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El nmero de oro

Vicente Viana Martnez Pg 1

EL NMERO DE ORO

La geometra, segn cuentan los historiadores, nace a orillas del ro Nilo. El faran

obligaba a pagar los tributos proporcionalmente a la extensin de las tierras de cada

propietario. Asimismo, las crecidas y estiajes del Nilo obligaban a situar las marcas y los

lindes de los campos de cultivo despus de cada inundacin. La medida de reas, dis-

tancias y ngulos favoreci el desarrollo de una serie de tcnicas para ejecutar estos

procesos con precisin y lo que es ms importante supuso el inicio de un proceso de

abstraccin que converta un accidente geogrfico en una lnea, una superficie de cul-

tivo en un grfico y las distancias lineales y angulares podan ser tratadas matemtica-

mente. En otras palabras, el inicio de la geometra a un nivel esencialmente prctico.

Fueron los inquietos y curiosos habitantes de Grecia quienes sistematizaron y for-

malizaron esas estructuras, descubriendo propiedades curiosas, elaboraron teoremas y

formularon demostraciones que tenan validez universal. La estructura bsica de la

geometra del plano, "Elementos" de Euclides, ha llegado hasta nuestros das y sigue

estudindose o mejor dicho debiera seguir estudindose tal como lo hicieron los griegos

hace siglos.

De entre todas las facetas abarcadas por esa ciencia, voy a dedicar la charla de

hoy a un concepto muy simple, insultantemente simple, pero que en su sencillez encie-

rra innumerables consecuencias, aplicaciones e ines-

peradas propiedades. Voy a hablar del llamado nmero FI

(). Este nmero recibe su nombre de la inicial del

escultor Fidias (siglo V a.C.), autor del friso y del frontisdel Partenn, quien utiliz ampliamente sus propiedades

en su destacada obra artstica.

Todo empieza con una lnea recta. Imaginemos un segmento de una longitud dada l y

ahora queremos dividirlo en dos partes, de la forma ms armnica posible. Por ejemplo,

sean a y b esos dos segmentos, tal que a + b = l.

a b


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El mayor grado de armona entre ambos segmentos se alcanza cuando la relacin

entre la longitud total y el segmento mayor es igual a la relacin entre el segmento ma-

yor y el menor.

Vitrubio indic que para que un todo dividido en partes desiguales pareciera her-

moso, "entre la parte mayor y la menor debe existir la misma relacin que existe entre

la mayor y el todo".

Matemticamente, esto se expresa como.

ba

aba

=+

Desarrollando esta igualdad.

22 bbaa +=

0baba 22 =

Resolviendo esta ecuacin de segundo grado.

b2

512

5bb2

b4bba

22

=

=

+=

El nmero de oro es la relacin entre los segmentos "a" y "b".

ba

=

251

1+

= 2

512

=

Tomando la solucin positiva de la ecuacin de 2 grado obtenemos el valor nu-mrico de , un nmero irracional cuyo valor numrico es.


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= 1,618033989.....

Obsrvese que la parte decimal de 1 y de 2 es la misma. Y la parte decimal de

2 es tambin la misma que la de .

Es decir, se cumple que.

21

1

=

12 +=

Esta simple relacin o cociente entre las longitudes de dos segmentos es la basede uno de los captulos ms curiosos y sugerentes de la Ciencia. Desde la antigedad

ha despertado el inters y la curiosidad de filsofos, gemetras, matemticos, pintores,

arquitectos y escultores. A mi juicio, su capacidad de fascinacin reside en el hecho de

tratarse de un concepto esttico primario que admite un intenso formalismo matem-

tico. No nos debe extraar esa dualidad arte-matemtica, los hombres cultos de otras

pocas no establecan diferencia alguna entre el rea de ciencias y el rea de humani-

dades. La separacin entre esas dos ramas del saber es uno ms de los lamentables in-ventos pedaggicos de este siglo. Por ello, la razn urea (bautizada as por Luca Pa-

cioli) es un concepto curricular que ha desaparecido de los actuales planes de estudio

pero su existencia nos acompaa en nuestra vida cotidiana como comprobaremos a lo

largo de esta charla.

Pero volvamos a la definicin inicial. El nmero de oro es, como hemos dicho an-

teriormente, la razn entre dos segmentos. Pero es algo ms que un simple cociente delongitudes, en su valor matemtico lleva asociado un concepto esttico, el canon de la

belleza, de la proporcin perfecta.

Por ejemplo, si pedimos a un grupo de personas que dibujen un rectngulo que

resulte agradable a la vista o mejor an, si pedimos que elijan entre una docena de

rectngulos con diferentes proporciones entre su anchura y su altura comprobaremos

que el rectngulo mayoritariamente elegido es aquel cuyos lados cumplen la relacin.


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.....618,1ab

=

No es de extraar que las tarjetas de crdito adoptenesta forma, son rectngulos ureos, acertadamente elegida

su forma para as hacer de oro a quien las emite. El do-

cumento nacional de identidad espaol tambin es un rec-

tngulo ureo al igual como el diseo de las cajetillas de

tabaco

Una forma sencilla de dibujar el rectngulo ureo es.

partimos de un cuadrado de lado l.lo dividimos por la mitadcon un comps pincho en A' y trazo el arco BCla distancia AC = l

251 +

Para hallar la razn urea de un segmento

procederemos de la siguiente forma.

sea AC un segmento de longitud a, el cual quierodividir en dos partes que guarden entre s la

relacin urea.

levanto en C la perpendicular de longitud a/2 uno el punto A con el punto D.

25a

AD =

trazo el arco CB' con centro en D. trazo el arco B'B con centro en A a....618,0a

215

2a

25a

'ABAB =

===

Al unir dos rectngulos ureos iguales se forma otro rectngulo ureo.


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Cuando se colocan dos rectngulos ureos iguales tal como se indica en la figura,

la diagonal AB pasa por el vrtice C.

Al recortar en un rectngulo ureo el cuadrado de lado igual a la altura del rec-

tngulo, obtenemos otro rectngulo ureo

ms pequeo. Repitiendo este proceso

indefinidamente observamos que las

diagonales de todos los rectngulos ureos

as construidos estn situadas sobre dos

direcciones perfectamente delimitadas. Al

punto de interseccin de estas dos

diagonales se le llama el ojo de Dios.

El nmero est muy ligado al pentgono regular tanto el convexo como el estre-

llado. El pentgono regular era el distintivo de los pitagricos. Los pitagricos se sentan

fascinados por las propiedades de los nmeros e hicieron importantes descubrimientos

en msica, al comprobar cmo al hacer vibrar una cuerda siendo su longitud proporcio-

nal a ciertos nmeros enteros, entonces se producen sonidos melodiosos. Es decir,

existen ciertas longitudes expresables en forma de nmeros enteros, asociados a la ar-mona de los sonidos y, por tanto, al deleite del espritu. Esa escuela filosfica, ms

bien una secta religiosa, fascinados por las propiedades del nmero de oro y su repre-

sentacin grfica en el pentgono regular hicieron suyo ese smbolo que siempre ha

posedo unas connotaciones esotricas. Para las invocaciones a los espritus, al diablo,

se valen de una escenografa donde habitualmente aparece el pentgono regular, como

elemento intermedio, como puerta de acceso entre la realidad y la irracionalidad.


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para la construccin del pentgono regular partimos de un cuadrado de lado l construimos el segmento ureo OD, tal que =

OC

OD, por el mtodo expuesto

anteriormente.

con centro en B' prolongo el arco BD hasta C'. con centro en O trazo el arco DC'. el segmento CC' es el lado del pentgono regular el segmento OC' es la diagonal del pentgono ambos estn relacionados segn.

diagonal = lado

Los ngulos interiores de un pentgono miden:

1085

)25(180n

)2n(180 =

=

El tringulo OCC' es issceles, los ngulos de los extremos miden

536

2

108180 ==

De aqu deducimos, por inspeccin del tringulo OCC', que.

)5

(cos2

=

El tringulo issceles de ngulos 36, 72, 72 es la base del pentgono regular

estrellado y es el llamado tringulo ureo. Obsrvese que en el tringulo ureo (issce-

les), el lado desigual y la base estn en la proporcin del nmero de oro.

En el tringulo issceles ACD, AD/DC =


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El decgono podemos descomponerlo en 10 tringulos de

oro y fcilmente se ve que el lado del decgono es justamente la

parte urea del radio.

Por tanto, a partir del radio OB (ver

figura), levantamos el segmento OM de longitud igual a R/2.

Unimos M con B. Trazamos el arco OC con centro en M. El

segmento AB es la parte urea del radio y consecuentemente, el

lado del decgono regular.

Llevando ese valor sobre la circunferencia marcamos los 10 puntos. Al unirlos de

dos en dos dibujamos el pentgono regular, al unirlos de tres en tres el decgono re-

gular estrellado y al unirlos de cuatro en cuatro el pentgono regular estrellado. Obsr-

vese en los polgonos estrellados como se forma interiormente el polgono convexo co-

rrespondiente.

En un pentgono regular, la relacin entre el radio de la circunferencia circunscrita

y la circunferencia inscrita es el nmero de oro

Una cinta de papel anudada nos proporciona un pentgono regular.

Una hermosa figura geomtricamente, la armona y belleza de sus proporcionesnos indica que sus lados siguen la razn urea.


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Un curioso mosaico diseado por Roger Penrose cuyos elementos tienen como

base las figuras.

El pentgono, el pentgono estrellado, y los sucesivos pentgonos que se van formando al

repetir el proceso presentan una curiosa propiedad geomtrica.

Los segmentos.a .... diagonal del pentgono

b .... lado del pentgono

c ... lado de la punta de la estrella

d .... lado del pentgono interior

. . . . . . y sucesivos

estn en la relacin del nmero de oro.====== .......

f

e

e

d

d

c

c

b

b

a


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El "Entierro del Conde de Orgaz" y un estudio de sus proporciones basado en el

nmero de oro.

Un ejemplo de rectngulo ureo en el arte es el alzado del Partenn griego

En la pirmide de Keops (2.600 a.C.) aparece el nmero de oro aproximada-

mente, en algunas proporciones, aunque no hay constancia de la voluntariedad de sus

constructores, bien puede ser una casualidad


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Herodoto cuenta que los sacerdotes egipcios le

haban mostrado que el cuadrado de la altura total de

la pirmide de Keops es igual al rea de una cara de la

pirmide.

2aLh2 =

A su vez; =2/L

a =

lateralAreatotalArea

=baseArea

lateralArea

En el libro La divina proporcin de Luca Pacioli, editado en 1.509, aparece el

famoso dibujo de Leonardo da Vinci El hombre de Vitrubio. En dicho libro se indicancules deben ser las proporciones de las construcciones artsticas. El hombre perfecto

de Leonardo tiene las distintas partes de su cuerpo segn proporciones ureas. Esti-

rando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cua-

drado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide con la distancia entre los extre-

mos de los brazos estirados.

El cociente entre la altura del hombre y la distancia del ombligo a la punta de la

mano o del ombligo al suelo (radio de la circunferencia) es la razn urea.

El cuadro Leda atmica de Dal est basado en el sagrado pentgono pitag-

rico. En el cuadro no es tan evidente, pero en el boceto original se aprecia la disposi-

cin de la figura inscribindose en el pentgono estrellado.


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El rostro de La Gioconda est inscrito en un rectngulo ureo.

De todas formas, estas comprobaciones estn hechas a posteriori. Ignoramos el

propsito del autor.

Si disponemos de una hoja de papel de dimensiones x 1, al eliminar el cua-

drado de lado unidad obtenemos otro rectngulo de dimensiones 1 x (-1), que es se-

mejante al primero. Procediendo sucesivamente tendremos toda una coleccin de rec-

tngulos ureos de tamao cada vez ms pequeos pero todos semejantes entre s.

No slo aparece el nmero de oro en las obras de arte sino tambin en la Natura-

leza.

Una construccin similar podemos realizar partiendo de un rectngulo ureo de

dimensiones x 1, dividiendo el rectngulo ureo en un cuadrado de lado = 1, enton-

ces el rectngulo sobrante tiene dimensiones 1 x (-1). En ese nuevo rectngulo sepa-

ramos el cuadrado de lado (-1) quedando un rectngulo sobrante de dimensiones (-


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1) x (2-). Siguiendo el proceso vamos obteniendo rectngulos de dimensiones (2-) x

(5-3), (5-3) x (5-8), tal como observamos en la figura.

Al trazar los cuartos de circunferencia correspondientes a cada uno de la sucesin

de cuadrados sucesivos, obtenemos una lnea espiral cuyo perfil se asemeja con el de la

concha de multitud de caracoles marinos como el Nautilus o caracolas de mar.

Esta curva es parecida, aunque no igual a la espiral logartmica, llamada tambin

espiral equiangular (el ngulo de corte del radio vector con la curva es constante) o es-

piral geomtrica (el radio vector crece en progresin geomtrica mientras el ngulopolar decrece en progresin aritmtica). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la

llam spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logartmica,

similar a la espiral urea,

gobierna el crecimiento armnico

de muchas formas vegetales

(flores y frutos) y animales

(conchas de moluscos), aquellas

en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo ms visualmente representativo

es la concha del nautilus.

La lnea espiral as construida se asemeja a una espiral logartmica cuyo polo es el

definido anteriormente como ojo de Dios. La espiral logartmica tiene una curiosa pro-

piedad; trazando una lnea recta cualquiera con origen en el polo, esa lnea corta a la


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espiral segn un mismo ngulo, por eso se la llama tambin equiangular. Esta curva

tan particular sigue la regla, creciendo no cambia la forma.

Los huevos de gallina son valos que pueden inscribirse aproximadamente en

rectngulos de oro, es decir, la altura y la anchura del huevo parecen seguir la propor-cin urea.

Y ya que estamos hablando de animales, de caracoles y de

huevos de gallina por qu no hablar de conejos?. Pero antes

vamos a presentar a un gran matemtico Leonardo de Pisa

(1.170-1.240), ms conocido por Fibonacci (hijo de Bonaccio). A

pesar de ser un matemtico brillante con una importante obra en

su haber, es conocido principalmente por una cuestin

aparentemente trivial, una sucesin de nmeros enteros en la que

cada trmino es igual a la suma de los dos anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, .......

Esta sucesin representa un buen nmero de situaciones prcticas pero la ms

anecdtica es la relacionada con una terica (no real) cra de conejos. Supongamos una

pareja de conejos, los cuales pueden tener descendencia una vez al mes a partir del

segundo mes de vida, suponemos asimismo que los conejos no mueren y que cada

hembra produce una nueva pareja (conejo, coneja) cada mes. La pregunta es, cuntas

parejas de conejos existen en la granja al cabo de n meses?.


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El nmero de parejas mensuales coincide con los trminos de la sucesin de Fibo-

nacci.

La sucesin de Fibonacci es uno de los temas ms sorprendentes de la Matem-tica, existen multitud de aplicaciones en los que aparece esa sucesin, existiendo una

amplsima bibliografa dedicada exclusivamente al estudio de sus propiedades y aplica-

ciones. A ttulo de ejemplo citaremos.

generacin de algoritmos para el clculo de mximos y mnimos de funcionescomplicadas cuya derivada es difcil de obtener.

en poesa, ciertas obras de Virgilio y otros poetas de su poca se sirvieron deli-beradamente de la sucesin de Fibonacci en sus composiciones.

el nmero de rutas que recorre una abejacuando se desplaza por las celdillas de un

panal son trminos de la sucesin de

Fibonacci, siendo n el nmero de celdillas.

El nmero de antepasados de los znganos

son trminos de Fibonacci (ntese que los znganos son producidos a partir de los

huevos infertilizados de la abeja reina, es decir, tienen una madre pero no tienen

padre).

en el estudio de las trayectorias de rayos luminosos que inciden oblicuamente sobredos lminas de vidrio planas y en contacto

una propiedad de la sucesin de Fibonacci es que dos trminos consecutivos cuales-quiera son primos entre s. Se discute si la sucesin de Fibonacci contiene un n-mero infinito de nmeros primos.

el cuadrado de cada trmino de la sucesin de Fibonacci se diferencia en una unidaddel producto de los dos contiguos; el anterior y el siguiente.

en los girasoles, las semillas se distribuyen en forma de espiraleslogartmicas, unas en sentido horario y otras en sentido

antihorario, si contamos el nmero de espirales que hay en un

sentido y las que hay en el otro aparecen trminos de Fibonacciconsecutivos. Igual sucede en las pias de los pinos.


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Usando los trminos de la sucesin de

Fibonacci dibujemos rectngulos de dimen-

siones iguales a los trminos de la suce-

sin, expresadas, por ejemplo, en cent-

metros. Tal como se observa en la figura

adjunta, los rectngulos con estas dimen-

siones encajan perfectamente entre s,

como piezas de un puzzle formando cua-

drados, de tamaos progresivamente ma-

yores.

La explicacin es sencilla. Sumando los productos de los trminos consecutivos de

la sucesin en la forma. (11) + (12) + (23) = 32, obtenemos el cuadrado del ltimo

trmino.

(11) + (12) + (23) + (35) + (58) + (813) + (1321) = 21

2

(11) + (12) + (23) + (35) + (58) + (813) + (1321) + (2134) + (3455) +

(5589) + (89144) = 1442

Y ahora ha llegado el momento de preguntarnos, y qu tiene que ver todo esto

con la razn urea?

Si tomamos los trminos de la sucesin de Fibonacci.


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1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, .......

Y dividimos cada trmino por el anterior vamos obteniendo los siguientes valo-

res.

...618,15589

...617,13455

...619,12134

..615,11321

625,1813

6,158

..66,135

5,123

212

111

==========

Representando estos cocientes en forma grfica.

Los cocientes sucesivos convergen hacia el valor 1,618033989..... En otras pala-bras.

=+

= 2

51ff

lim1n

n

El trmino general de la sucesin de Fibonacci es.

+=

nn

n 251

251

51

f

=

nn

n1

5

1f

De nuevo, y sorprendentemente el nmero de oro aparece relacionado con los fe-

nmenos naturales que hemos descrito. Y es que el nmero de oro posee unas sor-

prendentes propiedades matemticas.

Si comparamos


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+= 11

12 +=

Y, en general2n1nn +=

A su vez1nn

=

....6180,12

51=

+=

....6180,051

21=

+=

Observamos que poseen la misma parte decimal. En otras palabras.

+=

11

El nico nmero que cumple esa propiedad es nuestro viejo conocido, el nmero

de oro.

Esa relacin implica la curiosa sucesin de igualdades.

......

11

11

11

11

11

11

11

11

11

11 =

+

+

+

+=

+

+

+=

+

+=

+=

Construyamos ahora la progresin geomtrica.

1, , 2, 3, 4, .....

Se trata de una progresin geomtrica de razn pero al

mismo tiempo cada trmino es tambin LA SUMA de los dos ante-

riores. Es la nica sucesin que participa al mismo tiempo de la

naturaleza de la progresin aritmtica y geomtrica, de ah se de-

riva esa maravillosa perfeccin en las figuras cuya geometra y di-

mensiones estn vinculadas al nmero de oro.


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Siguiendo con las curiosidades matemticas, una

forma de representar el nmero de oro es mediante la

sucesin de radicales consecutivos.

......111111 ++++++=

Otra expresin ms rebuscada pero no menos sorprendente.

+

++

++

+= .....

141

131

121

111

91

81

71

61

41

31

21

11

25

ln

El nmero de oro est vinculado a la trigonometra con las relaciones.

236cos =

=

21

72cos

Como consecuencia, se verifica .

Y la solucin de la ecuacin trigonomtrica.

xtgxcos =

=

1senarcx

Una curiosidad muy poco cientfica.

sen (666) + cos (666) 1,618033989...

Para finalizar vamos a mostrar algunas relaciones de la razn urea con la figura

humana, si hemos aplicado este concepto a la arquitectura y a la Naturaleza, es normal

que tambin los clsicos se hayan interesado por los cnones de belleza aplicados a las

proporciones humanas.


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Este sera a juicio de un artista el rostro ms perfecto, ms armnico de una mu-

jer.

El cuerpo humano puede inscribirse en un pentgono

regular. Una figura humana con esas proporciones estara

dentro del canon de la belleza ideal.

Los permetros de los distintos pentgonos regula-

res formados a partir de las diagonales son trminos dela sucesin de Fibonacci.

Un detalle curioso conocido por los clsicos es que la distancia del ombligo alsuelo es aproximadamente la razn urea de su altura.

En la mano humana, ladistancia entre las falangesparecen estar en la raznurea de la longitud del

dedo.


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En resumen, el nmero de oro parte de una definicin. Al dividir un segmento en

dos partes, la razn entre el todo y la mayor es igual a la razn entre la mayor y la me-

nor. Esta definicin le confiere una serie de propiedades interesantes, una sucesin depotencias del nmero de oro participa del crecimiento aritmtico y geomtrico simult-

neamente y tambin est vinculado con la sucesin de Fibonacci. Debido a las curiosas

y sorprendentes propiedades de , existe mucha literatura acientfica que lo usa indebi-

damente.

Otra aplicacin matemtica la tenemos en la

descomposicin de un rectngulo cualquiera en tres

tringulos (en rojo) de igual rea. La solucin se obtiene

al hallar la parte urea de sus lados.

El nmero de oro representa un canon de belleza, de armona, un concepto est-

tico ampliamente usado por pintores, escultores, arquitectos, a lo largo de la historia,

sin embargo, a mi juicio la belleza no puede circunscribirse a una relacin prefijada, a

un modelo matemtico, uniforme y universal. La belleza no consiste en que de entre los

infinitos rectngulos posibles exista uno, el rectngulo ureo, ms armonioso que los

dems, la belleza consiste en que; existen infinitos rectngulos y que yo puedo esco-

ger aquel que ms me apetezca. La belleza en la Naturaleza no est sujeta a un canon,

la belleza reside en la diversidad, en las posibilidades infinitas de combinaciones de

formas y tamaos.

Por ejemplo; qu sera ms deseable, un mundo con 3.000 millones de mujeres

armoniosamente perfectas e iguales?

O bien, no es mucho ms hermoso un mundo con personas donde nadie se

ajusta al canon de belleza pero rico en diversidad?.


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BIBLIOGRAFA

El nmero de oro. Matila C. Ghyka. Ed. Poseidn Matemticas e imaginacin. E. Kasner/J. Newman. Ed. Salvat Instantneas matemticas. Hugo Steinhaus. Ed. Salvat Miscelnea matemtica. Martin Gardner. Ed. Salvat Circo matemtico. Martin Gardner. Alianza Editorial La sezione aurea. Mario Livio. Rizzoli

DIRECCIONES DE INTERNET

http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/ http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html http://averroes.cec.junta-andalucia.es/recursos_informaticos/concurso/accesit3 http://www.mathsoft.com/

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