El Mundo Magico de La Fisica Liwintong Marquez Reyes

FÍSICA DE LIWINTONG MÁRQUEZ REYES PRIMERO DE BACHILLERATO

EL MUNDO MÁGICO DE LA FISICAPRIMER AÑO DE BACHILLERATO

MÓDULOINSTRUCCI0NAL Y FORMATIVO

AUTOR

Ing. Civ. LIWINTONG MÁRQUEZ REYESDERECHO DE AUTOR EN TRÁMITE

AÑO LECTIVO 2012 - 2013

EDUCAMOS POR UNA LATINOAMÉRICA INTELIGENTE

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PRÓLOGO

Al realizar el presente trabajo, he considerado hacerlo de la forma más sencilla y concreta, centrado en el tema FUNDAMENTO DE FÍSICA BASICA, recalcando el hecho de que este informe es netamente de orientación y desde el punto de vista de el estudiante, puesto que es un trabajo teórico y práctico por la no disponibilidad de tiempo en el transcurso del año lectivo, pudiendo ampliar o refinar los cálculos de acuerdo a las condiciones de la obra con los estudios dentro del campo práctico.

En la realización del presente trabajo he utilizado numerosas fuentes de información entre las cuales la más importante es el estudio teórico que se recibe en las aulas escolares por intermedio de sus catedráticos.

Dentro del campo de investigativo, espero que el presente texto sirva de ayuda a los estudiantes del Bachillerato en los temas afines a la misma.

LIWINTONG MÁRQUEZ REYES

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DEDICATORIA

Casi al culminar una etapa mas de mi preparación intelectual, técnica y cultural, plasmada parcialmente en el presente texto, la dedico a mi Dios, por todas las bendiciones que recibo de el día a día, ya que su palabra lo dice: NO TEMAS, PORQUE YO ESTOY CONTIGO; NO DESMAYES, PORQUE YO SOY TU DIOS QUE TE ESFUERZO; SIEMPRE TE AYUDARE, SIEMPRE TE SUSTENTARE CON LA DIESTRA DE MI JUSTICIA. (Isaías 41:10). A mis queridos padres como una pequeña ofrenda de mi profundo sentimiento filial que pretendo compensar, todos sus consejos, desvelos. A mi Cónyuge Sandra , quien se interesó en mi entre todos los existentes del Universo para con su sencillez darme amor diario , a mis hijos Arlington , Dennisse , Jafet , Ilan , quienes llegaron a mi con la bendición de Dios para adornar mi hogar todos los días .


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AGRADECIMIENTO

Dejo expresa constancia de mi empecedera gratitud a mis Profesores de la Facultad de Filosofía Letras Y Ciencias de La Educación de La Universidad Central del Ecuador señores Ing. Edgar Salas, Lcdo. Luis Silva. Por la brillante oportunidad que me ha brindado de forjar mi mente y mi espíritu bajo sus normas y disciplina científica y educacional.

A los Colegios Sagrado Corazón de Rumípamba, Los Alpes, Bolivariano 24 de Julio de la Ciudad de Quito, quienes con su apoyo permitieron dar un pre estreno de la Obra.

A los Colegios La Inmaculada, donde fui profesor durante cinco años con la Cátedra de Física, Laboratorio de Física y Matemática, a la Unidad Educativa Eloy Alfaro, Institución donde doy la Cátedra de Física y Matemática en la Ciudad de Machala.

Del mismo modo hago trascendental el agradecimiento al resto de personal docente de la Facultad de Ingeniería Civil, Especialmente a los Ing. David Ortega, Ing. Jorge Jaramillo, quienes supieron de forma sabia revisar el texto y al mismo tiempo transmitirme sus sabias enseñanzas y permitirme llegar al peldaño en el que me encuentro.

Finalmente agradezco a mis compañeros con quienes compartí grandes y gratos momentos y a la vez que me alientan en la consecución de mis propósitos.


SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

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INTRODUCCIÓN

El presente texto ha sido elaborado con el propósito de tratar de mejorar cualitativamente la enseñanza - aprendizaje de la Ciencia Física en el Primer Año de Bachillerato de nuestros colegios.

Las innovaciones que se presentan en el desarrollo del texto van dirigidos de forma especial a los maestros y a los alumnos que gustándoles la Física no saben porque ni como se desarrolla la misma dentro de la tecnología de la educación.

Con la finalidad de facilitar un conocimiento reflexivo, voy a tratar de que el alumno y el maestro se permitan comprender mejor la realidad de los fenómenos físicos y su incidencia en nuestra vida diaria enmarcada dentro de la sociedad en la que vivimos y nos desenvolvemos.

Según las investigaciones, se calcula que nuestro cerebro al concluir su etapa de maduración , que es aproximadamente a la edad de 16 años, posee cerca de catorce millones de neuronas, estando cada una de ellas en la posibilidad de realizar alrededor de treinta conexiones para elaborar niveles de conocimiento, en base a estimulaciones ; de ahí que es importante obligarle a nuestro cerebro a que trabaje con energía potencial de tipo mental y desarrolle destrezas en el manejo de la ciencia con estímulos de trabajo en clases y no que se transforme en una cátedra de dictar resúmenes.

Hagamos que nuestros alumnos piensen en clase, permitiéndoles redescubrir, en la mayor parte del tiempo la mayoría de los fenómenos que existen en la naturaleza y su funcionamiento.

En nuestras instituciones educativas, cada profesor pretende enseñar a sus alumnos todo lo que sabe y tratar de lucirse como catedrático descuidando que el estudiante es el de las expectativas y curiosidad que no las pregunta por miedo al maestro o por vergüenza ante los demás, pensando en que el no saber lo pone en un estado de ignorancia.

Desde este punto de vista, no nos interesa como educadores , darle al educando conocimiento extenso, sino mas bien proporcionarle métodos de trabajo que desarrollen sus intelectos para luego aprender solos, siendo la institución educativa el lugar DONDE SE APRENDE A APRENDER.

Mi aspiración como educador, no es formar dentro del colegio a Físicos, peor Matemáticos, sino fomentar a mis educandos un pensamiento crítico, reflexivo y creador de verdaderos modelos matemáticos que les sirva como prototipo de ensamblaje para desarrollar lo que llamamos ciencia, o se sepa desenvolver en el futuro como un verdadero profesional .

Mi sugerencia al resto de educadores es de qué cumplan su aspiración de maestros, no hostigando al estudiante con conocimientos que a lo mejor solo él los conoce, sino desarrollando en el alumno métodos de procesos que les permita auto estimarse en la Ciencia.

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Existe un proverbio que dice “LA BOCA HABLA DE LO QUE EL CORAZON SIENTE”, hagamos entonces que nuestros alumnos sientan una pasión de lo que aprenden y lo puedan comentar en un momento de charla y discutir lo que aprendieron positivamente.

Este texto, tiene la finalidad de que el profesor organice grupos de trabajo con sus estudiantes y los desarrolle en el aula, discutiendo como ente social, intercambiando ideas con los demás.

La Física es una ciencia experimental, si bien es cierto que en la mayoría de las instituciones educativas no cuentan con un laboratorio de física, esto no implica que el educador deje de ser un ente creativo, con ideas sencillas para demostrar el aprendizaje de forma experimental.

Los padres de familia nos confían a nosotros los educadores a sus hijos con la finalidad de que les ayudemos, los conduzcamos y lideremos la lucha por un futuro mejor, mas no para aniquilarlos ni hacerlos sentir inútiles ante la sociedad.

Este texto espero que sea de gran utilidad para enseñar mejor o para que nuestros alumnos aprendan mejor.

Con el afán de que este texto se convierta en un auxiliar del aprendizaje, tanto del profesor como del estudiante, está desarrollado bajo el sistema de INTERAPRENDIZAJE, abarcando los siguientes aspectos.

Cada unidad tiene INTRODUCCIÓN, que es el primer contacto del estudiante con el aprendizaje por medio de una lectura comentada, resumen del contenido en pocas oraciones, ilustraciones del contenido, posibilidad de consultar con otros textos, redactar otras introducciones y discutir sobre sus posibles implicaciones.

Las metas y las aspiraciones del estudiante están globalizadas en los OBJETIVOS DE LA UNIDAD, comprometiendo al estudiante que los acepte con honor y los pueda retro alimentar en lo posterior.

Los conocimientos y las destrezas que deben tener los estudiantes están estipulados cómo PRERREQUISITOS DE TIPO FÍSICOS Y MATEMATICOS, para una mejor comprensión del tema.

Las ideas y sugerencias que se les entregue a los alumnos y maestros, con la finalidad de superar el dominio del tema están vinculados dentro DEL SISTEMA CORRECTIVO.

También existen DIAGRAMAS CONCEPTUALES, donde aparecerá la información completa de la unidad de una forma sintética, destacando los conceptos básicos , sus relaciones , las leyes que lo generan y los principios conservativos, para que al final de la unidad puedan crear nuevos diagramas conceptuales.

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Lleva consigo una INFORMACIÓN CIENTÍFICA, para que el estudiante con una breve explicación del profesor, organice grupos de alumnos para elaborar resúmenes que sean de gran discusión en clase mediante pápelo grafos, uso del computador manejando el POWER POIN, y buscar nuevas soluciones al problema.

También lleva en sí PROBLEMAS RESUELTOS, recopilados de varios textos, para que conjugue la teoría con la práctica y adquiera destreza de comprensión, interpretación del problema, análisis, síntesis y evaluación del mismo. Estos problemas resueltos están debidamente ordenados, aplicando un proceso lógico de literatura del problema, selección de los conceptos básicos y condiciones del problema, presentación de un gráfico, determinación de datos , incógnitas, fórmulas, desarrollo de la solución física del problema y su solución matemática.

También llevan en sí, PROBLEMAS PROPUESTOS, para que el estudiante adquiera destrezas bajo las experiencias anteriores.

No he descuidado el desarrollo de CUESTIONARIOS, para que el estudiante adquiera un mínimo de esfuerzo intelectual para ser respondidos.

Además CONTIENE UNA AUTOEVALUACION y unas pequeñas PRACTICAS DE LABORATORIO.

Con estas pequeñas recomendaciones didácticas , espero que este texto sea de gran valor técnico - científico tanto para el educando, como para el educador.

EL AUTOR

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UNIDAD N0 01

INTERPRETACIÓN DE LEYES FÍSICAS POR CONSTRUCCIÓN DE MODELOS

MATEMÁTICOS

1.1.- Introducción al Método Científico

1.2.-Ubicación de la física en el ámbito de la ciencia

1.3.- Punto de vista de la ciencia 1.3.1.- Aspectos biológicos de la ciencia 1.3.2.- Aspectos físicos de la ciencia

1.4.- Fases del método científico 1.4.1.- Observación y / o Experimentación; 1.4.2.- Organización y Sistematización; 1.4.3.- Hipótesis y Teoría; 1.4.4.- Verificación y Predicción.

1.5.- Tipos de Leyes 1.5.1.- Tipos de Leyes Cuantitativas 1.5.1.1.- Ley de Proporcionalidad Directa 1.5.1.2.- Ley de Proporcionalidad Inversa

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Objetivos a conseguir para Interpretación de Leyes Físicas por Construcción de Modelos Matemáticos:

Al finalizar esta unidad los estudiantes de la Unidad Educativa Eloy Alfaro estarán En capacidad de:

Identificar las Leyes de la Físicas por Construcción de Modelo

Conocer la Ubicación de la Física en el ámbito de la Ciencia;

Diferenciar una Ley Cualitativa de una Cuantitativa;

Aplicar la Leyes de la Física en el ámbito matemático.

Prerrequisitos:

Para el desarrollo de esta unidad, los estudiantes deberán disponer de los siguientes conocimientos:

FÍSICOS

Tener conocimientos teóricos de Ciencia

Conocer lo que es una ley de proporcionalidad directa e inversa

Identificar en un plano cartesiano los diagramas rectos y curvos

Movimiento rectilíneo uniforme y rectilíneo uniformemente variado .

MATEMÁTICOS

Mediante tablas de valores, graficar ecuaciones directamente proporcionales

Mediante tablas de valores, graficar ecuaciones inversamente proporcionales

Identificar lo que es una variable dependiente de una independiente

Identificar la constante de proporcionalidad directa

SISTEMA CORRECTIVO

Si el alumno no tiene presente algunos de los conocimientos citados anteriormente, sugiero revisar cualquier texto de FÍSICA GENERAL para los conceptos físicos y cualquier libro de matemática para los conceptos matemático. Caso contrario con el profesor de aula.

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INTERPRETACION DE LEYES FÍSICAS POR COSNTRUCCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS

UNIDAD NO 011.1.- INTRODUCCIÓN AL MÉTODO CIENTÍFICO

FENÓMENO Es toda variación, modificación o cambio que ocurre en la naturaleza.

CIENCIA Es toda descripción ordenada, coherente y sistemática de los fenómenos naturales amalgados o relacionados entre si.

MÉTODO CIENTÍFICO Es el conjunto de recursos, procedimientos técnicos e instrumentales que utilizan los científicos para lograr descripciones científicas de la naturaleza.

1.2.-UBICACIÓN DE LA FÍSICA EN EL ÁMBITO DE LA CIENCIA

1.3.- PUNTO DE VISTA DE LA CIENCIA

1.3.1.- ASPECTOS BIOLÓGICOS DE LA CIENCIA

Estudia los fenómenos relativos a la vida, a ellos pertenecen la Biología; la Botánica, la Anatomía, la Ecología, etc.

1.3.2.- ASPECTOS FÍSICOS DE LA CIENCIA

Estudia los fenómenos no relativos a la vida, a ellos pertenecen la Geología; Petrografía, Química, Física, etc.

1.4.- FASES DEL MÉTODO CIENTÍFICO

1.4.1.- Observación y / o Experimentación;1.4.2.- Organización y Sistematización;1.4.3.- Hipótesis y Teoría;1.4.4.- Verificación y Predicción.

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FASE NO 01

OBSERVACION.- Es el examen cuidadoso y minucioso de un fenómeno;

EXPERIMENTACION.- Es la causa que se da en base la Observación + Experimento;

MEDICION.- Es la determinación cuantitativa de los factores implicados en el fenómeno.

FASE NO 02

A.- COMPARACIÓN DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS A.1.- Con otras investigaciones; A.2.- Comparación en el espacio; A.3.- Comparación en el tiempo.

B.- Análisis Matemático de los resultados

C.- Obtención e inducción de Leyes

LEY.- Es la expresión simplificada de un comportamiento uniforme de la naturaleza.“Algo que ocurre en la naturaleza, en la misma forma, siempre que se reproduzcan idénticas condiciones”.

1.5.- TIPOS DE LEYES

A.- LEYES CUALITATIVAS

Expresan comportamientos uniformes de la naturaleza; se utilizan enunciados cortos.

B.- LEY CUANTITATIVA

Manifiestan además de comportamientos uniformes, ciertas relaciones matemáticas entre los factores que intervienen en el fenómeno; se expresan mediante ecuaciones.

Son y, x dos cantidades Físicas, medidas en el laboratorio.

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1.5.1.- TIPOS DE LEYES CUANTITATIVAS

1.5.1.1.- Ley de proporcionalidad directa

Si: y / x = k; entonces “Y” es directamente proporcional a “X”, esto implica que aumento o disminuciones en “X” conllevan aumentos o disminuciones proporcionales en “Y” de la misma naturaleza o relación.

Manera de expresar esta ley.1.- y / x = e y / x = k e, k son constantes de proporcionalidad.

2.- y = e. x y = k. x

y x

1.5.1.2.- Ley de proporcionalidad inversa

Si: y, x = k, entonces “Y” es inversamente proporcional a “X”, entonces aumentos o disminuciones en “X”, conllevan disminuciones o aumentos proporcionales en “Y”.

FASE NO O3

Consiste en la explicación racional y lógica. A los fenómenos observados y leyes descubiertas. Para ello se hace uso de los siguientes recursos:

a) FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS.- Son ciertas ideas generales o superiores que sirven para explicar la naturaleza intima de fenómenos y leyes. Entre las condiciones que existen para formular hipótesis tenemos “la sencilla” y “la no contradicción”.

b) RAZONAMIENTO DE TIPO LÓGICO-MATEMÁTICO

Teoría = Hipótesis + Razonamiento lógico matemático

FASE N0 04

Consiste en la comprobación de las teorías, como someter a pruebas a una teoría para poder aceptarla como parte de la estructura de la ciencia.

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Una teoría para aceptarse en la ciencia debe ser capaz de:

4.1.- Explicar satisfactoriamente fenómenos relacionados con aquel que la originó.

4.2.- Debe ser capaz de explicar fenómenos nuevos que vayan apareciendo.

4.3.- Debe ser capaz de predecir resultados experimentales de experimentos aún no realizados y leyes aún no descubiertas.

Cuando se satisfacen pruebas 4.1 y 4.2. La teoría se verifica.Cuando se satisfacen pruebas 4.3, se predice.

Ejemplo:

G luna = 1/6 g t ierra PREDICCIÓN DE NEWTON

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UNIDAD N0 02

2.1.- Error verdadero

2.2.- Error aparente 2.2.1.- Clasificación del error aparente según su origen 2.2.1.1.- Errores personales 2.2.1.2.- Errores instrumentales 2.2.1.3.- Errores accidentales 2.2.1.4.- Errores sistemáticos

2.2.1.5.-Error por exceso + 0,2cm 2.2.1.6.-Valores corregidos

2.2.1.6.-Errores Burgos

2.3.- Clasificación estadística del error aparente 2.3.1.-Errores absolutos 2.3.1.1.-- Error peor posible 2.3.1.2.-Error medio probable 2.3.1.3.-Error cuadrático medio 2.3.1.4.-Error probable

2.3.2.- Errores relativos 2.3.2.1.- Error proporcional 2.3.2.2.- Error porcentual

2.4.- Modo de expresar el resultado de una medición

2.5.- Ejercicios de aplicación

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Objetivos a conseguir para la teoría elemental de errores

Al finalizar esta unidad los estudiantes de la Unidad Educativa Eloy Alfaro estarán en capacidad de :

Identificar los diferentes tipos de errores que existen;

Conocer la estructura y utilización de una medición;

Diferenciar los diferentes tipos de errores en una medición;

Aplicar el conocimiento de la teoría de errores en una medición.

Prerrequisitos:


FÍSICOS

Definición de errores de una medición;

Conocer lo que es un error de paralaje;

Identificar los diferentes sistemas de referencia que existen;

Conocer los diferentes instrumentos de medición .

MATEMÁTICOS

Operaciones fundamentales: Suma, Resta, Productos y Divisiones;

Mediciones Geométricas;

Conocimiento estadístico de media aritmética;

Sumatorias.

SISTEMA CORRECTIVO

Si el alumno no tiene presente algunos de los conocimientos citados anteriormente, sugiero revisar cualquier texto de FÍSICA GENERAL para los conceptos físicos y cualquier libro de matemática para los conceptos matemático. Caso contrario con el profesor de aula.

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UNIDAD N0 02TEORÍA ELEMENTAL DE LOS ERRORES

2.1.-ERROR VERDADERO.- Se llama error verdadero a la diferencia o discrepancia entre un valor medio cualesquiera, de magnitud y su valor verdadero.

Como el valor verdadero de una magnitud es imposible de conocerlo por las limitaciones propias del operador y del instrumental de medición, aunque aceptamos el postulado de su existencia; resulta que el error verdadero es también una noción imposible de conocer y no se puede utilizar una incógnita como fundamento para la elaboración de una teoría.

Por esta circunstancia se requiere de definir otro tipo de error que se pueda conocer y calcular.

2.2.- ERROR APARENTE.- Es la diferencia o discrepancia entre un valor cualquiera de una magnitud y el valor promedio de todas las medidas de esa magnitud. “valor medio probable”.

Como este error se define en función de valores que se pueden conocer, aunque no sean verdaderos; resulta una noción que se puede utilizar para elaborar una teoría. En consecuencia la teoría de los errores, es una teoría de error aparente. “UNA TEORIA DE BUENAS APROXIMACIONES A LA REALIDAD”.

Ev = x, - x error verdadero

? d ?

ea = x, - x error aparente

d d d

SIMBOLOGÍA

Ev = error verdaderoEa = error aparente X = valor verdadero de una magnitud X, = valor medio cualquiera de una magnitud X = valor medio probable de las medidas de una magnitud

2.2.1.- CLASIFICACIÓN DEL ERROR APARENTE SEGÚN SU ORIGEN

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Para que se produzcan los errores debe haber un proceso de medición; medir es cometer errores, únicamente no se cometen errores cuando no se mide. Lo esencial no es el no cometer errores, sino que cometerlos, pero hacer lo más insignificante que se pueda.

Como en el proceso de una medición intervienen esencialmente tres factores; un operador que mide un instrumental de medición utilizado y ciertas circunstancias que rodean la medición, en esos elementos radica la mayor fuente error y sobre ellos deberá trabajarse tratando de evitar los errores y controlar el tamaño de los errores inevitables.

2.2.1.1.- ERRORES PERSONALES.- Son errores que se originan en las limitaciones propias del operador y son entre otros:

2.2.1.1.1.- Error de paralaje; 2.2.1.1.2.-Imprecisión en la estima de fracciones de la menor división de la escala; 2.2.2.1.3.-Imperfección en uno o varios sentidos.

2.2.1.2.-ERRORES INSTRUMENTALES.- Se originan en las deficiencias propias de instrumentos o en sus ajustes, o que no se los utiliza en las condiciones para los que fueron fabricados. Ejemplo:

2.2.1.2.1.- Errores de fabricación; 2.2.1.2.2.- Errores de ajuste (en los amperímetros);

2.2.1.2.3.- Errores de mal uso (probetas).

2.2.1.3.- ERRORES ACCIDENTALES.- Son errores que escapan al dominio del operador y tampoco se originan en el instrumental de medición; se debe más bien a causas de tipo fortuito.

2.2.1.4.-ERRORES SISTEMÁTICOS.- Son errores que se producen siempre en una misma dirección; es decir siempre por exceso o por defecto, obedecen a una ley bien determinada de origen y propagación, por lo mismo pueden controlarse e incluso eliminarse de un resultado.

a S = 1 veces regla A = 3 veces regla L = 4 veces regla l VALORES ERRADOS S’= 8,5 cm L’= 42,3cm s A’= 34,4cm

2.2.1.5.-ERROR POR EXESO + 0,2cm

Es = + 0,2 cm . 1

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El = 4(+0,2cm) = 0,8cmEa = 3(+0,2cm) = 0,6cm

V = l. a’ . s’

V = ( 42,3cm ) ( 34,4cm )( 8,5cm )

V =12368,52cm3

2.2.1.6.-VALORES CORREGIDOS

S = s’- e 8,5cm - 0,2cm = 8,3cm L = l - el 42,3cm - 0,8cm = 41,5cm A = a’- e a 34,4cm - 0,6cm = 33,8cm

V = ( 8,3cm ) ( 41,5cm ) ( 33,8cm )

V = 11642,41cm3

Ley de propagación Error de medición e D = n . R, lectura

2.2.1.6.-ERRORES BURGOS.- En cierto modo estos errores son de tipo personal y no son errores propiamente, sino mas bien equivocaciones que comete el operador por descuido o por inexperiencia; debido a su importancia gravitante en resultados, se los considera como errores, y los más importantes son:

1.-Lecturas mal hechas en aparatos;2.- Aproximaciones mal efectuadas;3.-Cálculos mal realizados;4.-Confusión de simbología;5.-Números mal expresados.

2.3.- CLASIFICACIÓN ESTADÍSTICA DEL ERROR APARENTE

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El calculo del valor aparente implica la utilización y aplicación de ciertas nociones de estadística en las teorías de las mediciones.

Según recomendación de los estadísticos para que funcionen los métodos de la estadística, se requiere que las muestras a analizar tengan un mínimo de seis elementos, en el caso de las mediciones ese mismo número será de seis lecturas; pero por razones de tiempo, este será a su vez el máximo, porque si se hace mas lecturas el tiempo aumenta innecesariamente.

2.3.1.-ERRORES ABSOLUTOS

2.3.1.1.- ERROR PEOR POSIBLE.- Es el concepto estadístico de semi amplitud aplicado a la teoría de los errores.

Epp= X ex + X

2.3.1.2.-ERROR MEDIO PROBABLE.- Es la utilización del concepto estadístico de desviación media de la teoría de los errores.

Xi-X ex= n

2.3.1.3.-ERROR CUADRÁTICO MEDIO.- Es la noción estadística de desviación estándar aplicado a la teoría de los errores.

(Xi-X)2

n

2.3.1.4.- ERROR PROBABLE.- Es la aplicación del concepto estadístico de probabilidad en la teoría de las mediciones.

E’x = 0,7eex

2.3.2.- ERRORES RELATIVOS

2.3.2.1.-.-ERROR PROPORCIONAL.- Son las nociones de proporción aplicada a la teoría de los errores.

ex

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E p x = X 2.3.2.2.- ERROR PORCENTUAL.- Son los conceptos de proporción y

porcentaje aplicados a la teoría de las mediciones.

Los más usables son el error medio probable y el error porcentual; además los cuatro primeros errores son absolutos. Se definen solo y siempre llevan unidades.

Los errores relativos no se definen solos y nunca llevan unidades.

SIMBOLOGÍA

X i = Una letra cualquiera de una magnitudX = Valor medio probable de una magnitud (promedio aritmético de todas las lecturas)= Letra griega “Sigma” significa sumatorian = número de lectura realizada seis vecesX ex t = Valor extremo de las lecturas tomadas (sea mas alto o bajo)E p p x = Error peor posible de una magnitud X.Ex = Error medio probable de una magnitudE’x = Error probable de una magnitudE p x = Error proporcional de una magnitud E ex = Error cuadrático medio de una magnitudEx = Error porcentual de una magnitudX i - X = Xi Desvío de una lectura parcial respecto al promedio

2.4.- MODO DE EXPRESAR EL RESULTADO DE UNA MEDICIÓN

En base de todo lo tratado podemos establecer que en toda medición implica la aparición de errores de medidas; por consiguiente nunca el tratado de toda medición será un solo valor, sino una serie de valores, esto significa que debido a lo inevitable de los errores, el resultado de una medición es un conjunto solución, un conjunto de varios valores. Es al expresar este conjunto en donde debe utilizarse cualquiera de los seis errores que se pueden calcular.

e ppx

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ex

e’ex

X = x ± ex e’x

e p x

x

Es necesario recordar dos hechos fundamentales:

1) Ningún error calculado podrá ser menor que la apreciación del aparato de medida empleado. Si el error calculado sale menor, se adaptará como error la apreciación del aparato;

2) Por ningún concepto el resultado de una medición será un solo valor; siempre será un conjunto de valores; por lo menos tres, y además la precisión de la medición mejorará mientras el conjunto solución sea menos numeroso.

2.5.- EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Se miden las dimensiones lineales de una placa de prueba utilizando un calibrador para medir el largo y el ancho de A = 0,005mm; un pálmer de A = 0,01mm, para medir el espesor obteniéndose el siguiente cuadro de valores. Con esta información calcule los seis tipos de errores y exprese de las seis maneras posibles en cada una de las dimensiones medidas.

I Li (mm) Ai (mm) Si (mm)1 50,40 32,05 1,082 50,35 32,15 1,053 50,45 32,20 1,044 50,40 32,15 1,045 50,50 32,10 1,086 51,35 32,10 1,06 303,45/6 192,75/6 6,35/6

50,583 32,125 1,058

A) CÁLCULO DE LOS ERRORES DEL LARGO (l)

E p p l = l ext – l E p p l = 50,50mm - 50,40mm E p p l = 0,10mm error peor posible

B) CÁLCULO DEL ERROR MEDIO PROBABLE

li-l el = n

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li-l = 50,40mm-50,40mm = 0,00mm = 50,35mm-50,40mm = 0,05mm = 50,45mm-50,40mm = 0,05mm

= 50,40mm-50,40mm = 0,00mm

= 50,50mm-50,40mm = 0,10mm

= 51,35mm-50,40mm = 0,05mm = 0,25mm 0,25mm el = 6

el = 0,042mm error medio probable

C) CÁLCULO DEL ERROR CUADRATICO MEDIO

ecl = (li-l )2

n e cl = 0,175

6e c l = 0,05mm error cuadrático medio

D) CALCULO DEL ERROR PROBABLE

DATOS

E’l = 0,7mm E’c = 0,05mm

E’x = 0,7eex ECUACION

E’l = 0,7e’c

E’l = (0,7)(0,05mm)

E’l = 0.035mm ERROR PROBABLE

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E) ERROR DEL LARGO MEDIO PROBABLE ex

Epx = x

el

epl= l 0,05mm epl = 50,40mm

epl = 9,9 x 10 - 4 ERROR LARGO MEDIO PROBABLE

F) ERROR PORCENTUAL ex

x =100 % x l = 100 ( 9,9 x 10 – 4 ) %

l = 0,10% ERROR PORCENTUAL

RESULTADO DE LA MEDICIÓN DEL LARGO

A) l = l ± e p p l error peor posible

l = (50,4 ± 0 0,10 ) mm

B) l = l + el error medio probable

l = ( 50,40 + 0,05 ) mm

C) l = l + e’cl error cuadrático medio

l = (50,40 + 0,05 )mm

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D) l = l + e’l error probable

l = (50,40 + 0,035 ) mm

E) l = l + epl error del largo medio probable

l = ( 50,40 + 9,9x10-4) mm

F) l = l + l error porcentual

l = ( 50,40 + 0,10%)

PROPAGACION DE LOS ERRORES A LAS MEDIDAS INDIRECTAS

PROBLEMA

a) Supuesto;b) Pregunta; c) Procedimiento de solución

SUPUESTO: A1) Sean X, Y, Z ; tres cantidades físicas cualquiera que se miden en el laboratorio directamente. A2 ) Sean: q, una cantidad física indirecta cualquiera que se obtiene a partir de X, Y, Z . A3) Sean: eq, ex, ey, ez; los errores de medida de las correspondientes cantidades.

PREGUNTA: eq = ? Eq = ( ex, ey, ez )

PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

a) Q = x + y + z CASO Ab) Q = y - x CASO Bc) Q = x a y b / z c CASO C

CASO A.- Sí: q = x + y ; entonces:

E q = ( ex, e y )

Q = q ± e q ;

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X = x ± ex;

Y = y ± e y ;

Además; sí q = x + y ; entonces

Q = x + y Ecuación 01

Examinando el valor máximo de q:

Q + eq = (x + ex ) + (y + e y )

Q + e q = x + ex + y + e y agrupando obtenemos:

Q + eq = ( x + y ) + ( ex + ey )

Sí: ( x + y ) = q entonces:

Q + eq = q + (ex + ey ) simplificando la “q” en ambos miembros obtenemos:

Eq = ex + ey

Examinando el valor mínimo de q:

Q – eq = (x –ex) + (y – ey)

Q – eq = x –ex + y - ey

Q – eq = (x + y) – (ex + ey)

Si : x + y = q, entonces q – eq = q – (ex + ey)

-eq = - (ex + ey)

eq = ex + ey PRIMERA LEY

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Una vez examinado el valor máximo y mínimo de “q” llegamos a la conclusión que cuando una cantidad indirecta cualquiera se la obtiene a partir de la suma de otras cantidades que se miden directamente; el error de medida de la cantidad indirecta (el error medio probable e p ) se obtiene sumando los errores de medida de las cantidades directas. Entendiendo a este caso como “La primera Ley de la Propagación de los errores”.

CASO B: Sí q = y – x, entonces eq = ? (ey, ex), expresando las cantidades q, y, x:

Q = q + eq ; y = y + e y ; x = x ± ex.

Además si: q = y – x ; entonces q = y – x segunda ecuación.

Q + eq = (y + ey ) – (x – ex) ;

Q + eq = y + ey – x - ex

Q + eq = (y – x) + (ey + ex)

Q + eq = q + ey + ex

E q = e y + e x

Examinado el valor medio de q’:

Q – eq = (y – ey ) – (x ± ex ) ; destruyendo signos de agrupación y simplificando, obtenemos:

- eq = - ( e y + e x ) Segunda Ley de propagación de los errores.-

Cuando una cantidad indirecta se obtiene a partir de la indiferencia de otras cantidades medidas indirectamente, el error de medida de la cantidad indirecta se obtiene sumando loe errores de las cantidades directas.

CASO GENERAL: Sí q = x a. Y b / z c; entonces,

E q =? ( ex ,e y ,e z ,a, b, c) donde: a, b, c. Son exponentes que cuantifican la influencia o el “peso” de cada cantidad directa para el resultado llamado cantidad indirecta.

Quedando pendiente la demostración; la ley general de propagación de los errores es la siguiente:

E q = a . Ex + b. E y + c . E z

Cuando Una cantidad indirecta cualquiera se obtiene a partir de otras cantidades directas operadas mediante multiplicación, división, potenciación y /o radicación; el error porcentual de la cantidad indirecta se obtiene sumando los productos parciales del error porcentual de cada cantidad directa por su correspondiente exponente.

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EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIO N0 01

Se determinan las masas de dos fundas de esferas en balanzas de diferentes apreciaciones y se obtienen los siguientes resultados:

DATOSM1 = (146,4 ± 0,2)g m1 = m1 + e m ; m1 = 146,4g y e m = 0,2g.M2 = ( 71,3 ±0,1 ) g m2 = m2 + e2 ; m2 = 71,3g ; e2 = 0,1g.

Con estos datos, determinar la masa suma y la masa diferencia de las dos fundas de esferas.

SOLUCION

M A = m1 + m2 ; m A = m A + e A Ecuación 1

M B = m1 – m2 ; m B = m B + e B Ecuación 2

COMO: MA = m1+ m2 m A = ( 146,4 + 71,3 ) g ; m A = 217,7g . MB= m1 – m2 m B = ( 146,4 – 71,3 ) g ; m B = 75,1g .

E A = e1 + e2 e A = ( 0,2 + 0,1) g ; e A = 0,3 g E B = e1 + e2 e B = e A ; Luego :

M A = (217,7 + 0,3 ) g .

M B = (75,1 + 0,3 ) g .

EJERCICIO N0 02

Se miden las dimensiones de un cilindro regular utilizando Calibrador y Balanza. Señale las dimensiones directas del cuerpo de prueba que se medirían con cada aparato y luego establezca las leyes de propagación para obtener el error del volumen y el error de la densidad.

ESQUEMA GRAFICO

h D

m

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DATOSCalibrador: Con el mismo medimos la altura y el diámetro;Balanza: Con la misma determinamos la masa del cilindro.

HIPÓTESIS UTILIZADAS

V =( / 4 ) ( D 2 ) ( h ) ; fundamento matemático del Volumen ; V = f ( D , h ) ; fundamento físico del volumen ; d = m / V ; fundamento matemático de la densidad ; d = f ( D , h , m ) ; fundamento físico de la densidad.

LEY DE PROPAGACIÓN PARA EL VOLUMEN

E V = 2ED + Eh error de propagación del volumen

LEY DE PROPAGACIÓN PARA LA DENSIDAD

E d = 2ED + Eh + E m error de propagación de la densidad.

EJERCICIO N0 03

Se miden las dimensiones de una esfera utilizando balanza y palmer obteniendo como resultado lo siguiente :

m = ( 32,2 ± 0,1 ) gEd = 1,77%

Además el aparato con el que se mide el diámetro aprecia A= 0,01mm, que se lo considera como error medio. Con esta información determinar:

a) El error porcentual de la masa;b) El error porcentual del volumen;c) El error porcentual del diámetro;d) El valor medio probable del diámetro y;e) El valor medio probable del volumen.

DATOS m= (32,2 ± 0,1) gE d = 1,77%

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ed = A p = 0,01mm

INCÓGNITASa) E m = ?b) EV = ?c) ED = ?d) D = ?e) V = ?.

SOLUCIÓN

a) Error porcentual de la masa : E m= 100 (e m / m) % 100 (0,1/32,2)%; E m = 0,31%

b) Error porcentual del volumen: V = ( / 6 ) D3 ; EV = 3ED ; d = m / V; E d = 3ED + E m, luego:

E d = E V + E m

E V = E d – E m

EV = 1,77 % - 0,31 % ; EV = 1,46 % .

c) Error porcentual del Diámetro: Como: EV = 3ED ED = EV / 3; reemplazando valores obtenemos:

E D = 1,46 % 3; ED = 0,49 % .

d) Valor medio probable del Diámetro:

ED = 100 (e D D ) %; D = 100 ( e D / ED ) %; D = 100 ( 0,01mm / 0,49% )% ;

D = 2,04 mm

e)Valor medio probable del Volumen:

V = ( / 6 ) ( D 3 ) ; V = ( 3,1416 / 6 ) ( 2,02mm ) 3 ;

V = 4,445mm

EJERCICIO N0 04

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Se miden las dimensiones de un cilindro y se obtienen los siguientes resultados m = (30,0 + 0,2) g ; E V =1,2%. Determinar:a) El error porcentual de la masa;b) El error porcentual del diámetro.

SOLUCIÓNa) error porcentual de la masa:

E m = 100 (e m / m) % ; E m = 100 ( 0,2g / 30,0g ) %; E m = 0,67%

b) Error porcentual del diámetro:E d = E m + EV ; E d = 0,67% + 1.2%; E d = 1,87%

EJERCICIO N0 05

Se miden las dimensiones de un cubo y se obtienen los siguientes datos: m = (40,0 + 0,2) g; E V = 2%. Con ellos determinar:a) El error porcentual de la masa;

SOLUCIÓN

a) E m = 100 (e m / m ) %; E m = (100 ) (0,2g / 40g )%; E m = 0,5%.

EJERCICIO N0 06

En el ejercicio anterior, El error porcentual del diámetro es:

Ed = E m + EV; E d = ( 0,5 + 2,0 ) %; E d = 2,5%

EJERCICIO N0 07Al medir las dimensiones de una esfera se obtienen los siguientes resultados.

D = (15,0 ± 0,2) mmd = 4,5 %Determinar v =?

SOLUCIÓN D =100 (0,2 /15) % D = 1,33 % V = 3D; V = 3 ( 1,33 ) V = 3,99 %

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Se miden las dimensiones de una esfera con balanza y probeta, obtienen los

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siguientes datos: m =1 %

V = (6,0 + 0,5) cm3. Determinar: V =?

RESPUESTA V = 8,13 %

2) Una piedra cuyo volumen medio es de 8,5cm3 tiene una masa media de 20,4g. Determinar la masa media de 1cm3 de la piedra y de 100cm3 de dicha piedra.

RESPUESTA

M1 = 2,4gr. M2 = 240gr.

3) El volumen de una esfera viene dado por la expresión m + em y su Diámetro por la expresión D + eD. Escriba una expresión para m y para V.

CUESTIONARIO

1.- ¿La diferencia entre un valor medido y el verdadero de una cantidad, se llama?;

2.- El concepto estadístico de desviación aplicado a la teoría de los errores se llama?;

3.- Lo que se produce siempre en una dirección y obedecen a una ley de propagación se llaman?;

4.- Aquellos que se deben a causas muy diversas de tipo fortuito se llaman ;

5.- ¿Con cual ecuación se determina el error medio probable de masa?;

6.- ¿Qué es error aparente?;

7.- Cuando dos cantidades se restan, sus errores medios se suman o se multiplican:

8.- El error del cero se determina con el palmer, el nonio, o el esferómetro.

9.- ¿A las equivocaciones se las conoce con el nombre de?;

10.-¿Claridad y precisión son las condiciones de una cantidad?

11.- La deficiencia del operador en las limitaciones del operador se llaman?

12.- ¿La diferencia de los instrumentos de medición por imperfección de ajuste se llaman?

13.- ¿A las circunstancias fortuitas entre el operador y los instrumentos se llaman?

14.- Señale dos pasos del proceso de definición operacional de una cantidad Física.

15.- ¿A la síntesis de Experimento + observación se le llama?

16.- ¿A la síntesis de hipótesis + razonamiento lógico se le llama?

17.- ¿El examen cuidadoso de un fenómeno se le denomina?

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18.- ¿La expresión simplificada de un comportamiento uniforme de la naturaleza se denomina?

19.- ¿Las condiciones de un patrón son?

20.- ¿Las condiciones para formular hipótesis deben ser?

21.- ¿A que se denomina medición directa?

22.- ¿A que se denomina medición indirecta?

23.- Las dimensiones de una esfera se miden en probeta y balanza. Si llamamos V, al volumen y d, a la densidad. ¿Estas cantidades son?.

24.- ¿Mediante ecuaciones se expresan a las leyes cuantitativas o a las leyes cualitativas?

25.- ¿Una recta horizontal tiene la pendiente?

UNIDAD N0 03

3.1.- El Nonio rectilíneo o de Vernier 3.1.1.- Descripción y construcción

3.2.- Ejercicio de aplicación

3.3.-El Esferómetro 3.3.1.- Descripción y construcción 3.3.2.- Error del cero 3.3.3.- Procedimiento para realizar las lecturas 3.3.4.- Uso del aparato 3.3.5.- Casquete esférico

3.4.- Medida de tiempo

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3.4.1.- Procedimiento para realizar lectura

3.5.- Palmer 3.5.1.- Esquema gráfico

3.6.- Medida de masas 3.6.1.- Fundamento teórico 3.6.2.- Elementos de una balanza 3.6.3.-Tipos de balanzas 3.6.3.1.- Balanza de Robervall 3.6.3.2.- Balanza de un plato 3.6.3.3.- Balanza de tres barras 3.6.3.4.- Balanza de dial

3.6.4.- Guía para presentar un informe de laboratorio de física

Objetivos a conseguir para los diferentes Instrumentos de medición Al finalizar esta unidad los estudiantes de la Unidad Educativa Eloy Alfaro estarán en capacidad de :

Identificar los diferentes tipos de errores que existen ;

Conocer la estructura y utilización de una medición ;

Diferenciar los diferentes tipos de errores en una medición ;

Aplicar el conocimiento de la teoría de errores en una medición .

Prerrequisitos:


FÍSICOS

Definición de errores de una medición

Paralaje

Sistemas de referencias

Instrumentos de mediciones

MATEMÁTICOS

Operaciones fundamentales: Suma, Resta, Productos y Divisiones.

Mediciones Geométricas.

Conocimiento estadístico de media aritmética.

Sumatorias

SISTEMA CORRECTIVO

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Si el alumno no tiene presente algunos de los conocimientos citados anteriormente, sugiero revisar cualquier texto de FÍSICA GENERAL para los conceptos físicos y cualquier libro de matemática para los conceptos matemáticos y estadísticos. Caso contrario con el profesor de aula.

Textos de Laboratorio de Física: Escuela Politécnica Nacional; Escuela Politécnica Del Ejército; Escuela Politécnica del Chimborazo y, Escuela Politécnica del Litoral, Guía de Laboratorio de Física para escuelas primarias. Colección Colegio Manuela Cañiarez N0 05 de Quito, Herramientas Matemáticas para el estudio de la Física : Por : Ricardo Jara Balbín Manual de Laboratorio de Física Por Lcdo. Hernán Torres.

UNIDAD N0 03

INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN

Así como la Química, la Astronomía y todas las ciencias exactas, se basan en la medición, la Física también se apoya en el mismo sistema, por tanto requiere de instrumentos de medición como el Nonio de Vernier; El Palmer, El Esferómetro y El Cronometro.

3.1.- EL NONIO RECTILÍNEO O DE VERNIER

HISTORIA.- El Nonio rectilíneo o de Vernier fue inventado por el Matemático portugués “Pedro Núñez”, nacido en el año de 1545, conocido en aquella época como Nonius.

Este dispositivo nos permite aumentar la precisión de las medidas de longitud o angulares. Un siglo mas tarde “Pedro Vernier” volvió a inventar el sistema ignorado. Optando por denominarse NONIO RECTILINEO O DE VERNIER.

3.1.1.- DESCRIPCIÓN Y CONSTRUCCIÓN

ESQUEMA GRÁFICO

T’ T’

T

n’ R n

v

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REFERENCIASR: Regla principalN: Nonio o regla adicional o secundariaT’: Tope móvilV: Valor de cada división de la reglaV’: Valor de cada división del nonion: Número de divisiones de la reglan’: Número de divisiones del nonio.

a) ECUACIÖN DEL FABRICANTE

n v = n’v’

v v’

Ecuación

n n’

b) APRESIACIÓN:

La apreciación o aproximación es un número característico que identifica al aparato y hace referencia a su grado de precisión para medir longitudes.

La apreciación físicamente constituye la menor longitud que se puede medir con el nonio analizado.

Matemáticamente la apreciación se define como la diferencia entre cada división de la regla y cada división del nonio puede determinarse a partir de propiedades directamente observadas en el aparato.

=

v - v’ = A: Apreciación A = v - v’ Ec 1

n v = n’v’ ECUACION DEL FABRICANTE

Despejando “v’” de la ecuación del fabricante, obtenemos:

v’ = n .v /n’ REEMPLAZANDO EN EC 1

A = v – v’

A = v – (n. v /n’ ); A = v (1- n / n’); v (n’ – n) MANERA DE OBTENCION DE LA

n’ APRECIACION DE UN NONIO RECT.

NOTA:

35


LA APRCIACIÓN VA A ESTAR EN FUNCIÓN DE EL VALOR DE CADA DIVISIÓN DE LA REGLA, DEL NUMERO DE DIVISIONES DE LA REGLA Y DEL NUMERO DE DIVISIONES DEL NONIO..

A = f ( v, n, n’ ) propiedades directamente observables en el aparato de medición

3.2.- EJERCICIO DE APLICACIÓN

Suponga que el aparato del gráfico está conformado por una regla ordinaria y el nonio. Determinar la apreciación del aparato, si:

V = 1mm soluciónN`= 10 A = v (n’ – n) / n’ A = 0,1mmN = 9 A = 1mm (10-9)/ 10

3.3.-EL ESFERÓMETRO

3.3.1.- DESCRIPCIÓN Y CONSTRUCCIÓN

ESQUEMA GRÄFICO

R

E’ C L

E Q

X’ T Y,Z

G

REFERENCIAST: Tornillo micrométrico. O: Tuerca metálica en forma de mesa.L: Limbo graduado. C: Cabeza de tornillo y manubrio.M: Objeto de prueba R: Regla graduada en milímetrosX, Y, Z : Trípode G: Plano de mediciónE: Escala principal de la regla E’: Escala secundaria del limbon: Número de divisiones del limbo. s: Espesor de la placa, dimensión a medir un espesor.

PASO Y APRECIACION:

Como este aparato está construido en base a un tornillo micrométrico y como también es un nonio especial; el paso y la apreciación se definen y se determinan de la misma manera que el palmer.

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P = avance / número de vueltas A = p / n n: número de divisiones en el

Limbo.

3.3.2.- ERROR DEL CERO

Igual que en el palmer el error del cero es la lectura en blanco: La lectura cuando no existe cuerpo de prueba. En este caso debe ponerse bastante cuidado en la lectura correcta del valor y del signo del error del cero, porque a veces es tan significativa que llega a tener parte entera y parte fraccionaria.

3.3.3.- PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LAS LECTURAS

Se sigue una serie de pasos similares a las señaladas por el palmer:

a) Se comienza determinando la apreciación del aparato;

b) Se realiza las lecturas del error del cero;

c) Se lee la parte entera en la regla, utilizando como índice el filo del limbo;

d) Se lee la parte fraccionaria en la escala secundaria del limbo, utilizando como índice el filo de la regla y multiplicando ese número de divisiones por la apreciación;

e) Finalmente se obtiene la lectura definitiva sumando la parte entera más la parte fraccionaria y restando el error del cero.

3.3.4.- USO DEL APARATO

La utilidad del esferómetro es similar a la del palmer , porque nos permite medir pequeñas longitudes con bastante precisión: espesores, diferencia de espesores, elevaciones de superficies convexas y de precisiones de superficies cóncavas, pero además es útil para la utilización o determinación del radio de casquetes esféricos.

ESQUEMAS GRÁFICOS

.

(a) (b) (c)

3.3.5.- CASQUETE ESFÉRICO

R = ?

REFERENCIAS

2 H H = Se mide en el esferómetro triángulo 1 semejante con el 2

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1 a = dato del fabricante R = Incógnita

Triángulo N0 01 es semejante con el triángulo No 02

R / H2 + (a/2)2 = (a/2) / H

R= a/2h h2 + (a/2)2

3.4.- MEDIDA DE TIEMPO

Medir un tiempo consiste en evaluar la duración de un fenómeno; pero como la duración de un fenómeno solo puede conseguirse a la duración de otro fenómeno tomado como patrón, resulta entonces que medir un tiempo es evaluar la simultaneidad de ocurrencia de los fenómenos dados.

Los aparatos medidores del tiempo se denominan relojes, y los hay: MECANICOS, ELECTRONICOS, DE ARENA, DE ACEITE, etc.

En el laboratorio se utilizan relojes precisos, cuyo funcionamiento es en base a piñones; es decir ruedas engranadas, que se denominan cronómetros mecánicos de fenómenos muy EFIMEROS; del orden de la décima del segundo.

3.4.1.- PROCEDIMIENTO PARA REALIZAR LECTURA

B REFERENCIA

E: Escala principal (la del minutero)

E’: Escala de precisión (lectura del segundero)

B: Botón de control(dar cuerda, poner en marcha y encerar)

A = 0,1s

Ubicación de la aguja frente a una raya implica décimas pares.

Ubicación de la aguja entre rayas implica décimas impares.

El procedimiento para realizar las lecturas, consiste, esencialmente:

1) Verificar que el aparato tenga cuerda, sino la tiene hay que proporcionarle;

38


2) Encerar el aparato;

3) Poder en marcha el aparato simultáneamente con la iniciación del fenómeno cuya duración interesa;

4) Para las agujas en el instante que termina el fenómeno y realizar las lecturas:

4.1.- Escala principal (leyendo el minutero);

4.2.- Escala de precisión (leyendo los segundos y las fracciones de segundo);

5) Se encera el aparato nuevamente;

3.5.- PALMER

Es un instrumento de medición que sirve para calcular espesores con mucha precisión: ejemplo, un alambre o una lámina de metal.

Se denomina paso de un tornillo la longitud que existe entre dos espiras sucesivas de la rosca, es el avance del tornillo en cada vuelta . supongamos que un tornillo cuyo paso es de 1mm, y la cabeza tiene un tambor graduado en 100 partes, una vuelta completa del tornillo le corresponderá a 100 divisiones del tambor; o sea:

100 divisiones del tambor = 1mm

1 división del tambor = 0,01mm

De manera que en la regla graduada en milímetros, se lee el número de milímetros enteros, y en el tambor, las centésimas de milímetro,. Es decir se puede medir espesores de hasta una centésima de milímetro.

3.5.1.- ESQUEMA GRÁFICO

REFERENCIAS

k T: Tope fijo

E’ T`: Tope móvil

Q E E: Escala principal

A E’: Escala secundaría

39


Q: Tuerca

A: Arco de acero

K: Cabeza de tornillo micrométrico

3.6.- MEDIDA DE MASAS

La medida de la propiedad denominada masa de los cuerpos se determina utilizando el aparato medidor especificado como balanza analítica o balanza de brazos. En esencia la balanza de brazos no es si no una palanca de primer genero, que estando en equilibrio compara dos masas, una desconocida que es la masa del cuerpo de prueba que se pretende determinar y otra masa conocida que viene dada por dispositivos denominados “PROTOTIPO DE MASAS”.

3.6.1.- FUNDAMENTO TEÓRICO

Pe bi bd pp

EQUILIBRIO DE LA BALANZA

Torque = acción de giro

Torque = 0 Torque = (Fuerza)(Distancia)

Torque = (1Fuerza) (Brazo de palanca)

(Pe ) (b i ) = ( p p ) ( b d ); además el fabricante proporciona o trata de proporcionar la condición: b i = b d por cuanto b d = b i. Pero como ambos platos están en el mismo sitio, entonces, para ambos la gravedad será constante.

Pe (me)(g) = (mp)(g) mc = mp

40


Luego la balanza de datos es un comparador de masas, una desconocida con una conocida bajo condiciones de equilibrio. "CON LA BALANZA SE MASAN LOS CUERPOS" me = m p .

3.6.2.- ELEMENTOS DE UNA BALANZA

En toda balanza analítica por elaborada o sofisticada que sea, nunca le deben faltar los elementos siguientes.

REFERENCIAL

C: Elementos grueso de la cruz V: Varilla movible de la cruz. P, P’ :Platos. A: Apoyo principal. A’ : Apoyos secundarios.

T: Tornillo transversal,, porta rodelas.

P P’ R, R’ : Rodelas para encerar la balanza.

F: Fiel.

C J C E: Escala de equilibrio fijo.

A E’ : Escala de precisión solidaria.

A’ A’ J: Jinetillo.

B: Base de sustentación.

3.6.3.-TIPOS DE BALANZAS

En el laboratorio se utilizan dos clases de balanzas que tienen la misma apreciación, pero el rango de apreciación es diferente, puesto que con una de ellas se pueden medir masas mucho más grandes que con la otra.

3.6.3.1.- BALANZA DE ROBERVALL.- Para determinar la masa de un cuerpo dado utilizando la balanza de ROBERVALL, es recomendable seguir los siguientes pasos:

41


1.- Se comienza encerando la balanza para la cual se utilizan los rodéeles que pueden moverse sobre el tornillo. Se dice que la balanza está encerada cuando en ausencia de carga en los dos platos y la balanza en estado de equilibrio, sus escalas marcarán cero;

2.- Se realiza la lectura de la mazada izquierda ubicando el cuerpo de prueba en el plato izquierdo y agregando prototipos en el derecho hasta que el sistema quede oscilando (equilibrio grueso), se consigue el equilibrio fino moviendo el Jinetillo sobre la escala de precisión. La lectura se obtiene sumando el total de prototipos mas la marca del Jinetilla;

3.- Se vuelve ha encerar la balanza;

4.- Se realiza la mazada derecha, ubicando el cuerpo de prueba en el plato derecho y agregando prototipos en el plato izquierdo hasta que el sistema quede oscilando con tendencia al lado izquierdo; el equilibrio mismo se consigue moviendo el Jinetillo hacia la derecha. La lectura derecha será la resta entre el total de prototipos y lo que marca el Jinetillo;

5.- Finalmente la lectura definitiva se obtiene del promedio geométrico entre las mazadas izquierda y derecha.

Mi = (mIi ) (mDi)

A diferencia de estas balanzas existen otras con diferentes características con la balanza de un plato, balanza de dial compuesta por un plato y un nonio y la balanza de triple barra y un plato.

3.6.3.2.- BALANZA DE UN PLATO

Las características de esta balanza son:

a) Un plato; b) Un brazo oscilante; c) Tres barras; d) Su capacidad es de 20kg; es decir el mayor que se puede determinar; e) Su sensibilidad es de 1gr; lo contrario a su capacidad, es decir el menor peso que la balanza puede registrar;

Antes de proceder a pesar algún objeto, es necesario chequear que la balanza esté en optimas condiciones y encerada, caso contrario procedo ha efectuarlo utilizando el tornillo que se encuentra debajo del plato.

Posteriormente, se coloca el objeto de prueba en el plato y se empieza a mover los indicadores que se encuentran en las barras hasta lograr que la oscilante coincida con la barra fija.

Es necesario recalcar que este tipo de balanza posee un porta pesas en el cuál nos ayuda ha equilibrar las pesas cuando estas son exageradas.

42


Finalmente el peso exacto del cuerpo de prueba será la suma de las lecturas que me señalan los indicadores en las barras.

3.6.3.3.- BALANZA DE TRES BARRAS

Tiene como características:

A) Tres barras; una con 10 gramos de capacidad, otra con 100 gramos de capacidad y finalmente otra de 500 gramos; B) Su capacidad es de 2619 gramos; C) Su sensibilidad es de 0,1 gramos.

Al igual que la otra balanza, se procede a encerarla, para luego colocar el cuerpo de prueba a pesar. Se desliza los indicadores hasta obtener el equilibrio en la balanza y poder tomar la lectura en cada una de sus barras. La suma será el peso exacto del objeto.

3.6.3.4.- BALANZA DE DIAL

Sus características son:

a) Dos barras; b) Un dial, este marca las décimas; c) Un Vernier, este marca las centenas; d) Su capacidad es de 310 gramos; e) Su sensibilidad es de om001gramos.

f) Se procede ha pesar el cuerpo de prueba, previa encerada del equipo, se deslizan los indicadores que se encuentran en las barras hasta obtener un equilibrio entre el peso del objeto y la balanza.

Sumamos lo que marca las barras, el dial y el vernier, observando en el su raya, y estas deben coincidir exactamente con las del dial, siendo su total el resultado del peso del cuerpo.

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3.6.4.- GUÍA PARA PRESENTAR UN INFORME DE LABORATORIO DE FÍSICA

PRACTICA Nº 01 NOMBRE DEL ALUMNO:

NOMBRE DE LA PRACTICA: Mediciones y Errores CURSO:

FECHA: PARALELO:

GRUPO: COLEGIO:

OBJETIVO: Medir el Volumen y la densidad de un cilindro metálico, utilizando el instrumental de laboratorio y aplicando la Teoría de los Errores.

EQUIPO Y ESQUEMA DE LOS DISPOSITIVOS:

Cuerpo de prueba:

1.- Un cilindro metálico de acero;

2.- Calibrador de A = 0,05 mm ;

3.- Pálmer de A = 0,01mm;

4.- Balanza industrial de A = 0,1g ;

5.- Juego de masas prototipo.

ESQUEMAS GRÁFICOS :

REFERENCIAS

T T’ E E’ K T: Tope fijo

M h Q T’: Tope móvil

A E: Escala principal

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E’: Escala secundaria

Q: Tuerca

A: Arco de acero

K: Cabeza de tornillo

micrométrico .

TEORÍA Y REALIZACIÓN:

1.- Se mide la altura del cilindro con el calibrador de A: 0,05mm; mínimo 6 lecturas.

2.- Se determina el error del cero con el palmer de A = 0,01 mm.

3.- Se mide el diámetro del cilindro con el palmer de A = 0,01 mm; mínimo 6 lecturas.

4.- Se encera la balanza utilizando los rodales para el efecto.

5.- Se mide la masa del sólido en la balanza de A = 0,1 g; mínimo 6 lecturas.

6.- Se tabula los resultados; se realizan los cálculos y en base a ella se contesta el cuestionario.

N º hi Di mIi mDi mi = ( m Ii= ) (MDi )

mm mm g g g

01 122,25 13,71 120,5 120,0 120,3

02 122,25 13,72 120,6 120,2 120,4

03 122,30 13,70 120,0 120,4 120,2

04 122,35 13,71 120,0 120,5 120,2

05 122,40 13,73 120,7 120,7 120,7

06 122,30 13,75 120,6 120,3 120,5

733,85 82,32 722,3

REGISTRO DE VALORES Y CÁLCULOS

1.- PARA LA ALTURA 4.- PARA EL VOLUMEN

1.1.- h = hi / n; h = 733,85 /6 ; h = 122,30 mm. 4.1.- v = (/4) D2h;

1.2.- eh = (hi – h) / n ; eh = 0,4 /6 ; eh = 0,06mm. V= (3,14/4)(13,72)2 (122,30);

1.3.- h = 100(em / h ) % ; h = 100 ( 0,06 / 122,30 ) % ; V = 18,072cm3.

h = 0,05%. 4.2.-v = 2D + h ;

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2.- PARA EL DIÁMETRO. v = (2)(0,15% + 0,05%;

2.1.- D = Di / n ; D= 82,32/6 ; D= 13,72 V = 0,35%

2.2.- eD = Di – D / n ; eD = 0,12/ 6; eD = 0,02mm. 4.3.- eV = (V)(V) / 100%;

2.3.- D = 100 ( eD / D )% ; D = 100(0,02 / 13,72)% ; eV = (0,34%)(18,072cm3)/100%

D = 0,15%. 5.- PARA LA DENSIDAD.

3.- PARA LA MASA 5.1.- d = m /V; d = 6,662gr/cm3

3.1.- m = mi / n ; m = 722,3 / 6; m = 120,4gr. 5.2.- D = m + V ; D = 0,43%

3.2.- em = mi – m / n ; em = 1,1 / 6; em = 0,1gr. 5.3.- ed = (d)(d)/100%

3.3.- m = 100 (em / n) % ; m = 100 ( 0,1/120,4)%; m = 0,08%. d = 0,028 gr /cm3.

CUESTIONARIO Y CONCLUSIONES:

CUESTIONARIO:

1.- ¿Cuáles son el volumen y la densidad de un cuerpo de prueba?

2.- Cuál de los errores cometidos al medir las cantidades directas es mas precisa?

3.- Señale dos experiencias de tipo experimental que mejorarían la precisión de las medidas de altura y

masa.

4.- Interprete el significado físico del valor medio obtenido por la densidad.

5.- Sí podría extraerse una muestra cúbica de 1cm de arista, cortándole del cilindro de prueba y ubicándola

sobre la balanza usada en el experimento, cuanto marcaría la balanza.

6.- Si el cilindro de prueba hubiera tenido el doble de diámetro que el medido, sin variar el resto de

condiciones. Señale:

6.1.- ¿Aumenta o disminuye el volumen medio del cilindro y cuántas veces? ;

6.2.- ¿Aumenta o disminuye la densidad media del cilindro y cuantas veces? ;

6.3.- ¿Aumenta o disminuye la masa media del cilindro y cuantas veces ? ;

6.4.- ¿ Aumenta o disminuye la precisión al medir el nuevo diámetro del cilindro? ;

6.5.- ¿ Aumenta o disminuye la precisión al medir la altura del cilindro ? ;

6.6.- ¿ Aumenta o disminuye la precisión al medir el nuevo volumen del cilindro ? ;

6.7.- ¿Aumenta o disminuye la precisión al medir la masa del nuevo cilindro ? ;

6.8.- ¿ Aumenta o disminuye la precisión al medir la nueva densidad del cilindro ?.

46


CONCLUSIONES:

1.- V = V eV ; V = (18,072 0,061) cm3. d= d ed ; d = (6,662 0,028 ) gr /cm3 .

2.- h = 0,05% ; D = 0,15% ; m = 0,08% 0,15% 0,08% 0,05%; es decir: D m h;

Se mide la cantidad altura con mayor precisión.

3.- a) Utilizar equipos de menor apreciación;

b) Realizar las mediciones con mayor precisión.

4.- a) Cómo d = 6,662 gr /cm3, entonces 1 cm3 del cuerpo de prueba existen 6,662 gr. De masa del mismo

b) Como d = 6,662 gr /cm3 y eD = 0,028 gr /cm3, entonces el error medio de la densidad significa que

Que la densidad media puede variar entre dos limites; el error d + ed y el otro d – ed .

La densidad media obtenida significa la cantidad de masa que tiene la unidad de volumen de la muestra considerada; en este caso cada cm3 del cilindro de prueba tiene una masa de 6 y algo mas de gramos. La densidad media que ha veces se denomina también masa especifica es una medida cuantitativa de la estructura molecular de un material dado, que establece cuál cercano o separadas se encuentran sus moléculas.

5.- La balanza apreciaría únicamente décimas de gramos;

6.1.- El volumen aumenta.

CILINDRO DE PRUEBA CILINDRO DE COMPARACION

D1 D2

H1 mm h2

M1 m2

H1 , D1 ; m1 h2 , D2 , m2. D2 = 2D1

IGUAL MATERIAL MISMO INSTRUMENTAL

a) V1 = ( /4)(D2 ) (h1) ; V2 = (/4)(D2 )(h2) ; V1 = (D2h1)/4 V2 = (/$)(2D1)2 (h1); Como una vez el paréntesis es menor que cuatro veces, entonces: V1 = (/4)(D)2(h1) V2 = (4)(/4)(D1)2(h1)

V1 = (D2h1)/ 4 V2 = (.D2h1.

V1 V2

6.2.- Aumenta cuatro veces.

V2 / V1 = (4)(/4)(D1)2(h1) / (/4)(D1)2(h1. V1 /V2 = 4 6.3.- La masa media aumenta cuatro veces.

47


Como: d1 = m1 / V1 ; y d2 = m2 / V2, entonces, m1 /V1 = m2 / V2 , pero según el análisis del literal 6.2.a, que dice. V2 / V1 = 4, entonces m2 / m1 =4.

m2 / m1 = 4

48


6.4.- La apreciación aumenta.

D1 = (100 ) ( Ap) / D1 (%) D2 = ( 100 ) ( Ap ) / D2 ( % )

D2 = (100) ( 50 Ap ) / D2 (%)

D1 D2

6.5.- La precisión no cambia..

h1 = 100(Ac) / h1 (%) ; h2 = 100(Ac) / h2 (%) . h1 = h2

6.6.- La precisión aumenta.

V1 = 2D + h1 ; V2 = 2D + h2.

V1 = 2(100)(Ap / Di %) + 100( Ac / hi %); V2 = 2(50 Ap / D1%)+100 Ac / h1.

V1 = 200 (Ap /D1) % + 100 (Ac /h1) % ; V2 = 100 (Ap / D1) % + 100 (Ac/h1)%

B C B C

Como : 200B + 100C 100B + 100C V1 V2

6.7.- m1 = 100(Ab / m1 )% m2 = 100(Ab/4m1)%.

Como: 100(Ab / m1)% 25( Ab / m1)% m1 m2 la precisión aumenta.

6.8.- La precisión aumenta.

d1 = 200 A + 100B + 100C d2 = 100 A + 100 B + 25 C d1 = 2 d1 + h + m d2 = 2 d2 + h2 + m2

d1 = 200 (Ap / D1 ) % + 100 ( Ac / h1)% + 100 ( Ab / m1 )% ; d2 = 100 (Ap / D2 )% + 100 ( Ac / h2)% + 25 (Ab / m2)%.

Como: d1 = 200 A + 100 B + 100 C y d2 = 100 A + 100 B + 25 C d1 d2

49


PRÁCTICA Nº 02 NOMBRE DEL ALUMNO:NOMBRE DE LA PRACTICA: Mediciones y Errores CURSO:FECHA: PARALELO:GRUPO: COLEGIO:

OBJETIVO: Medir el volumen y la densidad de una placa de caras rectangulares.


Cuerpo de Prueba: 1.- Una placa metálica de bronce;2.- Un calibrador de A = 0,05mm;3.- Un esferómetro de A = 0,01mm;4.- Balanza de Robertbool de A = 0,1gr.

ESQUEMAS GRÁFICOS:

REFERENCIAS

R T: Tornillo micrométrico C Q: Tuerca metálica en forma de mesa.

E’ L: Limbo graduado L C: Cabeza de tornillo y manubrio

M: Objeto de prueba E R: Regla graduada en milímetros

X ,Y , Z : Trípode G : Plano de medición

E : Escala principal de la regla E’ : Escala secundaria del limbo

Q Y N : Número de divisiones del limboOBJETO DE PRUEBA S : Espesor de la placa de dimensión

T Z A medir: Un espesor. X S M

G


I li ai Si miI miD mi

mm mm mm gr gr gr

01 41,40 30,20 1,24 11,20 11,10 11,10

02 41,35 30,20 1,23 11,20 11,00 11,10

03 42,00 30,40 1,25 11,20 11,20 11,20

04 42,00 30,30 1,23 11,10 11,30 11,20

05 41,55 30,25 1,22 11,00 11,00 11,00

06 41,50 30,30 1,23 11,00 11,20 11,10

249,80 181,70 7,40 66,70

1.- Se mide el largo de la placa con el calibrador de A = 0,05mm; mínimo seis lecturas.2.- Se mide el ancho de la placa con el calibrador de A = 0,05mm; mínimo seis lecturas.3.- Se determina el error del cero del esferómetro; S = 0,00 mm.

50


4.- Se mide el espesor de la placa con el esferómetro ; mínimo seis lecturas.5.- Se encera la balanza utilizando las rodelas para el efecto, y hasta que el fiel marque en el centro de la escala de equilibrio.6.- Se mide la masa del sólido en la balanza de Robervall; mínimo seis lecturas.7.- Se tabulan los resultados, se realizan cálculos y en base a los mismos se contesta el cuestionario.

REGISTRO DE VALORES Y CÁLCULOS:

1.- PARA EL LARGO: 4.- PARA LA MASA

1.1.- l = li / n ; l = 249,80 / 6 ; l = 41,60 mm 4.1.- m = mi /n; m = 66,30/6; m= 11,11g

1.2.- el = AC ; el = 0,05mm. 4.2.- em = Ab ; em = 0,1gr.

1.3.- l = 100(el / l)% ; l = 100(0,05/41,60)% 4.3.- m = 100(em / m)% l = 0,12% m = 100(0,1/11,11)% ; m = 0,90%

2.- PARA EL ANCHO 5.-PARA EL VOLUMEN

2.1.- a = a / n ; a = 181,70 /6 ; a = 30,30mm 5.1.- V = (l)(a)(s) ; 2.2.- ea = AC ; ea = 0,05mm V = (41,60mm)(30,30mm)(1,23mm)

2.3.- a = 100( ea / a )% V = 1,550 cm3

a = 100(0,05/30,30)% ; a = 0,16% 5.2.- V = l + a + S

v = 0,12%+0,16%+0,81%

3.- PARA EL ESPESOR v = 1,09%

3.1.- s = Si /n ; S = 7,40/6 ; S = 1,23mm 5.3.- eV = (V)(V)/100% eV = (1,09%)(1,55) /100 %

3.2.- eS = AC ; eS = 0,01mm eV = 0,017cm3

3.3.- S = 100 (eS / S ) % 6.- PARA LA DENSIDAD

s = 100 (0,01/1,23)% 6.1.- d = m / V ; d = 11,11 g/1,55 cm3

S = 0,81% d = 7,16 g/cm3. 6.2.- d = m + V ; d = 0,9% + 1,09% d = 1,99% 6.3.- ed = (d)(d)/100% ed = (1,99%)(7,16g/cm3) /100% ed = 0,14g/cm3.

CUESTIONARIO Y CONCLUSIONES :

51


CUESTIONARIO :

1.- ¿ Cuáles son el volumen y la densidad del cuerpo de prueba ?

2.- Indique dos razones de tipo experimental relacionadas con la medición directa de otras cantidades.

3.- Interprete el significado físico del volumen, la densidad y el espesor.

4.- ¿ A que otras conclusiones puede usted llegar a parte de las propuestas en los literales anteriores , ?

CONCLUSIONES :

1.- V = V eV ; V = (1,550 0,017) cm3 ; d = d ed ; d = (7,16 0,143 ) gr /cm3 .

2.- Porqué es obtenida mediante la medición directa de otras cantidades distintas a la del volumen, pero relacionadas con el volumen y la densidad.

3.- V = ( l ) ( a ) ( S ) d = m / V S = ctc

El volumen está en función de la longitud, el ancho y su espesor: V = f ( l ,a , s ). La densidad está en función de la masa y el volumen: d = f ( m .V ). El espesor es constante.

4.- En base a las conclusiones anteriores, podemos decir que el volumen es directamente proporcional a la longitud, el ancho y su espesor:

V = (l ,a , S) interpretación física del volumen.

Que la densidad es directamente proporcional a la masa e inversamente proporcional al volumen:

d m d (1/ ) V

LEY DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA LEY DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

INFORME DE LABORATORIO DE FISICA

PRÁCTICA Nº 03 NOMBRE DEL ALUMNO:NOMBRE DE LA PRACTICA: Mediciones y Errores CURSO:

52


FECHA: PARALELO:GRUPO: COLEGIO:

OBJETIVO: Medir el volumen y la densidad de un prisma cuadrangular con el instrumental de laboratorio aplicando la teoría de los errores.


Cuerpo de Prueba:

1.- Un prisma cuadrangular de madera;

2.- Un calibrador de A = 0,1mm;

3.- Un palmer de A = 0,01mm;

4.- Una balanza industrial de A = 0,1gr.

ESQUEMAS GRÁFICOS:

REFERENCIAS

PRISMA C: Elementos grueso de la cruz CUADRANGULAR V: Varilla movible de la cruz

P , P’: Platos A: Apoyo principal P P’ A’: Apoyo secundario

T: Tornillo transversal, porta rodelas R , R’ : Rodelas para encerar la balanza F: Fiel C C E: Escala de equilibrio fijo J E’ : Escala de precisión solidaria J: Jinetillo B: Base de sustentación A’ A

B


1.- Se mide la altura del prisma con el calibrador de A = 0,1mm. Mínimo seis lecturas;

2.- Se determina el error del cero con el palmer. Error del cero = -0,03mm;

3.- Se mide la base del prisma con el palmer de A = 0,01mm. Mínimo seis lecturas;

4.- Se encera la balanza utilizando las rodelas para el efecto, hasta que el fiel esté encerado;

5.- Se mide la masa del sólido en la balanza. Mínimo seis lecturas;

6.- Se tabulan los resultados, se realizan cálculos y en base a ellos se contesta el cuestionario.

53


I hi Di miI miD m = (miI)(miD)

mm mm gr gr g 01 100,4 10,01 76,5 77,5 77,0

02 100,4 10,00 77,0 77,0 77,0

03 100,6 10,02 76,5 77,0 76,7 04 100,5 10,03 77,0 77,5 77,2

05 100,4 10,0 76,5 77,0 76,7

06 100,3 10,01 76,0 77,5 76,7

602,6 60,07 561,3

REGISTRO DE VALORES Y CALCULOS:

1.- PARA LA ALTURA: 4.- PARA EL VOLUMEN

1.1.- h = hi /n ; h= 602,6/6 ; hi = 100,43mm 4.1.- V = (h)(b)2 ; V = (100,43mm)(10,01mm)2; V = 10,063mm3. 1.2.- eh = AC ; eh = 0,1mm 4.2.- V = h + 2b; V = 0,10% +2(0,12%); 1.3.- h = 100(eh/h)%; h = 100(0,1/100,43)% 4.3.- eV = (V)(V) /100%; eV = (0,10%)(10,063cm3) / 100%; eV = 0,030cm3

2.- PARA LA BASE 5.- PARA LA DENSIDAD

2.1.- b = bi / n ; b = 60,07/6 5.1.- d = m / V; d = 76,9gr / 10,063cm3 ; b = 10,01mm d= 7,641 gr / cm3

2.2.- eb = Ap; eb = 0,01mm 5.2.- d = m + m ; d = 0,13% + 0,30% ; d=0,43%

2.3.- b = 100%(eb)/ b ; b = 100(0,01)/10,01)% 5.3.- ed = (d)(d)/100% ; ed = (0,25%)(7,64) /100%

3.- PARA LA MASA ed = 0,032 gr / cm3.

3.1.- m = mi / n ; m = 461,3gr / 6 ; m = 76,9 gr

3.2.- em = Ab ; em = 0,1gr ;

3.3.- m = 100 ( em / m )% ; m = 100 %(0,1) / 76,9

m = 0,13%.


CUESTIONARIO:

54


1.- ¿Cuáles son el volumen y la densidad del cuerpo de prueba ?.

2.- ¿Cuáles de las dimensiones físicas calculadas cree usted que son las mas precisas y por qué ?.

3.- ¿ Indique que error influye mas para el volumen y que error mas para la densidad ?.

4.- Exprese dos recomendaciones básicas respecto a este experimento.

CONCLUSIONES:

1.- V = V eV ; V = ( 10,063 0,030 ) cm3 . VOLUMEN DEL CUERPO DE PRUEBA.

d = d ed ; d = ( 7,641 0,032 ) gr /cm3. DENSIDAD DEL CUERPO DE PRUEBA.

2.- Las dimensiones directas de base y altura son las mediciones mas precisas debido a su error porcentual.

h = 0,10 % ; b = 0,10 % ; m = 0,13 %. 0,10 % 0,13 %. Por lo tanto se mide con mayor precisión la cantidad de altura y la base.

3.- Para el volumen influye mas el error de la base; y para la densidad influye mas el error de la masa; por cuanto la densidad es igual a la masa sobre el volumen.

4.- a) Utilizar una balanza de menor apreciación;

b) Se deberán realizar las mediciones con mayor cuidado, logrando de esta manera mejores lecturas.


PRÁCTICA N0 04 NOMBRE DEL ALUMNO:

55


NOMBRE DE LA PRACTICA: Mediciones y Errores CURSO:FECHA: PARALELO:GRUPO: COLEGIO:

OBJETIVO: Determinar el volumen y la densidad de una esfera.


Cuerpo de Prueba:

1.- Una esfera de acero;

2.- Un Palmer de A = 0,01mm;

3.- Una balanza industrial de A = 0,1gr.

ESQUEMAS GRAFICOS: REFERENCIAS T T’ R: REGLA PRINCIPAL N: Nonio o regla adicional T: Tope fijo T’: Tope móvil T V: Valor de cada división del nonio N N: Número de divisiones de la regla N’ N’: Número de divisiones del nonio

TEORÍA Y REALIZACIÓN :

1.- Se determina el error del cero en el palmer: Do = - 0,03 mm;2.- Se mide el diámetro de la esfera utilizando el palmer de A = 0,01mm. Mínimo seis lecturas;3.- Se encera la balanza utilizando las rodelas para el efecto hasta que el fiel marque cero o esté encerado;4.- Se masa la esfera en la balanza industrial. Mínimo seis lecturas;5.- En base a los resultados obtenidos se tabulan y realizan cálculos.

I Di miI miD hi = (miI)(miD) mm gr gr g

01 19,98 27,5 28,5 28,0

02 19,99 27,0 28,0 27,5

03 19,97 27,5 27,5 27,5

04 19,98 28,0 27,0 27,5

05 19,99 27,5 28,0 27,7

06 19,99 27,0 27,5 27,2

119,99 164,4


1.- PARA EL DIAMETRO 3.- PARA EL VOLUMEN

56


1.1.- D = Di /n ; D = 119,6 / 6 ; D = 19,98mm 3.1.- V = (/6)(D)3 ; V = (3,14/6)(19,98mm)3 ; V = 4,174 cm3. 1.2.- eD = Ap ; eD = 0,01mm 3.2.- V = 3 D ; V = (3)(0,05%); V = 0,15%-

1.3.- D = (100%)(eD / D); D =(100%)(0,01/19,98) 3.3.- eV = (V)(V) /100% ;

D = 0,05% eV = (0,15%)(4,174cm3)/100%; ev=0,06cm3.

2.- PARA LA MASA 4.- PARA LA DENSIDAD

2.1.- m = mi / n ; m = 165,4 gr / 6 ; m = 27,5gr. 4.1.- d = m / V; d = 27,5 gr/4,174cm3 ; 2.2.- em = Ab ; em = 0,1gr. D = 6,588 gr/cm3.

2.3.- m= (100%)( em) / m ; 4.2.- d = m + 3D ; d = 0,36 + 3(0, 05).

m = (100%)(0,1gr) /27,5gr d = 0,51%. m = 0,36%. 4.3.- ed = (d)(d) / 100%; ed=(0,51)(6,588)/100% ; ed = 0,033gr/cm3.


CUESTIONARIO:

1.- ¿Cuáles son el volumen y la densidad del cuerpo de prueba ?

2.-¿ El volumen es una medida directa o indirecta y por qué ?

3.- Comparando el valor del volumen con la densidad, ¿quién permanece constante?

4.- indique cuantas veces aumenta el volumen en el momento que duplique su diámetro ; explique porqué la densidad no cambia y porqué aumenta la presión al medir la masa de la nueva esfera..

CONCLUSIONES:

1.- V = V eV ; V = (4,174 0,006 )cm3. D = d ed ; d = (6,588 0,091) gr/cm3.

2.- Es una medida indirecta; porque para su obtención se necesita de otra medida, que en este caso viene a ser el diámetro. Por ser una medida directa.

V = (/6)(D)3 ; V = (3,14/6)(19,98cm)3 ; V = 4,174cm3.

3.- V = (/6)(D)3 ; d = m /V ; La densidad es constante ; d = ctc.

4.- a) Aumenta ocho veces, ya que con el diámetro original el V = 4,174cm3. Con el doble del diámetro el valor del volumen será: V = (/&)(2D)3; V= (3,14/&)(39,96)3 ; V= 33,399cm3:.

33,399 cm3 / 4,174 cm3 = 8 RELACION NUMERICA DE DIAMETRO AUMENTADO

b) Cómo el material no cambia; la densidad no cambia. c) Aumenta la presión al medir la masa de la nueva esfera, porque el error porcentual aumenta.


PRACTICA No 05 NOMBRE DEL ALUMNO:

57


NOMBRE DE LA PRACTICA: mediciones y errores CURSO:FECHA: PARALELO:GRUPO N0 COLEGIO:

OBJETIVO: Medir el volumen y la densidad de un paralelepípedo de material plástico con el instrumental de laboratorio y aplicando la teoría de los errores.

EQUPO Y ESQUEMA DE LOS DISPOSITIVOS:

Cuerpo de prueba: 1.- Un sólido regular de material plástico y caras rectangulares ;2.- Un calibrador de A = 0,1mm;3.- Un palmer de A = 0,01mm;4.- Balanza de Robervall de A = 0,1gr.

ESQUEMAS GRAFICOS: REFERENCIAS

A l : Largo H H : Alto A : Ancho

L

TEORIA Y REALIZACION:

1.- Se mide el paralelepípedo con el calibrador de A = 0,1mm; mínimo seis lecturas.2.- Se determina el error del cero con el palmer; e = 0,00mm.3.- Se mide el ancho del paralelepípedo con el calibrador de A = 0,1mm, mínimo seis lecturas.4.- Se mide la altura del paralelepípedo con el palmer de A = 0,01mm, mínimo seis lecturas.5.- Se encera la balanza utilizando las rodelas para el efecto y cuando el fiel de la balanza coincida con la escala fija de la balanza.6.- Se mide la masa del sólido en la balanza de A = 0,1gr; mínimo seis lecturas de mazadas dobles.7.- Se tabulan los resultados , se realizan los cálculos y en base a ellos se contesta el cuestionario.

I hi ai hi miD miI hi = (miD)( miI) mm mm mm gr gr gr

01 63,0 29,2 6,08 15,3 15,7 15,5

02 63,0 29,3 6,09 15,4 15,6 15.5

03 63,1 29,1 6,07 15,6 15,4 15,5

04 63,2 29,2 6,09 15,5 15,5 15,5

05 63,0 29,3 6,10 15,4 15,6 15,5

06 62,9 29,0 6,08 15,3 15,7 15,5

378,2 175,4 36,51 93,0


1.- PARA EL LARGO 4.- PARA LA MASA

58


1.1.- l = li / n ; l = 378,2 / 6 ; l = 63,0 4.1.- m = mi/6 ; m = 93,0/6; m = 15,5gr

1.2.- el = Ac ; el = 0,1mm 4.2. em = Ab ; em = 0,1gr

1.3.- l = (100%)(el) / l ; l = (100%)(0,1/63,0); l = 0,16% 4.3.- m =(100%)(em/m);

m =(100%)(0,1/15,5) ; m =0,65%2.- PARA EL ANCHO 5 .- PARA EL VOLUMEN 2.1.- a = ai / n ; a= 175,1 /6; a= 29,2mm 5.1.- V= (l)(a)(h) ; V=(63,0)(29,2)(6,08) V=11,185 cm3

2.2.- ea = AC ; ea = 0,1mm 5.2.- v = l + a + h ; v= (0,16 + 0,34 + 0,16)%; V = 0,66% 2.3.- a = (100)(ea)/ a ; a = (100%)(0,1) / 29,2 ; 5.3.- eV = (V)(V) /100% ; a = 0,34% eV = (0,66)(11,185) /100% ; eV=0,073cm3

3.- PARA LA ALTURA 6.- PARA LA DENSIDAD 3.1.- h = hi /n ; h = 36,51 / 6 ; h = 6,085mm 6.1.- d = m /V ; d = 15,5 / 11,185 ; d = 1,386 gr/cm3. 3.2.- em = Ap ; em = 0,01mm 6.2.- d = m + V ; d=0,65% + 0,66%

d = 1,31%. 3.3.- h = (100%)(eh) / h ; 6.3.- ed = (d)(d) / 100%; h = (100%)(0,01) / 6,08; h = 0,16% ed= (1.31)(1,386)/100%; ed = 0,018g/cm3

CUESTIONARIO Y CONCLUSIONES:CUESTIONARIO;

1.- ¿Cuáles son el volumen y la densidad del cuerpo de prueba?

2.- ¿A cual de las cantidades se las determina con menor precisión ?

3.- ¿Por que el cuerpo de prueba no flota ?

4.- ¿En cuál de los parámetros disminuye la precisión y que diferencia existe al medir la altura con el palmer y el calibrador ?.

CONCLUSIONES:

1.- V = V eV ; V = (11,185 0,073) cm3 ; d = d ed ; d = (1,386 0,018) gr /cm3

2.- l = 0,16% ; a = 0,34% ; h = 0,16% ; m = 0,65% 0,65% 0,34% 0,16%. Luego se mide con mayor precisión la cantidad de masa.

3.- 1,386 gr /cm3 1 gr / cm3; luego la densidad del cuerpo de prueba es mayor que la densidad del agua, por lo tanto el cuerpo de prueba no flota porque tiene mayor peso.

4.- En el volumen y la densidad disminuye la precisión, mientras que en el calibrador la altura es igual a 6,0mm y en el palmer 6,08mm, esto quiere decir que ( 6,0 6,08 ) mm.

h aumenta ; V aumenta ; d aumenta.


PRACTICA N0 06 NOMBRE DEL ALUMNO:NOMBRE DE LA PRACTICA: Mediciones y errores CURSO:

59


FECHA: PARALELO:GRUPO N0 COLEGIO:

OBJETIVO: Medir el volumen y la densidad de un cubo.


Cuerpo de prueba:

1.- Un cubo de acero;2.- Un calibrador de A = 0,1mm;3.- Un palmer de A = 0,01mm;4.- Balanza de Roberball de A = 0,1gr.

ESQUEMAS GRAFICOS: P p’ REFERENCIAS

V C: Elemento grueso de la cruz V: Varilla movible de la cruz A C C A: Apoyo principal

M J A’: Apoyo secundario A’ A J: Jinetillo B B: Base de sustentación.


1.- Se determina la arista del cubo con el calibrador de A = 0,1mm; mínimo seis lecturas.

2.- Se encera la balanza utilizando las rodelas para el efecto, y cuando el fiel de la balanza coincida con la escala fija.

3.- Se mide la masa izquierda con la balanza de Roberball de A = 0,1gr; mínimo seis lecturas.

4.- Se mide la mazada derecha con la balanza de roberball de A = 0,1gr; mínimo seis lecturas.

5.- Se tabulan los resultados; se realizan cálculos y se contesta el cuestionario.

I a1 miI miD ai = (miI) (miD) mm gr gr gr

01 20,2 61,5 62,0 61,8

02 20,2 61,7 61,5 61,6

03 20,0 62,0 61,7 61,9

04 20,0 61,8 61,8 61,8

05 20,3 61,5 61,5 61,5

06 20,1 61,7 62,0 61,9

120,7 370,5

REGISTRO DE VALORES Y CALCULOS

1.- PARA LA ARISTA 3.- PARA EL VOLUMEN

60


1.1.- a = ai /n ; a = 120,7mm/ 6 ; a = 20,1mm 3.1.- V = a 3 ; V = (20,1mm)3 ; V = 8,121cm3. 1.2.- ea = Ac ; ea = 0,1mm 3.2.- V = 3(a) ; a = 3(0,5%); V= 1,5% 1.3.- a = 100%(ea) / (a) ; a = 100%(0,1) / (20,1) 3.3.- eV= (V)(V )/100% ; eV=(1,5)(8,121)/100% a = 0,50% eV = 0,122cm3

2.- PARA LA MASA 4.- PARA LA DENSIDAD 2.1.- m = mi / n; m = 370,5/6 ; m= 61,8gr 4.1.- d = m /V; d= 61,8gr / 8,121cm3; d=7,610g/cm3

2.2.- em = Ab ; ea = 0,1gr 4.2.- d = V+m ; d = 1,5%+0,16% ; d =1,66%

2.3.- m = 100%(em)/(m); m= 100%(0,1)/(61,8) 4.3.- ed= (d)(d)/100% ; ed = (1,66)(7,610)/100

m = 0,16% ed = 0,126g/cm3


CUESTIONARIO:

1.- ¿ Cuáles son el volumen y la densidad del cuerpo de prueba ?

2.- ¿ De cuantas caras está conformado el cubo y por que dimensión ?

3.- ¿ Aumenta o no el volumen y por qué ? ; la masa permanece constante o no.

4.- ¿ Cuál porcentaje de error es mayor el de la masa o de la arista ?

CONCLUSIONES:

1.- v = v eV ; V = (8,121 0,122) cm3 ; d = d ed ; d = (7,610 0,126) gr /cm3.

2.- Está conformado por ocho caras de 1 centímetro de arista.

3.- a) El volumen aumenta; porque a mayor arista mayor volumen;

b) La masa permanece constante.

4.- El error de la arista es mayor que el de la masa; 0,50% 0,16%.


PRACTICA N0 07 NOMBRE DEL ALUMNO:

61


NOMBRE DE LA PRACTICA: Densidad de sólidos irregulares CURSO:FECHA: PARALELOGRUPO N0 COLEGIO:

OBJETIVO: Medir la densidad de dos sólidos regulares por medio del método de la probeta – balanza. Determinar d = ?


Cuerpo de prueba:

1.- Un perno de metal.2.- Una pinza de material plástico.3.- Balanza de Roberball de A = 0,1gr.4.- Probeta graduada de rango (0-100)cm3 de A = 0,5cm3.5.- recipiente y liquido de prueba, agua.

ESQUEMAS GRAFICOS: REFERENCIAS

V = VC V1: Volumen inicial del liquido V2: Volumen del conjunto liquido de prueba V: V2 – V1: Volumen del cuerpo de prueba V2 V1 C: Cuerpo de prueba.


1..- Se encera la balanza para el efecto de Roberball de A = 0,1 gr; utilizando las rodelas para el efecto, hasta que el fiel esté encerado.2.- Se realizan las mazadas del tornillo y de la pinza. Una mazada doble de cada una.3.- Se procede a limpiar la probeta de A = 0,5 cm3.4.- Se coloca el agua en la probeta procurando que no queden burbujas de aire.5.- Se introduce el perno en la probeta y se anota el nuevo volumen del desplazamiento del agua al introducir el objeto.6.- Se sigue igual procedimiento para la pinza.7.- En base a los resultados obtenidos se realizan los cálculos y se procede a contestar el cuestionario.

CUERPO DE mI mD V1 V2 PRUEBA g g cm3 cm3

Perno 45,0 46,9 72,0 78,0

Pinza 12,4 10,5 75,0 83,0

REGISTRO DE VALORES Y CALCULOS: PERNO DE METAL PINZA

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1.- PARA LA MASA 1..- PARA LA MASA

1.1.- m = ( mI)(mD); m = (45,0)(46,9) ; 1.1. m = (mI)(mD) ; m = (12,4)(10,5) m= 45,9gr m= 11,41gr. 1.2.- em = Ab; em = 0,1gr 1.2.- em= Ab; em= 0,1gr.

1.3.- m=(100%)(em)/(m); m=(100%)(0,1)/(45,9) 1.3.- m=(100%)(em)/m; m=(100%)(0,1)/(45,9); m=0,22% m=(100%)(0,1)/(11,4); m = 0,887%.2.- PARA EL VOLUMEN 2.- PARA EL VOLUMEN 2.1.- V = V2-V1 ; V = (78,0-72,0)cm3; V = 6,0cm3 2.1.- V =V2-V1; V = (78,0-72,0)cm3. V=8,0cm3. 2.2.- eV = 2( Ap ); eP=2(0,5); eV=1,0cm3 2.2.- eV=2(Ap); eV=2(0,5). eV=1,0 cm3 eV=1,0cm3

2.3.-V=(100%)(eV)/V; V=(100%)(1)(6); 2.3.- V=(100%)(eV)/(V); V=16,67% V=(100%)(1)/(80); V=12,50%

3.- PARA LA DENSIDAD 3.- PARA LA DENSIDAD

3.1.- d= m / V; d= 45,9gr/6cm3; d= 7,651gr/cm3; 3.1.- d= m/V; d=11,4gr/8cm3; d=1,425gr/cm3

3.2.- d= m+V ; d=0,217%+16,66% 3.2.- d=m+V ; d=0,877%+12,5% ; d=13,387%

3.3.- ed= (d)(d) /100% ; ed=(16,88)(7,65)/100% 3.3.-ed=(d)(d)/100%; ed=(13,377)(1,425)/100%

ed=1,292gr/cm3 ed=0,191gr/cm3

CUESTIONARIO Y CONCLUSIONESCUESTIONARIO:

1.- Obtenga las densidades de los dos cuerpos de prueba

2.- ¿Hay necesidad de mediciones directas ?

3.- Este método es utilizable o no y ¿por qué?-

4.- ¿ Qué recomendación da para esta práctica?

CONCLUSIONES:

1.- PARA EL PERNO : d = (d ed ) gr / cm3 ; d = (7,652 1,292 ) gr / cm3.

PARA LA PINZA : d = (d ed ) gr / cm3 ; d = (1,425 0,191 ) g / cm3.

2.- No hay necesidad de mediciones directas, más que de la masa, es un proceso mas rápido. Tiene como desventajas que el error porcentual aumenta en la densidad y el volumen en cierto punto es inexacto, debido a que puede cometerse una serie de errores por parte del observador.

3.- El método sería utilizable, pero la apreciación sería muy baja comparándola con otro sistema de medición. El método es utilizable por cuanto es rápido.

4.- Utilizar una balanza de mayor apreciación.


PRACTICA N0 08 NOMBRE DEL ALUMNO:NOMBRE DE LA PRACTICA: Densidad de los sólidos irregulares CURSO:FECHA: PARALELO:

63


GRUPO: COLEGIO:

OBJETIVO: Medir la densidad de un sólido irregular por medio del principio de Arquímedes.


1.- Un perno metálico;2.- Conjunto de la balanza hidrostática;3.- Alambre;4.- Recipiente con agua;5.- materiales de montaje.

ESQUEMA GRAFICO: REFERENCIAS P P’ P , P’: Platos C C C : Elementos grueso de la cruz J J: Jinetillo A A: Apoyo principal A’: Apoyos secundarios B: Base de sustentación. A’ A’

B CUBO CON H2O

TEORIA Y REALIZACIÓN

PRINCIPIO DE ARQUIMIDES: Cuando se sumerge un sólido en el seno de un líquido en equilibrio, recibe de parte de este una fuerza resistente vertical de abajo hacia arriba denominada EMPUJE. La magnitud de esta fuerza es igual a la magnitud del peso liquido desplazado.

1.- Mantenemos en un soporte la balanza de Roberball para convertirlo en hidrostático .. A = 0,1gr:

2.- Enceramos la balanza;

3.- Colocamos en el plato de la izquierda una masa de prototipos mayor a la masa del cuerpo de prueba colocado en el plato derecho; luego colocamos un alambre en la balanza y obtenemos el primer equilibrio con el Jinetillo;

4.- Quitamos el cuerpo de prueba y lo colocamos suspendido en el alambre, obteniendo la segunda condición de equilibrio;

5.- Una vez suspendido el cuerpo de prueba del extremo del alambre y lo introducimos en el interior de un recipiente de agua sin que tope fondo y quede bien sumergido;

6.- Al obtener las tres condiciones de equilibrio y sus respectivas ecuaciones procedemos a realizar los cálculos.

ECUACIONES

1) 50 gr = pal + (49,8 0,1)gr 2) 50gr = pal + pC +(3,8 0,1)gr 3) 50gr = pal + PC –E + (9,50,1)gr

REGISTRO DE VALORES Y CALCULOS

1.- PARA EL PESO DEL CUERPO DE PRUEBA:

1.1.- Peso medio y error medio del peso ec 1 y ec 2. 1.2.- pc = (100%)(epc / pc)

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Ec.1 50gr = pd + (49,8 0,1)gr pc = (100%)(0,3 / 46,0) Ec.2 -50gr = pd – pc – (3,8 0,1)gr

0 = -pc + (49,8 0,1)gr – (3,8 0,1)gr pc = 0,44%

pc = (46,0 0,2)gr

2.- PARA EL EMPUJE

2.1.- Empuje medio y error medio del empuje. Ec3 y Ec2. 2.2.- E = (100%)(ee/E)

EC.3 50 gr = pal + pc – E + (9,5 0,1) gr E = (100%)(0,2/5,7) Ec. 2 -50gr =-pal – pc - (3,8 0,1) gr

0 = - E + (9,5 0,1)gr – (3,8 0,1)grE = (9,5 0,1)gr – (3,8 0,1)gr E = 3,51%

E = ( 5,7 0,2 ) gr

3.- PARA LA DENSIDAD 3.1.- de = d2( pc / E ) ; dc = (1) ( 46,0 /5,7 ); dc = 8,078gr/cm3. 3.2.- d = pc + E ; d = 0,44%+3,51% ; d = 3,95%. 3.3.- ed = (d)(de)/100% ; ed = (3,95%)(8,07)/100%; ed = 0,320 gr / cm3.

CUESTIONARIO Y CONCLUSIONES:CUESTIONARIO:1.- Obtenga la densidad del cuerpo de prueba y compárela con la que obtuvo mediante el método anterior.2.- Señale dos ventajas y dos limitaciones que encuentre en este método para medir densidades en relación con las métodos utilizados en las prácticas anteriores.3.- En base a los resultados obtenidos, determine el peso del alambre y señale quien se midió con mayor precisión , el empuje o el peso del cuerpo.4.- Si en lugar de agua se trabaja con gasolina, señale que otro experimento previo deberá realizarse.

CONCLUSIONES:

1.- d = (de ed) gr / cm3 ; d = ( 8,07 0,32 ) gr / cm3.

2.- VENTAJAS: a) Nos permite calcular el volumen del cuerpo irregular;c) Este es un proceso mediante la cual se utiliza menos instrumental.

3.- 50gr = pd + (49,8 0,1 )gr ; pal = 50gr – (49,8 0,1)gr ; pal = (0,2 0,1)gr ; pal = 100%(epal/pal ) ; pal = 100%(0,1/0,2) ; pal = 50%; E = 3,51% y pal = 50%. E pal se ha medido con mayor precisión el empuje.

4.- Al trabajar con gasolina en vez de agua, hubiera sido necesario conocer la densidad de la gasolina.

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UNIDAD N0 04

4.1. SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS : Reseña Histórica

4.2.- MEDIDAS DE LONGITUD : 4.2.1.- Unidad fundamental de Desplazamiento Lineal y angular 4.2.2.- Unidades Complementarias 4.2.3.- Conversión de Unidades

4.3.- MEDIDAS DE MASA : 4.3.1.- Unidad fundamental de Masa 4.3.2.- Unidades Suplementarias 4.3.3.- Conversión de Unidades

4.4.- MEDIDAS DE TIEMPO : 4.4.1.- Unidad fundamental de Tiempo 4.4.2.- Unidades Complementarias 4.4.3.- Conversión de Unidades

4. 5.- MEDIDAS DE VELOCIDAD : 4.5.1.- Unidad fundamental de Velocidad 4.5.2.- Unidades Complementarias 4.5.3.- Conversión de Unidades

4. 6.- MEDIDAS DE ACEELERACION : 4.6.1.- Unidad fundamental de Aceleración 4.6.2.- Unidades Complementarias 4.6.3.- Conversión de Unidades

4.7.- MEDIDAS DE FUERZA : 4.7. 1.- Unidad fundamental de Fuerza 4.7. 2.- Unidades Complementarias 4.7. 3.- Conversión de Unidades

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Objetivos a conseguir para el Sistema Internacional de Medidas Al finalizar esta unidad los estudiantes de la Unidad Educativa Eloy Alfaro estarán en capacidad de :

Identificar los diferentes tipos de medidas que existen;

Conocer la estructura y utilización de los diferentes tipos de medidas que existen;

Diferenciar los diferentes tipos de sistemas de medidas implantado ;

Aplicar el conocimiento del Sistema Internacional de Medidas en los diferentes tipos de ejercicios presentes y convertir de un sistema a otro .

Prerrequisitos:


FÍSICOS

Definición de una medición;

Medición del cuadrante terrestre;

Sistemas de medidas;

Instrumentos de mediciones.

MATEMÁTICOS

Operaciones fundamentales: Regla de tres simple para convertir sistemas de medidas .

Mediciones Geométricas;

Conocimiento estadístico de media aritmética.

Manejo de las tablas adecuadas para la conversión de unidades.

SISTEMA CORRECTIVO


Textos de Laboratorio de Física: Escuela Politécnica Nacional; Escuela Politécnica Del Ejercito; Escuela Politécnica del Chimborazo y, Escuela Politécnica del Litoral, Guía de Laboratorio de Física para escuelas primarias. Colección Colegio Manuela Cañiarez N0 05 de Quito, Herramientas Matemáticas para el estudio de la Física : Por : Ricardo Jara Balbín Manual de Laboratorio de Física Por Lcdo. Hernán Torres.

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INTRODUCCION

El avance científico y técnico destaca la necesidad de uniformidad y carencia en las unidades, razón por la cual el hombre debe valerse sobre todo de aquellos que sean completos en todas sus actividades.

El instrumento para medir, debe cumplir con todos estos requisitos, ya que es básico un sistema coherente de unidades para el descubrimiento y desarrollo de las actividades y es un factor para impulsar el desarrollo científico, tecnológico, comercial, etc.

El sistema Internacional de Unidades ha sido adoptado por muchos países en el mundo; nuestros País Ecuador por medio del Instituto Nacional Ecuatoriano de Normalización INEN , ha formulado planes para su conversión a este sistema Universal, que tiene ingerencia en todas las actividades Económicas del País y con todas las personas naturales o jurídicas. Es decir con esta aplicación poder lograr un adelanto tecnológico y una integración tanto interna como externa de todos los países para poder hablar un mismo lenguaje de unidad.

4.1.- SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES: Reseña Histórica

La base para la creación del Sistema Internacional de Unidades fue el sistema métrico decimal, idea que nació en Francia en el año 1670 por el obispo de la ciudad de Lyon llamado Gabriel Mouton. Quien tomó como base de medidas a la tierra.

El sistema métrico decimal de Mouton fue origen de discusión por el lapso de un siglo especialmente por hombres que se dedicaron a la ciencia , quienes lamentaban la caótica situación de las medidas en todo el mundo; pues para los investigadores realizar trabajos científicos se tornaban un caso tan difícil por la falta de coherencia entre los sistemas de medidas, puesto que la misma unidad con un mismo nombre tenía diferentes equivalencias.

Con el advenimiento de la Revolución Francesa en el año de 1789 los defensores del Sistema Métrico Decimal fueron ayudados por ser etapa propia de cambios. En el año de 1790 los científicos y el Obispo de Autun, Charles Maurois, consiguieron que la Asamblea Constituyente de Francia efectuara estudios para lograr obtener un sistema de medidas que sea aceptable en todo el mundo, encargándole esta labor a la Academia de Ciencia de Francia.

Para esa época dos Ingenieros Geodésicos de apellidos Delambre y Mechain fueron designados para realizar cuidadosas mediciones Geodésicas; al realizar este trabajo fueron por diversas ocasiones acusados de espías y hasta encarcelados . Desde 1792 hasta 1748 se realizaron revisiones Geodésicas explicando el método de triangulación desde la ciudad de Barcelona (España ) hasta la ciudad de Dunkirk ( Francia ) y con este trabajo calcularon el resto del cuadrante del meridiano terrestre, desde el Polo Norte hasta la Línea Ecuatorial. Cabe indicar que en las mediciones

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Geodésicas nuestro País Ecuador, tuvo un papel importante, ya que una expedición de académicos Franceses dirigidos por Luis Godín realizaron trabajos para tratar de

establecer con exactitud la magnitud de la circunferencia de la Tierra, quedándonos como recuerdo las Pirámides de Carburo y Oyambaro .

Luego de estas cuidadosas mediciones Geodésicas surgió el metro que proviene de las palabras Griegas Metron, que significa medida, considerada como una unidad de Longitud que equivaldría a la Diez millonésima parte del cuadrante del Meridiano Terrestre que pasa por la Ciudad de Paris. A su vez , el metro serviría de base para definir las unidades de masa y de capacidad. A ser el Kilogramo y al litro .

A esto se debe la denominación del Sistema Métrico Decimal; métrico porque tiene como base la palabra metro y decimal porque proviene de los múltiplos y submúltiplos de las unidades que se utiliza en base diez.

En el año 1799 en base a los estudios realizados por Delambre y Mechain , se construyeron un metro patrón y un kilogramo patrón , que fueron llevados antela Asamblea Legislativa Francesa reunida en Paris . Estos patrones fueron depositados en el Museo de los Archivos de Francia, ciudad de Paris.

Napoleón Bonaparte , pese a que utiliza el Sistema Métrico Decimal como táctica para afianzar la hegemonía Francesa en sus conquistas, en el año de 1805 tuvo que abolir la Ley que estaba vigente en el año 1799 por cuanto, la infiltración violenta y total del sistema de medidas causó serios problemas en todas las actividades; así : en el comercio se estableció que la venta por docena sea un crimen, debía hacérselo por decenas ; con respecto a la unidad de tiempo , se estableció que el mes sea dividido en tres períodos de diez días , y a los días divididos en 10 horas de cien minutos . Esto provocó trastornos y molestias del pueblo Francés .

Luego, en el año 1837, Luis Felipe oficializaba nuevamente el Sistema Métrico Decimal , pero recalcando únicamente las medidas de tiempo.

Los precursores del Sistema Métrico Decimal intentaron convertirlo en un verdadero sistema, que sirva para el uso en todo el mundo; es así que otros países lo adoptaron, tal es el caso de Italia y Australia en 1859 y Alemania en 1872. En 1870, el gobierno francés invita a todas las naciones del mundo a una conferencia en la ciudad de Paris , para tratar de la construcción de patrones Internacionales de medida. Concurrieron quince países, entre ellos el Ecuador , y, debido al peligro de guerra reinante en esa época, los Acuerdos Internacionales no se perfeccionaron.

En el año de 1872, se da una nueva conferencia, participando en ella 26 países , en la cual se decidió la construcción de nuevos prototipos del metro y del kilogramo de conformidad con los patrones originales que se conservaban en el Museo de los Archivos de Francia.

El 20 de Mayo de 1875 se llevó a cabo en Francia una nueva Conferencia, con la asistencia de representantes de 20 países, los mismos que firmaron un documento llamado Convención del Metro, por medio del cual se fundaba una Oficina Internacional de Pesas, por medio del cual se fundaba una Oficina Internacional de

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Pesas y Medidas , que entre otras funciones tenía la custodia y preservación de los Prototipos Internacionales.

Después de la Primera y Segunda Guerra Mundiales, el mundo da un viaje hacia un avance científico y técnico. Fue cuando se vio necesario el uso de nuevas unidades que no tenía el Sistema Métrico Decimal, y es así como en la década de 1940 se propugna la adopción de un verdadero sistema de unidades, que sea práctico, coherente y de utilización universal. En 1948 comienza el estudio para formar un sistema que tenga bases científicas y cubra todos los campos de la ciencia y tecnología.

En 1960, en la Undécima Conferencia de Pesas y Medidas, se promulgó y estableció el llamado Sistema Internacional de Unidades S.I, que debía ser adoptado y aplicado en todos los países del mundo.

Desde 1960 hasta nuestros días, ya un 80% de países en el mundo han adoptado el Sistema Internacional de Unidades o están en procesos de adopción, tal es el caso de nuestro País Ecuador.

La Ley de Pesas y Medidas establece como único y obligatorio el uso del Sistema Internacional de Unidades SI , en todo el Ecuador, y su implantación se hará gradualmente en un plazo máximo de diez años a partir de 1974, cuya programación y supervisión se encargará el Instituto Ecuatoriano de Normalización ( INEN ) , que preverá el reemplazo progresivo de las unidades de medida de uso tradicional.

ESTRUCTURA DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDAS ( S. I )

Unidades “S.I “ fundamentales.- Son las unidades del Sistema Internacional de medidas consideradas como mutuamente independientes, correspondientes a las siguientes magnitudes : Longitud, Masa, Tiempo, Temperatura Termodinámica , Intensidad de Corriente eléctrica, Intensidad luminosa y Cantidad de sustancia.

N0 UNIDAD SIMBOLO MAGNITUD01 Metro M longitud

02 Kilogramo kg masa

03 Segundo S tiempo

04 Amperio A Intensidad de corriente eléctrica

05 Kelvin K Temperatura termodinámica

06 Candela cd Intensidad luminosa

07 mol mol Cantidad de sustancia

Unidades SI Suplementarias.- Son las unidades del Sistema Internacional de medidas, que por motivos especiales, no han sido clasificadas por la Conferencia General de pesas y medidas como fundamentales o derivadas. Entre ellas tenemos : El ángulo plano y el ángulo sólido .

N0 UNIDAD SIMBOLO MAGNITUD01 Radian rad ángulo plano02 Estereorradián sr ángulo sólido

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Unidades SI Derivadas.- Son las unidades SI, formadas mediante multiplicaciones o divisiones dimensionalmente adecuadas, de las unidades SI fundamentales o suplementarias, sin la introducción de factores numéricos. Entre ellas mencionamos a las unidades SI derivadas que no tienen nombres especiales y derivadas

UNIDADES “SI “ DERIVADAS QUE NO TIENEN NOMBRE ESPECIALES

N0 MAGNITUD NOMBRE SIMBOLO ( a ) Expresión en términos de unidades SI fundamentales o suplementarias

01 Superficie Metro cuadrado m2 m2

02 Volumen Metro cúbico m3 m3

03 Densidad de masa Kilogramo por metro cúbico

kg / m3 m-3 . kg

04 Velocidad lineal Metro sobre segundo m / s m. s-1

05 Velocidad angular Radián sobre segundo radi / s rad . s-1

06 Aceleración Metro sobre segundo al cuadrado

m / s2 ms-2

07 Aceleración angular Radián sobre segundo al cuadrado

radi / s2

08 Viscosidad dinámica Newton por segundo sobre metro cuadrado

N . s / m2 m-1.kg.s-1.

09 Viscosidad cinemática Metro cuadrado sobre segundo

m2 / s m2.s-1.

10 Intensidad de campo eléctrico

Voltio sobre metro V / m ; N / C m.kg.s-3.A-1

11 Intensidad de campo magnético

Amperio sobre metro A / m A.m-1

12 Fuerza magnetomotriz Amperio ( espiral )

A A

13 Luminancia Candela sobre metro cuadrado

cd / m2 cd.m-2

14 Número de ondas Unidad sobre metro 1 / m m-1

15 Entropía Julio sobre kelvin J / K m2.kg.s-2.K-1

16 Calor especifico Julio sobre kilogramo por kelvin

J / ( kg . K ) m2. s-2. K-1

17 Conductividad térmica Vatio sobre metro por kelvin

W / ( m . K ) m.kg.s-3.K-1

18 Intensidad radiante Vatio sobre estereorradián

W / sr m2 . kg. S-3. sr-1

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UNIDADES “SI “ DERIVADAS QUE TIENEN NOMBRE ESPECIALES

N0 MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO ( a ) Expresión en términos de otras unidades SI

( b ) Expresión en términos de unidades SI fundamentales o suplementarias

01 Frecuencia Hertzio Hz 1 / s s-1

02 Fuerza Newton N m. kg . s-2

03 Presión Pascal Pa N / m2 m-1. kg. S-2

04 Energía, trabajo, cantidad de calor

Julio J N . m m2. kg. S-2

05 Potencia, flujo de energía

Vatio W J / s m2. kg. S-3

06 Cantidad de electricidad, carga eléctrica

culombio C A . s A. s

07 Diferencia de potencial, voltaje

Voltio V W / A m2. kg. S-3. A-1

08 Capacidad eléctrica Faradio F C / V m-2. kg-1.s4. A2

09 Resistencia eléctrica Ohmio V / A m2.kg.s-3.A-2

10 Conductancia eléctrica

Siemens S A / V m-2.kg-1.s3.A2

11 Flujo magnético Weber Wb V . s m2.kg.s-2.A-1

12 Densidad de flujo magnético

Tesla T Wb / m2 kg. S-2. A-1

13 Inductancia Henrio H Wb / A m2. kg. Ws-2. A-2

14 Flujo luminoso Lumen lm cd . r cd. r15 Iluminación Lux lx Lm / km2 m-2. cd. Sr

PREFIJOS DEL SI .- Son nombres y símbolos adoptados por la Conferencia General de Pesas y Medidas, para formar los múltiplos y submúltiplos del sistema internacional de medidas por potencias de base diez..

TABLA DE PREFIJOS MÚLTIPLOS

N0 NOMBRE SIMBOLO FACTOR NUMERICO EXPONENCIAL01 exa E 1 000 000 000 000 000 000 1018

02 peta P 1 000 000 000 000 000 1015

03 tera T 1 000 000 000 000 1012

04 giga G 1 000 000 000 109

05 mega M 1 000 000 106

06 kilo K 1 000 103

07 hecto H 100 102

08 deca Da 10 101

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TABLA DE PREFIJOS SUBMÚLTIPLOS

N0 NOMBRE SIMBOLO 1FACTOR NUMERICO EXPONENCIAL01 deci d 0,1 10-1

02 centi c 0,01 10-2

03 mili m 0,001 10-3

04 micro 0,000 001 10-6

05 nano n 0,000 000 001 10-9

06 pico p 0,000 000 000 001 10-12

07 femto f 0,000 000 000 000 001 10-15

08 atto a 0,000 000 000 000 000 001 10-18

RECOMENDACIONES:

a) Si un símbolo que contiene un prefijo se afecta de un exponente, ello indica que el múltiplo o submúltiplo de la unidad se eleva a la potencia indicada por el exponente. Ejemplo:

cm -1 = (10 2 )-1 m-1 = 102 m-1cm3 = (10-2 ) 3 m3 = 10-6 m3

b) Los símbolos de los prefijos SI se imprimen en caracteres romanos (rectos ), sin espacio entre el símbolo del prefijo y el símbolo de la unidad.

REGLAS GENERALES PARA EL USO DEL SI

a) No se colocarán puntos luego de los símbolos SI o de sus múltiplos o submúltiplos. Ejemplos:

m = metro kg = kilogramo

s = segundo

b) El símbolo de una unidad será el mismo para el singular que para el plural. Ejemplos:

Un amperio = 1 A, cinco amperios = 5 A , doce amperios = 12 A Un kilogramo = 1 kg , tres kilogramos = 3 kg , ocho kilogramos = 8kg

c) Cuando se deba escribir o pronunciar el plural del nombre de la unidad SI, se usarán las reglas de la Gramática Española. Ejemplos:

Mol - moles Candela - candelas Segundo - segundos Kilogramo - kilogramos

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d) Cuando se a necesario referirse a una unidad , es recomendable escribir el símbolo de la unidad y no su nombre, salvo casos en los que se definan conceptos en los cuales intervengan nombres de las unidades, o exista riesgo de confusión. Ejemplos:

5 N es preferible decir 5 newtones 2 litro es preferible decir 2 l

e) El producto entre dos unidades se indicará preferentemente mediante un punto. Este punto podrá omitirse cuando no haya riesgo de confusión con otros símbolos de unidades. Ejemplos:

J = N. m = m2. kg. s-2

Se debe leer: 1 Julio es igual a un Newton por metro, equivalente a un metro cuadrado - por kilogramo - por Segundo al cuadrado. f) No se deberá combinar nombres y símbolos al expresar el nombre de una unidad

derivada. Ejemplos:

m / s ó metro sobre segundo cm / s2 ó metro sobre segundo al cuadrado

g) Todas las unidades que aparecen inmediatamente después de una línea inclinada, serán consideradas como colocadas en el denominador de la expresión y, cuando sean dos o más , deberán agruparse con paréntesis. Es recomendable no usar paréntesis para agrupar las unidades que aparecen en el numerador. Ejemplos:

m2kg /(s2.k) m. kg / s

h ) Se usarán los prefijos SI y sus símbolos para formar, respectivamente , los Nombres y los símbolos de los múltiplos y submúltiplos de las unidades SI. Ejemplos:

milímetros = mm kilomol = kmol

h) La división entre dos o más unidades se indicará mediante una línea inclinada, una línea horizontal o potencias negativas. Ejemplos :

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1. sm

s

ms

m


i) La palabra “por“, utilizada dentro del nombre de una unidad derivada, significará proporción y reemplazará a términos, tales como: “para “, “sobre “ , “ por cada “, etc . Se usará solamente una vez en cada expresión: Ejemplos:

N. s / m2 = newton por segundo sobre metro cuadrado. 4.2.- MEDIDAS DE LONGITUD

Se denomina medidas de longitud a todas aquellas capaces de determinar el valor del cambio de posición de un cuerpo desde un punto “A “ hacia un punto “ B “ en forma horizontal, vertical o curvilínea .

La unidad fundamental o básica de las medidas de longitud es el metro equivalente a 1 650 163,73 longitudes de onda en el vacío, de la radiación correspondiente a la transición entre los niveles 2 P 10 y 5 d 5 del átomo de criptón 86.

Antiguamente , de acuerdo a la Misión Geodésica, un metro era equivalente a la diez millonésima parte de la medición del meridiano terrestre.

4.2.1.- Unidad fundamental de Desplazamiento Lineal y angular

La unidad fundamental del desplazamiento lineal el metro, a partir de el tenemos unidades suplementarias que son : El año luz, la cuadra , legua, milla náutica, Americana y Europea, pica de imprenta, el pie, la pulgada, vara e yarda.

Todas estas medidas en el momento de realizar cálculos matemáticos respecto a los fenómenos físicos que se nos presente, automáticamente tenemos que convertirlas a metros, porque así nos exige la convención del Sistema Internacional de Pesas y Medidas.

Para el desplazamiento angular su unidad de medida fundamental es el radian, pues su magnitud es el ángulo plano. Esto quiere decir que si el desplazamiento angular viene dado en grados, minutos y segundos, automáticamente tenemos que transformarlo a radianes.

No hay que olvidarse que magnitud es todo aquello que siendo capaz de aumento o disminución es susceptible de ser medido.

DEFINICIÓN DE ESPACIO.- Se denomina espacio, al lugar que ocupa un cuerpo en el Universo tanto Macroscópico, como Microscópico.

cuerpo

espacio

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DEFINICIÓN DE DESPLAZAMIENTO.- Es el cambio de posición de un cuerpo desde un punto “A “hacia un punto “B “. Los cambios de posición de un cuerpo pueden ser de carácter lineal horizontal, vertical o angular.

Desplazamiento de A hacia B en forma lineal y angular a la vez

Posición A Posición B

A B

UNIDAD DE MEDIDA.- Es una magnitud que se escoge arbitrariamente como término de comparación a las demás magnitudes de su misma especie. Ejempl : 5 kilómetros es equivalente a 500 metros

MEDIDA DE UNA MAGNITUD.- Es un numero real que expresa las veces de la unidad de medida que está contenida en la magnitud objeto de la medición.

V = 125 m3 5 m

5 m 5 m

4.2.2.- Unidades Complementarias de Longitud

Son todas aquellas cantidades que aunque no se derivan de la unidad fundamental que es el metro, se las puede relacionar. Pero necesita un proceso de conversión o transformación de unidades.

Entre ellas podemos mencionar: El pie, la pulgada, el fento, Amstron, el año luz, la yarda, vara, etc.

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4.2.3.- Conversión de Unidades de longitudSe denomina conversión de unidades a la transformación de toda unidad

de longitud a su unidad patrón o Sistema Internacional de medidas que es el metro.

TABLA DE FACTORES DE 77NIDADES77N DE 77NIDADES

LONGITUD : UNIDAD PRINCIPAL EL METRO ( m )1 m = 100 cm = 1 000 mm = 106 um = 109 nm

1 km = 1 000 m = 0,6014 mill 1 m = 3,281 pie = 39,37 plg 1 plg = 25,4 mm 1 cm = 0,3937 plg 1 pie = 30,48 cm 1 plg = 2,54 cm 1 mill = 5 280 pie = 1,606 km 1 A0 = 10-10 m = 10-8 cm = 10 – 6 m 1 MN ( milla nautical ) = 1 852 m = 1,508 mill = 6076 pie 1 feemi = 10-15 = 10-13 cm 1 año luz = 9,4600 x 1015 n

4.2.3.1.- Ejercicios de aplicación:

Ejercicio N 01 Supóngase que un mecánico mide el diámetro exterior de un tubo,

obteniendo como resultado de pulgadas. Para ordenar un accesorio para dicho tubo el mecánico necesita conocer dicho diámetro en milímetros. Determine entonces el diámetro del mismo en milímetros.

(1 plg) (X) = (1,188 plg) (25,4 mm)

X = (1,188) (25,4 mm) X = 30,18 mm 30,2 mm

Ejercicio N 02 Convertir 28,3 cm a metros 1 m 100 cm ( X ) ( 100 cm ) = ( 1 m ) ( 28,3 cm ) X 28,3 cm 100 X = 28,3 m X = 28,3 m / 100 X = 0,283 m

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Xp

mmp

lg188,1

4,25lg1


Ejercicio N 03 Convertir 470 000 mm a plg 1 plg 25,4 mm ( X ) ( 25,4 mm ) = ( 1 plg ) ( 470 000 mm ) X 470 000 mm 25,4 X = 470 000 plg X = 470 000 plg / 25,4 X = 18 503,9 plg

Ejercicio N0 04 Calcule el número de kilómetros ha hay en 30 millas , usando solamente los siguientes factores de conversión : 1 milla = 5 280 pies; 1 pie 12 pulgadas , 1 plg = 2,54 cm , 1 m = 100 cm y 1 km = 1 000 m.

1 milla 5 280 pies ( 1 milla ) ( X ) = ( 30 millas ) (5 280 pies ) 30 millas X X = ( 30 ) ( 5 280 pies ) X = 158 400 pies 1 pie 12 plg ( X ) ( 1pie ) = (158 400 pies ) ( 12 plg ) 158 400 pies X X = (158 400 ) ( 12 plg )

X = 1 900 800 plg 1plg 2,54 cm ( 1 plg ) ( X ) = (1 900 800 plg ) ( 2,54 cm ) 1 900 800 plg X X = ( 1 900 800 ) ( 2,54 cm ) X = 4 828 032 cm

1 m 100 cm ( X ) ( 100 cm ) = ( 1 m ) (4 828 032 cm ) X 4 828 032 cm 100 X = 4 828 032 m X = 4 828 032 m / 100 X = 48 280,32 m

1 km 1000 m ( X ) ( 1000 m ) = ( 1k m ) ( 48 280,32 m ) X 48 280,32 m 100 X = 48 280,32 m X = 48 280,32 m / 1 000 X = 48,28 m

EJERCICIO N0 05 Una nave espacial alcanza una altura de 300 000 km. ¿ En millas a cuanto equivale esta altura ? 1 milla 1,609 km ( X ) (1,609 km ) = ( 1mill ) ( 300 000 km ) X 300 000 km (1,609 Km ) ( X ) = ( 1 mill ) ( 300 000 )

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X = 300 000 km / 1,609 X = 186 451,21 km

EJERCICIO N0 06

Un libro contiene aproximadamente 1000 páginas ; si consideramos que cada hoja tiene dos páginas , una en cada lado , el libro contiene , aproximadamente, 500 piezas separadas de papel. El grueso de éstas es de unos 4 cm sin incluir su portada. En consecuencia, si 500 hojas tienen un grueso de 4 cm, ¿una hoja de cuántos centímetros aproximadamente debe ser ?. 500 hojas 4 cm ( 500 hojas ) (X ) = ( 1hoja ) ( 4 cm ) 1 hoja X 500 X = ( 1 ) (4 cm ) X = 4 cm / 500 X = 0,008 cm

4.2.3.2.- Ejercicios propuestos:

1.- Supóngase que un mecánico mide el diámetro exterior de un tubo,

obteniendo como resultado de pulgadas. Para ordenar un accesorio para dicho tubo el mecánico necesita conocer dicho diámetro en milímetros. Determine entonces el diámetro del mismo en milímetros.

2.- Convertir 59,6 cm a metros

3.- Convertir 265 300 mm a plg

4.- Calcule el número de kilómetros ha hay en 20 millas, usando solamente los siguientes factores de conversión:1milla = 5 280 pies;1 pie = 12 pulgadas 1 plg = 2,54 cm , 1 m = 100 cm y 1 km = 1 000 m. Respuesta : 32,2 Km

5,- Una nave espacial alcanza una altura de 300 km. ¿ En millas a cuanto equivales esta altura ?

6.- Las distancias astronómicas son tan grandes, comparadas con las terrestres, que nos vemos en la necesidad de usar unidades de longitud demasiadamente mayores para poder entender más fácilmente las distancias relativas entre los objetos astronómicos. Una unidad astronómica (UA) es igual a la distancia media de la Tierra al Sol, es decir , aproximadamente 92,9 x 106 millas. Un pársec, es la distancia a la cual una unidad astronómica subtiende un ángulo de 1 plg . 1 año luz es la distancia que recorrería la luz en un año, viajando con una rapidez, en el vacío, de 186 000 millas / s. Expresar:

a) La distancia de la Tierra al Sol en parsec y en años luz;b) Expresar un año luz y un pársec en millas.

7.- Un libro contiene aproximadamente 2 000 páginas; si consideramos que cada hoja tiene dos páginas , una en cada lado , el libro contiene , aproximadamente, 1 000 piezas separadas de papel. El grueso de éstas es de unos 4 cm

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sin incluir su portada. En consecuencia, si 1 000 hojas tienen un grueso de 8 cm, ¿una hoja de cuántos centímetros aproximadamente debe ser?.

8.- Convertir 350 km millas

9.- Convertir 80 m a yardas.

10.- Convertir 59,6 brazas a pie.

AMPLIANDO EL CONOCIMIENTO

El primer patrón Internacional de medida para la longitud fue una barra de una aleación de platino e iridio, llamada metro patrón. Que se mantenía en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. El metro se define como la distancia entre dos líneas finas grabadas en unos tapones de oro cercanos a los extremos de barra, cuando ésta se mantenía a la temperatura de 00 C y se la soportaba mecánicamente es una forma prescrita . Históricamente se definió el metro como la diezmillonésima parte de la distancia del polo norte al ecuador a lo largo del meridiano que pasa por París. Sin embargo, las medidas precisas practicadas después que se fabricó la barra del metro patrón demostraron que esta distancia variaba un poco (aproximadamente un 0,023 % ) del valor establecido.

Como el metro patrón no es muy accesible , se hicieron copias maestras mas precisas que se enviaron a diferentes laboratorios de normas del mundo . Estos patrones secundarios se usaron para calibrar otras reglas de medida, aún más accesibles. En consecuencia, hasta épocas muy recientes toda regla o dispositivo de medida de longitudes estaba garantizado por el metro patrón a través de una cadena complicada de comparaciones en las que se usaban microscopios y máquinas divisoras. Este era también el caso, desde 1959, para la yarda , cuya definición legal en los Estados Unidos de Norte América, fue adoptada en ese año como : 1 Yarda = 0,9144 metros (exactamente) . Lo que equivale a decir 1 pulgada = 2,54 centímetros (exactamente ).

Se han hecho varías objeciones respecto a considerar a la barra como un patrón primario de longitud: es potencialmente destructible, por incendio o guerra, por ejemplo : y no es muy accesible . No se trata de amenazas fútiles, Cuando se quemó el Parlamento Británico en 1934, se destruyeron los patrones británicos de la yarda y la libra l, La Oficina Internacional de Pesas y Medidas fue declarada en Francia como una zona internacional neutral y, afortunadamente, fue respetada por los nazis durante la Segunda Guerra Mundial.

Todavía de mayor importancia es el hecho de que la precisión lograda en la comparación mutua de las longitudes, utilizando la técnica de comparación de marcas muy finas mediante microscopio, ya no es satisfactoria en la ciencia y la tecnología. Como evidencia de este hecho se pueden considerar las pequeñas correcciones del curso que se hacen a medio camino en las misiones espaciales. Si no se considera, entre otras

cosas, la distancia a la luna, en metros, como función del tiempo con una determinada precisión, estas misiones serian mucho mas difíciles.

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En 1828, J. Babinet fue el primero en sugerir que podía usarse la longitud de una onda luminosa como un patrón de longitud. El desarrollo posterior interferómetro proporcionó a los científicos un instrumento óptico de precisión, por medio del cuál puede usarse una onda luminosa como un medio de comparación de longitudes. La luz visible tiene una longitud de onda de alrededor de 0,5 m y por medio de ella pueden hacerse mediciones de longitudes de barras, aun cuando éstas tengan muchos centímetros de largo, con una aproximación de una fracción pequeña de la longitud de onda. De este modo se puede alcanzar una precisión de una parte en 100 al hacer una ínter comparación de longitudes usando ondas luminosas.

En 1960 la 11va Conferencia General sobre Pesas y Medidas adoptó un patrón atómico para el metro. Para ello se escogió la longitud de onda, en el vacío, de una radiación anaranjada particular ( identificada por la notación espectroscópica 2p10 - 5d5 emitida por los átomos de un isótopo específico del criptón Kr86 en una descarga eléctrica . De esta manera, en la actualidad el metro se define como 1 650 763,73 veces la longitud de onda de dicha luz . Este número de longitudes de onda fue obtenido por una medición cuidadosa de la longitud de la barra métrica en términos de estas ondas luminosas. La comparación se hizo de tal manera que el nuevo patrón basado en la longitud de onda de la luz concordara lo más posible con el patrón antiguo, basado en la barra métrica . El nuevo patrón permite las comparaciones de longitudes con un factor diez veces mejor de lo que es posible con la barra métrica.

La elección de un patrón atómico ofrece otras ventajas, además de un aumento de precisión en las mediciones de longitud. Los átomos Kr86 están disponibles en todas partes, son idénticos y emiten luz de la misma longitud de onda. La longitud de onda que en particular se ha escogido , es una característica típica del Kr86 y esta definida con precisión. Dicho isótopo puede obtenerse muy puro de una manera relativamente fácil.

Una vez establecido como base el patrón de longitud atómico, todavía se requiere de patrones secundarios calibrados con éste para usarse en la práctica. En muchas mediciones, como la de las distancias intramoleculares o interestelares, no puede hacerse una comparación directa con un patrón. Se deben emplear métodos indirectos para relacionar la distancia en cuestión con el patrón primario de longitud. Por ejemplo, la distancia a las estrellas vecinas se conoce debido a que su posición respecto al fondo de las estrellas mucho mas alejadas cambia conforme la Tierra se mueve en su órbita. Si se mide este corrimiento angular de paralaje y si se conoce el diámetro de la órbita terrestre, expresado en metros, se puede calcular la distancias medidas . Nótese que éstas varían entre si por un factor de alrededor de 1037.

UNIDAD ASTRONÓMICA.- La unidad astronómica de distancia es la longitud del radio de la órbita circular no perturbada de un cuerpo de masa despreciable en movimiento alrededor del sol, con una velocidad angular sideral de 0,017 202 098 950 radianes por día de 86 400 segundos de las efemérides.

PÁRSEC.- Es la distancia a la cual una unidad astronómica subtiende un ángulo de un segundo de arco.

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TABLA DE ALGUNAS LONGITUDES MEDIDAS

N0 LONGITUD METROS01 Distancia a la galaxia más próxima ( Andrómeda ) 2 x 10 22

02 Radio de nuestra Galaxia 6 x 10 19

03 Distancia a la estrella más próxima ( Alfa de Centauro ) 4,3 x 10 16

04 Radio medio de la órbita del planeta más distante ( Plutón ) 5,9 x 10 12

05 Radio del Sol 6,9 x 10 8

06 Radio de la Tierra 6,4 x 106

07 Altura del monte Everest 8,9 x 10 3

08 Altura de una persona normal 1,8 x 10 0

09 Espesor de una página de este libro 1 x 10 –4

10 Tamaño de un Virus de poliomielitis 1,2 x 10 –8

11 Radio de un átomo de hidrógeno 5,0 x 10 –11

12 Radio efectivo de un protón 1,2 x 10 – 15

EJERCICOS DE APLICACIÓN

1.- Las distancias astronómicas son tan grandes, comparadas con las terrestres, que hay que usar unidades de longitud mucho mayores para poder entender más fácilmente las distancias relativas entre los objetos astronómicos. Una unidad astronómica ( U A ) es igual a la distancia media de la Tierra al Sol, es decir , alrededor de 92,9 x 106 millas . Un Pársec, es la distancia a la cual una unidad astronómica subtiende un ángulo de 1 plg. 1 año luz es la distancia que recorrería la luz en un año, viajando con una rapidez, en el vacío, de 186 000 millas. Expresar:

a) La distancia de la Tierra al Sol en parsecs;b) Un año luz y un pársec en millas.

2.- Parte (a) En una competencia de pistas se usan, tanto las yardas como los 100 metros para medir distancias de carreras cortas. ¿ Cuál de ellas es mayor ?.¿ En cuántos es mayor ?. ¿En cuántos pies?

Parte (b) Se conservan marcas de competencia de pista y campo tanto para la milla como para los 1 500 m. Compare estas distancias.

Respuestas: (a) 100 m es mayor que 100 yardas, en 8,56 metros o 28,1 pies (b) Una milla es mayor que 1 500 metros en 109 metros o 358 pies.

NOTA: Lectura de ampliando el conocimiento sacada de la Física de Robert Resnick, Tomo I, páginas 16 - 17.

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4.3.- MEDIDAS DE MASA

El patrón de masa del Sistema Internacional de pesas y medidas se trata de un cilindro de platino e iridio conservado en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas. Asignándosele por acuerdo internacional una masa de un kilogramo. Se envían patrones secundarios a los laboratorios de normas de otros países para que se puedan determinar las masas de otros cuerpos utilizando una balanza de brazos iguales que tenga una precisión de dos partes en 108.

La copia número 20 del patrón internacional masa llamada kilogramo se encuentra en los Estados Unidos de Norte América guardado en una cúpula en la Oficina Nacional de Normas. Sólo se saca una vez al año para corroborar los valores de patrones terciarios. A partir de 1889, el Prototipo número 20 ha sido llevado a Francia dos veces para comparación con el kilogramo patrón o primario. Siempre que se saca la cúpula se la hace bajo la presencia de dos personas, una para transportarla con unas pinzas y la otra para atraparlo en caso de que la primaria se caiga.

Si observamos la tabla de algunas medidas de masa, vamos a darnos cuenta que estas van a variar por un factor de 1070. La mayoría de las masas se han medido en términos del kilogramo patrón mediante métodos indirectos. Por ejemplo, la masa de la tierra puede determinarse midiendo en un laboratorio la fuerza de atracción entre dos esferas de plomo. Sus masas deben conocerse mediante comparación directa con el kilogramo patrón, utilizando una balanza de brazos iguales.

Existe un segundo patrón de masa para objetos de escala atómica, que no corresponde a la unidad del Sistema Internacional. Esta es la masa del carbono 12 (C12) al que, por un acuerdo internacional, se le ha dado el nombre de masa atómica unificadas ( u ) .

Las masas de otros átomos pueden determinarse con gran precisión usando un espectrómetro de masa. Es necesario tener un segundo patrón de medidas de masa debido a que las técnicas experimentales modernas nos permite comparar entre si a las masas atómicas con mayor precisión que la que se obtiene al compararlas con el kilogramo patrón.

La relación entre los dos patrones es, aproximadamente de 1 u = 1,660 x 10-27 kg .

4.3.1.- Unidad fundamental de Masa

La unidad fundamental de masa es el kilogramo, esta unidad de medida consiste en un cilindro especial de aleación Platino Birilio.

Se debe diferenciar los conceptos entre masa y peso. Masa, es la cantidad de sustancia que tiene un cuerpo. Mientras que Peso es la fuerza de atracción terrestre que obliga a los cuerpos a dirigirse hacia el centro de la tierra, su expresión de cálculo es :W = m.g . Donde: W = es el peso, m = es la masa y g = aceleración de la gravedad en la tierra, equivalente a 9,81 m / s2 .

83


TABLA DE FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES

4.3.2.- Unidades Suplementarias

Dentro de las unidades suplementarias o que no pertenecen al Sistema Internacional de Medidas , pero que es necesari8o en ciertas ocasiones utiliza. Tenemos como magnitud:

“Masa Atómica “ ; cuyo nombre es conocido como “ Unidad atómica de masa “ , cuyo símbolo es ( u ) , donde su equivalencia es :

u = 1,66099 x 10 - 27 kg

Existen otras unidades como:

La Tonelada métrica (Tm) =1000 000 g ; El Quintal métrico (Qm) =100 000 g ; La libra (lb) = 16 onzas ; La Onza ( Onz ) = 28,36 g ; El Kilogramo = 2,2 lb., etc.

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Masa : Unidad principal el kilogramo ( kg )

1 kg = 1 000 g = 0,102 utm1 g = 10-3 kg = 1,02 x 10 -4 utm1 Unidad de masa atómica = 1,660 x 10 -27 kg1 Slugss = 14,59 kg = 32,17 lib1 1 libra = 0,4536 kg1 Tonelada = 907,2 kg1 Tonelada corta = 907,1847 kg1 Tonelada larga = 1 016,047 kg1 Tonelada métrica = 1 000 kg1 onza = 0,02835 kg1 onza troy = 31,10 g1 arroba = 11,34 kg1 libra castellana = 460,093 kg1 libra Troy = 12 onzas troy = 0,3732417 kg = 373,2418 g 1 Quilate métrico = 0,20 g = 200 mg1 Quilate corto = 45,36 kg 1 Quilate largo = 50,802 kg1 grano = 64,79891 mg


La unidad de masa unificada es igual a 1/12 de la masa de un átomo de Nucleón 126.

4.3.3.- Conversión de Unidades 4.3.3.1.- Ejercicios de aplicación :

Ejercicio N 01 Convertir 99 500 mg a kg

mgX

mgg

50090

10001

( X ) ( 1 000 mg ) = ( 90 500 mg ) ( 1 g) X = 90 500 g / 1 000 X = 90,50 g

Ejercicio N 02 Convertir 90, 50 g a kg

( X ) ( 1 000 g ) = ( 90,50 g ) ( 1 kg) X = 90 ,50 kg / 1 000 X = 0,09 kg

Ejercicio N 03 Convertir 0,0905 Kg. a Slugss

kgX

kgSlugss

0905,0

59,141

( X ) ( 14,59 kg ) = ( 0,0905 kg ) ( 1 Slugs ) X = 0,0905 Slugs / 14,59 X = 0,00620 Slugs

AMPLIANDO EL CONOCIMIENTO

A continuación haré referencia de algunas mediciones de masa y de masas atómicas medidas.

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ALGUNAS MEDIDAS DE MASAS

N0 OBJETO KILOGRAMO01 Nuestra Galaxia 2,2 x 10 41

02 El Sol 2,0 x 10 30

03 La Tierra 6,0 x 10 24

04 La Luna 7,4 x 10 22

05 El agua de los Océanos 1,4 x 10 21

06 Un transatlántico 7,3 x 10 7

07 Un elefante 4,5 x 10 3

08 Una persona 5,9 x 19 1

09 Una uva 3,0 x 10 –3

10 Una partícula de polvo 6,7 x 10 – 10

11 Un virus del mosaico de tabaco 2,3 x 10 – 13

12 Una molécula de penicilina 5,0 x 10 – 17

13 Un átomo de uranio 4,0 x 10 – 26

14 Un protón 1,7 x 10 – 27

15 Un electrón 9,1 x 10 – 31

ALGUNAS MASAS ATÓMICAS MEDIDAS

N0 ISÓTOPOS MASA EN UNIDADES DE MASA ATÓMICA01 H1 1.00782522 0,0000000202 C12 12, 00000000 exactamente03 CU

64 63,9297568 0,000003504 Ag102 101,911576 0,00002405 Cs137 136,907074 0,00000506 Pt190 189,959965 0,00002607 Pu 238 238,049582 0,000011

4.3.3.2.- Ejercicios Propuestos

1.- Expresar en kilogramos 7 500 gramos; 2.- Expresar en kilogramos 7,8 libras; 3.- Expresar en kilogramos 32 onzas 4.- Convertir 9 kilogramos a libras 5.- Convertir 8 libras a kilogramos; 6.- Expresar 200 miligramos a gramos; 7.- Expresar 3 Toneladas métricas (Tm) a libras (lb); 8.- Convertir 0,8 libras a miligramos (mg); 9.- Convertir 150 gramos a unidades técnicas de masa (utm)

4.4.- MEDIDAS DE TIEMPO

La medición del tiempo tiene dos aspectos. Para propósitos de carácter cotidiano y para algunos de carácter científico. Quisiéramos saber la hora del día, de tal manera que podamos ordenar sucesivamente los acontecimientos. En la mayoría de los trabajos científicos, se desea saber el intervalo de tiempo que dura un suceso. A esto se debe que

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cualquier patrón de medida que utilicemos, simplemente debe responder, tanto a lo que nos preguntemos “¿en que momento ocurre? “Como a la pregunta “¿Cuánto dura? “.

Cualquier fenómeno que ocurra en la naturaleza y se repita a si mismo puede usarse como una medición. El número de repeticiones que existan son contables, por lo tanto desde ese punto de vista es una medición.

De entre los muchos fenómenos repetitivos que ocurren en la naturaleza durante muchos siglos se ha usado, como patrón de medida del tiempo, la rotación de la Tierra sobre su propio eje, determinando de esta manera la duración del día. Este patrón de medida es la base fundamental de la medición del tiempo civil y legal, el segundo

( solar medio ) se define como de un día ( solar medio ) .

Se llama tiempo universal (T.U), al tiempo definido en términos de la rotación de la Tierra . El tiempo universal debe medirse por observaciones astronómicas, que pueden variar varia semanas. Por lo tanto, necesitamos de un buen medidor de tiempo como lo es el reloj terrestre secundario calibrado según las observaciones astronómicas. Los relojes de cristal de cuarzo, basados en las vibraciones periódicas naturales, mantenidas eléctricamente, de un cristal de cuarzo, pueden ser buenos patrones, secundarios de tiempo. El mejor de éstos ha marcado el tiempo durante un año con un error máximo de 0,02 s.

Uno de los usos más comunes de un patrón de tiempo es la medición de frecuencias. En el intervalo de la radio, las comparaciones de frecuencias de un reloj de cuarzo pueden efectuarse electrónicamente con una precisión de, por lo menos, una parte en 1010 y, de hecho, a menudo se requiere dicha precisión. Sin embargo esta Precisión es una cien veces mayor que aquella con la que el propio reloj de cuarzo puede calibrarse por medio de observaciones astronómicas.

Para satisfacer esta necesidad y poder conseguir un mejor patrón de medida del tiempo, en varios países, como los Estados Unidos de Norte América han desarrollados los relojes atómicos, usando como patrón las vibraciones periódicas de los átomos.

Este reloj atómico se basa en la frecuencia característica asociada con el isótopo Cs1133, ha estado en operación continua en el Laboratorio Nacional de Física (National Physical Laboratory ) en Inglaterra desde el año 1955. Los Estados Unidos de Norte América tiene uno similar.

En el año de 1967, la Decimotercera Conferencia General de Pesas y Medidas adoptó como patrón internacional al segundo basado en un reloj de cesio, y se le definió como 9 192 631 770 periodos de la transición particular del Cs133 seleccionada. Al hacerlo aumentó la precisión de las medidas de tiempo en una parte en 1012; lo que representa una mejora de alrededor de 103 respecto a la precisión asociada a los métodos astronómicos. Si dos relojes de cesio se hacen operar con esta precisión y si no hay otra causa de error, dichos relojes no diferirán por más de un segundo de haber estado operando durante 6 000 años.

87


Si observamos la figura de la parte inferior , por comparación con el reloj de cesio, las variaciones en la rapidez de la rotación de la Tierra en un periodo de casi tres años . Nótese que la rapidez de la rotación terrestre es mayor en el verano y menor en el invierno en el hemisferio norte, y decrece paulatinamente de año a año.

Respecto a esto nos podríamos preguntar, como es que estamos seguros de que la “ culpable “ de esto es la Tierra que gira y no el reloj de cesio. Para dicha pregunta existen dos respuestas:

1.- La sencillez relativa del átomo, comparado con la Tierra, nos lleva a atribuir cualquier diferencia entre estos dos medidores de tiempo a la Tierra, por ejemplo, la fricción entre el agua y la Tierra, provocada por las mareas, produce una disminución en la rapidez de la rotación terrestre. El movimiento de los vientos durante las estaciones también ocasiona una variación periódica en la rapidez de rotación. Otras variaciones pueden asociarse a la fusión y recongelación de los casquetes polares.

2.- El Sistema Solar contiene otros relojes, tales como los planetas en órbitas alrededor del Sol y sus satélites correspondientes orbitando en torno a los planetas.

La rotación de la Tierra muestra variaciones , respecto a éstos que son semejantes pero cuya observación tiene menor precisión que las variaciones mostradas en la figura.

El patrón de tiempo se hace en lugares remotos mediante la trasmisión de radio. Como ejemplo se tiene las estaciones WWV de Colorado y la WWVH de Hawai, operadas por el National Bureau of Standards . Transmiten en frecuencia de 2,5 ; 5 10; 20 y 25 x 106 , estabilizadas en una parte en 1011 por comparación con un reloj de cesio. Un hertz ( cuya abreviatura es Hz ) es igual a 1 ciclo / s. La WWV emite cada 5 minutos una señal precisa de 440 Hz ( tono A para concierto, que corresponde al “ la “ ) y otra de 600 Hz. Diez veces en cada hora emite señales de tiempo usando un sistema de codificación con dígitos binarios. Otras dos trasmisoras , la WWVB y la WWVL de Fort Collins, Colorado, emiten patrones de una mayor precisión que se utilizan en situaciones especiales.

+ 80

+ 40

0

- 40

- 80

- 120 Julio Julio Julio

- 160 1955 1956 1957

88


4.4.1.- Unidad Fundamental de Tiempo

La unidad fundamental de la medida de tiempo para el Sistema Internacional de medidas es el segundo, se lo representa con la letra “ s “ minúscula o una “ s “ manuscrita . El segundo tiene una duración de 142’ 631 770 períodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado del átomo de Cesio – 133.

4.4.2.- Unidades Complementarias

Existen otras unidades de medida del tiempo que sin ser fundamentales, son de vital importancia para el desarrollo de ejercicios dentro del campo de la física y que nos vemos obligados a transformarlas a la unidad fundamental que es el segundo. Entre ellas podemos mencionar:

TABLA DE UNIDADES DE MEDIDA DEL TIEMPO

UNIODAD PRINCIPAL : El Segundo ( s )01 1 h 60 min = 3 600 s02 1 min 60 s03 1 Día 24 h = 86 400 s04 1 Año 365,2422 Días = 8 766 x 103 h

05 1 Día sideral 86 164 período de revolución de la tierra

06 1 Semana 7 Días07 1 Mes 30 Días

4.4.3.- Conversión de Unidades4.4.3.1.- Ejercicios de aplicación :

1.- Convertir ½ hora a segundos

2.- Convertir 3 días a horas

89

sX

sX

shXh

8001

60035,0

60032

11


ALGUNOS INTERVALOS DE TIEMPO MEDIDOS

INTERVALO DE TIEMPO SEGUNDOS01 Edad de la Tierra 1,3 x 10 17

02 Edad de la pirámide de Keops 1,2 x 1011

03 Vida media humana en los E. U. A 2 x 109

04 Período de la órbita terrestre del Sol ( 1 año )

3,1 x 10 7

05 Período de la rotación terrestre alrededor de su eje ( 1 día )

8,6 x 10 4

06 Período de un satélite típico 5,1 x 10 3

07 Vida media de un neutrón libre 7,0 x 10 2

08 Tiempo entre latidos normales del corazón

8,0 x 10 –1

09 Período del diapasón A de concierto ( en “ la “ )

2,3 x 10 –3

10 Vida media del muón 2,2 x 10 -6

11 Período de oscilación de las microondas de 3 cm

1,0 x 10 -10

12 Período de rotación típico de una molécula

1 x 10 –12

13 Vida media del pión neutro 2,2 x 10 –16

14 Período de oscilación de una rayo gamma de 1 Me V ( calculado )

4 x 10 -21

15 Tiempo que tarda en pasar una partícula elemental a través de un núcleo de tamaño medio ( calculado )

2 x 10 - 23

4. 5.- MEDIDAS DE VELOCIDAD

4.5.1.- Unidad fundamental de Velocidad.- La Unidad Principal dentro del Sistema Internacional de Unidades del sistema Internacional de medidas para la velocidad lineal es el metro sobre segundo (m/s) . Velocidad significa una unidad de longitud dividida para una unidad de tiempo, en otras palabras es la longitud en una unidad de tiempo.

Existen textos que para indicar la unidad de medida de velocidad la colocan como V = m . s-1.

S ( m )

S2 B α ΔS = ( S2 – S1 ) = m S1 A Δt = ( t2 – t1 ) = ( s ) t ( s)

t1 t2

90


VELOCIDAD LINEAL ( V = m / s )

MOVIMIENTO RECTILÍNEO

UNIFORME UNIFORMEMENTE VARIADO

La unidad fundamental para la velocidad angular en el sistema internaci0onal de medidas el es radian / s ó (Rad) (s -1) y la simbología de la velocidad

angular es “ω“. Velocidad angular significa movimiento curvilíneo.

B

ω = Rad / s

θ = Rad A

VELOCIDAD ANGULAR (ω = Rad / s)

MOVIMIENTO CURVILÍNEOO CIRCULAR

CIRCULAR UNIFORME CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO

91


4.5.2.- Unidades Complementarias de la velocidad lineal.- Existen otras unidades para la velocidad que sin ser fundamentales es necesario convertirlas al Sistema Internacional de medidas, con la finalidad de poder resolver ejercicios prácticos de la Física respecto de la velocidad. Entre ellos podemos mencionar:

TABLA DE CONVERSIÓN DE UNIDADES PARA LA VELOCIDAD

UNIDAD PRINCIPAL EL m / s

1 m / s = 3,281 pie / s = 3,6 pie / s 1 km / h = 2,237 mill h = 1,944 nudos1 km / h = 0,2778 m / s = 0,9113 pie / s = 0,6214 mill / h1 mill / h = 1,467 pie / s = 1,609 km / min = 0, 8689 nudos

4.5.3.- Conversión de Unidades

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJERCICIO N0 01

1.- Convertir 47 km / h a m/s . MÉTODO N0 01

MÉTODO N0 02

EJERCICIO N0 02

CONVERTIR 38,5 km / h a m / s

92


MÉTODO N0 01

MÉTODO N0 02

4. 6.- MEDIDAS DE ACELERACIÓN 4.6.1.- Unidades fundamentales de aceleración lineal y angular.-La unidad fundamental de la aceleración lineal dentro del sistema internacional de medidas es el “ “m/s2 “ . Aceleración lineal significa una velocidad en una unidad de tiempo o también implica una longitud sobre un tiempo en un tiempo.

V ( m / s )

V2 B

A α ΔV = (V2 – V1) = m / s V1 Δt = ( t2 – t1 ) = ( s ) t ( s)

t1 t2

Aceleración lineal implica movimiento rectilineo

Aceleración angular significa movimiento curvilíneo. La unidad fundamental de la aceleración angular es el “Rad/s2“, el símbolo para representar la aceleración angular es la letra griega “Alpha = α = Rad / s2 “

4.6.2.- Unidades Complementarias de aceleración lineal.- Existen otras unidades de medidas que sin ser fundamentales son importantes para la solución de ejercicios físicos, por lo tanto es necesario transformar estas unidades complementarias a la unidad fundamental de la aceleración que es el “m/s2 “.

TABLA DE CONVERSIÓN PARA LA ACELERACIÓN

93


UNIDAD PRINCIPAL EL m / s2

1 m / s2 = 3,28 pie / s2

1 cm / s2 = 0,03281 pie / s2

1 mill / h2 = 1,467 pie / s2

1 km / h2 = 0,000077 m/ s2

1 mill / h2 = 0,00045 km / min2

1 mill / h2 = 1,609 km / h2

4.6.3.- Conversión de Unidades

Ejercicios de aplicación

EJERCICIO N0 01Convertir 300 km / h a m / s2

MÉTODO N0 01

MÉTODO N0 02

4.7.- MEDIDAS DE FUERZA 4.7.1.- unidades Fundamentales.- La unidad fundamental dentro del sistema internacional de medidas de fuerza es el “Newton“, se lo representa con la letra “N“. La fuerza es el resultado de multiplicar la masa con la aceleración . “F = m. a “de la gravedad. El valor de la aceleración de la gravedad en el sistema internacional de medidas están considerados en la tierra con “g= 9,81 m / s2 “. Esta fuerza es equivalente al peso de cualquier cuerpo “F = W “.

Peso significa la fuerza de atracción terrestre que obliga a los cuerpos a dividirse hacía el centro de la tierra.

94


F = W = (m)(g) F = W = (kg) (m/s2) F = W = kg. m/s2 F = W = 1 N

DIFERENCIA ENTRE PESO Y MASAMASA.- Es la cantidad de sustancia que tiene un cuerpo, mientras que:PESO.- Es el resultado de multiplicar la masa por la gravedad.

DIFERENCIA

PESO MASA

W = ( m ) ( g ) cantidad de sustancia de un cuerpo

F = Newton m = kilogramo

4.7.2.- UNIDADES COMPLEMENTARIAS.- Existen otras unidades para que la fuerza que si bien es cierto no son fundamentales, es importante transformarlas a la unidad fundamental que es el Newton para poder resolver ejercicios dentro del campo de la dinámica.

TABLA DE CONVERSIÓN PARA LA FUERZAUNIDAD PRINCIPAL (N)

1 N = 106 Dinas = 0,1020 kg = 0,2248 lib 1 Lib fuerza = 4,448 N = 0,4536 Kg = 32,17 poundals 1 kg f = 9,807 N

4.7.3.- EJERCICIOS DE APLICACIÓN

EJERCICIO N0 01Transformar 89 Newtones a libra

95


2 N --------------- 0,2248 lib ( 1 N ) ( X ) = ( 89 N ) ( 0,2248 Lib ) X = 20,01 lib89N ------------------ X

SI : F = W = ( m ) ( a g ) ; entonces W = ( m ) ( g ) ; luego : m = W / g .Nota : g = 9,81 m / s2 .

Determinar la masa que existe en 89 N :

EJERCICIO N0 02Convertir 89 Newtones a kg f

96


UNIDAD N0 05

5.1.-RESEÑA HISTÓRICA Y UTILIDAD DE LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

5.2.- TRANSFORMACIÓN DE CANTIDADES DECIMALES A NOTACIÓN CIENTÍFICA

5.3.- TRANSFORMACIÓN DE CANTIDADES ENTERAS A NOTACIÓN CINTIFÍCA

5.4.- USO Y MANEJO DE LA CALCULADORA PARA EFECTUAR OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

5. 5.- OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NOTACIÓN CIENTÍFICA 5.5. 1.- Suma aplicando la Notación Científica 5.5. 2.- Reta aplicando Notación Científica 5.5. 3.- Multiplicación aplicando Notación Científica 5.5.4.- División aplicando la Notación Científica 5.5.5.- Potenciación aplicando la Notación Científica 5.5.6.- Radicación aplicando la Notación Científica 5.5.7.- Ejercicios de aplicación combinados

Objetivos a conseguir para la Notación Científica Al finalizar esta unidad los estudiantes de la Unidad Educativa Eloy Alfaro estarán en capacidad de :

97


Identificar las cantidades enteras y decimales de una denotada en Notación científica;

Conocer la estructura y utilización de la Notación Científica ;

Diferenciar los diferentes tipos de Notación Científica ;

Aplicar correctamente las reglas para sumar, restar, multiplicar, dividir y potenciar, aplicando la notación científica.

Prerrequisitos:


FÍSICOS

Definición de Notación Científica;

Aplicación espacial en la recta numérica para la notación científica;

Utilización de la notación científica para mediciones terrestres;

La recta numérica como instrumentos de medición.

MATEMÁTICOS

Operaciones fundamentales: Suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Aplicación correcta de la regla de la Potenciación;

Aplicación correcta de la regla de la radicación.

Manejo correcto de las tablas de multiplicar.

SISTEMA CORRECTIVO


Textos de Laboratorio de Física: Escuela Politécnica Nacional; Escuela Politécnica Del Ejercito; Escuela Politécnica del Chimborazo y, Escuela Politécnica del Litoral, Guía de Laboratorio de Física para escuelas primarias. Colección Colegio Manuela Cañiarez N0 05 de Quito, Herramientas Matemáticas para el estudio de la Física : Por : Ricardo Jara Balbín Manual de Laboratorio de Física Por Lcdo . Hernán Torres.

5.1.- RESEÑA HISTÓRICA Y UTILIZACIÓN DE LA NOTACIÓN CIENTÍFICA

98


La notación científica se creó como punto de apoyo para simplificar cantidades sumamente grandes o pequeñas que en las calculadoras científicas al momento de digitar dichos números, estos no tienen la capacidad de ser leídos tal como se conoce se presentan por cuanto dicha máquina tiene una presentación de hasta nueve dígitos transformándolos automáticamente a notación científica o exponente de base 10.

La notación científica fue creada con la finalidad de poder efectuar operaciones grandes o pequeñas sin la necesidad de utilizar calculadora.

La notación científica consiste en expresar un número en potencia de base 10 por efecto mencionado anteriormente.

Supongamos el caso de que nos mandan a investigar el radio en centímetros que tiene el átomo de hidrógeno y nos damos cuenta que el valor del radio es de 0,000 000 005 cm. Cantidad muy dificultosa de ser leída y percibirla. Si investigamos también el número de átomos que entran en una célula podemos darnos cuenta de que cuyo valor es de 2 000 000 000 000. Cantidad sumamente grande, por eso es necesario la utilización de la notación científica tanto en el estudio de la física, matemática, química, macro y micro biología, como de otras materias a fines en donde encontramos magnitudes muy grandes o excesivamente pequeñas.

La notación científica se ayuda para representar a los números empleando la notación de base 10. Esta escritura es utilizada por las computadoras y la calculadora por medio de la tecla ( Exp ) exponente.

5.2.- TRANSFORMACIÓN DE CANTIDADES DECIMALES A NOTACIÓN CIENTÍFICA O BASE DIEZ

REGLA.- Para t6ransformar un número decimal a notación científica debemos considerar:

1.- Se debe dejar la cantidad con un número entero;

2.- En el momento de correr la coma ( , ) si esta se dirige a la derecha el exponente será Negativo ( 10 – n ) de acuerdo a los espacios que recorra la coma ( , );

3.- Si la coma ( , ) recorre a la izquierda, el exponente será positivo ( 10 + n ) , de Acuerdo a los espacios que recurra la coma ( , ) .

0,000 000 005 cm = 5,0 x 10 – 9 cm

0,000 000 000 000 014 cm = 1,4 x 10 – 14 cm

5.3.- TRANSFORMACIÓN DE CANTIDADES ENTERAS A NOTACIÓN CIENTÍFICA

99


REGLA.- Para transformar un número entero en notación científica o base diez debemos correr la coma hacia la izquierda dejando un solo número entero y el exponente positivo de acuerdo al número de espacios que recorra la coma.

EJEMPLO

1.- Transformar 845 a notación científica

845 = 8,45 x 102

2.- Transformar 1346 a notación científica

1346 = 1,346 x 10 3 = 1,35 x 103

3.- Transformar 843,04 a notación científica

843,54 = 8,4354 x 10 2 = 8,44 x 10 2

5.4.- USO Y MANEJO DE LA CALCULADORA PARA EFECTUAR OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

Para poder realizar operaciones con notación científica, la calculadora debe estar programada de tal forma que en pantalla aparezca la palabra : SD – D – SCI.

Para que en la pantalla asome la palabra SD se debe seguir los siguientes pasos :

MODE SD 2 0,00 → SD

MODE MODE DEG 1 → SD D

MODE MODE MODE SCI 2 = 0 ~ 9 3 → SD D SCI = 0,00 00

5.5.- OPERACIONES CON NOTACIÓN CIENTÍFICA

5.5.1.- ADICIÓN O SUMA APLICANDO LA NOTACIÓN CIENTÍFICA.- Para poder sumar cantidades sumamente grandes o pequeñas debemos considerar que la relación exponencial debe ser común para todos los sumandos.

Una vez que la relación exponencial es común entre todos los sumandos, procedemos a factorar sacando los factores comunes monomios y finalmente reducimos los términos que nos quedan entre paréntesis, siendo esta la respuesta final.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

100


1.- Dada la siguiente expresión determinar el resultado en notación científica y compruebe el resultado aplicando la calculadora con su respectiva programación.

45,89 x 10 –4 + 5,26 x 10 –4 = 10 –4 ( 45,89 + 5,26 ) = 10 –4 ( 51,15 ) = 51,15 x 10 –4 = 5,115 x 101 x 10 –4

= 5,115 x 10 –3 = 5,12 x 10 –3

2.- Dada la siguiente suma expresar su resultado en notación científica

34,89 x 10 8 + 0,004 x 10 8 = 10 8 ( 34,89 + 0,004 ) = 10 8 ( 34,894 ) = 34,894 x 10 8

= 3,4894 x 10 1 x 10 8 = 3,4894 x 10 8

NOTA : Cuando la relación exponencial no es común para todos los sumandos, procedemos a provocar que sean comunes moviendo la coma bien sea a la derecha o hacía la izquierda, considerando el signo de hacia donde se mueve.

3.- Dada la siguiente expresión determinar el resultado aplicando notación científica y luego compruebe el resultado con la calculadora.

0,000 006 x 10 –1 + 0,000 08 x 10 4 = 0,000 006 x 10 –1 + 8 x 10-5 x 10 4

= 0,000 006 x 10 –1 + 8 x 10 –1

= 10 –1 ( 0,000 006 + 8 ) = 8,000 006 x 10 –1

= 8 x 10 –1 .4.- Realice la siguiente resta aplicando notación científica y compruebe el resultado con la calculadora.

4,23 x 10 –4 – 1,5 x 10 –3 = 0,423 x 10 1 x 10 –4 – 4,3 x 10 –3

= 0,423 x 10 – 3 – 4,3 x 10 –3 = 10 –3 ( 0,423 – 1,3 ) = 10 –3 ( - 0,87 ) = - 0,87 x 10 –3 .

5.5.2.- MULTIPLICACIÓN APLICANDO NOTACIÓN CIENTÍFICAREGLA : Para efectuar la multiplicación aplicando notación científica debemos

transformar a dichos factores en números enteros considerando en la parte exponencial la propiedad de la potenciación que nos dice: Cuando las bases son iguales, se coloca la misma base y se suman los exponentes.

EJERCICIO DE APLICACIÓN

101


1.- Multiplicar aplicando notación científica y comprobar el resultado con la calculadora.

4,23 x 10 –4 x 1,3 x 10 –3 = 423 x 10 –2 x 10-4 x 13 x 10 –1 x 10 –3

= 423 x 13 x 10 –2 –4 –1 –3 = 5499 x 10 –10 = 5,499 x 10 3 x 10 –10 = 5,50 x 10 –7

5.5.3.- DIVISIÓN APLICANDO NOTACIÓN CIENTÍFICAREGLA:

Al igual que en la multiplicación tanto en el dividendo como en el divisor debemos transformar a los decimales en números enteros tratando que el dividendo sea mayor que el divisor y considerando la propiedad de la potenciación en la división que dice: Cuando las bases son iguales, se debe colocar la misma base y restar los exponentes.

EJERCICIO DE APLICACIÓN 1.- Dividir aplicando notación científica

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- ESCRIBIR LOS SIGUIENTES NUMEROS EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

1.1) 84 000 =1.2) 0,000 000 074 =1.3) 0,000 003 =1.4) 9 800 000 =1.5) 0,000 057 =1.6) 940 000 =1.7) 0,000 005 =1.8) 873,4 =1.9) 3 478 =1.10) 45,35 X 104 =1.11) 37,98 X 10 –3 =1.12) 5 678,67 X 103 =1.13) 0,0056 X 10 –2 =1.14) 78 780 000 000 000 =1.15) 0,000 000 000 000 067 =1.16) 458 900 000 000 000 =1.17)1.18)

2.- DADAS LAS SIGUIENMTES EXPRESIONES EXPRESAR EL RESULTADO EN NOTACIÓN CIENTÍFICA

102


2.1) 45,89 x 10 –4 + 5,25 x 10-4 = 2.2) 34,89 x 10 8 + 0,004 x 108 = 2.3) 0,0 000 006 + 0,00 008 x 104 =

2.4)

2.5)

2.6)

2.7)

2.8)

2.9)

3.- EFECTUAR LAS SIGUIENTES SUMAS APLICANDO NOTACIÓN CIENTÍFICA

3.1) ( 14,65 X 10-5 ) + ( 12,07 X 10 –6 = )3.2) ( 8,31 X 106 ) + ( 5,43 X 105 ) =3.3) ( 5,6 X 105 ) + ( 3,7 X 106 ) =3.4) ( 1,46 X 10-5 ) + ( 7,2 X 10-4 ) =3.5) ( 7,34 X 105 ) + ( 3,16 X 104 = =3.6) ( 8,25 X 106 ) + ( 4,16 X 105 ) =

4.- EFECTUAR LAS SIGUIENTES RESTAS APLICANDO NOTACIÓN CIENTÍFICA

4.1) ( 8,85 X 105 ) – ( 2,7 X 104 ) =4.2) ( 8,3 X 10 –7 ) – ( 15,3 X 10-8 ) =4.3) ( 8,36 X 10 –3 ) – ( 2,54 X 10 –4 ) =

5.- EFECTUAR LAS SIGUIENTES MULTIPLICACIONES APLICANDO NOTACIÓN CIENTÍFICA

5.1) ( 7,24 X 10 –9 ) ( 4,6 X 104 )5.2) ( 7,32 X 107 ) ( 3,06 X 104 ) ( 1,5 X 10-5 ) =5.3) ( 6,3 X 108 ) ( 43,8 X 105 ) =5.4) ( 7,9 X 10-9 ) ( 8,3 X 10-6 ) =5.5) ( 5,3 X 104 ) ( 7,3 X 10-8 ) ( 2,4 X 10-6 ) =5.6) ( 4,24 X 10-7 ) ( 9,3 X 10-2 ) =5.7) ( 6,32 X 102 ) ( 6,45 X 105 ) ( 7,3 X 108 ) =

6.- EFECTUAR LAS SIGUIENTES DIVISIONES APLICANDO NOTACIÓN CIENTÍFICA

103


7.- REALICE LAS SIGUIENTES OPERACIONES E IDENTIFIQUE LAS RESPUESTAS

7.1. 2 X 10 –6 X 4 X 10-2 = a) 8 x 1012 b) 8 x 10-8 c) 8 x 108 d) 8 x 10-12

e) Ninguna de las respuestas anteriores

7.2. a) 4 x 10 –7 b) 4 x 10 1 c) 4 x 107 d) 4 x 10 –

12


7.3. ( 2 x 10 –5 )2 = a) 4 x 10-5 b) 4 x 10 –25 c) 4 x 1025 d) 4 x 10 –10


7.4. a) 4 x 10-3 b) 8 x 10-3 c) 4 x 10-6 d) 8 x 10-6


7.5. 3 x 10-3 + 8 x 10-3 = a) 11 x 10-6 b) 11 x 106 c) 11 x 109 d) 11 x 10-3


104


UNIDAD N0 06

6.1.- DEFINICION DE FORMULAS 6.2.- DEFINICIÓN DE PARÁMETRO 6.3.- INDICACIONES GENERALES PARA DESPEJAR PARÁMETROS DE UNA FORMULA. 6.4.- TRADUCCIÓN DE UNA FORMULA AL LENGUAJE VULGAR. 6.5.- EXPRESAR POR MEDIO DE SÍMBOLOS UNA LEY MATEMÁTICA O FÍSICA OBTENIDO COMO RESULTADO DE UNA INVESTIGACIÓN. 6.6.- DESPEJE DE PARÁMETROS GEOMÉTRICOS Y ALGEBRAICOS . 6.7.- DESPEJE DE PARÁMETROS FÍSICOS 6.8.- EMPLEO DE FORMULAS EN CASOS PRÁCTICOS

105


Objetivos a conseguir para el despeje de formulas Al finalizar esta unidad los estudiantes estarán en capacidad de:

Identificar el parámetro que desea despejar;

Conocer la estructura y utilización de la transposición de términos;

Diferenciar los diferentes tipos de despeje de formulas;

Aplicar correctamente las reglas para despejar parámetros cinemáticos.

Prerrequisitos:


FÍSICOS

Definición de transposición de términos;

Aplicación espacial de la formula de la ecuación cuadrática para despeje de el tiempo;

Utilización adecuada de la ecuación cuadrática;

Dominio de la formula general de segundo grado.

MATEMÁTICOS

Deducción correcta de la ecuación de segundo grado o cuadrática.

Aplicación correcta de la ecuación cuadrática tanto en álgebra como en física;

Aplicación correcta de la regla para trasportar parámetros de un miembro otro.

SISTEMA CORRECTIVO


Textos de Laboratorio de Física: Escuela Politécnica Nacional; Escuela Politécnica Del Ejército; Escuela Politécnica del Chimborazo y, Escuela Politécnica del Litoral, Guía de Laboratorio de Física para escuelas primarias. Colección Colegio Manuela Cañiarez N0 05 de Quito, Herramientas Matemáticas para el estudio de la Física: Por : Ricardo Jara Balbín Manual de Laboratorio de Física Por Lcdo. Hernán Torres.

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6.1.- DEFINICIÓN DE FORMULAS.- Formula es la expresión de una ley o de un principio general por medio de símbolos o letras.

La formula es el resultado final de todo experimento o fenómeno que haya ocurrido en la naturaleza tanto en el mundo microscópico como macroscópico. Existen formulas de carácter geométrico que nos sirve para calcular ciertos parámetros y el comportamiento de los mismos dentro de cualquier figura geométrica como: rectángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, circunferencias y prismas como las pirámides.

A todas estas figuras geométricas le podemos calcular la longitud de sus lados, áreas, perímetros, etc. Existen también formulas de carácter estadístico que son aplicables para el estudio de aspecto sociológico como son: El análisis de un censo profesional, análisis de un escrutinio presidencial, impacto ambiental, etc.

Existen también formulas de carácter netamente algebraico donde su análisis consiste en determinar los procesos de deducción y comportamiento de ciertas leyes que son: Directa o inversamente proporcionales.

6.2.- DEFINICIÓN DE PARÁMETROS.- Se denomina parámetro a la variable mediante la cual puede expresarse otras variables.

También se denomina parámetro a cierta constante arbitraria que con su valor particular caracteriza a cada uno de los miembros como un sistema de expresiones; cualquier expresión sirve para determinar un punto, línea o figura.

Otras de las definiciones de parámetros es:a) Cualquier expresión que sirve para determinar un punto, línea o figura;b) Variable a través de cuyas funciones pueden expresarse otras variables;c) Constante arbitraria que con sus valores particulares caracteriza a los miembros de

un sistema de expresiones.

En el campo de la física tenemos parámetros de carácter cinemáticos como: El cambio de posición o desplazamiento, la velocidad o rapidez en el transcurso de una unidad de tiempo, la aceleración y el tiempo mismo.

Cambio de posición “S “ Parámetros Velocidad “V “ Cinemáticos Aceleración “a “ Tiempo “t“

También existen parámetros de carácter dinámico que son simplemente los parámetros cinemáticos incluida la fuerza y la masa.

Cambio de posición “S “ Parámetros Velocidad “V“ Dinámicos Aceleración “a “ Tiempo “t“

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Fuerza “F“ masa “m“

Existen otros parámetros como los hidrodinámicos que sirven para el estudio de la mecánica de fluidos tanto en reposo como en movimiento, parámetros para determinar la temperatura, dilatación de los gases, calorimetría, óptica, potencial eléctrico, campo eléctrico, inducción electromotriz y energía nuclear.

6.3.- INDICACIONES GENERALES PARA DESPEJAR PARÁMETROSUna fórmula bien sea de carácter matemático, químico, aritmético y físico, sin

simplemente ecuaciones matemáticas compuestas por dos miembros separados de una igualdad. Implica entonces que al momento de despejar uno delos parámetros, simplemente debemos recordar las reglas propuestas para resolver ecuaciones con una incógnita o ecuaciones cuadráticas.

6.3.1.- REGLA PARA DESPEJAR PARÁMETROS EN ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Para despejar cualquiera de los parámetros que nos indiquen, debemos considerar los siguientes aspectos:

6.3.1.1.- Todo parámetro que este sumando, al momento de pasar de un miembro a otro va con signo contrario; es decir, pasa a restar.

6.3.1.2.- El parámetro que este restando pasa al otro miembro con signo positivo, es decir pasa a sumar.

6.3.1.3.- El parámetro que este multiplicando pasa al otro miembro a dividir.

6.3.1.4.- Los exponentes pasan de un miembro a otro en forma de raíz, es decir si el exponente es dos, pasa en forma de raíz cuadrada, si es tres, pasa en forma de raíz cúbica y así sucesivamente.

6.4.- TRADUCCIÓN DE UNA FORMULA DADA AL LENGUAJE VULGAR

Para traducir una formula al lenguaje vulgar, o sea, para dar la regla contenida en una formula, basta sustituir las letras por las magnitudes que ellas representan y expresar las relaci0ones que nos indican.

EJEMPLOS

1) Dar la regla contenida a la formula . Si sabemos que :

A : área del trapecio; B : base mayor del trapecio; b b : base menor del trapecio;h : altura del trapecio. h

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B

SOLUCIÓN

El área del trapecio es igual a la suma de la base mayor con la base menor dividida para dos y multiplicada por su altura.

2) Traducir al lenguaje vulgar la formula . Si sabemos que

A : área del triángulo. b : base del triángulo. h : altura del triángulo h

b

SOLUCION

El área del triángulo es igual al producto de la base por la altura dividida para dos

3.- Dar la regla correspondiente a la formula S = v . t .si sabemos que : S: Distancia o cambio de posición de un móvil desde un punto hacía otro; V : Velocidad de un móvil ; t : tiempo

Posición A Posición B

A SAB B

SOLUCIÓNLa distancia o cambio de posición de un móvil desde un punto “A “hacía un punto “B“ es igual al producto de la velocidad de dicho móvil por el tiempo que se demora en desplazarse.

6.5.- EXPRESAR POR MEDIO DE SÍMBOLOS UNA LEY MATEMÁTICA O FÍSICA OBTENIDA COMO RESULTADO DE UNA INVESTIGACIÓN

Cuando por la investigación se ha obtenido una ley matemática o física, para expresarla por medio de símbolos, o sea para escribir su formula, generalmente se designan las variables o las iniciales de sus nombres y se escriben con ellas una expresión en la que aparezcan las relaciones observadas entre las variables.

EJEMPLOS

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1.- Escriba La formula que exprese que la altura de un triángulo es igual al doble de su área dividida para la base de dicho triángulo.

C

h : altura A: Área

A B b: base2.- Designando las variables por la inicial de su nombre. Escriba la fórmula que exprese: La suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

B

A: Cateto c: Hipotenusa

C A b: Cateto

6.6.- DESPEJE DE PARÁMETROS GEOMÉTRICOS Para poder despejar formulas de carácter geométrico debemos considerar:

1) Todo parámetro que este sumando, restando, multiplicando o dividiendo pasa de un miembro a otro con el signo contrario. Es decir, lo que este sumando pasa a restar y viceversa, lo que este multiplicando pasa a dividir y viceversa.

2) Los exponentes pasan de un miembro a otro en forma de raíz.

EJEMPLOS

1.- De la ecuación . Despejar el parámetro B = base mayor.

SOLUCIÓN

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SOLUCIÓN

Ecuación geométrica para determinar la altura de un triángulo

SOLUCIÓN

TEOREMA DE PITÁGORAS

Ecuación geométrica para determinar la longitud de la base mayor.B = f ( A, b, h ) La altura del trapecio es un valor conocido La base menor es un valor conocido El área es un valor conocido La base mayor es un valor desconocido b : base menor

A: Área

h : altura

B : Base mayor


3) De la misma formula para calcular el área del trapecio, despeje la base menor.

SOLUCIÓN

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Ecuación geométrica para determinar la longitud de la base mayor.b = f ( A, B, h ) La altura del trapecio es un valor conocido La base mayor es un valor conocido El área es un valor conocido La base menor es un valor desconocido b : base menor

A: Área

h : altura

B : Base mayor


UNIDAD N0 07

7.1. DEFINICION DE FUNCIONES 7.2.- VARIABLES Y CONSTANTES DE UNA RELACION FUNCIONAL 7.3.- MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES. 7.4.- MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES. 7.5.- FORMA DE EXPRESAR UNA FUNCION POR MEDIO DE UNA ECUACION MATEMATICA. 7.6.- EJERCICIOS DE APLICACIÓN

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Por lo general, la mayoría de los problemas científicos se presentan tanto en Aritmética, Álgebra, Geometría, Química y Física guardan una estrecha relación con cantidades y variables, de tal manera que cuando la una varía, la otra también lo hace.

En la misma vida práctica nos encontramos constantemente con magnitudes que dependen de otras, es decir, la una está en función de la otra. Así, por ejemplo. La distancia que pueda recorrer un atleta depende del tiempo que se demore, en otras palabras, la distancia está en función del tiempo.

Así también, el área de un rectángulo, depende de la base y la altura que tenga el mismo, es decir el área de un rectángulo está en función de su base y altura.

De esta manera definimos a la función como: “ LA RELACION MUTUA DE DOS VARIABLES, DEL MODO QUE SI LA UNA OBTIENE UN VALOR, LA OTRA VARIABLE QUEDA DETERMINADA, POR LO TANTO DECIMOS QUE LA UNA VARIABLE ESTA EN FUNCION DE LA OTRA “.

La representación de una relación funcional es :

X = f (Y) se lee “ X esta en función de Y “

Tal como lo define el matemático Francés AGUSTIN GAUCHY: X es función de Y. También se puede decir “Y en función de X” , que se lo interpreta como que a cada valor de la variable “Y” le corresponde el valor que se le de a la variable “X”.

Así entonces en los ejemplos anteriores podemos decirt que :

S = f (t) “El desplazamiento está en función del tiempo”.A = f (b,h) “El área del rectángulo está en función de la base y la altura “.

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VARIABLES Y CONSTANTES DE UNA RELACION FUNCIONAL

VARIABLE DEPENDIENTE O FUNCION

Es aquella variable donde el valor queda fijado cuando se le ha asignado algún valor a la segunda variable, es decir a la independiente.

VARIABLE INDEPENDIENTE

Es aquella variable que dentro de los límites del problema particular, nosotros podemos asignarle valores a voluntad.

CANTIDAD CONSTANTE

Es aquel valor que permanece intacto cuando se le ha asignado valores a nuestra voluntad a la variable independiente para saber el verdadero valor que va tomando la variable dependiente. A la constante se la representa con una “C” o una “K”.

MAGNITUDES DIRECTA E INVERSAMENTE PROPORCIONAL

MAGNITUD DIRECTAMENTE PROPORCIONAL

Se dice que una magnitud es directamente proporcional a otra, cuando una de las variables está expresada como factor o producto de la constante de proporcionalidad, es decir encuadra la forma:

Y = CX POR LO TANTO SE DICE QUE REFERENCIAS “Y” es directamente proporcional a “X” Y: VARIABLE DEPENDIENTE C: CANTIDAD CONSTANTE X: VARIABLE INDEPENDIENTE

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MAGNITUD INVERSAMENTE PROPORCIONAL

Se dice que una magnitud es inversamente proporcional a otra, cuando una de las variables está expresada como divisor de la constante de proporcionalidad, es decir encuadra a la forma:

Y = C /X REFERENCIAS

Y: VARIABLE DEPENDIENTE POR LO TANTO SE DICE C: CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD “Y” es inversamente proporcional a “x”

X: VARIABLE INDEPENDIENTE

NOTA

En una misma función pueden existir magnitudes, de tal manera que la una sea directamente proporcional y la otra inversamente proporcional

EJEMPLO N0 01 DECIMOS QUE: V = S / t VELOCIDAD “La velocidad (V) es directamente proporcional a la distancia” DISTANCIA “La velocidad (V) es inversamente proporcional al tiempo” TIEMPO

La ecuación V = S / t ; Encuadra el modelo matemático X = c( y /z ), donde podemos decir que “X” es directamente proporcional a “Y” e inversamente proporcional a “Z”.

EJEMPLO Nº 02“X” es directamente proporcional a “Y” y X = 10, cuando Y = 2. Hallar “X” cuando Y = 6 INTERPRETACIONa) “X” es directamente proporcional a “Y”; X = CY, o sea “Y” multiplicado por la Constante.b) X =10 ; Y = 2c) Con estos valores encontramos la constante, reemplazándolos en la ecuación X=CY.

X = CY 10=(C)(2) despejando la constante “C” C = 10/ 2; C = 5 valor de la constante

d)Ahora nos pide encontrar el valor de “X” cuando Y = 6.DATOS INCOGNITA ECUACIONY = 6 X = ? X = (C)(Y)

REEMPLAZANDO LOS VALORES EN LA ECUACION:X = (C)(Y) ; X = (5)(6) ; X = 30. Entonces X =30 cuando Y = 6.

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EJEMPLO N º 03

“X” es directamente proporcional a “Y” e “Z”. X =24 cuando Y = 3 y Z = 4. Hallar “Y” sí X = 40 y Z = 5.INTERPRETACION

a) “X” es directamente proporcional a “Y” e “Z”.

X = (C) (Y)(Z) o sea que “Y” e “Z” multiplicado por la constante.

b) DATOSX = 24Y = 3

Z = 4

c) Con estos valores encontramos la constante reemplazándolos y despejándolos en la ecuación X = (c )(y) (Z).

d) Ahora nos pide encontrar el valor de “Y” cuando X = 40 y Z = 5. DATOS INCOGNITAS ECUACION X = 40 Y =? X = (C )(Y)(Z) Z = 5 C = 2

Reemplazando los valores en la ecuación y despejando “Y”.

X = (C )(Y)(Z) ; 40 = (2)(Y)(5) Y = 40/10 Y = 4.

Y = 4 Valor de “Y”.

Entonces Y = 4 cuando X = 40 y Z = 5

EJEMPLO Nº 04

“A” es inversamente proporcional a “B” y A = 30 cuando B = 10. Determinar la magnitud de “A” cuando B = 15.INTERPRETACION “A” es inversamente proporcional a “B”.

A = C / B

a) A = 3B = 10

b)Con estos valores determinamos la constante “C”, reemplazando en la ecuación:

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A = C / B 3 = C / 10 ; C = (3)(10) ; C = 30 valor de la constante.

c) Ahora nos piden encontrar la magnitud de “A” cuando B = 15. DATOS INCOGNITA ECUACION

B = 15 A = ? A = C / B C = 30 Reemplazando los valores en la ecuación:

A = C / B ; A =30 /15 ; A = 2

Entonces A = 2 cuando B =15.

EJEMPLO N0 05

“X” es directamente proporcional a “y” e inversamente proporcional a “z”. Si X = 6 , Y = 2 y Z = 3. Determinar la magnitud de “X” cuando Y = 4 y Z = 6.INTERPRETACIONa) “X” es directamente proporcional a “Y” e inversamente proporcional a “Z”. “Y” e “Z” son magnitudes que se relacionan directa e inversamente

X= (C )(Y) /Z proporcional con relación a “X”. “C” es la constante de proporcionalidad.

b) X = 6Y = 2Z = 3

c) Con estos valores, determinamos la constante, reemplazando en la ecuación:

X = (C )(Y) / (Z). 6 = (C) (2)/3 ; 2C = (6)(3); 2C=18 ; C = 9

C = 9 VALOR DE LA CONSTANTE

d) Ahora nos piden determinar la magnitud de “X” cuando Y = 4 y Z = 6.DATOS INCOGNITAS ECUACIONY = 4 X = ? X = (C )(Y) / Z

Z = 6 C = 9

Reemplazando los valores en la ecuación.

X = (9)(4) / 6 ; X = 36 / 6 ; X = 6

Entonces X = 6 cuando Y = 4 y Z = 6.

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EJERCICIO PROPUESTOS N0 01

1.- “A” es directamente proporcional a “B” y A =14 cuando B = 7. Hallar la magnitud de “A” cuando B = 3. RESPUESTA: A = 6.2.- “m” es directamente proporcional a “n” y m = 12 cuando n = 4. Hallar la magnitud de “n” sí m = 15. RESPUESTA: n = 5.3.- “X” es directamente proporcional a “Y”; y X = 108 cuando Y = 12, determinar la magnitud de “X” cuando Y = 4. RESPUESTA: X = 36.4.- “S” es directamente proporcional a “t” y S = 24m cuando t = 3s. Determinar la magnitud de “S” cuando t = 6s. RESPUESTA: S = 48 m.5.- La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo es directamente proporcional a su aceleración y F = 16 Newtones cuando a = 2m/s2. RESPUESTA: F = 72N.6.- Para el movimiento rectilíneo uniformemente variado el desplazamiento o cambio de posición es directamente proporcional al cuadrado del tiempo, y S = 18m cuando t = 3s. Determinar el desplazamiento “S” cuando t = 4s. RESPUESTA: S = 32m7.- “X” es directamente proporcional a “Y” e “Z”; X =30 cuando Y =5 e Z =2. Hallar “X” si Z =4 e Y = 5. RESPUESTA: X = 608.- “P” es directamente proporcional a “q” y “r”; p =21 cuando q =1 y r =9. Determinar la magnitud de “p” si q =3 y r = 12. RESPUESTA: P = 252.9.- “x” es directamente proporcional a “Y” e “Z”; X = 36 cuando Y =4 e Z = 6. Determinar la magnitud de “Y” si X = 5 y Z = 5. RESPUESTA: Y = 2/3.10.- El área de un triángulo es directamente proporcional a la base y su altura; si el área es de 9cm2 y su base de 3cm, como su altura de 6cm. Determinar el área si su base es de 7cm y su altura de 9cm . RESPUESTA: A = 31,5 cm2. 11.- El área de un cuadrado es directamente proporcional al cuadrado de su diagonal; si el área es de 32cm2 cuando la diagonal mide 8cm. Determinar el área cuando la diagonal mide 10cm. RESPUESTA: A = 50cm2. 12.- El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio. Si el área de un círculo es de 78,53 cm2 cuando el radio vale 5cm. Determine el área si el radio vale 6cm. RESPUESTA: A = 113,08 cm2.13.- “A” es inversamente proporcional a “B” y A =15 cuando B = 3. Determinar el valor de “A” cuando B = 30. RESPUESTA: A = 3/2.14.- “X” es inversamente proporcional a “Y” y X =2 cuando Y = 8. Determinar la magnitud de “Y” si X = 4. RESPUESTA: Y = 4.

15.- “P” es inversamente proporcional a “q” y P = 25 cuando q = 5. Determinar la magnitud de P si q = 20. RESPUESTA: 25/4. 16.- “m” es inversamente proporcional al cuadrado de “n”. Si m = 4 cuando n = 3. Determinar la magnitud de “m” si n = 6. RESPUESTA: m = 1.17.- “A” es inversamente proporcional al cuadrado de “B”. Si A = 4 cuando B = 3. Determinar la magnitud de B si A = 9. RESP: B = 2. 18.- “Y” es inversamente proporcional a X2 – 1; si Y =12 cuando X =2, determinar el valor de “Y” si X =3. RESP: Y = 9/2.19.- “X” es inversamente proporcional a Y2 – 3; si X =1/44 cuando Y =5. Hallar X si Y = 2. RESP: x = 1/2.20.- “X” es directamente proporcional a “Y” e inversamente proporcional a “Z”; si X = 5 cuando Y =10 y Z = 2. Determinar la magnitud de “X” si Y =20 y Z = 5. RESP: X = 4.21.- “p” es directamente proporcional a “q” e inversamente proporcional a “r”; si P =5 cuando q =15 y r = 6. Determinar la magnitud de “r” si P =3 y q = 6. RESP: r = 4.

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FORMA DE EXPRESAR UNA FUNCION POR MEDIO DE UNA FORMULA O ECUACION MATEMATICA

NOTA: Considerar las definiciones de variable dependiente o función; variable independiente y la constante de proporcionalidad.

EJEMPLO N0 01

Determine la formula correspondiente a una función, si sabemos que para cada valor de la variable independiente le corresponde un valor de la función , equivalente al doble del valor de la variable independiente aumentado en 7.

Siendo “Y” la función y “X” la variable independiente; diríamos que:

Y= f(X) Variable independiente Constante de proporcionalidad Variable independiente

INTERPRETACION FORMULA Y = f(X)Para cada valor de la variable independienteLe corresponde un valor de la función equivalente Y = 2X + 7Al doble del valor de la variable independiente,Aumentado en siete.

EJEMPLO Nº 02

“m” es inversamente proporcional al cubo de “n”; Si m=4 cuando n=2. Determinar la formula de “m” en función de “n”.PLANTEO: Nos dicen que “m” es inversamente proporcional a “n”, interpretándolo nos quedaría:

M = c /n3

DATOS INCOGNITA DETERMINACION DE LA INCOGNITA M = 4 c = ? m = c /n3 ; 4 = c / (2)3 ; C = 32 4 = c / 8 C = (4)(8)

Ya hemos determinado el valor de la constante, es decir C = 32; como nos dicen: m = f (1/n3), entonces interpretándolo en formula nos queda: m = 32/n3.

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EJEMPLO N0 03 El área de un rombo es directamente proporcional al producto de sus diagonales. Determine la formula del área de un rombo en función de sus diagonales, si sabemos que la diagonal mayor mide 15 cm y la diagonal menor 6cm, como su área de 45 cm2.

DATOS INCOGNITAS FORMA DE EXPRESARDiagonal mayor: D =15cm ; Constante de proporcionalidad LA FUNCIONDiagonal menor: d = 6cm ; C = ? A = C D dÁrea del Rombo : A =45 cm2;

SOLUCION

A = C. D . d ; despejando “C” y reemplazando datos, obtenemos:

C = A / ( C )(d) ; C = 45 / (15)(6) ; C = 45 / 90 ; C = ½. Valor de la constanteReemplazando el valor de la constante en la interpretación de función obtenemos:

A = ( ½) (D ) (d) FORMULA PARA CALCULAR AREAS DE ROMBOS

EJEMPLO N0 04 En el movimiento de caída libre, el espacio que recorre un cuerpo desde cierta altura es directamente proporcional al cuadrado del tiempo que tarda en caer. Determine la formula del espacio en función del tiempo, si sabemos que un cuerpo que cae desde una altura de 122,5 metros emplea 5 segundos en caer.

INTERPRETACION DE FUNCION:El espacio que recorre un cuerpo es directamente S = f(t) h =Ct2

Proporcional al cuadrado del tiempo: DATOS INCOGNITA DESPEJANDO “C” DE LA FUNCION Y REEMPLAZANDO h = 122,5m c =? C = h / t2 ; C= 122,5 / (5)2 ; C = 4,9 t = 5s. h = 4,9 t2 FORMULA

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EJEMPLO N0 05 Sea M y m, las respectivas masas de dos cuerpos y “d” la distancia entre ellos;

si decimos que la fuerza “F” es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia, escriba la formula de la fuerza en función de sus masas y la distancia..

DATOS Masa del cuerpo mayor: M Masa del cuerpo menor: m fuerza de atracción en función de M, m, d Distancia entre M y m: d Fuerza de atracción: F F = f (M, m, d)

SOLUCIONLuego nos dicen que:La fuerza es directamente proporcional al producto de sus masasE inversamente proporcional al cuadrado de sus distancias.

F= C (M) (m) / d2

EJERCICIOS PROPUESTOS N0 O2

Determine la formula correspondiente a las siguientes funciones que obedecen a ciertas leyes.1.- Determine la formula correspondiente a una función; si se sabe que para cada valor de la variable independiente le corresponde un valor de la función, equivalente al doble del valor de la variable independiente aumentado en seis. RESP: Y = 2X + 6.2.- Determine la formula correspondiente a una función, si sabemos que para cada valor de la variable independiente le corresponde un valor de la función, equivalente al triple del valor de la variable independiente disminuido en cuatro.3.- “X” es inversamente proporcional al cubo de “Y”. Si X =2 cuando Y =3. Determinar la formula de “X” en función de “Y”. RESP: X = 54 / y3.4.- “X” es inversamente proporcional al cubo de “Y”; si X = 1/4, cuando Y = 2. Determinar la formula de “X” en función de “Y”. 5.- “Y” es inversamente proporcional al cuadrado de “X”; si Y = 6 cuando X = 1; determine la formula de “Y” en función de “X”. RESP: Y = 6/X2.6.- “X” es inversamente proporcional a “Y”; si X = 1/3 cuando Y = 12, determinar la formula de “X” en función de “Y”.7.- “m” es inversamente proporcional a “n”; si m = 1/2 cuando n = 10. Determine la formula m = f (n).8.- El área de un rombo es directamente proporcional al producto de sus diagonales. Determine la formula del área de un rombo en función de sus diagonales; si sabemos miden respectivamente 12 y 7 cm, como su área 42cm2. 9.- El área de un trapecio es directamente proporcional al producto de la suma de sus bases por la altura; si el área es de 40cm2 y sus bases son de 6 y 4 centímetros respectivamente, como su altura de 8 centímetros. Determine la formula para el cálculo del área de un trapecio en función de sus bases y altura. RESP: A = ½ (B + b) h.10.- El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio; si el área de un círculo mide 78,53cm2, cuando el radio vale 5cm. Determine la formula del área de un círculo en función del radio.11.- La longitud “L” de una circunferencia es directamente proporcional al radio “R”; una circunferencia cuyo radio es de 15 cm, tiene una longitud de 94,24 cm. Determine la formula que exprese la longitud de la circunferencia en función del radio.12.- “X” es directamente proporcional a “Y” e inversamente proporcional a “Z”. Si la constante de proporcionalidad vale 8. Escribir la formula de “X” en función de “y” e “Z”. RESP: X = 8Y /Z.13.- R es directamente proporcional a “q” e inversamente proporcional a “r”. Cuando q = 4 ; r =2 y

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p =38. Determine la formula de “p” en función de q y r.

14.- La energía cinética de un cuerpo “Ec” es directamente proporcional al producto de su masa por el cuadrado de su velocidad; si un cuerpo cuya masa “m” es de 6 kg y su velocidad de 4 m /s y una energía cinética de 48 julios. Determinar la formula de la energía en función de la masa y la velocidad. NOTA: Cuando la masa está expresada en kilogramos y la velocidad en m/ s. La Ec = 1 julio.

15.- JOKNN KEPLER Astrónomo de Praga, formuló tres leyes para el movimiento planetario; una de ellas nos dice que “LOS CUADRADOS DE LOS PERIODOS DE REVOLUCION (T) SON PROPORCIONALES A LOS CUBOS DE SUS DISTANCIAS MEDIAS AL SOL (D) “. Si “C” es la constante de proporcionalidad para todos los planetas que giran alrededor del sol. Exprese la ley matemáticamente. RESP: T2 =CD3.16.- En el movimiento circular uniforme. Sean “V” la velocidad lineal, “W” la velocidad angular y “R” el radio. Escriba la formula para calcular la magnitud de la velocidad lineal en función de la velocidad angular y el radio, si decimos que: “LA MAGNITUD DE LA VELOCIDAD LINEAL ES PROPORCIONAL A LA VELOCIDAD ANGULAR Y EL RADIO” C =1.17.- Un péndulo cuya longitud “L” es de 6 metros, determina un periodo (T) de oscilación de 4,91 segundos en un lugar de la tierra donde la gravedad “g” es de 9,81 m / s2. Determine la formula para el cálculo del periodo “T” en función de la longitud “L” y la gravedad “g”, si decimos que: “EL PERIODO DE UN PENDULO SIMPLE ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA RAIZ CUADRADA DE SU LONGITUD E INVERSAMENTE PROPORCIONAL A LA RAIZ CUADRADA DE SU ACELERACION DE LA GRAVEDAD”. RESP: T = 24g18.- Escribir la formula que corresponde a la siguiente ley: “X” es directamente proporcional al cubo de “Y” e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de “Z”. RESP: X= CY3 / Z. .19.- Escribir la formula que corresponde a la siguiente ley: “U” es directamente proporcional a la raíz cúbica de “V” e inversamente proporcional al cuadrado de “r”. 20.- Escribir la formula que corresponde a la siguiente ley: “O” es directamente proporcional a la raíz cuadrada de “p” e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de “q”. RESP: 0 = c P/Q.

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8.1.- DEFINICION 8.2.- PAR ORDENADO 8.3.- CUADRANTE DE UN SISTEMA CARTESIANO 8.4.- PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR E INTERPRETAR DIAGRAMAS 8.5.- LA RELACION LINEAL 8.6.- CASOS PARTICULARES DE LA RELACION LINEAL 8.7.- REPRESENTACION GRAFICA DE LA RELACION LINEAL 8.8.- PRINCIPALES TIPOS DE DIAGRAMAS CURVOS 8.9.- REPRESENTACION GRAFICA DE DIAGRAMAS CURVOS 8.10.- EJERCICIOS DE APLICACION

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DEFINICION

Un diagrama es simplemente un dibujo que sirve para resolver un problema o interpretar algo.

Por lo general la representación de un diagrama está expresado en un sistema de ejes coordenados compuesto por dos ejes, uno horizontal denominado ABSCISA o eje de las X y uno vertical denominado ORDENADA o eje de las “Y”.

En conclusión un sistema de ejes cartesiano son simplemente dos rectas numéricas que se intersecan perpendicularmente en un punto central denominado cero ; de ahí se origina un primer par ordenado. El (0,0), donde “0” el elemento de la abscisa o eje horizontal y “0” elemento de la ordenada o eje vertical.

DEFINICION DE PAR ORDENADO

Se define a un par ordenado como el punto representado en un espacio bidimensional determinado por una primera componente perteneciente al eje horizontal o Abscisa “X” y una segunda componente perteneciente al eje vertical u Ordenada “Y”.

Sea el par ordenado:

B = ( - 5 , 7) Segunda componente : x / x eje “Y” Primera componente : x / x eje “X”

CUADRANTE DE UN SISTEMA CARTESIANO

Cuando dos rectas numéricas se intersecan perpendicularmente entre si, forman cuatro cuadrantes con sus respectivos signos de representación para un par ordenado. Así :

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PRIMER CUADRANTE

Aquí se representarán los pares ordenados, donde tanto para el eje de las “X” o abscisa y eje de las “Y” u ordenadas las cantidades sean positivas.

PAR ORDENADO Y A (3,2) 3 A (3,2) Eje Y 2 Eje X 1

X 1 2 3

SEGUNDO CUADRANTE

Aquí se representarán los pares ordenados donde para el eje de las “x” o abscisa las cantidades de valor negativo y para el eje de las “Y” u ordenadas las cantidades cuyos valores sean positivos.

PAR ORDENADO Y A (- 3,2) A (-3,2) 3 Eje Y 2 Eje X 1

- X -3 - 2 - 1

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TERCER CUADRANTE

Aquí se representarán los pares ordenados, done tanto para el eje de la abscisa como para el eje de la ordenada los valores sean negativos.

PAR ORDENADO -3 -2 -1 A (- 3,- 2) - x -1 EJE Y -2 Eje X -3 A (-3, -2) - y

CUARTO CUADRANTE

Aquí se representarán los pares, donde para el eje de la abscisa las cantidades cuyo valor sea positivo y para el eje de la ordenada las cantidades cuyo valor valor sea negativo.

PAR ORDENADO 1 2 3 A ( 3,- 2) X Eje Y -1 Eje X - 2 A (3, -2) -3

- Y

EJERCICIO Nº 04Representar en un sistema de ejes cartesianos los siguientes pares ordenados

1. A(2,5) 9. H(10,6)2. T(- 7, 5). 10. A(5, - 3).3. U(- 4, - 6). 11. L(5, -7)4. V(6/4 , 16/5). 12. G(4, -15).5. B(- 9, - 12). 13. E(16/5 , - 6/4)6. C(- 15, 4). 14. B(- 6, - 10).7. F( - 7, -12). 15. R(6, - 4).8. G(15/2, -12/5). 16. A(15, -10).

Teniendo un conjunto de pares ordenados, estos se pueden graficar en un sistema de ejes coordenados, formando figuras geométricas que van desde un punto hasta una circunferencia..

126


EJEMPLO N0 01

Sean los pares ordenados : A(3,4) y B( - 3, - 4). A U B representa una recta. Demuéstrelo, recordando el teorema : “ LA DISTANCIA MAS CORTA ENTRE DOS PUNTOS ES LA RECTA QUE LOS UNE “.Verificando que A U B origina una recta. Y 4 A(3,4)

3

2 1 X -3 -2 - 1 - 1 1 2 3 4

-2

- 3

B(-3,-4) - 4

EJERCICIO Nº 05

Representar los siguientes conjuntos de pares ordenados en un sistema cartesiano y unirlos trazando una recta comprendida entre dichos puntos.1. A(6,3) y B(- 4, -5).2. E(- 5, 2) y F(6,5).3. M(- 4, 3) y N(4, - 3).4. A(6,5) y C(4, -3).5. P(-4, 3) y Q(6,5).6. C(4, -3) y Q(4, 4).7. Q(4, 0) y R(0,5).8. I (0,0) y J(0,8).9. G(0,4) y R(4,0).10. A(0 – 5) y B(- 5, 0).11. Dibujar el triángulo cuyos vértices están conformados por los pares ordenados: A(6,3) B(- 4, 3)

y C(- 5, - 4).12. Un triángulo esta conformado por los pares ordenados P(0,2), Q(- 3, -3) y R(3, -3).

Represéntelos en un sistema de ejes coordenados.13. Demuestre que los pares ordenados P(3,5), Q(- 3, 5), R(- 3, - 2) y S(3, -2) son los vértices de un

rectángulo.14. Demostrar que el siguiente conjunto de pares ordenados son los elementos de la gráfica de un

hexágono: A(2,3) , B(- 2, 3), C( - 6, -1), D(-2, -5), E(2, -5) y F(6, -1).

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PROCEDIMIENTO PARA TRAZAR E INTERPRETAR DIAGRAMAS

PASO OPERACION

1 TITULO : centrar en la página 2 ESCALAS: Calcular y expresar 3 EJES : Trazo y orientación 4 MEMBRETE EN LOS EJES: Símbolos de cantidades Y unidades. 5 DIVISIONES Y NUMERACIONES : En c / eje. 6 GRAFICAR LOS PARES ORDENADOS: Punto del Diagrama “X”. 7 ENLACE DE LOS PUNTOS: Con la línea de mayor Ajuste a regla o curviógrafo. 8 INTERPRETAR DIAGRAMAS Y OBTENER LA LEY

9 INTERPRETAR CONSTANTES: Tanto la de proporcionalidad como la de traslación. 10 ECUACION PARTICULAR: Del diagrama

Primeramente vamos a ver ciertos casos que existen dentro de la relación lineal y curvos, para que de este modo podamos graficarlos mediante una ley dada o viceversa, mediante una gráfica poder interpretar una ley matemática, física, estadística o comercial.

Sean dos cantidades X, Y cualquiera, medibles en el laboratorio de matemática o física : Entonces X, Y guardan una relación lineal, si se ajustan a la ecuación Y = b + CX. Que será estudiada en Geometría Analítica como ECUACION GENERAL DE UNA RECTA.

REFERENCIAS Y Y-X X : Variable independiente Y : Variable dependiente o función Y C= Y / X b, c : Constantes X b = Yo : Ordenada al origen o constante de traslación. b Y0 El valor de Y cuando X =0 X C : Pendiente constante de la recta (mide la Y = b + cx constante de proporcionalidad o el grado de Y = Y0 + cx inclinación de la recta).

128


DEFINICIONES

VARIABLE INDEPENDIENTE

Es aquella que se encuentra en el miembro donde están la constante de traslación “ y” . y la constante de proporcionalidad, pudiendo soportar cualquier valor asignado por el campo de los números reales.

VARIABLE DEPENDIENTE

Es aquella que hace la función de la variable independiente y queda fijado cuando se le ha asignado algún valor a la variable independiente.

CONSTANTE DE TRASLACION

Es el valor de la variable independiente, cuando se le ha asignado el valor de cero a la variable dependiente.

La constante de traslación toma su respectivo valor cuando a una recta se la traslada desde el origen hacia cualquier extremo de un sistema cartesiano.

CONSTANTE DE LA RECTA

Mide la desfase de las dos variables; el coeficiente angular de la recta o la constante de proporcionalidad o el grado de inclinación de una recta.

Su valor se determina dividiendo un incremento del eje vertical para un incremento del eje horizontal, tal como lo indica el gráfico propuesto.

REFERENCIAS Y Y-X C: Constante de proporcionalidad Y: Incremento eje vertical Y C= Y / X X: Incremento eje horizontal X X

Y = Y0 + CX VARIABLE INDEPENDIENTE CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD CONSTANTE DE TRASLACION VARIABLE DEPENDIENTE O FUNCION

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CASO Nº 01

Si: La constante de traslación y la de proporcionalidad son mayores que cero, entonces la recta se inclina a la derecha y pasa sobre el origen. INTERPRETACION GRAFICA INTERPRETACION MATEMATICA

Y Y Y = Y0 + CX C X

YO

Y=YO +CX X

Ecuaciones que encuadran este modelo son : Y = 2 + 3X ; Y = 1 + 2X ; X = 5 + 9Y. Etc.

CASO N0 02

Si: La constante de traslación vale cero y la de proporcionalidad mayor que cero, entonces la recta se inclina a la derecha y pasa por el origen.

De este modo se obtiene la ley de proporcionalidad directa como un caso especial de la relación lineal.

INTERPRETACION GRAFICA INTERPRETACION MATEMATICA

Y y-x

y

Y = CX x

Y = Y0 +CX X Y = CX

130

Si: Yo 0 X0 0 la recta se inclina a la derecha y pasa sobre el origen

Si: Y0 =0 C 0 La recta se inclina a la derecha y pasa por el origen.


Ecuaciones de este tipo son: Y = 3X; F = 2a , etc.

CASO Nº 03

Si: La constante de traslación es mayor que cero y la de proporcionalidad igual a cero, entonces la recta es horizontal , paralela al eje de las abscisas y pasa sobre el origen.


Y Y-X

C = 0 Y = Y0

Y0 = Ctc

X Y = Y0 + CX Y = Y0

Ecuaciones de este tipo son: Y = 5 ; Y = 4, a = 2, etc.

CASO N0 04

Si: La constante de traslación y la de proporcionalidad valen respectivamente cero, entonces la recta es horizontal, paralela al eje de las abscisas, pero pasa por el origen.


Y Y-X

Y = 0 ; x

X

Y = Y0 +CX Y = 0 ; X

131

Si: Y0 0 C=0 La recta es horizontal paralela al eje “X”. Pasa sobre el origen

Si: Y0 =0 C = 0 La recta es horizontal paralela a “X”, pasa por el origen.


CASO N0 05

Si: La constante de traslación es menor que cero y la de proporcionalidad mayor que cero, entonces la recta se inclina a la derecha y pasa bajo el origen.

INTERPRETACION GRAFICA INTERPRETACION MATEMATICA Y Y - X

Y Y = - Y0 + CX

X

X -Y0

Ecuaciones de este tipo son: Y = -3 + 2X ; X = - 4 +3Y , a = -1 + 2b, etc.

CASO N0 06

Si: La constante de traslación es mayor que cero y la de proporcionalidad menor que cero, entonces la recta se inclina a la izquierda y pasa sobre el origen.

INTERPRETACION GRAFICA INTERPRETACION MATEMATICA Y Y-X Y = Y0 +CX Como C = y/X C = (0-Y0) / (X0 –0) C = -Y0/X0. reemplazando Y0

Y = Y0 + (-Y0/X0) X, nos queda: X Y = - (Y0/X0) X X0

Ecuaciones de este tipo son: Y = 5-(5/6)X ; a = 6 - ( 6 / 3 ) b, etc.

132

Si: Y0 0 C 0 La recta se inclina a la derecha y pasa bajo el origen

Si: Y0 0 C 0 La recta se inclina a la izquierda y pasa sobre el origen.


CASO N0 07

Si: La constante de traslación es diferente de cero y la de proporcionalidad infinita, entonces la recta es vertical, paralela al eje de las ordenadas.

NOTA: Esta relación no es funcional.


Y Y - X

C X = ctc.

X X = ctc ; X

CONCLUSION: De un modo general la relación entre dos cantidades es lineal cuando su diagrama de relación es una línea recta, o cuando la relación de exponentes entre las dos variables es de 1 a 1; esto implica que en una relación lineal las dos variables evolucionan en la misma proporción, cambian en la misma medida, aunque la una se adelante con relación a la otra. Pero lo importante es que las dos variables caminan o evolucionan.

Es importante recordar que en matemática tienen validez todos los cuadrantes; lo que en Física únicamente tiene validez el primer cuadrante. La razón es que las medidas de ciertos fenómenos físicos pueden tomar únicamente valores positivos, ya que los valores negativos no tienen significado alguno.

EJERCICIO N0 06

1.- Si la constante de traslación vale 4 y la de proporcionalidad 3. Determine la ecuación que representa una recta, con los valores dados en Y = f(X).

2.- Determine la ecuación Y = f(X) ; si sabemos que la constante de traslación vale cero y la constante de proporcionalidad 2 unidades.

3.- Se investiga cierto fenómeno físico en un laboratorio; obteniéndose que la constante de traslación mide –2 unidades y la de proporcionalidad 3 unidades. Determine la ecuación matemática que rige dicho fenómeno, si Y = f (X).

4.- Si la constante de traslación y la de proporcionalidad valen 2 y 3 unidades respectivamente. Determinar su ecuación matemática X = f (Y).

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Si: Y0 diferente de cero C = La recta es paralela al eje “Y”. No es función


5.- Sea Y la variable dependiente o función y X la variable independiente; fabrique la ecuación matemática Y = f (X) si sabemos que Y0 =-4 y C = 3.

6.- La longitud de una circunferencia es directamente proporcional al radio; si la longitud L, es la variable dependiente o función y el radio R es la variable independiente, determine la ley de proporcionalidad directa si: La constante de traslación vale cero y la de proporcionalidad 2.

7.- Para el movimiento rectilíneo uniforme la velocidad es constante y diferente de cero; de lo cual concluimos que el cambio de posición o desplazamiento es directamente proporcional al tiempo. De las mediciones efectuadas en un laboratorio hemos obtenido que: La constante de traslación vale cero metros y la de proporcionalidad 6 m / s. Con estos datos fabrique la ecuación S = f (t).

8.- Si la variable dependiente o función Y = v ; la constante de traslación Y0 = V0, la de proporcionalidad C = a y la variable independiente X = t. Determine la ecuación Y = f(X).

9.- Determinar la ecuación de la recta Y = f (X), si sabemos que la constante de traslación vale 6 unidades y la de proporcionalidad –3/2 unidades.

10.- Sea “Y” la función o variable dependiente; “X” la variable independiente, Y0 la constante de traslación y C la de proporcionalidad. Si sabemos que: Y0 = -2 y C =1/2. Construir la ecuación Y = f(X).

11.- Si la constante de traslación es diferente de cero y la de proporcionalidad infinita, entonces la recta es vertical, paralela al eje de la ordenada. El modelo de la ecuación matemática es?.

12.- Si la constante de traslación vale cero y la constante de proporcionalidad es menor que cero, entonces la recta se inclina a la derecha y pasa por el origen. Su modelo matemático es ¿.

13.- Si la constante de traslación es menor que cero y la de proporcionalidad mayor que cero, entonces la recta se inclina a la derecha y pasa bajo el origen. Su ecuación matemática es?.

14.- Si la constante de traslación es mayor que cero y la de proporcionalidad igual a cero, entonces la recta es horizontal, paralela al eje de la abscisa y pasa sobre el origen. Su modelo matemático es?.

MODO DE INTERPRETAR UNA ECUACION QUE OBEDECE A UN FENOMENO FISICO, MATEMATICO O ESTADISTICO DADO UN DIAGRAMA

Ahora se trata de establecer el proceso inverso. Dada la gráfica o el diagrama, nosotros podemos determinar una ley de proporcionalidad directa o inversa.

PASOS A SEGUIR

1.- Para obtener el valor de la constante de traslación se mide desde un punto de origen, hacia el punto de intersección o corte de la recta con uno de los ejes;

2.- La constante de proporcionalidad se obtiene dividiendo el valor medido del incremento de la ordenada para el valor medido del incremento de la abscisa. En otras palabras, en una región de la recta. C = y/x;

3.- Estos datos se reemplazan en la ecuación general Y = Y0 + CX, determinándose de éste modo la ecuación que rige dicha relación.

134


EJEMPLO N0 01

Dado el siguiente diagrama, determine la ecuación que rige dicha relación.

DATOS SOLUCION

Y0=2 C = Y/X Y = 3 X = 2 C = 3/2 ; C = 1,5. INCOGNITAS ECUACION GENERAL A) Y = F(X) Y = Y0 + CX B) C = ? REEMPLAZANDO VALORES Y = 2 + 1,5X EC. DEL DIAGRAMA.

EJEMPLO N0 02 Dado el siguiente diagrama, determinar la ley que gobierna dicho fenómeno.

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DATOS SOLUCION Y0= S0 C = Y/X Y= 4m C = 4m/2s

X=2s C= 2m/s.INCOGNITASa) Y = f(X) S = f(t) ECUACION GENERALb) C = ? Y = Y0 + CX REEMPLAZANDO VALORES S = S0 + CX S=0+2t S = 2t EC. DEL DIAGRAMA

LOS DIAGRAMAS CURVOS Y SUS LEYES

En física no siempre tienen validez los cuadrantes 2,3,4, que tienen validez en matemática, la razón es que medidas las cantidades físicas únicamente pueden tomar valores positivos , mientras que los negativos no tienen significado alguno, indicando los cuadrantes del 2 al 4.

Por esta razón mientras los diagramas dan certeza plena, los errores resultan ambiguos porque pueden continuar indirectamente en el segundo, tercer y cuarto cuadrante, debiendo ser la curva respectivamente de grado 2,3,4 en consecuencia a la escasa información que se dispone por tener gráfico únicamente en el primer cuadrante.

Existen dos métodos para investigar el grado de la curva: La linealización por cambio de variables y la inclinación por logaritmos.

PRINCIPALES TIPOS DE CURVAS

CASO AY Y - X

n 4 3 2 RAMAS DE PARABOLA DE EJE VERTICAL Y GRADO n = 2,3,4..., CURVAS CON LA PENDIENTE VARIABLE Y POSITIVA, PASA POR EL HORIGEN. LA VARIABLE DEPENDIENTE O FUNCION EVOLUCIONA MAS RAPIDO QUE LA VARIABLE INDEPENDIENTE “X”. X LA VARIABLE “Y” SE DISPARA CON RESPECTO A “X”. Y Xn

Y = C Xn LEY QUE RIGE EL FENOMENO

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Y Y - X CASO B

FRACCION 1/n m = EXPONENTE DE X, n = COEFICIENTE DE “Y” RAMAS DE PARABOLAS DE EJE HORIZONTAL Y CON LA PENDIENTE VARIABLE Y POSITIVA, n= ? PASAN POR EL ORIGEN X GUARDAN 2,3,4 GRADO. m = ½, 1/3, ¼... CURVAS

Yn x

Yn = X elevando a la raíz enésima a ambos miembros obtenemos: Y = CX1/n

Y = C Xm LEY QUE RIGE EL FENOMENO

Y Y - X CASO C

n= ? CURVA ASINTETOTICA CON LA PENDIENTE VARIABLE Y NEGATIVA, NO PASA POR EL m=? ORIGEN. RAMA DE HIPERBOLA DE GRADO n = -1, -2, -3, ..... LAS VARIABLES EN LA FUNCION SON DE X SENTIDO CONTRARIO A LAS VARIABLES DE “X”. m = - h Y 1/X n n = EXPONENTE SIN INCLUIR EL SIGNO Y = CX – n

Y = C X m LEY DEL FENOMENO

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LINEALIZACION POR CAMBIOS DE VARIABLES

Según este método, se conserva aquella variable que inicialmente trae exponente 1 y se cambia por otro nombre a aquella variable cuyo exponente no es 1. Se presentan los tres casos y en cada uno se deben elaborar varios diagramas de comprobación hasta obtener en alguno de ellos una línea recta, esto implica que en la tabla de datos deben irse agregando columnas con nuevos valores.

CASO A

Y = C X n Sí : X = Z Y = CZ será una ecuación típica de una recta inclinada a la derecha y que pasa por el origen DIAGRAMA PRINCIPAL

X Y X2 X3 X4 y Y – X y Y – X2 y Y – X3 y Y – X4

X X2 X3 X4

Y=CXn no da la ley no da la ley si da la ley

En el diagrama cuatro nos da la Ley, por cuanto se linealizo, o sea:n =4, luego C = Y/X, esto quiere decir que Y X4, por lo tanto nuestra ley física será:

Y = CX4

CASO B

Y n = CX ; Y = CX1/n. Sí : X n = Z Y =CZ será una ecuación típica de una recta inclinada a la derecha y que pasa por el origen DIAGRAMA PRINCIPAL

X Y X1/2 X1/3 Y Y – X Y Y – X1/2 Y Y – X1/3

X X 1/2 X1/3

Y = CX n no da la ley si da la ley Y C X n y = CX1/3

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En el diagrama tres nos da la Ley, por cuanto se linealizó, o sea:n =3, luego C = Y/X1/3, esto quiere decir que Y X1/3, por lo tanto nuestra ley física será:

Y = CX1/3

CASO C

Y = CX-n ; ASINTOTA : Sí : -n = m , y X -n = X m Z , entonces Y = CZ será una ecuación típica de una recta inclinada a la derecha y que pasa por el origen DIAGRAMA PRINCIPAL

X Y X1/2 X1/3 Y – X Y – X-1 n = -2

X X-1 X-2

Y CX-n no da la ley Y CX – 2

Y = CX – n Y NO ES X – 1 Y = CX - 2

En el diagrama tres nos da la Ley, por cuanto se linealizó, o sea:n =-2, luego C = Y/X-2, esto quiere decir que Y X-2, por lo tanto nuestra ley física será:

Y = CX-2

LINEALIZACION POR LOGARITMOS

A.- ¿ QUE ES UN LOGARITMO ?El logaritmo es un número exponente al que hay que elevar otro número llamado

base para obtener un tercer número llamado potencia, siendo este el resultado.

B.- DIFERENCIA ENTRE LA POTENCIACION Y LA LOGARITMACIONSi los datos son : la base y el exponente ; y la incógnita es la potencia, entonces

la operación se llama potenciación y el número buscado se conoce como antilogaritmo.

be = ? ant log C

Si los datos son: la base y la potencia; y la incógnita es el exponente, entonces la operación se denomina logaritmación y el número que se usa es el logaritmo.

b2 = p log b P = ?

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C.- CLASES DE LOGARITMOSEl uso a consagrado dos clases de logaritmos. Aquellos de base 10 que se denominan logaritmos decimales o vulgares y aquellos de base e = 2,1718... denominados logaritmos naturales o BRIGSS y su simbología es la siguiente :

102 = P e2 = P log P = ? log e P = ? log Decimales logaritmos naturales

D.- TEOREMAS SOBRE LOGARITMOS

D.1.- log N1N2 = log N1 + log N2 D.2.- log N1 / log N2 = log N1 – log N2

Ln N1N2 = ln N1 + ln N2 ln N1 / ln N2 = ln N1 – ln N2

D.3.- log X n = n log X ln X n = n ln X

CASO A Y = C X n ; n = 2,3,4...

Tomando logaritmos decimales para ambos miembros de la ecuación :

Log Y = log C + n Log X

Y = Yo + nZ Ecuación de una línea recta trazada a escala logarítmica en donde: Y = log Y ; variable dependiente Z = log X ; variable independiente Yo = log C ; ordenada al origen n = pendiente o inclinación de la recta y x

y subida recorrido : n = y / x =2,3,4.. n = log y / log x x n = log Y2 – log Y1 / log X2 – log X1

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CASO B Y = C X m ; m = ½, 1/3 , ¼ ...

Tomando logaritmos decimales Log Y = log C + n log X

Y = Yo + mZ Ecuación de una línea recta trazada a escala logarítmica en donde: Y = log Y ; variable dependiente Z = log X ; variable independiente Yo = log C ; ordenada al origen m = pendiente o inclinación de la recta

y x

y subida recorrido : m = y / x =1/2, 1/3, ¼ .. m = log y / log x x m = log Y2 – log Y1 / log X2 – log X1

CASO C Y = C X m ; m = - 1 , - 2, - 3 ....

Tomando logaritmos decimales Log Y = log C + m’ log X Log Y = log C - n log X Y = Yo – m Z Ecuación de una línea recta Y = Y0 + n Z Inclinada a la izquierda con la pendiente negativa y trazada a escala logarítmica. en donde: Y = log Y ; variable dependiente Z = log X ; variable independiente Yo = log C ; ordenada al origen n’ = pendiente o inclinación de la recta = -1, -2, -3 ... m’ = pendiente negativa de la recta acota a la izquierda = -1, -2, -3... n’=3 y 0 x 0n’ =2 subida negativa : n’= y / x =-1, -2, -3 .. recorrido positivo m’ = log y / log x n’ = 1 m = log Y2 – log Y1 / log X2 – log X1

141


CARACTERISTICAS FUNDAMENTALES DE LOS DIAGRAMAS LOGARITMICOS

1.- Mientras en escalas normales los espacios o segmentos gráficos son proporcionales a los números y por ello las divisiones son desiguales, comienzan siendo amplias y terminan siendo angostas, se van estrechando de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba.

2.- En las escalas logarítmicas cada ciclo de números 1,2,3...9 representan cantidades de un orden de magnitud 10 veces mayor que el anterior y 10 veces menor que el ciclo siguiente.

3.- En escalas logarítmicas no existen ni tienen representación gráfica, esto debería de tener muy en cuanto al representar gráficamente los primeros valores de una tabla.

4.- De la misma que en escalas normales se toma como referencia la unidad gráfica, en escalas logarítmicas también se referencia con la unidad gráfica que es el primer dato tanto en la región horizontal como en la vertical, es decir el ciclo que representa a las cantidades del menor orden de magnitud..

5.- Las escalas logarítmicas tienen importancia fundamental puesto que ahorran esfuerzo de cálculo, evitan el tener que calcular numerosos logaritmos para luego representarlos gráficamente en hoja de papel logarítmico,. Hoja que da ya calculado los logaritmos.

6.- En escalas logarítmicas del mismo modo que en escalas normales, el problema no cambia, sigue siendo el mismo. Determinan el exponente de la variable independiente Y = C X n y la constante de proporcionalidad la relación buscada . 6.1.- La búsqueda del exponente utilizan el método de linealización por logaritmos se reduce a evaluar la pendiente correcta de la línea recta, que resulta, sea en forma rigurosa analítica: Así. n, m, n’ = tan. Tan = (log Y2 – log Y1) / (log X2 – log X1 ) = 2,3,4... = ½, 1/3, ¼... = -1, -2, -3 Esta manera de calcular el exponente implica tomar dos partes de valores de la tabla, evaluar los logaritmos decimales de estos cuatro números, realizar las restas, resolver la división y luego redondear a 2,3,4... o ½, 1/3, ¼... o –1, -2, -3... según el caso.

También es posible evaluar la pendiente con un método aproximado, uniendo en cualquier región de la recta el tamaño de la subida y el avance con una regla y en milímetros hacer la división y luego redondear al número que corresponda..

n = tan Y = 25mm n = Y / X n = 25 mm/4 mm X = 4mm

142


6.2.- El procedimiento para la determinación de la constante de proporcionalidad requiere que precisamente sea calculado el exponente con uno de los métodos enunciados; luego se toman los valores correspondientes cualesquiera de la tabla y se reemplaza en la ecuación de la recta, se despeja el valor de Y0 en esa ecuación y finalmente se busca su antilogaritmo

Log Y = log C + q log X Log Y1 = Yo + q log X1 Yo = log C C = anti log Y0

Y0 = log Y1 – q log X1

6.3.- Una curva (siempre que esa curva sea una rama de parábola o hipérbola) trazada en escalas normales se convierte en una recta inclinada a la izquierda o a la derecha trazada en escalas logarítmicas.

TALLER DE TECNICAS DE EVALUACION

TEST DE APTITUD DIFERENCIAL PROGRAMACION N0 1.1PARA ESCUELAS SECUNDARIAS PRIMER TRIMESTREUNIDAD EDUCATIVA PARTICULAR FISICA I

“ELOY ALFARO”APELLIDOS ...........................................NOMBRES............................................... N0 de lista....................CURSO ............. PARALELO ............... FECHA........................Prof. LIWINTONG MARQUEZ REYES

Este Test contiene 16 preguntas, entre problemas aplicados a la Ciencia Física y preguntas teóricas relacionadas con la misma. Usted sabrá escoger la respuesta correcta y justificarla detalladamente.

1.- A la síntesis de experimento + observación se llama: a) LEY b) EXPERIMENTACION c) TEORIA d) HIPOTESIS e) NOTACION CIENTIFICA .................................................( )

2.- Claridad y precisión son las condiciones de : a)La definición de una cantidad física ; b) un patrón ideal; c) Una hipótesis; d) una ley ; e) una teoría ................................................ ( )

3.- Elabore e interprete el diagrama principal con los datos en la tabla: V (m/s) 0,5 0,8 1,1 1,4 2,0 t (s) 0 0,1 0,2 0,3 0,5

4.- En una recta de inclinación derecha el diagrama F- t corresponde a la ecuación : a) Ft = 5 ; b) F =ct2 ; c) F2t = 8 ; d) F = 4t ; e) F = 10t3 ..........................................................( )

5.- Una recta horizontal tiene la pendiente: a) constante y negativa ; b) variable y positiva ; c) variable y negativa , d) constante y nula

6.- Interprete la ley aplicando el método de linealización o cambio de variable, según los datos que se especifican en la tabla. S(m) 0 0,2 0,8 1,8 t(s) 0 0,7 1,4 2,1

7.- mediante ecuaciones se expresan : a) las hipótesis ; b) las leyes cualitativas ; c) Las condiciones de un patrón ideal; d) las leyes cuantitativas ........................................................................( )

8.- A la síntesis de hipótesis + razonamiento lógico matemático se llama: a) ley ; b) teoría ;

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c) experimentación ; d) verificación ; e) método científico.....................................................( )

9.- El examen cuidadoso y minucioso de un fenómeno se llama : a) teoría ; b) observación c) Hipótesis ; d) sistematización ; e) experimento.....................................................................( )

10.- Elabore e interprete el diagrama principal con los datos en la tabla : V (m/s) 0 1,0 2,0 3,0 4,0 F (N) 0 0,5 1,9 4,6 7,9

11.- Es una rema de hipérbola equilátera el diagrama S – t que corresponde a la ecuación : a) S =c . t ; b) S . t = 2 ; c) St2 = 5 ; d) S = 8t-1 ; e) S2 t = 10 ....................................................( )

12.- Una recta inclinada a la derecha tiene la pendiente : a) constante y positiva ; b) constante y nula ; c) variable y positiva ; d) variable y negativa.............................................................( )

13.- Elabore e interprete el diagrama principal con los datos de la tabla : m (g) 0 100 200 300 400 Y (m) 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18

14) Una rama de hipérbola equilátera tiene la pendiente : a) variable e infinita ; b) constante y nula ; c) variable y positiva ; d) constante y negativa ......................................................................( )

15) Grafique el diagrama para cada una de las la definiciones:

Línea recta horizontal rama de parábola cúbica línea recta inclinada Con la pendiente o cuadrática con la pen.- con la pendienteConstante positiva diente variable y positiva positiva. Pasa sobreNo pasa por el origen pasa por el origen. El origen.

V = ctc z2 u s – t Z3 u s t

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CINEMATICA DE LOS MOVIMIENTOS RECTOS

9.1.- INTRODUCCION Y PRELIMINARES SOBRE LOS MOVIMIENTOS RECTOS. 9.2.- LOS PARAMETROS DEL MOVIMIENTO EN GENERAL: TIPOS DEL MOVIMIENTO SEGUN EL COMPORTAMIENTO DE LA VELOCIDAD Y LA ACELERACION. 9.3.- EL MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA RECTA Y VELOCIDAD CONSTANTE: LEYES Y ECUACIONES HORARIAS 9.4.- EL MOVIMIENTO DE TRAYECTORIA RECTA Y ACELERACION CONSTANTE: DEFINICION, LEYES Y ECUACIONES. 9.5.- EJERCICIOS DE APLICACION.

DIAGRAMA CONCEPTUAL

SISTEMA REFERNCIAL (4)

ESPACIO (2) TIEMPO (3)

MOVIMIENTO (1) VELOCIDAD (10)

TRAYECTORIA (5) DESPLAZAMIENTO (6) ACELERACION (11)

RECTAS (7) CIRCULAR (8) PARABOLICO (9)

V = ctc

MOV. RECTO (12) M.C.U (13) M.A.S (16) MOV. ONDULATORIO (17)

M.R.U.V (14) M.C.U.V (15) a = ctc.

145


9.1.- INTRODUCCION Y PRELIMINARES SOBRE EL MOVIMIENTO

DEFINICION DE MECANICA

Es parte de la física que estudia el movimiento de los cuerpos. Se define como movimiento al cambio continuo de posición a medida que transcurre el tiempo con respecto a algún sistema de referencia.

La mecánica se subdivide en :

CINEMATICA , que analiza los parámetros cambio de posición de un cuerpo “S”, la velocidad “V”, la aceleración “a” y el tiempo “t”. Analizando dos tipos de movimiento. El de velocidad constante y el de aceleración constante.

DINAMICA, que además de analizar los parámetros cinemáticos, analiza lo que sucede con la masa “m” y la fuerza “F” que se ejerce sobre ella.

9.1.2.- GRADOS DE LIBERTAD DEL MOVIMIENTO Y TIPOS DE MOVILES

Se conocen como grados de libertad de movimiento, a las posibilidades de moverse un ente dado. Un móvil generalmente puede tener tres grados de libertad genéricos de movimientos que se conocen :

9.1.2.1.- TRES GRADOS DE LIBERTAD: Estos son el de traslación, rotación y vibración. Ejemplo: Un sólido deformable o un fluido.

9.1.2.2.- DOS GRADOS DE LIBERTAD : Estos son el de traslación y rotación. Ejemplo un sólido rígido.

9.1.2.3.- UN GRADO DE LIBERTAD: El de traslación. Ejemplo una partícula.

Vale la pena definir a la partícula como un punto material, objetos de dimensiones despreciables .

9.1.3.- ELEMENTOS Y PARAMETROS DEL MOVIMIENTO

Supóngase el movimiento en el plano, de una partícula :

Y SISTEMA REFERENCIAL m : masa de la partícula móvil (x , y) : sistema de referencia inercial t1 : instante inicial en la observación del móvil s1 (vector) : vector de posición inicial del móvil t2 t2 : instante final durante la observación del móvil s s2 s2 : vector de posición final del móvil para el periodo t1 de observación. t2 – t1 := t = t : intervalo de tiempo que demora la s1 X observación del móvil. S2 – S1 = S = S: variación de posición, corrimiento.

146


s/t = s / t = V m : velocidad media de la partícula móvil. Es la velocidad media en cada instante de tiempo finito.

9.1.3.1.- PROPIEDADES DE LA VELOCIDAD MEDIA

MAGNITUD: V m = s / t (rapidez media)

DIRECCION Y SENTIDO: Vm = S (dirección de la secante geométrica trazada a dos puntos de la trayectoria).

PUNTO DE VISTA MECANICO

MAGNITUD: V = lim s / t (rapidez instantánea) t 0

DIRECCION : V = lim Vm (dirección de una tangente geométrica trazada a un punto dado de la trayectoria).

SENTIDO: hacía donde progresa el movimiento.

NOTA

Cuando deban trazarse vectorialmente las velocidades medias e instantánea; a la velocidad media se le trazará mediante un vector que tenga dirección de una secante geométrica a los puntos de la trayectoria; la velocidad instantánea en cambio será un vector trazado con una dirección tangente a la trayectoria en el punto considerado; en ambos casos el sentido de los vectores viene dado por el modo en que progresa el movimiento.

9.2.1.- TIPOS DE MOVIMIENTOS SEGUN EL COMPORTAMIENTO DE LA VELOCIDAD

A.1) v = ctc 0 ; mov. uniformeA) Sí : V m = V = ctc 0 A.2) V = ctc ; mov. rectilineo

147


B) Sí : V m V ctc movimiento variado

B – 1) Sí : V = ctc 0 (movimiento curvo uniforme) ctc (M. C .U )

B – 2) Sí : V ctc (movimiento rectilíneo no uniforme) = ctc el de caída libre

B – 3) Sí : V ctc (movimiento curvo no uniforme) ctc M .C .U .V

Considerando a continuación el tipo de movimiento mas generalizado en la práctica: el movimiento variado

Sí : Para el movimiento variado la V ctc, entonces:

t1 : V1 t = t2 – t1

t2 : V2 V = V2 – V1 (cambio o variación de velocidad).

V / t = a m (aceleración del móvil medida en cada instante o intervalo)

Sí la aceleración se mide en intervalo de tiempo cada vez menor, que tiende a cero, entonces:

Lim V / t = dV /dt = a (aceleración instantánea = aceleración del móvil t 0 en cada instante de medición)

CONCEPTO FUNDAMENTAL

DESCRIPCION O PROPIEDAD DE LA ACELERACION MEDIA

MAGNITUD am = V / t DIRECCIO Y am = V

SENTIDO

PROPIEDADES DE LA ACELERACION INSTANTÁNEA

MAGNITUD a = lim V / t ; a = dV /dt t0 DIRECCION Y SENTIDO a = lim V = lim V

t0 t0

148


9.2.2.- TIPOS DE MOVIMIENTOS SEGUN EL COMPORTAMIENTO DE LA ACELERACION

Sí : la am = a = ctc Mov . Uniformemente Variado Sí : además la trayectoria es recta es M .R .U .V. (trayectoria recta implica aceleración constante) Sí : am a ctc movimiento variado en general.

9.3.- LEYES Y ECUACIONES HORARIAS DE UN MOVIMIENTO

9.3.1.- DEDUCCION DE ECUACIONES PARAMETRICAS DE TRAYECTORIA RECTA

CONDICIONES INICIALES CONDICIONES FINALES t1 = 0 t2 = t s1 = 0 s2 = s v1 = vo v2 = v a1 = a a2 = a

Si recordamos la definición de aceleración y reemplazamos todas estas condiciones, tanto iniciales como finales, vamos ha obtener:

a = v / t = (V2 – V1) / (t2 – t1) a = (V – V0) / t ; despejando la velocidad

V = Vo + at Ecuación N0 01

Recordando la teoría de diagramas y aplicándola en la ecuación N0 o1, vamos ha obtener: V (V – Vo) t ; c = tan ; c = v / t ; c = a

V únicamente para el movimiento de a = ctc; V0 Vm el diagrama V – t es una línea recta inclinada. t Determinamos la velocidad media en el diagrama. V m = (V0 + V) / 2 condición A

149


Además por definición la rapidez media es igual a la magnitud del desplazamiento para cada intervalo de tiempo. Remplazando las condiciones propuestas, obtenemos:

V m = s / t ; V m = (s2 – s1) / (t2 – t1) ; V m = s/t Condición B.

Igualando las condiciones A con B, vamos ha obtener:

A = B (V0 + V) / 2 = s / t 2s = (V0 + V)t

S = (V0 + V) /2 t Ecuación N0 02

Despejando la velocidad en la ecuación 1 y reemplazando en la ecuación 2, vamos ha obtener:

S = (V0 + V) / 2 t S = (V0 + V0 + at) / 2 t S = 2V0 + a . t) / 2 t multiplicando y simplificando

S = V0 t + ½ at2 Ecuación N0 03

Despejando el tiempo en la ecuación 1 y reemplazándola en la ecuación dos, vamos ha obtener:

2as = V2 – V02 Ecuación N0 04

CUADRO DE ECUACIONES HORARIAS PARA EL MOVIMIENTO DE ACELERACION CONSTANTE

N0 ECUACIONES PARAMETROS CINEMATICOS S V a t 01 V = Vo + at NO SI SI SI 02 S = V0 t + ½ at2 SI NO SI SI 03 S = (V0+V) /2 t SI SI NO SI 04 2as = V2 – V0

2 SI SI SI NO

150


9.4.- INTERPRETACION DE LAS LEYES DEL MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMEMENTE VARIADO

TRAYECTORIA RECSí : M . R . U .V 2da LEY FUNDAMENTAL ACELERACION CONSTANTE

Sí : a = ctc am = a = C2 C2 = V / t V = C2 t V t

V(m)

V C2 = (V2 – V1 ) / (t2 – t1) C2 = a = (m/s) / s = m/s2

t t (s) V t 2da LEY FUNDAMENTAL

Sí : V t Vm t ; Vm = C1 t C1 t = S / t S = C1t2 S = t2

S(m) C1 = S / t2 = (s2 – s1) / (t2 – t1)2

S C1 = m/s2 = a

t2

t2 (s2) S = t2 1ra LEY FUNDAMENTAL

MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE

El típico movimiento uniformemente variado presenta la validez, en el fenómeno de la caída libre y también en la variación de este denominado tiro vertical hacía arriba.

Siempre que se desprecien el rozamiento y la resistencia del aire, y se consideren alturas de caídas relativamente pequeñas de modo de poder considerar como constante la intensidad del campo gravitacional, todos los cuerpos en un mismo punto sobre el planeta caerán en línea recta y con una misma aceleración constante (a = g=, sin importar su tamaño, su forma, su peso o su composición. A este fenómeno se lo denomina caída libre y una modalidad es el tiro vertical hacía arriba.

151


Consecuentemente el movimiento de caída libre puede ser tratado cuantitativamente y obedece a las mismas leyes de cualquier movimiento rectilíneo uniformemente variado.

CONVERSION DE SIGNOS

Para poder aplicar las cuatro ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente variado al movimiento de caída libre, conviene acordar que el origen del sistema de referencia se considera ubicado siempre en aquel punto en donde comienza el movimiento del objeto que se trata.

Para el eje vertical de este sistema de referencia se asume que la parte positiva es hacía arriba y la parte negativa es hacía abajo.

Sí el movimiento progresa hacía arriba, esto implica que los símbolos escalares del desplazamiento y la velocidad anteponemos el signo (+), y si ocurre el progreso hacía abajo, anteponemos el signo (-).

Para la aceleración, su símbolo tratado como escalar, siempre se ubicará el signo (-), porque este vector siempre apuntará hacía abajo, sea que el movimiento progrese hacía arriba o hacia abajo.

CUADRO DE ECUACIONES HORARIAS PARA EL MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE DE LOS CUERPOS

Se utilizaran las cuatro ecuaciones de todo el M . R .U . V, realizando dos cambios:a =-g ; S = h = Y = -Y. Para los ejercicios de caída libre, siempre se debe contar con un dato conocido, el valor de la gravedad. G = 9,81 m /s2

N0 ECUACIONES PARAMETROS CINEMATICOS h V g t 01 V = Vo gt NO SI SI SI 02 S = V0 t ½ gt2 SI NO SI SI 03 S = (V0+V) /2 t SI SI NO SI 04 2gh = V2 – V0

2 SI SI SI NO

152


9.5.- EJERCICIOS DE APLICACION

EJERCICIO N0 01

Un móvil viaja en línea recta y con aceleración constante, parte del reposo y al cabo de 5 segundos logra una rapidez de 80 km / h. Determinar la magnitud de la aceleración en que se movió.

A.- VERIFICACION DE LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA Cómo el enunciado señala trayectoria y aceleración constante, entonces se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente variado, por lo tanto podemos utilizar una de las cuatro ecuaciones fundamentales.

B.- TABULACION DEL PROBLEMA DATOS INCONGINATAS t = 5s a) a=? Vo= 0 V = 80km/h = 80.000 m / 3600s = 22,2 m/s

C.- CHEQUE DE PARAMETROS Verificación de la función que desempeña un parámetro

S V a t 1) V = V0+at

NO D ? D

D) UTILIZACION DE LA ECUACION ADECUADA

V = V0 + a t

E) DESPEJARS LAS INCOGNITAS

a = (v – v0) / t

F) SOLUCION

a = (22,2m/s – 0 m/s) / 5s ; a = 4,44 m/ s2 Sol: a = 4,44 m/s2

EJERCICIO N0 02

Un móvil viaja en línea recta y con aceleración constante, reduciendo su rapidez desde 85 km / h hasta 22km/h en un lapso de 8 segundos.Sí el móvil viaja hacía el norte, determinar:a) La aceleración constante en ese lapso;b) La distancia recorrida durante ese lapso de frenada ;c) Sí seguía frenando, de la misma manera determinar el tiempo total empleado por el móvil para pasar

de la primera velocidad que tenía hasta quedar en reposo ;d) Determinar la distancia recorrida desde la segunda velocidad hasta quedar parado el móvil.

DESARROLLODATOS INCOGNITASV0 = 85km/h = 23,61 m / s a) a = ?V = 22km/h = 6,11 m/s b) S =?t = 8s c) t1 = ?Vf = 0 m/s d) S1 = ¿?

153


SOLUCION

ANALISIS DE PARAMETROS S V a t 1) V = V0 + at ; despejamos la aceleración a = (V – V0) / t

NO D ? D a = (6,11 – 23,61) / 8 , a = - 2,19 m/s2

NOTA: El signo negativo, significa que la aceleración es retardatriz.

ESQUEMA GRAFICO

(1) (2) (3)

S = f(t) S1 = f(t)

V0 V Vf

a) ANALISIS DE PARAMETROS PARA LA DISTANCIA

S V a t 2) S = (V+V0) / 2 t

? d NO d

S = (6,11 + 23,61) / 2 8 ; S = 118,88m

b) ANALIZANDO EL TIEMPO DE RECORRIDO ENTRE LAS POSICIONES 1 Y 3.

S V a t 1) ) V = V0 + at ; despejando el tiempo “t”

t = (V – V0 ) / aNO d d ?

t = (0 – 23,61) / -2,19 ; t = 10,78 s

c) EXAMINANDO EL FRAGMENTO DE MOVIMIENTO COMPRENDIDO ENTRE LAS POSICIONES 2 Y 3

S V a t 4) ) 2as = v2 – v02 ; despejando el desplazamiento “S1”

S1 = (V2 – V02 ) / 2a

? d d NO

S1 = (0)2 – (6,11)2 / 2(-2,19) ; S1 = 8,53m

154


EJERCICIO N0 03

Una piedra se impulsa hacía arriba y se mueve verticalmente con una rapidez inicial de 23,62 m / s. Sí se desprecian la resistencia y rozamiento con el aire, determinar:a) La altura máxima alcanzada por la piedra ;b) El tiempo que tarda en lograr esa altura máxima ;c) En que instante o en que instantes a partir del lanzamiento la piedra pasa por un punto ubicado a

2,5m.

DATOS INCOGNITASV0 = 26,32 m /s a) h = ?a = -g = -9,81 m/s2 b) t = ?h1 = 2,25 m c) t1 =?

SOLUCION

a) h V g t 4) ) 2gh = v2 – v02 ; despejando el desplazamiento “h”

h = (V2 – V0

2 ) / -2g reemplazando valores ? d d NO h = (0)2 – (23,62)2 / (2) (-9,81) h = 35,31 m

b) h V g t 1) ) v = v0 - gt ; despejando el tiempo “t” t = (V – V0

) / -g reemplazando valores NO d d ? t = (0 - 23,62) / -9,81

t = 2,68 s

c) h V g t 3) ) h1 = V0t + ½ gt2 ; reemplazando valores

2,25 = 26,32t1 + (1/2)( -9,81) (t1)2 igualando a cero d NO d ? 0 = -4,91t1

2 + 26,32t – 2,25 cambiando de signo 4,91t1

2 - 26,32t + 2,25 = 0 resolviendo la Ec cuadrática

t1 = 5,28 s raíz verdadera a la bajada, retornando el móvil

t2 = 0,10 s raíz verdadera a la subida

155


CINEMATICA DEL MOVIMIENTO CURVO EN EL PLANO

EL PROBLEMA FUNDAMENTAL DEL TIRO DE PROYECTILES

10.1.- INTRODUCCION 10.2.- ¿EN DONDE SE ENCUENTRA EL PROYECTIL AL CABO DE “t” SEGUNDOS ? S = f (t)

10.3.- ¿ CON QUE VELOCIDAD SE MUEVE EL PROYECTIL AL CABO DE “t” SEGUNDOS ? 10.4.- ¿ CUANTOS SEGUNDOS DEMORA EL PPROYECTIL EN LLEGAR A LA PARTE MAS ALTA DE LA TRAYECTORIA ? th = ? 10.5 .- ¿ CUANTO SE ELEVA EL PROYECTIL SOBRE EL NIVEL DE PARTIDA ? h = ? 10.6 .- ¿ CUANTO TIEMPO SE DEMORA EL PROYECTIL EN EL AIRE ? tV ? 10.7.- ¿ CUANTO SE ALEJA EL PROYECTIL DESDE EL PUNTO DE LANZAMIENTO ? A =? 10.8.- ¿ QUE FORMA TIENE LA TRAYECTORIA DEL PROYECTIL ? Y = f (X) = ?

156


10.1.- INTRODUCCION

Del mismo modo que el movimiento de caída libre constituye la aplicación inmediata de la cinemática del movimiento rectilíneo uniformemente variado; el movimiento de un proyectil constituye la aplicación y el ejemplo inmediato que presenta la naturaleza sobre la cinemática del movimiento curvo plano de la aceleración constante.

10.1.1.-DEFINICION.- Llámense movimiento de un proyectil al modo como evoluciona una partícula dada que se arroja sobre un campo de fuerza constante (este puede ser gravitacional, eléctrico, magnético, etc) con una rapidez inicial de tiro “V0” y un ángulo de inclinación respecto a la horizontal “” ; bajo estas condiciones la trayectoria del móvil es siempre una curva, por cuanto es el resultado de la combinación de dos movimientos rectilíneos simultáneos e independientes; además como el campo de fuerza es constante, resulta también constante la aceleración del movimiento curvo.

Cuando el campo de fuerza es gravitacional y se desprecian el rozamiento y la resistencia del aire; el movimiento es curvo de aceleración constante, es decir el movimiento de un proyectil.

ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO Y SOLUCION DEL PROBLEMA

Y tH

S, V Sy, Sx Hmax

tV

Sx, Vx X Amax

TRAYECTORIA PARABOLICA

Y = CX + BX2

157


10.2.- ¿ EN DONDE SE ENCUENTRA EL PROYECTIL AL CABO DE “t” SEGUNDOS? S = f (t)

Aplicando el principio de simultaneidad e independencia (PSID).

S = Sxi + Syj

ax = 0 a = -gi V0x = V0 Cos ay = -g V0y = V0 Sen

Efectuando un análisis de parámetro simultaneo, obtenemos:

S V a t Ec 2) S = V0t + ½ at2

¿ NO d d

2-x) X = V0xt + ½ axt2 2-y) Y = V0yt + ½ ayt2

2-x) X = V0xt 2-y) Y = V0yt – ½ ayt2

2-x) X = V0 Cos t 2-y) Y = V0 Sen t – ½ gyt2

Reemplazando en el principio de simultaneidad e independencia:

S = (V0 Cos t)i + (V0 Sen t – ½ gt2) j

Solución en componentes vectoriales rectangulares

magnitud dirección

158


10.3.- ¿CON QUE VELOCIDAD SE MUEVE EL PROYECTIL AL CABO DE “t” SEGUNDOS ? V = f (t)

V = Vxi + Vyj

Efectuando un análisis de parámetro simultaneo, obtenemos:

S V a t Ec 1) V = V0 + at no ? d d

2-x) VX = V0x + ax t 2-y) V y = V0y + ay t2-x) Vx = V0 Cos + gxt 2-y) V x = V0 Sen - gy t2-x) Vx = V0 Cos 2-y) V x = V0 Sen + gx t

Reemplazando en el principio de simultaneidad e independencia:

V = (V0 Cos )i + (V0 Sen t – gt) j



Magnitud dirección

10.4.- ¿CUANTOS SEGUNDOS DEMORA EL PROYECTIL EN LLEGAR A LA PARTE MAS ALTA DE SU TRAYECTORIA? tH=? NOTA. Aquí podemos observar que se anula la velocidad del movimiento Vertical. V y = 0. M. R. U. V. Análisis de parámetros. S V a tH Ec 1) V y = V0 – g tH

no d d ?

despejando el tiempo de altura máxima y reemplazando la Vy = 0

tH =(V0 Sen) / g Ec, del tiempo de altura máxima.

159


10.5.- ¿Cuanto se eleva el proyectil sobre el nivel de partida? M. R .U.V .V

Y Vy ay tH Ec 2) Y = (V0y)(tH) – 1/2gtH

2 no d d ?

Reemplazando el valor del tH y resolviendo, obtenemos:

H = V0ytH – 1/2gtH2

H = (V0Sen)(V0Sen/g) – (1/2)(g)(V0Sen /g )2resolviendo:

H = V0

2Sen2/2g Ec. De altura máxima.

10.6.- ¿CUANTO TIEMPO DEMORA EL PROYECTIL EN EL AIRE ? ** Cuando transcurre tV segundos. ¿En donde se encuentra el proyectil ?. En la parte final de su trayectoria. *** ¿Qué parámetros se anulan en esa posición? El desplazamiento del movimiento vertical: Y = 0. M. R. U. V. V. Y Vy ay tV Ec 2) Y = (V0y)(tH) – 1/2g ( tV )

2 d no d ?

reemplazando valores y ecuaciones obtenidas :Y = V0ytV – 1/2gtV

2

0 = (V0Sen ) (tV) – (1/2) (g) ( tV )2 ; despejando el tV.½ gtV

2 = V0 Sen. tV

tV = (V0Sen)1/2g

tV = (2V0Sen)/g

El tiro de proyectiles es un movimiento simétrico, gasta el mismo tiempo en subir, que en bajar. Luego :

tV = tH

160


10.7.- ¿CUANTO SE ALEJA EL PROYECTIL DESDE EL PUNTO DE LANZAMIENTO?Como A es un desplazamiento del movimiento horizontal. Entonces:M. R. U. V. H

X Vx ax tV Ec 2) X = (V0x)(tv) – 1/2gtv

2 ? no d d

A = V0x tV

A = V0Cos tv

A = V0Cos (2V0Sen/g)

A = (V0

2Sen 2)/g Ec. De Alcance máximo.

10.8.- ¿QUE FORMA TIENE LA TRAYECTORIA DEL PROYECTIL? Y = F(x)Vamos ha obtener dos ecuaciones, una del movimiento rectilíneo uniformemente horizontal y otra del vertical. Fusionamos las dos ecuaciones y obtenemos: M. R. U. V .H M. R.U.V.VX = V0xt + ½ ax t2 Y = V0yt - ½ ay t2

X = V0xt Y = V0yt - ½ g t2

X = V0Cos t Y=V0Sent - ½ g t2

Despejamos el tiempo en la ecuación 1 y reemplazamos en la ecuación 2.X = V0 Cos t Y =V0 Sen t - ½ g t2

t = X/(V0 Cos) Y = (V0 Sen )(X / V0 Cos) –1/2g(X /V0 Cos)2

Y = (tan)X – (g/2V02 Cos2) X2

Y =(tan )X – (g/2V02 Cos2) X2

Como: , V0, g, 2. Son cantidades constantes, entonces podemos asumir que:

Tan = -g /(2V02 Cos2 ) = B luego : Y =CX + BX2 Ec. De la trayectoria

Esta ecuación de la trayectoria corresponde a una parábola cóncava hacía abajo..

INTERPRETACION DE LEYES DE ALCANCE Y ALTURA MAXIMALEY DE ALCANCE: A= f (???)A =f (V0, ,g)A= (V0

2Sen 2)/g a) Para lanzamientos en un mismo lugar y con el mismo impulso inicial, pero con

ángulos de tiro variable, son variables los alcances.g = ctc

161


V0 = ctc A = (V0

2 Sen 2)/g , de aquí decimos que K1 = Vo2/g , luego:

A = K1 Sen 2, de lo cual deducimos a la ley como de proporcionalidad directa

A (sen 2) El alcance es directamente proporcional a dos veces la Función seno.

b) Para lanzamientos en un mismo lugar y con el mismo ángulo de tiro, pero variados los impulsos iniciales, los alcances serán variables. g = ctc V0 = ctc A = (V0

2 Sen 2)/g, de aquí decimos que K2 = Sen2 /g, luego:

A V02 El alcance es directamente proporcional al

Cuadrado de la velocidad inicial. LEY DE ALTURA MAXIMA: H = f (???)H = f (???)H= f (V0,,g )H = V0

2 Sen2 / 2g

a) Para lanzamientos en un mismo lugar y con el mismo impulso inicial pero con ángulos de tiro variable, son variables las alturas máximas.

g=ctc =ctc H = V0

2 Sen2/2g, de aquí deducimos que K3 = Sen2/2g; luego:

H Vo2 La altura máxima va ha ser directamente proporcional al

Cuadrado de la velocidad.

TALLER DE TECNICAS DE EVALUACIONTEST DE APTITUD DIFERENCIAL PROGRAMACION N0 1.2PARA ESCUELAS SECUNDARIAS PRIMER TRIMESTRE

FISICA I

162


APELLIDOS...........................................NOMBRES............................................... N0 de lista....................CURSO............. PARALELO............... FECHA........................Prof. LIWINTONG MARQUEZ REYES

Este Test contiene 34 preguntas, entre problemas aplicados a la Ciencia Física y preguntas teóricas relacionadas con la misma. Usted sabrá escoger la respuesta correcta y justificarla detalladamente.

1) SI UN CUERPO SE MUEVE CON ACELERACION NULA, ESTO IMPLICA QUE TIENE VELOCIDAD CONSTANTE:a) Solo en magnitud;b) Sólo en dirección;c) Sólo en magnitud y sentido;d) Sólo en magnitud, dirección, y sentido.

2.- EL PARAMETRO QUE MIDE LOS CAMBIOS DE POSICION EN EL TRANSCURSO DEL TIEMPO ES:

a) La velocidad;b) El desplazamiento o corrimiento.

3.- LA VELOCIDAD ES PROP0RCIONAL AL TIEMPO EN EL MOVIMIENTO:a) Rectilíneo uniforme;b) Rectilíneo uniformemente variado.

4.- ACELERACION NULA QUIERE DECIR VELOCIDAD:a) Constante;b) Variable;c) Variable y constante.

5.- UN MOVIL QUE SE MUEVE EN LINEA RECTA Y CON ACELERACION CONSTANTE TIENE UN MOVIMIENTO:

a) Rectilíneo uniformemente variado;b) Rectilíneo uniforme;c) Circular uniformemente variado.

6.- EN EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME, LA VELOCIDAD DE LA PARTICULA ES: a) Constante solo en magnitud;b) Constante sólo en dirección;c) Constante en magnitud y dirección;

d) Variable.

7.- LT-1 SON LAS DIMENSIONES FISICAS DE:a) El desplazamiento lineal;b) La velocidad angular;c) La aceleración lineal;d) La velocidad lineal.

8.- UNA PARTICULA SE MUEVE SOBRE EL EJE DE LAS “X” CON ACELERACION CONSTANTE. LA PARTICULA TIENE MOVIMIENTO.

a) Circular uniforme;b) Rectilíneo uniformemente variado;c) Rectilíneo uniforme;d) Circular variado.

9.- EN LA PARTE MAS ALTA DE LA TRAYECTORIA DE UN PROYECTIL SE ANULA:a) La velocidad;b) El desplazamiento horizontal;c) La velocidad vertical;

163


d) La aceleración.

10.- ES VERDAD LA PROPOSICION: UN MOVIL TIENE:a) La velocidad constante y rapidez variable;b) La velocidad nula y la aceleración nula;c) La velocidad variable y rapidez constante;d) La velocidad variable y aceleración nula.

11.- UN VOLANTE SE DESPLAZA EN RADIANES, CUANDO GIRA;a) Dos revoluciones;b) Una revolución;c) Media revolución;d) Diez revoluciones.

12.- DOS PROYECTILES SE DESPLAZAN CON LA MISMA VELOCIDAD INICIAL; EL UNO CON UN ANGULO DE TIRO DE 30 GRADOS, Y EL SEGUNDO CON UN ANGULO DE TIRO DE 60 GRADOS. LOS PROYECTILES LOGRAN:

a) Iguales alcances y alturas máximas;b) Diversos alcances y diversas alturas máximas;c) Diversos alcances e iguales alturas máximas;d) Iguales alcances y diversas alturas máximas.

13.- UNA PIEDRA SE SUELTA DESDE EL REPOSO Y CAE LIBREMENTE. AL CABO DE 4 SEGUNDOS SU RAPIDEZ VALE:

a) 9,81m/s;b) 20m/s2;c) 24,39m/s;d) 39,24m/s.

14.- MEDIANTE LA EXPRESION “r. w” SE DETERMINA LA MAGNITUD DE:a) La velocidad lineal;b) La aceleración centrípeta;c) La aceleración angular.

15.- LA VELOCIDAD Y LA ACELERACION DE UNA PARTICULA LANZADAVERTICALMENTE HACIA ARRIBA, EN EL PUNTO MAS ALTO DE LA TRAYECTORIA VALEN RESPECTIVAMENTE:

a) 0 y 0;b) 0 y g;c) 20 y g.

16.- LA VELOCIDAD HORIZONTAL DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL SOBRE SU TRAYECTORIA ES:

a) Constante en todo instante;b) Aumenta al subir y disminuye al bajar;c) Disminuye al subir y aumenta al bajar;d) Aumenta en todo instante.

17.- SI UN CUERPO SE MUEVE CON ACELERACION NULA, ESTO IMPLICA QUE TIENE VELOCIDAD CONSTANTE.

a) Sólo en magnitud;b) Sólo en dirección;c) Sólo en magnitud y sentido;d) En magnitud, dirección y sentido.

18.- EN EL TIRO DE PROYECTILES, MEDIANTE LA EXPRESION V0 Cost. Se mide:a) La velocidad horizontal;b) El desplazamiento horizontal;c) La velocidad vertical;

164


d) El desplazamiento vertical.

19.- LT-2 SON LAS DIMENSIONES FISICAS DE:a) El desplazamiento lineal;b) La aceleración lineal;c) La aceleración angular.

20.- LA VELOCIDAD DE AVANCE DE UN PROYECTIL HORIZONTAL ES CONSTANTE EN TRAMO DE:

a) Ascenso;b) Descenso.

21.- EL MOVIMIENTO DE CAIDA ES UNIFORMEMENTE:a) Variado;b) Acelerado.

22.- LA VELOCIDAD VERTICAL ES DECRECIENTE EN EL TRAMO DE:a) Subida de un proyectil;b) Bajada de un proyectil.

23.- EL TIRO DE PROYECTILES ES UN MOVIMIENTO:a) Cúbico;b) Simétrico.

24.- LANZAMIENTOS EN EL MISMO LUGAR, CON UN MISMO ANGULO DE TIRO, PERO CON IMPULSO INICIAL VARIABLE, SE OBTIENEN ALCANCES:

a) Variables;b) Constantes.

25.- LANZAMIENTOS EN EL MISMO LUGAR CON UN MISMO ANGULO DE TIRO, PERO CON IMPULSOS INICIALES VARIABLES SE OBTIENEN ALTURAS MAXIMAS:

a) Constantes;b) Variables.

26.- EN UN MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL LA VELOCIDAD Y LA ACELERACION:a) Ambas varían;b) Cambia y no varía.

27.- CUANDO UN PROYECTIL LLEGA A LA PARTE MAS ALTA DE SU TRAYECTORIA, ADOPTA EL MAXIMO EL:

a) Desplazamiento vertical;b) El desplazamiento horizontal.

28.- EN EL TRAMO DE DESCENSO DE UN PROYECTIL ES CRECIENTE:a) La aceleración;b) El desplazamiento;c) La velocidad.

29.- COMO SE COMPORTA LA VELOCIDAD DE UN MOVIMIENTO HORIZONTAL DE UN PROYECTIL.

a) Es constante distinta de cero;b) Es constante igual a cero.

30.- EN QUE PUNTO DEL MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL LA ACELERACION AUMENTA.a) En el punto de altura máxima;b) Ninguno por ser constante;c) En el punto de alcance máximo.

31.- PORQUE EL MOOVIMIENTO DE TIRO DE PROYECTILES ES UNIFORMEMENTE VARIADO.

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a) Por ser la velocidad constante ,b) Por ser la aceleración constante;c) Por ser un movimiento simétrico..

32.- CUAL PROPOSICION ES VERDADERA.a) En el movimiento de caída libre, el desplazamiento se asume de sentido negativo si progresa

hacia arriba y positivo si progresa hacia abajo;b) En el movimiento de caída libre el desplazamiento se asume de sentido positivo si progresa

hacia arriba y negativo si progresa hacia abajo.

33.- LA CAIDA EN EL VACIO ES UN MOVIMIENTO.a) Uniformemente variado;b) Rectilíneo uniformemente variado.

34.- EL MOVIMIENTO DE CAIDA LIBRE ES UN MOVIMIENTO:a) Rectilíneo uniformemente variado;b) Uniformemente variado.

LIWINTONG MARQUEZ

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El Mundo Magico de La Fisica Liwintong Marquez Reyes

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