ELEMENTO DE COMPETENCIA 2: ÁLGEBRA Semanas: 4

CONTENIDO Competencia específica de la unidad ................................................................................ 4

2.1 Expresión algebraica ................................................................................................... 4

2.1.1 Reducción de términos semejantes ....................................................................... 5

Ejercicios 2.1 .............................................................................................................. 6

2.1.2 Operaciones con expresiones algebraicas ............................................................ 6

Suma y resta .............................................................................................................. 6

Ejercicios 2.2 .............................................................................................................. 7

Producto ..................................................................................................................... 8

Ejercicios 2.3 ............................................................................................................ 10

Cociente ................................................................................................................... 10

Ejercicios 2.4 ............................................................................................................ 13

2.2 Productos notables .................................................................................................... 13

2.2.1 Binomios conjugados .......................................................................................... 14

Ejercicios 2.5 ............................................................................................................ 14

2.2.2 Binomio al cuadrado ............................................................................................ 14

Ejercicios 2.6 .............................................................................................................. 5

2.2.3 Binomio al cubo ..................................................................................................... 5

Ejercicios 2.7 .............................................................................................................. 5

2.2.4 Triángulo de Pascal ............................................................................................... 5

2.2.5 Binomios con término común ................................................................................ 6

Ejercicios 2.8 .............................................................................................................. 7

2.3 Factorización ............................................................................................................... 7

2.3.1 Factor común de un polinomio .............................................................................. 7

Ejercicios 2.9 .............................................................................................................. 8

2.3.2 Factorización por agrupación ................................................................................ 9

Ejercicios 2.10 .......................................................................................................... 10

2.3.3 Factorización de una diferencia de cuadrados ..................................................... 10

Ejercicios 2.11 .......................................................................................................... 11

2.3.4 Factorización del trinomio cuadrado perfecto (TCP) ............................................ 11

Ejercicios 2.12 .......................................................................................................... 13

2.3.5 Factorización de un cubo perfecto ....................................................................... 14

Ejercicios 2.13 .......................................................................................................... 15

2.3.6 Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c ............................................... 16

Ejercicios 2.14 .......................................................................................................... 19

2.3.7 Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c ............................................. 19

Ejercicios 2.15 .......................................................................................................... 20

2.3.8 Factorización por fórmula general ....................................................................... 21

Ejercicios 2.16 .......................................................................................................... 22

2.3.9 Factorización de una suma o diferencia de cubos perfectos ................................ 22

Ejercicios 2.17 .......................................................................................................... 25

2.4 Ecuaciones ................................................................................................................ 25

Reglas para la resolución de ecuaciones .................................................................. 26

2.4.1 Ecuaciones lineales ............................................................................................. 26

Solución de ecuaciones lineales ............................................................................... 26

Ejercicios 2.18 .......................................................................................................... 27

Aplicaciones ............................................................................................................. 28

Ejercicios 2.19 .......................................................................................................... 29

2.4.2 Sistemas de ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas ....................................... 30

Método de suma y resta ........................................................................................... 30

Ejercicios 2.20 .......................................................................................................... 32

Aplicaciones ............................................................................................................. 33

Ejercicios 2.21 .......................................................................................................... 34

2.4.3 Ecuaciones cuadráticas ....................................................................................... 34

Factorización ............................................................................................................ 35

Ejercicios 2.22 .......................................................................................................... 35

Fórmula General ....................................................................................................... 36

Ejercicios 2.23 .......................................................................................................... 36

Aplicaciones ............................................................................................................. 37

Ejercicios 2.24 .......................................................................................................... 38

2.5 Inecuaciones .............................................................................................................. 38

2.5.1 Definición ............................................................................................................ 38

2.5.2 Ejemplos ............................................................................................................. 38

Soluciones a ejercicios propuestos .................................................................................. 40

Referencias ..................................................................................................................... 50

4

ELEMENTO DE COMPETENCIA 2: ÁLGEBRA Semanas: 4

Competencia específica de la unidad Comprender el concepto de expresión algebraica y realizar operaciones entre expresiones algebraicas. Comprender el concepto de ecuación, así como encontrar su solución, y plantear posteriormente ecuaciones o sistemas de ecuaciones para representar situaciones prácticas.

2.1 Expresión algebraica La parte de las matemáticas que estudia las operaciones en las que hay cantidades conocidas, representadas por números, y cantidades desconocidas, representadas por letras o símbolos, se conoce como Álgebra. La representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas se conoce como Expresión algebraica. Dependiendo de la cantidad de términos que contenga la expresión algebraica (números o letras separados entre sí por los signos + o -), ésta recibirá un nombre específico, TABLA 2. 1.

TABLA 2. 1 Denominación de expresiones algebraicas

TÉRMINOS NOMBRE EJEMPLO

Uno Monomio −3𝑥2𝑧

Dos Binomio 5𝑎 + 3𝑏2𝑐

Tres Trinomio −2𝑥𝑦 − 5𝑥2𝑦 + 3𝑦3

General para dos o más Polinomio 4𝑥𝑦2 − 5𝑥𝑦 + 3𝑧2 + 4𝑦2𝑧 − 𝑧

Cada término se compone de varios elementos, como lo muestra la Fig. 2. 1.

Fig. 2. 1 Término algebraico

Cuando los números (o factores numéricos) se representan con letras reciben el nombre de literales. Por lo general, con las primeras letras del alfabeto se representan valores constantes, y con las últimas se indican valores que pueden cambiar llamados incógnitas o variables. Cuando los factores son números, éstos reciben el nombre de coeficientes. El grado relativo de un monomio está dado por el exponente de la literal que se esté tomando en cuenta. El grado absoluto de un monomio está dado por la suma de los exponentes de las literales. El grado de un polinomio que contenga una sola literal está dado por el mayor de sus exponentes. Cuando un polinomio tiene varias literales, el grado dependerá de la literal que se considere. Lo anterior se ilustra en la TABLA 2. 2.

5

TABLA 2. 2 Grado de una expresión

MONOMIO GRADO POLINOMIO GRADO

−𝟑𝒂𝟐𝒃𝟑𝒄

Relativo

2𝑎3 − 4𝑎2 − 3𝑎 + 5 3 → Tercer grado Respecto de a es 2 Respecto de b es 3 Respecto de c es 1

Absoluto

−𝑥𝑦3 + 3𝑦2 − 𝑥3𝑦𝑧4 Respecto de x es 3 Respecto de y es 3 Respecto de z es 4 2 + 3 + 1 = 6 → Sexto grado

2.1.1 Reducción de términos semejantes Reducir una expresión algebraica significa hacerla más pequeña (menos términos), sumando o restando aquellos términos cuya literal y potencia son idénticas.

Ejemplo 2.1

3𝑎 + 2𝑎 + 𝑎 + 𝑎 = 7𝑎

Ejemplo 2.2

5𝑥2 − 𝑥2 = 4𝑥2 Para la reducción de términos semejantes en una expresión algebraica, en la que se utilizan signos positivos y negativos en sus términos, se deben aplicar las mismas reglas que se utilizan en la suma algebraica de números reales. Cuando la reducción se aplica en términos con mismo signo, sus coeficientes se suman, se escribe la parte literal (debe ser idéntica), y al resultado le corresponde el signo que tienen.

Ejemplo 2.3

3𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = (3 + 2 + 2 + 1 + 1)𝑥 = 9𝑥

Ejemplo 2.4

−2𝑎 − 3𝑎 − 𝑎 − 4𝑎 = −(2 + 3 + 1 + 4)𝑎 = −(10)𝑎 = −10𝑎

Ejemplo 2.5

−6𝑥2𝑦 − 𝑥𝑦2 − 2𝑥𝑦2 − 3𝑥2𝑦 = −(6 + 3)𝑥2𝑦 − (1 + 2)𝑥𝑦2 = −9𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2 Cuando la reducción se aplica en términos con diferente signo, sus coeficientes se restan, se escribe la parte literal (debe ser idéntica), y al resultado le corresponde el signo del término con coeficiente mayor.

Ejemplo 2.6

−9𝑥 + 2𝑥 = −(9 − 2)𝑥 = −(7)𝑥 = −7𝑥

6

Ejemplo 2.7

7𝑎𝑏 − 3𝑎𝑏 = +(7 − 3)𝑎𝑏 = +(4)𝑎𝑏 = 4𝑎𝑏

Ejemplo 2.8

−5𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −(5 − 2)𝑥 + (3 − 1)𝑦 − (2 − 1)𝑧 = −3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 Si hay varios términos con el mismo signo, primero se reducen éstos, y después los de signo contrario.

Ejemplo 2.9

3𝑥 + 2𝑥 − 4𝑥 − 2𝑥 − 5𝑥 = +(3 + 2)𝑥 − (4 + 2 + 5)𝑥 = 5𝑥 − 11𝑥 = −(11 − 5)𝑥 = −6𝑥 Ejercicios 2.1 Realizar la reducción de términos semejantes.

𝑎) 2

3𝑥2 +

1

2𝑥2 −

5

4𝑥2

𝑏) −7

8𝑎𝑏𝑐 +

2

3𝑎𝑏𝑐 +

1

3𝑎𝑏𝑐

𝑐) − 20𝑚 + 40𝑚 − 10𝑚 − 10𝑚 𝑑) − 20𝑡 + 10𝑡 − 8𝑡 − 5𝑡 𝑒) 2𝑎 − 4𝑏 + 3𝑏 + 4𝑎 − 2𝑎 − 𝑏 𝑓) − 3𝑓 − 5𝑓 − 𝑓 − 6𝑓 𝑔) 3𝑦 + 5𝑥 + 𝑥 − 3𝑦 − 𝑥 − 2𝑥 − 2𝑥

ℎ) − 3𝑎2 + 3𝑎 − 2𝑎2 + 𝑎 − 5𝑎 + 2𝑎2 𝑖) 3𝑥 − 4𝑦 − 2𝑥 + 5𝑥 + 𝑦 − 6𝑥 + 3𝑦

𝑗) − 3𝑥3𝑦2 − 5𝑥3𝑦 + 𝑥3𝑦 + 5𝑥3𝑦2 2.1.2 Operaciones con expresiones algebraicas Suma y resta Las sumas y restas (o sumas algebraicas) solo pueden realizarse entre términos que sean semejantes. Sumar significa respetar el signo de cada término que se coloca después del símbolo de suma.

7

Ejemplo 2.10

(4𝑥) + (−5𝑥) + (3𝑥) + (−𝑥) = 4𝑥 − 5𝑥 + 3𝑥 − 𝑥 = 7𝑥 − 6𝑥 = 𝑥

Ejemplo 2.11

(𝑎𝑏) + (2𝑎𝑏) + (−4𝑎𝑏) + (−3𝑎𝑏) = 𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 − 4𝑎𝑏 − 3𝑎𝑏 = 3𝑎𝑏 − 7𝑎𝑏 = −4𝑎𝑏

Ejemplo 2.12

(2𝑥 + 𝑦) + (−3𝑥 − 2𝑦) = 2𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 2𝑦 = −𝑥 − 𝑦 Restar significa cambiar por el inverso aditivo el coeficiente del término que está después del símbolo de resta.

Ejemplo 2.13

−(4𝑥) − (−5𝑥) − (3𝑥) − (−𝑥) = −4𝑥 + 5𝑥 − 3𝑥 + 𝑥 = 6𝑥 − 7𝑥 = −𝑥

Ejemplo 2.14

−(𝑎𝑏) − (2𝑎𝑏) − (−4𝑎𝑏) − (−3𝑎𝑏) = −𝑎𝑏 − 2𝑎𝑏 + 4𝑎𝑏 + 3𝑎𝑏 = −3𝑎𝑏 + 7𝑎𝑏 = 4𝑎𝑏

Ejemplo 2.15

−(2𝑥 + 𝑦) − (−3𝑥 − 2𝑦) = −2𝑥 − 𝑦 + 3𝑥 + 2𝑦 = 𝑥 + 𝑦 Al realizar una suma algebraica, los coeficientes se suman o restan, y las literales se conservan.

Ejemplo 2.16

2𝑎 + 3𝑎 − 𝑎 = 5𝑎 − 𝑎 = 4𝑎 Coeficientes: 2 + 3 – 1 = 5 – 1 = 4.

Literales: a más a = a. (metros más metros = metros, gramos más gramos = gramos) Es decir, los coeficientes se suman algebraicamente y la literal queda igual. Ejercicios 2.2 Efectuar las operaciones indicadas. Ordene alfabéticamente la expresión resultante. 𝑎) (4𝑚𝑛 − 6𝑛𝑚 + 2𝑝) + (−5𝑝 − 3𝑚𝑛)

𝑏) (−3𝑥3 + 5𝑥2 − 𝑥) + (5𝑥3 − 6𝑥2)

𝑐) (4𝑎2𝑏 − 2𝑎𝑏 + 3𝑏2) − (−2𝑏2 + 𝑎2𝑏 − 2𝑎𝑏)

𝑑) (−2𝑚3 + 5𝑚2 − 6) − (−𝑚2 + 2 − 5𝑚3)

8

Producto Al llevar a cabo un producto (multiplicación), los coeficientes se multiplican aplicando la Ley de los signos, TABLA 2. 3, y los exponentes de las literales se suman algebraicamente (cuando la base o literal es la misma).

Ejemplo 2.17

(2𝑎)(3𝑎−2)(−𝑎5) = (2)(3)(−1)𝑎1−2+5 = −6𝑎4 Coeficientes: (2) (3) (-1) = - 6.

Literales: 1 + (- 2) + (5) = 1 – 2 + 5 = 4 → a 4. Es decir, los coeficientes se multiplican y los exponentes de las literales se suman algebraicamente.

TABLA 2. 3 Ley de los signos

MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN RESULTADO

+ + +

+ - -

- + -

- - + Cuando se realiza una multiplicación entre monomios, se efectúan los pasos siguientes. 1. Se multiplican los coeficientes aplicando la Ley de los signos. 2. Al multiplicar potencias de bases iguales se suman sus exponentes. Si hay bases que no se repiten, se conserva su potencia.

Ejemplo 2.18

(−𝑥𝑦)(3𝑧) = (−1)(3)(𝑥𝑦)(𝑧) = −3𝑥𝑦𝑧

Ejemplo 2.19

(−3𝑎𝑏)(−2𝑎2) = (−3)(−2)(𝑎𝑏)(𝑎2) = 6𝑎3𝑏 3. Cuando el coeficiente no está explícito (no está escrito), le corresponde el número 1 con el signo que tiene, pero éste no se escribe.

Ejemplo 2.20

−1𝑥𝑦 = −𝑥𝑦 4. Cuando el coeficiente de la literal no está explícito, le corresponde el número 1, pero éste no se escribe.

Ejemplo 2.21

𝑚1 = 𝑚

9

Cuando se realiza una multiplicación entre un monomio y un polinomio, se efectúan los pasos siguientes. 1. Se identifican los términos del polinomio. 2. El monomio se multiplica por cada uno de los términos del polinomio, ya ordenado en forma descendente respecto a una literal. Cada multiplicación hecha genera un nuevo término.

- Se multiplican los coeficientes, aplicando la Ley de los signos. - Se multiplican las literales, y si son potencias de bases iguales, sus exponentes se

suman algebraicamente.

Ejemplo 2.22

−𝑎2𝑏 (−3𝑎 + 5𝑎𝑏2 − 𝑐) = (−𝑎2𝑏 )(−3𝑎) + (−𝑎2𝑏 )(5𝑎𝑏2) + (−𝑎2𝑏 )(−𝑐)

= 3𝑎3𝑏 − 5𝑎3𝑏3 + 𝑎2𝑏𝑐

Ejemplo 2.23

(1

3𝑥2𝑦) (−

2

5𝑥3𝑦2 + 𝑥2𝑦 − 3𝑥) = (

1

3𝑥2𝑦) (−

2

5𝑥3𝑦2) + (

1

3𝑥2𝑦) (𝑥2𝑦) + (

1

3𝑥2𝑦) (−3𝑥)

= −2

15𝑥5𝑦3 +

1

3𝑥4𝑦2 − 𝑥3𝑦

Cuando se realiza una multiplicación entre un polinomio y otro polinomio, se efectúan los pasos siguientes. 1. Se toma el primer término del primer polinomio y éste se multiplica por cada uno de los términos del otro polinomio. Se aplica la Ley de los signos, y si son potencias de bases iguales, se suman sus exponentes. 2. El proceso anterior se repite para cada término del primer factor. 3. Se efectúa una suma de términos semejantes si los hay.

- Por lo general se acomoda como primer factor el polinomio con menor cantidad de términos.

Ejemplo 2.24

(2𝑥 − 3𝑦)(𝑥2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦2)

= (2𝑥)(𝑥2) + (2𝑥)(−2𝑥𝑦) + (2𝑥)(−3𝑦2) + (−3𝑦)(𝑥2) + (−3𝑦)(−2𝑥𝑦) + (−3𝑦)(−3𝑦2)

= 2𝑥3 − 4𝑥2𝑦 − 6𝑥𝑦2 − 3𝑥2𝑦 + 6𝑥𝑦2 + 9𝑦3

= 2𝑥3 − 7𝑥2𝑦 + 9𝑦3

10

Ejemplo 2.25

(𝑎2 − 4𝑎 + 6)(7𝑎2 − 5𝑎 − 2)

= (𝑎2)(7𝑎2) + (𝑎2)(−5𝑎) + (𝑎2)(−2) + (−4𝑎)(7𝑎2) + (−4𝑎)(−5𝑎) + (−4𝑎)(−2)+ (6)(7𝑎2) + (6)(−5𝑎) + (6)(−2)

= 7𝑎4 − 5𝑎3 − 2𝑎2 − 28𝑎3 + 20𝑎2 + 8𝑎 + 42𝑎2 − 30𝑎 − 12

= 7𝑎4 − 33𝑎3 + 60𝑎2 − 22𝑎 − 12 Ejercicios 2.3 Efectuar las siguientes operaciones. Si es posible, simplificar las fracciones.

𝑎) (−6𝑥3𝑦4𝑧)(4𝑥2𝑦𝑧3)

𝑏) (4𝑎5𝑏2)(−2𝑐7𝑑)

𝑐) (−4𝑚2𝑛3)(3𝑚𝑛3) (−1

6𝑚)

𝑑) (−2𝑚2𝑛4)(−3𝑚𝑛2 + 5𝑚3𝑛)

𝑒) (−2𝑎2𝑏)(−3𝑎3 + 4𝑎𝑏2 − 5)

𝑓) (2

3𝑥2) (−

1

6𝑥3𝑦2 −

4

9𝑥2 + 𝑥𝑦2)

𝑔) (3

2𝑎𝑏2) (

2

5𝑎2𝑏 −

4

3𝑎𝑏 − 4)

ℎ) (𝑥2𝑦8𝑧6)(−𝑥𝑦3𝑧2 + 3𝑥2𝑧 − 5𝑦4𝑧2)

𝑖) (3𝑥3 + 2𝑥2)(−4𝑥2 + 3𝑥)

𝑗) (−2𝑎2 + 5𝑏3)(−2𝑎2 + 5𝑏3) Cociente Al obtener el cociente (división) de expresiones algebraicas se deben realizar los pasos siguientes. 1. Si la división es de monomio entre monomio o de polinomio entre monomio, ésta deberá ser expresada en forma de fracción. 2. Se aplica la Ley de los signos. 3. Se dividen los coeficientes, y si la división no es exacta, se expresa como fracción simplificada.

11

4. Se dividen las literales. Si son bases iguales, sus exponentes se restan. Si no son bases iguales, entonces se quedan como están. Los exponentes se deben expresar como positivos. Para efectuar una división de monomio entre monomio, es conveniente que se exprese en forma de fracción y después aplicar los pasos 2, 3 y 4.

Ejemplo 2.26

−8𝑥5𝑦2𝑧3

−4𝑥3𝑦2𝑧= (

−8

−4) (𝑥5−3)(𝑦2−2)(𝑧3−1) = 2𝑥2𝑦0𝑧2 = 2𝑥2𝑧2

Ejemplo 2.27

4𝑎2𝑏4𝑐

−6𝑎3𝑏2𝑐4= (

4

−6) (𝑎2−3)(𝑏4−2)(𝑐1−4) = −

4

6𝑎−1𝑏2𝑐−3 = −

2𝑏2

3𝑎𝑐3

Ejemplo 2.28

25𝑥3𝑦2𝑧4

−49𝑥

2𝑧= (

25

−49

)(𝑥3−2)(𝑦2)(𝑧4−1) = −18

20𝑥1𝑦2𝑧3 = −

9

10𝑥𝑦2𝑧3

Para efectuar una división de polinomio entre monomio, es conveniente que se exprese en forma de fracción y después aplicar los pasos 2, 3 y 4. Al resolver en forma de fracción será necesario separar cada uno de los términos del polinomio entre el monomio, aplicando la Ley de los signos.

Ejemplo 2.29

−2𝑥3𝑦2𝑧4 + 6𝑥2𝑦𝑧3

3𝑥2𝑦3𝑧2= −

2𝑥3𝑦2𝑧4

3𝑥2𝑦3𝑧2+6𝑥2𝑦𝑧3

3𝑥2𝑦3𝑧2

= (−2

3) (𝑥3−2)(𝑦2−3)(𝑧4−2) + (

6

3) (𝑥2−2)(𝑦1−3)(𝑧3−2) = −

2

3𝑥1𝑦−1𝑧2 + 2𝑥0𝑦−2𝑧1

= −2𝑥𝑧2

3𝑦+2𝑧

𝑦2

Ejemplo 2.30

6𝑎4𝑏2𝑐 − 𝑎3𝑏4𝑐2 − 12𝑎2𝑏𝑐3

−4𝑎2𝑏3𝑐4= −

6𝑎4𝑏2𝑐

4𝑎2𝑏3𝑐4+𝑎3𝑏4𝑐2

4𝑎2𝑏3𝑐4+12𝑎2𝑏𝑐3

4𝑎2𝑏3𝑐4

= (−3

2) (𝑎4−2)(𝑏2−3)(𝑐1−4) + (

1

4) (𝑎3−2)(𝑏4−3)(𝑐2−4) + (3)(𝑎2−2)(𝑏1−3)(𝑐3−4)

= −3

2𝑎2𝑏−1𝑐−3 +

1

4𝑎1𝑏1𝑐−2 + 3𝑎0𝑏−2𝑐−1 = −

3𝑎2

2𝑏𝑐3+𝑎𝑏

4𝑐2+

3

𝑏2𝑐

12

Ejemplo 2.31

−5𝑥3𝑦 + 9𝑥2𝑦3𝑧2 − 6𝑥𝑦2𝑧

9𝑥2𝑦3𝑧2= −

5𝑥3𝑦

9𝑥2𝑦3𝑧2+9𝑥2𝑦3𝑧2

9𝑥2𝑦3𝑧2−

6𝑥𝑦2𝑧

9𝑥2𝑦3𝑧2

= (−5

9) (𝑥3−2)(𝑦1−3)(𝑧0−2) + (1)(𝑥2−2)(𝑦3−3)(𝑧2−2) − (

2

3) (𝑥1−2)(𝑦2−3)(𝑧1−2)

= −5

9𝑥1𝑦−2𝑧−2 + 𝑥0𝑦0𝑧0 −

2

3𝑥−1𝑦−1𝑧−1 = −

5𝑥

9𝑦2𝑧2+ 1 −

2

3𝑥𝑦𝑧= −

5𝑥

9𝑦2𝑧2−

2

3𝑥𝑦𝑧+ 1

Para resolver una división de un polinomio entre otro polinomio es necesario el uso de la galera (“casita”). Se deben efectuar los siguientes pasos. 1. Ordenar dividendo (adentro de la galera) y divisor (afuera de la galera), según las potencias descendentes (de mayor a menor) de una misma literal que aparezca en ambos polinomios. 2. Si el dividendo no cuenta con todas sus potencias continuas, se debe dejar un espacio en blanco en donde éstas falten. 3. Para obtener el primer término del cociente, se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. 4. Se multiplica este primer término del cociente por todo el divisor, y se resta algebraicamente del dividendo. 5. El residuo obtenido se trata como un nuevo dividendo y se repiten los pasos 3 y 4. 6. Se continúa con el mismo proceso, hasta que en el residuo el exponente de la literal escogida sea menor que el exponente de la misma literal en el divisor. 7. El resultado de la división se expresa como el cociente más/menos el residuo entre el divisor.

Ejemplo 2.32

𝑥 + 2 → Cociente 1. Ya están ordenados de mayor a menor.

𝑥 + 1 𝑥2 + 3𝑥 − 1 2. Las potencias son continuas.

−(𝑥2 + 𝑥) 3. 𝑥2 𝑥⁄ = 𝑥, primer término del cociente.

0 2𝑥 − 1 4. (𝑥)(𝑥 + 1) = 𝑥2 + 𝑥. Se resta al dividendo.

−(2𝑥 + 2) 5. 2𝑥 𝑥⁄ = 2, segundo término del cociente.

− 3 → Residuo 6. (2)(𝑥 + 1) = 2𝑥 + 2. Se resta al dividendo, y

termina la división pues en el residuo no aparece la literal seleccionada.

𝑥2 + 3𝑥 − 1

𝑥 + 1= 𝑥 + 2 −

3

𝑥 + 1

13

Ejemplo 2.33

4𝑥2 − 2𝑥 + 6 1. Ya están ordenados de mayor a menor.

𝑥 + 3 4𝑥3 + 10𝑥2 𝑥2 + 3 2. Se deja espacio para la potencia 1 faltante.

−(4𝑥3 + 12𝑥2) 3. 4𝑥3 𝑥⁄ = 4𝑥2, primer término del cociente.

0 −2𝑥2 4. (4𝑥2)(𝑥 + 3) = 4𝑥3 + 12𝑥2. Se resta al dividendo.

−(−2𝑥2 − 6𝑥) 5. −2𝑥2 𝑥⁄ = −2𝑥, segundo término del cociente.

0 6𝑥 + 3 6. (−2𝑥)(𝑥 + 3) = −2𝑥2 − 6𝑥. Se resta al dividendo.

−(6𝑥 + 18) 7. 6𝑥 𝑥⁄ = 6, tercer término del cociente.

− 15 8. (6)(𝑥 + 3) = 6𝑥 + 18. Se resta al dividendo, y

termina la división.

4𝑥3 + 10𝑥2 + 3

𝑥 + 3= 4𝑥2 − 2𝑥 + 6 −

15

𝑥 + 3

Ejercicios 2.4 Efectuar las siguientes divisiones.

𝑎) −4𝑚2𝑛3 8𝑚𝑛4⁄

𝑏) −9𝑟4𝑠𝑡2 (−3𝑟2𝑠𝑡)⁄

𝑐) 2𝑥2𝑦3𝑧 6𝑥2𝑦3𝑧⁄

𝑑) (−4𝑚3𝑛4 + 10𝑚2𝑛3 − 8𝑚𝑛) (−2𝑚𝑛)⁄

𝑒) (12𝑝5𝑞3𝑟2 − 6𝑝3𝑞4𝑟3) (−3𝑝2𝑞3𝑟)⁄

𝑓) (−4𝑥5𝑦3𝑧2 + 6𝑥3𝑦2𝑧 − 8) (−𝑥3𝑦2)⁄

𝑔) (3𝑎2𝑏3 − 6𝑎𝑏4 + 9) 9𝑎2𝑏3⁄

ℎ) (8𝑥2 + 6𝑥 + 4) (𝑥 + 2)⁄

𝑖) (𝑥2 − 7𝑥 + 3) (𝑥 − 4)⁄

𝑗) (2𝑦3 + 5𝑦2 + 2𝑦 − 1) (𝑦 + 3)⁄

2.2 Productos notables Es el nombre que reciben las multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin realizar las operaciones. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.

14

2.2.1 Binomios conjugados El producto de la suma de dos términos por su diferencia es igual al cuadrado del término positivo (de cualquier factor) menos el cuadrado del término negativo.

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦2 = 𝑥2 − 𝑦2

Ejemplo 2.34

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥2 − 4

(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 𝑥2 − 2𝑥 + 2𝑥 − 4, donde se eliminan −2𝑥 y +2𝑥 quedando 𝑥2 − 4.

Ejemplo 2.35

(𝑥 +2

3) (𝑥 −

2

3) = 𝑥2 −

4

9

Ejercicios 2.5 Por simple inspección determinar el resultado de los siguientes ejercicios. 𝑎) (𝑚 − 𝑛)(𝑚 + 𝑛) 𝑏) (𝑎 − 𝑥)(𝑎 + 𝑥)

𝑐) (1

2𝑥2 −

3

4𝑎2) (

1

2𝑥2 +

3

4𝑎2)

𝑑) (2𝑎 − 1)(1 + 2𝑎) 𝑒) (1 − 3𝑎𝑥)(3𝑎𝑥 + 1) 𝑓) (2𝑚 + 9)(2𝑚 − 9)

𝑔) (𝑎3 − 𝑏2)(𝑎3 + 𝑏2) ℎ) (1 − 8𝑥𝑦)(8𝑥𝑦 + 1) 𝑖) (𝑎𝑚 + 𝑏𝑛)(𝑎𝑚 − 𝑏𝑛)

𝑗) (𝑎𝑥+1 − 2𝑏𝑥−1)(2𝑏𝑥−1 + 𝑎𝑥+1)

𝑘) (4𝑚2 − 𝑛5)(4𝑚2 + 𝑛5)

𝑙) (𝑎𝑏3 − 𝑥4𝑦)(𝑎𝑏3 + 𝑥4𝑦)

𝑚) (3

7− 𝑎2𝑏3)(

3

7+ 𝑎2𝑏3)

𝑛) (5𝑎6 − 2)(5𝑎6 + 2)

𝑜) (𝑚3𝑛7 − 4𝑥𝑦5)(𝑚3𝑛7 + 4𝑥𝑦5)

𝑝) (8 + 𝑎3𝑏4𝑐5)(8 − 𝑎3𝑏4𝑐5)

𝑞) (9𝑎10 − 2𝑏3𝑐3)(9𝑎10 − 2𝑏3𝑐3)

𝑟) (𝑥𝑦9 − 7𝑧7)(𝑥𝑦9 + 7𝑧7)

𝑠) (2𝑎4𝑚 + 6𝑏3𝑛)(2𝑎4𝑚 − 6𝑏3𝑛)

𝑡) (5𝑎2𝑥+1 − 𝑏3𝑥−1)(5𝑎2𝑥+1 + 𝑏3𝑥−1)

2.2.2 Binomio al cuadrado A la multiplicación de un binomio por sí mismo se le conoce como binomio al cuadrado. El resultado es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo, más el cuadrado del segundo término. El desarrollo de un binomio al cuadrado se conoce como trinomio cuadrado perfecto (TCP).

(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

5

Ejemplo 2.36

(𝑥 + 3)2 = 𝑥2 + (2)(𝑥)(3) + 9 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 (𝑥 + 3)2 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 3) = 𝑥2 + 3𝑥 + 3𝑥 + 9, se suman los términos semejantes 3𝑥 + 3𝑥 =6𝑥, y finalmente se obtiene 𝑥2 + 6𝑥 + 9.

Ejemplo 2.37

(𝑥 − 5)2 = 𝑥2 + (2)(𝑥)(−5) + 25 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25 Ejercicios 2.6 Por simple inspección determinar el resultado de los siguientes ejercicios.

𝑎) (𝑚 + 𝑛)2

𝑏) (5 + 𝑥)2

𝑐) (9 + 4𝑚)2

𝑑) (4

5+ 3𝑥2)

2

𝑒) (2

3𝑥 + 3𝑦)

2

𝑓) (𝑎2𝑥 + 𝑏𝑦2)2

𝑔) (3𝑎2 + 8𝑏4)2

ℎ) (4𝑚5 + 5𝑛6)2

𝑖) (𝑎𝑚 + 𝑎𝑛)2

𝑗) (𝑥𝑎+1 + 𝑦𝑥−2)2

𝑘) (3𝑚2 − 4𝑛7)2

𝑙) (12 − 5𝑥3𝑦5)2

𝑚) (9

4𝑚3 − 4𝑛4)

2

𝑛) (7

3𝑥3 − 3𝑦5𝑧5)

2

𝑜) (7𝑥8 − 5𝑦9)2

𝑝) (8𝑎3𝑥10 − 3𝑏4𝑦7)2

𝑞) (12𝑎4 − 7𝑏9𝑐6)2

𝑟) (−3𝑚6 + 13𝑛13)2

2.2.3 Binomio al cubo Cuando un binomio se multiplica por sí mismo tres veces se tiene un binomio al cubo. El resultado es el cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término. El desarrollo de un binomio al cubo se conoce como cubo perfecto.

(𝑎 + 𝑏)3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)2(𝑎 + 𝑏) = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏)

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 2𝑎2𝑏 + 2𝑎𝑏2 + 𝑎𝑏2 + 𝑏3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3

Ejemplo 2.38

(𝑥 + 2)3 = 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8

5

(𝑥 + 2)3 = (𝑥 + 2)(𝑥 + 2)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)2(𝑥 + 2), y se desarrolla el binomio al cuadrado. (𝑥 + 2)3 = (𝑥2 + 4𝑥 + 4)(𝑥 + 2) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 4𝑥2 + 8𝑥 + 4𝑥 + 8, y se suman los términos

semejantes 2𝑥2 + 4𝑥2 = 6𝑥2 y 8𝑥 + 4𝑥 = 12𝑥.

(𝑥 + 2)3 = 𝑥3 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 8

Ejemplo 2.39

(𝑥 − 3)3 = 𝑥3 + (3)(𝑥2)(−3) + (3)(𝑥)(9) + (−27)

(𝑥 − 3)3 = 𝑥3 − 9𝑥2 + 27𝑥 − 27 Ejercicios 2.7 Por simple inspección determinar el resultado de los siguientes ejercicios.

𝑎) (𝑎 + 2)3

𝑏) (𝑥 − 1)3

𝑐) (𝑚 + 3)3

𝑑) (𝑛 − 4)3

𝑒) (2𝑥 + 1)3

𝑓) (2 + 𝑦2)3

𝑔) (1 − 2𝑛)3

ℎ) (4𝑛 + 3)3

𝑖) (𝑎2 − 2𝑏)3

𝑗) (2𝑥 + 3𝑦)3 2.2.4 Triángulo de Pascal Es un número infinito de números enteros ordenado en forma de triángulo que expresan coeficientes binomiales. Es decir, permite la generación de los coeficientes de los binomios elevados al cuadrado, cubo y así sucesivamente. En la Fig. 2. 2 se muestra una representación del triángulo de Pascal.

Fig. 2. 2 Triángulo de Pascal

6

Este triángulo se elabora con el número uno en la punta. A partir de la segunda fila, los números de cada cuadro se generan con la suma de los números de los cuadros directamente arriba del cuadro donde se colocará el número buscado. La Fig. 2. 3 muestra lo anterior aplicado a la fila cuatro (binomio al cubo).

Fila 3 → 1 2 1

1 1+2 2+1 1

Fila 4 → 1 3 3 1

Fig. 2. 3 Triángulo de Pascal. Binomio al cubo

Así, quedan comprobados los coeficientes de un binomio al cubo.

(𝑎 + 𝑏)3 = 𝟏𝑎3 + 𝟑𝑎2𝑏 + 𝟑𝑎𝑏2 + 𝟏𝑏3 De igual forma, se obtienen los coeficientes de binomios elevados a diferentes potencias. 2.2.5 Binomios con término común

El producto de dos binomios del tipo (𝑥 + 𝑎) y (𝑥 + 𝑏), donde "𝑥" es el término común es igual al cuadrado del término común, más el producto de la suma de los términos no comunes por el termino común, más el producto de los términos no comunes.

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + 𝑥𝑏 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑏 Agrupando los términos: 𝑥𝑏 + 𝑎𝑥 = 𝑥(𝑎 + 𝑏)

(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) = 𝑥2 + 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑎𝑏 = 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏

Ejemplo 2.40

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 𝑥2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6. Agrupando los términos semejantes 3𝑥 + 2𝑥 = 5𝑥.

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) = 𝑥2 + 5𝑥 + 6

Ejemplo 2.41

(𝑥 + 4)(𝑥 − 7) = 𝑥2 + (4 − 7)𝑥 + (−28) = 𝑥2 − 3𝑥 − 28

Ejemplo 2.42

(𝑥 − 1)(𝑥 − 5) = 𝑥2 + (−1 − 5)𝑥 + 5 = 𝑥2 − 6𝑥 + 5

7

Ejercicios 2.8 Por simple inspección determinar el resultado de los siguientes ejercicios. 𝑎) (𝑎 + 1)(𝑎 + 2) 𝑏) (𝑥 − 3)(𝑥 − 1)

𝑐) (𝑎2 + 5)(𝑎2 − 9)

𝑑) (𝑥2 − 1)(𝑥2 − 7)

𝑒) (𝑛3 − 1)(𝑛3 − 6)

𝑓) (𝑥3 + 7)(𝑥3 − 6)

𝑔) (𝑎5 − 2)(𝑎5 + 7)

ℎ) (𝑥𝑦2 − 9)(𝑥𝑦2 + 12)

𝑖) (𝑎2𝑏2 − 1)(𝑎2𝑏2 + 7) 𝑗) (𝑎𝑥 − 3)(𝑎𝑥 + 8)

2.3 Factorización La factorización es un proceso contrario a la multiplicación y su objetivo es simplificar las expresiones algebraicas. Factorizar significa encontrar los factores que pueden originar una cantidad. Es la representación de una cantidad o expresión algebraica como producto de dos o más factores, es decir, la descomposición en factores.

Ejemplo 2.43

18 = (1)(18) = (2)(9) = (3)(6) = (2)(3)(3) 2.3.1 Factor común de un polinomio En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva. Para llevar a cabo este proceso, es necesario identificar el factor común (que se repite) en el polinomio. El factor común puede ser un número o literal, un monomio o un polinomio. Los pasos a seguir para realizar una factorización por factor común son los siguientes. 1. Identificar visualmente cuál o cuáles son los términos comunes en el polinomio. Éste será el factor común. 2. Dividir el polinomio entre el factor común para así obtener el otro factor.

8

Ejemplo 2.44

𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 → Expresión

𝑥 → Factor común

𝑎𝑥

𝑥−𝑏𝑥

𝑥+𝑐𝑥

𝑥= 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 → Segundo factor

𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑐𝑥 = 𝑥 (𝑎 − 𝑏 + 𝑐) → Factorización

Ejemplo 2.45

𝑥(𝑎 + 𝑏) − 𝑦(𝑎 + 𝑏) + 𝑧(𝑎 + 𝑏) → Expresión

(𝑎 + 𝑏) → Factor común

𝑥(𝑎 + 𝑏)

(𝑎 + 𝑏)−𝑦(𝑎 + 𝑏)

(𝑎 + 𝑏)+𝑧(𝑎 + 𝑏)

(𝑎 + 𝑏)= 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 → Segundo factor

𝑥(𝑎 + 𝑏) − 𝑦(𝑎 + 𝑏) + 𝑧(𝑎 + 𝑏) = (𝑎 + 𝑏)(𝑥 − 𝑦 + 𝑧) → Factorización

Ejemplo 2.46

4𝑥2𝑦 − 8𝑥𝑦 + 2𝑦 → Expresión

2𝑦 → Factor común

4𝑥2𝑦

2𝑦−8𝑥𝑦

2𝑦+2𝑦

2𝑦= 2𝑥2 − 4𝑥 + 1 → Segundo factor

4𝑥2𝑦 − 8𝑥𝑦 + 2𝑦 = 2𝑦 (2𝑥2 − 4𝑥 + 1) → Factorización

Ejemplo 2.47

𝑎2(𝑥 − 𝑦)3 − 𝑏2(𝑥 − 𝑦)2 + 𝑐(𝑥 − 𝑦) → Expresión

(𝑥 − 𝑦) → Factor común

𝑎2(𝑥 − 𝑦)3

(𝑥 − 𝑦)−𝑏2(𝑥 − 𝑦)2

(𝑥 − 𝑦)+𝑐(𝑥 − 𝑦)

(𝑥 − 𝑦)= 𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐 → Segundo factor

𝑎2(𝑥 − 𝑦)3 − 𝑏2(𝑥 − 𝑦)2 + 𝑐(𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)(𝑎2 − 𝑏2 + 𝑐) → Factorización

Ejercicios 2.9 Factorizar los siguientes polinomios. 𝑎) 7𝑎 − 7𝑏 + 7𝑐 − 7𝑑

𝑏) 49𝑥4 − 35𝑥3 + 14𝑥2

𝑐) 𝑚2(𝑎 + 𝑏) + 𝑛(𝑎 + 𝑏)

9

𝑑) −8𝑡2

5+12𝑡

25−16

15

𝑒) (1

3𝑎2 +

2

5𝑏) (

4

5𝑥2) + (

1

3𝑎2 +

2

5𝑏) (

2

5𝑦)

𝑓) 44𝑎3𝑏4 + 33𝑎2𝑏3 − 11𝑎𝑏2

𝑔) (6𝑥 − 7𝑦)(𝑎 + 𝑏)2 + (−2𝑥 − 5𝑦)(𝑎 + 𝑏)2

ℎ) 9𝑥2(3𝑎 + 2𝑏 − 4𝑐) − 9𝑥2(−5𝑎 + 3𝑏 − 6𝑐) 2.3.2 Factorización por agrupación Cuando se tienen polinomios que no tienen un solo factor común pero algunas literales se repiten en él, se puede aplicar la propiedad asociativa y la propiedad conmutativa a estos términos semejantes y después factorizar.

Ejemplo 2.48

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑒𝑦 → Expresión

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦⏟ − 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥 − 𝑒𝑦⏟ → Términos semejantes

(𝑎𝑥 − 𝑐𝑥 + 𝑑𝑥) + (𝑏𝑦 − 𝑒𝑦) → Agrupación

𝑥 (𝑎 − 𝑐 + 𝑑) + 𝑦 (𝑏 − 𝑒) → Factorización

Ejemplo 2.49

𝑎𝑚 − 𝑎𝑛 + 𝑏𝑚 − 𝑏𝑛 → Expresión

𝑎𝑚 − 𝑎𝑛⏟ + 𝑏𝑚 − 𝑏𝑛⏟ → Términos semejantes

(𝑎𝑚 + 𝑏𝑚) + (−𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) → Agrupación

𝑚 (𝑎 + 𝑏) − 𝑛 (𝑎 + 𝑏) → Primera Factorización

(𝑎 + 𝑏)(𝑚 − 𝑛) → Segunda Factorización

Ejemplo 2.50

−5𝑎2 + 3𝑎𝑥 − 10𝑎 + 6𝑥 → Expresión

−5𝑎2 + 3𝑎𝑥⏟ −10𝑎 + 6𝑥⏟ → Términos semejantes

(−5𝑎2 − 10𝑎) + (3𝑎𝑥 + 6𝑥) → Agrupación

−5𝑎 (𝑎 + 2) + 3𝑥 (𝑎 + 2) → Primera Factorización

(𝑎 + 2)(−5𝑎 + 3𝑥) = (𝑎 + 2)(3𝑥 − 5𝑎) → Segunda Factorización

10

Ejercicios 2.10 Factorizar los siguientes polinomios.

𝑎) 𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦2 − 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑦 𝑏) − 2𝑎𝑚 + 6𝑏𝑛 − 9𝑐𝑛 + 5𝑑𝑚 − 3𝑛

𝑐) 4𝑎2 + 𝑎𝑏 − 4𝑎 − 𝑏

𝑑) 𝑚2 − 𝑏2 +𝑚 − 𝑏2𝑚

𝑒) 2𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 2.3.3 Factorización de una diferencia de cuadrados En el tema 2.2.1, se demostró que al multiplicar la suma de dos términos por su diferencia (binomios conjugados), se obtiene como resultado una diferencia de cuadrados. Ahora se invertirá ese proceso. Es decir, si se tiene una diferencia de cuadrados, cómo obtener el producto de una suma por su diferencia (binomios conjugados). Esto quiere decir que se encontrará el par de factores que originaron la diferencia de cuadrados. Para factorizar una diferencia de cuadrados (una vez verificado que se trata de ésta), se deben realizar los pasos siguientes. 1. Se extrae la raíz cuadrada al primer y segundo término. 2. Se multiplica la suma de estas raíces por su diferencia.

- En la diferencia, el sustraendo debe ser la raíz cuadrada del sustraendo de la diferencia de cuadrados.

Ejemplo 2.51

16𝑚2 − 25𝑛2 → Diferencia de cuadrados

4𝑚 → Raíz cuadrada primer término

5𝑛 → Raíz cuadrada segundo término

(4𝑚 + 5𝑛)(4𝑚 − 5𝑛) → Binomios conjugados

Ejemplo 2.52

8𝑥2 − 2𝑦2 = 2 (4𝑥2 − 𝑦2) → Diferencia de cuadrados

2𝑥 → Raíz cuadrada primer término

𝑦 → Raíz cuadrada segundo término

2 (2𝑥 + 𝑦)(2𝑥 − 𝑦) → Binomios conjugados

11

Ejemplo 2.53

9𝑎3𝑥4 − 16𝑎3𝑦2 = 𝑎3 (9𝑥4 − 16𝑦2) → Diferencia de cuadrados

3𝑥2 → Raíz cuadrada primer término

4𝑦 → Raíz cuadrada segundo término

𝑎3 (3𝑥2 + 4𝑦)(3𝑥2 − 4𝑦) → Binomios conjugados

Ejercicios 2.11 Factorizar las siguientes diferencias de cuadrados.

𝑎) 9𝑥4 − 4𝑦2

𝑏) 25𝑎2𝑥 − 16𝑏6𝑥

𝑐) 81𝑚8 − 1

𝑑) 25𝑥6 − 100

𝑒) 18𝑚2 − 50𝑛2

𝑓) 16𝑎4𝑏2 − 9𝑐6

𝑔) 9𝑎 − 4𝑎𝑚10

ℎ) 64𝑥8𝑦4 − 1

𝑖) 1

4 𝑎4 −

4

25 𝑏6

𝑗) 81𝑥𝑦6 −9

4𝑥

𝑘) 4

49 𝑥6 −

1

9 𝑦4

2.3.4 Factorización del trinomio cuadrado perfecto (TCP) En el tema 2.2.2 se desarrolló un binomio al cuadrado obteniendo como resultado un trinomio que recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto. Ahora se factorizará el trinomio cuadrado perfecto, es decir, se tendrá que encontrar los factores que lo originaron. Antes de factorizar un trinomio cuadrado perfecto se debe identificar que realmente lo es. Para que el trinomio sea cuadrado perfecto, deberá estar ordenado en forma descendente respecto a una literal y debe cumplir las condiciones siguientes. 1. El primer y último término deben tener raíz cuadrada exacta y ser positivos. 2. El segundo término debe ser el doble del producto de las raíces de ambos términos.

12

Ejemplo 2.54

9𝑥4 + 12𝑥2𝑦 + 4𝑦2

√9𝑥4 = 3𝑥2 ← Raíz cuadrada exacta → √4𝑦2 = 2𝑦

2 (3𝑥2)(2𝑦) = 12𝑥2𝑦

SÍ es un TCP

Ejemplo 2.55

49𝑥6 + 70𝑥2 + 25

√49𝑥6 = 7𝑥3 ← Raíz cuadrada exacta → √25 = 5

2 (7𝑥3)(5) = 70𝑥3 ≠ 70𝑥2

NO es un TCP

Una vez que se ha identificado sin error un trinomio cuadrado perfecto, se deben realizar los pasos siguientes para llevar a cabo el proceso de factorización. 1. Se extrae la raíz cuadrada al primer y tercer término del trinomio. 2. Con estas raíces se forma un binomio que tendrá el signo del segundo término del trinomio, es decir, será una suma o diferencia. 3. Deberá colocarse al cuadrado para finalizar la factorización (ya que este binomio es la raíz cuadrada del trinomio). En los siguientes ejemplos no se efectuará la identificación del TCP, ya que todos serán trinomios cuadrados perfectos.

Ejemplo 2.56

9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 𝑏2 → Trinomio cuadrado perfecto

3𝑎 → Raíz cuadrada primer término

+ → Signo del segundo término

𝑏 → Raíz cuadrada tercer término

(3𝑎 + 𝑏)2 → Binomio al cuadrado

13

Ejemplo 2.57

16𝑚6 − 24𝑚3𝑦2 + 9𝑦4 → Trinomio cuadrado perfecto

4𝑚3 → Raíz cuadrada primer término

− → Signo del segundo término

3𝑦2 → Raíz cuadrada tercer término

(4𝑚3 − 3𝑦2)2 → Binomio al cuadrado

Ejemplo 2.58

50𝑎𝑥2 − 20𝑎𝑥𝑦 + 2𝑎𝑦2 → Trinomio cuadrado perfecto

2𝑎 (25𝑥2 − 10𝑥𝑦 + 𝑦2) → Reescritura

5𝑥 → Raíz cuadrada primer término

− → Signo del segundo término

𝑦 → Raíz cuadrada tercer término

2𝑎 (5𝑥 − 𝑦)2 → Binomio al cuadrado

Ejercicios 2.12 Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos.

𝑎) 𝑥2 − 2𝑥 + 1

𝑏) 𝑎4 + 4𝑎2𝑏 + 4𝑏2

𝑐) 64𝑥 − 48𝑎𝑥 + 9𝑎2𝑥

𝑑) 25𝑥6 + 30𝑥3𝑦2 + 9𝑦4

𝑒) 50𝑥6 + 60𝑥3 + 18

𝑓) 25 − 20𝑥2𝑦3 + 4𝑥4𝑦6

𝑔) 4𝑎4𝑏6 + 12𝑎2𝑏3𝑥3𝑦 + 9𝑥6𝑦2

ℎ) 9

25 𝑦6 −

8

5 𝑦3 +

16

9

𝑖) 1

25 𝑥2 +

4

15 𝑥 +

1

9

𝑗) 𝑥6 −10

7 𝑥3𝑦2 +

25

49 𝑦4

14

2.3.5 Factorización de un cubo perfecto En el tema 2.2.3 se demostró que un binomio al cubo da como resultado un polinomio de cuatro términos que recibe el nombre de cubo perfecto. Ahora, corresponde invertir el proceso, es decir, si se tiene un cubo perfecto (polinomio de cuatro términos), cómo obtener el cubo que lo generó. Antes de factorizar un polinomio de cuatro términos como un cubo perfecto, se debe verificar que en realidad lo sea. Para comprobar si es un cubo perfecto, se utiliza el siguiente procedimiento. 1. El primero y el cuarto términos deben ser cubos perfectos. Esto quiere decir que deben tener una raíz cúbica exacta. 2. El segundo término debe ser el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término. 3. El tercer término debe ser el triple de la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del último término.

Ejemplo 2.59

27𝑎3 − 54𝑎2𝑏 + 36𝑎𝑏2 − 8𝑏3

√27𝑎33

= 3𝑎 ← Raíz cúbica exacta → √−8𝑏33

= −2𝑏

3 (3𝑎)2(−2𝑏) = −54𝑎2𝑏

3 (3𝑎)(−2𝑏)2 = 36𝑎𝑏2

SÍ es un cubo perfecto

Ejemplo 2.60

𝑥6 − 9𝑥4 + 27𝑥2 + 27

√𝑥63

= 𝑥2 ← Raíz cúbica exacta → √273

= 3

3 (𝑥2)2(3) = 9𝑥4 ≠ −9𝑥4

3 (𝑥2)(3)2 = 27𝑥2

NO es un cubo perfecto

15

Una vez que se ha identificado un cubo perfecto, se puede realizar su factorización siguiendo los pasos que a continuación se enumeran. 1. Se extrae la raíz cúbica del primero y último términos. 2. La factorización será el cubo de la suma algebraica de las raíces cúbicas obtenidas en el punto anterior. En los siguientes ejemplos no se efectuará la identificación del cubo perfecto, ya que todos serán cubos perfectos.

Ejemplo 2.61

27𝑎3 − 54𝑎2𝑏 + 36𝑎𝑏2 − 8𝑏3 → Cubo perfecto

3𝑎 → Raíz cúbica primer término

−2𝑏 → Raíz cúbica último término

(3𝑎 − 2𝑏)3 → Binomio al cubo

Ejemplo 2.62

𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 + 1 → Cubo perfecto

𝑥 → Raíz cúbica primer término

1 → Raíz cúbica último término

(𝑥 + 1)3 → Binomio al cubo

Ejemplo 2.63

8𝑎3𝑐 − 12𝑎2𝑏𝑐 + 6𝑎𝑏2𝑐 − 𝑏3𝑐 → Cubo perfecto

𝑐 (8𝑎3 − 12𝑎2𝑏 + 6𝑎𝑏2 − 𝑏3) → Reescritura

2𝑎 → Raíz cúbica primer término

−𝑏 → Raíz cúbica último término

𝑐 (2𝑎 − 𝑏)3 → Binomio al cubo

Ejercicios 2.13 Factorizar los siguientes cubos perfectos.

𝑎) 125 − 75𝑥2 + 15𝑥4 − 𝑥6

𝑏) 𝑚6 + 3𝑚4𝑛 + 3𝑚2𝑛2 + 𝑛3

𝑐) 8𝑎3𝑏 − 36𝑎2𝑏 + 54𝑎𝑏 − 27𝑏

𝑑) 𝑎9 + 12𝑎6𝑏 + 48𝑎3𝑏2 + 64𝑏3

16

𝑒) 𝑥𝑦15 − 3𝑥𝑦10𝑧6 + 3𝑥𝑦5𝑧12 − 𝑥𝑧18

𝑓) 64𝑥6𝑦3 − 96𝑥4𝑦2𝑧 + 48𝑥2𝑦𝑧2 − 8𝑧3

𝑔) 27𝑎6𝑏9 + 27𝑎4𝑏6 + 9𝑎2𝑏3 + 1

ℎ) 64𝑥6 −144

5 𝑥4 +

108

25 𝑥2 −

27

125

𝑖) 1

8 𝑎3 +

1

2 𝑎2 +

2

3 𝑎 +

8

27

2.3.6 Factorización de un trinomio de la forma x2+bx+c En el tema 2.2.5 se desarrolló el producto de binomios con término común para obtener un

trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, Fig. 2. 4. Ahora corresponde factorizar el trinomio de esa misma forma, es decir, encontrar el par de binomios que lo originaron.

Fig. 2. 4 Trinomio de la forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Para factorizar un trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, se realiza el procedimiento siguiente. 1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2. Los dos términos que faltan deben cumplir las condiciones que siguen:

- Su producto debe ser igual al tercer término del trinomio (c). - La suma algebraica de éstos ha de ser igual al coeficiente del segundo término del

trinomio (b).

Nota uno: Si el término independiente c es positivo, entonces ambos factores serán sumas, o ambos diferencias. Si el término independiente c es negativo, entonces un factor será suma y el otro factor será diferencia.

Nota dos: Si el coeficiente b es positivo, y se tiene un factor suma y un factor diferencia, el número mayor va en la suma. Si el coeficiente b es negativo, y se tiene un factor suma y un factor diferencia, el número mayor va en la diferencia.

Nota tres: Si el coeficiente b es positivo, ambos factores deberán ser suma. Si el coeficiente b es negativo, ambos factores deberán ser diferencia.

17

Ejemplo 2.64

𝑥2 + 3𝑥 − 10 → Trinomio

−2 5 → Números propuestos

(−2)(5) = −10 → Multiplicación (c)

−2 + 5 = 3 → Suma algebraica (b)

(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = (𝑥 + 5)(𝑥 − 2) → Factorización

Para encontrar los dos números que cumplan las condiciones del punto 2, y poder llegar a la factorización, se propone lo siguiente.

- Descomponer en factores primos el término independiente. Para esto, se puede aplicar una de las técnicas utilizadas para encontrar el máximo común divisor, o el mínimo común múltiplo, pero ahora solo con un número (término independiente, con signo positivo, ya que el arreglo de signos se considera más adelante). Este proceso consiste en ir dividiendo la cantidad original entre números enteros hasta llegar a la unidad.

Inicio → 10 1

} 10 = (1)(2)(5) 10 1⁄ = 10 → 10 2

10 2⁄ = 5 → 5 5

5 5⁄ = 1 → 1

- Encontrar las posibles combinaciones de números que irán en los factores,

combinando los factores primos del paso anterior.

(1)[(2)(5)] = (1)(10)

[(1)(2)](5) = (2)(5)

- De acuerdo a la Nota 1, como el término independiente (−10) es negativo, entonces una factor es suma y otro diferencia. Por tanto, existen cuatro posibles soluciones.

(𝑥 + 1)(𝑥 − 10) → Primer par de números

(𝑥 + 10)(𝑥 − 1)

(𝑥 + 2)(𝑥 − 5) → Segundo par de números

(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)

- De acuerdo a la Nota 2, como el coeficiente b es positivo, el número mayor del par

de números encontrados debe ir en el factor suma.

(𝑥 + 10)(𝑥 − 1) → Primera opción

(𝑥 + 5)(𝑥 − 2) → Segunda opción

18

- Realizar la suma algebraica de los términos no comunes (números) en cada par de binomios y comprobar cuál de ellos arroja el coeficiente b (que es igual a 3).

10 + (−1) = 10 − 1 = 9 ≠ 3 → NO CUMPLE

5 + (−2) = 5 − 2 = 3 → CUMPLE

(𝑥 + 5)(𝑥 − 2) → Factorización

Ejemplo 2.65

𝑥2 + 5𝑥 + 6 → Trinomio

2 3 → Números propuestos

(2)(3) = 6 → Multiplicación (c)

2 + 3 = 5 → Suma algebraica (b)

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) → Factorización

- Descomponer en factores primos el término independiente.

Inicio → 6 1

} 6 = (1)(2)(3) 6 1⁄ = 10 → 6 2

6 2⁄ = 3 → 3 3

3 3⁄ = 1 → 1

- Encontrar las posibles combinaciones de números que irán en los factores,

combinando los factores primos del paso anterior.

(1)[(2)(3)] = (1)(6)

[(1)(2)](3) = (2)(3)

- De acuerdo a la Nota 1, como el término independiente (6) es positivo, entonces ambos factores son suma o ambos son diferencia. Por tanto, existen cuatro posibles soluciones.

(𝑥 + 1)(𝑥 + 6) → Primer par de números

(𝑥 − 1)(𝑥 − 6)

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) → Segundo par de números

(𝑥 − 2)(𝑥 − 3)

- De acuerdo a la Nota 3, como el coeficiente b es positivo, ambos factores deberán

ser suma.

(𝑥 + 1)(𝑥 + 6) → Primera opción

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) → Segunda opción

19

- Realizar la suma algebraica de los términos no comunes (números) en cada par de binomios y comprobar cuál de ellos arroja el coeficiente b (que es igual a 5).

1 + 6 = 7 ≠ 5 → NO CUMPLE

2 + 3 = 5 → CUMPLE

(𝑥 + 2)(𝑥 + 3) → Factorización Ejercicios 2.14

Factorizar los siguientes trinomios de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

𝑎) 𝑦2 − 12𝑦 + 32

𝑏) 𝑥2 + 16𝑥 + 63

𝑐) 𝑛2 − 2𝑛 − 80

𝑑) 𝑚2 + 6𝑚 − 40

𝑒) 𝑦2 − 11𝑦 + 24

𝑓) 𝑧2 − 7𝑧 − 18

𝑔) 𝑥2 − 7𝑥 + 6

ℎ) 𝑎2 + 4𝑎 − 45

𝑖) 𝑎2 − 14𝑎 + 45

𝑗) 𝑎2 − 4𝑎 − 45 2.3.7 Factorización de un trinomio de la forma ax2+bx+c

Los trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 son originados por un par de binomios con términos semejantes. Esto quiere decir que tienen la misma literal, pero su coeficiente puede ser diferente de uno.

Ejemplo 2.66

(12𝑥2 − 5𝑥 − 2) = (3𝑥 − 2)(4𝑥 + 1) La diferencia entre este trinomio y el estudiado en el tema anterior, es que el coeficiente del

término cuadrático en un trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 es diferente de uno (y cero).

Factorizar un trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 significa encontrar el par de factores que le dieron origen. Uno de los procesos para realizar una factorización en este tipo de trinomios se muestra a continuación.

20

1. Se multiplica el coeficiente del primer término (a) por el tercer término (c). 2. Se buscan dos número que, multiplicados den dicho número encontrado en el paso 1, pero que al sumarlos algebraicamente, den por resultado el coeficiente del segundo término del trinomio (b). Se puede utilizar el mismo procedimiento aplicado en el tema 2.3.6 para encontrar estos dos números. 3. Se sustituyen estos dos números encontrados por el coeficiente del segundo término (b). 4. Se realiza una factorización por agrupación, agrupando los términos de dos en dos, de manera que sus coeficientes puedan factorizarse. 5. Se factoriza nuevamente por factor común (el factor común es un binomio). Estos factores resultantes son los que originaron el trinomio.

Ejemplo 2.67

5𝑥2 − 8𝑥 + 3 → Trinomio

(5)(3) = 15 → Paso 1

−3 − 5

}→ Paso 2 (−3)(−5) = 15

−3 + (−5) = −3 − 5 = −8

5𝑥2 + (−3 − 5)𝑥 + 3 = 5𝑥2 − 3𝑥 − 5𝑥 + 3 → Paso 3

5𝑥2 − 3𝑥⏟ − 5𝑥 + 3⏟ = 5𝑥(𝑥 − 1) − 3(𝑥 − 1) → Paso 4

(𝑥 − 1)(5𝑥 − 3) → Paso 5

Ejemplo 2.68

4𝑦2 + 16𝑦 + 7 → Trinomio

(4)(7) = 28 → Paso 1

2 14

}→ Paso 2 (2)(14) = 28

2 + 14 = 16

4𝑦2 + (2 + 14)𝑦 + 7 = 4𝑦2 + 2𝑦 + 14𝑦 + 7 → Paso 3

4𝑦2 + 2𝑦 + 14𝑦⏟ + 7⏟ = 2𝑦(2𝑦 + 1) + 7(2𝑦 + 1) → Paso 4

(2𝑦 + 1)(2𝑦 + 7) → Paso 5

Ejercicios 2.15

Factorizar los siguientes trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐.

𝑎) 2𝑥2 + 𝑥 − 15

21

𝑏) 3𝑥2 − 10𝑥 − 8

𝑐) 4𝑦2 + 9𝑦 + 2

𝑑) 3𝑥2 − 16𝑥 + 16

𝑒) 5𝑥2 + 8𝑥 + 3

𝑓) 2𝑦2 − 𝑦 − 6 2.3.8 Factorización por fórmula general Otro método para la factorización de trinomios de la forma vista en el tema 2.3.6 y 2.3.7, es la aplicación de la fórmula general para resolución de ecuaciones cuadráticas.

𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Este método consiste en lo siguiente. 1. Identificar en el trinomio las variables a, b y c, las cuales son los coeficientes de cada término del trinomio. 2. Sustituir los valores de a, b y c en la fórmula general, y obtener las dos soluciones. Cabe señalar que la fórmula general tiene tres posibles casos: Tiene dos soluciones reales, una solución real única, o no tiene solución real. En los ejemplos y ejercicios siguientes se presentará solamente el caso de dos soluciones reales. 3. Reacomodar las soluciones en forma de factores, como se muestra en la Fig. 2. 5.

Fig. 2. 5 Fórmula general. Solución → Factor

Ejemplo 2.69

5𝑥2 − 8𝑥 + 3

𝑎 = 5, 𝑏 = −8, 𝑐 = 3

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(−8) ± √(−8)2 − 4(5)(3)

2(5)=8 ± √64 − 60

10=8 ± √4

10=8 ± 2

10

𝑥 =8 + 2

10=10

10= 1 → 𝑥 = 1, (𝑥 − 1)

22

𝑥 =8 − 2

10=6

10=3

5→ 𝑥 =

3

5, (5𝑥 − 3)

(𝑥 − 1)(5𝑥 − 3)

Ejemplo 2.70

4𝑦2 + 16𝑦 + 7

𝑎 = 4, 𝑏 = 16, 𝑐 = 7

𝑦 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(16) ± √(16)2 − 4(4)(7)

2(4)=−16 ± √256 − 112

8=−16 ± √144

8

𝑦 =−16 ± 12

8

𝑦 =−16 + 12

8=−4

8= −

1

2→ 𝑦 = −

1

2, (2𝑦 + 1)

𝑦 =−16 − 12

8=−28

8=−7

2→ 𝑦 =

−7

2, (2𝑦 + 7)

(2𝑦 + 1)(2𝑦 + 7)

Ejercicios 2.16

Factorizar los siguientes trinomios de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, utilizando la factorización por fórmula general.

𝑎) 14𝑥2 − 29𝑥 − 15

𝑏) 8𝑥2 − 10𝑥 − 3

𝑐) 6𝑦2 − 13𝑦 − 15

𝑑) 5𝑚2 − 18𝑚 − 8

𝑒) 2𝑥2 + 𝑥 − 28 2.3.9 Factorización de una suma o diferencia de cubos perfectos La suma o diferencia de cubos perfectos se originan con el producto de un par de factores que no tienen un nombre específico, pero es importante conocer.

Al realizar el producto de (𝑎 + 𝑏) por (𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) se obtiene una suma de cubos

perfectos. De igual forma, al multiplicar (𝑎 − 𝑏) por (𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) se obtiene una diferencia de cubos perfectos.

23

Ejemplo 2.71

(𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 − 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2⏟+𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2⏟+𝑏3

𝑎3 + 𝑏3 → Suma de cubos perfectos

Ejemplo 2.72

(𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2) = 𝑎3 + 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2⏟−𝑎2𝑏 − 𝑎𝑏2⏟−𝑏3

𝑎3 − 𝑏3 → Diferencia de cubos perfectos Antes de factorizar una suma o diferencia de cubos perfectos, se debe verificar que en realidad lo sea. Para comprobar si es una suma o diferencia de cubos perfectos, se debe verificar que ambos términos sean cubos perfectos, esto quiere decir que deben tener una raíz cúbica exacta.

Ejemplo 2.73

27𝑥6 + 64

√27𝑥63

= 3𝑥2 ← Raíz cúbica exacta → √643

= 4

SI es una suma de

cubos perfectos

Ejemplo 2.74

8𝑥9 − 1

√8𝑥93

= 2𝑥3 ← Raíz cúbica exacta → √−13

= −1

SI es una diferencia de

cubos perfectos

Ejemplo 2.75

𝑥12 + 20

√𝑥123

= 𝑥4 ← Raíz cúbica → √203

= 𝑁𝑂 𝐸𝑋𝐴𝐶𝑇𝐴

NO es una suma de cubos perfectos

Una vez que se ha identificado una suma o diferencia de cubos perfectos, se puede realizar su factorización siguiendo los pasos que a continuación se enumeran. Cabe recordar que

24

está factorización consistirá en la descomposición de la suma o diferencia de cubos perfectos en dos factores, el primero compuesto de un binomio, y el segundo de un trinomio. 1. Se extrae la raíz cúbica de cada uno de los términos de la suma o diferencia de cubos perfectos. 2. El primer factor será la suma algebraica de las dos raíces cúbicas obtenidas en el paso anterior. 3. Para obtener el trinomio correspondiente al segundo factor, se aplican las reglas siguientes a los términos del binomio del primer factor.

- El primer término del trinomio (segundo factor) es el cuadrado del primer término del binomio (primer factor).

- El segundo término del trinomio (segundo factor) es el inverso aditivo del producto de los dos términos del primer factor.

- El tercer término del trinomio (segundo factor) es el cuadrado del segundo término del binomio (primer factor).

Ejemplo 2.76

8𝑥3 + 27 → Suma de cubos perfectos

2𝑥 3 → Paso 1

(2𝑥 + 3) → Paso 2

(2𝑥)2 = 4𝑥2 }

→ Paso 3 −[(2𝑥)(3)] = −6𝑥

(3)2 = 9

(4𝑥2 − 6𝑥 + 9)

(2𝑥 + 3)(4𝑥2 − 6𝑥 + 9) → Factorización

Ejemplo 2.77

64𝑥6𝑦3 − 27𝑧3 → Suma de cubos perfectos

4𝑥2𝑦 − 3𝑧 → Paso 1

(4𝑥2𝑦 − 3𝑧) → Paso 2

(4𝑥2𝑦)2 = 16𝑥4𝑦2 }

→ Paso 3 −[(4𝑥2𝑦)(−3𝑧)] = 12𝑥2𝑦𝑧

(−3𝑧)2 = 9𝑧2

(16𝑥4𝑦2 + 12𝑥2𝑦𝑧 + 9𝑧2)

(4𝑥2𝑦 − 3𝑧)(16𝑥4𝑦2 + 12𝑥2𝑦𝑧 + 9𝑧2) → Factorización

25

Ejercicios 2.17 Factorizar las siguientes sumas o diferencias de cubos.

𝑎) 8𝑥3 + 27

𝑏) 𝑥6 + 64𝑦3

𝑐) 1 − 8𝑏3

𝑑) 27𝑥3 − 𝑦12

𝑒) 8𝑦6 + 1

𝑓) 64𝑎𝑥3 − 27𝑎𝑦9

𝑔) 16𝑎6 − 54𝑏3

ℎ) 8

27 𝑥9 + 125

𝑖) 1

8 𝑎 −

64

27 𝑎𝑥3

𝑗) 𝑎6 + 𝑏9

2.4 Ecuaciones Una ecuación es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas, llamadas incógnitas, y cuyo valor sólo se verifica con determinados valores de ellas. Esto quiere decir que el valor de la incógnita se debe encontrar siguiendo algunos procedimientos matemáticos. Para encontrar el valor de las incógnitas es importante reconocer los elementos de la ecuación. El grado de una ecuación, es el que determina el número de soluciones por encontrar. Este grado está dado por el mayor exponente de la incógnita. Es decir, si el mayor exponente de la incógnita es 2, ello significa que la incógnita tiene dos soluciones. La incógnita en una ecuación de primer grado (donde el exponente es 1) tiene una solución, es decir, sólo puede tener un valor. Estas ecuaciones también reciben el nombre de lineales. Las ecuaciones de segundo grado (donde el exponente es 2) reciben el nombre de cuadráticas y la incógnita tiene dos soluciones, es decir, puede tener dos valores que la resuelvan. En una igualdad se verifican dos partes llamadas: miembros de la igualdad (o ecuación), uno localizado a la izquierda, y en el que generalmente se ubica la incógnita, y otro a la derecha, en donde por lo regular están las cantidades conocidas. En este apartado se abordarán ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, y sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

26

Reglas para la resolución de ecuaciones 1. Si los dos miembros de una ecuación se suman o se restan con una misma cantidad, positiva o negativa, la ecuación o igualdad no se afecta. 2. Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por una misma cantidad, positiva o negativa, la ecuación o igualdad no se afecta. 3. Si los dos miembros de una ecuación se elevan a la misma potencia, o se les extrae una raíz de mismo índice, la ecuación o igualdad no se afecta. 2.4.1 Ecuaciones lineales La forma general de una ecuación de primer grado, o ecuación lineal, con una incógnita está dada por 𝑎𝑥 = 𝑏, en donde 𝑎 y 𝑏 representan valores conocidos (𝑎 es un coeficiente,

y 𝑏 un término independiente) y 𝑥 constituye la variable. Gráficamente, mediante este tipo de función se obtiene una línea recta. Una ecuación lineal con más de una incógnita se representa como 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 = 𝑏. Solución de ecuaciones lineales Una solución para una ecuación lineal es una sucesión de 𝑛 números 𝑠1, 𝑠2… 𝑠𝑛 que satisfacen la igualdad, cuando se sustituyen en ella.

Ejemplo 2.78

6𝑥1 − 3𝑥2 + 4𝑥3 = −13 Donde 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 3 𝑦 𝑥3 = −4 son soluciones de la ecuación, ya que satisfacen la igualdad al sustituir los valores de las variables.

6(2) − 3(3) + 4(−4) = −13

12 − 9 − 16 = −13

−13 = −13 Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, se deben llevar a cabo algunos pasos. 1. Se efectúan las operaciones indicadas si las hay, en caso de tener signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves), quitarlos de adentro hacia afuera. 2. Se agrupan los términos que contengan variables en un miembro de la ecuación (lado izquierdo), y en el otro miembro de la ecuación (derecho) las constantes. 3. Se reducen términos semejantes. 4. Se despeja la incógnita, determinando su valor. De ser posible, verificar el resultado, sustituyendo el valor encontrado en la ecuación original.

27

Ejemplo 2.79

(𝑥 − 2)2 − (3 − 𝑥)2 = 1 Se desarrollan las operaciones, en este caso los binomios al cuadrado, y la eliminación de los signos de agrupación.

(𝑥2 − 4𝑥 + 4) − (9 − 6𝑥 + 𝑥2) = 1

𝑥2 − 4𝑥 + 4 − 9 + 6𝑥 − 𝑥2 = 1 Se agrupan en el miembro izquierdo las variables y en el derecho las constantes.

𝑥2 − 𝑥2 − 4𝑥 + 6𝑥 = 1 − 4 + 9 Se reducen términos semejantes.

2𝑥 = 6 Se despeja el valor de la variable.

𝑥 =6

2= 3

Sustituyendo el resultado en la ecuación original, se obtiene la verificación de que efectivamente la cantidad encontrada es la solución de la ecuación lineal.

(𝑥 − 2)2 − (3 − 𝑥)2 = 1

(3 − 2)2 − (3 − 3)2 = 1

(1)2 − (0)2 = 1

1 = 1 Ejercicios 2.18 Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones. 𝑎) 5𝑥 = 8𝑥 − 15 𝑏) 𝑦 − 5 = 3𝑦 − 25 𝑐) 9𝑦 − 11 = −10 + 12𝑦 𝑑) 11𝑥 + 5𝑥 − 1 = 65𝑥 − 36 𝑒) 8𝑥 − (4 − 3𝑥) = 7𝑥 + (𝑥 + 14) 𝑓) 5𝑦 + (6𝑦 − 81) = 7𝑦 + 102 + 65𝑦 𝑔) 16 + 7𝑥 − 5 + 𝑥 = 11𝑥 − (3 + 𝑥)

28

ℎ) 3𝑥 + 101 − (4𝑥 + 33) = 108 − (16𝑥 + 100) 𝑖) 14 − (12𝑥 − 39𝑥 + 18𝑥) = 256 − (60𝑥 + 657𝑥) 𝑗) 8𝑥 − (15𝑥 + 30𝑥 + 51𝑥) = 53𝑥 + (31𝑥 − 172) Aplicaciones Hay ecuaciones cuyo planteamiento deriva de problemas del lenguaje común. En tal caso, es necesario interpretarlas correctamente para encontrar la solución al problema. Es importante recordar que las respuestas a las preguntas planteadas en los problemas deben responder exactamente lo que se está solicitando.

Ejemplo 2.80

Si Juan tiene el doble de dinero que Pedro, y entre ambos reúnen 60 pesos, ¿cuánto dinero tiene cada uno?, ¿cómo plantear la ecuación que represente este problema?

- Para asignar la incógnita a alguna de las dos personas, en este caso, se hace la pregunta: ¿quién tiene menos dinero?

- Como Pedro tiene menos dinero, entonces a él le corresponde la incógnita 𝑥. Juan

tiene el doble de dinero que Pedro, entonces le corresponde 2𝑥, de esta manera la ecuación que representa el problema está dada por 2𝑥 + 𝑥 = 60.

- Una vez planteada la ecuación, se resuelve para encontrar el valor de la incógnita y así saber cuánto dinero tienen Juan y Pedro.

2𝑥 + 𝑥 = 60

3𝑥 = 60 → 𝑥 =60

3= 20

Solución: Se sustituye el valor de la incógnita en los términos asignados a cada persona. A Pedro le corresponde 𝑥, por lo tanto tiene 20 pesos. A Juan le corresponde 2𝑥, por lo tanto tiene 40 pesos.

20 + 40 = 60 ← Comprobación

Ejemplo 2.81

Encontrar las magnitudes de un terreno rectangular (largo y ancho). Los datos que se conocen son su perímetro igual a 390 metros, y que el ancho del terreno tiene 45 metros menos que el largo.

- Por los datos que se proporcionan, se sabe que el ancho mide 45 metros menos que el largo, por lo que en este problema es conveniente asignar la incógnita 𝑥 al largo. Para este tipo de problemas, es recomendable representar mediante alguna figura el problema planteado, como se muestra en la Fig. 2. 6.

29

Fig. 2. 6 Terreno rectangular

- Se plantea la ecuación en base a los datos proporcionados y la incógnita asignada.

𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 𝑃 = 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 + 2 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 390 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑃 = 2(𝑥) + 2(𝑥 − 45) = 390

2𝑥 + 2𝑥 − 90 = 390

4𝑥 = 480 → 𝑥 =480

4= 120

Solución: Se sustituye el valor de la incógnita en los términos asignados a dimensión. Al largo le corresponde 𝑥, por lo tanto mide 120 metros. Al ancho le corresponde 𝑥 − 45, por lo tanto tiene 75 metros.

2(𝑥) + 2(𝑥 − 45) = 2(120) + 2(75) = 240 + 150 = 390 ← Comprobación Ejercicios 2.19 Resolver los siguientes problemas mediante la ecuación de primer grado que originan. a) Mi hermana tiene 16 pesos menos que yo. Si entre las dos tenemos 50 pesos, ¿cuánto

tenemos cada una?

b) Gasté 27 pesos comprando un cuaderno, un bolígrafo y una goma de borrar. El cuaderno costó seis veces más que la goma y la pluma 12 pesos menos que el cuaderno, ¿cuánto costó cada uno?

c) A Mayté le doy cierta cantidad de dinero, y a su hermana Susana el doble de esta cantidad disminuida en 20 pesos. Si entre las dos se repartieron 280 pesos, ¿cuánto dinero recibe cada una?

d) Se compra un vestido, una blusa y una playera por 400 pesos. La playera costó la mitad de lo que cuesta la blusa, pero el vestido costó 100 pesos más que ésta, ¿cuánto se pagó por cada prenda?

e) Si tenemos 25 centímetros de listón y queremos formar un triángulo isósceles, cuya base mida la mitad de lo que miden sus lados iguales, ¿cuánto debe medir la base y cuánto los lados iguales?

30

f) Las edades de tres niñas suman 35 años. La mayor tiene el doble de años que la menor, y la segunda tiene tres más que la pequeña, ¿cuántos años tiene cada una?

g) Dos costales de naranjas pesan 35 kilogramos y uno de ellos tiene las dos quintas partes del peso del otro, ¿cuánto pesa cada costal?

h) Necesitamos almacenar 24 toneladas de maíz en dos bodegas: una de ellas tiene una capacidad de tres quintas partes de la otra, ¿cuánto maíz se almacena en cada bodega?

2.4.2 Sistemas de ecuaciones simultáneas con 2 incógnitas Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos más ecuaciones con dos o más incógnitas. Cuando en este conjunto de ecuaciones el mismo valor de cada una de las incógnitas satisface la igualdad, se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas.

Ejemplo 2.82

𝑥 + 𝑦 = 5

𝑥 − 𝑦 = 1 El sistema planteado representa un sistema de ecuaciones simultáneas, ya que existen valores de 𝑥 y 𝑦 que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones.

𝑥 = 3, 𝑦 = 2

3 + 2 = 5 3 − 2 = 1

Un sistema de ecuaciones puede ser de tres tipos.

- Determinado, cuando el sistema tiene una única solución. - Indeterminado, cuando el sistema tiene una cantidad infinita de soluciones. - Incompatible, cuando el sistema no tiene solución real.

Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas existen los diversos métodos: suma y resta, igualación, sustitución, regla de Cramer, y método gráfico, sin embargo en este curso solamente se resolverán los sistemas mediante el método de suma y resta. Método de suma y resta Este método, también conocido como “reducción”, consiste en igualar los coeficientes de la misma variable en ambas ecuaciones, pero uno con signo contrario del otro, de manera que al realizar la suma algebraica de estas variables se elimine, y se pueda despejar y encontrar el valor de la variable restante.

Ejemplo 2.83 5𝑥 + 6𝑦 = 20

4𝑥 − 3𝑦 = −23

31

Para lograr la eliminación de una variable, se debe elegir primero qué variable se desea eliminar. Se puede elegir aquélla que tenga como coeficiente a la unidad ya que es más sencillo trabajar con coeficiente 1. Si no hay términos con coeficiente 1, los criterios de selección de la variable pueden ser varios: coeficientes más pequeños, primera variable, signos contrarios en ambas ecuaciones, entre otros.

En este caso, la variable a eliminar será la incógnita 𝑦, aprovechando que ya cuenta con signos contrarios en el sistema de ecuaciones. Para la eliminación, se tienen que igualar sus coeficientes, por lo cual, se hará una multiplicación de coeficientes contrarios a cada ecuación, es decir, la primera ecuación será multiplicada por 3, y la segunda ecuación por 6. Recordando que debe realizarse la misma operación de multiplicación en ambos lados de la igualdad.

(3)(5𝑥 + 6𝑦) = (20)(3)

(6)(4𝑥 − 3𝑦) = (−23)(6)

15𝑥 + 18𝑦 = 60

24𝑥 − 18𝑦 = −138

Se observa que al hacer la multiplicación de coeficientes, y teniendo signos contrarios en la variable seleccionada, al realizar la suma algebraica de las ecuaciones, esta variable será eliminada.

15𝑥 + 18𝑦 = 60

24𝑥 − 18𝑦 = −138

(24𝑥 + 15𝑥) + (18𝑦 − 18𝑦) = (60 − 138)

39𝑥 = −78

𝑥 = −78

39= −2

Una vez obtenido el valor de la incógnita 𝑥, se sustituye éste en cualquiera de las

ecuaciones iniciales. Sustituyendo en la primera ecuación, se obtendrá el valor de 𝑦.

5𝑥 + 6𝑦 = 20

5(−2) + 6𝑦 = 20

−10 + 6𝑦 = 20

6𝑦 = 20 + 10 = 30

𝑦 =30

6= 5

Por lo tanto, la solución para este sistema de ecuaciones simultáneas es: 𝑥 = −2, 𝑦 = 5. Para realizar la comprobación de las soluciones, solamente deben sustituirse, de manera simultánea, los valores de ambas incógnitas en ambas ecuaciones, y verificar que se satisfacen las igualdades.

32

5𝑥 + 6𝑦 = 5(−2) + 6(5) = −10 + 30 = 20

𝑥 − 3𝑦 = 4(−2) − 3(5) = −8 − 15 = −23

Ambos valores encontrados para las incógnitas son, efectivamente, soluciones del sistema.

Nota: No siempre es necesario multiplicar los coeficientes, tal como se realizó en el Ejemplo 2.83, puede ser que ya estén dados los coeficientes para la eliminación de una variable, que solamente falte el cambio de signo, o bien, que un coeficiente sea múltiplo del otro, por lo cual solo se necesite multiplicar la ecuación con el coeficiente más pequeño.

Ejemplo 2.84 5𝑥 + 6𝑦 = 20

(2)(4𝑥 − 3𝑦) = (−23)(2)

5𝑥 + 6𝑦 = 20

8𝑥 − 6𝑦 = −46

(5𝑥 + 8𝑥) + (6𝑦 − 6𝑦) = (20 − 46)

13𝑥 = −26

𝑥 = −26

13= −2

Sustituyendo ahora en la ecuación dos, se obtiene el valor de la variable faltante.

4𝑥 − 3𝑦 = −23

4(−2) − 3𝑦 = −23

−8− 3𝑦 = −23

−3𝑦 = −23 + 8 = −15

𝑦 =−15

−3= 5

Al ser múltiplo un coeficiente del otro, esto permite facilitar las operaciones y manejar números más pequeños durante la eliminación y el despeje. Se puede observar en el Ejemplo 2.84 que hay diversas formas de obtener el mismo resultado. Ejercicios 2.20 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas.

𝑎) 8𝑥 − 5 = 7𝑦 − 9

6𝑥 = 3𝑦 + 6

𝑏) 6𝑥 − 5𝑦 = −9

4𝑥 + 3𝑦 = 13

33

𝑐) 7𝑥 − 15𝑦 = 1

−𝑥 − 6𝑦 = 8

𝑑) 3𝑥 − 4𝑦 = 41

11𝑥 + 6𝑦 = 47

𝑒) 9𝑥 + 11𝑦 = −14

6𝑥 − 5𝑦 = −34

𝑓) 10𝑥 − 3𝑦 = 36

2𝑥 + 5𝑦 = −4

𝑔) 11𝑥 − 9𝑦 = 2

13𝑥 − 15𝑦 = −2

ℎ) 18𝑥 + 5𝑦 = −11

12𝑥 + 11𝑦 = 31

𝑖) 9𝑥 + 7𝑦 = −4

11𝑥 − 13𝑦 = −48

𝑗) 12𝑥 − 14𝑦 = 20

12𝑦 − 14𝑥 = −19

Aplicaciones Al igual que las ecuaciones de primer grado, los sistemas de ecuaciones simultáneas son generados debido a situaciones de la vida cotidiana, y para resolverlos, se debe tener cuidado al plantear el sistema de ecuaciones, ya que éste deberá representar el problema inicial.

Ejemplo 2.85

La diferencia de dos números es 40, y una octava parte de su suma es igual a 11, ¿cuáles son estos dos números?

- Para plantear el sistema, se obtiene cada una de las ecuaciones que lo conforman,

a partir de las dos condiciones iniciales dadas. Las incógnitas 𝑥 y 𝑦, representan cada uno de los números buscados.

𝑥 − 𝑦 = 40

18 (𝑥 + 𝑦) = 11

- Una vez planteadas las ecuaciones, se procede a emplear el método de suma y

resta para encontrar el valor de la primera incógnita.

𝑥 − 𝑦 = 4018 𝑥 +

18 𝑦 = 11

34

18 (𝑥 − 𝑦) = (40) (

18)

18 𝑥 +

18 𝑦 = 11

1

8 𝑥 −

1

8 𝑦 = 5

1

8 𝑥 +

1

8 𝑦 = 11

(1

8𝑥 +

1

8𝑥) + (−

1

8𝑦 +

1

8𝑦) = 5 + 11

1

4 𝑥 = 16 → 𝑥 = (16)(4) = 64

- Obteniendo una variable, puede encontrarse el valor de la otra, haciendo uso del

valor encontrado y alguna de las ecuaciones iniciales.

𝑥 − 𝑦 = 40 → 64 − 𝑦 = 40

−𝑦 = 40 − 64

𝑦 = 24 Solución: Los números buscados son: 64 y 24. Ambos valores cumplen las condiciones

iniciales.

𝑥 − 𝑦 = 64 − 24 = 4018 𝑥 +

18 𝑦 =

18 (64) +

18 (24) = 8 + 3 = 11

Ejercicios 2.21 Resolver los siguientes problemas mediante sistemas de ecuaciones simultáneas. a) La suma de dos números es 190 y un noveno de su diferencia es 2, ¿cuáles son los

números?

b) La suma de dos números es 1529 y su diferencia es 101, ¿cuáles son los números?

c) Un cuarto de la suma de dos números es 45 y un tercio de su diferencia 4, ¿cuáles son los números?

2.4.3 Ecuaciones cuadráticas Las ecuaciones cuadráticas son ecuaciones cuyo exponente mayor es de grado 2. En este tipo de ecuaciones la incógnita cuadrática y lineal es la misma. Su forma general está dada

por: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

35

Donde 𝑎, 𝑏 son los coeficientes de la variable y 𝑐 el término independiente. Se pueden tener

los casos en donde 𝑏 y 𝑐 sean iguales a cero, pero no se puede presentar el caso en que 𝑎 = 0, ya que se tendría una ecuación de primer grado. Factorización En el tema 2.3.6 y en el tema 2.3.7 se realizó el desarrollo del tema de factorización de ecuaciones cuadráticas, por lo cual se pide hacer referencia a dichos temas en caso de no recordar el proceso de factorización. En este apartado se indicará la forma en cómo se presentan las soluciones de las ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 2.86

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0 → Ecuación

−2 5 → Números propuestos

(−2)(5) = −10 → Multiplicación (c)

−2 + 5 = 3 → Suma algebraica (b)

(𝑥 − 2)(𝑥 + 5) = 0 → Factorización

Una vez realizada la factorización, se emplea el proceso inverso al mostrado en la Fig. 2. 5, es decir, en esta ocasión se tiene el factor, y se quiere llegar a la solución. Cuando se realiza completamente la factorización, para hacer el cambio de factor a solución, debe igualarse cada factor a cero, y despejar la incógnita de cada uno de ellos.

𝑥 − 2 = 0 → 𝑥 = 2

𝑥 + 5 = 0 → 𝑥 = −5

Las soluciones de la ecuación cuadrática están dadas por 𝑥 = 2 y 𝑥 = −5. Para comprobar que efectivamente son soluciones, se sustituyen en la ecuación original (cada uno por separado), y ambos deben satisfacer la igualdad.

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = (2)2 + 3(2) − 10 = 4 + 6 − 10 = 10 − 10 = 0

𝑥2 + 3𝑥 − 10 = (−5)2 + 3(−5) − 10 = 25 − 15 − 10 = 25 − 25 = 0 Ejercicios 2.22 Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de factorización.

𝑎) 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

𝑏) 𝑥2 + 7𝑥 = 18

𝑐) 8𝑥 − 65 = −𝑥2

𝑑) 𝑥2 = 108 − 3𝑥

36

𝑒) 𝑥2 + 11𝑥 = −24 Fórmula General Este método es el más conocido y empleado ya que se puede aplicar en cualquier forma de la ecuación cuadrática. En el tema 2.3.8 se hizo uso de la fórmula general para la factorización de ecuaciones cuadráticas, por lo cual se solicita hacer referencia a dicho tema para el uso de la fórmula. Uno de los ejemplos vistos en el tema 2.3.8 es retomado, e igualmente se presente de nuevo la fórmula general para resolución de ecuaciones cuadráticas.

𝑥 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Ejemplo 2.87

5𝑥2 − 8𝑥 + 3 = 0

𝑎 = 5, 𝑏 = −8, 𝑐 = 3

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(−8) ± √(−8)2 − 4(5)(3)

2(5)=8 ± √64 − 60

10=8 ± √4

10=8 ± 2

10

𝑥 =8 + 2

10=10

10= 1 → 𝑥 = 1

𝑥 =8 − 2

10=6

10=3

5→ 𝑥 =

3

5

Las soluciones de la ecuación cuadrática están dadas por 𝑥 = 1 y 𝑥 = 3/5 . Para comprobar que efectivamente son soluciones, se sustituyen en la ecuación original (cada uno por separado), y ambos deben satisfacer la igualdad.

5𝑥2 − 8𝑥 + 3 = 5(1)2 − 8(1) + 3 = 5 − 8 + 3 = 8 − 8 = 0

5𝑥2 − 8𝑥 + 3 = 5(3

5)2

− 8(3

5) + 3 =

9

5−24

5+ 3 =

24

5−24

5= 0

Ejercicios 2.23 Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas por el método de la fórmula general.

𝑎) 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0

𝑏) 4𝑥2 + 3𝑥 − 22 = 0

𝑐) 𝑥2 + 11𝑥 = −24

37

𝑑) 𝑥2 = 16𝑥 − 63

𝑒) 12𝑥 − 4 − 9𝑥2 = 0 Aplicaciones Para resolver situaciones comunes mediante ecuaciones cuadráticas, una vez planteada la ecuación, se deben emplear los métodos vistos en los temas anteriores (factorización, o fórmula general).

Ejemplo 2.88

La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53, ¿cuáles son estos dos números?

- Para plantear el sistema, se obtienen las dos ecuaciones que se generan a partir de

las dos condiciones iniciales dadas. Las incógnitas 𝑥 y 𝑦, representan cada uno de los números buscados.

𝑥 + 𝑦 = 9

𝑥2 + 𝑦2 = 53

- El objetivo en este tipo de sistemas, es obtener una sola ecuación cuadrática, con

una sola incógnita, para lo cual, se despeja una variable de la ecuación lineal, y se sustituye en la cuadrática. La variable que se va a despejar de la primera ecuación es la 𝑦.

𝑥 + 𝑦 = 9

𝑦 = 9 − 𝑥

𝑥2 + (9 − 𝑥)2 = 53

- Una vez sustituida la variable despejada, se procede a eliminar los signos de agrupación, y a colocar la ecuación en su forma general.

𝑥2 + 81 − 18𝑥 + 𝑥2 = 53

2𝑥2 − 18𝑥 + 28 = 0

- Se aplica alguno de los métodos para la resolución de ecuaciones cuadráticas y se obtienen las dos soluciones. En este caso, se aplicará la fórmula general.

2𝑥2 − 18𝑥 + 28 = 0

𝑎 = 2, 𝑏 = −18, 𝑐 = 28

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎=−(−18) ± √(−18)2 − 4(2)(28)

2(2)=18 ± √324 − 224

4=18 ± √100

4

38

𝑥 =18 ± 10

4

𝑥 =18 + 10

4=28

4= 7 → 𝑥 = 7

𝑥 =18 − 10

4=8

4= 2 → 𝑥 = 2

Solución: Los números buscados son: 7 y 2. Ambos valores cumplen las condiciones

iniciales.

𝑥 + 𝑦 = 7 + 2 = 9

𝑥2 + 𝑦2 = (7)2 + (2)2 = 49 + 4 = 53

Ejercicios 2.24 Resolver los siguientes problemas aplicando ecuaciones cuadráticas. a) Ana tiene tres años más que Bianca, y el cuadrado de la edad de Ana aumentado en

el cuadrado de la edad de Bianca equivale a 317 años, ¿cuántos años tiene Ana y cuántos años tiene Bianca?

b) Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800, ¿cuáles son los números?

c) Encontrar dos números consecutivos tales que el cuadrado del mayor exceda en 57 al triple del menor.

2.5 Inecuaciones En los temas previos se estudió el concepto de igualdad. En este apartado se dará una breve introducción a las desigualdades o inecuaciones. 2.5.1 Definición

Una desigualdad en una variable es una expresión de la forma 𝑥 > 0, 𝑥 < 0, 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≤ 0. Por resolver una desigualdad se entiende determinar el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad. A diferencia de resolver una ecuación, generalmente una desigualdad (también conocida como inecuación) tiene infinitas soluciones en forma de intervalo o unión de intervalos de números reales.

Recordatorio: < “menor que”, > “mayor que”, ≤ “menor o igual que, ≥ “mayor o igual que”.

2.5.2 Ejemplos Para resolver una desigualdad se utilizan las propiedades de orden de los números reales, como se ilustrará en algunos ejemplos.

39

Ejemplo 2.89

𝑥 + 2 < 3𝑥 + 1 → Desigualdad

𝑥 + 2 − 1 < 3𝑥 + 1 − 1 → Restando 1 de ambos lados

𝑥 + 1 < 3𝑥 → Simplificando

𝑥 + 1 − 𝑥 < 3𝑥 − 𝑥 → Restando x de ambos lados

1 < 2𝑥 → Simplificando

(1

2) (1) < (2𝑥) (

1

2) → Multiplicando 1/2 de ambos lados

1

2< 𝑥 → Simplificando

𝑥 ∈ (1

2,∞) → De manera equivalente

Ejemplo 2.90

−7𝑥 + 4 ≤ −9𝑥 − 8 → Desigualdad

−7𝑥 + 4 + 8 ≤ −9𝑥 − 8 + 8 → Sumando 8 de ambos lados

−7𝑥 + 12 ≤ −9𝑥 → Simplificando

−7𝑥 + 12 + 7𝑥 ≤ −9𝑥 + 7𝑥 → Sumando 7x de ambos lados

12 ≤ −2𝑥 → Simplificando

(−1

2) (12) ≤ (−2𝑥) (−

1

2) → Multiplicando -1/2 de ambos lados

−6 ≥ 𝑥 → Simplificando

𝑥 ∈ (−∞,−6] → De manera equivalente

Ejemplo 2.91

2 <5𝑥 − 8

3≤ 9 → Desigualdad doble

(3)(2) < (5𝑥 − 8

3) (3) ≤ (9)(3) → Multiplicando por 3 los tres lados

6 < 5𝑥 − 8 ≤ 27 → Simplificando

6 + 8 < 5𝑥 − 8 + 8 ≤ 27 + 8 → Sumando 8 en los tres lados

14 < 5𝑥 ≤ 35 → Simplificando

(1

5) (14) < (5𝑥) (

1

5) ≤ (35) (

1

5) → Multiplicando 1/5 en los tres lados

14

5< 𝑥 ≤ 7 → Simplificando

𝑥 ∈ (14

5, 7] → De manera equivalente

40

Soluciones a ejercicios propuestos Ejercicios 2.1

𝑎) −1

12𝑥2

𝑏) 1

8𝑎𝑏𝑐

𝑐) 0 𝑑) − 23𝑡 𝑒) 4𝑎 − 2𝑏 𝑓) − 15𝑓 𝑔) 𝑥

ℎ) − 3𝑎2 − 𝑎 𝑖) 0 𝑗) 2𝑥3𝑦2 − 4𝑥3𝑦

Ejercicios 2.2 𝑎) − 5𝑚𝑛 − 3𝑝

𝑏) 2𝑥3 − 𝑥2 − 𝑥

𝑐) 3𝑎2𝑏 + 5𝑏2

𝑑) 3𝑚3 + 6𝑚2 − 8

Ejercicios 2.3 𝑎) − 24𝑥5𝑦5𝑧4

𝑏) − 8𝑎5𝑏2𝑐7𝑑

𝑐) 2𝑚4𝑛6

𝑑) 6𝑚3𝑛6 − 10𝑚5𝑛5

𝑒) 6𝑎5𝑏 − 8𝑎3𝑏3 − 4𝑎2𝑏

𝑓) −1

9𝑥5𝑦2 −

8

27𝑥4 +

2

3𝑥3𝑦2

41

𝑔) 3

5𝑎3𝑏3 − 2𝑎2𝑏3 − 6𝑎𝑏2

ℎ) −𝑥3𝑦11𝑧8 + 3𝑥4𝑦8𝑧7 − 5𝑥2𝑦12𝑧8

𝑖) − 12𝑥5 + 𝑥4 + 6𝑥3 𝑗) 4𝑎4 − 20𝑎2𝑏3 + 25𝑏6

Ejercicios 2.4

𝑎) −𝑚

2𝑛

𝑏) 3𝑟2𝑡

𝑐) 1

3

𝑑) 2𝑚2𝑛3 − 5𝑚𝑛2 + 4

𝑒) − 4𝑝3𝑟 + 2𝑝𝑞𝑟2

𝑓) 𝑥2𝑦𝑧2 −3

2𝑧+

2

𝑥3𝑦2

𝑔) 1

3−2𝑏

3𝑎+

1

𝑎2𝑏3

ℎ) 8𝑥 − 10 𝑖) 𝑥 − 3

𝑗) 2𝑦2 − 𝑦 + 5

Ejercicios 2.5 𝑎) 𝑚2 − 𝑛2

𝑏) 𝑎2 − 𝑥2

𝑐)1

4 𝑥4 −

9

16 𝑎4

𝑑) 4𝑎2 − 1

𝑒) 9𝑎2𝑥2 − 1

𝑓) 4𝑚2 − 81 𝑔) 𝑎6 − 𝑏4 ℎ) 1 − 64𝑥2𝑦2

42

𝑖) 𝑎2𝑚 − 𝑏2𝑛

𝑗) 𝑎2𝑥+2 − 4𝑏2𝑥−2

𝑘) 16𝑚4 − 𝑛10

𝑙) 𝑎2𝑏6 − 𝑥8𝑦2

𝑚) 9

49− 𝑎4𝑏6

𝑛) 25𝑎12 − 4

𝑜) 𝑚6𝑛14 − 16𝑥2𝑦10

𝑝) 64 − 𝑎6𝑏8𝑐10

𝑞) 81𝑎20 − 4𝑏6𝑐6

𝑟) 𝑥2𝑦18 − 49𝑧14

𝑠) 4𝑎8𝑚 − 36𝑏6𝑛

𝑡) 25𝑎4𝑥+2 − 𝑏6𝑥−2

Ejercicios 2.6 𝑎) 𝑚2 + 2𝑚𝑛 + 𝑛2

𝑏) 𝑥2 + 2𝑥 + 25

𝑐) 16𝑚2 + 72𝑚 + 81

𝑑) 16

25+24

5 𝑥2 + 9𝑥4

𝑒)4

9 𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 9𝑦2

𝑓) 𝑎4𝑥2 + 2𝑎2𝑏𝑥𝑦2 + 𝑏2𝑦4

𝑔) 9𝑎4 + 48𝑎2𝑏4 + 64𝑏8

ℎ) 16𝑚10 + 40𝑚5𝑛6 + 25𝑛12

𝑖) 𝑎2𝑚 + 2𝑎𝑚𝑎𝑛 + 𝑎2𝑛

𝑗) 𝑥2𝑎+2 + 2𝑥𝑎+1𝑦𝑥−2 + 𝑦2𝑥−4

𝑘) 9𝑚4 − 24𝑚2𝑛7 + 16𝑛14

𝑙) 144 − 120𝑥3𝑦5 + 25𝑥6𝑦10

43

𝑚)81

16 𝑚6 − 18𝑚3𝑛4 + 16𝑛8

𝑛)49

9 𝑥6 − 14𝑥3𝑦5𝑧5 + 9𝑦10𝑧10

𝑜) 49𝑥16 − 70𝑥8𝑦9 + 25𝑦18

𝑝) 64𝑎6𝑥20 − 48𝑎3𝑏4𝑥10𝑦7 + 9𝑏8𝑦14

𝑞) 144𝑎8 − 168𝑎4𝑏9𝑐6 + 49𝑏18𝑐12

𝑟) 9𝑚12 − 78𝑚6𝑛13 + 169𝑛26

Ejercicios 2.7 𝑎) 𝑎3 + 6𝑎2 + 12𝑎 + 8

𝑏) 𝑥3 − 3𝑥2 + 3𝑥 − 1

𝑐) 𝑚3 + 9𝑚2 + 27𝑚 + 27

𝑑) 𝑛3 − 12𝑛2 + 48𝑛 − 64

𝑒) 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 + 1

𝑓) 𝑦6 + 6𝑦4 + 12𝑦2 + 8

𝑔) − 8𝑛3 + 12𝑛2 − 6𝑛 + 1 ℎ) 64𝑛3 + 144𝑛2 + 108𝑛 + 27 𝑖) 𝑎6 − 6𝑎4𝑏 + 12𝑎2𝑏2 − 8𝑏3 𝑗) 8𝑥3 + 36𝑥2𝑦 + 54𝑥𝑦2 + 27𝑦3

Ejercicios 2.8 𝑎) 𝑎2 + 3𝑎 + 2

𝑏) 𝑥2 − 4𝑥 + 3

𝑐) 𝑎4 − 4𝑎2 − 45

𝑑) 𝑥4 − 8𝑥2 + 7

𝑒) 𝑛6 − 7𝑛3 + 6

𝑓) 𝑥6 + 𝑥3 − 42

𝑔) 𝑎10 + 5𝑎5 − 14

ℎ) 𝑥2𝑦4 + 3𝑥𝑦2 − 108

44

𝑖) 𝑎4𝑏4 + 6𝑎2𝑏2 − 7

𝑗) 𝑎2𝑥 + 5𝑎𝑥 − 24

Ejercicios 2.9 𝑎) 7 (𝑎 − 𝑏 + 𝑐 − 𝑑) 𝑏) 7𝑥2 (7𝑥2 − 5𝑥 + 2) 𝑐) (𝑎 + 𝑏)(𝑚2 + 𝑛)

𝑑)4

5 (−2𝑡2 +

3𝑡

5−4

3)

𝑒) 2

5 (1

3𝑎2 +

2

5𝑏) (2𝑥2 + 𝑦)

𝑓) 11𝑎𝑏2 (4𝑎2𝑏2 + 3𝑎𝑏 − 1)

𝑔) 4 (𝑎 + 𝑏)2(𝑥 − 3𝑦)

ℎ) 9𝑥2(8𝑎 − 𝑏 + 2𝑐) Ejercicios 2.10 𝑎) 𝑥2 (𝑎 − 𝑏) + 𝑦 (𝑎𝑦 + 𝑐) 𝑏)𝑚 (5𝑑 − 2𝑎) + 3𝑛 (2𝑏 − 3𝑐 − 1) 𝑐) (𝑎 − 1)(4𝑎 + 𝑏)

𝑑) (𝑚 + 1)(𝑚 − 𝑏2) 𝑒) (𝑥 − 2)(2𝑥 − 3𝑦) Ejercicios 2.11 𝑎) (3𝑥2 + 2𝑦)(3𝑥2 − 2𝑦)

𝑏) 𝑥 (5𝑎 + 4𝑏3)(5𝑎 − 4𝑏3) 𝑐) (9𝑚4 + 1)(9𝑚4 − 1) 𝑑) (5𝑥3 + 10)(5𝑥3 − 10) 𝑒) 2(3𝑚 + 5𝑛)(3𝑚 − 5𝑛)

𝑓) (4𝑎2𝑏 + 3𝑐3)(4𝑎2𝑏 − 3𝑐3)

45

𝑔) 𝑎 (3 + 2𝑚5)(3 − 2𝑚5)

ℎ) (8𝑥4𝑦2 + 1)(8𝑥4𝑦2 − 1)

𝑖) (1

2 𝑎2 +

2

5 𝑏3) (

1

2 𝑎2 −

2

5 𝑏3)

𝑗) 𝑥 (9𝑦3 +3

2) (9𝑦3 −

3

2)

𝑘) (2

7 𝑥3 +

1

3 𝑦2) (

2

7 𝑥3 −

1

3 𝑦2)

Ejercicios 2.12 𝑎) (𝑥 − 1)2

𝑏) (𝑎2 + 2𝑏)2

𝑐) 𝑥 (8 − 3𝑎)2

𝑑) (5𝑥3 + 3𝑦2)2

𝑒) 2 (5𝑥3 + 3)2

𝑓) (5 − 2𝑥2𝑦3)2

𝑔) (2𝑎2𝑏3 + 3𝑥3𝑦)2

ℎ) (3

5 𝑦3 −

4

3)2

𝑖) (1

5 𝑥 +

1

3)2

𝑗) (𝑥3 −5

7 𝑦2)

2

Ejercicios 2.13 𝑎) (5 − 𝑥2)3

𝑏) (𝑚2 + 𝑛)3

𝑐) 𝑏 (2𝑎 − 3)3

𝑑) (𝑎3 + 4𝑏)3

𝑒) 𝑥 (𝑦5 − 𝑧6)3 𝑓) (4𝑥2𝑦 − 2𝑧)3

46

𝑔) (3𝑎2𝑏3 + 1)3

ℎ) (4𝑥2 −3

5)3

𝑖) (1

2 𝑎 +

2

3)3

Ejercicios 2.14 𝑎) (𝑦 − 4)(𝑦 − 8) 𝑏) (𝑥 + 7)(𝑥 + 9) 𝑐) (𝑛 + 8)(𝑛 − 10) 𝑑) (𝑚 + 10)(𝑚 − 4) 𝑒) (𝑦 − 3)(𝑦 − 8) 𝑓) (𝑧 + 2)(𝑧 − 9) 𝑔) (𝑥 − 1)(𝑥 − 6) ℎ) (𝑎 − 5)(𝑎 + 9) 𝑖) (𝑎 − 5)(𝑎 − 9) 𝑗) (𝑎 + 5)(𝑎 − 9)

Ejercicios 2.15 𝑎) (2𝑥 − 5)(𝑥 + 3) 𝑏) (3𝑥 + 2)(𝑥 − 4) 𝑐) (4𝑦 + 1)(𝑦 + 2) 𝑑) (3𝑥 − 4)(𝑥 − 4) 𝑒) (5𝑥 + 3)(𝑥 + 1) 𝑓) (2𝑦 + 3)(𝑦 − 2)

Ejercicios 2.16 𝑎) (2𝑥 − 5)(7𝑥 + 3) 𝑏) (2𝑥 − 3)(4𝑥 + 1) 𝑐) (𝑦 − 3)(6𝑦 + 5)

47

𝑑) (𝑚 − 4)(5𝑚 + 2) 𝑒) (2𝑥 − 7)(𝑥 + 4)

Ejercicios 2.17 𝑎) (2𝑎 + 3)(4𝑎2 − 6𝑎 + 9)

𝑏) (𝑥2 + 4𝑦)(𝑥4 − 4𝑥2𝑦 + 16𝑦2)

𝑐) (1 − 2𝑏)(1 + 2𝑏 + 4𝑏2)

𝑑) (3𝑥 − 𝑦4)(9𝑥2 + 3𝑥𝑦4 + 𝑦8)

𝑒) (2𝑦2 + 1)(4𝑦4 − 2𝑦2 + 1)

𝑓) 𝑎 (4𝑥 − 3𝑦3)(16𝑥2 + 12𝑥𝑦3 + 9𝑦6)

𝑔) 2 (2𝑎2 − 3𝑏)(4𝑎4 + 6𝑎2𝑏 + 9𝑏2)

ℎ) (2

3 𝑥3 + 5) (

4

9 𝑥6 −

10

3 𝑥3 + 25)

𝑖) 𝑎 (1

2−4

3 𝑥) (

1

4+2

3 𝑥 +

16

9 𝑥2)

𝑗) (𝑎2 + 𝑏3)(𝑎4 − 𝑎2𝑏3 + 𝑏6) Ejercicios 2.18 𝑎) 𝑥 = 5 𝑏) 𝑦 = 10

𝑐) 𝑦 = −1

3

𝑑) 𝑥 =5

7

𝑒) 𝑥 = 6 𝑓) 𝑦 = −3 𝑔) 𝑥 = 7 ℎ) 𝑥 = −4

𝑖) 𝑥 =1

3

𝑗) 𝑥 = 1

48

Ejercicios 2.19 a) Yo tengo 33 pesos y mi hermana 17 pesos. b) La goma cuesta 3 pesos, el bolígrafo 6 pesos y el cuaderno 18 pesos. c) Mayté recibe 100 pesos y Susana 180 pesos. d) Se pagó 120 pesos por la blusa, 60 pesos por la playera y 220 pesos por el vestido. e) La base debe medir 5 centímetros y los lados 10 centímetros. f) La niña menor tiene 8 años, la segunda niña 11 años y la niña mayor 16 años. g) Un costal pesa 25 kilogramos y el otro costal 10 kilogramos. h) En la bodega grande se almacenan 15 toneladas y en la otra 9 toneladas.

Ejercicios 2.20

𝑎) 𝑥 = 3

𝑦 = 4

𝑏) 𝑥 = 1

𝑦 = 3

𝑐) 𝑥 = −2

𝑦 = −1

𝑑) 𝑥 = 7

𝑦 = −5

𝑒) 𝑥 = −4

𝑦 = 2

𝑓) 𝑥 = 3

𝑦 = −2

𝑔) 𝑥 = 1

𝑦 = 1

ℎ) 𝑥 = −2

𝑦 = 5

𝑖) 𝑥 = −2

𝑦 = 2

𝑗) 𝑥 = 1/2

𝑦 = −1

49

Ejercicios 2.21 a) Los números son 104 y 86. b) Los números son 815 y 714. c) Los números son 96 y 84.

Ejercicios 2.22

𝑎) 𝑥 = 3

𝑥 = −2

𝑏) 𝑥 = 2

𝑥 = −9

𝑐) 𝑥 = 5

𝑥 = −13

𝑑) 𝑥 = 9

𝑥 = −12

𝑒) 𝑥 = −3

𝑥 = −8

Ejercicios 2.23

𝑎) 𝑥 = 1

𝑥 = 2/3

𝑏) 𝑥 = 2

𝑥 = −11/4

𝑐) 𝑥 = −3

𝑥 = −8

𝑑) 𝑥 = 9

𝑥 = 7

𝑒) 𝑥 = 2/3

𝑥 = 2/3

Ejercicios 2.24 a) Ana tiene 14 años y Bianca 11 años. b) Los números son 45 y 15. c) Los números son 8 y 9, o -6 y -7.

50

Referencias

[1] M. T. Sada García, «Álgebra,» de Aritmética y Álgebra, 2001, pp. 141-236.

[2] Academia de Ciencias Básicas, Manual de matemáticas, Juárez, 2013.

[3] A. Baldor, Álgebra, Compañía Cultural Editora y Distribuidora de Textos Americanos, S. A. ,

1941.

[4] R. Larson, R. P. Hostetler y B. H. Edwards, «Desigualdades y valor absoluto,» de Cálculo

Diferencial. Matemáticas I, McGraw-Hill/Interamericana, 2009, pp. 11,12.