El PÉNDULO OSCILANTE

En la ingeniería mecánica (así como en las otras ingenierías) a menudo se enfrentan problemas relacionados con el movimiento periódico de cuerpos libres. Los métodos de ingeniería requieren fundamentalmente que se conozca de la posición y la velocidad del cuerpo en función del tiempo. Estas funciones del tiempo invariablemente son ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones diferenciales, en general, se basan en la segunda ley de Newton del movimiento.

Consideremos el péndulo simple. La partícula de peso W se suspende de un hilo de peso despreciable, de longitud l. Las únicas fuerzas que actúan sobre la partícula son un peso y la tensión R del hilo. La posición de la partícula en cualquier tiempo se especifica completamente en términos del ángulo θ y 1.

El diagrama de cuerpo libre muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula así como su aceleración. Al aplicar la segunda ley de Newton del movimiento en la dirección x, tangente a la trayectoria de la partícula, obtenemos:

donde g es la constante gravitacional (32.3 pies/s2) y a es la aceleración en la dirección x. La aceleración angular de la partícula (α) es

Por lo tanto, en coordenadas polares (α = d2 θ/dt2 ),

Esta ecuación aparentemente simple es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden. En general, tales ecuaciones son difíciles o hasta imposibles de resolver analíticamente Existen dos alternativas relacionadas con el avance en la solución de este problema. Primero, la ecuación diferencial se puede reducir a una forma de resolver analíticamente o se puede usar un método numérico para resolver la ecuación diferencial directamente.

Solución: de acuerdo al primer método, observamos que la expansión de la serie Taylor del sen θ está dada por

Para pequeños desplazamientos angulares, sen θ es aproximadamente igual a θ cuando se expresa en radianes. Por lo tanto, para desplazamientos pequeños tenemos:

La solución, se presenta a continuación:

Proponemos:

i

por lo tanto

aquí, c debe ser la condición inicial; por lo que la planteamos como c= θ0

pero

asi, de este modo

donde θ0 es el desplazamiento en t = 0 y en donde se supone que la velocidad (v = d θ/dt) de la partícula es cero en t = 0. Al tiempo necesario para que la partícula complete un ciclo de oscilación se le llama periodo y está dado por:

A continuación se muestra la grafica del desplazamiento θ

Y ahora la grafica de la velocidad (dθ/dt)