ se tiene éxito, y al ocurrir lo contrario ( c)A B∪ se tiene un fracaso, por lo que podemos decir en general:

Si es éxito entonces es fracasocA A S A= −

Además, juntando a todos los elementos que provocan el éxito con los del fracaso se tiene a todo el espacio muestra cA A S∪ = . Obtengamos más resultados consecuencia de las definiciones de operaciones entre conjuntos. Supongamos A B , recordando [1.2.1] y quitando la condición de propio, podemos establecer las siguientes igualdades.

S⊆ ⊆

{ }{ }{ }{ }{ }{ }

:

:

:

:

:

:

A B x S x A o x B

x S x B o x B

x S x B B

A B x S x A y x B

x S x A y x A

x S x A A

∪ = ∈ ∈ ∈

= ∈ ∈ ∈

= ∈ ∈ =

∩ = ∈ ∈ ∈

= ∈ ∈ ∈

= ∈ ∈ =

Para la primer igualdad de conjuntos se cambió x A∈ por x B∈ ya que , y para la segunda igualdad se cambió

A B⊆x B∈ por x A∈ ya que por definición de

CONJUNTOS 27

intersección, el elemento x tiene que estar en los dos conjuntos tanto en como en A B , y si ya estaba en es imposible que estuviera en A B sin estar en , por lo que en este caso fue posible hacer el cambio.

A

. Si entonces y A B S A B A BB A∴ ⊆ ⊆ ∪ = ∩ = [1.5.11] La utilidad que tiene este resultado es la siguiente, supongamos B S= , las consecuencias serían ya que . Por otra parte supongamos

, como y S A S A∪ = ∩ =A S A S⊆

A = ∅ B se cumple y B B B∅∪ =∅ ⊆ ∅∩ =∅ y finalmente propongamos A B= , ya que podemos de igual forma ocupar A [1.5.11] llegando así A A AA⊆ ∪ = y . A A A∩ = Otros resultados útiles son: supongamos que tomamos a cualesquier elemento en la intersección de dos conjuntos x A B∈ ∩ debido a [1.5.6] implica y x A x B∈ ∈ , en particular se encuentra en x A∈ , luego ocupando [1.2.1] concluimos que de igual forma . Ahora, sea

A B∩ ⊆ AA B∩ ⊆ B x A∈ cualesquiera, podemos decir que x también

podría estar en B (si no es el caso no importa), de todas formas ya es garantía de que está en A , por lo que la frase o x A x B∈ ∈ siempre es cierta, ya que una proposición se cumple y esto quiere decir que x A B∈ ∪ , con lo que nuevamente por [1.2.1] llegamos a . Juntando los dos resultados escribimos A A B⊆ ∪ [1.5.12] y .B A A B A B B A B∩ ⊆ ⊆ ∪ ⊆ ∪A ∩ ⊆ De [1.5.10] sea A =∅ entonces c S∅ = −∅ , y si a le quitamos “nada” nos queda , llegando así a . Claro que se pudo haber hecho esto mismo usando la definición de complemento, simplemente consideremos esto como una demostración alterna.

SS c∅ = S

Ejemplo 1.5.1 Rompamos la formalidad. Imaginemos que Omar hará un viaje de México a Francia (de un punto a otro ) inicialmente él no sabe si tomar un vuelo directo o hacer escala para visitar a un amigo por ejemplo, primero el vuelo

AB y luego el C , lógicamente el

objetivo es llegar y además una vez seleccionada una ruta la otra se excluye, es decir, en este caso no son posibles las dos rutas al mismo tiempo, veamos la situación planteada:

Nótese que si Omar escoge el vuelo C por cualquier razón, necesariamente

tendrá que seleccionar a B para poder tomarlo (o al revés), es claro entonces que van ligados B y no se puede uno sin el otro ambos eventos C B y ocurren, de esta manera por

C[1.5.2], B C∩ se refiere a lo mismo.


Usando la misma idea concluimos que ( )A B C∪ ∩ describe la situación en general. Surge un pequeño problema por situaciones de horarios, existe la posibilidad de que el vuelo C salga antes de que llegue B por lo que Omar debería en ese caso olvidar a su amigo e irse directo a Francia (vuelo A ), pero si no pasa esa dificultad con el horario, Omar ya tendría la libertad de seleccionar. De igual forma no tiene porque llegar pronto a Francia, por lo tanto sería bueno B C∩ y visitar a su amigo, finalmente Omar tendrá que decidir en la fecha límite; el punto es que hay inconvenientes por ambas rutas y su presupuesto no le alcanza para comprar las dos rutas completas al mismo tiempo.

Si sabemos que se puede pagar una parte del costo para asegurar el lugar en cualquier vuelo además, cancelaciones antes de la fecha límite son reembolsables y asumimos que el costo de las dos rutas es el mismo ¿de qué manera Omar puede realizar los pagos en este instante para asegurar llegar a su destino y además darse la libertad de poder decidir cuando ya sea el momento?

Es claro que Omar necesita un plan de vuelo que desde un principio involucre a las dos rutas para que así le sea posible tomar una decisión de última hora y no cerrarse la puerta a cualquiera de las dos, es decir, si en este instante compra el vuelo completo y no compra tanto

AB como , automático bloquea las posibilidades para C

B C∩ y viceversa.

La idea que se le ocurrió es no considerar a la ruta B C∩ como un bloque sino de manera separada. Comprará una parte de sólo para asegurar el lugar y comprar por completo

AB , luego la parte que le sobró de (ya que no lo pagó completo) la

ocupa en pagar una parte de C (también para ratificar el lugar); con esto ya está confirmado el viaje y las dos rutas.

A

Supongamos que ya llegó el momento de decidir y surge otra cuestión, ¿de qué

forma deberá mover su dinero si es que ya sabe si visitará a su amigo o no?

La “propuesta” es la siguiente:

Este diagrama se interpreta ( ) ( ) ( ) ( o y o A B A C A B A C⇔ ∪ ∩ ∪ ) .

Si escoge A desde un principio lógicamente descartó B por lo que el dinero de B se retira y se lleva a A posteriormente como ya se descartó

,B el dinero de C se

retira y se termina de pagar .

A

CONJUNTOS 29

En cambio, si escoge B desde un principio, descartó A , por lo que el dinero que utilizó para apartar se lo reembolsan eso quiere decir que posteriormente escoge a C y completa el pago de C con lo que le dieron de .

AA

Con esto se resuelve el problema de Omar y se da por terminado el ejercicio. Lo que corresponde ahora es analizar las cosas con mayor profundidad. Unas preguntas naturales serían:

• ¿Por qué la “propuesta” funcionó? • ¿Existe otra “propuesta” que cumpla con el cometido? • ¿Cuáles no lo harían?

Bueno, la primer pregunta tiene una respuesta bastante sólida y es que si lo

expresamos por la forma “sugerida” en el ejercicio (por conjuntos) encontramos una igualdad, es decir:

( ) { }( ){ }

( ) ({ }( ) ( ){ }

( ) ( )

: o

: o y

: o y o

: y

A B C x S x A x B C

x S x A x B x C

)x S x A x B x A x C

x S x A B x A C

A B A C

∪ ∩ = ∈ ∈ ∈ ∩

= ∈ ∈ ∈ ∈

= ∈ ∈ ∈ ∈ ∈

= ∈ ∈ ∪ ∈ ∪

= ∪ ∩ ∪

Ocupamos aquí resultados básicos de lógica, antes de seguir vale hacer el

comentario que ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ de igual forma se cumple. Por otro lado si a la “propuesta” la interpretamos simplemente como una forma de decidir los vuelos que se tomarán, veamos que también se verifica ( )A B C∪ ∩ ; mostremos las cuatro rutas generadas de la “propuesta” y comprobemos que el concepto es el mismo.


La ruta a) nos dice que primero se escoge el vuelo A y luego el A , es lo mismo a decir simplemente el vuelo A (note que A A A∩ = ), con esto a) decide por viaje directo. Las rutas b) y c) incluyen a A y una parte del vuelo por escala, pero éste no tiene sentido considerarlo (ya tenemos la garantía del vuelo A ), además no se puede llevar a cabo si tenemos únicamente una sola parte, por lo que es descartado, quiere decir que nos quedamos con el viaje directo nuevamente. La ruta d) es en sí el viaje con escala B C∩ . Concluyendo, al seleccionar a), b), c) viaje directo o en su defecto d) viaje con escala, lo cual representa ( )A B C∪ ∩ exactamente. Los objetivos para este ejercicio eran establecer que la teoría de conjuntos (en particular igualdad de conjuntos), puede ser aplicada para el entendimiento y resolución de problemas que al parecer están totalmente fuera del contexto de las matemáticas, teniendo siempre presente que hay una asociación entre el lenguaje común y operaciones de conjuntos para situaciones en particular claro, en general es obvio que no. Para terminar la discusión consecuencia del ejemplo 1.5.1, comentemos las dos preguntas restantes. Como está comprobada la igualdad de conjuntos se puede decir que los dos diagramas son equivalentes:

Ahora, es muy aventurado decir que toda operación de conjuntos acepta un diagrama y viceversa, sin embargo el hecho de preguntarse si existe otra “propuesta” básicamente es preguntar que si existe un diagrama equivalente a los mencionados o una operación entre conjuntos que sea igual a ( )A B C∪ ∩ y definitivamente si hay, una de ellas sería

( ) ( )cc cA B C A B C∪ ∩ = ∪ ∪

pero ¿cuántas operaciones entre conjuntos aceptan diagrama? Respecto a la tercera pregunta, las “propuestas” que no cumplirían su cometido serían operaciones entre conjuntos que no sean iguales (en general) a la que tenemos de referencia, es decir:

( ) ( )A B C A B C∪ ∩ ≠ ∩ ∩

Es evidente que no se están dando respuestas concretas hasta cierto punto se dejan abiertas, esto no es malo, la idea es que el lector por su cuenta investigue este tipo de cosas.

CONJUNTOS 31

Ejemplo 1.5.2 Supongamos que tomamos a un elemento fuera de oA B es decir ( c)x A B∈ ∪ (note que es distinto a decir fuera de A o fuera de B ), verifique el diagrama de Venn correspondiente a [1.5.5] y observe que el elemento que tomamos sería cualquiera que se encuentre en la región señalada, supongamos:

Busquemos una manera distinta de localizar al elemento x . Dicho elemento se encuentra fuera de A esto es

cx A∈ , pero no es suficiente información como para poder determinar su localización ya que un elemento “ ” que se encuentre en

yB A− también cumple cy A∈ , así que para

eliminar esa opción pedimos que x así mismo se encuentre fuera de B cx B∈ , determinando así que x debe de estar

fuera de A y además fuera de B , la expresión matemática que caracteriza esta situación es c cx A∈ ∩ B , llegando así a que ( )c c cA B A∪ ⊆ B∩ la otra contención se demuestra de manera análoga, quiere decir que ambas expresiones son iguales. La demostración puede ser:

( ) { }{ }{ }{ }

:

:

:

:

c

c c

c c

c c

A B x S x A B

x S x A y x B

x S x A y x B

x S x A B

A B

∪ = ∈ ∉ ∪

= ∈ ∉ ∉

= ∈ ∈ ∈

= ∈ ∈ ∩

= ∩

Al inicio de este ejemplo se hizo el comentario que la frase, fuera de o fuera de

AB ( c cx A B∈ ∪ ) tiene un contexto distinto; efectivamente con que se cumpla una

sola parte ya es suficiente debido a la definición de , quiere decir que cabe la posibilidad de tener a un elemento fuera de y sin embargo posiblemente se encuentre dentro de

∪A

B y viceversa por lo que a los elementos que se encuentran en ( hay que agregarles los de . El diagrama de Venn que representa tal situación es el siguiente:

)−

c

cBA∪ y los de A B B− A

Pero notemos que este diagrama es exactamente igual a [1.5.8], así podemos establecer que ( ) , la demostración de esta igualdad se deja al lector;

más adelante comprobaremos que ( )

c cA B A B∩ = ∪

( ) ( ) ( )c cA B A B B A A B∩ = ∪ ∪ − ∪ − .


Las igualdades reciben el nombre de “Leyes de DeMorgan”

( )( )

c c c

c c c

A B A B

A B A B

∪ = ∩

∩ = ∪ Ejemplo 1.5.3 Con todos los elementos ya podemos hablar de igualdades entre conjuntos mucho más elaboradas sin necesidad de hablar de elementos, por ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (( ) ( )

c

c c c c

c c c c

c c c

A B A B A B A B A B

A B A B A B A A B B

A A B A A B B B

)cB A A B B A A

B A A B

⊕ = ∪ − ∩ = ∪ ∩ ∩

= ∪ ∩ ∪ = ∪ ∩ ∪ ∪ ∩

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∩⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∅∪ ∩ ∪ ∩ ∪∅ = ∩ ∪ ∩⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − ∪ −

B

c

o también

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )c c

c

c c

c c

c

c

c

A B B A A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B

A B A B A B A B

S A B A B

A B A B

A B

∪ ∪ − ∪ − = ∪ ∪ ⊕

= ∪ ∪ ∪ − ∩⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤= ∪ ∪ ∪ ∩ ∩⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ∩ ∪ ∩ ∩⎡ ⎤⎣ ⎦

= ∪ ∩ ∩⎡ ⎤⎣ ⎦

= ∩

En donde notamos que prácticamente se ocuparon todos los resultados obtenidos

a lo largo de esta sección. Se deja al lector identificar cuales resultados se ocuparon y en que momento. 1.6. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO (MEDIDA) En la sección 1.4, los ejemplos del 1.4.1 al 1.4.5, dejaron claro que necesita de alguna manera ser clasificado, y además en el ejemplo 1.4.6 existió la necesidad de contar la cantidad de elementos que en ese caso tenía , para poder establecer que había mayor “probabilidad” de ganar la apuesta que perderla. En esta sección le daremos más profundidad a los dos conceptos, aclarando desde este momento que no es posible dar todas las clasificaciones y sobre todo en este momento no tenemos las herramientas para “contar” a los elementos de (eso ya se hará más adelante), sólo hablaremos de lo que se entiende por cardinalidad de un evento.

S

A B∪

S

CONJUNTOS 33

La notación es: ( ) ( )o o #A card A A .

Es importante para lograr nuestros objetivos hablar antes del concepto de biyección, tal vez no de manera tan formal como es, pero sí establecer la noción. La idea es el comparar “la cantidad de elementos” que tiene un par de conjuntos y decidir si son iguales o diferentes tales cantidades, además de saber cuál es “mayor” y por qué. Tengamos claro que aún no nos estamos metiendo a “contar” los elementos que tiene cada conjunto, aunque parezca extraño es posible comparar sin la necesidad de contar. La forma en que lo haremos es más simple de lo que parece. Imaginemos que tenemos dos bolsas de frijoles aparentemente del mismo tamaño, en una situación real no importa tanto comparar la cantidad de frijoles que tiene cada bolsa, sin embargo abordaremos el problema; un primer método sería contar los frijoles de cada bolsa y así decidir si la cantidad es la misma o no, claro que este método puede resultar hasta cierto punto tedioso; otro método (que al menos reduce el tiempo a la mitad) sería asociar a un frijol con otro, es decir, tomar un frijol de la primera bolsa y al mismo tiempo sacar otro de la segunda, continuando el procedimiento hasta que una o las dos bolsas se vacíen, lo que ocurra primero; una vez que pase eso ya podríamos garantizar cuál bolsa tenía más o si las dos tenían la misma cantidad; aquí hay dos reglas muy importantes, obedecen al sentido común, no se vale sacar un frijol de una bolsa y dos o tres o más de la otra al mismo tiempo (en cualquier momento del procedimiento), tampoco se vale sacar un frijol de la segunda bolsa y no sacar de la primera (o sea que no tenga a su asociado). Expliquemos este proceso más formalmente. Supongamos que se tienen dos bolsas de frijoles, bolsa y bolsa A B , tomemos un frijol de cada bolsa y así la asociación sería ; si únicamente sacamos frijol de la bolsa

ya A b B∈ ∈ a b→B no tendría a su asociado ( b×→ ) la segunda regla dice

que esto no debe pasar.

Lo que sigue es comenzar el proceso de asociación respetando las dos reglas mencionadas hasta vaciar la bolsa. Ahora, respecto a las dos reglas; si se dice que no es posible sacar un frijol de una bolsa y dos o más de la otra ¿cómo se le puede hacer para plantear un método que haga respetar la regla?

La técnica es: Supongamos que 1 2 1,a a A y b B∈ ∈ y además 1 2a a≠ , si ocurre y

al mismo tiempo se violaría la regla ya que en términos simples, sacamos dos frijoles de una bolsa y uno de la otra, de esta manera es lógico decir que debería de pasar y con

1 1a → b

1b

2

2a →

1 1a b→ 2a b→ 2b B∈ . Este concepto recibe el nombre de inyectividad, el enunciado formal es:

1 2

1 2 1 2

Si , , , yse tieneque además de , entonces

a a A x y Ba a a x a y x

∈ ∈y≠ → → ≠


Un ejemplo de asociación que no es inyectiva sería el siguiente:

Sea El proceso definido aquí es elevar al cuadrado, por lo que la asociación queda determinada por

A B= = R ,x y∈R2x x→ = y , tomando unos cuantos reales,

vemos que:

3 9, 2 4, 1 1, 0 0, 1 1, 2 4, 3 9.− → − → − → → → → →

Notablemente aquí no hay inyectividad, porque “los frijoles” -3 y 3 que se sacaron de la bolsa se sacaron al mismo tiempo que el frijol 9 de la bolsa A B , sólo por dar una muestra, es evidente que hay más.

Si una asociación es inyectiva hay menos o igual cantidad de elementos

de que de A B→

A B ya que por cada elemento de B se tiene uno y sólo uno de porque no está permitido considerar dos o más elementos de

AA y uno de B al mismo tiempo. Esto

provoca que al menos al “vaciarse la bolsa” sobren elementos de B ; en todo momento se deberá tener presente que también es imposible que pase , es decir que se saquen dos o más frijoles de

1 1→ 1 2a b y a b→

B y uno de al mismo tiempo. Esto es para garantizar que la asociación esté bien definida.

A

Respecto a la segunda regla, se refiere a que para todo frijol que saquemos de la

bolsa B tiene que venir acompañado por lo menos uno de A , advierta que aquí existe la posibilidad de que no se cumpla la inyectividad, entonces ¿cuál es el caso de la segunda regla si ya está la primera?

En la primera regla es factible que “sobren” elementos de B , por lo que en la

segunda se elimina esa posibilidad ya que como acabamos de decir todo frijol de la B fue sacado acompañado de al menos uno de la A . Este concepto recibe el nombre de suprayectividad, el enunciado formal es:

tal que b B a A a b∀ ∈ ∃ ∈ → Un ejemplo de una asociación que no es suprayectiva pero si inyectiva es: Sea { } { }1, 2 y 1, 2,3A B= = el proceso definido para esta caso es la identidad, de tal manera que la asociación queda x x→

A, en otras palabras 1 El 3 queda

sobrando, ya que no existe elemento de que pueda ser asociado con él . 1, 2 2.→ →

×→ 3 Vemos más claramente que si se garantiza la suprayectividad dejan de sobrar elementos de B . Ahora, una asociación que no es inyectiva pero sí suprayectiva en este mismo ejemplo obligaría a agregar elementos de A debido a que es imposible que pase

, por ejemplo, concordando con lo anterior. Si una asociación es suprayectiva, hay más o igual cantidad de elementos de que de

1 1, 2 2→ →A B→

2 → 3A B , ya que

se sacaron todos los frijoles de B y pudieron haber sobrado de .A

CONJUNTOS 35

Hay un detalle por recordar, en ningún momento hemos contado la cantidad de elementos de un conjunto, la razón por la que hasta este momento lo hemos evitado es porque hay conjuntos “incontables” al menos de la forma tradicional por ejemplo del ejemplo 1.4.5, ahí más bien la “cantidad de elementos” sería sacar el área del círculo; todo esto es parte de una teoría más general llamada teoría de la medida, que lógicamente no abordaremos.

S

En la discusión referente a las asociaciones notamos que se expusieron unas en particular, claramente puede haber otras definidas entre los mismos conjuntos y esto es parte de una idea más general que son las funciones a las cuales se le pueden obtener muchas más propiedades que simplemente inyectividad o suprayectividad. Sin embargo los resultados obtenidos son consistentes. Recuperando la discusión de biyectividad juntemos los resultados: Una vez entendida una asociación inyectiva y una suprayectiva decimos que una asociación se llamará biyectiva si es inyectiva y además suprayectiva. La cardinalidad de un evento se entiende por la “cantidad de elementos” que tiene el conjunto que lo representa y como ya se había mencionado se escribe A . La notación comúnmente es utilizada para conjuntos finitos sin embargo una finalidad de esta discusión es darle el contexto de medida, sin hablar muy a fondo claro, sólo darle el contexto. Resumiendo: Supongamos que se tiene una asociación A B→ bien definida, esto es que no pase con 1 1 1a b y a→ → 2b 1 1 2y ,a A b b B∈ ∈ ;

Sies inyectiva

es suprayectiva

A BA B

A B

→

⇒ ≤

⇒ ≥

En conclusión: Si es biyectivaA B A B→ ⇒ = [1.6.1]

, y decimos que ambos conjuntos son equivalentes A B∼ .

La estrategia que seguiremos entonces para probar que dos conjuntos tienen la

misma cantidad de elementos , será probar que existe una asociación que es biyectiva.

A B∼ A B→

Hay dos propiedades de que no demostraremos, sin embargo es conveniente

presentarlas, la primera dice que si un conjunto tiene la misma cantidad de elementos que otro entonces el otro también tiene la misma cantidad de elementos que el primero, ésta se llama propiedad reflexiva. La propiedad transitiva dice, que si un primer conjunto tiene la misma cantidad de elementos que un segundo y el segundo tiene la misma cantidad de elementos que un tercero, entonces el primero tiene la misma cantidad de elementos que el tercero.

∼


• Si A B B A∼ ⇒ ∼• ∼ Si yA B B C A C∼ ∼ ⇒

En este momento ya podemos hablar de unas cuantas clasificaciones. Un

conjunto se denomina finito y se dice que contiene elementos si A S⊆ n [1.6.2] { }1, 2,3, ,A n∼ …

En particular el conjunto vacío al carecer de elementos se escribe 0∅ = y

también si se cumple [1.6.2] se escribe A n= . Un conjunto se denomina infinito numerable si es equivalente con el conjunto de

los números naturales ( ): N

[1.6.3] { }1, 2,3,A ∼ …

Un conjunto se denomina infinito no numerable si cualquier asociación inyectiva

A{ }1, 2,3, A→… no admite asociación suprayectiva, recordado que si no hay

suprayectividad “sobran” elementos en este caso de A . En términos más simples se debe proponer una asociación inyectiva y exponer al menos un elemento de A que no provenga de un natural.

Ejemplo 1.6.1 Tomemos del ejemplo 1.4.1 y calculemos su cardinalidad. S

Es claro que si { }, , ,S ss sa as aa= se tiene { }, , , 4S ss sa as aa= = ya que es un conjunto finito. Pero demostremos que es finito de la manera formal debido a que el método nos será útil más adelante. Proponemos la siguiente asociación

S

Sea { }1, 2,3, 4 S→ la asociación definida como:

1 , 2 , 3 , 4ss sa as aa→ → → →

es evidente que esta asociación propuesta es inyectiva debido a que no hay dos o más elementos de { }1, 2,3, 4

{ que estén asociados con uno de y además es suprayectiva

porque

S

}1,y S x∃ ∈ 2,3, 4 tal que x y∀ ∈ → ; garantizando así { }1, 2,3, 4S ∼ , por lo

tanto 4=S . Ejemplo 1.6.2 Respecto al ejemplo 1.4.2, no podemos calcular la cardinalidad de debido a que S de manera formal está definida para conjuntos finitos, por eso no la mencionamos en [1.6.3]; sin embargo sí podemos hablar de equivalencia, probemos que . S ∼ Z

CONJUNTOS 37

Sea { }, 8, 5, 2,1, 4,7,10,S→ = − − −…Z … n y ∈Z x S∈ , la asociación se define por n n , es decir: 3 1 x→ + =

, 2 5, 1 2,0 1,1 4,2 7,− → − − → − → → →… … Probemos que es inyectiva (se sugiere al lector tener presente la definición de inyectividad). Supongamos 1 2,n n ∈Z y además 1n n2≠ , sabemos que por la definición de asociación , debemos probar que 1 1 2 23 1 3n n n→ + → +1 yx n= 21 x= 1 2x x≠ . Para lograrlo ocuparemos una técnica que se llama por contradicción, es decir, si sabemos que siempre es cierto y un argumento nos lleva a contradecir este hecho, quiere decir que el argumento está mal planteado por lo que debería plantearse de la forma opuesta, esto es contradicción.

1n ≠ 2n

Supongamos que 1 2x x= implica que 1 2 1 2 13 1 3 1 3 3n n n n n 2n+ = + ⇒ = ⇒ =

1 2n n≠ y

ya tenemos aquí la contradicción porque siempre debe de pasar por hipótesis. Como suponiendo 1 2x x= nos llevó a 1n 2n= lo cual es falso entonces debe pasar la forma opuesta 1 2x x≠ demostrando así la inyectividad de la asociación. Probemos que es suprayectiva, debemos proponer un elemento arbitrario de y probar la existencia de algún entero que bajo la asociación nos lleve al elemento. Para ser más formales, debemos probar que

S

x S n∀ ∈ ∃ ∈Z tal que n x . → Sea x S∈ arbitrario y se propone ( )1 3n x= − el cual es entero ya que los elementos de son los que al dividirlos entre tres arrojan residuo uno, por lo que al restarles uno se llega a un número que es múltiplo de tres. Nos queda comprobar que el entero propuesto nos lleva a

S

x bajo la asociación definida.

( )1 13 1 3 1 1 13 3

x xn n x− −⎛ ⎞= → + = + = − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

x

n x∴ →

Concluyendo que la asociación propuesta es biyectiva en consecuencia se tiene demostrado que { }, 8, 5, 2,1, 4,7,10,S − − − ∼… … Z

∼

A B→A

. = Ejemplo 1.6.3 Probemos ahora que Z N . Nos hemos dado cuenta de que si proponemos una asociación de tal manera que dos o más elementos de no “vayan” a uno de B (sino uno a uno) y que no deje de considerarse un elemento de B que no tenga asociado, o sea que todo elemento de B tenga asociado, se puede decir que la asociación ya es biyectiva; de hecho en lenguaje cotidiano se dice que una asociación (función) es biyectiva si es “uno a uno” y “sobre”.


Expongamos entonces una asociación con estas características: →N Z

1 2 3 4 5 6 70 ,1 , 1 ,2 , 2 ,3 , 3 ,− − − … Esta notación se refiere a que es decir que estamos numerando a los enteros y claramente no hay entero que sobre porque los naturales pares se encargan de los enteros positivos, el uno del cero y los impares desde el tres, se encargan de los enteros negativos además de que un y sólo un natural es asociado con un entero, así que se tiene la biyectividad y en consecuencia la garantía de que

1 2 30 :1 0, 1 : 2 1, 1 : 3 1,→ → − →− …

{ } { }1, 2,3, , 3, 2, 1,0,1, 2,3,∼ − − −… … …

Recordando un poco la transitividad de ∼ podemos tener resultados que se buscaban previamente, uno de ellos es clasificar a el espacio muestra del ejercicio 1.4.2. En el ejercicio 1.6.2 demostramos { }, 8, 5, 2,1, 4,7,10,S = − − − ∼… … Z

S en el

1.6.3 demostramos así que por transitividad es un conjunto infinito numerable ∼Z N{ }1, 2,3,S ∼ … .

Ejemplo 1.6.4 Supongamos { }1, 2,3, ,n ∼…

{A , por lo sugerido en el ejemplo 1.6.3 dada la asociación

con :ia i a→ }1, 2,3, ,i … yn∈ ∈a A al conjunto lo podemos escribir: A

{ }1 2 3, , , , nA a a a a= …

y además A n= .

En este caso { }1, 2,3, ,D = … n recibe el nombre de conjunto de índices de . A Ejemplo 1.6.5 Es posible hacer lo mismo que el ejercicio anterior pero ahora para conjuntos.

Sea { }1, 2,3, ,D n= … y { }:B A A S= ⊆ de tal manera que entonces se tiene que para i y

D B∼

D∈ A B∈ la asociación define una biyección. De esta forma se puede reescribir a

:A i A→i

B como: { } { }1 2: , , ,i n .B A S= ⊆ i D∈ A A= … A No hay que perder de vista que B es un conjunto donde cada elemento es un

subconjunto de , recordemos que el ejemplo 1.4.3 ya manejó esta situación. S Ya quedó claro que B es un conjunto de subconjuntos de y además es finito,

por lo que si n las operaciones entre conjuntos no resultan tan latosas, el S

2 o =a es cuando n

3n = es mproblem uy grande, para resolver esta situación se establece la

notación siguiente:

CONJUNTOS 39

Para la unión y la inter cción de n elementos de se B se escribe:

1 2 3 11

1 2 3 11

i i ni i D

n

i i ni i D

A A A A A A

A A A A A A

−= ∈

−= ∈

= = ∪ ∪ ∪ ∪ ∪

= = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

∪ ∪

∩ ∩

n

n

n

A

A

Ejemplo 1.6.6

mplo anterior sólo que ahora cambiamos al conjunto de índices por Análogo al eje{ }1, 2,3,= … B definido de la misma forma tal que D B∼D y . Usando la misma

asoci lle amos a {ación g } { }1 2 3: , , ,iB A S i D A A A= ⊆ ∈ = … . Los cambios en la notación intersección quedan:

A A A A A∞

= = ∪ ∪

respecto a la unión e

Ejemplo 1.6.7

1 2 3 1 11

1 2 3 1 11

i i n n ni i D

i i n n ni i D

A A A

A A A A A A A A

− += ∈

∞

− += ∈

∪ ∪ ∪ ∪ ∪

= = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩

∪ ∪

∩ ∩

{ } ( )0,1 0,1=I −El conjunto es infinito no numerable.

ión inyectiva { } ( )1, 2,3, 0,1→… La estrategia a seguir será proponer una asociac

y demostrar que ( )0,1y∃ ∈ tal que no esta considerado en la lista. Propongamos

nuevamente la asociación i donde i x→ { } ( ), 1, 2,3, y 0,1ii k x∈ ∈… , además i kx x≠ con i k≠ (inyectiva). Cada ix es un número real comprendido entre cero y uno (sin ser cero ni uno), por lo que s de escribir l ya sea finita o infinita (no importa) de la ma era siguiente:

,1 ,2 ,0.i i i ix a a a

e pue con su expansión deciman

{ }3 ,4 ,

,con 0,1,2,3, ,9

1,2,3,

i i j

i j

a a

a

j

=

∈

=

……

donde ,i ja quiere decir el dígito que se encuentra en la posición j de la expansión

dedecima l número il x .

Por ejemplo si 11 0.333333= = todos los dígitos de su expansión decimal

alen 1, 3 con 1,2,ja j= =

2,5 y 0 con 3,ja j= =

x

v tres por lo que 3,…; si ahora por ejemplo 2 0.25x = se tendría que 2,1 2,22, 4,5,a a= = … .


or último si tuviéramos 3x = π−3 es decir 3 0.141592653x =te aquí es imposible

P diríamos que

todos los dígitos restantes, por tratarse de

na vez entendida la descripción de

3,1 3,2 3,3 3,4 3,51,a = 4, 1, 5,a a a a= = = otablemen determinar a una expansión decimal infinita no periódica.

9,= … . N

ix construyamos a un número yU dentro de

) q

ara visualizar la forma de construcción de

(0,1 ue no pertenezca a la lista en general.

yP veamos un ejemplo en particular. Supongamos que nuestra lista solamente consta de los tres números mostrados, nos fijaremos en particular en las entradas ,n na de cada uno (es decir cuando i j n= = con

1,2,3n = ):

1

2

3

0. 3 33333

0.2 5 0000

0.14 1 592

x

x

x

=

=

=

…

…

…

Sea tal que ( )1 2 30. 0,1y y y y= ∈ ,

,

1 si 12 si 1

n nn

n n

ay

a≠⎧

= ⎨ =⎩ por lo que en este caso:

on esta construcción vemos que

1,1 1

2,2 2

3,3 3

3 15 1 0.1121 2

a ya y ya y

⎫= ⇒ =⎪

= ⇒ = ⇒ =⎬⎪= ⇒ = ⎭

1y x≠ en la primer entrada, 2y x≠C en la segunda entrada, 3y x≠ en la tercer entrada; en general iy x i≠ ∀ ∈N en ésima entrada. En conclusión, acabamos de exponer a un ele ),1 talproviene de algún natural o de la asociación inyectiva ii x→ que e o, entonces como no se garantiza suprayectividad pero si hay inye nto {

la i − q

mmento (0y∈

s lo mtividad, el conju

ue no is

c }0,1I − es

infinito no numerable, de igual forma que lo es [ ]0,1I = pero eso lo dejaremo r.

s al lecto

IAhora, ¿qué significaría en este caso entonces? Pues lógicamente no podemos hablar de cantidad de elementos, porque inclusive la cantidad de elementos de I “supera” a los de ¡Z !

[ ]0,1 1 0 1I = = − = , en general si a b< Con abuso de notación entenderemos

con ,a b∈R se define [ ],a b por la distancia de a a b [ ], :a b b a= −

s de gran importancia hacer notar la manera diferente en que fue medido el

conjun

.

Eto I . En este caso no contamos la cantidad de elementos que tenía, más bien nos

preocupamos por su longitud.

CONJUNTOS 41

Con todo esto ya podemos hablar de clasificaciones de conjuntos con base en la “cantidad” de elementos que ellos tengan y se entiende de manera más profunda las distintas interpretaciones que puede llegar a tener , repitiendo que de manera formal sólo se ocupa para conjuntos finitos, sin embargo “la idea” se generaliza en lo que ya mencionemos que se conoce por teoría de la medida.

Notamos que para conjuntos infinitos numerables y no numerables no se ocupó la notación de cardinalidad solamente la de equivalencia ∼ , eso nos pone como tarea entender más adelante lo que pasa para este tipo de conjuntos en materia de “cardinalidad” o bien la manera en que se manejan para cálculo de probabilidades.

Recordemos del ejemplo 1.4.5 que el espacio muestra es un conjunto de puntos

del plano cartesiano que forman una circunferencia centrada en el origen y de radio dos por lo que para este caso 22 4S π π= = ; en general si y denota un área en el

plano cartesiano o en su defecto un volumen en el espacio entonces

A S⊆ A

: área( )A A= ó

: volumen( )A A= . Una vez discutido el asunto de clasificaciones continuemos con propiedades de

cardinalidad , básicamente los asuntos que debemos de tratar es conocer lo que pasa con la cardinalidad de conjuntos cuando hay operaciones entre ellos por ejemplo A B∪ o cA .

Nuevamente, para hablar de generalidades primero analicemos particularidades

y para esto el ejemplo 1.4.6 nos vuelve a servir. Supongamos que { }1, 2,3, 4,5,6S =

además de eventos tal que ,A B S⊆ { }2, 4,6A = y { }2,3,5B = . Para poder ganar “la apuesta” tenía que pasar { }2,3, 4,5,6A B∪ = sacando la

cardinalidad de forma directa llegamos a 5A B∪ = , pero ¿qué se tendría que hacer en

dado caso de conocer A , B y A B∩ ? , de haber alguna relación ¿cuál sería? Un primer intento es simplemente sumar 3 3 6A B+ = + = notamos que el

resultado que nos quedó es distinto al real, recordemos ahora que un conjunto no repite elementos, y nosotros al sumar A B+ repetimos en nuestro conteo dos veces el

cuando tenía que ser solamente una vez

2

{ } { }2,2 2 1 A B= = = ∩ por lo que habrá de

quitarlo una vez de la cuenta de A B+ :

5 3 3 1A B A B∪ = = + − = + − ∩A B Nos damos cuenta de que al contar donde hay problema es justamente en las

intersecciones de los conjuntos debido a que los elementos que pertenecen a ellas son tanto de un conjunto como del otro de tal manera que si sumamos la cantidad de elementos de cada conjunto en particular estamos sumando al elemento de la


intersección por cuenta doble, de un conjunto y luego del otro; por otro lado si se trata de elementos que están en la intersección de tres conjuntos son elementos que se están sumando por cuenta doble y triple.

Hagámoslo en general. Primero el caso más simple, cuando ocurre [1.5.6] es decir tenemos conjuntos

que no tienen elementos en común. A este tipo de conjuntos se les llama disjuntos .

,A B S⊆A B∩ =∅

Un pequeño ejemplo de este tipo de conjuntos sería { }1, 2,3, 4,5S = { }1,3,5A =

y { }2, 4B = . Evidentemente no comparten elementos por lo que decimos que el conjunto que busca elementos en común (intersección) carece de elementos, igualándolo con el vacío entonces A B∩ =∅ . Un pequeño detalle por comentar que más adelante lo ocuparemos es: aparte de que A B∩ =∅ también pasa en este caso en particular.

A B S∪ =

Si tenemos a dos conjuntos disjuntos cuando hacemos la unión entre ellos a los

de un conjunto le agregamos los del otro sin repeticiones por lo que la cardinalidad de la unión resulta igual a la cardinalidad de uno más la cardinalidad del otro.

Si y ,A B S⊆ A B∩ =∅ entonces A B A B∪ = +

Ahora, los conjuntos y A B− A B∩ son disjuntos ( ) ( )A B A B− ∩ ∩ =∅ y su

unión forma al conjunto ( ) ( )B∩A A= − B A∪ a su vez también pasa que B A− y

A B∩ son disjuntos ( ) además de que la provoca la igualdad con

el conjunto (A− ∩

()B =∅B A ∩

)( )B B A A B∩= − ∪ ; las demostraciones de todas estas afirmaciones se dejarán al lector. Ocupando los resultados previos podemos afirmar que:

A A B A B

B B A A B

= − + ∩

= − + ∩

por otro lado también se da la igualdad ( ) ( ) ( )A B A B A B B A∪ = − ∪ ∩ ∪ − donde ya

se mencionó ( ) ( ) ( ) ( )A A B− ∩ ∩ =∅A B A B B− ∩ ∩ =

( )A B− ∩ − =∅

faltaría demostrar (el lector)

que o sea que ocupando dos veces la cardinalidad de la unión para conjuntos disjuntos, llegamos a:

( )B A

( ) ( ) ( )( ) ( )

A B A B A B B A

A B A B B A

A B A B B A

∪ = − ∪ ∩ ∪ −

= − ∪ ∩ + −

= − + ∩ + −

CONJUNTOS 43

, reuniendo todos los resultados concluimos:

0

A B A B A B B A

A B A B B A

A B A B B A A B A B

∪ = − + ∩ + −

= − + ∩ + − +

= − + ∩ + − + ∩ − ∩

A B A B= + − ∩

Por lo tanto ya quedó demostrado en general que:

A B A B A B∪ = + − ∩

En este momento seguramente el lector pensará que no es tan necesario hacer

tanto movimiento para una demostración que simplemente sale de observar el diagrama de Venn, y si es cierto; lo que pasa aquí es que se persigue crear la idea de lo que es una demostración formal además de motivar la agilidad de cálculo entre operaciones de conjuntos.

Nuestra siguiente pregunta a resolver será ¿qué pasa con A B C∪ ∪ ? Podemos

ocupar de forma iterativa el resultado previo:

( )( ) ( )

( ) ( ){ }

{ }

A B C A B C A B C

A B A B C A C B C

A B C A B A C B C A C B C

A B C A B A C B C A B C

A B C A B A C B C A B C

∪ ∪ = ∪ + − ∪ ∩

= + − ∩ + − ∩ ∪ ∩

= + + − ∩ − ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩

= + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

= + + − ∩ + ∩ + ∩ + ∩ ∩

llegando así a

{ }A B C A B C A B A C B C A B C∪ ∪ = + + − ∩ + ∩ + ∩ + ∩ ∩

Esta igualdad se modifica si pasa A B A C B C∩ = ∩ = ∩ =∅ y en consecuencia , es decir que cada conjunto es disjunto a cualquiera de los restantes

(son todos disjuntos entre si), lo que comúnmente se dice es que son disjuntos a paA B C∩ ∩ =∅

res. La manera en que se modifica es la siguiente: .A B C A B C∪ ∪ = + + La siguiente notación resultará útil para el caso en que se tengan más de tres

conjuntos. Supongamos que tenemos una cantidad finita de subconjuntos del espacio muestra y además son disjuntos a pares para

entonces: 1 2 3, , , , nA A A A S⊆…

n≤i jA A∩ =∅

1 i j≤ <


1 21

n

i

A A=

= +∪ 3 1i n nA A A A−+ + + +

Por ejemplo si cuando 3n = 1i = se tendrá 1 i j n= < ≤ es decir

diciendo así que 2,3j =

1 2 1 3A A A A∩ = ∩ =∅ después, si 2 3i j n= < ≤ = lo que nos lleva a 3j = en consecuencia concluyendo que los tres conjuntos son disjuntos a

pares por lo que ya podrá escribirse: 2 3∩ =∅A A

3

1 2 3 1 21

ii

A A A A A A A=

= ∪ ∪ = + +∪ 3

que es justamente el resultado al que ya habíamos llegado. Otro ejercicio que dejaremos al lector es: suponiendo que i jA A∩ ≠∅ llegar a

la expresión para 1 2 3A A A A∪ ∪ ∪ 4 basándose en las fórmulas de 1 2A A A∪ ∪ 3 y de

1 2A A∪ que ya demostramos. Bueno, ¿y qué pasa ahora con cA ? Sabemos que A y son disjuntos cA cA A∩ =∅ , además de su unión es el espacio muestra cA A S=∪ esto implica que cS A A A A= ∪ = + c ocupando el resultado anterior, por lo tanto:

cA S A= −

Hasta ahora hemos hablado de propiedades de la cardinalidad que son igualdades veamos entonces unas de desigualdades. Ya se tiene la “noción” de que si un conjunto está contenido propiamente en otro, entonces la cantidad de elementos del primero es menor que la del segundo; pero ya sabemos que esto no siempre es cierto ya que y sin embargo tienen la misma “cantidad” de elementos, recordemos que ese hecho nosotros lo expresamos por . Aún así la idea no es del todo incorrecta sólo había que observar que es válida para conjuntos finitos.

⊂N Z∼N Z

Supongamos A B conjuntos finitos si es que S⊆ ⊆ A B= se tendría A B= , así que consideremos una contención propia , por [1.2.1] sabemos que tal que . Paralelamente propongamos una asociación inyectiva definida como

con pero como implica que

A B⊂ b B∃ ∈b A∉a

A→a B

Ba → a A∈ A B⊂ ∈ , en otras palabras a cada elemento del conjunto lo estamos enviando a él mismo y ya se había establecido que la asociación identidad es inyectiva. Juntando estas dos afirmaciones podemos decir que la asociación propuesta

A

A B→ es inyectiva pero no es suprayectiva debido a que existe que no tiene a su asociado al no estar en el conjunto por lo tanto no provenir de

alguien (×→ ) ; concluyendo que b∈B A

b A B< .

CONJUNTOS 45

Si ysonA B finitos entonces A B⊆ ≤

Ejemplo 1.6.8 En un grupo de 100 alumnos, 70 estudian matemáticas, 60 estudian física y 40 estudian matemáticas y física, calcule la cantidad de alumnos que:

1

2

3

4

5

6

7

: estudien física pero no matemáticas: estudien matemáticas pero no física: estudien matemáticas o física: noestudien ni matemáticas ni física: estudien exactamente una: estudien exactamente dos: estudien por l

EEEEEEE

8

9

10

o menos una (una o dos): estudien a lo más una (ninguna o una): no estudien matemáticas o física: no estudien física

EEE

Debido a los datos escribimos. Sean ,M F S⊆ donde M representa al conjunto de los alumnos que estudian matemáticas y de igual manera representa a los de física, el espacio muestra en este caso son los 100 alumnos por lo que

F100S = 70M =

60F = 40M F∩ = y por último ; el diagrama representa también esta información. Antes de comenzar a contar necesitamos las siguientes igualdades de conjuntos las cuales nuevamente se deja al lector probarlas ( )F M F M F− = − ∩ además de que

los conjuntos M F∩ y son disjuntos y su unión es con lo que ya podemos aplicar la fórmula de la cardinalidad de la unión.

( )F M F− ∩ F

Veamos:

( )( ) ( )

( )F F M F M F

F M F M F

F M M F

= − ∩ ∪ ∩

= − ∩ + ∩

= − + ∩

de esta manera ya tenemos fórmula para la diferencia de conjuntos, nótese que nos basamos en ( )A F M F= − ∩ y BsiA B A B A B∪ = + ∩ =∅ en este caso M F= ∩

junto con la igualdad inicial. La fórmula queda entonces F M F M F− = − ∩ . Resolvamos:

1 60 40 20E F M F M F= − = − ∩ = − =


2 70 40 30E M F M M F= − = − ∩ = − =

3 70 60 40 90E M F M F M F= ∪ = + − ∩ = + − =

( )4 100 90 10cE M F S M F= ∪ = − ∪ = − =

( ) ( ) ( ) ( )5

90 40 50

E M F M F M F M F M F M F

M F M F

= ⊕ = ∪ − ∩ = ∪ − ∪ ∩ ∩

= ∪ − ∩ = − =

aquí ocupamos ( ) ( )M F M F M F M F M F∩ ⊆ ∪ ⇒ ∪ ∩ ∩ = ∩

6 40E M F= ∩ =

( ) ( )7 5 6 50 40 90E E E M F M F M F M F= ∪ = ⊕ ∪ ∩ = ⊕ + ∩ = + =

se deja al lector demostrar ( ) ( )M F M F⊕ ∩ ∩ =∅ , observe que también se pudo

haber hecho 90M F∪ = porque ( ) ( )M F M F∪ = ⊕ ∪ M F∩ (demostrarlo).

( ) ( ) ( )8 4 5 10 50 60c cE E E M F M F M F M F= ∪ = ∪ ∪ ⊕ = ∪ + ⊕ = + =

( )9 100 40 60cc cE M F M F S M F= ∪ = ∩ = − ∩ = − =

10 100 60 40cE F S F= = − = − = Ejemplo 1.6.9 Una desigualdad que será muy importante cuando hablemos de las propiedades de probabilidad (ésta entra de hecho en los axiomas) es la basada en [1.4.1]. Supongamos S finito y claramente también lo es, por otro lado sabemos que entonces podemos afirmar

A S⊆A S∅⊆ ⊆ A S∅ ≤ ≤ , por lo tanto:

0 A S≤ ≤

lo cual también establece que siempre es positivo 0A ≥ . Si dividimos entre 0S ≠ nos queda:

0 0 1A S A

S S S S≤ ≤ ⇒ ≤ ≤

y si al cociente AS

le llamamos , es decir ( )P A ( ) :A

P AS

= escribimos entonces:

0 ( )P A 1≤ ≤

note que ( ) 0 0P S S∅ = ∅ = = y además ( ) 1P S S S= = .

Por ejemplo de 1.6.8 7 7( ) 90 100 0.9P E E S= = = . Más adelante veremos la

razón de haber dividido entre S ≠ ∅ e introducido la notación . ( )P A

CONJUNTOS 47

1.7. PARTICIONES Hablaremos de unos subconjuntos muy particulares de . La peculiaridad que tienen es que si tomamos a cualesquiera dos de ellos son disjuntos y además su unión es el espacio muestra.

S

La noción es simple; por ejemplo estamos estudiando cierto tipo de característica

para un grupo de cien personas ( ) ya sea edad, nivel de escolaridad etc. Notamos que de esas cien personas hay tanto mujeres (

SM ) como hombres ( ) gracias a que nuestro

objeto de estudio no depende del género. El punto es que claramente no hay una persona que sea tanto hombre como mujer

H

M H∩ =∅ y además reuniendo a los hombres con las mujeres juntamos a las todo el grupo de estudio M H∪ S= . Esto es lo que entenderemos por partición.

Otro ejemplo de este tipo de conjuntos ya se sugirió previamente. Sean ,A B S⊆ con { }1, 2,3, 4,5S = , { }1,3,5A = y { }2, 4B = ; percibimos que

y ; al momento en que esto pase decimos que los conjuntos y A B∩ =∅ A B∪ = S AB son una partición de . S

Aclaremos que no es la única partición que admite nuestro espacio muestra ,

también podría ser S

{ }1, 2A = y { }3, 4,5B = ; claro que no tienen porque ser solamente

dos conjuntos los que hagan la partición por ejemplo si { }1,3A = , { }2, 4B = y { }5C hay partición, ya que y

=A B∩ A C B= ∩ = C∩ =∅ A B C∪ ∪ S= ; luego, con que

cualquier par de conjuntos no sea disjunto no habría partición, la circunstancia descrita sería { }1,3A = , { }2, 4=B y { }4,5=C ya que { }4B C∩ = ≠ ∅ a pesar de que la unión

si sea el espacio muestra { }1, 2,3C∪ ∪ = , 4,5A B S= . Si pasa lo contrario, tampoco

habría partición, para ser más claro, si nuevamente { }1, 2,3, 4,5S = y a los conjuntos los

definimos como { }1, 2=A y { }3, 4=B efectivamente si son disjuntos pero

la unión no es el espacio muestra

A B∩ =∅

{ }1, 2A B∪ = ,3, 4 S≠ . Esto nos dice que la partición de un espacio muestra no tiene porque ser única y

además no puede haber una condición sin la otra. La idea de partición en nuestro caso la manejaremos para una cantidad finita de conjuntos sin embargo es posible generalizarla para una cantidad infinita numerable de conjuntos.

Sea { }1, 2,3, ,D = … n el conjunto de índices, B S⊆ y { } { }:i ii D

A A S i D∈

= ⊆ ∈

iA ≠ ∅ i D∀ ∈

el conjunto de subconjuntos del espacio muestra distintos al vacío , entonces a { }i i D

A∈

se le denomina partición de B si y sólo si se cumplen las siguientes dos condiciones:

• 1

n

ii

B A=

=∪

• con 1 .i jA A i∩ =∅ ≤ < ≤j n


El diagrama de Venn nos muestra gráficamente lo que hace la partición. Supongamos quiere decir que: 6n =

1

2

3

4

5

si 1, para 2,3, 4,5,6

si 2, para 3, 4,5,6

si 3, para 4,5,6

si 4, para 5,6

si 5, para 6

j

j

j

j

j

i A A j

i A A j

i A A j

i A A j

i A A j

= ∩ =∅ =

= ∩ =∅ =

= ∩ =∅ =

= ∩ =∅ =

= ∩ =∅ =

a final de cuentas esto dice que cada conjunto que se tome será disjunto con cualquier otro:

al unirlos justamente tiene que quedar B por completo 6

1i

i

B A=

=∪ :

Una situación de nuestro particular interés será cuando se define una partición para el espacio muestra S Ejemplo 1.7.1 Sea { }1, 2,3, ,D = … n y { }i i D

A∈

una partición de entonces por tener la garantía de que trabajamos con conjuntos disjuntos a pares la siguiente igualdad se cumple:

S

1 2 3 11

n

i ni

S A A A A A −=

= = + + + + +∪ nA

CONJUNTOS 49

dividiendo todo nuevamente entre 0S ≠ y recordando que denotamos al cociente

iA S por con 1 llegamos a: ( )iP A i n≤ ≤

1 2 3 1

1 2 3 1

1 2 3 11

n n

n n

n n

S A A A A A

S A A A A AS S

A A A A AS S S S S

−

−

−

= + + + + +

+ + + + +=

= + + + + +

∴ Si { }1, 2,3, ,D = … n y { }i i D

A∈

es una partición de entonces S

[1.7.1] 1 2 3 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1n nP A P A P A P A P A−+ + + + + = Ejemplo 1.7.2 Supongamos que tenemos cuatro celdas ( 4 celdas− o cadena de longitud 4) en donde cada una de ellas la vamos a ocupar por cualquiera de los dos números 0 o 1, tres de ellas serían , y . Consideremos a como el conjunto de todas las celdas de este tipo que se pueden hacer; necesitamos una técnica para mostrar a de manera explícita, una de ellas es fijarnos en el número de unos (o ceros) que aparecen en cada celda por ejemplo si no aparecen “unos” el elemento de que cumple con esa condición es , si aparece un solo “uno” hay cuatro elementos de que lo cumplen

, , y , así nos la llevamos hasta terminar de describir a

0010

00000010

1001 0101

0001

SS

SS

1000{

0100}4 celdasS = − :

00001000,0100,0010,00011100,1010,1001,0110,0101,0011 161110,1101,1011,01111111

S S

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Sea , iA S⊆ { }0,1, 2,3, ,i D n∈ = … (note que 1D n= + ) tal que i describe el

número de “unos” que aparecerán en cada elemento del conjunto : iA

{ }{ }{ }{ }{ }

0 0

1 1

2 2

3 3

4 4

0000 1

1000,0100,0010,0001 4

1100,1010,1001,0110,0101,0011 6

1110,1101,1011,0111 4

1111 1

A A

A A

A A

A A

A A

= =

= =

= =

= =

= =


Percibimos que { }i i DA

∈ es una partición de entonces debe cumplir S [1.7.1]

veamos: 0 1 2 3 4 1 4 6 4 1 16A A A A A S+ + + + = + + + + = =

Advirtiendo que hay simetría en los sumandos (si tomamos al 6 como referencia los sumandos de la derecha son los mismos que los de la izquierda) la cual es una propiedad importante que se cumple para celdasn − con n∈N . Otra cosa que siempre va a pasar bajo esta situación es que la cardinalidad del espacio muestra es una potencia del dos 416 2S = = cuyo exponente será justamente la cantidad de celdas que

trabajamos, para ser más claro si trabajamos con 5 celdas− 52 3S 2= = y de igual forma habría simetría en los sumandos calculados de la partición definida en este ejemplo (se deja al lector realizarlo para { }5 celdas− y { }6 c− eldas ). Otra observación aún más importante es que los sumandos corresponden a los coeficientes obtenidos al desarrollar el binomio a b+ a la potencia . n Por ejemplo para { }4S celdas= − se desarrolla ( llegando a: )4a b+

( )4 4 0 3 1 2 2 1 3 0 41 4 6 4 1a b a b a b a b a b a b+ = + + + +

probar también para y . ( )5a b+ ( )6a b+

Todas estas observaciones se comprobarán más adelante. Para concluir este ejemplo calculemos cada con ( )iP A i D∈ :

0

1

2

3

4

( ) 1 16 0.0625( ) 4 16 0.25( ) 6 16 0.375 0.0625 0.25 0.375 0.25 0.0625 1( ) 4 16 0.25( ) 1 16 0.0625

P AP AP AP AP A

= = ⎫⎪= = ⎪⎪= = + + + + =⎬⎪= = ⎪⎪= = ⎭

Ejemplo 1.7.3 Sea { }1, 2,3, ,D = … n y { }i i D

A∈

una partición de tal que S iA r i D= ∀ ∈ entonces:

1 2 3 1n nn veces

S A A A A A r r r r nr−−

= + + + + + = + + + + =

además de

1( ) ii

A rP A i DS nr n

= = = ∀ ∈ .

CONJUNTOS 51

dos particiones que cumplen con lo establecido en este ejemplo serían (del ejemplo 1.4.6): Si { }1, 2,3, 4,5,6S = sea { }:iA i= con { }1 1, 2, ,6i D∈ = … partición de

(demostrarlo), cumpliendo que

S

1D1iA r i= ∀ ∈ , luego ( ) 1iP A 1 6n== =

además es importante no perder de vista que 1i D∀ ∈

( )( )6 1 6S nr= = = ; otra partición de

{ }1, ,6S = … es { } { }2con 1, 2,3i D∈ =: , 3iA i i= + (demostrarlo) así que nuevamente se

cumple la condición 22iA r i D= = ∀ ∈ concluyendo ( ) 1 3iP A = 2Di∀ ∈ donde

también todo concuerda con la cardinalidad del espacio muestra ( )(3 2r ) 6S n= = = . Ejemplo 1.7.4 Este ejemplo es muy parecido al 1.7.1 con la pequeña diferencia de que la partición ya no es sobre el espacio muestra sino sobre cualquier evento de él. Sea { }1, 2,3, ,D … n= y { }i i D

A∈

una partición de B S⊆ entonces

1 2 31

n

i ni

B A A A A A=

= = + + + +∪

dividiendo entre 0S ≠ y siguiendo los pasos de 1.7.1 llegamos a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2n nP B P A A A P A P A P A= ∪ ∪ ∪ = + + + [1.7.2] el cual es un resultado más flexible (sin restarle importancia) que de igual forma es válido para cuando B S= . Hay que tener en mente de que si definimos una partición para el espacio muestra también la estamos definiendo para cualquier B S⊆ de la manera siguiente: Sea { }1, 2,3, ,D … n= y { }i i D

A∈

una partición de ; supongamos que S B S⊆ quiere decir que para algunos índices i D∈ existen elementos de la partición

{ }i i iA A

∈∈

D iA B tales que , sea el subconjunto del conjunto de índices

que tienen tal propiedad y sea

∩ ≠

{∅ 1D D

}1i i D

B∈

el conjunto de conjuntos tales que i iB A B= ∩ ;

proponemos a { }1

i i DB

∈ como nuestro candidato a ser la partición de B heredada de S .

Sabemos que si entonces1D D⊆ { }1D r∼ 1,2,3, ,… con r n≤ , así que podemos

darle numeración a los elementos de { }1 1 2 3, , , , rD i i i i= … en otras palabras para 1ki D∈

{ }1, 2,3, ,k r∈ … ;

( ) ( ) ( ) ( )( )

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1k r

r

r

r

i i i i ik

i i i i

i i i i

B B B B B

A B A B A B A B

B A A A A B

=

= ∪ ∪ ∪ ∪

= ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩

= ∩ ∪ ∪ ∪ ∪ =

∪


porque 1

k

r

ik

B A=

⊆∪ probando así una de las dos condiciones; la segunda sería

proponiendo a dos conjuntos de la partición.

Sean { }1

,k si i i i D

B B B∈

∈ tales que 1 k s r≤ < ≤ luego

( ) ( )( )

k s k s

k s

i i i i

i i

B B A B A B

A A B B

∩ = ∩ ∩ ∩

= ∩ ∩ =∅∩ =∅

, ocupando el hecho de que { }i i D

A∈

es una partición. Concluyendo que una partición del espacio muestra hereda una partición para cualquier evento de él. Un diagrama que describe este hecho es: Ejemplo 1.7.5 Reuniendo los resultados de 1.7.3 y 1.7.4 establezcamos una consecuencia muy importante. Sea { }1, 2,3, ,D n= … y { }i i D

A∈

una partición de tal que S iA m i D= ∀ ∈

sabemos que ( ) 1iP A n i= ∀ D∈ (recuerde que S nm= ); por otro lado sea B S⊆

definido como1 2

: i i 3i riB A A= ∪ ∪ A ∪ ∪ A el cual admite la partición { }

1Dkk

i iA

∈donde

y 1D D⊆ { }1 1 2 3, , , , rD i i i i= … por lo que cumple r n≤ [1.7.2] , entonces:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3

1 2 3

1 1 1 1

r

r

i i i i

i i i

r veces

P B P A A A A

P A P A P A P A

rn n n n n

−

= ∪ ∪ ∪ ∪

= + + + +

= + + + + =

i

CONJUNTOS 53

1.8. CONJUNTO POTENCIA A lo largo de toda la discusión hemos hablado de propiedades que tienen los eventos de una espacio muestra, como operaciones entre ellos, su cardinalidad la manera en que pueden llegar a conformar todo con ciertas condiciones, a final de cuentas nuestro objeto de estudio han sido los eventos. Nos damos cuenta de que a pesar de todas las operaciones posibles que podamos hacer entre ellos el resultado no puede salir de . Hay un conjunto que tiene como elementos a “todos los eventos posibles” de un espacio muestra, a dicho conjunto se le denomina conjunto potencia del espacio muestra. La utilidad que tiene es muy grande ya que es una manera (no la única) de hablar de espacio de eventos.

S

S

Sea E con finito (es posible hablar de infinito numerable inclusive) definamos al conjunto potencia del evento como:

S⊆ S SE

( ) { }:E A A E℘ = ⊆ [1.8.1]

En particular si tendríamos al conjunto potencia del espacio muestra E S=( )S℘ el cual siempre cumple que ( ), S∅ ∈℘ S y además si ,A B S⊆ pasa que

( ),A B S∈℘ junto con las operaciones ya definidas entre conjuntos más todas las

mezclas posibles entre ellas como por ejemplo ( ), c (, , )A B A B A B S∩ ∪ − ∈℘A B∪ . Ejemplo 1.8.1 Sea { }1, 2,3, 4S = y { }1, 2A = { }2,3B = eventos; ( )S℘ al ser el conjunto de todos los subconjuntos posibles de queda descrito como: S

( ){ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }

{ } { } { } { }, 1 , 2 , 3 , 4 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 2,3 , 2,4 , 3,4

1,2,3 , 1,2,4 , 1,3,4 , 2,3,4 ,S

S

∅⎧ ⎫⎪ ⎪℘ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Un primer detalle importante es que su cardinalidad es la misma que la obtenida para el espacio muestra del ejemplo 1.7.2 ( ) 416 2 2 SS℘ = = = por lo que existe la

sospecha de que { } ( )celdasn − ∼℘ S con S n= lo cual será demostrado más adelante.

También podemos ver que ( )S S∈℘, , ,A B∅ sin contar con todas la operaciones

posibles como por ejemplo { } ( )2 S∈℘A B∩ = . Es claro que de igual forma se pueden

definir otros eventos y ocurriría lo mismo he ahí la razón por la que a ( )S℘ se le denomina espacio de eventos (más “grande”) que existe de . S Supongamos que { }S = ∅ luego ( ) { } { }{ }, ,S S℘ = ∅ = ∅ ∅ y como es el

conjunto que tiene un solo elemento (al elemento vacío) decimos que

S

{ } 1S =

verificando posteriorme

= ∅

nte que ( ) 12 2 2SS℘ = = = , lo cual es consistente con la

observación acerca de la cardinalidad de ( )S℘ .


1.9. PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS Nos damos cuenta de que a menudo es necesario formar un conjunto que se conforma a su vez de otros conjuntos más simples. Si lanzamos un dado sabemos que hay seis resultados posibles, pero que pasa si lanzamos dos o más dados, ¿cuáles y cuántos serían los resultados? Si lanzamos una moneda claramente hay dos resultados viables águila ( ) o sol ( ) pero ¿que pasa si lanzamos la moneda cuatro veces por ejemplo? a s

Este tipo de situaciones nos es familiar de hecho en el ejemplo 1.7.2 ya lo

hicimos, es decir, podemos asociar al conjunto { }4 celdas− con el conjunto de todos los resultados posibles que se tienen al lanzar una moneda cuatro veces si es que construimos la asociación { } { }0,1 ,a s→ tal que { }0 1,S a s

0101

=

1001 saas→

posteriormente la consideramos para cada una de las cuatro celdas obteniendo así todos los resultados existentes, he aquí tres de ellos , y . 0010 aasa→ asas→

La idea de producto cartesiano de conjuntos es justamente formalizar este

concepto, lógicamente sirve para muchas más cosas de las que ocuparemos aquí, pero a final de cuentas es la reunión de elementos de dos o más conjuntos para crear uno solo que represente una situación determinada.

Supongamos que tenemos y A B conjuntos no necesariamente del mismo

espacio muestra, sean y ba A∈ B∈ , entonces al conjunto de todas las agrupaciones posibles de con le llamaremos producto cartesiano de con a b A B :

[1.9.1] { }( , ) :A B a b a A y b B× = ∈ ∈

Note que ahora los elementos de A B× son las parejas ( , )a b A B∈ × , además si cambiamos el orden de las entradas el elemento formado deja de ser parte de A B× , para ser más claro , más bien sería ( , )b a A B∉ × ( , )b a B A∈ × concluyendo así que no hay conmutatividad A B B× ≠ × A .

En dado caso de que se escribe A B= { }1 2( , ) : con 1, 2iA A a a a A i× = ∈ = , no

hay que confundir aquí pensando que necesariamente tienen que ser distintas las entradas de , pueden llegar a ser iguales (está permitida la repetición en este caso). A A×

Simplificando la notación escribimos 2A A A× = . También se define el producto

cartesiano para más de dos conjuntos, la definición general sería:

[1.9.2] { }1 2 1 21

( , , , ) : , 1, 2, ,n

i n n i ii

A A A A a a a a A i n=

= × × × = ∈ =∏ … …

Y en dado caso de que { }, 1, 2,3, ,i jA A i j n= ∀ ∈ … escribimos { }1 2 3 1( , , , , , ) : , 1, 2, ,n

n n iA a a a a a a A i−= ∈… … n=

CONJUNTOS 55

Ejemplo 1.9.1 Supongamos que tenemos una moneda { },S a s= , luego la arrojamos tres veces, si cayo sol, águila y sol registramos a los tres resultados como uno solo ( , la primer pregunta que nos haremos es ¿cuáles son todos los resultados de este tipo?

, , )s a s

Bien calculemos:

3 ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )a a a s a a a s a a a s

Ss s a s a s a s s s s s

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

nos damos cuenta de que resultó hasta cierto punto fácil encontrar a todos los elementos de para el caso tres, sin embargo es necesario establecer otro tipo de métodos para cuando ya es grande. También percibimos que la definición de producto cartesiano dice que en cada una de las entradas se pongan elementos del conjunto mas no dice que una vez puesto un elemento en una entrada (celda) este ya no se deba poner en otra (a menos que un conjunto dependa de otro vea 1.9.5), el ejemplo más claro es

S

,a a a

n

)∈ 3( , S Ejemplo 1.9.2 Es posible mezclar el producto cartesiano con las operaciones ya definidas entre conjuntos, una igualdad sería:

( ) { }{ }{ }{ }( ) ( )

( , ) : ,

( , ) : ,

( , ) : ,

( , ) : ( , ) , ( , )

A B C x y x A y B C

x y x A y B y C

x y x A y B x A y C

x y x y A B x y A C

A B A C

× ∩ = ∈ ∈ ∩

= ∈ ∈ ∈

= ∈ ∈ ∈ ∈

= ∈ × ∈

= × ∩ ×

×

Ejemplo 1.9.3 El objetivo de este ejemplo será que podamos asociar al producto cartesiano con un diagrama de árbol, con parejas en el plano o triadas en el espacio y posteriormente darnos cuenta de que la cardinalidad de tal producto cartesiano corresponderá con la cantidad de ramas que tiene el árbol, para poder llegar a la conclusión de que si trabajamos con conjuntos de cardinalidad finita, la cardinalidad de el producto cartesiano es igual la multiplicación de cada una de las cardinalidades de los conjuntos que lo definen.

Consideremos tres conjuntos con cardinalidad finita y veamos lo que pasa al variar la cantidad de elementos de los conjuntos e intercambiar el orden de dichos conjuntos en el producto cartesiano.

, , ,A B C

Adelantando un poco el resultado al que vamos a llegar, nuestra intención es

establecer un resultado conocido como el principio fundamental de conteo el cual está demostrado en el ejemplo 1.9.4.


Definamos , A B y veamos lo que pasa con A B× y A B× : (1) →

{ }{ }

( ) ( ) ( ){ }, , , , ,, ,

A aA B a x a y a z

B x y z

=→ × =

=

viendo que se da la igualdad 3 (1)(3)A B A B× = = = , y la gráfica nos muestra que los elementos de son puntos del plano. A B× (2) → Estos son los mismos conjuntos que ( con la diferencia que se invirtió el orden del producto cartesiano, dándonos cuenta que de igual manera los elementos cambiaron de orden generando otros nuevos, si graficáramos

1)

B A× tendríamos una línea horizontal en vez de vertical como ( . 1)

{ }{ }

( ) ( ) ( ){ }, , , , ,, ,

A aB A x a y a z a

B x y z

=→ × =

=

(3) → Aumentamos la cantidad de elementos de los conjuntos, sin embargo la cardinalidad del producto cartesiano sigue siendo la multiplicación de las cardinalidades de los conjuntos

{ }{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , ,

A a b c d a x a y a z b x b y b zA B

B x y z c x c y c z d x d y d z

= ⎧ ⎫⎪ ⎪→ × = ⎨ ⎬= ⎪ ⎪⎩ ⎭

además de que 12 (4)(3)A B× = = = A B , la gráfica correspondiente ya nos da la noción de la razón por la que se multiplican las cardinalidades de los conjuntos para obtener la cardinalidad del espacio muestra:

CONJUNTOS 57

(4) → Aquí ya trabajamos tres conjuntos eso nos dice que si quisiéramos graficar a los elementos del producto cartesiano tendríamos que hacerlo en el espacio, pero ocupamos un método alterno y es el del diagrama de árbol.

{ }{ }{ }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

,, , , , , , , , , , , , , , , , ,

, ,, , , , , , , , , , , , , , , , ,

,

A a ba x p a x q a y p a y q a z p a z q

B x y z A B Cb x p b x q b y p b y q b z p b z q

C p q

=⎧ ⎫⎪ ⎪= → × × = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭=

)

vemos que se cumple nuevamente la propiedad 12 (2)(3)(2)A B C A B C× × = = = .

Por otro lado si describimos a los elementos de A B C× × nos damos cuenta de que para la primer entrada del producto cartesiano tenemos cualquiera de los dos elementos de A para llenarla (dos ramas), luego para cualquiera de las dos opciones que se haya tomado se deben considerar ahora a cualquiera de los tres elementos con los que contamos del conjunto B . Llevando así seis ramas del árbol (tres por cada una de las dos iniciales 3+3=6), de esta manera para llenar la tercer entrada del producto cartesiano debemos considerar para cada una de las seis ramas a las dos opciones posibles que hay del conjunto C (dos por cada una de las seis 2+2+2+2+2+2=12), juntando así a las 12 ramas del árbol. Observe que cada rama del árbol corresponde a un elemento del producto cartesiano de los tres conjuntos.


(5) →

Supongamos { },A p q= determinaremos quién es apoyándonos en gráficas nuevamente. Por definición:

2 3, yA A A4

{ }2

1 2( , ) : , 1, 2iA A A a a a A i= × = ∈ =

es decir que tanto la primera como la segunda entrada pueden tener a cualquiera de los dos elementos de A :

1 2p p

a aq q⎧ ⎧

= =⎨ ⎨⎩ ⎩

entonces: { }2 ( , ), ( , ), ( , ), ( , )A p p p q q p q q=

Hay que observar que las parejas formadas admiten repetición de elementos

(como ya se había mencionado) en cada una de sus dos entradas y además se permutan; otro comentario por hacer es que nuevamente pasa 4A A A× = = A ; muy bien, ocupemos una interpretación geométrica. La idea ya se utilizó previamente sólo que aquí la describiremos más a fondo. Pondremos a todos los elementos del conjunto en cada uno de los ejes del plano cartesiano ( , )x y , de tal manera que las parejas formadas nos generan justamente a los elementos en este caso de A A× ; notamos que las parejas coinciden justamente con los vértices de un cuadrado, es decir:

En dado caso de tener a un conjunto con tres elementos formaríamos a un

cuadrado de tres por tres, con lo que pasaría 23A A× = ; de ahí la utilidad de asociar al producto cartesiano de un conjunto consigo mismo, con los vértices de un cuadrado (o con las parejas en el plano). Otro detalle muy importante por mencionar es que podemos establecer la fórmula que más adelante demostraremos:

Si , entonces nnA n A∈ =N A

basada hasta ahora solamente en los cálculos obtenidos (ver ejemplo 2.3.2).

CONJUNTOS 59

A continuación veamos que de igual forma se cumple para el caso y con el conjunto

3n ={ }, .A p q= Por definición:

{ }3

1 2 3( , , ) : , 1, 2,3iA A A A a a a a A i= × × = ∈ = de esta manera

1 2 3p p p

a a aq q⎧ ⎧

= =⎨ ⎨⎩ ⎩ q

⎧= ⎨⎩

así que

{ }3 ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )A p p p p p q p q p q p p p q q q p q q q p q q q= graficando en el espacio ( , , )x y z llegamos a:

Sólo hay que hacer notar que el orden en que se tomaron las entradas es en el

tradicional, respetando la regla de la mano derecha. Por otro lado, nos damos cuenta de que cada elemento del conjunto

puede ser asociado con los vértices, en este caso de un cubo y además de que A A A× ×

33 38 2A A A A A= × × = = = .

Si a cada elemento de por ejemplo 3A ( ), ,p p q y ( ), ,p q p los escribimos de la

siguiente manera 2ppq pqp q= p= y después sumamos a todos los que nos quedan como si fueran una expresión algebraica vemos que:

( )

3 2 2 2 2 2 2 3

3 2 2 3

3

3 3

ppp ppq pqp qpp pqq qpq qqp qqqp p q p q p q pq pq pq qp p q pq q

p q

+ + + + + + +

+ + + + + + + =

+ + + =

+

=


El objetivo que se persigue con todo esto es dar a notar que el producto cartesiano tiene interpretaciones geométricas, algebraicas y de conteo muy importantes.

Se deja al lector hacer el diagrama de árbol correspondiente a si 4A { },A p q= y

después de eso comparar las ramas que genera con los sumandos que surgen de desarrollar el binomio ( 4)p q+ notar que son la misma cantidad y sobre todo que hay

una correspondencia biyectiva entre los elementos de (las ramas del árbol) y los sumandos del desarrollo binomial concluyendo que son los mismo.

4A

Ejemplo 1.9.4 Hagamos en general la propiedad observada en el ejercicio anterior. Sean A y B conjuntos finitos A r= , B s= con ,r s∈N y sea el producto

cartesiano A B× , calculemos A B× .

{ }{ } { }{ }

{ }{ }{ }{ } { }{ }

1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2 1 2

( , ) :

( , ) : , , , , , ,

( , ), ( , ), , ( , ) : , , ,

( , ) : , , , ( , ) : , , ,

r s

r s

s r

r veces

A B a b a A y b B

a b a a a a y b b b b

a b a b a b b b b b

a b b b b b a b b b b b

s s s rs A B−

× = ∈ ∈

= ∈ ∈

= ∈

= ∈ + + ∈

= + + + = =

… …

… …

… … s

tomando en cuenta de que { }{ }1 2( , ) : , , ,i i sA a b b b b b= ∈ … es una partición de A B×

para { }1, 2,3, ,i∈ … r (demostrarlo) concluyendo que: [1.9.3] Si , entoncesA B A B A B∈ × =N la cual se puede extender para tres o más conjuntos: A B C A B C A B C× × = × = En general: [1.9.4] 1 2 1 2n nA A A A A× × × = A a la propiedad del producto cartesiano [1.9.4] le llamaremos principio fundamental de conteo.

Si recordamos el ejemplo 1.7.2 ya nos podemos dar cuenta de la razón por la que la cardinalidad de { }4 celdas− es una potencia del dos. Si { }0,1S = entonces:

{ } 44 44 celdas 2 16S S S S S S− = = × × × = = =

por lo que ya podemos asegurar { }celdas 2nn − = .

CONJUNTOS 61

Ejemplo 1.9.5 Sea finito tal que 0A ⊆ S 0A n= , luego { }0 1 2 3, , , , .nA a a a a= … Definamos algo que se conoce por recursividad. Sea { }1i i iA A a− −= − 1 con 1 i n≤ ≤ evento de y S { }0 .a∅ = Por ejemplo

supongamos que el conjunto es { }0 1 2 3 4, , , , 5A a a a a a= entonces , y

entendamos por {5n = 1 5i≤ ≤

}0a como el conjunto ∅ :

{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }{ } { }

1 0 0 1 2 3 4 5

2 1 1 2 3 4 5

3 2 2 3 4 5

4 3 3 4 5

5 4 4 5

, , , ,

, , ,

, ,

,

A A a a a a a a

A A a a a a a

A A a a a a

A A a a a

A A a a

= − =

= − =

= − =

= − =

= − =

Una vez que ya comprendimos la definición de notamos que la idea principal es ir eliminando un elemento de a la vez: primero

iA

0A { }1 0 0 0A A a A A0= − = −∅ =

{

(se deja estable), después se va eliminando un elemento a la vez en el recorrido del subíndice hasta llegar a i quedándonos con un solo elemento para n= }n nA a= .

{ } { }{ } { }

{ } { }

{ } { }{ } { }

1 0

2 1 1 2 3

3 2 2 3

1 1 1

1 2 2 1

1 1

, , , 1

, , 2

, , , ( 1

, 2

1

n

n

i i i i i n

n n n n n

n n n n

A A n

A A a a a a n

A A a a a n

A A a a a a n i

A A a a a

A A a a

− − +

− − − −

− −

= =

= − = = −

= − = = −

= − = = − −

= − = =

= − = =

…

…

… )

aplicando [1.9.4] obtenemos

( )( ) ( ) ( )(1 2 1 2

1 2 ( 1) 2n nA A A A A A

n n n n i

× × × =

= − − − − )1

si en dado caso i escribimos n<

( )( ) (

1 2 1 2

1 2 ( 1i iA A A A A A

n n n n i

× × × =

))= − − − −


Una observación muy importante es que en este ejemplo se eliminó la repetición de elementos ya que cada depende de iA 1iA − y entonces el elemento que se quitó de

ya no pertenece a . Un ejercicio al lector será crear un diagrama de árbol que represente este ejemplo para (ver ejemplo 1.4.6).

1iA − iA4=n

Otra cosa importante de este ejercicio es que al realizar la numeración de los elementos de fue desde 0A { }1, 2,3, ,i∈ … n a cualquier elemento al que le llamamos , esto quiere decir que los elementos que se van eliminando no necesariamente llevan un orden puede ser cualquiera del conjunto anterior en consecuencia se deben considerar todos los casos posibles.

0a A∈

ia

Si fuera 3n = tendríamos { }0 , ,A a b c= y el diagrama de árbol que representa este ejemplo es:

, donde cada una de las ramas nos define a los elementos del producto cartesiano cumpliéndose también la fórmula de la cardinalidad a la que llegamos

( )( )( )

1 2 3

1 2 3

( , , ), ( , , )( , , ), ( , , )( , , ), ( , , )

3 2 1 6

a b c a c bA A A b a c b c a

c a b c b a

A A A

⎧ ⎫⎪ ⎪× × = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

× × = =

Ejemplo 1.9.6 Demostremos que × ∼N N N Imaginemos primero que estamos trabajando en el primer cuadrante del plano cartesiano donde consideramos solamente a los puntos cuyas entradas sean números naturales, con una buena dosis de imaginación nos quedaría una especie de cuadrícula en todo el primer cuadrante en donde los vértices de los cuadros son elementos de

. Es algo muy parecido a y del ejemplo 1.9.3. ×N N (3) (5) Una vez visualizado el conjunto { }( , ) : ,a b a b× = ∈N N N definamos la asociación biyectiva de la manera siguiente: → ×N N N

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

1 2 6 7 15 16

3 5 8 14 17

4 9 13

10 12

11

1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2,1 2,2 2,3 2,4 2,5

3,1 3,2 3,3

4,1 4,2

5,1

donde queda demostrado lo que buscábamos.

CONJUNTOS 63

Ejercicios

1. Sea { }1, 2,3, ,9S = … el espacio muestra y los eventos:

{ }1, 2,3, 4,5A = { }4,5,6,7B = { }4,5,6,7,8,9C = { }1,3,5,7,9D = exprese esta situación mediante el uso de un diagrama de Venn, haga los siguientes cálculos

( )( )

, , , ,

, , , , , ,.

c c cA B C A D C D B C D A B C

A D A B D C D D C B C B D C DB C D

∪ ∪ − ⊕ ∪ ∪ ∩ ∩

× ∪ − − − ∩ ∩ ∩

∩ ∩

c

luego verifique

( )

( ) ( )

c c c cA B C A B C

B C D B C D B C B D C D B C D

C D C D D C

A D A D

C D C C D

∪ ∪ = ∩ ∩

∪ ∪ = + + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

⊕ = − ∪ −

× =

− = − ∩

por último determine al conjunto de los elementos del espacio muestra que se encuentran en

1

2

3

4

5

6

: a lo más dos conjuntos : al menos dos conjuntos : ningún conjunto: exactamente en un conjunto: los cuatro conjuntos: de uno a tres conjuntos

EEEEEE

2. Con el uso de las igualdades de conjuntos demostradas compruebe las siguientes

igualdades: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

A A B A B A B A B

B B A A B B A A B

A B A B A B B A

B A A B

= − ∪ ∩ − ∩ ∩ =∅

= − ∪ ∩ − ∩ ∩ =∅

∪ = − ∪ ∩ ∪ −

− ∩ − =∅

3. Demostrar las siguientes igualdades de conjuntos:

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (

F M F M F

F F M F M F F M F M F

)M F M F M F M F M F

− = − ∩

= − ∩ ∪ ∩ − ∩ ∩ ∩ =

⊕ ∩ ∩ =∅ ∪ = ⊕ ∪ ∩

∅


4. Compruebe que los dos diagramas son equivalentes:

5. Con base en las fórmulas demostradas para 1 2A A∪ y 1 2 3

comprobar: A A A∪ ∪

4

1 2 3 41

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

1 2 3 4

ii

A A A A A

A A A A A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A A

A A A A

=

= + + +

− ∩ − ∩ − ∩ − ∩ − ∩ − ∩

+ ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩

− ∩ ∩ ∩

∪4

6. Probar que [ ]0,1I = es infinito no numerable.

7. Sea { }, , , , , ,S a b c d e f g= determine cuál de las siguientes son particiones del espacio muestra:

{ } { } { }{ } { } { } { }{ }{ } { } { }{ } { } { } { } { } { } { } { }{ }{ } { } { }{ }

1 2

3 4

5 5

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , ,

P a c e b d g P a e g c d b e f

P a b e g c d f P a b c d e f g

P a b c d e f g P a b c d e f g

= =

= =

= = ∅

8. Si { }1, 2,S = 3, 4,5,6 determine los elementos de cada uno de los dos eventos

definidos y posteriormente compruebe que cada uno define una partición para el espacio muestra:

{ } { }{ } {

1

2

para 1, ,6

, 3 para 1,2,3i

i

A i i D

A i i i D

= ∈ =

= + ∈ =

…

}

9. Demostrar que si A r= y B s= entonces { }{ }1 2( , ) : ,i iA a b b b b= ∈ , , sb… con

el subíndice { }1,i∈ 2, , r… es una partición de A B× .

10. Si { }, ,S a= , ,b c d e determine ( )S℘ , luego verifique ( ) 2 SS℘ = y dado el

conjunto ( ){ }: E iiA E S= ∈℘ = para 0 5ni S≤ ≤ = = compruebe que se trata

de una partición de ( )S℘ y calcule iA para 0 i n≤ ≤ (recuerde que { } 1∅ = ),

con la finalidad de observar 0 1A A 2nnA+ + + = , por último compare cada

iA con los coeficientes binomiales de ( ) Sp q+ dándose cuenta de su igualdad.

CONJUNTOS 65

11. Graficar el diagrama de 4A si { }, y clasificar las ramas dependiendo de

el número de veces que aparece A p q=

p y comparar el número de ramas de cada

clasificación con el correspondiente coeficiente binomial de ( )4p q+ .

12. Hacer el diagrama de árbol para 4n = referente al ejemplo 1.9.5, observando que básicamente el producto cartesiano 41 2 3A A A A× × × definido, describe todas las posibles posiciones de n objetos en n entradas; por último verificar que el total de las ramas es ( )( )( )( )4 3 2 1 24= .

13. El ejercicio anterior ahora con los valores 5n = 2i = , observando que ahora el

producto cartesiano 1 2A A× describe todas las posibles posiciones de n objetos en i entradas y además su cardinalidad (número de ramas) es el producto de los números naturales desde 5n = hasta ( 1) 5 (2 1) 4n i− − = − − = , ( )(5 4 20.) =

14. Si del ejercicio anterior “convirtiéramos” por alguna razón, a cada elemento del

producto cartesiano en un conjunto cuyos elementos son justamente las entradas, ¿cuántos conjuntos distintos podríamos formar? ¿y qué operación aritmética habría que hacer para relacionar la cantidad de conjuntos obtenidos con la cantidad de elementos del producto cartesiano? para ser más claro:

Si entonces 1( , )a b A A∈ × 2 { }( , ) ,a b a b→

1 2A A∈ ×

, pero hay que darnos cuenta de que

también el elemento se convierte en ( , )b a { } { }( , ) , , .b a b a a b→ =

15. Proponga una fórmula que haga el conteo de los conjuntos que se generaron en el ejercicio anterior para valores de n e i n≤ en general.

Referencias [1] págs. 580, 610-614; [5] pág. 382; [6] págs. 83-84; [10] págs. 1-33, 57.

Capítulo 2

SUMATORIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA 2.1. INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior percibimos que hay ocasiones en que se tienen que escribir a menudo expresiones que tienen muchos sumandos, he ahí la necesidad de introducir una notación que represente de una manera más compacta a las expresiones; también observamos que en la mayoría de los casos los sumandos se determinan en función de un subíndice que lleva un recorrido bajo parámetros establecidos, con lo que nuestra notación llamada sumatoria, representa de manera clara tal recorrido. Respecto al concepto de inducción matemática, lo ocuparemos debido a que muchas de las fórmulas que hemos propuesto se han generalizado para cualquier natural n, asumiendo que siguen siendo válidas con el simple hecho de comprobarlas para los primeros naturales (como lo fue la cardinalidad del producto cartesiano o la de la unión de conjuntos disjuntos), sin embargo no tenemos la garantía al menos de manera formal, de que se cumplan para cualquier natural que se use aunque este sea demasiado grande. 2.2. SUMATORIA La notación de sumatoria describe cuáles serán los sumandos en cuestión y el recorrido que tendrá el subíndice de cada sumando, por ejemplo de la igualdad:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2n nP A A A P A P A P A∪ ∪ ∪ = + + +

los sumandos llevan un recorrido 1 i n≤ ≤ para el sumando ( )iP A , de esta manera se escribe:

( ) ( ) ( ) ( )1 21

n

i ni

P A P A P A P A=

= + + +∑

que es una forma totalmente análoga a la que se ocupó para la unión de varios conjuntos; se lee “sumatoria desde 1i = hasta i n= de el sumando en cuestión”. El recorrido de la i no necesariamente tiene que definir a un subíndice, no olvidemos que se trata de una asociación. A continuación veremos varios casos en los que se puede interpretar la notación de sumatoria y el recorrido de la i .

67


Ejemplo 2.2.1 Sumatoria vista como subíndice. Para cada uno de los casos identificar la relación entre el recorrido de la y los sumandos que va generando. i

n

2

1

112

1 213

1 2 31

con 1

con 1, 2

con 1,2,3

i

iii

iii

ii

a a i

a a a i

a a a a i

=

=

=

=

=

=

= =

= + =

= + + =

∑

∑

∑

en general

1 2 11

con 1,2,3, , 1,n

i i n ni

a a a a a a i n−=

= + + + + + + = −∑ …

Ejemplo 2.2.2 Sumatoria vista como potencia.

1 21 1

1 1

i i

i i

a a a a a= =

= = +∑ ∑

en general

1 2 3 1

1

ni i

ia a a a a a a−

=

= + + + + + +∑ n n

2n

Ejemplo 2.2.3 Sumatoria vista como base.

( )2 2 2 2 2 2

11 2 3 1

n

ii i n

=

= + + + + + − +∑

Ejemplo 2.2.4 Sumatoria de una constante.

1 2 3

1 1 1

2 3i i i

c c c c c c c c c c c= = =

= = + = = + + =∑ ∑ ∑

en general

[2.2.1] 1

n

i n sumandos

c c c c nc= −

= + + + =∑

SUMATORIA E INDUCCIÓN MATEMÁTICA 69

Hay que tener cuidado con el recorrido de la i, ya que puede modificar las cosas,

como los siguientes casos:

( )( )

4 3

3n

i n sumandos

c c c c n c= − −

= + + + = −∑

( )( )

0 1

1n

i n sumandos

c c c c n c= + −

= + + + = +∑

)

n

n

es posible establecer relaciones entre las sumatorias para cuando hay cambio de recorrido, veamos:

( ) (

1 2 1 11

1 2 1 1

1 1

n

i k k ni

k k n

k n

i ii i k

a a a a a a a

a a a a a a

a a

+ −=

+ −

= = +

= + + + + + +

= + + + + + +

= +

∑

∑ ∑

luego la siguiente igualdad es válida para 1 k n≤ ≤

1 1 1

n k n

i ii i i k

a a= = = +

= + ia∑ ∑ ∑ [2.2.2]

una aplicación de este resultado que nos será de mucha utilidad es la que surge de [1.7.2]; reescribiendo la igualdad con la notación de sumatoria llegamos a:

( )1 21

n

n ii

P A A A P A=

∪ ∪ ∪ =∑ ( )

i

i

aplicando el resultado anterior

( ) ( ) ( )1 1 1

n k n

i ii i k

P A P A P A= = +

= +∑ ∑ ∑

en conclusión

[2.2.3] ( ) ( ) ( )1 1 1

n n k

i ik i i

P A P A P A+ = =

= −∑ ∑ ∑o equivalentemente

( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2k k n nP A A A P A A A P A A A+ +∪ ∪ ∪ = ∪ ∪ ∪ − ∪ ∪ ∪ k claro siempre y cuando se cumplan las hipótesis de [1.7.2] Ejemplo 2.2.5 Sumatoria cuyo recorrido está descrito en términos del conjunto de índices. Supongamos que { }1, 2,3, 4,5,6D = entonces la notación siguiente se interpreta como:


3 3 3 3 3 31 2 3 4 5 6x D

x∈

3= + + + + +∑

También se puede ocupar para establecer el signo del sumando:

0 1 2 30

( 1) ( 1)i n

i ni n

ia a a a a a

=

=

− = − + − + + −∑

Una expresión que de igual forma adquirirá importancia más adelante es:

0

( ) (0) (1) (2) ( 1) ( )n

x

p x p p p p n p n=

= + + + + − +∑

aplicando también [2.2.2] llegamos a:

1 0 0( ) ( ) ( )

n n k

x k x xp x p x p

= + = =

= −∑ ∑ ∑ x

Ejemplo 2.2.6 Daremos una última interpretación de sumatoria antes de comenzar a demostrar propiedades.

Supongamos que tenemos dos subíndices que cumplen con la condición , con de tal manera que la siguiente sumatoria para se

interpreta como: , ,i j k ∈N 1 i j k n≤ < < ≤ 4n =

1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4

i ji j

i j ki j k

a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a<

< <

= + + + + +

= + + +

∑

∑

en general

1 2 1 3 1 4 1 1 1 2 3 2 4 2 11

i j n n n n ni j n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a− −≤ < ≤

= + + + + + + + + + + +∑

lo cual nos resulta útil porque escribiremos de manera más simple una generalización de la cardinalidad de la unión de eventos (ver ejercicio 5 capítulo 1): n

( ) 11

1

1n

ni i i j i j k

i i j i j ki

A A A A A A A A A−

< < <=

= − ∩ + ∩ ∩ − + − ∩ ∩∑ ∑ ∑∪ n

Hasta ahora sólo hemos hablado de las distintas formas en que puede ser interpretada la notación sumatoria, sin embargo no sirve sólo para simplificar escritura también tiene propiedades como la que vimos en [2.2.1] y [2.2.2], a continuación veamos unas propiedades y con ello demostremos una fórmulas que regularmente son útiles.


Sabemos que en la suma hay conmutatividad, ésta propiedad en sumatoria queda expresada como:

1 2 11

1 2

n

i ii

n n i

n

a a a a a a

a a a a a

−=

−

= + + + + + +

= + + + + + +

∑1

11

n n

n ii

a − +=

= ∑

porque al valer la expresión 1i = 1 1 1n i n n− + = − + = , cuando 2i = la expresión vale uno menos que n es decir n i y así sucesivamente hasta llegar a i . Por lo tanto:

1 1n= −− + n=

11 1

n n

i ni i

a a i− += =

=∑ ∑ [2.2.4]

Una constante se puede sacar de la sumatoria:

( )

1 2 11

1 2 1

1

n

i ii

i n n

n

ii

ca ca ca ca ca ca

c a a a a a

c a

−=

−

=

= + + + + + +

= + + + + + +

=

∑

∑

n n

i

1 1

n n

ii i

ca c a= =

=∑ ∑ [2.2.5]

La sumatoria de una suma es la suma de las sumatorias:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

1 1 2 21

1 2 1 2

1 1

n

i i i i n ni

i n i

n n

i ii i

a b a b a b a b a b

a a a a b b b b

a b

=

= =

+ = + + + + + + + + +

= + + + + + + + + + + +

= +

∑

∑ ∑

)n

1

n

ii=∑

[2.2.6] ( )1 1

n n

i i ii i

a b a b= =

+ = +∑ ∑ Con estas propiedades ya nos es suficiente establecer fórmulas que nos permitan realizar cálculos de manera mucho más simplificada. Por ejemplo, sabemos que:

4

11 2 3 4 10

ii

=

= + + + =∑

es un resultado francamente sencillo, pero qué pasaría si ahora nos preguntamos por: 200

11 2 3 200 ?

ii

=

= + + + + =∑

lógicamente suena absurdo realizar la suma directa.


La solución fue propuesta por un niño llamado Gauss, hace unos cuantos años.

Sea ? , entonces multiplicando por dos ambos miembros de la igualdad

obtenemos: 1i=

1i

n

i=∑

( )1 1

2 ? 2n n n

i i ii i

= = =

= = +∑ ∑ ∑

aplicando [2.2.4] sobre uno de los dos sumandos llegamos a:

( ) ( )1 1

2 ? 1n n

i ii n i

= =

= + − +∑ ∑

aplicando [2.2.6] , [2.2.5] y [2.2.1] sobre el segundo sumando y cancelando cuando sea necesario escribimos:

( ) ( )1 1 1 1

1 1 1 1

2

2 ? 1

( 1) 1

( 1)

n n n n

i i i i

n n n n

i i i i

i n i

i n i

n n n n

= = = =

= = = =

= + + − +

= + + − +

= + = +

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

concluyendo que ( 1?2

n n +=

) , por lo tanto:

[2.2.7] 1

( 1)2

n

i

n ni=

+=∑

en particular ya podemos resolver:

200

1

200(200 1) 402001 2 3 200 201002 2i

i=

+= + + + + = = =∑

Obtengamos más fórmulas de este tipo. Pero antes veamos otra propiedad de la sumatoria:

( ) ( ) ( ) ( ) (

( ) ( ) ( )

1 1 0 2 1 1 21

0 1 1 2 2 1 1

0

n

i i n n n ni

n n n

n

a a a a a a a a a a

a a a a a a a aa a

− −=

− −

− = − + − + + − + −

= − + − + − + + − +

= −

∑ )1− −

[2.2.8] ( )1 01

n

i i ni

a a a a−=

− = −∑

Estableceremos una fórmula para la expresión 2

1

n

i

i=∑ basándonos en [2.2.8] y en

la fórmula recién obtenida [2.2.7].


Supongamos , quiere decir por ejemplo que: 3ia i=

( )33 3 30 1 2 10 0, 1 1, 2 8, 1 ,i na a a a i a−= = = = = = = − = 3n

3

entonces sustituyendo en [2.2.8] escribimos: ( )3 3

1( 1)

n

ii i n

=

− − =∑

desarrollando

( ) ( ) (

( )

)3 3 3 3 3 2 3 3 2

1 1 1

2 2 2

1 1 1 1

( 1) ( 3 3 1) 3 3 1

( 1)3 3 1 3 3 3 32

n n n

i i i

n n n n

i i i i

n i i i i i i i i i i

n ni i i i n i n

= = =

= = = =

= − − = − − + − = − + − +

+= − + = − + = − +

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

despejando

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )

2 3 3 3 2

1

3 2 2 2

1 ( 1) 1 13 2 3 ( 1) 2 2 33 2 6 61 1 12 3 2 3 1 2 3 16 6 6

( 1)(2 1)6

n

i

n ni n n n n n n n n n

n n n n n n n n n

n n n

=

+⎛ ⎞= + − = + + − = + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + = + + = + +

+ +=

∑ 3 2n

2

1

( 1)(2 1)6

n

i

n n ni=

+ +=∑ [2.2.9]

usando la técnica anterior se deja al lector demostrar las fórmulas:

2 23

1

( 1)4

n

i

n ni=

+=∑ ;

24

1

( 1)(2 1)(3 3 1)30

n

i

n n n n ni=

+ + + −=∑

Otra de las fórmulas importantes es la que surge de una progresión geométrica, no ahondaremos mucho en el tema ya que sólo nos interesa la igualdad. Sea para i

ia r= { }1r∈ −R , sustituyendo en [2.2.8] obtenemos:

( )1

1

1n

i i n

i

r r r−

=

− = −∑

desarrollando el lado derecho de la igualdad:

( )1 1 1

1 1 1 1

1

1

1

( 1)

n n n nn i i i i i

i i i in

i

i

r r r r r r r

r r

1

1

ni

i

r− − −

= = = =

−

=

− = − = − = −

= −

∑ ∑ ∑ ∑

∑

−

=∑

y como ya sabemos que pasamos dividiendo el factor, y finalmente multiplicando por

1 0r − ≠{ }0∈ −a R ambos lados de la igualdad llegamos a:

1

1

( 11

nni

i

a rarr

−

=

)−=

−∑ [2.2.10]

Finalmente la fórmula de la progresión aritmética:


Sea con entonces ,a r∈R 0r ≠

( )

( )

1 1 1 1 1

0 0 0 0 1

( 1)( ) 12 2

2 ( 1) 2 ( 1)2 2

n n n n n

i i i i i

n n na ir a r i a r i na r n a r

a n r nn a n r

− − − − −

= = = = =

− −⎛ ⎞+ = + = + = + = +⎜ ⎟⎝ ⎠

+ −⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

[2.2.11] ( ) ( )1

02 ( 1)

2

n

i

na ir a n r−

=

+ = + −∑

Ejemplo 2.2.7 Calculemos la suma 97 ; aquí podemos utilizar a la vez 98 99 100 204 ?+ + + + + =

ia i[2.2.2] y [2.2.7] propongamos = :

204 96 204

1 1 9i i i

i i= = =

= +7

i∑ ∑ ∑

luego despejamos:

204 204 96

97 1 1

204(205) 96(97) 20910 4656 162542 2i i i

i i i= = =

= − = − = − =∑ ∑ ∑

Ejemplo 2.2.8 Calculemos la suma de los primeros cien números impares 1 3 5 199+ + + + ; para resolverlo necesitamos [2.2.11] dándole los valores 1a = 2r = :

( ) ( )100 1

0

1001 2 1 3 5 199 2 2(100 1) 100002i

i−

=

+ = + + + + = + − =∑

Ejemplo 2.2.9 Calculemos el valor de la siguiente suma para diez sumandos:

2

5 5 53 3 3n+ + +

note que se aplica [2.2.10] para 1 3r = 5a = :

( ) ( ) ( )

( )( )( )( ) ( )

1

1 1 1 1

1 3 15 1 5 55 5 1 3 1 33 3 3 3 1 3 1

3 1 3 15 5 51 3 1 1 33 2 2 2

nn n n ni i

i ii i i i

n

n n

−

= = = =

−

⎛ ⎞−= = = = ⎜ ⎟

⎜ ⎟−⎝ ⎠⎛ ⎞−⎜ ⎟= − = − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑

evaluando para 10n =


( )10

10

1

5 5 1476201 33 2 59049i

i

−

=

= − =∑

Ejemplo 2.2.10 Supongamos que son valores obtenidos en un parque de diversiones que representan el número de veces en que ocho primos (Valo, Cristian, Mariana, Fabi, Pao, Majo, Isa, Ale) se han subido en la montaña rusa desde que se inauguró. El parque necesita la información, para saber el promedio en que una persona sube a cada una de sus atracciones y así decidir cuál juego es más popular, calculemos el dato respecto a la montaña rusa.

1 2 3 4 5 6 7 82, 4, 15, 16, 6, 4, 1, 7x x x x x x x x= = = = = = = =

Definimos a:

1

1:n

ii

x xn =

= ∑ [2.2.12]

como el promedio de valores, entonces: n

( )

( )

8

1 2 81

1 18 81 52 4 15 16 6 4 1 7 6.875 78 8

ii

x x x x x=

= = + + +

5= + + + + + + + = = ≈

∑

lo cual significa que en promedio cada persona se sube 6.875x = veces a la montaña rusa, casi ; claro que si quisieran un dato más real tendrían que conseguir más información.

7

Ejemplo 2.2.11 Demostraremos que:

( ) ( )2 2

1 1

n n

i ii i

2x x x n= =

− = −∑ ∑ x [2.2.13]

desarrollando y de [2.2.12] observando que 1

n

ii

x nx=

=∑ queda la demostración buscada:

( ) ( )( )( )

( )

( ) ( )

( )

2 22

1 1

22

1 1 1

22

1

2 22

1

22

1

2

2

2

2

n n

i i ii i

n n n

i ii i i

n

iin

iin

ii

x x x xx x

x x x x

x xnx n x

x n x n x

x n x

= =

= = =

=

=

=

− = − +

= − +

= − +

= − +

= −

∑ ∑

∑ ∑ ∑

∑

∑

∑


Hasta este momento se han discutido casos para cuando el recorrido de la i es finito, sin embargo es posible considerar un recorrido infinito numerable. Los resultados que presentaremos al respecto no serán demostrados debido a que son temas propios de cálculo (asumiendo que se tiene cierto conocimiento), la idea más bien será aplicarlos para nuestros intereses. Hablaremos en particular de la modificación que sufre [2.2.10] bajo las condiciones y además la referente al recorrido 1 1r− < < { }1, 2,3, , ,n∈ = … …i D . Para comprender el sentido real que tienen estas nuevas condiciones platiquemos de uno de los problemas clásicos del cálculo a manera no tan formal. En una ocasión Marcela se encontraba jugando con una pelota (que rebotaba bastante bien), la dejaba caer desde una cierta altura y contaba el total de rebotes. Pero en un momento ella se hizo una pregunta muy simple ¿cuál sería la distancia total recorrida por la pelota respecto a la vertical?, es decir, si medía la distancia desde que la dejaba caer y le sumaba la altura que alcanzaba después de rebotar por primera vez y luego le volvía a sumar esa misma distancia debido a la caída y en seguida aumentaba la nueva altura alcanzada después del segundo rebote y así sucesivamente, hasta que la pelota se detenía, obtenía la distancia total recorrida. Aquí representa el número de rebotes antes de que se detenga.

n

Lo que hizo fue dejarla caer desde un metro de altura y gracias sus mediciones determinó que cada que rebotaba alcanzaba la mitad de la altura anterior:

con esto ya podía comenzar a hacer sus cálculos, pero hubo otra pregunta realmente interesante ¿qué pasaría si se considera que la pelota “nunca” deja de rebotar?, ¿es posible aún así medir “la distancia total recorrida”? Sabemos que en el aspecto físico


esto no pasa, pero matemáticamente tiene mucho sentido ya que si cada vez la altura alcanzada es la mitad de la anterior de todas formas habrá una cantidad distinta a cero, entonces “nunca” dejaría de rebotar, además los rebotes gradualmente son cada vez más pequeños (si fueran cada vez más grandes definitivamente no habría forma de expresar un resultado pues como continúan los rebotes, en algún momento la suma de las alturas superaría al resultado propuesto) por lo tanto, en este caso tienen mucho sentido las preguntas de Marcela. Calculemos entonces. Debemos recordar que después del primer rebote las cantidades se deben sumar al doble (una por la subida y otra por la bajada). De esta manera el resultado buscado quedaría inicialmente expresado como:

1 2 31 1 1( ) 1 2 2 2 22 2 2 2

t nd n = + + + + +1

con representando la distancia total al rebote n , luego: ( )td n

( ) ( ) ( )( )

1 2 3

1

1 1

1

1 1 1 1( ) 1 22 2 2 2

1 2 11 2 1 2 1 1 2 1

1 2

132

t n

nn ni i

i i

n

d n

−

= =

−

⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

−= + = + = +

−

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

observe que aplicamos [2.2.10] y sobre todo 1 2r = justamente la condición responsable que sean cada vez más pequeños los rebotes (matemáticamente el hecho de que los sumandos sean cada vez más pequeños no garantiza que la “suma” total tenga resultado, ahí radica la importancia de 1 1r− < < para nuestro objeto de estudio).

Hagamos una pequeña tabla para 11( ) 3

2

n

td n−

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

con su respectiva gráfica:

n ( )td n 1 2 2 2.5 3 2.75 4 2.875 5 2.9375 6 2.9688 7 2.9844 8 2.9922 9 2.9961 10 2.99805 15 2.99994


hay un detalle muy importante; a pesar de que la cantidad de rebotes aumenta, la distancia total recorrida por la pelota no pasa de 3 metros (inclusive si la pelota diera una cantidad extremadamente grande de rebotes). Resultado que encuentra su justificación en cálculo, el cual se puede expresar con límites, se interpreta: “al aumentar en forma ilimitada los rebotes, el valor de es ”, o “límite cuando ( n tiende al infinito) de es igual a 3 ”.

td 3 n →∞( )td n

lim ( ) 3tn

d n→∞

=

sustituyendo y separando debido a una propiedad de límites, decimos que:

( )

( )

( )

( )

1

1

1

1

1

1

1

1

lim 1 1 2 3

lim1 lim 1 2 3

1 lim 1 2 3

lim 1 2 2

ni

n i

ni

n n in

i

n in

i

n i

−

→∞=

−

→∞ →∞=

−

→∞=

−

→∞=

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ =

+ =

=

∑

∑

∑

∑

en términos más simples

1 2 3 11 1 1 1 11 22 2 2 2 2n n−+ + + + + + + =

o también se escribe

( ) ( )1 1

1

1 2 1 2 2i i

i i D

∞− −

= ∈

= =∑ ∑

con { }1, 2,3, , , .D n= … … Por otra parte, un resultado primordial, es que nada sería posible sin la condición

, porque también tenemos la garantía de que pasa: 1 r− < <1

lim 0n

nr

→∞=

siempre y cuando se cumpla dicha condición. Veamos la razón:

1

1

( 1) (lim lim1

n nni

n ni

a r a rarr

−

→∞ →∞=

−= =

−∑0

1)1 1 1

a ar r

− −= =

r− − −

sustituyendo con 1a = y 1 2r =

( ) 1

1

1 1lim 1 2 21 112 2

ni

n i

−

→∞=

= = =−

∑

obteniendo el resultado de manera directa para una cantidad infinita numerable de rebotes.


rebotes simplemente aplicaría y bajo estas circunstancias, sí podría Concluyendo que si Marcela quisiera calcular la distancia total para una cantidad finita de ( )td n

3 grconsiderar que la pelota “nunca” deja de rebotar n →∞ y aún puede asegurar que la suma tendría sentido e inclusive ( )td n → acias a que 1 1.r− < < Terminando así con el siguiente resultado:

La progresión geométrica infinita 3 1 2

1

i

iar a ar ar ar

∞−

=

= + + + +∑

tiene sentido (converge) si y su suma es 1 1r− < <

1i aar∞

− =1 1i r= −∑ [2.2.14]

Ejemplo 2.2.12

Calculemos 10 20 40 8053 9 27 81

− + − + +

lo primero que haremos será buscar un patrón en la expresión que nos permita aplicar

.2.14], al ver con detenimiento notamos que cada numerador es múltiplo de cinco y [2las fracciones restantes son una potencia de menos dos tercios:

22 4 8 16 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛3 42 25 5 5 5 5 5 5 5 5 5

3 9 27 81 3 3 3 3⎞ ⎛ ⎞− + − + + = + − + − + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

al cumplirse la condición ( )1 2 3− < − <1 es posible emplear [2.2.14]

( ) ( )1

1

5 55 2 3 31 2 3 5 3

i

i

∞−

=

− = = =− −∑

Ejemplo 2.2.13

e estamos trabajando con un valor comprendido entre cero y uno 1 y se desea calcular

Supongamos qu0 p≤ ≤

0(1 ) ?

xp p

=

x∞

− =∑

lo primero por hacer es verificar si es posible ocupa y para esto sería suficiente con garantizar siendo

r [2.2.14]1 1r− < < 1 .r p= −

la su n cuest sería igual a cero. Supongamos ego

Si 0p = matoria e ión,1

10 1p< <

0 1 1 0 1 1 1 1p p p⇒ > − > > − ⇒ − < − <> − > − entonces ya podemos escribir lu1

0 1

(1 ) (1 ) 1)

x x p pp p

∞ ∞− = =

1 (1x x

p p p p= =

− = − =− −∑ ∑

encontrando el resultado buscado.


2.3. INDUCCIÓN MATEMÁTICA Como ya mencionamos al inicio de este capítulo, ocuparemos el concepto de inducción matemática para fórmulas que inicialmente son válidas para los primeros naturales (que éstas admitan) y que se quieren generalizar (una vez observado el patrón), demostrando que siguen siendo válidas para cualquier natural.

Una de las fórmulas de las que hablamos por ejemplo fue:

2

1 221

i iii

A A A≤=

= − ∩∑∪ A

que claramente es válida para y enseguida probamos para 2n = 3n = :

3

1 23 31

i i i ji i ji

A A A A A A≤ < ≤=

= − ∩ + ∩ ∩∑ ∑∪ 3A

pero a pesar de que establecimos la forma generalizada (una vez observado el patrón algebraico):

( ) 11

1

1n

ni i i j i j k

i n i j n i j k ni

A A A A A A A A−

≤ < ≤ < < ≤=

= − ∩ + ∩ ∩ − + − ∩ ∩∑ ∑ ∑∪ nA

nunca demostramos que sigue siendo válida para cualquier natural mayor que tres.

Por eso es necesario el procedimiento de inducción matemática debido a que hay

ocasiones en que observamos una propiedad o igualdad que se cumple para los primeros valores naturales, asumiendo en consecuencia que todo el tiempo seguirá siéndolo, cuando no todas las veces ocurre.

El concepto de inducción matemática se basa en una idea muy simple. Supongamos que a Rosa, le gusta mucho jugar con piezas de dominó (ella tiene

muchas), lo que hace es ponerlas en fila para tirarlas; pero tiene tantas que en ocasiones a pesar de que ya hayan caído unas cuantas se detiene el proceso (una pieza no tiró a la otra) así que no le basta con sólo ponerlas en fila, necesita la garantía de que estén todas a una distancia considerable para que pueda terminar el juego.

El proceso descrito anteriormente es el siguiente:

En la fila de piezas de dominó lo que Rosa nunca quiere que pase es que haya dos fichas lo suficientemente lejanas entre ellas como para que una no tire a la otra; Supongamos que numeramos las piezas y han caído hasta el momento , por alguna razón al caer la pieza no tira a la pieza

nn 1n + ( 1); quiere decir que el proceso

de que se cayeran todas las piezas no terminó; matemáticamente se entiende que una fórmula o igualdad deja de ser válida a partir del valor

n n⇒ +/

1n + por lo que no es consistente para todo natural.


Entonces lo que debe hacer Rosa, es que asumiendo que una pieza n caiga,

tener la garantía (demuestre) de que la siguiente 1n + se encuentre lo suficientemente cerca como para también hacerlo ( ): 1n n⇒ +

De esta manera ya tiene a todas las piezas de dominó bien colocadas, por lo que

ya sólo es suficiente empujar a la primera 1n = , puesto que ya se demostró quiere decir que la segunda ficha caerá 1 1 , pero como la dos ya sabemos que cae entonces la tres lo hará y así sucesivamente, por lo que Rosa ya tiene la garantía de que todas las piezas van a caer:

1n n⇒ +1⇒ + 2=

3=2 2 1⇒ +

Si asociamos el hecho de que “una pieza caiga” con que una fórmula sea válida (verdadera) para un natural (

nan ( ) válidF n − ) podemos entender más claramente

el proceso a seguir para alcanzar el objetivo principal: ( ) válidaF n − .n∀ ∈N

Con todo esto podemos formalizar el concepto de inducción matemática: Sea una proposición matemática abierta (o conjunto de tales proposiciones

abiertas), en la que aparece una o varias veces la variable , tal que ( )F n

n .n∈N Si

• (1) válidaF − y además • ( ) válida ( 1) válidaF n F n− ⇒ + −

entonces ( ) válidaF n − .n∀ ∈N Llegó el momento de hacer ejemplos, definitivamente necesarios para terminar de comprender el concepto, sobre todo aterrizado a la notación matemática; nos concentraremos en las fórmulas que hemos manejado por orden de dificultad. Para terminar esta discusión es importante aclarar que no necesariamente todas las fórmulas tienen que evaluarse en uno, pueden comenzar desde cualquier otro natural. Se denomina hipótesis inductiva a ( ) válidaF n − de la segunda condición.


Ejemplo 2.3.1 Generalicemos la ley de De Morgan, para todo natural (se puede generalizar también para un conjunto infinito no numerable).

Supongamos que nuestra proposición es: 1 1

( ) :cn n

ci i

i i

F n A A= =

⎧ ⎫=⎨ ⎬

⎩ ⎭∪ ∩

así que comencemos con el proceso, probemos para:

(2) :F

Ya está demostrado en el ejemplo 1.5.2 2 2

1 1

cc

i ii i

A A= =

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∪ ∩

?( ) ( 1) :F n F n⇒ +

Asumiendo que es válida (o verdadera), demostremos que la igualdad sigue siendo verdadera para el siguiente natural, y esto significa que podamos tener la misma estructura algebraica pero en vez de tener , aparezca

( )F n

n 1n + :

1 1?

1 1

( 1) :cn n

ci i

i i

F n A A+ +

= =

⎧ ⎫+ =⎨ ⎬

⎩ ⎭∪ ∩

Demostremos entonces:

1 1

1 11 1 1 1

cc cn n n nc c c

i i n i n i ni i i i i

A A A A A A A+ +

+ + += = = =

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∪ = ∩ = ∩ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎩ ⎭ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭∪ ∪ ∪ ∩ ∩1

1

nciA

=

note que en el primer paso solamente se separó la unión, en el segundo se aplicó la validez de , en el tercero ya se ocupó la validez de que nos trajo como consecuencia (en el último paso) la validez de

(2)F ( )F n( 1)F n + , ( )F n válida∴ − .n∀ ∈N Se

deja al lector realizar este mismo procedimiento para:

1 1

( ) :cn n

ci i

i i

F n A A= =

⎧ ⎫=⎨ ⎬

⎩ ⎭∩ ∪

Ejemplo 2.3.2 Sea ( ) : nnF n A A= , con A r= ∈N probemos que ( ) válida .F n n− ∀ ∈N

(1) :F 11A A= , es verdadera.

(2) :F

{ }21 2( , ) : 1, 2iA A A a a a A i= × = ∈ = . Cada tiene valores posibles, o sea

que por cada uno de los valores que puede adquirir existen de (siguiendo la idea del diagrama de árbol), con lo que hay

ia

1a

r

r r 2a

r veces

r r r r−

+ + + + elementos , implica A× A


22A A rr r A× = = = , (2) válida.F∴ −

(3) :F

{ }31 2 3( , , ) : 1, 2,3iA a a a a A i= ∈ = .

Si consideramos a las dos primeras entradas contamos con formas de llenarlas, al momento de agregar la tercer entrada tenemos opciones distintas por cada una de las previas, por lo que la cantidad de elementos de

2rr

2r 3A se calcula: 32 2 2 2 2 3

r veces

r r r r rr r A−

+ + + + = = =

demostrando que (3) válida.F −?

( ) ( 1) :F n F n⇒ + 11 n nn n nA A A A A A A A ++ = × = = =

note que en el primer paso se separó el producto cartesiano en el segundo se ocupó la validez de [1.9.3] en el tercero se utilizó y por último se demostró la igualdad, concluyendo así que es verdadera

( )F n( 1F n + ) ( ) válida .F n n∴ − ∀ ∈N

Ejemplo 2.3.3 Debido a su gran importancia en el siguiente capítulo probemos:

1 2 1 2( ) : n nF n A A A A A A× × × =

en el ejemplo 1.9.4 ya se demostró y así que sólo nos preocuparemos por demostrar la validez de

(2)F (3)F

1 2 1 1 2( 1) : n n n nF n A A A A A A A A 1+ ++ × × × × = suponiendo verdadera ( ).F n

?( ) ( 1) :F n F n⇒ +

( )1 2 1 1 2

1 2 1

1 2 1

n n n n

n n

n n

A A A A A A A A

A A A A

A A A A

1+ +

+

+

× × × × = × × × ×

= × × ×

=

( ) válida .F n n∴ − ∀ ∈N Ejemplo 2.3.4

Sea 2

1

( 1)(2 1( ) :6

n

i

n n nF n i=

)+ +=∑

aquí es importante identificar quién sería la fórmula para 1n +

12

1

( 1)(( 1) 1)(2( 1) 1( 1) :6

n

i

n n nF n i+

=

)+ + + + ++ =∑

demostremos:


(1) :F

Por un lado nos da , por el otro lado de la igualdad tenemos: 1

2 2

11

ii

=

= =∑ 1

1(1 1)(2(1) 1) (2)(3) 16 6

+ += =

y como se cumple la igualdad entonces la fórmula es válida para 1n = (que el lector pruebe ) (2) válidaF −

?( ) ( 1) :F n F n⇒ +

( )

212 2 2 2

1 1

2

( 1)(2 1) ( 1)(2 1) 6( 1)( 1) ( 1)6 6

( 1) (2 1) 6( 1) ( 1)(2 7 6)6 6

( 1)( 2)(2 3) ( 1)(( 1) 1)(2( 1) 1)6 6

n n

i i

n n n n n n ni i n n

n n n n n n n

n n n n n n

+

= =

+ + + + + += + + = + + =

+ + + + + + += =

+ + + + + + + += =

∑ ∑

la validez de se ocupó en el segundo paso. ( )F n ( ) válida .F n n∴ − ∀ ∈N Ejemplo 2.3.5 Ahora veamos una situación que muestra la importancia de la inducción matemática, porque seguramente el lector siente redundante las demostraciones hechas.

Supongamos 2

1

2( ) :2

n

i

n nF n i=

+ +=∑ , lo cual de antemano sabemos que es

falso, sin embargo hagámoslo. ?

( ) ( 1) :F n F n⇒ + 2 21

1 1

2 2

2

2 2( 1) ( 1)2 2

2 2 2 2 1 ( 1) 22 2

( 1) ( 1) 22

n n

i i

n n n n ni i n n

n n n n n n

n n

+

= =

2( 1)+ + + + += + + = + + =

+ + + + + + + + += =

+ + + +=

∑ ∑ +

quiere decir esto que aunque por otro lado está [2.2.7], se supone entonces que hay una igualdad algebraica y si desarrollamos un poco llegamos a:

( ) ( 1)F n F n⇒ +

2

2 2

2 ( 12 2

22 0

n n n n

n n n n

)+ + +=

+ + = +=

definitivamente hay algo que está incorrecto. Seguramente el lector se dio cuenta de que faltó (1)F

21

1

2 1 1 21 ;2 2i

n ni=

+ + + += =∑ 2=


F (1) es ¡falso! Definitivamente aunque tengamos todas las piezas bien colocadas sino empu

jemplo 2.3.6

ncontremos una fórmula para )3 , una vez hecho

jamos a la primera ¡nunca se van a caer las demás! suponiendo que no tiembla claro. E E ( ) (3 3 3 32 4 6 2( 1) 2n n+ + + + − +

eriormente calculemos para 20ndemostremos por inducción y post = . Se deja al lector probar:

2 23

1

( 1)( ) :4

n

i

n nF n i=

+=∑

ya que lo ocuparemos para este ejemplo.

Primero veamos que la expresión en cuestión se puede escribir en notación de mato

3n

por lo que ya es más simple desarrollar

su ria de la forma siguiente:

( )3 3n

( ) ( )3 3 3

12 2 4 6 2( 1) 2

ii n

=

= + + + + − +∑

( ) ( )2 2

3 3 3 3n n

3 2 2

1 1 1

( 1)2 2 2 8 2 ( 1)4

n

i i i

n ni i i n n= = =

+= = = = +∑ ∑ ∑

por lo tanto la fórmula a demostrar por inducción es: 2( )3 2

n

1( ) : 2 2 ( 1)

iF n i n n

=

= +∑

(1) :F

. Concluyendo que

3

n el paso número dos fue cuando se ocupó la veracidad de la fórmula para poder

( )1

3 3 2 2 2

12 2 8 ; 2(1) (1 1) 2(2) 8

ii

=

= = + = =∑ (1) válida.F −

?( ) ( 1) :F n F n⇒ +

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

3 3 3 2 2 3

1 1

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2( 1) 2 ( 1) 2 1

2( 1) 2 ( 1) 2( 1) ( 4 4)

2( 1) ( 2) 2( 1) ( 1) 1

n n

i i

i i n n n n

n n n n n n

n n n n

+

= =

= + + = + + +

= + + + = + + +

= + + = + + +

∑ ∑

1

e ( )F ncomprobar en consecuencia la veracidad de la fórmula ( 1)F n + ; cumpliéndose las dos condiciones de inducción matemática. Con esto ya queda demostrada la fórmula

( ) .F n n∀ ∈N

Calculando llegamos a:

para 20n =

3 3 3 3 3 2 22 4 6 38 40 2(20) (21) 352800+ + + + + = =


Sea

Ejemplo 2.3.7

robemos ahora por inducción la siguiente fórmula, la cual es de gran importancia en Pteoría de la probabilidad, sobre todo cuando los conjuntos son disjuntos a pares.

( ) 11

1

( ) : 1n

ni i i j i j k n

i n i j n i j k ni

F n A A A A A A A A A−

≤ < ≤ < < ≤=

= − ∩ + ∩ ∩ − + − ∩ ∩∑ ∑ ∑∪

n la sección 1.6 ya está demostrada la veracidad de y de ; así que nos

Es muy importante que el lector analice cada uno de los pasos que se dan en esta

emost

e (2)F (3)Fpreocuparemos solamente por

?( ) ( 1) :F n⇒ + F n

d ración, teniendo especial atención en el recorrido de los subíndices.

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

1

1 1 11 1 1 1

1 11 1

11

1

1 1 1

11 1

1

1

n n n n

i i n i n i ni i i i

n n

i n i ni i

ni i j i j k n

i n i j n i j k n

n

i n i n j ni n i j n

nn n n

A A A A A A A

A A A A

A A A A A A A A

A

A A A A A A

A A A A

+

+ + += = = =

+ += =

−

≤ < ≤ < < ≤

+

+ + +≤ < ≤

−+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ∪ = + − ∩⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + − ∩

= − ∩ + ∩ ∩ − + − ∩ ∩

+

∩ − ∩ ∩ ∩ +−

+ − ∩ ∩ ∩ ∩

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∪ ∪ ∪ ∪

∪ ∪

( )

( )

( )

( )( )

1

11

1

1 1 1 1

1 11 1

1 1 1

1

1

1

ni i j i j k n

i n i j n i j k n

n

ni n i j n n

i n i j n

ni i j i j k

i n i j n i j k n

A A A A A A A A

A

A A A A A A A

A A A A A A A

+

−

≤ < ≤ < < ≤

+

+ + +≤ < ≤

+ −nA +

≤ + < ≤ + < < ≤ +

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − ∩ + ∩ ∩ − + − ∩ ∩

+

− ∩ + ∩ ∩ − + − ∩ ∩

= − ∩ + ∩ ∩ − + − ∩ ∩

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑

n el primer paso simplemente se ocupó la asociatividad de la unión de conjuntos, en el e

segundo se aplicó la veracidad de (2)F , en el tercero se utilizó el resultado obtenido en el ejercicio cuatro del capítulo uno para el tercer sumando, en el cuarto paso se aplicó

( )F n tanto para el primer sumando como para el segundo, en el quinto solamente se licó la expresión del tercer sumando por menos uno, en el sexto se asociaron

todos los sumandos de tal manera que ya queda la expresión correspondiente a ( 1).F n + Terminando así con la demostración.

multip


Ejercicios

1. Demostrar . 69

2

16110655

ii

=

=∑2. Sustituyendo en [2.2.8] 4

ia i= y 5ia i= demostrar respectivamente que:

2 2 23 4

1 1

( 1) ( 1)(2 1)(3 3 1y4 3

n n

i i

n n n n n n ni i= =

+ + += =∑ ∑ )

0+ −

3. Ocupando [2.2.10] y encontrando los valores apropiados para a y para r demostrar:

4 4 4 4 145681 243 729 19683 19683

+ + + + =

4. Desarrollar 1

n

ii

a=∑ para ( )32 1ia i= − hasta su mínima expresión. Sugerencia,

ocupar [2.2.9] y además el resultado del ejercicio dos. 5. Demostrar que 1 . Diga porqué razón el resultado es

justamente el cuadrado de un natural, en este caso cincuenta, ¿es siempre así? Compruébelo por inducción en caso afirmativo.

3 5 7 99 2500+ + + + + =

6. Supongamos que Isabel tiene afición por dibujar flores; tiene como propósito

hacer un catálogo de 585 tipos distintos; sale al jardín y decide dibujar tres tipos el primer día, otros diez el segundo (llevando así trece), diecisiete el tercero y así sucesivamente. Demuestre que Isabel con este plan se tardará trece días en total para alcanzar su objetivo. Sugerencia, ocupe [2.2.11].

7. Bertha invierte dos mil pesos iniciales en una editorial a la cual le va muy bien,

cada bimestre le aumenta su inversión una y media veces de lo que tenía la semana anterior, por ejemplo, primero tenía dos mil pesos al cabo de dos meses ya contaba con tres mil pesos, dos meses después llevaba cuatro mil quinientos pesos y así sucesivamente. Demuestre que al final de un año desde que invirtió Bertha ya contaba con pesos. Luego le dan una muy buena noticia, le dicen que por haber ahorrado cada una de las cantidades que fueron cambiando en el transcurso del año serán sumadas

22781.25

2000 3000 4500 22781.25+ + + +64343.75

y el total pasará a su cuenta. Demuestre que acumuló pesos en un año. Sugerencia, ocupe [2.2.10].

8. Demuestre ( 50)n( )50

4

1

1 65666665i

n i=

− + =∑ = .

9. Demuestre que: ( )8

2

1

1799 224.8758i

ix x

=

− = =∑

para los datos del ejemplo 2.2.10 y posteriormente haga el mismo cálculo pero

ahora con ( )8

22

1i

ix n x

=

−∑ confirmando la igualdad.


10. Empleando [2.2.14] demostrar 6 12 24 153− + − + =5 25 125 7

11. Demostrar por inducción matemática:

1 1

( ) :cn n

ci i

i i

F n A A= =

⎧ ⎫=⎨ ⎬

⎩ ⎭∩ ∪

12. Demostrar [2.2.5], [2.2.6], [2.2.7] y [2.2.11] por inducción matemática.

13. Demostrar las fórmulas del ejercicio dos por inducción matemática.

14. Encontrar una fórmula para 31 33 3 35 (2 1)n+ + + + − , demostrar por inducción

y calcular para cuando 27n = .

15. Demuestre por inducción matemática que:

11

i j k i j n i ji j k n i j n i j k n

kA A A A A A A A A+< < ≤ < ≤ < < ≤ +

∩ ∩ + ∩ ∩ = ∩ ∩∑ ∑ ∑

Referencias [3] pág. 29; [5] págs. 184-186,188; [9] págs. 158,215; [12] págs. 25-28; [16] pág. 572.

Capítulo 3

CONTEO

3.1. INTRODUCCIÓN En este capítulo orientaremos los resultados obtenidos en la sección uno punto nueve, referentes a la interpretación de conteo que tiene la cardinalidad del producto cartesiano de conjuntos; es claro que la tendencia mostrada durante el texto nos lleva a establecer técnicas más efectivas para conocer la cantidad de elementos que tenga un conjunto que simplemente un conteo directo, ya que el proceso puede ser más complicado de lo que uno imagina. 3.2. PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO En el ejemplo 2.3.3 se demostró que trabajando con conjuntos finitos (no forzosamente del mismo espacio muestra) { }tal que 1, 2,3, ,iA i D∈ = … n se tiene: 1 2 1 2n nA A A A A× × × = A A dicha igualdad se le conoce como principio fundamental de conteo [1.9.4]. Es claro que se necesita aclarar ciertas ideas, sobre todo saber qué es lo que exactamente representa y calcula este principio, para eso antes de dar algunos ejemplos, se mencionará la misma idea pero con otro contexto distinto al de conjuntos. Consideremos n tareas, digamos 1 2 3, , , , nA A A A… , tales que 1A se puede hacer en formas (es decir 1k 1A k= 1

1

) y para i se puede realizar en formas una vez

que se han realizado , entonces la tarea total

2≥ iA ik

1, , iA A −… ( )1 2 3, , n, ,A A A A… en sucesión se puede realizar en formas. 1 2 3 nk k k k⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ Si observamos detenidamente el párrafo anterior, no se encuentra totalmente ajeno a lo que se había trabajado, ya que una de todas las tareas posibles se entiende como un conjunto del producto cartesiano, el cual a su vez sería la tarea total. Es muy conveniente darle este nuevo contexto a nuestros resultados previos debido a que se definirán conceptos que ya no cargarán al producto cartesiano, sin embargo es muy importante no olvidar su procedencia.

n

89


Ejemplo 3.2.1 Supongamos que una persona, desea trasladarse de la ciudad A a la R pasando por otras dos en el camino, esto es , la primer “tarea” se considera como el traslado el cual tiene dos rutas posibles, es decir

A M O R→ → →A M→ { }1 1, 2a=T a (hay dos

formas de moverse de a A M ( 1 2k = )), la segunda “tarea” es el traslado M O→ que cuenta con tres rutas posibles { }2 1 2 3, ,T b b b=

O

(si observamos detenidamente la idea será considerar el producto cartesiano entre las tareas, para así definir el total de rutas posibles de traslado ), hasta este momento llevamos k k rutas distintas para el traslado ; y nuestra última tarea será el traslado O que cuenta con dos formas de lograrse

A RA→

→ 1 2 2 3= ⋅ 6=R→

{ }3 1 2,T c c= , concluyendo que la “tarea total” (el traslado A R→ ) en sucesión se puede realizar en 1 2 3 2 3 2k k k 12= ⋅ ⋅ = formas .

Recordando el ejemplo 1.9.3 (4), y adaptándolo a nuestro problema, nos damos cuenta de que en realidad lo que hicimos fue sacar el producto cartesiano de las tres tareas y posteriormente su cardinalidad, viendo que cada uno de los elementos del producto cartesiano representa una de las doce rutas posibles calculadas anteriormente.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 21 2 3

2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 3 1 2 3 2

, , , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , , , , , , ,

a b c a b c a b c a b c a b c a b cT T T

a b c a b c a b c a b c a b c a b c

⎧ ⎫⎪ ⎪× × = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭)

)

De esta manera ya se tiene una asociación entre los resultados previos y la nueva interpretación, de aquí en adelante escribiremos a los elementos del producto cartesiano considerando únicamente las posiciones que tiene cada una de las entradas, es decir, la notación será equivalente a , privilegiando la agrupación realizada al tomar un elemento a la vez de cada una de las tareas en el orden indicado.

( 1 2 1, ,a b c 1 2 1a b c

Otro ejemplo interesante que inicialmente parece fuera de todo contenido, es el de las torres del tablero de ajedrez, ya que muestra de manera clara la aplicación del principio fundamental de conteo. Una vez presentado haremos notar el parecido que éste tiene con una de las propiedades demostradas, específicamente hablamos del ejemplo 1.9.5. Ejemplo 3.2.2 Supongamos que Vicente tiene un tablero de ajedrez junto con ocho torres, la idea es que quiere acomodar las piezas dentro del tablero sin que ninguna de ellas capture a la otra, esto quiere decir que ni una se encuentre en la horizontal o en la vertical definidas por la posición de la torre de referencia; en la figura siguiente se muestra la manera en que dos (o más) torres se capturan entre sí.

Por ejemplo, en este caso la torre que se encuentra en la posición F5 puede capturar a las que se localizan en D5 y F1, ya que se encuentran en la horizontal y vertical definidas por F5; la idea es que esto no ocurra con ninguna de las ocho torres.

CONTEO 91

Una estrategia posible para lograr esto es primero evitar cualquier captura en las verticales, es decir que podemos poner una torre por cada una de las ocho verticales: una en “A”, una en “B” y así sucesivamente (en nuestra figura F1 y F5 se capturan por estar en la misma vertical “F”).

Pero esto no es suficiente, por ejemplo podemos mover la torre que se encontraba en la posición F5 y pasarla a la única vertical libre que haya, en este caso es la “E”, dejándola en la posición E5; efectivamente ya quedó libre “F” pero E5 sigue capturando a D5. Por lo que también es necesario encontrar la única horizontal libre “3”, y mover la torre, o sea E3.

Una vez hecho el movimiento nos damos cuenta de que las ocho torres ahora sí están libres, ninguna captura a la otra, y para eso fue necesario según lo explicado, poner una torre por cada vertical (A, B, C, D, E, F, G, H) y aparte una torre por cada número, por lo que la estrategia de Vicente resultó adecuada. Ahora bien, el objetivo que perseguimos, es contar todas las formas posibles en que se pueden colocar las torres bajo esta situación (sin que se capturen entre si).

Propongamos el método siguiente: primero coloquemos una torre por cada letra

(no se permiten dos o más torres por letra) después, a cada torre asignémosle el número en el que se encuentra (no puede haber dos o más torres por número, porque estarían sobre la misma horizontal entre ellas). Pero el método de asignación no será arbitrario, sino en orden, de la “A” a la “H”. En nuestro caso las torres tienen las posiciones A7, B2, C6, D5, E3, F1, G8, H4 por lo que le asignamos la permutación

(7, 2, 6, 5, 3, 1, 8, 4)


Si nos damos cuenta, se puede entender a las letras como posiciones y a los números como objetos, es decir ocho objetos colocados en ocho posiciones, de esta forma podemos contar de la manera siguiente:

En la primera posición “A” podemos poner a cualquiera de los ocho objetos, en la segunda posición “B” podemos poner a cualquiera de los siete objetos restantes (ya que debemos quitar el que se puso en “A”), en la tercera posición “C” podemos colocar a cualquiera de los seis objetos restantes… y así sucesivamente hasta terminar. En conclusión, hay 8 formas distintas en que podemos colocar las torres en el tablero de ajedrez sin que se ninguna capture a la otra. En este problema solamente expusimos un caso (7, 2, 6, 5, 3, 1, 8, 4); sin embargo hay otros 40319. Para generarlos sólo basta intercambiar las posiciones de los números, por ejemplo:

7 6 5 4 3 2 1 40320⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

El proceso descrito arroja muchas ideas que debemos retomar, inicialmente nos dimos cuenta de la necesidad de establecer posiciones para la solución de este problema, y una vez fijadas, observamos que la primera posición “A” puede ser ocupada por cualquiera de los 8n = números (este proceso equivaldría a la primer tarea), la siguiente posición “B” tiene una opción menos para ser llenada, 1 7n − =

(n n números (segunda

tarea) y así sucesivamente llegando a que la tarea total tiene 1)( 2) (3)(2)(1)n− − formas de llevarse a cabo, en pocas palabras contamos el total de ordenaciones (permutaciones) que pueden haber de ocho objetos considerados en ocho posiciones. Básicamente lo explicado es la filosofía del ejemplo 1.9.5, por lo que ya no es de sorprenderse que la solución propuesta para el problema de las torres tiene exactamente la misma forma que la del ejemplo, de esta manera establezcamos una notación que haga referencia a este tipo de procesos. El factorial de algún { }0n∈ ∪N se denota por y se calcula: !n [3.2.1] ! ( 1)( 2)( 3) (3)(2)(1n n n n n= − − − ) Por el momento escribiremos 0! 1= y 1! 1= , sin embargo se demostrará más adelante la razón de este “convenio”.

CONTEO 93

Finalmente, Sea A tal que S⊆ { }1 2 3, , , , nA a a a a= … con n ó (es decir finito o vacío), al proceso de selección en forma ordenada sin repeticiones, de los elementos de

∈N A =∅A

n A en posiciones, se le conocerá por permutación de orden n, y el total de permutaciones posibles se denota por y se calcula:

n( , )P n n

( , ) !P n n n= [3.2.2] Ejemplo 3.2.3 Supongamos { }, , ,A a b c d=

n = y queremos calcular el total de formas posibles en que

podemos colocar a estos objetos en 4 4n = posiciones. La solución es , compare con el ejemplo 1.4.6 y el 1.9.5; hagamos notar que la primer entrada de la notación se refiere al total de objetos en consideración (cantidad de elementos del conjunto

(4,4) 4! 4 3 2 1 24P = = ⋅ ⋅ ⋅ =( , )P n n

A ) y la segunda entrada se refiera a las posiciones en consideración, que hasta este momento han sido n , sin embargo pueden ser menos. A menudo también se lee a como la cantidad total de agrupaciones de objetos tomando de n en (o a la vez).

( , )P n n nn n

Pensando fríamente, lo que hemos hecho hasta ahora es darle un nuevo contexto a los resultados obtenidos en la sección 1.9, sin embargo es conveniente este hecho, debido a que se manejan de manera más calara los conceptos y además puede haber problemas cuya interpretación no se hubiese asociado directamente con el producto cartesiano. Ejemplo 3.2.4 Recordando nuevamente al ejemplo 1.9.5, nos damos cuenta de que hay una restricción de las posiciones al final ( i ), esto habla de lo que pasaría, si en dado caso de considerar a todas las n posiciones, solamente lo hiciéramos para i posiciones. Veamos la siguiente situación.

n<

Supongamos que contamos con cuatro objetos (pueden ser cuatro bolas distintas)

{ }, , ,A a b c d= y solamente tenemos i lugares donde colocarlos con en forma ordenada y sin repeticiones. La pregunta es, ¿cuáles y cuántas formas hay de lograr esto?

2 4i n= < =

En la primer posición existen 4n = formas de ser ocupada (que sería la primer tarea), en la segunda posición debemos quitar el objeto que se tomó en cuenta para la primera, es decir tiene formas de ser ocupada (segunda tarea) y finalmente los

lugares ocupados (tarea total) lo harán de 4 1 3− =

2i = 4 3 12⋅ = maneras, es decir:

( ) ( )( 1) 4 4 (2 1) 4 3 1n n i− − = − − = ⋅ = 2


lo cual concuerda con el resultado obtenido en el ejemplo 1.9.5; ahora ¿cuáles serían las 12 formas? , vea ejemplo 1.4.4. Muy a menudo se acostumbra ocupar la letra r en vez de la i , así que adoptaremos la notación sin efecto alguno en la teoría. En general. Sea A tal que S⊆ A n= con { }0n∈ ∪N

A; al proceso de selección

en forma ordenada sin repeticiones, de los n elementos de en posiciones 0 se le conocerá por permutación de orden r, y el total de permutaciones posibles se denota por y se calcula:

r r n≤ ≤

( , )P n r

( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )(

( )( ) ( )( )( ))

( )

( , ) 1 2 ( 1)

1 2 1

1 2 1 1 3 21 3 2 1

!!

P n r n n n n r

n n n n r

n n n n r n r n rn r n r

nn r

= − − − −

= − − − +

− − − + − − −=

− − −

=−

1

[3.2.3] ( )

!( , )!

nP n rn r

∴ =−

También se lee a , como la cantidad total de agrupaciones (ordenadas y

sin repetición) de objetos tomando de en (o a la vez). ( , )P n r

n r r r Ejemplo 3.2.5 En los bancos hay códigos de acceso para los usuarios, de lo que se trata es de seleccionar cuatro de los diez dígitos existentes, es decir el Número de Identificación Personal para Operaciones (NIP); notablemente el código 1347 por ejemplo, es distinto al 3174 a pesar de que ambos códigos tengan a los mismos dígitos, esto quiere decir que para este problema sí es importante el orden de los objetos (la posición que ellos adquieran), supongamos que un código no admite repetición de dígitos (luego veremos el caso en el que si), de esta manera estamos hablando ya de un proceso conocido, ordenación de objetos en 10n = 4r = posiciones sin repeticiones, en consecuencia podemos contar el total de formas en que se puede crear un NIP bajo estas condiciones, la cantidad sería

10! 10!(10,4) 10 9 8 7 5040(10 4)! 6!

P = = = ⋅ ⋅ ⋅ =−

Hasta este momento nos damos cuenta de la verdadera importancia que tuvo el haber contextualizado las cosas de manera distinta. Ejemplo 3.2.6 En el ejemplo anterior advertimos que la restricción de no permitir repeticiones de objetos resulta algo inconveniente, por lo mismo analicemos la idea de permitir repeticiones y lleguemos a una fórmula que considere el hecho.

CONTEO 95

Nuevamente, en el ejemplo 1.9.5 se fueron eliminando elementos sucesivamente con la finalidad de no dejar que se repitan, provocando que cada subconjunto formado del principal, tuviese un elemento menos; así que, lo que debemos hacer ahora es no quitar al elemento, es decir, del principio fundamental del conteo [1.9.4] haremos la suposición de que 1 2 rA A A= = = y { }1, 2,3, ,iA n i r= ∀ ∈ … (hubo cambio de índices pero no afecta, la razón es que, hay mayor comodidad al pensar que un conjunto tiene n elementos), con lo que queda:

1 2 1 2r

r rr veces

A A A A A A n n n n−

× × × = = ⋅ ⋅⋅⋅ =

Un detalle muy importante es que en este caso r no depende del valor de la , o sea que inclusive puede ser mayor que , en pocas palabras es suficiente con que sea natural; en dado caso de que sea cero, no hay problema

nrn

0 1n = y esto quiere decir que hay una única forma de no ocupar posiciones, no la ocupas y ya. Y como ya es costumbre fijaremos una nomenclatura especial para este hecho. Sea A tal que S⊆ A n= con { }0n∈ ∪N ; al proceso de selección en forma ordenada con repeticiones, de los n elementos de en posiciones, se le conocerá por permutación con repetición de orden r, y el total de permutaciones (con repetición) posibles se denota por y se calcula:

A r

( , )PR n r ( , ) rPR n r n= [3.2.4] Ejemplo 3.2.7 Mostremos de manera explícita lo que acabamos de hacer.

Supongamos que { }, , ,A a b c d=

(4,P

y consideremos únicamente dos posiciones , es posible que sea más grande, pero nuestro objetivo será compararlo con la

permutación tradicional, por un lado 2r =

2) 12= y por otro , veamos a las agrupaciones sin repetición, son doce:

2(4, 2) 4 16PR = =

, , , , ,, , , , ,

ab ac ad bc bd cdba ca da cb db dc

Luego, las que permiten repetición

, , , , ,, , , , ,, , ,

ab ac ad bc bd cdba ca da cb db dcaa bb cc dd

Notando que bajo esta situación las agrupaciones sin repetición se incluyen las de repetición. Hay un detalle que aquí no se ve muy claro, y es que al hablar de repetición, se entiende como que al menos dos veces aparece un objeto, por ejemplo,


calculemos , es decir agrupaciones con repetición de dos objetos considerados en tres posiciones

3(2,3) 2 8PR = =

, ,, ,,

aab aba baabba bab abbaaa bbb

Viendo que la letra a por ejemplo se repite dos y luego tres veces.

Ya habrá notado el lector que la idea es ir generando distintas técnicas de conteo, donde cada una describa una situación diferente.

Nuestro siguiente paso será analizar lo que pasa en el caso de no tomar en cuenta

el orden, primero sin repetición y luego con repetición, (vea ejemplo 1.4.3, ejercicios 14, 15 capítulo 1).

Consideremos el siguiente ejemplo para observar inicialmente tal situación y

luego formalizaremos. Ejemplo 3.2.8 Imaginemos que Alejandro tuvo un problema técnico, la idea es: de un polígono regular de lados hay que contar el total de líneas que se pueden formar uniendo a todas las parejas posibles de vértices; para comprender el problema, Alex comenzó viendo lo que pasa con un hexágono.

n

Como habrá que trabajar únicamente con los vértices, entonces considerémoslos sólo a ellos.

El hexágono en cuestión es:

Ahora, asociemos a los vértices con elementos de un conjunto { }1, 2,3, 4,5,6A = lo que sigue es dibujar la líneas y representarlas de alguna manera relacionándolas con los conceptos que hemos estado manejando. Si consideramos al primer vértice como referencia notamos que con base en él se pueden dibujar 5 líneas, que serían las 5 que involucran al vértice 1.

Una manera de describir tal hecho es agrupando de dos en dos a los elementos de donde inicialmente se considera al , es decir , teniendo ya una representación de las 5 líneas descritas; pero lo que cambia ahora con respecto a lo manejado, es que si tomamos ahora al vértice 2 ya no es necesario considerar a la línea 21 porque es exactamente la misma que la 12, en

pocas palabras, únicamente importan los vértices en consideración, mas no, las 2 formas distintas de representar a una línea, con lo que las agrupaciones representativas que involucren al vértice 2 son , vea la figura siguiente:

A14,11 12,13, 5,16

23,24,25,26

CONTEO 97

Llevando 5 4 9+ = líneas dibujadas, podemos seguir el proceso hasta terminar todos los vértices, obteniendo que el total de líneas que se pueden dibujar para un hexágono regular uniendo a todas las parejas posibles de vértices son 15 :

12,13,14,15,1623, 24, 25, 2634,35,3645, 4656

Lógicamente el problema no representaba tanta dificultad, el objetivo más bien fue el de construir una técnica que le ayude a Alex para generalizar el problema en el caso , es más, ¿qué tal si no son líneas? … sino triángulos. n Pues la moraleja es que no importó el orden en este caso, más bien importaron los elementos en cuestión, y un concepto que maneja específicamente esta situación es el de considerar a los elementos de y formar subconjuntos (en este caso) de dos elementos, ya que si tomamos a los elementos 1 y 2 por ejemplo,

A{ } { }1, 2 2,1= con lo

que se elimina de manera automática la situación del orden y se considera de manera específica a los elementos en cuestión. En resumen, nuestro problema lo trasladamos al hecho de contar la cantidad total de subconjuntos de A que tienen dos elementos, y para el caso de los triángulos formados en el hexágono, lo que haríamos sería contar la cantidad de subconjuntos de tres elementos que se pueden formar de A . La pregunta es, ¿cómo los contamos? El plan es ocupar lo conocido, y claramente lo más cercano es . ( , )P n r Ejemplo 3.2.9 Comencemos con una particularidad, Sea { }, , ,A a b c d= . Consideremos por un lado a los subconjuntos de tres elementos que se pueden obtener de los cuales son: A

{ } { } { } { }, , , , , , , , , , ,a b c a b d a c d b c d claramente son . 4x =


Por otro lado veamos a las permutaciones de 4n = elementos tomando a la vez; la cantidad de ellas son

3r =(4,3) 24P = esto es:

, , ,

, , ,, , ,, , ,, , ,, , ,

abc abd acd bcdacb adb adc bdcbac bad cad cbdbca bda cda cdbcab dab dac dbccba dba dca dcb

Advierta la diferencia: la permutación efectivamente considera a las 4x =

agrupaciones (sin considerar orden) de tres elementos, pero cada una la permuta en si misma (ordenaciones de 3 elementos en 3 posiciones) es decir, por cada una de las 4 agrupaciones de tres elementos se generan (3,3) 3!P = términos, o sea:

4(3!) 4(3 2 1) 24 (4,3)P= ⋅ ⋅ = =

En resumen (4,3) 3!x P= , lo que nos lleva a proponer finalmente una fórmula que realice el conteo de subconjuntos de elementos que se pueden formar de uno de

elementos. La notación que asignaremos a esta situación será , donde la letra se refiere a combinación, que se interpreta como agrupación de n elementos

tomando a la vez sin importar el orden o también, subconjunto de con elementos.

rnC

( , )C n r

r A r

Finalmente, Sea tal que A S⊆ { }1 2 3, , , , nA a a a a= …

n con n ; al total de

subconjuntos con elementos (∈N

r 0 r≤ ≤ ) que se pueden formar de lo denotaremos como y la manera de calcularse se deduce de lo siguiente:

A( , )C n r

Por cada combinación de elementos tenemos permutaciones, entonces: r !r

( , ) ! ( , )C n r r P n r=

es decir:

( )( )

!!( , ) !( , )

! ! !

nn rP n r nC n r

r r r n−

= = =− !r

[3.2.5] ( )

!( , )! !

nC n rr n r

∴ =−

Hay distintas notaciones para combinación, las ocuparemos indistintamente:

( , ) nn r r

nC n r C C

r⎛ ⎞

= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠

CONTEO 99

note que 6! 5 6(6,2) 152!(4)! 2

C ⋅= = = , por lo tanto quedó resuelto el problema de

Alejandro, es más, si le piden calcular el número de triángulos que se pueden formar uniendo de tres en tres vértices de un polígono de 14 lados, la solución seria trivial

. (14,3) 364C = Hay ciertas igualdades bastante útiles para combinaciones que demostraremos, sólo que en este momento no se alcanza a ver la gran utilidad que tienen, aún así las presentaremos. Ejemplo 3.2.10 Hay un subconjunto de 0 elementos en un conjunto que tiene n elementos, el ∅ ; hay un subconjunto de n elementos en un conjunto que tiene n elementos, el mismo conjunto.

( )

( )

! !0 0! 0 ! 0! !

1! !

! ! !0!

n n nn n

n n nn n n n n

⎫⎛ ⎞= = ⎪⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎪ =⎬

⎛ ⎞ ⎪= =⎜ ⎟ ⎪−⎝ ⎠ ⎭

[3.2.6]

Ejemplo 3.2.11 Propiedad simétrica de la combinatoria. Si tenemos { }1 2 3, , , , nA a a a a= …

n r−, los

subconjuntos de orden r, de manera automática, determinan a los de orden , y sus cantidades son iguales:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

! !! ! ! !

!! !

!! !

n n nr r n r n r r

nn r n n r

nnn rn r n n r

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ − −⎝ ⎠

=− − +

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟−− − − ⎝ ⎠

n nr n r⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∴ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [3.2.7]

Ejemplo 3.2.12 La siguiente igualdad ilustrará su importancia cuando de hable del binomio de Newton, es conocida como la fórmula de Pascal.


( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )( )

( )( )( )

( )

! !1 1 ! ( 1) ! ! !

! ( ) 1!1 ! ( 1) ! ! ! ( ) 1

! ( ) 1!! ( 1) ! ! ( ) 1 !

! 1! ( 1) !

1 !! ( 1) !

1

n n n nr r r n r r n r

n n rn rr r n r r n r n r

n n rn rr n r r n r

n n r rr n r

nr n r

nr

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− += +

− + − − −

− += +

+ − − +

− + +=

+ −

+=

+ −

+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

+

[3.2.8] 1

01

n n nr

r r r+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∴ + = ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

la cual resulta muy útil para cuando queremos escalar de a n 1n + , procedimiento típico de inducción matemática. Un ejemplo clásico que ocupa combinaciones es el de las cartas, el tipo de resultados que se obtiene resulta muy interesante: la razón por la cual se definen las jerarquías. Ejemplo 3.2.13 Supongamos que se cuenta con una baraja de póquer usual de 52 cartas, de donde cada carta se clasifica por alguno de los cuatro palos existentes ♥ ♦ ♣ ♠ y además por

alguno de los siguientes trece símbolos Α, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , J, Q, K, es decir:

4(13) 52=

CONTEO 101

Con frecuencia nos hemos dado cuenta que dentro de un juego de póquer existen jerarquías entre las manos posibles que se pueden repartir (entendiendo por mano de póquer a una repartición de cinco cartas de las 52 con las que contamos), la idea de este ejercicio es justamente establecer las razones por las cuales tiene mayor jerarquía un full que un par; primero que todo contemos la cantidad total de manos distintas que pueden ser repartidas inicialmente a un jugador, en otras palabras, todas las agrupaciones que se pueden formar de cinco en cinco cartas teniendo un total de 52 sin importar el orden que ellas tengan, y éstas son C manos de póquer. (52,5) 2598960= Nomenclatura que tiene el juego:

• Par: dos cartas del mismo número y las tres siguientes distintas entre ellas, por

ejemplo:

• Tercia: tres cartas del mismo número y las dos restantes distintas entre sí, por ejemplo:

• Full: una tercia y un par, por ejemplo:

• Póquer: cuatro cartas del mismo número, y la quinta cualquiera de las restantes, por ejemplo:

Muy bien, comencemos con el conteo. Full Primero veamos que pasa con la tercia, sabemos que deben de ser tres cartas del mismo número, sin embargo contamos con cuatro de ellas; ahora bien, de esas cuatro debemos seleccionar de tres en tres, para saber el numero total de tercias distintas que se pueden formar con un solo número, supongamos que tomamos a las cuatro cartas que tienen al número tres, de ahí contemos a todas las tercias posibles que se crean (observe la siguiente figura).


Notemos que se generan cuatro grupos

de tres cartas cada uno, eso quiere decir que con un solo número existen cuatro maneras distintas de generar tercias o desde otro punto de vista, hay cuatro agrupaciones de tres en tres teniendo un total de cuatro s 4 3 4C

objeto= ; pero como podemos seleccionar a

cualquiera de los 13 números existentes de tenemos un total ( )4 313 13(4) 52C = =

agrupaciones de tres en tres cartas con el mismo número.

erando el total de maneras con las que se pueden formar pares variando a el número.

nos po mos fijar que se pueden hacer s rupaciones de dos en dos cartas, esto es

Ahora veamos lo que pasa con las dos cartas restantes que deben de ser iguales

entre ellas; contaremos de la misma forma, primero tomando a un número de referencia, haciendo el conteo interno y después consid

Si tomamos a las cuatro reinas por ejemplo, de

4 2 6C =eis ag .

iera de los 12 núm ros restantes).

En conclusión, hay agrupaciones de dos en dos cartas que tengan el mismo

número.

fundamenta

Vemos claramente en la

figura a los seis grupos de los cuales ya se hizo mención, así sólo hace falta contemplar a los 12 números restantes con los cuales se puede hacer par, y son 12 porque debemos quitar a el número con el cual inicialmente se generó la tercia (si en nuestro ejemplo hicimos tercias con el número tres el par siguiente se debe formar con cualqu

e

seis formas de generar un par con un solo número, entonces hay ( 412 )2 12(6) 72C = =

Debemos juntar las tercias con los

pares para generar el full así que aplicando el principio l del conteo (p.f.c.)

CONTEO 103

existen 52( maneras distintas de tener un full en una mano de póquer.

uer

o mos a 13

72) 3744=

Póq Necesitamos a cuatro cartas del mismo número, pero ya se sabe que tenemos justamente a cuatro, esto quiere decir que solamente hay una forma de hacer la elección o lo que es lo mismo, existe solamente 4 4 1C = forma de seleccionar a cuatro cartas de un grupo de cuatro; por otro lado, c números distintos de donde seleccionar podemos decir que hay ( )4 413 13(1) 13C

mo tene= = maneras de escoger a las primeras cuatro

cartas. La quinta carta puede ser cualqui 8 52 4era de las 4 = − restantes. Nuevamente aplicando el p.f.c. afirmamos que hay 13(48) 624= maneras distintas de tener un óquer en una mano de cinco cartas.

cia

2), así que os concentraremos en las dos cartas restantes para tener la mano de póquer.

se onsideraron inicialmente por lo que habrá que quitarla de la cuenta.

hay

p

Ter Anteriormente ya se contó la cantidad de tercias que son posibles generar (5n Debemos tomar en cuenta que entre ellas tienen que ser distintas, ya que al ser iguales estaríamos hablando de un full, y además ninguna de las dos puede ser del mismo número que tienen las tres quec De 52 cartas quitamos las tres que se consideran para la tercia y una más que es la que sobra de las cuatro, por lo que 1 48 52 3− − = cartas para agrupar de dos en dos, el total de grupos posibles es de 48 2 1128C = . Pero éste número habla tanto de las ue son iguales entre ellas como de las que son distintas.

os entonces las que

q Quitem son iguales (si nos damos cuenta este cálculo ya se realizó); hay ( )4 212 12(6) 72C = = grupos posibles de dos cartas cada uno, ellas son iguales entre sí. A lo que nos lleva que para tener agrupaciones de dos en dos cartas distintas entre sí debemos restarle al total de grupos posibles 1128 los grupos que tienen dos cartas iguales 72. Por lo tanto contamos con 1128 72 1056− = grupos de dos cartas

í que es lo que se buscaba.

ay

distintas entre s Concluyendo, h 52(1056) 54912= maneras distintas de tener una tercia en na mano de póquer. u


Par

antidad d modo hay 13(6) 78

Inicialmente nos fijaremos en las primeras dos cartas las cuales deben de ser iguales para poder hablar de un par, ya se estableció anteriormente que es necesario contar inicialmente al total de grupos que se pueden formar de dos en dos cartas teniendo un total de cuatro de ellas (que son del mismo número) el resultado dio seis, sólo que bajo esta nueva situación multiplicaremos por la c e números con los que se puede hacer par inicialmente, 13 de este = grupos de dos en dos cartas con ada pareja del mismo número.

mismo número (iguales) porque estaríamos hablando de dos pares, por jemplo:

c

Ahora, las tres restantes necesariamente deberán ser distintas entre sí, no está permitido ni que tres sean iguales ya que nos referíamos a un full y ni que dos de ellas sean del e

La idea es fijarnos en todos los grupos de tres cartas cada uno, que podemos

hacer, si es que contamos con 52 4 48− = cartas (quitamos cuatro porque son con las que se tiene e , dl par inicial os r y las otras dos para que no se presente un póquer), son .

un solo núme ), ltiplicándolas por las 12 opciones restantes .

para el pa48 3 17296C =

Los grupos de tres cartas en donde las tres son iguales entre

sí, se toman de las 4 3 4C = maneras de hacer la selección (teniendo ro mu

( )4 312 48C =

Los grupos de tres cartas en donde dos de ellas son iguales entre sí, se toman de las 4 2 6C = maneras de hacer la selección (teniendo ultiplicándolas por las 12 opciones restantes ( )

un solo número), m( )4 212 12 6 72C = = y además también multiplicando

por 48 4 44− = que son las cartas que nos quedan por considerar en la última posición. Por lo ya comentado, hay 72(44) 3168= grupos de tres cartas cada uno en los que se presenta este caso.

cartas sean diferentes deb os dos casos anteriores a 17296, obteniendo colecciones.

Para ya tener la certeza de ocupar únicamente a grupos de tres en donde todas las

emos quitar l17296 48 3168 14080=− −

CONTEO 105

En conclusión, hay maneras distintas de tener un par en

na mano de póquer.

uiente bla resume los resultados obtenidos en este ejercicio.

jemplo 3.2.14

es), una idea portante que se utilizará más adelante, que es la de caminos aleatorios.

que hay desde el punto “a” hasta el punto “b”, respetando las siguientes dos glas:

s movimientos , ya sea de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba, es decir :

• Cada movimiento va de un vértice a otro.

( )78 14080 1098240=u

Por lo tanto, la razón por la cual las jerarquías tienen

el orden ya conocido, es por la cantidad de agrupaciones en que se puede lograr cada uno de los juegos, mientras más grande sea la cantidad menor será la jerarquía; la sigta E Este ejemplo tiene (aparte de una igualdad que involucra combinacionim Consideremos una cuadrícula de cuatro por cuatro, en donde se traza una diagonal de referencia (como lo muestra la figura), contaremos el total de caminos posiblesre

• Sólo son permitidos do

D ó A→ ↑

Por ejemplo, en la cuadrícula

siguiente se muestra un camino que comienza en el punto “a” y termina en el punto “b” pasando por “2”, donde la ruta definida es la siguiente ↑↑→↑→→↑→ o eno en for a equivalente AADADDAD.

2598960

for a equivalente AADADDAD.

2598960 Manos Manos Póquer 624 Full 3744 Tercia 54912 Par 1098240

mm


Los puntos de intersección entre la diagonal y la cuadrícula son de referencia, en otras palabras, toda ruta (camino) deberá pasar necesariamente por alguno de los cinco puntos, en este caso lo hizo por el “2”, sin embargo lo puede hacer por cualesquiera de ellos. La manera que tendremos de contar todas las rutas posibles, será con la ayuda de estos cinco puntos de referencia y por otro lado de manera directa.

Primero de manera directa; notemos que la cantidad total de movimientos siempre será de 4 hacia ↑ y de 4 hacia , y la manera en que estén ordenadas generará una ruta distinta, como lo muestra la figura anterior.

→

Consideramos una cadena de ( )8 2 4= posiciones, tomamos a cuatro de ellas por

ejemplo 3, 5, 6 y 8 asignándoles → , es decir → → → → → → → → , nótese que de manera intrínseca ya se sabe que las posiciones restantes 1, 2, 4 y 7 se llenarán con

generando la ruta mencionada inicialmente (propiedad de simetría de la combinatoria). Observemos que la manera en que seleccionemos de 4 en 4 posiciones teniendo un total de 8 determinara a una ruta distinta por cada selección o lo que es lo mismo, hay un total de

↑

( )2 4870

4 4⎛ ⎞⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

caminos distintos desde “a” hasta “b”, a continuación contaremos ocupando los puntos de referencia.

Muy bien, analicemos las rutas existentes desde “a” hasta “3”, una de ellas es .→↑→↑

Notamos que cualquier otra ruta

entre estos dos puntos tiene cuatro movimientos posibles en total, y deben de ser dos → y dos ↑ en el orden que sea; en pocas palabras, de cuatro lugares posibles agrupamos de dos en dos, así que se tienen 4 2 rutas desde el punto “a” al punto “3” las cuales son:

6C =

AADD , ADAD , ADDA ,

DAAD , DADA , DDAA .

De manera análoga podemos decir que hay (4,2) 6C = rutas desde “3” hasta “b” luego,

por el p.f.c. habrán [ ]2(4, 2) 36C = rutas (caminos) desde “a” hasta “b” pero que pasan necesariamente por “3”.

Para tener una idea más clara la estructura que se esta presentando al contar de esta manera, mostraremos a todos los caminos desde “a” hasta “b” que pasan por “2”; inicialmente veamos que pasa desde “a” hasta “2”:

CONTEO 107

Si nos damos cuenta, para generar

este desplazamiento sólo es necesario un movimiento D y tres movimientos A, poniendo a la D en cualquiera de las cuatro posiciones que aquí se muestran, en nuestro caso el ejemplo la tiene en la segunda posición. Esto quiere decir que de cuatro lugares a nuestra disposición, estamos eligiendo de una en una, o de otra forma, hay 4 1 4C = rutas posibles desde “a” hasta “2” las cuales son:

AAAD, AADA, ADAA, DAAA.

Ahora veamos que pasa con los caminos desde “2” hasta “b”, aquí hay un ejemplo

de ellos:

Y nuevamente mencionamos que para poder hacer posible esta ruta solamente es necesario un movimiento A y tres movimientos D, colocando a la A en cualquiera de las cuatro posiciones a nuestra disposición; o sea, las rutas desde “2” hasta “b” se pueden contar como el número de formas distintas que hay de seleccionar de una en una posiciones contando con un total de cuatro de ellas, en otras palabras formas, las cuales son:

(4,1) 4C =

DDDA, DDAD, DADD, ADDD.

En conclusión, si las rutas desde “a” hasta “2” son 4 y las rutas desde “2” hasta “b” son 4, entonces todas las rutas posibles desde “a” hasta “b” pasando por “2” son: [ ]2 2(4,1) 4 16C = = , aquí las mostramos:

AAADDDDA , AAADDDAD , AAADDADD , AAADADDD ,

AADADDDA , AADADDAD , AADADADD , AADAADDD ,

ADAADDDA , ADAADDAD , ADAADADD , ADAAADDD ,

DAAADDDA , DAAADDAD , DAAADADD , DAAAADDD .

Con las ideas mostradas anteriormente realizamos el siguiente cuadro que resume la información.


Caminos desde “a” hasta “b” que pasan por

22

22

22

22

22

4"1" 1 1

0

4"2" 4 16

1

4 8"3" 6 36 70

2 4

4"4" 4 16

3

4

⎫⎛ ⎞= = ⎪⎜ ⎟

⎪⎝ ⎠⎪

⎛ ⎞ ⎪= =⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪= = =⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎪⎛ ⎞ ⎪= =⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎪⎛ ⎞

"5" 1 14

= = ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪⎭

nn

Lo que nos lleva a establecer la igualdad:

2 2 2 2 24 4 4 4 4 8

0 1 2 3 4 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o en su forma general, hablando de un cuadrado de longitud n

2 2 2 2 2 20 1 2 1n n n n n

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

o también

[ ]2

0( , ) (2 , )

n

rC n r C n n

=

=∑

Ejemplo 3.2.15 A continuación desarrollaremos una estructura que nos llevará al concepto y fórmula de combinación con repetición; al igual que la permutación con repetición, será posible repetir un objeto tantas veces como uno lo determine con la cantidad de posiciones en consideración, es decir, si nuestras agrupaciones son de tres en tres, un objeto podrá ser considerado de cero a tres veces, con la diferencia de que ahora únicamente nos preocupan los objetos que generan a cada grupo, mas no, el orden en que vengan presentados. Supongamos inicialmente, que tenemos los siguientes objetos de donde escoger

{ }, , ,A a b c d= (note que 4A n= = ) y 7r = posiciones que considerar. Ahora bien, podemos imaginar a tal situación como el hecho de que siete personas tengan que elegir un tipo de celular de entre los cuatro modelos disponibles, así mismo, sin importar el orden en que las siete personas vayan eligiendo, se hace un registro de el modelo que cada una fue escogiendo y se escribe el resultado, alguno posible puede ser que todos hayan escogido el modelo (en otras palabras ) o que dos de ellas hayan escogido el modelo , tres el modelo b , nadie el y las dos restantes el ,

a aaaaaaaca d .aabbbdd

CONTEO 109

Muy bien, con lo ya mencionado, acabamos de exponer a dos posibles combinaciones con repetición, que se pueden obtener de la información presentada al principio, en consecuencia, queremos establecer una técnica para poder contar a todas las posibles combinaciones (con repetición) que se pueden generar teniendo a y como datos.

n r

Claramente, nuestro interés es modelar tal situación basándose en los resultados ya obtenidos; para lograrlo analicemos desde otro punto de vista al problema. Ocupemos a los llamados separadores, la idea es separar a las personas que hayan escogido un modelo con las de otro modelo y así sucesivamente, en nuestro caso existen cuatro grupos posibles por generar (ocuparemos tres separadores). Una manera de escribir lo descrito es la siguiente: el símbolo será nuestro separador, por ejemplo si tres personas escogieron el modelo y cuatro el b se escribe

, y en dado caso de que no haya selección de un modelo se escriben dos separadores y en medio de ellos nada , observe unas cuantas representaciones:

/a

///

/ / /

///// /

/ /// / /

abcccddaaaaaaaaccccddbbdddddabcdddd

→→→→→

Como es evidente, existe una única manera de representar a una combinación vía separadores, y lo mejor aún, es que ya puede notarse la manera en que contaremos. Observe que la cantidad de separadores a usar, será una menos que la cantidad de objetos a considerar ( , y por otro lado, vemos que básicamente nuestro problema se redujo a contar la cantidad de formas posibles en que podemos seleccionar de tres (3 4 ) en tres posiciones, si hay un total de

)1n −

1 1n= − = − ( )10 3 7 1n r= + = − +

(10,3) 120C =

posiciones de donde escoger, por lo tanto la cantidad de formas posibles en que siete personas pueden seleccionar cada una a un modelo de celular es: . En general escribiremos a la cantidad de combinaciones con repetición posibles por hacer en función de y como: n r

( , ) ( 1, )CR n r C n r r= + − Hay un último detalle curioso (pero importante) por mencionar. Si tomamos al arreglo por ejemplo, también lo podemos interpretar como una de las 120 formas que existen de escribir, al , como la suma de cuatro números enteros no negativos , o sea que si el problema hubiese sido contar el total de formas en que la ecuación puede resolverse para entero, con

, la forma de ser resuelto sería completamente análoga a la de los celulares.

/ / /

1 1 3+ + +

3,4

7

x2 7=

1 2 3 4 7x x x+ + + = 0ix ≥1,2,i =


En general, el total de formas en que puede resolverse la ecuación:

1 2 nx x x r+ + + =

para entero, es para 0ix ≥ 1,2, ,i n= ( , )CR n r ,n r∈N (note que puede superar a , y que aquí el “separador” sería el símbolo “+”).

rn Ejemplo 3.2.16 ¿De cuántas formas Angelina, puede repartir 100 chocolates a sus tres hijos? (note que bien puede no darle a dos y que uno de ellos (Cristian) ¡se quede con todos!). La manera de resolver este problema es considerar las soluciones enteras no negativas que tiene la ecuación 1 2 3 100x x x+ + = , por lo que la solución es:

(3,100) (3 100 1,100) (102,100) 5151CR C C= + − = = El detalle importante aquí es que la combinación con repetición también puede interpretarse como en total de formas en que objetos distintos se pueden distribuir entre n recipientes distintos.

r

3.3. BINOMIO DE NEWTON El resultado que vamos a discutir en esta sección, es uno de los más útiles en el desarrollo de lo que conoceremos más adelante por distribución binomial; tiene la característica de basarse en una buena parte de los resultados a los que hemos llegado, y de igual forma sus aplicaciones pueden ser muy variadas, ya que también es un resultado claramente algebraico. Antes de presentar formalmente al binomio de Newton, comenzaremos con un manejo de resultados que nos llevará a nuestro objetivo; lo primero por hacer es recordar [1.8.1] y al ejemplo 1.7.2. Ahora, lo que a continuación vamos a hacer, es relacionar a los subconjuntos que se pueden generar de un conjunto de elementos con cadenas de longitud n , en donde cada una de las n entradas de la cadena solamente tiene dos resultados posibles, en este caso ó ; es decir, una cadena de longitud 4 puede ser ó

,…etcétera.

n

S N NSSNSSNS Para empezar establezcamos a un conjunto con cuatro elementos { }, , ,A a b c d= , y por otro lado recordemos que:

( ){ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }

{ } { } { } { }, , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

a b c d a b a c a d b c b d c dA

a b c a b d a c d b c d A

∅⎧ ⎫⎪ ⎪℘ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Una vez descritos a los subconjuntos, lo que haremos será clasificarlos. Los que

no presenten elementos, los que presenten un elemento, dos elementos, y así

CONTEO 111

sucesivamente; contaremos la cantidad de subconjuntos que se tienen por cada una de las clasificaciones:

Subconjuntos de A que tienen únicamente dos elementos: { } { } { }{ } { } {

, , , , ,

, , , , ,

a b a c a d

b c b d c d}

=

notamos que la cantidad de ellos es 6, que precisamente proviene de la definición de

, en otras palabras ; si seguimos con la misma idea generamos la siguiente tabla:

( , )C n r 4 2 (4, 2) 6C C=

x subconjuntos # subconjuntos 0 ∅ 1 1 { } { } { } { }, , ,a b c d 4

2 { } { } { } { } { } { }, , , , , , , , , , ,a b a c a d b c b d c d 6

3 { } { } { } { }, , , , , , , , , , ,a b c a b d a c d b c d 4

4 { }, , ,a b c d 1 Aquí x representa el número de elementos que tiene cada subconjunto, y la última columna realiza el conteo de la cantidad de subconjuntos que tienen x elementos, sin perder de vista que:

4 4 4 4 41, 4, 6, 4, 1

0 1 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Ahora tomemos a las cadenas de longitud 4 como se indicó inicialmente, junto

con una asociación (biyectiva) que garantiza que la cantidad de subconjuntos de A es exactamente igual a la cantidad de cadenas generadas.

La asociación de la que hablamos se define de la siguiente forma:

• Por cada uno de los cuatro lugares de la cadena, asignaremos de forma ordenada a un elemento del conjunto A .

• Cada ocasión que aparezca la letra S , se tomará al elemento correspondiente del conjunto (asignado anteriormente), y con esto se formará al subconjunto que corresponde a la cadena.

ejemplo:

{ } { } { }, , ,a b c d a b c d a b c d a b c d

N S N S b d S S N S a b d N N N S d N N N N↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

↔ ↔ ↔ ↔∅

y así formamos la tabla que abarca todos los casos posibles. Es importante hacer notar que en estos momentos sólo estamos trabajando para el caso de tener únicamente 4 elementos en consideración, sin embargo hay que tomar el ejemplo a manera de una base para la construcción para el caso general n .


x cadenas #

cadenas0

NNNN ↔ ∅ 1

1

{ }{ }{ }{ }

SNNN a

NSNN b

NNSN c

NNNS d

↔

↔

↔

↔

4

2

{ }{ }{ }{ }{ }{ }

,

,

,

,

,

,

SSNN a b

SNSN a c

SNNS a d

NSSN b c

NSNS b d

NNSS c d

↔

↔

↔

↔

↔

↔

6

3

{ }

{ }{ }{ }

, ,

, ,

, ,

, ,

SSSN a b c

SSNS a b d

SNSS a c d

NSSS b c d

↔

↔

↔

↔

4

4

{ }, , ,SSSS a b c d↔ 1 Es natural hacerse la pregunta de porqué, todas las posibles cadenas se presenten

en esta tabla, la respuesta es afirmativa, ya que podemos contarlas y veremos que el número obtenido es el número de cadenas presentado.

Hay cuatro lugares qué ocupar, cada uno de ellos puede ser llenado de dos formas distintas, ya sea por N por S luego, por el principio fundamental de conteo se tiene un total de 42

o , 16= cadenas de longitud 4; comparando este resultado con el de la

tabla observamos que efectivamente están consideradas todas las cadenas posibles:

41 4 6 4 1 2+ + + + =

Con este simple resultado podemos observar que hay tres propiedades posibles. La primera de ellas es:

44 4 4 4 4

20 1 2 3 4⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

lo que nos sugiere hacer la generalización: 0

2n

n

x

nx=

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

con { }0 0,1,2,3, , 1,n x n∈ ∪ = −…N .n

CONTEO 113

Observe que el papel de la x , es muy importante, ya que se puede interpretar como el tamaño del subconjunto en consideración, y además como la cantidad de veces que aparece la letra en la cadena de longitud 4 (compare con el ejemplo 1.7.2). Antes de mencionar las dos propiedades restantes que podemos deducir de aquí, demostremos la primera.

S

Una vez recordado [3.2.8] demostraremos por inducción que: ¨

[3.3.1] { }0

2n

n

x

nn

x=

⎛ ⎞= ∀ ∈ ∪⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ N 0

ara

Es fácil de verificar que la igualdad es válida p 1, 2,3n = e inclusive ya vimos que para 4n = se cumple. Supongamos cierta la igualdad para y probemos para n 1n + . Debido a que es cierto para n podemos escribir y asociar de la manera indicada (nótese que en la parte inferior de las asociaciones ya viene sugerido que se aplicará la fórmula de Pascal [3.2.8]):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 11 1 1 10 11 2

20 0 1 1 2 1 1

n

n nn n n nnx n

n n n n n n n n n nx x n n n

+

+ ++ + + ++

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En la igualdad anterior se realizaron varios procesos al mismo tiempo.

Inicialmente se asumió como verdadera la hipótesis inductiva, posteriormente se sumo en sí misma agrupando los términos del lado izquierdo, y del lado derecho, tomamos en cuenta que . Así, aplicando la fórmula de Pascal llegamos a: 12 2 2(2 ) 2n n n n++ = =

11 1 1 1 1 1

20 1 2 1

nn n n n n nx n n

++ + + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

es decir , con lo que podemos concluir que es válida para , y de

esta forma queda demostrada la igualdad

11

0

12

nn

x

nx

++

=

+⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ 1n +

[3.3.1]. Ahora bien, nuestra segunda propiedad es un corolario de la que acabamos de demostrar, y de hecho es la comprobación de la igualdad sugerida en el ejemplo 1.8.1. Como por definición, representa a la cantidad de subconjuntos de cardinalidad

( , )C n xx que se pueden extraer de un conjunto de cardinalidad n , entonces la

suma , determina a la cantidad de todos los subconjuntos generados de un

conjunto de cardinalidad 0

n

xC n

=∑ ( , )x

{ }0n∈ ∪N , es decir: ( )Si entonces 2 .nA n A= ℘ =


Nuestra tercera y última propiedad, de hecho la más importante, es justo el Binomio de Newton. Veamos de nuevo, la relación que tiene con las cadenas de longitud n para así observar una característica y presentarla de manera formal junto con su correspondiente demostración. 3.3.1. Binomio de Newton Inicialmente hagamos algunas consideraciones; supongamos que se desea estructurar de alguna forma el resultado de ( ) na b+ { }0n∈ ∪N , para eso ensayemos con potencias pequeñas, además hagamos notar que se presentan cadenas cuya longitud es justamente la potencia a la cual se está elevando el binomio, por ejemplo:

( )( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

1 1

2

2

2 2

3

3

3 2 2 3

4

2 2 cadenas de longitud 1


2


3 3

a b a b

a b a b a b

aa ab ba bb

a ab b

a b a b a b a baaa aab aba abb

baa bab bba bbb

a a b ab b

a b a b a b a b a

+ = + → =

+ = + +

= + + + → =

= + +

+ = + + +

+ + += → =+ + + +

= + + +

+ = + + + +( )

4

4 3 2 2 3 4


4 6 4

baaaa aaab aaba aabbabaa abab abba abbbbaaa baab baba babbbbaa bbab bbba bbbb

a a b a b ab b

+ + ++ + + +

= → =+ + + ++ + + +

= + + + +

Haciendo una comparación con la propiedad anterior, notamos una gran relación

(refiriéndonos a las cadenas), y justamente esto se debe a que al hacer las multiplicaciones estamos ocupando n posiciones, correspondientes a la potencia del binomio, y en cada una de las posiciones se tienen dos opciones por poner, ya sea

, aparte coincide el conteo de ellas lógicamente; para ser más explícito, tomemos al binomio de potencia 4 y asociémoslo con las cadenas de longitud 4 de la siguiente forma :

óa b

)

3 1

3 1 ejemplo:

a b aaab SSSNa Sb N a b abaa SNSS

= ↔↔ ⎫⎬↔ = ↔⎭

Así, hay , y el término aparece veces, con el número 3 correspondiente a la potencia de (o la cantidad de

veces que aparece en la cadena) y el número

(42 16 cadenas de longitud 4 n= =

S

3 1a b

4 3 4C = a( )1 4 3= − correspondiente a la

CONTEO 115

potencia de (o la cantidad de veces que aparece en la cadena); una vez hechas las consideraciones podemos escribir la siguiente estructura para el binomio:

b

a

n

=

N

2

2 2

2

1 2 3

b

0 0=

n xa⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x n

n x

+

+ +

b

( )4 4 0 3 1 2 1 3

0 4 1 3 3 1 4 0

44

0

4 4 4 4 44 3 1 0

4 4 4 4 40 4

4xx x

x

a b a b a b a a b a b

a b a b a b a b a b

a bx

=−

=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

0 4

, .n

)x

0

Aquí vale hacer el comentario, la forma de binomio de Newton que se presenta

no es la tradicional (sin embargo no deja de ser válida), la razón del cambio es porque de esta manera ya está adaptada para su propósito principal, que es la distribución binomial.

Muy bien, en estos momentos ya podemos escribir la siguiente generalización, conocida como el binomio de Newton.

Sean y números arbitrarios y un número natural, entonces: b n

[3.3.2] ( )

{ }0

,1, 2,3, , 1

nn x n x

x

na b a b

x

n x n

−

=

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∀ ∈ ∪ −

∑…N

Demostremos por inducción sobre . n Para ya esta comprobado. Supongamos cierto para n y

comprobemos para . Tomamos la hipótesis inductiva y la multiplicamos por en ambos lados, así…

1,2,3,4.=1n +

(a b+

( ) ( ) ( )0

x nn

x

na b a b b a b

x

=−

=

⎧ ⎫+ + = +⎨ ⎬

⎩ ⎭∑

luego

( ) ( )1 0 1 1 1 1 0

0 1 1 1 1 0

0 1

0 1 1

0 1 1

0 1

n n n x n n

n n x n n

n

n n n n na b a b a b a b a b a b a b

x n n

n n n n na b a b a b a b a b a

x n n

n na b a

+ − − −

− − −

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1

1n x n x n nn n n

b a a b a b bx n n

− − −⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭


( ) 1 2 1 1 1 1

0 1 1 1 1 2 1

0 1 1

0 1 1

n n n x n x n n

n n x n x n

n n n n na b a b a b a b a b a b

x n n

n n n n na b a b a b a b a b

x n n

− + −

+ − + −

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

0

n

+

asociando

( ) 1 0 1 1 1

1 1 0

0 0 1 1

1

n n n x n x

n n

n n n n na b a b a b a b

x x

n n na b a b

n n n

+ + − +

+

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + + + +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Observemos que y recordemos

la fórmula de Pascal [3.2.8]. Apliquemos estos tres resultados a nuestra igualdad, de esta forma podemos escribir:

( ,0) ( 1,0) ( , ) ( 1, 1) 1C n C n C n n C n n= + = = + + =

( ) ( )

( )

11 0 1 1

1 1 0

1 1

0

1 1 10 1

1 11

1

n xn n n x

n n

n n xx

x

n n na b a b a b a b

x

n na b a b

n n

na b

x

+ −+ +

+

+ + −

=

+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠+⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

por lo tanto ( ) ( )1 11

0

1n n xn x

x

na b a b

x

+ + −+

=

+⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ , con lo que queda demostrado para y

así comprobado el “Teorema del binomio de Newton”.

1n +

Ejemplo 3.3.1 De [3.3.2] sea y , entonces se cumple 1a = − 1b =

( )0

1 0n

x

x

nx=

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

o escrito de otra manera

( )1 00 1 2 3

nn n n n nn

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

y si suponemos que es par n

0 2 1 3 1n n n n n n

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

CONTEO 117

y si n es impar

0 2 1 1 3n n n n n n

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ + + = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ejemplo 3.3.2 De [3.3.2] sea y , entonces se cumple a p= 1b = − p

1

( )0

1n

x n x

x

np p

x−

=

⎛ ⎞− =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ [3.3.3]

tal igualdad adquirirá su debida importancia al hablar de distribución binomial. Ejemplo 3.3.3 Supongamos que Omar, Eduardo, Chela, Isabel y Oswaldo se inscriben a un maratón y se ponen de acuerdo en que los tres primeros al llegar a la meta, serán invitados a una cena por los dos últimos. Lógicamente todos quieren ganar, pero lo importante aquí es llegar en los primeros tres lugares sin importar el orden en que llegaron. A Chela se le ocurrió organizar los posibles resultados (usando un criterio específico) con la finalidad de tener una perspectiva de el posible lugar al que pueden ir a cenar. Ella pensó “quien posee mayor condición física lógicamente tiene más oportunidades de llegar al principio” y con base en ese criterio estableció un orden desde el que tiene mayor condición hasta el que tiene menos y les asignó un número:

1. Omar, 2. Eduardo, 3. Chela, 4. Oswaldo, 5. Isabel Muy bien, la organización de todos los resultados siguiendo este criterio son:

{123, 134, 145

234, 2456 formas 124, 135, 3 formas 1 forma 345

235125

⎧⎧⎪− − −⎨ ⎨⎩⎪

⎩

Inicialmente ya se sabía que el total de resultados posibles es sin embargo lo importante aquí fue la manera en que Chela organizó la información. Si analizamos al primero de los tres grupos generados por el “criterio”, nos damos cuenta de que 1 siempre llega al principio lógicamente, entonces los movimientos en la segunda y tercer posición son los que determinan a las 6-formas, los cuales son agrupaciones de dos en dos (sin importar orden) teniendo un total de cuatro corredores de donde escoger, en otras palabras

(5,3) 10C =

(4,2) 6C = , y en consecuencia los números 3 y 1 provienen de 3 y 1 respectivamente. (3, 2)C= (2,2)C= Eso quiere decir que la siguiente igualdad se cumple:


(5,3) (2,2) (3,2) (4,2)C C C C= + +

y claramente nos lleva a proponer una expresión general; quedaría escrita así:

( 1, 1) ( , ) ( 1, ) ( , )C n r C r r C r r C n r+ + = + + + + o en términos de sumatoria

[3.3.4] ( , ) ( 1, 1)n

i rC i r C n r

=

= + +∑

Ejemplo 3.3.4 Demostremos [3.3.4]; para lograrlo necesitaremos [3.2.8], la cual se puede adaptar para nuestras variables y quedaría:

( , ) ( , 1) ( 1, 1)C i r C i r C i r+ + = + +

despejando ( , ) ( 1, 1) ( , 1)C i r C i r C i r= + + − + entonces:

[ ] [[ ] [[ ] [ ] [ ]

( , ) ( , ) ( 1, ) ( 2, ) ( 1, ) ( , )

1 ( 2, 1) ( 1, 1) ( 3, 1) ( 2, 1)

( 4, 1) ( 3, 1) ( 1, 1) ( , 1)

1 1 ( 2, 1) ( 2, 1) ( 3, 1) ( 3, 1)

( ,

n

i rC i r C r r C r r C r r C n r C n r

C r r C r r C r r C r r

C r r C r r C n r C n r

C r r C r r C r r C r r

C n r

== + + + + + + − +

= + + + − + + + + + − + +

+ + + − + + + + + + − +

= − + + + − + + + + + − + +

+

∑

[ ]1) ( , 1) ( 1, 1)( 1, 1)

C n r C n rC n r

+ − + + + +

= + +

]]

+

)

con lo que queda demostrado [3.3.4]. Ejemplo 3.3.5 Recuerde [2.2.7]. Expresemos la igualdad en términos de combinatoria.

1

1

1 2 3 4 5

(1,1) (2,1) (3,1) ( ,1)

( ,1) ( 1, 2)

n

i

n

i

i n

C C C C n

C i C n

=

=

= + + + + + +

= + + + +

= = +

∑

∑

note que se ocupó [3.3.4]; y por lo tanto se tiene:

1( 1, 2

n

ii C n

=

= +∑

CONTEO 119

Ejemplo 3.3.6 Del ejemplo [3.2.15] determinemos ahora todos los posibles órdenes que puede tener la agrupación , es decir, haremos movimientos internos tomando en cuenta únicamente a los objetos a, b, d, y sin cambiar la cantidad de veces que cada uno aparece; por ejemplo, dos de todos los posibles movimientos podría ser ó

.

aabbbdd

dabbabdbabadbd Supongamos que aabbbdd representa el “pedido” de celulares que hicieron siete personas en conjunto, para ser más claro, imaginemos que dos personas adquirieron el modelo a, tres el b y dos el d, entonces el local registró su venta como

(sin importarle quién escogió cuál celular). La situación que se genera ahora, es que lógicamente cada quién quiere quedarse con el modelo que escogió, aunque ya tengan los siete celulares en la mano, ahora deben repartírselos, y lo que resolveremos entonces será contar todas las posibles reparticiones que pueda haber (si las siete personas se enumeran (del uno al siete) no es lo mismo repartir que

).

aabbbdd

babadbddabbabd

Contemos. Supongamos que las siete personas son { }1, 2,3, 4,5,6,7A = y la

repartición equivale a que las personas 1 2 3 4 5 6 7b a b a d b d { }1 2, 4A = recibieron el modelo ,

por otro lado

a

{ }2 1,3,6A = recibieron y finalmente b { }3 5,A = 7 d recibieron . Si somos un poco observadores, de manera algo escondida lo que hicimos fue generar una partición (sección 1.7) del conjunto , ya que ninguna persona recibe dos modelos distintos, o sea, los conjuntos no se intersecan, y cada persona recibe únicamente un solo celular, en otras palabras uniendo a los tres subconjuntos obtenemos al conjunto .

A

A Lo antes mencionado, quiere decir que nuestro problema se tradujo a contar el total de particiones { }1 2 3, ,P A A A= de que se pueden generar si tenemos como datos:

A

1 1 2 2 37 2 3A n A r A r A= = = = = = = = 32 r Veamos. El total de formas en que se puede generar a es que correspondería al número de formas en que se pueden repartir los dos celulares a, en las siete personas, ahora, como ya fueron entregados dos celulares quiere decir que los celulares b se repartirán entre las cinco personas restantes, es decir y en consecuencia los celulares “d” tendrán maneras de ser repartidos; ocupando ahora el p.f.c. el total de formas en que serán repartidos todos los celulares (la tarea total) es:

1A (7,2)C

(5,3)C(2,2)C

7! 5! 2! 7!(7,2) (5,3) (2,2) 210

2!5! 3!2! 2!0! 2!3!2!C C C = = =

esto nos lleva a que es importante demostrar el caso general.


Ocuparemos la siguiente notación:

7 7!⎛ ⎞2,3,2 2!3!2!

=⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplo 3.3.7 Suponga que A n= y sean enteros (0ir ≥ 1,2,3, ,i k= … ) tales que:

1 2 3 kr r r r n+ + + + = entonces probaremos existen

1 2 1 2

!, , , ! ! !k k

n nr r r r r r⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠…

particiones diferentes de de la forma A { }1 2 3, , , , kP A A A A= … con i iA r= . Ok. Para determinar la cantidad de formas distintas en que se puede expresar, calculemos , ahora bien, de

1A1( , )C n r A ya se ocuparon elementos, entonces nos

quedan y de ahí seleccionamos de en , llegando a que hay formas distintas de expresar a , en consecuencia hay

1r1rn − 2r 2r 1 2( ,C n r r− )

, )2A 1 2r r3(C n r− −r

formas distintas para establecer , siguiendo con la idea llegamos a que hay C n3A 1 2r 1( ,k kr r− )− − − − formas distintas para kA ; concluyendo que la cantidad de formas distintas en que puede establecerse es:

P

1 1 2 1 2 3 1 2 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )k kC n r C n r r C n r r r C n r r r r−− − − − − − −

que a su vez es igual a:

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )1 1 2 1 2

1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1

! !!! ! ! ! ! ! !

k

k k

n r n r r n r r rnr n r r n r r r n r r r r n r r r r

−

−

− − − − − − −− − − − − − − − − −

1 !!k−

cancelando y advirtiendo que ( )1 ! 0! 1kn r r− − − = = , llegamos a que la expresión es igual a:

1 2

!! ! !k

nr r r

con lo que quedaría demostrado.

Al número se le conoce como coeficiente multinomial. 1 2, , , k

nr r r⎛ ⎞⎜⎝ ⎠… ⎟

CONTEO 121

El siguiente desarrollo hace uso de resultados de cálculo: integración por partes, derivación; por lo que puede resultar un poco fuera del contenido temático que se ha estado manejando, sin embargo se considera importante al menos presentarlo, confiando que el estudiante lo recuperará al momento de haber trabajado esos temas en sus cursos de cálculo (en caso de que no lo haya hecho). Trata de un resultado, cuya noción es el hecho de expresar al factorial de un número entero no negativo como el resultado de un proceso de integración muy útil, el cual nos servirá para generalizar al factorial para todos los elementos del conjunto

{ }1, 2, 3,− − − − …R . La expresión a demostrar es la siguiente:

0!k xx e dx k

∞ − =∫ , con { }0 y 0x k> ∈ ∪N

Veamos. La técnica inicial a ocupar será la integración por partes, recordemos entonces la fórmula:

udv uv vdu= −∫ ∫

tomemos 0

k xx e dx∞ −

∫ y hagamos los siguientes cambios de variable k

x

u x

dv e dx−

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

de aquí que ( )

1k

x x

du kx dx

v e dx e dx e

−

− −

⎧ =⎪⎨ x−= = − − = −⎪⎩ ∫ ∫

, aplicando los resultados obtenidos

sobre la fórmula, llegamos a:

( )( ) ( )

1 1

0 0 00 0

21

k x k x x k k x k xx e dx x e e kx dx x e k x e dx∞ ∞∞ ∞− − − − − −= − − − = − +∫ ∫ ∫

∞ −

antes de continuar analizaremos en forma separada a (1) y (2). (1) →

( ) 00 00

0lim lim lim limnk k knk x k x

k

x n nn n n n

x n nx e x ee e e

∞− −

→∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = − = − − − = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ e

luego aplicamos L’ Hôpital, el cual dice:

'( )Si lim ( ) lim ( ) y lim'( )

( )entonces lim( )

x x x

x

f xf x g xg x

f x lg x

→∞ →∞ →∞

→∞

l= = ∞ =

=


de esta forma

[ ]( )

[ ]( )

( 1)1

( 1)

( 1)1

( 1)

( ) ( ) 0( )

lim ( ) lim ( ) y( ) ( ) ( )

kk

k k

kn n nk n

k

df n f nf n n dnf n g n

dg n e g n g n e

++

+

+→∞ →∞+

+dn

= =⎫= ⎪ = = ∞⎬= ⎪⎭ = =

llevándonos a que:

[ ]( )

[ ]( )

1

1 0

( ) 0lim lim lim 0 0 lim 0( )

k kk x

n nkn n n n

f n n x ee eg n

+∞−

+→∞ →∞ →∞ →∞

⎛ ⎞= = = ⇒ − = −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=

(2) →

1 1

0 0

k x k xk x e dx k x e∞∞ − − − −= −∫ ( )( )

02 2

0 01 ( 1)x k ke k x dx k k x e d

∞ ∞− − −⎡ ⎤− − − = −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

x x−

volvemos a integrar por partes: ( )1 21k k

x x

u x du k x dx

dv e dx v e

− −

− −

⎧ = = −⎪⎨

= = −⎪⎩ y con esto observamos que existe recursividad:

( )

1 2

0 0

3

0

4

0

0

000

( 1)

( 1)( 2)

( 1)( 2)( 3)

( 1)( 2) (4)(3)(2)(1)

1 1! ! !lim

1!lim

k x k x

k x

k x

x

xx nn

nn

k x e dx k k x e dx

k k k x e dx

k k k k x e dx

k k k e dx

k e k ke e

ke

∞ ∞− − − −

∞ − −

∞ − −

∞ −

∞∞−

→∞

→∞

= −

= − −

= − − −

= − −

⎛ ⎞ ⎛= − = − = − +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

= −

∫ ∫∫

∫

∫1e⎞⎟⎠

0

1 !k⎛ ⎞⎜ ⎟+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

Una vez calculados (1) y (2) podemos establecer la igualdad buscada:

{ }0

! con 0 y 0k xx e dx k x k∞ − = > ∈∫ N∪

=

Un corolario de este resultado, nos da la razón del porqué ; pongamos

, entonces: 0! 1=

0k =0

0 00! 1 0! 1x xx e dx e dx

∞ ∞− −= = = ∴∫ ∫

CONTEO 123

0( ) x t

La importancia de esta forma integral del factorial de un número, no es precisamente como para saber que el factorial de cero sea uno, sino que se puede extender a valores fraccionarios e inclusive negativos (menos los enteros negativos), proporcionando así una forma general del concepto de factorial, llamado la Función Gamma propuesta por Euler, muy ocupada en teoría de estadística y probabilidad avanzada.

x t e dt∞ −Γ = ∫


Ejercicios

1. Un hombre posee seis camisas, cuatro pantalones y dos pares de zapatos. ¿Cuántas y cuáles formas de vestir diferentes son posibles? (elabore un diagrama de árbol que describa la situación).

2. Dentro de una urna hay cinco pelotitas, cada una tiene un número, se revuelven,

se saca una de ellas y se registra el número, la pelotita se deja fuera de la urna y se extrae la siguiente y se registra, así hasta vaciar la urna; posteriormente se apunta el número de cinco cifras que se generó (con los dígitos del uno al cinco) y se devuelven las pelotitas para comenzar otro ciclo; demuestre que el total de números distintos que se pueden crear bajo este proceso es 120.

3. Del ejercicio anterior suponga que la pelotita extraída se registra y enseguida se

devuelve a la urna. Demuestre que si se realizan siete extracciones y con eso comenzar otro ciclo, existen 78125 números de siete cifras que se pueden generar bajo estas condiciones.

4. Del ejercicio dos, suponga que dentro de la urna ahora hay ocho pelotitas, igual,

cada una enumerada; la pelotita se saca, se registra y no se devuelve a la urna. Demuestre que si el ciclo termina cuando se tienen registradas tres pelotitas, el total de números distintos que se pueden formar bajo éste proceso es 210.

5. Demuestre que si 2 (6, ) 3 (5, )P r P r= entonces 2r = . 6. Muestre que para cualquier pareja de enteros , 0n r ≥ con 1n r+ > entonces:

1( 1, ) ( ,1

nP n r P n rn r

+⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠)

7. Suponga que tiene un octágono regular, y por cada tres vértices distintos dibuja

un triángulo. Demuestre que hay 56 triángulos distintos que se pueden formar. 8. En el juego de Melate, de una boleta, se seleccionan seis números de entre

cincuenta y uno que hay. Demuestre que el total de boletas distintas que pueden existir es 18009460.

9. Del juego de Baraja (52 cartas, 4 palos, 13 cartas por palo), demuestre que el

total de manos distintas que sean doble par es 123552.

10. Considere el conjunto { }2( , ) : ,S x y x y= ∈ ∈R Z y además que una partícula

dentro de S se mueve con dos únicos movimientos posibles (ya sea para arriba A o para la derecha D ), definidos de la siguiente manera:

: ( , ) ( , 1): ( , ) ( 1, )

A x y x yD x y x y

→ +→ +

CONTEO 125

suponga que la partícula se mueve desde ( , )a b S∈ hasta con . Demuestre que el total de rutas distintas (caminos aleatorios) que

se pueden formar bajo estas condiciones es

( , )c d S∈

)a,c a d b> >

(C c a d ,b c− + − − . Note que en dado caso de tener los valores ( , ) (0,0)a b = el total de rutas se determina por la fórmula (C c , )d c+ .

11. Suponga que del ejercicio anterior ( , ) (0,0)a b = y ( , ) (3,2)c d = . Demuestre que la cantidad de caminos aleatorios distintos que se formar, con los dos únicos movimientos posibles A D , es 10 y posteriormente exponga cuáles son.

12. Desarrollar ( )8a b+ ocupando el binomio de Newton.

13. Empleando el binomio de Newton demuestre: 02 ( , ) 3

nk n

kC n k

=

=∑ .

14. ¿Cuántas y cuáles son todas las formas en que la ecuación 1 2 3 3x x x+ + = puede

resolverse para valores enteros mayores o iguales que cero? R.10.

15. Suponga que Alex quiere regalar sus 100 canicas a cinco de sus amigos, es posible que exista un amigo que no haya recibido canicas o que las reciba todas. Demuestre que el total de formas en que Alex puede distribuir sus canicas a sus cinco amigos es 4598126.

16. Suponga que Alex ya sabe cuántas canicas le va a dar a cada uno de sus cinco

amigos y de una en una comienza a repartirlas. ¿De cuántas maneras puede realizarse dicha distribución?

1 2 3 4 523, 45, 10, 0, 22r r r r r= = = = =

R. . 7.39891E51

17. Del triángulo de Pascal, explique la forma en que las propiedades [3.2.5], [3.2.6], [3.2.7], [3.2.8], [3.3.1], [3.3.4] y la igualdad del ejemplo 3.3.1 se ven reflejadas.

1 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

18. En el dominó cuatro jugadores dividen en partes iguales 28 fichas. ¿De cuántas

formas pueden hacerlo? R. 472518347558400. 19. Repita el modelo que se desarrolló en la sección 3.3 para 5n = .


20. Desarrolle algebraicamente 3) y verifique que el coeficiente de la

expresión 1 2 3r r ra b c es justamente

(a b c+ +

1 2 3

3, ,r r r

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, con 1 2 3 3r r r+ + = y entero 0ir ≥ 1, 2,3.i =

¿Cuál es la relación con el ejercicio 14?

21. Compruebe que ( ) j n i j

0 , ,n i

i j n

na b c a b c

i j n i j− −

≤ + ≤

⎛ ⎞+ + = ⎜ ⎟− −⎝ ⎠

∑ .

Referencias [5] págs. 15,36; [7] págs. 30-33; [10] pág. 54; [12] págs. 2, 17-19, 22-23, 45-47, 75-76; [17] págs. 25,59; [18] págs. 393-395.

Capítulo 4

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

4.1. INTRODUCCIÓN La estadística descriptiva, trata del manejo de datos referentes a un objeto de estudio, pueden ser cuantitativos o cualitativos por ejemplo, si nuestro interés se dirige a analizar la manera en que la deserción estudiantil ha crecido o disminuido en los últimos diez años, entonces debemos hacer un manejo de las cifras referentes al tema, que se tienen registradas por año, semestre, mes etcétera. La finalidad es que con el manejo de información podamos describir el proceder del objeto de estudio. Ahora bien, dicho manejo hace uso del material que se ha presentado anteriormente, por lo que la idea de este capítulo será comenzar a hacer uso de la herramienta matemática, y la interpretación que pueda tener dentro del contexto con el que se trabaje. Es natural hacerse el cuestionamiento: si conocemos la forma en que se ha comportado un determinado objeto de estudio e inclusive lo podemos describir, ¿es posible predecir dicho comportamiento al tiempo futuro? La respuesta es afirmativa, claro que no sería muy preciso usar la palabra “predecir”, sin embargo se puede “inferir”, esto es, determinar cuál es el comportamiento con mayor probabilidad de ocurrir. La teoría que aborda tal situación, recibe el nombre de Estadística Inferencial. Muy bien, en el desarrollo del capítulo se ocuparán las ideas mencionadas. 4.2. TIPOS DE VARIABLES Es vital saber el tipo de datos con los que estamos trabajando, dependiendo de su clasificación, será la forma de trabajar con ellos. Hay que hacer la aclaración, de que no estamos hablando de las unidades que la variables puedan tener (años, centímetros, segundos, etc.), más bien, hablamos de la manera en que puedan ocurrir. Aclaremos. Supongamos que Enrique tiene un local de cómics, abre a las nueve de la mañana ( ) y cierra a las seis de la tarde (0 seg.t = 32400 seg.t = ); necesita saber dos cosas (para eso en un día específico realiza el estudio):

127


a) ¿Cuántos clientes llegan en ese día? b) ¿En qué momento de [ llegaron? 0,32400]

La respuesta a la primera pregunta es algún elemento de { }0,1, 2,3, , n…

3.29 para

entero no negativo (lógicamente sería incorrecto decir que llegaron personas), y la respuesta a la segunda pregunta es cualquier elemento del conjunto

n

{ }: [0,x x∈10345.459=

32400] , observando que aquí, sí tiene sentido decir que alguien llegó a los t Note que de un objeto de estudio podemos estudiar varias cosas.

seg.

El primer tipo de variable se conoce como Variable Discreta; el segundo tipo de variable se conoce como Variable Continua. La diferencia entre una y otra es que la discreta sólo toma valores aislados y la continua puede tomar cualquier valor en algún intervalo continuo de números. Otra situación similar, sería por ejemplo, estudiar la velocidad promedio que tiene un avión al trasladarse de un lugar a otro (que sería una variable continua), o el número de canciones que tiene el grupo Pearl Jam (que sería una variable discreta). En resumen, las variables discretas están relacionadas con un proceso de contar, mientras que las variables continuas tienen relación con un proceso de medición (aunque el “contar” también sea una forma de medir). Nuestro principal objeto de estudio, serán las variables discretas. En caso de que ocupemos variables continuas se mencionará en el momento. 4.3. DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Mediante el uso de un ejemplo, expondremos la manera en que los datos comienzan a manejarse. Nuestro objeto de estudio será, conocer la cantidad de cigarros que una persona fuma en el transcurso del día, que viva en una región específica. Supongamos que extraemos los datos de una región que cuenta con 1000 habitantes; desde este momento nos estamos topando con problemas técnicos, debido a que en muchas ocasiones resulta extremadamente complicado preguntarle a las mil personas (población), ¿cuántos cigarros fuma al día?; sin embargo, lo que podemos hacer es escoger de manera aleatoria a 150 de los mil habitantes (muestra) y levantar una encuesta. La idea es que el manejo de los resultados obtenidos de la “muestra”, pueda llevarnos a conclusiones que se refieran a la “población” (estadística inferencial). Las conclusiones podrían ser, si la población es saludable o no, en dado caso de que no, posteriormente se podría estudiar su relación con el crecimiento de enfermos de cáncer por ejemplo. Sin embargo no trabajaremos estas situaciones que más bien ya ocupan cuestiones de datos bivariados y correlación. Es de observar la analogía tan fuerte que hay entre las palabras: “población” con “conjunto” y también “muestra” con “subconjunto”. No es una coincidencia, justamente se persigue relacionar nuestro objeto de estudio con teoría de conjuntos. También la “población” se refiere a lo que hemos manejando como “espacio muestra”, y “muestra” con “evento”.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 129

Ahora, la letra x representará la cantidad de cigarros que una persona fuma al día, inicialmente hay que observar que se trabaja con una variable discreta. La letra f (frecuencia), representará a la cantidad de personas que fuma x cigarros al día. La siguiente tabla tiene los datos levantados en la encuesta. Observe que en la parte de debajo de la columna f se tiene a los cien encuestados.

x f 0 9 1 13 2 19 3 29 4 37 5 17 6 16 7 10

150 El siguiente paso por hacer, es darle nomenclatura a los datos con el fin de expresar matemáticamente el manejo que se les dará. Tenemos datos del cero al siete; como ya se mencionó, se trata de una variable discreta. A cada dato lo representaremos de la siguiente forma:

1 2 3 4 5 6 7 80; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7.x x x x x x x x= = = = = = = = Lógicamente cada dato tiene a su correspondiente frecuencia asociada, se entenderá por ( )if x como la frecuencia asociada al dato ix , también se escribe if . Observe que la notación ( )if x hace ver la manera en que la frecuencia depende del dato. Entonces la nomenclatura queda así:

1 2 3 4

5 6 7 8

( ) 9; ( ) 13; ( ) 19; ( ) 29;( ) 37; ( ) 17; ( ) 16; ( ) 10.

f x f x f x f xf x f x f x f x

= = == = =

==

8

1( ) 150i

if x

=

=∑

desde aquí ya nos damos cuenta de que habrá por hacer algo para cuando la cantidad de datos distintos sea muy grande. En este caso no hay tanto problema porque solamente hay ocho tipos distintos de valores (no pierda de vista que en realidad estamos trabajando con 150 datos). También hay que observar:


Por otra parte, suponemos que una de las primeras preguntas por resolver es: ¿cuántas personas fuman a lo más tres cigarros al día? Pues lo que tendríamos que hacer es realizar la siguiente suma:

0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) 70f x f x f x f x+ + + = Pero este tipo de preguntas puede ser muy variado: ¿cuántas personas fuman de dos a cinco cigarros al día?, sería el mismo tipo de pregunta. Una forma de manejar la información para responder de manera directa este tipo de preguntas, es con el concepto de “función acumulada”; el concepto es simple, se trata de ir sumando de manera secuencial a las frecuencias, es decir, nuestro primer valor será 1f , el siguiente será 1 2f f+ , luego el 1 2 3f f f+ + y así sucesivamente hasta llegar al último valor, que sería:

1 2 3 mf f f f n+ + + + = con representando a la cantidad de datos distintos con los que trabajamos y la cantidad total de datos obtenidos, en este caso

m n8m = y 150n = .

Definamos: con 1

( ) ( )i

i jj

F x f x=

= ∑ 1,2, ,i m= … , calculando:

1

1 11

2

2 1 21

3

3 1 21

8

81

( ) ( ) ( ) 9

( ) ( ) ( ) ( ) 22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 41

( ) ( ) 150

jj

jj

jj

jj

F x f x f x

F x f x f x f x

F x f x f x f x f x

F x f x

=

=

=

=

= = =

= = + =

= = + +

= =

∑

∑

∑

∑

3 =

entonces la tabla quedaría:

x f F 0 9 9 1 13 22 2 19 41 3 29 70 4 37 107 5 17 124 6 16 140 7 10 150

150


sin embargo no siempre resulta cómodo definir exclusivamente para los valores de los datos en cuestión, es posible “levantar” la definición al caso real, una razón muy fuerte es que se trabajará en adelante con el caso continuo. Veamos la forma en que se logra esto.

F

Primero escribamos una versión equivalente para ( )if x , asumiendo que los datos distintos de la muestra son ix para 1, , .i m= …

Definamos ( ) si

( )0 si

i i

i

f x xf x

xx x=⎧

= ⎨ ≠⎩, para x∈R

y la manera en que esta definición se ve reflejada en , es la siguiente: F ( ) ( )

t xF x f t

≤

=∑ [4.3.1]

La manera en que se trabaja es la misma, sólo hay que comprender que la notación indica que habrá de sumarse sobre todos los valores menores o iguales a x. Por ejemplo , y pasa esto porque no hay algún

3.25( 3.25) ( ) 0

tF

≤−− = =∑ f t ix de

nuestros datos que pertenezca al conjunto ( , 3.25]−∞ − . En otras palabras ( )f t adquiere valores distintos de cero únicamente cuando ixt = . Otros ejemplos serían:

4.97(4.97) ( ) (0) (1) (2) (3) (4) 10

(2007) 150t

F f t f f f f f

F≤

= = + + + + =

=

∑ 7

De esta manera nos damos cuenta que la definición [4.3.1] se adapta a la definición original, y además tiene la ventaja de estar definida para todo real. Continuemos. Los datos no siempre se trabajan tal cual, muy a menudo es conveniente expresarlos a manera de porcentaje, por lo que definimos a lo que se conoce como “frecuencia relativa” f f n= , la cual nos lleva a la definición de una “frecuencia acumulada relativa”: ( ) ( ) para

t xF x f t x

≤

= ∈∑ R [4.3.2]

Si por ejemplo, necesitamos saber el porcentaje de fumadores que consumen exactamente cuatro cigarros al día pues simplemente calculamos

5(4) 37( ) (4) 0.2466

150 150ff x f= = = =

entonces el de la muestra consume cuatro cigarros al día. 24.66%


Reflejando todo esto en la tabla, quedaría de la siguiente manera:

fx f F F 0 9 9 0.06 0.06 1 13 22 0.0866667 0.1466667 2 19 41 0.1266667 0.2733333 3 29 70 0.1933333 0.4666667 4 37 107 0.2466667 0.7133333 5 17 124 0.1133333 0.8266667 6 16 140 0.1066667 0.9333333 7 10 150 0.0666667 1

150 1 lo cual resulta en extremo útil. Por ejemplo, si necesitáramos conocer el porcentaje de personas que fuman de dos a cinco cigarros entonces calculamos:

(2) (3) (4) (5) (0) (1) (2) (3) (4) (5) (0) (1)

(5) (1) 0.82666 0.1466 0.68

f f f f f f f f f f f f

F F

⎡ ⎤+ + + = + + + + + − +⎣ ⎦= − = − =

⎡ ⎤⎣ ⎦

llegando a que el de la muestra consume de dos a cinco cigarros al día. 68% Es claro que debemos extender este modo de calcular para el caso [4.3.2]; recordemos [2.2.3] y asociémoslo con el tipo de operaciones que hacemos. Quedaría entonces:

2 5 5 1( ) ( ) ( ) (5) (1) 0.68

t t tf t f t f t F F

≤ ≤ ≤ ≤

= − = − =∑ ∑ ∑

en pocas palabras (para el caso discreto), si queremos conocer el porcentaje de datos dentro del intervalo i jx t x≤ ≤ ( i j≠ ) lo que debemos hacer, es calcular:

1( ) ( )j iF x F x −− Otro comentario muy importante por hacer es, que notemos el parecido que tiene la frecuencia relativa con los resultados del ejemplo 1.6.9, veamos: La frecuencia es un valor positivo (por definición) que satisface 0 f n≤ ≤ , entonces al dividir entre llegamos a n 0 1f n≤ ≤ , por lo tanto:

0 1f≤ ≤

y además 1

( ) 1m

ii

f x=

=∑ , compare el resultado con [1.7.1].


Sigamos. A ( )f x se le denomina “función de frecuencia” y por otro lado a se le conoce como “función de frecuencia acumulada” o también “función de

distribución”. Como funciones, tienen sus respectivas gráficas y propiedades. ( )F x

Las propiedades de la función de frecuencia ya se mencionaron; su gráfica es: la altura de cada una de las líneas es ( )if x para 1,2,3, ,8i = … , y la suma de las alturas es igual a 1. Por otro lado resulta más interesante; de la tabla podemos conocer los valores que adquiere la función en el eje real y por lo tanto su gráfica.

( )F x

0 si 00.06 si 0 10.14 si 1 20.27 si 2 3

( ) 0.46 si 3 40.71 si 4 50.82 si 5 60.93 si 6 71 si 7

xxxx

F x xxxxx

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎪ ≤ <⎪⎪= ≤⎨⎪

<≤ <⎪≤ <⎪

⎪ ≤ <⎪⎪ ≤⎩

La función es del tipo de funciones que se denominan escalonadas, cada uno de los “saltos” que tiene (desde cero hasta uno) mide:

( )F x

1 2( ), ( ), , ( )mf x f x f x… respectivamente ( m para nuestro caso). 8= Es no decreciente, esto significa que cada que ( ) ( )iF x F x≤ j jix x≤ ; además vale 1 a la derecha del valor máximo de la muestra y 0 a la izquierda del valor mínimo. Hasta este momento, hemos trabajado la situación de que tenemos una cantidad pequeña de datos distintos, la idea de la siguiente sección será indicar cuál será el tratamiento de la información para el caso en que la cantidad de datos sea muy grande, y una vez terminada la discusión, seguiremos con el desarrollo expuesto en esta sección.


4.4. CLASES Como se acaba de mencionar, abordaremos la situación para cuando m es muy grande. Si observamos el ejemplo de la sección anterior, al valer 8m = no se presentaron dificultades técnicas en el manejo de información, pero ¿que pasaría si por ejemplo

? Definitivamente no vamos a estar trabajando con una tabla de filas. 2000m = 2000 El manejo de datos que expondremos tiene grandes beneficios, pero a costa de pérdida de información y, por lo tanto aumento en margen de error para los resultados que se puedan extraer. Muy bien. Imaginemos que se desea hacer un estudio acerca del poder adquisitivo que tiene la gente que vive en determinada región; para eso, únicamente se toma como criterio saber ¿cuál es el ingreso neto mensual que percibe cada una de las mil familias que viven ahí? Supongamos también que la información ya se tiene a la mano. Lógicamente la cantidad de datos distintos (ingreso por familia) es muy variada y grande, además puede ser que algunos de ellos se repitan una sola vez o más. Para nuestro interés, no es muy necesario saber ¿cuánto gana específicamente cada familia?, sino que es inclusive más útil saber la cantidad de familias que tienen determinado margen de ganancia. La pregunta es, ¿cómo representar la situación matemáticamente? Supongamos que la (s) familia (s) que menos gana (n), tiene (n) un ingreso neto mensual de 15000 pesos, y la (s) que más, percibe (n) 37000 pesos al mes. Podemos asumir que nuestras unidades serán “miles” y con eso simplificar los cálculos. Denotemos por minx al dato de menor valor, o sea min 15x = ; de igual forma el que tiene mayor valor se escribe max 37x = . Si nuestro interés radica en establecer margen de ganancias, lo que debemos hacer es dividir en categorías al rango de ganancias, (rango igual a ), es decir, si queremos por ejemplo cinco categorías (clases) en las que cada una hable de un margen de ganancia, pues lo que habrá por hacer será dividir al rango entre cinco, obteniendo así la cantidad que debe abarcar cada margen ( c ); ahora, que no necesariamente tienen porqué ser cinco categorías, pueden ser más (o menos), eso depende del tipo de información que se desee manejar, y por supuesto del error que se está dispuesto a tener (a menor cantidad de clases mayor error).

max mx x− in 22=

Veamos: max min 22 4.4# 5

x xcclases−

= = =

4.4 19.4+ =15,19.4]

19.4,23.8]

entonces, nuestro primer margen de ganancia sería desde 15 hasta 15 mil pesos, lo que se escribe como el intervalo [ ; el segundo margen (segunda clase) queda determinado por el intervalo [ y así sucesivamente hasta llegar al valor máximo.


En resumen, las cinco clases serían:

clases márgenes 1 [15.0,19.4] 2 [19.4,23.8] 3 [23.8,28.2]4 [28.2,32.6]5 [32.6,37.0]

el siguiente paso será clasificar a las familias por clases. De las 1000 familias, veamos cuántas ganan entre 15 mil y 19.4 mil pesos, y a todas ellas las ponemos en la clase número uno (supongamos que son 439); luego, en la clase número dos pondremos a las familias que ganan entre 19.4 y 23.8 mil pesos (supongamos 244) y así sucesivamente hasta terminar. Si por casualidad alguna familia gana exactamente una cantidad que esté contemplada en dos clases al mismo tiempo (por ejemplo 28.2mil), la colocaríamos por convención en la case inmediata superior. Aún no hemos terminado, porque recordemos que la finalidad es asociar esto con la teoría de la sección anterior, y nos hace falta un dato específico que “represente” a cada una de las clases para su uso en las fórmulas, a dicho dato se le llama Marca de Clase (MC), y se determina obteniendo el punto medio de los dos valores que definen a cada intervalo, observe: para el intervalo [ su MC será ( )23.8,28.2] 23.8 28.2 2+ , escribiéndose como , que se lee “el dato representativo de la clase número 3 es igual a 26”.

3 26x =

Todo esto queda de la siguiente forma:

clases márgenes x f 1 [15.0,19.4] 17.2 4392 [19.4,23.8] 21.6 2443 [23.8,28.2] 26 1554 [28.2,32.6] 30.4 97 5 [32.6,37.0] 34.8 65

con lo que ya podemos ver claramente que las dos últimas columnas son precisamente del tipo de las que manejamos en la sección anterior y en consecuencia ya podemos darle el tratamiento matemático establecido. Un detalle por mencionar antes de seguir, es el de observar que los datos de la tabla anterior se “cargan” hacia la izquierda (hay más familias cuyos márgenes de ganancia son menores) y los de la tabla de la sección anterior se cargan al centro (las personas fuman “alrededor” de cuatro cigarros al día). En adelante encontraremos un método que nos servirá para determinar hacia dónde tiende a cargarse la información, lo que se conoce como sesgo de la distribución.


4.5. M NCIA CENTRAL

a form denominan medidas de tendencia central.

nte, que el “sesgo” de una distribución no es lo único que se uede sab

ra más arriba e la gráf í mismo), a tal parámetro lo denominamos moda.

o n a y el ); a tal distribución se le llama bimodal.

uál sería el concepto análogo para cuando se trabaja con clases?

EDID

er acerca d

ica, que ser

yor cantidad de veces

Pero ¿c

AS DE TENDE

ación “alrededor” de ellos, por eso se

e ella.

En esta sección comenzaremos a realizar otro tipo de cálculos sobre las distribuciones de frecuencia, la idea es establecer parámetros que nos ayuden a describir la información con la que estamos trabajando. Nos dimos cuenta al final de la sección anterior que pueden haber distribuciones que se concentren ya sea a la izquierda, al centro o inclusive a la derecha. Por tal razón comenzaremos por estudiar maneras en que se puedan determinar números que tengan la peculiaridad de concentrar lin Habrá de tener presep Un primer parámetro podría ser cuando nos fijamos en el valor que tiene mayor frecuencia, por ejemplo: de la distribución que habla de los fumadores, el dato que tiene mayor frecuencia es 5 4x = con frecuencia 37 (o el valor que se encuentd a lo Sin embargo no tiene porqué ser único, si suponemos que una pequeña distribución es 2,3,4,4,5,6,7,7,9 n s damos cuenta que los valores que se repitem son dos (el 4 7 Un primer resultado sería tomar a la marca de clase que tiene mayor frecuencia, para el caso de la sección 4.4, la “moda” sería 1 17.2x = con frecuencia 439 . Pero ya sabemos que 1x es un valor representativo de todos los valores que cayeron en la clase 1, así que no podemos saber de manera precisa cuál es el valor que se repite más veces. Sin embargo existe

precisam

u écnica que nos ayuda a tener una aproximación más precisa de moda.

Nos toca recordar entonces un poco de semejanza de triángulos.

alturas son

na t

te

la La siguiente gráfica representa las alturas que generan las dos clases que se encuentran alrededor de la clase que tiene mayor frecuencia, y es de saberse que las

en las frecuencias de cada una (para el caso de la sección anterior 15L = y 19.4U = ); x̂ representa a la moda teórica y el rectángulo de mayor altura

presenta a la clase de mayor frecuencia. re

Trazamos las tres líneas auxiliares , ,RT QS EF que se intersecan en el punto P ; α y β representan la diferencia de las alturas entre la clase de mayor frecuencia ( odmf ) con la clase de la izquierda ( antf ) y con la de la derecha ( sigf ) respectivamente. Nos damos cuenta de que existe la siguiente igualdad entre los ángulos generados, y en consecuencia una semejanza de

triángulos:


QRP PTSRQS PST RPQ PSTRPQ SPT

∠ = ∠ ⎫⎪∠ = ∠ ⇒ Δ ≅ Δ⎬⎪∠ = ∠ ⎭

lo que nos lleva a la igualdad

ˆ ˆEP PF x L U xRQ ST α β

− −= ⇒ =

despejando x̂

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) U Lx L U x x L U x x U L x α ββ α β β α α α β α βα β+

− = − ⇒ − = − ⇒ + = + ⇒ =+

pero como U L c= +

( ) ( )ˆ

ˆ

L c L L cx L c

x L c

α β α β α αα β α β α β

αα β

⎛ ⎞+ + + += = = + ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

⎛ ⎞∴ = + ⎜ ⎟+⎝ ⎠

+

llegando así a una fórmula que nos permita calcular a la moda para el caso de trabajar con clases. Hagamos un pequeño cambio para llegar a la forma más conocida para esta fórmula.

( ) ( )mod mod

mod mod mod

ˆant ant

sig ant sig

f f f fx L cf f f f f f

αβ

⎛ ⎞= − ⎫ −⇒ = + ⎜ ⎟⎬ ⎜ ⎟= − − + −⎭ ⎝ ⎠

calculemos entonces para la distribución de la sección 4.4:

( ) ( )439 0ˆ 15 (4.4)

439 0 439 244

43915 (4.4)634

15 (0.6924)(4.4) 15 3.0466 18.04

x⎛ ⎞−

= + ⎜ ⎟⎜ ⎟− + −⎝ ⎠⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎝ ⎠

= + = + =

la cual se considera una mejor estimación para la moda, y se ocupa en vez del valor

propuesto al principio. 17.2 Otro parámetro muy común es la mediana x , que representa al dato que está “en medio” de la distribución. Supongamos que la distribución es 3 , entonces su mediana es porque es el dato que tiene la propiedad de que tanto a su izquierda como a su derecha existe la misma cantidad de datos de la distribución; es claro que se necesita primero ordenar los datos, y si la cantidad de datos es par, se calcula el valor medio entre los dos datos que se encuentran al centro de la distribución; es decir para el valor para la mediana es .

, 4,5,5,6,9,12,43,436x =

2,4,5,74.5x =


Por otro lado, si tenemos una cantidad grande de datos, ocupamos la distribución y realizamos el manejo de información que se presenta más adelante.

x f F 0 9 9 1 13 22 2 19 41 3 29 70 4 37 107 5 17 124 6 16 140 7 10 150

150 Tenemos 150 datos escritos en forma ordenada, 9 ceros, 13 unos y así; nos damos cuenta que hay una cantidad par de datos (150), entonces la mediana se obtendrá del punto medio que hay entre dos datos, pero ahora ¿cuáles dos datos? Si hay seis datos por ejemplo ( ), la mediana se obtiene de los datos que se encuentran en las posiciones 3 y 4 ( •• ), la forma de obtenerlas es simple, sólo hay que hacer la operación ( )6 1 2+ , nos da 3.5 , que pasamos a 3 y 4. En dado caso de quedar en la operación un número entero, quiere decir que la cantidad de datos es impar, con lo que el resultado obtenido es directamente la posición que tiene la mediana de tal distribución; en la figura se observa a lo que nos referimos.

••••••••••

Regresando a nuestra distribución, la posición de la mediana se calcula:

1 150 1 151 75.52 2 2

n + += = =

, significa que los datos buscados se encuentran en las posiciones 75 y 76;

Busquemos ahora en la frecuencia acumulada. Los datos que tienen valores del 0 al 3 son 70, si añadimos a los 37 números cuatro, llevamos 107 números escritos en forma ordenada, quiere decir que los números que se encuentran en las posiciones 75 y 76 son dos cuatros, entonces la mediana vale:

4 4ˆ 42

x + . = =


En conclusión. Se puede entender a la mediana como el valor central respecto a la cantidad de elementos que tiene la distribución y a la moda como el valor que concentra a la mayor cantidad de elementos de la distribución.

ˆx x Observe que si en alguna distribución se da el caso de que = podemos decir que, el valor que tiene mayor concentración de elementos de la distribución también se encuentra en medio de la distribución. Un ejemplo sería

2,3,4,4,7,7,7,9,12,12,69 , con ˆ 7x x= = ; otro más sería

2,3,4,4,7,7,7,9,12,12,3024 , con ˆ 7x x= = . Vea que hay un detalle no considerado hasta este momento, necesitamos una medida de tendencia central que involucre a todos los valores numéricos de la distribución en cuestión, porque para estas dos que acabamos de mencionar, no importa el valor numérico de los datos, solamente la cantidad de elementos que hay y la cantidad de veces que se repite cada uno. Puede que en alguna ocasión necesitemos comparar distribuciones, pero no tenemos hasta este momento elementos como para saber si son “parecidas”, porque con sólo estos dos criterios las podemos confundir como iguales. La siguiente medida de tendencia central es la más importante de todas, porque tiene la ventaja (entre otras cosas) de involucrar a los valores numéricos de toda la distribución. Es muy útil porque nos servirá como base para definir medidas de dispersión. El parámetro al que nos referimos se le denomina media aritmética, seguramente muy conocido. Ya sabemos que la idea es sumar a todos los datos de la distribución y al final dividir entre la cantidad de datos que hay [2.2.12]. Lo que haremos más bien será introducir al concepto vía su interpretación física. En la física, hay un concepto conocido como centro de masa, su definición formal es la siguiente:

El centro de masa es el punto en que puede considerarse concentrada toda la masa de un objeto o sistema, únicamente en lo que a movimiento lineal o de traslación concierne.

Luego, para un sistema de partículas dispuestas en una dimensión sobre el eje x, la ubicación del centro de masa está dada por

k

1 1 2 2 3 3

1 2 3

k kCM

k

x m x m x m x mxm m m m+ + + +

=+ + + +


donde ix representa la posición sobre el eje x que tiene cada una de las k partículas y su correspondiente masa. Entonces, el valor im CMx es la coordenada sobre el eje x que

se considera como el punto de equilibrio del sistema, veamos unos pequeños ejemplos. Supongamos que tenemos 2k = partículas, donde cada una se encuentra en las posiciones y respectivamente, por otro lado1 2x = − 2 4x = 1 2 1m m= = (kg.), entonces si imaginamos que las masas están colocadas sobre una tabla (de masa despreciable) en las posiciones indicadas ¿dónde deberíamos poner una cuña que mantenga al sistema en equilibrio? Claramente lo que debemos hacer es calcular CMx , y ahí es donde se deberá poner la cuña

( 2)(1) (4)(1) 2 4 11 1 2CMx − + − +

= = =+

entonces es sistema queda de la siguiente forma

tal vez sea un poco engañosa la figura, en el sentido de que parece que solamente calculamos el punto medio entre 2− y sin considerar las masas; antes de analizar este detalle, veamos que el cálculo recién hecho también se puede realizar con el uso de las tablas

4

x m xm -2 1 -2 4 1 4 2 2 1

la primer columna tiene a las posiciones de cada partícula; la segunda tiene a sus masas correspondientes, hasta abajo la masa total; la tercera es el resultado de multiplicar los valores de la primer columna con los de la segunda (con la suma total igual abajo), y por último el resultado de la división entre la suma total y la masa total, es decir el centro de masa. Observe la gran semejanza entre las posiciones de las partículas y los datos distintos de una distribución de frecuencias, además de la analogía existente entre las masas y las frecuencias. Continuemos. En la posición 4 agreguemos un kilogramo (una partícula de dos kilogramos colocada en la posición cuatro), para notar que sí es representativa la masa que se considera en cada posición (inclusive si se mantiene fija). Entonces, nuestra información es 1 2x = − y 2 4x = ; 1 1m = y . La tabla quedaría:

2 2m =


x m xm -2 1 -2 4 2 8 3 6 2

entonces nos damos cuenta de que la posición de la cuña sí cambia a pesar de que mantuvimos fijas las posiciones; la debemos poner en 2CMx = por último veamos lo que pasa para un sistema de tres partículas. Supongamos 1 1x = − 2 3x = 3 5x = con sus correspondientes masas 1 3m =

m , entonces 2 2m = 3 4=

( 1)(3) (3)(2) (5)(4) 3 6 20 23 2.553 2 4 9 9CMx − + + − + +

= = = =+ +

también

x m xm -1 3 -3 3 2 6 5 4 20 9 23 2.55

quedando el sistema de la manera siguiente Nuestro siguiente paso será hablar del paralelismo que hay entre el concepto de centro de masa con el de media aritmética. En distribución de frecuencias establecimos la condición

1 2 3 mf f f f n+ + + + =


cuyo concepto análogo para centro de masa sería

1 2 3 km m m m M+ + + + = con M representando a la masa total del sistema. Esto quiere decir que al realizar la operación

1 2 3 1km m m mM M M M

+ + + + =

a cada sumando im M ( ) le podemos “asociar” 1,2, ,i = … k i if f n= ( ) y sin pérdida de generalidad podemos igualar el recorrido de los índices k m .

1, 2, ,i m= …=

Claramente también debemos “asociar” a cada posición ix con un dato ix (no olvide que al decir dato nos referimos a datos con distinto valor). Entonces, hay una “asociación” entre CMx y x , veamos.

( )1 2 31 2 3

1

kk

CM k i ii

m m m mx x x x x x m MM M M M =

= + + + + =∑

asociado con

( )1 1 1

1m m m

i i i i i ii i i

x f x f n x fn= = =

x= = =∑ ∑ ∑

en conclusión, a x se le puede interpretar como la medida de tendencia central que es el “punto de equilibrio” de los datos de la muestra.

Aquí recurrimos a una expresión equivalente a [2.2.12]. La idea de [2.2.12] es sumar a todos los datos que se tengan aunque su valor numérico se repita, solamente que en ese momento no se había introducido el concepto de frecuencia, sin embargo la idea es la misma, inclusive más útil. Supongamos que una muestra de tamaño tiene a los valores distintos n m

1 2, , , mx x x… con 1 2 3, , , , mf f f f… sus respectivas frecuencias ( 1 2 3 mf f f f n+ + + + = ) entonces la media aritmética [2.2.12] se puede escribir de la forma

( )

1 2

1 1 1 2 2 2

veces veces veces

1 1 2 21

1

1 1m

m m m

f f f

m

m m i ii

x x x x x x x x x xn

x f x f x f x fn n

− − −

=

⎛ ⎞⎜ ⎟= + + + + + + + + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + + = ∑

concluyendo que la media aritmética también se puede expresar como

[0.0.1] 1

1 m

i ii

x x fn =

= ∑


o en forma de su frecuencia relativa

m

1

i ii

x x f=

= ∑ [0.0.2]

4.6. MEDIDAS DE DISPERSIÓN En la sección preliminar, establecimos tres criterios que se encargan de centralizar a los datos de la distribución (desde distinta perspectiva).

Ahora estableceremos dos criterios que midan la dispersión que puedan tener los

datos de la distribución. Por ejemplo, supongamos que trabajamos con estos tres datos y por otro

lado con 1, ; notablemente existe “mayor dispersión” en la primer distribución que en la segunda (como que están más separados); para empezar hay que definir de una manera más formal ¿a qué nos referimos con la palabra “dispersión”? La idea es medir la separación que tienen los datos de la distribución ya sea entre ellos o con respecto a un punto de referencia.

2,7,103,4

Un punto de referencia muy útil es justamente la media, porque ya se sabe que es

el punto de equilibrio de la muestra; una especie de analogía sería: la media es a la dispersión como el origen (cero) es a la recta real; pero en cierto sentido claro.

Tenemos entonces la media de la muestra uno (2 7 10) 3 6.33x = + + = , así que

la “separación” que hay entre los datos de la distribución con respecto a la media simplemente sería la diferencia que hay entre cada uno de ellos con la media, pero como estamos considerando distancias pues sacamos el valor absoluto:

1 2, , , nx x x x x x− − −…

Pero aún así no es suficiente, debido a que es mucho más práctico tener una sola medida de dispersión que medidas, y para eso calcularemos el punto de equilibrio que hay entre las desviaciones: la media de las desviaciones (se llama desviación absoluta media ).

nn

DM

1

1 n

ii

DM x xn =

= −∑ [4.6.1]

Calculando así para la primer distribución

( ) ( )11 1 8.672 6.33 7 6.33 10 6.33 4.33 0.67 3.67 2.893 3

DM = − + − + − = + + = =3

para la segunda (1 3 4) 3 2.66x = + + = , de esta manera

( ) ( )21 1 3.341 2.66 3 2.66 4 2.66 1.66 0.34 1.34 1.113 3

DM = − + − + − = + + = =3


Observando de manera mucho más clara, que la primera distribución tiene “mayor dispersión” que la segunda, debido a que . 1 2DM DM> Una segunda medida de dispersión (que de hecho es más útil que DM ) se basa en ciertas propiedades que tiene la función cuadrática (encima de la de valor absoluto).

Primero que todo, la función cuadrática es “derivable” en todo punto, cosa que no tiene el valor absoluto ( ix x− no es derivable en x ) y además a los valores pequeños los hace más pequeños y a los grandes más grandes. Si tenemos un valor 0 1y< < se llega a que ; por otro lado, si 12y < y y< entonces , observe la gráfica

2y y>

Eso quiere decir que es más conveniente elevar al cuadrado las diferencias en vez de sacarles valor absoluto (de todas formas la idea de sacar valor absoluto a las diferencias era exclusivamente trabajar con valores positivos, cosa que también hace la función cuadrática)

( ) ( ) ( )2 2

1 2, , , n2x x x x x x− − −…

y nuevamente, aquí es más conveniente tener una desviación en vez de n, por lo que a estos n valores los promediamos. Entonces, a la desviación cuadrática media se le denomina varianza o variancia, se calcula con la fórmula

[4.6.2] ( )2 2

1

1 n

ii

s xn =

= −∑ x

y como a los datos los elevamos al cuadrado y muchas veces no tiene sentido hablar de ciertas unidades al cuadrado, lo que hacemos es sacar raíz cuadrada (positiva) a la varianza, conocido como la desviación estándar

2s s= Así como la media cuenta con interpretación física, también: si tenemos un sistema cuyo centro de masa es el punto de “giro” del sistema, mide la resistencia del sistema a detenerse.

2ss2

A la varianza también se le llama momento central de segundo orden con respecto a x (o momento central de segundo orden); más adelante estudiaremos a los promedios de ( 3

i )x x− y de ( 4i )x x− conocidos como momentos centrales de tercer y

cuarto orden respectivamente, junto con sus significados.


Es posible escribir a la varianza en términos de la frecuencia de los datos, por lo que la varianza queda de la forma

( )2 2

1

1 m

i ii

s x x fn =

= −∑ [4.6.3]

o en términos de la frecuencia relativa

( )2

1

m

ii

s x x=

= −∑ 2if [4.6.4]

Por otro lado, recordando [2.2.13]

( ) ( )2 2 2

1 1

n n

i ii i

ns x x x n x= =

= − = −∑ ∑ 2

concluimos que

( )2 2

1

1 n

ii

s xn =

= −∑ 2x [4.6.5]

que sería una forma alterna (muy útil) de calcular . Observe que está en función del promedio de las

2s 2s2ix y de x .

Hasta este momento hemos presentado dos medidas de dispersión para una distribución junto con algunas de sus propiedades, presentaremos entonces un resultado muy importante debido al matemático ruso Chebyshev, que brinda un mayor sentido a

, dice que es más que una simple medida de dispersión, sirve también como una especie de unidad de medición, especifica la proporción de datos de la distribución que se encuentran dentro de desviaciones estándar de la media ( ). Y otra de las cosas importantes de este resultado, es que todo es independiente al tipo de distribución que se esta trabajando.

s s

kk 1>

El resultado dice: (Teorema de Chebyshev). Sea un número mayor que 1. Para cualquier conjunto de datos tomados aleatoriamente de una población, la proporción de datos que están “dentro” de k desviaciones estándar de la media

k

x es al menos 21 1 k− . Suponga que 1 2, , , nx x … x son los datos de la distribución y tienen media x y desviación estándar . Decir que el dato “s ix está dentro de desviaciones estándar de la media” es equivalente a que ocurra

kix ks x x ks− ≤ ≤ + . Veamos un ejemplo que

involucre a todos estos conceptos. Ejemplo 4.6.1 De la siguiente distribución de frecuencias, calcularemos 2ˆ, , , ,x x x s s


Supongamos que Coral tiene como encomienda conocer el tiempo de vida (medido en años) antes de ser reparados por primera vez, que tienen los libros de una determinada biblioteca, para eso separó a los libros que tienen un año con los de dos y así, hasta llegar a los libros que tienen seis años; el total de libros de la biblioteca es 500, llegando entonces a la siguiente distribución de datos

x f 1 49 2 123 3 129 4 99 5 84 6 16 500

ˆ 3xcalculemos entonces lo requerido. Desde ahora ya sabemos que = (al tercer año fue

cuando mayor cantidad de libros se repararon).

x f F xf x x− ( )2x x− ( )2x x f−

1 49 49 49 -2.188 4.787344 234.579862 123 172 246 -1.188 1.411344 173.595313 129 301 387 -0.188 0.035344 4.559376 4 99 400 396 0.812 0.659344 65.2750565 84 484 420 1.812 3.283344 275.8009 6 16 500 96 2.812 7.907344 126.5175 500 1594 880.328 x 2s s 3.188 1.760656 1.3268971

observe que 21594 880.3283.188, 1.760656, 1.760656 1.3268971500 500

x s s= = = = = = .

Y por último la posición de la mediana se calcula (500 1) 2 250.5+ =

3x = entonces

es 250 y 251 llegando a que . O en otras palabras, el promedio de vida que tiene un libro antes de ser reparado por primera vez es 3.188x = 2k = años; luego por Chebyshev calculemos para , llegando a los números

2 3.188 2(1.3268971) 3.188 2.6537942 0.5342 3.188 2(1.3268971) 3.188 2.6537942 5.841

x sx s− = − = − =+ = + = + =


por otro lado 21 1 1 1 4 3 4 0.75k− = − = = , concluyendo que al menos de los libros tienen una vida entre 0.534 y 5.841 años.

75%

Note que si se tiene 3k = 21 1 3 1 1 9 8 9 0.888− = − = = , lo cual quiere decir que prácticamente el 89% de la población se encuentra al menos a tres desviaciones estándar de la media. Ejemplo 4.6.2 Muy a menudo necesitamos hacerle cambios a los datos de la muestra. Si suponemos que estudiamos las estaturas de las mujeres que viven en cierta región, pues inicialmente los datos pueden venir presentados en centímetros, así que los tendríamos que cambiar a metros; el problema no es tanto eso, sino que para los cálculos es más conveniente trabajar con cantidades pequeñas (es mejor ocupar 1.78 m que 178 cm). Lógicamente si trabajamos una escala, la media y desviación estándar quedarían con las unidades de la escala inicial, pero ¿qué pasaría si necesitamos cambiar la escala una vez calculadas la media y la desviación estándar?, ¿tendríamos que cambiar la escala de los datos y realizar nuevamente el cálculo?, ¿o qué pasaría si los valores de los datos inicialmente están muy grandes?, o sea, la escala es correcta sin embargo los datos son muy grandes. Por ejemplo para los datos de la muestra 4 ,5,6 1 5x = y 1 0.8164s = , pero para los datos 3824 pasa ,3825,3826 2 13825 3820 5x x3820= = + = + y . 2 1s s= = 0.8164

Claramente es mucho mejor trabajar con los datos de la primera muestra y después hacer los cambios correspondientes para los de la segunda, que trabajar directamente con la segunda. La manera en que están relacionados los parámetros se describe a continuación.

Supongamos que 1 2, , , mx x x…

1 2, , , m

son los m valores distintos de la muestra con sus respectivas frecuencias f f f… ; sean y b constantes. Definimos a los nuevos datos de la manera siguiente

a1 2, , , my y y… i iy a bx= + para 1,2, ,i m= … . Calculemos la

media y desviación estándar para los datos y .

( ) ( )1 1 1 1 1

m m m m m

i i i i i i i i i ii i i i i

y y f ax b f ax f bf a x f b f ax b= = = = =

= = + = + = + =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +

también se puede escribir ax b ax b+ = + [4.6.6] por otro lado ocupando [4.6.4]

( ) ( )

( )( ) ( )

2 2 2

1 1

2 2 2

1 1

m m

y i i i ii im m

i i i ii i

s y y f ax b ax b f

a x x f a x x f a s

= =

= =

= − = + − −

= − = − =

∑ ∑

∑ ∑ 2 2x


llegando a , sacando raíz cuadrada 2 2ys a s= 2

x ys a s= x o también [4.6.7] ax b xs a+ = s lo que dice que la desviación estándar solamente cambia cuando hay modificaciones de escala, no cuando se trasladan los datos. Ejemplo 4.6.3 Calculemos la media y desviación estándar de los datos “y”

14563 ,14591,14586,14566,14572

primero trasladamos a todos : 14500b = 14500i iy x= + o 14500i ix y= − obteniendo que los datos x son

63,91,86,66,72 calculando (sin cambio de escala 1a = )

x x x− ( )2x x− 63 -12.6 158.76 66 -9.6 92.16 72 -3.6 12.96 86 10.4 108.16 91 15.4 237.16 378 609.2

2x xs xs

75.6 121.84 11.038116 entonces 14500 14575.6y x= + = además 11.038y xs s= = . Ejemplo 4.6.4 Es muy común hacer comparaciones entre muestras, sin embargo no se puede hacer una comparación directamente de los números obtenidos, porque cada muestra tiene a su correspondiente media y desviación estándar; lo que justamente necesitamos es tener una media y una desviación estándar común a las dos muestras, la forma de hacerlo es generando una traslación que nos permita que las dos medias coincidan en un solo punto y posteriormente lograr que de alguna forma las desviaciones estándar de cada muestra se unifiquen en una sola; lo haremos vía cambio de escala (a unidades estandarizadas). Primero veamos el siguiente resultado y posteriormente apliquémoslo a un ejemplo particular.


Definamos a la variable estandarizada del conjunto 1 2, , , nx x … x de datos de la muestra como

x xzs−

= [4.6.8]

observe que a los datos de la muestra primero los trasladamos con respecto a su propia media logrando que, si el dato de la muestra es la propia media ( ) 0z x x s= − = , en pocas palabras estamos considerando a la media como el origen del sistema de referencia creado con la variable ; otra de los resultados que surgen de este cambio de variable, es que ya presenta de manera mucho más clara el hecho de que la desviación estándar es una “escala” de la distribución (Chebyshev), observe: si los datos de la muestra son

z

x x ks= ± entonces la nueva variable adquiere el valor

x x x ks x ksz ks s s− ± − ±

= = = = ±

compare los resultados con la gráfica Una peculiaridad muy importante que tiene este tipo de cambio de variable, es que “estandariza” los datos de la muestra, de esta manera ya podemos comparar a dos muestras estandarizando cada una al mismo estándar, que sería la variable z; además podemos a su vez calcularle su media y desviación estándar.

Ocuparemos los resultados de ejemplo 4.6.2; como 1x x xz xs s s− ⎛ ⎞= = + −⎜ ⎟

⎝ ⎠

consideremos 1a s= y b x= − s aplicamos entonces [4.6.6] llegando a

1 0xz ax b ax b xs s

= + = + = − =

aparte ocupando [4.6.7]

1 1xz ax b x x

x

ss s s ss+= = = =

concluyendo que para la variable definida en [4.6.8], su respectiva media y desviación estándar es

01z

zs==

[4.6.9]


Ejemplo 4.6.5 Un estudiante obtuvo una calificación de 84 en un examen final de matemáticas, cuya calificación media fue 76 y cuya desviación estándar fue 10. En el examen final de física, donde la media fue 82 y la desviación estándar 16, el mismo estudiante obtuvo una calificación de 90. ¿En qué materia tuvo una posición relativa mayor? La variable estandarizada z mide la desviación de x respecto de la media x en términos de la desviación estándar . Para matemáticas s ( )84 76 10 0.8z = − = y para

física ( )90 82 16 0.5z = − = . Por lo tanto, el estudiante obtuvo una calificación a 0.8 de una desviación estándar sobre la media de matemáticas, pero sólo 0.5 de una desviación estándar sobre la media en física. Así su posición relativa fue más alta en matemáticas. La variable z con frecuencia se utiliza en pruebas académicas, donde se conoce como una medida estándar de calificaciones. 4.7. TERCER Y CUARTO MOMENTO CENTRAL (SIMETRÍA Y CURTOSIS) En esta sección, profundizaremos uno poco más acerca del estudio descriptivo de una muestra; hasta este momento se han dado formas de saber la tendencia central y dispersión que tiene una muestra. Ahora, nuestro interés se basa en dos características más, conocidas como simetría y curtosis. La simetría se refiere a la forma en que está “cargada” (hacia la izquierda, centro o derecha) la distribución con respecto a cierto punto; obviamente tomaremos a la media como referencia. Y la curtosis se refiere al grado de “aplastamiento” que tiene la distribución de datos. Veamos. Supongamos que una muestra de tamaño tiene m valores distintos n

1 2, , , mx x x… con 1 2 3, , , , mf f f f… sus frecuencias y x la media de la muestra.

Las gráficas siguientes representan tres formas distintas en que puede aparecer la distribución si tomamos en cuenta hacia qué lado vienen cargados los datos (sesgo) tomando como referencia a la media. Observe que las alturas de los segmentos que están sobre cada ix son justamente sus correspondientes if .


Luego, se llama a las distribuciones de tipo:

a) Asimétrica negativamente b) Asimétrica positivamente c) Simétrica

esto es referente a la simetría de las distribuciones con respecto a la media. Respecto a la curtosis, las gráficas que representan los tres distintos tipos son las cuales reciben los nombres

a) Leptocúrtica: distribución que presenta un pico relativamente alto b) Platicúrtica: distribución relativamente plana c) Mesocúrtica: distribución que no presenta un pico ni muy

alto ni muy bajo

Lógicamente tenemos que establecer criterios que nos permitan decidir el tipo de distribución que estamos trabajando ya sea para simetría o curtosis (primero abordemos la simetría). La técnica a seguir es muy parecida a la que ocupamos para definir la varianza conocida también como segundo momento central 2

2m s= ; se basa en las propiedades de la función cúbica. Veamos. Al ocupar la palabra “central” ya sabemos que nos referimos a la traslación de todos los datos de la muestra con respecto a la media

1 2, , , nx x x x x x− − −…

Por otro lado, notamos que la función 3x tiene la propiedad de que conserva los signos de los valores, y además cuando se suman, si es que se encuentran distribuidos simétricamente el resultado será cero, por ejemplo para 7, 4, 3,3,4,7− − − se llega a

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 37 4 3 3 4 7 434 434 0− + − + − + + + = − + =


y si se encuentran “concentrados” del lado positivo, dominarán los positivos sobre los negativos, con lo que su suma será positiva; para el lado negativo será análogo el resultado. Entonces llegamos a que es conveniente elevar al cubo a cada dato trasladado si queremos medir simetría

( ) ( ) ( )3 3 31 2, , , nx x x x x x− − −…

por último promediamos estos datos, y al número obtenido se le conoce como tercer momento central

[4.7.1] ( )33

1

1 n

ii

m xn =

= −∑ x

sin embargo seguimos teniendo el mismo problema de las unidades, así que para adimensionar (recuerde que es útil para cuando queremos comparar dos muestras) ocuparemos , es decir, definimos al tercer momento estandarizado como 2m

[4.7.2] ( )

32

33

2

mam

=

observe dos detalles 2 2a m= = s y además

( )32

3 33 3

2

m masm

= =

lo que nos dice la razón por la cual se señala que estamos adimensionando. El número

es la medida de la asimetría de una distribución con respecto a su dispersión. 3a Por último:

• si 3 0m < la distribución es asimétrica negativamente • si 3 0m = la distribución es simétrica • si 3 0m > la distribución es asimétrica positivamente

y también hay criterios basados en el tercer momento estandarizado:

• si 3 1a = ± la distribución será altamente asimétrica • si 30.5 1a≤ < la distribución será moderadamente simétrica

• si 30 0.5a la distribución será casi simétrica ≤ < terminando así con los criterios a seguir para cuando queremos estudiar simetría de una distribución; es importante que la distribución tenga una sola moda, sino es el caso ocuparemos al tercer momento estandarizado únicamente.


En seguida hablaremos de la forma de medir curtosis. La manera de medir el grado de “aplastamiento” que tiene una distribución es mediante el uso del cuarto momento central, que se determina sacando la media de la siguiente distribución de datos

( ) ( ) ( )4 4 41 2, , , nx x x x x x− − −…

llegando a la fórmula

( 44

1

1 n

ii

m xn =

= −∑ )x [4.7.3]

que de igual forma necesitamos adimensionar, entonces definimos al cuarto momento estandarizado como

44 2

2

mam

= [4.7.4]

notando que 4 44 2 4

2

m mam s

= = .

Los criterios a seguir son:

• si 4 3a > la distribución es leptocúrtica • si 4 3a < la distribución es platicúrtica • si 4 3a = la distribución es mesocúrtica

Ejemplo 4.7.1 Un grupo de estudiantes realizó un examen de admisión para cierta universidad, si obtenían calificación reprobatoria se les asignaba cinco, de lo contrario las evaluaciones eran del 6 al 10. El interés de la parte evaluadora es saber si la mayor parte de alumnos salió más bajo o más alto con respecto a la media (simetría), y si hubo uniformidad o no en las calificaciones. Si para cada calificación hubo la misma cantidad de alumnos, o no, sería calcular curtosis (al decir la misma es claro que nos basta con que sea aproximada).

70n =

Los resultados del examen fueron

x f 5 12 6 18 7 17 8 10 9 9 10 4 70


de esta manera calculemos 23 3 4 4, , , , , ,x s s m a m a

x f xf ( )2x x f− ( )3x x f− ( )4x x f−

5 12 60 46.638367 -91.94421 181.26144 6 18 108 16.986122 -16.5008 16.029353 7 17 119 0.0138776 0.0003965 1.133E-05 8 10 80 10.579592 10.881866 11.192776 9 9 81 37.035918 75.130006 152.40658 10 4 40 36.68898 111.1152 336.52031 70 488 147.94286 88.682449 697.41047 x 2s 3m 4m 6.9714286 2.1134694 1.2668921 9.9630067 s 3a 4a 1.4537776 0.4123307 2.2304809

ahora interpretemos. La distribución es asimétrica positivamente con respecto a la media, debido a que , lo que quiere decir que la mayor “carga” de alumnos superaron las expectativas (la expectativa sería

3 1.2668 0m = >x ), además como 3 0.4123a = la distribución es

casi simétrica y por último como 4 2.23048 3a = < la distribución es platicúrtica. La gráfica de la distribución es

0

5

10

15

20

5 6 7 8 9 1

0


Ejercicios

1. De los siguientes incisos, diga cuáles representan datos discretos (d), y cuáles datos continuos (c)

a) El número de acciones vendidas por día en la bolsa de valores. b) Las temperaturas registradas cada media hora en un observatorio. c) El tiempo de vida de un foco producido por una empresa. d) El ingreso anual de los profesores universitarios. e) La longitud de 1000 tornillos producidos en una fábrica. f) El número de veces que cae sol si lanzamos una moneda cuatro veces. g) El número de resultados posibles que se obtienen al sumar los números

que caen al lanzar dos dados (cada uno de 6 caras enumeradas del 1 al 6). h) La distancia al centro que genera un dardo lanzado a una diana.

Soluciones: d, c, c, d, c, d, d, c.

2. Suponga que una persona está interesada por apostar sobre un juego y para eso realiza 500n = ensayos previos del juego, para saber sobre qué apostar. El juego trata de lanzar dos dados y sumar las cantidades que cayeron, gana el que le haya apostado al número resultante. Si alguien apostó al número 5 entonces gana cuando los dados caen ( o (4,1) . Entonces los resultados obtenidos por ésta persona fueron:

1,4), (2,3), (3,2)

x f 2 14 3 27 4 42 5 55 6 71 7 82 8 73 9 54 10 43 11 26 12 13 500

, calcule , , ,F f F x y determine

a) ¿Sobre qué resultado es más conveniente que se realice la apuesta? b) ¿Cuál es el porcentaje de datos ix que se encuentran entre 6 y 9?

, es decir 6 9ix≤ ≤c) ¿Cuál es el porcentaje de datos ix cuyo valor es al menos 9?

, es decir 9ix ≥


ˆ, ,

3. Del siguiente grupo de datos elabore cinco clases y establezca su distribución de frecuencias, por último calcule la marca de clase, media, moda y desviación estándar

72 30 2 53 21 84 78 42 11 76 53 11 26 3 40 46 99 72 2 90 54 58 34 23 75 87 97 89 13 94 97 53 7 80 5 3 41 19 56 24 37 3 95 95 43 94 4 13 16 55 37 96 95 12 88 8 75 100 55 51 85 17 6 67 24 71 70 58 21 56 96 94 88 13 0 60 94 32 51 54 70 21 31 78 59 28 31 77 54 38 70 7 26 24 64 24 2 46 71 18

4. Del ejercicio dos, determine 2, ,x x DM s s . 5. Aplicando Chebyshev (datos del ejercicio dos) determine el porcentaje de datos

que se encuentran al menos a 1.5k = desviaciones estándar de la media.

6. Si quisiera encerrar al menos 80% de los datos con respecto a la media (refiriéndonos a la distribución del ejercicio dos). ¿A cuántas desviaciones estándar desde la media, debería encontrarse por lo menos?

7. Usando [4.6.6] y [4.6.7]; calcule la media y desviación estándar para los datos

139870 139820 139897 139898 139840 139867 139862 139841 139838 139887 139867 139873 139813 139890 139892 139801 139875 139857 139807 139854 139899 139891 139898 139805 139837 139804 139837 139896 139872 139877 139822 139844 139891 139835 139803 139845 139899 139857 139806 139888 139881 139879 139844 139890 139853 139886 139849 139807 139879 139853

8. Estandarice los datos del ejemplo tres, y posteriormente verifique que [4.6.9] se

cumple. 9. De los ejercicios dos y cuatro determine y describa la simetría y

curtosis que tiene la muestra. 3 3 4 4, , ,m a m a

Referencias [2] págs. 70,71; [6] págs. 2-11,18-29; [15] págs. 8, 75, 76, 108.

Capítulo 5

PROBABILIDAD

5.1. INTRODUCCIÓN La idea principal de este capítulo es introducir de una manera elemental los conceptos iniciales referentes a la teoría de probabilidad. Existen diversos enfoques que se pueden dar a esta teoría, uno de ellos es el frecuencial, el cual se relaciona claramente con los conceptos del capítulo anterior. El enfoque frecuencial de la probabilidad es el más adecuado para aplicaciones estadísticas, ya que nos permite basados en resultados experimentales dar una interpretación directa a lo que llamaremos probabilidad de un evento. Hemos estudiado a la estadística hasta este momento de manera descriptiva, sin embargo ahí no quedan las cosas, el paso siguiente será hacer inferencias o conclusiones que se refieran a la población completa, y no simplemente a la muestra. Sin embargo para hacer estas inferencias es necesario no perder de vista, que el proceso de recolección de datos de la muestra de la población es completamente al azar, por lo que habrá de construir una teoría que nos permita decidir, las condiciones sobre las cuales serán válidas las inferencias que se hagan basadas en la muestra. Dicha teoría se debe adaptar a los resultados ya observados en la realidad. 5.2. ENFOQUE FRECUENCIAL DE LA PROBABILIDAD Mediante el uso de un ejemplo abordaremos las nociones aludidas en la sección previa.

Supongamos que tenemos una moneda honesta, esto es, al lanzarla puede caer cualquiera de las dos caras ya sea águila (a) o sol (s); se menciona esto porque es posible que una moneda se fabrique de tal forma que la mayor parte de las veces caiga la misma cara cuando se lanza. Podemos simular los lanzamientos de la moneda con el uso de un programa que genere números aleatorios. Con esta herramienta podemos simular una cantidad grande de lanzamientos; se hizo 1000000 de ellos y cada 100000 se tomó el registro del número de soles que han “caído”. Lo que buscamos es describir la proporción de soles que registra la simulación, durante todo el proceso (el millón de lanzamientos).

157


El registro fue:

n # s 100000 50145 200000 50063 300000 49921 400000 49887 500000 50099 600000 49879 700000 49942 800000 49881 900000 50052 1000000 50117

499986 la primer columna representa la cantidad de lanzamientos de moneda que llevamos (de cien mil en cien mil hasta llegar al millón); la segunda columna especifica el total de soles que cayeron en cada uno de los cien mil lanzamientos, por ejemplo, a los primeros cien mil lanzamientos ya iban 50145 soles, en los siguientes cien mil lanzamientos cayeron 50063 soles, esto es, que en los primeros doscientos mil lanzamientos han caído 100208 soles. Observe la analogía existente entre # y s f . Nuestro interés es describir la forma en que se comporta la proporción existente entre los soles y el número de lanzamientos, pero durante el transcurso de la simulación.

Por ejemplo, si denotamos con n al número de lanzamientos efectuados en el transcurso del proceso y con sn a el número total de soles que han caído cuando se llevan lanzamientos, entonces estudiemos lo que pasa con el cocienten :s sn n n= , a medida que crezca. El cociente determina la proporción de soles que van cayendo con respecto al número de lanzamientos efectuados. La siguiente tabla expresa los cálculos que se mencionan

n

n # s sn sn

100000 50145 50145 0.501450 200000 50063 100208 0.501040 300000 49921 150129 0.500430 400000 49887 200016 0.500040 500000 50099 250115 0.500230 600000 49879 299994 0.499990 700000 49942 349936 0.499909 800000 49881 399817 0.499771 900000 50052 449869 0.499854 1000000 50117 499986 0.499986

499986

PROBABILIDAD 159

Observamos una característica muy peculiar, la proporción sn “tiende” a estabilizarse alrededor del número 0.5p = 0. La gráfica nos proporciona una visión más clara de lo comentado

0.4985000.4990000.4995000.5000000.5005000.5010000.5015000.502000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Esto no es una simple coincidencia. Dentro de la teoría de la probabilidad existe un resultado de gran importancia, es conocido como ley de los grandes números y habla de la existencia del número p para cuando se trabaja con un experimento que se puede repetir bajo las mismas circunstancias una cantidad indeterminada de veces. En pocas palabras

sn pn

, a medida que n ∞

se lee “el cociente sn tiende al número p a medida que crece indeterminadamente”. n Al número p hasta este momento lo hemos postulado de manera muy ambigua, sin embargo no es posible en este momento justificar formalmente su existencia, además que estamos bajo el supuesto que cada uno de los lanzamientos tiene la misma “oportunidad” de ocurrir; aún así entenderemos al número p como la probabilidad de que un evento ocurra, para nuestro ejemplo sería la probabilidad de que al lanzar una moneda ésta caiga en sol (note que p sería exactamente el mismo si consideramos águilas, esto es debido a que sólo hay dos resultados posibles y la moneda es honesta). Otro enfoque de la probabilidad que justamente es el clásico, hace uso de teoría de conjuntos.

Define inicialmente a un conjunto que tenga a todos los resultados posibles de la característica en estudio conocido como espacio muestra, por ejemplo si estamos lanzando una moneda existen dos únicos resultados posibles, los cuales representamos con el conjunto { },S a s= , y al subconjunto { }A s S= ⊆ lo entenderemos como el evento de que haya caído sol al ser lanzada la moneda; recordando la definición del ejemplo 1.6.9, llegamos a que es posible hacer uso de ella para representar al número p

( ) { } 1 0.52

sAP A p

S S= = = = =


Inicialmente esta forma de abordar la probabilidad parece mucho más óptima que el enfoque frecuencial, sin embargo es la que presenta mayor cantidad de inconvenientes, debido a que se restringe únicamente a conjuntos finitos, y además presupone que cada uno de los resultados posibles tiene la misma probabilidad de ocurrir (equiprobables), lo cual no siempre es cierto. Sin embargo el enfoque clásico es el más dócil de manejar, por lo que será el que profundizaremos; por otro lado es más que claro que haremos uso de la mayor parte de resultados obtenidos en el capítulo 1. 5.3. ESPACIOS FINITOS EQUIPROBABLES La mayor parte de resultados que mencionaremos, ya fueron discutidos en el capítulo uno, sin embargo en esta sección les daremos el sentido “probabilístico” que se buscaba desde un principio. Además es de suma importancia, ir observando las analogías existentes entre el concepto de probabilidad y la frecuencia relativa ( y P f )

Al conjunto de todos los resultados posibles que tiene un experimento, lo

llamaremos espacio muestra, y será denotado con la letra . A los subconjuntos cuya probabilidad deseamos calcular, los denominaremos evento.

S A S⊆

Consideraremos al conjunto finito S S n= (mientras no se diga lo contrario);

los resultados que tiene cierto experimento son descritos de la forma:

{ }1 2, , , nS x x x= … El conjunto ( ) { }:S A A S℘ = ⊆

S (recordar [1.8.1]), encierra a todos los eventos

posibles que puedan haber de , inclusive si son imposibles (∅ ). A ( )S℘ se le conoce como el álgebra más “grande” que tiene el conjunto ;

recibe el nombre de álgebra por cumplir con la siguientes tres propiedades: S

1. ( ) S S∈℘

2. Si ( ) entonces ( )A S∈℘ cA S∈℘

3. Si ( ),A B S∈℘ entonces ( )A B S∪ ∈℘ esto quiere decir que cualquier otro subconjunto ( )S⊆℘A que cumpla con las tres

condiciones será denominado álgebra de . Nota: S ( )S℘ se denomina el álgebra más grande debido a que es el conjunto de todos los subconjuntos de . S Por ejemplo, si { } ( ), S= ∅ ⊆℘A

∈A cS

S , claramente se cumple la primer condición y además para cualquier elemento que se escoja de su complemento también es elemento de : si S entonces

AA =∅∈A y viceversa; por último también ocurre

que . De hecho {S S∪∅ = A∈ }, S∅ es el álgebra más pequeña de .S

PROBABILIDAD 161

En pocas palabras entenderemos a ( )S℘ como el espacio de eventos más grande que tiene . S Entonces, si , la probabilidad de que ocurra el evento se define como el cociente

( )A S∈℘ A

( ) AP A

S= [5.3.1]

y por los resultados del ejemplo 1.6.9 ( )0 P A 1≤ ≤ [5.3.2] en consecuencia, la probabilidad de un evento es un número entre cero y uno; si el evento es imposible que ocurra entonces su probabilidad será igual a cero, y viceversa, si el evento es completamente seguro que ocurra su probabilidad será igual a uno. Entenderemos a como el evento seguro y su probabilidad es uno

, por otro lado, a ( )S S∈℘

( ) 1P S = ( )S∅∈℘

( ) 0∅ =

lo interpretaremos como el evento imposible y su

probabilidad es cero . P En resumen, una vez definido el espacio muestra, calcularemos la probabilidad de sus eventos vía la definición A S⊆ [5.3.1].

El hecho de considerar a un evento como elemento de A ( )S℘ , nos brinda la posibilidad de que podamos realizar operaciones entre eventos y tener la garantía de que el conjunto resultante sea a su vez otro evento de , y esto es gracias a las tres propiedades básicas definidas.

S

Por otro lado, la palabra “equiprobable” ya viene intrínsecamente relacionada

con la definición [5.3.1]; para saber la razón de esto recordemos el resultado del ejemplo 1.7.3.

Sea { }1 2, , , nS x x x= … nuestro espacio muestra, definamos una partición de

como

S

{ }i iA x= 1,2, , n= …

{

, para i , de esta forma la partición queda

} { } {{ } { } { }}1 21,2, ,, , ,i ni D n

A x x x∈ =

=… …

{ }se tiene como consecuencia que 1iA r 1, 2, ,i n…∀ ∈ , entonces = = S nr n= = y

( ) 1iP A p

n= = { }1, 2, ,i n∀ ∈ …

que justamente es lo que deseábamos probar (cada uno de todos los resultados posibles tiene la misma probabilidad).


Como consecuencia de el resultado anterior y del ejemplo 1.7.5 decimos que si B S⊆ y B k n= ≤ entonces ( )P B k n= . Es de entender que las razones por las cuales hacemos referencia a los resultados de los ejemplos de la sección 1.7, es para darle mayor profundidad a la definición [5.3.1]. Es claro que simplemente aplicándola obtendríamos de una forma más sencilla las consecuencias recién establecidas, pero si lo hiciéramos de esa forma se perdería de vista que las propiedades de igual forma se cumplen para el caso de tener particiones, ya sea del espacio muestra o de un evento, y no necesariamente las particiones establecidas tienen que ser definidas como al inicio de esta discusión. En conclusión. Una vez comprendidas las condiciones establecidas nuestro lugar de trabajo de aquí en adelante será ( )( ), ,S S P℘ . 5.4. PROPIEDADES DE P Como ya se ha mencionado, haremos gran uso de los resultados del capítulo uno, y en varias ocasiones no se mencionarán explícitamente, así que se asumirá que ya se tienen presentes. También hay que tener en cuenta de que la interpretación que se le dará a cada una de las propiedades es básicamente la misma que se le dio a los conjuntos (ver sección 1.5, desde [1.5.1] hasta [1.5.9]), con la diferencia de que ahora les estamos calculando la probabilidad [5.3.1]. La probabilidad de que un evento A no ocurra se escribe y se calcula

con base en conocer la probabilidad de que el evento sí ocurra, con la relación: ( )cP A

( ) ( )1c

cA S A S A

P A P AS S S S

−= = = − = −

[5.4.1] ( ) ( )1cP A P A∴ = −

La siguiente propiedad de dice que si un evento está contenido en otro, entonces la probabilidad del primero será menor o igual que la del segundo. Se le llama propiedad de monotonía.

P

Sabemos que cuando se tiene A B⊆ A B≤ en consecuencia

( ) ( )A BP A P B

S S= ≤ =

[5.4.2] ( ) ( )Si entonces A B P A P B∴ ⊆ ≤

PROBABILIDAD 163

Es muy común encontrarse con la situación de que se desea calcular la probabilidad de que ocurra un evento sin que pase otro, lo que sería la diferencia de conjuntos, entonces la probabilidad de eso queda expresada de la forma

( ) ( ) ( )A B A A B A A BP A B P A P A B

S S S S− − ∩ ∩

− = = = − = − ∩

( ) ( ) ( )P A B P A P A B∴ − = − ∩ [5.4.3] en particular si B A⊆ ( ) ( ) ( )P A B P A P B− = − [5.4.4] Si deseamos calcular la probabilidad de que por lo menos uno de los dos eventos

o A B ocurra, se calcula

( )

( ) ( ) ( )

A B A B A BP A B

S S

A B A BP A P B P A B

S S S

∪ + − ∩∪ = =

∩= + − = + − ∩

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∴ ∪ = + − ∩ [5.4.5] también es posible generalizar [5.4.5]; recordemos el resultado del ejemplo 2.3.7, apliquemos [5.3.1] y supongamos que ( )1 2 3, , , , nA A A A S∈℘… llegando a

[5.4.6] ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

111

n

i i i ji n i j ni

ni j k n

i j k n

P A P A P A A

P A A A P A A

≤ < ≤=

−

< < ≤

⎛ ⎞= − ∩ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ ∩ ∩ − + − ∩ ∩

∑ ∑

∑

∪

también es muy útil la siguiente propiedad consecuencia de [5.4.6]

[5.4.7] ( )11

n n

iii

P A P A==

⎛ ⎞≤⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ i

j o si consideramos que con i jA A∩ =∅ i ≠ (disjuntos a pares) tenemos la igualdad

[5.4.8] ( )11

n n

iii

P A P A==

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ i

en particular si { } { } ( )1,2, ,i i m

A∈

⊆℘… S es una partición de S


( ) ( )11

1m m

i iii

P S P A P A==

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪

pensando que la partición es de elementos m m n≤ , entonces, si pasa que m n=

[5.4.9] ( )1

1n

ii

P A=

=∑

relacione [5.4.9] con [1.7.1] y también con la propiedad de frecuencia relativa

1( ) 1

n

ii

f x=

=∑

Intuitivamente podemos decir que la cantidad de datos distintos ix de la distribución de frecuencias corresponde a la cantidad de elementos distintos que tiene la partición del espacio muestra, y además la frecuencia relativa

iA( )if x

corresponde a . ( iP A ) Ejemplo 5.4.1 En la sección 5.3 entre otras cosas, se habló de subconjuntos ( )S⊆℘A que cumplieran

con las tres propiedades establecidas, se hizo ver que ( )S℘ claramente cumple con

ellas, y además { }, S= ∅A también lo hacía; sin embargo no se habló de algún otro subconjunto del conjunto potencia que tuviera tales propiedades, en este ejemplo se mostrará una forma en que pueden generarse álgebras distintas a las mencionadas. La idea es básica, escogemos ( )A S∈℘ que no sea el vacío, y como ( )S℘ es

un álgebra, entonces ( )cA S∈℘ , en consecuencia el álgebra propuesta es

{ }, , ,cA A S= ∅A

Nuestro siguiente paso es mostrar que efectivamente cumple con las tres condiciones; desde este momento advertimos que se cumple la primera, de esta manera abordemos las siguientes dos.

A

Tomemos a cada uno de los elementos de y verifiquemos que se cumple la segunda condición.

A

( )

si entonces

si entonces

si entonces

si entonces

c

c

cc c

c

S

A A

A A

S S

∅∈ ∅ = ∈

∈ ∈

∈ =

∈ =∅

A A

A A

A A

A A

A∈

∈

PROBABILIDAD 165

Ahora verifiquemos que se cumple la tercera condición. Ya sabemos que para cualquier subconjunto de un conjunto su unión será igual al conjunto, entonces

si , entonces para , ,c

si , entonces para , ,

si , entonces

c

c c

B B B B A A S

B S B S S B A A

A A A A S

∈ ∪ = ∈ =∅

∈ ∪ = ∈

A A

A A

∅ ∈ ∅∪ = ∈ =A A

Concluyendo que efectivamente { }, , ,cA A S= ∅A es un álgebra. Veamos un

caso particular de este resultado. Supongamos que { }, , ,a b c dS = y { } ( )A b S= ∈℘

entonces { , ,c }A a c d= , en consecuencia ( )S⊆℘A y queda definido de la forma

{ } { }{ }, , , , ,b a c d S= ∅A

siendo un álgebra; observe la situación A

( ){ } { } { } { } { } { } { } { } { } { }

{ } { } { } { }

, , , , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , , , , , , , ,

a b c d a b a c a d b c b d c dS

a b c a b d a c d b c d S

⎧ ⎫∅⎪ ⎪℘ = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

Una idea básica de la razón por la cual se introduce el concepto de un álgebra que no sea el conjunto potencia, es que en muchas ocasiones no es necesario trabajar con todos los tipos de eventos posibles, sino con unos en específico, pero aún así necesitamos la garantía de que al hacer operaciones entre ellos nuestros resultados (nuevos eventos) no se salgan del contexto que necesitamos. La palabra “álgebra” inicialmente puede resultar un poco intimidante, pero no es así, sólo hay que ver que se trata de un subconjunto del conjunto potencia que cumple con tres condiciones. Ejemplo 5.4.2 Recuperemos los resultados del ejemplo 1.6.8 y calculemos las probabilidades de los diez eventos mencionados ahí. El enunciado quedaría:

En un grupo de 100 alumnos, 70 estudian matemáticas, 60 estudian física y 40 estudian matemáticas y física, calcule la probabilidad de que al escoger a un alumno al azar

1

2

3

4

5

: estudie física pero no matemáticas: estudie matemáticas pero no física: estudie matemáticas o física: noestudie ni matemáticas ni física: estudie exactamente una

EEEEE

6

7

8

9

10

: estudie exactamente dos: estudie por lo menos una (una o dos): estudiea lo más una (ninguna o una): no estudie matemáticas o física: no estudie física

EEEEE


los cálculos quedarían

( )( )( )( )( )

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

20 100 0.2

30 100 0.3

90 100 0.9

10 100 0.1

50 100 0.5

P E E S

P E E S

P E E S

P E E S

P E E S

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

( )( )( )( )( )

6 6

7 7

8 8

9 9

10 10

40 100 0.4

90 100 0.9

60 100 0.6

60 100 0.6

40 100 0.4

P E E S

P E E S

P E E S

P E E S

P E E S

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

Observe que una partición de es S { }4 5 6, ,E E E , entonces se verifica [5.4.9]

( ) ( ) ( )4 5 6 0.1 0.5 0.4 1P E P E P E+ + = + + = Ejemplo 5.4.3 Lanzamiento de dados. Se lanza un par de dados en donde cada uno tiene seis caras enumeradas, consideremos al conjunto de todos los resultados posibles que pueden ocurrir del lanzamiento de un dado { }1, 2,3, 4,5,6A = ; definimos a que representaría al conjunto de todos los resultados posibles que puedan haber del lanzamiento de dos dados, entonces la cantidad de elementos de nuestro espacio muestra es

S A A= ×

6 6 36=S A A A A= × = = ⋅ y además queda representado por la gráfica Observe que los puntos marcados son los elementos y del espacio muestra . (2, 4) (4, 2) S Con base en definamos tres eventos: S

: Al sumar los dos números el resultado es siete A:B El menor de los dos números es dos : El primer dado cayó en cinco C

Podemos representar a los eventos en forma de subconjuntos y gráficamente.

{ }

{ }

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)

(2,2), (2,3), (2, 4), (2,5), (2,6)(3,2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)

(5,1), (5, 2), (5,3), (5, 4), (5,5), (5,6)

A

B

C

=

⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

=

PROBABILIDAD 167

Calcular. La probabilidad de que al lanzar un par de dados

1

2

3

4

: el resultado de sumar los dos números sea siete: el menor de los dos números sea dos : el primer dado cayó en el número cinco: el primer dado haya caído en el número cinco y la suma de los dos d

EEEE

5

6

7

ados sea siete: el menor de los dos números no sea dos: la suma sea siete y el menor sea dos y el primero sea cinco: la suma sea siete o el menor sea dos o el primero sea cinco

EEE

8 : la suma de los dosE sea siete y el menor no sea dos

Los resultados de las probabilidades de los eventos definidos serían

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

1

2

3

4

5

6

7

8

6 36

9 36

6 36

1 36

1 1 9 36 27 36

1 36

6 36 9 36 6 36 2 36 1 36 1 36 1 3618 36

6 36 2 36 4 3

c

c

P E P A A S

P E P B B S

P E P C C S

P E P C A C A S

P E P B P B

P E P A B C

P E P A B C

P A P B P C

P A B P A C P B C

P A B C

P E P A B P A B

P A P A B

= = =

= = =

= = =

= ∩ = ∩ =

= = − = − =

= ∩ ∩ =

= ∪ ∪

= + +

− ∩ − ∩ − ∩

+ ∩ ∩

= + + − − − +=

= ∩ = −

= − ∩ = − = 6

Ejemplo 5.4.4 En un lote de 100 artículos hay 6 defectuosos, Si se toman del lote 5 artículos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de ellos sean defectuosos? De los 6 defectuosos que hay necesitamos a 3 de ellos y de los 94 no defectuosos necesitamos a 2 de ellos para así tener a los 5 artículos que se toman al azar, el número de formas de escoger 3 defectuosos de los 6 que hay es (6,3) 20C = y el número de formas de escoger a 2 artículos no defectuosos de los 94 existentes es , entonces habrá 20

(94,2) 4371C =4371 87420⋅ = maneras de tener 5 artículos en donde tres de ellos

sean defectuosos y 2 no. La cantidad de elementos de nuestro espacio muestra es la


cantidad de formas posibles de tomar una muestra de 5 artículos teniendo 100, entonces se calcula con ; llegando a que la probabilidad buscada es (100,5) 75287520C =

( )

87420 0.00116175287520

P A = =

Este ejemplo es típico de lo que más adelante entenderemos por distribución hipergeométrica. Ejemplo 5.4.5 En una competencia de natación intervienen tres jóvenes que llamaremos , A B y C . Por su trayectoria en este tipo de competencias se sabe que la probabilidad de que gane es el doble de la de

AB , y la probabilidad de que B gane es el triple de la de C .

Calculemos:

( ) ( ) ( ), yB P CP A Pa) Las probabilidades que tiene cada joven de ganar b) La probabilidad de que A no gane

Note que inicialmente no tenemos un solo valor, simplemente relaciones entre las

probabilidades, entonces se resolverá algebraicamente: Supongamos que la probabilidad que tiene A de ganar es ( )P A p= , entonces la

probabilidad que tiene de ganar es la mitad de la de , A ( ) 2P BB p= y en consecuencia la probabilidad que tiene de ganar es la tercera parte de la de C B llegando a ( ) 6P C p= . Por otro lado, sabemos que la suma de todas la probabilidades de eventos que sean una partición del espacio muestra es igual a uno, entonces

( ) ( ) ( )1 2P A P B P C p p p= + + = + + 6

desarrollando la fracción

6 6 3p p p= + + de donde 6 10p = , por lo tanto ( ) 6 10P A = , ( ) ( )6 10 2 6 20 3 10P B = = = y por

último ( ) ( )6 10 6 6 60 1 10P C = = = . Finalmente ( ) ( )1 1 6 10cP A P A= − = − = 4 10 .

Ejemplo 5.4.6 Una fábrica de detergentes proyecta lanzar una nueva marca. En el mercado hay dos marcas: A y B . La probabilidad de compra de A es 0.3, la de B es 0.5 y la de A y B , 0.1. Para decidirse por la nueva marca, la fábrica necesita conocer la probabilidad de que no se compren ni A ni B, así como la probabilidad de que sólo se compre una de las dos marcas. Calculemos estas probabilidades.

PROBABILIDAD 169

El evento de no comprar ni A ni B queda expresado como entonces su probabilidad sería

cA B∩ c

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1

11 0.3 0.5 0.1 0.3

c c cP A B P A B P A B

P A P B P A B

∩ = ∪ = − ∪

= − − + ∩

= − − + =

El evento de comprar sólo una de las dos marcas (ya sea la marca A o la B pero no las dos) queda expresado como A B⊕ entonces su probabilidad sería

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 0.3 0.5 2 0.1 0.6

P A B P A B A B P A B P A B

P A P B P A B

⊕ = ∪ − ∩ = ∪ − ∩

= + − ∩ = + − =

Ejemplo 5.4.7 Mediante una encuesta se ha determinado que la probabilidad de que un cierto número de automóviles formen una línea de espera en una bomba de una gasolinera es:

Número de automóvilesen la cola 0 1 2 3 o más

probabilidad 0.08 0.16 0.30 0.46 Calculemos la probabilidad de que en la cola haya

1

2

3

4

: a lo más un automóvil: a lo más dos automóviles: al menos un automóvil: al menos dos automóviles

EEEE

de esta manera

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2

3

4

0 aut. 1 aut. 0.08 0.16 0.24

0 aut. 1 aut. 2 aut. 0.08 0.16 0.30 0.54

1 aut. 2 aut. 3 aut. 0.16 0.30 0.46 0.92

2 aut. 3 aut. 0.3 0.46 0.76

P E P P

P E P P P

P E P P P

P E P P

= − + − = + =

= − + − + − = + + =

= − + − + − = + + =

= − + − = + =

Inicialmente puede dar la impresión de que este problema carece de importancia o sentido, sin embargo es información de utilidad para la empresa, debido a que no es conveniente que la probabilidad de tener dos o más autos en la fila sea alta, podría darse la situación de que si un automovilista llega y ve más de dos autos cambie de gasolinera representando pérdidas para la empresa; tal situación provoca que la empresa decida instalar una bomba más.


Ejemplo 5.4.8 Este ejemplo es un problema clásico en la probabilidad.

Calcularemos la probabilidad de que dos o más personas que se encuentran en un grupo de personas ( ) tengan la misma fecha de cumpleaños. n 365n ≤ No tomamos en cuenta los años bisiestos y suponemos que el cumpleaños de una persona puede caer en cualquier día con igual probabilidad. Es evidente que resolver este problema de manera directa no es conveniente, porque al decir “dos o más” tendríamos que sacar la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día, luego de que tres, luego cuatro y así sucesivamente hasta llegar a y al final sumar. n

Es más recomendable resolver lo contrario y posteriormente aplicar [5.4.1]; entonces calculemos la probabilidad de que las personas cumplan años en fechas distintas (

nA ).

Puesto que hay n personas y 365 días diferentes, hay formas en las cuales

personas pueden cumplir años. Por otra parte queremos conocer el total de formas en que podemos seleccionar n fechas distintas de las 365 que hay, importando el orden, ya que cada fecha correspondería a una persona, llegando así a que el número justamente realiza tal cálculo. Entonces la probabilidad de que personas cumplan años en fechas distintas es

365n

n

n

(365, )P n

( ) (365, )365n

P nP A =

Concluyendo que la probabilidad de que dos o más personas tengan la misma fecha de cumpleaños (de un grupo de 365n ≤ ) es:

( ) ( ) (365, )1 1365

cn

P nP A P A= − = −

La tabla muestra las distintas probabilidades que se generan al variar el número de personas, observe que para cuando el grupo es de 60 personas o más, es casi seguro que dos o más personas tengan la misma fecha de cumpleaños.

n 15 30 45 60 p 0.2529 0.7063 0.9409 0.9941

Ejemplo 5.4.9 Durante un año, las personas de una ciudad utilizan tres tipos de transporte: metro (M), autobús (A) y coche particular (C). Las probabilidades de que durante el año hayan usado unos u otros transportes son:

PROBABILIDAD 171

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

0.3, 0.2, 0.15

0.1, 0.05, 0.06, 0.01

P M P A P C

P M A P M C P A C P M A C

= = =

∩ = ∩ = ∩ = ∩ ∩ =

Calculemos las siguientes probabilidades:

1

2

3

4

: que una persona tome al menos dos medios de transporte: que una persona viaje en metro y no en autobús: que una persona viaje en metro o en coche y no en autobús: que viaje en metro o en autobús

EEEE

5

y en coche:que una persona vaya a pieE

Muy bien. Nos damos cuenta de que es necesario organizar la información, lo haremos con el uso del diagrama de Venn para tres conjuntos. Recordemos que la forma de hacerlo es primero considerar el número que se encuentra en los tres conjuntos que sería 0.01, después llenar los espacios referentes a dos conjuntos restando la cantidad indicada con 0.01 y así sucesivamente. El diagrama queda de esta manera

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

0.09 0.04 0.05 0.01 0.19

c c c

c c c

P E P M A C M A C M A C M A C

P M A C P M A C P M A C P M A C

⎡ ⎤= ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩⎣ ⎦

= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩

= + + + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0.3 0.1 0.2cP E P M A P M A P M P M A= ∩ = − = − ∩ = − =

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3

0.3 0.15 0.05 0.1 0.06 0.01 0.25

cP E P M C A P M C A P M C P M C A

P M C P M A C A

P M C P M A P C A P M A C

P M P C P M C P M A P C A P M A C

= ∪ ∩ = ∪ − = ∪ − ∪ ∩

= ∪ − ∩ ∪ ∩

= ∪ − ∩ + ∩ − ∩ ∩⎡ ⎤⎣ ⎦= + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩

= + − − − + =


( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )

4

0.05 0.06 0.01 0.1

P E P M A C P M C A C

P M C P A C P M A C

= ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩

= ∩ + ∩ − ∩ ∩

= + − =

( ) ( )( ) ( )5 1

1 (0.01 0.04 0.05 0.09 0.16 0.05 0.05)1 0.45 0.55

cP E P M A C P M A C= ∪ ∪ = − ∪ ∪

= − + + + + + += − =

Ejemplo 5.4.10 La sangre se clasifica por factores en Rh positivo y Rh negativo y también de acuerdo al tipo. Si la sangre contiene un antígeno A es de tipo A ; si tiene un antígeno B es de tipo B ; si tiene ambos antígenos A y B, es de tipo AB ; si carece de ambos antígenos es de tipo O . Otra forma de presentar esta información es mediante el uso de una tabla.

Grupo sanguíneo Factor Rh A B AB O Negativo OB ABA− − − − Positivo O + B ABA+ + +

En una encuesta a 75 individuos, se encontró que 65 de ellos tenían factor Rh+, de los cuales 25 con antígeno A, 30 con antígeno B y 10 con ambos antígenos. De los 10 con factor Rh-, 3 tenían antígeno A, 4 con antígeno B y 1 con ambos antígenos. Si se selecciona al azar una de las 75 personas. Calculemos la probabilidad de que tenga sangre con

1

2

3

4

: factor y tipo : factor y tipo : factor y tipo : factor - y tipo

E RhE RhE RhE Rh

+++

AABOB

O

5

6

7

8

: factor - y tipo : factor - en general: tipo en general : tipo o en general

E RhE RhE ABE A B

Observe que de igual forma podemos organizar los datos numéricos con el uso de la tabla

Grupo sanguíneo Factor Rh A B AB O Negativo 3 4 1 2 10 Positivo 25 30 10 0 65 28 34 11 2 75

Calculemos entonces.

( )( )

1

2

25 75

10 75

P E

P E

=

=

( )( )

3

4

0

4 75

P E

P E

=

=

( )( )

5

6

2 75

10 75

P E

P E

=

=

( )( )

7

8

11 75

28 75 34 75 62 75

P E

P E

=

= + =

PROBABILIDAD 173

Ejemplo 5.4.11 Supongamos que . La posibilidad de que ocurra la definimos como la relación

( )P E p= E:1p p− . Determinemos p si la posibilidad de que ocurra es . E :a b

(1 )1

p a abp a p bp a ap ap bp a pp b a= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ + = ⇒ =

− + b

Por otro lado, imaginemos que las posibilidades de un boxeador de ganar son

(ha ganado tres peleas y ha perdido dos). Calculemos la probabilidad que tiene el boxeador de ganar. 3 : 2

( ) 3 33 2 5

aP E pa b

= = = =+ +

y de perder

( ) 3 21 15 5

cP E p= − = − =

La idea principal de este ejemplo aparte de conocer “las posibilidades” que son un instrumento muy común donde se hacen apuestas, es presentar el concepto de que un evento tenga éxito o fracaso. Veamos Si definimos la probabilidad de que el evento ( )E∈℘ S E tenga éxito como

( )P E p= y la probabilidad de que el evento E tenga fracaso como

( ) 1P F q p= = − con cF E= . Ejemplo 5.4.12 Votaciones. Imaginemos que se tuvo una elección, la cual contaba con dos participantes, candidatos y A B ; los resultados ya están a la mano, a y b respectivamente, y el aspirante A ganó, esto es . El objetivo es calcular la probabilidad de que en el “proceso de conteo” el candidato

a b>A siempre haya tenido el liderato.

Inicialmente necesitamos identificar con algo concreto lo que entenderemos por

“proceso de conteo”; analicemos una particularidad para que de ahí propongamos una idea general.


Supongamos , de esta manera un “proceso de conteo” puede ser el siguiente

8 4a b= =AAABABABAABA , ¿y esto que quiere decir?, pues tomándolo como una

secuencia de letras de izquierda a derecha notamos que el número de veces que va apareciendo la letra A siempre supera a el número de veces en que sale la letra B ( A con y 8a = B con apariciones en total ), y si el número de veces que va saliendo cada letra representa el conteo parcial de votos para cada candidato, podemos decir que el candidato en todo momento llevó el liderato para este caso.

4b =

A Un ejemplo en donde haya perdido el liderato en algún momento sería

debido a que en el conteo parcial hubo un instante en el que se tenían dos votos para

AAABBBABAAAAA

B y dos para , posterior a eso A B supero a por uno; también puede darse la situación de que no haya tenido el liderato desde el principio, por ejemplo

AA

BBABAAAAABAA . Una vez hecha la discusión anterior entendamos a un “proceso de conteo” como

una secuencia (o cadena) de letras y A B en donde el número de veces que debe aparecer la letra tiene que ser , y el número de veces que debe aparecer la letra A a B tiene que ser b con . Nuestro caso de interés es cuando el conteo parcial dea b> A siempre vaya superando al de B .

La pregunta es: ¿cuántas cadenas con estas características son posibles hacer? La longitud de cada una de las cadenas es a b+ , así que podemos decir que

estamos acomodando letras ( o A B ) en casillas cuya numeración es { }1, 2,3, , a b+… y además ponemos una cantidad de veces la letra b B (una por casilla) es decir, para

AAABABABAABA

hay una cantidad de 8 4 casillas enumeradas 12+ = { }1, 2, ,12… en donde la letra

B aparece veces en las posiciones 4b = { } { }4,6,8,11 1⊂ , 2,3, ,11,12… . Si consideramos este nuevo punto de vista análogo a nuestro problema original, estamos buscando a la cantidad de subconjuntos de { }1, 2,3, , a b+… que tengan

elementos. b

Así, valiéndonos de los resultados previos podemos concluir:

a bS

b+⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Muy bien, ya tenemos identificado a nuestro espacio muestra e inclusive

calculamos su cardinalidad. El siguiente paso, será caracterizar al evento en cuestión de una forma adecuada para poder hacer el conteo de sus elementos.

S

Asociemos a un “proceso de conteo” con un camino en el plano. Construyamos

dentro de un plano cartesiano a un rectángulo cuyos vértices opuestos son ( y ; trabajaremos únicamente con las coordenadas del plano que se encuentran dentro

0,0)( , )b a

PROBABILIDAD 175

del rectángulo con la condición de que sean enteras sus entradas, formando de esta manera a una “red”; cada camino = proceso de conteo, comenzará en ( y terminará en y consistirá sólo de dos movimientos posibles

0,0)( , )b a ↑ para y para A → B , claro

que todo esto se hará sobre la red. La siguiente gráfica esclarece lo que acabamos de decir tomando como ejemplo al proceso de conteo AAABABABAABA que sería equivalente al camino ↑↑↑→ . ↑→↑→↑↑→↑

Si observamos hay una diagonal en la gráfica que no se

había mencionado, la cual intersecta a los puntos de la red que tienen la forma { }( , ) : 0D k k k b= ≤ ≤ . La utilidad que tiene esta diagonal es cuando un camino llega a tocarla, y ese hecho se interpretaría como que el conteo parcial de las votaciones se igualó, o equivalentemente, alguno de los dos candidatos perdió el liderato. Notemos que el evento principal sobre el cual estamos trabajando es correspondiente a buscar el total de caminos que nunca “toquen” o “crucen” la diagonal.

Graficaremos de igual forma, a dos procesos de conteo en particular, sobre los cuales ocurren dos cosas importantes y distintas entre ellas aparentemente (más adelante probaremos que son lo mismo a nivel de conteo).

ALa primera ( I ) es que en algún momento perdió el liderato (para nuestro caso en particular , perdió el liderato en ) ( ,b a) (4,8)= A

AABBBABAAAAA

(2, 2)

. =↑↑→→→↑→↑↑↑↑↑

La segunda ( II ) cuando no tuvo el liderato desde un principio A

BBABAAAAABAA

. =→→↑→↑↑↑↑↑→↑↑


Una vez identificados estos dos casos es claro que debemos de quitarlos de nuestro espacio muestra, con la finalidad de quedarnos sólo con los caminos que nunca “toquen” la diagonal. Definamos de manera formal a los siguientes dos eventos del espacio muestra

( I ) : Caminos que comienzan con ↑ y además en algún momento pertenecen a . D( II ) : Caminos que comienzan con → y claramente cruzan en algún D instante.

Probaremos más adelante que ( I ) = ( II ) por lo que primero calcularemos

( II ) ; además es muy importante hacer notar que ( I ) ( II ) = ∩ ∅ (ambos eventos son ajenos entre si).

En ( II ) se tiene la característica de que nuestro primer conteo parcial favorece a

B , por lo que ya sólo nos preocupa lo que pasa posteriormente, y esto quiere decir que únicamente habrán votos restantes para el candidato 1b − B y continúan votos para

, si observamos detenidamente, la situación que se nos presenta en este momento es exactamente la misma que la anterior al calcular la cardinalidad del espacio muestra, con la diferencia de que ahora cambiaron los datos, así que, estamos buscando a el total de subconjuntos de {

aA

}1, 2,3, , 1a b+ −… que tienen 1b − elementos, por lo que nuestro resultado sería

1( II )

1a b

b+ −⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Por otra parte podemos ver que

1 11

a b a bb a+ − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−

y es más conveniente considerar al evento ( II ) así, debido a la simplicidad de la segunda expresión. Probemos ahora que las cardinalidades de los eventos ( I ) y ( II ) son iguales.

Consideremos a un camino cualesquiera de ( I ), el cual por definición debe de tocar en algún momento a la diagonal, digamos que ( es el primer punto donde esto pasa; inicialmente veamos lo que ocurre desde hasta tomando como ejemplo la gráfica I, notamos que

, )u u(0,0) ( , )u u

( , ) (2,2)u u = de esta manera el camino desde ( hasta es ↑↑→ , lo que vamos a hacer es intercambiar cada por una → , y cada por una , generando con esto →→↑ por último la parte de a

la dejaremos exactamente igual; lo que hicimos fue construir una “asociación” de caminos, para nuestro caso en particular “asociamos” a los dos caminos

0,0)

2,2)(2,2)→

(4,8)=

→↑

↑↑ ( , ) (u u =

( ,b a)

↑↑→→→↑→↑↑↑↑↑ ≅ →→↑↑→↑→↑↑↑↑↑

PROBABILIDAD 177

Y vale comentar que con base en un camino

cualesquiera en ( I ) tenemos a un camino “asociado” en ( II ) y este proceso de construcción lo podemos hacer de ( II ) a ( I ) inclusive, este método se le llama “Principio de Reflexión”. Este argumento garantiza la igualdad de cardinalidades, así que

1( I ) ( II )

a ba

+ −⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Definamos

( III ) : Caminos que nunca tocan la diagonal. Con esta información aseguramos que ( I ) ( II ) ( III )S = ∪ ∪

I ) ( III ) = ( II ) ( III además todos los

eventos son ajemos en parejas ( I ) ( II ) = ( ) = ∩ ∩ ∩ ∅ , luego

( I ) ( II ) ( III ) 2 ( II ) ( III )S = + + = +

Despejando la cardinalidad de nuestro evento en cuestión ( III ), y dividiendo todo entre S obtenemos

( ) ( III ) ( II )III 1 2P

S S= = −

Calculando.

( )

1 ( 1)!!( 1)!III 1 2 1 2 ( )!

! !

! !( 1)! ( 1)! ( 1)!1 2 1 2!( 1)!( )! ( 1)!( 1)!( )

21 2

a b a ba a bP a ba b

b abb a a b b b a b

a b a b b a b ab a b b a b

a b a b a b

+ −⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ −⎝ ⎠= − = −

++⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ − − + −= − = −

− + − + − ++ − −

= − = =+ + +

b

Concluyendo finalmente, que la probabilidad de que el candidato A siempre

haya tenido el liderato es:

( )III a bPa b−

=+


5.5. ESPACIOS UNIFORMES NO NUMERABLES Haremos un pequeño paréntesis con la finalidad de presentar la forma en que se resuelven algunos problemas de probabilidad para el caso de espacios uniformes no numerables. El objetivo es mostrar que el cálculo de probabilidades no solamente trata de contar elementos de un conjunto; la medida de un conjunto inclusive puede ser longitud, área, volumen, entre otras cosas; nuevamente consideraremos a todas ellas finitas.

Ocuparemos algunos resultados de cálculo con la confianza de que se retomará el tema en caso que no se tengan aún las bases. La probabilidad de un evento , se considerará como la probabilidad de que al seleccionar un punto al azar del espacio muestra éste pertenezca a , y se define

AA

[5.5.1] ( ) ( ) ( )longitud( ) área( ) volumen( ); ;longitud( ) área( ) volumen( )

A AP A P A P AS S

= = =AS

Veamos unos ejemplos. Ejemplo 5.5.1 Se escoge un punto al azar dentro de un círculo. Encontremos la probabilidad p de que el punto esté más cerca del centro del círculo que de su circunferencia. Consideremos a S como el conjunto de puntos dentro del círculo con radio r , y a A como el conjunto de puntos dentro del círculo concéntrico de radio 2r .

Observamos que consiste precisamente de aquellos puntos de que están

más cerca al centro que a su circunferencia. Por lo tanto A S

( ) ( )2

2

2área( ) 1área( ) 4

rAP AS r

π

π= = =

Esto quiere decir que si seleccionamos una cantidad extremadamente grande de

puntos de al azar, aproximadamente S 1 4 parte de ellos pertenecerán al conjunto . A Ejemplo 5.5.2 Una moneda de radio 1 es lanzada al azar sobre el plano, encontremos la probabilidad de que la moneda cubra un punto de

4×Z Z .

PROBABILIDAD 179

Definamos a como el conjunto de puntos del plano cartesiano que se encuentran dentro de un cuadrado con esquinas

S ×R R

( , ); ( 1, ); ( , 1); ( 1, 1a m n b m n c m n d m n= = + = + = + )+

para . ,m n∈Z Sea A el conjunto de puntos en con distancia menor que S 1 4 desde cualquier punto que es esquina observe que el área de es igual al área dentro de un círculo de radio A 1 4 .

Suponga que el centro de la moneda cae en , entonces la moneda cubrirá un punto de si y sólo si su centro cae en , en consecuencia:

S×Z Z A

( ) ( )21 40.19635

1 16P A

π π= = ≈

o en otras palabras, si la moneda se lanza al plano 100000 veces, la moneda cubrirá a un punto de coordenadas enteras aproximadamente 19635 veces. Ejemplo 5.5.3 Valo invita a Mario a tomarse un café, ambos se citan entre las 20 y 21 horas, sin embargo los dos tienen fama de impuntuales, por lo que mutuamente llegan al acuerdo de que ninguno de los dos esperará al otro más de diez minutos. Hallaremos entonces la probabilidad de que Valo y Mario se encuentren. Si Valo llega puntual, únicamente habrá diez minutos de tolerancia para que se encuentren: si la pareja ( , )x y

(0,

representa los instantes de llegada de ambos Valo-x Mario-y, entonces al llegar Valo puntual solamente tendrán oportunidad de encontrarse en cualquiera de los puntos )y para [ ]0,10y∈

10 min del plano cartesiano. Otra situación

sería, si es posible que 20minx = y = y se encuentren (en este caso Valo es el que llegó tarde) o también podría pasar que 30y min= y se encuentren para el mismo valor x , entonces los puntos del plano cartesiano que indican el encuentro para

son 20 min (20x = , )y para [ ]10,30y∈ . Podemos describir esta situación de manera general.


Veamos. Si el tiempo de llegada de cada uno queda representado por la pareja ( , )x y para entonces los valores de0 x≤ ≤ 60 y que definen el punto de encuentro son

[ ]10, 10x +y x∈ − para 0 . Observe la gráfica. 60y≤ ≤

Teniendo así una visión más clara de la región que permite el encuentro. Es de mencionar que cualquiera de las parejas ( , )x y tiene igual probabilidad de ocurrir. Es claro que nuestro siguiente paso será calcular el área de la región sombreada.

( ) ( ) ( ) ( )10 50 60

0 10 50

10 602 250

100 50

área( ) 10 10 10 60 10

10 20 702 2

150 800 150 1100

A x dx x x dx x dx

x xx x x

= + + + − − + − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + =

∫ ∫ ∫

concluyendo

( ) área( ) 1100 0.3055área( ) 3600

AP ES

= = =

En este ejemplo se ocuparon elementos de cálculo; como se ha mencionado, nuestro interés es presentar un poco de la gran diversidad que hay en problemas de probabilidad, así que de no entenderse aún la terminología de integración, se deja al lector releer al momento lo que sea necesario.

En este ejemplo nos dimos cuenta que es conveniente ser puntuales. 5.6. PROBABILIDAD CONDICIONAL Hay ocasiones en que se requiere calcular la probabilidad de un evento sabiendo de antemano que ha ocurrido otro evento, digamos

AB . Esta nueva probabilidad se llama la

probabilidad condicional de dado el evento A B ; se denota por ( )P A B . Comenzaremos dando un ejemplo para comprender más el concepto y dar pie a

la definición formal de la probabilidad condicional.

PROBABILIDAD 181

Supongamos que lanzamos tres monedas (honestas). Ya sabemos que el espacio muestra queda determinado por { }, , , , , , ,S sss ssa sas ass saa asa aas aaa= . Definimos a dos eventos de como: S

: caen por lo menos dos soles: la primer moneda cae sol

AB

observe el diagrama

Calculemos la probabilidad de que al lanzar tres veces una moneda caigan por lo menos dos soles ( ) 4 8P A = ; imaginemos que por alguna razón nos enteramos de que B ha ocurrido; con base en esta condición las cosas cambian, el evento A se restringe al evento B, porque si B ya ocurrió debemos quitar al elemento ass y simplemente calcular la probabilidad de que caigan por lo menos dos soles si es que la primer moneda cayó en sol, esto es 3 4 , observe que

34

A BB∩

=

La probabilidad recién calculada justamente es la condicional ( ) 3 4P A B = ; el evento B es el condicionante y se puede interpretar como nuestro espacio muestra. Entonces llegamos a la relación

( ) ( )( )

A B A B S P A BP A B

B B S P B∩ ∩ ∩

= = =

con . ( ) 0P B > Muy bien, hasta este momento únicamente se ha presentado el concepto y sugerido una forma de calcularlo (de hecho es la forma), sólo que debemos tomar en cuenta que el concepto se presenta aquí como una consecuencia de trabajar con espacios finitos equiprobables y no es el caso, la idea es mucho más general que eso. Por tanto es necesario exponerlo de manera alterna.


Sean y supongamos que ( ),A B S∈℘ ( ) 0P B > . Entonces la probabilidad condicional del evento dado A B , se define como

[5.6.1] ( ) ( )( )

P A BP A B

P B∩

=

observe que si cambiamos al evento condicionante B y tomamos a A como nuestro condicionante, la fórmula [5.6.1] cambia a

( ) ( )( )

P A BP B A

P A∩

=

Demos algunos ejemplos antes de seguir con la teoría. Ejemplo 5.6.1 Seleccionamos un dígito al azar de 1 al 9. Consideremos los eventos

: el dígito selecionado es impar: el dígito seleccionado es primo

AB

Calculemos la probabilidad de que al escoger un dígito al azar sea primo dado

que es impar Primero identifiquemos a los eventos { } { }1,3,5,7,9 ; 2,3,5,7A B= = , entonces

( ) ( )( )

3 9 35 9 5

P A BP B A

P A∩

= = =

Por otro lado calculemos la probabilidad de que al escoger un dígito al azar sea

impar dado que es primo

( ) ( )( )

3 9 34 9 4

P A BP A B

P B∩

= = =

Ejemplo 5.6.2 Retomemos la información de ejemplo 5.4.10

Grupo sanguíneo Factor Rh A B AB O Negativo 3 4 1 2 10 Positivo 25 30 10 0 65 28 34 11 2 75

PROBABILIDAD 183

Calculemos la probabilidad de que al escoger una persona al azar ésta tenga factor Rh + dado que es de tipo B

( ) ( )( )

30 75 3034 75 34

P Rh BP Rh B

P B+∩

+ = = =

También calculemos la probabilidad de que al escoger una persona al azar ésta tenga tipo A dado que tiene factor Rh −

( ) ( )( )

3 75 310 75 10

P A RhP A Rh

P Rh∩ −

− = = =−

Ejemplo 5.6.3 Sean ( ),A B ∈℘ S , además , ( ) 0.4P A = ( ) 0.3P B = y ( ) 0.1P A B∩ = , calculemos:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3; ; ;c c cP A B p P A A B p P A B p P A B A B p= ∩ = = ⊕ ∪ 4.=

Veamos.

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )1

11

1 0.4 0.3 0.1 0.4 41 0.3 0.7 7

c c

c c

c

P A B P A P B P A Bp P A B

P BP B

∩ − − + ∩= = =

−

− − += = =

−

( ) ( )( )( )

( )( )2 1

P A A B P A Bp P A A B

P A B P A B∩ ∩ ∩

= ∩ = =∩ ∩

=

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( )

3

0.1 1 21 1 10.3 3 3

c

cP A B P B A P B P A B

p P A BP B P B P B

P A BP B

∩ − −= = = =

∩= − = − = − =

∩

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

4

1

0.1 0.1 1 51 1 10.4 0.3 0.1 0.6 6 6

P A B A B P A Bp P A B A B

P A B P A B

P A B P A B P A BP A B P A P B P A B

⊕ ∩ ∪ ⊕= ⊕ ∪ = =

∪ ∪

∪ − ∩ ∩= = −

∪ + − ∩

= − = − = − =+ −


recuerde que y entonces A B A B⊕ ⊆ ∪ ( ) ( )A B A B A B⊕ ∩ ∪ = ⊕ .

Continuemos. Los siguientes resultados son de utilidad; hablan de igualdades que involucran a la probabilidad condicional, necesarias en ocasiones debido a que no siempre es fácil calcularla directamente:

a) Supongamos que ( ) con ,A B S∈℘ A B∩ =∅ ; verifiquemos la igualdad

[5.6.2] ( ) ( )( ) ( )

P AP A A B

P A P B∪ =

+

Veamos.

( ) ( )( )( )

( )( )

( )( ) ( )

P A A B P A P AP A A B

P A B P A B P A P B∩ ∪

∪ = = =∪ ∪ +

recordemos que y en consecuencia A A B⊆ ∪ ( )A A B A∩ ∪ = , también ocupamos [5.4.8].

b) Demostremos que se verifica la desigualdad [5.6.3] ( ) ( ) ( )P A B P A P A B∩ ≤ ≤ ∪

Nos damos cuenta que , luego aplicamos [5.4.2]. A B A A B∩ ⊆ ⊆ ∪

c) Supongamos que ( ) demostremos que la igualdad se cumple , ,A B C S∈℘

[5.6.4] ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A C P B C P A B C∪ = + − ∩ Veamos.

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

( )( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )

P A B C P A C B CP A B C

P C P C

P A C P B C P A B CP C

P A B CP A C P B CP C P C P C

P A C P B C P A B C

∪ ∩ ∩ ∪ ∩∪ = =

∩ + ∩ − ∩ ∩=

∩ ∩∩ ∩= + −

= + − ∩

si suponemos que , A B∩ =∅ [5.6.4] se cambia a ( ) ( ) (P A B C P A C P B C∪ = + ) , lo que podemos generalizar. Observe el siguiente resultado.

PROBABILIDAD 185

d) Supongamos que ( ) tales que A A1 2 3, , , , ,nA A A A B S∈℘… i j∩ =∅ para i j≠ y

además P B > . Entonces ( ) 0

(11

n n

iii

P A B P A B==

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠∑∪ )i [5.6.5]

Demostremos. Habrá que ocupar [5.4.8].

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

1 1 1

1

1 1

n n n

i i ini i i

ii

n n

i ii i

P A B P A B P A BP A B

P B P B P B

P A B P B P A B

= = =

=

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∩ ∩ ∩⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

= ∩ =⎡ ⎤⎣ ⎦

∑

∑ ∑

∪ ∪∪

e) Supongamos ( ) . Si , ,A B C S∈℘ ( ) 0P A B C∩ ∩ > y ( ) ( )P C A B P C B∩ = ,

entonces ( ) ( )P A B C P A B∩ = Demostremos. Primero desarrollemos la hipótesis.

( ) ( )( )( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( )

P C A B P C B

P A B C P B CP A B P B

P B P A B C P A B P B C

P A B C P A BP B C P B

∩ =

∩ ∩ ∩=

∩

∩ ∩ = ∩ ∩

∩ ∩ ∩=

∩

llegando a una igualdad que nos permite obtener lo buscado

( ) ( )( )

( )( ) ( )P A B C P A B

P A B C P A BP B C P B∩ ∩ ∩

∩ = = =∩

Continuemos la discusión. La fórmula [5.6.1] aparte de ser importante en sí

misma, nos brinda una expresión para la probabilidad de la intersección de dos eventos en función de la probabilidad condicional. En efecto.

( ) ( ) ( )P A B P B P A B∩ = [5.6.6] también puede ser

( ) ( ) ( )P A B P A P B A∩ =

A [5.6.6] se le conoce como teorema de la multiplicación, que se puede extender a un número finito de eventos. Veamos cómo queda la expresión para el caso de tener tres y cuatro eventos.


Haremos uso de la igualdad [5.6.7] ( ) ( ) ( )P A B C P A C P B A C∩ = ∩ que es válida si ( ) 0P A C∩ > Demostración. Es importante notar que ( ) 0P A B C∩ ∩ > , nos lleva a tener la garantía de no estar dividiendo entre cero al ocupar probabilidad condicional, es decir, como ninguna de las probabilidades indicadas serán cero A C C∩ ⊆

( ) ( )0 P A C P C< ∩ ≤ Con esta garantía ya podemos desarrollar sin problemas

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )( ) ( ) ( )

P A B C P A C P A B CP A B C

P C P A C P C

P B A CP A CP A C P B A C

P C P A C

∩ ∩ ∩ ∩ ∩∩ = =

∩

∩ ∩∩= =

∩∩

Muy bien. Una vez demostrada [5.6.7] encontremos expresiones para el teorema de multiplicación para los casos 2,3,4n = con representando el número de eventos. n Sean ( )1 2 3 4, , ,A A A A S∈℘

• Si ( )1 0 y 2n = entonces P A > ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1A A P A A P A P∩ =

• Si y 3n = entonces ( )1 2 0P A A∩ >

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 3 1 2P A A A P A P A A A P A P A A P A A A∩ ∩ = ∩ = ∩

note que se ocupó [5.6.7] considerando 2 3, ,A A B A C A1= = =

• Si ) y 4n( 1 2 3 0P A A A∩ ∩ > = entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 2 3 4 1 2 3 4 1

1 2 1 3 4 1 2

1 2 1 3 1 2 4 1 2

P A A A A P A P A A A A

P A P A A P A A A A

P A P A A P A A A P A A A A

∩ ∩ ∩ = ∩ ∩

= ∩ ∩

= ∩ 3∩ ∩

1

aquí se ocupó dos veces [5.6.7], en la primera 2 3 4, ,A A B A A C A= = ∩ = y en la segunda 3 4 1, ,A A B A C A A= = = ∩ 2

Una vez establecido el comportamiento ya podemos dar la expresión general.

PROBABILIDAD 187

Sean tales que ( )1 2, , , nA A A S∈℘… ( )1 2 1 0nP A A A −∩ ∩ ∩ > , entonces el teorema de multiplicación extendido a un número finito de eventos se expresa

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 1 2 1 2 11

n

i ni

P A P A P A A P A A A P A A A A −=

⎛ ⎞= ∩ ∩⎜ ⎟

⎝ ⎠∩ n∩ ∩ [5.6.8]

De nueva cuenta es conveniente dar algunos ejemplos. Ejemplo 5.6.4 Una pareja de recién casados puede comprar la recámara o el refrigerador A B , pero no ambas cosas . La probabilidad de que compre la recámara es

y de que compre el refrigerador es A B∩ =∅

( ) 0.45P A = ( )P B =B

0.2 . Dado que compró una de las dos cosas, la recámara o el refrigerador , ¿cuál es la probabilidad de que haya comprado la recámara?

A∪

Ocuparemos [5.6.2]. De esta manera

( ) ( )( ) ( )

0.45 0.45 450.45 0.2 0.65 65

P AP A A B

P A P B∪ = = = =

+ +

Ejemplo 5.6.5 Un lote contiene 12 artículos de los cuales cuatro están defectuosos. Se sacan del lote tres artículos al azar uno tras otro. Encontremos la probabilidad de que los tres artículos no estén defectuosos. Definamos lo eventos:

1

2

3

: el primer artículo que se sacó no es defectuoso: el segundo artículo que se sacó no es defectuoso: el tercer artículo que se sacó no es defectuoso

AAA

entonces nos interesa calcular ( )1 2 3P A A A p∩ ∩ = La probabilidad de 1A es ( )1 8 12P A = ; luego, como ya sacamos un artículo no defectuoso nos quedan siete no defectuosos de once artículos restantes, entonces la probabilidad de que nuestro segundo artículo sea no defectuoso (dado que el primero ya lo fue) es ( )2 1 7 11P A A = ; por último, la probabilidad de que nuestro tercer artículo sea no defectuoso (dado que el primero y el segundo ya lo fueron) se calcula sobre los diez artículos restantes, entonces ( )3 1 2 6 10P A A A∩ = , concluyendo que

8 7 6 1412 1110 55

p = =


Ejemplo 5.6.6 Se tiene una baraja de 52 cartas, se extraen cuatro, una por una sin devolverlas al mazo. Encontrar

a) la probabilidad de que la cuarta carta sea el as de corazones. b) la probabilidad de que las cuatro sean los cuatro ases, en el siguiente orden:

corazón C , pica P , diamante D , trébol T .

Es de vital importancia el hecho de no devolverlas, porque después de la primera extracción quedan 51 cartas, sobre las cuales, hay que sacar la probabilidad referente a la segunda extracción, es decir, estamos hablando de probabilidad condicional.

Calculemos

a) Necesitamos que la cuarta carta sea el as de corazones A , eso quiere decir que no nos importa cuáles cartas salieron en las tres primeras extracciones, solamente que no sean el as de corazones, denotemos con c

i iA B= al evento de no haber sacado el as de corazones en la ésimai − extracción para 1,2,3i = . Llegando a que nuestro interés es calcular ( )3B ∩ 1 2P B B∩ ∩ A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3

51 50 49 1 152 51 50 49 52

P B B B A P B P B B P B B B P A B B B∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩

= =

b) Buscamos justamente la probabilidad

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 152 51 50 49 6497400

P C P D T P C P P C P D C P P T C P D∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩

= =

5.7. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL Si ( )B S∈℘ es posible conocer ( )P B

S en términos de las probabilidades condicionales

de los eventos en una partición de . Veamos una particularidad del teorema para darnos una idea de lo que estamos hablando.

Sabemos que si ( )A S∈℘ , el conjunto { }, cA A f

y a así

orma una partición de S , ya que

A∩ demás A∪ cA =∅ cA = S ,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

c c

c c

P B P S B P A A B P A B A B

P A B P A B P A P B A P A P B A

= ∩ = ∪ ∩ = ∩ ∪ ∩

= ∩ + ∩ = + c

PROBABILIDAD 189

Por lo tanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( )c cP B P A P B A P A P B A= +

que justamente es lo que estábamos diciendo. Observe que ( ) ( )cA B A B∩ ∩ ∩ =∅ .

Generalizando a cualquier partición de las cosas quedan. S Sean ( )1 2 3, , , , nA A A A S∈℘… tales que { }1 2 3, , , , nA A A A… forma una partición

de , además para y S ( ) 0iP A > 1,2= , ,i n… ( )B S∈℘ entonces se tiene

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 nB A B A B A B A B= ∩ ∪ ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩

con ( ) para ( )i jA B A B∩ ∪ ∩ =∅ i j≠ , llevándonos a

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) (

( )

1 2

1 2

1

n

n

n

ii

P B P A B A B A B

P A B P A B P A B

P A B=

= ∩ ∪ ∩ ∪ ∪ ∩

= ∩ + ∩ + + ∩

= ∩∑

)

pero como ( ) ( ) (i iP A B P A P B A∩ = )i , podemos escribir

( ) ( ) ( ) ( )1 1

n n

i ii i

P B P A B P A P B A= =

= ∩ =∑ ∑ i

por lo tanto

( ) ( ) (1

n

ii

P B P A P B A=

=∑ )i [5.7.1]

al resultado [5.7.1] se le conoce como teorema de la probabilidad total. Ejemplo 5.7.1 Una ciudad es dividida en tres distritos , ,A B C con el 20%, 40% y 40% de los votantes registrados respectivamente.


Los votantes registrados que aparecen como demócratas son el 50% en A , el 25% en B y el 75% en C . Se escoge aleatoriamente un votante registrado de la ciudad.

Calculemos la probabilidad de que el votante esté inscrito como demócrata (d); y

luego la probabilidad de que el votante esté registrado como republicano (r). Como la ciudad está dividida en distritos, quiere decir que ellos forman una

partición del espacio muestral que resulta del hecho de seleccionar a un ciudadano y verificar si es demócrata o republicano; d B∩ representa al conjunto de ciudadanos que son demócratas y viven en el distrito B ; la probabilidad de que un votante radique en el distrito B es P B = robabilidad de que un ciudadano sea demócrata dado que

radica en

( ) 0.4 y la p

B es ( )P d = la figura 0.25B . Observe

entonces la probabilidad de que el votante escogido sea demócrata es

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(0.2)(0.5) (0.4)(0.25) (0.4)(0.75) 0.5

P d P A P d A P B P d B P C P d C= + +

= + + =

luego, como en la cuidad sólo hay o quiere decir dd r c r= , entonces

( ) ( )1 0P r P d= − = .5 El teorema [5.7.1] se interpreta de la forma siguiente. Supongamos que a una población le definimos una partición, por ejemplo a la población de mexicanos la dividimos por estado de la República donde nacieron, y conocemos la proporción de habitantes de cada estado con respecto a la cantidad de mexicanos

SiA

( )iP A , por otra parte tenemos la intención de estudiar un atributo B que tienen los mexicanos, por ejemplo B puede representar el conjunto de los nacidos en México que terminaron la educación básica, y cada estado tiene la información de sus habitantes que tienen el atributo B y con ello su proporción ( iP B A ) ; entonces [5.7.1] nos permite calcular la proporción de toda la población que tiene el atributo B . Ejemplo 5.7.2 En un sanatorio se atienden únicamente cuatro tipos de enfermedades; las probabilidades de que un enfermo ingrese con una de cada una de las cuatro son

PROBABILIDAD 191

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 40.2; 0.05; 0.6; 0.15;P E P E P E P E= = = = las probabilidades de curación para cada enfermedad son, respectivamente, 0.8, 0.75, 0.2 y 0.3. Calculemos la probabilidad de curación de un enfermo que ingresa en el sanatorio sin saber cuál es su enfermedad. Sea C el evento de curación y padecer la iE ésimai − enfermedad, entonces

( ) ( ) ( )4

1

(0.2)(0.8) (0.05)(0.75) (0.6)(0.2) (0.15)(0.3) 0.3625

i ii

P C P E P C E=

=

= + + + =

∑

Ejemplo 5.7.3 En unos laboratorios se preparan tres vacunas contra la misma enfermedad. Las probabilidades de obtener cada una de ellas en el mercado son:

1 2 3, y V V V

( ) ( ) ( )1 2 31 6; 1 3; 1 2P V P V P V= = =

las probabilidades de inmunidad con cada una son

( ) ( ) ( )1 2 30.9; 0.94; 0.88.P I V P I V P I V= = =

Calculemos la probabilidad de que, utilizando cualquiera de ellas el sujeto

vacunado resulte inmune

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 2 2 3

1 6 0.9 1 3 0.94 1 2 0.88 0.9033

P I P V P I V P V P I V P V P I V= + +

= + + =

3

Ejemplo 5.7.4 Tenemos cuatro urnas que contienen bolas de tres colores: blanco b , negro n y rojo , con las composiciones siguientes:

r

Urna

Blancas

Negras

Rojas

U

10

20

30 1U 1 2 7 2U 3 2 5 3U

4

4

2


Extraemos una bola de la urna U , si es blanca extraemos una bola de la urna , si es negra extraemos una bola de la urna y si es roja extraemos de la . Si

deseamos apostar por el color de la segunda bola extraída ¿cuál se elegiría? 1U 2U 3U

Primero notemos que la selección de la urna fue consecuencia de la primera extracción, y en la urna U hay 60 bolas, entonces

iU

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1

2

3

de 10 60

de 20 60

de 30 60

P U P b U

P U P n U

P U P r U

= =

= =

= =

Por otro lado 10iU = para 1,2,3i = ; entonces las tres probabilidades buscadas son: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3

10 1 20 3 30 4 1960 10 60 10 60 10 60

P b P U P b U P U P b U P U P b U= + +

= + + =

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3

10 2 20 2 30 4 1860 10 60 10 60 10 60

P n P U P n U P U P n U P U P n U= + +

= + + =

3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3

10 7 20 5 30 2 2360 10 60 10 60 10 60

P r P U P r U P U P r U P U P r U= + +

= + + =

3

concluyendo que el color a elegir si se deseara apostar sería el rojo. 5.8. FÓRMULA DE BAYES El abad y matemático inglés Thomas Bayes, al morir en 1761, legó a la humanidad un estudio sobre la probabilidad condicionada. Trabajo que fue publicado en 1763. Este religioso, desde un punto de vista teológico, buscaba establecer una causa fundamental de las cosas; fue el primer científico que pasó de lo particular a lo general en matemáticas. El teorema que se expone a continuación es una herramienta útil para la teoría de juegos y sentó las bases para el desarrollo de algunas aplicaciones prácticas de la estadística conocidas como estimaciones bayesianas.

De la definición [5.6.1] y de [5.7.1] surge el teorema. Sean ( )1 2 3, , , , nA A A A S∈℘… tales que { }1 2 3, , , , nA A A A… forma una partición

de , además S ( ) 0kP A > para 1,2, ,k n= … y ( )B S∈℘ . De la definición [5.6.1] podemos escribir

PROBABILIDAD 193

( ) ( )( )

, para 1,2,3, ,kk

P A BP A B k n

P B∩

= = …

ocupando [5.6.6] escribimos

( ) ( ) ( )( )

k kk

P A P B AP A B

P B=

finalmente sustituimos [5.7.1] en la expresión, obteniendo la fórmula de Bayes

( ) ( ) ( )( ) ( )

1

kk n

i ii

P A P B AP A B

P A P B A=

=∑

k [5.8.1]

para . 1, 2,3, ,k n= … Para tener un mejor entendimiento de esta fórmula recurramos a unos ejemplos. Ejemplo 5.8.1 Hagamos uso del ejemplo 5.7.1.

Consideremos el problema: de la cuidad se selecciona al azar un votante y después de preguntarle su inclinación política, nos enteramos que es demócrata (d).

Calculemos la probabilidad de que:

a) radique en el distrito A b) radique en el distrito B c) radique en el distrito C

Como ya se sabe que es demócrata, lo que tenemos que hacer es calcular la

probabilidad de que el votante radique en el distrito A (por ejemplo) dado que es demócrata, es decir ( )P A d ; observe que esta probabilidad se calcula después de saber la característica del votante, por lo que recibe el nombre de probabilidad a posteriori.

De igual forma ( )P B d y ( )P C d son probabilidades a posteriori. Ya sabíamos que los distritos generan una partición de la cuidad, entonces

reconocemos que se puede ocupar [5.8.1] asociando 1 2, yA A B A C A3= = = . El evento B de [5.8.1] correspondería a . Recordemos d ( ) 0.2=P A , ( ) 0.4P B = y ,

además

( ) 0.4P C =

( ) 0.5P d A = , ( )B = 0.25P d y ( )P d C 0.75= las cuales son probabilidades que se sacan antes de saber la característica del votante (si es d o r), por lo que reciben el nombre de probabilidades a priori.


Entonces los cálculos quedan.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

0.2 0.50.2

0.5

0.4 0.250.2

0.5

0.4 0.750.6

0.5

P A P d AP A d

P A P d A P B P d B P C P d C

P A P d AP d

P B P d BP B d

P d

P C P d CP C d

P d

=+ +

= = =

= = =

= = =

Ejemplo 5.8.2 Un banco, basado en la información que posee sobre el comportamiento de sus cuentabientes, referente a los errores cometidos en los cheques extendidos por ellos, ha llegado a los siguientes resultados: de 850 clientes con fondos, ha habido 25 que pusieron algún error. El 98% de los clientes tienen fondos. De 50 cheques sin fondos 45 tenían errores. Partiendo de esta información se desea hallar la probabilidad de que un cheque con errores resulte sin fondos. Sea F el evento que representa a los clientes con fondos, y referente a los clientes sin fondos, entonces y

cF( ) 0.98P F = ( ) 0.02cP F = ; representa a los cheques

con error.

E

Observe que { }, cF F es una partición de los cuentabientes y E sería la

característica. Luego ( ) 25 850 0.0294P E F = = y ( ) 45 50 0.9cP E F = = , entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

(0.02)(0.9) 0.018 0.387764(0.98)(0.029) (0.02)(0.9) 0.04642

c c

c

c c

P F P E FP F E

P F P E F P F P E F=

+

= =+

≈

Ejemplo 5.8.3 Se tienen 80 dados normales y 20 cargados. En estos últimos, la probabilidad de obtener el dos es el triple que la de las restantes puntuaciones. De entre los 100 dados se elige uno al azar, se arroja y se obtiene la cara dos. Calculemos la probabilidad de que el dado sea normal. Sea C el conjunto de los dados cargados y cN C= el de los dados normales.

PROBABILIDAD 195

Entonces nuestra partición es { },C N y además ( ) ( )0.2, 0.8P C P N= = . Sea p la probabilidad de obtener una cara distinta de la dos en un dado cargado, y como

pasa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6P P P P P P+ + + + + 1=

se tiene 3 1 8 1p p p p p p p p+ + + + + = ⇒ = ⇒ =1 8

por lo tanto ( )2 3 8 0.375P = = , sin perder de vista que el dado inicialmente se asumió

cargado, lo que nos lleva a ( )2 0.375P C = ; por último ( )2 1 6 0.1666P N = = , así

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

22

2 2

(0.8)(0.1666) 0.64(0.8)(0.1666) (0.2)(0.375)

P N P NP N

P N P N P C P C=

+

= =+

5.9. INDEPENDENCIA En la probabilidad condicional se estableció, que si por un lado sacábamos la probabilidad de un evento ( ) 1P A p= y por otro lado sacábamos la probabilidad del

mismo evento pero ya condicionado ( ) 2P A B p= , el evento A se veía afectado por la

ocurrencia de B si , o sea A y B “dependientes”. Entenderemos independencia de eventos si , es decir, la ocurrencia del evento condicionante

1p ≠

2p2p

1 =p B no afecta a la ocurrencia de . A

Entonces el evento es independiente del evento A B si ( ) ( )P A B P A= [5.9.1]

sin olvidar . ( ) 0P B > Si [5.9.1] ocurre, también se dice que B es independiente a : A

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

P B P A BP B A P B P AP B A P B

P A P A P A∩

= = = =

asumiendo que . ( ) 0P A > Sin embargo [5.9.1] no es muy conveniente, debido a que se pide ,

para que

( ) 0P B >

(P A B) tenga validez; de igual forma ( )P B A tiene validez únicamente

cuando . Para evitar esta situación es más beneficioso manejar independencia de la manera siguiente.

( ) 0P A >


El evento A es independiente al evento B si ocurre [5.9.1], o en su defecto

( )( ) ( )P A B

P AP B∩

=

Por lo tanto y A B son independientes si [5.9.2] ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = Una de las primeras consecuencias que tiene [5.9.2] es que si contamos con dos eventos disjuntos, no pueden ser independientes a menos que alguno de ellos tenga probabilidad cero. Es decir, sean y A B eventos independientes, tales que A B∩ =∅ entonces

( ) ( ) ( ) ( ) 0P A P B P A B P= ∩ = ∅ = concluyendo que ( ) 0P A = o ( ) 0P B = .

Continuemos. A menudo es necesario sacar complemento a uno de dos eventos independientes o a los dos; la cuestión es, si los eventos que resultan siguen siendo independientes entre si. Veamos que pasa.

Sean A y B dos eventos independientes entonces:

a) cA y cB son independientes b) cA y B son independientes c) ( ) ( ) ( ) ( )cP A B P A P B P A∪ = +

Demostremos:

a)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

1 1 1 1

c c c

c c

P A B P A B P A B P A P B P A B

P A P B P A B P A P B P A P B

P A P B P A P A P B

P A P B

∩ = ∪ = − ∪ = − + − ∩⎡ ⎤⎣ ⎦

= − − + ∩ = − − +

= − − − = − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

b)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

1

c

c

P A B P B A P B P A B

P B P A P B P A P B

P A P B

∩ = − = − ∩

= − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

=

PROBABILIDAD 197

c)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )1

c

A B P A P B P A B

P A P B P A P B P A P B P A

P A P B P A

∪ = + − ∩

= + − = + −

P

⎡ ⎤⎣ ⎦

= +

ultado habla de lo que pasa cuando un evento es independiente de sí

mismo

ea

Este res.

evento tal que ( ) ( ) ( )P A A P A P A∩ = AS ; consideremos y como ( )P A p=

A A∩ = A se tiene ( ) ( )P A= , entonces P A A∩

( )2 20 0 1 0 o 1p p p p p p= ⇒ = − − ⇒ = = p ⇒ = p oncluyendo que si Ac es un evento independiente de sí mismo, su probabilidad tiene

Veamos que pasa con la independencia referente a tres conjuntos, antes de

jemplo 5.9.1

ea

que ser cero o uno. presentar un criterio de independencia para tres eventos, observe los dos ejemplos. E

{ }, , ,S a b c d= y sean { },A a b= , { },B b c=S y { },C a c=

Entonces los evento son independientes s , yA B Cpor parejas. Calculemos para dar razón de lo afirmado. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 4

2 4 1 2

P A B P A C P B C

P A P B P C

∩ = ∩ = ∩ =

= = = =

ego lu

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2 1 2 1 4

1 2 1 2 1 4

1 2 1 2 1 4

P A P B P A B

P A P C P A C

P B P C P B C

= = =

= = =

= = =

∩

∩

∩

n embargo los eventos no son conjuntamente independientes, ya que si

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )30; 1 2 1 8P A B C P P A P B P C∩ ∩ = ∅ = = = es decir

( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C∩ ∩ ≠ . Ejemplo 5.9.2

ea el espacio muestra del ejemplo 5.4.3. Definamos de ahí a los eventos: S S


{ } { } ( ){ }( , ) : 1, 2,5 ; ( , ) : 4,5,6 ; , : 9A i j S j B i j S j C i j S i j= ∈ = = ∈ = = ∈ + = bserve la figura

Calculemos

o

( ) { }( )(4,5) 1 36P A B C P∩ ∩ = = , por otro lado

( ) ( ) ( ) 18 18 4 1 1 1 136 36 36 2 2 9 36

P A P B P C = = =

es decir, ( ) ( ) ( ) ( )P A B C P A P B P C∩ ∩ = .

in embargo no se cumple la independencia por parejas:

S

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) (

( ) ( )

)

( )( )( )

( ) ( ) (

( ) ( )

)

( )( )( )

( ) ( ) (

18 36 18 36

)

36

6 36

18 36 4 36 2 36

1 36

18 36 4 36 2 36

3 36

P A P BP A B P A P B

P A B

P A P CP A C P A P C

P A C

P B P CP B C P B P C

P B C

= = ⎫⎪ ∩ ≠⎬∩ = ⎪⎭

= = ⎫⎪ ∩ ≠⎬∩ = ⎪⎭

= = ⎫⎪ ∩ ≠⎬∩ = ⎪⎭

que nos lleva a que la definición [5.9.2] no es suficiente para el caso de tener tres

Entonces, el criterio a seguir para cuando necesitamos verificar la independencia

[5.9.3]

9

loeventos (o más). de tres eventos (conjuntamente independientes) será pedir que se cumplan las cuatro igualdades

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A P B

P A C P A P C

P B C P B P C

P A B C P A P B P C

∩ =

∩ =

∩ =

∩ ∩ =

jemplo 5.9.3

n sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectados entre sí como lo

E Umuestra la siguiente figura, donde las probabilidades

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0.98, 0.9, 0.95, 0.93, 0.97P A P B P C P D P E= = = = =

PROBABILIDAD 199

indican la seguridad de que la componente funcione adecuadamente. Si se supone que el

Denotemos por F a el evento de que el sistema funcione, de esta manera:

funcionamiento de una componente en particular es independiente del de las demás. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje?

( ) ( ) ( )( )P F P A B C D E= ∩ ∪ ∩ ∪

pero quedó establecida la independencia, entonces

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0.98 0.9 0.95 1 0.9 0.93 0.97 1 0.93

0.973052

c c

P F P A B C D E P A P B C P D E

P A P B P C P B P D P E P D

= ∩ ∪ ∩ ∪ = ∪ ∪

⎡ ⎤ ⎡= + +⎣ ⎦ ⎣

= + − + −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣=

⎤⎦

⎤⎦

jemplo 5.9.4

n una tienda hay 500 clientes, de los cuales 120 son hombres ( ), 300 mujeres (

E

H ME ),

a) Si al salir ningún cliente vuelve a entrar antes de que salga otra

La diferencia principal entre ambos incisos, es que en el “a” el espacio muestra se va m

a)

70 niñas ( m ) y el resto niños ( h ). Calculemos la probabilidad de ue las ocho prim s personas q e salgan sean, sucesivamente, hombre, niña, niño, niña, mujer, mujer, hombre y mujer ( H m h m M M H M HmhmMMHM∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ = ), en los siguientes supuestos:

q erau

b) Si cada persona que sale, vuelve a entrar

odificando a medida que sale cada cliente, ya que no regresa, deducimos entonces que se trata de probabilidad condicional (ocuparemos [5.6.8]). Sin embargo en el inciso “b” como el cliente sí regresa, el espacio muestra no sufre cambios y la probabilidad de que salga alguien es exactamente la misma en cada paso, concluyendo entonces que se trata de eventos independientes. Resolvamos.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

120 70 10 69 300 299 119 298500 499 498 497 496 495 494 4930.000004993

HmhmMMHM P H P m H P h Hm P m Hmh P M Hmhm

P M HmhmM P H HmhmMM P M HmhmMMH

= ⋅

⋅

=

=

P


b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 3 2

2 3 2120 300 10 70500 500 500 500

0.0000048777

P HmhmMMHM P H P m P h P m P M P M P H P M

P H P M P h P m

=

= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

Ejemplo 5.9.5 Supongamos que los eventos A , B y cumplen [5.9.3], probemos que y son independientes:

C A B∪ C

( )( ) ( ) ( )P A B C P A B P C∪ ∩ = ∪ Veamos.

(( ) ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

C P A C B C

P A C P B C P A C B C

P A C P B C P A B C

P A P C P B P C P A P B P C

P A P C P B P C P A B P C

P A P B P A B P C

P A B P C

∩ = ∩ ∪ ∩

= ∩ + ∩ − ∩ ∩ ∩

= ∩ + ∩ − ∩ ∩

= + −

= + − ∩

= + − ∩⎡ ⎤⎣ ⎦= ∪

P A B∪

Ejemplo 5.9.6 En una fábrica, la máquina uno, produce piezas de buena calidad con una probabilidad igual a ; la máquina dos con probabilidad 0.9. Se separa una pieza de cada máquina. Calculemos:

bilidad de que ambas piezas sean defectuosas bilidad de que una sea defectuosa y la otra no

0.8

a) la probab) la proba Antes de resolver establezcamos la nomenclatura a usar:

( ) ( ) ( )1 1 1Máquina 1: 0.8, 1 1 0.8 0.2

1 0.9 0.1

P B P D P B= = − = −

= −

( ) ( ) ( )2 2 2Máquina 2: 0.9, 1P B P D P B= = −

=

=

er eventos independientes

b) Debemos calcular la probabilidad de que una de las dos piezas debe de ser defectuosa, pero no dice exactamente de cuál máquina, entonces consideremos los dos casos: defectuosa de la máquina uno ó defectuosa de la máquina dos:

a) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 (0.2)(0.1) 0.02P D D P D P D∩ = = = , por s

PROBABILIDAD 201

( ) ( )1 2 1 2D B B D∩ ∪ ∩

donde ( ) ( )D B B D1 2 1 2∩ ∩ ∩ =∅ , entonces

( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2P D B B D P D B P B D∩ ∪ ∩ = ∩ + ∩

( ) ( ) ( ) (1 2 1

.2)(0.9) (0.8)(0.1)P D P B P B P D= +

= +

)2 (00.26=

ya que y 1D 2B son eventos independientes, al igual que 1B y

Ejemplo 5.9.7 Este ejemplo es de vital importancia en los capítulos posteriores; su cometido es omplementar y unificar los conceptos que se manejaron en la sección 3.3, los ejemplos .7.2, 1 .3 l

2D

c1 .9.1, 1.9 y en a definición presentada al final del ejemplo 5.4.11. Sea { },e f

eremos a

S = un experimento con únicamente dos resultados posibles; por otro

do entend { }E e= como el evento éxito del experimento, cuya probabilidad la

es ( )P E p= con 0 1p< < ; en consecuencia se entenderá al evento fracaso como cF E= con probabilidad ( )P F q= con 1q p= − .

ngamos qlidad de

Supo ue se realizan n repeticiones independientes del experimento, calculemos la probabi que ocurran exactamente x éxitos 0 x n≤ ≤ .

os. El hecho de que el experimento se repita n veces queda representado spacio muestral nS S×

Veam

por el e , entonces para que ocurran S S= × × x éxitos debemos considerar a todos los elem que tengan en sus entradas entos de nS vecesx − al evento

y

E (n ) vecesx− − al evento F , como por ejemplo

( , , , , , , , )e e e f f f S−

∈… …

el cual tiene probabilidad

n

x n x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( , , , , , , , ) x n x

x n x x n x

P e e e f f f P E P E P E P F P F P F p q −

− −

⎛ ⎞⎜ ⎟ = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

… … =

ostrado no es el único con tales características y recordemos todos.

sin embargo el elemento mue debemos considerar a q


Sea xA S⊆ el conjunto que contempla a todos los elementos de que tienen éxitosx − , y como se demostró en la sección 3.3 sabemos que

n nS( , )A C n x= , x

s decir que hay elementos de que tienen donde

cada

entonces podem

un

o

ellos tie

( , )C n x nS éxitosx −

o de ne probabilidad x n xp q − en consecuencia la probabilidad b cada es:

[5.9.4] ( ) , )

us

( x n xxP A x p q −C n=

observ os que por [3.3.3]:

.9.5]

em

( )0 0

( , ) 1n n

x nx

xP A C n x p q −

= =

x[5x

= =∑ ∑

Ejemplo 5.9.8

or experiencia, la administración de un restaurante sabe que el 20% de las personas ue hacen reservación no se presentan. Si el restaurante tiene 50 mesas y toma 52

alculemos la probabilidad de que haya lugar para todos los clientes que presentan.

Pqreservaciones cse Sea { },S e f= el espacio muestral que describe el hecho de que un cliente no se

presente (e ), o si lo haga ( f ), entonces ( ) 0.2P E p= = y ( ) 0.8P F = .

Cons 52n = repeticiones independientes de S ; entonces deseamos que de los 52 posibles clientes del restaurante no se presentan de dos en adelante para garantizar que tengan lugar todos los que , es

ideramos

sí se presenten to es:

llegando a la probabilidad buscada. Note que se ocupó [2.2.3].

( ) ( ) ( ) ( )52 52 1

2 3 522 0 0

1

x x xx x x

x n x

P A A A P A P A P A= = =

−

∪ ∪ ∪ = = −∑ ∑ ∑

( ) ( )0

1 (52, ) 0.2 0.8 0.999872x

C x=

= − =∑

PROBABILIDAD 203

Ejercicios

1. En un experimento genético, un investigador apareó dos moscas de la fruta del género Drosophila y observó los rasgos de 300 crías. Los resultados se muestran en la tabla:

Tamaño del ala Color del ojo Normal Miniatura Normal 140 6 Bermellón 3 151

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en la mosca sean normales el color de

los ojos y el tamaño de las alas? R. 0.4666 b) ¿Cuál es la probabilidad de que la mosca tenga los ojos color bermellón?

R. 0.5133 c) ¿Cuál es la probabilidad de que la mosca tenga ojos color bermellón o

alas miniatura o ambas cosas? R. 0.5333 2. Considere la siguiente distribución de probabilidad:

Resultado 1 2 3 4 5 6 Probabilidad 0.1 0.3 0.1 0.2 0.2 0.1

y a los eventos { }2, 4,6A = , { }2,3,4,5B = y { }1, 2C = . Encuentre

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

, , , , ,

, , ,

.

c

P A P B P C P P S P A B

P A C P A B C P A C P A

P B C

∅ ∩

∪ ∪ ∪ ⊕

−

,

,

3. Sea P una función de probabilidad en { }1 2 3, ,S a a a= . Encuentre ( )1P a si

a) ( ) ( )2 30.3, 0.5P a P a= =

b) ( ) ( ) ( )1 2 32 , 0P a P a P a= = .7

c) { }( ) ( )2 3 1, 2P a a P a=

d) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 22 , 3P a P a P a P a= = 1 R. 0.2, 0.2, 1 3, 0.1.

4. Un punto A se selecciona al azar desde dentro de un triángulo equilátero cuya longitud lateral es 3. Encuentre la probabilidad de que la distancia desde A a cualquier esquina sea mayor que 1. R. 1 2 3 27p π= −


5. En el juego de Melate se tienen que seleccionar seis números de 51 posibles, no importa el orden de selección de los números, ¿Cuál es la probabilidad de ganar en el Melate? R. 1 18009460 0.0000000555p = =

6. Suponga que se depositan cinco canicas en cinco cajas al azar. Encuentre la

probabilidad de que exactamente una de las cajas esté vacía. R. 0.384

7. Se lanzan dos dados equilibrados. Sean los eventos

: la suma de las caras es cinco: aparece exactamente un número impar

AB

describa el espacio muestra y los eventos

, , , ,c cA B A B A B A B∩ ∪ − calcule sus probabilidades.

8. Calcule la probabilidad de obtener un full de una baraja de 52 cartas. R. 0.00144

9. De una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 2 negras y 3 rojas, se sacan 5 al azar.

Calcular la probabilidad de que 2 sean blancas, 1 negra y 2 rojas. R. 2 7

10. Se lanzan consecutivamente seis dados honestos. Calcular:

a) La probabilidad de obtener los seis números distintos. R. 0.0154320988 b) La probabilidad de obtener seis números distintos en orden de menor a

mayor. R. 0.0000214335

11. Sea A S⊆ evento. Demostrar ( ) 1P S A = y ( ) 0P A∅ = .

12. Sean ,A B S⊆ eventos, con ( ) 0.6P A = , ( ) 0.3P B = y ( ) 0.2P A B∩ = . Compruebe que:

( ) ( ) ( ) ( )2 3, 1 3, 3 7 , 3 4c c c cP A B P B A P A B P B A= = = =

13. En cierta universidad, el 25% de los estudiantes reprobaron matemáticas, el 15%

reprobaron química y el 10% reprobaron matemáticas y química. Se selecciona un estudiante al azar.

a) Si el estudiante reprobó matemáticas. ¿Cuál es la probabilidad de que

haya reprobado química? R. 0.4 b) Si el estudiante reprobó química. ¿Cuál es la probabilidad de que haya

reprobado matemáticas? R. 0.666 c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante reprobara matemáticas o

química? R. 0.3 d) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante no haya reprobado ni

matemáticas ni química? R. 0.7

PROBABILIDAD 205

14. Se le reparten a una persona cinco cartas de un naipe corriente de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de que todas sean picas. R. 0.00049

15. Se seleccionan dos canicas, una después de la otra, sin reposición de una caja

que contiene tres canicas blancas y dos canicas rojas. Encuentre la probabilidad de que:

a) Las dos canicas sean blancas. R. 0.3 b) Las dos canicas sean rojas. R. 0.1 c) La segunda sea blanca si la primera es blanca. R. 0.5 d) La segunda sea roja si la primera es roja. R. 0.25

16. El problema anterior pero con reposición. R. 0.36, 0.16, 0.6, 0.4 17. Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre el

cigarro y el cáncer pulmonar. Suponga que en un centro médico, de todos los fumadores de quienes se sospecha que tenían cáncer pulmonar, el 90% lo tenía mientras que únicamente el 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0.45. ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador? R. 0.9364

18. Una compañía estudia la comercialización de un nuevo producto. El presidente

de ésta desea que el producto sea superior al de su más cercano competidor. Con base en una evaluación preliminar que realizó el personal clave, se decide asignar una probabilidad del 50% de que el producto sea superior al ofrecido por el competidor, 30% de que tenga la misma calidad y un 20% de que sea inferior. Un estudio de mercado sobre el producto concluye que éste es superior al del competidor. Con fundamento en la experiencia sobre los resultados de las encuestas, se determina que si el producto es realmente superior, la probabilidad de que la encuesta alcance la misma conclusión es 0.7. Si el producto tiene la misma calidad que el del competidor, la probabilidad de que la encuesta dé como resultado un producto superior es 0.4. Si el producto es inferior, la probabilidad de que la encuesta indique un producto superior es de 0.2. Dado el resultado de la encuesta. ¿Cuál es la probabilidad, corregida, de obtener un producto superior? R. 0.6863

19. Un inversionista está pensando en comprar un número muy grande de acciones

de una compañía. La cotización de las acciones en la bolsa, durante los seis meses anteriores, es de gran interés para el inversionista. Respecto a esta información, se observa que la cotización se relaciona con el producto nacional bruto (PNB). Si el PNB aumenta, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.8. Si el PNB es el mismo, la probabilidad de que las acciones aumenten su valor es de 0.2. Si el PNB disminuye, la probabilidad es de sólo 0.1. Si para los siguientes seis meses se asignan las probabilidades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el mismo y disminuye respectivamente, determinar la probabilidad de que las acciones aumenten su valor en los próximos seis meses. R. 0.41

20. Un sistema contiene tres componentes A, B y C, Éstos pueden conectarse en cualquiera de las cuatro configuraciones mostradas en seguida. Si los tres


componentes operan de manera independiente y la probabilidad de que funcionen es ( ) ( ) ( ) 0.95P A P B P C= = = . Determinar la probabilidad de que el sistema funcione para cada una de las cuatro configuraciones.

R. a) 0.857375; b) 0.999875; c) 0.947625; d) 0.995125

21. Del ejemplo 5.9.6 comprobar ( ) 1 2 0.72P B B∩ =

22. Demostrar por inducción [5.6.8]

Referencias [4] pág. 139; [6] págs. 82, 83, 88-93; [9] pág. 310; [10] págs. 70-72, 77-79, 115; [11] págs. 123,129; [13] págs. 18, 19, 29, 30, 36, 37.

Capítulo 6

VARIABLES ALEATORIAS

6.1. INTRODUCCIÓN El concepto de variable aleatoria nos brinda grandes ventajas, una de ellas es que asocia a cada elemento de un espacio muestra con un único valor real, en otras palabras, convierte datos cualitativos en cuantitativos; lo cual resulta muy útil para el manejo de información, ya que mediante el empleo de medidas numéricas se puede estudiar el comportamiento aleatorio de los eventos.

Otra ventaja es que inicia el estudio de la forma en que se relacionan las ideas de

los dos capítulos anteriores: los resultados empíricos observados directamente de una muestra, con el modelo teórico de probabilidad. 6.2. VARIABLES ALEATORIAS Definimos una función X , de tal manera que a cada resultado elemental le asocia un único número real .

s S∈( )X s ∈R

:X S → R Esta función X , es la contraparte teórica del “objeto de estudio” asociado a una

muestra, en consecuencia nos interesará conocer su distribución junto con sus medidas de tendencia central y dispersión, en forma análoga a lo que se trabajó en el capítulo 4.

El conjunto se llama el dominio de la función S X y R es el contradominio.

La imagen de bajo la función S X es el subconjunto ( )X S de R que consiste de

todos los valores ( )X s que toma la función X : ( ) ( ){ }: , .X S r= ∈ r = X s s S∈R

207


Si , la imagen inversa de A⊆ R A bajo X es el subconjunto ( )1X A− de que

consiste de aquellos elementos tales que

S

s S∈ ( )X s A∈ ; ( ) ( ){ }1 :X A s S= ∈ X A− ∈s

La imagen inversa también suele representarse como ( ) [ ]1X A X A− = ∈ , que es

“la parte” de la función X que “va a dar” al conjunto . En caso de que A { }A = k para

escribimos simplemente k∈R ( ) [ ]1X k X− k= = .

Ejemplo 6.2.1 Consideremos el espacio muestral que resulta del lanzamiento de tres monedas:

{ }, , , , , , ,S sss ssa sas ass saa asa aas aaa=

Definamos a la función como la cantidad de águilas que cayeron en cada lanzamiento, entonces:

:X S → R

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

0

1

2

3

X sss

X ssa X sas X ass

X saa X asa X aas

X aaa

=

= = =

= = =

=

Además ( ) { }0,1,2,3X S = R⊆ . Por otro lado, supongamos que { }0,3A = ⊆ R

entonces ( ) { },1X A sss aaa S= ⊆− ya que ( ) ( ),X sss X aaa A∈ ; de igual modo:

{ } { }( ) { }11, 2 1, 2 , , , , ,X X ssa sas ass saa asa aas−∈ = =⎡ ⎤⎣ ⎦ o también

[ ] ( ) { }[ ] ( ) { }[ ] ( ) { }[ ] ( ) { }

1

1

1

1

0 0

1 1 , ,

2 2 , ,

3 3

X X sss

X X ssa sas ass

X X saa asa aas

X X aaa

−

−

−

−

= = =

= = =

= = =

= = =

note que [ ] [ ] [ ] [ ]0 1 2 3X X X X= ∪ = ∪ = ∪ = = S .

VARIABLES ALEATORIAS 209

Esclareciendo un poco más los conceptos y nomenclatura mencionados en esta sección. Ejemplo 6.2.2 Es posible definir distintas funciones para el mismo espacio muestra. Sea S el espacio muestra definido en el ejemplo 5.4.3; definimos tres funciones

de la manera siguiente: , , :X Y W S R→

( ) ( ) ( ), , min( , ) ,X i j i j Y i j i j W i j i= + = = Analicemos una por una. La función X asigna a cada elemento de , el número real que es el resultado de la suma de los dos números que cayeron en los dados. Si por ejemplo lanzamos dos dados y cayeron en los números 3 y 4 respectivamente, entonces

(compare con los eventos del ejemplo 5.4.3), pero claramente no es el único elemento de al que se le asignará el número 7, todos los demás elementos del espacio muestra que “van” a dicho número son:

S

(3( )3, 4 7X = , 4)S

{ }7 (1,6), (2,5), (3, 4), (4,3), (5, 2), (6,1)A =

Con el evento de que contempla a todos los elementos que bajo la función 7A SX serán asociados con el número 7, entonces:

[ ] ( ) { } ( ){ }17 7 7 ( , ) : 7 :A X X i j S i j s S X s−= = = = ∈ + = = ∈ = 7

de esta manera, sea [ ]kA X k= = para 2,3,4, ,10,11,12k = … , así:

Señalando de manera indiscutible que:

( ) kX s k s A= ∀ ∈ , con 2,3, ,11,12k = …

, lo que ya habíamos mencionado. También de forma clara se ve:

( ) { }2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12X S = Por otro lado se puede dar la situación de que necesitemos considerar al evento del espacio muestra, que se genera al sumar los números de los dados y fijarse en los resultados del 6 al 11, es decir tal que “la suma de los dados es un número entre 6 y 11”. Entonces:

E S⊆

{ } [ ] [ ] [ ]6,7, ,11 6 7 11E X X X X= ∈ = = ∪ = ∪ ∪ =⎡ ⎤⎣ ⎦…


sin embargo, también es posible describir a E de las siguientes formas:

[ ] [ ]( ) ( ){ } { }16 11 6,11 : 6 11 ( , ) : 6 1E X X s S X s i j S i j−= ≤ ≤ = = ∈ ≤ ≤ = ∈ ≤ + ≤ 1 en donde [ ] { }6,11 : 6 11x x= ∈ ≤ ≤R

S. Con esto ya podemos establecer una notación

más breve para los eventos de que surjan de X , ejemplo:

[ ] [ ] [ ] [ ] { }[ ] [ ] [ ] { }[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

4 2 3 4 (1,1), (2,1), (1, 2), (3,1), (2, 2), (1,3)

4 2 3 (1,1), (2,1), (1, 2)

4 5 6 12 4

4 4 5 12 4

X X X X

X X X

X X X X S X

X X X X S X

≤ = = ∪ = ∪ = =

< = = ∪ = =

> = = ∪ = ∪ ∪ = = − ≤

≥ = = ∪ = ∪ ∪ = = − <

o también

[ ] [ ] ( ){ } [ ] [ ]{ }6 11 (6,11) : 6 11 6 11X X s S X s S X X< < = ∈ = ∈ < < = − ≤ ∪ ≥ en donde { }(6,11) : 6 11x x= ∈ < <R . Es de suma importancia mencionar que gran parte de las operaciones mostradas en este ejemplo se deben a que el conjunto ( )X S es finito. Para los casos numerable y no numerable trabajaremos únicamente con las definiciones.

Analicemos ahora a la función Y . Con base en la definición de observamos que la idea básica es seleccionar al más pequeño de los dos números que caen, al lanzar los dados, y justamente ese valor será el real al cual se le asocia el elemento del espacio muestra.

Y

Ejemplo, lanzamos dos dados y caen los números 6 y 3 respectivamente,

entonces . Con lo que podemos establecer todos los valores posibles que pueden adquirir los elementos de bajo Y

( )6,3 3Y =S

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1, ,1 1 para 1,2,3,4,5,6

2, , 2 2 para 2,3,4,5,6

3, ,3 3 para 3,4,5,6

4, , 4 4 para 4,5,6

5, ,5 5 para 5,6

6,6 6

Y x Y x x

Y x Y x x

Y x Y x x

Y x Y x x

Y x Y x x

Y

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

=

entonces ( ) { }1, 2,3, 4,5,6Y S = . Por otro lado, sea [ ]kB Y k= = para , así: 1, 2, ,6k = …


Con lo que ya podemos representar de una forma alterna a las expresiones: [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

{ } [ ]( ) ( )

1 2

11 2

2 1 2

2 3 4 5 6

3,4,5,6 3,6

Y Y Y B B

Y Y Y Y Y

Y Y S B B−

≤ = = ∪ = = ∪

> = = ∪ = ∪ = ∪ =

= ∈ = = − ∪⎡ ⎤⎣ ⎦

también:

[ ] ( ) ( ){ } [ ] [ ] [ ]{ }

1

1 2 6

2 5 (2,5] : 2 5 3 4 5Y Y s S Y s Y Y Y

S B B B

−< ≤ = = ∈ < ≤ = = ∪ = ∪ =

= − ∪ ∪

en donde { }(2,5] : 2 5 .x x= ∈ < ≤R Finalmente veamos el comportamiento de W . Notamos que la idea es básica, sólo hay que tomar al número que cayó en el primer dado y justamente ése será el número real al cual se le asignará el elemento del espacio muestra correspondiente.

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1, 1 2, 2 3, 3

4, 4 5, 5 6, 6

W j W j W j

W j W j W j

= =

= =

=

=

para llevándonos a que 1,2,3,4,5,6j = ( ) { }1, 2,3, 4,5,6W S = . Sea [ ]k k= =C W para , lo cual queda representado con la gráfica 1,2, ,6k = … entonces

[ ][ ][ ]

{ }

1 2 3 4

5 6

3 4

2 4

4

4

3 5

2 : 1,2,3

W C C C C

W C C

W C C

W n n C C C

≤ = ∪ ∪ ∪

> = ∪

≤ < = ∪

∈ = = ∪ ∪⎡ ⎤⎣ ⎦ 6

Muy bien. Hasta este momento únicamente hemos hablado de funciones definidas sobre el espacio muestra, las cuales le asocian a cada uno de sus elementos, un único número real, de igual forma establecimos la definición de la imagen inversa, con distintas representaciones.


No se ha asentado formalmente el concepto de variable aleatoria, sin embargo se define como sigue:

Sea un espacio muestra cualquiera. Una variable aleatoria S X en es una

función definida sobre y que toma valores reales ( ) y tal que la imagen inversa de cualquier intervalo

SS :X S → R

I de es un evento en . Si recordamos que el espacio de eventos que estamos trabajando en este texto es

R S( )S℘ con finito, entonces la

definición anterior (que es más general), quedaría expresada como: S

( ) ( )1X I S− ∈℘

con I cualquiera de los siguientes subconjuntos de : R

( ] { } [ ) { }( ) { } ( ] { }( ) { } ( ) {[ ) { } [ ] { }

, : , :

, : , :

, : , :

, : , :

a x x a a b x a x b

a x x a a b x a x b

a x x a a b x a x

a x x a a b x a x

−∞ = ∈ ≤ = ∈ ≤ <

−∞ = ∈ < = ∈ < ≤

}bb

∞ = ∈ > = ∈ < <

∞ = ∈ ≥ = ∈ ≤ ≤

R RR RR RR R

con lo que establecemos la notación:

( ] [ ] [ ] ( ){ }( ) [ ] [ ] ( ){ }( ) [ ] [ ] ( ){ }[ ) [ ] [ ] ( ){ }[ ) [ ] [ ] ( ){ }( ] [ ] [ ] ( ){ }( ) [ ] [ ]

1

1

1

1

1

1

1

, ( , ] :

, ( , ) :

, ( , ) :

, [ , ) :

, [ , ) :

, ( , ] :

, ( , ) :

X a X a X a s S X s a




X a b X a b a X b s S a X s b

X a b X a b a X b s S a X s b

X a b X a b a X b s S a

−

−

−

−

−

−

−

−∞ = ∈ −∞ = ≤ = ∈ ≤

−∞ = ∈ −∞ = < = ∈ <

∞ = ∈ ∞ = > = ∈ >

∞ = ∈ ∞ = ≥ = ∈ ≥

= ∈ = ≤ < = ∈ ≤ <

= ∈ = < ≤ = ∈ < ≤

= ∈ = < < = ∈ ( ){ }[ ] [ ] [ ] ( ){ }1 , [ , ] :

X s b

X a b X a b a X b s S a X s b−

< <

= ∈ = ≤ ≤ = ∈ ≤ ≤

Se hace énfasis en que si es un espacio muestra discreto, en el cual cada subconjunto de es un evento, entonces toda función de valores reales de es una variable aleatoria. Por otra parte, si es no numerable, entonces puede mostrarse que ciertas funciones de valores reales de no son variables aleatorias.

S

SS S

S Ejemplo 6.2.3 Sea { }2 2 2( , ) : 16S x y x y= ∈ + ≤R

:X S → R

, vea ejemplo 1.4.5; Definimos a la variable

aleatoria (va) , como la distancia de ( , )s x y S= ∈ al origen, es decir:

( ) 2 2( , )X x y x y= +


por ejemplo si (1,1)s = entonces ( ) 2X s = ∈R . De esta manera la va X puede

adquirir cualquier valor entre cero y cuatro: ( ) [0, 4]X s ∈ ; llevándonos a que la imagen

de bajo S X es ( ) [ ]0, 4=X S , el cual notablemente es un conjunto distinto en

comparación a los anteriores, donde ( )X S era finito; en este caso ( )X S es infinito no numerable y además continuo; así, recordando la sección 4.2 decimos que:

• Si ( )X S es un conjunto finito o numerable, entonces a X se le denomina variable aleatoria discreta (vad).

• Si ( )X S es un conjunto continuo de números tales como un intervalo o una

unión de intervalos, entonces a X se le denomina variable aleatoria continua (vac).

Siguiendo con el ejemplo, establezcamos la forma en que se representa la imagen

inversa para algunos subconjuntos de . Veamos: R

[ ] { } { }[ ] { } { }[ ] { } { }

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 ( , ) : 1 ( , ) : 1

2 ( , ) : 2 ( , ) : 4

3 ( , ) : 3 ( , ) : 9

X x y x y x y x y

X x y x y x y x y

X x y x y x y x y

= = ∈ + = = ∈ + =

= = ∈ + = = ∈ + =

= = ∈ + = = ∈ + =

R R

R R

R R

por otro lado

[ ] { } { }2 2 2 2 2 21 3 ( , ) : 1 3 ( , ) : 1 9X x y x y x y x y≤ ≤ = ∈ ≤ + ≤ = ∈ ≤ + ≤R R

note que aquí ya no se puede escribir [ ] [ ] [ ] [ ]1 3 1 2X X X X 3≤ ≤ = = ∪ = ∪ = debido a que X no es vad. Observe la figura:


Note que podemos ocupar [1.5.4] para describir en forma alterna a:

[ ] [ ] [ ]1 3 3 1X X X≤ ≤ = ≤ − < es decir:

también podemos ocupar la intersección de conjuntos:

[ ] [ ] [ ]1 3 1X X X≤ ≤ = ≥ ∩ ≤ 3 observe:

sin embargo no es la única notación que se usa para la intersección, también podemos escribir:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 3 [1, ) ( ,3] [1, ), ( ,3]X X X X X X≥ ∩ ≤ = ∈ ∞ ∩ ∈ −∞ = ∈ ∞ ∈ −∞ En general, si I J R (no necesariamente intervalos), escribimos: , ⊆

[ ] [ ] [ ],X I X J X I X J∈ ∈ = ∈ ∩ ∈ Ejemplo 6.2.4 Lanzamos un dado, su espacio muestra correspondiente es { }1 1, 2,3, 4,5,6S = ; por otro lado sea el espacio muestra que resulta del lanzamiento de dos monedas 2S

{ }2 ,S ss as aa= , ,sa ; sea . Establecemos dos vad cada una sobre : 1S S S= × 2 S

: :X S Y S→ →R R


de la manera siguiente:

( ) ( )1 2 1 1 2 2, , el número de águilas que tiene X s s s Y s s s= =

con llegando a: 1 2( , )s s S∈ ( ) { } ( ) { }1, 2,3, 4,5,6 0,1, 2X S Y S= = Muy bien. Con base en esto definimos una nueva variable aleatoria :W S →R como W X . Si Y= + ( ) ( ) ( )( ) :X Y s X s Y s+ = + entonces

( ) ( ) ( )W s X s Y s= + por ejemplo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

3, 3, 3, 3 0 3

3, 3, 3, 3 1 4

3, 3, 3, 3 1 4

3, 3, 3, 3 2 5

W ss X ss Y ss

W sa X sa Y sa

W as X as Y as

W aa X aa Y aa

= + = +

= + = +

= + = +

= + = +

=

=

=

=

entonces ( ) ( )( ) { }1,2,3,4,5,6,7,8W S X Y S= + = . También podemos definir como U:U S →R XY= , con ( ) ( ) ( )( ) :XY s X s Y s=

entonces ( ) ( ) ( )U s X s Y s= , por ejemplo:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

4, 4, 4, 4 0 3

4, 4, 4, 4 1 4

4, 4, 4, 4 1 4

4, 4, 4, 4 2 8

U ss X ss Y ss

U sa X sa Y sa

U as X as Y as

U aa X aa Y aa

= = ⋅ =

= = ⋅ =

= = ⋅ =

= = ⋅ =

entonces ( ) ( )( ) { }0,1, 2,3, 4,5,6,8,10,12U S XY S= = . De igual modo, sea va definida como :T S → R 2T Y= + , con:

( ) ( )2 ( ) : 2Y s Y s+ = + entonces ( ) ( ) 2T s Y s= + , ejemplo:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

5, 5, 2 0 2 2

5, 5, 2 1 2 3

5, 5, 2 1 2 3

5, 5, 2 2 2 4

T ss Y ss

T sa Y sa

T as Y as

T aa Y aa

= + = + =

= + = + =

= + = + =

= + = + =


llegando a que ( ) ( )( ) { } { }2 0 2,1 2, 2 2 2,3, 4T S Y S= + = + + + = .

Concluyendo, entre otras cosas, que es posible crear nuevas variables aleatorias partiendo de otras ya establecidas. En general. Sean va´s, entonces respecto a ellas podemos generar a las siguientes va´s.

, :X Y S →R

[6.2.1] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

X Y s X s Y s aX s aX s

X a s X s a XY s X s Y s

+ = + =

+ = + =

para . a∈R 6.3. FUNCIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA En el ejemplo anterior se mencionó, que es posible crear nuevas va´s basándonos en otra (s) ya establecida (s). En esta sección extenderemos la discusión al respecto además de detenernos un poco en la situación operacional.

Comenzaremos como es costumbre, con un breve ejemplo que le dé motivación

al tema. Consideremos el espacio muestra del ejemplo 6.2.2, y a la va W . S Por otro lado, sea la va definida como: :U S → R

"el cuadrado del número que cayó en el primer dado"U = Entonces si lanzamos dos dados y posteriormente tomamos al primero, elevamos

al cuadrado el número que cayó, tenemos ( ) { }1, 4,9,16, 25,36U S = . Ahora, representaremos de una forma alterna a U . Observemos que:

( ) ( ) ( ) ( )2, , , ( , )U i j i i i W i j W i j WW i j i j S= = ⋅ = = ∀ ∈( , ) ocupamos [6.2.1]. Entonces , algo muy parecido a lo ya mencionado en el ejemplo 6.2.4. Esto significa que la variable aleatoria U se puede considerar como una función de la va W , esto es, si tomamos a una función definida como

, entonces podemos escribir

2U WW W= =

:h →R R( ) 2h x x= ( )WU h= , con ( ) ( ) ( )W s s S:s hh W = ∀ ∈⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤⎣ ⎦

veamos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, , ,U i j h W i j h W i j h i i= = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =

observe el esquema: : W hU S ⎯⎯→ ⎯⎯→R R


Aclarando que puede ser cualquier función contínua. Finalmente, se puede comprobar que es va para

:h →R R( )h X X va.

Ejemplo 6.3.1 Sea ( ) { }0,1,2,3,4X S = . Determinemos a las variables aleatorias:

( )23 ,W X= − U X2 5,= − 2 ,XY = 4T X= −

Sean funciones contínuas definidas de la manera siguiente: , , , :r c a h →R R

( ) ( ) ( )( ) ( )

23 2

2 4x

r x x a x x

c x h x x

= − = −

= =

5

−

entonces: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

223 3

2 5 2 5

2 2

4 4

X sX

W s X s r X s r X s X s

U s X s a X s a X s X s

Y s s c X s c X s

T s X s h X s h X s X s

= − = = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − = = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= = = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − = = = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

para todo , en consecuencia: s S∈

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } { }

( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } { }

( ) { } { }

( ) { } { }

2 2 2 2

0 1 2 3

0 3 , 1 3 , 2 3 , 3 3 9, 4,1,0

2 0 5, 2 1 5, 2 2 5, 2 3 5 5, 3, 1,1

2 , 2 , 2 , 2 1,2,4,8

0 4 , 1 4 , 2 4 , 3 4 4,3,2,1

W S

U S

Y S

T S

= − − − − =

= − − − − = − − −

= =

= − − − − =

6.4. DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA FINITA Antes de comenzar con el desarrollo, es conveniente hacer énfasis en que se debe observar, el estrecho paralelismo que habrá con el del capítulo cuatro.

Sea X una variable aleatoria finita de un espacio muestra , o sea, S X asigna

sólo un número finito de valores a S :

( ) { }1 2 1 2, , , con n nX S x x x x x x= <… < < Por otro lado, sabemos que [ ]X I∈ es un evento de con intervalo (en

nuestro caso podemos escribir también

S I ⊆ R

[ ] ( )X I∈ ∈℘ S ), entonces es posible calcular la probabilidad (aplicando [5.3.1]). Nota: no olvide que en este texto nuestro lugar de trabajo es .

PP( )( ), ,S S℘


Continuemos. Al conjunto ( )X S también se le llama el espacio muestra de X (advirtiendo lo mencionado al inicio de esta sección); en otras palabras, el conjunto

( )X S es el que “encierra a todos los datos extraídos de la población” sin perder de vista que la naturaleza de los datos (objeto de estudio) la define X , y que la contraparte teórica de la “frecuencia relativa del dato ix , ( )if x ” es justamente [ ]iP X x= para

. 1, 2,= 3, ,i n… Ejemplo 6.4.1 Hagamos una breve pausa para exponer lo mencionado. Consideremos los resultados obtenidos del ejercicio 2 capítulo 4, junto con la va X y el espacio muestra S del ejemplo 6.2.2. Notamos que al calcular (7) 82 500 0.164f = = , el resultado será cada vez más aproximado a [ ]7 6 36 0.1666P X = = = , en la medida que la cantidad de ensayos del

experimento ( ) aumente. Observe la relación 500n = [ ]( )i if x P X x≈ = :

[ ]x ( )f x ( ) f x P X x=

2 14 0.028 0.028 3 27 0.054 0.056 4 42 0.084 0.083 5 55 0.110 0.111 6 71 0.142 0.139 7 82 0.164 0.167 8 73 0.146 0.139 9 54 0.108 0.111 10 43 0.086 0.083 11 26 0.052 0.056 12 13 0.026 0.028 500 1 1

Sigamos. Como ya fue sugerido, es importante calcular la probabilidad de cada uno de los eventos [ ]iX x= posibles ( 1, 2,3, ,i n= … ); la idea es, aparte de calcular la probabilidad mencionada, tenemos que “manejarla” de la misma forma en que se hizo para la frecuencia relativa: Sea ip la probabilidad de que X tome el valor ix : [ ]i iP X x p= =

Nuestro siguiente paso es extender al caso real, veamos:

[ ] si0 si

i i

i

p x xP X x

x x=⎧

= = ⎨ ≠⎩


para . x∈R Observando que a final de cuentas lo que se hizo, fue tomar a un número y asignarle otro real

x∈Rip (o cero) determinado por X , en otras palabras, tenemos una

función inducida por X de los reales a los reales , con: :Xf →R R ( ) [ ]:Xf x P X x= = [6.4.1] o sea

( )si

0 sii

Xi

ip x xf x

x x=⎧

= ⎨ ≠⎩ [6.4.2]

a [6.4.1] se le conoce como la función de densidad de probabilidad de X , o también como probability mass function (pmf). En el capítulo 7 ocuparemos la notación:

( ) ( ) ( );párametrosXf x p x p x= = sin embargo por el momento no hay que hacerle mucho caso, sigamos con Xf . Como es de suponerse Xf tiene ciertas propiedades basadas en las de : P

( )

( ) ( )1

1. 0

2. 1

X

n

X i ii

f x x

f x x X=

≥ ∀ ∈

= ∈∑

R

S [6.4.3]

La primera es directa, consecuencia de [5.3.2]; la segunda se justifica basada en

el hecho de que [ ]iX x= define una partición de para S 1,2, ,i n= … , veamos: Sea [ ]i iA X x= = con , evento de ; en dado caso de existir un

elemento del espacio muestra para dos eventos distintos 1, 2, ,i = … n S

i js A A∈ ∩ ( i ) indicaría que

j≠

( ) iX s x= y ( ) jX s = x con i jx x≠ , lo cual es imposible, ya que X es función; en consecuencia para todo i jA A∩ =∅ , 1i j , 2, ,n= … con i j≠ . Luego, por definición de X , cada uno de los elementos de tiene a su correspondiente número real asociado S

( )ix X S∈ , por lo tanto la unión de todos los [ ]iX x= es justamente , con lo cual

también podemos escribir , concluyendo que

S

1 2A A∪ ∪ ∪ nA S= { }1, ,A … nA es una partición de , así que por [5.4.9], comprobamos: S

( ) [ ] ( )1 1 1

1n n n

X i i ii i i

f x P X x P A= = =

= = = =∑ ∑ ∑

sin dejar de mencionar que este resultado no es del todo nuevo, de hecho se refleja en el ejemplo 6.2.2 (cada una de las va´s definió una partición para ). S


Ahora, como es de suponerse tenemos que definir el análogo a la frecuencia acumulada relativa [4.3.2]. Sea ( ) [ ]:XF x P X x= ≤ una función definida sobre , que sólo toma valores entre 0 y 1, además de que es no decreciente. Se denomina función de distribución de la va

R

X y justamente cumple con la característica buscada para ser la contraparte teórica de [4.3.2], es decir:

( ) [ ] [ ] ( )i i

X ix x x x

F x P X x P X x f x≤ ≤

= ≤ = = = X i∑ ∑

concluyendo: [6.4.4] ( ) ( ) para

i

X X ix x

F x f x x≤

= ∈∑ R

La forma directa para establecer los valores de XF es simple, únicamente hay que recordar cómo se le hizo en [4.3.2]. Hagámoslo.

Sea , supongamos que x∈R 1x x< entonces ( ) ( 0i

X Xx xF x f x

≤ )i= =∑ , ya que

debido a la suposición, ningún ( )ix X S∈ cumple ix x≤ . Ahora: Si 1 2x x x≤ < , entonces ( ) ( ) ( )1 1

iX X i Xx x

F x f x f x p≤

= = =∑

Si 2 3x x x≤ < , entonces ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1i

X X i X Xx xF x f x f x f x p p

≤ 2= = + = +∑

en general

( )

1

1 1

1 2 2

1 2 3 3

1

0 sisisisi

1 si

X

n n

x x

2

3

4

p x x xp p x

F xx x

p p p x x x

p p x x

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ + ≤

= ⎨ + + ≤ <⎪⎪⎪

+ + = ≤⎩

<

finalmente, compare las propiedades de Xf y XF con las de f y respectivamente. F Ejemplo 6.4.2 Sean y S X , el espacio muestra y la va del ejemplo 6.2.1, entonces ( ) { }0,1, 2,3 .X S = Calculemos Xf .

( ) [ ] { }( )( ) [ ] { }( )0 0 1 8

1 1 , ,X

X

f P X P sss

f P X P ssa sas ass

= = = =

= = = = 3 8


( ) [ ] { }( )( ) [ ] { }( )2 2 , ,

3 3 1 8X

X

f P X P saa asa aas

f P X P aaa

= = = =

= = = =

3 8

lo que también podemos representar como:

x 0 1 2 3 ( )Xf x 1

83

83

81

8 mostrando de manera más clara el comportamiento de Xf , sin embargo no es del todo satisfactorio, ya que es posible representar de manera explícita a la función. Observemos que Xf se puede escribir:

( )(3, ) si8

0 si

iX

i

C x x xf x

x x

⎧ =⎪= ⎨⎪ ≠⎩

recordando [3.2.5]. Y de esta forma ya se le puede dar un manejo (y estudio) a Xf más profundo. Nota: la representación de la función es consecuencia de [5.9.4], sólo que en este momento no abordaremos más allá de lo presentado. Calculemos F . Por X [6.4.4] tenemos:

( )

0 si 01 8 si 0 14 8 si 1 27 8 si 2 31 si 3

X

xx

F x xxx

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪= ≤ <⎨⎪ ≤ <⎪

≤⎪⎩

También es posible escribir: ( ) ( )(3, ) 8i

X ix xF x C x

≤=∑

por ejemplo:

( ) ( )

( ) ( )

2.7 2.7

12.7 (3, ) 8 (3, )8

1 1(3,0) (3,1) (3,2) 1 3 38 8

i i

X i ix x

F C x C x

C C C

≤ ≤

= =

= + + = + +

∑ ∑78

=

Ejemplo 6.4.3 Sea el espacio muestra del ejemplo 6.2.2, además consideremosS , ,X Y W

, ,X Y

las va´s del mismo. Lo que haremos será calcular y presentar explícitamente a Wf f f junto con

, ,X Y WF F F .


Sin olvidar: ( ) { }( ) { }( ) { }

2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12

1,2,3,4,5,6

1,2,3,4,5,6

X S

Y S

W S

=

=

=

Comencemos con Xf y XF . Calculemos ( ) [ ] ( )55 5Xf P X P A= = = = 4 36 , así

podemos darnos una idea del resto de los cálculos, con lo que:

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

( )Xf x 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

el hecho de expresar a la función de manera explícita, da la impresión de no ser tan necesario una vez que ya contamos con los valores de la tabla anterior, sin embargo es inclusive más útil que la tabla, lo veremos más claro en el capítulo siguiente. Entonces nuestra pmf es:

( ) ( )

( )

6 7si

360 si

X

xx X S

f xx X S

⎧ − −∈⎪= ⎨

⎪ ∉⎩

ejemplo:

( ) ( ) ( )( ) ( )10 6 7 10 36 6 3 36 3 36

15 0 ya que 15X

X

f

f X S

= − − = − =

= ∉

en consecuencia

Con lo que ya podemos hacer otro tipo de cálculos. Como:

( ) ( )11 5 35 36 10 36 25 36X XF F− = − = lo ocupamos para conocer:

[ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

11 5

6 11 6 11

6 7 1

11 5 25 36i i

X X X

X i X ix x

X X

P X P X P X

f f f 1

f x f

F F≤ ≤

≤ ≤ = = + + =

= + + +

= −

= − =

∑ ∑ x

note que hicimos uso de [2.2.3].

( )

0 si 21 36 si 2 33 36 si 3 46 36 si 4 510 36 si 5 615 36 si 6 721 36 si 7 826 36 si 8 930 36 si 9 1033 36 si 10 1135 36 si 11 121 si 12

X

xxxxxx

F xxxxxxx

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎪ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎪

≤ <⎪= ⎨ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎪

≤ <⎪⎪ ≤ <⎪

≤ <⎪⎪ ≤⎩


Sirve por si queremos calcular:

[ ] [ ]( )( ) [ ] ( )

4 4

4 1 4X

P X P S X

P S P X F

> = − ≤

= − ≤ = −

1 6 36 30 36= − =

En general, si X es una va finita, y ( ),k lx x X S∈ con k l nx x x≤ ≤ , entonces:

[ ] [ ] [ ] [ ]( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

1

1

1

1 1

1

i l i k

k l k k l

X k X k X l

X X l X X

X i X ix x x x

X l X k

P x X x P X x P X x P X x

f x f x f x

f x f x f x f x

f x f x

F x F x−

+

+

−

≤ ≤

−

≤ ≤ = = + = + + =

= + + +

= + + − + +

= −

= −

∑ ∑1k

[ ] ( ) ( )1k l X l XP x X x F x F x −k∴ ≤ ≤ = − [6.4.5] de hecho este concepto es aún más general (aplica para vad y vac), sin embargo es útil dar la demostración correspondiente para va finita. De igual forma probemos:

[ ] [ ] [ ] [ ]( )[ ] [ ] [ ]( )( )

( ) [ ] [ ] [( )( ) [ ]

( )

1 2

1 2

1 2

1

k k k n

k

k

k

X k

P X x P X x X x X x

P S X x X x X x

P S P X x X x X x

P S P X x

F x

+ +> = = ∪ = ∪ ∪ =

= − = ∪ = ∪ ∪ =

= − = ∪ = ∪ ∪ =

= − ≤

= −

]

[ ] ( )1k XP X x F xk∴ > = − [6.4.6] Sigamos con Yf y . Calculando YF ( ) [ ] ( )22 2Yf P Y P B= = = = 9 36 , podemos establecer la forma de conocer el resto de la información, llegando a:

y 1 2 3 4 5 6 ( )Y 11

369

367

365

363

361

36f y

Luego, haciendo uso de un poco de geometría analítica, encontramos a nuestra pmf, presentada de manera explícita:

( ) ( )

( )

13 2 si36

0 siY

y y Y Sf y

y Y S

−⎧ ∈⎪= ⎨⎪ ∉⎩


se verifica:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )1 0 ya que 1Yf Y S− = − ∉

2 13 2 2 36 13 4 36 9 36Yf = − = − =

además:

Entonces, por [6.4.5] y [6.4.6], ocupamos a para calcular:

YF

[ ] ( ) ( )3 5 5 2

35 36 20 36 15 36Y YP Y F F≤ ≤ = −

= − =

, o:

( )

0 si 111 36 si 1 220 36 si 2 327 36 si 3 432 36 si 4 535 36 si 5 61 si 6

Y

yyy

F y yyyy

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎪= ≤⎨⎪ ≤ <⎪

≤ <⎪⎪ ≤⎩

<

[ ] ( )3 1 3 1 27 36 9 36YP Y F> = − = − = relacione estos dos resultados con la parte sombreada de las figuras:

Por último y . ComoWF ( ) [ ] ( )55 W= =Wf 5 6 36 1 6Wf P P C= = = , entonces:

w 1 2 3 4 5 6 ( )Wf w 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

donde la pmf es ( ) 1 6Wf w = si ( )S∈w W o cero en caso contrario, y la función de distribución es:

Ocupándola para calcular:

[ ] ( ) ( )2 4 4 1 3 6W WP W F F≤ ≤ = − =además:

[ ] [ ] ( )2 1 1 1 5 6WP W P W F≤ = < = − = Nota: la igualdad marcada es posible, por estar

trabajando va finita (también aplica para vad), en caso de tener vac no sería posible en general.

( )

0 si 11 6 si 1 22 6 si 2 33 6 si 3 44 6 si 4 55 6 si 5 61 si 6

W

www

F w wwww

<⎧⎪ ≤ <⎪⎪ ≤ <⎪= ≤⎨⎪ ≤ <⎪

≤ <⎪⎪ ≤⎩

<


Relacionar los dos resultados anteriores con las figuras: 6.5. VALOR ESPERADO Y VARIANZA De manera análoga a lo que hicimos en la sección 4.5, introduciremos parámetros que describan el comportamiento de una variable aleatoria, o mejor dicho, el comportamiento de la distribución de una variable aleatoria.

Consideremos nuevamente una va finita

( ) { }1 2 1 2, , , con n nX S x x x x x x= <… < < cuya pmf inducida es Xf ; así, la tabla:

x 1x 2x 3x nx ( )Xf x ( )1Xf x ( )2Xf x ( )3Xf x ( )X nf x

representa a la distribución de la va. Ahora, de la misma forma en que definimos la media de una distribución de frecuencia [4.5.2], definimos a la “media” de la va como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 31

:n

X X X X n X n i Xi

ix f x x f x x f x x f x x f xμ=

= + + + + =∑ [6.5.1]

donde Xμ tiene la misma interpretación que se le dio a x . Es decir, Xμ es el “punto de equilibrio” de las “masas” ( )X if x , situadas en las “posiciones” ix , de ahí el nombre pmf. El número Xμ se llama el valor esperado o esperanza de la va X . Nota: esta definición tiene su correspondiente extensión para el caso vad y vac respectivamente.

Ahora, la notación para [6.5.1] no es única, así que indistintamente ocuparemos a cualquiera de las siguientes notaciones alternas:

[ ] ,

1X E Xμ μ μ= = =


con ,1μ conocido como el primer momento de X alrededor del cero, y [ ]E X la forma

de representar explícitamente la esperanza de X . Ejemplo 6.5.1 Supongamos que un jugador realiza la siguiente apuesta: sobre el lanzamiento de una moneda (honesta), ganará 5 pesos si es sol y perderá 3 si cae en águila. La idea principal es establecer si al jugador le conviene la apuesta, suponiendo que existe una cantidad “grande” de volados.

Muy bien, antes de hacer el desarrollo teórico correspondiente, veamos lo que

pasa con valores específicos. Ya que la moneda es honesta (no cargada), y la cantidad de volados se supone grande (digamos 100 mil), aproximadamente la mitad de ellos caerá en sol (50145) y la otra mitad en águila (49855), es decir que el jugador ganará

pesos y perderá 3 , llevándonos al supuesto de que el jugador ganó un total de pesos. 5(50145)

5((49855)

) 101160=50145) 3(49855− Ahora, si quisiéramos dar un valor que represente a la “ganancia cada vez que

juega”, pues simplemente dividimos a la ganancia total entre el número de volados efectuados 101160 100000 1.011600= .

Nuestro siguiente paso será aumentar la cantidad de volados, y ver lo que pasa

con la “ganancia cada vez que juega”. # volados # soles # águilas ganancia

100000 50145 49855 1.011600 200000 100208 99792 1.008320 300000 150129 149871 1.003440 400000 200016 199984 1.000320 500000 250115 249885 1.001840 600000 299994 300006 0.999920 700000 349936 350064 0.999269 800000 399817 400183 0.998170 900000 449869 450131 0.998836 1000000 499986 500014 0.999888

dándonos cuenta que los valores calculados para la “ganancia por juego”, a medida que la cantidad de volados aumenta, tiende a estabilizarse alrededor del uno:

0.990000

0.995000

1.000000

1.005000

1.010000

1.015000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Es decir el jugador espera ganar 1 peso cada vez que juega. Ahora, el valor esperado no se debe interpretar como el valor que necesariamente ocurre al efectuar el juego una vez. Más bien se interpreta como la ganancia promedio que se espera cuando el juego se desarrolla un número grande de veces. Así que, de manera informal encontramos el valor esperado, concluyendo que al jugador le conviene la apuesta, siempre y cuando lo haga muchas veces. Usando la teoría, escribimos: Sea { },S s a=

Sel espacio muestra que resulta del lanzamiento de una moneda. No

olvidemos que es equiprobable (moneda honesta). Sea X la va definida sobre : S

la cantidad de pesos que gana el jugadorX = entonces y , por lo tanto: ( ) 5X s = ( ) 3X a = −

( ) [ ] { }( )( ) [ ] { }( )5 5

3 3 1X

X

f P X P s

f P X P a

= = = =

− = = − = =

1 2

2

llegando a: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 3 3 5 1 2 3 1 2X XE X f f= ⋅ + − ⋅ − = − =1

que justamente es el valor buscado. Finalmente, es pertinente establecer un criterio a seguir para distintos posibles valores que se obtengan al calcular la esperanza.

• Si [ ] 0 se dice que el juego es favorable al jugador E X >

• Si [ ] 0 se dice que el juego es no favorable E X <

• Si [ ] 0 se dice que el juego es justo E X =

Ejemplo 6.5.2 Ocupando los resultados del ejemplo 6.4.3 calculemos la esperanza de cada una de las va´s definidas ahí; además grafiquemos a los puntos ( )( ), Xx f x , con la finalidad de mostrar la interpretación de centro de masa que tiene la esperanza, de igual forma en que se hizo para la media.

X , llegamos a que su distribución es: Veamos. De la va

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

( )Xf x 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

en consecuencia, podemos calcular la esperanza de X :


[ ] 1 2 3 1 2522 3 4 1236 36 36 36 36

E X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

7=

)

luego, graficando a ( )( , Xx f x observamos que la esperanza se comporta como un centro de masa:

0.0000.0200.0400.0600.0800.1000.1200.1400.1600.180

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

efectivamente, ya que las “masas” (pmf) están simétricamente localizadas alrededor del 7 y además cada una de ellas tiene su correspondiente “contra peso” justamente del otro lado, es decir por ejemplo. ( ) ( )3X Xf f= 11 De la misma forma ocurre para distribuciones no simétricas. Consideremos a la va Y con su respectiva distribución:

y 1 2 3 4 5 6 ( )Yf y 11

369

367

365

363

361

36 de esta manera:

[ ] 11 9 7 5 3 1 911 2 3 4 5 6 2.536 36 36 36 36 36 36

E Y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

27

luego, graficando a los puntos ( ), Yy f y( y tomando el valor obtenido: )

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0 1 2 3 4 5 6 7

observamos a la esperanza como punto de equilibrio del sistema. Por otro lado, es importante comentar que también es posible determinar al valor esperado haciendo uso de la pmf.


Hagámoslo para Y . Recordemos que ( ) ( )13 2 36Yf y y= − si ; así, de ( )y Y S∈[6.5.1] se tiene:

[ ] ( ) ( )

( )

[ ]

6 6 6

1 1 1

6 62 2

1 1

13 2 1 13 236 36

1 113 2 13 236 36

1 6 7 6 7 13 1 9113 2 273 18236 2 6 36 36

Yy y y

y y y

yE Y y f y y y y

y y y y

= = =

= =

6

1=

−= ⋅ = = −

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦⋅ ⋅ ⋅⎡ ⎤= − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

donde el proceso, da la impresión de ser menos óptimo que el cálculo directo, sin embargo en el siguiente capítulo nos daremos cuenta de los beneficios que se adquieren al realizarlo. Nota: observe que aplicamos [2.2.7] y [2.2.9]. Finalmente, calculemos la esperanza de la va W , cuya distribución es:

w 1 2 3 4 5 6 ( )Wf w 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

entonces el valor esperado es:

[ ] 1 1 1 1 1 1 71 2 3 4 5 6 36 6 6 6 6 6 2

E W ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.5

y la gráfica queda:

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0 1 2 3 4 5 6 7

haciendo énfasis en que el valor esperado en este caso coincide con la media aritmética de los datos, esto es por que cada elemento de ( )W S tiene el mismo valor bajo Wf . Siguiendo con el desarrollo teórico, probaremos un resultado que nos servirá para instaurar el concepto de varianza (entre muchas otras cosas). La idea es determinar la manera en que se modifica la fórmula para [ ]E X , en

caso de que necesitemos calcular ( )E h X⎡ ⎤⎣ ⎦ con función contínua. :h →R R


Establezcamos las condiciones necesarias entonces.

Sea X va finita, sobre el espacio muestra : S ( ) { }1 2, , , n .X S x x x= …

Sea la va finita que se obtiene de Y X al aplicarle una función continua: ; la distribución correspondiente sería:

:h →R R( )XY h=

( ) { }1 2 1 2, , , conk kY S y y y y y y= <… < <

Por otra parte, no perdamos de vista que debe cumplir: para cada h ( )ix X S∈

existe un único tal que ( )jy Y S∈ ( )ih x jy= con 1 i n≤ ≤ y 1 j k≤ ≤ . En otras

palabras, no es posible que un elemento de ( )X S “vaya” a dos (o más) de . Sin

embargo si es posible que dos (o más) elementos distintos de ( )Y S

( )X S “vayan” a uno de

; debido a estas dos condiciones k n( )Y S ≤ . Ahora. Sea { }1, 2,3, ,D = … n el conjunto de índices de ( )X S , y el

subconjunto de índices que determinan a los elementos de 1D D⊆

( )X S que serán asociados

con bajo , esto es 1y h ( ){ }1 :D i D= ∈ 1ih x y= ; al generalizar queda:

( ){ }: para 1,2,3j i jD i D h x y j= ∈ = = …, , .k Muy bien, una vez dadas las condiciones, demostremos a principio de cuentas la

igualdad de conjuntos mostrada a continuación:

[6.5.2] [ ]j

i ji D

X x Y y∈

= = =⎡ ⎤⎣ ⎦∪

Consideremos arbitrario, por demostrar: s S∈

• Si [ ]j

ii Ds X

∈∈∪ x= entonces js Y y∈ =⎡ ⎤⎣ ⎦ , es decir: [ ]

j

i ji D

X x Y y∈

= ⊆ =⎡ ⎤⎣ ⎦∪

• Si j ⎤⎦ entonces s Y y∈ =⎡⎣ [ ]j

ii Ds X

∈∈∪ x= , es decir: [ ]

j

i ji D

X x Y y∈

= ⊇ =⎡ ⎤⎣ ⎦∪

en efecto: [ ] [ ]

( )( )

( ) ( )( )

para algún

para algúnj

i ii D

i j

j

j

j

j

s X x s X x i jD

X s x i D

h X s y

h X s y

Y s y

s Y y

∈∈ = ⇔ ∈ =

⇔ = ∈

⇔ =⎡ ⎤⎣ ⎦⇔ =⎡ ⎤⎣ ⎦⇔ =

⇔ ∈ =⎡ ⎤⎣ ⎦

∪ ∈

luego, por [1.2.2] se cumple [6.5.2].


Bien, basándonos en [6.5.2] demostremos que:

( ) ( )j

Y j X ii D f y f x

∈=∑ [6.5.3]

en efecto, de [6.5.2] apliquemos y posteriormente usemos [5.4.8]: P

[ ]( )[ ]

( ) ( )

j

j

j

i ji D

i ji D

X i Y ji D

P X x P Y

P X x P Y y

f x f y

∈

∈

∈

= = = y⎡ ⎤⎣ ⎦

= = =⎡ ⎤⎣ ⎦

=

∑∑

∪

finalmente ocupando [6.5.3] calculemos ( )E h X⎡ ⎤⎣ ⎦ :

( ) [ ] ( )

( ){ }( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

1 2

1 2

1 2

1

1

1 2

1 2

j

k

k

k

k

j Y jj

k

j X ii Dj

X i X i k X ii D i D i D

X i X i k X ii D i D i D

i X i i X i i X ii D i D i D

i X ii D

E h X E Y y f y

y f x

y f x y f x y f x

y f x y f x y f x

h x f x h x f x h x f x

h x f x

=

∈=

∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

∈ ∈ ∈

∈

= =⎡ ⎤⎣ ⎦

=

= ⋅ + ⋅ + + ⋅

= + + +

= + + +

=

∑

∑ ∑

∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑

en conclusión:

( ) ( ) ( )

( ) ( )1

i X ii D

n

i X ii

E h X h x f x

h x f x

∈

=

=⎡ ⎤⎣ ⎦

=

∑

∑ [6.5.4]

lo que precisamente se debía determinar. Antes de comenzar a hablar de varianza, ocupemos [6.5.4] para demostrar una propiedad de la esperanza que resulta muy útil. Sea { }1, 2,3, ,D = … n el conjunto de índices de ( )X S ; así, la notación queda:

[ ] ( )X ii D

E X x f xμ∈

= = X i∑

donde la propiedad a demostrar es aX b Xa bμ μ+ = + con ,a b∈R , o equivalentemente: [ ] [ ]E aX b aE X b+ = +

[6.5.5] compare con [4.6.6].


Efectivamente, sea ( )h X aX b= + , entonces:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( ) ( )

i X i i X i X ii D i D

i X i X i i X i X ii D i D i D i D

E aX b ax b f x ax f x bf x

ax f x bf x a x f x b f x

∈ ∈

∈ ∈ ∈ ∈

+ = + = +

= + = +

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

[ ]

1

aE X b= +

rminando la demostración.

En particular si [6.5.5] se modifica por

te

0b = , [ ] [ ]E aX aE X= ; igualmente, si

0a = , la modificación se [ría ]E b b= .

Hablemos entonces de varianza. La idea es en esencia equivalente a la discutida

)2Xμ

s decir,

en la sección 4.6, encontrar la “media” de los valores:

( ) ( ) (2 21 2, , ,X X nx x xμ μ− − −…

( )E h X⎡ ⎤⎣ ⎦e con .

De esta forma, la varianza de la va

( ) ( )2Xh X X μ= −

X se define como:

)X i

on

( ) ( ) (2 2 2

1

n

X X i Xi

E X x f xσ μ μ=

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ∑ [6.5.6]

la pmf inducida por X Xfc y Xμ su esperanza (compare con [4.6.4]).

l igual que en la esperanza, aquí también hay notaciones alternas: A

[ ]2 22X V Xσ σ μ= = =

onde se lee como, el segundo momento central de la va Xd 2μ .

Claramente, la desviación estándar de la va

X sería la raíz cuadrada positiva de la varianza:

2X Xσ σ=

ien, desarrollemos un poco [6.5.6] para llegar a una expresión más simple. B

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2

2 2 2

2

2

2

i X X i i i X X X ii D i D

i X i X i X i X X ii D i D i D

i X i X X X i X i Xi D i D

V X x f x x x f x

x f x x f x f x

x f x x f x

μ μ

μ μ

μ μ μ μ

∈ ∈

∈ ∈ ∈

∈ ∈

= − = − +

= − +

= − + = −

∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑

2

μ


entonces: [ ] ( )2 2V X x f xi X i Xi D

μ∈

= −∑ observando la similitud existente con [4.6.5].

ora bien, si observamos al primer sumando, notamos que también se puede escribir como:

,

Ah

( )2 22i X ii D

E X x f x μ∈

⎡ ⎤ = =∑ ⎣ ⎦n consecuencia e

[ ] [ ]{ }22V X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦ [6.5.7]

lo cual resulta muy conveniente, ya que si quisiéramos deducir [6.5.6], solamente

alcular y ,2μ . Nota: a ,

2μtendríamos que c Xμ se le conoce como el segundo momento e Xd alrededor del cero.

or otro lado, podemos ocupar [6.5.6] para demostrar: P [ ] [ ]2 con ,aX b a V X a b= ∈R [6.5.8]

V +

en efecto: )2μ ⎤⎦

justificando así [6.5.8]. También es común denotar [6.5.8] como 2

[ ] ( )2V aX b E aX b Eμ⎡ ⎤+ = + − = (

( ) (

( ) ( )

[ ]

2

2 2 2 2

2

( )

(

aX b X

X

X X

aX b a b

E aX b a b E a X

E a X a E X

a V X

μ

μ μ

+⎡ + − +⎣ ⎦ ⎣

⎡ ⎤ ⎡= + − − =⎣ ⎦ ⎣⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

)2)Xμ ⎤− ⎦

2 2aX b Xaσ σ+ = , y al sacar raíz cuadrada

de ambos lados, queda aX b Xaσ σ+ = , en analogía con [4.6.7].

Finalmente, con e Xl uso de [6.5.1] y [6.5.6] “estandaricemos” a la va , análogo [4.6.8

a ]. Sea X va con Xμ y Xσ su media y desviación estándar respectivamente.

Definimos a la variable aleatoria estandarizada Z como:

X

X

XZ μσ−

= [6.5.9]

al igual que en [4.6.9], Z tiene dos propiedades importa tes: n

Z

10 yZμ σ= = [6.5.10] Cuya comprobación es:


[ ] ( ) [ ]

[ ]{ } {

1

1 1

X

XX X

E X

μ

μσ σ

= − =

más, aplicando [6.5.8] tenemos:

X XX

E Z E X E Xμ σσ

= − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

} 0X Xμ μ− =

note que ocupamos [6.5.5]. Y ade

[ ] ( ) ( ) ( )

[ ]2

2 2

1

1 1

X X X X X

X

X X

V Z V X V X

V X

μ σ σ μ σ

σσ σ

= − = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= = =

onde sólo bastaría sacar la raíz cuadrada positiva para obtener el resultado buscado. Ejemplo 6.5.3 Calcularemos la desviación estándar para cada una de las tres va´s referidas en el jemplo anterior; posteriormente con el valor obtenido y la media, el siguiente paso será

d

eestandarizar a la va en cuestión, determinando así la nueva distribución.

Sea X la va definida en el ejemplo 6.2.2; sabemos que su distribución es:

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

( )Xf x 136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

1 36

y en el ejemplo 6.5.2 establecimos que 7.Xμ = Así pues, ya odem lar va za ici ente lo harem on 5.

p os calcu la rian ; in alm os c [6. 6]:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 3 12 7 3 7 4 7 12 7 5.833336 36 36 36

V X ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + − + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

obteniendo el valor buscado. Sin embargo es mucho más óptimo hacerlo con [6.5.7].

imero calculemos el segundo momento de la va alrededor del cero:

Pr

, 2 2 2 2 22

1 2 3 12 3 4 12 54.833336 36 36 36

E Xμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

luego apliquemos [6.5.7]:

[ ] , 2 22 54.8333 7 54.8333 49 5.8333V X μ μ= − = − = − =

llegando lógicamente al mismo valor; finalm 5.8333 2.4152Xσ = = . ente


X Ahora, estandaricemos a la va . Con la finalidad de no confundir a la va que se está estandarizando, en vez de Z escribiremos *X , *Z X= en pocas palabras . De esta manera ( )*

X XX X μ σ= − , en consecuencia, la imagen de bajo S *X queda:

( )

{ }

, , , , , ,2.4152 2.415 2.4152 2.4152 2.41522.0702, 1.6561, 1.2421 ,0, , 2.0702

X S = ⎨ ⎬⎩ ⎭

= − − …

* 2 7 3 7 4 7 7 7 12 72

,

− − − − −⎧ ⎫

− …

os con la letra .

Sólo falta saber lo que pasa con la pmf de la va estandarizada, con el objetivo de establecer la distribución buscada.

Observamos que no sufre cambios, es decir:

denotando a sus element

z

( ) [ ] ( ) ( )[ ] [ ] ( )

Zf z P Z z P X X X X Xx= = = ⎡ μ σ μ σ− = − ⎤⎣

X X XP X x P X x f xμ μ⎦

ejemplo

= − = − = = =

( ) ( )* 1.6561 3XXf f− = . Entonces, la distribución de *X es:

z 2.0702− 1.6561 2.0702 1.2421− −

( )*Xf z 1

36 236 3

36 136

además, su media y desviación estándar cum len [6.5.10]: p

( ) ( ) ( )

*

* 2 2 2

1 2 3 12.0702 1.6561 1.2421 2.0702 036 36 36 36

1 2 12.0702 1.6561 2.0702 0 136 36 36

E X

V X

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = − − − + + ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = − + − + + − ≈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

2

también

* 0X

μ =o y * 1 1X

σ = = . Reflejándose todo esto en la gráfica:

-3 -2 -1 0 1 2 3


es decir, *Xμ se convierte en nuestro nuevo origen y *X

σ es la “unidad de medición”.

Es importante tener punto de comparación para observar la consistencia de las ropiedades señaladas, razón por la cual repetiremos el proceso, para las va´s y , omo ya se había mencionado.

Y Wpc Sea la va definida en el ejemplo 6.2.2; su distribución es:

Y

y 1 2 3 4 5 6 ( )Yf y 11

369

367

365

363

361

36 además, ya sabemos que 2.527Yμ = .

Aparte, el segundo momento de la va alrededor del cero vale:

, 2 2 2 2 2 2 22

11 9 7 5 3 11 2 3 4 5 6 8.361136 36 36 36 36 36

E Yμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= = + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ntonces

[ ] ( )28.3611 2.527 1.9753V Y = − = , por lo tanto 1.9753 1.4054Yσ = = . e

*Z Y=De nuevo, para tener control sobre la va que se estandariza, sea , es decir:

( )*Y YY Y μ σ= −

generándonos:

( )

{ }

* 1 2.527 2 2.527 3 2.527 4 2.527 5 2.527 6 2.527, , , , ,1.4054 1.4054 1.4054 1.4054 1.4054 1.4054⎨ ⎬

⎩ ⎭ 1.087, 0.375,0.336,1.04 1.760,2.471

S − − − − − −⎧ ⎫=

= − −

e la distribución de es:

z

Y

8,

*Yconcluyendo qu

1.087− 0.375− 0.336 1.048 1.760 2.471 ( )*Y

f z 1136 9

36 736 5

36 336 1

36

orroborando la validez de [6.5.10]: c

( ) ( ) ( )

*

* 2 11⎧ ⎛ ⎞⎡ ⎤ 2 2 2

11 9 7.087 0.33636 36 365 3 11.048 1.760 2.471 0

36 36 369 11.087 0.375 2.471 0 1

36 36 36

E Y

V Y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + + − ≈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

1 0.375


y aparte, la modificación en origen y escala nos queda:

bservando qu rácticam

Finalm plo 6.2.2, entonces:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 o e a tres desviaciones estándar de la media, se encuentran encerrados

ente todos los datos (al igual que en la distribución anterior).

ente, desarrollemos para la va W definida en el ejem

w 1 2 3 4 5 6

p

( )Wf w 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 con 3.5Wμ = ; luego:

, 2 2 2 2 2 2 22 1 2 3 4 5 6 15.1667

6 6 6 6 6 6E W⎡ ⎤= = + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 1 1 1 1 1μ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+

así pues [ ] ( )215.1667 3.5 2.91667V W = − es decir 2.91667 1.70783.Wσ = = =

( )*W WW W μ σ= − Sea *Z W= , o , determinando: también

( )

{ }

* 1 3.5 2 3.5 3 3.5 4 3.5 5 3.5 6 3.5, , , , ,1.7078 1.7078 1.7078 1.7078 1.7078 1.70781.464, 0.878, 0.293,0.293,0.878,1.464

W S − − − − − −⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭

= − − −

por lo tanto:

0.878− 0.293

z 1.464− 1.464 − 0.293 0.878(*W )f z 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6

por último:

( ) ( ) ( )

*

* 2 2 2

1 1 11.464 0.878 0.2936 6 61 1 10.293 0.878 1.464 06 6 6

1 1 11.464 0.878 1.464 0 16 6 6

2V W

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ = − + − + + − ≈⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

E W⎣

⎝

⎣


y además, la gráfica correspondiente queda:

-2 -1 0 1 2

Ejemplo 6.5.4 En la ruleta, se tienen 38 resultados equiprobables: los números 1 al 36, 0 y 00. Si un jugador apuesta un peso a cualquiera de los 38 números y aparece el número al que apostó entonces el jugador gana 35 pesos, de lo contrario, el jugador pierde su peso. Determinemos si el juego es favorable al jugador o no. Sea { }1, 2, ,38S = … el espacio muestra. Sea a S∈ arbitrario; dicho elemento se considera como el número al que se está apostando.

Definamos a nuestra va de la manera siguiente:

( )35 si

1 sis a

X ss a=⎧

= ⎨− ≠⎩

para todo , entonces s S∈ ( ) { }1,35X S = − .

Por otro lado, la pmf queda:

( ) [ ] { }( )( ) [ ] { }( )35 35 1 38

1 1 37 38

X

cX

f P X P a

f P X P a

= = = =

− = = − = =

llevándonos a que:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )37 11 1 35 35 35 0.0526 038 38X XE X f f= − − + = − + = − <

así que, el juego no es favorable al jugador. Ahora, para que sea justo se debe cumplir [ ] 0E X = , es decir “la casa” debe ofrecer pesos en dado caso de ganar el jugador. 37

Ejemplo 6.5.5 Si , 3 2Y X= + [ ] 4E Y = y [ ] 2V Y = calculemos [ ]E X y [ ]V X .


De [6.5.5] y [6.5.8] tenemos:

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]

3 2

4 3 2

2 3

E Y E X

E X

E X

= +

= +

=

2 3E X =

[ ] [ ]

[ ][ ]

3 2

2 9

2 9

V Y V X

V X

V X

= +

= ⋅

=

terminando el cálculo. Ejemplo 6.5.6 Sea X va, cuya pmf con su respectiva gráfica es: de aquí, calculemos la pmf de la va si es que YY 2X= , enseguida mostremos su gráfica; finalmente obtengamos el valor de Yμ . Veamos. Inicialmente es claro que ( ) { }2, 1,0,1,2X S = − − , por lo tanto:

( ) ( ) ( ) ( ){ } { }2 2 2 2 2 22 , 1 ,0 ,1 , 2 0,1, 4Y S X S= = − − =

con base en esto, calculemos Yf para cada elemento de ( )Y S :

( ) [ ] [ ]

( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

( ) [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]

2

2

2

0 0 0 0 0.4

1 1 1 1 1 1 1

4 4 4 2 2 2 2

Y

Y

Y

f P Y P X P X

f P Y P X P X X P X P X

f P Y P X P X X P X P X

⎡ ⎤= = = = = = =⎣ ⎦⎡ ⎤= = = = = = − ∪ = = = − + = =⎣ ⎦⎡ ⎤= = = = = = − ∪ = = = − + = =⎣ ⎦

0.4

0.2

que justamente determina a la pmf de la va , en consecuencia su gráfica:

or último obtengam

lo Y p os [ ]E Y .

( )0.1 si 2,20.2 si 1,10.4 si 0

X

xf x x

x

= −⎧⎪= =⎨⎪ =⎩

−0.1

0.2

0.4

0.2

0.1

-3 -2 -1 0 1 2 3

0.4 0.4

0.2

-1 0 1 2 3 4 5


Es posible hacerl oo de d s maneras distintas:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4f+0 0 1 1E Y f f= +

0 0.4 1 0.4 4 0.2 1.2Y Y Y

= ⋅ + ⋅ + ⋅ =

y además:

jemplo 6.5.7

4.2 obtengamos

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

52 2

1

2 2 2 2 22 0.1 1 0.2 0 0.4 1 0.2 2 0.1 1.2

i X ii

x f x=

⎤ =⎦

= − + − + + + =

∑

E X⎡⎣

E

el ejemplo 6.D y XσXμ . Recordemos que la distribución de la va X es:

x 0 1 2 3 ( )X x 1

83

83

81

8f

on lo que ya es posible realizar los cálculos. c

Comencemos con Xμ : [ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )8 1 3 8 2 3 8 3 1 8 1.5+ + =

ede ser calculado de otra forma. No perdamos de vista 0 1E X = +

ahora bien, el valor obtenido puque el espacio muestra sobre el cual se definió nuestra va X , surge del lanzamiento de tres monedas honestas (ejemplo 6.2.1), en donde la probabilidad de que caiga águila es 0.5 y a su vez como son 3 monedas tenemos 3 0.5 1.5⋅ = ; la justificación de tal resultado se encontrará más adelante cuando se hable de la distribución binomial.

Por otro lado, para calcular Xσ , ya sabemos que inicialmente debemos conocer el valor del segundo momento alrededor del cero.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 0 1 8 1 3 8 2 3 8 3 1 8 3E Xμ = = + + + =⎣ ⎦

ego, por [6.5.7]:

, 2 2 2⎡ ⎤

lu[ ] ( ), 2 2

2 3 1.5 0.75V X μ μ= − = − =

de igual forma, aquí es posible realizar el cálculo de manera distinta, sólo es preciso yconocer los valores ya mencionados, para ocuparlos en ( )( )3 0.5 1 0.5 0.75− =

finalmente 0.75 0.866025Xσ = = . La gráfica correspondiente es:

0.125 0.125

-1 0 1 2 3 4

0.375 0.375


6.6. DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV

s sociadas a a muestra. A continuación enunciaremos su respectiva contraparte teórica

En la sección 4.6 se hizo mención del Teorema de Chebyshev referente a distribucionea unconocida como la desigualdad de Chebyshev. Desarrollaremos sólo para variables aleatorias finitas (y discretas), sin embargo el resultado es válido para cualquier va. Sea X va con su respectiva pmf inducida Xf ; sean ,c ε ∈R con 0ε > .

Escojamos a los ´x s elementos de ( )X S que están en la región de definida Rpor y c ε , mostrada en la parte sombreada de la figura:

s decir:

e

}( ){ : oA x X S x c x cε ε= > + ∈ < −

siendo . Ahora bien, consideremos a los elementos de tales que bajo ( )A X S⊆ S X van a dar al conjunto A , en pocas palabras:

[ ] [ ] [ ][ ] [

( ) [ ]

X A X c ε ε

]X c

X c X c

X c X c

X c

ε ε

ε ε

ε

∪ > +

= − < − ∪ − >

= − − > ∪ − >⎡ ⎤⎣ ⎦= ⎡ − > ⎤⎣ ⎦

Teniendo claro el subconjunto de que utilizaremos, demos la desigualdad; sin

ejar de mencionar que el resultado es general, en consecuencia particularizaremos al nal.

Para cualquier variable aleatoria

∈ = < −

Sdfi X y cualquier número : c

( )21P X c E X cε 2ε⎡ ⎤⎡ − > ≤ −⎣ ⎦⎤ ⎣ ⎦ [6.6.1]

Demostremos.

)2

bargo

( )2E X c⎡ ⎤− =∑ ∑( ) ( )( ) ( ) (

( ) ( )[ ]

2

2 2

2

X Xx X S x A

X Xx A x A

x c f x x c f x

f x f x

P X A

ε ε

ε

∈ ∈

∈ ∈

− ≥ −⎣ ⎦

≥ ≥

= ∈

∑ ∑

[ ]P X A P X c ε∈ = ⎡ − >⎣ ⎦⎤ , entonces ( )2 2E X c P X cε ε⎡ ⎤− ≥ ⎡ − >⎣ ⎦⎣ ⎦sin em ⎤ ,

por lo tanto se cumple [6.6.1].


Muy b Supongamos que c

ien, adapte a nuestros intereses. mos [6.6.1]

X (escribamos simplementeμμ= ), entonces la desigualdad ambia de la siguiente manera: c

[6.6.2] ( )2 22 2

1 1P X E Xμ ε μ σε ε

⎡ ⎤⎡ − > ⎤ ≤ − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

on 2σ la varianza de la va .Xc

o

c

X Xμ ε μ⎡ − > ⎤ = ⎡ − ≤⎣ ⎦ ⎣ ε ⎤⎦ , entonces Por otro lad

1P X P Xμ ε μ⎡ − > ⎤ = − ⎡ − ≤⎣ ⎦ ⎣ ε ⎤⎦ sustituyendo en [6.6.2] llegamos a

22

11 P X μ ε σε

− ⎡ − ≤ ⎤ ≤⎣ ⎦

acomodando 2

2

11P X μ ε σε

⎡ − ≤ ⎤ ≥ −⎣ ⎦[6.6.3]

finalmente, co kε σ=nsideremos a y sustituyamos en [6.6.3]

( )2

2 21 11 1P X kμ σ σ⎡ − ≤ ⎤ ≥ − = −⎣ ⎦

or lo tanto

[6.6.4]

k kσp

211P X kk

μ σ⎡ − ≤ ⎤ ≥ −⎣ ⎦

que justamente es el resultado buscado. Observe que si 1k = no hay información extra

sabido, razón por la cual se pide . Comparemos con el enunciado de la sección 4.6.

mad

1k >de lo ya

Sea 1k > . Para cualquier conjunto de datos to os aleatoriamente de una

población, la proporción de datos que están “dentro” de k desviaciones estándar de la edia m P X kμ σ− ≤ ⎤ , es al menos ( ) ⎡⎣ ⎦ ≥ 21 1 k− .

Nota: no pierda de vista que la expresión P X kμ σ⎡ − ≤ ⎤⎣ ⎦ además se escribe

como:

[ ] [ ]P X k P k X k X kP kμ σ σ μ μ σ⎡ − ≤ ⎤ = − ≤ − ≤ ≤ +⎣ ⎦ observando m

σ μ σ= − ≤

ás clara la relación con el enunciado.


Ejemplo 6.6.1

el ejemplo 6.5.3 ocupemos los resultados obtenidos, con la finalidad de aplicar e terpretar , para cada una de las va´s manejadas ahí.

Sea

D

[6.6.4]

in

X la va definida en el ejemplo 6.2.2, luego, del ejemplo 6.5.3 sabemos que 7Xμ = y 2.4152Xσ = . Sea 1.5k = , entonces:

[ ]

[ ]( )2

13.3 2 1 0.551.5

P X ≥ − =

es decir, la proporción (probabilidad) de datos (

7 1.5 2.4152 7 3.6228 7 3.6228 7 3.6228

7 10.6

P X P X P X⎡ − ≤ ⋅ ⎤ = ⎡ − ≤ ⎤ = − ≤ ≤ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= ≤ ≤

X ) que se encuentran entre y es al menos ; luego como

3.3710.62 0.55 ( )X S tiene elementos, entonces al me

tre y , de hecho son , observe la gráfica.

36 nos hay

( ) 20≈36 0.55 datos en 3.37 10.62 30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Por otro lado podemos calcular [ ]3.37 10.62P X≤ ≤ , para confirm

ando del ejemplo 6.2.2:

ar [6.6.4].

Record

[ ] { }[ ] [ ] [( ) ( ) ( )

( )

]4 5 10

3.37 10.62P X P≤ ≤ = ⎡ ⎤⎣ ⎦4,5, ,9,10

5 10

3 4 5 6 5 4 3 36 0.833

X

P X P X

P A P A P A

∈

+ = + + =

= + + +

= + + + + + + =

…

concluyendo que efectivamente . Ahora bien, a manera de comparar, apliquemos nuevamente [6.6.4] ocupando la

ariable aleatoria estandarizada de

4P X= =

0.833 0.55≥

.X v

* XX la va estandarizada de Sea , por otro lado sabemos que debido a [6.5.10], * 0

Xμ = y además * 1

Xσ = ; con esto, se modifica [6.6.4] de la siguiente manera:

* * *

210 1 1P X k P X k P k X kk

⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤− ≤ ⋅ = ≤ = − ≤ ≤ ≥ −⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡


por lo tanto

[6.6.5] * 121P k X k

k⎡ ⎤− ≤ ≤ ≥ −⎣ ⎦

s suponiendo tenemos:

dente l a que tiene la desviación estándar de “unidad de edición” y la media de “punto de referencia”.

sobre la va

lculemos para :

1.5k =entonce

*1.5 1.5 0.55P X⎡ ⎤− ≤ ≤ ≥⎦ ⎣

aciendo aún más evi a naturalezhm

Observe dicho resultado plasmado en la gráfica:

-3 -2 -1 0 1 2 3

*.Y Continuando con el ejemplo, apliquemos en esta ocasión [6.6.5]

2k = * 1 Bien, ca 22⎣ ⎦2 2 1 0.75P Y⎡ ⎤− ≤ ≤ ≥ − =

uya representación gráfica es

sea que, al m cuentran a dos nidades del or

emo ara

c

-3 -2 -1 0 1 2 3

enos hay 75% de los de los valores de ( )*Y S , que se enigen (no olvide que nos referimos al eje z ).

ou Finalmente apliqu s [6.6.5] sobre la va *W , p 3 k = .

* 23 3 1 1 3 8 9 0.888P W⎡ ⎤− ≤ ≤ ≥ − = =⎣ ⎦


obteniendo un resultado que se puede interpretar fácilmente.

Con parte de la información recién discutida, podemos establecer el siguiente esquema, el cual es aplicable a cualquier variable aleatoria.

jemplo 6.6.2

ea

E

XS va, donde 2.527Xμ = y 1.4054Xσ = . Determinemos los dos valores que ara an tener “en e de los valores de ( )X S . g ntiz cerrados” al m nos 90%

21 1Para que suce e pada esto, deb sar 0.9 ; entonces despejemos k .

k− =

22 2 2

1 1 111 0.9 1 0.9 0.1 100.1

k−k k k

= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = =

es deci 10 3.162277k = =r ; luego

2.527 3.162277 1.4054 6.971262.527 3.162277 1.91726

kk 1.4054

μ σμ σ+ = + ⋅ =− = − = −

⋅

que son justamente los buscados, observe:

[ ]1.91726 6.97126 0.9P X− ≤ ≤ ≥ o también

*10P X⎡− ≤ 10 0.9⎤≤ ≥⎣ ⎦

siendo *X la va estandarizada de .X 6.7. TERCER Y CUARTO MOMENTO CENTRAL (SIMETRÍA Y CURTOSIS)

o raparte teórica de la media y varianza de una istribución de datos. Es tiempo de abordar el caso referente a la simetría y curtosis, en

En la sección 6.5 definimos la c ntdeste caso definidos para una variable aleatoria.

Ya se mencionó que ,

1μ se denomina primer momento de la va X alrededor del cero, que justamente se trata del valor esperado. Además definimos 2μ conocido como

el segundo momento central de la va X (o varianza), donde posteriorm nte surgió ,2μe ,

llamado segundo momento de la va X alrededor del cero.


La relación existente e estos tres conceptos es , 22 2μ μ μ= − n ,

1ntre co μ μ= . La idea es definir (con base en ta terminología) los momentos tercero y cuarto,

primero alrededor del cero y posterior nte centrales (alrededor de esme μ ).Como ya se a

mencionado muchas veces, estamo trabajando con vari h

s abl aleatorias finitas, sin embarg ién a va´s discretas (inclusive continuas), siempre y cuando la sum toria tenga valor real.

es

ao muchos resultados (como la desigualdad de chebyshev) son aplicables tamb

Ahora bien, las definiciones y resultados mostrados enseguida, consideran a X

como una va discreta; no olvide que el caso discreto lleva dentro al finito. Sea X vad; con la finalidad de ya no trabajar con subíndices, consideremos al conjunto (manejado previamente como conjunto de índices) como .

D ( )D X S= Definimos el ésimor − momento de X alrededor del cero como:

[6.7.1] ( ), para 1, 2,3, 4.r r

r Xx D

E X x f x rμ∈

⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ∑

d saesglo ndo: ( ), 1 1E X x f x

( )

( )

( )

1

, 2 22

, 3 33

, 4 44

Xx D

Xx D

Xx D

Xx D

E X x f x

E X x f x

E X x f x

μ μ⎡ ⎤= = =∑

μ

μ

μ

∈

∈

∈

∈

⎣ ⎦

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

⎡ ⎤= =⎣ ⎦

∑

∑

∑

observando la presencia de ,

1μ y ,2μ ; además de advertir que ,

3μ y ,4μ servirán para la

expresión simplificada correspondiente a 3μ , así como lo fue , 22μ μ− y 4μ para 2μ .

Definimos el momento de ésimor − X alrededor deμ (o momento central),

) ( 1,2,3,4x D

xμ∈

⎣ ⎦

3

como: [6.7.2] ( ) ( ) para 0,r r

r XE X x f rμ μ⎡ ⎤= − = − =∑

μdonde y 4μ servirán para definir los coeficientes de asimetría y curtosis.

obtener expresiones equivalentes pero s plificadas, para [6.7.2] con la finalidad de hacer más simple su cálculo.

V os

( ) ( ) ( ) ( )0 0 1

0

E X x f x f xμ μ μ

μ

⎡ ⎤= − = − = =

=

∑ ∑

Nuestro siguiente paso será im

eam .

( ) [ ] [ ]

0

11

X Xx D x D

E X E X Eμ μ μ μ

∈ ∈⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = − = −⎣ ⎦


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

, 22 2

3 33

3 2 2 3

3 2 2 3

, , 2 , 3 , , 2 33 2 1 3 2

, , 33 2

4 4 3 2 2 3 44

4

3 3

3 3

3 3 3 3

3 2

4 6 4

Xx D

Xx D

X X Xx D x D x D x D

E X x f x

x x x f x

Xx f x x f x xf x f x

E X E X X X X

E X

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

μ μ μ

μ μμ μ μ μ μ μμ μ μ μ

μ μμ μ

μ μ μ μ μ μ

∈

∈

∈ ∈ ∈ ∈

= −

⎡ ⎤= − = −⎣ ⎦

= − + −

= − + −

= − + − = − + −

= − +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤= −⎣ ⎦

∑

∑

∑ ∑ ∑ ∑

[ ]3 2 2 3 4

, , 2 , 3 44 3 2

, , 2 , 44 3 2

4 6 4

4 6 4

4 6 3

E X E X E X Eμ μ μ μ

μ μμ μ μ μ μ μ

μ μμ μ μ μ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + − +

= − + −

en conclusión

4

0

1

, 22 2

, , 33 3 2

, , 2 ,4 4 3 2

10

3 2

4 6 3

μμ

μ μ μ

μ μ μμ μ

μ μ μμ μ μ μ

==

= −

= − +

= − + −

[6.7.3]

o paso final adimensionemos los momentos, igual que en la sección 4.7.

com

( )

( )

2 2

33 3

22

44 2

2

Xα μ σμαμ

αμ

= =

=

=

[6.7.4]

Con

μ

3α denominado coeficiente de asimetría, el cual mide la asimetría de una istribución probabilidad con respecto a su dispd ersión; a su vez 4α llamado curtosis, de

y 4α es una medida de qué tan puntiaguda es una distribución de ad. A probabilid 3αtambién se les llama primero y segundo factores de forma. Ejemplo 6.7.1 Calculemos 3α y 4α para cada una de las va´s del ejemplo 6.5.3. Sea X la va definida en el ejemplo 6.2.2, luego del ejemplo 6.5.3 sabemos que

7Xμ = , 2 54.8333μ =, , entonces ocupando [6.7.1] para : 3r = y además 2 5.8333μ =


( ), 3 3 3 3 3 33 2 3 4

36 36 36XD

E X x f xμ ⎡ ⎤= = = + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠1 2 3 112 465.5

36x∈

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

que nos dice que la distribución de la va

en consecuencia, de [6.7.3] llegamos a

( )( ) ( ), , 3 33 3 23 2 465.5 3 7 54.8333 2 7 0.0007 0μ μ μμ μ= − + = − + = ≈

Xlo es simétrica; luego, adimensionando

( ) ( )3

3 3 32 22

0.0007 0.000049695.8333

μαμ

= = =

nos damos cuenta de que al ocurrir 30 0.5α≤ < , la distribución se encuentra dentro de la categoría “casi simétrica” (puede haber unas distribuciones más simétricas que otras); de hecho es completamente simétrica 3 0α ≈ .

Bien, para medir el grado de “aplastamiento”, calculemos inicialmente , 4μ

( ), 4 4 4 4 44

1 2 3 12 3 4 12 4196.536X

x Dx f xμ

∈

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + + + + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ 36 36 36⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

posteriormente

( )( ) ( ) ( ) ( )

, , 2 , 44 4 3 2

2 4

4 6 3

4196.5 4 7 465.5 6 7 54.8333 3 7 80.4902

μ μ μμ μ μ μ= − + −

= − + − =

adimensionando

( ) ( )4

4 2 22

80.4902 2.3654 35.8333

μαμ

= = = <

en otras palabras, la distribución es platicúrtica.

Sigamos con la va definida en el ejemplo 6.2.2. Para comenzar a hacer los cálculos, necesitamos recordar que

Y

2.527Yμ = , ,2 8.3611μ = y 2 1.9753μ = .

Bien, tenemos

( ), 3 33 Y

y D

E Y y f yμ∈

⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ∑3 111 ⎛= ⎜

3 3 3 3 39 7 5 3 12 3 4 5 6 32.861136 36 36 36 36 36

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + =⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


o sea:

3 3 2

concluyendo que la distribución de la va es asimétrica positivamente. El grado de asimetría lo obtenemos adimensionando

( )( ) ( ), , 3 33 2 32.8611 3 2.527 8.3611 2 2.527 1.74908 0μ μ μμ μ= − + = − + = >

Y3μ

( ) ( )3

3 3 32 22

1.74908 0.631.9753

μαμ

= = =

entonces 30.5 1α≤ < , diciéndonos que la distribución es moderadamente simétrica. Continuando con el cuarto momento, vemos que

, 4 4 4 4 4 4 44

11 9 7 5 3 11 2 3 4 5 6 143.694436 36 36 36 36 36

E Yμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= = + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

así

lmente, al adimensionar

, , 2 , 4

( )( ) ( ) ( ) ( )4 4 3 2

2 4

4 6 3

143.6944 4 2.527 32.8611 6 2.527 8.3611 3 2.527 9.5521

μ μ μμ μ μ μ= − + −

= − + − =

fina

( ) ( )4

4 2 22

9.5521 2.4481 31.9753

μαμ

= = = <

bservamos que la distribución de la va es platicúrtica. Si comparamos con el grado Yo

de aplastamiento de la va X nos damos cuenta que ésta es un poco más “puntiaguda”.

Para terminar, analicemos los dos factores de forma de la va definida en el ejemplo 6.2.2; los datos son:

W

3.5,Wμ = ,2 15.1667μ = y 2 2.91667μ = . Así que:

, 3 3 3 3 3 33

1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 73.56 6 6 6 6

E Wμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= = + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

6

o sea, la distribución es simétrica, y de hecho por

sustituyendo

( )( ) ( ), , 3 33 3 23 2 73.5 3 3.5 15.1667 2 3.5 0.0035 0μ μ μμ μ= − + = − + = − ≈

( ) ( )3

3 3 32 22

0.0035 0.00007 02.91667

μαμ

−= = = − ≈


la distribución es completamente simétrica.

Para el grado de aplastamiento, vemos que

, 4 4 4 4 4 4 44

1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 379.1666 6 6 6 6 6

E Wμ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤= = + + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

dimensionando

sustituyendo

( )( ) ( ) ( ) ( )2 4379.166 4 3.5 73.5 6 3.5 15.1667 3 3.5 14.7309= − + − =

, , 2 , 44 4 3 24 6 3μ μ μμ μ μ μ= − + −

a

( ) ( )4

4 2 22

14.7309 1.7316 32.91667

μαμ

= = = <

notamos que la distribución es platicúrtica; aparte, como es menor a y

, la distribución de es mucho más aplastada que las dos distribuciones

6.8. FUNCIÓN GENERADORA DE MOMENTOS (FGM)

asta ahora, ha sido relativamente fácil determinar los momentos alrededor del cero de

1.7316 2.36542.4481 Wanteriores.

Huna va X , sin embargo la situación se complica cuando la pmf asociada Xf tieparáme

ne tros externos, que a su vez pueden variar. Razón por la cual es necesario un

método más práctico de cálculo.

La función generadora de momentos ( )Xm t , es una función inducida por una va X y depende de la variable método efectivo para calcular t . Su utilidad es brindar un

,rμ , con 1,2,3,4r = (entre muchas otras cosas). Inicialmente no se visualiza claramente

su efectividad, ya que no hemos trabajado pmf con parámetros externos, aún así es conveniente mostrarla.

Antes de definir formalmente Xm , rec os ciertos resultados de cálculo cial. Aparte de mencionar nuevamente es posible extenderse a los casos vad

ac con lo trabajado enseguida. Sea :h →R R función contínua, definida como ( ) txh x e

uperemdiferen , que y v

= con t∈R .

a primera derivada de con respecto a es: h tL

( ) xt xt xtdh x d de e xt xe= = = dt dt dt


la segunda derivada de con respecto a t es: h

( ) ( )22

2xt xtd h x dh xd d d xtxe x e x e

dt dt dt dtdt= = = =

y así sucesivamente. Note que consideramos a x como factor constante de . t

Sea X va (en este caso finita) y ( )D X S= , consideremos a la va y calculemos su esperanza, entonces por [6.5.4]:

( ) tXh X e=

[6.8.1] ( )tX tx

Xx D

E e e f x∈

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∑

Nuestro siguiente paso será derivar [6.8.1] con respecto a la variable t , con la finalidad de obtener ciertas propiedades.

( ) ( ) ( )

( )

tX tx tx txX X X

x D x D x D

tx tXX

x D

d d dE e e f x e f x f x edt dt dt dt

xe f x E Xe∈ ∈ ∈

∈

⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦

⎡ ⎤= = ⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑

d

evaluemos 0t =

[ ]0

00

tX tX

tt

d E e E Xe E Xe E Xdt ==

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

es decir

,1

0

tX

t

d E edt

μ=

⎡ ⎤= ⎣ ⎦ [6.8.2]

construyendo así, un método que nos permita calcular al primer momento de la va X alrededor del cero. Veamos lo que pasa si volvemos a derivar.

22

2tX tX tXd dE e E Xe E X e

dtdt⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

⎤⎦

luego, al evaluar nuevamente 0t =

2

2 222

00

tX tX

tt

d E e E X e E Xdt

,μ=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ [6.8.3]

obtenemos el segundo momento de la va alrededor del cero.

O sea que, la derivada de ésimar − ( )expE tX⎡ ⎤⎣ ⎦ con respecto a t , evaluada en

nos genera al momento 0t = ,rμ , siendo 1,2,3,4r = . Nota: ( )exp tXtX e= .


Es tiempo de definir formalmente . Xm Sea X una variable aleatoria. El valor esperado de ( )exp tX recibe el nombre de

función generadora de momentos, y se denota por ( )tXm , si el valor esperado existe para cualquier valor de en donde es un número positivo. ( ,t c∈ − )c c Luego, por lo mostrado en [6.8.2] y [6.8.3] decimos que:

[6.8.4] ( ) ( ) ,

00

exp para 1, 2,3, 4r r

rXrr r

tt

d m t d E tX E X rdt dt

μ==

⎡ ⎤= = =⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =

por otro lado, habrá ocasiones que escribamos la notación

( ) ( ) ( )

00

rrX

Xr tt

d m tm t

dt =

=

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

es decir ( ) ( ) ,

0

rX rt

m t μ==⎡ ⎤⎣ ⎦ .

Finalmente es importante mencionar, que si la función generadora de momentos existe, puede demostrarse que es única y determina por completo la distribución de probabilidad de X , en otras palabras, si dos variables aleatorias tienen la misma fgm, entonces tienen la misma distribución de probabilidad. Ejemplo 6.8.1 De la va definida en el ejemplo 6.2.2, calculemos Y ,

1μ y ,2μ vía su fgm. Antes de

hacerlo, recordemos que ( ) ( )13 2 36Yf y y= − , y . ,1μ = 2.527 ,

2μ 8.3611= Lo primero es determinar . ( )Ym t

( ) ( )

( ) { }2 3 4 5 6

13 236

1 113 2 11 9 7 5 336 36

tY ty tyY Y

y D y D

ty t t t t t t

y D

ym t E e e f y e

y e e e e e e

∈ ∈

∈

e

−⎡ ⎤= = =⎣ ⎦

= − = + + + + +

∑ ∑

∑

entonces

( ) { }2 3 4 5 61 11 9 7 5 336

t t t t tYm t e e e e e e= + + + + + t

derivemos ( ) { }

( ) ( ) ( ) ( ){ }

2 3 4 5 6

2 3 4 5

1 11 9 7 5 3361 11 9 2 7 3 5 4 3 5 636

t t t t t tY

t t t t t

dm t d e e e e e edt dt

e e e e e e

= + + + + +

= + + + + + 6t


o sea

( ) { }2 3 4 5 61 11 18 21 20 15 6t t t t tYdm te e e e e e= + + + + +

36t

dt [6.8.5]

finalmente sustituyamos 0t =

( ) { }0

1 911 18 21 20 15 6 2.52736 36

Y

t

dm tdt

=

= + + + + + = =1

llegando al valor buscado. Derivemos ahora [6.8.5], que sería sacar la segunda derivada de ( ).Ym t

( ) { }{ }

22 3 4 5

2

2 3 4 5 6

1 11 18 21 20 15 6361 11 36 63 80 75 36

36

t t t t tX

t t t t t t

d m t d e e e e e edtdt

e e e e e e

= + + + + +

= + + + + +

6t

0t = ( ) { }

2

2

0

1 30111 36 63 80 75 36 8.361136 36

X

t

d m tdt

=

= + + + + + = =

el cual es justamente el valor buscado. 6.9. DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA (VAD) A lo largo de este capítulo, hemos trabajado únicamente el caso en que X es una variable aleatoria finita, caso particular de variable aleatoria discreta. Motivo por el cual, es conveniente discutir lo que ocurre con la estructura en las definiciones y resultados de va finita, para el caso de vad.

Advirtamos que ya se hace uso de ciertos conocimientos de cálculo diferencial e

integral. No profundizaremos mucho debido a que la idea es únicamente hacer presentes los cambios de estructura que hay. Con uso del ejemplo 6.2.3 definamos formalmente.

Una variable aleatoria X sobre un espacio muestral es discreta si S ( )X S es

un conjunto finito o infinito numerable, es decir:

( ) { }1 2 1 2, , , , con n nX S x x x x x x= <… … < < < Además, X tiene su pmf inducida Xf y su función de distribución , donde las definiciones resultan ser una extensión de las correspondientes para va finita.

XF

( ) [ ] si0 si

iX

i

P X x x xf x

x x⎧ = =⎪= ⎨

≠⎪⎩ [6.9.1]


siendo aparte: 1, 2,3, , ,i = … …n [6.9.2] ( ) ( ) para

i

X X ix x

F x f x x≤

= ∈∑ R

Manteniendo sus propiedades,

[6.9.3] ( )

( ) ( )1

1. 0

2. 1

X

X i ii

f x x

f x x X∞

=

≥ ∀ ∈

= ∈∑

R

S

hagamos notar que la expresión 2 de [6.9.3] es una serie infinita, y de paso mencionar la utilidad que ahora adquiere [2.2.14]. Por otro lado, la función de distribución XF es una función no decreciente de los valores de X , de tal manera que:

[6.9.4]

( )( ) ( )

[ ] ( )

1. 0 1

2. si

3. 1

X

X i X j i

X

F x x

F x F x x x

P X x F x

≤ ≤ ∀ ∈

≥ ≥

> = −

R

j

Respecto al valor esperado y varianza de X , las definiciones son una extensión de las anteriores:

[6.9.5] [ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )1

1 1 2 2 3 3

i X ii

X X X n X n

E X x f x

x f x x f x x f x x f x

∞

=

=

= + + + +

∑+

también

[6.9.6] [ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

12 2 2

1 1 2 2 3 3

i X X ii

X X X X X X

V X x f x

x f x x f x x f x

μ

μ μ μ

∞

=

= −

= − + − + −

∑+

En donde [6.9.5] y [6.9.6] tienen validez si las serias convergen absolutamente, y particularmente si

( )2 2

1i X i

iE X x f x

∞

=

⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ∑

converge, entonces la media y varianza también lo hacen, permitiéndonos aplicar: [6.9.7] [ ] [ ]{ }22V X E X E X⎡ ⎤= −⎣ ⎦

Nota: los ejemplos de estos resultados se abordarán en el siguiente capítulo.


6.10. DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA (VAC) Supongamos que X es una variable aleatoria sobre un espacio muestral , de tal manera que

S( )X S es un conjunto continuo de números, tales como un intervalo o una

unión de intervalos (ver ejemplo 6.2.3); además, por definición de variable aleatoria, se tiene que [ ] ( )S∈℘a X≤ ≤ b con ,a b∈R y a b≤ , en otras palabras, tiene sentido el

cálculo de [ ]P a ≤ X b≤ . Supongamos ahora, que hay una función contínua tal que :f →R R

[6.10.1] [ ] ( )b

aP a X b f x dx≤ ≤ = ∫

entonces se dice que X es una variable aleatoria continua, y a f se le llama densidad de X . La función f satisface las condiciones

( )

( )

1. 0

2. 1

f x x

f x dx∞

−∞

≥ ∀ ∈

=∫

R [6.10.2]

note que aquí ya no tiene mucho sentido calcular [ ]P X x= , observe

[ ] [ ] ( ) 0x

xP X x P x X x f x dx= = ≤ ≤ = =∫

En lo que concierne a la función de distribución de la va F X , tenemos

( ) [ ] ( )x

F x P X x f t d−∞

= ≤ = ∫ t [6.10.3]

Referente al valor esperado y la varianza, las definiciones correspondientes son

[6.10.4] [ ] ( )

[ ] ( ) ( )2

E X xf x dx

V X x f x dx

μ

μ

∞

−∞

∞

−∞

= =

= −

∫∫


Ejercicios

1. Sea { }1, 2,3, 4,5,6 .A = Consideremos a S como el espacio muestra que resulta del lanzamiento de dos dados, es decir S A A= × . Definamos sobre S a la va X como ( ),X i j ( , )i j Si j= ⋅ , para ∈ . Determine ( )X S y exprese gráficamente el resultado.

2. Sobre el espacio muestra del ejercicio 1, defina ( ), max( ,j i j= )Y i . Determine

( )Y S y grafique.

3. Calcule usando las variables aleatorias definidas previamente, las probabilidades mostradas.

a) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]10 , 25 , 7 , 7 , 6 20 ,P X P X P X P X P X= ≤ = ≥ ≤ ≤

( ]4,6 .P X⎡ ⎤∈⎣ ⎦

b) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]5 , 2 , 2 , 6 , 2 5 ,P Y P Y P Y P Y P Y= ≤ ≥ = ≤ ≤

( ],12 .P Y⎡ ⎤∈ −∞⎣ ⎦

4. Determine ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 , 10 , ,Y S X S X S X Y S− − + , usando las va´s de los ejercicios 1 y 2.

5. Determine Y, , yX X Yf F f F de los ejercicios 1 y 2 respectivamente. Grafique.

6. Determine 7Xf − y 2 Xf donde X es la va del ejercicio 1.

7. Suponga que se lanza una moneda honesta 4 veces, sobre el espacio muestra que

se genera, defina a la va X como: número de soles que cayeron.X = Determine Xf y . XF

8. De la siguiente distribución, calcule [ ] [ ], , XE X V X σ .

x 2− 3 4 9 11( )Xf x 0.15 0.05 0.32 0.26 0.22

9. De las va’s definidas en los ejercicios 1 y 2 respectivamente, calcular:

a) [ ] [ ], , XE X V X σ

b) [ ] [ ], , YE Y V Y σ

10. Una persona que dirige una cadena de restaurantes desea abrir otro, cuenta con dos locales y tiene que decidir en cuál de ellas abre. Realiza una encuesta en ambos lugares y encuentra que en el primero se tendrá una ganancia mensual


neta de 150 000 pesos si tiene éxito, y una pérdida de 30 000 en caso contrario. Para el segundo, estima que la ganancia mensual será de 200 mil pesos si tiene éxito y una pérdida de 90 000 en caso contrario. Suponiendo que la probabilidad de éxito en cada local es de 0.5. ¿Por cuál de las dos localidades se debe decidir para maximizar su ganancia?

11. Ocupando los resultados del ejercicio 9, calcule [ ]2 3E X + y [ ]4 1V Y − .

12. En un juego se lanzan tres monedas, un jugador gana 5 pesos si caen tres

águilas, gana 4 si caen dos águilas, y gana 2 si cae un águila. Por otra parte, pierde 12 pesos si caen tres soles.

a) ¿Cuál es el valor esperado del juego? b) ¿Es favorable o no al jugador? c) Para que el juego sea justo, ¿cuánto debe perder el jugador si caen tres

soles?

13. De las va’s definidas en los ejercicios 1 y 2, y de los resultados obtenidos en el ejemplo 9, estandarice, grafique y verifique

a) * * 0E X E Y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

b) * * 1V X V Y⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎣ ⎦ ⎣ ⎦

14. Aplique la desigualdad de Chebyshev para cada una de las variables definidas en los ejercicios 1 y 2, siendo 1.5, 2, 2.5,3k = , (interpretar y graficar).

15. Referente a la va del ejercicio 1, ¿cuál sería el intervalo ( , )a b que garantiza que

al menos85% de los valores de X se encuentran dentro de él?

16. Determine 3, ,3 4 3 4, , , ,μ μ μ μ α y 4α para cada una de las variables de los

ejercicios 1 y 2. Interprete los resultados.

17. Sea X una va finita, donde su pmf inducida es ( ) 1 6Xf x = si o

cero en caso contrario. Con el uso de

1,2,3,4,5,6x =

( )Xm t determinar ,rμ siendo 1 , 2,3, 4.r =

18. Sea función continua definida como f = →R R

( )si 0 1

2 si 1 20 en casocontrario

x xf x x x

≤ ≤⎧⎪= − ≤ ≤⎨⎪⎩

graficarla y determinar si es o no una función de densidad (si satisface [6.10.2])


19. Verifique ( ) , para 3, 4

rX

rr

d m tr

dtμ= =

0t=

20. Del ejercicio anterior consideremos a f como la función de densidad de la vac

X , calcule [ ]0.5 1.5P X≤ ≤ y determine [ ]E X junto con [ ]V X . 21. Sea X vac, donde su función de densidad es

( )1 si

0 en casocontrario

a x bf x b a

⎧ ≤ ≤⎪= −⎨⎪⎩

con reales. Verifique que a b< f efectivamente satisface [6.10.2], grafique y calcule XF ; finalmente, calcule [ ]E X y [ ]V X .

Referencias [2] págs. 56, 67-71, 80-82; [6] págs. 129, 134, 150, 151, 154, 155; [10] págs. 140, 141.

Capítulo 7

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS DE PROBABILIDAD

7.1. INTRODUCCIÓN En el capítulo anterior, se definió variable aleatoria y se estudiaron propiedades que tiene su distribución, profundizamos el caso donde la variable aleatoria es finita, al final, discutimos brevemente los cambios de estructura que hay cuando se trata de una vad o vac. Nuestro objetivo es discutir las propiedades que tienen determinadas variables aleatorias discretas y continuas. El uso teórico y aplicación que se les da es muy amplio, debido a eso es primordial conocerlas. 7.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Abordaremos una de las distribuciones más importantes que hay, lo haremos de forma constructiva; es necesario que el lector tenga muy presentes los resultados de la sección 3.3 además los del ejemplo 5.9.7. La distribución binomial, tiene su origen en el estudio de experimentos que poseen una estructura muy específica, a saber, cumplen con las condiciones:

• El experimento consiste en una secuela de n intentos, donde n se fija antes del experimento.

• Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en uno de dos

posibles resultados, que denotamos por éxito E o fracaso F .

• Los intentos son independientes, por lo que el resultado de cualquier intento particular no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.

• La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro, y vale ( ) .P E p=

A experimentos de este tipo se les denomina binomiales, y en consecuencia, son

los candidatos ideales para ser estudiados con el uso de la distribución binomial, en caso que nos interese el número de éxitos que hubo en los intentos. n

259


Inicialmente puede parecer muy sombría la definición de experimento binomial, sin embargo no es del todo nueva, de hecho hemos trabajado en el transcurso del texto con experimentos binomiales, concretamente hablando, nos referimos a los ejemplos 1.7.2, 1.9.1, 1.9.3, 5.9.8, 6.2.1, 6.4.2. Muy bien, comencemos entonces con la construcción de la distribución. Sea { },S e f= un experimento con únicamente dos resultados posibles; por otro

lado, entenderemos a { }E e=

p< <

como el evento éxito del experimento, cuya probabilidad

es con 0 , en consecuencia, se entenderá al evento fracaso como

donde su probabilidad es

( )P E =cF E=

p 1

( )P F q= con 1q p= − . Sea n el número de intentos (repeticiones) independientes del experimento. Con base en , definamos a nuestro espacio muestra como n nS S S S= × × × (recordemos la interpretación que le dimos a en el ejemplo 5.9.7). nS Sea la vad definida como: : nX S → R

el número de éxitos que hubo en los intentosX n= entonces, X recibe el nombre variable aleatoria binomial con parámetros y n p . Tal situación se denota por ( , )X Bin n p∼ . Nuestro siguiente paso será encontrar la pmf de la va. Observe que la cantidad de éxitos puede variar entre y , de esta manera: 0 n

( ) { }0,1, 2, ,nX S D n= = …

Sea x D∈ arbitrario, entonces por [5.9.4]

( ) [ ] ( ) ( , ) x n x

X xf x P X x P A C n x p q −= = = =

que resulta justamente la pmf inducida por la va .X Escribamos otra nomenclatura para Xf que haga énfasis en los parámetros: ( ) ( ); ,Xf x b x n p=

Por lo tanto

[7.2.1] ( ) ( , ) si 0,1,2, ,; ,0 en caso contrario

x n xC n x p q x nb x n p−⎧ =⎪= ⎨

⎪⎩

…

la cual cumple con [6.4.3] ya que ( ); , 0b x n p ≥ para 0,1,2, ,x n= … , y además por [5.9.5] se tiene

( ); , ( , ) 1x n x

x D x Db x n p C n x p q −

∈ ∈= =∑ ∑

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS DE PROBABILIDAD 261

reafirmándonos que es efectivamente una pmf.

Por otro lado la función de distribución asociada es

[7.2.2]

on todos estos elementos ya podemos establecer a la distribución binomial.

( ); ,b x n p XF

( ) ( )0

; ,x

Xy

F x b y n p=

= ∑

C

0 1 2 3 n x

( ); ,b x n p q 1nnpqn − 2 2

2nn

p q −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

3

3nn 3p q −⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

np

El siguiente escalón natural en la discusión, es determinar la esperaza de la va.

Ocupemos entonces la definición [6.5.1].

La idea es hacerlo con el uso de la función generadora de momentos, para establecer de una vez por todas a los demás momentos; sin embargo se dejará para más adelante.

[ ] ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

1

1

1

1( 1)

0

1( 1)

0

!! !

1 !1 ! !

1 !1 ! !

1 !1 ! ( 1) ( 1) !

1 !! ( 1) !

1

x n x x n x

x D x D

x n x

x D

x n x

x D

x n x

x D

ny n y

y

ny n y

y

n nE X x p q x p qx x n x

n nx p pq

x x n x

nnp p q

x n x

nnp p q

x n x

nnp p q

y n y

nnp p q np

y

− −

∈ ∈

− −

∈

− −

∈

− −

∈

−− +

=

−− −

=

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

−=

− −

−=

− −

−=

− − − −

−=

− −

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑

∑

∑

∑

∑

ote que no se cuenta, ya que el sumando generado para tal valor es 0, observe n 0x =

n−0 000 0n C p q⋅ = , entonces la sumatoria verdaderamente comienza desde 1x = , siendo

1y x= − o; decim s que si 1x = entonces 0y = , y además si , 1x n y n= = − e ahí los en los límites de la sumatoria. Observe también que a ó [3.3.3].

; dcambios l final se aplic

En conclusión, si ( ),X Bin n p∼ entonces

[ ]E X np= [7.2.3]

ompare con ejemplo 6.5.7. c


,2μYa que estamos aquí, calculemos de una vez .

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

, 2 22

1

1

1 1

1

!! !

1 !1 ! !

1 !1 1

1 ! !

1 ! 1 !1

1 ! ! 1 ! !

1 !1

1 ! ( 1) ( 1) !

x n x x n x

x D x D

x n x

x D

x n x

x D

x n x x n x

x D x D

x

n nx p q x p qx x n x

nnp x p q

x n x

nnp x p q

x n x

n nnp x p q p q

x n x x n x

nnp x p

x n x

μ − −

∈ ∈

− −

∈

− −

∈

− − − −

∈ ∈

−

⎛ ⎞= =⎜ ⎟ −⎝ ⎠

−=

− −

−= − +

− −

⎧ ⎫− −⎪ ⎪= − +⎨ ⎬− − − −⎪ ⎪⎩ ⎭

−= −

− − − −

∑ ∑

∑

∑

∑ ∑

( )( ) ( )

( )

[ ]

1

1 1

1 1( 1) ( 1)

0 0

1 !1 ! ( 1) ( 1) !

1 11

1 1

1 1

( 1) 1

n x

x D

x n x

x D

x n x x n x

x D x D

n ny n y y n y

y y

q

np q

x n x

n nnp x p q p q

x x

n nnp y p q p q

y y

np n p

−

∈

− −

∈

− − − −

∈ ∈

− −− − − −

= =

⎧⎪ +⎨⎪⎩

⎫− ⎪+ ⎬− − − − ⎪⎭⎧ − − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭⎧ − − ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= − +

∑

∑

∑ ∑

∑ ∑

cupando las mismas consideraciones para la deducción del valor esperado. Entonces de o

[6.5.7] obtenemos

[ ] [ ]{ } [ ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

22 2

2 2 2

( 1) 1

1

1

V X E X E X np n p np

np np p np np np np np

np p npq

⎡ ⎤= − = − + −⎣ ⎦

= − + − = − + −

= − =

2

por lo tanto

.2.4] [7 [ ] ( )1V X np p npq= − =

,2μsobra decir, que determinar resultó notablemente complicado.

ota: compare con el ejemplo 6.5.7.

Haremos una breve pausa en el desarrollo, para ejemplificar todo lo mencionado.

jemplo 7.2.1

lejandro es muy aficionado a las carreras de autos, y le interesa tener una perspectiva del desempeño que su escudería favorita logrará en la temporada que viene.

N E A


Para esto se le ocurrió, simplemente analizar la temporada anterior y considerar tales resultados como base. En dicha temporada su escudería llegó en alguno de los dos rimero

r el primer o segundo gar en, al

eros lugares

p s lugares durante 8 de las 15 carreras que hay. Ahora bien, en la siguiente temporada, se necesita consegui

menos 10 carreras para asegurar el campeonato.

la escudería logre alguno de los dos primexactamente en 10 carreras

nato

lu Determinemos así tres cosas:

a) la probabilidad de que

b) en 10 o más carreras c) de que no obtenga el campeo

Sea { }dos primeros lugares,delS = tercero al último lugar , definamos al evento

xitoé { }dos= primeros lugares , y al evento fracaso E { }del teF =

( )rcero al último lugar ,

entonces 8 15 0.533P E p= = = y ( ) 7 15 0.466P F q= = = .

r otro lado, como hay 15 carreras y en cada una puede ocurrir alguno de los dos eventos de , entonces el conjunto representa a todos los resultados posibles

la vad definida como:

PoS 15S

que puede tener la escudería en el campeonato. Definamos sobre 15S a nuestra variable aleatoria.

Sea 15:X S →R

el n bo en los 15 intentosX número de éxitos que hu= =

( ) { }15 0,1, 2, ,15X S = …con .

ente decimos que

Finalm ( )15,0.533X Bin∼ , y en consecuencia [7.2.1] es nuestra mf. Calculemos.

p

a) [ ] ( ) ( ) ( )10 15 1010;15,0.533 (15,10) 0.533 0.466 0.12375892b C −= = = 10P X =

b) [ ] ( )15

1010 ;15,0.533 0.22013508

xP X b x

=

≥ = =∑

c) [ ] ( )15

1010 1 ;15,0.533 1 0.22013508 0.77986492

xP X b x

=

< = − = − =∑

Ejemplo 7.2.2

e en , elaboremos la distribución con su respectiva Con bas ( )15,0.533X Bin∼

lcular [gráfica, además de ca ]E X y [ ]V X . Ya se tiene [ ] ( )10 0;15,0.533 0.12375892= =1P X b= , hagámoslo ahora para

2 carreras. 1


[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( )

12

12 3

12 12;15,0.533 (15,12) 0.533 0.466

455 0.533 0.466 0.02449156

P X b C= = =

= =

15 12−

de esta manera realizamos los cálculos faltantes, estableciendo la distribución:

[7.2.3] y [7.2.4] para conocer los valores de la esperanza y

rianz de la

Antes de graficar apliquemos x ( );15,0.533b x

0 0.0000108 va a variable aleatoria.

[ ]

1 0.0001859

( )[ ] ( ) ( )8 15 7 15 3.7333⋅ ⋅ =

Finalmente, la gráfica queda así:

jemplo 7.2.3

el ejemplo anterior, hagamos un estimado de la probabilidad de que la a éxito en un rango definido por

2 0.0014869 3 0.0073636 4 0.0252466 5 0.0634771 6 0.1209087 7 0.1776617 8 0.2030420 9 0.1804818 10 0.1237589 11 0.0642903 12 0.0244916 13 0.0064593 14 0.0010546 15 0.0000803

15 8 15 8E X np= = ⋅ =

15V X npq= =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

E Con los datos dscudería teng 1.5k =e desviaciones estándar con

respecto a la media, esto es [ ]1.5 1.5P Xμ σ μ σ− ≤ ≤ + . Determinemos el valor de la desviación estándar: 3.7333 1.9321836Xσ = =

v con la finalidad de conocer dicho

Ahora, sigue aplicar el teorema de Chebysheestimado.

( ) ( ) [ ]8 1.5 1.9321 8 1.5 1.9321 5.1017 10.8982P X P X− ≤ ≤ + = ≤ ≤⎡ ⎤

( )211 0.5555

1.5

⎣ ⎦

≥ − =

por lo tanto [ ]5.1017 10.8982 0.5555P X≤ ≤ ≥ .

ras palabras, existe al menos una probabilidad del de que la escudería nga éxito en una cantidad de carreras comprendida entre 6 y 10. Esto es, que si lejandro decide apostar que su escudería favorita ganará entre 6 y 10 carreras la

temporada que viene, estaría arriesgando en el peor de los casos lo que en un volado.

En ot 0.55

teA


Ejemplo 7.2.4 Calculemos los valores de la función [7.2.2] para ( )15,0.533X Bin∼ , su gráfica. Y con

los resultados previos, determinemos fundamento en

[ ]10P X ≤ , [ ]4 8P X≤ ≤ , [ ]11P X ≥ Bien, primero veamos la forma en que se calcula uno de los valores en forma

irecta, por ejemplo para .

ti gráfica quedan:

de [7.2.2]. Entonce s sc

d 7

( ) ( )7

7 ;15,0.533 0.39634118XF b y= =∑ 0y=

Así, la tabla con su respec va

( )XF x x0 0.0000108 1 0.0001967

Es claro que bien pudimos haber calculado a la función ocupando a la tabla del ejemplo 7.2.2, y acumular los datos, sin embargo es conveniente irse acostumbrando al uso

s, lo valores bu ados son: [ ] ( )10 0XF =10 .90362385≤ = P X

[ ] ( ) ( )4 8 8 3 0.59X XP X F F≤ ≤ = − = 938316 0.00904716 0.59033601− =

[ ] ( )11 1 10 1 0.90362385 0.09637615XF≥ = − = − = P X Ejemplo 7.2.5 Con el uso de [7.2.1], demostremos la siguiente fórmula de recursión.

( ) ( )( )1; , ; ,( 1)(1 )

n x pb x n p b x n px p

−+ =

+ −

2 0.0016836 3 0.0090472 4 0.0342937 5 0.0977708 6 0.2186794 7 0.3963412 8 0.5993832 9 0.7798649 1 0 0.9036238 11 0.9679142 12 0.9924058 13 0.9988651 14 0.9999197 15 1.0000000

0.000

0.200

0.400

0.600

1.000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0.800


Desarrollemos

( ) ( )

( ) ( )

( ); ,( 1) ( )! ! ( 1)(1 )

1 ( 1) !1; , ( , 1)( 1) !( 1)!

! !( )1 ! !( 1) 1 !( ) !( 1)

( ) ! ( )

x n x x n x

x n x x n x

x n x

n pb x n p C n x p q p qn x x q

n p n n x pp q pn x x x q n x n x x x qn x p n n x p

+ − + −

q

p q b x n px q n x x x p

− −

−

+ = + =− + +

−= =

− − + − − − +

− −

= =+ − + −

concluyendo con esto la demostración. Ejemplo 7.2.6

l ejemplo que mostraremos a continuación, hace uso en forma importante de la el gran alcance que puede tener la distribución.

llaremos una versión especial de un problema muy famoso llamado “La de Banach” (Stefan Banach fue un matemático polaco 1892-1945).

conti

ementa que estaba vacía).

Edistribución binomial; la idea es mostrar

Desarroaja de cerillosc

La idea es, imaginemos que una persona tiene dos cajas de cerillos, ambas con

misma cantidad ( n ); las mete, una en cada bolsillo y realiza el procedimiento descritolaa nuación:

• scoge en forma aleatoria un bolsillo, extrae la caja dentro de él y saca un Ecerillo, vuelve a meter la caja. Extiende el procedimiento hasta que se da cuenta de que la caja que desembolsó esta vacía (eso quiere decir que la caja que quedó vacía la des bolsó 1n + veces, n ocasiones por los cerillos dentro de ella y una extra en donde se dio cu

El objetivo es encontrar el promedio del número de cerillos restantes de la caja

que no quedó vacía, una vez terminado el procedimiento.

Sea R la vad que caracteriza al total de cerillos restantes, y entendamos por [ ]E R al promedio del número de cerillos restantes.

d de pasos requeridos para

finalizar el procedimiento (en nuestro caso sería la cantidad de veces que la persona desemb un

El valor de está definido por el número de ocasiones en que la persona desemb v

De igual forma asignemos por N a la cantida

olsó a caja de cerillos).

Nolsó la caja de cerillos que quedó acía ( 1n + ), más la cantidad de veces que

desembolsó a la otra caja, esto es, el total de cerillos que había dentro de ella n menos la cantidad de cerillos que quedaro ( ) ( ) R 1N n n R= + + −n dentro de ella , o sea , por lo tanto contamos con la relación:

R

2 1N n= +

−


Hay que observar que también N es una va ; basad terior y en propiedades de la esperanza te

d os en la relación annemos:

[ ] [ ] [ ]2 1 2 1E N E n R n E= + − = − R+

Por lo tanto [ ] [ ]2 1E R n E N= + − , con lo que ya podemos deducir claramente

ue nuestro objetivo se reduce a encontrar [ ]E Nq . Bien, para poder resolver el problema en forma, darem s antes un pequeño

emplo que ayude a que las ideas sean totalmente comprendidas; el concepto lo interpretaremos de dos maneras, gráficame

hora, al hecho de elegir una caja al azar y extraer un cerillde dos

a do un volado: sie la “caja a” será sol (S), y si el cerillo se extrajo de la “caja

a extracción de la “caja a” graficaremos y cada que se haga una

oej

nte y además como si fueran volados. Supongamos que tenemos dos cajas de cerillos cada una

con 3n = de ellos, llamémosle “caja a” y “caja b”. A o, será interpretado

el cerillo se extrajo b” será águila (A).

formas.

• primera será como si estuviéramos echanLd

• La segunda será como si estuviéramos graficando en una cuadrícula, cada que se aga unh →

extracción de la “caja b” graficaremos ↑ . La necesidad de considerar estos dos puntos de vista, es porque habrá de

comprenderse con el ejemplo del volado, que estamos trabajando con una distribución binomial, y la gráfica sirve para observar en todo momento el proceso de nuestro problema en cuestión.

Muy bien, seleccionemos al azar una caja y supongamos que ésta fue la “b”, saquemos a un cerillo de ahí. Nos damos cuenta que en la gráfica se generó ↑ y además en el volado cayó (A).


Supongamos ahora que nuestra caja seleccionada es la “a”, veamos que pasa.

Posterio

n est la “caja a” se term acer una siguiente extracción de demos que así era

proceso se termina hasta que hay

rmente, seleccionemos a la “caja a”, luego a la “b” y luego a la “a”:

E e punto sucede algo muy importante, los cerillos de

inaron, pero la persona aún no lo sabe, significa que tiene que h la “caja a” para que se dé cuenta que está vacía (no olvi

el procedimiento), por eso marcamos con líneas punteadas tal hecho. Entonces el 3 1 1n+ = + soles o en su defecto 1n + águilas.

Ya sabem ad de cerillos de la caja restante (en n s a 2 cerillos de ahí. Si asociam

Imaginemos que nuestra siguiente elección fue la “caja a”, en este momento

termina el procedimiento.

os en qué instante se detiene el proceso; luego, la cantiduestro caso la “b”) es 1, quiere decir que tomamo

os con el texto inicial nos damos cuenta de que 1R = y efectuamos

demos contar los pasos en total, que 3 1 2− = veces los pasos para “la caja b” (equivalente con la cantidad de A´s de

nuestra cadena). Juntando toda esta información pon R− =


serían

ente se alarga l pro os ni

inado el proceso).

stá v el proceso (ASSASAA), con:

¿Pero, qu

n:

Habría la posibilidad de ceso, ya sea ASSASAS o ASSA

1n + águilas ni 1n +

acío, entonces termina

2 1 2(3) 1 1 6N n R= + − = + − = que coincide con la cantidad de letras que tiene la cadena ASSASS.

é pasaría si en vez de haber escogido a la “caja a” seleccionamos al

bolsillo que contenía a la “caja b” y extraemos el cerillo?, gráficamente se tendría tal situació

e3Supongamos entonces que escogemos al bolsillo que tiene a la “caja b” y vemos que

obtener ASSASA pero no importa, solamSAA (nos damos cuenta de que aún no tenem

soles, consistente con que no haya term1+ =

e

0 y 2(3) 1 0 7R N= = + − =

dqui ero cuando en do e

tro e lta hacer una

desde

atooextracción más, ejemplo ASSASAA o AASSSAS; en el ejemplo N presenta valores

Hay un detalle que es necesario comentar, y es el rango de valores que puede . Para determinarlos analicemos las situaciones extremas, primpo solamente se selecciona un bolsillo, por ejemplo AAAA (o SSSS) y el o sería cuando ambas cajas ya quedaron vacías y sólo hace fa

rir Nl tiemxtrem

4 hasta 7, en otras palabras:

4 3 1 1 , 7 3 (3 1) ( 1) 2 1n n n n= + = + = + + = + + = +

Por lo que podemos afirmar que 1 2 1n N n+ ≤ ≤ + , y a este recorrido de valores le asignaremos la letra k

1, 2, 3, , 2 , 2 1n n n nk n= + + + +…


Una vez presentado este pequeño os continuar con la resolución del problema en genera l

e plo podeml, a idea es calcular

jem [ ]E N .

Para el cálculo de

[ ]E N primero necesitamos definir la pmf de la vad N. Sea [ ] kP N k p= = esto es, la probab d dilida e que el proceso finalice en el paso

1. ros , es e que tenemos

s pasos salió águila (A) y de igual forma en el paso ,

o tanto tenemos águilas.

étricos, así que sólo basta calcular la probabilidad de uno de ellos y después multiplicarla por dos.

s damos cuenta que hay soles en

k , y va a suceder cuando: En n de los prime 1− pasos salió sol (S) y de igual forma en el paso k

1 soles. k

cir n +d

2. En n de los primero 1k −1n +

kp r lo

Pero tanto 1 como 2 son procesos sim

Consideremos a la situación 1, no n 1k −

posiciones y la probabilidad de tener sol es 1 2 por lo que se presenta una distribución binomi

Situación por la cual queremos conocer

al cuya pmf es [7.2.1].

( ); 1,1 2b n k − , que es igual a:

( )( 1) ( 1) 11 1 11 1 1 1; 1,1 2

n k n k n kk k kb n k

n n1

2 2 2 2

n

n

− − + − − −− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

− = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

igualmente sa probabilidad es también

ero ahora falta que en el paso lga sol cuyak1 2

P, por lo que multiplicamos

( ) 1; 1,1 2 2b n k ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

c , así que multipliquemos ahora por dos

enseguida onsideraremos la situación 2

( ) 12 ; 1,1 2 2b n k ⎡ ⎤−⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

concluyendo que:

( )11 1; 1,1 2 para 1, 2, 3, , 2 , 2

2

k

kk

1p b n k k n n n n nn

−−⎛ ⎞⎛ ⎞= − = = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

… +

educir

[ ]E NPodríamos d mediante el uso de su definición, es decir

[ ] [ ]2 1 2 1

1 1

n n

kk n k n

E N kP N k kp+ +

= + = +

= = =∑ ∑


sin embargo resulta un desarrollo poco accesible algebraicame se prop mente, al menos no lo es tanto). Nota: se omitirán algunos pasos algebraicos, ya que se dejarán al lecto

Definamos un método recursivo ayudándonos del cociente, con la finalidad de

nte, debido a esta razón ondrá un método alternativo (aunque no deja de ser complejo lamentable

r.

establecer una relación entre las probabilidades consecutivas, esto es 1k kp p +

( )( )

11 1 !1 kk k−− −⎛ ⎞

( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

1! 1 !2 1

1 ! ! 1 ! 1 !2 2

! 1 ! 1 ! 1 !

2 para los valores de 1, 2, 3, , 2

k n k nnp

k k n k k n k nk k n k k k n

k nk n n n n

k

−

1 ! 21! !2

kk kp k

n k nn+

= = ⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎝ ⎠

⎜ ⎟ −⎝ ⎠⎝ ⎠− − − − − −

= =− − − − −

−= = + + + …

acomodando ; la idea es ahora escribir esta igualdad de tal forma

que aparezca el térm( ) 12k kkp k n p += −

ino ( )1 kk p 1++ debido a que ya contamos con y entonces sólo tendríamos que hacer la sumatoria, continuemos

kkp

( )

(

1222

k kkp k n p

k

+

) ( )1 1 1 1

1 1

2 2 21 2 1

k k k k

k k

kp np p pp n p

+ + + +

+ +

− + −

+ − +

= −

=

=

con lo que ya se consiguió lo buscado, en estos momentos habrá que aplicar la sumatoria, solamente aclaremos que en el momento de ocupar el proceso de recursividad fue necesario ajustar el último valor posible que puede adoptar la (que ahora es ) la razón es lógica, tenía que estar bien definido

k2n 1kp + , por lo que de igual

ma tendremos que hacer ciertos ajustes con la sumatoria. for

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 11 1

2 2 2

1 11 1

k1

2 1 2 1

2 1 2 1

n n

k k kk n k n

n n n

k kk n k n k n

kp k p n p

kp k p n p

+ += + = +

+ ++= + = + =

= + − +⎡ ⎤⎣ ⎦

= + − +

∑ ∑

∑ ∑ ∑

Ajustando los límites de la sumatoria para nuestra conveniencia

1n

+

+⎫⎬⎭

or lo tanto

( ) ( ) ( )

[ ] ( ) [ ] ( ) ( )( )

2 1 2 1 2 1

2 1 1 11 1

2 1 1 1

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2 1 1

n n n

k n k n kk n k n k n

n n n

kp n p kp n p n p p

E N n p E N n p n p

+ +

+ += + = + = +

+ + +

⎧ ⎫ ⎧− + = − + − + −⎨ ⎬ ⎨⎩ ⎭ ⎩⎡ ⎤− + = − + − + −⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

[ ] ( ) ( ) 2 12 1 2 1 nE N n n p += + − + p


pero 2

2 12 1

2

n

nn

pn+

⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

entonces

[ ] ( ) ( )22 12 1 2 1

2

nnE N n n

n⎛ ⎞⎛ ⎞= + − + ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

[ ] [ ]2 1E R n E N= + −recordando que sustituimos y simplificamos, por lo tanto:

[ ] ( )22 12 1

2

nnE R n

n⎛ ⎞⎛ ⎞ 1= + −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

la n . cual es la solu al; observemos que únicamente depende de

ción al problema origin

La tabla mostrada a continuación, presenta algunos valores de [ ]E R para pequeño.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50

n

n [ ]E R 0.5 0.87 1.18 1.46 1.70 1.93 2.14 2.33 2.52 2.70 7.03

Ejemplo 7.2.7

Como ya es de esperarse para el lector, la distribución bino al a dida que rece, se aproxim e a u s n m os curva normal;

p v s n e d fi ente antes mencionado.

e con las gráficas de secciones anteriores, específicamente hablando de

mi me n c

a lo

a unatiene

curva como

muy objeti

specio mo

l, la qtrar u

e máa secu

adelancia

te llae grá

aremcas quEste ejem

loe hagan evid

Compar

las secciones y ejemplos mencionados al principio de este capítulo.

Consideremos a la vad con distribución binomial ( ),0.5X Bin n∼ , donde su pmf es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ,0.5 ( , ) 0.5 1 0.5 ( , ) 0.5 0.5x n x x n xb x n C n x C n x− −= − =

( ) ( )( , ) 0.5 ( , ) 0.5x n x nC n x C n x+ −= =

si 0 , 2, ,,1x n= … .

Grafiquemos entonces a la pmf ) para cada valor de , y además calculem

Bien, supongamos que , entonces la vad es

( ) (; ,0.5 ( , ) 0.5 nb x n C n x=

os de paso [7.2.3] y [7.2.4]. 1, 2,3,4,5,10,20n =

1n = ( )1,0.5X Bin∼ y su pmf queda

la forma ) para ( );1,0.5 (1,b x C= () 0.5x 0,1x =de ; desar

rollemos:

( ) ( ) ( ) ( )0;1,0.5 (1,0) 0.5 0.5 y 1;1,0.5 (1,1) 0.5 0.5b C b C= = = =


y además [ ] [ ]1(0.5) 0.5 1(0.5)(0.5) 0.25E X np y V X npq= = = = = =

Muy bien, estos resultados los reuniremos en la primera de las siguientes tablas que mostraremos enseguida, ellas corresponden respectivamente a cada uno de los valores de n mencionados previamente.

x ( );1,0.5b x [ ]E X p= [ ]V X pq=

0 0.500 0.5 0.25 1 0.500

x ( );2,0.5b x [ ] 2E X p= [ ] 2V X pq=0 0.250 1 0.5 1 0.500 2 0.250

Ahora, basados en esta información grafiquemos:

1 2n n= =

x b x ( );3,0.5 [ ] 3E X p= [ ] 3pq=V X

0 0.125 1.5 0.75 1 0.375 2 0.375 3 0.125

[ ] x ( ); 4,0.5b x 4X p= [ ]E 4 pq=V X0 0.063 2 1 1 0.250 2 0.375 3 0.250 4 0.063

x b x ( );5,0.5 [ ] 5E X p= [ ] 5pq=V X

0 0.031 2.5 1.25 1 0.156 2 0.313 3 0.313 4 0.156 5 0.031

-1 0 1 2 -1 0 1 2 3


-1 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 4 5

3 4n n= =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 0 1 2 3 4 5 6

5 1n n= = 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

20n =

7.3. FGM DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL En la sección 6.8 hablamos de una función muy especial e importante, se señaló que brinda un método efectivo para calcular a los momentos ,

rμ con 1,2,3,4r = . Es tiempo de corroborarlo; recordemos que la fgm queda expresada como

( ) ( )expXm t E tX= ⎡ ⎤⎣ ⎦

y para conocerla, necesitamos a la pmf de la variable aleatoria en cuestión. En nuestro caso determinaremos m para cuando ( )X t ( ),X Bin n p∼ , y posteriormente seguiremos el camino que nos lleva a establecer a los cuatro momentos principales de la va.

Sea ( ),X Bin n p∼ , donde su correspondiente pmf es ( ); ,n pb x . Demostremos que la fgm de X está determinada por la fórmula:


( ) (1 )nt

Xm t p pe⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ [7.3.1]

Hagámoslo.

( )

( )0

0

(1 )

(1 )

(1 ) (1 )

ntX tx x n x

Xx

n xt n x

x

n nt t

nm t E e e p p

x

npe p

x

pe p p pe

−

=

−

=

⎛ ⎞⎡ ⎤= = −⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∑

∑

terminando así la demostración. No pierda de vista que se hizo uso muy fuerte del binomio de Newton, razón por la cual, la estructura de binomio a la potencia que tiene la fgm, de ahí el nombre de distribución binomial.

n

Sigamos. Nuestro siguiente paso será determinar a los cuatro momentos ,

rμ , con el uso de [7.3.1]. Recordemos que de hecho ya tenemos a los primeros dos, sin embargo volveremos a calcularlos para verificar la eficacia de la fgm, se deja al lector comparar resultados; específicamente hablamos de ,

1μ y ,2μ .

( ) { }[ ]

(1) 1 ((1),1 0

00

1 1 10 0

0

(1 ) (1 ) (1 )

(1 ) (1 ) 1

n nt tX t

tt

n n nt t

t

m t p pe n p pe p pe

npe p pe npe p pe np p p

np

μ−

===

− − −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + = − + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + = − + = − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

1)t

( ) { } { }{ } ( )

( ){ }[ ]

(2) (1)1(2),2 0

0 0

(1) (1)1 1

0

2 2 1

0

2

(1 ) (1 )

(1 ) (1 )

( 1) (1 ) (1 )

( 1) ( 1) 1

n nt t tX t

t t

n nt t t t

t

n nt t t

t

m t p pe npe p pe

npe p pe p pe npe

n pe n p pe npe p pe

np n np np n p

μ−

=

t

= =

− −

=

− −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + = − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − +⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + = − +

( ) ( ){ }( ) ( )

( )

(1)2 2 1(3),3 0

0

3 23 2

2 2 1

0

( 1) (1 ) (1 )

( 1)( 2) (1 ) 2 ( 1) (1 )

( 1) (1 ) (1 )

n nt t t tX t

t

n nt t t t

n nt t t t

t

m t n pe n p pe npe p pe

n n n pe p pe n n pe p pe

n n pe p pe npe p pe

μ− −

==

− −

− −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − − + + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + − − +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ − − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭


( ) ( )3 23 2

,3 1

0

3 2

2

( 1)( 2) (1 ) 3 ( 1) (1 )

(1 )

( 1)( 2) 3 ( 1)

( 1)( 2) 3( 1) 1

n nt t t t

nt t

t


npe p pe

n n n p n n p np

np n n p n p

μ

− −

−

=

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + − − +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪+ − +⎣ ⎦⎩ ⎭

= − − + − +

⎡ ⎤= − − + − +⎣ ⎦

( )

( ) ( )

( )( )( )

(4),4 0

(1)3 23 2

1

0

4 4

3 3

( 1)( 2) (1 ) 3 ( 1) (1 )

(1 )

( 1)( 2)( 3) (1 )

3 ( 1)( 2) (1 )

3 ( 1)( 2)

X t

n nt t t t

nt t

t

nt t

nt t

t

m t


npe p pe

n n n n pe p pe

n n n pe p pe

n n n pe

μ=

− −

−

=

−

−

= ⎡ ⎤⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − + + − − +⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎡ ⎤⎪ ⎪+ − +⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤− − − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ − − − +⎣ ⎦

+ − −=

( )( )

( )( )

3 3

2 2

2 2

1

0

4 4

3 3

(1 )

6 ( 1) (1 )

( 1) (1 )

(1 )

( 1)( 2)( 3) (1 )

6 ( 1)( 2) (1 )

7 (

nt

nt t

nt t

nt t

t

nt t

nt t

p pe

n n pe p pe

n n pe p pe

npe p pe

n n n n pe p pe

n n n pe p pe

n

−

−

−

−

=

−

−

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤− +⎪ ⎪⎣ ⎦⎨ ⎬

⎡ ⎤⎪ ⎪+ − − +⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤+ − − +⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤+ − +⎣ ⎦⎩ ⎭

⎡ ⎤− − − − +⎣ ⎦

⎡ ⎤= + − − − +⎣ ⎦

+ ( )

{ }

2 2 1

04 3 2

3 2

1) (1 ) (1 )

( 1)( 2)( 3) 6 ( 1)( 2) 7 ( 1)

( 1)( 2)( 3) 6( 1)( 2) 7( 1) 1

n nt t t t

tn pe p pe npe p pe

n n n n p n n n p n n p np

np n n n p n n p n p

− −

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

= − − − + − − + − +

= − − − + − − + − +

es decir

( )

( ) [ ]

( )

( ) { }

(1),1 0

(2),2 0

(3), 23 0

(4), 34 0

( 1) 1

( 1)( 2) 3( 1) 1

( 1)( 2)( 3) 6( 1)( 2) 7( 1) 1

X t

X t

X t

X t

m t np

m t np n p

m t np n n p n p

m t np n n n p n n p n p

μ

μ

μ

μ

=

=

=

=

= =⎡ ⎤⎣ ⎦

= = − +⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤= = − − + − +⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= = − − − + − − + −⎡ ⎤⎣ ⎦2 +


Apliquemos ahora [6.7.3]

( )2 1np pμ = −

[ ] ( )

[ ] ( ){ }{ }( ) ( )( ) ( )( )

, , 33 3 2

2 3

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

3 2

( 1)( 2) 3( 1) 1 3( ) ( 1) 1 2

( 1)( 2) 3( 1) 1 3 ( 1) 1 2

3 2 3 3 1 3 3 3 2

2 3 1 2 1 1 1 1 2

np n n p n p np np n p np

np n n p n p np n p np

np n p np p np p n p np np n p

np p p np p p np p p

μ μ μμ μ= − +

⎡ ⎤= − − + − + − − + +⎣ ⎦

= − − + − + − − + +

= − + + − + − + − +

= − + = − − = − −

{ }( ){ } ( ) [ ] ( )

, , 2 , 44 4 3 2

3 2

2 2

3 2

2

4 6 3

( 1)( 2)( 3) 6( 1)( 2) 7( 1) 1

4 ( 1)( 2) 3( 1) 1 6 ( 1) 1 3

( 1)( 2)( 3) 6( 1)( 2) 7( 1) 1

4 ( 1)( 2) 3( 1) 1 6

np n n n p n n p n p

np np n n p n p np np n p np

n n n p n n p n pnp

np n n p n p n

μ μ μμ μ μ μ= − + −

= − − − + − − + − +

⎡ ⎤− − − + − + + − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− − − + − − + − +⎣ ⎦=⎡ ⎤− − − + − + +⎣ ⎦ ( ) [ ] ( )

( ) [ ] ( )

2 3

3 3 2 3 3 3 2 2 2 2

2 2 2 2 2 3

3 3 2 3 3 3 2 2 2 2

3 3 2 3 3

( 1) 1 3

6 11 6 6 18 12 7 7 1

4 3 2 3 3 1 6 1 3

6 11 6 6 18 12 7 7 1

4 12 8 12

p n p np

n p n p np p n p np p np pnp

np n p np p np p np np p np

n p n p np p n p np p np p

np n p n p np

⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬

− + −⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫− + − + − + + − +⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎡ ⎤− − + + − + + − + −⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

− + − + − + + − +

= − + − −

{ }{ }{ }( )[ ]

2 2 2

3 3 2 3 2 2 3 3

3 2 3 2

2 2 3 2 2 3

2 2

12 4

6 6 6 3

3 6 3 6 12 7 1

3 3 3 3 6 1 6 6 6

3 (1 ) 3 (1 ) (1 ) 6 (1 ) 6 (1 )

1 3 (1 ) 1 6 (1 )

n p np np

n p n p n p n p

np np np np p p p

np np np np np p p p p p

np np p np p p p p p p

np p np p p p

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ −⎨ ⎬⎪ ⎪+ − + −⎪ ⎪⎩ ⎭

= − + − + − +

= − − + − + − + + −

= − − − + − + − − −

= − − + − −

4

)

es decir

( )( )( )( )[ ]

2

3

4

1

1 1 2

1 3 (1 ) 1 6 (1

np p

np p p

np p np p p p

μ

μ

μ

= −

= − −

= − − + − −

y finalmente apliquemos [6.7.4] para adimensionar


( )( )( )

( ) ( ) ( )3

3 322

1 1 2 1 21 1 1

np p p pnp p np p np p

μαμ

− − −= = =

− − −

( )( )[ ]

( )( )

( ) ( )

44 2 2

2

1 3 (1 ) 1 6 (1

1

3 (1 ) 1 6 (1 ) 1 6 (1 )31 1

np p np p p p

np p

np p p p p pnp p np p

μαμ

− − + − −= =

−

− + − − − −= = +

− −

)

En conclusión, tenemos al tercer y cuarto momentos centrales adimensionados.

[7.3.2] ( )3

1 21

pnp p

α −=

−

[7.3.3] ( )4

1 6 (1 )31p p

np pα − −

= +−

Ejemplo 7.3.1 A continuación presentaremos nuevamente varias gráficas, pero ahora con la finalidad de observar tanto la simetría como el aplastamiento que tienen. Se deja al lector hacer las comparaciones pertinentes respecto a los resultados. Consideremos a la vad binomial ( )20,X Bin p∼

0.1,p

, cuya pmf correspondiente es

, grafiquémosla para los valores de ( ;20,b x p) 0.25,0.5,0.75,0.9= , además para cada uno obtengamos [7.2.3], [7.2.4], [7.3.2] y [7.3.3] .

[ ] [ ] p E X V X 3 α 4α 0.1 2 1.8 0.596 3.26

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

[ ] [ ] p E X V X 3 α 4α 0.25 5 3.75 0.258 2.97


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

[ ] [ ]p E X V X 3 α 4α 0.5 10 5 0 2.9

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

[ ] [ ] p E X V X 3 α 4α

0.75 15 3.75 0.258 2.97 −

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

[ ] [ ]p E X V X 3 α 4α 0.9 18 1.8 0.596 3.26 −

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


7.4. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA Para comenzar a hablar de la distribución hipergeométrica, es necesario hacer antes una observación acerca de la distribución binomial, que tomaremos como punto de partida y de ahí establecer a la distribución hipergeométrica

Considérese el siguiente problema. Un equipo de biólogos, realiza un estudio

referente a distintos tipos de características que hay en dos manadas de lobos, los cuales viven en una región determinada. Ya se conoce el total de lobos existentes entre las dos manadas, tal número lo representaremos como 15N = ; donde en la manada A , hay

lobos, y en la manada 9k = B hay 15N k 9 6− = − = lobos.

Pensemos que inicialmente una tarea por parte de los biólogos, es estar al tanto si los lobos presentan algún tipo de enfermedad.

Para llevar a cabo esta tarea, deciden tomar una muestra de lobos de la

manera siguiente: sin distinción de la manada en la que se encuentren, seleccionan a un lobo aleatoriamente y lo revisan, lo dejan libre y tiempo después repiten el proceso, hasta llegar al total de las cinco repeticiones como se decidió previamente. Observe que si examinan a algún lobo, es posible que lo vuelvan a hacer posteriormente.

5n =

Nota: A este tipo de muestreo se le denomina muestreo con reemplazo, a saber,

los elementos de la población pueden ser seleccionados más de una vez, ya que son regresados antes de volver a hacer otra selección.

Ahora, por alguna razón, es necesario calcular la probabilidad de que se hayan seleccionado a lobos de la manada 3x = A , una vez terminadas las repeticiones. 5n =

Bien, primero calculemos la probabilidad de seleccionar a un lobo de la manada

A , la cual es 9 15p k N= = ; en consecuencia, la probabilidad de seleccionar a un lobo que no sea de la manada es: A

6115

k N kqN N

−= − = =

y como hay reemplazo, éstas probabilidades permanecen constantes en cada repetición, además, los eventos son independientes. En otras palabras, estamos hablando de un experimento binomial. Antes de hacer el cálculo, hagamos énfasis del resultado recién mencionado: en la distribución binomial, se supone que el muestreo se hace con reemplazo, asegurando independencia y la probabilidad constante. Entonces, la pmf que nos determina el valor buscado es

( ); ,x n xn k N kb x n k N

x N N

−⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

es decir ( )3;5,9 15 0.3456b = .


Muy bien, de aquí surge un cuestionamiento muy natural e importante: ¿qué pasaría si se realiza el muestreo sin reemplazo? Un ejemplo donde se aplique este tipo de muestreo podría ser, que los biólogos necesiten instalar localizadores a los lobos, ahí si resultaría absurdo seleccionar más de una vez a un lobo, ya que cada uno de los seleccionados debe de llevar únicamente un localizador. Justo aquí es donde surge la distribución hipergeométrica, la cual tiene como condición fundamental el muestreo sin reemplazo. Resolvamos entonces el problema para el caso del muestreo sin reemplazo. Uno podría pensar inicialmente que sigue siendo una distribución binomial, pero no es así, ya que una condición se ve afectada, y es que las probabilidades no son constantes en cada repetición, esto es, la probabilidad de seleccionar en la primer repetición a un lobo de la manada A es 1p k N= , y la probabilidad de seleccionar en la segunda repetición nuevamente a un lobo de la manada A es ( ) ( )2 1 1p k N= − − y así sucesivamente, llevándonos a que los eventos dejan de ser independientes. Entonces ¿qué hacemos? La idea es entender que a final de cuentas lo que necesitamos, es tener a tres lobos de la manada y a dos de la A B sin importar el orden de selección. Veamos, el total de formas de hacer grupos de tres en tres lobos de la manada sin importar el orden, considerando un total de

A9k = de los que se puede escoger, es

9

843

kx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

a su vez, el total de formas de agrupar de dos en dos lobos de la manada B , sin que importe el orden de selección, considerando un total de 6N k− = de los que se puede escoger, es

15 9 615

5 3 2N kn x− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

concluyendo que el total de grupos que se pueden formar de 5 lobos, en donde hay 3 de la manada A y 2 de la B , es

9 684 15 1260

3 2k N kx n x

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

Y en general, el total de grupos de 5n = lobos que se pueden formar con que hay, es

15N =

153003

5Nn

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


llevándonos, a que la probabilidad de haber seleccionado a 3x = lobos de la manada , una vez terminadas las repeticiones y sin que haya reemplazo, es A 5n =

1260 0.419583003

k N kx n x

Nn

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠ = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

valor claramente distinto al que calculamos inicialmente con la distribución binomial. Un comentario inicial muy importante, es que si hacemos crecer el tamaño de la población (provocando que la proporción entre el tamaño de la muestra y el de la población

N →∞n N sea cada vez más pequeña), se considera prácticamente lo mismo el

hecho de que haya reemplazo o no, razón por la cual se podría ocupar la distribución binomial con parámetros y n p k N= . Por otra parte, observemos que el valor de x , no es tan libre como uno creería. En caso de que la muestra sea de 11n = lobos, no podemos pedir que se seleccionen a

de la manada , sabiendo que solamente hay 10x = A 9k = ; igualmente, si la muestra sigue siendo , a pesar de que hay 5n = 9k = lobos de la manada A , el valor de x no podría ser , ya que en este caso el máximo valor posible de 8=x x es el tamaño de la muestra. Veamos esta situación en general. Si el tamaño de la muestra n es menor que , entonces el máximo valor posible de

kx es ; aparte, si kn n< , el máximo valor posible

de x es . En otra terminología, decimos que k ( ),mínx n k≤ . Por otro lado, si la cantidad de lobos de la manada B , supera al tamaño de la muestra, es posible que se hayan seleccionado solamente a lobos de la B , con lo que x puede valer cero, asimismo, si N k n− < , lo peor que puede pasar es que se hayan seleccionado a todos los de la B , y en consecuencia el resto de la selección serían necesariamente de la , esto es, que el mínimo valor posible de la A x en este caso es

; o en otras palabras, (n N k− − ) ( )( ) .máx 0,x n N k− −≥

En general, diremos que los valores de la x pertenecen al conjunto:

( ) ( ){ }: máx 0, ( ) mín ,D x n N k x n k= − − ≤ ≤ Bien, hasta este momento solamente hemos presentado ideas, sin embargo no se ha definido formalmente a la distribución hipergeométrica, hagámoslo. La distribución hipergeométrica, al igual que la binomial, tiene su origen en el estudio de experimentos que cumplen con ciertas suposiciones; en nuestro caso, las correspondientes son:

• La población o conjunto donde deba hacerse muestreo (sin reemplazo), consta de N individuos, objetos o elementos (población finita).


• Cada individuo puede ser caracterizado como un éxito E o fracaso F , y hay k éxitos en la población.

• Se saca una muestra de n individuos en forma tal que sea igualmente probable

que se seleccione cada subconjunto de tamaño n .

Bien, respecto a estas suposiciones, construyamos a la distribución.

Supongamos que A es un conjunto que tiene elementos, N A N= ; sea

tal que

E A⊆

E k= , por otro lado sea tal que F A⊆ F N k= − . Al evento E lo consideraremos evento éxito del experimento, y a su vez a se entenderá como evento fracaso. Nota: observe que {

F},E F es una partición de .A

De , consideremos a todos los subconjuntos que se pueden formar de tamaño

, y el conjunto de esos subconjuntos, será nuestro espacio muestra: A

n

( ){ }:S B A B n= ∈℘ =

Ahora, definamos a nuestra vad como sigue :X S → R

el número de elementos del conjunto que hay en el número de éxitos que hubo en la muestra de tamaño

X En

==

B

note que ambas definiciones son equivalentes.

Entonces, X recibe el nombre va hipergeométrica con parámetros , y ; la cual denotaremos como

N n k( ), ,X Hip N n k∼ .

Asimismo, los valores que puede adquirir X están determinados justamente por

sus parámetros: ( ) ( ) ( ){ }: máx 0, ( ) mín ,X S D x n N k x n k= = − − ≤ ≤ [7.4.1] Por otro lado, observe que está formado por subconjuntos de n elementos que se pueden extraer de un conjunto de elementos,

SN ( , )S C N n= .

Luego, sea x D∈ arbitrario, necesitamos contar la cantidad de elementos B del

espacio muestra que tienen exactamente S x elementos de , y además E n x− elementos de . F Bien, por un lado consideremos a todos los subconjuntos B E∩ de que tienen

Ex elementos, los cuales, forman una cantidad de subconjuntos. ( , )C k x

Por otro lado, tomemos en cuenta a todos los subconjuntos B F∩ de que tienen elementos, los cuales son

Fn x− ( ,C N k n x)− − .


Concluyendo, que la cantidad de elementos B S∈ que consisten de x elementos de E y de es . n x− F ( , ) ( , )C k x C N k n x⋅ − − Entonces, la pmf de la va X se expresa como:

[7.4.2] ( ) ( ); , ,X

k N kx n x

f x h x N n kNn

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

si x D∈ , y cero en caso contrario. Es posible comprobar que [7.4.2] cumple con [6.4.3], esto es:

[7.4.3] ( )

( )1. ; , , 0

2. ; , , 1x D

h x N n k x

h x N n k∈

≥ ∀

=∑R∈

) reafirmándonos que es efectivamente una pmf. ( ; , ,h x N n k Nuestro siguiente paso será determinar a la esperanza y la varianza de la va X ; en lo que respecta a la fgm, no la abordaremos, debido a que supera los alcances del texto. Bien, primero necesitaremos un pequeño resultado de combinatoria

[7.4.4] 11

N NNn nn

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

cuya justificación es

( )( )

( ) ( )11 !!1! ! 1 ! !

N NN NN Nn nn N n n n N n n

−−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−− − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Comencemos con el cálculo de la esperanza.

[ ] ( ) ( )

( )( ) ( )

!! !

; , ,

11 !1 ! ! 1

x D x D x D

x D x D

N kk N k kx k x n xx n x

E X xh x N n k x xN Nn n

N k k N kkx k x n x x n x

k kN Nn n

∈ ∈ ∈

∈ ∈

−− ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − −− ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− − −− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− − − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

∑ ∑


Apliquemos entonces [7.4.4], llegando a

[ ]

1 11 1

1 1x D x D

k N k k N k

1 1

x n x x n xnkE X kN NNN∈ ∈

− − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜− − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝= =

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞∑ ∑n n n

⎞⎟⎠

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

luego, haciendo los siguientes cambios de variable

1 11 1

M N r ks n y x= − = −= − = −

y considerando ( ) ( ){ }1 : máx 0, ( ) mín ,D y s M r y s r= − − ≤ ≤ , obtenemos

[ ] ( )1 1

; , ,y D y D

r M ry s ynk nk nkE X h y M s r

MN Ns

∈ ∈

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠= =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ N=

que precisamente es el primer momento de la va ( ), ,X Hip N n k∼

[ ] nkE XN

= [7.4.5]

Calculemos ahora el segundo momento, pero antes veamos la siguiente igualdad

que resulta de [7.4.4], y se aplicará en el transcurso del proceso.

11

k kx k

x x−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ [7.4.6]

Desarrollemos.

( )2 2 2; , ,11

x D x D x D

k N k k N kx

x n x x n xE X x h x N n k x x

N NNn n n

∈ ∈ ∈

− −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎡ ⎤ = = =⎣ ⎦ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

aplicando [7.4.6] escribimos

2

1 11 1

1 11 1

x D x D

k N k k N kk

x n x x n xnkE X x xN NNN

n n n∈ ∈

− − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜− − − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎡ ⎤ = =⎣ ⎦ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

⎞⎟⎠


y nuevamente hacemos el cambio de variables

1 11 1

M N r ks n y x= − = −

− = −

=llegamos a

( )

( ) ( ) [ ]

1

1

2

11

111

1 ; , , 1

x D y D

y D

k N k r M rx n x y s ynk nkE X x y

N MN Nn s

nk nky h y M s r E YN N

∈ ∈

∈

− − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜− − −⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝⎡ ⎤ = = +⎣ ⎦ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + = +

∑ ∑

∑

⎞⎟⎠

)

siendo la pmf de ( ; , ,h y M s r ( ), ,Y Hip M s r∼ . En este momento recordemos [6.5.5] para poder aplicarlo, y notemos que por [7.4.5] se tiene

[ ] ( )( )1 11

n ksrE YM N

− −= =

−

es decir

[ ] [ ]{ } ( )( )2 1 11 1

1n knk nk nkE X E Y E Y

N N N N− −

1⎧ ⎫⎡ ⎤ = + = + = +⎨ ⎬⎣ ⎦ −⎩ ⎭

y finalmente, por [6.5.7] escribimos

[ ] ( )( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( )

( )( )

2

2

2

1 1 1 11 1

1 1

1 1 1 11

1

1 1

n k n knk nk nk nkV XN N N N N N

N n k N N nk NnkN N N

nk nkN nN kN N N N nkN nkN N N

N N n k N n nk N k Nnk N nN kN nk nkN N N N N N

− − − −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎛ ⎞= + − = + −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟− −⎝ ⎠⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎧ ⎫− − + − − −⎪ ⎪= ⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫− − + + − − +⎪ ⎪= ⎨ ⎬−⎪ ⎪⎩ ⎭⎧ ⎫ ⎧ ⎫− − − − −− − +⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬− −⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

( )( )2 1

nN N −

concluyendo que, para ( , , )X Hip N n k∼ , la varianza es:

[7.4.7] [ ] ( )( )( )2 1

nk N k N nV X

N N− −

=−


Ya es tiempo de hacer algunos ejemplos. Ejemplo 7.4.1 En una urna o recipiente hay un total de 20N = objetos, entre los cuales hay una cantidad de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna 7k = 5n = objetos al azar, y sin reemplazo.

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 objetos defectuosos? b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo 4 objetos defectuosos? c) ¿Probabilidad de obtener 3 objetos defectuosos pero con reemplazo?

Es claro que estamos hablando de la va ( )20,5,7X Hip∼ , entonces su pmf es

( )

7 20 75

;20,5,7205

x xh x

−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⎝ ⎠=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

por lo tanto

a) [ ] ( ) (7,3) (13,2) 35 783 3;20,5,7 0.17608(20,5) 15504

C CP X hC

⋅ ⋅= = = = =

b) [ ] ( )4

04 3;20,5,7 0.9986

xP X h

=

≤ = =∑c) Ahora ( )5,7 20 , entonces X Bin∼ ( )3;5,7 20 0.181146b =

Ejemplo 7.4.2 Después de unas elecciones para presidente de sociedad de alumnos, Raquel obtuvo el triunfo; su equipo consiste de tres alumnos que estuvieron con ella en las elecciones del año anterior, y dos que son nuevos integrantes (lógicamente los del año anterior tienen mayor experiencia). Raquel tiene la obligación de ser equitativa al momento de formar comisiones para su equipo, debido a eso, selecciona aleatoriamente al número de personas que necesita. Sin embargo le gustaría que, entre los seleccionados, se encuentren los de mayor experiencia. Por ejemplo, de su equipo necesita a tres (que busquen patrocinadores para un congreso), entonces los selecciona aleatoriamente. ¿Cuál sería la probabilidad de que dos de los tres seleccionados sean los de mayor experiencia?

Primero, establezcamos la terminología necesaria.

La cantidad de integrantes del equipo, es 5N = ; los de mayor experiencia, que son , se denotarán como 3k = { }1 2 3, ,E e e e= , y los dos nuevos como { }1 2,F f f= .


Ahora, Raquel selecciona aleatoriamente a 3n = integrantes de su equipo, y de esos tres, se busca la probabilidad de que 2x = de ellos pertenezcan al conjunto . E

Bien, como se trata de un muestreo sin reemplazo, estamos trabajando entonces

con una va hipergeométrica ( )5, ,3X Hip n∼ para 3n = ; así, la probabilidad buscada es:

[ ] ( ) (3,2) (2,1) 3 2 62 2;5,3,3(5,3) 10 10

C CP X hC

⋅ ⋅= = = = =

entonces hasta cierto punto, es conveniente formar comisiones de tres integrantes. Pero aún así no se tiene la certeza suficiente, debido a esa razón Raquel decide crear una tabla que tenga todas las opciones posibles respecto al número de integrantes seleccionados (tamaño de la muestra) y a la cantidad de alumnos con experiencia que se encuentran en la selección (número de éxitos); bien, analicemos con mayor profundidad el caso . Hagámoslo por medio de una tabla. 3n =

En la siguiente tabla, se presentan todas las opciones en que se pueden formar comisiones de tres integrantes del equipo (las cuales son 10). La columna del extremo derecho tiene el valor de la x correspondiente a cada comisión; note que hay justamente 6 comisiones donde , resultado equivalente a la probabilidad recién calculada. 2x =

3n = # 1e 2e 3e 1f f 2 x 1 3 2 2 3 2 4 2 5 2 6 1 7 2 8 2 9 1 10 1

Observe también que inclusive con la misma tabla ya podemos decir: [7.4.8] ( ) ( ) ( )1;5,3,3 3 10 2;5,3,3 6 10 3;5,3,3 1 10h h h= = = los cuales son todos los valores posibles para cuando 3n = .

Luego, regresando a la tabla que Raquel decidió hacer, notemos que aún nos faltan más valores para , y además, tomemos en cuenta que cada valor de la n x depende en nuestro caso de la en consideración. Entonces, nos concentraremos en identificar los valores posibles de la

nx para cada . n

Veamos, ocupando [7.4.1] obtenemos los datos buscados. Observe:


( )máx 0, 2n ( )mín ,3n −n x 1 0 1 0,1 2 0 2 0,1,23 1 3 1,2,34 2 3 2,3 5 3 3 3

que justamente son los valores buscados. Por ejemplo, para 2n = se tiene 0,1,2.x =

De esta manera, ya podemos calcular ( );5, ,3h x n para 2n = y . 0,1, 2x =

( ) ( ) ( )0;5, 2,3 1 10 1;5, 2,3 6 10 2;5, 2,3 3 10h h h= = = [7.4.9] Finalmente de [7.4.8] y [7.4.9], llegamos a la tabla buscada. x

n0 1 2 3

1

Concluyendo que a Raquel, le conviene formar comisiones de mínimo tres integrantes, para garantizar que por lo menos uno con experiencia la conforme.

Nota: el cálculo del resto de las probabilidades se deja al lector. Ejemplo 7.4.3 Hagamos una comparación numérica, entre la distribución hipergeométrica y la binomial. La idea es verificar que los valores son muy parecidos a medida que crece, y el cociente

Nn N disminuye. Ya se mencionó, que la distribución hipergeométrica bajo

estas condiciones se le aproxima a la binomial con parámetros n y p k N= . Inicialmente, escribamos a [7.4.2] de manera alternativa (pero equivalente). Sea p k N= , entonces k ; ahora, sustituyamos en Np= k [7.4.2] obteniendo

( ) ( ) ( )( )

, ,,X

C Np x C N Np n xf x

C N n⋅ − −

=

es decir, que la pmf de la va hipergeométrica, puede ser escrita además con los parámetros ( ) ( ); , ,Xf x h x N n p= .

25 3

5 0 0 2 1

106

103

10 0 3 0 3

106

10110

4 0 0 35 2

5 5 0 0 0 1


Por otro lado, hay un resultado que justifica específicamente tal aproximación: [7.4.10] ( ) ( )lim ; , , ; ,

Nh x N n p b x n p

→∞=

No demostraremos [7.4.10], sin embargo sí presentaremos una aproximación

numérica. Entonces, calculemos ( ); ,5,0.1h x N para cada valor de x posible y a su vez hagamos crecer a . 50,100,150N = , 200,250,500

x ( ) ( );100, 5, 0.1 ( );150, 5, 0.1 ( ); 200, 5, 0.1h x ( ); 250, 5, 0.1h x ( ); 500, 5, 0.1h x ( ); 5, 0.1; 50, 5, 0.h x 1 h x h x b x

0 0.576639 0.583752 0.586038 0.587166 0.587838 0.589171 0.5904901 0.351609 0.339391 0.335518 0.333617 0.332487 0.330253 0.3280502 0.066973 0.070219 0.071171 0.071624 0.071889 0.072404 0.0729003 0.004673 0.006384 0.006957 0.007243 0.007415 0.007758 0.0081004 0.000106 0.000251 0.000311 0.000344 0.000364 0.000406 0.0004505 0.000000 0.000003 0.000005 0.000006 0.000007 0.000008 0.000010

Observe por ejemplo que, para 2x = , la pmf hipergeométrica se le aproxima a la binomial , a medida que crece. ( ) (2; ,5,0.1 2;5,0.1h N b≈ ) N 7.5. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Para el caso de distribución binomial negativa, mencionemos las condiciones a cumplir por los experimentos que le dan origen.

• El experimento consiste en una secuela de n intentos independientes. Aquí n no se fija antes del experimento.

• Los intentos son idénticos, y cada uno de ellos puede resultar en uno de dos

posibles resultados, éxito E o fracaso F .

• La probabilidad de éxito es constante de un intento a otro, y vale ( ) . P E p=

• El experimento continúa (los intentos se ejecutan) hasta que un total de k éxitos se haya observado, donde k es un entero positivo especificado.

Advierta la semejanza existente entre estas condiciones con las de la binomial;

básicamente son lo mismo salvo un detalle. En la distribución binomial, n se fija antes del experimento y se observa el número de éxitos. Aquí es lo contrario, el número de éxitos se establece previamente, y se continúa el número de intentos hasta lograr los éxitos.

k

Bien, ya tenemos las condiciones que dan origen a la distribución binomial negativa, veamos entonces la forma en que se construye.


Primero que todo, definamos otra va , con la finalidad de ocuparla como puente para la definición de la va

NX (binomial negativa).

Sea el número de intentos necesarios para observar k éxitos, es decir

, donde puede tomar los valores N =

nN n= , 1, 2, 3,k k k k+ + + … Por ejemplo, si la cantidad de éxitos vale 3k = y en todos los intentos salió éxito

, entonces EEE 3n k= = . Pero si hay un fracaso , quiere decir que la cantidad de intentos fue

, ,FEEE EFEE EEFE4n = ; asimismo, si hay dos fracasos antes de llegar al

tercer éxito: , , , , ,FFEEE FEFEE FEEFE EFFEE EFEFE EEFFE

indica que fueron necesarios 5n = intentos para satisfacer las condiciones. En otras palabras y así sucesivamente. Nota: observe que el último intento es un éxito.

, 1, 2n k k k= + +

Lo que nos lleva a la definición de otra variable aleatoria, precisamente la que se refiere al número de fracasos.

Sea X =número de fracasos que preceden al ésimok − éxito. La variable aleatoria X se llama binomial negativa, donde sus valores posibles son 0,1,2,3,X = …

De esta manera es clara la relación entre ambas variables , por lo tanto ya podemos buscar la pmf de la va y en consecuencia tendremos la de

N X k= +N X .

Hagámoslo. Sabemos que necesariamente el último intento es un éxito, porque

ahí justamente es donde se completa la cantidad de éxitos requerida, es decir, hay 1k − éxitos previamente, y en consecuencia se hicieron 1n − intentos antes del último E .

Entonces, la probabilidad de tener 1k − éxitos en 1n − intentos, se calcula con la

pmf de la distribución binomial:

( ) ( ) ( )1 11 11 11; 1,

1 1n kk kn n

b k n p p q p qk k

− − − n k− − −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Luego, la probabilidad de tener éxitos en intentos, con el último siendo éxito, es:

k n

( ) [ ] ( ) ( ) 11 11; 1,

1 1k n k k n

Nn n kf n P N n b k n p P E p q p p qk k

− − −− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − − ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠

es decir

( ) ( )1

; ,1

k n kN

nf n pa n k p p q

k−−⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟−⎝ ⎠ [7.5.1]

proporcionándonos la pmf de la va . Nota: la expresión N [7.5.1] es la función de probabilidad de lo que se conoce como la distribución de Pascal. Ahora, haciendo uso de N X k= + , determinemos ( )Xf x .


Veamos.

( ) [ ] [ ] [ ]

( ) ( )11

1

X

x k kkN

k x

1

f x P X x P X k x k P N x k

x kf x k p q

k

x k

+ −

= = = + = + = = +

+ −⎛ ⎞= + = ⎜ ⎟−⎝ ⎠

+ −⎛ ⎞ p qk

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

llegando así a nuestro objetivo. Escribiremos ( ) ( ); ,Xf x nb x k p= para hacer hincapié, de que se trata de la pmf de la va binomial negativa con parámetros k y p , los cual se expresa como ( ),X Nbin k p∼ .

En conclusión, diremos que si ( ),X Nbin k p∼ entonces la pmf inducida por X es:

[7.5.2] ( ) ( )0,1, 2,3,1

1 si1, 2,3,; , 1

0 en caso contrario

k x xk xp p

knb x k p k=⎧ + −⎛ ⎞

−⎪⎜ ⎟ == −⎨⎝ ⎠⎪⎩

……

Observe un detalle; X es una va discreta, pero a diferencia de las dos variables anteriores, la imagen de X es un conjunto infinito numerable, es decir 0,1,2,3,X = … Llevándonos a que se debe cumplir [6.9.3], para comprobar que efectivamente [7.5.2] sea una pmf. Bien, nos concentraremos en tal asunto.

Evidentemente ( ); , 0nb x k p ≥ x∀ ∈R , por simple definición; entonces veamos lo que ocurre para el inciso dos de [6.9.3].

Inicialmente, hagamos mención de un resultado de cálculo bastante útil; lo

ocuparemos aquí y además en la determinación de la función generadora de momentos. El resultado es conocido como la serie binomial; una especie de binomio de

Newton pero considera exponentes negativos y fraccionarios. Dice así. Si , y además n∈R 1 1y− < < se tiene:

[7.5.3] ( ) ( ) ( )( )2 31 1 21 1

2! 3!n n n n n n

y ny y y− − −

+ = + + + +

lo cual podemos tomar como fórmula, ya que no corresponde justificarlo.

Entonces, valiéndonos de [7.5.3] demostremos que . Observe: ( )0

; , 1x

nb x k p∞

=

=∑


( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0 0 0

2 3

1 1 !; , 1 1

1 1 ! !

1 1 21 1 1 1

2! 3!

k x k x

x x x

k

k x k xnb x k p p p p p

k k x

k k k k kp k p p p

∞ ∞ ∞

= = =

+ − + −⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

+ + +⎡ ⎤= + − + − + − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

luego, a cada sumando lo modificamos de tal manera que la igualdad se conserve, y a su vez escribimos una expresión similar a [7.5.3]:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )2 31 1 21 1 1 1

2! 3!k k k k k k

p k p p p− − − − − − − −⎡ ⎤

+ − − + − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

finalmente, sea 1y p= − , y apliquemos n = −k

k

[7.5.3]:

( ) ( )0

; , 1 1 1kk k

x

nb x k p p p p p∞ − −

=

= + − = =⎡ ⎤⎣ ⎦∑

que precisamente es lo buscado. Nota: al ocurrir 1 1p 0− < − < , se cumple , hipótesis necesaria para la veracidad del resultado. Por lo tanto, queda comprobado que

1 1y− < <

[7.5.2] satisface las condiciones [6.9.3]. Muy bien, ya definimos a la va binomial negativa y sus parámetros, encontramos su correspondiente pmf y comprobamos que cumple con las condiciones necesarias para llamarse así.

Nuestro siguiente paso, será establecer la función generadora de momentos de la variable aleatoria, y deducir en base a ella a los cuatro momentos.

Sea ( , )X Nbin k p∼ , donde su correspondiente pmf es [7.5.2]. Demostremos que la fgm de X está determinada por la fórmula:

( )1 (1 )

k

X kt

pm tp e

=⎡ ⎤− −⎣ ⎦

[7.5.4]

Veamos.

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )

0 0

0

2 3

1 11 (1 )

1 1

1 !(1 )

1 ! !

1 1 21 (1 ) (1 ) (1 )

2! 3!

xtX tx k x k tX

x x

xk t

x

k t t t

k x k xm t E e e p p p p e

k k

k xp p e

k x

k k k k kp k p e p e p e

∞ ∞

= =

∞

=

+ − + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ − ⎡ ⎤= −⎣ ⎦−

+ + +⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + − + − +⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

∑ ∑

∑


es decir:

( )( ) ( )( )

( )( )( )

2

3

11 ( 1) ( 1)

2!1 2

( 1)3!

t t

kX

t

k kk p e p e

m t pk k k

p e

− − −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − + −⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪= ⎨ ⎬− − − − −⎪ ⎪⎡ ⎤+ − +⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

Ahora, consideremos t lo suficientemente pequeño 0t ≈ , de tal manera que el valor sea aproximadamente igual a uno te 1te ≈ , y en consecuencia ( 1) t 1p e p− ≈ − .

En otras palabras, es posible tomar ( 1) ty p e= − para valores y asegurar al mismo tiempo que se satisface

0t ≈1 1y− < < , permitiéndonos aplicar [7.5.3] con . n k= −

( ) 1 ( 1)kk t

Xm t p p e−

⎡ ⎤∴ = + −⎣ ⎦

justificando finalmente [7.5.4]. Bien, antes de comenzar con ejemplos, deduzcamos a los cuatro momentos ,

rμ .

( ) { }(1) 1 ((1),1 0

00

1

10

1 (1 ) 1 (1 ) 1 (1 )

(1 ) (1 )(1 ) 1 (1 )

k kk t k t tX t

ttkkk t t

kt

m t p p e kp p e p e

k p p k pk p p e p epp

μ− − −

===

− −

+=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − − = − − − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −⎡ ⎤= − − − = =⎣ ⎦

1)

( ) { } { }{ }

(2) (1)1(2),2 0

0 0

2 12 2

0

2 2

2 1 2

1 (1 ) (1 ) 1 (1 )

( 1)(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 )

( 1)(1 ) (1 ) ( 1)(1 ) (1 )

(

k kk t k t tX t

t t

k kk t t k t t

tk k

k k

m t p p e k p p e p e

k k p p e p e k p p e p e

k k p p k p p k k p k ppp p p

k k

μ− −

== =

− − − −

=

+ +

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − − = − − −⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − − + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

+ − − + − −= + = +

=

−

[ ]2

2 2

(1 ) ( 1)(1 )1)(1 ) (1 ) k p k p pp kp pp p

− + − ++ − + −=

{ }(1)2 1, 2 23

0

33 3

22 2

22 2

( 1)(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 )

( 1)( 2)(1 ) 1 (1 )

2 ( 1)(1 ) 1 (1 )

( 1)(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1

k kk t t k t t

t

kk t t

kk t t

kk t t k t


k k k p p e p e

k k p p e p e

k k p p e p e k p p e p

μ− − − −

=

− −

− −

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − − − + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦

⎡ ⎤= + + − − −⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + − − − + − − −⎣ ⎦1

0)

kt

te

− −

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤

⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭


33 3

,3 2 12 2

0

3 2

3 2

2

( 1)( 2)(1 ) 1 (1 )

3 ( 1)(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 )

( 1)( 2)(1 ) 3 ( 1)(1 ) (1 )

(1 ) ( 1)( 2)(1 ) 3 ( 1)(1 )

kk t t

k kk t t k t t

t

k k k p p e p e


k k k p k k p k ppp p

k p k k p p k p

μ

− −

− − − −

=

⎧ ⎫⎡ ⎤+ + − − −⎪ ⎪⎣ ⎦= ⎨ ⎬⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪+ + − − − + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

+ + − + − −= + +

− + + − + + −=

2

3

p

p

⎡ ⎤+⎣ ⎦

( )

(1)33 3

2(4), 2 24 0

1

0

44 4

( 1)( 2)(1 ) 1 (1 )

3 ( 1)(1 ) 1 (1 )

(1 ) 1 (1 )

( 1)( 2)( 3)(1 ) 1 (1 )

3 ( 1)(

kk t t

kk t tX t

kk t t

t

kk t t

k k k p p e p e

m t k k p p e p e

k p p e p e

k k k k p p e p e

k k k

μ

− −

− −

=

− −

=

− −

⎧ ⎫⎡ ⎤+ + − − −⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤= = + + − − −⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤+ − − −⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

⎡ ⎤+ + + − − −⎣ ⎦

+ +

=

33 3

33 3

22 2

2 12 2

0

2)(1 ) 1 (1 )

3 ( 1)( 2)(1 ) 1 (1 )

6 ( 1)(1 ) 1 (1 )

( 1)(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 )

kk t t

kk t t

kk t t

k kk t t k t t

t

p p e p e

k k k p p e p e

k k p p e p e


− −

− −

− −

− − − −

=

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⎡ ⎤⎪ ⎪+ − − −⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤+ + + − − −⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − − − + − − −⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭44 4

33 3

2 12 2

0

4

4

( 1)( 2)( 3)(1 ) 1 (1 )

6 ( 1)( 2)(1 ) 1 (1 )

7 ( 1)(1 ) 1 (1 ) (1 ) 1 (1 )

( 1)( 2)( 3)(1 ) 6 (

kk t t

kk t t

k kk t t k t t

t

k k k k p p e p e

k k k p p e p e


k k k k p kp

− −

− −

− − − −

=

⎧ ⎫⎡ ⎤+ + + − − −⎪ ⎪⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤= + + + − − −⎨ ⎬⎣ ⎦⎪ ⎪⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − − − + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭

+ + + −= +

3 2

3 2

3 2

2 3

4

1)( 2)(1 ) 7 ( 1)(1 ) (1 )

( 1)( 2)( 3)(1 ) 6 ( 1)( 2)(1 )(1 )

7 ( 1)(1 )

k k p k k p k ppp p

k k k p p k k pk p

p k p pp

+ + − + − −+ +

⎡ ⎤+ + + − + + + −− ⎢ ⎥

⎢ ⎥+ + − +⎣ ⎦=

es decir:

( ) (1),1 0

(1 )X t

k pm tp

μ=

−= =⎡ ⎤⎣ ⎦


( ) [ ]

( )

( )

(2),2 20

2 2(3),

3 30

3 2

2 3(4),

4 40

(1 ) ( 1)(1 )

(1 ) ( 1)( 2)(1 ) 3 ( 1)(1 )

( 1)( 2)( 3)(1 ) 6 ( 1)( 2)(1 )(1 )

7 ( 1)(1 )

X t

X t

X t

k p k p pm t

p

k p k k p p k p pm t

p

k k k p p k k pk p

p k p pm t

p

μ

μ

μ

=

=

=

− + − += =⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤− + + − + + − +⎣ ⎦= =⎡ ⎤⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + − + + + −− ⎢ ⎥

⎢ ⎥+ + − +⎣ ⎦= =⎡ ⎤⎣ ⎦


[ ]

[ ] [ ]

2 2, 2

2 2 2 2

2 2

(1 ) ( 1)(1 ) (1 )

(1 ) ( 1)(1 ) (1 ) (1 ) (1 )( 1 ) (1 )

k p k p p k pp p

k p k p p k p k p p k k p k pp p

μ μ μ− + − + −

= − = −

− + − + − − − − + − + −= = 2p

=

[ ]

[ ]

, , 33 3 2

2 2

3

3

2

2 2

2 2

3

2 2

3 2

(1 ) ( 1)( 2)(1 ) 3 ( 1)(1 )

(1 ) ( 1)(1 )(1 ) (1 )3 2

( 1)( 2)(1 ) 3 ( 1)(1 )(1 )

3 (1 ) ( 1)(1 ) 2 (1 )

(1 )(1 )

k p k k p p k p p

p

k p k p pk p k pp pp

k k p p k p pk p

k p k p p k p

p

k pk p

μ μ μμ μ= − +

⎡ ⎤− + + − + + − +⎣ ⎦=

− + − + ⎛ ⎞− −− + ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎡ ⎤+ + − + + − +⎢ ⎥−⎢ ⎥− − + − + + −⎣ ⎦=

−−

=

2 2

2 2 2 2 2

3

2 2

3

2 2 2

3 3

3 (1 ) 2(1 ) 3 (1 ) 3 (1 )

3 (1 ) 3 (1 ) 3 (1 ) 2 (1 )

(1 ) 2(1 ) 3 (1 )

(1 ) 2 4 2 3 3 (1 )(2 )

k p p kp p p p p

k p k p kp p k pp

k p p p p p

p

k p p p p p p k p pp p

⎡ ⎤+ − + − + − + − +⎢ ⎥⎢ ⎥− − − − − − + −⎣ ⎦

⎡ ⎤− − + − +⎣ ⎦=

⎡ ⎤− − + + − + − −⎣ ⎦= =

2

, , 2 , 4

4 4 3 2

3 2

2 3

4

4 6 3

( 1)( 2)( 3)(1 ) 6 ( 1)( 2)(1 )(1 )

7 ( 1)(1 )

k k k p p k k pk p

p k p pp

μ μ μμ μ μ μ= − + −

⎡ ⎤+ + + − + + + −− ⎢ ⎥

⎢ ⎥+ + − +⎣ ⎦=


[ ]

2 2 2 2

4

3 3 4 4

4 4

3 2

2 3

4

3 2

4 (1 ) ( 1)( 2)(1 ) 3 ( 1)(1 )

6 (1 ) ( 1)(1 ) 3 (1 )

( 1)( 2)( 3)(1 ) 6 ( 1)( 2)(1 )(1 )

7 ( 1)(1 )

(1 ) 4 ( 1)( 2)(1 ) 12 ( 1)(1 )

k p k k p p k p p

p

k p k p p k pp p

k k k p p k k pk p

p k p pp

k p k k k p kp k p

⎡ ⎤− + + − + + − +⎣ ⎦−

− + − + −+ −

⎡ ⎤+ + + − + + + −− ⎢ ⎥

⎢ ⎥+ + − +⎣ ⎦=

− + + − + + − +−

2

4

2 3 2 2 4 4

4 4

3 2

2 3

3 2

2 3 2 2

4 (1 )

(1 ) 6 ( 1)(1 ) 6 (1 ) 3 (1 )

( 1)( 2)( 3)(1 ) 6 ( 1)( 2)(1 )

7 ( 1)(1 )

(1 ) 4 ( 1)( 2)(1 ) 12 ( 1)(1 ) 4 (1 )

6 ( 1)(1 ) 6 (1 )

kp p

p

k p k k p k p p k pp p

k k k p p k k p

p k p p

k p k k k p kp k p kp p

k k p k p p

⎡ ⎤−⎣ ⎦

⎡ ⎤− + − + − −⎣ ⎦+ −

+ + + − + + + −

+ + − +

− − + + − − + − − −

+ + − + −

=

2

3 3

4

2

4

3 (1 )

(1 ) 3 (1 ) 6 6

k p

p

k p k p p p

p

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤− − + − +⎣ ⎦=

es decir:

2 2

3 3

2

4 4

(1 )

(1 )(2 )

(1 ) 3 (1 ) 6 6

k pp

k p pp

k p k p p p

p

μ

μ

μ

−=

− −=

⎡ ⎤− − + − +⎣ ⎦=


( )

333

3 3 3 32 22

2

(1 )(2 )(1 )(2 ) 2

(1 )(1 ) (1 )(1 )

k p pp k p p pp

k pp k p k pk pp

μαμ

− −− − −

= = = =−− −⎛ ⎞−

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠


( )

2

4 24

44 2 2 4 2 2

22

2 2

(1 ) 3 (1 ) 6 6(1 ) 3 (1 ) 6 6

(1 )(1 )

3 (1 ) 6 6 6 63(1 ) (1 )

k p k p p pp k p k p p pp

p k pk pp

k p p p p pk p k p

μαμ

⎡ ⎤− − + − +⎣ ⎦⎡ ⎤− − + − +⎣ ⎦= = =

−⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

− + − + − += = +

− −

En conclusión, si ( ),X Nbin k p∼ entonces:

[7.5.5] [ ] ( )1k pE X

p−

=

[7.5.6] [ ] ( )2

1k pV X

p−

=

[7.5.7] ( )3

21

pk p

α −=

−

[7.5.8] ( )

2

46 63

1p pk p

α − += +

−

Observe que la varianza siempre será más grande que la esperanza, así como la distribución presenta un sesgo positivo y es leptocúrtica, ya que 3 0α > y 4 3α > todo el tiempo. Ejemplo 7.5.1 Suponga que se realiza una sucesión de lanzamientos independientes con una moneda, para la cual la probabilidad de obtener un sol en cualquiera de los lanzamientos es 1 30 .

a) ¿Cuál es el número esperado de águilas que se obtendrán antes de que se hayan obtenido cinco soles?

b) ¿Cuál es la varianza del número de águilas que se obtendrán antes de que se

hayan obtenido cinco soles?

c) ¿Cuál es el número esperado de lanzamientos que se necesitarán para obtener cinco soles?

Observe que el ejemplo tiene las características de una distribución binomial

negativa, en este caso hablamos de la va ( )5,1 30X Nbin∼ .


Por lo tanto:

a) [ ] ( ) ( )1 5 1 1 30145

1 30k p

E Xp− −

= = =

b) [ ] ( ) ( )( )2 2

1 5 1 1 304350

1 30k p

V Xp− −

= = =

c) [ ] [ ] [ ]5 5 150E N E X E X= + = + = Ejemplo 7.5.2 Existe una relación entre la pmf de la distribución binomial y su similar para la distribución binomial negativa. Tal relación ya se esperaba desde el momento que fue necesaria la pmf binomial para la definición de [7.5.2]. Demostremos que:

( ) ( ); , ; ,knb x k p b k x k px k

= ++

en efecto

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

; , 1 1

! 11 1

! ! 1 ! !

11 ;

1

k x k k k x

k x k x

k x

x k x kb k x k p p p p p

k k

x k x kx k !

,

p p pk x k k x

x kx k x k

p

p p nb x kkk k

+ −+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + −+

= − = ⋅−

+ −⎛ ⎞+ += ⋅ − = ⋅⎜ ⎟−⎝ ⎠

p

−

justificando así la igualdad. Ejemplo 7.5.3 Supongamos que en una tienda departamental, existen dos marcas del mismo producto, llámense y A B . Basados en datos anteriores, el departamento de inventario, calculó que la probabilidad de que un cliente adquiera la marca es 0.25. Si sabemos que únicamente quedan cinco productos de la marca en el mostrador.

AA

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan tres unidades de la marca B antes de

que la marca A se termine? b) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de cuatro productos de la marca

B antes de que se agoten los de la A ? c) ¿Cuántos productos de la marca B son recomendables poner en el mostrador,

para que al agotarse la marca A lo mismo haya ocurrido con los de la B ?

Inicialmente, observe que estamos trabajando con ( )5,0.25X Nbin∼ ; resolvamos:


a) [ ] ( ) ( ) ( )5 373 3;5,0.25 0.25 0.75 0.01441956

4P X nb ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

b) [ ] ( )4

0

4 1 ;5,0.25 0.95107269x

P X nb x=

> = − =∑c) [ ] ( )5 0.75 0.25 15E X = ⋅ = , lo cual tiene mucho sentido, ya que si hay 20

unidades en total, una cuarta parte son los cinco de la A y las tres cuartas partes restantes son los 15 de la B

Ejemplo 7.5.4 Para comparar con los resultados teóricos, grafiquemos ( ); ,0.25nb x k con el valor de

, y al mismo tiempo calculemos los cuatro momentos principales. 2,3, 4,5k =

k [ ] [ ]E X V X 3 α 4α 2 6 24 1.4288 6.0416

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

[ ] [ ]E X V X 3 α k 4α 3 9 36 1.1666 5.0277

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

k [ ]E X [ ] V X 3α 4α

4 12 48 1.0103 4.5208


s aleatorios independientes durante un periodo de tiem o fijo (o en una región fija del espacio). Esto es, estudia el número de veces que ocurre

parámetro que especificaremos más adelante y, con eso, alcular la probabilidad de vender . Permitiéndole tener un estimado de la

arios es serie de eventos aleatorios independientes, y nos interesa el número de veces que

ocurre. Y así, la variable aleatoria que se encarga de tal hecho, se define como:

se de

s aleatorios independientes durante un periodo de tiem o fijo (o en una región fija del espacio). Esto es, estudia el número de veces que ocurre

parámetro que especificaremos más adelante y, con eso, alcular la probabilidad de vender . Permitiéndole tener un estimado de la

arios es serie de eventos aleatorios independientes, y nos interesa el número de veces que

ocurre. Y así, la variable aleatoria que se encarga de tal hecho, se define como:

se de

0.10

0.12

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 15 16 17 19 20 21 22 24 25

1 18 23

k [ ]E X [ ] V X 3α 4α 5 15 60 0.9036 4.2166

7.6. DISTRIBUCIÓN DE POISSON Es otra de las distribuciones discretas importantes; el objetivo primordial de su creación, es el estudio de la ocurrencia de evento

7.6. DISTRIBUCIÓN DE POISSON Es otra de las distribuciones discretas importantes; el objetivo primordial de su creación, es el estudio de la ocurrencia de evento

ppun fenómeno en un tiempo dado. Por ejemplo, si un promotor de seguros se interesa por la cantidad que venderá al

día, podría valerse de un

un fenómeno en un tiempo dado. Por ejemplo, si un promotor de seguros se interesa por la cantidad que venderá al

día, podría valerse de uncc 0,1,2,3,…0,1,2,3,…cantidad que se venderán. En este ejemplo podemos ver más claramente el objeto de estudio; si pensamos que la ocurrencia de un evento es vender un seguro, podemos notar que vender v

cantidad que se venderán. En este ejemplo podemos ver más claramente el objeto de estudio; si pensamos que la ocurrencia de un evento es vender un seguro, podemos notar que vender vunauna

número de eventos independientes que ocu en duranteX =número de eventos independientes que ocu en duranteX = rr un periodo de tiempo fijo rr un periodo de tiempo fijo

y y nomina va de Poisson cuyo parámetro es nomina va de Poisson cuyo parámetro es λ ; es decir ( )X Poi λ∼ .

El parámetro λ , es el número promedio de ocurrencias del evento aleatorio por unidad de tiempo; sin embargo no es la única interpretación que se le da, también se entiende como la cantidad esperada de éxitos en intentos, o bien, como la densidad de puntos aleatorios sobre el eje horizontal de tiempos.

n

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25


Muy bien, al momento de ahondarnos en los ejercicios correspondientes a esta sección, se tendrá una mejor idea de lo que estudia la distribución de Poisson. Así que nos concentraremos en determinar la pmf de .X Existe una manera directa de llegar a la pmf, sin embargo no la abordaremos debido a que el material necesario para demostrarla escapa del texto. Haremos uso de la distribución binomial entonces. La distribución de Poisson ofrece una aproximación excelente a la función de probabilidad binomial cuando p es pequeño y grande, por tal motivo justificaremos este hecho y de paso encontraremos a la pmf de nuestro interés.

n

Sea ( ),X Bin n p∼ , donde su correspondiente pmf es:

( ) ( ); , 1x n xnb x n p p p

x−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

para 0,1,2,3,...,x n= , y cero en caso contrario. Supongamos que dado la relación

1,2,3,4,n = …p nλ= es cierta para alguna constante 0λ > .

Entonces, bajo estas condiciones se tiene que:

[7.6.1] ( )0

lim ; ,!

x

pn

eb x n px

λλ−

→→∞

=

donde . Demostremos. 2.71828182846e ≈ Primero que todo desarrollemos un poco a:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )( )

( 1) 2 1!; , 1 1! ! !( 1)( 2) ( 1) 1

!( 1)( 2) ( 1) 1

!

11 2 1! 1

11 2 11 1 1 1! 1

x n x x n x

x n xx

xn x

x

nx

x

nx

x

n n n n xnb x n p p p p px n x xn n n n x np p

n xn n n n x p

xnpn n n n x

n n n n x p

pxn n n x p

λ

λ

λ

− −

−

−

− − − += − =

−

− − − += −

− − − += −

−− − − +=

−

−−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ −

−

de esta manera tenemos: ( )( )

( )

1 2 11 1 1 1; , 1

!1

xn

x

xn n nb x n p p

xpλ

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −

−


Por otro lado, ocupando estos dos resultados de cálculo elemental

( ) [ ]1lim 1 y lim ( ) lim ( )nz

z x a x az e f x f x

→∞ → →

n⎡ ⎤+ = = ⎦ ⎣

y observando que

( ) ( ) ( )1 11 1 1npn pp p p p λ− −− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

podemos ver lo que ocurre con ( )1 np− en caso de que p sea muy pequeño , considerando :

0p →z p= −

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1

0 0 0 0lim 1 lim 1 lim 1 lim 1n p p z

p p p zp p p z

λ λλe λ

− −−− −

→ → → →

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤− = − = − = + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦−

y lo mismo podemos hacer para el resto de las componentes de ( ); ,b x n p , es decir:

( )0

1 2 1lim 1 1 1 1 1 y lim 1 1x

n p

x pn n n→∞ →

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − = − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Por lo tanto, se concluye que:

( )( )

( )0 0

1 2 11 1 1 1lim ; , lim 1

!1

11 ! !

xn

xp pn n

x x

xn n nb x n p p

xp

eex x

λλ

λ

λ λ

→ →→∞ →∞

−−

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠= −

−

= =

con y 0,1,2,x = … npλ = justificando de esta manera la igualdad. Bien, basándonos en [7.6.1] ya podemos mencionar el resultado. Si ( )X Poi λ∼ , entonces su pmf correspondiente es:

( )0,1,2,

si; 0!

0 en caso contrario

x xepoi x x

λλλ λ

−⎧ =⎪= >⎨⎪⎩

… [7.6.2]

Así, nuestro siguiente paso será comprobar que [7.6.2] es efectivamente una pmf pues cumple con [6.9.3]. Evidentemente por definición se tiene que ( ); 0poi x λ ≥ x∀ ∈R . Probemos que la suma sobre todos los valores de x es igual a uno.


Para lograrlo, necesitamos nuevamente hacer mención de un resultado de cálculo que es válido ∀ ∈ : y R

[7.6.3] 2 3

0

1! 2! 3!

xy

x

y y ye yx

∞

=

= = + + + +∑

entonces

( )2 3

0 0 0; 1

! ! 2! 3!

x x

x x x

epoi x e e e ex x

λλ λ λλ λ λ λλ λ

−∞ ∞ ∞− − −

= = =

⎛ ⎞1λ= = = + + + + = ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ =

corroborando que [7.6.2] es una pmf. Continuando con el desarrollo, es tiempo de establecer a la fgm y con base en ella deducir los cuatro momentos.

Sea ( )X Poi λ∼ , donde su correspondiente pmf es [7.6.2]. Demostremos que la fgm de X está determinada por la fórmula:

[7.6.4] ( ) ( 1)teXm t eλ −=

Veamos.

( )0 0

( )! ! 0 !

x tx x t xtX tx

Xx x x

e em t E e e e e ex x x

λλ λλ λ λ−∞ ∞ ∞

− −

= = =

⎡ ⎤= = = =⎣ ⎦ ∑ ∑ ∑

hagamos ty eλ= y apliquemos [7.6.3]:

( ) ( 1)

0 0

( )! !

t tt x x

y eX

x x

e ym t e e e e e e ex x

λ λ λ λ λλ∞ ∞− − − −

= =

eλ −∴ = = = = =∑ ∑

justificando [7.6.4]. Calculemos ( ) ( ),

0

rr X t

m tμ=

= ⎡ ⎤⎣ ⎦ para 1,2,3,4r = .

( ) ( ) ( )(1)1 1(1),

1 00 0

t te etX t

t t

m t e e eλ λ

μ λ λ− −

== =

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = =⎡ ⎤ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦

⎩ ⎭ ⎩ ⎭=

1

0

te

t

λ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )(2) (1)1 1 1(2), 2 2

2 00 0

2

t t te e et t tX t

t t

m t e e e e e e eλ λ λ λ

μ λ λ

λ λ

− − −

== =

−

=

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = = = +⎡ ⎤ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎣ ⎦

⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

= +


( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(1)1 1(3), 2 2

3 00

1 1 13 3 2 2 2 2

0

1 1 13 3 2 2

0

3 2

2

3

3

t t

t t t t

t t t

e et tX t

t

e e e et t t t

t

e e et t t

t

m t e e e e

e e e e e e e e

e e e e e e

λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

μ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ

− −

==

− − − 1−

=

− − −

=

⎧ ⎫= = +⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦

⎩ ⎭

⎧ ⎫= + + +⎨ ⎬⎩ ⎭

⎧ ⎫= + +⎨ ⎬⎩ ⎭

= + +

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(1)1 1 1(4), 3 3 2 2

4 00

1 14 4 3 3

1 13 3 2 2

1 12 2

0

1 1 14 4 3 3 2 2

3

3

3 6

6 7

t t t

t t

t t

t t

t t t

e e et t tX t

t

e et t

e et t

e et t

t

e e et t t t

m t e e e e e e

e e e e

e e e e

e e e e

e e e e e e e

λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ λ

μ λ λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ λ λ

− − −

==

− −

− −

− −

=

− − −

⎧ ⎫= = + +⎡ ⎤ ⎨ ⎬⎣ ⎦

⎩ ⎭

⎧ ⎫+⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪= + +⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪+ +⎪ ⎪⎩ ⎭

= + + +( )1

04 3 26 7

te

t

eλ

λ λ λ λ

−

=

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

= + + +

es decir:

( )

( )

( )

( )

(1),1 0

(2), 22 0

(3), 3 23 0

(4), 4 34 0

3

6 7

X t

X t

X t

X t

m t

m t

m t

m t

μ λ

μ λ λ

μ λ λ2

λ

μ λ λ λ

=

=

=

=

= =⎡ ⎤⎣ ⎦

= = +⎡ ⎤⎣ ⎦

= = + +⎡ ⎤⎣ ⎦

= = + +⎡ ⎤⎣ ⎦ λ+


, 2 2 22 2μ μ μ λ λ λ= − = + − = λ

( ), , 3 3 2 23 3 2

3 2 3 2

3 2 3 3 2

3 3 3 3

3μ μ μμ μ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

= − + = + + − + +

= + + − − =

( ) ( ), , 2 , 4

4 4 3 2

4 3 2 3 2 2 2

4 6 3

6 7 4 3 6 3

μ μ μμ μ μ μ4λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

= − + −

= + + + − + + + + −


4 3 2 4 3 2 4 34

2

2 6 7 4 12 4 6 6

3

μ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ

= − + + + − − − + +

= +

es decir:

22 3 4 3μ λ μ λ μ λ= = = λ+


( ) ( )3

3 3 32 22

1μ λ λαλ λ λμ λ

= = = =

( )

24

4 2 22

3 13μ λ λαλμ λ

+= = = +

En conclusión, si ( )X Poi λ∼ entonces: [7.6.5] [ ]E X λ= [7.6.6] [ ]V X λ=

[7.6.7] 31αλ

=

[7.6.8] 413αλ

= +

Ejemplo 7.6.1 Una compañía que se dedica a la venta de servidores para red, está interesada en hacer un análisis de la exigencia que pueda tener su servidor durante 24 horas; para esto, la compañía se propuso instalarlo en una escuela, y ponerlo a prueba. Existe la sospecha de que si se registra el número de llamadas entrantes por minuto, se describa una distribución muy aproximada a la de Poisson, para algún determinado λ . Por lo tanto se obtiene una muestra del número de llamadas por minuto que entran, durante cada uno de los 1440 minutos en cuestión. Bien, supongamos que x representa el número de llamadas que entraron por minuto, y f el total de minutos en los que entraron x llamadas, entonces los resultados fueron:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

f 71 214 324 322 242 144 73 31 13 4 1 0 0 1


Ahora, ya que se tienen los datos, el siguiente paso, es verificar si efectivamente la exigencia del servidor obedece una distribución de Poisson, para esto, determinemos λ (promedio de ocurrencias del evento aleatorio por unidad de tiempo), con la finalidad de contar con un resultado teórico como punto de referencia para comparar.

x f f x f⋅ 0 71 0.04931 0.00000 1 214 0.14861 0.14861 2 324 0.22500 0.45000 3 322 0.22361 0.67083 4 242 0.16806 0.67222 5 144 0.10000 0.50000 6 73 0.05069 0.30417 7 31 0.02153 0.15069 8 13 0.00903 0.07222 9 4 0.00278 0.02500

10 1 0.00069 0.00694 11 0 0.00000 0.00000 12 0 0.00000 0.00000 13 1 0.00069 0.00903 1440 3.00972

Por lo tanto . Y entonces, la variable aleatoria de nuestro interés se define como:

3.00972xfλ = =∑

número de llamadas por minutoX =

en otras palabras, en caso de existir una distribución muy aproximada a la obtenida en la muestra (si las sospechas son fundamentadas), tendría que ser . Y con esto ya podemos ocupar

(3.00972X Poi∼ )[7.6.2] para comparar con los datos iniciales.

Por ejemplo, la probabilidad de que en un minuto determinado entren 4 llamadas es:

( )3.00972 43.009724;3.00972 0.16857

4!epoi−

= =

que sería el resultado teórico, comparable con la frecuencia relativa correspondiente a

, o sea , observando que 4x = (4) 0.16806f = ( )(4) 4;3.00972f poi≈ . Entonces, ya que existen ciertas evidencias de que sí es posible describir con la distribución de Poisson al número de llamadas entrantes; comparemos el resto de los datos para tener mayor certeza.

f En la siguiente tabla compare la columna de ( );3.00972poi x con la de , para cada valor de x correspondiente.


( concluyendo finalmente que efectivamente, la distribución generada por la exigencia del servidor, Si describe una distribución de Poisson para 3.00972λ = . Si observamos detenidamente, estamos diciendo que la distribución de Poisson se define mediante un parámetro que por sí mismo es la media de distribución. Debido a esto [7.6.5]. Ejemplo 7.6.2 En una tienda departamental, se observó que la llegada de clientes sigue la distribución de Poisson y, además, el promedio de clientes por minuto es de 2λ = . Determinar la probabilidad de que:

a) En un tiempo determinado (5 minutos), lleguen a la tienda 12 clientes b) En un minuto determinado lleguen a lo más tres clientes

c) En un minuto determinado lleguen al menos cuatro clientes

Resolvámoslo:

a) También se considera a λ , como una especie de rapidez constante por unidad de

tiempo, razón por la cual el promedio será en mismo en cada minuto durante los cinco minutos, llevándonos a que debemos ocupar 2 5 10tλ ⋅ = ⋅

( )

= en la pmf:

10 121012;10 0.0947812!

epoi−

= =

[

b) ] ( ) ( ) ( ) ( )3 0;2 1;2 2;2 3;2 .85712P X poi poi poi poi≤ = + + + =

[

0 c) ] [ ]4 1 3P X P X≥ = − ≤ = 0.14288

x f ); 3.00972poi x

0 0.04931 0.04931 1 0.14861 0.14840 2 0.22500 0.22331 3 0.22361 0.22404 4 0.16806 0.16857 5 0.10000 0.10147 6 0.05069 0.05090 7 0.02153 0.02189 8 0.00903 0.00823 9 0.00278 0.00275

10 0.00069 0.00083 11 0.00000 0.00023 12 0.00000 0.00006 13 0.00069 0.00001


Ejemplo 7.6.3 En una gasolinera, la llegada de vehículos sigue la distribución de Poisson de parámetro

1.6λ = . Calculemos la probabilidad de los siguientes eventos:

a) Que el número de vehículos que lleguen a la gasolinera sea superior a tres b) Que el número de vehículos esté comprendido entre dos y cinco

c) Que no llegue vehículo

d) Que llegue algún vehículo

Solución:

a) [ ] [ ] ( )3

03 1 3 1 ;1.6 0.07881

xP X P X poi x

=

> = − ≤ = − =∑

b) [ ] ( )5

22 5 ;1.6 0.46903

xP X poi x

=

≤ ≤ = =∑c) [ ] ( ) 1.60 0;1.6 0.2019P X poi e−= = = = d) [ ] [ ]1 1 0 0.7981P X P X≥ = − = =

Ejemplo 7.6.4 Fernando, desarrolló un programa que genera “ceros” y “unos” de manera aleatoria, con probabilidad de generar “unos”. Si el programa genera un total de cien mil cifras ¿cuál es la probabilidad de que se presenten en la lista trescientos veinticuatro “unos”?

0.005p =

Notablemente se trata de una distribución binomial, siendo y

, pero definitivamente no es práctico resolver el problema con [7.2.1], así que es mejor aprovechar

100000n =0.005p =

[7.6.1] para tener una excelente aproximación del resultado. Sea 100000 0.005 500npλ = = ⋅ = , entonces

[ ] ( )324 324;500 9.107415 18P X poi Ε= = = − a manera de comparación calculemos ( )324;100000,0.005 7.807969 18b Ε= − . Ejemplo 7.6.5 En una población, se sabe que el 1. de las personas tienen determinada enfermedad. Si escogemos aleatoriamente a 200 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que 4 tengan la enfermedad?

5%


Consideremos 200 0.015 3λ = ⋅ = , entonces la probabilidad buscada es

[ ] ( )4 4;3 0.168031P X poi= = = Ejemplo 7.6.6 En la siguiente tabla, presentamos una evidencia numérica de [7.6.1]. Advierta la aproximación cada vez mayor entre las columnas de en medio con la última, para cada valor de x correspondiente.

( )00, 0.03 ( ); 200, 0.015b x;1b x ( ); 500, 0.006b x (x );1000, 0.003b x ( ); 3poi x 0 0.0475525 0.0486683 0.0493392 0.0495631 0.0497871 1 0.1470696 0.1482283 0.1489111 0.1491367 0.1493612 2 0.2251530 0.2245997 0.2242655 0.2241537 0.2240418 3 0.2274741 0.2257398 0.2247167 0.2243786 0.2240418 4 0.1706056 0.1693049 0.1685376 0.1682839 0.1680314 5 0.1013081 0.1010673 0.1009191 0.1008691 0.1008188 6 0.0496096 0.0500206 0.0502565 0.0503334 0.0504094 7 0.0206037 0.0211109 0.0214085 0.0215065 0.0216040 8 0.0074078 0.0077559 0.0079636 0.0080326 0.0081015 9 0.0023420 0.0025197 0.0026278 0.0026641 0.0027005

10 0.0006591 0.0007329 0.0007788 0.0007944 0.0008102 11 0.0001668 0.0001928 0.0002094 0.0002151 0.0002210

rafiquemos a [7.6.2] para

Ejemplo 7.6.7 G 2,3,5,7λ = . A continuación se muestran las características

de forma que tiene cada una.

[ ] [ ] E X V X 3 4 α αλ 2 2 2 0.7071 3.5

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

[ ] [ ]E X V X 3 4 α αλ 3 3 3 0.5774 3.33


0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

[ ] [ ]E X V X 3 4 α αλ 5 5 5 0.4472 3.2

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

[ ] [ ]E X V X 3 4 α αλ 7 7 7 0.3780 3.143

.7. DISTRIBUCIÓN NORMAL

.7. DISTRIBUCIÓN NORMAL

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

77 En este momento, ya discutimos las distribuciones discretas de probabilidad más conocidas. Hablemos entonces, de una de las distribuciones continuas de probabilidad más im ortantes, la distribución normal.

En este momento, ya discutimos las distribuciones discretas de probabilidad más conocidas. Hablemos entonces, de una de las distribuciones continuas de probabilidad más im ortantes, la distribución normal. pp

Muchas variables aleatorias que aparecen en distintos ramos de la ciencia se

distribuyen normalmente, además variables discretas y continuas que no son normales, se pueden aproximar mediante la distribución normal; fue descubierta por Abraham DeMoivre (1667-1754), como una forma límite de la función de probabilidad binomial,

perfeccionada posteriormente por el matemático alemán Karl F. Gauss (1777-1855).

Muchas variables aleatorias que aparecen en distintos ramos de la ciencia se

distribuyen normalmente, además variables discretas y continuas que no son normales, se pueden aproximar mediante la distribución normal; fue descubierta por Abraham DeMoivre (1667-1754), como una forma límite de la función de probabilidad binomial,

perfeccionada posteriormente por el matemático alemán Karl F. Gauss (1777-1855). y y


Debido a estas razones, es imprescindible discutir las propiedades que tiene. Lo haremos a manera no tan formal, ya que los temas requeridos para la justificación de los resultados, escapan del texto.

En los ejemplos 7.2.7 y 7.3.1, se mostró evidencia de ciertos comportamientos que tiene la distribución binomial, a medida que crece; existe un resultado teórico justificando tal comportamiento (se hará mención de él más adelante).

n

Así que, teniendo presentes los comentarios anteriores, procedamos a definir

formalmente la distribución normal. Se dice que una variable aleatoria X se encuentra normalmente distribuida si su

función de densidad de probabilidad (pmf) está dada por:

[7.7.1] ( )21 1exp

22Xxf x xμσπσ

⎡ ⎤−⎛ ⎞= − ∀⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

R∈

donde los parámetros μ y σ son a su vez, la media y desviación estándar de X .

En adelante, nos referiremos a la distribución de X en función de su media y varianza ( 2,X N )μ σ∼ , y a la pmf en función de sus parámetros ( ) ( ; ,Xf x nor x )μ σ= .

Bien, como ya se esperaba, la gráfica correspondiente de ( ); ,nor x μ σ es:

indicándonos, que al variar la media por ejemplo 1,0,1μ = − la gráfica se traslada; y si modificamos la varianza, la curva normal se “aplasta”:

Por otro lado, es posible demostrar que [7.7.1] es efectivamente una pmf; en este caso, por tratarse de una vac se debe cumplir [6.10.2]:


( )2

1. ; , 0

1 12. exp 122

nor x x

x dx

μ σ

μσπσ

∞

−∞

≥ ∀ ∈

⎡ ⎤−⎛ ⎞− =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

R

[7.7.2]

donde el inciso 2, también se puede interpretar como que el área bajo la curva normal siempre será igual a uno, propiedad fundamental de la curva normal. Y lo que concierne a la función generadora de momentos, únicamente haremos mención de ella por obvias razones. Si ( 2,X N )μ σ∼ , entonces la fgm correspondiente es:

( ) ( )2

exp2Xt

m t tσ

μ⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

[7.7.3]

de donde se pueden obtener los cuatro momentos importantes (entre otras cosas). Veamos cuáles son. Ya sabemos que [ ]E X μ= y [ ] 2V X σ= , entonces, los dos restantes se mencionen en el siguiente resultado. Si ( 2,X N )μ σ∼ se tiene:

3 0 y 4 3α α= = [7.7.4] lo cual nos dice otra propiedad de suma importancia, y es que al valer 3 0α = para cualesquiera valores de μ y σ , se dice que la curva normal es simétrica, con μ el eje de simetría; en consecuencia el área bajo la curva normal desde −∞ a μ es , y de igual forma el área desde

0.5μ a +∞ .

Por lo tanto, la curva normal tiene muchas propiedades, dos de las cuales se ven claras en la siguiente figura. Bien, como es de suponerse, los cálculos para las probabilidades de eventos resultan complicados (ver [6.10.1]). Ya que se debería resolver una integral para cada valor propuesto. Por ejemplo, si por alguna razón trabajamos con ( )1.5,1 2X N∼ , y

necesitamos conocer la probabilidad del evento [ ]0.44 2.17X≤ ≤ , tendríamos que sacar

el área bajo la curva ( );1.5,1 2xnor :


es decir

[ ] ( )2.17

0.44 2.17 ;1.5,1 2 0.7614P X nor x dx≤ ≤ = =∫0.44

labor que resulta verdaderamente complicada, y en caso de cambiar valores se tendría que hacer nuevamente. Una manera eficiente para evitar estos cálculos, es con el uso de la va estandarizada de la normal. Veamos la forma en que se logra. Sea Z la vac estandarizada de ( )2,X N μ σ∼ , o sea aplicamos [6.5.9], entonces:

[7.7.5] XZ μσ−

=

por otro lado debido a [6.5.10] se tiene que [ ] 0E Z = y [ ] 1V Z = , en consecuencia la va Z tiene una distribución normal con parámetros 0 y 1 respectivamente; a tal va particular, se le denomina variable aleatoria normal estandarizada . ( )0,1Z N∼ Muy bien, sigamos avanzando. Lo que nos concierne ahora, es un estudio más profundo de la va Z . Es importante recordar que al hacer la estandarización, solamente trasladamos la curva normal para provocar que la media sea el origen, y cambiamos la escala a unidades de “desviaciones estándar”, motivo por el cual la distribución no sufre cambios. Ahora, respecto a la pmf de la va normal estandarizada, pues podemos obtenerla de [7.7.1] simplemente haciendo 0μ = y 1σ = . Observe. Si entonces su correspondiente pmf es: (0,1Z N∼ )

[7.7.6] ( )21 exp

22Zzf z

π

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

y en consecuencia, la gráfica de [7.7.6] se modifica en escala y origen. A tal gráfica se le denomina curva normal estándar. Sus propiedades son exactamente las mismas que las de la curva normal.


Y entonces, ya podemos ver una de las primeras ventajas de trabajar con la curva normal estandarizada: es exactamente la misma independiente a la forma de la va X . Por lo tanto resulta más eficiente trabajar con ella; observemos cómo se hace. En el transcurso de este texto, nos hemos valido de la función de distribución de la va en cuestión (vea [6.4.4]), para realizar los cálculos de probabilidades. Así que nuevamente repetiremos la estrategia, pero ocuparemos [6.10.3], ya que trabajamos con una variable aleatoria continua. La definición de la función de distribución de Z , queda entonces de la siguiente manera:

( ) [ ] 21 exp 22

z

ZF z P Z z t dtπ −∞

⎡ ⎤= ≤ = −⎣ ⎦∫ [7.7.7]

cuya gráfica correspondiente es: que se interpreta como el rango de áreas que puede tener la curva normal estandarizada desde hasta . −∞ z

Por ejemplo, si queremos calcular el área bajo la curva desde hasta 0.5 , lo hacemos resolviendo la integral

−∞

( ) [ ]0.5 210.5 0.5 exp 2 0.6915

2ZF P Z t dtπ −∞

⎡ ⎤= ≤ = − =⎣ ⎦∫

y verificando su consecuencia en la gráfica:

Observe dos detalles. A medida que crece, el área bajo la curva se aproxima a

uno, propiedad que también ocurre con la gráfica de z

ZF ; además, cuando se tiene contemplada la mitad del área de la curva (0.5), y lo mismo representa la gráfica de

0z =ZF .

Finalmente, con estas propiedades ya podemos trabajar, veamos el porqué.


En los resultados [6.4.5] y [6.4.6] se comprobaron propiedades de la función de distribución correspondiente a una va finita. En nuestro caso (vac), existen propiedades análogas:

[ ] ( )[ ] ( ) ( )1 2 2 1

1. 1

2.X

X X

P X x F x

P x X x F x F x

≥ = −

≤ ≤ = − [7.7.8]

que lógicamente también son aplicables para la va Z . En resumen, estandarizamos a la va X para poder ocupar ZF junto con [7.7.8].

Por ejemplo, si regresemos a la va ( )1.5,1 2X N∼ , observamos que es posible calcular lo mismo pero en forma distinta y menos difícil:

[ ] [ ]

( ) ( )

0.44 1.5 2.17 1.50.44 2.17 1.4991 0.94751 2 1 2

0.9475 1.4991 0.8283 0.0669 0.7614Z Z

XP X P P Z

F F

μσ

⎡ ⎤− − −≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤⎢ ⎥

⎣ ⎦= − − = − =

esto es:

Ahora, a pesar de todo este desarrollo, el cálculo de probabilidades sigue siendo

poco eficiente. Tenemos que aprovechar de alguna forma la condición de simetría que tiene la curva normal, hagámoslo.

Si observamos detenidamente, gracias a la simetría, el área bajo la curva desde

hasta , es exactamente la misma a la comprendida entre y 1.49: 1.49− 0 0

diciéndonos que no es tan necesario calcular los valores de la función de distribución, más bien, podemos obtener el área comprendida entre 0 y 1.49 , y sumarla con el área comprendida entre y . 0 0.94


llegando al mismo resultado. Con todo esto, ya es evidente la necesidad de definir una función que determine el área comprendida entre 0 y un valor positivo; tal definición la podemos hacer por distintas vías, veamos.

z

Sea y ; a la función (0,1Z N∼ ) 0z ≥ Φ que nos representa el área bajo la curva normal estandarizada desde hasta , la definimos como: 0 z

( ) [ ] ( ) ( ) 2

0

10 0 exp2

z

Z Zz P Z z F z F t dπ

2 t⎡ ⎤Φ = ≤ ≤ = − = −⎣ ⎦∫ [7.7.9]

es decir: y en dado caso que pues simplemente calculamos 0z < ( )zΦ . Por ejemplo:

[ ] [ ]( ) (

0.44 2.17 1.4991 0.9475

1.4991 0.94750.4331 0.3283 0.7614

P X P Z≤ ≤ = − ≤ ≤

= Φ +Φ

= + =

)

Entonces, ahora sí, ya podemos realizar cálculos de probabilidades con el uso de

, ya que existe una tabla diseñada para valores de en intervalos de . Φ 0z ≥ 0.01 Observe. Si en caso que necesitemos calcular el área comprendida entre cero y

, lo podemos hacer resolviendo la integral (que definitivamente no es fácil): 0.64

( ) ( ) 0.64 2

00.64 1 2 exp 2 0.2389t dtπ ⎡ ⎤Φ = − =⎣ ⎦∫


o bien buscando en la tabla siguiente, donde cada fila representa la unidad y decena de , y cada columna representa la centena: z

z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340

que definitivamente es más fácil. El único problema que tiene la tabla es que no contempla valores de con más de dos decimales. z Nota: la tabla completa se encuentra en el apéndice, al final del texto. Finalmente, reuniendo la información y aplicándola en adelante, sigue presentar los casos más representativos para calcular probabilidades con el uso de la función . Φ Supongamos que . Ahora, ya establecimos que gracias a la simetría de la curva normal se pueden hacer varias cosas, una de ellas fue aprovechar la igualdad entre áreas

(0,1Z N∼ )

para poder garantizar que la suma ( ) ( )1zΦ − +Φ 2z es igual a [ ]1P z Z z− ≤ ≤ 2

1 20z z− ≤ ≤

cuando

:

Nota: en vez de escribir para decir que se trata de un número negativo, sólo

diremos que ; por lo tanto 1z−

1 0z ≤ [ ] ( ) ( )1 2 1 2Z z z z≤ ≤ = Φ +Φ

2

P z si . 1 20z z≤ ≤

Por otro lado, es posible que los valores sobre los cuales se desea calcular, sean

ambos positivos 10 z z≤ ≤ ; en este caso se hace la operación ( ) (2zΦ −Φ )1z , con la

finalidad de obtener la región deseada [ ]1 2P z Z z≤ ≤ :


[ ] ( ) ( )1 2 2 1P z Z z z z≤ ≤ = Φ −Φ 1 20 z z concluyendo que si . ≤ ≤

1 2 0z z≤ ≤ Y finalmente el caso ; aquí aprovechamos nuevamente la condición de simetría de la curva, y al notar que las áreas son iguales trabajamos como el caso anterior, llegando a [ ] ( ) ( )1 2 1P z Z z z z≤ ≤ = Φ −Φ 2

)

. En conclusión, si entonces: (0,1Z N∼

[ ]( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 1

1 2 2 1 1

1 2 1 2

si 0

si 0

si 0

z z z

P z Z z z z z z

z z z z

⎧Φ +Φ ≤ ≤⎪⎪≤ ≤ = Φ −Φ ≤ ≤⎨⎪

2

2

z

Φ −Φ ≤ ≤⎪⎩

[7.7.10]

Veamos a continuación lo referente al cálculo de [ ]1P Z z≥ .

Supongamos que , en consecuencia nuestra región de interés se determina con la operación 0.5 , observe:

1 0z ≥

( )1z−Φ

y si ocurre , calculamos 1 0z ≤ ( )10.5 : z+Φ

[ ]( )( )

1 11

1 1

0.5 si 0

0.5 si 0

z zP Z z

z z

−Φ ≥⎧⎪∴ ≥ = ⎨+Φ ≤⎪⎩

[7.7.11]


Por último, consideremos la situación donde se desea conocer [ ]1

P Z z≤ .

Si , nuestra región 1 0z ≥ [ ] , se determina con la operación : ( )10.5 z+Φ1

P Z z≤

y en caso que 1 0z ≤ , pues calculamos ( )10.5 z−Φ , observe:

.7.12] [ ]( )( )

1 11

1 1

0.5 si 0

0.5 si 0

z zP Z z

z z

+Φ ≥⎧⎪∴ ≤ = ⎨−Φ ≤⎪⎩

[7

o de esta manera los casos más representativos. Si es necesario hacer cálculos

que no se hayan mencionado aquí, significa que es necesario hacer uso varios a la vez. abordand

Por ejemplo, si debemos calcular [ ] [ ]( )1 2P Z z Z z≤ ∪ ≥ siendo 1 0z ≤ y 2 0z ≥ , observe la gráfica:

ería

entonces la operación s

[ ] [ ]( ) [ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )( )

2 1 2

1 21

z

z z

≥ −

= − Φ +Φ

es decir

O también, podría ocurrir que necesitemos calcular la probabilidad de un evento que involucre valor absoluto, entonces haríamos uso del resultado previo considerando

1 1 20.5P Z z Z z z≤ ∪ Φ + −Φ0.5P Z z P Z z= ≤ + ≥ =

a los valores 1 2 0z z z= − = ≥ , observe:


[ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )[ ] [ ] ( ) ( )( )

( )1

1 2

P Z z P Z z Z z P Z z Z z

P Z z P Z z z z

z

⎡ ≥ ⎤ = ≥ ∪ − ≥ = ≥ ∪ ≤ −⎣ ⎦= ≥ + ≤ − = − Φ +Φ

= − Φ

Ejemplo 7.7.1 Supongamos que , calculemos: (3, 4X N∼ ) a) [ ]0.25 4.93P X− ≤ ≤ b) [ ]5.11P X ≥ c) [ ]3.05 5.5P X≤ ≤

d) [ ]2P X ≥ e) 3.5P X⎡ ≤ ⎤⎣ ⎦ f) 3.5P X⎡ ≥ ⎤⎣ ⎦ Veamos. De los parámetros sabemos que 3μ = y 2σ = , entonces podemos estandarizar X ; el procedimiento a seguir es: identificar la región por calcular en la curva normal estándar, presentar la gráfica y finalmente realizar los cálculos con : ( )zΦ

a) [ ] [ ]0.25 3 4.93 30.25 4.93 1.63 0.972 2

P X P Z P Z− − −⎡ ⎤− ≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( ) ( )1.63 0.97 1.63 0.97 0.4484 0.3340 0.7824P Z− ≤ ≤ = Φ − +Φ = + =

b) [ ] [ ]5.11 35.11 1.12

P X P Z P Z−⎡ ⎤≥ = ≥ = ≥⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( )1.1 0.5 1.1 0.5 0.3643 0.1357P Z ≥ = −Φ = − =

c) [ ] [ ]3.05 3 5.5 33.05 5.5 0.03 1.32 2

P X P Z P Z− −⎡ ⎤≤ ≤ = ≤ ≤ = ≤ ≤⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ] ( ) ( )0.03 1.3 1.3 0.03 0.4032 0.0120 0.3912P Z≤ ≤ = Φ −Φ = − =


d) [ ] [ ]2 32 0.2

P X P Z P Z−⎡ ⎤≥ = ≥ =⎢ ⎥⎣ ⎦5≥ −

[ ] ( )0.5 0.5 0.5 0.5 0.1915 0.6915P Z ≥ − = +Φ − = + =

e) [ ] [ ]3.5 3.5 3.5 3.3 0.25P X P X P Z⎡ ≤ ⎤ = − ≤ ≤ = − ≤ ≤⎣ ⎦

[ ] ( ) ( )3.3 0.25 3.3 0.25 0.4995 0.0987 0.5982P Z− ≤ ≤ = Φ − +Φ = + =

f) [ ] [ ] [ ] [ ]3.5 3.5 3.5 0.25 3.3P X P X P X P Z P Z⎡ ≥ ⎤ = ≥ + ≤ − = ≥ + ≤ −⎣ ⎦

[ ] [ ]0.25 3.3 1 0.5982 0.4018P Z P Z≥ + ≤ − = − = Ejemplo 7.7.2 Sea . Determinemos el valor de ( 25,100X N∼ − ) x que satisface la probabilidad

[ ] 0.1251x≤ =P X . Sabemos que 25μ = − y 10σ = . Ahora, busquemos un valor que satisfaga z[ ] 0.1251P Z z≤ = ; el valor necesariamente es negativo, de lo contrario la probabilidad

sería mayor que 0.5, por lo tanto [ ] ( )0.5 0.1251P Z z z≤ = −Φ = .

O bien ( ) 0.5 0.1251 0.3749zΦ = − = , área que buscamos en la tabla obteniendo

que . Finalmente 1.15z = − ( )25 1.15 10 36.5x zμ σ= + = − − = − ; la comprobación es: [ ] ( )( ) [ ] ( )36.5 36.5 25 10 1.15 0.5 1.15

0.5 0.3749 0.1251

P X P Z P Z⎡ ⎤≤ − = ≤ − − − = ≤ − = −Φ −⎣ ⎦= − =

Nota: problemas de este tipo, son de utilidad en algo conocido como “teoría de decisión”; así que los manejaremos, pero sin profundizar.


Ejemplo 7.7.3 Una universidad recibe 16000 solicitudes de inscripción para el siguiente año escolar (nuevo ingreso). Las calificaciones del examen de admisión se pueden calcular de manera adecuada por una distribución normal, con media 950 y desviación estándar 100. Si la universidad decide admitir 25% de los alumnos con mayor calificación.

a) ¿Cuál es la mínima calificación que es necesario obtener para ser admitido por la universidad?

b) ¿Cuántos alumnos obtuvieron un puntaje en su examen desde 730 hasta 1154?

De inicio, observemos que la región sombreada describe 25% de alumnos con alto promedio:

entonces buscamos el valor x que satisface [ ] 0.25P X x≥ = . Calculemos primero 0.5 , luego el valor de área más cercano de la tabla es , el cual corresponde a

0.25 0.25− =0.67z0.2486 = , por tanto la mínima calificación es:

( )950 0.67 100 1017x zμ σ= + = + =

observe la comprobación:

[ ] [ ] ( )1017 9501017 0.67 0.5 0.67100

0.5 0.2486 0.2514 0.25

P X P Z P Z−⎡ ⎤≥ = ≥ = ≥ = −Φ⎢ ⎥⎣ ⎦= − = ≈

Resolvamos el siguiente inciso. Primero calculemos la probabilidad de caer en ese rango de puntos.

[ ] [ ]

( ) ( )

730 950 1154 950730 1154 2.2 2.04100 100

2.2 2.04 0.4861 0.4793 0.9654

P X P X P Z− −⎡ ⎤≤ ≤ = ≤ ≤ = − ≤ ≤⎢ ⎥⎣ ⎦= Φ +Φ = + =

por lo tanto, la cantidad de alumnos que obtuvieron ese margen de calificaciones es:

( )16000 0.9654 15446.4 15446= ≈

3

Ejemplo 7.7.4 Mediante un estudio se determinó que aproximadamente el promedio de latidos del corazón por minuto es de 73, con una desviación estándar σ = . Según el sistema de salud, una persona se considera sana, si su cantidad de latidos se encuentran a 2σ± de


la μ . Se supone que la cantidad de latidos del corazón en las personas sigue una distribución normal.

a) ¿Cuál es el intervalo de latidos de corazón definido para personas saludables? b) ¿Cuál es el porcentaje de la población que se encuentra saludable? c) Si la población (sobre la cual se originaron los datos con base en muestras),

tiene 200000 habitantes. ¿Cuántos de ellos se estima que están enfermos?

Este tipo de problemas, hace uso de algo conocido como “región de aceptación” y “región de rechazo”. En nuestro caso, la región de aceptación es la proporción de la población que se encuentra saludable, y la región de rechazo sería la parte que describe a los enfermos.

Basados en la información, sabemos que ( )73,9X N∼ . Resolvamos entonces.

a) Primero el intervalo [ ] [ ] [ ]2 , 2 73 2 3,73 2 3 67,79μ σ μ σ− + = − ⋅ + ⋅ = . Así que la cantidad de latidos para que una persona se encuentre bien, es desde 67 hasta 79 latidos por minuto.

b) Luego, el porcentaje se calcula vía la probabilidad:

[ ] [ ] ( ) ( )

( ) ( )67 79 2 2 2 2

2 2 2 0.4772 0.9544

P X P Z≤ ≤ = − ≤ ≤ = Φ − +Φ

= Φ = =

, por lo tanto el 95.44% de la población se encuentra saludable, observe:

c) La proporción de la población que se encuentra enferma es:

[ ] [ ]2 2 2 1 0.9544 0.0456P Z P Z P Z⎡ ≥ ⎤ = ≥ + ≤ − = − =⎣ ⎦ , por lo tanto se estima que hay ( )200000 0.0456 9120= enfermos, observe:

Nota: la idea de este ejemplo es presentar más material para teoría de decisión.


Ejemplo 7.7.5 Tania es una fabricante de juguetes, desea garantizar su producto durante un periodo igual al de la duración del producto.

Ella supone que el tiempo de duración del producto es una va con distribución normal, con una vida promedio de 3 años y desviación estándar de 6 meses.

Si el costo de reemplazo por unidad es de $10. ¿Cuál puede ser el costo total de

reemplazo para los primeros dos años, si fueron vendidas 1000000 unidades? Notemos que 6 meses es igual a 0.5 años, entonces 3μ = y 0.5σ = , por lo tanto estamos trabajando con . Luego, la región que nos interesa es la descrita

en los dos primeros años, es decir, debemos calcular (3,0.25X N∼ )

[ ]P Z z≤ con ( )2 3z 0.5 2.= − = −

Calculemos la probabilidad [ ] ( )2 0.5 2 0.5 0.4772 0.0228P Z ≤ − = −Φ − = − = , que precisamente es la proporción de unidades que necesitan reemplazo, y como hay un millón de ellas entonces se deben sustituir ( )1000000 0.0228 22800= unidades.

Finalmente, el costo de dicho reemplazo es de ( )22800 10 228000= pesos.

Ejemplo 7.7.6 Una fábrica de ejes para helicóptero, se dio cuenta que el tiempo estimado de ruptura de los ejes sigue una distribución normal (bajo ciertos criterios). Después de un estudio, determinó que la vida promedio del producto es de 7 años con 0.25σ = . El departamento de control de calidad tiene como política detener el 10% del lote que saldrá al mercado, sin embargo aún no se decide si detener los ejes de peor calidad, los de mejor (no le conviene que duren mucho), o ambos. Determinemos los estándares de aceptación para que un eje salga al mercado si

a) El rechazo es lateral izquierdo b) El rechazo el lateral derecho c) El rechazo es bilateral

Resolvamos para . ( )7,0.5X N∼

a) En este caso, el 10% del lote se concentra del lado izquierdo de la curva normal

estándar (cola izquierda), razón por la cual debemos calcular el valor de z que satisface [ ] 0.1P Z ≤ =z , esto es:


al valor buscado le denominaremos ; en nuestro caso es negativo. 0.1z Desarrollemos:

[ ] ( 0.10.1 0.5P Z z z≤ = = −Φ ) , entonces ( )0.1 0.5 0.1 0.4zΦ = − = ; implica que

el valor de , luego 0.1 1.28z = − ( )0.1 7 1.28 0.25 6.68x zμ σ= + = − = . Finalmente

decimos que la región de aceptación es [ ]6.68,∞ , si el rechazo fue lateral izquierdo.

b) Aquí las cosas ocurren del otro lado:

entonces ya podemos decir que por simetría el valor de 0.1 1.28z = , implicando que ( )0.1 7 1.28 0.25 7.32x zμ σ= + = + = ; en consecuencia, si un eje tiene una

vida estimada en el intervalo [ ],7.32−∞ será puesto a la venta, en dado caso de que el rechazo haya sido lateral derecho.

c) Busquemos primero el z que satisface [ ] 0.05P Z z≥ = , porque ahora el rechazo

es bilateral y como el 10% es fijo, entonces se tiene que rechazar 5% de cada cola:

aquí llamaremos al valor buscado como . Como 0.05z

[ ] ( )0.05 0.050.05 0.5P Z z z≥ = = −Φ

decimos que , o sea ( )0.05 0.5 0.05 0.45zΦ = − = 0.05 1.645z = , es decir:

( ) ( )1 27 1.645 0.25 6.58875 7 1.645 0.25 7.41125x x= − = = + =

Concluyendo que la región de aceptación es [ ]6.58,7.41 si el rechazo fue

bilateral. Nota: como , ( )1.64 0.4495Φ = ( )1.65Φ =

z0.4505

0.05 1.645 y ambos valores se

encuentran a la misma distancia de 0.45 entonces = ; en dado caso que no ocurra esta situación, seleccionamos al valor de la tabla más cercano.


Ejemplo 7.7.7 Sabemos por Chebyshev que la desigualdad

211P X kk

μ σ⎡ − ≤ ⎤ ≥ −⎣ ⎦

se cumple para cualquier variable aleatoria. En particular tomemos ( )2,X N μ σ∼ , y

entonces P X kμ σ⎡ − ≤ ⎤⎣ ⎦ se convierte en el área bajo la curva normal que se encuentra a desviaciones estándar de la media: k

[ ] [ ]P X k P k X k P k X kμ σ σ μ σ μ σ μ⎡ − ≤ ⎤ = − ≤ − ≤ = − ≤ ≤ +⎣ ⎦ σ calculemos tal área para y comparemos con la desigualdad. Estandaricemos: 1,2,3k =

[ ] [ ]XP k X k P k k P k Zμμ σ μ σσ−⎡ ⎤− ≤ ≤ + = − ≤ ≤ = − ≤ ≤⎢ ⎥⎣ ⎦

k

con . ( )0,1Z N∼

a) 1k = , [ ] ( )1 1 1 2 1 2 0.3413 0.6826 P X P Zμ σ⎡ − ≤ ⎤ = − ≤ ≤ = Φ = ⋅ =⎣ ⎦por otro lado 2 21 1 ; verificando que se cumple la desigualdad. 1 1 1 0k− = − =

b) 2k = , [ ] ( )2 2 2 2 2 2 0.4772 0.9544P X P Zμ σ⎡ − ≤ ⎤ = − ≤ ≤ = Φ = ⋅ =⎣ ⎦

por otro lado 2 21 1 ; efectivamente se cumple la desigualdad. 1 1 2 0.75k− = − =

c) 3k = , [ ] ( )3 3 3 2 3 2 0.4987 0.9974P X P Zμ σ⎡ − ≤ ⎤ = − ≤ ≤ = Φ = ⋅ =⎣ ⎦

por otro lado 2 21 1 ; cumpliéndose que . 1 1 3 0.88k− = − = 0.9974 0.88≥ El objetivo de nuestros cálculos es la justificación de la gráfica, que nos indica la manera en que se distribuyen las proporciones de una curva normal, en función de los múltiplos de desviación estándar con respecto a la media.


Ejemplo 7.7.8 En el ejemplo 7.7.6, probamos que si existe un rechazo lateral derecho de 10% , el valor

cumple con 0.1 1.28z = [ ]0.1 0.1P Z z≥ = , que es justamente la región de rechazo, o en su

defecto [ ]0.1P Z z≤ 0.9= la correspondiente región de aceptación. Un rechazo lateral izquierdo de 10% se genera cuando , o sea, se cumple

0.1 1.28z = −

[ ]0.1 0.1P Z z≤ = y en consecuencia hay una aceptación de 90% ; finalmente un rechazo bilateral de 10% se obtiene partiendo de 0.05 1.645z = ± . El punto es, que ciertos valores de son importantes en la práctica, así que en este ejemplo nos dedicaremos a calcular algunos de ellos, a saber 1%, .

z5%, y 15%

Rechazo lateral de 1% . Buscamos que satisfaga 0.01z [ ]0.01 0.01P Z z≥ = , y esto

equivale a ( )0.010.5 z−Φ 0.01= , o sea ( )0.01z 0.5 0.01− 0.49=Φ = por lo tanto el valor buscado es ; el signo se pone dependiendo del tipo de rechazo lateral. 0.01 2.33z = ± Rechazo bilateral de 1% . Se busca que satisfaga 0.005z [ ]0.005 0.005P Z z≥ = , o

sea entonces ( )0.005 0.5 0.005zΦ = − 0.495= 0.005z 2.575= ± ; tomando ambos signos. Rechazo lateral de . Ya tenemos el valor, porque equivale a tomar un valor de los dos que hay para rechazo bilateral de 10% , así que

5%0.05 1.645z = para derecho y

para izquierdo 0.05 1.645z = − . Rechazo bilateral de 5% . Sea el valor que satisface 0.025z [ ]0.025 0.025P Z z≥ = ,

o sea , es decir ( )0.025 0.5 0.025 0.475zΦ = − = 0.025 1.96z = . Asegurando que la región de rechazo bilateral efectivamente es de 5% , observe:

[ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )( )

1.96 1.96 1 1.96 1.96 1 2 1.96

1 2 0.475 0.05

P Z P Z≤ − + ≥ = − Φ − +Φ = − Φ

= − =

o en su defecto la región de aceptación correspondiente es de 95% :

( ) ( ) ( ) ( )1.96 1.96 2 1.96 2 0.475 0.95P Z⎡ ≤ ⎤ = Φ − = Φ = =⎣ ⎦

z

1.96+Φ

0.15

[ ] Rechazo lateral de 15% . Sea el valor que cumple 0.15 0.15P Z z≥ =

( )0.15 0.5 0.15 0.35z − = 0.15 1.04z

, en

tanto Φ = , finalmente = . Rechazo bilateral de 15% . Sea el valor buscado, entonces se debe cumplir que , llevándonos a

0.075z( )0.075 0.5 0.075 0.425zΦ = − = 0.075 1.44z = . La siguiente tabla reune

los valores obtenidos para cada tipo de rechazo y porcentaje.


( )2,X N

RECHAZO 1% 5% 10% 15% Lateral derecho 2.33 1.645 1.28 1.04

Lateral izquierdo

2.33 1.645 1.28 1.04− − − − Bilateral

2.575 1.96 1.645 1.44± ± ± ±

Ejemplo 7.7.9 Sea μ σ∼ , demostremos que si Y aX b= +

) siendo a y b constantes

arbitrarias, entonces ( 2 2,Y N a b aμ σ∼ + . Es decir, si X es normal con parámetros μ

y 2σ , entonces aX b+ es una variable normal con media a bμ + y varianza 2 2a σ . Recordemos [6.5.5] y [6.5.8]. Bien, ya sabemos que [ ]E X μ= y [ ] 2V X σ= ;

calculemos primero la media y varianza de Y :

[ ] [ ] [ ]Y E Y E aX b aE X b a bμ μ= = + = + = +

[ ] [ ] [ ]2 2Y V Y V aX b a V X a2 2σ σ= = + = =

Luego, por [7.7.3] la fgm de la va normal X es:

( ) ( )2exp 2Xm t t tμ σ⎡ ⎤= +⎣ ⎦

entonces para probar que Y es efectivamente una va normal, debemos demostrar que

tiene la misma estructura que ( )Ym t ( )Xm t . Veamos.

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2

2 2

exp exp exp

exp exp exp exp exp

exp exp 2 exp 2

exp 2 exp 2

Y

X

Y Y

m t E tY E t aX b E atX bt

E bt atX bt E atX bt m at

bt a t a t a t bt a t

a b t a t t t

μ σ μ σ

μ σ μ σ

⎡ ⎤= = + = +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦= ⋅ = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )2exp 2Y Y Ym t t tμ σ⎡ ⎤= +⎣ ⎦ ( )2 2,a b a; demostrando así que Y Npor lo tanto μ σ∼ + .

7.8. APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Como ya se mencionó al principio de la sección anterior, muchas distribuciones que no son normales se pueden aproximar por medio de la distribución normal. Hay un resultado teórico que justifica tal propiedad y es conocido como “El teorema del límite central”, fue bautizado por el matemático húngaro George Polya en 1920.

A continuación, estudiaremos una particularidad del teorema: la aproximación

normal a la distribución binomial. Inicialmente veamos ciertos comportamientos de la distribución binomial con la finalidad de establecer posteriormente propiedades.


Sea ( )20,0.5X Bin∼ , cuya pmf es ( );20,0.5b x y función de distribución es:

( ) ( );20,0.5X y xF x b y

≤=∑

así pues (una vez establecida X ), hagamos ciertas construcciones.

Recordemos la gráfica de ( ); 20,0.5b x :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

la cual se ocupará para representarla de otra manera. Supongamos que a cada valor de x le construimos un rectángulo de base 1 y altura ( ); 20,0.5b x , la base mencionada se construye desde 0.5x − hasta 0.5x + , provocando que el área del rectángulo sea igual a , observe la gráfica: ( ; 20,0.5b x )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

por ejemplo, si la base del rectángulo se hace desde 9.5 hasta 10.5 y la altura es de b , por lo que el área del rectángulo para

10x =) 0.176=(10;20,0.5 10x = es 0.176.

A tal construcción se le denomina histograma de probabilidad de y tiene como propiedad que la suma de todas las áreas es igual a uno.

( )20,0.5 ,Bin

Ahora bien, sabemos que [ ] 10E X npμ = = = , y además la desviación estándar

es [ ] ( )1 2V X np pσ = = − 0 0.5 0.5 5= ⋅ ⋅ = . Por lo tanto, ya podemos estandarizar X ; esto se hace debido a que es posible trabajar con otras variables binomiales, no necesariamente la propuesta, y el proceso de estandarización logra unificar escalas ( ). z Hagámoslo. Sea ( , )X Bin n p∼ , entonces

[7.8.1] * X X npXnpq

μσ− −

= =


es la va estandarizada de X ; la pmf correspondiente es:

( )

( )

**

; ,

XX npf z P X z P z P X z npq np

npq

b z npq np n p

⎡ ⎤− ⎡ ⎤= = = = = = +⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

= +

( ) ( ) ( )* ; , paraXf z b z npq np n p z x μ σ∴ = + = − [7.8.2]

Luego, aplicado a nuestros intereses, la estandarización de es ( )20,0.5X Bin∼

( ) ( )* 10 5X X np npq X= − = −

provocando que los valores cambien; ejemplo, si 12x = entonces el valor de es z

( )12 10 5 0.89z = − = . En otras palabras, modificamos la escala y con ella los valores del dominio, sin embargo el rango no sufre cambios, ya que:

( ) ( ) ( ) (* 0.89 0.89 5 10;10,0.5 2 10;10,0.5 12;10,0.5Xf b b b= + = + = )

La tabla siguiente corrobora que el rango no sufre cambios, tomando en cuenta

ciertos valores de x (los demás no se toman por ser muy pequeños):

x 6 7 8 9 10 11 12 13 14

( )10z x= − 5 -1.8 -1.3 -0.89 -0.45 0 0.45 0.89 1.3 1.8

( ) (* ; 20, 0.X

f z b x= )5 0.04 0.07 0.12 0.16 0.18 0.16 0.12 0.07 0.04

Entonces, graficamos ( )*Xf z

tab basados en el histograma de probabilidad recién construido y en los valores de la la, provocando que salga a la vista una propiedad muy importante de la distribución binomial: la gráfica de ( )*Xf z se aproxima a la gráfica de la curva normal estandarizada a medida que n crece ve:

, obser

-4.47 -3.58 -2.68 -1.79 -0.89 0.00 0.89 1.79 2.68 3.58 4.47

0.5py esto es para el caso y 20n == ; con valores superiores de se observa mayor

En otras palabras, la pmf

naproximación.

( ); ,b x n p mediante el cambio [7.8.1] , genera una función [7.8.2] que se le aproxima a:


( ) 2exp 2Zf z z12π

⎡ ⎤−= ⎣ ⎦

a medida que crece. Nota: se considera “grande” cuando y .

n n 5np ≥ ( )1 5n p− ≥

0.5p = , y ente Tal propiedad la demostró DeMoivre en 1930 para posteriorm aplace la extendió para .

ementos, ya es tiempo de mencionar el teorema que justifica la distribución binomial y la normal a medida que crece. Vea

grandes” de , la densidad binomial se puede pro r por la densidad normal con media

L 0 1p< < Con todos estos el

lación existente entre lare nque el teorema es un poco más general ya que no estandariza a la va binomial. 7.8.1. Teorema de DeMoivre-Laplace Sea 0 1p< < . Entonces para valores “ n

npa xima μ = y varianza , lo cual se ta como:

2 npqσ =deno

[7.8.3] ( ) ( )*; ,b x n p f x≈ donde ( )*f x ( ),N np npq es la pmf de una va con distribución , es decir:

[7.8.4] ( ) ( ) ( )( )2*

22f x

npqπ1 1; , expx nor x np npq np npq⎡ ⎤− −= = ⎢ ⎥⎣ ⎦

si y además ( )0,1Z N∼ ( ),X Bin n p∼ , y sus funciones de distribución son:

( ) ( ) ( )1 y ; ,dt F x b y n p⎤ =∑ 2exp 22

z

Z X y xF z t

π ≤−∞⎡= −⎣ ⎦∫

respectivamente, también se cumple que:

[7.8.5] ( )XF x ZxF μσ−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

plo, si ( )20,0.5X Bin∼ y ( )*

≈

Por ejem (f x es la pmf de )10,5N ; entonces la

proximación [7.8.3] para valores de xa representativos es evidente en la tabla:

x 6 7 8 9 10 11 12 13 14

( ); 20, 0.5 0.037 0.074 0.120 0.160 0.176 0.160 0.120 0.074 0.037 b x

( )*f x 0. 0. 0. 0 0. 0. 0 0 0. 0 036 073 12 161 178 .161 .120 073 .036

Nota: no lvi e u o r a x . o dar qu para na apr ximación co recta hay que ajustar 0.5±


Ejemplo 7.8.1

) . Calculemos Sea (1X Bin∼ 00,0.5 [ ]69P X = , [ ]43 57P X≤ ≤ y [ ]61P X ≤ , con el so de una aproximación normal y posteriormente en forma directa.

ial:

u Conozcamos inicialmente la media y varianza de la va binom

[ ] ( ) [ ] ( )( )100 0.5 50 100 0.5 0.5E X np V X npq= = = = = = 25

. Ajustemos los valores de x y 5σ =entonces 50μ = y consideremos al

ism( )50, 25Y N∼

o tiempo, entonces [ ] [ ]69 68.5P X P Y= ≈ ≤ 69.5≤m , ahora estandaricemos:

[ ] ) [ ]( ) (( ) ( )

68.5 50 5 69.5

3.9 3.7 0.4999519 0.4998922 0.0000597

P Z− ≤ ≤ −⎡ ⎤⎣ ⎦= Φ −Φ = − =

por lo tanto

68.5 69.5 50 5 3.7 3.9P Y P Z≤ ≤ = = ≤ ≤

[ ]69 0.0000597P X = ≈ . Obtengamos directamente [ ]69P X = , con la nalidad de comparación, advierta que los cálculos son mucho más complicados:

Hagamos lo propio para

fi

[ ] ( ) 69 3110069 ;100,0.5 0.5 0.5 0.0000523P X b x ⎛ ⎞

= = = =⎜ ⎟ 69⎝ ⎠

[ ]43 57P X≤ ≤ :

[ ] [ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )

43 57 42.5 4X P≤ ≤ ≈ ≤ 57.5 2.5 50 5 57.5 50 5

1.5 1.5 2 1.5 2 0.4332 0.8664

P Y P Z

P Z

≤ = − ≤ ≤ −⎡ ⎤⎣ ⎦= − ≤ ≤ = Φ = =

y directamente queda:

finalmente para

[ ] ( )57

4343 57 ;100,0.5 0.8668

xP X b x

=

≤ ≤ = =∑

[ ]61P X ≤ :

[ ] [ ] [ ] ( )61.5 2.3 0.5 2.3 0.5 0.4893 0.9893P Y P Z≈ ≤ = ≤ = +Φ = + = 61P X ≤ y directamente queda:

[ ] ( )6161 ;100,0.5 0.9895

xP X b x

≤≤ = =∑

Ejemplo 7.8.2

e consolas para video sabe que el que fabrica tiene defectos. En un onsolas, ¿cuál es la probabilidad de que no más de sean

Un fabricante dte de 1000 c

1%lo 1.2%defectuosas?


El problema nos sugiere que ( )1000,0.01X Bin∼ , y buscamos calcular la

probabilidad de que no más de ( )2 121000 0.01 = sean defectuosas: [ ]12P X ≤ . Como ahora 1000n = r te grande, es muy teesulta notablemen convenien aplicar

aproximación norm l, o sea que primero debemos conocer la media y varianza de la a X .

[ ] ( ) [ ] ( )( )1000 0.01 10 1000 0.01 0.99 9.9E X V X= = = =

. Sea ( )10,9.9Y N∼ O sea que 9.9 3.1464σ = = , desarrollemos:

[ ] [ ] ( ) [ ]( )

12.5 12.5 10 9

0.5 0.79 0.5 0.2852 0.7852

P Y≈ ≤ = ≤ −⎣ ⎦= +Φ = + =

diciéndonos que la probabilidad al ser relativamente alta, es poco probable encontrar

ás de doce consolas defectuosas en el lote de mil.

a medicina produce alergia en un de las personas. Si se aplica esta edicina a un grupo de 100 personas, ¿cuál es la probabilidad de que en no más de

en el ejercicio anterior.

12 9.9 0.7P X P Z P Z⎡ ⎤≤ = ≤

m Ejemplo 7.8.3 Se sabe que un 5%m 8 personas produzca reacciones indeseables? Trabajaremos de la misma forma que

Sea ( )100,0.05X Bin∼ , luego

[ ] ( ) [ ] ( )( )100 0 y 100 0.05 0.95 4.75E X V X= = = = .05 5 es decir . Sea , entonces la aproximación normal queda: ( )5, 4.75Y N∼4.75σ =

[ ] [ ] [ ]( )( )

8.5

0.5 1.6 0.5 0.4452 0.9452

P X Y P≤ ≤ = ⎣ ⎦= +Φ = + =

indicándonos que la probabilidad de que no sean más de ocho personas, con reacción a

medicina, es alta; o también, es poco probable que más de ocho tengan alergia a la

8 8.5 5 4.75 1.6P Z P Z⎡ ⎤≈ ≤ − = ≤

lamedicina.


Ejercicios

1. Sea S el espacio muestra que resulta del lanzamiento de una moneda una vez ( 1n = ); definamos a { }águilaE S= ⊆ como el evento éxito, donde ( ) y

< , y a {P E p=

0 1p< }sol como el evento fracaso, con F = ( ) 1P F p q= − = . Sea X la variable aleatoria discreta sobre S definida como X =número de éxitos que hubo en el lanzamiento, determinar ( )X S , ( )Xf x y ( ) XF x

Nota: observe que la va tiene una distribución binomial (1, )X Bin p∼ ; en este caso particular diremos que X es una vad con distribución de Bernoulli, cuya notación será ( )X Ber p∼

2. Del ejercicio anterior graficar Xf y XF para 0.2, 0.5, 0.7p = 3. Sea ( )X Ber p∼ , probar que ( ) ( )11 xx

Xf x p p −= − para 0,1x = efectivamente es una pmf

4. Sea ( )X Ber p∼ , demostrar que [ ]E X p= y [ ]V X pq= , siendo 1p q+ =

5. Sea ( )X Ber p∼ , demostrar que ( ) (1 ) t

Xm t p e p= − +

6. Sea ( )Y Ber p tal que ,Y a b∼ = con a y b constantes arbitrarias distintas. Si

Y aXb a−

=−

pruebe que ( )X Ber p∼ con 0,1X = . Concluyendo que siempre es posible suponer que los valores de una va de Bernoulli son y . 0 1

7. Consideremos a tres variables aleatorias discretas con distribución de Bernoulli

( )1 2 3,X X X Ber p, ∼ , y tomando los valores 0 y 1 cada una. Sea

1 2Y X X X 3= + + demuestre que ( ) 3(3, ) y

Yyf y C y p q −= (la pmf de ( )3,Bin p ).

8. Sea S el espacio muestra que resulta del lanzamiento de un par de dados (ambos

equilibrados). Sea : una vad definida como X S → R X =número de veces que cayeron los dados en el mismo número; Si el par de dados se lanza al mismo tiempo 10n = veces, calcule la probabilidad de que hayan caído igual:

a) En 7 ocasiones b) Al menos 3 veces c) A lo más 5 veces d) Entre 4 y 6 veces


9. En un grupo de personas, el 45% son hombres y el 55% mujeres. Se selecciona

aleatoriamente a 25 personas de ese grupo con la finalidad de hacer unos estudios socioeconómicos, calcule la probabilidad de que:

a) 9 de esas 25 personas sean mujeres b) El 40% sean hombres (cambia el éxito) c) Por lo menos 11 sean mujeres

10. Sea ( )20,0.7 , determinar X Bin∼

a) [ ]14P X =

b) [ ]10 15P X≤ <

c) [ ]12P X <

d) [ ] [ ]( )7 1P X X≤ ∪ ≥ 6 y representar gráficamente cada inciso.

11. Un estudiante se encuentra resolviendo un examen de diez preguntas tipo falso-verdadero, lo hace de manera aleatoria (adivinando). ¿Cuál es la probabilidad de aprobar el examen (seis o más)?

12. El 2% de los artículos producidos por una máquina son defectuosos

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, de 7 artículos tomados al azar, ninguno

sea defectuoso? b) Si se toma un lote de 300 artículos, ¿cuál es el número esperado de

artículos defectuosos?

13. En una caja se tienen once pelotas rojas y nueve amarillas. Si se toman cinco pelotas con reemplazamiento, calcular la probabilidad de que:

a) Exactamente una de las pelotas sea roja b) Al menos dos de las pelotas sea roja

14. Sea ( )15,0.4 . Obtener y graficar X Bin∼ ( )Xf x y ( )XF x , luego con base en

XF calcular:

a) [ ]10P X ≤

b) [ ]5 1P X≤ ≤ 0

c) [ ]10P X >

15. Sea ( )17,0.45X Bin∼ . Determinar Xμ y Xσ , luego, encontrar a y b tal que

[ ] 0.5P a X b≤ ≤ ≥


sugerencia: use chebyshev 16. Sea ( ),X Bin n p∼ , y sea Y la vad tal que Y X n= .

a) ¿Cuál es el espacio muestra para Y ? b) ¿Cuál es la pmf de Y ?

nótese que Y es la proporción de éxitos.

17. Sea ( ),X Bin n p∼ . Demuestre que la probabilidad de obtener x éxitos, es igual

a la probabilidad de obtener n x− fracasos:

( ) ( ); , ; ,1b x n p b n x n p= − −

18. Sea ( )20,0.5 . Determinar X Bin∼ P X kμ σ⎡ − ≤ ⎤⎣ ⎦ para 1,2,3k = 19. Sea ( )20,0.5 y *X Bin∼ X la variable aleatoria estandarizada correspondiente.

Encuentre la imagen de *X

20. Sea )10,0.25 ; con base en la fórmula de recursión del ejemplo 7.2.5, calcular las probabilidades puntuales de

(X Bin∼0, 1, 2, , 10X = …

21. Sea ( )10,7,6 , demuestre que X Hip∼

( );10,7,6 1x D

h x∈

=∑

siendo ( ) ( ){ }: máx 0,3 mín 7,6D x x= ≤ ≤

22. En un grupo de 30N = personas se sabe que 13k = apoyan una iniciativa en el congreso; se necesita hacer un sondeo entre 19n = para conocer si están a favor o en contra de tal iniciativa (seleccionados al azar). Calcule la probabilidad de que:

a) 10 de esas personas apoyen la iniciativa b) Por lo menos una tercera parte del total (30) apoye la iniciativa c) Por lo menos la mitad del total apoye la iniciativa d) El valor esperado de las 19n = personas que apoyen la iniciativa

Nota: observe que se trata de un muestreo sin reemplazo

23. Resuelva el ejercicio anterior, considerando ahora muestreo con reemplazo 24. Suponga que tenemos una moneda donde ( )solP p= y ( )águila 1P p= − . Si se

realiza una serie de lanzamientos, y si 0.6p = calcular la probabilidad de que:

a) Hayan caído cinco águilas antes de haber obtenido el primer sol b) Hayan caído más de tres águilas antes de haber obtenido el primer sol


c) El valor esperado de águilas que se obtendrán antes de que haya caído el primer sol

Nota: observe que trabajamos con ( )1,X Nbin p∼ ; en este caso particular de la distribución binomial negativa, diremos que X es una variable aleatoria discreta con distribución geométrica ( )X Geo p∼ .

25. Si ( )X Geo p∼ demuestre que ( ) ( )1 x

Xf x p p= − para 0,1,2,3,x = … 26. Si ( )X Geo p∼ , demuestre que efectivamente ( )Xf x es una pmf 27. Si ( )X Geo p∼ , determinar y graficar Xf y XF para 0.1,0.5,0.8p =

28. Supongamos que un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de anotar un

tiro libre de 0.8p = , y el jugador tira repetidamente hasta anotar el punto

a) Calcular el valor esperado de lanzamientos efectuados por el jugador b) Calcular la probabilidad de haber lanzado entre cuatro y seis veces el

balón antes de anotar el punto 29. Supongamos que en una compañía financiera se conoce la probabilidad de que el

valor de ciertas acciones suba ( )alza 0.25P = o baje ( )baja 0.75P =

a) Calcular la probabilidad de que las acciones hayan bajado cuatro veces antes de la quinta alza

b) Calcular la probabilidad de que las acciones hayan bajado entre tres y cinco veces antes de la segunda alza

c) Calcular el valor esperado de bajas antes de la tercera alza d) Cuál es el valor esperado de movimientos que necesarios para obtener

siete alzas Nota: el alza es independiente de la baja y viceversa; la suma entre alzas y bajas es igual al total de movimientos

30. Un dado equilibrado se pinta, de tal manera que 5 de las caras son negras y la

sexta es azul, supongamos que el dado se lanza varias veces:

a) Calcular la probabilidad de que el dado se haya caído 3 veces azul en 7 lanzamientos, siendo azul el último lanzamiento

b) Calcular el valor esperado de lanzamientos necesarios antes de obtener el cuarto azul

sugerencia: ocupe [7.5.1]

31. Demostrar la siguiente fórmula de recursión:

( ) ( )1; ;1

poi x poi xxλλ λ+ =+


32. En una central de camiones, se registró durante 400 horas, el número de llegadas por hora que hay en la central, lo resultados fueron:

x 0 1 2 3 4 5 f 20 57 98 85 78 62

siendo x el número de llegadas y f el total de horas donde hubo x llegadas.

¿Podemos concluir que los datos observados siguen una distribución de Poisson con 3λ = ?

33. Sea ( )2X Poi∼ , calcular:

a) [ ]3 P X ≤

b) [ ]1 5P X≤ ≤

c) [ ]2P X ≥

34. Suponga que en un fin de semana concreto, el número de accidentes en un cierto cruce tiene una distribución de Poisson con 0.7λ = ; ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos tres accidentes en el cruce durante el fin de semana?

35. Suponga que un cierto tipo de cinta magnética contiene, en promedio, tres

defectos por cada 1000 metros. ¿Cuál es la probabilidad de que una cinta de 1200 metros de longitud no contenga defectos?

36. Suponga que, en promedio, en una cierta tienda se atienden 15 clientes por hora.

¿Cuál es la probabilidad de que se atiendan más 20 clientes en un periodo de 2 horas?

37. Suponga que en una gran población la proporción de personas que tienen cierta

enfermedad es 0.01. Determinar la probabilidad de que en un grupo aleatorio de 200 personas al menos cuatro tengan la enfermedad

38. Una línea aérea vende 200 boletos para un vuelo de un avión que tiene sólo 198

asientos porque, en promedio, el 1% de los clientes no aparecen en el momento de salida. Determinar la probabilidad de que todos los que acuden a la hora de salida de este vuelo tendrán asiento

39. El número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de operación

es una variable aleatoria de Poisson. Si el número promedio de éstas es ocho:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50

horas? c) ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

40. Una compañía recibe un lote de 1000 unidades. Para aceptarlo se seleccionan 10

unidades de manera aleatoria, y se inspeccionan


Si ninguna se encuentra defectuosa, el lote se acepta; de otro modo se rechaza. Si el lote contiene el 5% de unidades defectuosas:

a) Determinar la probabilidad de aceptarlo mediante el empleo de la distribución hipergeométrica

b) Aproximar la respuesta de a) mediante el empleo de la distribución binomial

c) Aproximar la respuesta de b) mediante el empleo de la distribución de Poisson

41. Sea ( )1, 4 , calcular y representar gráficamente las regiones: X N∼

a) [ ]3 P X ≤ e) [ ]0 P X ≥

b) [ ]0.5P X > f) [ ]1 0P X− < < .5

c) [ ]1 P X = g) 2P X⎡ ≤ ⎤⎣ ⎦ d) [ ]2 5P X≤ ≤ h) [ ]1 2 3 8P X≤ − + ≤

42. Suponga que la estatura de las mujeres es una variable normal con media 1.65 metros y desviación estándar de 2.5 cm. Si se sabe que hay 100 mil mujeres en la población, calcule:

a) Aproximadamente, ¿cuántas miden más de 1.70 metros? b) Entre 1.58 y 1.66 metros c) Menos de 1.5 metros

43. Del ejercicio anterior, suponga que por alguna razón se decide seleccionar al 15% de las mujeres más altas

a) ¿Cuál es la mínima estatura necesaria para poder estar dentro de 15% de

las mujeres más altas? b) Si la selección hubiese sido por el 10% de las mujeres más bajas, ¿cuál

es la estatura máxima necesaria para estar en esa categoría?

44. Del ejercicio 42. Aproximadamente ¿cuántas mujeres miden entre 2μ σ− y 2μ σ+ ?

45. Sea ( )5,16 . Calcule el intervalo que define la región de aceptación si: X N∼

a) Existe un rechazo bilateral de 5% b) Existe un rechazo lateral izquierdo de 15% c) Existe un rechazo lateral derecho de 10%

46. Sea ( )0,1 , encuentre el valor de z si: Z N∼

a) [ ]0 0.4429P Z z≤ ≤ =

[ ] 0.7967P Z z≤ = b)


[ ]2 0.P z Z≤ ≤ =c) 1

( )2,X N μ σ∼ ; demuestre que efectivamente ( )Z X μ σ= −47. Sea tiene una bucióndistri normal con parámetros 0 y 1.

Sugerencia: use el ejemplo 7.7.9, para 1a σ= y b μ σ= −

on el mismo dado del problema 30 hacem48. os 200 lanzamientos; determinar la

eces

49. Ap abilidades del ejercicio anterior con el uso de la distribución

na gráfica por cada inciso del ejercicio 48 y otra correspondiente del

Re

, 110, 115, 116, 119, 121-129, 176, 177; [6] págs. 169-174, 189-192; [8]

Cprobabilidad de que la cara azul aparezca:

a) Entre 28 y 47 b) Menos de 30 vc) Más de 49

r ximar las probonormal.

0. Elabore u5

49, que haga evidente la aproximación de cada probabilidad

f encias er 2] págs. 107[

pág. 247; [10] págs. 188-191; [14] pág. 210; [16] pág. 621.

342

Tabla I VAD

( ),X Bin n p∼ ( )X Ber p∼ ( )X Geo p∼ ( ), ,X Hip N n k∼ ( ),X Nbin k p∼ ( )X Poi λ∼

[ ]3 1

2

22 2

4 2

( 2 )( 2 ) 1

( 2) ( )( )

( 1) ( 1) 6 ( ) 3 ( ) ( 2) 6 ( )

N k N n N

N nk N k N n

N N kN N n N n N k N n Nn n N nN N nk N k N n

α

α

− − −∗ =

− − −

−( 2)( 3) ( )( ) N

⎧ ⎫⎡ ⎤∗∗ = + − − + − − − + −⎨ ⎬⎣ ⎦− − − − ⎩ ⎭

( )Xf x ( )1x n xnp p −⎛ ⎞

−⎜ ⎟x⎝ ⎠ ( )1 1x xp p −− ( )1 xp p−

( ) ( )( )

, ,,C N n

C k x C N k n x− −( )

11k xk x

1p p

+ −⎛ ⎞−⎜ ⎟k −⎝ ⎠ !

xex

λλ−

parámetros , # intentos (valor fijo), o

np

, probabilidadp , probabilidad p

, número de éxitosk

, promedio de ocurrenci or unid poprobabilidad de éxit de éxito de éxito

, tamaño de la población, tamaño de la muestra

Nn

, # de éxitos, probabilidad

kp de éxito

as pad de tiem

λ

( )m t (1 )nt

X p e p⎡ ⎤− +⎣ ⎦ (1 ) t p e− + p 1 ( tp

1 )p e− −

1 (

k

kp

1 ) tp e⎡ ⎤− −⎣ ⎦

( 1teeλ )−

[ ]E X np p 1 pp− nk

N ( )1k p

p−

λ

[( )( )

( )]V X ( )1np p− ( )1p p− 21 p

p− 2 1

nk N k N nN N− −

− ( )

2p1k p−

λ

3α ( )1 2

1p

np p−

− ( )

1 21

pp p−

− 2

1pp

−−

∗ ( )2

1p

k p−

− 1

λ

4α ( )1 6 (1 )3

1p p

np p− −

+− ( )

1 6 (1 )31p p

p p− −

+−

2 6 631

p pp

− ++

−∗∗ ( )

2 6 631

p pk p− +

+−

13+λ

343 Tabla II. Áreas bajo la curva normal estándar, ( )0,1 .N

Desde 0 hasta , z ( )zΦ

z

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.5 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2704 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.8 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.3389 1 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 1.2 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015 1.3 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 1.4 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0.4418 0.4429 0.4441 1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 2 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

2.1 0.4821 0.4826 0.4830 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4850 0.4854 0.4857 2.2 0.4861 0.4864 0.4868 0.4871 0.4875 0.4878 0.4881 0.4884 0.4887 0.4890 2.3 0.4893 0.4896 0.4898 0.4901 0.4904 0.4906 0.4909 0.4911 0.4913 0.4916 2.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4932 0.4934 0.4936 2.5 0.4938 0.4940 0.4941 0.4943 0.4945 0.4946 0.4948 0.4949 0.4951 0.4952 2.6 0.4953 0.4955 0.4956 0.4957 0.4959 0.4960 0.4961 0.4962 0.4963 0.4964 2.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 3 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990

3.1 0.4990 0.4991 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4992 0.4992 0.4993 0.4993 3.2 0.4993 0.4993 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4995 3.3 0.4995 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4996 0.4997 3.4 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4998 3.5 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 3.6 0.4998 0.4998 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.7 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.8 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 0.4999 3.9 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000 0.5000

CONCLUSIONES El texto que se presenta ha sido probado con éxito y ha cumplido con las metas trazadas en él, esto es, se ha usado en alumnos de nivel medio superior e inclusive de nivel superior, y se observó un mejor rendimiento en la comprehensión de los temas, mayor participación por parte del alumno en lo concerniente al rumbo que va tomando el curso y además, el alumno generó una visión de la estadística y probabilidad como una herramienta para interpretar su entorno biológico, económico y social. Es conveniente tomar al texto como un apoyo, inclusive como un soporte donde el alumno pueda ir avanzando de manera autodidacta para el desarrollo de su futura profesión. Cabe mencionar, que con base en las clases de probabilidad y estadística impartidas a nivel superior, se pudo obtener una referencia real de las exigencias del curso para los alumnos en lo concerniente a la materia, lo cual permitió poder encausar los temas para lograr un mejor desempeño en los alumnos de ese nivel, tanto en las carreras de actuaría, ingeniería, biología, economía o psicología. Es vital que un curso de estadística y probabilidad, sea llevado de manera natural (temas asociados unos con otros y relacionados con situaciones reales), y sobre todo brindando tranquilidad y confianza al alumno de que es posible avanzar sólidamente en el desarrollo de cada tema. Debe haber continuidad en los cursos para que el alumno logre la madurez que el profesor está buscando, es decir, a menudo los alumnos provienen de distintas instituciones y existe el problema de que no hay homogeneidad en sus conocimientos, temas que se trabajaron en ciertas escuelas a profundidad en otras no, provocando que el profesor dedique tiempo a solucionar tales deficiencias, razón por la cual es conveniente que haya continuidad con el profesor para que al siguiente curso ya conozca a los alumnos y pueda avanzar en los temas de una forma mucho más satisfactoria; además se logran los objetivos de trabajo que el profesor tenía destinados para el grupo, particularmente hablando se llega a los temas que se estuvieron motivando a lo largo del curso anterior. Debe existir una idea más amplia y precisa de cada tema para que el profesor sea capaz de encausar correctamente al alumno. No es suficiente conocer solamente los temas marcados en el plan de estudios del nivel en cuestión, hay que saber además el contenido de los niveles siguientes para tener una referencia clara del sentido que deberán tomar los temas, por ejemplo, si el profesor no conoce variable aleatoria, no podrá ser capaz de establecer la estadística y probabilidad como temas afines, ocurrirá todo lo contrario, el profesor cometerá el error de trabajarlos como temas ajenos uno al otro perdiéndose en consecuencia la naturaleza de todo el curso.

Se debe buscar que el alumno logre discernir y comprender los resultados teóricos antes de ser mencionados vía ejemplos particulares.

En clase se debe definir el camino a seguir y las metas en todo momento, ¿cuál es el tema?, ¿qué lo motivó? y ¿para qué nos servirá?

En el texto y en el programa del curso se debe marcar un eje principal que sirva como liga a todos los temas por desarrollar; en nuestro caso es el binomio de Newton, el

345


cual fue fundamentado desde teoría de conjuntos pasando por conteo e inducción matemática, y finalmente fue ocupado para sustentar a la distribución binomial, base de la distribución binomial negativa, de Poisson y por último la distribución normal. Todo esto es posible cuando los programas del curso lo permitan.

RECOMENDACIONES

• Utilizar el texto como un soporte sólido del curso para que con ello se disponga de mayor tiempo de clase, dedicando tiempo a la discusión del tema.

• Aplicar en clase ciertos ejemplos para exposición inclusive con discusión de las implicaciones que tiene en la sociedad la materia de estadística y probabilidad.

• En dado caso de no quedar claros ciertos temas, retomarlos al momento de haber trabajado más teoría.

• Retomar las dudas de los temas tratados con previa discusión de la teoría.

• Buscar más aplicaciones complementarias que puedan ser material del texto.

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ELEMENTOS DE PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

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