EL MTODO DE LA SECANTEEs otro mtodo para aproximar el cero de una funcin en el que en cada iteracin se evala la funcin y no la derivada. A continuacin se presenta este mtodo.Utiliza la misma frmula del Mtodo de Newton:

pero en lugar de utilizar la derivadaf (xn), este valor se aproxima por

Al reemplazar esta aproximacin def (xn) en la frmula de Newton resulta:

Ya que el clculo dexn+1requiere conocerxnyxn-1, se debe dar al principio dos aproximaciones inicialesx0yx1.La interpretacin geomtrica del mtodo de la secante es similar a la del mtodo de Newton. La recta tangente a la curva se reemplaza por una recta secante. El cero de f se aproxima por el cero de la recta secante af,. Six0yx1son las aproximaciones iniciales, la aproximacinx2es la interseccin de la recta que une los puntos (x0,f(x0)) y (x1,f(x1)). La aproximacinx3es la interseccin de la recta que une los puntos (x1,f(x1)) y (x2,f(x2)) y as sucesivamente.MTODO DE LA SECANTE Debemos recordar que una de las debilidades del mtodo de Newton es que utiliza la derivada de la funcin y se trata de encontrar un cero de esta. Es en este sentido que surge una diversidad de mtodos y uno de ellos es el Mtodo de la Secante que analizaremos en adelante.Supongamos que estamos interesados en solucionar la debilidad de la metodologa de Newton, empecemos por reemplazar la derivada f (x) en la secuencia que origina el mtodo de Newton por un cociente de diferencias es decir:

recordemos que esta relacin tiene como fundamento la definicin de la derivada de f(x) en trminos de un lmite, realicemos tal sustitucin enunciada y as tendremos.

Observemos que si calculamos xk+1 entonces se requiere conocer xk y xk-1 esto quiere decir que se deben de dar en la problemtica estos dos valores.As tambin se observa que para determinar el valor de xk slo se requiere un clculo de f(x) INTERPRETACIN GRFICA La interpretacin grfica es similar que la interpretacin grafica del mtodo de Newton solo que en este caso se debe de considerar la lnea tangente como una lnea secante r Xk+1 Xk Xk-1f(Xk)f(Xk-1)f(x)Lnea secante a la funcin f(x)

EJEMPLOS

Usar el mtodo de la secante para encontrar una raz real de la ecuacin polinomial , considere x0 = 0; x1 = 1, usar como criterio de convergencia la secuencia de distancias de aproximacin a la raz.

Solucin a) Aplicamos la secuencia que determina la metodologa:

Entonces x2 = 1.53846b) X3 = 1.35031c) X4 = 1.36792d) X5 = 1.36881A seguir presentamos el cuadro que se obtiene al realizar dicha metodologa en el cual observaremos que se trata de un mtodo rpido en convergencia casi tan igual que el Mtodo de Newton pero mucho ms rpido que el Mtodo de Punto Fijo Iteraciones kxk

00.000000.00000

11.000001.00000

21.538560.53846

31.350310.18815

41.367920.01761

51.368810.00090

Ejemplo

Usar el mtodo de la secante para encontrar una raz real de la ecuacin polinomial , considere x0 = 7; x1 = 8, usar como criterio de convergencia la secuencia de distancias de aproximacin a la raz .Solucin a) Aplicamos la secuencia que determina la metodologa:

Entonces x2 = 7.05895b) X3 = 7.11764c) X4 = 7.11289d) X5 = 7.11306e) X6 = 7.11306a seguir presentamos el cuadro que se obtiene al realizar dicha metodologa en el cual observaremos que se trata de un mtodo rpido en convergencia casi tan igual que el Mtodo de Newton pero mucho ms rpido que el Mtodo de Punto Fijo

iteraciones kxk

07.00000

18.000001.00000

27.058950.94105

37.117640.05859

47.112890.00475

57.113060.00017

67.113060.00000