Prefacio

¿Por qué las ñores del manzano tienen siempre cinco pétalos? Sólo los niños hacen esas pre­guntas. Son cosas a las que los adultos prestan poca atención, porque las dan por sentadas, como el hecho de que usemos sólo la cantidad de números que podemos contar con nuestros diez dedos. Sin embargo, cuando consideramos en profundidad los patrones de formación de la flor del man­zano, de una conchilla marina o de un péndulo oscilante, descubrimos una perfección y un orden tan increíbles, que se despierta en nosotros el mismo sentimiento reverencial que experimen­tábamos de niños. A lgo se revela que es infinitamente superior y, al mismo tiempo, parte de nosotros; lo ilimitado surge de los límites. >

Este libro repasa algunos de los procesos básicos formadlo res de patrones que, operando dentro de límites estrictos, crean variedades ilimitadas de formas y armonías. Se trata de una incursión interdisciplinaria en la tierra de nadie que se encuentra en las fronteras entre la ciencia, el arte, la filosofía y la religión; área ésta de la que se ha hecho caso omiso en los últimos años, en gran parte debido a que sus contenidos son intangibles. N o obstante, ella merece que se la investigue, pues los poderes que dan forma a nuestras vidas y a nuestros valores tienen allí su origen.

Como señala René Dubos en So Human an Animal (Un animal tan humano), esta era de pros­peridad y logros tecnológicos lo es también de ansiedad y desesperación. Los valores tradicionales, sociales y religiosos, han sido socavados hasta tal punto, que a menudo la vida parece haber perdi­do su significado. ¿Por qué la armonía evidente en las formas naturales no es una fuerza más poderosa en nuestras formas sociales? Quizás sea porque, en nuestra fascinación por nuestros pro­pios poderes de invención y logros, hemos perdido de vista el poder de los límites. Sin embargo, ahora nos vemos obligados a afrontar los límites de los recursos de la tierra y a encarar la necesi­dad de limitar la sobrepoblación, el megagobierno, las megaempresas, los megasindicatos. En todos los ámbitos de nuestra experiencia nos hallamos ante la necesidad de volver a descubrir las pro­porciones adecuadas. Las proporciones de la naturaleza, del arte y de la arquitectura nos pueden ayudar a hacerlo, pues ellas son limitaciones compartidas que generan relaciones armoniosas de las diferencias. De ese modo nos enseñan que las limitaciones no resultan simplemente restrictivas, sino creativas.

No es accidental que sea un arquitecto quien deba escribir tal libro, ya que es propio de los arquitectos trabajar con las proporciones. Este arquitecto es viejo. Le llevó toda una vida intentar responderse las preguntas que hacía de niño. Estas respuestas quizás no satisfagan a los expertos y tampoco la curiosidad ni siquiera de un solo niño, pero podrían llevar a formular nuevas y más provechosas preguntas sobre los enigmas y bellezas que esconden los patrones de formación y pro­porciones de este mundo.

Gyórgy Doczi Seattle, Washington

Agradecim ientos

Este libro no se habría podido terminar sin el apoyo paciente —aunque a veces no tanto, pero siempre sostenido y leal— de mi esposa. Muchos otros me ayudaron también: entre ellos se destacan mi hermano y mi hija, así como los miembros del Departamento de Arte y Música de la Biblioteca Pública de Seattle, Gerald Dotson, Marilyn West, Regina Hugo, David y Miriam Yost, David Tomlin- son, Dr. W em er y Margit Weingarten, Dr. Richard M. Braun, Donald Collins, Brian Brewer, RabbiJo- seph Samuels, John A. Sanford, John Fuller y el personal de Shambhala Publications, encabezado por Samuel Bercholz.

La investigación realizada para este libro se benefició enormemente con el acceso a las coleccio­nes de diferentes departamentos de la Universidad de Waslfíngton, Seattle, concedido por el Dr. Da­niel O. Graney de Estructuras Biológicas y el Dr. John Edwards de Entomología, y con el acceso a la colección del Thomas Burke Memorial Museum de la Universidad, concedido por Don Cobum, res­taurador sénior de esqueletos prehistóricos, por Bill Holm , curador de Arte Indígena de la Costa N o ­roeste y por el subdirector Robert Free.

El estudio de los animales acuáticos del Acuario de Seattle me fue facilitado por el curador gene­ral Dr. John W Nightingale y el estudio de los peces del Pacífico canadiense fue gentilmente asisti­do por el ministro de Suministro y Servicios de Canadá, profesor Donald J. Borror, sus coautores y editores, quienes me permitieron usar de modelo las ilustraciones de A Field Guide to the Insects (Guía de campo sobre insectos'), Houghton and Mifflin Co., y An Introduction to Insects ( Introducción a los in­sectos), Holt, Rinehart and Winston, para trazar mis propios dibujos de proporciones. Tom Colé, del departamento de Relaciones Públicas de la empresa Boeing me proporcionó dibujos en escala del 747. Quiero hacer llegar mi sincera gratitud a todos ellos y a muchos otros, no mencionados aquí. Soy el único responsable de los errores y desaciertos que, a pesar de la valiosa ayuda recibida, pue­dan haberse deslizado en este libro.

c a p í t u l o i : La dinergía e n las plantas

Se dice que Buda dio una vez un sermón sin pronunciar palabra: simplemente sostuvo una flor ante los presentes. El famoso “Sermón de la flor” fue quizás una prédica en el lenguaje de los pa­trones de formación, el idioma silencioso de las flores. ¿De qué habla el modelo de una flor?

Si la observamos detenidamente, hallaremos en ella una unidad y un orden comunes a todas las demás creaciones naturales y artificiales. Ese orden se puede apreciar en ciertas proporciones, que aparecen una y otra vez, y también en el similar y dinámico modo de crecer y de formarse de to­das las cosas: por la unión de opuestos complementarios.

La disciplina intrínseca en las proporciones y en los patrones de formación de los fenómenos naturales se manifiesta también en la mayoría de las obras humanas clásicas y armoniosas y eviden­cia el vínculo existente entre todas las cosas. Los límites de la disciplina nos permiten vislumbrar la armonía del cosmos y tomar parte en ella, tanto en lo que^se refiere al mundo físico como a nues­tro modo de vivir.

Tomemos la margarita, por ejemplo (figura 1). Los flósculos que constituyen el modelo del cen­tro (figura 2) —representados aquí por círculos— crecen en los puntos de contacto de los dos con­junto^ de espirales, que se mueven en direcciones opuestas, en sentido igual uno y contrario el otro al de las manecillas del reloj (diagrama central).

Aquí se han reconstruido dos de las espirales con la ayuda de una serie de círculos concéntri­cos, trazados a distancias que aumentan en escala logarítmica, y de una serie de lineas rectas irra­diadas desde el centro. Si unimos los puntos consecutivos de contacto de los dos conjuntos de lí­neas opuestas, veremos las espirales de crecimiento de la margarita. Tales espirales son logarítmi­cas y también equiangulares, pues el ángulo que forman con los radios es siempre el mismo. Eso se ilustra mediante el diagrama de la derecha, que describe cómo segmentos representativos de eta­pas consecutivas de crecimiento se pueden rotar alrededor del centro hasta solaparse por comple­to, como un abanico plegado, lo que demuestra que dichas etapas comparten los mismos ángulos y la 'misma proporción.

Fig. 2. Diagramas de una margarita. Las espirales generadoras que se mueven en direcciones opuestas son logarítmicas (centro) y equiangulares (derecha).

7 6 5 4321

L a d i n e r g í a d e l a s p l a n t a s 1

Fig. 3. La sección áurea en una de las espirales de la margarita. Cada etapa del crecimiento comparte las mismas proporciones (véanse los triángulos sombreados a la derecha).

En la figura 3, que muestra el despliegue de una de esas espirales, se puede ver qué proporciór es exactamente (diagrama de la izquierda). A medida que la espiral se despliega desde el centro de la margarita, aumenta en la misma proporción el orden del crecimiento, que se mide a lo largo de los radios equidistantes marcados E, F, G, H, I, J. Esto se comprueba en el diagrama triangular donde se han dispuesto en líneas verticales las partes de crecimiento antiguas y nuevas de cada eta­pa —marcadas con barras en el diagrama izquierdo—, los números consecutivos y también las A } las B. En el diagrama triangular, todos los puntos de contacto de las A y las B se encuentran en ls misma línea inclinada, que cruza las escalas verticales a distancias que miden 5 y 8, respectivamen­te. Los cocientes obtenidos de estos dos números se aproximan a ciertas características notablemen­te recíprocas: 5 dividido por 8 da un resultado cercano a 0,6 (0,625); también lo da 8 dividido po¡ 5+8, ó 13 (0,615). Inversamente, 8 dividido por 5 da 1,6 y 13 dividido por 8 nuevamente produ­ce un resultado próximo (1,625), y estas últimas dos razones son iguales a las primeras con el agre­gado de 1 o de la unidad.

Expresado en forma de ecuación: A:B = B:(A+B). Es la fórmula de la célebre sección áurea, rela­ción recíproca exclusiva entre dos partes desiguales de un todo, en la que la parte pequeña es a le parte mayor lo que ésta es al todo.

El nombre sección áurea (de oro) se debe tanto a la singularidad de esta relación proporciona' como al valor característico que se le atribuye. En cualquier línea existe un solo punto donde se la puede dividir en dos partes desiguales de este modo singularmente recíproco; se lo llama e. punto de la sección áurea. La total reciprocidad de esta proporción nos impacta, en particular poi

2 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

2 5 3 8 6 119 1412

A ■>- B

A : 8 = Bi(A-rB) = 0.618...

5'-0 — 0 62S-; & ; / i = 0 . 6 l £ 8 - S - I . 6 ; I 3 i B = I . S Z

Fig. 4. Aproximación de un rectángulo áureo (5:8).

armoniosa y placentera, lo cual ha sido demostrado desde fines del siglo xix1 por numerosos expe­rimentos científicos. También es evidente la preferencia por esta proporción en la normalización de los tamaños de papel, incluso del papel moneda, los cheques y las tarjetas de crédito2, que tienden a reproducirla.

La figura 4 muestra un rectángulo áureo (relación 5 a 8) y una línea dividida en dos segmentos áureos, A = 5 y B = 8, con arcos que enfatizan la reciprocidad de esas relaciones.

Esta reciprocidad se ilustra, además, con uno de los trazados clásicos de la sección áurea, a par­tir de un cuadrado inscrito en un semicírculo (figura 5). El círculo cuyo centro es la mitad de la ba­se del cuadrado y cuyo perímetro pasa por las esquinas opuestas del cuadrado (radio r) genera pro­porciones de la sección áurea a ambos lados de la extensión de la línea de base.

Si la longitud de los lados del cuadrado es igual a 1, la de cada extensión será 0,618 y resulta­rán áureos los rectángulos de 1 x 0,618 formados a cada lado del cuadrado. Cada uno de ellos com­binado con el cuadrado formará un rectángulo áureo mayor de 1 x 1,618. Estos rectángulos mayo­res son recíprocos de los menores: el lado mayor de los rectángulos menores es el lado menor de los mayores. La longitud total de esos rectángulos áureos recíprocos será 2,236 = \Í5.

Con frecuencia se ha demostrado que las proporciones de la sección áurea aparecen comúnmen­te en los patrones del desarrollo orgánico, en particular entre los crecimientos antiguos y nuevos, que se hallan cerca unos de otros. Ésa es la razón por la que el biólogo C. H. Waddington propu­so llamar a esta proporción parentesco de vecinos3.

Los patrones generados por espirales que se despliegan en direcciones opuestas nos interesan aquí como ejemplo particular de un proceso general de formación según un modelo: la unión de opuestos complementarios. Sol y Luna, masculino y femenino, electricidad positiva y negativa, Yin y Yang... desde antiguo, la unión de los opuestos ha sido un concepto importante en las mitologías y en las religiones fundadas en misterios. Las dos partes que constituyen las proporciones de la sec­ción áurea son desiguales: menor y mayor, los opuestos unidos en una proporción armoniosa. El proceso mismo por el cual se reconstruyó el patrón de crecimiento armonioso de la margarita es, del mismo modo, la unión de opuestos complementarios: radios rectos y círculos rotatorios.

Muchas palabras se refieren a distintos aspectos del proceso de formación según el modelo de unión de los opuestos, pero aunque resulte extraño, ninguno expresa su poder generativo. Polari­dad implica los opuestos, pero no indica el nacimiento de algo nuevo. Dualidad y dicotomía seña­lan la división, pero no aluden a la unión. Sinergia indica unión y cooperación, pero no se refiere específicamente a los opuestos.

Ya que no existe un único término adecuado para describir este proceso universal de creación en base a determinado modelo, proponemos una nueva palabra: dinergía, compuesta por los voca­blos griegos, dia, “de un lado al otro, a través, opuesto” , y “energía” .

Fig. 5. Construcción clásica de la sección áurea, con el cuadrado dentro del semicírculo. Los rectángulos de 1 x 0,618 y de l x l , 618 son rectángulos áureos recíprocos.

L a d i n e r g í a d e l a s p l a n t a s 3

Ventanas al infinito

El centro del girasol (fig. 6) también se compone de flósculos que se convertirán en semillas, que también crecen en espirales logarítmicas y equiangulares y se mueven en direcciones opuestas, unidas dinergética'mente como en el caso de la margarita. En el dibujo del modelo, las pirámides pequeñas se asemejan a las formas de las semillas. Las espirales formadas por este patrón de las se­millas se presentan en detalle en la figura 7. El diagrama a muestra que las espirales A y B son los contornos de las semillas y que C y D son sus diagonales.

Si uno sigue las diferentes curvaturas de esas espirales a través de los cuadrados formados por los conjuntos de líneas de irradiación y rotación del diagrama a, puede ver que la espiral A se mue­ve de un círculo al siguiente y también de un radio al siguiente, dentro de una única fila de cua­drados. Llamaremos a eso curvatura de 1:1, lo cual significa que los componentes de crecimiento en rotación e irradiación son iguales. La espiral B atraviesa dos cuadrados para llegar de un radio al siguiente, cruzando dos círculos: curvatura de 1:2. C tiene una curvatura 3:1 y D se aproxima a 5:1.

A pesar de las diferencias de curvatura, todas estas espirales comparten la cualidad de ser loga­rítmicas y equiangulares en todas las etapas del crecimiento. Tales etapas se presentan en el diagra­ma b, marcadas en cada espiral mediante letras minúsculas. A la derecha, el diagrama c de la espi­ral muestra, respecto del ejemplo del tipo de espiral C, cómo los sucesivos segmentos de crecimien­to, que se continúan uno a otro en orden cíclico, se pueden plegar como abanico uno sobre el otro, tal como la margarita. Esto demuestra que son de la misma forma aunque diferentes tamaños y que comparten el mismo cociente proporcional de crecimiento. En el diagrama d se muestra que tal proporción nuevamente es la de la sección áurea.

Fig. 6 . El girasol y el modelo de patrón de las semillas.

aFig. 7. Espirales típicas del patrón de las semillas del girasol.

4 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

lea[ Fig. 8 . Salida impresa de computadora de la propor­

ción 4» de la sección áurea y de la serie de Fibonacci.

Los números que representan la vecindad de etapas antiguas y nuevas de crecimiento demues­tran ser miembros de una serie sumatoria, en la que cada número es la suma de los dos anteriores: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, etc. Esta es la famosa serie de Fibonacci, asi llama­da por el sobrenombre de Leonardo de Pisa, quien hace aproximadamente ochocientos años la in­trodujo en Europa, junto con los números indo-arábigos y el sistema decimal. Cualquier número de esta serie dividido por el siguiente da un resultado cercano a 0,618... y cualquier número divi­dido por el anterior, un resultado cercano a 1,618... , es decir los cocientes proporcionales caracte­rísticos entre las partes menor y mayor de la sección áurea. Con frecuencia se usa la letra griega “phi” (4>) para representar literalmente esta proporción.

Los tres puntos que siguen a continuación de los números indican que éstos son “irracionales”, así llamados porque sólo pueden ser aproximados y nunca se expresan por completo en una frac­ción. Se puede seguir dividiendo sin fin cualquier par de números vecinos —después del 13—. Una computadora de IBM produjo una vez 4.000 dígitos de este número y en ese momento se la inte­rrumpió sin haber obtenido un número racional. La impresión (Tig. 8) fue detenida en el cuadragé­simo quinto lugar después de la coma decimal.

Existen constancias de que los pitagóricos de la Grecia antigua, a quienes se les reconoce el mé­rito de haber descubierto, en el siglo vi a.C., la naturaleza infinita de los números irracionales, ex­perimentaron tal sorpresa, temor y reverencia ante su descubrimiento, que trataron de mantenerlo en secreto y decretaron la pena de muerte para quienes osaran divulgarlo. La leyenda sostiene que alguien que había violado esa prohibición logró escapar al mar, pero que allí se ahogó. Su muerte se atribuyó al castigo divino.

Curiosamente, los números de la serie de Fibonacci reaparecen en la cantidad total de espirales del girasol. El modelo de la figura 6 fue hecho a partir de una cabeza de girasol que tenía 34 y 55 espirales: 34:55 = 0,6181818... También existe información sobre girasoles con 89 y 144, y 144 y 223 espirales opuestas; 89:144 = 0,6180555... ; 144:233 = 0,6180257...

No se debe temer la venganza de los dioses por experimentar una suerte de reverencia ante tan inesperada precisión en el patrón de crecimiento natural. Parece poco razonable creer que la can­tidad de semillas de un girasol esté predeterminada, sin embargo, eso es exactamente lo que suce­de. Los números irracionales no son irrazonables; únicamente están más allá de la razón, en el sen­tido de que transcienden el alcance de los números enteros. Son infinitos e intangibles. En los pa­trones de crecimiento orgánico, la proporción irracional 4» de la sección áurea revela que existe en efecto un lado infinito e intangible de nuestro mundo.

Ver un mundo en un grano de arena y el cielo en una flo r silvestre, contener el infinito en la palma de la mano y La eternidad en una hora.'1

W illiam Blake

isol.L a d i n e r g í a d e l a s p l a n t a s 5

Fig. 10. Flores de manzano, manzanas y peras, y frambueso de Logan % .

Cada margarita y cada girasol es una ventana al infinito, como también lo son las ñores del man­zano y las de los demás árboles y arbustos que producen frutos comestibles. Ellos crecen de acuer­do con el patrón de formación del pentágono y su extensión, la estrella pentagonal o pentágrafo (fig. 9), en la que las líneas de vecindad se vinculan entre sí, según relaciones áureas y dinergéticas entre vecinos. Si se cortan horizontalmente las manzanas y las peras, revelan en la distribución de sus semillas el patrón de estrella pentagonal heredado del patrón original de la flor (fig. 10).

Cada uno de los triángulos de la estrella pentagonal tiene dos lados iguales que se relacionan con el tercero como el 8 con el 5 ó 1,618 con 1... Esas relaciones recíprocas se pueden ver cuando el pentágrafo se combina con la construcción de la sección áurea, tal como en la figura 11, crean­do un rectángulo de V5, que consiste en rectángulos áureos recíprocos. Los lados del rectángulo menor son idénticos a los del triángulo del pentágrafo.

4" ra* ■-4- 4- - o-625 ~ o e/e0 9

(Los ex«*e+os A ctA»\ rec+<3 <Ae TSso -.'iZ3 á2Cry7|ísT- +0,r)

Fig. 11. Pentágono, pentágrafo, triángulo de Pitágoras y sección áurea.

sección áurea.

Fig. 9. Pentágono y pentágrafo que muestran el triángulo de Pitágoras y las proporciones de la

’

Los lados de un triángulo rectángulo (con diez triángulos se forma el pentágono) también se aproximan a las relaciones áureas dinergéticas entre vecinos. Tal como se muestra dentro de la es­trella pentagonal, esos lados son cercanos a las longitudes de 3, 4 y 5 unidades, y el 3 y el 5 son miembros vecinos de la serie de Fibonacci (3:5 = 0,6). A este triángulo 3-4-5 a veces se lo denomi­na triángulo pitagórico, porque ilustra el teorema de Pitágoras (el cuadrado de la hipotenusa del triángulo rectángulo es igual a la suma del cuadrado de los catetos). Ese triángulo con frecuencia se halla en los patrones de las plantas, como lo muestra la figura 12.

La estrella pentagonal fue el emblema sagrado de la hermandad pitagórica, formada por hom­bres y mujeres que vivían en comunidades y se abstenían de toda forma de lujuria, consagrados a una vida de moderación y a la práctica de la curación. Los pitagóricos aplicaban las letras del nom­bre “Hygeia” , diosa de la curación, a los vértices de su sagrado emblema. La estrella de cinco pun­tas se ha conservado como símbolo universal de buen augurio y aparece en las banderas naciona­les de muchos países5.

El pentágono y el pentágrafo, como todos los patrones de formación, se definen por sus límites. Incorporados en los armoniosos patrones de las frutas y Mí flores ejemplifican un epigrama atribui-

Fig. 12. El triángulo 3-4-5 de Pitágoras en las plantas. do a Pitágoras: “el límite da form a a lo ilimitado”. Ése es el poder de los límites.

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secín ¿Ae CTvolUus íüuvopeus) CcíAvo crt\evv\o ¿Ae CTKuJopsls Do) y

L a d i n e r g í a d e l a s p l a n t a s 7

Las armonías de la música y del crecimiento

En general, por armonía entendemos la unión adecuada, ordenada y agradable de diversidades, que en sí mismas pueden albergar muchos contrastes. En ese sentido, la armonía es una relación dinergética, en la cual elementos diferentes y a menudo contrastantes se complementan entre sí a través de la unión. El origen mismo de la palabra armonía, del griego harmos, unir, sugiere que tai unión dinergética está presente en el corazón de todas las armonías.

El concepto de armonía también se remonta a Pitágoras, quien, según la leyenda, la descubrió al oír el sonido de martillos provenientes de diferentes yunques, en el taller de un herrero. Esta obser­vación lo guió por analogía a otros instrumentos, como las vibrantes cuerdas de una lira. Descubrió que dos cuerdas juntas sonaban más gratamente cuando eran iguales o cuando una se pulsaba a 1/2, 2/3 ó 3/4 de la longitud de la otra; en otras palabras, cuando la longitud de las cuerdas pulsadas se relacionaba en proporciones expresables en los números enteros mínimos; 1, 2, 3, 4 (fig. 13).

La proporción 1:1, que es la identidad, se llama unísono. La proporción 1:2, que produce el m is­mo sonido que la cuerda entera, sólo que más agudo, se llama octava (do-do), porque se llega a él a través de ocho intervalos de la escala (las ocho teclas blancas del teclado). Los griegos llamaban a esta proporción diapasón: dia, “a través” , y pason, de pas o pan que significa “todo” . El grato soni­do de la proporción 2:3 se llamó diapente (penta, “cinco”), denominado hoy quinta (do-sol), pues se llega a él a través de cinco intervalos. La consonancia de la proporción 3:4 se llamó diatéssaron (tés- sares, “cuatro”) o cuarta (do-fa).

La proporción 2:3 = 0,666 del diapente es una aproximación cercana a la proporción 0,618... de la sección áurea. El diatéssaron es idéntico a la proporción 3:4 del triángulo de Pitágoras. El diapasón, la octava, tiene la proporción 1:2 = 0,5 de un rectángulo compuesto por dos cuadrados iguales y una diagonal de V5, que es la longitud unida de los dos rectángulos aúreos recíprocos (fig. 14).

enVe-e* utu-Hn

Fig. 13. Armonías musicales fundamentales de la cuerdas vibrantes y percutibles (teclados).

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8 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Fig. 14. Equivalentes visuales de las armonías musicales pitagóricas y la construcción de la sección áurea.

¿Aos v-ecVán^ulos veos vecípvocros o “b ien , un c u ^ v a íAo v*A<ás «Aos veoK á n^tOos áu reos.Di<?vpenl-e o Z:3 c o rv e sp o ^ e ¿n los

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Dldntóssw on o '3:4' cowespon<Ae los f-vlán^ulos ¿Ael penVá^ono, ¿npvoxIwncTV Aos p o v t\ v \ W l á n ^ i O o < A e ' 3 - 4 — S " . 3 : 4 - =■ 0 / 7 S " .

Un<?v v*\£n.nev¿n. ¿Ae consWtA.lv )c\ pvop«vcrI6v\ <Ae )¿\ sección ¿n.úve¿n €h uh ^ líne<?\ v-ecfín (vécese, el ¿AI¿n v¿nv*A¿?\. ¿n 1 ¿a <AevecU<?\) cowespon¿Ae <sn l n. ¿n.vv*\onr<?\ ¿Ae ¿Ai^npcnsón. Un crívcrtAlo W¿>iz.¿n<Ao ¿Aes<Ae el punVo 0, con un v¿*i¿Aio ¿Ae 1 esK^Ooleere el punt-o X en l¿n. ¿Aií^on^l 0 I- 02L. Un se^un^Ao cfvcrulo cok cehW o <3Z y v^cAIo 0Z-X ¿Aivi¿Ae en ¿Aos 1¿>\ “bense ¿Ael v e c f á v

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/ 0.618

sección áurea.

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1 0 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Si ahondamos más en el rol que cumple la dinergía en las armonías musicales, hallar las proporciones 1:2, 2:3 y 3:4 reaparecen en los primeros y más fuertes armónicos, tambi dos parciales o componentes, que reverberan dentro de cada sonido musical, combinánd< fundamental, como si simultáneamente se pulsaran más cuerdas invisibles, que acompafu plementan el sonido fundamental. Esta unión dinergética de la armonía y el sonido funda lo que da a los sonidos musicales plenitud, vitalidad y belleza —se lo llama timbre— y lo qt tingue del mero ruido, que carece de tal armonía dinergética entre diferentes sonidos E. nía dinergética se puede representar gráficamente, como en la figura 15, donde se han cc los diagramas de las cuerdas vibrantes de la figura 13. (La pequeña diferencia entre la pi 2:3 = 0,666 de la quinta y la proporción exacta de la sección áurea, 0,618:1 = 0,618, es 0 cada d en el dibujo). Este tipo de diagrama, que tomamos prestado de las armonías diner; las cuerdas vibrantes, se usará a lo largo de todo el libro para ilustrar ejemplos similares di ciones igualmente armoniosas.

Si miramos el patrón del teclado de la figurá'16, reconoceremos sus proporciones arm áureas: hay 8 teclas blancas, 5 teclas negras y ellas aparecen en grupos de 2 y de 3. La sen es, por supuesto, el comienzo de la serie de Fibonacci, y las proporciones de todos esos gravitan hacia la proporción irracional y perfectamente recíproca de 0,618 de la sección í

Nuestras escalas y acordes diatónicos occidentales se suman a los ejemplos de las prof 1:2, 2:3 y 3:4, en la dinergía de las armonías musicales. Las dos modalidades principales < calas occidentales, la menor (considerada triste) y la mayor (asociada con la brillantez) clifi de otra únicamente en la longitud de los pasos entre ciertos intervalos, tal como las partí y mayor de la sección áurea difieren entre sí sólo por sus longitudes. Y tal como la unión d tes menor y mayor nos deleita en las armonías visuales de la sección áurea, así también la las escalas menor y mayor, llamada modulación, nos encanta cuando la oímos en el fluir di y melodías.

Tanto la escala menor como la mayor tienen, cada una, sus propias variantes —llamadas c tes y subdominantes— con sus propios conjuntos de acordes; y la relación de éstos con su partidas tónicas nuevamente se ajusta a las proporciones antes mencionadas. La dominante tervalo de quinta desde la nota clave (la primera nota de la escala) y la subdominante, el d

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\ "\ /Fig. 16. Proporciones áureas del teclado.

3 que ama- on el com- tal es ; dis- rmo- nado rción mar- as de >por-

sas y 3:5:8 íeros t.

ones .s es- . una enor par- n de irdes

nan- ntra- ■1 in- arta.

Fig. 17. Proporciones armónicas de la hoja de lila.

Trascenderíamos los límites de esta presentación —y también los de la pericia del autor— si ahon­dáramos en más detalles sobre la dinergía y las analogías de las proporciones visuales en las armo­nías musicales. Sin embargo, debe mencionarse un ejemplo más: el contrapunto. En el contrapun­to, la unión dinergética unifica y complementa mutuamente dos o más líneas musicales diferentes y por lo general contrarias, permitiéndoles conservar al mismo tiempo su propia identidad, de un m odo muy similar al de las espirales unidas dinergéticamente que crean armonías visibles en la margarita y el girasol6.

Profundicemos ahora en el crecimiento de las plantas, a la luz de lo que hemos visto sobre la ar­monía musical. La figura 17 es un calco del dorso de una hoja de lila, obtenido por frotamiento. El diagrama B muestra que las distancias entre los puntos iniciales de las nervaduras se agrupan en un orden armónico a lo largo del nervio medial, como los tubos del órgano. Las distancias entre las nervaduras consecutivas marcadas de 1 a 10 en el diagrama C forman una serie similar. Esas dis­tancias y sus agrupamientos se han alineado por pares de vecindad en el diagrama D. Sus relacio­nes proporcionales caen dentro de los estrechos límites del cociente proporcional de 0,618... de la sección áurea, aproximadamente por 5:8 = 0,625 (línea de guiones y puntos) y la proporción 3:4 = 0,75 del triángulo 3-4-5 del pentágono pitagórico, que corresponde a las armonías musicales de diapente y de diatéssaron.

Las relaciones revelan patrones de crecimiento armoniosos y dinergéticos, en el sentido de que todas las menores y mayores (nervaduras y ramas grandes y pequeñas) se unifican con sus vecinas en proporciones limitadas a los cocientes de los mismos números enteros mínimos que crean las armonías fundamentales de la música. Procesos de crecimiento igualmente dinergéticos y armonio­sos se pueden observar en la formación de otras hojas que no sean de lila.

Sil

L a d i n e r g í a d e l a s p l a n t a s 1 1

B. Planta a m a ra n tá c e a

C. B e g o nia

D. A rc e ja p o n é s

Fig. 18. Reconstrucción de contornos de hojas.

En la figura 18 se reconstruyeron los contornos de una selección aleatoria de hojas, con el mé­todo dinergético de combinar líneas de irradiación y de rotación. Si estos patrones se miran, no co­mo figuras estáticas sino como trazos del proceso dinergético que les dio existencia, los contornos de esas hojas se convierten en su historia, relatada en el idioma silencioso de los patrones de for­mación.

Los contornos de la hoja del rododendro (A ) comienzan a partir del pecíolo en el centro, con dos círculos crecientes, que se mueven de un radio al siguiente. Este ritmo aumenta a tres radios en el espacio intermedio, sólo para reducirce nuevamente a dos, cerrando con aproximadamente 1 1/3 en la punta de la hoja. Ésta es la historia de vida del patrón de la hoja lanceolada.

La hoja redondeada u orbicular de las plantas amarantáceas (B) es producida por un patrón di­ferente. El contorno comienza cruzando cinco círculos, al tiempo que se mueve del primer radio al segundo, y este ritmo disminuye gradualmente a tres y después a dos círculos, reduciéndose por último a uno en la maduración.

Las dos mitades de la hoja de begonia (C ) se desarrollan en proporciones diferentes, haciéndo­la asimétrica de un m odo característico. No obstante, exisfén otras variedades de patrones armóni­cos creados por proporciones de desarrollo diverso, como la hoja quinquefoliada del arce japonés (D), las hojas lobuladas del geranio (E) y la hoja de la planta de uva Concord (F). En estos últimos dos patrones, sólo se han reconstruido los contornos envolventes, aunque es muy probable que los detalles de los componentes se puedan trazar de m odo similar. Por último, la hoja cordada de la li­la (G ) comienza moviéndose a través de cuatro círculos dentro del espacio de los primeros dos ra­dios, se reduce después a tres, a dos y a uno, sólo para manifestar un último impulso heroico cre­ciendo tres círculos antes del final.

Son sólo unos pocos ejemplos de contornos de hojas, que rastrean procesos de formación de patrones similares a los que dan forma a las margaritas, a los girasoles, a las flores de los frutos co­mestibles y a las armonías musicales. Indican que las mismas armonías dinergéticas que deleitan nuestros ojos en las formas de las hojas y de las flores también encantan nuestros oídos en los acor­des y las melodías de la música.

Este capítulo se ha extendido a lo largo y a lo ancho, siguiendo el rastro de la dinergía, la ener­gía creadora del proceso que transforma las discrepancias en armonías, permitiendo que las dife­rencias se complementen mutuamente. La dinergía cumple este cometido por el poder de ciertas proporciones —análogas a las armonías musicales fundamentales— conocidas desde la antigüedad, entre las cuales se destaca la sección áurea.

El poder de la sección áurea para crear armonía surge de su exclusiva capacidad de aunar las di­ferentes partes de un todo de modo que, conservando cada una su propia identidad, las combina no obstante en el patrón mayor de un todo único. El cociente de la sección áurea es un número irracional e infinito que sólo puede ser aproximado y, sin embargo, tales aproximaciones son posi­bles incluso dentro de los límites de los números enteros mínimos. Este reconocimiento produjo en los antiguos pitagóricos un temor reverencial: percibieron en él el poder secreto del orden cósmi­co. Dio origen a su creencia en el poder místico de los números. También llevó a sus esforzados in­tentos de realizar las armonías de tales proporciones en los patrones de la existencia cotidiana, ele­vando, de este modo, la vida al nivel del arte.

L a d i n e r g í a d e l a s p l a n t a s 1 3

ca p ítu lo 2: La dinergía en las artesanías

Fig. 19. Construcciones dinergéticas de la red de una araña que une las líneas rectas y radiantes con las rotati­vas y espírales.

Las arañas que tejen en órbitas construyen sus telas a partir de hebras rectas que unen en u centro. Luego dan vueltas alrededor de esas hebras rectas hilando otras y rotando en órbitas cad vez más amplias (fig. 19).

Los tejedores de cestas realizan su oficio de acuerdo con un patrón dinergético similar. Primer unen en un punto cierta cantidad de varillas firmes —la urdimbre— que será el centro de la cesta (fij. 20). Luego pasan otras fibras más flexibles —la trama— por encima y por debajo de las primeras, e sentido rotativo. Un rollo firme pero flexible ocupa el lugar de la urdimbre recta, en el caso de gs Iones cosidos en espiral, y el material fino de la trama enhebrado en la aguja une la vueltas del re lio con costuras rectas irradiadas desde el centro (fig. 21): Debido a la naturaleza dinergética de ec te proceso de elaboración, los contornos de la cesta sé pueden reconstruir con facilidad, como le de las hojas y las espirales del girasol y la margai^fca.

En la figura 23 se han reconstruido dos sombreros (fig. 22) tejidos por tribus indígenas nortes mericanas de la región noroeste, sobre el Pacífico. Los triángulos sombreados muestran etapas su cesivas del proceso dinergético de elaboración, al igual que las etapas sucesivas del crecimiento d las plantas. El emplazamiento de los centros de las dos espirales que generan el contorno curvo n es azaroso. En la forma A, ambos coinciden con el centro de la corona del sombrero. En la form B, se encuentran en los puntos de sección áurea de dos cuadrados que están encima del sombrer- y son idénticos a los dos que lo contienen. (Véanse las construcciones de la sección áurea y los día gramas de ondas).

Se podría caer en la tentación de atribuir a la casualidad ese orden oculto, pero la frecuencia es que aparece resulta extraordinaria. Catorce de esos sombreros se midieron en el Burke Memoria Museum de la Universidad de Washington, ocho del tipo A cóncavo y seis del tipo B convexo, y to das las medidas —en variados grados y de diferente m odo— son cercanas a las proporciones de l sección áurea y del triángulo pitagórico y, respectivamente, también a las armonías musicales a diapente-quinta y de diatéssaron-cuarta.

El patrón proporcional —común entre varios pueblos Nootka— de los sombreros cóncavos (tip< A ), tejidos de corteza de cedro y yuca por las mujeres Makah, presenta más variaciones de la diner gía áurea.

Fig. 21. Galón cosido en espiral, con trama y urdim­bre flexibles. La trama se cose entrelazada en líneas radiantes alrededor de la urdimbre, que adopta la forma de un rollo espiralado.

Fig. 22. A. Sombrero cóncavo tejido de corteza de cedro y yuca por los Makah y otros pueblos Nootka.

B. Sombrero convexo de raíces de picea, muy común entre los pueblos Tlingit, Flaida y Kwai

Fig. 20. Dinergía de la cestería. Varillas rectas forman la urdimbre que sustenta las hebras de la trama.

14 E L P O D E R D E L O S L Í M I T E S

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23. Sombrero tejido reconstruido mediante procesos de trazado de lineas radiales y rotativas.

Fig. 24. Análisis proporcionales de formas de los sombreros tejidos de tipo cóncavo A

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TLa figura 24 muestra cuatro de esas relaciones con construcciones de la sección áurea alrededor

de un sombrero alto y de uno bajo. La forma general del primero se encuadra con exactitud en un solo rectángulo áureo (1-2-3-4), en tanto que el segundo, en dos (5-6-7-8 y 6-7-9-10).

Se tabuló la relación proporcional entre las partes vecinas A y B de los ocho sombreros tipo A (fig. 24, abajo). Nuevamente, la construcción clásica de la sección áurea alrededor de las formas muestra la cercanía entre unas y otras proporciones. Son tan pequeñas las diferencias entre los coe­ficientes logarítmicos reales y los teóricamente exactos, que hubo que exagerarlas para que resulta­ran visibles.

La figura 25 muestra dos típicos ejemplos, muy comunes entre los pueblos Tinglit, Haida y Kwakiud, del sombrero convexo tipo B tejido con raíces de picea. Se midieron tres de cada tipo. El sombrero chato tiende a reproducir las proporciones áureas y el más alto, las 3:4 del triángulo pi­tagórico. Esto se aprecia en las líneas punteadas que conectan los extremos opuestos de los diáme­tros superior e inferior y que coinciden —en los tipos.chatos— con las diagonales de un rectángulo áureo. En los sombreros altos, en cambio, son idénticas'al lado mayor (hipotenusa) del triángulo pitagórico. La exactitud de tales proporciones se comprueba en la tabulación y el diagrama y, ade­más, en la construcción de la sección áurea trazada encima del sombrero chato.

Las armonías de estos patrones resultan también evidentes en la correspondencia de ambas for­mas con la estrella pentagonal, donde la forma más alta se encuadra con precisión en los triángu­los pitagóricos contenidos en el pentágono central y la forma chata se alinea con los triángulos de los extremos del pentágrafo.

Las líneas de estos sombreros sugieren la sinuosa energía del arco tensado y las graciosas curvas de los contornos de la flor y la hoja. Tales armonías y proporciones dinergéticas brotan de las ma­nos de estos cesteros ágrafos con la misma naturalidad con que los arcos se curvan y las plantas cre­cen. Y la cestería no es la única artesanía que prueba la veracidad de esta afirmación.

Urdimbre y trama

El tejido de telas es un proceso dinergético como la cestería aunque, a diferencia de ésta, las he­bras de la urdimbre y la trama se extienden en líneas rectas, sostenidas uniformemente las prime­ras dentro de un bastidor y entrelazándose las segundas por encima y por debajo de ellas (fig. 26).

Es evidente que los tejedores de las diferentes culturas prefieren las mismas proporciones armo­niosas simples que los cesteros. Las proporciones de un rectángulo áureo aparecen en la forma ge­neral de una alfombra prusiana oriental (fig. 26) y en los reiterados diamantes del patrón de un te­jido mejicano (fig .27).

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Fig. 25. Análisis proporcional de los sombreros tejidos de tipo convexo B.

1 6 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

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Fig. 26. Alfombra campesina de Prusia oriental.

Fig. 27. Patrón de tejido mejicano.

Los pueblos indígenas norteamericanos del noroeste muestran la misma preferencia en sus man­tas ceremoniales tejidas con maestría, ajustándose a las proporciones tanto en la forma general co­mo en la articulación del diseño, que las reproduce coherentemente hasta en sus mínimos detalles. La figura 28 muestra variantes áureas en el borde de una manta Chilkat. Esas proporciones relacio­nan los lados cortos con la mitad del ancho y la mitad de la altura media, dimensiones que por lo general son iguales en estas mantas. Otra vez se señala con la letra d la diferencia mínima entre los coeficientes 4> exactos y los reales de la manta. Aunque los lados cortos de estas mantas permiten envolverlas adecuadamente alrededor del cuerpo, las dimensiones de los lados nunca son arbitra­rias. Los diecisiete ejemplos examinados dieron resultados cercanos a las mismas proporciones.

En cuanto a su patrón pictórico, por lo general se articula como un panel central más amplio, flanqueado por dos laterales más angostos, como en el ejemplo que se muestra. La construcción de la sección áurea sobre la manta muestra que también es áurea la relación entre el ancho de los dos elementos vecinos desiguales —D y E— y que la forma general se encuadra en dos rectángulos áu­reos recíprocos (1-2-3-4 y 3-4-5-Ó), que conjuntamente .generan el conocido rectángulo de V5.

L a d i n e r g í a e n l a s a r t e s a n í a s 1 7

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Fig. 29. Proporciones ovoides del arte indígena del noroeste de Estados Unidos.

Las mismas proporciones se extienden a los detalles, por ejemplo, los ojos u ovoides similar? a ojos, característicos del arte indígena norteamericano del noroeste. Sólo aparecen excepcione cuando los diseños se adaptan para llenar un espacio disponible.7

La figura 29 muestra un diseño de “cabeza de trucha asalmonada” (A ) encuadrado en un rec tángulo de V3 (correspondiente a la armonía musical de octava o diapasón), formado por dos re< tángulos áureos recíprocos, el mayor de los cuales contiene el ojo. El diseño típico del ojo (B ) con parte las mismas relaciones entre la forma del ovoide interior —que representa el blanco del ojo— el tamaño del iris. Las variantes de elaboración del ovoide interior también revelan la preferenc: por relaciones áureas entre vecinos, como se muestra en los detalles C, E, F, G, J y K. Dos variar tes —D y H— combinan un cuadrado con dos triángulos pitagóricos 3:4.

U ll 1 8 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Manos y ruedas

Las manos del alfarero presionan la arcilla hacia el centro de la rueda, mientras ésta gira, pr< porcionando así la dinergía que da forma a la vasija.

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Fig. 30. Jarrón de cerámica china Lung Chuan (dinastía Sung, 960-1279).

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FiS- 31. Derivación dinergética y proporciones del jarrón Lung Chuan.

La figura 30 muestra un jarrón de cerámica china^Ij-ung*Ghuan, de la dinastía Sung (960- 1279 d.C). La figura 31 muestra los contornos de esa forma grácil, obtenidos mediante el mé­todo dinergético que antes se utilizó para re­construir las formas de las plantas. Esta deriva­ción muestra que los centros de las cuatro es­pirales logarítmicas generadoras de contornos ocupan las esquinas de dos rectángulos de pro­porciones muy cercanas a las áureas (7,1:11,5 = 0,617± = 0,618...). Incluso sin conocer esas relaciones numéricas, la similitud de esos con­tornos con los de las hojas sugeriría la afinidad entre esta forma y los patrones de crecimiento orgánico. Esto se verifica en los diagramas de ondas y el gráfico, que reproduce el modo en que las relaciones proporcionales entre los ras­gos principales se aproximan a las armonías fundamentales de la música.

La forma completa se encuadra en un rec­tángulo formado por un cuadrado —que abarca la parte de mayor volumen y la base— y dos rectángulos áureos, cuyas alturas corresponden a la del esbelto cuello. Estas proporciones ar­moniosas se repiten entre la altura de la parte superior del jarrón (G ) y la altura y circunfe­rencia de la parte voluminosa (D ); entre esta última y la altura (E ), y entre los diámetros del borde (B ) y la base (C ) (Diagramas 1, 2 y 3). El contraste entre el esbelto cuello y la ancha ba­se y entre la parte superior angosta y la circun­ferencia amplia no podría ser mayor. Sin em ­bargo, esos elementos contrastantes se aúnan en elegante armonía, al compartir relaciones dinergéticas de vecinos.

L a d i n e r g í a e n l a s a r t e s a n í a s 1 9

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Fig. 32. Derivación dinergética y proporciones de un ánfora ática (siglo vi a.C.).

2 0 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Fig 33- Cratera cretense.

Fig. 34. Ánfora cretense.

Fig. 35.Cántaro minoico

Si de la época de la dinastía Sung en China nos trasladamos a la Grecia del siglo vi a.C., halla­remos en las obras de la cerámica clásica los mismos procesos dinergéticos de elaboración, que a su vez generan relaciones proporcionales dinergéticas. La figura 32 presenta el contorno de una án­fora ática que ilustra la leyenda de Hércules y Pholus. Las derivaciones dinergéticas de la forma muestran que los dos centros de las espirales logarítmicas ocupan las esquinas superiores del rec­tángulo áureo que encuadra el contorno completo, en tanto que los centros de las espirales inferio­res se encuentran en los puntos de la sección áurea de las diagonales trazadas en cada mitad de ese rectángulo. Además, esos dos centros inferiores están situados precisamente en las puntas de una estrella pentagonal que toca los dos lados y la base del rectángulo áureo que contiene la forma.

Las construcciones de la sección áurea muestran cuánto se aproximan los principales elementos de vecindad de este diseño a las proporciones áureas recíprocamente compartidas. En el diagrama 1, se ve que existe esta relación entre la altura de la cabeza (A), la altura de la franja central del dibujo (B) y la altura total de la vasija (E). El diagrama 2 y el diagrama de ondas 4 muestran la misma rela­ción compartida entre al ancho de los hombros (G ) y los diámetrcfe del cuello (H) y la circunferencia (D). (Las diferencias entre los coeficientes 4> reales y teóricos se señalan con la letra d).

El diagrama de ondas 3 ilustra todavía más proporciones armoniosas de esta ánfora. Existen también relaciones áureas, cercanas a la armonía musical de diapente-quinta, entre el diámetro del bordé (F), la altura de la cabeza (A) y la altura de la parte voluminosa del ánfora (C ). La relación diapasón-octava se revela en el emplazamiento de la circunferencia (K), a la mitad de la altura to­tal (E), y también porque el diámetro de la base (J) es aproximadamente la mitad del diámetro de la circunferencia (D).

A principios de la década de los años '20, el erudito estadounidense Jay Mambidge demostró con más detalle la coherencia de las relaciones proporcionales existentes en la cerámica clásica grie­ga.8 Este libro debe mucho a su trabajo pionero. Desde entonces, copiosas muestras de investiga­ción arqueológica y etnográfica han demostrado que esas proporciones no son patrimonio exclusi­vo de los griegos clásicos y de sus maestros egipcios como creía Hambidge, quien estaba convenci­do de que esas proporciones habían surgido de conocimientos avanzados de aritmética y geome­tría. A nuestros anteriores ejemplos de otras culturas podemos agregar ahora cerámica hallada en tumbas desenterradas y en otras excavaciones, que se remonta a las culturas cretense y micénica de fines de la Edad del Bronce y precede en mil años el florecimiento de la aritmética y la geometría clásicas griegas.

La figura 33 es una cratera cretense encuadrada en dos conjuntos de rectángulos áureos recípro­cos —V5 de longitud total—, como si tales rectángulos hubiesen rotado conjuntamente alrededor del eje longitudinal de la vasija. Los rectángulos áureos más pequeños contienen los hombros, la cabe­za y las asas, y los mayores, la parte más voluminosa. Además, el ancho de la abertura (A ) y la al­tura total (B) comparten la misma relación áurea de vecinos.

El ánfora cretense de la figura 34, desenterrada de una tumba, está contenida en un rectángulo (Q x R), dentro del cual los hombros, la cabeza y las asas se encuadran en el rectángulo áureo re­cíproco Q x S. Las proporciones de los dos rectángulos áureos recíprocos están presentes en la re­lación del borde (W ) con los hombros (V ) y con la circunferencia (Q); y en la relación de la base (U ) con sus entradas (T) y con la circunferencia (G ).

La figura 35 muestra un cántaro minoico contenido en un solo rectángulo áureo, F x G. El an­cho de las asas (M ) se relaciona con la distancia entre ellas (N ) como los lados de dos rectángulos áureos recíprocos: 0,618 y 1,618. También participan de relaciones dinergéticas áureas el ancho de la base (R ) y su distancia del borde (P ); la altura de las asas (H ) y la de la parte más voluminosa (J); la altura del volumen mayor (J) y la altura total incluyendo las asas (F); las partes superior e infe­rior del volumen mayor (K y L), y la altura de la parte inferior (L) y la de la vasija completa (F).

Fig. 36. Cacharro de barro cocido del pueblo Acoma.

La figura 36 es un exquisito cacharro de barro cocido de los Acoma. Su forma es común ent las tribus Zuni y Pueblo y se fabrica en diferentes tamaños y proporciones. En la figura 37, se mué tran superpuestos los contornos de tres de ellos, siendo el número 3 la vasija que se ilustra. Las neas de puntos indican los dos rectángulos áureos (de variados tamaños) dentro de los cuales tie den a encuadrarse todas estas formas, como si tales rectángulos hubieran rotado a lo largo de 1 ejes de cada vasija, como en el caso de la cratera cretense de la figura 33. En ello sustentan los p: cólogos John Benjafield y Catherine Davis la creencia de que “la sección áurea es un importan principio regulador, al menos en ciertas formas del arte folclórico” .5

La tabulación y el gráfico demuestran que también aquí, como en las demás vasijas que exarr namos, la armonía se genera por la tendencia consciente o inconsciente a unificar los diversos el mentos de la forma mediante proporciones compartidas, en una gama de cocientes que va de 0 a 0,75, encerrando a 0,618, cifras que corresponden a las armonías fundamentales de la música.

En la figura 38, el cacharro Acoma número 3 se interpreta con más detalle por la derivación c nergética de su contorno (izquierda). Los centros de lás espirales logarítmicas que lo forman caí en las diagonales de los rectángulos áureos que'lo contienen. El diagrama triangular, que inclu; los diagramas rítmicos de ondas de algunas de las proporciones investigadas, revela a simple vis la armonía generada por la unidad de las partes menor y mayor.

Estos diagramas curvos son como imágenes gráficas de un eco recíproco, en el que el todo r verbera a la llamada de cada parte y cada parte responde a la llamada del todo. En otro sentido, e presa el ritmo de danza del diseño completo, que oscila entre la dinergía armoniosa del proceso c elaboración y la dinergía áurea de sus proporciones.

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Fig. 37. Análisis de proporciones de cacharros de barí cocido de los pueblos Zuni y Acoma.

2 2 E l p o d e r d e l o s l i m i t e s

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Cuando se mira más de cerca el fascinante patrón pictórico de esta vasija, se descubre 1 tencia de otro nivel de formación según patrones dinergéticos. Las zigzagueantes líneas que trelazan de manera intrincada, moviéndose en diferentes direcciones —hacia adentro y afuera arriba y abajo y hacia la derecha y la izquierda— son partes de una sola línea, como los sarm de una enredadera que crecen de un solo tallo. Un elemento de este patrón se detalla a la iz da (A y B).

Incontable variedad de patrones serpenteantes similares, símbolos de unidad dinergética recen en el arte de muchas culturas; la base del ánfora ática de la figura 32 (C ) es una simpl sión de ellos.

Esta dinergía triplicada entre el patrón pintado, las proporciones y el proceso de elabor transmite el poderoso sentido de unidad que existe entre los indígenas y lo que los rodea, exp da del siguiente m odo por la saga “El uapití negro” del pueblo Oglala Sioux: “Sabemos que est vinculados y que somos uno con todas las cosas del cielo y de la tierra... la estrella de la mañ; la alborada que la acompaña, la luna de la noche y Jas estrellas del cielo... Únicamente la peí ignorante... ve muchos donde en realidad hay-auno” .10

Esta creencia básica arroja luz sobre la dignidad que irradia una obra de cerámica como és los ojos del pueblo que fabrica y usa esos cacharros de barro cocido, no son meros utensilios cartables. Por el contrario, sienten que cada uno de ellos tiene vida y un espíritu propio, sirnil

/ de su artesano creador; como consecuencia, cada cacharro se fabrica y usa con el respeto debiun ser viviente. Desde fines del siglo pasado, la investigación antropológica denomina animisr esta creencia. Según el antropólogo E H. Cushing: “Se supone que el ruido que hace un cach al golpearse o exponerse a fuego lento es la voz de un ser relacionado...Eso [que el ser parte ci do el cacharro se rompe] se sostiene por el hecho de que la vasija rota o en fragmentos nunca suena como cuando estaba entera”.11

Podemos sonreír ante tales creencias, pensando que son anticuadas, ingenuas y acientíficas. embargo, hay en ellas un elemento de verdad. Existe una totalidad en la que todos y todas las sas estamos relacionados, como lo están las diversidades de estos patrones. En efecto, todos los p blos y todas las cosas son vecinos.

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c apítu lo 3: La dinergía en el arte de v iv ir

Patrones tangibles e intangibles

Antes aludimos apenas a la naturaleza dinergética de los símbolos, que tiende un puente entre los patrones tangibles y los intangibles. Aquí se puede señalar que es dinergético el origen de la mis­ma palabra símbolo, que proviene de la unión de dos palabras griegas: syn, “a la vez", y bailo, “arro­jar” , origen de la palabra bala, por ejemplo.

El primer símbolo que examinamos fue el pentágrafo, patrón tangible que permitió a los pita­góricos captar las realidades intangibles de la armonía y la salud! El hecho de que el pentágrafo to­davía se use como símbolo de buen augurio demuestra que la dinergía de ciertos símbolos es a la vez eterna y universal. C. G. Jung los llamó arquetipos y consagró su vida al estudio del papel pri­mordial que cumplen como patrones de formación de la conducta humana.

Ya que resulta fácil completar patrones armoniosos en materiales tangibles y que, en cambio, los patrones intangibles del arte de vivir están en constante proceso de elaboración, a las obras armo­niosas de las artes y las artesanías podríamos considerarlas símbolos, metáforas y modelos de pa­trones de conducta del arte de vivir, igualmente armónicos pero en continua creación.

Antes se comentó cómo, en un cacharro Pueblo, la interrelación de los diversos elementos ex­presa el sentimiento de unidad de los indígenas con la naturaleza. El maorí de la Polinesia mani­fiesta lo mismo en los conceptos mana y tapu, variante este último de la noción de tabú. El célebre antropólogo danés Kaj Birket-Smith describe la experiencia del mana como un fuerte sentimiento de que “la vida es una unidad, en la que no sólo los dioses sino también las cosas —carentes de v i­da para nosotros— tienen un lugar” . De m odo que mana es una experiencia directa de “la fuerza sa­grada que impregna la existencia”. Tapu es la palabra maorí que denomina la sagrada responsabili­dad de cumplir con la experiencia del mana; una ley suprema.12

Mana y tapu son manifestaciones del sentimiento de relación y unidad que experimentan los maoríes con el universo que los rodea y, al igual que los indios americanos, lo expresan con patro­nes espirales. Las espirales abundan por todas partes en el arte maorí. Aparecen talladas en made­ra y piedra, pintadas y aun tatuadas en el cuerpo, para que el poder de mana atribuido a esos sím­bolos proteja a quienes los llevan contra las dificultades y la muerte prematura (fig. 39).

Entre los indígenas americanos, no es la tribu Pueblo la única que los usa. Dichos patrones es­pirales se hallan también grabados en las rocas de los sitios más antiguamente habitados de Am é­rica: las villas Oraibi y Shipaluovi, así como las ruinas de Casa Grande, cerca de Florencia, Arizo- na (fig. 40). Para los indios Hopi, esos patrones son símbolos de la Madre Tierra, Tapu’at (madre e h ijo) o del surgimiento y renacimiento. Los antropólogos informan que muchos otros pueblos in­dígenas de toda América les adjudican un significado simbólico similar13.

En diferentes lugares del mundo se han descubierto patrones de espirales idénticos, que se re­montan a épocas prehistóricas. Una moneda proveniente de la isla de Creta, en el Mediterráneo, de 3.000 años de antigüedad (fig. 41) muestra exactamente la misma espiral que el Tapu’at america­no, aunque en Creta ese patrón representaba el famoso palacio del rey Minos, el Laberinto. La le­yenda cuenta que el Laberinto era la guarida del Minotauro, bestia mítica, mitad toro y mitad hom­bre, que simbolizaba la fertilidad.

L a d i n e r g í a e n e l a r t e d e v i v i r 2 5

Fig. 42. Diosa madre cretense o su sacerdotisa. Fig. 43. Hermes-Mercurio.

Símbolo universal de fertilidad es, aparentemente, la serpiente, cuyo cuerpo enroscado puede n bien haber contribuido a la generación dé los patrones espirales arcaicos. La serpiente se presta a te rol simbólico porque se yergue, evocando de ese modo el poder fálico. Con frecuencia, la di Gran Madre de Creta y sus sacerdotisas aparecen representadas con serpientes en sus manos (fig. ¿

Hermes o Mercurio, el mensajero de los dioses griegos y romanos, llevaba dos serpientes enro; das alrededor de su varita mágica, el caduceo, instrumento de poder curativo. Y hasta en nuestros d las profesiones vinculadas a la curación usan este símbolo dinergético como emblema (fig. 43). r mes también era guía de quienes partían al más allá y en ese caso, las serpientes espiraladas y en cruzadas de la varita mágica simbolizan quizás el misterio de la vida y la muerte entretejidas.

La dinergía intangible de la vida y la muerte —que se entrelaza con la fertilidad— también ap; ce en el arte tribal del pueblo Wahungwe de Zimbabwe. La figura 44 es un dibujo realizado a { tir de la pintura de un artista tribal. Muestra un árbol que brota del cuerpo muerto de una mv en dirección al cielo, donde una diosa y una serpiente gigantesca hacen que la lluvia fertilizante : ne a borbotones de las raíces del árbol. En el relato bíblico de la creación, la mujer, el árbol, la píente y la fertilidad se vinculan y entrecruzan de la misma manera, pero, en ese caso, entra en go una dinergía aún más intangible: el conocimiento del bien y del mal.

Fig. 44. Ceremonia de la lluvia o “El árbol de la vida”, según una pintura realizada en la roca por un artista de la tribu Wahungwe, Zimbabwe.

Fig. 46. Esfera prehistórica de piedra tallada, que se cree se utilizaba para la adivinación.

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i ^f-ig. 4 7 . Espirales o líneas de las yemas de los dedos.

Fig. 48. Las dos mitades del cerebro el caracol del oído humano.

Fig. 45. Laberintos espírales prehistóricos de New Grange, Irlanda.Piedra del umbral, izquierda; bajo relieve tallado en la pared, derecha.

- >Laberintos espiralados y entrelazados de épocas neolítj^s, idénticos al Laberinto cretense, al ta­

tuaje maorí y al Tapu’at de los indígenas norteamericanos aparecen tallados en las rocas de los tú­mulos mortuorios de New Grange, Irlanda (fig. 45). Esas dobles espirales han sido interpretadas como símbolos de la muerte y el renacimiento porque, en tanto se sigue la línea serpenteante ha­cia et interior, otra línea sale en dirección opuesta, sugiriendo a la vez el entierro en la tumba y el surgimiento del útero; la dinergía de la vida y la muerte.14

El mismo diseño de espirales dobles aparece tallado con notable claridad dentro de las esferas de piedra desenterradas cerca de las cámaras funerarias prehistóricas de Glas Towie, Escocia (fig. 46). Como ha escrito el antropólogo Loren Eisley: “Después de haber cavado mucho, sabemos aho­ra que el hombre de Neanderthal tenía pequeños sueños y gentilezas propias. Enterraban a sus muertos con ofrendas y existen evidencias de que, en algunos casos, los tendían sobre lechos de flores silvestres” .15

Las espirales dobles de las tumbas prehistóricas atestiguan las gentilezas y preocupaciones crea­tivas de nuestros ancestros prehistóricos. Esos patrones revelan el poder generador de energía del símbolo, sugerido en la dinergía misma de la palabra. La unidad tangible de las líneas espirales di­nergéticas da cuenta cabal de que la vida y la muerte están entrelazadas de un cierto modo miste­rioso e insondable. El sentimiento reverencial que va unido a esta comprensión hace surgir, de las ascuas de la pena, la chispa de la nueva energía.

Nuestro legado dinergéticoExisten espirales dinergéticas, mucho más cercanas que las tumbas prehistóricas: las mínimas líneas

de las yemas de los dedos (fig. 47) y muchos otros patrones de nuestra constitución física y mental.Tenemos dos ojos y vemos dos imágenes, que se aúnan en el cerebro en una única visión este­

reoscópica y tridimensional. Tenemos dos oídos, que reciben señales provenientes de dos direccio­nes opuestas y se transmiten a través del caracol espiralado del oído interno, hasta unificarse en el cerebro como sonido estereofónico (fig. 48).

Todo el sistema nervioso es una estructura dinergética doble, constituida por los sistemas peri­férico y central, aunados por el cerebro. Éste, por su parte, consta de dos hemisferios, que se inte­gran mediante órganos situados en el centro. La audaz y extraordinaria teoría de Julián Jaynes se remonta hasta el origen de la consciencia y explica sus problemas actuales por el colapso generado en la doble estructura de nuestras mentes.16

L a d i n e r g í a e n e l a r t e d e v i v i r 2 7

¿Es pura coincidencia que en el nivel molecular —como se descubrió hace pocos años— la fo de la molécula de ADN, patrón que contiene codificado en miniatura el plan maestro de todo el sarrollo futuro del organismo vivo, coincida exactamente con el patrón de unión de la espiral ti mensional en doble hélice, tal como las dos serpientes de la varita mágica de Hermes? (fig. .49). aún, hace poco se descubrió que, dentro de las estructuras de la célula viva, algunos de los elen tos mínimos más importantes (los corpúsculos rojos y blancos de la sangre, por ejemplo) se a¿ pan en patrones de espirales dobles. Los núcleos de esos tubos microscópicos, a los que se de mina axonemos y que se presentan aquí agrandados por la micrografía electrónica (fig. 50) coi- den fielmente con las espirales dobles de las tumbas prehistóricas, los tatuajes de los maoríes y patrones de la Madre Tierra de los indígenas norteamericanos.

Haya lo que haya tras esas “coincidencias” , no podemos evitar concluir que nos hallamos £ uno de los más básicos procesos de formación según patrones de la naturaleza, aquí denomin dinergía. A l ver el orden oculto y armonioso generado en el cuerpo y la mente, presente en c flor y cada hoja, reflejado por las artesanías y dgl qué la música es eco, uno se pregunta asomt do por el origen de la inarmonía y el desorden que asuelan nuestra civilización.

En efecto, parece que la fascinación por las culturas llamadas “primitivas” surge de la nosta por la relación dinergética perdida que alguna vez experimentamos, cuando nosotros mismos < mos todavía “primitivos”. Por supuesto, son muy necesarias la ciencia y la tecnología, pero ni fragmentación y la separación que han acarreado las diferenciaciones de nuestra civilización. C zás las inarmonías y los desórdenes se han instalado, no porque ha crecido la cultura sino pon nosotros no lo hemos hecho aún. La civilización occidental está todavía en la adolescencia. N i tras violencias y preocupaciones quizás no sean más que los dolores propios del crecimiento.

N o necesitamos regresar a estadios de culturas tribales ágrafas para hallar la verdadera relac dinergética con la naturaleza y el universo. San Francisco de Asís, en uno de sus célebres poen llama hermanos al Sol, al Aire, al Fuego y al Agua, canta a la Luna y las Estrellas como herma ni honra a la Tierra como madre.17

El sentido de relación dinergética con los misterios del universo y de nuestra participación su mana ha inspirado a muchos científicos. Albert Einstein escribió: “Suficiente para mí es el ri terio de la eternidad de la vida y el presentimiento de la maravillosa estructura de la realidad, x. do al intento del corazón resuelto a comprender una parte, mínima aunque sea, de la razón que manifiesta en la naturaleza” .18

El psicólogo W illiam James vio la esencia de la verdadera religión en “la creencia de que ex: un orden no percibido y de que el bien supremo consiste en adaptarse armoniosamente a él”.1" C psicólogo, Abraham S. Maslow se refiere a la “experiencia máxima” como “una clara percepción que el universo es todo de una pieza y de que... uno es parte de él, le pertenece” . De eso se d prende un sentido de que “ lo sagrado está en lo común... y se lo debe hallar en la vida diaria, vecinos, los amigos y la familia, en el propio patio trasero... Mirar hacia cualquier otro lado en b ca de milagros para mí es una segura señal de que se ignora que todo es milagroso” .20

Fig. 50. Axonemo, el núcleo de un solo axópodo, presentado en corte transversal y agrandado 90.000 diámetros.

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Fig. 51. Cazadores o guerreros marchando. Según la pintura de una cueva prehistórica en Cañón Casulla, Levante de España.

ca p ítu lo 4: Los patrones eternosde la participación

El oficio básico de compartir

Compartir no es sólo un proceso de formación según modelo y un arte, también es una condi­ción de la vida. Con cada hálito de aire, con cada sorbo de agua o bocado de alimento, comparti­mos los recursos de la tierra. En El mundo como lo veo, Albert Einstein dice: “Un centenar de veces al día me recuerdo que mi vida interior y exterior dependen dé las labores de otros hombres, vivos y muertos, y que debo ejercitarme a fin de dar en la misma medida que he recibido y aún recibo” .-1 Ésta es la participación recíproca de la Regla de Oro ^¿de la sección áurea.

Antes de participar en las labores de los demás, compartimos con ellos la comunicación. El ha­bla es uno de los medios más antiguos de comunicación, un arte básico a través del cual participa­mos a los demás nuestros sentimientos, necesidades y pensamientos. El desarrollo del habla se re- fnonta quizás a un millón de años atrás, de modo que no sabemos mucho acerca de sus comien­zos. Pero el descubrimiento de que muchos idiomas tienen un origen común (la lengua raíz indoeu­ropea, por ejemplo, actualmente perdida pero que dio origen a muchos idiomas modernos) nos da una idea de los comienzos del arte de compartir a través del habla. La palabra madre, que es simi­lar en muchos idiomas, ha sido rastreada hasta el sonido ma emitido por todos los bebés.

Incluso el oficio de pensar se origina en el acto de compartir a través de la charla. Como dice Don Miguel de Unamuno: “Pensar es hablar con uno mismo y cada uno de nosotros habla consigo mismo, gracias a haber tenido que hablar con otro. El pensamiento es lenguaje interior y éste se ori­gina en el lenguaje exterior. De lo cual resulta que la razón es social y común’ .22

También compartimos la comunicación sin palabras, usando el habla silenciosa del lenguaje corporal. Todos sabemos que una sonrisa amigable, un gesto ceñudo, el asentimiento de la cabezao un apretón de manos a veces dicen mucho más que lo que pueden expresar las palabras.

La filósofa Susan Laríger se refiere de m odo conmovedor al efecto de compartir la experiencia del tacto y de descubrir por su intermedio el significado adjudicado a las palabras; menciona un fa­moso pasaje de la autobiografía de Helen Keller, donde ésta describe cómo su maestra la llevó a un pozo. “Alguien estaba sacando agua y mi maestra colocó mi mano bajo el chorro. Mientras la fría corriente me caía a borbotones sobre una mano, ella deletreó en la otra la palabra agua, primero lentamente y luego con rapidez. Me quedé quieta, con toda mi atención puesta en el movimiento de sus dedos. Y de pronto experimenté una poderosísima conciencia como de algo olvidado... y de algún m odo se me reveló el misterio del lenguaje. Supe que a-g-u-a significaba ese algo maravillo­so y frío que corría sobre mi mano. ¡Esa palabra viva despertó mi alma, la iluminó, le dio esperan­za y alegría, y la liberó!”23

Tanto el enseñar como el aprender son esencialmente experiencias de participación. Los buenos maestros tienen la capacidad mágica de darse y de compartir su devoción por el tema con sus alum­nos. “La grandeza de los maestros no se mide por lo mucho que saben, sino por lo mucho que com­parten” , decía el Reverendo Jesse Jackson, en un congreso sobre la violencia en las ciudades.24

Los niños aprenden lo que ven a su alrededor. Si lo que más ven es egoísmo, aprenden a ser egoístas. Si lo que ven es compartir, lo practican y —como el aprendizaje es participación— apren­den a leer, a escribir y a contar por añadidura.

L o s p a t r o n e s e t e r n o s d e l a p a r t i c i p a c i ó n 29

Fig. 52. Danza en anillo asociada con el culto de Hércules, dentro de una copa griega de terracota (siglo v a.C.).

Las empresas humanas compartidas siempre han hallad© expresión en movimientos masivos par- ticipativos, como lo ilustra la figura 51, dibujo realizado según una pintura prehistórica. En ella se ven antiguos cazadores o guerreros con sus arcos y flechas en alto, mientras marchan rítmicamente, con la g^stualidad propia de una danza, a realizar la empresa compartida. Incluso miles de años después, tan sólo mirándolos uno puede sentir la energía mana, que fluye de sus movimientos participativos.

En la pintura de una copa griega del siglo vi a.C., las bailarinas danzan con el mismo entusias­mo alrededor del héroe Hércules que lucha con un monstruo marino (fig .52). Entusiasmo es una palabra que significa literalmente “dios en m í” (en griego, en, “en” y theos, “dios”). El entusiasmo consiste en compartir una energía concebida como divina, como mana. En incontables danzas sa­gradas, como la de las apsaras (seres semidivinos) de una escultura en un templo de la India (fig. 53), hallamos movimientos que expresan de la misma manera emociones religiosas compartidas.

Todos nos entusiasmamos al danzar. Creamos o no en seres divinos, el mana de los ritmos com­partidos nos transporta en las ondas de la danza (fig .54).

Fig. 53. Apsaras (ninfas celestiales) danzantes del friso de

Fig. 54. Bailarines folclóricos búlgaros.

:emplo de la India (siglos xu-jíni a.C.)

Fig. 55. Calco por frotamiento de un diseño tallado de cámaras mortuorias en New Grange, Irlanda.

Fig. 56. Patrones geométricos hechos por los indígenas. El diseño superior representa murciélagos y el inferior, abejas.

Existe un tipo de lenguaje corporal que deja trazos visibles: la escritura. El oficio de escribi) una forma de comunicación desarrollada a partir de patrones a los que se atribuyeron significac compartidos. Por ejemplo, las líneas zigzagueantes halladas junto a los patrones espiralados que tán tallados en las paredes de las cámaras mortuorias de New Grange, Irlanda, son consideradas ] los eruditos las primeras representaciones del agua y se cree que significan la forma más antigua la letra M (figuras 55, 61).25

En las culturas tribales sin escritura desarrollada, se usan patrones geométricos simples p compartir ideas. El antropólogo Franz Boas escribe: “Es notable que en las manifestaciones artí: cas de muchas tribus de todo el mundo se asocien significados a ornamentos que a nosotros r parecen puramente formales ... Los patrones geométricos de los indígenas brasileños represen! peces, murciélagos, abejas y otros animales, aunque los triángulos y diamantes que los constitu) no parezcan tener relación con las formas de esos animales (fig. 56).26

Incluso, a veces, a través de esas imágenes se transmite información geográfica sumamente co pleja entre culturas tribales. Se dice que las formas qué aparecen en un saco de cuero crudo, hec por los indios Arapaho de América del Norte (fí|f 57), representan un pequeño pueblo rodeado montañas (recuadro doble), moteado con lagos (cuadrados dentro del recuadro, tiendas (trián| los oscuros) y un sendero de búfalos que lo atraviesa exactamente por el centro (línea punteada

En ocasiones, los miembros de una tribu han compartido extensos relatos con la ayuda de patrón simple. Por ejemplo, el cuenco Zuni pintado de la figura 58 narra la historia de la “Nube í la” : “Si una persona no asiste a las danzas de la lluvia de las que participan todos los demás, al rr rir va al Lago Sagrado y cuando todos los espíritus de las demás personas muertas vuelven a Zl a hacer llover, debe esperar sola como una única pequeña nube abandonada en el cielo, tras dí cargarse las nubes de la tormenta. Esa persona se sienta y espera, completamente sola, siempre n rando y mirando en todas direcciones a la espera de que alguien llegue. Ésa es la razón por la q ponemos los ojos como mirando en todas direcciones” .27

Fig. 57. Saco de cuero crudo de los indígenas Arapaho. El patrón proporciona información geográfica sobre un pequeño pueblo.

Fig. 58. Cuenco Zuni. La ilustración relata el cuento de “La nube sola”.

3 2 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Fig. 59. Texto médico cuneiforme sumerio. Fig. 60. Jeroglíficos egipcios de la 12a dinastía (1991-1786 a.C ).

Cuando en el curso del desarrollo histórico surgieron los grandes centros de población urbana, como en Mesopotamia, Egipto y China, ciertos patrones de uso común evolucionaron gradualmen­te hasta convertirse en escritura. La escritura cuneiforme de los sumerios se estampaba con instru­mentos que tenían forma de cuña, en tabletas de arcilla (fig. 59). Los signos escritos egipcios, lla­mados jeroglíficos (fig. 60), se tallaban en piedra o se pintaban en rollos de papiro. Para los antiguos, la escritura era un arte sagrado que preservaban los sacerdotes y los escribas.

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L o s P A T R ON E S ET ERNOS DE LA P A R T I C I P A C I Ó N 3 3

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3 4 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Para nosotros, la escritura es algo tan com que ha perdido su carácter sagrado al igual c la danza. Nos resulta difícil imaginar qué sin ron nuestros ancestros al experimentar el po< de la escritura por primera vez. El antropólc Gordon Childe ha dicho: “La inmortalizac: de la palabra en la escritura debe de haber recido un proceso sobrenatural; seguramente consideraba mágico que un hombre desaparc do del mundo de los vivos largo tiempo ha ] diera todavía hablar desde una tableta de areo desde un rollo de papiro. Las palabras hat , das de ese modo deben de poseer una suerte metna”-.28

Nuestras propias letras han sido rastrea! hasta los prototipos romanos y griegos, que a vez se originaron de imágenes protosemiti aún más antiguas, que representaban sonic similares, como ilustra la figura 61.

Fig. 61. Origen de algunos patrones de letras

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En China, los patrones de la escritura nunca se convirtieron en señales de sonidos, como sí ocurrió en Occidente. En cambio, los signos de la escritura China contienen hasta el día de hoy los rudimentos de los patrones básicos de los que se originaron, con una idea asociada a cada uno, que es la razón por la que se llaman ideo­gramas. En la figura 62 se presentan unos pocos ideogramas chinos (en marcos cuadrados), jun­to a los patrones básicos de las imágenes en que se originaron (en marcos redondos).

Incluso, aunque no se comprenda el signifi­cado de un idioma escrito extranjero, es posible igualmente cSrripartír sus ritmos, lo cual revela su caracter exclusivo. El ritmo de la escritura china —tanto arcaica como moderna— se mueve con una gracia aparentemente espontánea (fi­guras 63 y 64).

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Fig. 62. Desarrollo de los ideogramas chinos. Las formas antiguas están contenidas en círculos y

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as actuales, en cuadrados.

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Fig. 6 6 . Grafito romano de Pompeya.

Fig. 67. Escritura árabe.

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Fig. 65. Escritura hebrea de los Rollos del Mar Muerto.

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La escritura hebrea de los rollos del Mar Muerto (fig. 65) avanza con paso incólume, como si firmara las palabras del profeta: “¿Qué requiere de tí el Señor, sino actuar con justicia y... camina mildemente con tu Dios?”.29 En un grafito romano grabado en una pared pompeyana (fig. 66) nocemos un nerviosismo que nos es familiar y nos recuerda la premura de nuestra escritura no El ritmo arábigo danza con dignidad (fig. 67), en tanto que los trazos de una de las pnmeras b de Gutenberg claman a las alturas como las torres de la ciudad gótica donde se imprimió (fig. t

Los ritmos de la escritura se generan mediante el mismo proceso de formación según pat de participación que crea los ritmos de la danza, la música y el habla. Los movimientos parti tivos forman la danza y los patrones y sonidos compartidos, la escritura, la música y el hab también a través de un proceso de participación cómo captamos los números. El hecho de qi dos tengamos diez dedos hace que podamos contar los primeros diez números con las dos m A partir de diez, la numeración se vuelve un proceso rítmicamente recurrente: las decenas 1: centenas, las centenas, millares, etc.

Los antiguos usaban las proporciones del cuerpo humano para medir distancias cortas ejemplo, la longitud del antebrazo de un hombre con la mano extendida se llamaba codo y ten ferentes variantes.

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l con-ir hu- ^'8- 68 . Líneas de la Biblia de Gutenberg (1452-1456)

y vista de Colonia en el 1400.reco- jrmal.Diblias 68). | trones ticipa- 3la. Es [ue to- nanos; hacen

as. Por mía di-

Fig. 70. Relieve metrológico griego. Fathom es la dis­tancia de la punta de los dedos de una mano a la punta de los dedos de la otra. La huella del pie sobre la figura indica la medida básica.

Los egipcios tenían un codo más pequeño, de seis “anchos de mano” y uno más grande, el co­do real, de siete anchos de mano (fig. 69). La “mano” egipcia estaba formaba por cuatro “dedos” o “dígitos” . Existía otra medida, el “puño” —igual a un ancho de mano más un tercio— que usaban los maestros constructores y los artesanos egipcios para definir las cuadrículas con las que generaban las proporciones de su estatuaria real. Se han hallado muchas esculturas egipcias sin terminar con esas cuadrículas, que utilizaban los artistas y los obreros. El diagrama de ondas rítmicas de la figu­ra 69 revela cómo las principales proporciones de esta figura comparten armonías afines a las fun­damentales de la música.

El codo romano constaba de dos pies (medida también humana del sistema anglosajón actual), cada uno de los cuales medía doce unciae; de esa palabra latina proviene la palabra inglesa inch, que significa pulgada (2,54 cm), esto es, el largo del dedo pulgar. Seis pies (1,83 m) formaban un fa t­hom, equivalente a los brazos extendidos de un hombre desde la punta de los dedos de una mano hasta la punta de los dedos de la otra (fig. 70).

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TAO Fig. 69. Medidas y proporciones egipcias. Cada cuadrícu­la es un puño, que corresponde a un tercio de un pie.

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L o s P A T R O N E S E T E R N O S DE LA P A R T I C I P A C I Ó N 3 7

Fig. /1. Tallas en las rocas de barcos y ruedas solares, Suecia (ca. 1300 a.C.). O©

Fig. 7 ^ Tallas én las rocas de barcos y espadas, Suecia (ca. 1300 a.C.).

Fig. 73. Tallas en las rocas de una deidad o shaman, con pisada y rueda solar, Suecia (ca. 1300 a.C.).

Así como las medidas de longitud se vinculaban a las proporciones del cuerpo humano, la me­dida del tiempo se basó en la duración observada de los movimientos de los cuerpos celestes, qi¿ aparecen rítmicamente. Esas observaciones llevaron a comprehender la existencia de un orden ct lestial o cósmico, con el que se relaciona y del que depende la vida humana; este orden se marl fiesta en los movimientos de las estrellas y en los patrones recurrentes del calendario.

■ ,'ÍCOrden cósmico y estructuras calendarías

Existen muchos indicios de que los pueblos prehistóricos observaban cuidadosamente los rac- vimientos de los cuerpos celestes. En grabados prehistóricos realizados en la roca en Escandinava^ vemos botes y ruedas solares, con los rayos apuntando en las direcciones de la brújula (fig. 71]* ¡ Hay también patrones celestes circulares, junto a uno de los cuales aparece un sable que lo aputf ta, en apariencia señalando una constelación que los antiguos vikingos habrían utilizado como gil de navegación (fig. 72). En otra roca tallada en Suecia, sobre la rueda solar se ve algo que aparen­ta ser la huella de un gigante o de un dios y abajo una figura con casco en forma de media luna quizás un shaman, que personifica al “hombre de la Luna” , danzando en las llameantes pisadas di Sol (fig. 73).

Cualquiera sea la interpretación de tales patrones mitológicos, atestiguan tempranas observad! nes del cielo que aportaron mejor orientación en cuanto al tiempo y el espacio.

La investigación arqueológica y astronómica ha establecido que los grandes monumentos & piedra construidos por todo el norte de Europa hace alrededor de 3.500 años eran brújulas, caleí darios y computadoras gigantes de los patrones estacionales, así como también precintos sagrada para los rituales religiosos.30 El más famoso de esos monumentos megalíticos es Stonehenge, enj llanura de Salisbury en Inglaterra, construido en etapas entre los siglos xx y xvi a.C. (fig. 74).

Un plano de Stonehenge m indica cómo se estableció la hora exacta del amanecer del solsue| estival (fig .75), divisando el disco del Sol naciente entre dos indicadores adyacentes de piedras.? tas, llamadas Piedras paganas o Piedras druidas, directamente encima de lo que se denomina P»-’«j rodilla (fig .76). Las proyecciones horizontales (direcciones acimutales) de las salidas y puestas d Sol y de la Luna en los solsticios invernal y estival, establecidas con instrumentos científicos i3 dernos, corroboran la exactitud astronómica de Stonehenge (fig. 77).

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Fig. 76. Piedra en .forma, de

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en el arco, en Stonehenge.

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solsticios y equinoccios correspondientes a la latitud de Stonehenge.

P U E S T A D E L A L U N A EN EL S O L S T IC IO

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L O S P A T R O N E S E T E R N O S D E L A P A R T I C I P A C I O N 3 9

Hasta ahora parece haber pasado inadvertido el hecho de que la arquitectura de este monumen-* to comparte las proporciones de la sección áurea y del triángulo pitagórico. La construcción clási­ca de la sección áurea aplicada al plano ü de Stonehenge (fig. 75) revela que existe relación áurea! entre el ancho de la Herradura de megalitos de tres piedras grises azuladas y el diámetro del Círcu-i lo Pagano (o Druida), (1:0,618 = 1,618). El rectángulo formado por las Piedras de las Estaciones se aproxima al rectángulo de V5, formado por dos rectángulos áureos recíprocos (fig. 78). El astró­nomo Gerald S. Hawkins, en cuyas investigaciones se basa el presente análisis, cree que el rectán­gulo de las Piedras de las Estaciones fue “enormemente significativo... desde el punto de vista his­tórico, geométrico, ritual y astronómico” .31

El análisis geométrico, con la ayuda de las líneas centrales de los pilares y las diagonales, tam­bién muestra que las proporciones de los arcos paganos resultan cercanas a las relaciones del trian-' guio 3-4-5, como lo indica la figura 79. Si recordamos que la proporción 3:4 corresponde a la ar­monía musical diatéssaron, la sección áurea a la diapenté'y la raíz cuadrada de 5 al diapasón, la fra­se “música de las esferas” adquiere nuevo significado.

Fig. 78. Plano i de Stonehenge, arriba, con las proporciones del rectángulo de Piedras de las Estaciones proyectadas, abajo, que muestran su aproximación al rectángulo de \f 5.

Fig. 79. Arcos paganos que encuadran la piedra en lomia de rodilla (H ), en cuya parte superior aparece el disco del Sol el

primer día del verano. Las proporciones de los arcos sont r iá n g u lo s d e 3 -4 -5 .

4 0 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

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Fig. 80. La Gran Pirámide de Keops en Gizeh. El corte transversal muestra que la apotema y la mitad de la base están en relación de sección áurea.

L O S P A T R O N E S E T E R N O S D E L A P A R t

Se pueden hallar algunas de estas armoniosas proporciones en una estructura construida apro­ximadamente 1.000 años antes que Stonehenge, la Gran Pirámide de Egipto. La figura 80 muestra que la altura central (apotema) de cualquier triángulo lateral se relaciona con la mitad de la base según el coeficiente proporcional de la sección áurea. En codos: 1/2 base = 220; apotema = 356; 356:220 = 1,618.32

Como recordaremos, el triángulo 3-4-5 también se aproxima al coeficiente áureo en la relación de las 5 unidades del lado y las 3 unidades de la base (5:3 = 1,666...). Para los egipcios, el triángu­lo 3-4-5 fue de vital importancia. Sus campos debían ser inspeccionados anualmente debido a las inundaciones del N ilo y este triángulo les servía como instrumento de medición. Una cuerda con doce nudos hechos a distancias iguales, sostenida en su tercero y octavo nudo y con los extremos unidos, producía el ángulo necesario para efectuar el reconocimiento. Esa es la razón por la que el triángulo 3-4-5 también se denomina triángulo de bastidor de cuerda o triángido egipcio, cuya estre­cha relación con el rectángulo áureo se ilustra en la figura 81.

35#

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Fí£ 81. Relación entre el triángulo 3-4-5 (triángu­lo de bastidor de cuerda) y el rectángulo áureo.

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4 2 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

TaAtas l«ns <s*iv»\e*\siov\es e*v weWos.

Las exploraciones han demostrado que la Gran Pirá­mide no fue sólo una tumba real sino también un gigan­tesco almanaque “por medio del cual podía medirse la longitud del año, incluyendo la irregular fracción de 0,2422, con la misma exactitud que el telescopio moder­no... También ha demostrado ser un teodolito, instru­mento de medición preciso, simple y prácticamente in­destructible” .” Es tan exacta su orientación como brúju­la, que las versiones modernas de este instrumento se ajustan a ella. El astrónomo Richard A. Proctor calculó, a fines del siglo.-xix, que la altura del Sol y sus equinoc­cios, así como ciertas estrellas y constelaciones clave, po­dían verse y'afiñearse con suma exactitud a través de las enormes ranuras graduadas, incorporadas en la mole de la pirámide. Proctor especula que la superficie truncada de la parte superior de la pirámide, antes de su termina­ción, pudo haber sido utilizada como elevada plataformé de observación astronómica y astrológica sobre la mese­ta de Gizeh, con una vista que dominaba todos los pun­tos cardinales (fig. 82).34

En México, alrededor del 300 a.C. se construyerot enormes estructuras piramidales destinadas, aparente mente, a propósitos tanto religiosos como astronómicos que presentan patrones proporcionales básicos similares los de la Gran Pirámide de Egipto y los de Stonehenge.

La Pirámide del Sol y la Pirámide de la Luna en Tec tihuacán, cerca de la ciudad de México, fueron en cieri época el corazón de una espléndida civilización metrc politana (fig. 83). La figura 84 muestra cómo los conto' nos de la Pirámide del Sol están contenidos en dos coi juntos de triángulos de 5:8 y de 3:4.

Fig. 84. Elevación y análisis de las proporciones de la

Pirámide del Sol.

Fig. 82. Pasadizos de la gran Pirámide, quizás utilizados como ranuras de observación para medir la altura del sol los días más cortos y más largos del año.

Fig. 83. Pirámide de la Luna, arriba, y Pirámide del Sol, abajo, Teotihuacán, México.

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Pl*nno

Fig. 85. El Tajin: Pirámide de Nichos. Elevación y plano.

También existen otras pirámides mejicanas que encuadran en los contornos del triángulo de 3:4, como se puede apreciar en los dibujos que representan las elevaciones de dos de ellas: la Pirámide de Nichos en El Tajin y el Castillo en Chichen Itzá (figuras 85 y 86). Además, en El Tajín las pro­porciones áureas se realizan en sucesivas aproximaciones mediante una serie progresiva de relacio­nes entre dimensiones cardinales, tal como lo muestran las construcciones de la sección áurea y el diagrama de ondas. En el Castillo, los elementos principales de la estructura se encuadran en una serie de rectángulos de n/5 (compuestos por dos rectángulos áureos recíprocos), como lo demues­tran las construcciones sobreimpresas en la elevación. Todas estas relaciones proporcionales des­piertan ecos de armonías musicales fundamentales. En 1930, el arquitecto Manuel Amabilis Do­mínguez descubrió que prevalecían las proporciones pentagonales y, por lo tanto, la sección áurea en muchos monumentos mejicanos.’'' Se han escrito volúmenes sobre el significado calendario de estas pirámides. Evidentemente, en ciertos casos, incluso el número de elementos estructurales o decorativos corresponde a la cantidad de días de ciertos importantes ciclos de tiempo y, además, cada piedra tenía importancia calendaría: son 365 los escalones en el Castillo y los nichos en El Ta­jín, número que corresponde a la cantidad de días del año solar.

L o s p a t r o n e s e t e r n o s d e l a p a r t i c i p a c i ó n 43

Fig. 87. Ruinas del Zigurat de Ur vistas desde el noreste

4 4 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

»

Torre de Babel de Pieter Brueghel el Viejo (1565).

Fig. 90. Zigurat de Babilonia. Reconstrucción de L. C. Stecchini.

La observación de los cielos en busca de indicios sobre cambios estacionales también fue función primordial de algunas de las estructuras calendarias más antiguas del mundo, los zigurats de la Me- sopotamia. Según sir Leonard Woolley, quien realizó.excavaciones en el Gran Zigurat de Ur, construi­do por los sumerios cerca de la actual Bagdad, la palabra zigurat significaba “colina del cielo” o “mon­taña de dios” (fig. 87). Sir Leonard, cuya reconstrucción del Zigurat de Ur se ve en la figura 88, su­giere que esas enormes escaleras, con procesiones subiendo y bajando por ellas, quizás tuvieron que ver con el famoso sueño de Jacob, mencionado en la Biblia: “y he aquí que una escalera se erigió en la tierra, cuya cúspide llegaba al cielo y he aquí que los ángeles de Dios subían y bajaban por ella”.36

Los sacerdotes de los zigurats eran también astrólogos y astrónomos que calculaban los m ovi­mientos de los planetas, del Sol y de la Luna y que establecieron un calendario lunar para predecir los cambios de estación, las inundaciones, las épocas de siembra y de cosecha, etc.

El zigurat más famoso fue la Torra de Babel en Babilonia, con los legendarios jardines colgantes de Semíramis (fig. 89). Livio Catullo Stecchini reconstruyó los contornos básicos del zigurat de Ba­bilonia, sobre la base de un texto cuneiforme, la así llamada Tablilla Smith.37 Los contornos de es­ta reconstrucción se presentan en la figura 90. Las construcciones de la sección áurea y del trián­gulo pitagórico revelan correspondencias con las armonías musicales fundamentales de diatéssaron- cuarta y de diapente-quinta. Un bajo relieve asirio del siglo vil a.C. muestra proporciones similares (fig. 91).

asirio del zigurat (siglo vli a.C.).

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L o s P A T R O N E S E T E R N O S D E L A P A R T I C I P A C I Ó N 45

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Fig. 92. Zígurat de Ur como fue restaurado por el plan de Ur Nammu (2200 a.Q

4 6 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

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Las figuras 92 y 93 son estudios de proporciones realizados por el autor respecto del Zigurat de Ur, sobre la base de las excavaciones del sir Leonard W olley y a la reconstrucción del rey Ur Nam- mu de alrededor del siglo x x i i a.C. (Sólo puede suponerse la antigüedad de los zigurats enterrados debajo de estas ruinas, construidos quizás hasta 1.000 años antes). Estos análisis de las proporcio­nes indican que las terrazas y el templo que forman esta gran estructura comparten las proporcio­nes de la sección áurea y del triángulo pitagórico.

Fig. 93. Zigurat de Ur, elevaciones.

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v*A< y<3 «s e 1*777, ^ e ^ f f l e , W^nsUivi^f-ovv. Fig. 94. Comparación de patrones n- micos, cósmicos y biológicos.

4 8 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Ritmos y armonías de la participación

La arquitectura calendaría reveló patrones rítmicos propios de los cambios calendarios, los men­guantes y crecientes de la Luna, los ritmos de los reflujos y las mareas, o bien, los ciclos menstrua­les del cuerpo femenino.

El patrón circular de la figura 94 es la página de calendario correspondiente a mayo de 1977. Cada cuadrado representa el registro de reflujos y mareas del Océano Pacífico de un solo día, en Seattle, Washington. Las fluctuaciones contenidas en el ritmo mayor son ocasionadas por el arras­tre gravitacional conjunto de la Luna y el Sol, de los cuales es más potente la primera por su pro­ximidad relativa a la Tierra.

En escala minúscula, los latidos del corazón comparten ese ritmo cósmico, como lo demuestra el electrocardiograma B de la figura 94. Las ondas cerebrales presentan más variaciones de este rit­mo, según el estado en que nos encontramos: sueño liviano, sueño profundo, sudor o bien, las per­turbaciones mentales llamadas petit mal y grand mal, p o^ jem p lo .

La respiración se ajusta a un patrón de onda dinergético similar: ritmo permanente de inhala­ción y exhalación; y los ciclos físicos y mentales llamados bionitmos se caracterizan por presentar fluctuaciones parecidas. Existen “relojes internos” , llamados ritmos circadianos, que nos permiten registrar nuestros propios patrones rítmicos de tiempo. Los viajeros aéreos toman conciencia de sus ritmos circadianos al atravesar husos horarios, pues su propia hora interna y la calendaría externa se descompaginan momentáneamente.

Mediante el procedimiento de colocar lápices en un péndulo y en un diapasón y registrar los trazos en un rollo de papel, el físico matemático sir james Jeans demostró que el peso y el sonido

o o cui-vas armó-

Fig. 95. Patrones armónicos simples creados por el péndulo, izquierda, y el diapasó

L O S P A T R O N E S E T E R N O S D E L A P A R T I C 1 P A C 1 Ó N 4 9

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Fig. 96. Correspondencia entre los sonidos musicales y los colores

5 0 E L P O D E R D E L O S L Í M I T E S

La luz, el color y el sonido también comparten los mismos patrones de ondas y, más aún, los mismos grados de vibración, como demostró J. Dauven en 1970 (ver la fig. 96).39 El diagrama A se compone de ambas vibraciones; las frecuencias sonoras (la cantidad de vibraciones por segundo) se representan con la línea de guiones y puntos; las frecuencias cromáticas, con la línea entera. La proximidad de ambas líneas demuestra que la captación de ritmos armoniosos es una experiencia compartida por el ojo y el oído, aunque se registre a unos como color y a otros como sonido. Las armonías que comparten los colores y los acordes musicales se muestran en el diagrama B. Aquí los triángulos dobles 3-4-5 señalan el acorde tónico de la menor (la-do-m i), correspondiente al índi- go-verde-naranja de la rueda de color, que podría mostrar un naranjo en fruto cuyas hojas proyec­taran sombras azul oscuro. El acorde tónico de sol mayor (so l-si-re) corresponde al violeta-azul- amarillo, los colores de un lirio o de una violeta bajo un cielo azul soleado.

La esencia de toda vibración y ritmo es compartir diversidades —débil y fuerte, adentro y afue­ra, arriba y abajo, atrás y adelante— en intervalos recurrentes d « tiempo. Esto es así tanto para las mareas del océano como para los latidos de nuestros cora'^bnes; tanto para la luz, el peso y el soni­do, como para los patrones de crecimiento de las plantas.

Si comparamos las reconstrucciones de los contornos de las hojas con los así llamados patrones isohipiínicos de distribución de la luz de artefactos, como los de la figura 97, veremos indudables correspondencias. En estos diagramas, la intensidad de la luz se mide y esquematiza en rayos em i­tidos en línea recta desde el centro de las lámparas, que se difunden en órbitas cada vez más am­plias, representadas por círculos concéntricos. Así que este patrón es tan dinergético en su origen como el de crecimiento de las hojas y las ñores, generado por componentes radiales y rotativos.

93020 REFLECTORES EN ABIERTO A LOS EJES DE LA LÁMPARA REFLECTORES EN PARALELO A LOS EJES DE LA LÁMPARA

Fig. 97. Diagramas isolumíni- cos que muestran los patrones de distribución de la luz de diferentes lámparas.

4200 LUMENS

LUMEN (UNIDAD DE FLUJO LUMINOSO)

Una hilera de semillas de girasol en la espiral D de la figura 7 muestra que la longitud de la dia­gonal de las semillas las agrupa en series armónicas representadas por barras verticales en el dia­grama 2 de la figura 98. Este patrón es similar al de la hoja de lila (fig. 17) y la longitud acumula­tiva de los grupos vecinos de semillas, representadas por las barras superior e inferior. Todos" com­parten la misma relación áurea 5:8, cercana a la armonía musical fundamental de diapente-quinta (fig. 98, diagrama 3).

A l contar la cantidad de semillas de los grupos de vecinos, tal como muestran las barras, obte­nemos:

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Y-E Z-F H-G K-J M-L O-N

5 5 5 5 5 55 6 7 9 10

1 1 1 1 1 11 1,2 1,4 1,6 1,8 2

etc. Dividido

etc.

poi

Tal serie se denomina en álgebra progresión armónica, concepto que desempeña un papel impor­tante, por ejemplo, en la interpretación matemática de los sonidos. Una progresión armónica se de­fine como una serie de fracciones en la cual el nominador es siempre 1 en tanto los denominado­res vecinos comparten la misma diferencia, en este caso 0,2. Expresado de otro modo, una progre­sión armónica consiste en los recíprocos de una serie aritmética. Si recordamos que en la serie de Fibonacci la diferencia entre los números vecinos también se aproxima al mismo coeficiente —<}> en una dirección y 1AJ» en la otra— comprenderemos que la serie de Fibonacci es una verdadera pro­gresión armónica.

Estos pocos ejemplos al azar ilustran que toda vibración rítmica es esencialmente una participa­ción armoniosa. Este compartir está presente de m odo universal en el sonido musical, el color, la luz y el peso; en los patrones de crecimiento de las plantas, los reflujos, las mareas y los ritmos ca­lendarios; y también en nuestros propios biorritmos, nuestra respiración y nuestros latidos cardía­cos. Por ello podemos decir que se trata de-un proceso básico de formación según patrones. En el capítulo siguiente examinaremos el papel que desempeña este proceso en la formación anatómica de los animales.

Fig. 98. Diagramas de una fila de semillas de girasol, a lo largo del espiral D de la figura 7. 1. Ritmo de las relaciones áureas entre los grupos vecinos de semillas; 2 . diagrama de series armónicas de semillas; 3. predominio de las propor­ciones de la sección áurea.

5 2 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

c apítu lo 5: La anatomía de la participación

Conchillas, almejas, cangrejos y peces

Las estructuras de las conchillas han sido objeto de numerosos estudios que demuestran que sus armoniosas formas se despliegan en espirales logarítmicas, caracterizadas por las proporciones de la sección áurea. Una espiral logarítmica típica del crecimiento de la conchilla, figura 99, muestra que cada etapa consecutiva de crecimiento se encuadra en un rectángulo áureo, un cuadrado ma­yor que el anterior, patrón al que Jay Hambidge llamó “cuadrados en remolino” .40 Se puede trazar ese “remolino” de acuerdo con los valores que presenta la'tabla siguiente.

rectángulos áureos + cuadrados = rectángulos áureos0 1 2 3 + 0 3 4 5 = 1 2 4 51 2 4 5 + 1 5 6 7 = 2 4 6 72 4 6 7 + 2 7 8 9 = 4 6 8 94 6 8 9 + 4 9 10 11 = 6 8 10 11, etc.

Los radios equidistantes de la figura 100 muestran que, en la curvatura de esta conchilla, está presente la armonía de la serie de Fibonacci.

Fig. 99. Espiral logarítmica, típica del crecimiento de las conchillas. Las sucesivas etapas de crecimiento están marcadas por los “cuadrados en remolino” y rectángu­los áureos que crecen en progresión armónica desde el centro 0 hacia afuera.

Fig. 100. Números de Fibonacci de las espirales logarítmicas, típicas de las conchillas.

L a a n a t o m í a d e l a p a r t i c i p a c i ó n 5 3

Incluso se puede apreciar que conchillas de formas muy diferentes comparten las proporciones de la dinergía áurea, al comparar, por ejemplo, la conchilla reloj de sol del Atlántico (Architectoni- ca nobilis) (fig. 101) —que es casi perfectamente circular— con una delicada variedad de la conchilla abalón (Haliotis asinina) (fig. 102), alargada como una oreja de asno; ( “asininus” significa “asno” en latín). Las sucesivas etapas de crecimiento de la conchilla abalón —medidas a lo largo de los radios equidistantes de vecinos— corresponden a los números de la serie Fibonacci (fig. 103).

Fig. 101. Conchilla reloj de sol del Atlántico (Architectonica nobilis).

Fig. 102. Conchilla abalón (Haliotis asinina). La forma que está por encima de la línea punteada se recons­truye en la figura 103.

Los aumentos sucesivos del crecimiento de la conchilla reloj de sol del Atlántico —proyectados a lo largo de uno de los radios, marcado de a a 1 en la figura 104— se pueden medir fácilmente, debido a su forma casi circular. Las reconstrucciones —con el mismo método dinergético de combinar los au­mentos radiales y rotativos del crecimiento, que antes aplicamos a la margarita, al girasol y a los con­tornos de las hojas— revela que la diferencia de las curvaturas es sólo de ritmo o coeficiente de des­pliegue. La espiral de la conchilla reloj de sol se mueve con relativa lentitud entre círculos consecuti­vos. Se arrastra a través de no menos de 20 radios o cuadrados antes de pasar de un círculo al siguien­te: proporción de 20:1 entre el crecimiento radial y rotativo. A la conchilla abalón le toma de cuatro a cinco radios o cuadrados pasar de un círculo al siguiente: proporción de 4 ó 5:1. Las construccio­nes de la sección áurea a la derecha de la figura 104 demuestran que son áureas las proporciones en­tre los anchos de espirales vecinos: todos los rectángulos sombreados —cuyo ancho y longitud corres­ponden al ancho de la espiral vecina— son rectángulos áureos. La armonía creada por esta relación se ilustra también con barras tipo tubo de órgano, que señalan la longitud acumulativa de las espírales paulatinamente ensanchadas. Una serie de ecuaciones qu#¥esultan iguales a c}> expresan también el hecho de que todo el proceso de crecimiento comparte las mismas proporciones.

Fig. 104. Reconstrucción dinergética de la conchilla reloj de sol del Atlántico.

L a A N A T O MÍ A DE LA P ART I C I P AC I ON 55

Fig- 106. Almeja pata de oso (Hippopus hippopus) Reconstrucción dinergética de la espiral central, diagrama superior, y corte transversal, diagrama inferior.

Fig. 105. Buccino dilatado ( Penion dilatus).

Por supuesto, las conchillas crecen simula neamente en las tres dimensiones del espacio f. ro, en la conchilla abalón y en la reloj de sol ¡j tercera dimensión —profundidad— es relativamen te pequeña. En otras conchillas, donde la profun didad es rñayor, esa parte del desarrollo tambiér comparte las proporciones de la dinergía áurea ctSífno se puede apreciar por ejemplo en el bucci- no dilatado de Nueva Zelanda ( Penion dilatatusi figura 105. El diagrama de ondas de la izquierda indica cómo comparten las mismas relaciones áu­reas las espirales vecinas. La larga serie de ecua­ciones al pie del dibujo expresa lo mismo. El dia­grama de la derecha presenta, como en el ejemplo anterior, las construcciones de la sección áurea La vista lateral de la almeja pata de oso (fig. 106) ilustra la maravillosa precisión de la dinergía com­partida entre las dos valvas, que se entrelazan j complementan mutuamente. Las reconstruccio­nes de los contornos básicos revelan que la armo­nía de esta encantadora forma comparte las mis­mas dinergías que los numerosos ejemplos ante riores de crecimiento orgánico.

En los crustáceos hallamos otra vez las relaciones dinergéticas que comparten todas las regiones anatómicas vecinas. El dibujo A de la figura 107 muestra que el caparazón del cangrejo Dungeness, costa noroeste del Pacífico, Estados Unidos, se encuadra en un rectángulo áureo. La longitud de las tenazas y las patas vecinas (C ) fluctúa en su mutua relación (tabla B) entre los equivalentes visua­les de las tres armonías fundamentales de la música: 0,75, diatéssaron-cuarta; 0,618, diapente- quinta; y 0,5, diapasón-octava (D ). Los diagramas de ondas de las tenazas y las patas (E ) muestran el ritmo armonioso que las relaciones proporcionales compartidas generan entre todos estos miem­bros de diferente tamaño.

LA A N A T O M Í A D E L A P A R T I C I P A C I O N 57

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Fig. 108. Proporciones compartidas de los peces.

5 8 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

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El estudio de distintas formas de peces revela armonías rítmicas parecidas, resultantes de lím i­tes proporcionales compartidos de modo similar El análisis de las proporciones de diez peces dife­rentes, elegidos al azar, de las aguas del Pacífico de Canadá demuestra que sus contornos básicos -y con frecuencia también las partes de sus cuer­pos- comparten de distinto modo, tanto las pro­porciones de la sección áurea como las del trián­gulo 3-4-5. Las imágenes de cada uno de los diez peces de la figura 108 ilustran cómo se encua­dran los contornos en rectángulos áureos, sus múltiplos y ms recíprocos, a veces combinados con cuadrados. En muchos ejemplos, la bocá es­tá en el punto de la sección áurea de la altura del cuerpo, como es el caso del salmón plateado (1 ), el pez roca de lom o emplumado ( Carpiodes car­pió) (2), la perca manchada (familia Embiotocidae) (7) y la lamprea ( Lampris regius) (10). La hilera inferior de peces muestra cómo se encuadra una serie de triángulos 3-4-5 dobles en los contornos de la boca a la cola.

L a a n a t o m í a d e l a p a r t i c i p a c i ó n 5 9

6 0 E l p o

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Si se toman los diagramas de triangulación 3- 4-5, que representan la altura vertical del cuerpo, y se combina cada vez la longitud de tres de ellos, se obtiene una verdadera progresión armónica, ejemplificada en la figura 109 con el salmón pla­teado, el lenguado de aleta rizada, el pámpano del Pacífico, la perca manchada y la barracudina rayada. Del mismo modo, las armonías de estos ritmos se aproximan a las fundamentales de la música, como lo demuestran los diagramas de ondas y gráficos.

Fig. 109. Armonías rítmicas de los peces.

L a a n a t o m í a d e l a p a r t i c i p a c i ó n 6 1

Incluso al considerar la tercera dimensión, el grosor de estos peces, se manifiesta la tendencia a participar en la sección áurea, lo cual se ilustra en los tres típicos cortes transversales de la figura 1 lo

Los mismos límites proporcionales prevalecen en las formas de las rayas comunes y venenosas tal como lo muestra la figura 111. La parte más voluminosa del cuerpo —en el caso de la raya de aguas profundas (1 ), la raya negra (2 ), la raya de trompa alargada (3 ) y la raya estrellada (4 )— está

contenida dentro de dos rectángulos áureos y, en el caso de la gran raya (5 ), se encuadra en un so­lo rectángulo áureo. El ancho máximo de los cuerpos coincide invariablemente con el punto de la sección áurea de la altura.

(J) (¿ ) Av-en^ue (¿ ) P

sección W¿nv\svevs<?vl ¿Ae( ! ) se ev\cu¿n.¿Av-¿A ev\

t\v\ sc\c v e c f á ^ u l o á u ve o . Fov--

v-\¿tkS v*a s cov*\pvivnl¿A iS coiaao )<?vS <Ael (2) y p€v-

c<5>\ (3) <oo%+\p<nvVev\ esVcAS pv-o-

povciones ¿Ael si^uient-e v*vo¿Ao:

el í?we^u€ su ^ c U o¿>0Fuv-¿n ¿Agí vecV<5v\ ulo

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¿Ae SU -Porv*\¿n; ¿?\.lFuv-<s>i <s*.e )cn

pevc^n es Vs", cu¿nl vepvesev

F¿n el ¿Ae uv\ vecfáH^uáuveo y su vecfpvoco.

Fig. 110. Proporciones de cortes transversales de algunos peces.

6 2 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

MwlHples v-ecKán^iAios ácueos conHev\ev\ l<s>\s £ovvn<nS <Ae l<ns v-¿ny<7\s ( I ) «s’V (^)- El <?\v\cUo Vo- V¿nl Hen*Ae <n co in c id ir con e l puni-o <Ae l<n secc ión <áiAv-e«n íA€ l¿n ¿nli-«Av¿n ¿Ael cuerpo (m e­nos l<n colín). En l¿n r¿>\y<n (S), e l ¿^ncUo VoHnl

c ió le s <Ae ios Wíán^cüos *5-4—S\ £n l<n v<AytA (6), son los WiángcOos o-C-D, o-C-F, o-D-E, o-E F, ¿nsT coiaao Vo¿Aos los cov\V-ev\iíAos en 1¿a v«ny¿n (7).

se o>?Hev\e enW e ¿Aos puncos ¿Ae secc ión áw- uno cowespon^Aien^e c*. l<n <?0t-iAv-<A ¿Ael

cuevpo (ye) y e l oWo ¿n) 1 ¿nv-«o 4-ot-ínl, incluyen­d o l¿n col<n (y). U vS v<ny<ns venenosas cvecev\ ¿npc’went-ement'e <Ae <ncuev¿Ao con l«ns pvopov-

P>g 111. Proporciones de rayas comunes y venenosas.

i ó n 6 3

W 1 IH W

De diferentes modos, la longitud de la cola compacte los mismos límites proporcionales, cuy contornos se muestran en los dibujos. La cola de la raya de aguas profundas mide el largo de ui de los rectángulos que encuadra el cuerpo más uno recíproco, lo cual totaliza la V 5. La longitud ■ la cola y de la altura del cuerpo de la raya negra son prácticamente iguales. En el caso de la raya i trompa alargada y de la raya estrellada, la cola corresponde al lado más corto de un rectángulo á reo y el lado mayor es igual al ancho del cuerpo. Dos rectángulos de V5 contienen la forma cot pleta de la gran raya, desde el extremo de la cola a la punta del morro.

Las dos rayas venenosas de la figura 111 se inclinan por los límites proporcionales del triáng lo 3-4-5. Los contornos principales del cuerpo de la raya venenosa (6 ) están contenidos en dos co; juntos de triángulos recíprocos 3-4-5: O C D , O CF, OED, OEF; el ancho total corresponde al lac en que se unen estos dos conjuntos de triángulos y la longitud de la cola es el doble de la altura d cuerpo. El cuerpo de la raya costera oceánica (7 ) se encuadra en un rectángulo compuesto por di triángulos 3-4-5 y la longitud de su cola es igual al ancho del cuerpo.

En la escala de la evolución, pasaremos ahora de los habitantes de las profundidades a los ve tebrados de tierra firme, empezando con un reptil gigante prehistórico.

El dinosaurio, la rana y el caballo

En Utah se desenterró el esqueleto de un alosauro reptil gigante, feroz dinosaurio carnívoro au vivió hace aproximadamente 140 millones de años, y hace poco fue armado nuevamente en el The mas Burke Memorial Museum de la Universidad de Washington, Seattle. La figura 112 muestra es te esqueleto completo, que tuve el privilegio de medir. Como en los ejemplos anteriores, un diagra ma de ondas ilustra la articulación del enorme cuerpo a lo largo de la columna vertebral, en crá neo, cuello, tronco, sacro y cola, que corresponden a las armonías musicales fundamentales de día pente-quinta y diatéssaron-cuarta. El punto A , donde se encuentran el sacro y la primera vértebr, de la cola, es el punto de la sección áurea correspondiente a la longitud total del esqueleto, que re laciona la cola con el resto del cuerpo, tal como el tronco lo hace con el cráneo más el cuello, e cuello con el cráneo y la longitud con la altura del cráneo. La tabulación muestra cómo fluctúan es tas relaciones alrededor del coeficiente 0,75 del triángulo pitagórico y del coeficiente 0,618 de k sección áurea. La longitud del sacro y el tronco se hallan en relación áurea recíproca (con una di; ferencia de fracción señalada con la letra d), tal como lo indica la construcción de los dos rectán­gulos áureos recíprocos sobre las vértebras dorsales y sacras.

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Cada vértebra individual comparte las mismas relaciones proporcio­nales que unen todo el cuerpo, pero de diferente modo según su empla­zamiento y función específica en la estructura global, como lo muestra la figura 113. De manera que las vértebras sacras (3 ) son las más fuertes y las que tienen mayor masa, pues actúan como fulcro, equilibrando los tremendos pesos del tronco y de la cabeza, por un lado, y de la enorme cola por el otro. Las vértebras caudales (4 y 5) son las más delgadas pues se sustentan sólo a sí mismas. Los huesos con protuberancias laterales de las vértebras dorsales (2 ) son más pesados que los de la cola pues contri­buyen a acarrear el peso del tronco y de la cabeza. Las vértebras cervica­les (1 ) son las más complejas: no sólo soportan el peso de la enorme ca­beza, sino que se adaptan a sus giros en cualquier dirección.

Los diagramas de ondas revelan que la unidad rítmica de estas for­mas delicadamente esculpidasr'se basa en relaciones áureas compartidas entre muchas y diversas partes vecinas. Por ejemplo, el orificio redondo del canal nervioso está siempre muy próximo al punto de la sección áu­rea de la altura total; las salientes laterales de los huesos protuberantes y la extensión vertical de la espina dorsal tienden a compartir esta rela­ción con las proporciones del hueso redondeado y voluminoso de la ba­se, llamado cuerpo. La tabulación muestra nuevamente que, si bien nin­guna de estas relaciones es matemáticamente perfecta, es inconfundible la tendencia general a la afinidad.

Fig. 113. Proporciones de las vértebras de los alosauros.

L a a n a t o m í a d e l a p a rt i c i p a c i O N 6 7

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Fig. 115. Proporciones el pie delanteros de los

<0. 1<* í^uíhV^- O . .«Ai*\p€*V«

De particular interés son los tres pares de huesos que constituyen el cinturón pélvico de los alo- sauros (fig. 116): por completo diferentes entre sí, sirven a una función específica y, sin embargo, se relacionan mutuamente según las mismas proporciones que dan forma y unifican al resto del cuerpo. El ilion se encuadra en un solo rectángulo áureo, el isquión en dos rectángulos áureos y el hueso púbico en dos rectángulos áureos recíprocos. En lo que a sus relaciones mutuas se refiere, la longitud tanto del hueso púbico como del isquión tienden a formar con el ancho del ilion nuevas relaciones recíprocas áureas y dinergéticas de vecinos.

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Fig. 116. Proporciones del cinturón pélvico de los alosauros.

Volvamos ahora la mirada del reptil gigante extinto a un pequeño anfibio que todavía nos ac paña: la rana. Cuando se extiende y se endereza el esqueleto de una rana (fig. 117 ) y se proyec longitud de los huesos sobre el eje central del cuerpo, como lo muestra la figura 118, la lon¡: de aquéllos se mide en series que disminuyen armónicamente a medida que se alejan dé la La parte superior de la pelvis es el centro de una serie de círculos, que se amplían de ¡nodo ai nico, proporcional y descendente, y todas las articulaciones aparecen situadas en algún punt esos círculos.

El diagrama de barras de la derecha y los diagramas de ondas de la izquierda muestran la r raleza armoniosa de esas series y proporcionan una imagen gráfica de las pulsaciones del crecirr

to, pues emanan del centro pélvico de modo similar a las vibraciones de la luz, que se irradian de el centro de una lámpara en los diagramas isolumínicos de las figura 97.

El gráfico evidencia algo que ya nos es familiar: los límites proporcionales compaitidos se a ximan a las tres armonías fundamentales de la música. El diagrama de ondas que se encuentr el centro presenta las relaciones entre las extremidades y el tronco, en tanto que el diagrama < izquierda revela cómo esos mismos deslindes proporcionales existen también entre la longituc cráneo, la espina dorsal, la pelvis y las patas y pies saltarines, sumamente extendidos.

Fig. 117. Esqueleto de la rana.

Fig. 118. Proporciones del esqueleto de la rana.

L a a n a t o m í a D E L A P A R T I C I P A C I Ó N 7 1

Si saltamos varios peldaños de la escala evolutiva, podremos examinar el esqueleto de un caba­llo (fig. 119). Incluso en la peculiar forma en que éste se ha armado, la gracia de su galope es deli­ciosa. La figura 120 revela el secreto de esta elegancia, la armonía proporcional que aúna las diver­sidades en la estructura ósea.

Un aspecto de esta relación proporcional se realiza entre el cráneo y la columna vertebral, p0r un lado, y las extremidades por el otro (fig. 120). Alineadas en ejes longitudinales con sus respec­tivas dimensiones, las partes de esta estructura anatómica muestran relaciones compartidas entre el cráneo y las falanges; el cuello y los metatarsos-metacarpios; el tronco y la tibia-radio; el sacro- cola y el húmero-fémur.

Los diagramas de ondas dimensionados ilustran más el m odo en que estas diversas articulacio­nes se aproximan a las armonías fundamentales de la música, como lo demuestra el gráfico.

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Fig. 119. Esqueleto de caballo.

O D E R DE L O S L Í M I T E S

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esqueleto del caballo

Fig. 121. Lenguaje corporal de un perro. Ilustración de Darwin de la hostilidad, arriba, y de la devoción, abajo.

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O C O O O ( Y ) Q D ( D

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Fig. 122. Lenguaje de la danza de las abejas. A. Danza en redondo; tres abejas reciben el mensaje. B. Transi­ción de la danza en redondo a la danza de meneo de cola. Esquema: superior, mediante figura en forma de ocho; inferior, mediante trazo en forma de hoz. C. Dan­za de meneo de cola; cuatro abejas reciben el mensaje.

7 4 F 1. P O D E R D E L O S L Í M I T E S

Hemos visto varios ejemplos que certifican el importante papel que desempeñan las relaciones proporcionales compartidas en la anatomía de los animales. Finalizaremos este capítulo intentando mostrar que esa participación no se limita a las relaciones proporcionales de la anatomía física, si­no que se extiende a las relaciones sociales de los animales, sustentando de este modo nuestra opi­nión de que compartir es, en efecto, uno de los procesos básicos de formación según patrones de la naturaleza.

Compartir: la naturaleza de la naturaleza

En la vida animal, compartir es un proceso tan elemental de formación según patrones que es difícil seleccionar unos pocos ejemplos —de acuerdo con el limitado alcance de esta presentación- sin dejar de lado muchos más igualmente significativos. Quizas se podría empezar mencionando el modo en que se comparte la atención parental.

El naturalista ruso Kropotkin, en su libro El apoyo mutuo, menciona que el chorlito blanco y ne­gro (Vanellus vanellus) “tiene bien merecido el nombre de ‘buena madre’ que le dieron los griegos, pues nunca deja de proteger a las demás aves acuáticas de los ataques de sus enemigos” .41 Este vale­roso pájaro es famoso por compartir los riesgos que se ciernen sobre sus compañeros, fingiéndose herido y alejando de ese modo a los atacantes del nido amenazado. Lo hace dando gritos y volando con un loco batir de alas (de donde proviene su nombre inglés lapwing, “golpeteo de alas”).

El ingenioso lenguaje corporal de esta ave coincide con otros incontables ejemplos, entre los ani­males, de participación gestual. Darwin observó que los perros expresan sus sentimientos de hos­tilidad o amistad conm ovim ientos (fig. 121).

A partir de las investigaciones de von Frisch y otros, sabemos que las abejas comparten infor­mación detallada sobre lugares donde hay alimento, usando el lenguaje de la danza (fig. 122). Se realiza una danza en círculo para indicar que hay alimento cerca (A ). Si la comida está más lejos, la danza se ajusta a un patrón de figura en ocho (B ) y se añade un vigoroso meneo de cola (C). Tal tipo de danza no sólo comunica información: las bailarinas también comparten energía y estímulo, lo cual induce a las compañeras a salir en enjambre a obtener la comida, acto del cual dependen sus vidas42.

Son bien conocidas las danzas de apareamiento de las grullas y otras aves. Pero también se ha informado de pájaros que danzan y cantan en concierto sin otra razón aparente que el placer com­partido, como observó W. H. Hudson en su libro Un naturalista en el Río de la Plata, que refiere sus viajes por América del Sur, a fines del siglo xix. A llí comenta que, de vez en cuando, “veía toda una llanura cubierta con una interminable bandada de chajás ( Chauna chavarria) ... De repente, toda esa multitud de pájaros que cubría millas de pantanos explotaba en una imponente canción vesperti­na ... Era un concierto que valía la pena cabalgar cien millas para oír” .45

El grillo macho comparte su apremio por acoplarse con las hembras distantes, a las que atrae con su llamado de apareamiento. Los pájaros también cantan para atraer a sus parejas y, además, comparten otros tipos de información, por ejemplo, se advierten entre sí respecto del acercamien­to de enemigos, de la presencia de intrusos amenazadores en su territorio o llaman a sus compañe­ros para reunirse. Las ballenas son célebres por comunicarse entre sí cantando. En particular, la ba­llena jorobada ( Megaptera novaeangliae) canta con sonidos inquietantes, que resultan bellos hasta para el oído humano. Su canto es muy intenso y cubre una gama sonora que va del bajo profundo a la soprano aguda. N o se sabe qué mensajes se transmiten las ballenas con estos cantos, pero los científicos suponen que les sirven para “identificar individuos y mantener unidos los grupos peque­ños durante las largas migraciones oceánicas” .44

______________

Fig. 123. Delfines rescatando a un compañero herido.

Las migraciones de animales son, por su parte, inmensas empresas comunitarias. Kropolkin ob­servó la reunión de miles de aves migratorias en las estepas de Siberia y dijo que “antes de partir, permanecen reunidas en determinado lugar durante varios días seguidos y evidentemente comen­tan las particularidades del viaje... todas esperan a las demoradas... y finalmente salen en ciertas di­recciones perfectamente elegidas —fruto de la experiencia colectiva acumulada—, volando las más fuertes a la cabeza de la bandada y relevándose unas a otras en esa difícil tarea. Cruzan los mares en grandes bandadas formadas por pájaros grandes y pequeños” .45 Uno no suele apreciar la magni­tud de estas empresas. La golondrina marina del Ártico viaja dos veces al año de una región polar a la otra, pues pasa los veranos en el Polo Norte junto a las costas del Océano Ártico y los invier­nos cerca del Polo Sur en la Antártida. De modo que cada viaje implica para estas aves recorrer una distancia de 17.700 km. Estas empresas gigantescas no se podrían llevar a cabo sin una extraordi­naria cooperación y asistencia mutua entre los individuos que las realizan.

Compartir las aflicciones de los demás y rescatar a los compañeros en peligro es otra cosa regis­trada entre los animales de muchas especies. En 1969 se observó en el Mediterráneo cómo un del­fín alcanzado por un electroharpón era sostenido y finalmente rescatado por sus compañeros (fig. 123). Informes parecidos se han brindado sobre perros salvajes, elefantes africanos y babuinos, en­tre otros.4" Cito una vez más a Kropotkin: “Cuando un papagayo es muerto por un cazador, los de­más vuelan sobre el cadáver de su camarada dando chillidos de dolor y caen ellos mismos, vícti­mas de su amistad, como decía Audubon”.47

L a A N A T O M Í A D E L A P A R T I C I P A C I Ó N 75

Fig. 124. Formas compartidas por las olas, las colinas, las nubes y las rocas. Océano Pacífico en Punto Reyes, California, izquierda, y formaciones de rocas en Glen Canyon, Colorado, derecha.

Kropotkin fue úno de los primeros en reunir un volumen sustancial de evidencia ¡ u.t ,tilica so­bre estos patrones de comportamiento de los animales. Se convenció de que ia participación en la forma de “asistencia mutua y cooperación” no era sólo el "origen prehumano de loua conducta moral sino también una condición básica de la supervivencia y un factor critico de la evolución*

En el siglo xix, este punto de vista fue descartado en lavor de conceptos darvviniani muy po­pulares entonces, tales como la selección natural, la supon i vene i a ele los mas aptos, la lucha por la existencia y la competencia. La controversia está todavía en pie entre los que sostiene i¡ o ic los seres humanos son inherentemente agresivos y competitivos y los que adhieren al punto ele isla opues­to: que tenemos potencialidades naturales igualmente iuertes para la cooperación no .....

La teoría de la “agresividad innata” ha sido revivida > popularizada por los e s c ril o s de Konrad Lorenz, Robert Ardrey, Desmond Morris y W illiam Golcling, entre otros. Por el otro lado, están los que sostienen que la guerra y la violencia son conductas aprendidas, culturalmente fomentadas. El antropólogo Ashley Montagu escribe: “Los seres humanos pueden aprender practi- i mente cual­quier cosa” .-” “La guerra no está en nuestros genes” , dice Sally Carrighar en M a n amt \v¡vssion (Ei hombre y la agresión).'0 “Si bien es cierto que muchos hombres son asesinos, también es ci clad que muchos más no lo son ... La propensión del hombre a la violencia no es racial ni un atributo de \í especie, entrelazado en el tejido genético. Está condicionada ctiliuralmente por la historia y loses- tilos de vida” . Así escribió Rene Dubos en 1971/'

Para citar otra vez a Ashley Montagu: “En la actualidad y con toda justicia, el principio de coo peración se está empezando a considerar un importante factor de supervivencia para iodo grupc viviente” . W. C. Allee sintetiza del siguiente modo el punto de vista moderno: “El equilibrio entri la cooperación ... y el egoísmo se encuentra relativamente cerca. En muchas condici* >ncs las fuer zas cooperativas pierden. Sin embargo, a largo plazo, las motivaciones centradas en c! grupo y nía: altruistas resultan un poco más potentes ... Nuestra tendencia a la bondad, tal como ia <_onocemos

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Fig. 126. Los c v . alos muestran patrones compartidos entre el pavo real y la margarita.

es tan innata como nuestra tendencia a la inteligencia; podríamos muy bien aprovechar más de am­bas” .’2 Otro antropólogo, Collin M. Turnbull, en base a sus estudios sobre culturas tribales ágrafas, añade: “ ... si, aparentemente, un hombre tiene capacidades ilimitadas para la violencia y la agresión, posee en la misma medida gran potencial para la no violencia y la no agresividad”.33

En términos de política económica moderna y práctica —individual, nacional e internacional— la economista Barbara Ward llega a esta conclusión: “Cuando los hombres o los gobiernos trabajan con inteligencia y con visión de futuro para el bien de los demás, logran también su propia pros­peridad... La generosidad es la mejor política... Nuestra moral y nuestros intereses -vistos en ver­dadera perspectiva— no van en direcciones opuestas” .’4

Compartir es creativo. Sí compartimos lo que tenemos con nuestros vecinos no tendremos me­nos, por el contrario, ganaremos más que si lo hubiéramos conservado todo para nosotros. Esa es la paradoja del compartir expresada en las palabras que San Pablo atribuye a Jesús: “Es mejor dar que recibir” .

Hemos visto que la participación, como proceso básicí:/ de formación según patrones, da forma a relaciones armoniosas en la vida animal y humana, tal como da forma a las armonías proporcio­nales de la anatomía animal, la música y las demás artes. Existe, en efecto, un “mana del compar­tir” gn toda la naturaleza. Si uno mira un paisaje de la costa oceánica, digamos en California, y co­loca a su lado una imagen de formaciones rocosas, por ejemplo, de Colorado (fig. 124) es difícil de­terminar dónde terminan las rocas y empiezan las nubes o el océano, porque los pliegues de las montañas y de las nubes comparten las líneas ondulantes del agua.

De m odo similar, el plumaje desplegado de un pavo real comparte el patrón dinergético que existe en el centro de una margarita. Las líneas punteadas de la figura 125 que se conectan con los ojos del plumaje del pavo real son idénticas a las espirales logarítmicas utilizadas para reconstruir el patrón de la margarita. Cuando los círculos se insertan entre las líneas espirales (fig. 126), el pa­trón del pavo real se transforma en el patrón central de la margarita. No es magia: es el mana del compartir, que es la naturaleza misma de la naturaleza.

^ 05 ° j°s de la cola del pavo real están situados en los puntos de intersec­as espirales logarítmicas.

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capítulo 6: Orden y libertad en la naturaleza

Patrones orgánicos e inorgánicos

Tanto el compartir como la dinergía son procesos básicos de formación según patrones, que uni­fican las diversidades. La existencia básica de unidad entre las múltiples diversidades de este mun­do es una de las observaciones más antiguas de la humanidad. Las culturas ancestrales atribuían es­ta unidad a las divinidades o a un creador único. Los filósofos presocráticos buscaron su secreto en una sustancia universal, Tales la vio en el agua, Anaxímenes en el,aire y Heráclito en el fuego. A es­te último filósofo se le atribuye el haber desarrollado el concepto de la “unidad en la diversidad” .

En épocas más recientes, este concepto se ha vuelto básico tanto en el arte como en la ciencia. El matemático estadounidense G. D. Birkhoff en 1928 dfíarrolló una teoría de la medida estética basada en este principio, al que él se refería como “el orden en la complejidad”55. La medida del va­lor estético, según su teoría, es proporcionalmente directa al orden e inversa a la complejidad. H. E. H,untley, en su libro sobre la sección áurea mencionado antes, cita a J. Bronowski: “La ciencia no es nadamás que la búsqueda de la unidad en la salvaje variedad de la naturaleza o más exactamen­te, en la variedad de nuestra experiencia. La poesía, la pintura, las artes son —según la frase de Co- leridge— la misma búsqueda de unidad en la variedad” .515

En la naturaleza, el copo de nieve es uno de los más bellos ejemplos de este principio: cada co­po es diferente y, sin embargo, todos se hallan aunados por su patrón hexagonal básico (fig. 127). Esta uniformidad caracteriza todos los patrones inorgánicos cristalinos, más ordenados y uniformes que los patrones de lo viviente.

Los patrones hexagonales, como el copo de nieve, son más comunes en la naturaleza inorgáni­ca que en la orgánica, donde es evidente la preferencia por el patrón pentagonal. Existen, sin em­bargo, interesantes conexiones entre el patrón hexagonal y el pentagonal. Una de ellas aparece en

Fig. 127. Copos de nieve. Las flechas señalan los patrones triangulares repetidos 12 veces en cada copo.

O r d e n y l i b e r t a d e n l a n a t u r a l e z a 7 9

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Fig. 128. Modelo de icosaedro.

El i<cos<*.e.Avo ¿lúe <rov\st-¿n ¿Ae 20 t-viáv^u- los Isó sce le s se pue<Ae covvsWimv U«?voev\- <Ao K e s veot-ávv^ulos «áuv-eos <Ae <r¿nvt-uU- v\<?v cov\ i\Hín Uev\¿Aí¿A.L\v«?v en l¿n. lfv\e¿n cev\- W-¿*.1 6/é¿n.nse los c o v fe s <Ae 1¿* Íz.<=\iAÍev¿A.¿?v) y lu e ^ o ¿A.esUz.áv\£Aolos u^o <Aev\Ko ¿Ael úfvo ¿n ^0°, crovno si Se W¿M-¿nv¿n evn- ■b¿nl<?v)e <¿*.e U uevos. Veiv\Ve elásHcros sos-

J Vevvl -os en pe^uemns Uev\¿Al¿AL\v¿?\s Ue-c:U¿»vs ev\ )¿as es^uiv\¿ns <Ae los vec+\á v lOos áuvees cot*Aplet-¿>iv\ el v^vo^elo, ¿jue se pve- sev\V¿»v e n pvoyecrct<5v\ ovf-o^ovv¿n 1 C^), ¿Aoh-

«^e los vecrV-áH^ulos I y 3 se vev\ <Aes¿Ae un v>ov¿Ae. L¿ns vistas ev\ pevspecHv«n (£>) y (C) v*MAesW<?vv\ \cs cov\Vow\os Ue>c^ov\¿n- les y penHn^ovunles, v-especrHv^v^vev\+-e.

el icosaedro (fig. 128), que consta de veinte caras triangulares y tiene un contorno hexagonal, si se lo ve de un lado, y pentagonal, si se lo ve del otro. Sus planos diagonales (que conectan en senti­do diagonal los bordes opuestos) son rectángulos áureos.57 Quizás el ejemplo del icosaedro es un reflejo de la relación existente entre la materia inorgánica y la orgánica, construida esta última a par­tir de la primera, como es el caso del cuerpo humano, constituido por dos tercios de agua.

La unidad en la diversidad, tanto de patrones orgánicos como inorgánicos, también se aprecia en los patrones espirales de ciertas galaxias (fig. 129), que reflejan en escala cósmica los diminutos patrones espirales dinergéticos de las conchillas y las ñores.

8 0 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

os¿*.e¿Avo < L\e ctohsKtv ósceles se. pt\e<Ae con:

veokáv\cjL\loS <áUv€Os| OH L\v\<sn. UeHíAiíAlAr v\(véanse los crovfes <Ae :3o <Aesliz-áv\¿Ao1os uno ¿>v ñ0°, ctovaao si se W^f< je ¿Ae Uuevos. Veinfe os en pe^uePwns Ue»\< en )¿?vs es t\iv\<ns <Ae )•

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tiene un contomo diagonales (que coi izás el ejemplo del íj pánica, construida es| ido por dos tercios dj no inorgánicos, tami an en escala cósmica*

parrón de marídala de una galaxia espiral es similar a las i-spirales del crecimiento orgánico.

Del mismo modo, las piñas se desarrollan según patrones parecidos. Las cascarillas nen las semillas crecen en las intersecciones de dos conjuntos de hélices espirales, que Se lian en el espacio tridimensional como la molécula de ADN. Vistas en plano, las p~royecc pirales de estas hélices parecen galaxias en miniatura (fig. 130). En la piña del pino j e 131, trece hélices se mueven en una dirección y ocho en la otra, muy cercanas a las p de la sección áurea.

En los primeros años del siglo xx, en Inglaterra, T. A. Cook publicó un libro profusanle irado, The Curves qf Life (Las curvas de la vida), sobre el predominio de las proporciones de ción áurea en la naturaleza y el arte.’8 Pero no enfatizó la paradójica combinación de UnicjgJ versidad, sino más bien sólo la diversidad, como si la unidad implicara necesariamente dad, lo que por suerte no es asi. Dos libros estadounidense! que aparecieron en la niism;Nature’s Harmonic Unity (La unidad armónica de la natumlezaj y Proportional Fonn QL.ci fonna cional) de Samuel Colman y Arthur Coan,w también descnbe.i} el papel que desempeña la ' r°^' áurea en los patrones armoniosos de la naturaleza y*ífl arte. Pero estos libros enfatizan sólo^ft dad de estos patrones. Que la diversidad y la unidad están dinergéticamente unidas en todaslas " monías de la naturaleza y el arte es un punto que no se destaca en estos libros, aunque se trat E

,íima verdad que documentan todos sus ejemplos.La realidad aúna y diversifica al mismo tiempo. Montaigne observó en el siglo xv: ‘ Si bien ni

gún suceso ni ninguna forma es enteramente igual a otra, tampoco es por completo diferente

otra... Si nuestros rostros no fueran similares, no podríamos distinguir el hombre de la bestia; si no fueran disímiles no podríamos distinguir un hombre del otro"."11

Cómo realiza la naturaleza lo aparentemente imposible, al crear formas que son a la vez simila­res y disímiles, aunadas y diversas, ha sido brillantemente demostrado por la “teoría de las trans­formaciones” de sir D ’Arcy Wentworth Thompson, antes mencionada.61 Con la ayuda de esta teo­ría se puede ver que la forma de ana especie deriva de la de otra relacionada. Ese distinguido au­tor derivó, por ejemplo, de la forma muy común del pez puercoespín (Diodon), la forma de un pez sol ( Orthagoriscus mola), transformando la red de coordenadas en ángulo recto donde se trazó el primero, en una red correspondiente pero deformada de líneas curvas donde se encuadra el segun­do (fig. 132). Esto es posible porque, como dice el autor: “Existe algo, un algo esencial e indiscu­tible, que es común a ambos’'.1’ ’ Puede descubrirse en qué consiste ese algo especial, comparando las proporciones básicas de estas dos formas; ambas son \ ru ¡aciones de las proporciones de la sec­ción áurea. El pez puercoespín se encuadra en dos rectánguki.■>■«;»wieos recíprocos, en tanto que el pez sol lo hace en dos triángulos 3-4-5.

En 1953, el zoólogo Paul Weiss, en su disertación inaugural como presidente de la American As- sociation for the Advancement o f Science (Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia),

Fig. 132. Análisis comparativo del pez puercoespín, izquierda, y del pez sol, derecha.

/

.AivA:a .Ag ’ -Poviaa vS Se

¿ n i C O W f í > l v H v ) p v o p O v c ' l O H e S 'A A

covv-espon<Aev\ a\ \¿ns uív K:'vA-A’s .AA t¿*.s

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/.- I .Gi3 = O. 6/8 : t = O. £/8

3

O r d e n y l i b e r t a d e n l a n a t u r a l e z a 8 3

interpretó la unidad en la diversidad que presentan los patrones de la naturaleza orgánica como una combinación del orden y la libertad. Esa combinación es tan paradójica como dinergética: el orden y la unidad implican restricción, en tanto que la diversidad representa la libertad de diferir. “La vi­da es orden, pero orden con tolerancias” .65

Los copos de nieve nos han demostrado que este principio también está presente en la natura­leza inorgánica. En el movimiento de los péndulos pueden hallarse más patrones inorgánicos que evidencia el principio de orden y libertad. Las formas de las figura 133 fueron hechas por un ar- monógrafo, consistente en dos péndulos que registraron sus movimientos simultáneos con la ayu­da de una tablilla unida a uno de ellos y de un lápiz unido al otro. Cuando sus longitudes —que de­terminan la cantidad y el ritmo de las oscilaciones de ambos péndulos— se liberaban de toda res­tricción o relación mutua, el patrón resultaba caótico, como lana enredada (C ). En cambio, cuan­do las longitudes se ajustaban para que la cantidad y el ritíjio ,de las oscilaciones de uno y otro se relacionaran entre sí, según coeficientes expresables en núm&ijafssenteros mínimos, los patrones re­sultaban armoniosos, como lo ilustran A, B y D. Los péndulos, de todos modos, oscilaban libre­mente, pero ahora las líneas también reñejaban, por la cantidad de rizos formados a cada lado, los límites proporcionales entre la longitud —y, por ello, entre la cantidad de oscilaciones— de los pén­dulos que los generaban.64 La diferencia entre líneas caóticas y armoniosas, producida aquí por la gravedad, es análoga a la diferencia comentada antes entre el ruido y el sonido musical.

Existen curiosos parecidos entre los patrones armonográficos y ciertas formas de conchillas. La fi­gura 134 muestra el corte transversal de una conchilla nautilo y un patrón armonográfico producido por dos péndulos de la misma longitud, pero que oscilan en direcciones opuestas. Los dos patrones tienen diverso origen y, sin embargo, hay similitud entre sus gráciles líneas. Esta similitud se asienta en el hecho de que son relaciones proporcionales dinergéticas las que generan ambos patrones: au­mentos de crecimiento en la conchilla y ritmo y cantidad de oscilaciones en los péndulos.

La gravedad es peso. Cuando, debido al compartir dinergético, el peso se eleva en dirección opuesta a la gravedad, surge la gracia. Es esta liberación de la carga sin esfuerzo aparente lo que. nos encanta como gracia y de ahí su connotación divina. Grcivity and Grace (La gravedad y la gracia) es el título de las notas de Simone Weil, publicadas en forma postuma, donde registra de conmove­doramente sus observaciones sobre el extraño m odo en que se vinculan —tanto en la naturaleza co­mo en el destino humano— necesidad y belleza, orden y libertad, gravedad y gracia y unidad y di- versidad65.

Fig. 133. Variedades de patrones armonográficos dinergéticos.

8 4 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Fig.«134. A. Patrones trazados por el armonógrafo. B. Corte transversal de la conchilla nautilo cerrada.

O r d e n y l i b e r t a d e n l a n a t u r a l e z a 8 5

1

Tb<A¿ns <Aiv ev\stov\es en iA\ilíW\e+-vos., . 1 o / Z 3 4 G 7 8

Los vxut*AevOS pvopov-<riOv\¿?0<2S e v \ fre c ) . biumiil ..I "h-.— t-_ -L .l-;.'.':i...

I 1 Ae Hevr¿n. C¿*\osova¿?v s<rvt\V<:n+-or (F¿nbv-ic:iiAs)

Del escarabajo a la mariposaEl orden de insectos de mayor tamaño es el de los co­

leópteros, el orden de los escarabajos. La figura 135 mues­tra una selección al azar de ejemplares de la especie, perte­necientes a diferentes familias y subfamilias, todos de distin­ta forma y, no obstante, unificados por el mismo tipo de re­laciones proporcionales entre sus partes interconectadas. Este dibujo muestra que las relaciones son afines al coefi­ciente 0,618 de la sección áurea o al coeficiente 0,75 del triángulo pitagórico. El gráfico inferior izquierdo muestra los diversos modos en que estas relaciones proporcionales se aproximan a las áureas y pitagóricas. Como resultado de ello, la forma de cada escarabajo resulta afín, tanto en sus proporciones globales como en sus articulaciones detalla­das, a las armonías visuales equivalentes a las musicales dia­pente-quinta y diatéssaron-cuarta.

( 2.) E s o í a v . ‘Scak C O H tÁOS V*\0V¿»VS.

V>ipiAV\c4-<sn.V‘<7'. (Liv\.) Cocci'Ael

Fig. 135. Unidad de diversidades en las formas de los escarabajos.

> S" ,i Lucíévvvtí’^-s’v o b ic U o A e. 4 ) Pev-Pov¿>uAov ^<2 W ’vllo ¿Ae

Fc’U-'AÍKí’v: L¿’U'Apiv-i¿A¿n<2 lAÍScnvvt-es Cs.S<C<rCoo\cjtf’O. u.v-t¿n L nWeille

( *3 ; Gov- ojo ¿Ae Cyl s -Povv«Aicr<?vviiAS

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1 4-) Escfinv b jo i-oví-iAcn Ae. Uojí*.).

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1<a ¿*-i<nVés- Svon-cvAíAv-Vín

8 6 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

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19.1:31 — O.G/G

//-9 -/g.2 — <7,6¿»

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7.3. //.3 = o.éí-7

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2-5.3 ^0.6o6 3-3 •S'.3 =0 .623

e. í/o _ o.S2o3-8:6.2 = 0.6/3

3.5 :l5.S~O.S!3lsr ^. Z 5 ^ 0.620

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Fig. 136. Análisis de las proporciones de la mosca Midas.

Tb,¿A.<*.s )<?\s «sA. i «Apensiones en <renKt*\eW-os. Los v\¿¡i*\eros pvopovcriovv<?Oes en ( ) .

¡O r o S ¡O 15 20 2S

El cuerpo de la mosca Midas (orden de los dípteros) (fig. 136) se encuadra en dos rectángulos áureos. En esta mosca, el crecimiento pa­rece producirse desde el tórax hacia arriba y hacia abajo. Las construc­ciones de la sección áurea muestran el proceso de crecimiento median­te una serie de rectángulos áureos (sombreados) que van disminuyen­do. Las sucesivas etapas del crecimiento establecen relaciones áureas recíprocas. Los ritmos armónicos del proceso de crecimiento se ilus­tran por medio de los diagramas de ondas y de barras y con la tabula­ción numérica y gráfica. La forma de las alas comparte las relaciones proporcionales básicas del cuerpo. Un rectángulo áureo contiene la parte más angosta del ala, en tanto que la más ancha se incluye en el cuadrado correspondiente al ancho del ala, y la relación entre cuadra­do y rectángulo es recíproca “de vecinos”.

Aunque las libélulas comunes, las coloreadas, las elongadas y las gi­gantes (orden de los odonatos) no tienen apariencia de moscas, com ­parten sin embargo las mismas limitaciones proporcionales básicas. La forma general de la libélula gigante común, por ejemplo, se encuadra perfectamente en un solo rectángulo áureo (fig. 137). A lo largo del eje longitudinal del cuerpo, la cabeza, los segmentos de la placa dorsal protorácica, torácica y abdominal y los emplazamientos de las alas muestran relaciones de vecinos, parecidas a las de la mosca Midas. Es­ta relación conecta el último segmento del abdomen con el elongado

O r d e n y l i b e r t a d e n l a n a t u r a l e z a 8 7

Fig. 137. Análisis de las proporciones de la libélula gigante.

8 8 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

ápice, que le sirve para expeler el agua del cuerpo y asistir de es­te m odo su vuelo con “propulsión jet” .66 El ala trasera de la libé­lula gigante común tiene las mismas proporciones que el ala de la mosca Midas, encuadrándose su parte más angosta en un rectán­gulo áureo y la porción más ancha en un cuadrado igual al ancho del ala. El ala delantera elongada se encuadra en dos rectángulos áureos y sus recíprocos.

Las proporciones de las alas de otros insectos, como las cachi­pollas, las abejas, las avispas, las hormigas, los grillos y los salta­montes presentan límites proporcionales parecidos. Además, la misma forma de ala aparece, fuera del reino animal, en las semi­llas aladas del arce, por ejemplo. En la muestra 1, las dos alas se solapan por completo, encuadrándose en un rectángulo áureo y su recíproco. En la muestra 2, las dos alas se encuadran en un so­lo rectángulo áureo y el punto más ancho de ambas combinadas se encuentra en el punto de la sección áurea de su longitud. En la muestra 3, el ala derecha ha crecido en la diagonal de un rec­tángulo áureo y la izquierda se encuadra en un rectángulo áureo y un cuadrado, el ancho del cual corresponde al ancho completo del ala (en la posición que ocupa dentro de la configuración to­tal). La muestra 4 exhibe otra variante, donde cada una de las alas corresponde a diagonales de rectángulos 3:4.

Si se considera cada semilla alada por separado, resulta que IA se encuadra en dos rectángulos áureos; 2A, en un rectángulo áureo y un cuadrado que corresponde a su ancho; 3A, en dos rec­tángulos áureos y sus recíprocos, y 4A, en dos rectángulos áureos y un cuadrado que es igual al ancho del ala. En cada uno de esos ejemplos, la semilla misma se extiende hasta el punto de la sec­ción áurea, en el larso de uno de los rectángulos áureos que en­cuadran la forma completa.

La variedad y belleza de las mariposas (orden de los lepidóp­teros) es proverbial. La generación de las proporciones de las alas de las mariposas varía de especie en especie, no obstante, existe unidad en esa diversidad, creada por los mismos límites propor­cionales que observamos antes, con el agregado de la proporción 1:2 = 0,5 que corresponde a la diapasón-octava.

En cada una de las mariposas que aquí se ilustran se verificaron seis relaciones proporcionales básicas: ancho total del ala o la m i­tad (2A o A ) respecto de la altura del ala (B); longitud del cuerpo (C ) respecto de la altura total del ala (B ); longitud del cuerpo (C ) respecto del ancho total del ala o de la mitad (2A o A ); longitud del ala trasera (E ) respecto de la longitud del ala delantera (D ); ancho del ala delantera (G ) respecto de su propia longitud (D ); y ancho del ala trasera (F ) respecto de su propia longitud (E).

~To<A.¿>\s 1 e n v*vliV\eWos. Los »\¿¡»*\evos p^opircriov\a>\les e*\W e O -

Fig. 138. Patrones proporcionales de las semillas aladas de arce.

O r d e n y l i b e r t a d e n l a n a t u r a l e z a 8 9

Fig. 139. Análisis de las proporciones de la mariposa Clodius parnassius.

La figura 139 muestra el ejemplo de la Clodius parnassius, que pertenece a la familia de las par- násidas: mariposa de color gris claro con notorios puntos redondos y rojos en sus alas traseras y trazos oscuros en forma de medialuna, que marcan todo el contorno de los bordes de las alas. Pre­senta relaciones de diapasón-octava entre la longitud del cuerpo y la altura total del ala (2 ), y en­tre el ancho y el largo de las alas delanteras (5 ). Resulta afín a la armonía de diapente-quinta por la relación de la longitud del cuerpo con la mitad del ancho de las alas ( 3 ) , y a la de d i a t é s s a r o n -cuar­ta por tres relaciones: la mitad del ancho del ala respecto de la altura del ala (1 ), la longitud del ala trasera respecto de la longitud del ala delantera (4 ) y el ancho respecto de la longitud de las alas traseras (6 ). (Las diferencias entre las proporciones matemáticamente exactas y las reales se indican en el dibujo por medio de la letra d).

9 0 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

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Fig. 140. Análisis de las proporciones de la mariposa cola de golondrina nublada.

La figura 140 es una vista ventral de un ejemplar de cola de golondrina nublada. Se trata de una mariposa grande y bella perteneciente a la familia de las papilónidas, con alas que parecen de en­caje negro y la característica elongación del ala trasera que da cuenta de su nombre y hace que és­ta resulte tan larga como el ala delantera. Hallamos la armonía equivalente a la de diapasón en la relación de la longitud del cuerpo con la mitad del ancho del ala (2 ); a su vez, la proporción equi­valente a diatéssaron relaciona la mitad del ancho del ala con la altura del ala (1 ). En este ejemplar, hay tres relaciones de diapente: una entre la longitud del cuerpo y la altura de las alas (3 ) y las otras entre el ancho y la longitud de cada una de las alas (5 y 6).

O r d e n y l i b e r t a d e n l a n a t u r a l e z a 91

Fig. 141. Proporciones de la mari­posa cebra.

9 2 E l p o d e r d e l o s l i

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La mariposa cebra (fig. 141) ( Heliconius charitonius), que pertenece a la familia de las helicóni- das, es marrón oscuro con brillantes franjas amarillas. Tiene alas delanteras elongadas que se en­cuadran en el rectángulo de V5, compuesto por dos rectángulos áureos recíprocos. Una versión alar­gada de esta misma proporción abarca la forma total de esta mariposa. Los 21 milímetros de largo del cuerpo y los 34 milímetros de ancho total de las alas de este espécimen corresponden a los nú­meros de Fibonacci y aportan múltiples variantes armónicas de diapente (véanse los cuadros 1, 2, 3, 4, 5). Las proporciones del ala trasera se aproximan a 3:4 = 0,75, el equivalente visual de diatés- saron.

Es sorprendente contemplar tal unidad en las múltiples diversidades de la naturaleza, donde ca­da especie se desarrolla libre en su singularidad y, a la vez, aunada con todas las demás por compar­tir los mismos límites proporcionales: simples, dinergéticos y armoniosos. Las mariposas revolotean, las libélulas se lanzan como flechas y los escarabajos perforan la tierra. El movimiento de los alosau- ros debe de haber sido pesado y su andar torpe, muy diferente del grácil galope del caballo, del len­to desplazamiento del cangrejo y del súbito salto de la rana. Tan exclusivo como cada uno es y tan diferentes de las semillas aladas del arce, de las margaritas y de las girasoles, se aúnan, sin embargo, por compartir los límites proporcionales de las armonías fundamentales de la música.

M I T E S

Armonías humanas

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La percepción de las proporciones humanas ha variado enormemente a lo largo de las épocas. Uno de los primeros documentos escritos sobre las proporciones humanas es de Marcus Vitruvius Pollio, arquitecto y escritor romano del siglo I. Comienza su obra Diez libros sobre arquitectura con la recomendación de que los templos, para ser magníficos, se construyan análogos al cuerpo huma­no bien formado, en el cual, dice, existe una perfecta armonía entre todas las partes/’7 Veremos más sobre las ideas de Vitruvio acerca de los templos en el capítulo siguiente. Aquí nos interesan sus ejemplos de proporciones humanas armoniosas. Entre ellas menciona la altura que, en el hombre bien formado, es igual a la amplitud de sus brazos extendidos. Estas medidas iguales generan un cuadrado que abarca todo el cuerpo, en tanto que las manos y los pies desplazados tocan un círcu­lo centrado en el ombligo.

Esta relación del cuerpo humano con el círculo y el cuadrád^LSe asienta en la idea arquetípica de la “cuadratura del círculo” , que fascinó a los antiguos, porque esas formas se consideraban per­fectas e incluso sagradas, tomándose el primero como símbolo de las órbitas celestiales y el segun­do como representación de la “cuadrada” solidez de la tierra. Los dos combinados en el cuerpo hu- mano .sugieren, en el lenguaje simbólico de los modelos, que aunamos en nosotros las diversidades del cíelo y de la tierra, idea compartida por muchas mitologías y religiones.

Cuando el Renacimiento redescubrió la vigencia clásica de Grecia y Roma, Leonardo da Vinci ilustró con su famoso dibujo (fig. 142) la versión de esta idea expuesta por Vitruvio. El diagrama de barras y el diagrama triangular, que aquí se añaden al dibujo, muestran cómo las partes adya­centes de este cuerpo comparten proporciones comprendidas en el rango de la sección áurea y del triángulo pitagórico. Leonardo, como otros maestros del Renacimiento, fue un gran estudioso de

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Fig. 144. F.studio realizado por Dürer de las propor­ciones humanas, utilizando las escalas armónicas.

las proporciones armoniosas e ilustró el libro del matemático Luca Pacioli La divina proporción, so­bre la sección áurea, publicado en 1509 (fig. 143). Leonardo sintetizó sus estudios de las propor­ciones adecuadas en las siguientes memorables palabras: “ ... toda parte está dispuesta a unirse con el todo para así, quizás, escapar de su incompletitud”.

Esta disposición de las diversas partes del cuerpo humano a unirse con el todo también fascinó a otro gran pintor del Renacimiento, Albrecht Dürer, que publicó varios volúmenes sobre las pro­porciones humanas. Sus teorías incluyen el uso de escalas armónicas, como muestra la figura 144, para ilustrar esas relaciones en los dibujos de los cuerpos de un niño y de un hombre

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La idea de que las armonías fundamentales de la música —según los conceptos pitagóricos revi­vidos— se corresponden con las proporciones adecuadas del cuerpo humano y deben, por lo tanto continuarse en la arquitectura, se convirtió en una idea dominante entre los maestros del Renaci­miento. A continuación de esa época, algunas ideas sobre las armonías humanas tomaron un rum­bo místico, fortalecidas por los estudios de la Cábala, la tradición mística judía, que llegó a través de las traducciones al latín de los textos hebreos antiguos. El inglés Robert Fludd describió al hom­bre como un microcosmos unido al macrocosmos del universo, que combina las potencialidades oscuras y terrenales con las luminosas y celestiales y se ajusta a las armonías musicales universales como un monocordio que se extiende de la tierra al cielo (fig. 145).68

Tiempo después, la era iluminista y la racionalista fruncieron el ceño ante tales ideas místicas El pintor Hogarth consideró “una extraña noción” la idea desque hubiera alguna correspondencia entre la belleza vista por el ojo y la armonía escuchada por el oído. El filósofo escocés Hume pun­tualizó que la belleza está en el ojo de quien la contempla y~¿s( completamente subjetiva. El inglés Edmund Burke dijo que “no existen dos cosas meno^5arecidas o análogas que un hombre, una ca­sa o un templo” . A fines del siglo xix, John Ruskin afirmó que “las proporciones son infinitas como los posibles aires de la música y se debe dejar que la inspiración del artista invente las proporcio­nes bellas” .69

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Fig. T.46. Proporciones del cuerpo masculino.

Las figuras 146 y 147 se basan en mediciones de esqueletos humanos realizadas por el autor e integradas con información sobre medición de modelos vivos y otra recogida de libros de anato­mía. Todas las dimensiones corresponden a adultos de talla promedio, según lo informado por las investigaciones del gobierno de los Estados Unidos.

O r d e n y l i b e r t a d e n l a n a t u r a l e z a 9 7

Estos dibujos de la figura femenina .muestran que los brazos levantados y las piernas extendidas tocan incluso otro^cjírculo, más allá del que está cen­trado en el ombligo. El centro de este nuevo’ círculo está próximo al centro de gravedad del cuerpo completo, cerca del punto donde la Columna verte­bral emerge del sacro, como en el caso de la rana. Este círculo es algo ma­yor que el de Vitruvio y Leonardo porque ellos toman una figura apoyada en las plantas de los pies, excluyendo de ese m odo el largo de éstos y, en cam­bio, los presentes dibujos incluyen el largo de los pies, que aparecen exten­didos como los de una bailarina de ballet.

Los diagramas de las figuras 146 y 147 muestran otra vez cómo las par­tes del cuerpo humano comparten los mismos límites proporcionales. De modo que, las relaciones del largo de la mano respecto del brazo y del tron­co (basta el punto inicial de la columna vertebral, en la pelvis) son compar­tidas, como en el caballo de raza, por las relaciones de la cabeza con el cue­llo, el tronco, las piernas y los pies. Toda la estructura ósea del cuerpo hu­mano se encuadra perfectamente en tres rectángulos áureos, y uno recípro­co que contiene la cabeza (véanse los Apéndices i y n).

La unidad que compartimos con las plantas y los animales se puede apre­ciar nuevamente en el hecho de que nuestro crecimiento, como el de ellos, parece desarrollarse desde un único centro, que en nuestro caso —como en el de la rana— está en la parte superior el sacro. Quizás sea necesario recor­dar que las espirales de la margarita y del girasol también se desarrollan des­de el centro.

Debido a su emplazamiento central en el cuerpo, el sacro de los anima­les destinados al sacrificio era considerado por los antiguos particularmente sagrado; de ahí su nombre os sacrum, “hueso sagrado” en latín: Es el centro del círculo alrededor de las extremidades extendidas, como se muestran en el esqueleto de las figuras 146 y 147, y también es el centro de gravedad de todo el cuerpo.

O r d e n y l i b e r t a d e n l a n a t u r a l e z a 9 9

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Fig. 148. Unidad de proporciones longitudinales en mujeres y hombres de diversa talla.

Siempre dentro de la anatomía humana, un ejemplo más de unidad en la diversidad es la sor­prendente correspondencia entre las proporciones de la estructura ósea de personas de talla diver­sa de ambos sexos, como lo indica la tabla comparativa del Apéndice I. La figura 148 muestra que todas las dimensiones longitudinales correspondientes a mujeres y hombres altos, medianos y ba­jos tienden a caer en los mismos círculos coaxiales.

Los diagramas de ondas de la figura 148 son versiones simplificadas de los que vimos antes, con las proporciones correspondientes a las de los Apéndices i y u . La tendencia a la unidad de estos patrones de onda es tan marcada que son casi idénticos, lo que los hace aparecer como imágenes estroboscópicas de uno y el mismo patrón en movimiento. Estas ondas rítmicas recuerdan los rizos de los patrones del péndulo, que oscilaban con gracia, y las etapas de crecimiento del patrón cen­tral de la margarita, solapadas a modo de abanico.

El gráfico del Apéndice i ilustra la propagación de aproximaciones a las armonías fundamentales de la música. Este gráfico se podría considerar un tipo de clasificación musical de las armonías silen- ciosas del cuerpo humano o más bien, una presentación de variaciones de este singular tema musical.

Tan evidentes como son las diversidades de los cuerpos femeninos y masculinos, unos y otros se aúnan en la casi completa identidad de sus proporciones anatómicas, al menos en lo que a la lon­gitud de sus huesos se refiere. La única diferencia es un refinamiento general en las medidas del es­queleto femenino y la ampliación del cinturón pélvico.

1 0 0 E l p o d e r d e l o s l i m i t e s

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Por último, hallamos una sorprendente unidad entre las armonías proporcionales de todo el cuerpo y sus diversas partes. La figura 149 muestra la mano de un hombre, trazada a partir de una radiografía. Incluso aunque esta mano está algo deformada por la artritis, la longitud de los huesos alineados sobre sus ejes, muestra que todas las articulaciones tienden a situarse en los círculos coa­xiales. La interpretación de los diagramas de ondas enfatiza el ritmo unificado de estas proporcio­nes. La mano es un microcosmos que reñeja el macrocosmos del cuerpo. Crece de la muñeca co­mo la columna vertebral crece del sacro y las alas salen de la mariposa o las hojas y las flores bro­tan de sus tallos.

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pjg 14 9 . Unidad y diversidad de las proporciones de la • mano humana.

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“La belleza es la armonía y el acuerdo de todas las partes, logrados de tal manera que nada se podría agregar, quitar o alterar, excepto para empeorarlo”70. Son las palabras de otro maestro del Re­nacimiento, León Battista Alberti, arquitecto y autor de un famoso tratado sobre arquitectura.

El cuerpo humano tiene las potencialidades de tal armonía y belleza. Eso es obvio en los gráci­les movimientos de una consumada bailarina de ballet, por ejemplo (fig. 150). La palabra “gracia" significa: “belleza o encanto del movimiento, forma o proporción realizado sin esfuerzo aparente” Como es el caso de otras manifestaciones artísticas, el ballet puede implicar cualquier cosa, excep­to falta de esfuerzo, pero hay en él tal libertad de movimiento que parece milagrosamente fácil. Esa libertad surge del orden, el orden de la disciplina que prepara y sustenta todos los grandes logros

Uno de los secretos de este orden del ballet consiste en sostener el peso de todo el cuerpo en un solo punto: el centro de gravedad del sacro, mantenido por u,.na sola pierna extendida sobre la pun­ta de los dedos. El crecimiento, la gravedad y la gracia, concentrados en un solo punto de nuestro sacro, representan el poder de los límites atesorado en nueetfQS huesos.

Simone Weil, cuyos pensamiento sobre la gracia?^ la gravedad se mencionaron antes, observa en otro volumen de sus cuadernos de notas: “A lgo infinitamente pequeño, bajo ciertas condiciones, opera de manera decisiva. No existe masa tan pesada, que determinado punto no la iguale; pues la masa no cae, si un único punto la mantiene, siempre que ése sea el centro de gravedad”. Añadió -y eso fue durante los días de la ocupación nazi en Francia—: “la fuerza bruta no es soberana de este mundo... Lo que es soberano... es el límite... Toda fuerza visible y palpable está sujeta a un límite invisible, que nunca deberá atravesar. En el mar, la ola se eleva más y más, pero a cierta altura... se detiene y es obligada a descender... Esa es la verdad que cala en nuestros corazones cada vez que nos sentimos penetrados por la belleza del mundo. Esa es la verdad que estalla con incomparables acentos de alegría en ciertas partes bellas y puras del Antiguo Testamento, en Grecia entre los pita­góricos y todos los sabios, en China con Lao Tsé, en las escrituras hindúes y en lo que dejaron los egipcios” .71

La verdad de estas palabras ha sido una de las principales fuentes de inspiración de este libro. Estas palabras revelan el otro significado tradicional de la palabra gracia: misericordia y el don di­vino del amor, brotando de la relación de todo lo que existe.

La gracia visible de la bailarina de ballet es un símbolo de la otra invisible gracia: el potencial de armonía y belleza que existe dentro de cada ser humano, pues todos nosotros en efecto y no só­lo los bailarines consumados, tenemos un centro interior, un sacro tanto en sentido físico como es­piritual. Que también existan el desorden y la enfermedad es testimonio de la tolerancia de la na­turaleza, a veces muy magnánima, en cuanto a la diversidad y la libertad. La afirmación de Alberti es tan válida para el arte de vivir como para las demás artes: el agregar en exceso puede perjudicar seguramente en la misma medida que perjudica el restar en exceso. Demasiado ocio y lujo pueden destruir nuestra belleza original, tanto como la excesiva restricción de las necesidades de la vida. La armonía y la gracia nacen del matrimonio de la abundancia y la pobreza, como nos lo dijo Platón en El Banquete. Un estudio comparativo de las artes occidentales y las del Lejano Oriente enfatiza este punto de vista.

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Fig."l50. Deborah Hadley, bailarina solista del Pacific Northw est Ballet.

c apítu lo 7: Helias y haikuEl hombre es la medida

Las formas artísticas orientales y las occidentales son sumamente distintas: baste comparar un Apo­lo griego con un Buda tibetano, el Partenón con una pagoda o la épica de Virgilio con la poesía haiku del Japón. Pero los puntos de encuentro entre el arte oriental y el occidental revelan la unidad huma­na, más allá de las diversidades superficiales.

“El hombre es la medida de todas las cosas” , según Protágoras, filósofo griego del siglo v a.C. Es­te epigrama se vuelve palpable cuando se contempla la escultura griega.

El portalanza o Dorífora (fig. 151) es obra de Policleto (s. v a-C.), a quien se atribuye la autoría de Fig. 151. Doríforo, el portalanza. un célebre tratado sobre las proporciones del cuerpo humano, actualmente perdido. Las construccio-

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Fig. 152. Afrodita de Cirene.

nes de la sección áurea de esta escultura muestran dos conjuntos de rectángulos áureos recíprocos, ca­da uno de V5 de largo; el conjunto mayor abarca todo el cuerpo, con las rodillas y el pecho en los pun­tos de la sección áurea; el conjunto menor se extiende desde la parte superior de la cabeza hasta los genitales. El ombligo se encuentra en el punto de la sección áurea de la altura total, los genitales en el punto de 3/4 de la altura hasta el mentón. En la Afrodita de Cirene (fig. 152), se pueden reconocer relaciones de longitud igualmente armoniosas, aunque por desgracia se ha perdido la cabeza.

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Fig. 153. A. Hipnos, diosa del sueño. B. Higeia, diosa de la salud.

Las cabezas de Hipnos, diosa del sueño (fig. 153.A ) y de Higeia, diosa de la salud y patrona de » los pitagóricos (fig. 153.B), ambas del siglo iv a.C., comparten en miniatura los mismos límites pro­

porcionales que articulan los cuerpos de la Afrodita de Cirene y del Doríforo. Las escalas y los dia­gramas de ondas junto a estas cabezas revelan cómo las distancias verticales entre los rasgos prin­cipales, desde la parte superior de la cabeza hasta el mentón, comparten las mismas relaciones nu­méricas simples que antes hallamos en todas las formas vivientes. Los griegos creían que las limi­taciones proporcionales de los humanos tenían la capacidad de reflejar armonía y belleza ilimita­das, cualidades éstas consideradas divinas. De modo que se decía que el hombre era la medida de todas las cosas.

Vitruvio nos dice que los griegos antiguos diseñaban sus templos de acuerdo con las proporcio­nes humanas. Sobre esa base recomienda que la longitud del templo duplique su ancho y que las proporciones del vestíbulo de entrada abierto (pronaos) y de la habitación interior cerrada (celia) estén en relación 3-4-5 (3 la profundidad del pronaos, 4 el ancho y 5 la profundidad de la celia). La figura 154 muestra las relaciones proporcionales y su correspondencia las armonías musicales.

Vitruvio también aportó muchas otras recomendaciones en cuanto a las proporciones de los templos, todas basadas en modelos griegos. Por ejemplo, se refirió a las distancias entre columnas y a la altura correcta de éstas, medidas ambas expresadas en términos de diámetro columna. Ese elemento, elegido para expresar las proporciones de la estructura completa (tal como los pies lo na­cen respecto de las proporciones del cuerpo humano), se llama módulo, concepto que desempeña un importante papel a todo lo largo de la historia de la arquitectura.72

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Fig. 154. Proporciones del templo según Vitruvio, comparadas con ejemplos reales.

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Fig. 155. El Partenón, en Atenas.

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Fig. 156. Templo de Atenea, en Priene. Las proporciones recomendadas para los templos se pueden apreciar en dos ejemplos pertene­cientes a estilos distintos: el Partenón de Atenas (siglo v a.C.) (fig. 155), manifestación del orden dórico, y el templo de Atenea de Priene (siglo iv a.C.) (fig. 156), característico del estilo jónico. Las columnas ejemplifican la diferencia entre ambos estilos: la dórica es más maciza y la jónica, más es­belta. La altura de las columnas del Partenón contiene cinco veces y media el ancho de la base de la columna. Los capiteles consisten en simples losas cuadradas (abad) que descansan sobre formas, cuyos contornos se asemejan a dos manos extendidas (echini). La altura de las columnas del tem­plo de Atenea contiene nueve veces el ancho de la base de la columna y el capitel jónico está enga­lanado con dos volutas en forma de conchilla.

La fachada principal del Partenón se encuadra en un solo rectángulo áureo horizontal, mientras que la fachada del templo de Atenea se eleva dentro de dos rectángulos áureos verticales. Las rela­ciones de la superestructura hasta las columnas de sustentación, más los escalones, son como ecos que reflejan las mismas proporciones en dos variantes. En el Partenón, la parte superior de los ca­piteles de las columnas está cerca del punto de la sección áurea de la altura total, mientras que en el templo de Atenea este punto-corresponde a la línea de encuentro entre dos rectángulos áureos recíprocos. En el Partenón, las líneas centrales de las dos columnas de las esquinas, más las líneas del piso y la parte superior del entablamiento, forman un rectángulo de V5, que consta de dos rec­tángulos áureos recíprocos, mientras que en el templo de Atenea, tres líneas centrales de columnas contiguas abarcan un solo rectángulo áureo. (Véanse las diagonales de puntos en las elevaciones).

H e l l a s y h a i k u 1 0 9

Las series de columnas en sí contienen ritmos proporcionales, expresando las columnas y los es­pacios entre ellas una “recurrencia de elementos fuertes y débiles” , definición típica del ritmo. Las columnas frontales del Partenón con sus siete espacios intermedios incorporan tanto el coeficiente 3:4 del triángulo pitagórico y la correspondiente armonía musical de cuarta-diatéssaron, como afi­nidad con proporciones áureas o armonía de quinta-diapente. En el templo de Atenea, las relacio­nes 2:3 y 3:5 de las columnas son cercanas al diapente.

Los diagramas rítmicos debajo de las columnas plasman algunas de las equivalencias latentes del largo de los edificios con las armonías musicales. La longitud del templo de Atenea es casi el doble del ancho, lo cual confirma lo dicho por Vitruvio y expresa la armonía 1:2 (octava). El plano del Partenón corresponde a dos rectángulos áureos recíprocos y refleja de ese m odo la armonía de dia­pente. Las estructuras interiores de ambos templos vuelver^a confirmar a Vitruvio, al menos par­cialmente. El pronaos del templo de Atenea se ajusta a las proporciones 3:4, mientras que el naos o celia en ambos templos y el tesoro o cámara de la virgen üéhPartenón corresponden a la propor­ción áurea.

Es fascinante descubrir la unidad de límites proporcionales tanto en el plano así como en el vo­lumen de estos templos. Los diagramas A y B de las figuras 155 y 156 ilustran lo anterior, mostran-

■ do que las dimensiones características de ambos planos y elevaciones pueden representarse con los mismos diagramas que antes se utilizaron para los patrones del crecimiento orgánico. Las mismas dimensiones plasmadas en los diagramas de barras tipo tubos de órgano, ilustran todavía más esa unidad proporcional, pues todas las articulaciones principales convergen en el mismo punto, tal co­mo antes vimos en la anatomía del caballo.

La diosa Atenea, a quien también se consagró el Partenón, aunaba en sí las virtudes “masculi­nas” y las “femeninas” . Era patrona de la sabiduría, de las artes y los oficios y, además, un ejemplo de valor en la batalla. La gracia de su templo de Priene y la fortaleza del Partenón expresan la uni­dad de sus diversas cualidades humanas, modelo divino de toda la humanidad.

Los diversos tipos de edificios en que sobresalieron romanos y griegos manifiestan las diferen­cias entre ellos. Los griegos construyeron templos y teatros de insuperable belleza y los romanos, por su parte, caminos, acueductos, palacios, baños públicos, arcos triunfales y circos, vinculando la belleza griega con la maestría de las técnicas de ingeniería. A los órdenes de columnas hereda­dos de los griegos agregaron arcos, bóvedas y domos y, además, aumentaron todo a escala colosal, respecto de la cual los templos griegos parecen modestos.

A pesar de esas diferencias, la arquitectura griega y la romana se unifican en los límites propor­cionales que comparten del mismo modo. Lo ilustraremos con dos ejemplos: el Arco de Triunfo de Constantino (fig. 3 57) y el Coliseo (fig. 158), ambos en Roma.

El Arco de Triunfo de Constantino es un auténtico tesoro de relaciones áureas. La forma global de su estructura resulta cercana a dos rectángulos áureos (d :e). La mitad del ancho proyectada en la altura establece la línea de surgimiento de la bóveda central (A ), así como la línea inferior del ar­quitrabe (B ) (véanse los diagramas y las construcciones de la sección áurea a la derecha).

La parte superior de la cornisa principal (C ) y la línea de surgimiento de los arcos menores (D) coinciden con los lados de dos rectángulos áureos, que flanquean un cuadrado inscrito en un se­micírculo, la clásica construcción de la sección áurea. Un diagrama (inferior izquierdo) muestra que las alturas del arco mayor y los menores (o y p ), así como su diferencia (n ), y las dos articulacio­nes del arquitrabe (m y 1) forman una serie de relaciones áureas que nuevamente coinciden con los patrones del crecimiento orgánico. Los diagramas que se encuentran por debajo y por arriba de la elevación indican cómo se relaciona la sección áurea con cada una de todas las articulaciones prin­cipales también en dirección horizontal.

Fig. 157. Arco de Triunfo de Constantino, en Roma El estudio proporcional del Coliseo muestra que el plano se encuadra en dos rectángulos áureos (b:a) y que el ancho de la elipse gigante que forma la pared exterior se relaciona con el ancho de la arena central en la proporción de \/5 generada por dos rectángulos áureos recíprocos (véanse el dia­grama y la construcción arriba del plano). Existen relaciones similares en los ejes menores del pla­no (véanse los diagramas y construcciones a la derecha del plano).

Las mismas relaciones reaparecen en la elevación, entre las alturas de los tres pisos inferiores (n :o:p ) y entre estos últimos combinados y el cuarto piso que remata el edificio (r:s:t) (véanse los diagramas y la construcción a la derecha de la elevación). Todas estas proporciones se aproximan a la armonía musical fundamental de quinta, en tanto que el emplazamiento central de la cornisa so­bre el segundo piso corresponde a la octava.

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Fig. 158. El Coliseo, en Roma. Los diagramas de ondas rítmicos A , B y C, que ilustran las proporciones básicas del plano y laelevación, revelan que éstas nuevamente corresponden a los patrones del crecimiento orgánico. La armónica unidad lograda entre las diversidades del plano y la elevación por medio de límites pro­porcionales compartidos, se evidencia de nuevo en los diagramas de barras, cuyas articulaciones convergen exactamente en un punto.

Aparentemente, los poetas romanos compartían la misma devoción de los arquitectos por las proporciones de la sección áurea. Según el Profesor G. E. Duckworth de la Universidad Princeton, pueden hallarse tales proporciones en la poesía de Catulo, Lucrecio, Horacio y V irgilio .73 Por ejem­plo, en la célebre epopeya de Virgilio, La Eneida, nunca es arbitraria la cantidad de líneas de las di­ferentes partes que constituyen la narración; además, esos números son siempre cercanos a las re­laciones áureas y a menudo coinciden con la serie de Fibonacci.

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Fig. 159. Canon tibetano de las figuras del Buda.

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La medida de lo inconmensurable

Las diferencias entre el arte griego y el roma­no se desvanecen cuando comparamos sus clási­cas formas con Jas del arte oriental. Los cinco ejemplos que consideraremos fueron elegidos, a la vez, por sú diversidad y su importancia en las culturad® las que pertenecen. Como veremos, las proporciones halladas en Occidente también aparecen en el arte de Oriente.

El canon tibetano para construir la figura de Buda, publicado en 1976 por Benjamin Rowland Jr. en su libro The Evolution of the Buddha Image (La evolución de la imagen del Buda) muestra có­mo se la encuadra en tres rectángulos áureos, uno dentro del otro74 (fig. 159). El rectángulo mayor encierra toda la figura, desde el punto su­perior de la cabeza hasta la base, incluyendo las rodillas; el rectángulo intermedio se extiende desde la parte superior de la cabeza hasta las piernas, tocando la mano derecha y el codo; y el rectángulo menor encuadra la cabeza. Los dia­gramas de ondas y las construcciones de la sec­ción áurea que se encuentran arriba y debajo de la figura relevan reciprocidades que aúnan las partes superior e inferior del cuerpo y sugieren la compasión del Buda supremo incluso por las más insignificantes manifestaciones vivientes. La correspondencia con las armonías fundamenta­les de la música se demuestra por medio del dia­grama de ondas y el gráfico vertical.

Los dos triángulos que aparecen en el canon tibetano original, que se extienden desde el mentón hasta las piernas, muestran su corres­pondencia con las diagonales de la mitad de los rectángulos áureos que encierran la figura y de­linean un pentágono central y un pentágrafo que apunta al mentón, la cintura y las axilas.

La figura coreana de bronce de Maitreya, el futuro Buda (fig. 160), se puede encuadrar en un rectángulo áureo que descansa sobre un cuadrado del mismo ancho, conteniendo este

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Fig. 160. Figura de Maitreya.

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último el asiento y abarcando, el primero, el grueso de la figura propiamente dicha. Los diagramas de ondas y el gráfico muestran que el punto crítico, donde el codo derecho descansa sobre la rodi­lla derecha, se sitúa exactamente en la mitad de la altura total, correspondiendo así a la armonía musical de diapasón. Otras relaciones importantes, como la altura del hombro entre la parte supe­rior de la cabeza y el asiento y la altura de la frente entre la parte superior de la cabeza y el hom­bro, se aproximan a las proporciones áureas y, por ello, a la armonía de diapente.

Es ímpactante el parecido entre estas relaciones proporcionales y las que predominan en el arte griego. La historia da sobrada cuenta de que hubo contactos entre el arte occidental clásico y bu­dista, a través del comercio y las conquistas de Alejandro el Grande en el siglo iv a.C. Eso explica los medios materiales que quizás transmitieron la información, pero la atracción universal de esas particulares proporciones con seguridad tiene otro origen. Esa universalidad queda aún más de­mostrada al considerar la arquitectura budista.

Borobudur, la estupa budista más grande del mundo (fig. 161), fue construida a fines del siglo vm en la isla de Java, Indonesia. Consta de ocho terrazas cubiertas de estupas, que emergen de una base elevada cuadrada, de 115 metros de lado. Las cinco terrazas inferiores son cuadradas, las tres superiores, circulares: 3-5-8 son, por supuesto, los números de Fibonacci.

Las figuras del Buda están contenidas en los nichos de las balaustradas cubiertas de bajo relie­ves que rodean las terrazas cuadradas. Las estupas mayores y bien formadas de las terrazas circula­res alojan figuras más grandes del Buda, todo lo cual representa etapas de iluminación. Incluso las cantidades de estas estupas, 32-24-16, en sus mutuas relaciones, resultan cercanas a las armonías fundamentales de la música, tal como lo indica el gráfico. En el centro de la terraza superior se ha­lla la estupa de mayor tamaño, que a su vez contiene el Buda más grande de todos, manifestación del logro más elevado

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Fig. 161. Estupa budista de Borobudur, en Java.El diámetro de la terraza circular más grande y el ancho de la base cuadrada se encuentran de

nuevo en mutua relación áurea, indicada con los puntos A y B en el diagrama de ondas de la de­recha y con la construcción clásica de la sección áurea, que contiene dos rectángulos áureos recí­procos (líneas de guiones y puntos). La sección de Borobudur muestra que la altura de la estupa superior y la línea de base forman dos triángulos 3-4-5, de modo similar a la Pirámide del Sol en México y a la Gran Pirámide de Egipto, aunque en el caso de esta última los dos triángulos se asien­tan sobre sus lados cortos. Los diagramas de ondas y el gráfico señalan más proporciones armonio­sas, cercanas a las armonías fundamentales de la música.

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Fig. 162. Pagoda del templo de Yakushiji.

En Japón, las formas de la arquitectura budista son por completo dife­rentes, como lo demuestra la Pagoda de Yakushiji, que se eleva a gran altu­ra y resulta célebre tanto por su gracia como por su fortaleza estructural in­geniosamente ideada (fig. 162). Está construida en madera y consta de seis techos, todos de diferente tamaño y levantados uno sobre el otro, hasta cul­minar en una elevada aguja. Sobre el piso asentado en el suelo hay dos ni­veles de pisos con balcones y cada piso tiene dos techos. La estructura com­pleta se articula en ocho alturas iguales. Dos de ellas contienen el piso asen­tado en el suelo, otras dos la aguja, y las restantes cuatro, los dos pisos su­periores intermedios. Las alturas de los tres niveles más bajos y de los tres más altos se relacionan con las alturas de los dos centrales en proporciones cercanas a las áureas, tal como lo hacen las cinco inferiores con las tres su­periores y viceversa.

El predominio de estas píSporciones recíprocas en la estructura total también se demuestra por el hecho de que su contorno global se encuadra perfectamente en un solo triángulo de la estrella pentagonal, patrón donde todas las relaciones son áureas. Una red de triángulos menores de pentágra- fo interrelaciona muchos puntos salientes de esta estructura, como es el ca­so de los rebordes de los techos segundo y tercero; el largo del primero, el segundo y el cuarto; la línea de base de la aguja y los aleros de los techos de más arriba y el de más abajo (primero y sexto).

Los diagramas de ondas reveían que el pulso ondulante de las relaciones proporcionales se extiende por todo el edificio, como si fuera un organismo vivo. En los diagramas de ondas se muestran las notaciones de tales relacio­nes: “m ” representa los miembros menores y “ M ” los mayores de una rela­ción áurea, “M ” designa la combinación de las dos y “M ” se refiere a una combinación más, por ejemplo el rectángulo de V5, que contiene las rela­ciones de dos rectángulos áureos recíprocos. Esta notación muestra a sim­ple vista el m odo en que los elementos menores de una relación se convier­ten en los mayores de la siguiente, tal como en el proceso de crecimiento orgánico. Las letras “t” y “T ” (por téssaron) indican las proporciones cerca­nas al coeficiente 0,75 de diatéssaron y también a las relaciones 3:4 del triángulo pitagórico, en tanto que “o ” y “O ” representan la relación 0,5 ó 1:2 de octava o diapasón.

Las líneas onduladas más fuertes del diagrama vertical muestran dos pun­tos de sección áurea de la altura total, uno en el reborde del tercer techo A y el otro en el alero del sexto techo B. Las líneas onduladas más débiles seña­lan algunas de las muchas relaciones similares entre otras alturas diversas.

Es interesante observar cómo las proporciones verticales son comparti­das por las horizontales. Las estructuras del piso y techo comparten esas re­laciones de a pares: 1 y 6 (e l más alto y el más bajo), 2 con 3 y 4 con 5 Dentro de cada una de estas partes de la estructura se hallan nuevamente correspondencias con las tres armonías fundamentales de la música, tanto en las formas globales como en los detalles más mínimos, incluso la altura respecto del ancho, el largo del voladizo respecto de la estructura de sus tentación, la altura de la aguja respecto de la altura y ancho del techo supe­rior, etc.

De m odo por completo diferente, aparecen las mismas armonías proporcionales en e l jardín j templo Ryoanji Zen, cerca de Kyoto, que data de principios del siglo xv (fig. 163). Este jardín fu diseñado para ser contemplado desde el barandal del monasterio y desde los amplios senderos vimentados que lo rodean. Nunca se camina sobre el rectángulo de arena gruesa, blanca v rastrill- da. Hay cinco grupos de piedras en la arena, aparentemente dispuestos al azar, como se alzan las rocas a lo largo de la costa marina. Esas rocas se pertenecen mutuamente con la misma naturalidad de la tierra y el mar. El secreto de esta vinculación yace en las sutiles proporciones que aúnan l" forma global del jardín con las distancias entre las rocas y el recinto.

Las proporciones del campo de arena corresponden a dos rectángulos áureos recíprocos tal mo lo muestran las diagonales de guiones y puntos, idénticas a las de los dos rectángulos áureos recíprocos trazados debajo del plano. Las líneas A y B se conectan con las rocas. La línea B es idén tica a la de la diagonal de uno de los rectángulos áureos recíprocos que forman el campo de aren i La línea A conecta el punto de tres cuartos del lado orieíti^l del campo con el punto C del lado opuesto, correspondiendo este último al punto de eífcuentro de los dos rectángulos áureos recípro­cos, como lo muestra la construcción. Los diagramas de ondas y las construcciones de múltiplos de la sección áurea, arriba de las líneas A y B, indican que las distancias entre las rocas dentro del cam­po comparten las mismas relaciones proporcionales de las armonías fundamentales de la música De ese modo, las rocas y el campo se vuelven uno.

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Fig. 163. Jardín del templo de Ryoan-ji.

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Vamos ahora a la más antigua joya arquitectónica del Japón, que es al mismo tiempo la más nue va, la Mina del Este del Santuario de Ise, dedicada a la diosa del alimento Toyo-uke-bime-no-kami (fig. 164). Es la más antigua porque se remonta al sigo iv y está construida según los prototipos pre históricos de viviendas sobre pilotes. También es la más nueva porque se demuele y se vuelve a edi­ficar cada veinte años, a fin de preservar su integridad original, siempre fielmente de acuerdo con el mismo diseño, única e insuperada en su nitidez. Todas las partes conservan sus formas y termi­naciones naturales: los pilares redondos son de cedro blanco, árboles que crecen en las cercanías y cuya corteza se usa en el techo; y no se pintan las vigas, las alfardas ni los tablones de las paredes para que quede a la vista la belleza natural de la fibra de la madera.

El plano del edificio es un solo rectángulo áureo. La elevación del frontón, desde el piso hasta la línea del saliente y de alero a alero, corresponde a dos rectángulos áureos. La elevación lateral

Fig. 164. La Mina del Este del Santuario Shinto de Ise. entre el piso y la línea del saliente y entre los bordes del techo, se encuadra nuevamente en dos rec­tángulos áureos, sobre los que se asientan otros dos más grandes que cubren el techo propiamente dicho. Nada es arbitrario; estos mismos límites proporcionales existen entre las salientes del techo y el edificio propiamente dicho y, además, entre las extensiones de las alfardas que se asemejan a un molino y el techo, lo cual se aprecia a simple vista en los diagramas de ondas que rodean la ele­vación del frontón.

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Fig. 165. Proporciones de las casas de té japonesas. •A, B: Casas de té Bosen (logro definitivo).C, D: Planos de típicas casas de té.

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La grandeza de lo pequeño

La ceremonia japonesa del té celebra las alegrías simples de la vida. Ese ritual evolucionó a partir de las tradiciones del budismo Zen, que enseña el valor de los límites descubriendo “la grandeza de las cosas simples” .” Todas las casas de té y los jardines de té de Japón fueron dise­ñados por venerados maestros del té. Por lo general, ellos fueron pintores, poetas, arquitectos y también jardineros, como Koburi Enshu, que construyó el salón de té Bosen (logro final) en el siglo x v i i (fig. 165). Es uno de los primeros ejemplos de la unión del interior y el exterior, rasgo que se ha vuelto importante en la arquitectura moderna de Occidente. Aquí se logra mediante pantallas shoji suspendidas, hechas de papel de arroz y pegadas en un sutil enrejado de madera. Como muestra el dibujo, las proporciones de esta shoji y su abertura hacia el barandal se corres­ponden con relaciones áureas recíprocas, sirviendo la reciprocidad tangible para aunar las diver­sidades intangibles que separan al hombre de la naturaleza.

Como en la mayoría de las casas japonesas, el piso está cubierto con esterillas de tatami, he­chas de paja con una capa entretejida de junco, por lo general de 0,90 m por 1,80 m, en armo­nía 1:2. El plano del piso B refleja las armonías proporcionales áureas. La habitación principal y el barandal corresponden conjuntamente a un rectángulo áureo (véase la línea de guiones y pun­tos marcada 2:3), y la extensión de la habitación, tres esterillas de tatami, comparte las mismas proporciones. Las figuras C y D muestran las armonías equivalentes de las fundamentales de la música, 2:3 y 3:4, incorporadas en los planos de dos típicas salas de té más pequeñas. Es digno de destacar que la música pentatónica de Oriente (y de mucha música folclórica de Occidente) está limitada por cinco tonos, siempre cercana a la armonía fundamental de quinta-diapente.

En la arquitectura japonesa, el uso de esterillas de tatami permite conservar relaciones ar­moniosas entre los tamaños de las habitaciones y su agrupamiento en el edificio completo. De ese modo, las esterillas de tatami actúan com o módulos para todos los diseños de pisos, tal co­mo las pantallas shoji lo hacen respecto de la articulación vertical de las paredes.

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Fig. 166. Plano de la Villa Imperial Katsura.

i.mEl plano de la Villa Imperial Katsura en Kyoto (fig. 166), que es una combinación libre de ha­

bitaciones de diversas formas y tamaños, demuestra cómo el uso de esterillas de tatami a la mane­ra de módulos crea unidad y totalidad con ritmo y armonía, que no se vuelven monótonos ni for­zados. Por eso es que el orden disciplinado de los límites proporcionales compartidos genera liber­tad y gracia. Las proporciones de cada habitación corresponden a las armonías fundamentales de la música, como lo demuestran los diagramas de ondas y el gráfico. La música desempeñó un papel muy importante en la concepción de esté plano: la música que se ejecutaba en el barandal del Shoin Medio, se podía disfrutar en el barandal del Shoin Antiguo, mirando la salida de la Luna.

El exterior de la Villa Katsura (fig. 167) armoniza con el plano por medio de sus proporciones áureas, como puede verse en el dibujo A , donde se aprecia que las aberturas principales se relacio­nan con los dos paneles shoji que las flanquean, del mismo modo que el cuadrado lo hace con los dos rectángulos áureos laterales, en la construcción clásica de fe"sección áurea. De manera similar, la construcción B muestra que el espaciado de las columnas estructurales comparte las proporcio­nes de las aberturas y las pantallas shoji, integrando así la armonía rítmica y la totalidad del edifi­cio.

Las limitaciones proporcionales compartidas de la arquitectura reflejan un principio básico de formación según patrones, que impregna toda la vida y el arte de Japón. Por ejemplo, los poemas haiku se restringen a diecisiete sílabas, dispuestas en tres líneas de cinco, siete y cinco sílabas. Es­tos estrechos límites dan lugar a una potente expresión mediante la sugestión de los detalles, una forma del poder de los límites;

El penetrante escalofrío que siento:el peine de mi esposa muerta, en nuestro cuarto,bajo mi talón.

Buson, siglo x v i i i

Un pueblito montañoso:Bajo la nieve apilada el sonido del agua.

Shiki, siglo xix

Pétalos caídos se alzan de regreso a la rama; observo:¡oh ... mariposas!

Moritake, siglo xv

¡Acabo de llegar de un lugaren el fondo del lago! Esa es la expresióndel rostro del patito.

Joso, siglos xvii - x v i i i 76

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Fig. 167. Villa Imperial Katsura, fachada sudeste.

Fig. 168. Monje chino en el momento de la iluminación.

capítu lo 8: Sabiduría y conocim iento

El arte de v iv ir oriental y el occidental

Entre los aspectos esenciales inherentes a la posibilidad convertir la mera supervivencia en arte de vivir, quizás nada hay más importante que la sal^jduría y el conocimiento. En cierto senti­do, estas dos aptitudes humanas son casi inseparables una de la otra; en otro sentido, constituyen polaridades opuestas. La sabiduría reúne, el conocimiento separa. La sabiduría sintetiza e integra, el conocimiento analiza y diferencia. La sabiduría ve sólo con los ojos de la mente; vislumbra la re­lación, la totalidad y la unidad. El conocimiento acepta sólo lo que los sentidos pueden verificar; capta únicamente lo específico y lo diverso.

La sabiduría se basan en la experiencia y el conocimiento también, pero en menor medida, pues con frecuencia se reduce a experiencias vividas a través del filtro del pensamiento conceptual y des­carta las semillas de la vida. En contraste, la sabiduría, a menudo balbucea o habla a través de imá­genes, símbolos, paradojas o incluso enigmas.

Se podría decir que la grandeza de Oriente radica en su consagración a la sabiduría, mientras que Occidente, en particular en los dos últimos siglos, se ha concentrado en el conocimiento. Este énfasis de Occidente ha acarreado un fenomenal florecimiento de la ciencia y de la tecnología, por desgracia sin un desarrollo acorde de la sabiduría, aunque como hemos visto, las raíces de la cul­tura occidental no carecen de una sabiduría antigua propia. N o obstante, siendo el conocimiento y la sabiduría diversidades dinergéticas esenciales por igual, se deben complementar mutuamente. El creciente interés por las enseñanzas de Oriente constituye una movida defensiva y dinergética pa­ra contrarrestar nuestra actual perspectiva unilateral.

El físico y premio Nobel Erwin Schródinger dijo en 1956 en una conferencia dictada en Trinity College, Cambridge; "... nuestra actual manera de pensar necesita en efecto ser reformada quizás con una pequeña ‘transfusión’ de pensamiento oriental” .77 Esta “transfusión” se encuentra actual­mente en proceso, en la forma de estudios que se realizan en Occidente sobre medicina, yoga, bu­dismo, tai chi y otras disciplinas orientales, y de libros como The Tao of Science: An Essay on Western Knowledge and Eastern Wisdom (El Tao de la ciencia: un ensayo sobre conocimiento occidental y sa­biduría oriental) de R. G. H. Siu, al que mucho le debe este capítulo.

A continuación, presentamos unos pocos ejemplos destacados de sabiduría oriental, compara­dos con ciertos rasgos salientes del conocimiento occidental, en un intento de mostrar que, en efec­to, son diversidades dinergéticas partícipes de ciertos procesos básicos de formación según patro­nes. Si pudiéramos aunar una y otro, nosotros y nuestro mundo integraríamos una totalidad.

S a b i d u r í a y c o n o c i m i e n t o 1 2 7

Vimos la enseñanza misericordiosa del Buda reflejada en los elementos superiores e in fe r io res recíprocamente relacionados, del canon tibetano de su figura; en la reciprocidad similar en tre las terrazas de mayor y menor altura de la estupa de Borobudur; y también en las líneas de techo más altas y más bajas del templo de Yakushiji. Esta enseñanza fue precedida en la India por la sabidu­ría de los Vedas, llamada tat twam asi, “este tu arte” , que habla de la vinculación existente entre to­das las cosas y de la actitud no violenta que resulta del darse cuenta de ello.

La unidad de diversidades en el individuo, entre la propia conciencia y lo que está más allá de ella, es la clave de la experiencia del budismo Zen, reflejada, por ejemplo, en la completa recipro­cidad entre las rocas y el campo de arena del jardín Ryoanji Zen. El destello de esta experiencia uni- ficadora, llamada satori ( “iluminación” o “reconocimiento” en japonés), fue captado hace seiscien­tos años en una escultura que representa a un monje chino (.el Zen japonés se desarrolló a partir del budismo chino Ch’an) (fig. 168).

El Buda enseñó acerca de la necesidad de evitar los excejsós, recorriendo el Camino del Medio entre la autoindulgencia y la automortificación. De méMo que expresó en términos de conducta hu­mana la armonía del término medio áureo. La dicha de la totalidad hallada en la iluminación del Camino del Medio se describe a menudo como un nuevo nacimiento, que en general se simboliza como el desarrollo del loto de mil pétalos de la mente.

Él gran maestro chino Confucio (siglo v ó vi a.C.) también creía que las relaciones recíprocas de la regla de oro eran el camino para aunar armoniosamente las diversidades de los intereses huma­nos. Su enseñanza era similar a la del Antiguo Testamento: “N o hagas a otros lo que no quisieras que otros te hagan” .78

Acorde con la sabiduría práctica de Confucio es la sabiduría mística del Tao Te Ching, atribui­do a Lao Tsé (siglo v h a.C.). Expresa la Regla de Oro en términos afirmativos, como en el Nuevo Testamento: “Haz el bien a quienes te odien”.79 Para Lao Tsé, el poder de los límites era la clave de la conducta humana armoniosa, que manifiesta unidad entre cuestiones humanas menores y ma­yores: “Gobernar un gran estado es como hervir un pez pequeño” . Y la recomendación de cuidar­se de los excesos: “El que anda en puntillas no puede permanecer de pie; el que anda a trancos no puede caminar; ... el que se jacta no puede resistir”. En el Tao Te Ching, se señala constantemente el mundo natural —que aúna lo grande y lo pequeño en “la grandeza de las pequeñas cosas”— como la mejor guía del arte de vivir: “En el mundo no hay nada más sumiso y débil que el agua. Y sin embargo, para atacar lo duro y fuerte no hay nada que pueda superarla” .80

Posiblemente, para orientar el arte de vivir, el libro de sabiduría más antiguo de China es el Li­bro de los cambios o I Ching, nacido, según la tradición, hace aproximadamente 4.000 años. Se basa en el reconocimiento de que hay una unidad de orden subyacente por debajo de las diversidades siempre cambiantes de la existencia, donde todo se relaciona con todo lo demás. El fundamento de este orden es la unidad dinergética de los principios de oscuridad (yin ) y de luz (yang), represen­tado el primero por una línea discontinua---- y el segundo por una entera — . Estas líneas, agru­padas de a tres, forman ocho trigramas, que reunidos en todas las combinaciones posibles dan co­mo resultado sesenta y cuatro hexagramas, cada uno de los cuales consta de seis líneas y simboliza una situación vital básica diferente.

A lo largo de los siglos, los sabios de China han ido agregando comentarios a cada uno de esos signos. A través de las épocas, el libro ha sido consultado como oráculo que aconseja sobre la actitud correcta a asumir en cada circunstancia particular. El consejo por lo general se formu­la en lenguaje pictórico y m itopoético, con imágenes tomadas principalmente de la naturaleza.

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NovPe,iv\view\o,k'UH,u'AíníAve,Hev-v-í^,vecrepHv^

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La sabiduría de la naturaleza siempre se exhibe como el mejor ejem plo de cómo vivir. La figu­ra 169 muestra la así llamada disposición primor­dial de los ocho trigramas básicos, con sus prin­cipales significados, agrupados alrededor del símbolo central del yin-yang, llamado Tai Chi, que expresa la unidad de los elementos diversos: luz y oscuridad.81

Al arte de vivir de Occidente se le ha dado forma por el conocimiento más que por la sabi­duría, como verendos en los ejemplos que siguen. Pero, por c ierto lás diversidades entre la sabidu­ría oriental y el ¿óÚQcimiento occidental parecen tener raíc^" comunes en los mismos procesos bá­sicos de formación según patrones, que crean las armonías de la naturaleza y del arte.

En una carta del siglo x v i i i de Kelemen Mi- kes, exiliado húngaro que luchaba por la liber­tad, aparece la siguiente anécdota acerca de un obispo cuyas creencias religiosas no le impedían unirse a otro ser humano, incluso aunque éste expresara su fe en términos diametralmente opuestos.

Ese obispo, que recaló en una isla solitaria, halló en ella a un ignorante eremita sumido en una ferviente plegaria en la que repetía las pala­bras “Maldito sea el Señor” . El obispo lo repren­dió severamente y corrigió la plegaria: “ ¡Bendito sea el Señor!” Luego volvió a embarcarse y pron­to su nave levó anclas. Las velas ya se inflaban con el viento cuando se vio a un hombre correr tras-la nave. La alcanzó y subió a bordo, ¡para asombro de los marineros que lo habían visto avanzar sobre las crestas de las olas! Era el ere­mita, quien se postró a los pies del obispo baña­do en lágrimas, porque había olvidado las pala­bras correctas. El obispo, profundamente con­m ovido a su vez, levantó al eremita, lo abrazó y lo besó, diciéndole: “Reza como siempre has re­zado” .82

Fig. 169. Disposición original de los trigramas del I Ching.

Actualmente, la contribución de nuestra cultura al conocimiento humano pertenece en gran me­dida al reino de la alta tecnología, donde incluso también se aplica el principio de la dinergía.

Para diseñar un avión, el conocimiento de la aerodinámica, de la fortaleza estructural de los ma­teriales, de la física y química de los motores y de la aptitud comercial, parecerían ser las más ob­vias consideraciones a tener en cuenta. El diseño del Boeing 747, sin embargo, también revela pro­porciones armoniosas sorprendentemente similares a las que vimos en las formas naturales y en las obras de arte.

Como muestra la figura 170, el plano completo C de este avión se encuadra en dos pares de rec­tángulos áureos recíprocos, que se unen a lo largo de la línea central del fuselaje; el largo de los ma­yores corresponde a la parte delantera del avión (desde la nariz o proa hasta el extremo de la ante­na, en las puntas de las alas) y los menores abarcan el extremo.de la cola. La vista lateral B mues­tra todo el cuerpo contenido en cinco rectángulos áureos más uno recíproco; el menor de ellos en­cuadra la nariz, cuatro de los mayores el resto del fuselaje, irielñyendo las alas y la cola, y el quin­to contiene el timón de dirección. La vista frontal A estUPencuadrada en dos rectángulos áureos. La base de las ruedas se halla en proporción áurea respecto de la altura del avión (desde el suelo has­ta la parte superior del timón de dirección). (Véase tanto el diagrama de ondas entre A y B como lo^ gráficos A y B.)

Las proporciones de cada ala D recuerdan las semillas aladas del arce y las alas de las moscas. Cada ala está encuadrada en un par de rectángulos áureos iguales, como la vista frontal. El diagra­ma de ondas del ala muestra cómo incluso la posición de los motores en el borde anterior y el hue­co en el borde de salida del ala comparten exactamente las mismas relaciones. Los diagramas de on­das del largo y del ancho del plano C muestran relaciones compartidas de m odo similar entre el ancho del fuselaje, la línea de interrupción de las alas y la amplitud completa de estas últimas; y entre la parte delantera del fuselaje la amplitud de las alas y el extremo de la cola. El gráfico mues­tra cómo se aproximan estas proporciones a las armonías fundamentales de la música. Si bien este avión es el producto del conocimiento tecnológico, científico y comercial, también es una obra de arte con una belleza que le es propia. Esa belleza va más allá de la forma agradable: incluye la to­talidad y la fortaleza.

Estos ejemplos tomados al azar estaban destinados a sugerir que la sabiduría y el conocimiento han hecho a su modo diversos aportes al arte de vivir de Oriente y Occidente y, además, que nues­tro conocimiento occidental necesita complementarse a veces con los elementos de la sabiduría oriental para que las proporciones armoniosas se desarrollen en plenitud, no sólo en el diseño de aviones sino también en los modelos del diario vivir. De la unidad de diversidades tan alejadas co­mo el budismo y el diseño de aviones, han surgido patrones de totalidad. Nuestro ítem final será una indagación más detallada en la naturaleza de la totalidad tal como se relaciona con el arte de vivir.

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Fig. 170. Boeing 747.

Fig. 171. Patrón de mandala de una flor de cardo.

Fig. 173. Patrón de mandala en el tallo de una amapola; agrandado 1.000 veces.

1 3 2 E l p o d e r d e l o s l i m i t e s

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Fig. 174. Diatomeas; agrandadas 450 veces

Fig. 175. Detalle del centro de la diatomea; agrandado2.000 veces.

Fig. 176. Patrón de mandala creado en Fig. 177. Cuadrado y círculo en patrón atómico en lalíquido mediante vibraciones armónicas. punta de una aguja de platino; agrandado 750.000 veces.

El todo, el infierno y lo sagrado

Tanto el arte como la sabiduría y el conocimiento de Oriente y Occidente testifican en conjun­to la existencia de una unidad profundamente arraigada por debajo de las muchas diversidades que se presentan en la superficie de este mundo. Esa unidad se manifiesta en relaciones proporcionales simples, que generan patrones de totalidad armoniosa a partir de las vastas y, a menudo, dinergéti- camente opuestas diversidades de la naturaleza, las artes y, en ocasiones, el arte de vivir.

Por un lado el todo, lo saludable y lo sagrado y por el otro el infierno expresan las potenciali­dades máximas de la vida humana: el bien y el mal. Esos poderes fundamentales, lo divino y lo de­moníaco, se cree, generalmente, que son sobrenaturales y despiertan sentimientos reverenciales. Pa­ra describir ese sentimiento se usa la palabra numinoso (sobrenatural), que proviene del latín nu­men, “divinidad o espíritu” , a su vez derivada de una raíz verbal que implica inclinar la cabeza an­te Dios o un mandato de poder apremiante.

Pero los sentimientos reverenciales no son dominio exclusivo de lo sobrenatural. Muy por el contrario, las maravillas de la naturaleza suscitan en nosotros vivencias similares, en particular los patrones de totalidad de la naturaleza, como el m odelo estructural de la flor del cardo (fig. 171), las células dentro del pecíolo de un lirio (fig. 172) o de una amapola (fig. 173) o bien, las intrinca­das células de las pequeñísimas plantas acuáticas unicelulares llamadas diatomeas (figuras 174 y 175). También es estremecedora la totalidad de los patrones inorgánicos, por ejemplo las frecuen­cias exactas de la figura 176.

En la Edad Media, los hombres consagrados a Dios discutían acerca de la cantidad de ángeles que podían danzar en el extremo de una espada. H oy vemos en las fotografías de patrones atómi­cos, tomadas con la ayuda del microscopio iónico (fig. 177), ¡que no sólo unos pocos ángeles sino mundos enteros caben en la punta de una aguja!

S a b i d u r í a y c o n o c i m i e n t o 1 3 3

En todas las épocas y lugares del mundo se han creado patrones de totalidad en las artesa­nías, las artes y la arquitectura, dando forma tangible al orden intangible que unifica las d i­versidades de este mundo. El Oriente desarro­lló tales patrones, que en sánscrito se llaman mandolas, como apoyos auxiliares de la medita­ción y el culto. El plano de la gran estupa de Borobudur es un patrón de mandala. A veces también los poetas han elegido Jos patrones de mandala para expresar la totalidad humana, la agonía de carecer de ella y la lucha por lograr­la. La Divina Comedia, escrita en el siglo xm por Dante Alighieri, describe un viaje a través de patrones del destino humano, según las con­cepciones del cristianismo medieval. Las tres partes del poema, Infierno, Purgatorio y Paraí­so están concebidas, cada una, en la forma de inmensos mandalas.

El infierno, como Dante lo pinta, es un tre­mendo pozo en forma de embudo, como el crá­ter de un volcán, dentro del cual desciende el

Fig. 178. Patrón de mandala del Infierno del Dante.

1 3 4 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

V e s t íb u lo : Los opov+iAHis-t-^ns

I . Los p ín ga n o s v iv+ u o sos

Z . Los Oí>vvn<?0es ................

"5. Los g lo t-e n e s .............

4-. Los ¿’iv^v-os y los .AewocUíJVíAoves ■'

ST. Los iví>iciAi\íAes y los v e s e u K U o s . •

6 . Los U ev-e jes .................................

7 . Los v io le n to s y los besH ¿ "0es .......

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D e s c e n s o :

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^3«a)< * " (KíM-eo XIX 24-)

Fig.^179. Mandala y diagrama del Purgatorio del Dante.

autor, guiado por el poeta latino Virgilio, a quien Dante se refiere como su ancestro. Se trasladan de un círculo al otro, cada vez más es­trecho y profundo, estremeciéndose a la vista de los atormentados que en sus vidas cortaron todo lazo de relación humana por sus excesos de incontinencia, violencia y fraude. En el fon­do del pozo infernal, en el noveno círculo, es­tán los que alevosamente repudiaron todo vín­culo de amor y compasión. A llí se encuentran congelados en el lago de hielo del desamor (fig. 178).

El purgatorio (fig. 179) es la forma inversa del pozo del Infierno: una montaña que se ase­meja a una piña gigante, en plano igual a un mandala, por la que los poetas ascienden con gran dificultad. A lo largo de espiraladas sendas escarpadas y salpicadas de rocas hallan a los que, incluso después de muertos, padecen va­riadas formas de egoísmo: el orgullo, la envidia, la pereza, la avaricia, etc. (Vicios que represen­tan, en palabras de John Ciardi, desviaciones del amor: “mal amor, muy poco amor e inmo­derado amor”).

ík€. uv\¿»v p^v-e^A. ¿ke. (<3év\. 2.4-)

S a b i d u r í a y c o n o c i m i e n t o 1 3 5

Fig. 180. Mandala del Paraíso del Dante.

1 3 6 E l p o d e r d e l o s l í m i t e s

Algunos *Ke. los V>ie*¿»vvenH*v¿>uAos <^ue D<s\v\Ve vecrcHccrió en el cielo-

Ju<vv e\ Ev vi eÜsH*, Pe vo, Mwún, MoisésEv¿>\

- 5e<s\fviz.

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(.¿n. Piviv\¿n Lu.z. <Ael /\v vov

BieH«3\vev\ViAv<3\¿Aos AeS AhH uo.................................................. y .Ael N u e v o *T<2sV<»\tnenVo

(’pvecvi sHía os .y cvísHéavvos)

....... *S<vV't'OS CTvisH<nv\oS:'«'••........ A usKh

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, Ju¿AH el E><vlaHsÍ'<v/ Ul\ctí¿?v

Desde la cima del Monte Purgatorio Dante asciende al Paraíso, donde es guiado por Bea­triz, el gran amor de su vida. El paraíso se reve­la como la definitiva visión de la armonía, que se extiende por el cielo como una inmensa rosa (fig. 180), bañada en radiante luz. El poema ter­mina con las siguientes palabras:

Ya mi alta fantasía fue impotente, mas cual rueda que gira por sus huellas el mío y su querer movió igualmente el amor que mueve al sol y a las estrellas.'

La peregrinación exterior de la Diniva Co­media es en realidad el viaje interior que todos realizamos. Ninguno de nosotros logra entre­garse plenamente en el amor. Todos conocemos el lago congelado del desamor. Todos nos arras­tramos por las escarpadas rocas del egoísmo y, si somos afortunados, quizás finalmente vere­mos la luz del “amor que mueve al Sol y a las estrellas”.

Una moderna contrapartida de este manda- la medieval es la “Canción del Cosmos” , escrita por el poeta húngaro Attila Jozsef (1905-1937) cuando sólo tenía dieciocho años. También se trata de un viaje exterior reñejo de uno interior: un viaje por el mundo moderno, todavía caren­te de totalidad humana compartida. Desde el punto de vista externo, es el viaje de un plane­ta solitario, que órbita en el helado espacio ex­terior, “agostado por los vientos del vacío”. En sentido interior, es el viaje del joven poeta, que creció en la más extrema pobreza, cuyo padre dejó a la familia en busca de trabajo y cuya ma­dre trató de sostener a sus tres pequeños niños con magros salarios obtenidos lavando y lim ­piando para otros.

El caos y la falta de totalidad de la vida del poeta se reflejan en la corriente de imaginería inconexa que constituye el poema —destellos violentos junto a escenas nostálgicas de pura belleza—, todo lo cual expresa un desesperado anhelo de armonía personal y social. La forma de los versos, sin embargo, relaciona todas las cosas en un patrón de totalidad, acorde a las re­glas de los Sonetti in Corona del Renacimiento italiano.

La “Canción del Cosmos” consta de catorce sonetos. El último verso de cada soneto es igual al primero del siguiente, y el último del último soneto es el primero del primer soneto. A l final, todos estos versos componen un Soneto Maes­tro que transmite el mensaje sucinto de los ca­torce sonetos combinados. Esta dinergía genera una Suerte de circuito eléctrico, una estructura

Fig. 181. Patrón de mandala de la “Canción del cosmos” de Jozsef.

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firmemente ordenada y la libertad de imágenes diversas y an­gustiantes:

Soy un mundo completamente solo,mi alma es la tierra lozana de una giratoria esfera planetaria. Aquí florecen árboles de belleza, plenos de fragancia; mi cerebro: una ciudad llena de zumbidos de motores.

Motivos de luz lunar entretejen negro y plata en mi bosque nocturno, como hombres borrachos.Los mundos aletean como insectos, para danzar y aparearse en el

[valle estrechosobre mi oscura fe: mi río sagrado.

■sa-M i planeta gira, como lo hace mi gastado cerebro por la noche;se enfría y cae, desapareciendo de la luz,como versos de poemas olvidados en mi juventud.

Cuando todos los mundos y todos los planetas deban enfriarse una sola luz fría, la más intrépida, fulgurará en el vacío, inflamada por la hoguera de la verdad de mi planeta solo,B4

La figura 181 es un patrón del mandala de palabras que es la “Canción del Cosmos”, preparado por mí y el Dr. Janos Lotz '1'1 en 1945. Utilizamos los patrones húngaros tradiciona­les en forma de ñor para representar las lineas de los sone­tos. Los rizos más importantes corresponden a los catorce so­netos, el serpenteo de la enredadera indica las estrofas de ca­da soneto, dos cuartetos y dos tercetos. La guirnalda central representa el Soneto Maestro. La figura 182 muestra el texto completo en húngaro, con las lineas que serpentean (la enre­dadera del dibujo anterior) indicando la secuencia.

El dibujo presenta un equivalente visual de la estructura armoniosa de este poema. La “Canción del Cosmos” se ajus­ta a un patrón de anillo salvavidas, construido a partir de las realidades del mundo moderno, para salvarnos de morir ahogados en un mar de desamor. La intensidad de la lucha

por lograr el amor y la armonía da tanto a la D i­vina Comedia como a la “Canción del Cosmos” su poder sobrenatural y sobrecogedor. Ambos poemas nos demuestran que existe un orden ili­mitado en nuestra existencia, un orden de tota­lidad tan insondable como el orden del cosmos, que cuando es violado resulta tan terrible como el orden del átomo.

La antigua sabiduría hebrea de la Cábala sostiene que somos seres divididos, que viv i­mos en un mundo dividido. Enseña que nues­tra tarea en la vida es restaurar la totalidad de cuanto fragmento hallemos a lo largo del cami­no de nuestra existencia. Es el arte de ser huma­no. La palabra hebrea shalom conserva esta sa­biduría en una cáscara de nuez: no sólo signifi­ca “paz” , sino también “totalidad”.

Somos todos adolescentes en el umbral de una nueva era de madurez. Quizás uno de los caminos que conducen a la sabiduría de la ma­durez sea la senda de las proporciones, de los lí­mites compartidos, que necesitamos hallar en­tre las malezas y brozas que la han cubierto. Las proporciones son límites compartidos. Como relaciones nos enseñan el mana de compartir. Como límites nos abren las puertas a lo ilimita­do. Ése es el poder de los límites.

El poder de los límites es la fuerza que está detrás de la creación. Cuando dos guijarros se dejan caer en el agua a cierta distancia uno del otro, los patrones circulares de las ondas ma­dres se unen para crear elipses que crecen am­pliándose cada vez más hasta que —más allá de los confines de esta ilustración— también se convierten en círculos (fig. 183). Entre tanto, los primeros círculos se transforman: son pri­mero círculos cerrados y autocentrados, que crecen y se convierten en arcos parabólicos, ex­tendiéndose más allá de sí, hacia el infinito.

¿Se trata meramente de un patrón de guija­rros, de vibración, o es también una metáfora del amor, del poder de los límites compartidos y del acto creativo en sí mismo?

Fig. 183. El acto creativo.

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Cuando compartimos nuestras limitaciones con las de otros, como lo hacemos en las relaciones áureas entre vecinos, complementamos nuestras imperfecciones y las de los demás, creando de es­te modo la armonía viviente del arte de la vida, comparable a las armonías creadas en la música, la danza, el mármol, la madera y la arcilla. Es posible vivir de este modo porque las proporciones del compartir reciproco, las proporciones áureas de la naturaleza, están incorporadas en nuestra pro­pia índole, en nuestros cuerpos y mentes que son, después de todo, parte de la naturaleza. Los pro­cesos básicos de formación de modelos de la naturaleza, que han dado forma a la mano y a la men­te humanas pueden continuar guiando todo aquello a lo que la mano y la mente den forma, en tan­to la mano y la mente sean fieles a la naturaleza.

De este m odo las mejores creaciones humanas son clásicas y hasta sagradas, como una ñor re­cién abierta. Si volvemos a mirar el punto donde empezamos, con el Buda sosteniendo una ñor (fig. 184), veremos primero en su mano el gesto de enseñar (A ). Cuando se despliega, el dedo índice se mueve recorriendo el mismo tipo de espiral logarítmica que se desarrolla en miríadas de formas na­turales (B). Los movimientos combinados de los cinco dedos (C ) crean la imagen del loto de mil pétalos, símbolo del logro y la integridad definitiva. Pero esa mano no es sólo la mano del Buda; es la mano de todo ser humano.

Fig. 184. La mano que se despliega.