El volumen del politopo de ujo de un subgrafo del Caracol

El volumen del politopo de flujo

de un subgrafo del Caracol

Carlos Sanchez Vargas

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

Bogota D.C., Colombia

Mayo, 2019

El volumen del politopo de flujo

de un subgrafo del Caracol

Proyecto de grado presentado como

requisito parcial para optar al tıtulo de

Matematico

Carlos Sanchez Vargas

Directora

Carolina Benedetti Velasquez. Ph.D

Universidad de los Andes

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

Bogota D.C., Colombia

Mayo, 2019

Dedicado a la memoria de mi madre Martha Vargas,

a quien extrano todos los dıas.

Agradecimientos

Tras la realizacion de este proyecto quiero expresar agradecimiento a Caroli-

na Benedetti, mi directora de tesis, por su guıa constante tanto intelectual como

personal en el desarrollo de este proyecto y por transmitirme esa pasion por la

Combinatoria. Agradezco a mi jurado Rafael Gonzalez D’Leon por leer este do-

cumento y por varias de sus publicaciones que fueron fuente de conocimiento en

la realizacion de ese proyecto. Tambien quiero dar agradecimientos al profesor

Alexander Berenstein por su acompanamiento a lo largo de mi pregrado y al pro-

grama Olimpıadas Colombianas de Matematicas, el cual me motivo y contribuyo

a mi formacion a temprana edad. Finalmente, agradezco a mi familia por su apoyo

incondicional. A mis padres, Wilson Sanchez y Martha Vargas, por su sacrificio

en busqueda de mi bienestar, y a mi hermana Laura por ensenarme a ser mejor

persona y hermano.

Indice general

Indice general I

Indice de figuras I

1. Introduccion 1

2. Los numeros de Catalan y la elegante solucion de Andre 4

2.1. Caminos de Dyck y numeros de Catalan . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. El problema de la boleta electoral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Politopos de flujo y sus volumenes normalizados 8

3.1. Politopos de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2. Funciones Kostant de particion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3. La formula de Lidskii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4. Visualizacion de particiones vectoriales 12

4.1. Diagramas de gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2. Diagramas de gravedad para el grafo Caracol . . . . . . . . . . . . 13

4.3. Representacion de composiciones debiles como caminos de Dyck . 16

5. Volumen del politopo de flujo de Cark,ln+1 18

5.1. El grafo Cark,ln+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2. Calculo de volumenes por inclusion-exclusion . . . . . . . . . . . . 23

5.3. Formula explıcita para el volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6. Conclusiones e ideas adicionales 30

Bibliografıa 31

I

Indice de figuras

2.1. Triangulaciones de P5 [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Los 5 caminos de Dyck de longitud 6 [9]. . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3. Metodo de reflexion de Andre [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1. Diagramas linea-punto distintos asociados a la misma particion vec-

torial 3α1 + 4α2 + 2α3 +α4 [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2. Grafo Caracol Carn+1 [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.3. Grafo Caracol restringido (Carn+1)|n [3]. . . . . . . . . . . . . . . 14

4.4. Los 5 diagramas de gravedad de GD(Car6)|5(3,−1,−1,−1, 0) [3]. . . 15

4.5. Un diagrama de gravedad de (Car8)|7 y su camino reticular [3]. . . 16

4.6. Cuando t = (1, 2, 1, 1, 0, 1), la composicion s = (4, 1, 0, 1, 0, 0) es

un t-camino de Dyck ya que tienen la misma longitud y s D t. . . 17

5.1. Grafo (1, 2)-Caracol Car1,2n+1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.2. Los 3 diagramas de gravedad de GD(Car2,16 )|5(2, 0,−1,−1, 0). . . . . 20

5.3. Un diagrama de gravedad de (Car3,28 )|7 y su camino reticular. . . . 21

5.4. Reflexion sobre el eje y = x del camino reticular en la figura 5.3. . 21

5.5. Inclusion-exclusion de caminos reticulares para Car2,0n+1 . . . . . . 24





5.10. Metodo de reflexion de Andre para contar t-caminos de Dyck . . . 29

II

Capıtulo 1

Introduccion

Existen metodos algebraicos complejos para el calculo de volumenes de polito-

pos de flujo que brindan resultados sencillos. Esto lleva a la busqueda de metodos

alternativos que proporcionen resultados equivalentes de forma directa y clara.

De acuerdo con esto, trabajos como el de Benedetti et al. [3] recuperan formulas

conocidas para el volumen de politopos de flujo y demuestran unas nuevas usan-

do una nueva familia de objetos combinatorios, con lo cual obtienen una formula

elegante para el volumen del politopo de flujo del grafo Caracol. Ası pues, el pre-

sente trabajo tiene como objetivo principal obtener una formula explıcita para

el volumen del politopo de flujo de una familia de subgrafos del grafo Caracol a

traves de una interpretacion combinatoria.

Los trabajos recientes de Baldoni y Vergne [2], ası como las contribuciones de

Stanley y Postnikov [8] impulsaron el estudio geometrico y combinatorio de los

politopos de flujo. Estos ultimos se refieren a una familia de politopos con pro-

piedades enumerativas y geometricas excepcionales, y estan relacionados a varias

areas de las matematicas tales como teorıa de representaciones, geometrıa alge-

braica y combinatoria.

En el capıtulo 2 de este documento presentaremos los numeros de Catalan y

su interpretacion a traves de objetos combinatorios basicos llamados caminos de

Dyck, adicionalmente se mencionaremos el problema de la balota electoral [4] con

enfasis en una brillante solucion dada por Desire Andre.

1

Luego, en el capıtulo 3 estudiaremos la base teorica para calcular el volumen

de politopos de flujo, esta es la la formula de Lidskii [2] y estableceremos de-

finiciones fundamentales para el entendimiento de esta. En el capıtulo 4 vemos

la herramienta central para calcular volumenes de politopos de flujo, la cual usa

visualizaciones de particiones vectoriales llamadas diagramas de gravedad. Adi-

cionalmente, definiremos el grafo Caracol y mostraremos la aplicacion de estos

diagramas para calcular el volumen de su politopo de flujo.

Ademas, en el capıtulo 5 se definiremos una familia de subgrafos del grafo

Caracol y calcularemos el volumen de sus politopos de flujo asociados. Para esto

haremos uso del principio de inclusion-exclusion y del metodo de reflexion de

Andre mencionado en el capıtulo 2 para calcular una formula explıcita para el

volumen del politopo de flujo de un subgrafo del Caracol. Por ultimo, en el capıtulo

6 dejamos algunas conlusiones que surgieron a lo largo de este trabajo y se plantean

ideas adicionales para trabajo futuro.

2

Notacion

N := {0, 1, 2, . . . }.

Sea n ∈ Z>0, [n] := {1, 2, . . . , n}.

Ck es el k-esimo numero de Catalan.

Sean a = (a1, a2, . . . , an) y s = (s1, s2, . . . , sn). Definimos as := as11 as22 . . . asnn .

Sea s = (s1, s2, . . . , sn) ∈ Nn tal que s1 + s2 + · · ·+ sn = k. Definimos(ks

):= k!

s1!s2!...sn!.

1 = (1, 0, . . . , 0).

3

Capıtulo 2

Los numeros de Catalan y la

elegante solucion de Andre

2.1. Caminos de Dyck y numeros de Catalan

Existen muchas maneras de definir los numeros de Catalan segun multiples in-

terpretaciones tanto algebraicas como combinatorias. Historicamente, la primera

interpretacion combinatoria del n-esimo numero de Catalan Cn fue el numero de

triangulaciones del (n + 2)-agono convexo Pn+2, es decir el numero de formas en

que se pueden trazar n − 1 diagonales tal que no se crucen en el interior. Estas

diagonales particionan el interior de Pn+2 en n triangulos.

Figura 2.1: Triangulaciones de P5 [9].

Stanley nos ofrece 214 interpretaciones combinatorias para los numeros de

Catalan [9]. En esta tesis haremos uso frecuente de una de estas interpretaciones:

el numero de caminos de Dyck. Sea S un subconjunto de Zd, un camino reticular

4

L en Zd de longitud k con pasos en S es una sucesion v0, v1, . . . , vk ∈ Zd tal que

cada diferencia consecutiva vi−vi−1 se encuentra en S. Ası decimos que L empieza

en v0 y termina en vk. Ası definimos un camino de Dyck de longitud 2n como un

camino reticular en Z2 que empieza en (0, 0) y termina en (n, n) con pasos (1, 0) y

(0, 1), con la condicion adicional de que no pasa por debajo de la recta y = x. Ası

nuestra interpretacion combinatoria de Cn de ahora en adelante sera el numero

de caminos de Dyck de longitud 2n. Es conocida la siguiente formula para Cn

Cn =1

n + 1

(2n

n

)=

1

2n + 1

(2n + 1

n

).

Figura 2.2: Los 5 caminos de Dyck de longitud 6 [9].

2.2. El problema de la boleta electoral

Suponga que se lleva a cabo una eleccion en la cual hay dos candidatos X y

Y , y X gana las elecciones con m votos contra los n votos de Y (m > n). El

problema consiste en calcular la probabilidad de que durante todo el conteo de

votos, el candidato X siempre este delante del Y . Entonces el problema equivale

a contar el numero de formas en que se puede realizar el conteo de votos, tal que

X siempre vaya ganando sobre Y .

En 1887, el matematico frances Desire Andre, publico una breve nota titula-

da Solution directe du probleme resolu par M. Bertrand en la prestigiosa revista

“Comptes Rendus de l’Academie des Sciences”[1]. La idea de Andre fue hacer una

biyeccion del problema a caminos reticulares en Z2 desde (0, 0) hasta (m,n) con

pasos (1, 0) y (0, 1), tal que permanezcan por debajo de la linea y = x excepto en

su punto inicial.

5

La solucion de Andre fue elegante, directa y hoy en dıa es una estrategia

combinatoria estandar. Consiste en contar todos los caminos y restarle los que no

cumplan la condicion. Mostraremos la solucion como el la hizo, pero ligeramente

generalizada.

Digamos que un camino reticular p es un camino de Andre si no toca ni cruza

la linea y = x. El numero total de caminos reticulares de P = (a, b) a Q = (c, d)

con b < a ≤ d < c es el coeficiente binomial((c + d)− (a + b)

d− b

)que equivale al numero de formas de elegir los d− b pasos (0, 1) en la secuencia de

(c+ d)− (a+ b) pasos. Ahora contemos los que no son caminos de Andre. Si p no

es un camino de Andre, sea F el primer punto de contacto con la linea y = x; sean

p1 y p2 los subcaminos PF y FQ de p respectivamente. Usando la composicion

de caminos p = p1p2, sea p1 el camino obtenido al reflejar p1 sobre la linea y = x.

Definamos p = p1p2, p es un camino de P = (b, a) a Q y la correspondencia p 7→ p

puede ser vista como una biyeccion entre caminos que no son de Andre de P a Q

al conjunto de todos los caminos de P a Q, ya que cada uno de estos debe cruzar

la linea y = x al menos una vez. De aquı se sigue que el numero de caminos que

no son de Andre de P a Q es ((c + d)− (a + b)

c− b

)que equivale al numero de formas de elegir los c − b pasos (1, 0) en la secuencia

de (c + d)− (a + b) pasos. Entonces((c + d)− (a + b)

d− b

)−(

(c + d)− (a + b)

c− b

)(2.1)

es el numero de caminos de Andre de P a Q. El argumento se exhibe en la figura 2.3

Volviendo al problema de la balota electoral, el numero de caminos de (1, 0) a

(m,n) es (m + n− 1

m− 1

)−(m + n− 1

m

)=

(m + n− 1)!

m!n!(m− n)

6

Figura 2.3: Metodo de reflexion de Andre [4].

Entonces la probabilidad de que X se mantenga adelante de Y durante todo

el conteo de votos es

(m+n−1)!m!n!

(m− n)(m+n)!m!n!

=m− n

m + n

La importancia de este metodo radica en su claridad para dar una visualizacion

del problema y nos permite solucionar un rango mas amplio de problemas de

conteo. Un caso especial es cuando queremos contar el numero de caminos Ck de

Andre de (1, 0) a (k + 1, k) con k ≥ 0. Por la ecuacion 2.1 se obtiene

Ck =

(2k

k

)−(

2k

k + 1

)=

1

k + 1

(2k

k

)que es justamente el numero de Catalan Ck [5].

7

Capıtulo 3

Politopos de flujo y sus

volumenes normalizados

3.1. Politopos de flujo

Sea G un grafo conexo dirigido cuyo conjunto de vertices es V (G) = [n+ 1] =

{1, 2, . . . , n + 1} y cuyo conjunto de aristas es E(G) ⊆ V × V donde cada arista

(i, j) ∈ E esta dirigida de i a j con i < j. Denotemos con m = |E(G)| el numero

de aristas de G. Dado un vector a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Nn, definamos un a-flujo

de G como una m-tupla (bij) con (i, j) ∈ E(G) de numeros reales no negativos tal

que para cada j = 1, 2, . . . , n se tiene que∑(j,k)∈E(G)

bjk −∑

(i,j)∈E(G)

bij = aj.

Podemos interpretar un a-flujo de G como una m-tupla donde cada arista

(i, j) tiene asignado un flujo bij, de tal manera que el flujo total (saliente me-

nos entrante) en cada vertice j ∈ [n] es aj y el flujo neto en el vertice n + 1 es

−∑n

j=1 aj. Nos referiremos a a y a′ = (a1, . . . , an,−∑n

i=1 ai) como como el flujo

neto sin hacer mayor distincion ya que tienen la misma informacion.

Sea FG(a) el conjunto de todos los a-flujos de G, podemos ver a FG(a) como

un politopo en Rm y de ahora en adelante lo llamaremos el politopo de flujo de G

con flujo neto a.

8

3.2. Funciones Kostant de particion

Sea ei ∈ Zn+1 el vector de la base canonica ei = (0, . . . , 0,

posicion i︷︸︸︷1 , 0, . . . , 0).

Definamos los vectores

αi := ei − ei+1 para 1 ≤ i ≤ n

A cada arista dirigida (i, j) ∈ E(G) le asociamos el vector

(i, j) 7→ ei − ej = αi + · · ·+αj−1

Tenemos que a′ se puede escribir como combinacion lineal de los vectores ei− ejpues

a′ =∑

(i,j)∈E(G)

bij[αi + · · ·+αj−1]

es decir, que podemos ver un a-flujo de G como combinacion lineal de los

vectores αi. Cuando todos los (bij) de un a-flujo son enteros no negativos, llama-

remos a este una particion vectorial de a′. Definamos la funcion de particion de

Kostant de G evaluada en a′ como el numero de particiones vectoriales de a′ [6],

esto es,

KG(a′) = #

(bij)(i,j)∈E(G) ∈ N :∑

(i,j)∈E(G)

bij[αi + · · ·+αj−1] = a′

.

3.3. La formula de Lidskii

Baldoni y Vergne demostraron una increıble formula para el calculo del volu-

men de un politopo de flujo a la que llamaron la formula de Lidskii [2]. Dado un

grafo dirigido G, el vector corrido de salida t = (t1, t2, . . . , tn) es el vector cuya

entrada i-esima es uno menos que el grado de salida del vertice i. Denotaremos

por |t| a la suma de las entradas de t, note que |t| = m − n. Adicionalmente

usaremos la notacion G|n para hacer referencia al subgrafo de G restringido a los

9

primeros n vertices.

Una composicion debil de n es una sucesion de enteros no negativos cuya suma

es n. Dadas dos composiciones debiles s = (s1, s2, . . . , sn) y t = (t1, t2, . . . , tn) de

n, decimos que s domina a t, denotado por s D t, si∑k

i=1 si ≥∑k

i=1 ti para todo

k ∈ [n]. Tambien usaremos la notacion estandar para el multiexponente

as := as11 as22 . . . asnn

y para el coeficiente multinomial(k

s

):=

k!

s1!s2! . . . sn!.

Teorema 3.1 (Formula de volumen de Lidskii [2]). Sea G un grafo dirigido con

n + 1 vertices, m aristas y vector corrido de salida t = (t1, t2, . . . , tn), y sea

a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Nn. Entonces

volFG(a) =∑sDt

(m− n

s

)· as ·KG|n(s− t),

donde la suma se realiza sobre las composiciones debiles s = (s1, s2, . . . , sn) de

m− n que dominan a t.

Para politopos de flujo donde a = (1, 0, . . . , 0), la suma en la formula de Lids-

kii tiene unicamente un termino diferente de cero, correspondiente a

s = (m− n, 0, . . . , 0). En este caso, la ecuacion tiene una simplificacion debida a

Postnikov y Stanley.

Corolario 3.2 (Postnikov y Stanley [8]). Sea G un grafo dirigido con n + 1

vertices, m aristas y vector corrido de grado de salida t = (t1, t2, . . . , tn). Entonces

volFG(1, 0, . . . , 0) = KG|n(m− n− t1,−t2, . . . ,−tn)

= KG|n

(n−1∑i=1

[m− n−

i∑j=1

tj

]αi

)(3.1)

10

La importancia del corolario 3.2 radica en que podemos calcular el volumen de

un politopo de flujo con a = (1, 0, . . . , 0) contando el numero de puntos reticulares

(lattice points) de un politopo de flujo relacionado, que es simplemente la funcion

de particion de Kostant.

11

Capıtulo 4

Visualizacion de particiones

vectoriales

4.1. Diagramas de gravedad

Sea c = (c1, c2, . . . , cn) un vector con entradas enteras no negativas. Benedetti

et al. [3] definen el concepto de un diagrama linea-punto para dar una visualizacion

de las particiones vectoriales de c′, donde c′ = (c1, c2, . . . ,−∑n

i=1 ci).

Como c′ = c1e1 + c2e2 + · · ·+ cnen− (c1 + c2 + · · ·+ cn)en+1, entonces c′ se puede

escribir como combinacion lineal de αi + · · ·+αj−1 ası

c′ = (c1)α1 + (c1 + c2)α2 + · · ·+ (c1 + c2 + · · ·+ cn)αn. (4.1)

Con esa intuicion crearon un arreglo bidimensional de puntos con n columnas,

una por cada αi, de tal manera que la columna i contiene (c1+c2+· · ·+ci) puntos.

De esta forma cada punto de la columna i representa un αi de la particion vecto-

rial en (4.1). Las partes de la particion vectorial son de la forma αi + · · ·+αj−1,

cada una es representada por segmentos de linea recta conexos, conectando un

punto de cada columna desde la i hasta la j − 1. Una parte que consista unica-

mente del vector αi es representada por un segmento de linea de longitud cero,

es decir, un punto en la columna i. Haremos referencia a este diagrama como

diagrama linea-punto.

La siguiente figura muestra dos diagramas linea-punto distintos para el vector

12

3α1 + 4α2 + 2α3 +α4, cada uno representando la particion vectorial [α1] + [α2] +

[α1 +α2] + [α1 +α2 +α3] + [α2 +α3 +α4].

Figura 4.1: Diagramas linea-punto distintos asociados a la misma particion vec-

torial 3α1 + 4α2 + 2α3 +α4 [3].

Como se ve en la figura 4.1, varios diagramas pueden representar la misma

particion de c′ por lo tanto es necesario crear clases de equivalencia. Decimos que

dos diagramas son equivalentes si representan la misma particion vectoria de c′, y

denotemos por GDG(c′) el conjunto de clases de equivalencia. Una clase de equi-

valencia es llamada diagrama de gravedad. Por construccion tenemos el siguiente

resultado

Teorema 4.1 (Benedetti et al. [3]). Para todo grafo G con n+ 1 vertices, y para

todo vector de flujo c′ ∈ Zn+1, se tiene que

KG(c′) = |GDG(c′)|.

4.2. Diagramas de gravedad para el grafo Cara-

col

Benedetti et al. [3] definieron el grafo Caracol, Carn+1 = (V,E) como el grafo

dirigido donde el conjunto de vertices y aristas son

V = {1, 2, . . . , n + 1}

E = {(1, i) : 2 ≤ i ≤ n} ∪ {(j, n + 1) : 2 ≤ j ≤ n} ∪ {(k, k + 1) : 2 ≤ k ≤ n− 1},

ver figura 4.2.

13

Figura 4.2: Grafo Caracol Carn+1 [3].

El grafo Caracol tiene vector corrido de salida t = (n − 2, 1, . . . , 1, 0) y m =

3n− 4 aristas, por la Proposicion ?? se tiene que

volFCarn+1(1, 0, . . . , 0) = K(Carn+1)|n(n− 2,−1, . . . ,−1, 0)

= K(Carn+1)|n((n− 2)α1 + (n− 3)α2 + · · ·+αn−2).

Haremos uso de diagramas de gravedad para darle una interpretacion combina-

torica a volFCarn+1(1, 0, . . . , 0) [3]. La figura 4.3 muestra (Carn+1)|n, que es la

restriccion del grafo Caracol a los primeros n vertices y adicionalmente senala las

partes de la particion vectorial de c′ = [(n− 2)α1 + (n− 3)α2 + · · ·+αn−2] que

son de la forma

[αi] para 1 ≤ i ≤ n− 1, y

[α1 +α2 + · · ·+αi] para 2 ≤ i ≤ n− 1.

Figura 4.3: Grafo Caracol restringido (Carn+1)|n [3].

14

Los diagramas linea-punto que corresponden a estas particiones vectoriales

son arreglos triangulares organizados en n− 2 columnas donde la columna i tiene

n − 1 − i puntos para 1 ≤ i ≤ n − 2. Los segmentos de linea permitidos en este

caso son los que conectan un punto de cada columna desde la 1 hasta la i que

representan la parte [α1 +α2 + · · ·+αi] y los puntos de la columna i (lineas de

longitud cero) que representan la parte [αi]. Para el grafo Caracol, el representan-

te canonico de una clase de GD(Carn+1)|n(c′) tendra unicamente lineas horizontales

que empiezan en la primera columna, ordenados de mas cortos a mas largos desde

arriba hacia abajo. De ahı el nombre de “diagrama de gravedad”, ya que las lineas

parecen ordenadas como si las mas “pesadas” estuviesen abajo. En la figura 4.4

se muestran los representantes de cada clase de GD(Carn+1)|n(c′) para n = 5.

Figura 4.4: Los 5 diagramas de gravedad de GD(Car6)|5(3,−1,−1,−1, 0) [3].

Proposicion 4.2 ([3]). El volumen del politopo de flujo del grafo Caracol

volFCarn+1(1, 0, . . . , 0) es Cn−2.

Demostracion. Sea D un diagrama de gravedad, reflejemos sobre un eje vertical

y asignemos coordenadas enteras a sus puntos, es decir, embeberlo en Z2 tal que

la fila inferior de puntos de D ocupe de las coordenadas (1, 1) hasta (n − 2, 1).

Un punto de D en la fila i de izquierda a derecha y columna j de abajo a arriba

pasarıa a la coordenada (i, n−1−j) al reflejarlo y embeberlo en Z2. Para construir

el camino reticular P correspondiente a D, empecemos en (n− 2, n− 2) y demos

pasos verticales hacia abajo (0,−1). En cada fila, si el paso vertical encuentra una

linea horizontal de D, realizamos pasos horizontales hacia la izquierda (−1, 0)

hasta que la linea termine y repetimos el algoritmo de hacer pasos verticales

hacia abajo. De esta manera llegaremos hasta el punto mas a la izquierda en la

primera fila de D y terminaremos realizando un paso vertical hacia abajo, seguido

de pasos horizontales a la izquierda hasta llegar al origen (0, 0). Esta biyeccion

15

Figura 4.5: Un diagrama de gravedad de (Car8)|7 y su camino reticular [3].

entre diagramas de gravedad y caminos reticulares de (0, 0) a (n − 2, n − 2) que

no cruzan la recta y = x nos premite contar el numero de particiones vectoriales

de c′ como el numero de caminos de Dyck que es Cn−2.

Mas adelante esta biyeccion sera de gran utilidad para determinar el numero

de caminos de Dyck con ciertas restricciones adicionales.

4.3. Representacion de composiciones debiles co-

mo caminos de Dyck

Una manera de representar un camino de Dyck es con una NE-palabra de

longitud 2n asociada a la sucesion de pasos norte y este tomados por el camino.

Podemos escribir esta palabra en la forma N s1EN s2E . . .N snE donde si es el

numero de pasos hacia el norte N realizados en la coordenada i− 1 del eje x. Es

claro que la sucesion s = (s1, s2, . . . , sn) es una composicion debil de n, y cada

composicion debil de n puede ser asociada a un camino reticular desde (0, 0) hasta

(n, n). De esta manera el conjunto de caminos de Dyck corresponde justamente

al conjunto de composiciones debiles s que dominan t = (1, 1, . . . , 1), el cual es el

camino de Dyck mas cercano a la diagonal. De ahora en adelante haremos refe-

rencia al camino de Dyck N s1EN s2E . . .N snE por su composicion debil s que lo

16

representa y si s D t diremos que s es un t-camino de Dyck. La figura 4.6 muestra

un ejemplo de un (1, 2, 1, 1, 0, 1)-camino de Dyck coloreado en verde, mientras el

camino (1, 2, 1, 1, 0, 1) esta coloreado en naranja.

Figura 4.6: Cuando t = (1, 2, 1, 1, 0, 1), la composicion s = (4, 1, 0, 1, 0, 0) es un

t-camino de Dyck ya que tienen la misma longitud y s D t.

17

Capıtulo 5

Volumen del politopo de flujo de

Cark,ln+1

5.1. El grafo Cark,ln+1

Consideremos el grafo Caracol Carn+1 y borremos las aristas (1, n + 1 − i) y

(1 + j, n + 1) con 0 ≤ i ≤ k y 0 ≤ j ≤ l donde 0 ≤ k, l ≤ n− 2. El grafo obtenido

lo llamaremos (k, l)-Caracol y denotaremos como Cark,ln+1. Mas intuitivamente lo

podemos definir como el resultado de borrar las k aristas superiores exteriores

y las l inferiores exteriores del grafo Caracol, es decir, quitarle las “capas exte-

riores a la concha” del Caracol. Note que Cark,ln+1 es un subgrafo de Carn+1 y

Car0,0n+1 = Carn+1. En la figura 5.1 se muestra Car1,2

n+1.

Figura 5.1: Grafo (1, 2)-Caracol Car1,2n+1.

18

El vector de salida de Cark,ln+1 es (n−k−1,

l veces︷︸︸︷1, . . . , 1,

n−l−2 veces︷︸︸︷2, . . . , 2 , 1), entonces tiene

vector corrido de salida t = (n−k−2,

l veces︷︸︸︷0, . . . , 0,

n−l−2 veces︷︸︸︷1, . . . , 1 , 0) y m = (3n−k− l−4)

aristas. Por el Corolario 3.2 se tiene que

volFCark,ln+1(1, 0, . . . , 0) = K(Cark,ln+1)|n(m− n− t1,−t2, . . . ,−tn)

= K(Cark,ln+1)|n(n− l − 2,

l veces︷︸︸︷0, . . . , 0,

n−l−2 veces︷︸︸︷−1, . . . ,−1, 0)

= K(Cark,ln+1)|n((n− l − 2)α1 + · · ·+ (n− l − 2)αl+1

+ (n− l − 3)αl+2 + · · ·+αn−2).

Sea c′ = (n− l−2)α1 + · · ·+(n− l−2)αl+1 +(n− l−3)αl+2 + · · ·+αn−2, haciendo

uso de diagramas de gravedad y la biyeccion en la demostracion de Proposicion

4.2 contaremos el numero de particiones vectoriales de c′, es decir, calcularemos

volFCark,ln+1(1, 0, . . . , 0). Las partes de una particion vectorial son de la forma

[αj] para 1 ≤ j ≤ n− 1, y

[α1 +α2 + · · ·+αi] para 2 ≤ i ≤ n− k − 1,

esto se debe a que la restriccion del grafo (k, l)-Caracol a sus primeros n vertices

(Cark,ln+1)|n no tiene las aristas (1, n + 1− i) para 0 ≤ i ≤ k. Que es justamente el

grafo (Carn+1)|n de la figura 4.3 sin sus k aristas superiores exteriores.

Los diagrama linea-punto que corresponden a estas particiones vectoriales son

arreglos en forma de trapecio organizados en n− 2 columnas donde las primeras

l + 1 columnas tienen n − l − 2 puntos cada una y la columna j tiene n − 1 − j

puntos para l + 2 ≤ j ≤ n − 2. Las lineas permitidas para este caso son las que

conectan un punto de cada columna desde la 1 hasta la i para 1 ≤ i ≤ n− k − 1.

Cada una de estas lineas representa una parte de la forma [α1 + α2 + · · · + αi]

y cada punto en la columna j, que es una linea de longitud cero, representa una

parte de la forma [αj]. Analogo al caso del grafo Caracol, los representantes de

una clase de GD(Cark,ln+1)|n(c′) son elegidos con lineas horizontales unicamente con

las lineas mas largas en las filas inferiores. En la figura 5.2 se muestran los repre-

sentantes de GD(Car2,1n+1)|n(c′) para n = 5.

19

Figura 5.2: Los 3 diagramas de gravedad de GD(Car2,16 )|5(2, 0,−1,−1, 0).

Teorema 5.1. El volumen del politopo de Cark,ln+1 con flujo (1, 0, . . . , 0) viene dado

por

volFCark,ln+1(1, 0, . . . , 0) = |t−caminos de Dyck|

donde t = (k, 0, . . . , 0︸︷︷︸k−1 veces

,

n−k−l−2 veces︷︸︸︷1, . . . , 1 , l, 0, . . . , 0︸︷︷︸

l−1 veces

).

Demostracion. Hagamos la misma construccion de Proposicion 4.2 para la bi-

yeccion entre representantes de las clase de GD(Cark,ln+1)|n(c′), que son particiones

vectoriales de c′, y caminos de Dyck. La figura 5.3 muestra un diagrama de gra-

vedad de (Cark,ln+1)|n y su camino reticular asociado para n = 7, k = 3 y l = 2.

Los puntos azules son parte del diagrama linea-punto mas no pueden ser parte del

camino reticular, puesto que las lineas horizontales del diagrama son de la forma

[α1 +α2 + · · ·+αi] para 2 ≤ i ≤ n− k− 1 y su longitud maxima es n− k− 2.

Los puntos rojos no son parte del diagrama linea-punto ya que las primeras l + 1

columnas tienen n − l − 2 puntos cada una, de esta manera los puntos rojos re-

presentan los que le quitamos al diagrama triangular para volverlo un trapecio.

Los puntos negros son los puntos del diagrama por los cuales el camino reticular

puede pasar.

Ahora, coloreemos el camino reticular de (0, 0) a (n − 2, n − 2). De (0, 0)

a (n − d − 2, 1) es azul donde d es el maximo de las longitudes de las partes

[α1 +α2 + · · ·+αi] del diagrama. De (n− d− 2, 1) a (n− 2, n− l − 2) es negro

y pasa unicamente por puntos negros, es decir son los caminos permitidos que

queremos contar. De (n− 2, n− l− 2) a (n− 2, n− 2) es rojo, que no es parte del

camino sino actua de la misma manera que el camino azul como una completacion

a camino de Dyck.

20

Figura 5.3: Un diagrama de gravedad de (Car3,28 )|7 y su camino reticular.

Figura 5.4: Reflexion sobre el eje y = x del camino reticular en la figura 5.3.

Ya teniendo la biyeccion a camino de Dyck coloreada, reflejemos con respecto

al eje y = x como se ve en la figura 5.4. Sea t el camino de Dyck mas cercano a la

diagonal, este es t = (k, 0, . . . , 0︸︷︷︸k−1 veces

,

n−k−l−2 veces︷︸︸︷1, . . . , 1 , l, 0, . . . , 0︸︷︷︸

l−1 veces

), que no toca puntos azules

ni rojos exceptuando los de la fila n − 2. Todos las otras particiones vectoriales

tienen caminos de Dyck asociados s tal que s D t, por lo tanto son t-caminos de

Dyck. Entonces

volFCark,ln+1(1, 0, . . . , 0) = K(Cark,ln+1)|n(c′)

= |t−caminos de Dyck|

�

21

De ahora en adelante denotaremos con 1 al flujo (1, 0, . . . , 0) y veremos las par-

ticiones vectoriales de c′ como caminos de Dyck representados como en la imagen

derecha de la figura 5.4. Gracias a la Teorema 5.1, calcular volFCark,ln+1(1) es equi-

valente a contar t-caminos de Dyck con t = (k, 0, . . . , 0︸︷︷︸k−1 veces

,

n−k−l−2 veces︷︸︸︷1, . . . , 1 , l, 0, . . . , 0︸︷︷︸

l−1 veces

).

Proposicion 5.2. El volumen volFCark,ln+1(1) es igual al numero de caminos reti-

culares de (0, k) a (n− l − 2, n− 2) que no cruzan la linea y = x.

Demostracion. Esto es claro porque todos los t-caminos de Dyck empiezan con al

menos k pasos N y terminan con al menos l pasos E, entonces (0, k) y (n − l −2, n− 2) estan en cada camino reticular.

Corolario 5.3. Para k, l ∈ N se tiene que volFCark,ln+1(1) = volFCarl,kn+1

(1), es

decir, k y l conmutan.

Demostracion. Sea P un camino reticular de (0, k) a (n − l − 2, n − 2) que no

cruzan la linea y = x, podemos recorrelo en direccion (0, k) a (n − l − 2, n − 2)

y en sentido contrario de (n − l − 2, n − 2) a (0, k) anotando los pasos. Esto es

una biyeccion entre caminos reticulares de (0, k) a (n − l − 2, n − 2) y caminos

reticulares de (0, l) a (n − k − 2, n − 2) que no cruzan la linea y = x. Entonces

con flujo 1 el volumen del (k, l)-Caracol es igual al del (l, k)-Caracol.

Proposicion 5.4. Para n− 2 ≤ k + l se tiene que

volFCark,ln+1(1) =

(2n− k − l − 4

n− k − 2

)=

(2n− k − l − 4

n− l − 2

).

Demostracion. Por la Proposicion 5.2 se tiene que volFCark,ln+1(1) es igual al numero

de caminos reticulares de (0, k) a (n− l − 2, n− 2) que no cruzan la linea y = x.

El punto mas cercano a la diagonal que puede tener un camino reticular en este

caso es (n − l − 2, k) que es cuando el camino es (k, 0, . . . , 0, n − l − 2, 0, . . . , ).

Como n− 2 ≤ k + l entonces n− l − 2 ≤ k, por lo tanto no cruzo la linea y = x.

En este caso todos los caminos reticulares de (0, k) a (n− l− 2, n− 2) no cruzan

la linea.

22

Luego

volFCark,ln+1(1) =

(2n− k − l − 4

n− k − 2

)=

(2n− k − l − 4

n− l − 2

)que equivale al numero de formas de elegir los n− k− 2 pasos E o n− l− 2 pasos

N en la secuencia de 2n− k − l − 4 pasos.

Observacion 5.5. Quitarle una sola arista superior (o inferior) externa al grafo

no afecta el volumen, es decir, volFCark,0n+1(1) = volFCark,1n+1

(1).

Esto se tiene por el Corolario 5.3 y porque el numero de caminos reticulares de

(0, k) a (n− 2, n− 2) que no cruzan la linea y = x es igual al numero de caminos

reticulares de (0, k) a (n−3, n−2) que no cruzan la linea y = x. Particularmente,

de la observacion 5.5 se tiene

volFCar1,0n+1(1) = volFCar1,1n+1

(1) = volFCar0,1n+1(1) = Cn−2.

En la siguiente seccion mostraremos como calcular el volumen volFCark,ln+1(1)

para ciertos k, l, esto se hara usando el principio de inclusion y exclusion.

5.2. Calculo de volumenes por inclusion-exclusion

Por la Proposicion 5.2 se tiene volFCark,ln+1(1) = |t−caminos de Dyck|, donde

t = (k, 0, . . . , 0︸︷︷︸k−1 veces

,

n−k−l−2 veces︷︸︸︷1, . . . , 1 , l, 0, . . . , 0︸︷︷︸

l−1 veces

). Estos son los caminos que no pasan los

puntos (x, y) con x > 0, y < k (puntos azules), ni los puntos rojos exceptuando

los de la fila n−2, los cuales tienen coordenadas (x, y) con x > n−l−2, y < n−2.

Por el principio de inclusion-exclusion se tiene

|t−caminos de Dyck| = |caminos totales| − |caminos azules|

− |caminos rojos|+ |caminos azules-rojos|

donde los caminos azules pasan por al menos un punto azul, los caminos rojos

pasan por al menos un punto rojo (sin contar a los de la fila n− 2) y los caminos

23

azules-rojos son la interseccion de los caminos azules y los rojos. A continuacion

mostramos los casos volFCark,ln+1(1) para k, l ∈ {0, 1, 2, 3}.

Caso 1. volFCar2,0n+1(1)

Los caminos azules son los tienen t tal que t1 = 1, hay Cn−3 de estos, que es el

numero de caminos de (1, 1) a (n− 2, n− 2). No hay caminos rojos por lo cual se

simplifica inclusion-exclusion. Entonces

volFCar2,0n+1(1) = Cn−2 − Cn−3.

Figura 5.5: Inclusion-exclusion de caminos reticulares para Car2,0n+1


Los caminos azules son los tienen t tal que t1 = 1 o t1 = 2, hay Cn−3 de cada uno,

que es el numero de caminos de (1, 1) a (n− 2, n− 2). No hay caminos rojos por

lo cual se simplifica inclusion-exclusion. Entonces

volFCar3,0n+1(1) = Cn−2 − 2Cn−3.

24



Los caminos azules son los tienen t tal que t1 = 1, hay Cn−3 de estos, que es el

numero de caminos de (1, 1) a (n − 2, n − 2). Los caminos rojos son los tienen

t tal que tn−2 = 1, hay Cn−3 de estos, que es el numero de caminos de (0, 0) a

(n− 3, n− 3). Los caminos azules-rojos son los que tienen t1 = 1 y tn−2 = 1, hay

Cn−4 de estos, que es el numero de caminos de (1, 1) a (n− 3, n− 3). Entonces

volFCar2,2n+1(1) = Cn−2 − Cn−3 − Cn−3 + Cn−4

= Cn−2 − 2Cn−3 + Cn−4.



Los caminos azules son los tienen t tal que t1 = 1 o t1 = 2, hay Cn−3 de cada uno,

25

que es el numero de caminos de (1, 1) a (n− 2, n− 2). Los caminos rojos son los

tienen t tal que tn−2 = 1, hay Cn−3 es estos, que es el numero de caminos de (0, 0)

a (n − 3, n − 3). Los caminos azules-rojos son los que tienen combinaciones de

condiciones t1 = 1, 2 y tn−2 = 1, hay Cn−4 de cada uno de estos, que es el numero

de caminos de (1, 1) a (n− 3, n− 3). Entonces

volFCar3,2n+1(1) = Cn−2 − 2Cn−3 − Cn−3 + 2Cn−4

= Cn−2 − 3Cn−3 + 2Cn−4.


26


Los caminos azules son los tienen t tal que t1 = 1 o t1 = 2, hay Cn−3 de cada

uno, que es el numero de caminos de (1, 1) a (n− 2, n− 2). Los caminos rojos son

los tienen t tal que tn−2 = 0 o tn−2 = 1, hay Cn−3 de cada uno, que es el numero

de caminos de (0, 0) a (n− 3, n− 3). Los caminos azules-rojos son los que tienen

combinaciones de condiciones t1 = 1, 2 y tn−2 = 0, 1, hay Cn−4 de cada uno de

estos, que es el numero de caminos de (1, 1) a (n− 3, n− 3). Entonces

volFCar3,3n+1(1) = Cn−2 − 2Cn−3 − 2Cn−3 + 4Cn−4

= Cn−2 − 4Cn−3 + 4Cn−4.


Por el Corolario 5.3, la Observacion 5.5 y los casos anteriores, ya conocemos

los flujos de volFCark,ln+1(1) para k, l ∈ {0, 1, 2, 3}.

Muchas de estas sucesiones aparecen en la online encyclopedia of integer se-

quences (OEIS) [7], las mostradas en este proyecto son nuevas descripciones.

27

5.3. Formula explıcita para el volumen

En la Proposicion 5.4 se obtuvo una formula para el volumen volFCark,ln+1(1)

cuando n− 2 ≤ k + l. En este capıtulo obtendremos una formula explıcita para el

volumen de volFCark,ln+1(1) cuando n− 2 > k + l.

Teorema 5.6. Si k + l < n− 2 se tiene que

volFCark,ln+1(1) =

(2n− k − l − 4

n− k − 2

)−(

2n− k − l − 4

n− 1

).

Demostracion. Por la Proposicion 5.2 tenemos que volFCark,ln+1(1) es igual al nume-

ro de caminos reticulares de (0, k) a (n− l−2, n−2) que no cruzan la linea y = x.

Esto es equivalente al numero de caminos reticulares de (0, k+1) a (n−l−2, n−1)

que no cruzan la linea y = x+ 1 por un simple cambio de coordenadas. No cruzar

la linea y = x + 1 es identico a no tocar la linea y = x, entonces debemos contar

numero de caminos reticulares de (0, k + 1) a (n − l − 2, n − 1) que no tocan la

linea y = x. Notemos que 0 < k + 1 porque 0 ≤ k y n − l − 2 < n − 1 porque

0 ≤ l. Para este caso tenemos k + l < n − 2, luego k + 1 ≤ n − l − 2. Entonces

tenemos

0 < k + 1 ≤ n− l − 2 < n− 1,

que son las condiciones necesarias para usar el metodo de Andre.

El numero de caminos reticulares de (0, k+ 1) a (n− l−2, n−1) que no tocan

la linea y = x es igual a los totales restando los que sı tocan la linea. El numero

de caminos reticulares totales es([(n− l − 2) + (n− 1)]− [(k + 1) + 0]

(n− l − 2)− 0

)=

(2n− k − l − 4

n− l − 2

)Haciendo la biyeccion entre caminos reticulares que tocan la linea y = x y caminos

de (k+1, 0) a (n− l−2, n−1) exhibida en la figura 5.10, se obtiene que el numero

de caminos reticulares de (0, k + 1) a (n− l− 2, n− 1) que tocan la linea y = x es([(n− l − 2) + (n− 1)]− [(k + 1) + 0]

(n− 1)− 0

)=

(2n− k − l − 4

n− 1

)28

Entonces

volFCark,ln+1(1) =

(2n− k − l − 4

n− l − 2

)−(

2n− k − l − 4

n− 1

)=

(2n− k − l − 4

n− k − 2

)−(

2n− k − l − 4

n− 1

)

Figura 5.10: Metodo de reflexion de Andre para contar t-caminos de Dyck

29

Capıtulo 6

Conclusiones e ideas adicionales

Los resultados de este trabajo dan idea sobre la importancia del uso de objetos

combinatorios cuya enumeracion permita calcular propiedades de interes. Para el

calculo del volumen de FCark,ln+1(1), el uso de diagramas de gravedad permitio vi-

sualizar de forma clara especializaciones de t-caminos de Dyck y contarlos por

metodos de combinatoria enumerativa.

Asimismo, se complementaron los diagramas de gravedad del grafo Cark,ln+1 con

una representacion en colores de los posibles t-caminos de Dyck. Lo anterior per-

mite distinguir las especializaciones de tales caminos y contarlos por medio del

metodo de reflexion de Andre. Gracias a esto se obtuvieron formulas explıcitas del

volFCark,ln+1(1) en terminos de coeficientes binomiales para los casos k + l < n− 2

y k + l ≥ n− 2.

Tambien, el uso del principio de inclusion-exclusion toma relevancia para cal-

cular los volumenes de los politopos de flujo mencionados, considerando que a

partir de esto se obtuvieron elegantes formulas para el volumen del FCark,ln+1(1)

donde k, l ∈ {0, 1, 2, 3} en terminos de numeros de Catalan.

Adicionalmente, se uso la formula de Lidskii con t-caminos de Dyck etiquetados

para flujos diferentes al (1, 0, . . . , 0). No obstante, no se logro llegar a una expresion

combinatoria sencilla, lo cual abre paso a ideas y preguntas adicionales. Una de

estas es considerar diferentes estrategias para resolver las sumatorias en Lidskii,

30

ya sea por transformadas binomiales o por alguna construccion adicional sobre

los diagramas unificados [3]. Otro planteamiento posible es estudiar la geometrıa

del polinomio de Ehrhart de FCark,ln+1con mayor profundidad. Una ultima idea

es estudiar el orden que induce la mayorizacion de caminos de Dyck s D t para

especializar la formula de Lidskii y solucionar las sumatorias, tal como se hace en

el estudio de intervalos de retıculos (lattices).

31

Bibliografıa

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32

El volumen del politopo de ujo de un subgrafo del Caracol

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