EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS -...

CAPÍTULO 22

EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS

612 EL RIGOR EN LAS MATEMÁTICAS

Durante el siglo XIX, se dio un proceso de rigorización que buscaba es-clarecer algunos conceptos y definirlos de una mejor manera. Por ejem-plo, las nociones de función, derivada, continuidad, integral. Tambiénse buscaba dar un tratamiento más consistente a las series, puesto quedurante el siglo XVIII no se ponía mucho cuidado de si estas eran con-vergentes o divergentes; de hecho, se llegaba a contradicciones impor-tantes. Uno de los ejemplos son las representaciones de las funcionespor medio de series trigonométricas, que habían incurrido en algunasconfusiones.

Este proceso de establecer un mayor rigor en los conceptos y métodosdel Cálculo va a introducirse en la historia de las matemáticas del sigloXIX dentro de un período en el que se desarrollaron nuevas geometríasy se potenció la abstracción en el álgebra. Puede decirse que sería unperíodo en el que iban a perder su asidero propiedades tan importantesde los sistemas numéricos conocidos como la conmutatividad, o unageometría que daba cuenta de manera natural de representar nuestraspercepciones de la realidad exterior, la euclidiana, y también se iba aexpandir un nuevo carácter de las matemáticas.

No se puede decir, sin embargo, que existió una relación directa entre lacreación de geometrías no euclidianas o las nuevas álgebras y la aritme-tización que se dio en ese siglo. Más bien, algunos historiadores de lasmatemáticas consideran que sobre todo pesó el desencanto que generóla dificultad de fundamentar el análisis en la geometría euclidiana, fuelo que volcó los ojos hacia a la aritmética.

Fue un punto relevante para la afirmación de la deducción y el rigorlógicos como fundamento de las matemáticas o criterio de validacióndentro de estas comunidades científicas. Ya en la Grecia Antigua el cri-terio de la demostración había alcanzado el sentido de prescripción queposteriormente buscaría la mayor parte de matemáticos. Sin embargo,muchas veces la lógica que se desarrollaba dejaba espacios a la intui-ción y a una visión sensibles del mundo externo. En el nuevo escenariovamos a encontrar la búsqueda por nuevos criterios basados en la arit-mética, el álgebra, la lógica abstracta de manera dominante. Esta seráuna realidad para las matemáticas a partir de ese momento.

22.1: Bolzano y Cauchy 613

Uno de lo asuntos que debió ser revisado fue el concepto de función,debido a la emersión de una gran cantidad y variedad de funciones en laactividad de las matemáticos de la época. Para Gauss, por ejemplo, unafunción era una expresión cerrada analítica y finita, aunque habló de lasseries hipergeométricas como funciones, pero sin total convicción que setrataba de funciones. Lagrange había usado las series de potencias comofunciones y con ello ofreció un concepto más amplio. Lomismo sucedíacon Lacroix, quien afirmaba: ‘‘Toda cantidad cuyo valor depende de unao varias otras es llamada una función de estas últimas, ya sea que unoconozca o no por medio de qué operaciones es necesario de las últimasa la primera cantidad’’. Fourier amplió el debate, afirmando que no serequería una representación analítica para una función.

En todo esto pesó el hecho de que aparecían cada vez más y más fun-ciones que no se comportaban como las algebraicas. Y emergían laspreguntas acerca de cómo se debían reconsiderar las nociones de varia-ble, continuidad, derivabilidad, etc. en ese nuevo escenario.

22.1 Bolzano y Cauchy

Varios matemáticos, de maneras diferentes, enfrentaron esta tarea defundamentar los puntos vulnerables que se encontraban en el desarro-llo del cálculo e integrar las nuevas realidades matemáticas que habíanemergido. Entre los más notables: Bolzano, Cauchy, Abel y Dirichlet.Weierstrass fue más lejos en la definición del nuevo paradigma del ri-gor; puede, incluso, decirse que el cálculo junto con los procesos derigor y fundamento que este matemático le daría, constituyen el corazóndel análisis matemático.

Bolzano

Bernhard Bolzano (1 781 - 1 848), matemático, filósofo y cura de Bo-hemia, estableció con claridad su opinión de que los infinitesimales noexistían, al igual que tampoco los números infinitamente grandes. Debe


recordarse, que tanto los infinitesimales como los números infinitamen-te grandes fueron usados por Euler y muchos otros matemáticos duranteel siglo XVIII.

22.1. Bolzano, estampilla.

Bolzano en 1 834 había inventado una función continua en un intervaloque no tenía derivada en ningún punto de ese intervalo. Ese resultadono fue conocido en su época. De hecho, se le atribuye a Weierstrass elprimer ejemplo de ese tipo. Y esto sucedió con otros resultados. Porejemplo, el criterio de convergencia de una serie que señala: si paracada p la diferencia Sn − Sn+p tiende a 0, cuando n tiende a∞, la serieconverge. Bolzano lo conocía pero se le atribuye a Cauchy.

En el año 1 817, Bolzano ofreció una definición de continuidad muyrigurosa:


f(x) es continua en un intervalo si para toda x en el intervalo, la dife-rencia f(x + w) − f(x) puede hacerse tan pequeña como uno quieratomando w suficientemente pequeña.

Se trata de una definición casi semejante a la que nosotros usamos nor-malmente. Esta obra, sin embargo, no fue muy conocida durante la vidade Bolzano. De hecho, este trabajo fue redescubierto por Hermann Han-kel (1 839 - 1 873).

Cauchy

Ahora bien, el trabajo realmente relevante para la comunidad matemáti-ca de la época fue dado por el matemático francés Augustin Cauchy(1 789 - 1 857), quien se suele comparar a Euler en su prolífica produc-ción matemática. Su obra en torno a esta fundamentación se sintetizó entres trabajos: Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1 821), Résu-mé des leçons sur le calcul infinitesimal (1 823), y Leçons sur le calculdifférentiel (1 829).

El objetivo de este matemático era establecer una separación de la ideade límite y con relación a su origen geométrico, físico o intuitivo. Enesa dirección, se concentró en tres nociones: variable, función y lími-te. Por ejemplo, en su trabajo trató de dar cuenta de la naturaleza delos números irracionales, ofreciendo la idea de que un número irracio-nal era simplemente el límite de varias fracciones racionales que se leacercaban. Se dio cuenta, sin embargo, tiempo después, que la defini-ción debía ser más precisa desde un punto de vista lógico puesto que, enesa definición, asumía la existencia de los irracionales previamente a suconstrucción por medio de límites.

Cauchy no estaba de acuerdo con el enfoque que desarrolló Lagrangepor medio de series de potencias. Su planteamiento estaba más cercanoal de d’Alembert, que partía del concepto de límite.

El asunto de los infinitesimales, lo sancionó usando el concepto de va-riable:


‘‘Una cantidad variable se vuelve infinitamente pequeña cuando su valornumérico decrece indefinidamente de tal manera que converge al límitecero’’.

No obstante, hay discusión acerca de hasta dónde usó los infinitesimalesy hasta dónde adoptó el rigor que luego se le atribuiría a Weierstrass.

Con base en la noción de variable, Cauchy definió el límite:

‘‘Cuando los sucesivos valores que tome una variable se aproximan in-definidamente a un valor fijo de manera que terminan por diferir de élen tan poco como queramos, este último valor se llama el límite de todoslos demás’’.

Por otro lado, la derivada de la función f(x) con respecto a x la definemás o menos de la siguiente manera:

‘‘si ∆x = i un incremento de x, se considera la razón

∆y

∆x=f(x+ i)− f(x)

i

y define la derivada f 0(x) al límite de esta razón cuando i tiende a cero’’.

En este tratamiento, la diferencial, que habían usado primordialmenteLeibniz y muchos otros matemáticos, posee aquí un carácter secundario.La diferencial la define como dy = f 0(x)dx.

¿Cómo define la continuidad? Para Cauchy, una función f(x) es con-tinua entre ciertos límites dados de x, si entre estos límites al darse unincremento infinitamente pequeño i de x, siempre se obtiene un incre-mento infinitamente pequeño

f(x+ i)− f(x)

de la función. En esencia ésta es la misma aproximación que había se-guido Bolzano, y la misma que utilizamos hoy en día. Puede afirmarse,sin lugar a dudas, que ni Newton ni Leibniz habían sido tan precisos yclaros en la concepción de los procesos infinitesimales, que son el cora-zón del cálculo.


22.2. Portada del libro Cours d’analyse de l’École Polytechnique (1 821).

Pero, hay que subrayar, hubo que esperar a que pasaran decenas y dece-nas de años para que se diera esta precisión. En ese período, no se puedeolvidar, se dio un extraordinario desarrollo de lasmatemáticas, del cálcu-lo específicamente. Es decir, los procesos en busca de un mayor rigor yprecisión son importantes en las matemáticas, pero de la misma manerano se pueden sobrevalorar.

A pesar de los mayores niveles de precisión así como de un tratamientodel infinitesimal, por medio de las nociones de variable y de límite, nopuede negarse, con plena certeza, la creencia tanto en este matemáticocomo en otros más en los números infinitamente pequeños y tambiénen los infinitamente grandes. De hecho, la noción de ‘‘variable’’ que


usaba Cauchy no era la que hoy usamos, que es más bien un resultadode Weierstrass.

En ocasiones, los infinitesimales fueron concebidos con un halo cuasimágico, a veces, incluso, como realidades físicas. Con base en la for-mulación del límite, los conceptos de derivada, continuidad e integralserían transformados.

El ‘‘rigor’’ que encontramos en Cauchy no era, a pesar de todo, el queencontramos en los textos actuales de matemáticas. Por ejemplo, su re-ferencia al infinitesimal utilizaba frases como ‘‘se vuelve infinitamentepequeño’’ o ‘‘decrece indefinidamente’’ que, a pesar de que las poda-mos usar coloquial e introductoriamente en el estudio del Cálculo, noreúnen los requisitos de precisión y claridad lógicas establecidos por lascomunidades matemáticas.

Por otra parte, Cauchy retomó la noción de integral como límite de su-mas, con un contenido digamos geométrico, algo que se había perdidoal haberse subrayado durante todo el siglo XVIII la integral por mediode la antidiferenciación. Es decir:

Sea

Sn = (x1 − a)f(a) + (x2 − x1)f(x1) + ...+ (b− xn−1)f(xn−1),

para una partición en el intervalo [a,b]. El límite de las sumas cuandolas (xi − xi−1) decrecen indefinidamente es la integral definida en elintervalo dado. O sea, más o menos:

bZa

f(x)dx = limn→∞Sn.

Producto de esta tarea se han dado importantes generalizaciones y apli-caciones del concepto de integral.

Vayamos a la derivada. d’Alembert afirmaba que la derivada se debíabasar en el límite de la razón de las diferencias de variables dependientese independientes: ∆y

∆x . Este es un primer punto.

22.2: Weierstrass 619

Sin embargo, fue Bolzano (1 817) quien definió la derivada por primeravez como un límite: la cantidad f 0(x) a la que la razón

f(x+∆x)− f(x)∆x

se aproxima indefinidamente cuando∆x se acerca a 0 a través de valorespositivos y negativos.

Bolzano sabía que f 0(x) no era un cociente de ceros o una razón de can-tidades que se ‘‘evanecen’’, sino un número al que se aproxima la razónque señalamos arriba. Ahora bien, el mismo Euler había descrito dy

dx co-mo un cociente de ceros, y otros matemáticos, como Lacroix, siguieronsus pasos. La precisión que hizo Bolzano era significativa.

¿Qué hizo Cauchy? En esencia, definió la derivada como Bolzano. Lossiguientes matemáticos sustituyeron estas expresiones en las definicio-nes por formulaciones más precisas. A pesar de estos trabajos de Bol-zano y Cauchy, tanto Cauchy como la mayoría de los matemáticos deesa época pensaron que una función continua (salvo en puntos aisladoscomo x = 0 para y = 1

x) tenía que ser derivable (lo que es falso). Noobstante, Bolzano sí se percató de la diferencia entre continuidad y de-rivabilidad; más aun, como ya lo dijimos: dio un ejemplo famoso defunción continua no derivable en ningún punto. Luego, en los años quesiguieron, se ofrecieron muchos ejemplos de funciones continuas no de-rivables.

De esta manera, se fue precisando el concepto de función y ofreciendoa la comunidad matemática múltiples posibilidades en su construccióny sus aplicaciones.

22.2 Weierstrass

En la búsqueda por dar un fundamento al cálculo a través de la arit-metización, en particular desprenderse de la influencia geométrica e in-tuitiva, fue el matemático Weierstrass quien recorrió más camino. Porejemplo, no compartía las frases que hemos consignado de Cauchy ni


tampoco la expresión ‘‘una variable se acerca a un límite’’, porque su-gieren tiempo y movimiento (algo intuitivo). Para Weierstrass, una va-riable era simplemente una letra que servía para designar a cualquierade un conjunto de valores que se le puede dar a la letra. Entonces, unavariable continua es una tal que si x0 es cualquier valor del conjunto devalores de la variable y δ es cualquier número positivo, existen otrosvalores de la variable en el intervalo

(x0 − δ, x0 + δ).

A diferencia de los términos que Cauchy y Bolzano usaban en sus defi-niciones de continuidad y límite de una función, ofreció las definicioneshoy aceptadas. El límite de una función f(x) en x0 lo definió, segúnconsignó H. E. Heine (1 821 - 1 881), su discípulo, como:

‘‘Si, dado cualquier ε, existe un η0 tal que para 0 < η < η0, la diferenciaf(x0 ± η) − L es menor en valor absoluto que ε, entonces se dice queL es el límite de una función f(x) para x = x0.’’

Aquí no hay referencia a puntos que se mueven en curvas o infintesima-les, solamente números reales, operaciones de suma y resta y la relaciónde orden ‘‘<’’.

La continuidad, en lenguaje moderno, se puede poner así:

f(x) es continua en x = xo si dado ε > 0, existe un δ tal que para todox en el intervalo

| x− x0 |< δ, =⇒| f(x)− f(x0) |< ε.

La función f(x) tiene límite L en x = x0, si dado ² > 0, existe un δ talque para todo x en el intervalo

| x− x0 |< δ, =⇒| f(x)− L |< ε.

Entonces términos o las frases ‘‘infinitesimal’’, ‘‘variable que se acerca’’,o ‘‘tan pequeña como uno quiera’’, que aparecían en Cauchy, desapare-cen en una formulación más precisa que no refiere a la geometría o a laintuición empírica. Precisamente, aquí es donde nacen los ‘‘famosos’’ ε

22.3: Aritmetización del análisis 621

y δ que encontramos en buena parte de los libros de cálculo en nuestrasuniversidades.

Heine fue quien definió la continuidad uniforme para funciones de unao varias variables; de hecho, también demostró que si una función escontinua en un intervalo real cerrado y acotado es uniformemente con-tinua.

Estos trabajos en los fundamentos lógicos del cálculo diferencial e inte-gral, empujaron también hacia nuevos criterios en la construcción mate-mática. Es decir, criterios para la validación de las construcciones ma-temáticas realizadas por los científicos dedicados a esta disciplina. Esadirección, sin embargo, enfatizó una separación de las nociones de lageometría intuitiva ligadas al movimiento físico, y un énfasis en losconceptos de función, variable, límite, con un carácter esencialmentearitmético y lógico.

22.3 Aritmetización del análisis

Uno de los temas fundamentales en el proceso de fundamentación delcálculo fue la construcción o la validación de los números reales. Paraello, varios matemáticos se orientaron a ofrecer diferentes definiciones yconstrucciones de estos números, donde por supuesto lo decisivo girabaalrededor de los irracionales. En esa dirección, hicieron importantesaportes Weierstrass, Richard Dedekind (1 831 - 1 916), Georg Cantor(1 845 - 1 918), Charles Méray (1 835 - 1 911) y tiempo después elfilósofo británico Bertrand Russell (1 872 - 1 970).

Méray y Weierstrass

Méray y Weierstrass propusieron definiciones que utilizaban la nociónde convergencia y pretendían evitar el ‘‘error lógico’’ de Cauchy. Re-cordemos que este matemático había definido los reales como el límitede sucesiones convergentes de números racionales, pero el concepto delímite había sido construido asumiendo la existencia de los números re-ales, lo que lógicamente era incorrecto.


Méray en su libro Nouveau preçis d’analyse infinitésimale, 1 872, de-cía que el límite de una sucesión convergente determinaba ya fuera unnúmero racional o un número que llamó ‘‘ficticio’’, y los ‘‘ficticios’’ pue-den ordenarse: son los irracionales. Ahora bien, Méray no era claro encuanto a si la sucesión era el número.

Expliquemos mejor este asunto. Empezamos por el concepto de suce-sión.

Una sucesión de numeros racionales (an) es un conjunto ordenado denúmeros

a1, a2, a3, . . . an, . . .

También se puede ver como una función

g : N −→ Q

n 7→ an

o g(n) = an.

[N el conjunto de números naturales, y Q el de los racionales.]

Por ejemplo, g(n) = 1n2 nos ofrece una sucesión.

Ahora bien, una sucesión es convergente si existe un A tal que

limn→∞ an = A.

Usando lenguaje de límites, tenemos que

limn→∞

1

n2= 0

es decir, ( 1n2 ) converge a 0.

Precisamente, un criterio para determinar la convergencia de una suce-sión es el ‘‘de Cauchy’’ (o ‘‘Bolzano-Cauchy’’). ¿Cuál es? En esencia:si la diferencia entre los términos se va haciendo cada vez más pequeña,entonces la sucesión converge. Con precisión:

22.3: Aritmetización del análisis 623

‘‘Si la distancia entre an+p y an se hace tan pequeña como uno quierapara un n suficientemente grande, entonces la sucesión converge’’.

Puesto de otra manera, y volvemos con los ε:

dado un ² > 0 arbitrario, se obtiene que, a partir de cierto n suficiente-mente grande:

| an+p − an |< ε.

Para Méray yWeierstrass, las sucesiones que cumplían con el criterio deCauchy (sin hacer referencia previa a los números que convergían) eranlos números reales. Este es un método de construcción. Un ejemplo,como an = 1

n2 define una sucesión (an) que cumple el criterio de Cauchy,entonces la sucesión es el número real. Así tenemos

limn→∞

1

n2= 0.

Es un medio para definir el 0.

Pero hay asuntos complejos aquí. Uno de ellos: puede haber diferentessucesiones que convergen a 0. Eso no es relevante.

La teoría de Weierstrass es, por supuesto, más compleja. Más que suce-siones ordenadas de números racionales, lo que se usa son conjuntos deracionales. Pero, por ahí van los ‘‘tiros’’.

Debe decirse que Weierstrass no publicó sus resultados sobre la aritme-tización, y se conocen, más bien, por medio de sus discípulos FerdinandLindemann y Eduard Heine.

Dedekind

Richard Dedekind ofreció otra construcción de los números reales: elmétodo de las ‘‘cortaduras’’. En esencia, hacía lo siguiente para definir‘‘con lógica’’ los números reales.

Divídase el conjunto de los números racionales en clases disjuntas A yB, tales que todos los números de A seanmenores que todos los númerosde B.


Dedekind consideró entonces los números en los que se hacía el corte:‘‘la cortadura’’, y estableció que solo existía un número real que producíaesa ‘‘cortadura’’.

Si, además, A contiene a su máximo, o B a su mínimo, la cortaduradefine un número racional.

Pero si ni A contiene a su máximo ni B un mínimo, entonces se defineun número irracional. Un ejemplo:

Consideremos esta ‘‘cortadura’’:

A = {a ∈ Q / a2 < 5} y B = {b ∈ Q/b2 > 5}.Esta ‘‘cortadura’’ define un número que no está en A como máximo nien B como mínimo. Podemos concluir sin problema que esta cortaduradefine el número

√5.

Resulta interesante mencionar que la definición de número irracionaldada por Dedekind posee una gran similitud con la teoría de Eudoxoque aparece en el Libro V de los Elementos de Euclides. De hecho, estolo consigna Ferreirós:

‘‘La teoría de las proporciones de Eudoxo guarda una profunda relacióncon la teoría de los números irracionales de Dedekind, como indicaráRudolf Lipschitz y como se ha venido repitiendo desde entonces.’’ [Fe-rreirós, José: ‘‘ Introducción’’ a Dedekind, Richard: ¿Qué son y paraqué sirven los números?, p. 7]

La construcción dada por Dedekind se inscribía, por supuesto, tambiénen los planes de fundamentación; bien lo recoge Ferreirós:

‘‘El hecho de que todos los temas anteriores se anuden en la obra deDedekind muestra ya suficientemente que nos encontramos frente a unenorme esfuerzo de sistematización, un gran intento de reducir la ma-temática a bases rigurosas y unitarias. En efecto, la teoría expuesta enContinuidad y números irracionales puede verse como colofón de unaserie de esfuerzos encaminados a fundamentar el análisis sobre la no-ción de límite, y esta noción directamente sobre la aritmética; además,de las teorías del número irracional publicadas en los años 1 870 es lamás consciente conjuntista. Pero Dedekind se preocupó también por

22.4: Rigor: una perspectiva histórica 625

hacer posible un desarrollo riguroso de todo el sistema numérico, co-mo acreditan sus afirmaciones publicadas y diversos manuscritos. Conello pretendía obtener un nuevo fundamento para la aritmética y el álge-bra, coherente con sus investigaciones más sofisticadas en el campo dela teoría de números algebraicos y del álgebra en general.’’ [Ferreirós,José: ‘‘ Introducción’’ a Dedekind, Richard: ¿Qué son y para qué sirvenlos números?, p. 13]

Bertrand Russell, tiempo después, propuso que se identificase comonúmero real no aquel que corta los conjuntos, sino un conjunto de ra-cionales. Por ejemplo, definir

√5 como el conjunto A, antes construido.

Cantor

Georg Cantor continuó la obra de Weierstrass en los fundamentos de lasmatemáticas. Para Cantor, por ejemplo, ‘‘toda sucesión regular defineun número; la clase de todos los números así definidos es el sistema delos números reales’’. De hecho, con algunas simplificaciones por Heinese dio una aproximación distinta a la construcción de los reales: que seconoce como Heine-Cantor, y que fue publicado en ‘‘Die Elemente derFunktionenlehre ’’ del Journal de Crelle, 1 872.

Para Dedekind y también para Weierstrass está presente una referenciaal continuo y, entonces, al infinito.

Podemos decir que la noción de continuo real implica un proceso mate-mático (mental si se quiere) cualitativamente diferente al que se mani-fiesta en la aritmética.

22.4 Rigor: una perspectiva histórica

En buena medida, el corazón de los procesos de aritmetización y rigori-zación de las matemáticas durante el siglo XIX se encontraba en la bús-queda por eliminar la referencia geométrica e intuitiva que había predo-minado, y subrayar el papel de la aritmética y la lógica en la construc-ción y validación de las matemáticas. Era importante ofrecer fundamen-tos lógicos y nociones más precisas en el edificio de las matemáticas, a


potenciar sus fundamentos, sin embargo a veces se aprecia un distancia-miento de estos mecanismos de fundamentación de aquellos conceptose ideas que dieron origen al cálculo.

Para algunos, el corazón de la construcción matemática se encuentraexactamente en esas dimensiones lógicas y formales, en un divorciomuy drástico con las nociones derivadas de la intuición, la geometríavisual, la apelación al mundo empírico, que ‘‘contaminaron’’ los oríge-nes de las matemáticas. No está claro, sin embargo, que la construcciónmatemática pueda restringirse a esas dimensiones lógicas y que se puedadesprender de la intuición.

La aritmetización del análisis y la fundamentación del cálculo deben su-mergirse dentro de un escenario que ofreció la evolución específica denuevas matemáticas durante el siglo XIX. Es el mismo contexto del ál-gebra abstracta, de la emersión de las geometrías no euclidianas, y de unnuevo carácter en estas disciplinas. En esa dirección avanzó un procesode formalización y axiomatización de las matemáticas en la que partici-parían varios importantes matemáticos. En particular, debe consignarsela obra de Peano que jugó un papel importante en la potenciación de lascaraterísticas de algunos de los métodos abstractos en las matemáticasmodernas, como señala Bell:

‘‘ Los orígenes del método abstracto y de la manera crítica de abordar lasmatemáticas parece que están situados concretamente pocos años des-pués de 1 880. No atrajeronmucho la atención hasta que en 1889Hilbertpublicó su obra sobre los fundamentos de la geometría y hasta que, poraquella misma época, señaló la importancia básica que tenía para todaslas matemáticas el demostrar la consecuencia de la aritmética común.Pero parece atribuirse el impulso inicial a Peano (italiano, 1 858 - 1 932)con sus postulados de la aritmética (1 889). Siguiendo el programa eu-clidiano, Peano emprendió la tarea de reducir la aritmética común de unconjunto explícitamente enunciado de postulados tan libres de hipóte-sis implícitas como pudo hacerlos. El método postulacional es el origen

22.4: Rigor: una perspectiva histórica 627

del moderno movimiento crítico y de la tendencia hacia la abstracción.’’[Bell, E.T.: Historia de las matemáticas, p. 278]

Con los propósitos de desgeometrizar el cálculo, potenciar la deducciónlógica en los fundamentos, se planteó un reduccionismo de conceptos.Por ejemplo, la reducción de los números irracionales a nociones arit-méticas. Se quiera o no, este proceso implicó nuevos niveles de abstrac-ción y, lo que a veces no suele reconocerse, la introducción de supuestosteóricos sobre la existencia y la naturaleza de las entidades matemáti-cas. Estos supuestos a veces expresados de una manera explícita y aveces presentes de una manera implícita. Debe decirse, que esta acti-tud reduccionista, que buscaba la unidad en la diversidad matemática,obligaba a un replanteamiento sobre la naturaleza de las matemáticas eincluso sobre todo el conocimiento. Es por eso mismo que a finales delsiglo XIX y en la primera mitad del siglo XX se dio un proceso de dis-cusión filosófica y matemática sobre los fundamentos últimos de estasdisciplinas.

Durante el XIX se dio un énfasis en la aritmética y el álgebra, por encimade la geometría. Esto fue así tanto por las inconsistencias del Cálculo(en la defniciones, en las series, etc.) y también como una respuesta alimpacto producido por las geometrías no euclidianas. Para la mayoríade los matemáticos, la geometría euclidiana se aceptó ‘‘acríticamente’’por haber asumido la intuición como punto de referencia. La emersiónde geometrías no euclidianas se leyó como el reclamo por eliminar laintuición.

El énfasis en procesos demostrativos algebraicos y aritméticos respon-dió tanto a las necesidades conceptuales propiamente de las matemáticascomo a las necesidades de la comunidad matemática (incluso psicológi-cas). Hasta cierto punto, cierto temor, incertidumbre e inseguridad enlos matemáticos, los de carne y hueso, fue factor central de esta evolu-ción. Como siempre, en la ciencia y las matemáticas en particular, loscriterios que se aceptan responden, también, a las percepciones (inclusotemores y rivalidades) de la comunidad practicantes.

Ya volveremos sobre esta temática, que plantea una reflexión más bienfilosófica.


22.5 Biografías

22.6: Síntesis, análisis, investigación 629

22.6 Síntesis, análisis, investigación

1. Diga cuáles fueron las nociones en las que se concentró Cauchy paradesarrollar su programa de rigorización en el análisis.

2. ¿Cuál era el objetivo fundamental de Cauchy al formular su nociónde límite?

3. ¿Cuál enfoque prefirió Cauchy: el de d’Alembert o el de Lagrange?¿Por qué?

4. Diga si es falsa o verdadera la siguiente afirmación: Cauchy pensabaque toda función continua era derivable.

5. Explique las semejanzas y diferencias entre las nociones de‘‘variable’’ y de ‘‘convergencia de una sucesión’’ que tenían Cauchyy Weierstrass.

6. Defina√3 usando el métodeo de las cortaduras de Dedekind.

7. Describa brevemente lo que significa la ‘‘aritmetización del análisis’’.

8. Estudie el siguiente texto de Morris Kline.

‘‘La rigorización de las matemáticas pudo haber llenado una necesi-dad del siglo XIX, pero también nos enseña algo del desarrollo dela materia. La estructura lógica fundada recientemente garantizó demanera presumible la solidez de las matemáticas; pero la geometríaera algo decorativo. Ningún teorema de la aritmética, el álgebra, o lageometría euclidiana fue cambiado como consecuencia, y los teore-mas del análisis solamente tuvieron que ser formuladosmás cuidado-samente. De hecho, todo lo que hicieron las estructuras axiomáticasy el rigor fue verificar lo que los matemáticos ya sabían. Así, losaxiomas tuvieron que ceder ante los teoremas existentes más que de-terminarlos. Todo esto significa que la matemática descansa no sobrela lógica sino sobre las sólidas intuiciones. El rigor, como ha señala-do Jacques Hadamard, sanciona meramente las conquistas de la in-tuición; o, como ha dicho Hermann Weyl: la lógica es la higiene que


usan los matemáticos para mantener sus ideas fuertes y saludables.’’[Morris Kline: Mathematics: The Loss of Certainty , 1 982]

Explique y comente las ideas que expresa el autor.

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