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Electricidad y Magnetismo 2009/2010

Electrostática: Introducción, Gauss, Superposición EyM 3-a 1

J.L. Fernández JambrinaEyM 3a-1

Electrostática

• Definición

• Los conductores en electrostática.

• Campo de una carga puntual.

• Aplicaciones de la Ley de Gauss

• Integrales de superposición.

• Potencial electrostático.

– Definición e Interpretación. Ecuaciones de Poisson y Laplace. Condiciones de Interfase. Integrales de superposición. Condiciones de regularidad. Teorema de unicidad, teorema del valor medio.

• Campo y potencial eléctrico en puntos alejados: dipolo, momento dipolar, ...

• Polarización de materiales.

• Método de las imágenes.

• Sistemas de conductores. Condensadores.

• Energía y Fuerzas.


Electrostática: Definición.

• Es el caso más simple de las Ecuaciones de Maxwell.

• Condiciones:

– No hay variación con el tiempo:

– No hay movimiento de cargas:

» Esta última condición es necesaria:

• Puede haber corrientes aunque

• Ejemplo: esfera con carga uniforme que gira alrededor de uno de sus diámetros.

• Comentarios:

– No pueden existir situaciones estáticas desde un punto de vista estricto:

» Los campos precisan de un tiempo infinito para alcanzar su valor estático.

» Siempre hay corrientes de conducción en los medios.

– No obstante, es una buena aproximación para muchos casos en que las corrientes y las velocidades de las cargas son pequeñas.

0J

0dtd

0 dtd




– En estas condiciones las ecuaciones de Maxwell se simplifican notablemente:

– Puede suponerse sin problema que el campo magnético es nulo, aunque no se sigue directamente de sus ecuaciones.

– Las ecuaciones de la electrostática son:

Campo Estático

ED

EDrE

0

0

rE

rHrBrErD

rJ

rBrrD

rH

rE

Jt

trEtrJ

trHtrBtrEtrDt

trtrJ

trBtrtrDt

trDtrJtrH

t

trBtrE

0

0

0

0

0

0

0

,,

,,,,

0,

,

0,,,

,,,

,,


El campo electrostático en el interior de los conductores.

• Antes de pasar al estudio en profundidad de las ecuaciones de la electrostática conviene analizar el comportamiento de los conductores.

– Puesto que las corrientes son nulas y la conductividad de los conductores no es nula, el campo eléctrico en los conductores es nulo:

» Partiendo de la ley de Ohm generalizada:

» Para conseguir este efecto la cargadel conductor se distribuye sobre su superficie de forma que cancela cualquier campo exterior.

» La carga neta en el interior del + conductor es nula:

0

0,0

E

J

JEEJ

0 ED

00E

0

-

+

+

+

-

-




• Se trata de aplicar las condiciones de frontera sabiendo que en el interior de los conductores el campo es nulo:

– Suponiendo que el conductor es el medio 1:

– Resulta que el campo en la parte exterior de lasuperficie de los conductores es normal a lasuperficie.

– Por comodidad se suele denominar al campoen la parte exterior de la superficie de los conductores como campo en la superficie del conductor.

nE

E

E

En

DDn

DE

EEn

DDn

S

S

t

Sn

S

SnS

S

SS

ˆ

00ˆ

ˆ

00

0ˆ

ˆ

2

2

2

2

2

2

22

11

12

12

El campo electrostático en la superficie de los conductores.

n̂

12 0

0

1

1

11

DE0

,

2

2

22

DE


Campo de una carga puntual en espacio libre

• Es necesario para justificar la utilización de las simetrías en la aplicación de la Ley de Gauss.

– Planteamiento del problema:Se supone que la carga está en el origen de coordenadas.

– Por la linealidad del medio:

– Se conoce que:

– Luego:

0

00

0

EED

Dr

000 DDr

0

002

v

rvr

r

kv

ˆ

SOSdDqS

SOkSdvSS 4

rr

qv

qD ˆ

244




Campo de una carga puntual en espacio libre

• La expresión del campo creado por una carga en el origen de coordenadas es:

• Propiedades:

– Es radial.

– Su módulo sólo depende (del inverso del cuadrado) de la distancia entre la carga y el punto de observación.

rr

qrD ˆ

24


Aplicaciones directas de la Ley de Gauss.

• La ley de Gauss en su forma integral permite en determinadas condiciones calcular el campo creado por una distribución de carga.

– En general se requiere un conocimiento previo del comportamiento del campo en la superficie en que se aplica la ley de Gauss.

– Este comportamiento se suele inferir a partir de

» Las simetrías que presente el sistema.

» El hecho de que el campo debido a una carga puntual es radial.

• Importante:

– La ley de Gauss se puede aplicar siempre.

– Las simetrías sólo son necesarias para poder utilizar la Ley de Gauss para obtener el campo eléctrico.




Ley de Gauss:Distribuciones con simetría esférica.

• Una distribución tiene simetría esférica cuando sólo hay variación con la coordenada esférica r:

• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada esférica r:

– Demostración:

» Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :

» El campo no depende de las coordenadas q y j: una carga vería la distribución de igual forma al variar estas coordenadas.

rrDD

rrEE

r

r

ˆ

ˆ

j

q

0d

d

d

d

dq

dq’

dE

dE

dE dE


Ley de Gauss:Distribuciones con simetría esférica. (2)

• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie esférica centrada en el centro de simetría de la distribución:

– Donde q(r) es la carga encerrada en la superficie de radio r.

• Ejemplo:

– El campo creado por una bola de carga de radio R y densidad de carga es:

0

rRr

r

R

Rrrr

r

qrD

rRR

Rrr

dVrqrV

;ˆ3

0;ˆ3

4;

3

4

0;3

4

2

3

0

0

23

0

3

0

rDrdSrDSdDrqdV rS

rSV rr

24

rr

rqEr

r

rqrD

r

rqrDr

ˆ4

ˆ44 222




Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución.

• Una distribución tiene simetría de revolución alrededor de un eje, el eje Z, y es invariante en esa dirección cuando sólo hay variación con la coordenada cilíndrica :

• Bajo estas condiciones el campo eléctrico es radial y sólo depende de la coordenada cilíndrica :

– Demostración:

• Dado un punto arbitrario para el cálculo del campo y un dq arbitrario, siempre resulta posible encontrar otro dq’ tal que su contribución al campo total cancele las componentes no radiales del primer dq :

• Una carga vería la distribución de la misma forma aunque varíen j y z.

j

0dz

d

d

d

ˆ

ˆ

DD

EE

dq

dE

dE

dE dE

dq’


Ley de Gauss: Distribuciones invariantes en una dirección con simetría de revolución. (2)

• Con estos presupuestos basta aplicar la ley de Gauss a una superficie cilíndrica con eje el el eje de simetría de longitud arbitraria L:

– Observese que el flujo a través de las tapas es nulo porque el campo eléctrico es tangencial a la superficie.

– Donde qL es la carga por unidadde longitud dentro del cilindro deradio .

• Ejemplo: Distribución lineal de carga a lo largo del eje z:

ˆ2

ˆ22

LLL qE

qD

qD

D D

D D

n

n z

L

LDdSDSdDSdDSdDLqdVSlatTapasSlatS

LVL

2,

L

ˆ2

E




• Estas distribuciones sólo dependen de una coordenada lineal, si ésta es la coordenada z:

• Son indefinidas en las direcciones a la coordenada de la que dependen.

– Para comenzar su estudio conviene empezar por el caso más simple: una distribución de carga superficial constante en el plano z=0.

– El campo tiene sólo componente normal a la distribución: dado un dq siempre se puede encontrar otro, en posición simétrica, de forma que se cancelan las componentes del campo paralelas al plano de la distribución.

– Para puntos simétricos respecto del plano, uno a un lado y el otro al otro lado, el campo tiene el mismo módulo y sentidos contrarios: cuestión de simetría.

– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución:

Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección.

0dy

d

dx

d

z

s

D

D

zEzzEzzEzE zz

ˆˆ


zz

zzzDhD

S

S

Sz

0;ˆ2

0;ˆ2

2

ShDdShDdShD

SdDSdDSdDSdD

SdSq

zhzS

zhzS

z

hzShzSSlatS

SzS

S

2

0

0

Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (2)

– El módulo del campo no depende de la distancia a la distribución:

» Basta con tomar una superficie de Gauss como la de la figura: un cilindro con recto con sus tapas paralelas a la distribución y en posiciones simétricas respecto a ellas.

• El flujo a través de la superficie lateral es nulo ya que el campo es tangencial.

• El flujo a través de las caras se suma debido a la simetría del campo y de las normales.

D

n

n̂

n̂D

Sh2




02

a

Ley de Gauss: Distribuciones con variación en una dirección. (3)

• El campo es constante a cada lado de la distribución superficial y con el mismo módulo y sentidos contrarios a cada lado.

• En caso de distribuciones mas complejas, debe recordarse que cada dz define un elemento infinitesimal de carga equivalente a una distribución superficial de carga de densidad: S=dz y que la simetría de los campos debe mantenerse fuera de la distribución.

02

0Z

z=az=-a

Zz=a

z=-a

zD

0a

02

a

02

3

a

0a


• Supongamos un conjunto de cargas puntuales en el vacío.

– El campo producido por ellas será la suma de los que producen cada una de ellas por separado, es decir:

siendo el campo producido por la carga i-ésima qi.

Campo producido por un sistema de cargas puntuales

ii

ii

i

i

i

i

i

i

rr

rrqR

rr

qrErE

3'

'

2' 4

ˆ

4

O

q2

q1

r2

r1

E1

r

ri qi

E2

Ei

E ETotal i

i

rEi




• Un elemento de volumen dV' situado en tendrá una carga y producirá un campo eléctrico en el punto de observación que viene dado por:

• El campo total vendrá dado por la integral:

– Análogamente, para distribuciones superficiales y lineales:

– Estas expresiones permiten obtener el campo producido por distribuciones arbitrarias y por tanto son de aplicación más general que la ley de Gauss.

Integrales de Superposición:(Aportaciones infinitesimales)

3344 rr

rrVdr

rr

rrrdqrEd

dVrdq

dE r

r

dV’

dq

O

V

r

rEd

r rr

VQ rr

Vdrrr

rr

dqrrrE

334

1

4

1

S

S

rr

SdrrrrE

34

1

C

L

rr

ldrrrrE

34

1

r

dlr

dSr

dVr

dq

l

s


• Calcular el campo creado por un disco de carga uniforme, , de radio R en su eje.

– Se aplica:

– Dada la geometría:

– Debido a la simetría solo hay componente z.

Integrales de Superposición: Ejemplo 1

X

Y

Z

r

r

R

SS

S

rr

dSrr

rr

dSrrrrE

33

'

4

'

4

1

S

j

ddSd

zrr

zzrr

r

zzr21

22

ˆˆ

ˆ

ˆ

zz

zRzzzz

z

dzz

ddz

zzd

zzzE

R

R

R

ˆ11

2

1ˆ

2ˆ

4

2

ˆ

0

ˆ4

ˆ

22

0

220 22

0

2

022

2

022

21

23

23

23

j

j

j

j




Integrales de Superposición: Ejemplo 1 (2)

Líneas de campo eléctrico de un disco cargado con densidad uniforme.

0 +1-1

0

+1

-1

z/a

/a



• Notas:

–

– El campo presenta una discontinuidad en el origen de valor /, como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase:

– Cuando la distancia al disco es muy grande, comparada con su tamaño, el campo se comporta como el de una carga puntual de valor igual a la del disco.

0ˆsenˆcosˆ2

0

2

0jjjj

dyxd zzz 2

zzzEzzE

zzzzRz

zzE

zzzzRz

zzE

zz

zz

zz

ˆˆlimˆlim

ˆ2

ˆ11

2limˆlim

ˆ2

ˆ11

2limˆlim

00

2200

2200

zz

zQz

zz

Qz

zz

Rz

z

R

z

z

zzRz

zzz

zRzzzE

Rz

DISCODISCO ˆ4

ˆ4

ˆ4

ˆ2

11

2

ˆ1

11

2ˆ

11

2ˆ

3

2

2

2

2222




1

0.5


• Representación gráfica de:

z

zRz

zEz

22

112

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

0

0.5

1

3

2,

2

2

z

zRzE lejz

Rz


Ejemplo 2: Línea de carga uniforme.

• Sea ahora una línea de carga uniforme de longitud L.

– Supongamos que está sobre el eje Zy centrada en el origen:

XY

Z

L/2

-L/2

L

zdld

zzrr

zzzrr

zzr

zzr

22

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

zzLzL

zL

zL

zL

zL

zz

zzzzd

zz

zzzld

rr

rrrrE

L

L

L

LL

L

ˆ2

1

2

1

ˆ2

2

2

21

4

ˆˆ

4

ˆˆ

44

1

21222122

21222122

2

2

2122

2

2

23223




Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (2)

• Representación del campo.

0

1

2

-1

-20-1-2 1 2

L

Lz


Ejemplo 2: Línea de carga uniforme. (3)

• La expresión anterior no está definida en el eje Z, aunque se puede intentar obtener una:

– La componente radial

» Fuera de la distribución es nula.

» Sobre la distribución no está definida. Esto es común a todas las distribuciones lineales.

– La componente z en los extremos de la distribución se hace infinita.

zzLzL

zzE ˆ2

1

2

1

4)ˆ(

0 L 2L-L-2L

0

-5

5

4)ˆ( zzEz




Distribuciones Invariantes en z

• Una distribución es invariante en z si ni su geometría ni su densidad dependen de la coordenada z.

– queda definida por su intersección con un plano z=cte y su densidad.

• Cálculo del campo:

– Se pueden definir elementos de carga lineal a partir de diferenciales de superficie:

– Partiendo del campo creado por una línea de carga:

– Y sumando las contribuciones:

» Importante: Todos los vectores de posición implicados deben pertenecer a un mismo plano z=cte: son bidimensionales.

rldrrqdrldr

rSdrrqdrSdr

SLS

L

,

,

2

2 rr

rrrE L

z

S

dS

LS

S

LL

ldrrr

rr

Sdrrr

rr

qd

rr

rrrE

2

2

2

2

1

2

1

2

1


Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo

• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en los puntos del eje Y.

– Se aplica:

– De la geometría:

– Sustituyendo:

» La componente x se cancela por simetría.

Z

Y

X

S

w

LS ldr

rr

rrrE

22

1

y

wy

y

xyyx

x

xdyx

yyxxzzyyE

w

w

w

w

2arctgˆarctgˆln

2

ˆ

2

ˆˆ

2ˆˆ

2/

2/

22

2/

2/ 22

xdldyxrr

yyxxrr

xxr

yyr

21

22

ˆˆ

ˆ

ˆ




Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (2)

• Existe una discontinuidad en y=0 de valor /como se podría haber predicho a partir de la condición de interfase:

yyyEyyE

yy

wyyyE

yy

wyyyE

yy

yy

yyˆˆlimˆlim

2ˆ

2arctgˆlimˆlim

2ˆ

2arctgˆlimˆlim

00

00

00

E yy ( )

y/w

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 50.5

0

0.5



• Cuando la distancia a la tira es mucho mayor que su ancho el campo tiende al de una línea indefinida de carga con la misma carga por unidad de longitud que la línea:

y

qy

y

wy

y

wy

y

wyzzyyEwy L

2ˆ

2ˆ

2ˆ

2arctgˆˆˆ

y/w

E y

E y

y

y LJE

( )

( ).

0.1 1 100.01

0.1

1

10




Distribuciones Invariantes en z: Ejemplo (bis)

• Calcular el campo creado por una tira indefinida de densidad superficial de carga constante en todos los puntos del espacio.

– Se aplica:

– De la geometría:

– Sustituyendo:

Z

Y

X

S

w

LS ldr

rr

rrrE

22

1

222

ˆˆ

ˆ

ˆˆ

yxxrr

yyxxxrr

xxr

yyxxr

y

xw

y

xwy

ywx

ywxx

y

xxyyxx

x

xdyxx

yyxxxrE

w

wx

w

wx

2arctan

2arctanˆ

2

2ln2

ˆ

2

arctanˆln2

ˆ

2

ˆˆ

2)(

22

22

2

2

22

2

2

22



1

0

1

1 0 1

y/w

x/w

• Representación del campo.

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