EL ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT

Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fs.Nat. (Esp)Vol. 103, N. 2, pp 269-278, 2009X Programa de Promocin de la Cultura Cientfica y Tecnolgica

EL LTIMO TEOREMA DE FERMAT: UN ENIGMA ENTRECLCULO E IDEAS DESDE 1630 A 1994MANUEL LPEZ PELLICER *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Fsicas y Naturales. Valverde 22, 28004 Madrid.

1. EL LTIMO TEOREMA DE FERMATEN EL SIGLO XVIII

Alrededor de 1630 Fermat estudi la Aritmtica deDiofanto, en una traduccin latina de Claude Bachet(1581-1638), publicada en 1621. El problema ocho dellibro II de la Aritmtica propone descomponer unnmero al cuadrado en suma de dos nmeros alcuadrado y Fermat anot en el margen la imposibilidadde hacer algo similar para los cubos, las cuartaspotencias, o cualquier potencia ms alta, afirmandotener una prueba notable de este hecho que no podaescribir en los mrgenes estrechos del libro (Hancmarginis exiguitas non caperet).

Fermat escriba constantemente en sus libros resul-tados de este tipo sin demostracin, que enviaba a susamigos matemticos informndoles de sus nuevosresultados y animndoles a encontrar las demostra-ciones. No se ha conservado ninguna carta dondeFermat comente este problema, que luego se convirtien el ltimo Teorema de Fermat, fuera del legendariocomentario marginal, lo que parece indicar que elproblema no tena ningn estatus especial para Fermaten comparacin con los muchos otros que se le ocu-rrieron en sus lecturas de Diofanto y de otros clsicos.En varias de sus cartas propuso los casos n 3 y n 4del teorema, que fue acuado como ltimo Teoremade Fermat muchos aos despus por ser la ltima delas conjeturas aritmticas formuladas por Fermat quesegua sin resolverse.

Bastantes de las conjeturas matemticas propuestaspor Fermat resultaron ser falsas. Por ejemplo, creyque los nmeros enteros de la forma seranprimos. En 1732 Euler mostr que para n 5, el co-rrespondiente nmero no es primo, pues esmltiplo de 641.

Muchos resultados y conjeturas de Fermat nos hanllegado gracias a su hijo Samuel, quien en 1670public una edicin de la traduccin de Bachet de laAritmtica de Diofanto, incluyendo comentarios ycartas de su padre. Por esta versin no se ha perdido loque llegara a ser el ltimo Teorema de Fermat y otrasmuchas ideas. La nica demostracin que Fermatpublic en teora de nmeros es que no existen tresnmeros enteros x, y, z que satisfagan la frmula

2 2 2x y z

Figura 1. Pierre de Fermat (1601-1665).

22 1n

322 1

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de manera que

sea el cuadrado de un nmero entero. Fermat cre enesta prueba el mtodo del descenso infinito, que puedeutilizarse para demostrar el teorema de Fermat en elcaso n 4.

Pas casi un siglo desde la publicacin por SamuelFermat de la edicin de la Aritmtica de Diofanto en1670 hasta que los matemticos comenzaron a intere-sarse y resolver algunos de los problemas propuestospor Fermat. Nadie se preocup del ltimo Teorema deFermat hasta 1753, ao en que Euler ley la edicinde Samuel Fermat, se impresion por las ideas que

encontr y resolvi algunos de los problemas all pro-puestos. Ese ao Euler mencion a Goldbach el ltimoTeorema de Fermat y le dijo que tena demostracionesmuy diferentes para los casos n 3 y n 4, pero queeran tan distintas que no saba cmo obtener unademostracin general, y que no haba encontrado lademostracin para el caso n 5. La demostracin delltimo Teorema de Fermat en el caso n 4 es impor-tante, pues reduce la demostracin del ltimo Teoremade Fermat al caso de exponentes primos. Tambin con-jetur que de la misma forma que las ecuaciones

y tienen solucionesenteras debera suceder que la ecuacin

tambin tuviese solucionesenteras, siendo imposible que la ecuacin

tuviese soluciones enteras, lo queresult ser falso, ya que Noam Elkis demostr en 1988que

Dos aos ms tarde, Euler seal que sus esfuerzospara demostrar la nota marginal de Fermat no habandado fruto. En 1770 Euler public un texto de lgebraque contiene una demostracin del caso n 3 delltimo Teorema de Fermat con un error no trivial. Esemismo ao 1770, Joseph Louis Lagrange (1736-1813),matemtico muy prominente con contribucionesimportantes en muchos campos de fsica ymatemticas, incluyendo la teora de nmeros,demostr que cualquier nmero entero se puede

2xy

Figura 2. Aritmtica de Diofanto de Alejandra (aprox. 200-284).

Figura 3. Leonhard Euler (1707-1783).

2 2 2a b c 3 3 3 3a b c d 4 4 4 4 4a b c d e 4 4 4 4a b c e

escribir como la suma de no ms de cuatro nmeroscuadrados, problema propuesto por Fermat, que Eulertambin intent resolver sin xito.

2. EL LTIMO TEOREMA DE FERMATEN EL SIGLO XIX

En 1801 Gauss public su monumental obraDisquisitiones Arithmeticae, donde present de formasistemtica muchos resultados de Teora de Nmerosque hasta entonces eran una coleccin de problemas ytcnicas. Uno de los temas principales de Disquisi-tiones es el problema de la reciprocidad cuadrtica,sobre el que public siete demostraciones diferentes,buscando resolver el problema de la reciprocidadsuperior para potencias n-simas, que l mismo loresolvi en los casos n 3 y n 4.

Su trabajo en el problema de la reciprocidadcuadrtica le llev a la introduccin y estudio delanillo de los enteros gaussianos, que son nmeroscomplejos con parte real e imaginaria entera. Gausspopulariz as una idea introducida por Euler consis-tente en obtener informacin sobre nmeros enterospor medio de dominios que incluyan ciertos nmeroscomplejos. Gauss, en una carta de 1816 a su amigoHeinrich Olbers (1758-1840), clebre astrnomoalemn, manifest su opinin de que el desarrollocorrecto de su teora de enteros gaussianos y susposibles generalizaciones conducira a descubri-

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Figura 4. Joseph Louis Lagrange (1736-1813).

Figura 5. Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855).

Figura 6. Disquisitiones arithmeticae (1801).

mientos importantes, entre los cuales el ltimoTeorema de Fermat aparecera solamente como uncorolario, y de hecho uno de los menos interesantes.En esa carta seala tambin que el ltimo Teorema deFermat, como pregunta aislada, tiene un inters muyreducido para m, porque podra fcilmente imaginarmuchas proposiciones matemticas de ese tipo, queuno no podra ni demostrar ni refutar.

A pesar de la afirmacin anterior, en una cartapublicada pstumamente en 1863, Gauss esboz unaprueba del ltimo Teorema de Fermat para n 5, indi-cando que su mtodo no era aplicable para n 7. Talvez la conexin de Gauss con este teorema se produjoa travs de MarieSophie Germain, quien en su corres-pondencia con Gauss le mencion sus ideas relativas alltimo Teorema de Fermat. A Germain le debemosuna contribucin importante a la solucin del ltimoTeorema de Fermat, pues demostr que si n y son dos nmeros primos (como 3 y 7), y si tres nmerosenteros x, y, z verifican que , entonces unode los tres nmeros x, y, z es mltiplo de n. Una con-secuencia de este teorema es que la prueba del ltimoTeorema de Fermat se puede dividir en dos casos sepa-rados:

Que para no existen tres enteros x, y, z queverifiquen la ecuacin y que ningu-no de ellos sea mltiplo de n.

Que para no existen tres enteros x, y, z queverifiquen la ecuacin y tales que

slo uno de esos nmeros enteros sea mltiplode n.

Germain prob el ltimo Teorema de Fermat en elcaso primero para toda potencia n menor que 100, yLegendre ampli su prueba a toda potencia n menor de197. El caso segundo result ms difcil. En 1825 sedemostr para n 5 en dos trabajos complementariosde Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859).

El que despus de doscientos aos desde queFermat escribi su observacin en el margen de laAritmtica de Diofanto an no se tuviese su demos-tracin aument el inters por el ltimo Teorema deFermat. A principios de los aos 1820 la AcademiaFrancesa de Pars convoc uno de sus premios a quienencontrara la demostracin del ltimo Teorema deFermat, ofreciendo por su demostracin el GranPremio de la Academia en 1857.

El caso n 7 fue demostrado en 1839 por GabrielLam (1795-1870), con una prueba compleja, en laque desarroll una nueva tcnica dedicada especfica-mente a resolver el ltimo Teorema de Fermat.

En 1847 Lam present ante un grupo de eminentesmatemticos reunidos en la Academia de Pars unaposible va para resolver el ltimo Teorema deFermat, combinando el mtodo del descenso infinito


Figura 7. Marie-Sophie Germain (1776-1831).

2 1n n n nx y z

3n n n nx y z

3n n n nx y z Figura 8. Gabriel Lam (1795-1870).

con una factorizacin de Liouville del tipodonde n es un

nmero natural impar y r es una de las races n-simasde la unidad. Lam crey haber resuelto el problema,si bien se discuti quien haba sido el primero en intro-ducir la idea decisiva de la prueba, as como la uni-cidad de la factorizacin.

Meses ms tarde, Liouville ley en la Academia dePars una carta de Kummer comentando que desde1844 saba que la factorizacin utilizada por Lam noera nica, como este supona implcitamente, lo queinvalidaba su prueba. Kummer indic que lademostracin del ltimo Teorema de Fermat le habaocupado bastante tiempo, si bien pensaba que esteteorema era una curiosidad y que no era un temaimportante. Kummer, igual que Gauss, pensaba que elproblema de reciprocidad superior era el tema prin-cipal de investigacin en teora de nmeros. Preci-samente despus de realizar largos y complejos cl-culos con dominios de nmeros que generalizaban alos enteros gaussianos, Kummer entendi que lareferida factorizacin nica podra fallar y publicmuchos trabajos importantes sobre el problema de lareciprocidad superior, siguiendo los pasos de CarlGustav Jacobi (1804-1851).

Kummer tambin inform en su carta de 1847 quepara obtener factorizacin nica haba desarrolladouna teora de nmeros complejos ideales que aplic alltimo Teorema de Fermat y le llev a identificar losllamados nmeros primos regulares, de los que an nose sabe si su cardinal es infinito, si bien en los inter-valos estudiados hasta ahora predominan los nmerosprimos regulares sobre los que no lo son, que tambinse llaman nmeros primos irregulares1. En 1858 probsu validez para los exponentes primos regulares yrecibi el Gran Premio de la Academia de Pars. Msadelante, Kummer prob que los nmeros primos noregulares menores que 100 son 37, 59 y 67. Para estosnmeros obtuvo demostraciones independientes delltimo Teorema de Fermat, de lo que se deduca suvalidez para exponentes enteros menores que 100.

Slo unos pocos matemticos siguieron el caminointroducido por Kummer para demostrar el ltimoTeorema de Fermat, consistente en buscar los nmerosprimos no regulares y para estos nmeros probar dichoteorema, lo que no significa que las ideas de Kummerno tuvieran resonancia, ya que fueron el punto departida del desarrollo de teoras matemticas deenorme importancia, que, en principio, parecan notener relacin con el ltimo Teorema de Fermat. Enefecto, Richard Dedekind (1831-1916) y Leopold


Figura 9. Ernst Eduard Kummer (1810-1893).

1 En 1915, Jensen prob la existencia de infinitos nmeros primos irregulares.

Figura 10. Julius Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916).

Kronecker (1823-1891), sistematizaron las ideas deKummer sobre nmeros complejos ideales lo que lesllev a la teora de los cuerpos de nmeros algebraicos,que dio lugar al lgebra conmutativa, de gran impactoen las matemticas del siglo XX. Por eso Hilbertsugiri en su discurso de 1900 que el ltimo Teoremade Fermat haba tenido un papel crucial en la historiade las matemticas, pues los esfuerzos de Kummerrelacionados con este problema le llevaron a elaborarideas centrales de la teora de nmeros y del lgebraconmutativa modernas, si bien el teorema de la reci-procidad superior fue la principal motivacin quecondujo a Kummer a la introduccin de su teora denmeros primos ideales.

Los enfoques de Dedekind y Kronecker fueronopuestos en un cierto sentido. Kronecker represent unenfoque ms algortmico, en tanto que Dedekind fue elrepresentante ms puro del enfoque conceptual, puesen la teora de Kronecker el nfasis est en los clculosespecficos realizados en casos individuales de los sis-temas numricos a investigar, en tanto que Dedekindenfoc su trabajo a encontrar la formulacin abstractaadecuada para poder deducir resultados generales, evi-tando, donde sea posible, los clculos o el anlisis decasos especficos.

El nfasis conceptual o estructural del trabajo deDedekind se convirti a lo largo del siglo XX en eldominante en la Teora de Nmeros frente al desarrollo

algortmico de Kronecker, debido tambin a la influ-encia enorme de la obra Zahlbericht de David Hilbert,que se public en 1896, conteniendo una brillanteexposicin de las ideas de Kummer, Kronecker y deDedekind, dando preferencia al enfoque de esteltimo. Hilbert declar explcitamente que haba hechotodo el esfuerzo posible para seguir el principio deRiemann de obtener las demostraciones no por cl-culos, sino ms bien por ideas puras.

Hilbert, adems de resumir el trabajo de sus prede-cesores, agreg muchos resultados y tcnicas, abrien-do de hecho nuevos campos para la investigacin quemuchos seguiran en las dcadas siguientes. El papelde Zahlbericht a fines del siglo XIX en teora nmerosfue muy similar al de Disquisitiones Arithmeticae cienaos antes, siendo el centro de ambos libros el proble-ma de la reciprocidad, en tanto que el ltimo Teoremade Fermat recibi una atencin mnima, que Hilbertredujo a cinco pginas en la ltima seccin de su libro,donde presenta una demostracin del ltimo Teoremade Fermat para primos regulares basada en un artculosuyo de 1894, donde haba corregido un error deKummer. Esta prueba de Hilbert, como gran parte delZahlbericht, reformulaba las ideas de Kummer en tr-minos de los conceptos y tcnicas introducidos porDedekind en su teora de campos de nmeros alg-bricos.


Figura 11. Leopold Kronecker (1823-1891).

Figura 12. David Hilbert (1862-1943) (Foto de 1900).

3. EL LTIMO TEOREMA DE FERMATEN LA PRIMERA MITAD DEL SIGLO XX

En 1882 Ferdinand Lindemann (1852-1939)demostr la trascendencia del nmero S. Despus deeste importante trabajo no volvi a publicar nada msde nivel elevado. A principios de siglo intent probarel ltimo Teorema de Fermat, sobre el que publiccuatro intentos fallidos entre 1901 y 1909.

El premio establecido por Wolfskehl en 1908 parala resolucin del ltimo Teorema de Fermat impuls acientos de aficionados a enviar a Gttingen sussupuestas respuestas, que no tenan contribucionesmatemticas significativas. Tambin probaron susfuerzas matemticos destacados, como Erich Hecke(1887-1947), Philip Furtwngler (1869-1940) y FlixBernstein (1878-1956), cuyos trabajos fueron comuni-cados por el mismo Hilbert a la Academia de Cienciasde Gttingen en 1910. Furtwngler en un nota de piede pgina seal que el estado actual de su investi-gacin no lo satisfaca plenamente, pero habadecidido publicar sus resultados por el inters en elproblema motivado por el anuncio del premio.

Tres matemticos con contribuciones significativasal ltimo Teorema de Fermat fueron DimitryMirimanoff (1861-1945), Arthur Wieferich (1884-1954) y Harry Schutz Vandiver (1882-1973).Mirimanoff public unos 60 artculos en Teora deConjuntos, Probabilidades y Teora de Nmeros, de losque doce se relacionan con el ltimo Teorema deFermat, con contribuciones relevantes en la mitad deestos artculos. En uno de ellos de 1904, Mirimanoffindicaba con cierto asombro que algunos de los cri-terios importantes que Kummer haba desarrolladopara probar ltimo Teorema de Fermat hubieranrecibido tan poca atencin y que no se hubiesen apre-ciado debidamente. Wieferich public tan solo nueveartculos, de los que cuatro pueden considerarse deimportancia, estando uno de ellos dedicado al ltimoTeorema de Fermat; fue publicado en 1909.

Vandiver es un caso singular y tal vez el ltimo re-presentante del enfoque algortmico. Vandiver siguisiempre su propio rumbo original, tal vez debido a quenunca complet estudios secundarios y lo poco queestudi a nivel universitario lo hizo de manera espor-

dica y poco sistemtica. En 1900 comenz a publicartrabajos de investigacin originales en varias revistas,algunos de ellos en colaboracin con George DavidBirkhoff (1884-1944), entonces el matemtico msinfluyente en Estados Unidos y que le consigui unpuesto de trabajo en la Universidad de Cornell en1919. Ms adelante Vandiver se traslad a laUniversidad de Tejas, donde obtuvo una posicin per-manente y trabaj muchos aos. A pesar de que susinvestigaciones fueron siempre en lgebra y teora denmeros, era miembro del Departamento de Matem-ticas Aplicadas de dicha universidad, tal vez por susdiferencias profesionales y personales con Robert LeeMoore (1882-1974). Desde 1924, Vandiver publicmuchos artculos sobre el ltimo Teorema de Fermat,convirtindose en el gran experto norteamericano eneste teorema, y tal vez el mayor experto en el mundo,dedicando gran parte de su vida profesional a esteteorema, siendo probablemente el matemtico de laprimera mitad del siglo XX que ms tiempo le dedic.Uno de sus trabajos ms importantes, publicado en1929, le vali el premio Cole de la AmericanMathematical Society, otorgado a trabajos excep-cionales en Teora de Nmeros.

Con largos y pesados clculos, Vandiver y suscolaboradores identificaron nuevos nmeros primosno regulares. Con una sofisticada calculadora de mesaprob en 1937 la validez del ltimo Teorema deFermat para los exponentes primos menores que 619,incluyendo 36 casos de primos irregulares.

En 1954, en colaboracin con la pareja Emma yDerrick Lehmer de Berkeley y con la ayuda porprimera vez de una computadora electrnica, probaronque casi la mitad de los nmeros primos menores que2500 no son regulares y que el ltimo Teorema deFermat es vlido para exponentes menores o igualesque 2500. Este mtodo de trabajo sigue estando activoen la actualidad, tanto en Teora de Nmeros como enotras partes de la Matemtica, con desarrollos espec-taculares debidos a la potencia de clculo de los orde-nadores actuales, que en Teora de Nmeros hanllevado a demostrar el ltimo Teorema de Fermathasta exponentes del orden de mil millones.

No obstante, las mquinas no pueden dar lo que elgenio humano deseaba: probar el ltimo Teorema deFermat para todos los exponentes. En el prximo


apartado veremos la solucin de Wiles, comunicada en1993, corregida con la ayuda de Taylor en ocho mesesadicionales de trabajo y publicada en 1995

4. EL LTIMO TEOREMA DE FERMATEN LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO XX:

PRUEBA DE WILES

Alrededor de los aos 1950 comenz una transicinde los mtodos clsicos de la teora de nmeros hacianuevos mtodos que permitieron su desarrollo pos-terior. El libro de A. Weil, Foundations of AlgebraicGeometry, de 1946, y la teora de esquemas deGrothendieck favorecieron enfoques mucho ms con-ceptuales, siendo dos de las nociones ms influyentesla creacin de Grothendieck de la topologa deesquemas y de las cohomologas l-dicas asociadas.De la gran labor realizada por Grothendieck y suescuela es especialmente notable la demostracin delas conjeturas de Weil. La prueba de la racionalidad delas funciones zeta, su ecuacin funcional y su relacincon los nmeros de Betti se debe al propioGrothendieck. La localizacin de ceros y polos (esdecir la hiptesis de Riemann en este contexto) se debea Deligne en 1974, por lo que recibi la Medalla Fieldsen 1978.

En la sesin de problemas de un simposio interna-cional sobre teora algebraica de nmeros celebrado enTokyo-Nikko en 1955, un joven matemtico llamado

Taniyama propuso averiguar si las curvas elpticasdefinidas sobre un cuerpo de nmeros son parametri-zables mediante funciones automorfas, lo que podraser un camino para probar la conjetura de Hasse-Weil.Shimura en 1964 y Weil en 1967 delimitaron la pre-gunta de Taniyama a curvas elpticas definidas sobre elcuerpo racional preguntando si seran parametrizablesmediante funciones modulares. As naci la conjeturade modularidad de Shimura-Taniyama-Weil que, enprincipio, proporcionaba un camino para probar la


Figura 13. Alexander Grothendieck (1928- ).

Figura 14. Yutaka Taniyama (1927-1958).

Figura 15. Goro Shimura (1930- ).

conjetura de Hasse-Weil, pero despus de los resul-tados de Gunther Frey (1986), de la conjetura de mo-dularidad de Jean-Pierre Serre (1987) y de sudemostracin por Kenneth Ribet en 1990 de un casoparticular, conocido como conjetura epsilon, quedclaro que la demostracin de la conjetura de modu-laridad de Shimura-Taniyama-Weil para las curvaselpticas semiestables implicaba el teorema de Fermat.

Lo que Frey observ en 1986 fue que si la terna deenteros (a, b, c) fuese una hipottica solucin entera dela ecuacin de Fermat para un exponenteprimo entonces la curva elptica definida sobreQ

pareca contradecir la conjetura Shimura-Taniyama-Weil, lo que efectivamente se demostr como conse-cuencia de los resultados de Serre y Ribet, que permi-tieron probar que si tal solucin (a, b, c) existieseentonces la curva de Frey nosera modular.

Tras ocho aos de muy intenso trabajo, Wiles pre-sent su demostracin del ltimo Teorema de Fermaten su famosa conferencia en Cambridge en 1993, perose encontr un error que oblig a Wiles a dedicar otrosocho meses antes de poder lograr, en colaboracin conRichard Taylor, la conclusin final de su prueba.

El inters de Wiles por el ltimo Teorema deFermat empez su niez al haber ledo el libro de E.T.Bell, El ltimo problema, dedicado a la popularizacindel entonces no demostrado teorema de Fermat, lo quele impuls a seguir una carrera profesional comomatemtico con la esperanza de llegar l mismo aresolverlo. Ya licenciado, Wiles crey que los mtodosexistentes para resolver el ltimo Teorema de Fermatestaban agotados, lo que haca incompatible buscar susolucin y desarrollar su carrera matemtica. Wileshizo una carrera matemtica distinguida trabajando enotros campos, siendo uno de ellos la teora de lascurvas elpticas. Fue en 1986 cuando Wiles decididedicarse de lleno a obtener la demostracin delltimo Teorema de Fermat, despus de conocer eltrabajo de Frey sobre la curva .El trabajo de Wiles estuvo orientado a probar la con-jetura de Shimura-Taniyama-Weil para las curvas elp-ticas semiestables.

Adems, esta conjetura termin en teorema graciasal impresionante trabajo de Wiles (1995), Taylor-Wiles(1995), Diamond (1996), Conrad-Diamond-Taylor(1998) y Breuil-Conrad-Diamond-Taylor (1999). Conello no slo qued probado el teorema de Fermat sinoque, adems, se dio un paso para resolver uno de lossiete Problemas del Milenio propuestos por el InstitutoClay de Matemticas, la conjetura BSD, que tras expe-riencias numricas realizadas en curvas con multipli-


Figura 16. Andr Weil (1906-1998).

p p px y z 5p

Figura 17. Andrew John Wiles (1953- ).

cacin compleja entre los aos 1963 y 1965, llevaron aBirch y Swinnerton-Dyer a conjeturar que el rango r deuna curva elptica E/Q coincida con el orden en elpunto s 1 del cero de la funcin L(E/Q, s).

No estamos en el final de un camino, pues la propiaconjetura de Shimura-Taniyama-Weil forma parte deuna extensa familia de conjeturas conocidas como con-jeturas de modularidad. Ya hemos indicado que lo queRibet demostr en 1990 fue la llamada conjetura H, queslo es un caso muy particular de la conjetura de mo-dularidad que formul Serre en 1987. Actualmente, lastcnicas de Wiles y sus mltiples ramificaciones seestn utilizando para probar la conjetura de Serre entoda su generalidad.

6. CONCLUSIN

Fermat no pudo imaginar todo lo que se desarrollalrededor de su nota en el margen del lgebra deDiofanto durante ms de 350 aos con las aportacionesde muchos matemticos que, la gran mayora notuvieron la proposicin de Fermat en el centro de suinvestigacin matemtica. No obstante, las aparicionesespordicas del conocido como ltimo Teorema deFermat en las investigaciones sobre Teora deNmeros, catalizaron el desarrollo de grandes teoras,como sucedi con el trabajo de Kummer. El final delcamino estuvo coronado por el gran trabajo de Wiles,merecedor de la admiracin del mundo matemtico.

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Figura 18. Jean-Pierre Serre (1926- ).

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