ELECTRICIDAD y MAGNETISMOPROBLEMAS RESUELTOS III

Antonio J. BarberoDpto. Física Aplicada UCLM

C.A. UNED Albacete

2

Cálculo de componentes de un campo magnéticoLa componentes Bj y BZ de un campo magnético, expresadas en coordenadas cilíndricas, están dadas a continuación. Calcular la componente Br de este campo.

0 constante sin

3 ZBA

r

AB

01

· 1

z

BB

rBr

rrB Z

r

u

ru

zu

La divergencia del campo B es cero. Expresada en cilíndricas

Puesto que BZ = 0 tiene que cumplirse

B

rBr

rr r

1 ·

1

Calculamos

B 33

cossin

r

A

r

A

B

Brr r ·

3

cos ·

r

ABr r

Integramos

C

r

drABr r 3

cos ·

C

rA

22

1cos

r

C

rABr 32

1cos

Constante arbitraria

33

Fuerza electromotriz de movimientoUna varilla conductora de resistencia 10 se desliza sin rozamiento a 2 m/s sobre dos raíles metálicos de resistencia despreciable que forman un ángulo de 60º entre si (véase figura). El conjunto se encuentra inmerso en un campo magnético uniforme de 0.5 T orientado perpendicularmente al plano de los raíles y con sentido entrante.

m/s 2v

º60T 5.0B

10R

Calcular la intensidad de corriente que circula por este circuito cuando la distancia entre resistencia y vértice es 5 cm. Indicar el sentido de la densidad de corriente en la varilla móvil.

dy

dtt

S

2tan

2tan 00

yyyyS 00

2tan yyyy

hm

nh

nm

2Área

20

2 2

tan yy

20

2 2

tan · · yyBSB 2

02

2tan · yy

dt

dB

dt

dfem

dt

dyyBfem ·2

2tan ·

vyBfem · · 2

tan · 2

vdt

dy

Faraday:

m/s 2vº60

T 5.0B 10R

vyR

B

R

femI · ·

2tan ·

2

m 05.0yA 10·77.5 3I

Elegimos el sentido entrante para el vector superficie: eso implica que el ángulo entre S y B es 0º, y que el sentido considerado positivo para recorrer la espira es el sentido horario.

El signo negativo aquí indica que la densidad de corriente generada por el movimiento de la varilla es de sentido opuesto al considerado positivo para el recorrido del contorno de la espira; por tanto el sentido de la corriente es antihorario. En la varilla móvil, de derecha a izquierda.

tt

El área barrida por la varilla móvil es un trapecio isósceles.

2

2

yB

0y

0t

S

Variación flujo:

4

Cálculo de flujo magnéticoCalcular el flujo magnético a través de una espira cuadrada de 20 cm de lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en la figura. La espira se encuentra cerca de un conductor rectilíneo indefinido que transporta una corriente de 5 A a lo largo del eje Z. cm 10

cm 20

X Y

Z

A 5

cm 20

r

Yu

Sd

u

B

90

Nuestro punto de partida será el resultado para el campo magnético alrededor de un hilo conductor indefinido que transporta la corriente I. De acuerdo con el teorema de Ampère, ese campo magnético a la distancia r es igual a:

ur

IB

20

d

a

a

X Y

Z

I

dxx

B

Sd

u

ru r

El campo magnético alrededor del hilo conductor tiene simetría cilíndrica, por eso dividiremos la espira en elementos de área formados por tiras verticales, cada una de longitud a (= 20 cm) y ancho dx, y buscaremos el modo de calcular el flujo magnético dF a través de cada una de esas tiras.

Elemento de área

Elemento de áreaVista desde arriba

cm 10 cm 20A 5 daI Yudxaur

ISdBd

·

2 · 0

90

22 xdr

22sin

xd

x

r

x

sin90cos · Yuu

dxar

Id sin

20

X

YZ

x

dx

d dxxd

xa

Idx

xd

xa

xd

Id

2

222

0

2222

0

5

dxxd

xa

Id

2 220

r

Yu

Sd

u

B

90

Elemento de áreaVista desde arriba

90

22 xdr

X

YZ

x

dx

d

Cálculo de flujo magnéticoCalcular el flujo magnético a través de una espira cuadrada de 20 cm de lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en la figura. La espira se encuentra cerca de un conductor rectilíneo indefinido que transporta una corriente de 5 A a lo largo del eje Z. cm 10

cm 20

X Y

Z

A 5

cm 20

ax

x

dxxd

xa

I

0

2 22

0

ax

xxdaI

0 220 ln

2

1

2

2

20 1ln

4 d

aa

I

Flujo elemental a través de la tira de área a dx

Resultado numérico

2

20 1ln

4 d

aa

I

27

2

27

m

T 10 · 61.1

1.0

2.01ln · m .20 A· 5

m

H 10

d

a

a

X Y

Z

I

dxx

B

Sd

u

ru r

Elemento de área

cm 10 cm 20A 5 daI

6

Cálculo de coeficiente de inducciónCalcular el coeficiente de inducción mutua entre una espira cuadrada de 20 cm de lado colocada paralelamente al plano XZ del modo indicado en la figura y un conductor rectilíneo muy largo dirigido en la dirección del eje Z. cm 10

cm 20

XY

Z

cm 20

Consideremos el resultado del problema anterior para el flujo a través de la espira cuando el conductor dirigido según el eje Z transporta la corriente I

2

20 1ln

4 d

aa

I

El coeficiente de inducción mutua M es el cociente entre flujo y corriente:

2

20 1ln

4 d

aa

IM

H 10 · 22.31.0

2.01ln · m .20

m

H 10 8

2

27

7

Corrientes de imanaciónUna esfera de 20 cm de diámetro tiene un hueco esférico centrado de 10 cm de diámetro. El material de la esfera está uniformemente imanado en la dirección Z, siendo M = 2·104 A/m. Calcular las densidades de corriente de imanación.

A/m 10·2 4M

Corte del cuadrante superior derecho de la esfera hueca

Z

2r

1r

m 05.0 m 10.0 21 rr

M

1

2

ru

ru

MJm

Nm uMK

Volumétrica

Superficial

Corrientes de imanación: Imanación uniforme 0 M

0mJ

Tendremos dos corrientes superficiales, una exterior (1) y otra interior (2).

ruMK1

ruMK

2

ZYXrN uuuuu

cos sinsin cossin

ZYXZ uuuuM

cos sinsin cossin

ZYXZ uuuuM

cos sinsin cossin

YZXZ uuuuMK sinsin cossin 1

XY uuMK

sinsin cossin 1 YX uuM

cossin sinsin

uMK

sin 1

1K

1K

Z

YX uuu

cos sin

Corriente superficial exterior

(1)

(2) ZYXrN uuuuu

cos sinsin cossin

YZXZ uuuuMK sinsin cossin 2

XY uuMK

sinsin cossin 2 YX uuM

cossin sinsin

urMK

sin 22

Solución numérica: es función del ángulo azimutal

141 A·m sin 10 · 2 uK

142 A·m sin 10 · 2 uK