3. Funciones analíticas · Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) Ecuaciones de Cauchy-Riemman (ECR)...
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1 3. Funciones analíticas
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1
3. Funciones analíticas
2
Derivada de una función compleja
Teorema del valor medio para funciones reales Si f(x) es continua en a < x < b y f '(x) existe para a < x < b, entonces hay al menos un punto c (a < c < b) tal que: f '(c) = [ f(b) −
f(a) ] / [ b −
a ].
-1 10Además los dos caminos tienen longitudes diferentes.
Ninguno de los dos teoremas aplican a las funciones complejas. Por ejemplo: el teorema del valor intermedio, nos dice que si f(a) = -1 y f(b) = 1 entonces necesariamente existe al menos un valor ξ, a <
ξ <
b, tal que f(ξ) = 0. En compleja, podemos empezar en -
1 y acabar en +1 sin haber pasado por (0+0i).
Teorema del valor intermedio para funciones realesSea f(x) continua para a < x < b y f(a) ≠
f(b) entonces f toma todos los
valores entre f(a) y f(b) en el intervalo a <
ξ <
b
3
Derivada de una función real
x
y
0x
xxfxxfxf
x Δ−Δ+
=′→Δ
)()(lim:)( 00
00
xx Δ+0xΔ
)( 0xf)( 0 xxf Δ+
Si no existe el límite, no existe la derivada en x0 . Decimos entonces que f(x) no es derivable o no es diferenciable en x0 .Podemos hacer el límite por la derecha y por la izquierda, y ambos deben coincidir.
4x
y0z
zzfzzfzf
z Δ−Δ+
=′→Δ
)()(lim:)( 0
00
zΔ
u
v)( 0 zzf Δ+
)( 0zf
)()( 00 zfzzf −Δ+zz Δ+0
Derivada de una función compleja
Observemos que ahora el límite se puede hacer no solamente por la derecha o por la izquierda, sino por infinitos caminos. Para que la derivada esté definida el límite debe existir y ser el mismo independientemente del camino.
5
Mostrar que f(z) = zn
es diferenciable para todo z y que f/(z) = nzn-1.
Ejemplo:
10
10
10
01
0
000
0
00
00
)(lim)(
lim
)(lim)(lim:)(
−−−
=→Δ
−
=
→Δ
−
=
→Δ→Δ
=Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
Δ
Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=Δ
−Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=Δ
−Δ+=′
∑∑
∑
niinn
iz
iinn
i
z
niinn
i
z
nn
z
nzzzin
z
zzin
z
zzzin
zzzzzf
Observa que el resultado es independiente de la trayectoriacon que se aproxima a cero. Como z0
es arbitrario, el resultado es válido para todo z
y f´(z) = nzn-1.
zΔ
6
La reglas de derivabilidad son las mismas que en cálculo de funciones reales de variable real:
(c f)/ = c f/
(f+g)/ = f/ + g/
(f g)/ = f/ g + f g/
(f/g)/ = (f/ g - f g/)/g2
La regla de la cadena rige de la misma forma.
Ejercicio: Demostrar las reglas a partir de la definición de derivada.
7
8
9
Regla de L'Hôpital:
Si f(z0 ) = 0 y g(z0 ) = 0 y las funciones son diferenciables en z0 con g'(z0 ) diferente de 0, entonces:
)(')('lim
)()(lim
00 zgzf
zgzf
zzzz →→=
Extensión: Si f(z0 ) = f'(z0 ) = ... = f(n-1)(z0 ) = 0 y g(z0 ) = g'(z0 ) = ... = g(n-1)(z0 ) = 0 y las funciones y las 2n funciones derivadas son diferenciables en z0 (y con g(n)(z0 ) diferente de cero), entonces:
)()(lim
)()(lim )(
)(
00 zgzf
zgzf
n
n
zzzz →→=
Guillaume François AntoineMarquis de L'Hôpital
(1671 – 1704)
10
DiferencialesSi w = f(z) es continua y tiene primera derivada continua en una región R, entonces:
zw
dzdwzfdzzfdw
zdzdzzfzzzfw
z ΔΔ
===
→Δ→+=Δ+Δ=Δ
→Δ 0lim)(')('
.0cuando0donde)(')('
εεε
Diferencial de w
11
Más falacias:
veces
2
2
2
2
2
444443333
22211
x
xxx ++=
+++=
++=
+=
=
Derivando a ambos lados:
12
112veces
=
=++= xxx
12
Algunas funciones reales no poseen derivada (en ciertos puntos)...
Por ejemplo:
De forma similar, algunas funciones complejas no poseen derivada… ¡en ningún
punto del plano
complejo! Demostrado por Cauchy en 1820
x
y
x
y
xxf 1)( =
13
Fractales: Curva de Koch, copo de nieve o isla del diablo
Continuo en todos sus puntos pero no diferenciable en ninguno.¡Perímetro infinito en un área finita!
Niels Fabian Helgevon Koch (1870 – 1924)
14
Curva de WeierstrassLa curva de Weierstrass es, históricamente hablando, el primer fractal conocido. Fue creado o descubierto (según las preferencias filosóficas del lector) por el matemático Karl Weierstrass en 1861. Lo notable en este caso, respecto a la curva de Koch, es que disponemos de la ecuación, como serie infinita, de la curva:
∑∞
=
=0
)cos()(n
nn xbaxW π
Para que la función carezca de tangente única en cada uno de sus puntos, es necesario que:0 < a < 1, b sea un entero impary a b >
Karl Theodor WilhelmWeierstrass (1815 – 1897)
2/31 π+
15
Algunas funciones complejas no poseen derivada en ningún punto
Ejemplo zzf =)(
yixyix
yixyix
zz
zzzz
zzfzzfzf
zz
zz
z
Δ+ΔΔ−Δ
=Δ+ΔΔ+Δ
=
ΔΔ
=Δ
−Δ+=
Δ−Δ+
=′
→Δ→Δ
→Δ→Δ
→Δ
00
00
0
limlim
limlim
)()(lim)(
Sigamos dos caminos distintos:x
yzz Δ+
z
xΔ
yΔ 12
1 21lim0
−=→Δz
1lim0
+=→Δz
El límite no es único, por lo tanto no existe límite. Como z es arbitrario, no existe derivada en ningún punto.
(función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son)
16
Ejemplo 2||)( zzf =
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΔΔ
+Δ+=
Δ−Δ+Δ+
=
Δ−Δ+
=
Δ−Δ+
=′
→Δ
→Δ
→Δ
→Δ
zzzzz
zzzzzzz
zzzz
zzfzzfzf
z
z
z
z
0
0
22
0
0
lim
))((lim
||||lim
)()(lim)(
Sigamos de nuevo los doscaminos distintos anteriores:
(función continua en todo el plano complejo porque sus componentes u y v lo son)
1
2
zzzzz
−=Δ−=Δ→Δ 0
lim;
Como el límite debe ser único:
zzzzz
+=Δ=Δ→Δ 0
lim;
0=⇒+=− zzzzz La derivada existe solo en z = 0 y vale 0.Este ejemplo muestra como una función puede ser diferenciable en un punto sin serlo en ningún otro de su entorno.
17
Obtener los puntos del plano complejo donde la función
es diferenciable. Calcular su derivada.)Re()( zzzf =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]( ) ( )
( ) ( )yix
yxyxxyixxx
yixxiyxxxyyixxz
zzzzzzz
zfzzf
z
z
zz
Δ+ΔΔΔ+Δ+Δ+Δ+Δ
=
=Δ+Δ
+−Δ+Δ++Δ+=
=Δ
−Δ+Δ+=
Δ−Δ+
→Δ
→Δ
→Δ→Δ
2lim
lim
ReRelimlim
2
0
0
00
( ) ( ) ( ) ( )
0)0(
0RelimRe
lim00
lim
:0zSi
000
=′⇒
⇒=Δ=Δ
ΔΔ=
Δ−Δ+
=
→Δ→Δ→Δ
f
zz
zzz
fzfzzz
18
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0;0;
02
2
limlimlim
:0
22lim
2limlim
:0:0z Si
000
0
2
00
==
⎩⎨⎧
==
⇒=+
==ΔΔ
=Δ
−Δ+Δ+=Δ
+=++Δ=
=Δ
Δ+Δ+Δ=
Δ−Δ+
+Δ=Δ≠
→Δ→Δ→Δ
→Δ
→Δ→Δ
yx
yxx
xiyx
xxyyxi
zzfzzf
yiz
iyxiyxxx
xiyxxxz
zfzzf
ixz
yyz
x
xz
z=0
0z puntos losen blediferencia es no f(z) ≠
19
La existencia de derivada en un punto implica la continuidad de la función en ese punto. Supongamos que existe f’(z):
[ ]
)()(lim00)('
)(lim)()(lim
)()(lim
00
00
0
0
00
0
zfzfzf
zzzz
zfzf
zfzf
zz
zzzz
zz
=⇒=⋅
=−−−
=−
→
→→
→
20
A First Course in Complex AnalysisMatthias Beck, Gerald Marchesi, and Dennis Pixton
21x
y
z
zz Δ+xΔ
yΔ1
1
[ ]
[ ]
→Δ
−Δ++
Δ−Δ+
=′
→Δ
→Δ
xyxvyxxvi
xyxuyxxuzf
x
x
),(),(lim
),(),(lim)(
0
0
xvi
xu
dzdf
∂∂
+∂∂
=
Seguimos el camino : sea Δy→0
Ecuaciones de Cauchy-Riemann
[ ] [ ]yix
yxviyxuyyxxviyyxxuz
zfzzfzf
z
z
Δ+Δ+−Δ+Δ++Δ+Δ+
=
Δ−Δ+
=′
→Δ
→Δ
),(),(),(),(lim
)()(lim)(
0
0
Si la derivada existe, el límite es independiente del camino
22
x
y
z
zz Δ+xΔ
yΔ 2
2
yv
yui
dzdf
∂∂
+∂∂
−=
Seguimos el camino : sea Δx→0
xyyxvyxyxuiyxzzf 2),(;),(;)()( 2222 =−=+==
zyixyixxvi
xu
dzdf 2)(2)2(2 =+=+=
∂∂
+∂∂
=
zyixxyiyv
yui
dzdf 2)(22)2( =+=+−−=
∂∂
+∂∂
−=
Ejemplo:
[ ]
[ ]
→Δ
−Δ++
Δ−Δ+−=′
→Δ
→Δ
yyxvyyxv
yyxuyyxuizf
y
y
),(),(lim
),(),(lim)(
0
0
23
yv
yui
xvi
xu
∂∂
+∂∂
−=∂∂
+∂∂
Igualando ambas expresiones:
Igualando las partes real e imaginaria obtenemos las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
Tenemos:
xvi
xu
dzdf
∂∂
+∂∂
=yv
yui
dzdf
∂∂
+∂∂
−=
xv
yu
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
24
Después de 250 años de casi “hibernación compleja”, entre 1814 y 1851 Cauchy y Riemman fundan el análisis complejo.
xv
yu
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
Augustin-Louis Cauchy(1789-1857)
Ecuaciones de Cauchy-Riemman (ECR)Propuestas por primera vez por D’Alembert en 1752 en el contexto de la dinámica de fluidos.
25
Podemos dar en forma polar una función de variable compleja cualquiera. Por ejemplo, sea:
)0(1)( ≠+= zz
zzfEn forma polar,tendremos:
),(),(
sin1cos1
)sin(cos1)sin(cos
)sin(cos1)sin(cos)(
θθ
θθ
θθθθ
θθθθ
rvru
rri
rr
ir
ir
irirzf
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=−++
=+
++=
26
)),(sincos i v(r,θr uf(z) θ)iθ r(z
+=+=
θ
En forma polar tenemos:
)0(
11
>∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
r
urr
vvrr
uθθ
ECR en forma polar
Demostrar que las ECR toman la forma:
Ejercicio: Comprobarlo para la función f(z) = 1/z.
27
Recuerda que hemos tomado dos caminos muy particularespara encontrar las ECR. Hemos demostrado que si f(z) = u(x,y)+iv(x,y)
es diferenciable en un punto z0
, entonces las primeras derivadas parciales de u(x,y)
y v(x,y)
existen en ese punto y satisfacen en él las ECR.Además, podemos calcular el valor de f’(z0
)
a través de las expresiones:
Las ECR son una condición necesaria para la derivabilidad.
xvi
xu
dzdf
∂∂
+∂∂
=yv
yui
dzdf
∂∂
+∂∂
−=
28
)2()()()(
22
2
xyiyxyixzf
+−=
+=
yxvy
yu
xyvx
xu
2,2
,2,2
=∂∂
−=∂∂
=∂∂
=∂∂
Ejemplos:
Veamos que , que hemos probado que es diferenciable en todas partes, cumple las ECR:
Sin embargo para:
2)( zzf =
)(||)( 222 yxzzf +==
0,2
,0,2
=∂∂
=∂∂
=∂∂
=∂∂
xvy
yu
yvx
xu
Las ECR no se satisfacen excepto para z = 0. Entonces la derivada no existe para ningún z distinto de 0. Pero no podemos asegurar la existencia de la derivada en z = 0, aunque en este caso la hemos demostrado anteriormente.
29)0,0()0,0(
)0,0()0,0(
0
1
xv
yu
yv
xu
∂∂
==∂∂
−
∂∂
==∂∂
Veamos un ejemplo, un tanto artificial, donde veamos que las ECR
son necesarias pero no suficientes.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠=
0,0
0,)( 4
5
z
zzz
zf
4
0
00
lim)0('
)(lim0
)0()(lim)0('
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
=−−
=
→
→→
zzf
zzf
zfzff
z
zz
Que tiene valor 1 sobre el eje real y -1 sobre la línea y = x, p.ej. De modo que f(z) no tiene derivada en z = 0.
Y sin embargo, las condiciones de CR en z = 0 se cumplen:
De modo que las condiciones son necesarias, pero no suficientes.
Calculemos su derivada en z = 0:
30
Condiciones suficientes de derivabilidad
Sea f(z) = w = u(x,y) + iv(x,y)
definida en un entorno del punto z0
= x0 + iy0
, supongamos que las primeras derivadas parciales de u(x,y) y v(x,y) existen en el entorno de ese punto y son continuas en z0 . Entonces, si las parciales satisfacen las ECR en z0
, la derivada f’(z)
en z0
existe.
.00cuando00donde
)},(),({)},(),({),(),(
11
11
11
→Δ→Δ→→
Δ+Δ+Δ∂∂
+Δ∂∂
=Δ
=Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂
+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
=Δ
=−Δ++Δ+−Δ+Δ+=Δ=−Δ+Δ+=Δ
yyxy
yxyyux
xuu
yyux
xuu
yxuyyxuyyxuyyxxuuyxuyyxxuu
με
με
με
Sumamos y restamos
31
.00cuando00donde 22
22
→Δ→Δ→→
Δ+Δ+Δ∂∂
+Δ∂∂
=Δ
yyxy
yxyyvx
xvv
με
με
De la misma manera, para v(x,y):
.00cuando00donde 2121
→Δ→Δ→+=→+=
Δ+Δ+Δ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=Δ+Δ=Δ
yyxiyi
yxyyvi
yux
xvi
xuviuw
μμμεεε
με
Así que:
Podemos utilizar en esta última igualdad las ECR:
xv
yu
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
32xvi
xu
zw
dzdwzf
yxyixxvi
xuw
yxyxui
xvx
xvi
xuviuw
z
z
yixvi
xu
∂∂
+∂∂
=ΔΔ
==
Δ+Δ+Δ+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=Δ
Δ+Δ+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
−+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=Δ+Δ=Δ
→Δ
Δ
Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
0lim)('
)( με
με
yxyyvi
yux
xvi
xuviuw Δ+Δ+Δ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+Δ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
=Δ+Δ=Δ με
xv
yu
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
33
34
35
Estudiar la derivabilidad de la funcióny en caso afirmativo hallar la derivada.
21)( zz
zf +=
( )2222
222
)(yx
yiyxyxxzf
+−
+++
=
u iv
( )
( ) 02
02
222
222
=+⇒∂∂
−=∂∂
=+⇒∂∂
=∂∂
yxyxv
yu
yxxyv
xu
se cumplen las ECR sólo en x=0, y=0
C∈∀⇒⇒==
zderivable no f(z)0y 0, xpara definidasestán no y)y v(x, y)u(x, Pero
ExamenJUNIO 02/03: P-1
36
Funciones analíticas u holomorfas
Una función f(z)
es analítica (u holomorfa) en un abierto A si posee derivada en todo punto de A.
Cuando se dice que una función f
es analítica en un conjunto S que no es abierto, quedará sobrentendido que f
es
analítica en algún abierto que contiene a S. Cuando decimos que una función es analítica en un punto z0 , la derivada debe existir en todos los puntos de algún entorno de z0 .
Nota: observa que f(z) = |z|2
es solo derivable en
z = 0, pero tampoco ahí es analítica. x
y
0z
x
y
A
37
),(),()( yxviyxuzf += continua en un dominio D:
¿Existe una forma rápida y fácil de comprobar si una función f (z) es analítica?
Sea
xv
yu
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂
en todo punto de D.
f(z)
es analítica en un dominio D sii
u(x,y)
y v(x,y)son continuas y poseen primeras derivadas parciales continuas en D y satisfacen las ecuaciones de CR:
38
Resumen: ¿Es f(z) analítica en z0
?
1.
Escribe f(z) como f(z) = u(x,y) + iv(x,y).2.
Encuentra ux (x,y), uy (x,y), vx (x,y) y vy (x,y).
3.
Comprueba que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann:
ux (x0 ,y0 ) = vy (x0 ,y0 )uy (x0 ,y0 ) = -vx (x0 ,y0 )
4.
Comprueba que ux (x,y), uy (x,y),vx (x,y) y vy (x,y) son continuas en (x0 ,y0 ).
39
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
−−
⋅+
=
2222
1)(
yxyi
yxx
yixyix
yixzf
222222
22
)(2,
)( yxxy
xv
yu
yxyx
yv
xu
+−
=∂∂
−=∂∂
++−
=∂∂
=∂∂
Ejemplo ¿Es 1/z
analítica?
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann se cumplen. Pero f(z) no es continua en cero ni sus parciales tampoco.→ La función es analítica en todo punto, excepto en z = 0.
),( yxu ),( yxv
40
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−
−−=
+−+−
×−−++
=−−++
=−+
=
2222
22
)1(2
)1(1
)1()1(
)1()1(
11
11)(
yxyi
yxyx
yixyix
yixyix
yixyix
zzzf
u v[ ]
[ ] [ ] xv
yxxy
yu
yv
yxyx
xu
∂∂
−=+−
−−=
∂∂
∂∂
=+−
−−=
∂∂
222222
22
)1()1(4,
)1()1(2
excepto en x = 1 e y = 0, en z = 1.
Ejemplo ¿Es (1+z)/(1-z) analítica?
→ Al igual que antes, la función es analítica en todo punto,
41
42
43
Nota: Para resolver este problema se usa notación exponencial que no veremos hasta el capítulo siguiente. Puedes volver a élmás adelante.
44
45
Respuesta.
Encontrar todas las posibles funciones complejas
f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analíticas en la región D = {z є
C/ |z|
≤
3}, que cumplan simultáneamente:
(a) Re(f(z)) = u(x)
(b) f(0) = 0
(c) máx
|f(z)| = 6, z є
D
1.
f(z) = u(x) + iv(x,y) analítica en D => Se cumplen ecuaciones de Cauchy –
Riemann en D
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===⇔∈∀=⇒=
=⇒==−=
Adydv
dxduzfDyx
dydv
dxduvv
v(y)vu(x)uvu
yx
xy
)(),(,
ser por ,0
46
RCBACAyvBAxu
∈⎩⎨⎧
+=+=
⇒ ,,
2. f(0) = 0 = B + iC B = 0, C = 0
zAiyxAzfAyvAxu
⋅=+⋅=⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
==
⇒ )()(
3.
⎩⎨⎧
−==
=⇒===
=
∈∈∈
zzfzzf
AzAAzzfDzDzDz
2)(2)(
:funciones Dos
26maxmax)(max
2
1
3
47
P2. Junio 2006
a)
De la función f(z) se sabe:
1.
Es analítica en |z
–
2| < 3,
2.
f(z) = f(z) en |z
–
2| < 3,
3.
|f(z)| =
Respuesta.
Dar la expresión de f(z) en |z
–
2| < 3 y, en particular, calcular el valor de f(2 + i).
3
f(z) = u(x,y) + iv(x,y)
D : |z
-
2| < 3
48
1.-
f(z) analítica en D.
D.en ⎪⎩
⎪⎨⎧
−=
=−
xy
yx
vu
vuRiemannCauchy
2.-
f(z) = f(z), en D.
D.en ,0),(D.en ),,(),(),(),(
=⇒⇒−=+
yxvyxivyxuyxivyxu
49
De las condiciones 1 y 2,
D.en .)(Den D.en 00
ctezfcte.uuu
y
x =⇒=⇒⎩⎨⎧
==
3.-
|f(z)| = 3
f(z) = ±
en D.
z = 2+i
pertenece a D:
f(2 + i) = ± 3
3
50
Sol.: (a) a = -b; c = 1. (b) a = b = -1
(a) En ningún punto. (b) En ningún punto.(c) C - {z = +i, -i} (d) C (e) En ningún punto.(f) C - {z = 0} (g) En ningún punto.
51
52
53
´
54
(1) Las funciones polinómicas son analíticas en todo punto. Son funciones enteras.
nnzczczczczcczf ++++++= 4
43
32
210)(
Gracias a las propiedades de las derivadas, si dos funciones son analíticas en un dominio D, su suma y su producto son analíticos en D. Y su cociente es analítico en D si el denominador no se anula en ningún punto de D.Una composición de funciones analíticas será analítica.
)()()(
zhzgzf =
(2) La funciones racionales donde g(z) y h(z) son polinomios, son analíticas excepto, quizás, en los puntos donde h(z) se anula.
55
56
57
Nota: Derivada en el infinito
58
59
¿Qué tienen de especial las funciones analíticas? Veremos más adelante cosas como:
• Si una función es analítica entonces todas sus derivadas también son analíticas (en franco contraste con las funciones de variable real).
• Toda función analítica puede expresarse como serie de potencias.
• Las funciones analíticas están determinadas por sus “valores de contorno”: si disponemos de los valores de una función analítica para los puntos de la circunferencia unidad, estos valores determinan totalmente los valores en todo el círculo unidad. Podemos expresar los valores de la función en los puntos interiores a través de una fórmula integral que involucra los valores del contorno.
60
Ejercicio: Encontrar la forma más general de la funciónanalítica f(z)
cuya parte real u(x,y)
es: u(x,y) = x2
- y2
- x.
Exigimos que se cumplan las ECR:yvx
xu
∂∂
=−=∂∂ 12
k(x)yxyxkdyxxkdyyvyxv +−=+−=+
∂∂
= ∫∫ 2)()12()(),(
ctekxkdx
xdkyxvy
yu
==⇒+−=∂∂
−=−=∂∂ )()(22
ikzzzfkyxyixyxyxivyxuzf
+−=
+−+−−=+=2
22
)()2(),(),()(
Integrando respecto a y:
Exigiendo que se cumpla la segunda ECR:
61
62
3. Demostrar que si f(z)
es analítica en un dominio D y |f(z)| es constante en D, entonces f(z) es constante en D.
222 ),(),(|)(| kyxvyxukzf =+⇒=
Derivando con respecto a x e y:
022)(022)( =∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
yvv
yuub
xvv
xuua
Multiplicando (a) por u y (b) por v:
0)(0)( 22 =∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
yvv
yuuvb
xvuv
xuua
63
Exigiendo ECR y sumando ambas ecuaciones:
0)( 22 =∂∂
+xuvuy
vxu
∂∂
=∂∂
xv
yu
∂∂
−=∂∂
Multiplicando (b) por u y restando (a) por v, tenemos: 0)( 22 =
∂∂
+xvvu
Si k2 = u2+ v2
= 0
entonces u = v = 0 ⇒ f(z) = 0 (cte)Si k ≠ 0
entonces ux
= uy
= vx
= vy
= 0 ⇒ u = cte, v = const ⇒ f(z) = cte
0)(0)( 22 =∂∂
+∂∂
=∂∂
+∂∂
yvv
yuuvb
xvuv
xuua
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65
Ejercicios:
(1) Demostrar el teorema de la derivada nula, que si f’(z) = 0
en todos los puntos de un dominio D,
entonces f(z) es constante en D. (Lo tienes resuelto en el siguiente par de transparencias).
(2) Demuestra bajo las mismas condiciones, lo mismo para Re(f), Im(f) o Arg(f)
constante en D.
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Puntos singularesUna singularidad o punto singular de f (z) es un punto zoen el cual f (z) no es analítica, pero es analítica en algún punto de todo entorno de z0 . (¿Posee f(z) = |z|2
singularidades?)
Tipos de singularidades:(1) Aislada: si existe un entorno para el que el único punto singular
es z0 . Si no podemos encontrar semejante entorno, la singularidad es no aislada. Si f(z) tiene un número finito de singularidades, todas serán aisladas.
(2) Evitable en z0 : si el límite cuando z tiende a z0 de f(z) es finito.(3) Esencial: es una singularidad que no es un polo (otro tipo de
singularidad que definimos a continuación) ni es evitable.(4) En el infinito: si g(z) = f(1/z) tiene una singularidad en z = 0,
decimos que f(z) tiene el mismo tipo de singularidad en el infinito.
70
Polos(otro tipo de singularidad)
Un polo de orden n de f (z) es un punto z0para el cual se cumple:
{ })()(lim 00
zfzz n
zz−
→
232)(
2
−+
=zzzf
P.ej. El punto z = 2 es un polo simple o de orden 1 de
porque { }{ } 032lim
)()2(lim2
2
1
2
≠+
=−
→
→
z
zfz
z
z
El límite existe y es diferente de 0.
71
Observa que el orden de un polo es la “potencia” del término ozz −
oz
)3)(4(2
122)( 2 +−
−=
−−−
=zz
zzz
zzf zo = -3, 4 son polossimples.
3)()(
izzzf+
= zo
= -i
es un polo de tercer orden.
22 )4()(
+=
zzzf [ ] 222 )2()2()2)(2(
)(iziz
ziziz
zzf−+
=−+
=
Esta función tiene 2 puntos singulares, polos de 2º ordenen z = -2i
y z = +2i.
72
Visualizing complex analytic functions using domain coloringHans Lundmark, Department of Mathematics (Linköping University, Sweden) http://www.mai.liu.se/~halun/complex/complex.html
2)( zzf =1)( −=if
i−
i
1−
1)( −=−if
i−
Mejor tener un patrón único en el plano w y observar qué patrón en el plano z nos llevaría a él.
73
Gradiente de color para el argumento en el plano w
Escala de grises para módulo en plano w
Combinación en el plano w.
Patrón de referencia en el plano w, al que hemos añadido una parrilla cuadriculada.
74
),(),()(
θθ rrzzf
→=
)2,(),()(
2
2
θθ rrzzf
→
=
)3,(),()(
3
3
θθ rrzzf
→
=
)4,(),()(
4
4
θθ rrzzf
→
=
i22 ±±Esquinas
Estos son los patrones en el plano z cuya imagen bajo las transformaciones f(z) acaban todas en el patrón de referencia.
Observa que un cero de orden k en z0 se reconoce porque los anillossombreados se acumulanen él y si recorremos un pequeño círculo a su alrededor en sentido antihorario cambiaremos cíclicamente de color (de amarillo a negro) k veces.
75
))(21()2()( 2 izizzzf +−−+=
izz
iz
−=−=+=2
21
Plano z. Esquinas: i33±±
(raíz doble)
Veamos el polinomio:
Ceros del polinomio:
76
Aquí hacemos la parrilla más apreciable. Recuerda que la imagen de esta cuadrícula distorsionada proporciona en el plano w
una parrilla con
cuadrados de lado 1. Observa que la transformación es conforme: los ángulos se preservan en la transformación, si dos curvas se intersectan con un ángulo determinado en el punto z0 , entonces sus imágenes bajo la transformación f se intersectan con el mismo ángulo en f(z0 ). Aquí estamos viendo el fenómeno en la dirección inversa.
Plano z. Esquinas: i33±±
La conformalidad se rompe en los puntos donde la derivada de f se hace 0, en los llamados puntos críticos de f. ¿Puedes encontrar esos puntos en la figura?
77
Nota sobre transformaciones conformes:
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80
Teorema de Lucas
Si f es un polinomio, entonces los ceros de su derivada f’ caen todos en el polígono convexo que tiene como aristas a los ceros de f.
En el ejemplo que nos ocupa, el polígono convexo es el triángulo de la imagen.
81
¿Cómo se ven los polos de una función racional bajo este esquema de color?Los ciclos de color van en dirección opuesta (Si recorremos en sentido horario van de negro a amarillo) y el valor absoluto crece hasta infinito a medida que nos aproximamos al polo (en lugar dede desvanecerse como ocurre al acercarnos a un cero).
zzf 1)( = 2
1)(z
zf =
Polo simple en z = 0. Polo de segundo orden en z = 0.
82
Veamos una transformación de Moebius o bilineal:
11)(
+−
=zzzf
Un cero en z = 1 y un polo simple en z = -1.
Plano z. Esquinas: i22 ±±
83
Funciones armónicas
u(x,y)
y v(x,y), las componentes de una función analítica, son funciones armónicas: cumplen la ec. de Laplace.
Partiendo dela ECR: x
vyu
yv
xu
∂∂
−=∂∂
∂∂
=∂∂ y
yxv
yu
yxv
xu
∂∂∂
−=∂∂
∂∂∂
=∂∂ 2
2
22
2
2
y
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yu
xu
Derivando respecto a x e y:
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yv
xvDerivando
respecto a y y x:
Suponiendo que sus segundas derivadas existen y son continuas (más adelante se demostrará que si f es analítica en z0
, u
y v
poseen parciales continuas de todo orden en ese punto):
84
Una función Φ(x,y) es armónica en un dominio si Φ(x,y) es C2 (i.e.: tiene derivadas parciales hasta el orden 2 y soncontinuas) y satisface la ecuación de Laplace en dicho dominio:
02
2
2
22 =
∂Φ∂
+∂
Φ∂=Φ∇
yxHemos visto que si f(z)
es analítica en cierto dominio, entonces su
parte real u(x,y)
y su parte imaginaria v(x,y)
son armónicas en dicho dominio (ambas cumplen la ecuación de Laplace).Dada una Φ(x,y) armónica en un dominio simplemente conexo D, existe una función analítica en D cuya parte real es Φ(x,y) y también existe una función analítica en D cuya parte imaginaria es Φ(x,y).Dada una función armónica u(x,y), parte real de una función compleja, decimos que v(x,y)
es la función armónica conjugada de u(x,y), si
u(x,y) + iv(x,y)
es analítica.
85
12y 2 −−=∂∂
=∂∂ y
yux
xu
Ejemplo:
Verificar que u(x,y) = x2
- y2
-
y es armónica en todo el plano complejo y encontrar la función armónica conjugada v(x,y).
02y 2 2
2
2
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
⇒−=∂∂
=∂∂
yu
xu
yu
xu
Si v(x,y)
es la armónica conjugada de u(x,y), entonces ambas cumplen las ECR:
12y 2 −−=∂∂
−=∂∂
=∂∂
=∂∂ y
xv
yux
yv
xu
86
k(x)xyxkdyxxkdyyvyxv +=+=+
∂∂
= ∫∫ 2)(2)(),(
cxxyyxv
cxxkdx
xdkyxvy
yu
++=⇒
+=⇒−−=∂∂
−=−−=∂∂
2),(
)()(212
c) i (z zzf c) x xy i (y - y x i v u f(z)
++=
+++−=+=2
22
)(2
xyv
xu 2=
∂∂
=∂∂
87
88
(a) Verifica que u(x, y) = x3 – 3xy2 – 5y es armónica en todo el plano complejo. (b) Encontrar la función armónica conjugada de la función u.
066
6 ,56 ,6 ,33 )(
2
2
2
2
2
2
2
222
=−=∂∂+
∂∂
−=∂∂−−=
∂∂=
∂∂−=
∂∂
xxyu
xu
xyuxy
yux
xuyx
xua
Cxyyxx,yv
Cxxhxhxhxyxv
xhyyxyx,v
xyyu
xv yx
xu
yvb
++−=
+==+=∂∂
+−=
+=∂∂
−=∂∂
−=∂∂
=∂∂
53)( :entonces Y
5)( ,5)(' ),('6
)(3) ( primera,laIntegrando
56 ; 33 )(
32
32
22
89Como veremos en el siguiente capítulo..
90
En el siguiente ejercicio se resuelve la misma cuestión de forma alternativa...
91
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93
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96
(a) v(x,y) = -x + k(b) -ex cos y + k(c) v(x,y) = [(y-1)2 - (x+1)2]/2 + k(d) v(x,y) = cos x senh y + k(e) v(x,y) = arg z + k(f) v(x,y) = kxye yx +− − )2cos(
22
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98
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100
101
102
Ejercicio:
Demostrar que si u
y v
son armónicas conjugadas mutuamente, entonces son funciones constantes.
Ejercicio:
Si u
es armónica conjugada de v
en un dominio D, entonces –u
es armónica conjugada de v
en D.
xyyxvyxyxuiyxzzf 2),(;),(;)()( 2222 =−=+==
v(x,y)
es armónica conjugada de u(x,y), pero que si intercambiamos ambas no es cierto. Es decir, que
22),(;2),();,(),()( yxyxvxyyxuyxivyxuzf −==+=no es analítica.
Ejercicio:
Demuestra que para
103
Nikolai Egorovich Zhukovskii (1847-1921)(o Zhukovsky o Joukowski)
La transformación de Zhukovsky
zzw 1
+=
Más general:
zazw
2
+=
La imagen de un círculo que pasa por z = 1 o z = -1 es una curva similar a la sección transversal de un ala de avión.
104
⎪⎩
⎪⎨⎧
−===
+22
2)(θπθ
θ
rr
rzzf
Puntos de ramificación y cortes de ramaPara univaluar la raíz cuadrada de z hagamos como en el caso real, tomando arbitrariamente una de las dos posibilidades:
0θrz ==)(zf 2
0θrw =
Si giramos siguiendo un camino continuo como muestra la figuratendremos:
πθ 20 += rz)(zf πθ
+=20rw
¡f(z) sufre una crisis de identidad!
105
Este camino continuono nos genera problemas.¿Cuál es la diferencia?Rodear el origen z = 0 parece ser lo que nos genera la crisis.
z = 0 es en este caso un punto de ramificación de la función raíz cuadrada.
¿Qué ocurre si damos dos vueltas alrededor del origen?
106
Decimos que z0 es un punto de ramificación de f(z) si el valor de f(z) no regresa a su valor original cuando trazamos una curva cerrada alrededor de él, de manera que f varía de forma continua a medida que recorremos la curva.
Observación: debe ocurrir para cualquier curva alrededorde z0 (lejana o cercana). La función no tiene por qué ser continua o existir en z0 .
107
¿Cuál es la región más grande posible sin crisis de identidad?
Para todos los puntos de la región R la raíz cuadrada está univaluada.
Deseamos una región, lo mayor posible, tal que no exista posibilidad de trazar un camino continuo y cerrado que contenga al origen en su interior: una rama.
Región infinitesimal alrededor del eje x positivo.
108
Univaluamos la función raíz cuadrada “cortando”el plano complejo a lo largo del eje real positivo.
Rama πθ 20 << πθπ <<−Rama Cortes de rama
A es un punto infinitesimalmente cercanoal corte por arriba. Y B por abajo. La funciónes discontinua a través del corte de rama.
Nota: El corte es totalmente arbitrario.
109
Hojas y superficies de RiemannEn la superficie de Riemann la función está univaluada. Cada rama corresponde a un piso (hoja de Riemman). Para el caso de la raíz cuadrada: las vueltas impares “tocan arriba” y las pares “abajo”.
110
Superficie de Riemann para f(z) = z1/3
f(z) = z1/n tendrán hojas de Riemann.
En particular si f(z) no posee puntos de ramificación, la superficie de Riemann coincide con el plano complejo C.
111
112
113
