N

~Problemas resueltos

= (5.9) ~1C í = 1 el ¡,

e Problema 1. Objetivos 1 y 2

100 Condensadores

La carga en un conductor eléctrico neutral puede ser redistribUidaen el mismo conductor debido a la acción del campo eléctrico;pero la carga, total permanece cero, salvo que se le dé carga' o seremueva carga por un agente exterior; y (2) La naturaleza equipo-tencial de los conductores. (Este proceso es ilustrado por los ejem-plos 3 y 4). Para N condensadores conectados en paralelo (quetienen el mismo voltaje entre terminales) la capacitancia equiva-lente está dada por la siguiente ecuación.

NC = ~ ee I

í = 1

Para un arreglo de N condensadores en serie (todos los conden-sadores tienen la misma carga eléctrica) la capacltancla equiva-lente está dada por:

5.5 Energía almacenada por un condensador. Laenerqía alma-cenada por un condensador está dada por la siguiente ecuación:

q2= 1/2 - -

C

Esta energía almacenada está ,almacenada en el campo eléctrico.La densidad de energía eléctrica (energía por unidad de volumen)nos justifica esto; y está dada por la siguiente ecuación.

p. = 1/2 e f2E o

que es válida para cualquier región del espacio donde existe cam-po eléctrico. Para obtener la energía total se integra el productode la densidad de energía por el diferencial de volumen correspon-diente al caso.

5.6. Círcuitos RC. En un circuito RC cuando comienza a pasarcorriente por el condensador su valor es máximo, a medida queéste se carga, la corriente que pasa por él, disminuye hasta llegara un valor cero.

(5.12)U

(5.13)

(5.7)

Problemas resueltos 101

En el circuito RC de la figura 5.10 del Texto, el condensadoractúa como corto clrculto cuando se conecta en "a" (el conden-sador está descargado), después de permanecer larqo tiempo en"a" (para t > 5r) el condensador se carga y no permite el pasode la corriente, abriendo el circuito. Con el Teorema de la trayec-toria y el principio de la conservación de la energía obtenemos laecuación 5.15 cuya solución es la ecuación 5.16.

que nos representa la carga que se acumula en el condensadoren función del tiempo. La corriente en el circuito la obtenemosderivando la ecuación 5.16 y obtenemos la ecuación 5.17. La cons-tante de tiempo capacitiva está dada por Te =RC que está dada

.\ en segundos.

Para 'un condensador de placas cuadradas, de lado a, con unade las placas inclinadas haciendo un ángulo 9 con la horizontaly separados una' distancia d, en su parte más cercana como semuestra en la figura 5.1, calcule la capacitancia.Solución: '

De la ecuación 5.4 para placas paralelas tenemos que:

! ' e Ao

e =d

Debido a la inclinación de la placa superior podemos conside-rar que e\ condensador está compuesto de d\\erenc\a\es de \ong\-tud en el eje de las x teniendo que esto nos daría condensado-res en paralelo y la ecuación 5.4 nos daría como sigue:

e dAo

de =y

De la figura 5.1 vemos- que: dA = edx, como 6 es pequeño, y =d + 6 x

J(l COl/{lclISlldores

LtI blfl

Problemas resueltos 103I-t~-·'-..'-Figura 5.1

E adxolIstltuyendo: de =

d +() x

Integrando y' evaluando:

8

E adxf de f oe = =d + () xo

= e a [: In ( o x + dio

e a

(1 n ad

+ d)o oe = -a b b

drf f qVab E, dr =r

=2 7T ea8

8

,. Integrando y evaluando:

f'q b

Ln(,

Vab2 71' a

,E

o

Figura 5.2

Solución: . .

. , 3 3 calculamos la diferencia delos ~~i~~r~~u~~~~id~rando los díeléctrtcos, dondetrico lo calculamos de la Ley de Gauss.

potencial entreel campo eléc-

eo a a o=-c __d

a2f)2_ 2 + ... )2 d2

e o a2

1 a ()C~-(1 __ ~)d 2, d

Problema 2. Dos cIlindros coaxlales de radios a y e forman uncondensador cilíndrico, si el hueco entre los cilindros se llena condos die/éctricos, el dle/éctrico k, entre 8 y b Y el die/éctrico k

2

deh a C como se muestra en la figura 5.2. Cak"'e la capacltancl,por unidad de longitud del condensador.

con un dieléctrico de cons-De la definición de capacitanclatante k.:

104 Condensadores

En forma similar para el dieléctrlco k, que se encuentra entre ".b Y c:

2 tr e Ioq

Cbc = k, ---v; = kz-----Ln.c/b

De acuerdo a la configuración de los condensadores de la fI-gura 5.2, los condensadores están en serie, ya que;

Por consiguiente:

1

e1

= ---eab

I+---=:

Simplificando y sustituyendo:

r kz ll. Ln clb J

r:: kz . JL Ln c/b

Problema 3. Objetivos 1 y 3.

Calcule la capacitancia equivalente del arreglo de condensado-res de la figura 5.3 con respecto a los puntos 8 y b. Si el = C, = .4 JJ.f , el = 2 p.f , e4 = 4 p.f , es = 2 p.f, e6 = 4 fJ. f y. C, = 2 p.f.

Solución:

De la figura 5.38 vemos que el y ez están en serie, de la ecua-ción 5.9 tenemos que la capacitancia equivalente es:

Donde: elz

I ~,;

"

Figura 5.3

Problemas resueltos 105

'c~----\\c .,I 1 \c"... \

\ I\ I

4..-_-l\C. /'-- /

<c.:>:

•

•e

•

106 Condensadores

En la figura S.3b, C'2 está en paralelo con Cl de la ecuación 5.7tenemos que la capacitancia equivalente es:

C, + C2

En la figura S.3c, Cm está en serts con C I• Y ap icándole laecuación 5.9 obtenemos que:

.' Cl2H = Cm C•

C'2l + C.

De la figura S.3d, Cm. y Cs están en paralelo, entonces:

. De la figura 5.3e, CI2J.5, C. Cera equivalente (Cab) es: y 7 están en serie y la capacitan-

l.I- = +e e,2HS

+ab e. e7

I- = IC C, C2

+ +ab ( C.+ Cl) C. C7C, + C2

C, C2 + Cs

C, + C2+ Cl + C.

Sustituyendo valores y despeJ'ando obtenemos que:

C ab = 1 1'1

Problema 4. Objetivos 1 y 4

Dada una fuente de 60 volts ..Y cuatro de 2 1'1, diseñe un . Y.ClnCO condensadores, uno de 1 I'fvolts: crrcuiro para obtener unasalida de 10

Problemas resueltos 107

?• r

Figura 5.4-a

I¡Solución:

Para resolver este tipo de problemas se tienen que hacer lascombinaciones que sean posibles y encontrar la que nos dé losresultados deseados. En algunos casos puede haber más de unacombinación que dé el resultado que se busca. Figura ,5.4a.

Para este problema el circuito que se muestra en la figura 5.4"b" nos da una salida de 1O volts, en cualquiera de los condensa-dores de 2 I'f que están conectados en paralelo con el de 1 I'f.

2ft/ylf-t/ I 2f-tf_____________=c _

1'.

Figura 5.4-b

Problema 5. Objetivos 1 y 5

Calcule la energía almacenada en cada condensador cuandoa) El interruptor "a" está cerrado y "b" está abierto en el circuitode la figura 5.5 a. b) Cuando "a" y "b" están cerrados. Tome e =20.volts, C, = 4 I'f, C2 = Cl = 8 I'f, C. = 10 I'f.

Solución:

a) Cuando el interruptor "b" está abierto y "a" está cerradonos queda un clrcuito como el de la figura 5.5 b, donde el voltaje

108 Condensadores

Figura 5.5·a

del condensador es e de la ecuación 5.12:

u = 1/2 e V2

Sustituyendo valores:

U = 1/2 (4) (20)2 [oules

U = 800 loules

b) Cuando "a" y "b" están cerrados la capacitancía equivalen.te del circuito es 18 ¡J.f, el voltaje del condensado n equivalente esel de la fuente; sustituyendo en la ecuación 5.12, tenemos que:

U

U

1/2 (18) (20)2 ioules

3,600 ioules

1 1'T_JFigura 5.5·b

Problema 6. Dos cascarones metálicos concéntrícos de radiosa y b, tienen cargas de 40 y 60 cada uno respectivamente, comose muestra en la figura 5.6. Determine la densidad de energíapara:

a) r < a b) a < r < b y e) r > b.

+ 4Q

0'b

Figura 5.6

Solución:

Problemas resueltos 109

+- 6Q

a) La densidad de energía está dada por la ecuación 5.13,esto es:

u = 1/2 E ElE o

Para calcular el campo eléctrico usamos la ley de Gauss.

! ~ ~ q'Y . E. ds = -E--

o

Para, < a, la carga encerrada es cero, por consiguiente E = OY la densidad de energía Jl f = O para r < a.

b) Con un procedimiento similar al punto a, tenemos que elcampo eléctrico para a < r < b, de la ley de. Gauss;.

4 OE=-----

·471"10 ,2o

Sustituyendo en la ecuación 5.13 nos queda que:

u = 1/2 eE ! o 16 71"2 e~ r'

e) De la ley de Gauss tenemos que:

10 QE = Para r > b

l'I

110 Condensadores

Sustituyendo en la ecuación 5.13 nos queda que:

100 02U ==~E 2 32 71'2 e r

o

P,.br ••••• 7. Calcule la ene'gia elect,ostáHca de los casca,o.nI d I problema 6.

I~()'II1611:

," ne'gfa electmstátlca de. los cascamnes es igual al pmduc.111"n '" deosldad de ene'gfa eféct'ica por un difemoc'al de voru""", lO! g,endo en las ,egiones conespoodfentes, esto e"

u == f b

a JII

1"

Del pmbfema 6 tenemos qUe las denSidades de ellé'gia SOn,

Q"l/El - ~ .Para él < r <:" u

~ 71" e ro

100 02l/E

2== ~ Para r > b32 71'2 E r

o

SUstituyendo en la ecuación de la energía obtenemos:

b

u Q2

~471'r2dr2 71'2 E r'o

00

+ fb

100 02

~471'r2d,32 71'2 e ro

Integrando, evaluando y Simplificando:

42 02U==~+

4 71' e bo

Problemas resueltos III

. l' h bi mas considerado la suma de la. Esta eoe'gia es 'gua SI u ,e,a bat ,eall,edo pa". d cada cascarón por separado y el tra aJOenergla e ...

colocar los cascarones en esa poslclon.

. le I I tiempo necesario para que el con-. Pmbl••••• S. al ea cu e e . 57 Imacene la cuarta parta de¡ densador del circuito de la figura . asu máxima energía.

d I Condensador en ese instante.b) Calcule Ia carga e

e 10 volts, R == 25 ohms,Solución:

e = 2 ¡.d

que:a) De la ecuación 5.11, tenemos

U = 1/2 e V2

V = .'/0 (1 - e-tIRC)donde: v.

de las ecuaciones 5.1 y 5.16.'

de los datos dados:,\

u =1

4== 1(-- e V2)

4 2 o

uo

Sustituyendo: ~u.4 o

1 _ e-tIRCF== -- e V2 (12 o

Simplificando y despejando t:

1/2 = (1 - e-tiRe) ~ Ln 1/2 = - tiRe

x 10-6 seg.~ t= ñctra = 50 x .69

= 34.65 x 10-6 seg.

, \

Ri' 1 w 1)

, '1

'I J1.'

112 Condensadores

b) qo = e e de la ecuación 5.1 y sustituyendo en la ecuación5.16:

q = e e (1 - e-ln2)

Sustituyendo valores y efectuando operaciones:

q = 1.02 X 10-5 coulombs.

Problema 9. En el circuito Re de la figura 5.7 calcule:

a) La carga en el condensador cuando t = o.b) El voltaje en el condensador para t ~ co ,

e) La corriente máxima que pasa por R, donde e 20 volts,R, = 6 ohms, Rz = 5 ohms, RJ = 20 ohms y e = 10 ¡Lf.

Solución:

a) De la ecuación 5.16 tenemos que:

q = q (1 - e-tiRe). °

donde la constante capacitiva para este circuito es igual a la re-sistencla equivalente por la capacitancia, esto es:

T = Re = 100 x 10-6 seg

Figura 5.7 rl'

y la carga máxima en el condensador es: q ° = e e

e- ti 10)4Sustituyendo en la ecuación 5.16: q = e e (1 -

Problemas resueltos 113

Para t = O, de la ecuación 5.16 encontramos que:

q = e e (1 - ea) = O

b) De la ecuación 5.1 tenemos que: ~ =q

ede la ecuación 5.16·tenemos que cuandot ~ 00, q = e e enton-ces v = e pero con una polaridad contraria a la de la fuente.

e

e) La corriente máxima que pasa por R, es para t

el condensador está descargado y v = O, entonces:e

'1, Rz R¡e= i R, + i

R2 + R¡

despejando la corriente, nos queda:

eRz RJ

R, + Rz + RJ

Sustituyendo valores:

20 = 2 amperes=10

, -,

O, ya que