�He encontrado una demostración absolutamente maravillosa, pero el margen de esta hoja es demasiado estrecho para

incluirla��

Con estas palabras, Pierre de Fermat (1601-1665) planteó un problema que ha obsesionado a los matemáticos durante siglos.

Su teorema parecía lo suficientemente sencillo para que lo resolviera un ni�o. Pero se resistió a las mentes más lúcidas.

Numerosos científicos dedicaron toda su vida a la búsqueda de la solución: Sophie Germain (1776-1831) se hizo pasar por

hombre para investigar en un campo, las matemáticas, vetado a las mujeres; Evariste Galois (1811-1832) anotó los resultados

de su análisis, bien avanzada la noche, antes de acudir a un duelo en el que moriría; el japonés Yutaka Taniyama se quitó la

vida, desesperado, y el alemán Paul Wolfskehl aseguró que Fermat lo había salvado del suicidio.

Fueron necesarios más de trescientos a�os para que un afable inglés, Andrew Wiles, descifrara el misterio en 1995. Wiles

había so�ado con demostrar el teorema cuando lo leyó en su infancia. Consiguió hallar la solución tras días y noches de

infatigable trabajo y de numerosos fracasos y decepciones.

El enigma de Fermat es la magnífica historia de una búsqueda científica sin precedentes, llena de ingenio, inspiración y

perseverancia. El último teorema de Fermat ha revelado, por fin, su secreto. Ha dejado de ser una obsesión. Ya no es un

misterio.

Simon Singh

El enigma de Fermat

e Pub r1.0

A ntw a n 27.05.13

Título original: Fermat’s Last TheoremSimon Singh, 1997Traducción: David Galadí & Jordi Gutiérrez

Editor digital: AntwanePub base r1.0

A la memoria dePakhar Singh Birring

Prólogo

Por fin nos encontramos en una habitación que, aunque no estaba abarrotada, era lo bastante ampliapara contener todo el Departamento de Matemáticas de Princeton con ocasión de las grandescelebraciones. Aquella tarde en particular no había demasiada gente allí, pero sí la suficiente comopara que dudara de quién era Andrew Wiles. Tras unos instantes, observé a un hombre de aspectotímido que escuchaba las conversaciones a su alrededor bebiendo té mientras asistía a la reunión ritualde cerebros que los matemáticos de todo el mundo efectúan cada tarde alrededor de las cuatro. Él,simplemente, supuso quién era yo.

Fue el final de una semana extraordinaria. Me había reunido con algunos de los mejoresmatemáticos del momento y había empezado a obtener una visión de su mundo desde dentro. Aquélfue nuestro primer encuentro a pesar de todos mis intentos anteriores de concertar una cita conAndrew Wiles para hablar con él y convencerlo de que tomara parte en un documental sobre suslogros para la serie «Horizon» de la BBC. Aquél era el hombre que recientemente había anunciadohaber hallado el Santo Grial de las matemáticas, el hombre que aseguraba haber demostrado el últimoteorema de Fermat. Mientras hablábamos, Wiles tenía un aire distraído y retraído, y, aunque eraeducado y amistoso, era evidente que me quería lo más lejos posible de él. Explicó con sencillez queno le sería posible concentrarse en nada excepto en su trabajo, que estaba en una etapa crítica, peroque tal vez en el futuro, cuando la presión actual hubiera desaparecido, estaría encantado de tomarparte en el programa. Sabía, y él sabía que yo lo sabía, que se estaba enfrentando al derrumbamientode la ambición de su vida, y que el Santo Grial se había revelado ahora nada más que como una copabastante bonita y valiosa, pero corriente. Había encontrado un punto débil en su anunciadademostración.

La historia del último teorema de Fermat es única. En la época en que hablé por primera vez conAndrew Wiles había llegado a la conclusión de que se trataba de una de las grandes historias en laesfera del esfuerzo científico y académico. Vi los titulares en el verano de 1993, cuando lademostración había puesto las matemáticas en las primeras planas de los diarios de ámbito nacionalde todo el mundo. En aquel momento sólo tenía un vago recuerdo de lo que era el último teorema,pero vi que aquello era algo muy especial y que tenía un cierto aroma a documental para «Horizon».Pasé las siguientes semanas hablando con varios matemáticos: los que estaban profundamenteimplicados en la historia, o estaban muy próximos a Andrew, y los que simplemente sentían laemoción de ser testigos de un gran evento en su campo. Todos compartieron generosamente conmigosus conocimientos sobre historia de las matemáticas y me comunicaron con paciencia lo poco quepude comprender de los conceptos involucrados. Pronto tuve la certeza de que sólo una mediadocena de personas en todo el mundo estaban en condiciones de comprender realmente todo elmaterial sobre el tema. Durante un tiempo me pregunté si estaría loco al intentar grabar eldocumental. Pero de aquellos matemáticos aprendí acerca de la rica historia y sobre el aún másprofundo significado de Fermat para las matemáticas y los que las practican, y aquí, me di cuenta, eradonde realmente estaba la historia.

Conocí los orígenes del problema en la antigua Grecia y supe que el último teorema de Fermat erael pico más alto del Himalaya de la teoría de números. Me introdujeron en la belleza estética de lasmatemáticas y empecé a apreciar qué significa describir las matemáticas como el lenguaje de lanaturaleza. A través de los coetáneos de Wiles capté la naturaleza hercúlea de su trabajo al reunir lastécnicas más recientes para usarlas en su demostración. Sus amigos en Princeton me hablaron delintrincado progreso que obtuvo durante años de estudio en solitario. Me construí una imagenextraordinaria sobre Andrew Wiles y el enigma que dominaba su vida, pero parecía destinado a noencontrarme jamás con él en persona.

Aunque las matemáticas relacionadas con la demostración de Wiles se cuentan entre las másdifíciles del mundo, descubrí que la belleza del último teorema de Fermat radica en el hecho de que elproblema en sí es tremendamente fácil de entender. Constituye un enigma que se puede enunciar entérminos comprensibles para cualquier escolar. Pierre de Fermat fue un hombre de la tradiciónrenacentista que estuvo en el centro del redescubrimiento de la antigua sabiduría griega. Pero élenunció una pregunta en la que los griegos no habían pensado, y al hacerlo creó el que llegaría a ser elproblema más difícil de resolver. De forma tentadora, dejó una nota para la posteridad en la quesugería que poseía una respuesta, pero no cuál era. Este fue el inicio de una caza que duró tres siglos.

Este periodo de tiempo refuerza la importancia del enigma. Es difícil concebir algún problema, encualquier disciplina científica, tan simple y claramente planteado que pueda haber resistido durantetanto tiempo el examen de los progresos del conocimiento. Consideremos los avances en física,química, biología, medicina e ingeniería desde el siglo XVII. En medicina se ha progresado desde los«humores» hasta la ingeniería genética, se han identificado las partículas atómicas fundamentales yhemos llevado hombres a la Luna; pero, en teoría de números, el último teorema de Fermatpermanecía inexpugnable.

Durante un tiempo en mi investigación busqué las razones por las que el último teorema deFermat pudiera interesar a cualquiera que no fuera un matemático, y por qué sería importante hacerun programa acerca de él. Las matemáticas tienen un montón de aplicaciones prácticas, pero en elcaso de la teoría de números los usos más estimulantes que se me ofrecieron fueron en criptografía,en el diseño de pantallas acústicas y en la comunicación con sondas espaciales lejanas. Ninguno deellos parecía apropiado para atraer a la audiencia. Mucho más atractivos eran los mismosmatemáticos y la pasión que expresaban cuando hablaban de Fermat.

Las matemáticas son una de las formas más puras de pensamiento y, para los profanos, losmatemáticos casi parecen seres de otro mundo. Lo que me impactó en todas las conversaciones conellos fue la extraordinaria precisión de su discurso. Una pregunta rara vez se respondía de inmediato;a menudo debía esperar mientras la estructura precisa de la respuesta se resolvía en su mente, pero alfin emergía un argumento tan articulado y cuidadoso como yo pudiera haber deseado. Cuandoconversé sobre esto con Peter Sarnak, un amigo de Andrew, me explicó que los matemáticossimplemente odian hacer afirmaciones falsas. Por supuesto, usan la intuición y la inspiración, perolas afirmaciones formales deben ser absolutas. La demostración se encuentra en el corazón de lasmatemáticas, y es lo que las diferencia del resto de las ciencias. Otras ciencias tienen hipótesis que secomprueban por medio de la evidencia experimental hasta que fallan y son sustituidas por nuevashipótesis. En matemáticas, el objetivo es la demostración absoluta, y cuando algo se demuestra espara siempre, sin posibilidad de cambio. En el último teorema, los matemáticos tenían su mayor reto,

y la persona que encontrara la respuesta recibiría la adulación de todos los integrantes de ladisciplina.

Se ofrecieron premios y florecieron rivalidades. El último teorema posee una rica historia quellega a la muerte y al engaño, e incluso ha estimulado el desarrollo de las matemáticas. Como ha dichoBarry Mazur, matemático de Harvard, Fermat añadió un cierto animus a aquellas áreas de lasmatemáticas asociadas con los primeros intentos de demostración. Irónicamente, resultó que justouna de tales áreas de las matemáticas fue decisiva en la demostración final de Wiles.

Mientras obtenía gradualmente una comprensión de este campo poco familiar para mí, empecé aapreciar la importancia capital del último teorema de Fermat para las matemáticas, e incluso suparalelismo con la historia de las matemáticas mismas. Fermat fue el padre de la moderna teoría denúmeros, y desde aquel tiempo las matemáticas han evolucionado, progresado, y se han ramificadoen varios campos arcanos, en los que nuevas técnicas han engendrado nuevas áreas de lasmatemáticas y se han transformado en fines en sí mismas.

Con el paso de los siglos, el último teorema pareció cada vez menos relevante para el desarrollode las investigaciones de vanguardia en matemáticas y se fue transformando en una curiosidad. Peroahora queda claro que su importancia capital para las matemáticas nunca disminuyó.

Los problemas sobre números, como el que planteó Fermat, son como rompecabezas paracolegiales, y a los matemáticos les encanta resolver rompecabezas. Para Andrew Wiles existía unomuy especial, y nada menos que la ambición de su vida. Treinta años antes, cuando era niño, elúltimo teorema de Fermat lo inspiró al tropezar con él en un libro de la biblioteca pública. El sueñode su niñez y de su madurez fue resolver el problema, y cuando reveló por primera vez sudemostración en aquel verano de 1993 aquello representaba el final de siete años de duro trabajodedicado al problema, con un grado de concentración y determinación difícil de imaginar. Varias de lastécnicas que usó aún no habían sido creadas cuando empezó su labor. Agrupó el trabajo de muchos ybuenos matemáticos, uniendo ideas y creando conceptos que otros habían temido desarrollar. Encierto sentido, como dijo Barry Mazur, todo el mundo había estado trabajando en Fermat, pero deforma separada y sin tenerlo como objetivo, porque la demostración necesitó de todo el poder de lasmatemáticas modernas para llegar a la solución. Lo que hizo Andrew fue reunir, una vez más, áreasde las matemáticas que se habían creído muy lejanas entre sí. En consecuencia, su trabajo pareciójustificar toda la diversificación que las matemáticas habían sufrido desde que se formuló el problema.

En el desarrollo de su prueba de Fermat, Andrew demostró una idea conocida como la conjeturade Taniyama-Shimura, que creó un nuevo puente entre mundos matemáticos completamentedistintos. Para muchos, el objetivo supremo es el de unas matemáticas unificadas, y esto fue undestello de un mundo así. Por tanto, al demostrar Fermat, Andrew Wiles había cimentado algunas delas partes más importantes de la teoría de números del periodo de posguerra y asegurado la base deuna pirámide de conjeturas que se basaban en ella. Ya no era tan sólo el haber resuelto el enigmamatemático más duradero, sino haber hecho avanzar las fronteras de la matemática misma. Fue comosi el simple problema de Fermat, nacido cuando las matemáticas estaban en su infancia, hubieraestado esperando este momento.

La historia de Fermat había acabado de la forma más espectacular. Para Andrew Wiles significó elfin de un aislamiento profesional casi ajeno a las matemáticas, que es una actividad de colaboración.La hora del té es un ritual de la tarde en los departamentos de matemáticas de todo el mundo;

constituye el momento en que las ideas se ponen en común, y la norma es que se compartan antes desu obligada publicación. Ken Ribet, un matemático que ha sido decisivo en la demostración, mesugirió, bromeando sólo a medias, que es la inseguridad de los matemáticos la que hace imprescindibleel apoyo entre colegas. Andrew Wiles había renunciado a todo esto y guardó su trabajo para símismo, salvo en las últimas etapas. Esto es otra muestra de la importancia de Fermat. Wiles tenía unaverdadera pasión por ser el primero en resolver el problema, una pasión suficientemente fuerte comopara dedicarle siete años de su vida y mantener su objetivo en secreto. Sabía que, por irrelevante quepareciera el problema, la competencia por Fermat nunca había disminuido y no podía arriesgarse arevelar lo que estaba haciendo.

Tras semanas de investigación sobre el tema, llegué a Princeton. Para los matemáticos, el grado deemoción fue intenso. Había encontrado una historia de rivalidad, éxito, aislamiento, genio, triunfo,celos, intensa presión, derrota e incluso tragedia. En el corazón de la crucial conjetura de Taniyama-Shimura estaba la trágica vida de Yutaka Taniyama en el Japón de posguerra, cuya historia tuve lasuerte de oír en palabras de su amigo Goro Shimura. De Shimura también aprendí la noción de«bondad» en matemáticas, donde las cosas se «sienten» correctas simplemente porque son buenas.De algún modo, el sentido de bondad llenó la atmósfera de las matemáticas aquel verano. Todosestábamos disfrutando de aquel momento glorioso.

Con todo esto en marcha no es de extrañar el peso de la responsabilidad que sentía Andrewmientras el error había ido apareciendo durante el otoño de 1993 Con los ojos de todo el mundopuestos en él y con sus colegas pidiendo que hiciera pública la demostración, de alguna forma, y sóloél sabrá cómo, no se vino abajo. Pasó de hacer matemáticas en privado, y a su propio ritmo, atrabajar repentinamente en público. Andrew es un hombre profundamente reservado que luchómucho para proteger a su familia de la tormenta que se desencadenaba a su alrededor. Durante lasemana que estuve en Princeton lo llamé, le dejé notas en su despacho, en el rellano de su piso y asus amigos; incluso le regalé té inglés. Pero él resistió a mis proposiciones hasta aquel afortunadoencuentro el mismo día de mi partida. Siguió una conversación tranquila e intensa que tan sólo duróquince minutos.

Cuando nos separamos aquella tarde habíamos llegado a un acuerdo. Si él era capaz derecomponer la demostración, entonces vendría a discutir sobre el documental; yo estaba preparadopara esperar. Pero mientras volaba de regreso aquella noche sentía que mi programa de televisiónestaba muerto. Nadie había sido capaz de solucionar el problema en las diversas demostraciones deFermat a lo largo de tres siglos. La historia está plagada de falsos anuncios de demostración y, pormucho que deseara que él fuera una excepción, era difícil imaginar a Andrew como algo más que otralápida en el cementerio matemático.

Un año después recibí una llamada. Tras una extraordinaria pirueta matemática, con un destellode verdadera intuición e inspiración, Andrew había conseguido llevar Fermat a buen término. Un añodespués encontramos el tiempo necesario para dedicarlo a la filmación. Para entonces yo habíainvitado a unirse a mí en la producción del reportaje a Simón Singh, y juntos pasamos algún tiempocon Andrew, conociendo por él mismo la historia completa de siete años de estudio en solitario y delinfernal año que siguió. Mientras rodábamos, Andrew nos habló, como no lo había hecho con nadie,de sus sentimientos más profundos acerca de lo que había realizado; cómo durante treinta años sehabía obsesionado con un sueño de la infancia; cómo buena parte de las matemáticas que había

estudiado durante tanto tiempo había sido en realidad, sin que él mismo lo supiera, un acopio deinstrumentos para el reto de Fermat que había dominado su carrera; cómo nada volvería a ser lomismo; de su sentimiento de pérdida por el problema que ya no volvería a ser su constantecompañía, y de la sensación de alivio ante la libertad que experimentaba ahora. Aunque se trata deuna materia tan difícil de comprender como pueda imaginarse para una audiencia profana, laintensidad emocional de nuestras charlas fue la mayor que haya vivido nunca a lo largo de mi carreracomo productor de documentales científicos. Para Andrew, aquél era el fin de un capítulo en su vida.Para mí fue un privilegio presenciar de cerca este final.

El documental fue emitido por la cadena BBC con el título Horizon: El último teorema deFermat. Simón Singh ha ampliado aquellas revelaciones y aquellas conversaciones privadas, junto conla gran riqueza de la historia de Fermat y la de las matemáticas que siempre han rodeado dichoproblema, en este libro que es una relación completa y esclarecedora de una de las más grandeshistorias en los anales del pensamiento humano.

John Lynch,editor de la serie «Horizon» para la cadena BBC

Marzo de 1997

Prefacio

La historia del último teorema de Fermat está inseparablemente unida a la de las matemáticas, y tocatodos los temas principales de la teoría de números. Proporciona una visión única de los principiosmotores de las matemáticas y, tal vez aún más importante, de lo que inspira a los matemáticos. Elúltimo teorema ocupó el centro de una intrigante saga de valor, embustes, trucos y tragedia queinvolucró a los mayores héroes de las matemáticas.

El último teorema de Fermat tiene sus orígenes en las matemáticas de la antigua Grecia, dos milaños antes de que Pierre de Fermat planteara el problema en la forma en que se conoce hoy en día.Por lo tanto, conecta los fundamentos matemáticos creados por Pitágoras con las ideas mássofisticadas de las matemáticas modernas. Al escribir este libro he optado por una estructurabásicamente cronológica que empieza describiendo el carácter revolucionario de la HermandadPitagórica y acaba con la historia personal de Andrew Wiles y de su lucha por encontrar la soluciónal problema de Fermat.

El capítulo 1 cuenta la historia de Pitágoras, y muestra cómo su teorema es el antecesor directodel último teorema. También describe algunos de los conceptos fundamentales en matemáticas a losque recurriremos a lo largo del libro. El capítulo 2 lleva la historia de la antigua Grecia a la Francia delsiglo XVII, donde Pierre de Fermat creó el más profundo enigma en la historia de las matemáticas.Para transmitir el extraordinario carácter de Fermat y su contribución a las matemáticas, que vamucho más allá de su último teorema, dedico varias páginas a su vida y a algunos otros de susbrillantes descubrimientos.

Los capítulos 3 y 4 reseñan algunos de los intentos de demostración del último teorema deFermat durante los siglos XVIII, XIX y principios del XX. Aunque estos esfuerzos finalizaron enfracasos, condujeron a un maravilloso arsenal de técnicas y herramientas matemáticas, algunas de lascuales han sido parte integrante de los últimos intentos para probar el último teorema. Además dedescribir las matemáticas he dedicado buena parte de esos capítulos a los matemáticos que seobsesionaron con el legado de Fermat. Sus historias muestran cómo estaban dispuestos a sacrificarlotodo en la búsqueda de la verdad, y cómo las matemáticas han evolucionado a lo largo de los siglos.

El resto de capítulos del libro enumeran los eventos de los últimos cuarenta años que hanrevolucionado el estudio del último teorema de Fermat. En particular, los capítulos 6 y 7 se centranen el trabajo de Andrew Wiles, cuyos avances en la última década sorprendieron a la comunidadmatemática. Estos últimos capítulos están basados en extensas entrevistas con Wiles. Ésta fue unaoportunidad única para mí de obtener información de primera mano sobre uno de los másextraordinarios viajes intelectuales del siglo XX, y espero haber sido capaz de transmitir la creatividady heroísmo que se requirieron durante los diez años que duró la rigurosa experiencia que sufrió Wiles.

Al contar la historia de Pierre de Fermat y su desconcertante enigma he intentado describir losconceptos matemáticos sin recurrir a las ecuaciones, pero de manera inevitable x, y y z asomanocasionalmente sus feas cabezas. Cuando aparecen ecuaciones en el texto he intentado proveerlas deexplicaciones suficientes para que incluso los lectores sin conocimientos de matemáticas sean capaces

de comprender su significado. Para aquellos lectores con un conocimiento ligeramente más profundoen el tema he incluido una serie de apéndices que tratan más extensamente las ideas matemáticascontenidas en el texto principal. Además, he incluido una lista de lecturas complementarias que estádedicada en general a proporcionar a los legos más detalles acerca de áreas particulares de lasmatemáticas.

Esta obra no habría sido posible sin la ayuda y colaboración de mucha gente. En particular, megustaría manifestar mi agradecimiento a Andrew Wiles, que lo dejó todo para concederme largas ydetalladas entrevistas durante un periodo de intensa presión. Durante mis siete años como periodistacientífico nunca había encontrado a nadie con un nivel mayor de pasión y compromiso con su objetode estudio, y estaré eternamente agradecido de que el profesor Wiles estuviera dispuesto a compartirsu historia conmigo.

También deseo dar las gracias al resto de matemáticos que me ayudaron a escribir el libro y queme permitieron entrevistarlos en profundidad. Algunos de ellos han estado involucrados en la luchacon el último teorema de Fermat, mientras que otros fueron testigos de los sucesos históricos de losúltimos cuarenta años. Las horas que pasé interrogándolos y charlando con ellos fuerontremendamente agradables y agradezco su paciencia y entusiasmo durante las explicaciones que medieron sobre tantos y tan bellos conceptos matemáticos. En particular, me gustaría dar las gracias aJohn Conway, Nick Katz, Barry Mazur, Ken Ribet, Peter Sarnak, Goro Shimura y Richard Taylor.

Asimismo estoy agradecido a Jacquelyn Savani, de la Universidad de Princeton, DuncanMcAngus, Jeremy Gray, Paul Balister y al Isaac Newton Institute por su ayuda en la búsqueda dematerial para mi investigación. Gracias también a Patrick Walsh, Christopher Potter, BernadetteAlves, Sanjida O’Connell y a mis padres por sus comentarios y apoyo durante el pasado año.

Finalmente, muchas de las entrevistas citadas se obtuvieron mientras estaba trabajando en eldocumental para televisión sobre el último teorema de Fermat. Me gustaría agradecer a la BBC elpermitirme usar este material y, en particular, tengo una deuda de gratitud con John Lynch, quetrabajó conmigo en el documental y que contribuyó a despertar mi interés en este tema.

Simon SinghThakarki, Phagwara

1997

1. «CREO QUE LO DEJARÉ AQUÍ»

El recuerdo de Arquímedes persistirá cuando Esquilo esté ya olvidado, porque las lenguasmueren y los conceptos matemáticos no. Inmortalidad es tal vez un término estúpido, pero quizáun matemático posea las mayores probabilidades de alcanzarla, sea cual sea su significado.

G. H. Hardy

Cambridge, 23 de junio de 1993

Fue la conferencia sobre matemáticas más importante del siglo. Doscientos especialistas en la materiaquedaron pasmados. De ellos, sólo una cuarta parte comprendió la totalidad de aquella densa mezclade símbolos griegos y álgebra que cubría el encerado. El resto estaba allí simplemente para asistir a loque esperaban fuera un verdadero acontecimiento histórico.

Los rumores comenzaron el día anterior. Un mensaje electrónico a través de Internet insinuabaque el acto culminaría en la resolución del último teorema de Fermat, el problema matemático máscélebre del mundo. No pocas veces habían circulado habladurías semejantes. El último teorema deFermat era un tema frecuente durante el té y los matemáticos especulaban sobre quién podría estarhaciendo algo y en qué consistiría. De tanto en tanto, las conversaciones matemáticas en la sala deprofesores convertían la especulación en rumores sobre un gran logro, pero éste nunca llegaba amaterializarse.

Esta vez, los comentarios eran distintos. Un estudiante investigador de Cambridge estaba tanconvencido de que era cierto que se apresuró a buscar a los corredores de apuestas para jugarse diezlibras esterlinas a que el último teorema de Fermat estaría demostrado en menos de una semana. Peroel corredor se olió algo y rechazó la apuesta. Era el quinto estudiante que lo abordaba en un solo díacon la misma oferta. El último teorema de Fermat había desconcertado a los mayores genios delplaneta durante más de trescientos años y, sin embargo, de pronto hasta los corredores de apuestassospechaban que estaba a punto de ser resuelto.

Cuando las tres pizarras estuvieron atiborradas de cálculos se interrumpió la disertación.Borraron la primera y el álgebra se reanudó. Cada línea constituía un minúsculo paso más hacia lademostración, pero treinta minutos después el orador aún no la había revelado. Los profesores,concentrados en las primeras filas, esperaban ansiosos el desenlace. Los estudiantes, al fondo,aguardaban a que sus maestros dieran muestras de cuál iba a ser la conclusión. ¿Estaban asistiendo ala demostración completa del último teorema de Fermat o el disertante estaba perfilando sólo unrazonamiento parcial y decepcionante?

El orador era Andrew Wiles, un reservado inglés que en los años ochenta había emigrado aEstados Unidos y aceptado una cátedra en la Universidad de Princeton. Allí adquirió fama de ser unode los mejores talentos matemáticos de su generación. En los últimos años, sin embargo, casi habíadesaparecido de la serie anual de conferencias y seminarios y sus colegas empezaron a pensar que

Wiles estaba acabado. No es inusual que los jóvenes brillantes se quemen, según apunta el eminentematemático Alfred Adler: «La vida matemática de un matemático es corta. Raramente se progresamás allá de los veinticinco años. Si poco se ha logrado hasta entonces, poco se logrará jamás».

«Los jóvenes demuestran los teoremas, los ancianos escriben los libros», observó G. H. Hardy ensu libro A Mathematician’s Apology (Autojustificación de un matemático). «Ningún matemáticoolvida jamás que las matemáticas son un juego de juventud. Sirva como pequeña muestra que elpromedio de edad para el ingreso en la Royal Society es menor en matemáticas». Su estudiante mássobresaliente, Srinivasa Ramanujan, fue elegido miembro de la Royal Society a la temprana edad detreinta y un años porque había logrado una serie de progresos decisivos en su juventud. A pesar dehaber recibido una exigua formación académica en Kumbakonam, su pueblo natal al sur de la India,Ramanujan era capaz de elaborar teoremas y demostraciones que habían escapado a los matemáticosoccidentales. Parece que en esta materia la experiencia adquirida con la edad es menos relevante que laintuición y la osadía de la juventud. Cuando Hardy, el catedrático de Cambridge, supo de susresultados, quedó tan impresionado que lo instó a abandonar su trabajo de humilde oficinista al sur dela India para asistir al Trinity College. Allí podría trabajar conjuntamente con algunos de losprincipales expertos en teoría de números. Por desgracia, los crudos inviernos de East Anglia fueronexcesivos para Ramanujan. Contrajo la tuberculosis y falleció a la edad de treinta y tres años.

Otros matemáticos han hecho carreras igual de brillantes, pero breves. Niels Henrik Abel,noruego del siglo XIX, realizó su mayor aportación a las matemáticas a la edad de diecinueve años ysólo ocho después murió en la miseria, también de tuberculosis. Charles Hermite dijo de él: «Sulegado mantendrá ocupados a los matemáticos durante quinientos años», y desde luego es verdad quelos hallazgos de Abel ejercen aún hoy una influencia considerable en la teoría de números. EvaristeGalois, contemporáneo del anterior y de un talento similar, alcanzó sus mayores logros siendo aúnquinceañero, y en este caso la muerte se produjo a los veintiuno.

Estos ejemplos no pretenden demostrar que los matemáticos mueren de manera prematura ytrágica, sino que suelen concebir sus ideas más profundas en la juventud y que, como dijo Hardy encierta ocasión, «no conozco un solo ejemplo de adelanto matemático relevante debido a alguien quesuperara los cincuenta». Los matemáticos de mediana edad van pasando a menudo a un segundoplano y dedican el resto de su vida a la docencia o a la burocracia más que a la investigación. En elcaso de Andrew Wiles nada podría estar más lejos de la realidad. Aunque rebasaba la avanzada edadde cuarenta, había pasado los siete últimos años trabajando en absoluto secreto, intentando resolverel gran problema de las matemáticas. Mientras otros barruntaban que se había secado, él conseguíaenormes progresos inventando técnicas y herramientas nuevas con las que se iba preparando parademostrar el teorema. Su decisión de trabajar en un aislamiento absoluto fue una estrategia muyarriesgada y, además, inaudita en el mundo de las matemáticas.

A falta de inventos que patentar, el de matemáticas es el departamento menos confidencial encualquier universidad. El colectivo se jacta de un intercambio de ideas libre y abierto y las pausas a lahora del té se han convertido en ceremonias cotidianas en las que los conceptos se comparten yexaminan entre pastas y té Earl Grey. De modo que cada vez es más frecuente encontrar escritospublicados por coautores o por equipos de matemáticos y, así, la gloría se reparte por igual. Encambio, si de verdad el profesor Wiles había dado con la demostración completa y acertada del últimoteorema de Fermat, el premio más ansiado en matemáticas le pertenecía a él y sólo a él. El precio de

su mutismo al no comentar o confirmar de antemano ninguna de sus ideas con los colegas fue queexistían grandes posibilidades de cometer algún error importante.

En condiciones ideales, Wiles habría deseado dedicar más tiempo a repasar su trabajo y a revisarpor entero el manuscrito final. Pero se presentó la oportunidad única de anunciar su descubrimientoen el Isaac Newton Institute de Cambridge, así que abandonó la cautela. El propósito del institutoconsiste en reunir a los mayores genios intelectuales del mundo durante unas cuantas semanas paracelebrar seminarios sobre un tema de investigación elegido por ellos. Situado en los alrededores de launiversidad, lejos de los estudiantes y de otras distracciones, el edificio está especialmente diseñadopara estimular la colaboración entre los académicos a fin de conseguir que surjan ideas geniales.Carece de pasillos donde ocultarse y cada despacho da al foro central. Se pretende que losmatemáticos pasen un cierto tiempo en esta zona común y se los anima a mantener la puerta deldespacho abierta. La colaboración se persigue también durante el desplazamiento dentro del instituto,pues incluso el ascensor, que sólo recorre tres pisos, tiene una pizarra. De hecho, cada habitación deledificio posee al menos una, incluidos los servicios. En esta ocasión, los seminarios en el NewtonInstitute lucían el título de «Funciones-L y aritmética». Toda la cúpula mundial de la teoría denúmeros se había reunido para discutir problemas relativos a esta rama altamente especializada de lasmatemáticas puras, pero sólo Wiles había reparado en que las funciones-L podrían ser la clave pararesolver el último teorema de Fermat.

Aunque era una gran tentación aprovechar la oportunidad de revelar su trabajo ante semejanteaudiencia de élite, la razón principal para hacerlo en el Newton Institute era que éste se encuentra ensu ciudad natal, Cambridge. Allí era donde Wiles había nacido, allí creció y desarrolló su pasión porlos números, y fue en Cambridge donde descubrió el problema que iba a presidir el resto de su vida.

El último problema

En 1963, cuando tenía diez años, Andrew Wiles ya se sentía fascinado por las matemáticas. «Meencantaba resolver los problemas en la escuela. Me los llevaba a casa e inventaba otros por mi cuenta.Pero el mejor problema que encontré jamás lo descubrí en la biblioteca municipal».

Un día, caminando distraído de casa al colegio, el pequeño Wiles decidió entrar en la biblioteca dela calle Milton. Era bastante deficiente en comparación con las bibliotecas de las escuelas, pero, encambio, disponía de una extensa colección de libros de pasatiempos matemáticos, y eso era lo quellamaba la atención de Andrew. Aquellos libros estaban repletos de problemas científicos y deenigmas matemáticos de todo tipo y la solución de cada acertijo estaba convenientemente explicadaen algún rincón de las páginas finales. Sin embargo, aquella vez lo atrajo un libro con un soloproblema, y sin solución. El volumen se titulaba The Last Problem («El último problema»), y en élsu autor, Eric Temple Bell, relataba la historia de un problema matemático que hundía sus raíces en laantigua Grecia y había alcanzado su mayor desarrollo en el siglo XVII. Fue entonces cuando el granmatemático francés, Pierre de Fermat, lo convirtió, sin darse cuenta, en un desafío para el resto delmundo. Genios y más genios de las matemáticas acabaron humillados por el legado de Fermat, y a lolargo de trescientos años nadie había logrado resolverlo. Existen otras cuestiones pendientes enmatemáticas, pero lo que hace tan particular el problema de Fermat es su aparente sencillez. Treinta

años después de haber leído el relato de Bell, Wiles me comentó cómo recordaba el momento en quese encontró con el último teorema de Fermat: «Parecía tan simple, y ninguno de los grandesmatemáticos de la historia lo había demostrado aún. Allí había un problema que yo, un niño de diezaños, podía entender, y desde aquel momento supe que jamás se me iría de la cabeza. Tenía queresolverlo».

El problema parece tan sencillo porque se basa en la única parte de las matemáticas que todospodemos recordar, el teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los otros dos lados.

El resultado de esta cancioncilla pitagórica es que el teorema se ha grabado a fuego en millones, si nomiles de millones, de cerebros humanos. Se trata del teorema básico que todo inocente escolar estáobligado a aprender. Pero aunque un niño de diez años pueda entenderlo, la obra de Pitágoras fue lainspiración para un problema que ha frustrado a los mayores genios matemáticos de la historia.

Pitágoras de Samos fue uno de los personajes más prestigiosos y a la vez de los más misteriososde las matemáticas. Como no hay referencias directas sobre su vida y su obra, su figura está rodeadapor el mito y la leyenda, y eso dificulta a los historiadores discernir entre realidad y ficción. Lo que síparece cierto es que Pitágoras desarrolló la idea de la lógica numérica y fue el responsable de laprimera edad de oro de las matemáticas. Gracias a su genio, los números dejaron de utilizarse tan sólopara contar y calcular y comenzaron a valorarse como objetos en sí mismos. Estudió las propiedadesde cada número, las relaciones entre ellos y las figuras que forman. Se dio cuenta de que los númerosexisten con independencia del mundo perceptible y, por tanto, su estudio no está corrompido por laimprecisión de los sentidos. Así pudo descubrir verdades desligadas de la opinión o del prejuicio ymás absolutas que cualquier conocimiento anterior.

Pitágoras, que vivió en el siglo VI a. J. C., adquirió sus habilidades matemáticas viajando a lo largoy ancho del viejo mundo. Algunos relatos hacen pensar que llegó hasta la India e Inglaterra, pero lomás probable es que recopilara muchas técnicas e instrumentos matemáticos de egipcios ybabilonios. Esas dos civilizaciones antiguas habían ido más allá de los límites del simple cálculo.Supieron realizar cómputos complejos con los que crearon sofisticados sistemas de cálculo ycomplicados edificios. De hecho tenían las matemáticas como meras herramientas para solucionarproblemas prácticos; el estímulo para descubrir algunos de los principios básicos de la geometría fuefacilitar la reconstrucción de las lindes en los campos, las cuales se perdían con las crecidas anualesdel río Nilo. El término geometría significa literalmente «medir la tierra».

Pitágoras observó que los egipcios y los babilonios traducían cada cálculo a la forma de una recetaque luego podían seguir a ciegas. Las recetas, transmitidas de generación en generación, siempre dabanrespuestas correctas, así que nadie se molestaba en cuestionarlas o en indagar la lógica que yacía traslas ecuaciones. Lo importante para estos pueblos era que un cómputo funcionara, el porqué erairrelevante. Después de viajar durante veinte años, Pitágoras había asimilado todos los principiosmatemáticos del mundo conocido y zarpó rumbo a la isla de Samos, en el mar Egeo, su lugar deprocedencia, con la intención de fundar una escuela dedicada al estudio de la filosofía y, en particular,a investigar los principios matemáticos recién adquiridos. Quería entender los números, no sóloexplotarlos. Esperaba encontrar una cantera copiosa de estudiantes librepensadores que lo ayudaran a

desarrollar filosofías nuevas por completo, pero, durante su ausencia, el tirano Polícrates habíaconvertido la Samos liberal de otro tiempo en una sociedad intolerante y conservadora. Polícratesinvitó a Pitágoras a sumarse a su corte, pero el filósofo, consciente que se trataba tan sólo de unamaniobra para silenciarlo, rechazó la oferta. Abandonó la ciudad y se trasladó a una cueva remota dela isla donde poder meditar sin miedo a ser perseguido.

A Pitágoras no le gustó nada aquel aislamiento y al cabo de un tiempo recurrió a sobornar a unmuchacho para que fuera su primer alumno. La identidad del pupilo es dudosa, pero algunoshistoriadores sugieren que también se llamó Pitágoras y que con posterioridad adquirió fama por serla primera persona en aconsejar a los atletas que comieran carne para mejorar su constitución física.Pitágoras, el maestro, pagaba a su alumno tres óbolos por cada lección a la que asistía, y pudo verque la desgana inicial del muchacho para aprender se transformaba, según avanzaban las semanas, enentusiasmo por la sabiduría. Para ponerlo a prueba, Pitágoras fingió que ya no podía pagar alestudiante y que, por tanto, las clases debían cesar. El muchacho respondió entonces que preferíapagar por su formación antes que interrumpirla. El alumno se había convertido en discípulo. Pordesgracia, ésta fue la única adhesión a Pitágoras en Samos. Durante algún tiempo estableció unaescuela, conocida como Semicírculo de Pitágoras, pero sus criterios acerca de la reforma social nofueron aceptados, así que el filósofo se vio obligado a abandonar la colonia en compañía de su madrey de su único discípulo.

Pitágoras se dirigió al sur de Italia, que entonces formaba parte de la Magna Grecia, y se instalóen Crotona, donde tuvo la suerte de encontrar al mecenas perfecto, Milón, el hombre más rico dellugar y uno de los más forzudos de la historia. Si la fama de Pitágoras como sabio de Samos ya seestaba divulgando por toda Grecia, la reputación de Milón era incluso mayor. Tenía unasproporciones hercúleas y había logrado la proeza de ser campeón de los juegos olímpicos y píticosen doce ocasiones. Además del atletismo, Milón valoraba y estudiaba la filosofía y las matemáticas.Cedió una parte de su casa a Pitágoras, el espacio suficiente para crear su escuela. Resultó así que lamente más original y el cuerpo más poderoso se habían asociado.

Seguro en su nuevo hogar, Pitágoras fundó la Hermandad Pitagórica, un grupo de seiscientosdiscípulos capaces no sólo de entender sus enseñanzas, sino también de acrecentarlas con ideas einstrumentos nuevos. Al ingresar en la hermandad, cada miembro debía donar todas sus posesionesmateriales a un fondo común, y en el caso de que alguien la abandonara percibía el doble del importedonado en un principio y se erigía una lápida en su memoria. La hermandad era una escuela igualitariae incluía a varias mujeres entre sus componentes. La estudiante preferida de Pitágoras era lamismísima hija de Milón, la bella Teano, y, a pesar de la diferencia de edad que los separaba, con eltiempo se casaron.

Poco después de crear la hermandad, Pitágoras acuñó el término filósofo, y con él fijó losobjetivos de su escuela. Durante la asistencia a los juegos olímpicos, León, príncipe de Fliunte,preguntó a Pitágoras cómo se definiría a sí mismo. Este respondió: «Soy un filósofo», pero León nohabía escuchado nunca esa palabra y le pidió que se explicara.

La vida, príncipe León, podría compararse con estos juegos. De la vasta multitud aquí reunida, a algunos losatrae el adquirir riquezas, a otros los seduce la esperanza y el deseo de la fama y la gloria. Pero de entre todosellos, unos pocos han venido a ver y entender todo lo que aquí ocurra.Lo mismo sucede con la vida. Unos están influidos por el ansia de riquezas mientras que otros están ciegos,

seducidos por la loca fiebre de poder y dominio. Pero el género más noble del ser humano se dedica a descubrirel significado y la finalidad de la vida en sí misma. Ambiciona desvelar los secretos de la naturaleza. A éste es aquien yo llamo filósofo, porque aunque ningún hombre sea sabio absoluto en todas las materias, sí puede amar lasabiduría como la clave de los secretos de la naturaleza.

Aunque muchos estaban al corriente de las aspiraciones de Pitágoras, nadie ajeno a la hermandadconocía los detalles o el alcance de sus logros. Cada miembro de la escuela debía prestar el juramentode no revelar jamás al mundo exterior ninguno de sus descubrimientos matemáticos. Incluso despuésde la muerte de Pitágoras, un miembro de la hermandad fue ahogado por quebrantar esta promesa.Había anunciado públicamente el descubrimiento de otro sólido regular, el dodecaedro, formado pordoce pentágonos iguales. El carácter tan secreto de la Hermandad Pitagórica es, en parte, la razón deque los extraños rituales que quizá practicaron hayan estado envueltos por el mito. Del mismo modose explica que hoy dispongamos de tan pocos datos fidedignos sobre sus logros matemáticos. Lo quese sabe con certeza es que Pitágoras impulsó una actitud vital que cambió el rumbo de lasmatemáticas. La hermandad era, de hecho, una comunidad religiosa y uno de los ídolos que venerabanera el Número. Creían que podrían descubrir los secretos espirituales del universo y acercarse más alos dioses si comprendían las relaciones entre los números. La hermandad centró sobre todo laatención en el estudio de los números cardinales (1, 2, 3,…) y en las fracciones. A veces, a losnúmeros cardinales se los llama números enteros y, junto a las fracciones (proporciones entrenúmeros enteros), constituyen los denominados técnicamente como números racionales. De entre lainfinidad de números, la hermandad se fijó en los que poseen un significado especial, y unos de losmás especiales son los llamados números perfectos.

Según Pitágoras, la perfección numérica dependía de los divisores de un número (los números quedan un resultado entero al dividir entre ellos el deseado). Por ejemplo, los divisores de 12 son 1, 2, 3,4 y 6. Cuando la suma de los divisores de un número supera su valor se habla de número abundante.Así, 12 es un número abundante porque sus divisores suman 16. Por otra parte, cuando la suma delos divisores de un número es menor que él mismo se lo denomina deficiente. De modo que 10 es unnúmero deficiente porque sus divisores (1, 2 y 5) sólo suman 8.

Los números más raros y significativos son aquellos cuyos divisores suman exactamente su valor,y ésos son los llamados perfectos. El 6 tiene por divisores 1, 2 y 3, así que se trata de un númeroperfecto porque 1 + 2 + 3 = 6. El número perfecto que le sigue es el 28, porque 1 + 2 + 4 + 7 + 14 =28.

Además del significado matemático que tenían para la hermandad, la perfección del 6 y del 28fuereconocida por otras culturas que observaron que la Luna da una vuelta completa alrededor de laTierra cada veintiocho días y que afirmaron que Dios creó el mundo en seis. En La ciudad de Dios,san Agustín sostiene que, aunque Dios podía haber creado su obra en un instante, decidió hacerlo enseis días para poner de manifiesto la perfección del mundo. El mismo observó que el número 6 no esperfecto porque Dios lo haya elegido, sino porque la perfección es inherente a su naturaleza: «El 6 esun número perfecto en sí mismo y no porque Dios creara todas las cosas en seis días. Lo cierto es,más bien, lo contrario; Dios creó todas las cosas en seis días porque ese número es perfecto. Ycontinuaría siéndolo incluso si la obra de los seis días no existiera».

A medida que ascienden los cardinales, se hace más difícil encontrar números perfectos entreellos. El tercer número perfecto es el 496, el cuarto el 8 128, el quinto es el 33 550 336 y el sexto el 8

589 869 056. Además del valor de las sumas de sus divisores, Pitágoras encontró otras propiedadeselegantes en todos los números perfectos. Por ejemplo, que los números perfectos siempre sonresultado de la suma de una serie consecutiva de números cardinales. Así tenemos

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7,

496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 30 + 31,

8 128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + … + 126 + 127.

Pitágoras se entretuvo con los números perfectos, pero no le bastó coleccionar aquellos númerosespeciales, sino que quiso ahondar en su significado más profundo. Una de sus revelaciones fue quela perfección iba muy vinculada a la binariedad. Los números 4 (2 × 2), 8 (2 × 2 × 2), 16 (2 × 2 × 2 ×2), etc., son conocidos como potencias de 2 y pueden escribirse como 2ⁿ, donde n representa elnúmero de veces que el 2 se multiplica por sí mismo. Para ser perfectas, todas estas potencias de 2sólo fallan en que la suma de sus divisores siempre resulta menor que ellas en una unidad. Esto losconvierte en ligeramente deficientes:

2² = 2 × 2 = 4, Divisores 1, 2 Suma = 3,

2³ = 2 × 2 × 2 = 8, Divisores 1, 2, 4 Suma = 7,

24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16, Divisores 1, 2, 4, 8 Suma = 15,

25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, Divisores 1, 2, 4, 8, 16 Suma = 31.

Doscientos años después, Euclides iba a refinar la relación pitagórica entre la binariedad y laperfección. Euclides descubrió que los números perfectos son siempre múltiplos de dos números,uno de los cuales es potencia de dos y el otro es la siguiente potencia de dos menos uno. O lo que eslo mismo,

6 = 21 × (2² − 1),

28 = 2² × (2³ − 1),

496 = 24 × (25 − 1),

8 128 = 26 × (27 − 1),

Los ordenadores actuales han continuado el registro de los números perfectos y han encontradoejemplos tan extraordinariamente elevados como 2216 090 × (2216 091 − 1), un número con más de 130000 dígitos y que obedece al principio de Euclides.

Pitágoras estaba fascinado con las propiedades y figuras exquisitas que poseían los números

perfectos y reverenciaba su refinamiento y su belleza. A primera vista podría parecer que laperfección es un concepto relativamente fácil de concebir y, sin embargo, los antiguos griegos fueronincapaces de desentrañar algunos de los puntos fundamentales del asunto. Por ejemplo, aunqueexisten bastantes números cuyos divisores suman un número menos que ellos mismos, o sea, que sonligeramente deficientes, parece no haber números que sean ligeramente abundantes. Los griegos nofueron capaces de encontrar números cuyos divisores sumaran un número más que ellos mismos,pero no supieron explicar la razón. Para su frustración, aunque no pudieron hallar númerosligeramente abundantes, tampoco consiguieron demostrar que dichos números no existen.Comprender la aparente ausencia de números ligeramente abundantes no tenía ningún valor práctico,pero era un problema cuya solución quizá podría iluminar la naturaleza de los números y, por tanto,merecía ser estudiado. Tales enigmas intrigaron a la Hermandad Pitagórica y dos mil quinientos añosdespués los matemáticos aún no han sido capaces de probar que no existen números ligeramenteabundantes.

Todo es número

Además de estudiar las relaciones entre los números, a Pitágoras también lo intrigaban los vínculosque existen entre los números y la naturaleza. Reparó en que los fenómenos naturales estángobernados por leyes y que dichas leyes pueden describirse a través de ecuaciones matemáticas. Unode sus primeros hallazgos al respecto fue la relación esencial que se da entre la armonía de la música yla de los números. El instrumento más destacado de la música helénica antigua fue la lira tetracorde ode cuatro cuerdas. Antes de Pitágoras, los músicos ya apreciaron que cuando determinadas notassonaban juntas causaban un efecto agradable, así que afinaban las liras de manera que, punteando doscuerdas, consiguieran aquella armonía. Pero estos antiguos músicos no habían comprendido aún lacausa de que ciertas notas fueran armónicas y, en consecuencia, no seguían ningún método concretopara templar los instrumentos. En lugar de eso afinaban las liras de oído hasta alcanzar un estado dearmonía, método al que Platón denominaba «torturar el clavijero».

Jámblico, erudito del siglo XIV que escribió nueve libros sobre la secta pitagórica, relata cómollegó a descubrir Pitágoras los principios esenciales de armonía en la música:

En cierta ocasión [Pitágoras] estaba enfrascado en la idea de si podría concebir una ayuda mecánica para el sentidodel oído que fuera a la vez fiable e ingeniosa. Tal aparato sería similar a los compases, a las reglas o a losinstrumentos ópticos diseñados para el sentido de la vista, así como también el sentido del tacto dispone debalanzas y de los conceptos de pesos y medidas. Entonces, por algún divino golpe de suerte, pasó por delante deuna fragua y escuchó los martillos golpeando el hierro y produciendo entre sí una armonía abigarrada deretumbos, con la excepción de cierta combinación de sonidos.

Al momento, según Jámblico, Pitágoras echó a correr hacia la fragua para inspeccionar aquellaarmonía de martillos. Notó que al golpear a un tiempo la mayoría de ellos se lograba un sonidoarmónico y, en cambio, cualquier combinación que incluyera un martillo concreto producía siempreun sonido desagradable. Analizó las herramientas y vio que las que eran armónicas entre sí guardabanuna relación matemática sencilla: sus masas eran proporciones o fracciones simples de las del resto.

O lo que es lo mismo, todos aquellos martillos cuyos pesos mantenían entre sí la proporción de unamitad, dos tercios o tres cuartos producían sonidos armónicos. Por el contrario, el peso del martilloque provocaba la disonancia al golpearlo al unísono con cualquiera de los restantes no mantenía unarelación simple con los otros pesos.

Figura 1: Una cuerda suelta que vibra libremente produce una nota de partida. Si se pisa justo en el puntomedio de su longitud, la nota resultante es una octava más alta que la nota original y mantiene la armonía

con ella. Pueden conseguirse más notas armónicas desplazando la presión hacia otros puntos queconstituyan fracciones simples (por ejemplo, un tercio, un cuarto, un quinto) de la longitud de la cuerda.

Pitágoras había descubierto la proporción numérica responsable de la armonía musical. Loscientíficos han arrojado algunas dudas sobre este episodio que relata Jámblico, pero lo que sí esseguro es que Pitágoras aplicó su nueva teoría de las relaciones musicales a la lira. Para ello examinólas propiedades de una sola cuerda. Con tan sólo puntearla, la cuerda genera una nota o tono patrón

que está producido por la longitud de la cuerda. Si se pisa la cuerda en determinados puntos de sulongitud, se provocan otras vibraciones y tonos, como muestra la figura 1. Los tonos armónicos sólose realizan en puntos muy concretos. Así, si se pisa la cuerda justo en el punto medio de su longitud,el tañido genera un tono una octava más alto que el original y se mantiene en armonía con él. Delmismo modo, presionando la cuerda en puntos que son justo un tercio, un cuarto o un quinto de sulongitud, se originan otras notas armónicas. En cambio, si trabamos la cuerda en un punto que noconstituya una fracción simple de su longitud total, se produce un tono disonante con los anteriores.

Pitágoras descubrió por primera vez la base matemática que rige un fenómeno físico y demostróque se da una relación fundamental entre las matemáticas y la ciencia. Desde entonces, los científicoshan buscado los principios matemáticos que, al parecer, gobiernan cada proceso físico elemental yhan averiguado que los números afloran en todo tipo de fenómenos naturales. Por ejemplo, unnúmero particular parece presidir las longitudes de los ríos con meandros. El catedrático Hans-HenrikStolum, geólogo de la Universidad de Cambridge, ha calculado la relación entre la longitud real de losríos, desde el nacimiento hasta la desembocadura, y su longitud medida en línea recta. Aunque laproporción varía de un río a otro, el valor promedio es algo mayor que 3, o sea, que la longitud real esunas tres veces la distancia en línea recta. En realidad, la relación es aproximadamente 3.14, una ciframuy cercana al valor del número π, la proporción que existe entre la circunferencia de un círculo y sudiámetro.

El número π derivó en su origen de la geometría del círculo y surge una y otra vez en lascircunstancias científicas más diversas. En el caso de la relación fluvial, la aparición de π es elresultado de una pugna entre el orden y el caos. Einstein fue el primero en apuntar que los ríostienden a serpentear cada vez más porque, por leve que sea la curva en un principio, ésta provocacorrientes más veloces en la orilla externa, que van originando una margen más erosionada y cerrada.Cuanto mayor sea la curvatura en la orilla, mayor resulta la velocidad de las corrientes en la margenexterior y, con ella, el aumento de la erosión por ese lado. Así, el curso del río se retuerce cada vezmás. Sin embargo existe un proceso natural que detiene el caos: el aumento del serpenteo acabahaciendo que el curso se repliegue sobre sí mismo y se «cortocircuite». El río vuelve a enderezarse yel meandro queda abandonado a un lado, convertido en un lago en forma de herradura. El equilibrioentre estos dos factores opuestos conduce a una relación promedio de π entre la longitud real y ladistancia en línea recta desde el nacimiento hasta la desembocadura. La proporción de π aparece conmayor frecuencia en ríos que fluyen por llanuras de pendientes muy suaves, como las que hay enBrasil o en la tundra de Siberia.

Pitágoras descubrió que los números se ocultan detrás de todas las cosas, desde la armonía de lamúsica hasta las órbitas de los planetas, y eso le hizo proclamar que «todo es número». Al tiempoque indagaba en el significado de las matemáticas, Pitágoras desarrolló el lenguaje que permitiría, a ély a otros, describir la naturaleza del universo. En lo sucesivo, cada paso esencial en matemáticasproporcionaría a los científicos el vocabulario necesario para explicar mejor los fenómenos de suentorno. De hecho, los avances matemáticos llegarían incluso a inspirar revoluciones científicas.

Isaac Newton, además de descubrir la ley de la gravedad, fue un matemático destacado. Su mayorcontribución a las matemáticas fue el desarrollo del cálculo y, en tiempos posteriores, los físicosutilizaron el lenguaje del cálculo para describir mejor las leyes de la gravedad y para resolverproblemas gravitacionales. La teoría clásica de la gravedad newtoniana perduró intacta durante siglos

hasta ser desbancada por la teoría general de la relatividad de Albert Einstein, quien elaboró unaexplicación alternativa y más detallada de la gravedad. Las propias ideas de Einstein sólo fueronposibles gracias a conceptos matemáticos nuevos que lo dotaron de un lenguaje sofisticado para susideas científicas más complejas. En la actualidad, la interpretación de la gravedad está recibiendo unavez más la influencia de los avances matemáticos. Los más recientes estudios cuánticos de lagravedad se vinculan al desarrollo de la teoría matemática de cuerdas, según la cual las fuerzas de lanaturaleza parecen explicarse de manera adecuada mediante las propiedades geométricas ytopológicas de los tubos.

De todas las relaciones entre números y naturaleza que estudió la hermandad, la más importantefue la que lleva el nombre de su fundador. El teorema de Pitágoras proporciona una ecuaciónverdadera para todos los triángulos rectángulos y, por tanto, también define al ángulo recto en sí. Asu vez, el ángulo recto define la perpendicular, esto es, la relación entre la vertical y la horizontal, osea, la relación entre las tres dimensiones del universo conocido. A través del ángulo recto, lasmatemáticas describen la estructura del espacio que habitamos. El teorema de Pitágoras constituye,por tanto, una revelación profunda y, a pesar de ello, las matemáticas que se requieren paracomprenderlo son relativamente sencillas. Basta comenzar midiendo la longitud de los dos ladosmenores de un triángulo rectángulo (x e y) y luego elevar a la segunda potencia cada uno de ellos (x²,y²). Entonces se suman (x² + y²). El resultado de esa adición en el triángulo de la figura 2 es 25.

Figura 2: Todos los triángulos rectángulos obedecen al teorema de Pitágoras.

Si ahora se mide el lado más largo (z), denominado hipotenusa, y se eleva su longitud al cuadrado,lo peculiar del resultado es que el número que resulta de z² es idéntico al calculado con anterioridad, osea, 5² = 25. Esto es lo mismo que decir:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros doslados.

En otras palabras o, mejor, símbolos:

x² + y² = z².

Esto es cierto a todas luces para el triángulo de la figura 2, pero lo relevante es que el teorema dePitágoras se cumple con todos los triángulos rectángulos que imaginemos. Es una ley matemáticauniversal y podemos confiar en ella siempre que encontremos un triángulo con un ángulo recto. Y a lainversa, todo triángulo que obedezca el teorema de Pitágoras es con certeza absoluta un triángulorectángulo.

En este punto cabe advertir que, aunque el teorema se asocie siempre a Pitágoras, mil años antesque él ya lo habían utilizado los chinos y los babilonios. No obstante, aquellas culturas nuncasupieron que el teorema era cierto para todos los triángulos rectángulos. Desde luego se cumplió conlos triángulos que analizaron, pero no tuvieron manera de demostrar que funcionaba con todos lostriángulos rectángulos que no habían sometido al teorema. El motivo de la reivindicación pitagóricadel teorema es que fue Pitágoras quien demostró por primera vez su valor universal.

Pero ¿cómo supo Pitágoras que el teorema se cumple siempre? No podía aspirar a poner a pruebatoda la variedad infinita de triángulos rectángulos, y en cambio llegó a estar seguro al ciento porciento de la validez total del teorema. La razón de su convencimiento radica en el concepto dedemostración matemática. La búsqueda de una prueba matemática es la búsqueda de una verdad másabsoluta que el conocimiento acumulado por cualquier otra disciplina. El ansia de una verdad esenciala través del método de la demostración es lo que ha guiado a los matemáticos durante los últimos dosmil quinientos años.

La demostración absoluta

La historia del último teorema de Fermat gira en torno a la búsqueda de una demostración perdida. Laprueba matemática es mucho más poderosa y rigurosa que el concepto de demostración que solemosutilizar en el lenguaje cotidiano, e incluso más que la idea que se tiene de ella en física o en química.La diferencia entre las pruebas científicas y las matemáticas es a la vez sutil y profunda y resultacrucial para poder comprender la obra de todo matemático desde Pitágoras.

La idea clásica de una demostración matemática consiste en partir de una serie de axiomas oafirmaciones que pueden considerarse ciertos o que por evidencia propia lo son. Después, con unaargumentación lógica y progresiva, se puede llegar a una conclusión. Si los axiomas son correctos y lalógica es impecable, la conclusión final es innegable. Esta conclusión constituye un teorema.

Las demostraciones matemáticas se basan en este proceso lógico y, una vez probadas, son ciertashasta el fin de los tiempos. Son absolutas. Para apreciar el valor de tales pruebas convienecompararlas con su pariente pobre, la prueba científica. La ciencia propone una hipótesis paraexplicar un fenómeno físico. Si la observación empírica del fenómeno coincide con la hipótesis, seadquiere una evidencia a su favor. Además, la hipótesis no sólo debe describir un fenómeno conocido,también debe predecir las consecuencias de otros fenómenos. Se llevan a cabo experimentos paraponer a prueba la capacidad de predicción de una hipótesis y, si ésta vuelve a resultar satisfactoria,se muestran aún más evidencias a su favor. En ocasiones se reúne una cantidad ingente de pruebaspositivas y entonces la hipótesis se acepta como teoría científica.

Las teorías científicas no pueden demostrarse jamás con una rotundidad tan absoluta como ocurrecon un teorema matemático. A lo sumo se las considera muy probables en base a la evidencia de quese dispone. La llamada demostración científica se fundamenta en la observación y la percepción, perotanto una como otra son falibles y sólo se aproximan a la realidad. Como dijo Bertrand Russell:«Aunque parezca una paradoja, toda ciencia exacta está regida por la idea de aproximación». Inclusolas «pruebas» científicas más aceptadas contienen siempre una pequeña porción de duda. En algunasocasiones, la inseguridad disminuye, aunque nunca desaparece por completo, mientras que otrasveces la prueba demuestra al fin ser errónea. La fragilidad de estas pruebas favorece que se produzcanrevoluciones científicas en las que una teoría que se había asumido como correcta es sustituida porotra que quizá consista en un simple refinamiento de la anterior o, tal vez, en una oposición absoluta.

Por ejemplo, la búsqueda de las partículas elementales provocó que cada generación de físicosderribara o, cuando menos, refinara la teoría de sus predecesores. La búsqueda moderna de losbloques constitutivos del universo empezó a principios del siglo XIX, cuando una serie deexperimentos instaron a John Dalton a proponer que todo está formado por átomos discretos, queademás serían, según él, elementales. Al final de la centuria, J. J. Thomson descubrió el electrón, laprimera partícula subatómica conocida, así que el átomo dejó de ser elemental.

Durante los primeros años del siglo XX, los físicos desarrollaron una imagen «completa» delátomo: un núcleo formado por protones y neutrones y orbitado por electrones. Afirmaron conarrogancia que protones, neutrones y electrones son todos los ingredientes del universo. Más tarde,experimentos con rayos cósmicos revelaron la existencia de otras partículas fundamentales, lospiones y los muones. Una revolución aún más grandiosa se produjo en 1932 con el descubrimiento dela antimateria, la existencia de antiprotones, antineutrones, antielectrones, etc. Por aquel entonces, losfísicos de partículas no podían estar seguros de cuántas partículas diferentes existen, pero al menospodían confiar en que esas entidades eran de verdad elementales. Así fue hasta los años sesenta,cuando surgió el concepto de quark. Al parecer, el protón en sí está formado por quarks con cargafraccionaria, al igual que el neutrón, el pión y el muón. La conclusión de todo esto es que los físicosmodifican constantemente su visión del universo, cuando no la borran por completo y vuelven acomenzar. En las décadas siguientes, la idea misma de que la partícula es un objeto puntual sereemplazó por la creencia en partículas de aspecto semejante a cuerdas, las mismas que parecenexplicar la gravedad. La teoría es que cuerdas billones de billones de billones de veces más cortas quela longitud de un metro (tan pequeñas que parecen puntuales) vibran de varias maneras y cadavibración da origen a diferentes partículas. Esto se parece al hallazgo de Pitágoras de que la cuerda deuna lira da lugar a diferentes notas según el modo en que vibre.

Arthur C. Clarke, escritor de ciencia ficción y futurista, escribió que si un eminente sabio afirmaque algo es indudablemente cierto, existen muchas probabilidades de que eso mismo se demuestrefalso al día siguiente. La prueba científica es tornadiza y chapucera sin remedio. Por el contrario, lademostración matemática es absoluta y libre de dudas. Pitágoras murió convencido de que suteorema, que era cierto en el año 500 a. J. C., lo seguiría siendo por toda la eternidad.

La ciencia se desarrolla de manera similar al sistema judicial. Una teoría se reconoce verdadera sihay evidencias para probarla «más allá de toda duda razonable». Las matemáticas, en cambio, noconfían en la evidencia de la equívoca experimentación, sino que se construyen con la infalible lógica.Una muestra de ello la constituye el problema del tablero de ajedrez mermado que ilustra la figura 3.

Figura 3: El problema del tablero de ajedrez mermado.

Tenemos un tablero de ajedrez al que le faltan dos esquinas opuestas, así que sólo le quedan 62cuadros, y cogemos 31 fichas de dominó cuyas medidas cubran exactamente dos cuadros del tablero.La pregunta es la siguiente: ¿es posible colocar las 31 piezas de dominó de manera que entre todascubran los 62 cuadros del tablero?

Existen dos modos de afrontar el problema:

1. Enfoque científico

El científico tratará de solucionar el problema a través de la experimentación y, después deintentar unas pocas docenas de posiciones, descubrirá que todas fallan. Puede que el científicopiense que hay bastantes evidencias para afirmar que el tablero no se puede cubrir. Sinembargo no podrá estar seguro de que ésa sea la respuesta verdadera porque siempre lequedarán combinaciones no comprobadas y entre las que quizá se halle la correcta. Haymillones de posiciones posibles y sólo se puede comprobar un número reducido de ellas. Laconclusión de que la tarea es imposible está basada sólo en la experiencia, y el científicotendrá que vivir con la incertidumbre de que su teoría pueda ser rebatida en cualquier

momento.

2. Enfoque matemático

El matemático intenta resolver el problema desarrollando un argumento lógico que conduzca auna conclusión indubitablemente cierta y que permanezca inamovible para siempre. Unargumento de ese tipo es el siguiente:

Los cuadros que faltan del tablero son blancos. Por lo tanto ahora hay 32 cuadrosnegros y sólo 30 cuadros blancos.Cada ficha de dominó cubre dos cuadros vecinos, y todos los cuadros contiguos sonde colores contrarios, o sea, uno negro y otro blanco.Por esa razón, las 30 primeras fichas de dominó cubrirán 30 cuadros blancos y 30cuadros negros del tablero, con independencia del modo en que se coloquen.En consecuencia, siempre nos encontraremos con una ficha de dominó y con doscuadros negros sobrantes.Pero cada ficha de dominó tapa dos cuadros contiguos y éstos son siempre de coloresopuestos. Sin embargo, los cuadros sobrantes son de idéntico color, así que nopodemos cubrir ambos con la ficha de dominó que nos queda. Por tanto, ¡cubrir todoel tablero es imposible!

Esta prueba demuestra que toda combinación posible de las fichas de dominó fallará en el intento decubrir por completo el tablero de ajedrez mermado. De una forma parecida, Pitágoras elaboro unademostración que evidencia que cualquier triángulo rectángulo obedece a su teorema. El concepto deprueba matemática, sagrado para Pitágoras, fue lo que capacitó a la hermandad para descubrir tantascosas. La mayoría de las demostraciones modernas son complicadas en extremo y seguir susrazonamientos lógicos sería imposible para los profanos en la materia, pero la argumentación delteorema de Pitágoras es, por fortuna, relativamente clara y se fundamenta en unas matemáticasbásicas. La demostración está resumida en el apéndice 1.

La prueba de Pitágoras es irrefutable. Evidencia que su teorema es válido para cualquier triángulorectángulo del universo. El hallazgo fue tan relevante que sacrificaron cien bueyes en agradecimiento alos dioses. Marcó un hito en las matemáticas y supuso uno de los avances más decisivos ydestacados en la historia de la humanidad. Su importancia fue doble. En primer lugar desarrolló la ideade demostración matemática. Un resultado matemático probado contiene una verdad mucho másprofunda que cualquier otra porque es resultado de un razonamiento lógico progresivo. Aunque elfilósofo Tales ya había realizado algunas demostraciones geométricas primitivas, Pitágoras ampliómucho más la idea y consiguió demostrar muchas otras afirmaciones matemáticas ingeniosas. Lasegunda consecuencia del teorema de Pitágoras es que vincula el método matemático abstracto con lotangible. Pitágoras mostró que las verdades matemáticas podían aplicarse al mundo científico yproporcionó los cimientos de la lógica. Las matemáticas aportan a la ciencia un punto de partidariguroso y los científicos incorporan a esa base infalible medidas imprecisas y observacionesdefectuosas.

Una infinidad de ternas

La hermandad de los pitagóricos impulsó a las matemáticas con su esmerada búsqueda de la verdad através de la demostración. Se difundieron nuevas sobre sus logros, pero hasta hoy los detalles de sushallazgos continúan siendo un secreto muy bien guardado. Muchos solicitaron su admisión en eltemplo de la sabiduría, pero sólo las mentes más brillantes fueron aceptadas. Uno de los rechazadosfue el candidato Cilón, a quien aquella humillación ofendió tanto que veinte años más tarde consumósu venganza.

Durante la LXVII Olimpiada (año 510 a. J. C.) se produjo una rebelión en la ciudad cercana deSybaris. Teyls, el cabecilla victorioso de los rebeldes, inició una brutal campaña de persecucióncontra los que apoyaron el gobierno anterior, y eso provocó que muchos de ellos buscaran refugio enCrotona. Teyls reclamó la devolución de los traidores a Sybaris para poder imponerles el castigooportuno, pero Milón y Pitágoras convencieron a los ciudadanos de Crotona para que se opusieran altirano y ampararan a los refugiados. Teyls, furioso, reunió un ejército de trescientos mil hombres ymarchó sobre Crotona. Las dotes de mando de Milón, que defendió su ciudad con cien milciudadanos armados, le concedieron la victoria tras setenta días de lucha. Como justo castigo a losrebeldes, Milón alteró el curso del río Cratnis, de manera que fluyera sobre Sybaris y destruyera laciudad.

A pesar del cese de la batalla, en la ciudad de Crotona aún reinaba la confusión porque nolograban acordar qué hacer con el botín de guerra. Temeroso de que las tierras fueran concedidas a laélite de los pitagóricos, el pueblo de Crotona inició una protesta. La multitud estaba cada vez másresentida con la reservada hermandad porque continuaba ocultando sus hallazgos, pero nada ocurrióhasta que apareció Cilón como portavoz del pueblo. Cilón se hizo fuerte gracias al miedo, la paranoiay la envidia de la muchedumbre, y la sedujo con el propósito de destruir la escuela de matemáticasmás brillante que jamás haya existido en el mundo. Rodearon la casa de Milón y la escuela adyacente,cegaron y atrancaron todas las puertas para que nadie saliera y entonces le prendieron fuego. Milónluchó para encontrar la salida de aquel infierno y huyó, pero Pitágoras murió junto a muchos de susdiscípulos.

Las matemáticas habían perdido a su primer gran héroe, pero el espíritu de los pitagóricosperduró entre nosotros. Los números y su exactitud eran inmortales. Pitágoras había demostrado quelas matemáticas, más que cualquier otra disciplina, no son una materia subjetiva. Sus discípulos nonecesitaban del maestro para decidir la validez de una teoría concreta. Su veracidad no era cuestión deopinión. Al contrario, el desarrollo de una lógica matemática se había convertido en juez de la verdad.Ésta fue la gran contribución de los pitagóricos a la humanidad, una vía de acceso a la verdad que estámás allá de la falibilidad del juicio humano.

Después de la muerte del fundador y del ataque de Cilón, la hermandad abandonó Crotona enbusca de otras ciudades de la Magna Grecia, pero la persecución continuó y muchos de ellos tuvieronque asentarse en tierras extranjeras. Esta forzada emigración favoreció que los pitagóricos difundieransu evangelio matemático por todos los rincones del mundo antiguo. Los discípulos de Pitágorascrearon nuevas escuelas y enseñaron a sus alumnos el método de la demostración lógica. Además delteorema de Pitágoras, transmitieron al mundo la manera de encontrar las llamadas ternas pitagóricas.

Las ternas pitagóricas son combinaciones de tres números enteros que se ajustan a la ecuación

pitagórica: x² + y² = z². Por ejemplo, dicha ecuación se cumple si x = 3, y = 4 y z = 5:

3² + 4² = 5², 9 + 16 = 25.

Otro modo de concebir las ternas pitagóricas es en términos de reordenación de cuadrados. Sitenemos un cuadrado de 3 × 3 consistente en 9 baldosas y otro de 4 × 4 formado por 16 baldosas,podemos reorganizar todas las piezas para crear un cuadrado de 5 × 5 que reúna 25 baldosas, talcomo se ve en la figura 4.

Figura 4: Hallar combinaciones de números enteros para la ecuación pitagórica puede concebirse también sise unen dos cuadrados que puedan dar lugar a un tercero. Por ejemplo, un cuadrado consistente en 9

baldosas puede sumarse a otro formado por 16 para que, reordenados, den lugar a un tercer cuadrado de25 baldosas.

Los pitagóricos buscaron otras ternas pitagóricas, otros cuadrados que pudieran sumarse para darlugar a un tercero mayor que los anteriores. Otra de esas ternas es x = 5, y = 12 y z = 13:

5² + 12² = 13², 25 + 144 = 169.

Una terna pitagórica elevada es x = 99, y = 4 900 y z = 4 901.Las ternas pitagóricas escasean cada vez más según aumentan los números, y encontrarlas se va

haciendo más y más costoso. Para dar con la máxima cantidad de ternas posible, los pitagóricosinventaron una forma metódica, y mientras lo hacían llegaron a demostrar también que existe unnúmero infinito de ternas pitagóricas.

Del teorema de Pitágoras al último teorema de Fermat

Un libro que trata sobre el teorema de Pitágoras y su infinidad de ternas es The Last Problem, de E.T. Bell, el mismo que llamó la atención del pequeño Andrew Wiles en la biblioteca. Aunque lahermandad había alcanzado una comprensión casi absoluta de las ternas pitagóricas, Wiles se enterópronto de que aquella ecuación en apariencia inocente, x² + y² = z², tiene un lado oscuro. La obra de

Bell explicaba la existencia de un monstruo matemático.En la ecuación de Pitágoras aparecen tres números, x, y y z, todos elevados al cuadrado (o sea, x²

= x × x):

x² + y² = z².

Sin embargo, el libro exponía una ecuación hermana a la pitagórica en la que x, y y z están elevados alcubo (es decir, x³ = x × x × x). La potencia de x deja de ser 2 para convertirse en 3:

x³ + y³ = z³.

Encontrar números enteros (ternas pitagóricas) que resolvieran la ecuación de Pitágoras erarelativamente sencillo, pero al cambiar los exponentes de los términos de la ecuación de 2 a 3 (delcuadrado al cubo) parece imposible hallar números enteros que la satisfagan. Generaciones dematemáticos que garabatearon cuadernos y cuadernos de notas han errado en la búsqueda de númerosque encajen con ella.

En la ecuación de origen, elevada al cuadrado, el reto consistía en reordenar las baldosas de doscuadrados para formar un tercero aún mayor. En su versión elevada a la tercera potencia, se trata dereordenar dos cubos formados por bloques para dar lugar a un tercero mayor que los anteriores. Enapariencia no tiene ninguna relevancia qué cubos se elijan para empezar; al combinarlos siempreresulta o bien un cubo entero y algunos bloques sobrantes o bien uno incompleto. La máximaaproximación que se ha logrado a la solución perfecta es una fusión con un solo bloque de más o demenos.

Si comenzamos, por ejemplo, con 6³ (x³) y 8³ (y³) y recomponemos los bloques, sólo falta unopara formar un cubo completo de 9 × 9 × 9, como ilustra la figura 5.

Figura 5: ¿Es posible unir los bloques de construcción de un cubo con los de otro para crear un tercer cuboaún mayor? En este caso, un cubo de 6 × 6 × 6 sumado a otro de 8 × 8 × 8 no reúne los bloques

suficientes para formar un cubo de 9 × 9 × 9. Hay 216 (63) bloques en el primer cubo y 512 (83) en elsegundo. Entre los dos suman un total de 728 bloques que, a falta de uno, no bastan para alcanzar el valor

de 93.

Encontrar tres números que encajen perfectamente con la ecuación elevada a la potencia de 3parece del todo imposible. Eso es lo mismo que decir que parecen no existir combinaciones denúmeros enteros que satisfagan la ecuación

x³ + y³ = z³

Y aún más. Si cambiamos la potencia de 3 (cúbica) por otra mayor con valor n (así 4, 5, 6, …),también parece imposible hallar una solución. Así que, en apariencia, no existe ninguna solución connúmeros enteros para la ecuación más general

xⁿ + yⁿ = zⁿ cuando n es mayor que 2.

Con el simple cambio del 2 en la ecuación pitagórica por cualquier otro número mayor, la solución dela ecuación con números enteros pasa de ser relativamente sencilla a resultar de una dificultaddelirante. De hecho, el gran Pierre de Fermat, francés del siglo XVII, proclamó la sorprendenteafirmación de que nadie había hallado soluciones posibles porque no las hay.

Fermat fue uno de los matemáticos más brillantes e interesantes de la historia. No podía haberhecho intentos con toda la infinidad de números, y en cambio estaba convencido de que no existeninguna combinación que pueda resolver la ecuación porque su declaración se basaba en unademostración matemática. Del mismo modo que Pitágoras no necesitó comprobar todo triángulo parademostrar la validez de su teorema, tampoco Fermat tuvo que hacerlo con cada número para estar enlo cierto. El último teorema de Fermat, tal como se conoce, establece que

xⁿ + yⁿ = zⁿ

no tiene solución con números enteros cuando n es mayor que 2.A través del libro de Bell, Wiles supo que Fermat había quedado fascinado con la obra de

Pitágoras y que con el paso del tiempo se dedicó más al estudio de la ecuación de Pitágoras en suversión modificada. Leyó cómo Fermat declaraba que, aun cuando todos los matemáticos del mundodedicaran la eternidad a buscar una solución de la ecuación, jamás la encontrarían. Seguramente pasóuna página tras otra impaciente y entusiasmado con la idea de contemplar la demostración del últimoteorema de Fermat. Pero no estaba allí. No estaba en ningún lugar. Bell terminaba el libro con ladeclaración de que la demostración se había perdido hacía mucho tiempo. No quedaba indicaciónalguna sobre aquello en lo que pudo consistir, ningún indicio del proceso de construcción de la pruebao de su desarrollo posterior. Wiles quedó perplejo, furioso e intrigado. No fue el único.

Durante más de trescientos años, muchos de los mejores matemáticos habían intentadoredescubrir la demostración perdida de Fermat y habían fallado. Según erraba una generación, lasiguiente se sentía aún más frustrada y obstinada. En 1792, casi un siglo después de la muerte deFermat, el matemático suizo Leonhard Euler solicitó a su amigo Clêrot que registrara la casa deFermat por si todavía quedaba algún fragmento valioso de papel. Jamás se encontraron indicios decómo pudo ser la demostración de Fermat. En el segundo capítulo averiguaremos más detalles sobreel enigmático Pierre de Fermat y sobre cómo se perdió su teorema, pero por el momento basta saberque el último teorema de Fermat, el problema que cautivó a los matemáticos durante siglos, atrapótambién la mente del joven Andrew Wiles.

Sentado en la biblioteca de la calle Milton había un niño de diez años con la mirada fija en elproblema matemático más perverso de cuantos existen. Con frecuencia, la mitad de la dificultad de unproblema matemático radica en comprender de qué se trata, pero en este caso la cuestión era sencilla.Consistía en probar que xⁿ + yⁿ = zⁿ no tiene solución con números enteros cuando n es mayor que 2.A Andrew no le intimidó saber que los genios más brillantes del planeta habían fracasado en labúsqueda de la demostración. Se puso a trabajar de inmediato utilizando todas las técnicas de su librode texto para intentar la demostración y rehacerla. Quizá podría encontrar algo que todos los demás,excepto Fermat, hubieran pasado por alto. Soñaba con sorprender al mundo.

Treinta años más tarde, Andrew Wiles estaba preparado. Frente al auditorio del Isaac NewtonInstitute garabateaba la pizarra cuando, de pronto, esforzándose por contener la alegría, mirófijamente al auditorio. La exposición estaba llegando al clímax y todos lo sabían. Algunas personashabían conseguido introducir cámaras fotográficas en el aula y los flashes salpicaron susobservaciones finales.

Con la tiza en la mano, se volvió hacia la pizarra por última vez. Unas pocas líneas finales delógica completaron la prueba. Era la primera ocasión, tres siglos después, en que alguien respondía aldesafío de Fermat. Algunas cámaras más dispararon para inmortalizar aquel momento histórico.Wiles escribió el enunciado del último teorema de Fermat, se volvió hacia el auditorio y dijo conmodestia: «Creo que lo dejaré aquí».

Doscientos matemáticos aplaudieron y vitorearon para celebrarlo. Incluso aquellos que habíananticipado el resultado se sonreían incrédulos. Después de tres décadas, Andrew Wiles creía al finhaber alcanzado su sueño y, tras siete años de reclusión, ya pudo desvelar su cálculo secreto. Sinembargo, mientras la euforia se extendía por el Newton Institute, la tragedia estaba a punto de saltar.Wiles disfrutaba del momento, pero ni él ni nadie dentro de aquella habitación eran conscientes de loshorrores que iban a llegar.

2. El RETADOR

¿Sabes —confió el diablo— que ni siquiera los mejores matemáticos de otros planetas, todosmucho más avanzados que el tuyo, lo han resuelto? Vamos, hay un tipo en Saturno semejante auna seta con zancos que resuelve mentalmente ecuaciones diferenciales en derivadas parciales; yhasta él ha desistido.

Arthur Poges, El diablo y Simón Flagg

Pierre de Fermat nació el 20 de agosto de 1601 en la ciudad de Beaumont-de-Lomagne, al suroeste deFrancia. Su padre, Dominique Fermat, era un acaudalado comerciante de pieles, así que Pierre tuvo lafortuna de disfrutar de una educación privilegiada en el monasterio franciscano de Grandselve,formación que continuó en la Universidad de Toulouse. Ningún expediente del joven Fermat muestraque destacara especialmente en matemáticas.

La presión familiar condujo a Fermat a la profesión de funcionario, y en 1631 fue nombradoconseiller au Parlement de Toulouse, concejal en la Cámara de Peticiones. Si los ciudadanos queríansolicitar algo al rey, debían convencer primero a Fermat o a uno de sus iguales de la importancia de surequerimiento. Los concejales constituían el principal enlace entre la provincia y París. Además devincular al pueblo con el monarca, los concejales aseguraban que los decretos reales procedentes de lacapital se hicieran vigentes en cada región. Fermat era un eficiente servidor civil que, según todos losindicios, cumplió con sus funciones con clemencia y consideración.

Las responsabilidades adicionales de Fermat incluían servicios judiciales y tenía rango suficientepara dirimir las acusaciones más graves. Un dato sobre su labor lo da el matemático inglés sir KenelmDigby. Digby pidió ver a Fermat, pero en una carta a John Wallis, un colega común, comenta que elfrancés estaba ocupado en cuestiones judiciales urgentes que imposibilitaron el encuentro:

Es cierto que coincidí con la fecha de traslado de los jueces de Castres a Toulouse, donde [Fermat] es juezsupremo de la Corte Soberana del Parlamento; desde entonces ha estado ocupado con acusaciones de sumaimportancia en las que ha pronunciado una sentencia que ha armado un gran revuelo; concernía a la condena deun sacerdote a arder en la hoguera por abusar de sus funciones. Este caso acaba de finalizar y la ejecución se haconsumado.

Fermat mantenía correspondencia regular con Digby y Wallis. Luego veremos que las cartas eran amenudo menos que amistosas, pero aportan revelaciones esenciales sobre la vida cotidiana de Fermat,incluida su labor investigadora.

Fermat ascendió con rapidez los escalafones del funcionariado y llegó a ser miembro de la élitesocial, lo que lo autorizó a incorporar la partícula de como parte de su nombre. Más que resultado dela ambición, su ascenso se debió en realidad a una cuestión de salud. La peste campaba por todaEuropa y aquellos que sobrevivían eran ascendidos para cubrir los puestos de los fallecidos. TambiénFermat sufrió un ataque serio de peste en 1652 y estuvo tan enfermo que su amigo Bernard Medon

anunció su muerte a algunos de sus colegas. Poco después rectificó en una nota al holandés NicholasHeinsius:

Demasiado temprano te anuncié la muerte de Fermat. Aún vive y ya no tememos por su vida, si bien locontábamos entre los muertos hace muy poco tiempo. La peste ya no se cierne sobre nosotros.

Además de los riesgos de salud del siglo XVII francés, Fermat tuvo que sobrevivir a los peligros de lapolítica. Su nombramiento al Parlamento de Toulouse se produjo justo tres años después de laascensión del cardenal Richelieu a primer ministro de Francia. Era una época de conspiración e intrigay todos los relacionados con el funcionamiento del Estado, incluso a un nivel de gobierno local,debían cuidarse de no verse involucrados en las maquinaciones del cardenal. Fermat adoptó laestrategia de realizar sus funciones con eficacia sin atraer la atención sobre su persona. No se planteógrandes aspiraciones políticas e hizo todo lo posible por eludir las pendencias del Parlamento. En sulugar, dedicó toda la energía ahorrada a las matemáticas, y cuando no condenaba a sacerdotes a arderen la hoguera Fermat se dedicaba a esta afición. Fue un verdadero académico aficionado, un hombre alque E. T. Bell llamó el «príncipe de los aficionados». Pero tan grande era su talento que cuando JuliánCoolidge escribió Mathematics of Great Amateurs («Matemáticas de grandes aficionados») excluyó aFermat porque era «en verdad tan grande que debía contarse entre los profesionales».

A comienzos del siglo XVII, las matemáticas se recuperaban aún del trance de la Edad Media y noeran una materia demasiado bien considerada. Del mismo modo, a los matemáticos no se los tratabacon mucho respeto y la mayoría de ellos tuvo que costearse sus propios estudios. Galileo, porejemplo, no pudo estudiar matemáticas en la Universidad de Pisa y se vio obligado a contratar clasesparticulares. De hecho, el único instituto de Europa donde se fomentaron activamente lasmatemáticas fue la Universidad de Oxford, la cual instauró la cátedra saviliana de geometría en 1619.Es cierta la afirmación de que la mayoría de los matemáticos del siglo XVII eran aficionados, peroFermat fue un caso excepcional. Al residir lejos de París se encontraba aislado de la pequeñacomunidad de matemáticos que entonces existía y que incluía a figuras tales como Pascal, Gassendi,Roberval, Beaugrand y al padre Marin Mersenne, el más notable de todos.

El padre Mersenne realizó tan sólo contribuciones menores a la teoría de números y sin embargoel papel que desempeñó en las matemáticas del siglo XVII podría considerarse más importante que elde muchos de sus colegas más reconocidos. Después de hacerse miembro de la Orden de los Mínimosen 1610, Mersenne estudió matemáticas e impartió la materia a otros monjes y monjas del conventomínimo de Nevers. Ocho años después se trasladó a París para unirse a los mínimos de la Annociade,cerca de la Place Royale, un lugar propicio para la reunión de intelectuales. Inevitablemente,Mersenne contactó con otros matemáticos de París, pero la reticencia de éstos a hablar con él o entreellos mismos lo afligió.

La naturaleza reservada de los matemáticos parisienses era una tradición que se había idotransmitiendo desde los cosistas del siglo XVI. Los cosistas eran expertos en todo tipo de cálculos, ytanto comerciantes como empresarios los contrataban para resolver complicados problemas decontabilidad. Su apelativo deriva de la palabra italiana cosa porque usaban símbolos para representarlos valores desconocidos, de manera similar al uso que los matemáticos hacen hoy en día de x. Todoslos profesionales de la resolución de problemas en esta época inventaron sus propios y astutos

procedimientos para realizar cálculos, e hicieron todo lo posible por guardar esos métodos en secretoy mantener así la fama de ser las únicas personas capaces de resolver determinados problemas. Encierta ocasión excepcional, Niccolò Tartaglia ideó un método para la resolución rápida de ecuacionescúbicas y reveló su descubrimiento a Girolamo Cardano. Le hizo jurar que lo mantendría en absolutosecreto, pero diez años más tarde Cardano quebrantó su promesa y publicó el sistema de Tartaglia ens u Ars magna, un hecho que Tartaglia jamás le perdonaría. Interrumpió todos los contactos conCardano, y a esto siguió una encarnizada disputa pública que sólo contribuyó a alentar aún más queotros matemáticos guardaran mejor sus secretos. El carácter confidencial de los matemáticos continuóincrementándose hasta finales del siglo XIX y, como ya veremos, todavía en el siglo XX existenejemplos de genios trabajando en secreto.

Cuando el padre Mersenne llegó a París estaba decidido a luchar contra tanto secretismo e intentóconvencer a los matemáticos de que intercambiaran ideas y que edificaran unos sobre la labor de losotros. El monje organizó encuentros regulares y su grupo constituyó después el núcleo de laAcademia Francesa. Si alguno rechazaba asistir, Mersenne pasaba al resto toda la información quepodía, revelando cartas y anotaciones, incluso si las había recibido de modo confidencial. No eraprecisamente un comportamiento ético para tratarse de un hombre del clero, pero él lo justificaba conel argumento de que el intercambio de conocimientos beneficiaría a las matemáticas y a la humanidad.Estos actos de indiscreción causaron, como es natural, agudos debates entre el bienintencionadomonje y los taciturnos divos y, a la larga, destruyeron la relación que Mersenne y Descartes habíanmantenido desde que ambos estudiaron juntos en el colegio jesuita de La Fleche. Mersenne habíarevelado escritos filosóficos de Descartes que podrían ofender a la Iglesia, pero en su honor hay quedecir que lo defendió contra los ataques teológicos, al igual que había hecho con anterioridad en elcaso de Galileo. En una época dominada por la religión y por la magia, Mersenne fue un defensor delpensamiento racional.

Mersenne viajó por Francia y aún más allá, difundiendo nuevas sobre los descubrimientos másrecientes. En sus desplazamientos no dejó de reunirse con Pierre de Fermat, y parecen haber sidoéstos los únicos contactos regulares de Fermat con otros matemáticos. La influencia de Mersennesobre este príncipe de los aficionados tal vez sólo fue superada por la que ejerció sobre él laAritmética, un tratado matemático transmitido desde los antiguos griegos, el manual asiduo deFermat. Incluso cuando no pudo viajar, Mersenne mantuvo su relación con Fermat y con otros através de una activa correspondencia. Cuando Mersenne murió, en su habitación se encontraronmontones de cartas escritas por setenta y ocho remitentes distintos.

A pesar de la insistencia del padre Mersenne, Fermat rehusó con tenacidad revelar susdemostraciones. La exposición pública y el reconocimiento no significaban nada para él y le bastabacon el simple placer de crear nuevos teoremas inamovibles. Sin embargo, el genio retraído y tímidotenía una veta de malicia que, unida a su discreción, explica que algunas veces se comunicara conotros matemáticos sólo para tomarles el pelo. Escribía cartas con su teorema más reciente sinacompañarlo de la demostración, y retaba a sus contemporáneos a dar con ella. El hecho de que nuncarevelara sus propias demostraciones causaba una gran frustración. Rene Descartes llamó a Fermat«engreído» y el inglés John Wallis se refirió a él como «ese maldito francés». Para desgracia de losingleses, Fermat sentía un singular placer en juguetear con sus primos del otro lado del canal. Ademásde divertirse fastidiando a sus colegas, la costumbre de Fermat de plantear un problema y callarse la

solución respondía a causas algo más prácticas. En primer lugar implicaba no tener que malgastar eltiempo exponiendo sus métodos y poder proseguir de inmediato con su próxima conquista. Por otraparte, le ahorraba tener que aguantar a criticones envidiosos pues, una vez publicadas, lasdemostraciones serían examinadas y rebatidas por todos y cada uno de los que supieran algo sobre lamateria. Cuando Blaise Pascal lo presionó para que hiciera pública parte de su obra, el solitario geniorespondió: «No quiero que aparezca mi nombre en ninguno de los trabajos considerados dignos deexposición pública». Fermat fue el genio reservado que sacrificó la gloria a cambio de no ser distraídopor sus críticos con nimiedades.

El intercambio de cartas con Pascal, la única ocasión en que Fermat discutió ideas con otrapersona que no fuera Mersenne, estuvo relacionado con una rama nueva de las matemáticas: la teoríade probabilidades. Pascal introdujo al matemático ermitaño en la materia, y así, a pesar de su deseode aislamiento, se vio obligado a mantener el diálogo. Juntos, Fermat y Pascal descubrirían lasprimeras pruebas y sólidas certezas en la teoría de probabilidades, una materia incierta ya de por sí.A Pascal le despertó el interés por el tema un jugador profesional parisiense, Antoine Gombaud, elcaballero de Méré, quien había planteado un problema referente a un juego de azar llamado de lospuntos. El juego consiste en conseguir puntos tirando un dado. El primer jugador que alcanza ciertacantidad de puntos es el ganador y se lleva el dinero apostado.

Gombaud estaba jugando a los puntos con otro individuo cuando un compromiso urgente losobligó a dejarlo a medias. Entonces se planteó el problema de qué hacer con el dinero en juego. Lasolución más simple habría consistido en dárselo por entero al competidor con mayor número depuntos, pero Gombaud preguntó a Pascal si existía alguna manera más justa de repartir el dinero.Pidió a Pascal que calculara las posibilidades de victoria de cada participante en caso de que el juegocontinuara y teniendo en cuenta que ambos habrían dispuesto de las mismas probabilidades paraconseguir más puntos. Así, el dinero podría repartirse de acuerdo con dicho cálculo.

Hasta el siglo XVII, las leyes de probabilidad se habían regido por la intuición y por la experienciade los jugadores, pero Pascal entabló un intercambio de misivas con Fermat con el propósito dedescubrir los principios matemáticos que describían con mayor fidelidad las leyes del azar. Tressiglos después, en este oxímoron aparente, Bertrand Russell observó: «¿Cómo nos atrevemos ahablar sobre las leyes del azar? ¿Acaso no es el azar la antítesis de toda ley?».

Los franceses analizaron el problema de Gombaud y pronto cayeron en la cuenta de que era unacuestión relativamente trivial que podrían resolver si definían con rigor todas las consecuenciasposibles del juego y si asignaban a cada jugador una probabilidad determinada. Tanto Pascal comoFermat eran capaces de solucionar la incógnita de Gombaud por sí solos, pero su colaboración agilizóel descubrimiento de una respuesta y los condujo a una profunda exploración de otras cuestiones mássutiles y sofisticadas relacionadas con la probabilidad.

Los problemas de probabilidad son a veces controvertidos porque su solución matemática, laverdadera, resulta a menudo opuesta a la que sugeriría la intuición. Este fracaso de la intuición resultaquizá sorprendente porque «la supervivencia del mejor adaptado» debiera proporcionar ventajaevolutiva en favor de un cerebro que por naturaleza fuera capaz de analizar cuestiones deprobabilidad. Podemos imaginar a nuestros antepasados acosando a un venado y considerando siatacarlo o no. ¿Qué riesgos entraña un ciervo que para defender a su prole está dispuesto a embestir asu agresor? Y por otra parte, ¿cuáles son las probabilidades de que se presente una oportunidad más

propicia para comer si ésta se considera demasiado arriesgada? La capacidad de analizar laprobabilidad tiene que formar parte de nuestra naturaleza genética, y a pesar de ello la intuición nosengaña a menudo.

Uno de los problemas de probabilidad más contraintuitivos tiene que ver con la de coincidenciade cumpleaños. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas entre un total de 23 celebren sucumpleaños el mismo día? Con 23 personas y 365 fechas posibles puede parecer muy probable queninguna de ellas comparta el cumpleaños. Si se pidiera hacer una estimación al respecto, la mayoríade la gente daría un valor, como mucho, del 10%. En realidad, la respuesta correcta es superior al50%; es decir, según la balanza de la probabilidad es más fácil que dos personas del grupo coincidanen sus cumpleaños que lo contrario.

El motivo de este porcentaje tan elevado radica en que lo relevante no es el número de personassino la cantidad de maneras en que se puede asociar a la gente. Si buscamos un cumpleaños repetido,debemos atender a los pares de personas y no a cada individuo. Considerando que sólo hay 23personas en juego, tenemos un total de 253 pares de individuos. Por ejemplo, la primera personapuede emparejarse con cualquier otra de las 22 sobrantes, con lo que tenemos 22 parejas de partida.Luego, la segunda persona puede unirse a cualquiera de las 21 que restan (ya hemos contado a estasegunda persona al emparejarla con la primera, así que el número de parejas posibles se reduce enuno), y resulta la cantidad de 21 parejas nuevas. La tercera persona se puede asociar con cualquierade las 20 que quedan, con lo que se obtiene un número adicional de 20 pares más, y así hasta llegar aun total de 253 parejas.

Que la probabilidad de coincidencia de algún cumpleaños sea superior al 50% dentro de un grupode 23 personas se percibe falso desde la intuición, y sin embargo, desde un punto de vistamatemático, resulta innegable. En probabilidades extrañas como ésta es justo en lo que confían loscorredores de apuestas y los jugadores profesionales con el objeto de embaucar al incauto. Lapróxima vez que asista usted a una fiesta con más de 23 personas tal vez quiera apostar a que loscumpleaños de dos de ellas coinciden. Hay que advertir que con ese número de participantes laprobabilidad es tan sólo algo superior al 50%, pero aumenta con rapidez según crezca el grupo. Poreso, en una fiesta con 30 personas merece de verdad la pena apostar a que dos de ellas coinciden ensus fechas de nacimiento.

Fermat y Pascal hallaron los principios fundamentales que gobiernan todos los juegos de azar yque permiten a los jugadores profesionales diseñar estrategias perfectas de juego y de apuestas.Además, esas leyes de probabilidad han encontrado aplicaciones en todo un conjunto de situaciones,que van desde la especulación en el mercado de la Bolsa hasta la estimación de las posibilidades de unaccidente nuclear. Pascal estaba incluso convencido de que podría usar sus teorías para justificar lacreencia en Dios. Afirmó que «la ansiedad que siente un jugador profesional cuando hace una apuestaequivale a la suma que puede ganar multiplicada por las probabilidades de conseguirla». De ahíargumentó entonces que el posible premio de la felicidad eterna tiene un valor infinito y que laprobabilidad de entrar en el cielo llevando una vida virtuosa, con independencia de lo corta que sea,desde luego es finita. Por tanto, según la definición de Pascal, la religión es un juego de ansiedadinfinita y merece la pena jugarlo porque multiplicando un premio infinito por una probabilidad finitada como resultado el infinito.

Además de contribuir a la aparición de la teoría de probabilidades, Fermat estuvo muy vinculado

a la creación de otra área de las matemáticas: el cálculo. El cálculo consiste en la medida del ritmo decambio, conocido como la derivada, de una cantidad con respecto a otra. Por ejemplo, el ritmo decambio de la distancia con respecto al tiempo es conocido simplemente como velocidad. Para losmatemáticos, las cantidades tienden a ser abstractas e intangibles, pero las consecuencias de la obrade Fermat capacitaron a los científicos para entender mejor el concepto de velocidad y su relacióncon otras cantidades básicas tales como la aceleración (el ritmo de cambio de la velocidad conrespecto al tiempo).

La economía es una materia muy influida por el cálculo. La inflación es el ritmo de cambio delprecio respecto del tiempo, conocido como la derivada del precio, y además los economistas seinteresan a menudo por el ritmo de cambio de la inflación, conocido como la segunda derivada delprecio. Los políticos utilizan estos términos con frecuencia, y el matemático Hugo Rossí apuntó losiguiente en cierta ocasión: «En el otoño de 1972, el presidente Nixon anunció que el ritmo de cambiode la inflación estaba disminuyendo. Era la primera vez que un presidente en funciones usaba unatercera derivada para aportar argumentos a favor de la reelección».

Durante siglos se creyó que Isaac Newton había descubierto el cálculo diferencial él solo, sintener noticia alguna acerca de la obra de Fermat, pero en 1934 Louis Trenchard Moore encontró unaanotación que puso las cosas en su sitio y otorgó a Fermat el reconocimiento que merece. El mismoNewton había escrito que desarrolló su cálculo en base «al método de trazar tangentes de monsieurFermat». El cálculo diferencial se ha utilizado a partir del siglo XVII para describir la ley de lagravedad de Newton y sus leyes de la mecánica, dependientes de la distancia, la velocidad y laaceleración.

Los descubrimientos del cálculo y de la teoría de probabilidades deberían ser más que suficientespara que Fermat ocupara un lugar en el parnaso de los matemáticos, pero alcanzó su mayor logro enotra rama de las matemáticas. Si desde entonces el cálculo diferencial se ha aplicado para enviarcohetes a la Luna y la teoría de probabilidades se ha utilizado en la tasación de riesgos por parte delas compañías de seguros, la gran pasión de Fermat, en cambio, se relacionó con una materia muypoco útil: la teoría de números. A Fermat lo movía la obsesión por comprender las propiedades delos números y las relaciones entre ellos. Se trata de las matemáticas más puras y remotas y Fermatestaba edificando sobre un cuerpo de conocimientos que se había ido transmitiendo desde Pitágoras.

La evolución de la teoría de números

Tras la muerte de Pitágoras, el concepto de demostración matemática se difundió con rapidez portodo el mundo civilizado, y dos siglos después de que su escuela fuera incendiada y arrasada, elcentro de la investigación matemática se desplazó de Crotona a la ciudad de Alejandría. En el año 332a. J. C., Alejandro Magno, después de conquistar Grecia, Asia Menor y Egipto, decidió levantar lacapital más espléndida del mundo. De hecho, Alejandría se convirtió en una espectacular metrópoli,pero no fue de inmediato un foco de sabiduría. Solo cuando Alejandro murió y Tolomeo I ascendió altrono de Egipto, Alejandría albergó la primera universidad de la historia. A la ciudad tolemaica de lacultura acudieron matemáticos e intelectuales de otras materias y, aunque les llamaba la atención, porsupuesto, la fama de la universidad, la mayor atracción era la Biblioteca de Alejandría.

La biblioteca fue idea de Demetrio de Falero, un orador repudiado y obligado a abandonar Atenasque con el tiempo encontró refugio en Alejandría. Convenció a Tolomeo de que recopilara los librosmás destacados, asegurándole que los grandes genios acudirían a ellos. Una vez colocados losvolúmenes procedentes de Egipto y Grecia, algunos enviados recorrieron Europa y Asia Menor enbusca de más tomos de sabiduría. Ni siquiera los turistas que llegaban a Alejandría podían escapar delapetito voraz de la biblioteca. En cuanto accedían a la ciudad se les confiscaban los libros que trajeranconsigo y pasaban a manos de los escribas. Estos copiaban los volúmenes y donaban el original a labiblioteca mientras que al propietario podían ofrecerle con displicencia un duplicado de la obra.Gracias a este meticuloso servicio de reproducciones para los antiguos viajeros, los historiadores dehoy mantienen cierta esperanza de que una copia de algún gran texto perdido pueda aparecer en undesván de cualquier rincón del mundo. Eso es lo que ocurrió en 1906, cuando J. L. Heiberg descubrióen Constantinopla un manuscrito, el Método, que contenía algunos de los escritos originales deArquímedes.

El sueño de Tolomeo I de crear un tesoro del conocimiento perduro más allá de su muerte, ydurante el tiempo en que algunos otros Tolomeos ascendieron al trono la Biblioteca de Alejandríallegó a contener más de seiscientos mil volúmenes. Los matemáticos podían aprender todo acerca delmundo conocido estudiando en Alejandría, y allí estaban para enseñarles los maestros más reputados.El encargado del departamento de matemáticas era nada menos que Euclides.

Euclides nació alrededor del año 330 a. J. C. Al igual que Pitágoras, persiguió la verdadmatemática en sí misma y no buscó aplicaciones a su trabajo. Se cuenta que en cierta ocasión unalumno le preguntó por la utilidad de las matemáticas que estaba aprendiendo. Cuando terminó laclase, Euclides se volvió hacia su pupilo y dijo: «Dad una moneda al muchacho si lo que quiere essacar provecho de todo lo que aprende». El estudiante fue expulsado.

Euclides dedicó gran parte de su vida a escribir los Elementos, el libro de texto de mayor éxito enla historia. Además, hasta este siglo fue la segunda obra más importante del mundo después de laBiblia. Consta de trece libros, algunos de los cuales contienen el propio trabajo de Euclides y losrestantes son una compilación de todo el conocimiento matemático de aquellos días, incluidos doslibros dedicados por completo a la obra de la Hermandad de los Pitagóricos. Durante los siglos quesiguieron a Pitágoras, los matemáticos idearon varias técnicas lógicas que podían aplicarse endistintas circunstancias, y Euclides las empleó con habilidad en los Elementos. En especial explotó unarma de la lógica conocida como reducción al absurdo, o la prueba por contradicción. Este métodogira en torno a la perversa idea de intentar demostrar que un teorema es cierto asumiendo en unprincipio que es falso. Entonces, el matemático indaga en las consecuencias lógicas de la falsedad delteorema. En algún punto de la cadena de la lógica aparece una contradicción (por ejemplo, 2 + 2 = 5).Las matemáticas odian lo contradictorio así que el teorema de partida no puede ser falso, por lo quedebe ser cierto.

El matemático inglés G. H. Hardy resumió el espíritu de la prueba por contradicción en su libro AMathematician’s Apology («Autojustificación de un matemático»): «La reducción al absurdo, a la queEuclides tenía tanta afición, es una de las armas más sutiles de los matemáticos. Se trata de unaestrategia mucho más refinada que cualquier jugada de ajedrez: un ajedrecista se puede permitirsacrificar un peón o incluso otra pieza, pero un matemático arriesga la partida entera».

Una de las pruebas por contradicción más conocidas de Euclides estableció la existencia de los

llamados números irracionales. Se cree que siglos antes la Hermandad de los Pitagóricos descubriópor primera vez los números irracionales, pero el concepto fue tan aborrecido por Pitágoras que éstenegó su existencia.

Cuando Pitágoras declaraba que el universo está gobernado por números hacía alusión a losnúmeros racionales, o sea, a los números enteros y a las proporciones entre ellos (fracciones). Unnúmero irracional no es ni un número entero ni una fracción, y eso fue lo que horrorizó a Pitágoras.De hecho, los números irracionales son tan extraños que no pueden transcribirse como decimales; nitan siquiera como decimales periódicos. Un decimal periódico como 0.111111… es en realidad unnúmero bastante sencillo y equivale a la fracción 1/9. El hecho de que los unos se sucedan porsiempre jamás significa que el decimal posee un patrón muy simple y regular. Esta regularidad,aunque se repite hasta el infinito, implica que el decimal puede volver a escribirse como fracción. Sinembargo, si intentamos expresar un número irracional en forma decimal acabamos teniendo unnúmero que continúa por siempre sin ningún patrón regular o lógico.

El concepto de número irracional supuso un tremendo avance. Los matemáticos estabanbuscando más allá de los números enteros y de las fracciones y descubriendo, o tal vez inventando,otros nuevos. Leopold Kronecker, matemático del siglo XIX, dijo: «Dios creó los números enteros;todo lo demás es obra del hombre».

El número irracional más popular es π. En los colegios se da a veces con la aproximación de 3 +1/7 o como 3.14. Sin embargo, el valor real de π es cercano a 3.14159265358979323846, pero hastaeso es una aproximación. En realidad, π no puede escribirse jamás con exactitud porque sus decimalesse suceden eternamente sin seguir patrón alguno. Un precioso rasgo distintivo de este patrónaleatorio es que puede calcularse a través de una ecuación extremadamente regular:

π = 4 ( 1/1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + 1/9 − 1/11 + 1/13 − 1/15 + … ).

Calculando algunos de los primeros términos de la ecuación se puede alcanzar un valor bastanteaproximado para π, pero si se calculan más y más términos se obtiene un valor cada vez más exacto.Aunque el valor de los 39 primeros decimales de π es suficiente para calcular la circunferencia deluniverso con una precisión del orden del radio de un átomo de hidrógeno, ello no ha hecho desistir alos informáticos de calcular el valor de π con el máximo de decimales posible. El récord actual loostenta Yasumasa Kanada, de la Universidad de Tokio, que calculó seis mil millones de decimales delvalor de π en 1996. Recientes rumores insinúan que los hermanos rusos Chudnovsky han calculadoen Nueva York el valor de π con ocho mil millones de decimales, y que aspiran a alcanzar el cálculocon un billón. Si Kanada o los hermanos Chudnovsky prosiguieran con los cálculos hasta que susordenadores agotaran toda la energía del universo, tampoco así llegarían a alcanzar el valor exacto deπ. Es sencillo comprender ahora por qué Pitágoras conspiró para ocultar la existencia de estas bestiasmatemáticas.

El valor de π con más de 1 500 decimales

Cuando Euclides osó encararse con el problema de la irracionalidad en el décimo volumen de losElementos su objetivo consistió en demostrar que existen números que jamás podrán transcribirsecomo fracciones. En lugar de probar que π es un número irracional, analizó la raíz cuadrada de dos(√2), es decir, el número que multiplicado por sí mismo equivale a dos. Para demostrar que √2 no sepuede escribir en forma de quebrado, Euclides utilizó el método de la reducción al absurdo y empezó

por asumir que sí es posible. Después demostró que esa fracción hipotética podía simplificarse hastael infinito. Simplificar una fracción consiste en que, por ejemplo, la razón 8/12 se puede reducir a 4/6si se dividen sus dos términos entre 2, y a su vez 4/6 se puede simplificar como 2/3, la cual ya nopuede reducirse más y por tanto se dice que está en su forma más simplificada. En cambio, Euclidesmostró que la fracción hipotética que supuestamente representaba √2 podía simplificarse una y otravez hasta el infinito sin llegar a reducirla nunca a su forma más simplificada. Esto es absurdo porquetodas las fracciones tienen que alcanzar tarde o temprano su forma más simplificada, y por tanto lafracción hipotética de partida no puede existir. De esto se deduce que √2 no puede escribirse comofracción y es un número irracional. Un esbozo de la demostración de Euclides se encuentra en elapéndice 2 de este libro.

Utilizando la prueba por contradicción, Euclides consiguió demostrar la existencia de los númerosirracionales. Era la primera vez que se dotaba a los números con una cualidad nueva y más abstracta.Hasta ese momento de la historia, todos los números podían expresarse como enteros o comofracciones, pero los números irracionales de Euclides escaparon a una representación tradicional. Noexiste otra manera para describir el número que equivale a la raíz cuadrada de dos más que la forma√2, porque no es susceptible de ser expresado como fracción y porque cualquier intento de escribirlocomo decimal sólo puede consistir en una aproximación: 1.414213562373…

Para Pitágoras, la belleza de las matemáticas radicaba en la idea de que los números racionales(números enteros y fracciones) podían explicar todos los fenómenos naturales. Esta base filosóficaocultó a Pitágoras la existencia de los números irracionales, e incluso puede que llevara a la ejecuciónde uno de sus discípulos. Cuenta una leyenda que un joven estudiante, de nombre Hippasus deMetaponto, se distrajo jugando con el número √2, intentando encontrar la fracción equivalente. Alcabo de cierto tiempo se dio cuenta de que no existe tal razón, o lo que es lo mismo, que √2 es unnúmero irracional. Seguro que Hippasus estuvo encantado con su descubrimiento, pero su maestrono compartió el entusiasmo. Pitágoras había descrito el universo en términos de números racionales,así que el hallazgo cuestionaba su ideal. La revelación de Hippasus debería haber abierto un periodode debate y de meditación durante el cual Pitágoras hubiera tenido que aceptar esta nueva clase denúmeros. Sin embargo, Pitágoras no estaba dispuesto a reconocer su error y al mismo tiempo no fuecapaz de rebatir los argumentos de Hippasus valiéndose del poder de la lógica. Para su granvergüenza, condenó a Hippasus a morir ahogado.

El padre de la lógica y del método matemático recurrió a la fuerza antes que admitir que estabaequivocado. El acto más deshonroso de Pitágoras fue negar la existencia de los números irracionales,y quizá fue ésta la mayor tragedia de las matemáticas griegas. Tan sólo después de su muerte se pudoresucitar sin peligro a los números irracionales.

Euclides se interesó sin duda por la teoría de números, pero no fue ésa su mayor aportación a lasmatemáticas. La verdadera pasión de Euclides fue la geometría, y de los quince volúmenes queforman los Elementos los cuatro primeros están dedicados a la geometría plana (bidimensional) y loslibros del XI al XIII versan sobre geometría espacial (tridimensional). Este cuerpo completo deconocimientos hizo que los Elementos sirvieran como temario de geometría en colegios yuniversidades durante los dos mil años siguientes.

Un texto equivalente al anterior fue compilado por Diofante de Alejandría, el último paladín de latradición matemática griega. Aun cuando sus logros sobre la teoría de números están bien

documentados en sus obras, prácticamente no se sabe nada más de este formidable matemático. Sedesconoce el lugar de su nacimiento y su llegada a Alejandría pudo haberse producido en algúnmomento dentro de un intervalo de cinco siglos. Diofante alude en sus escritos a Hipsicles deAlejandría, por lo que tuvo que vivir después del año 150 a. J. C. Por otra parte, es citado por Teónde Alejandría, así que tuvo que haber vivido antes del año 364 d. J. C. La fecha que se estima comomás probable gira en torno al año 250 d. J. C. El único detalle de la vida de Diofante que nos haquedado tiene forma de acertijo, algo muy acorde con alguien dedicado a resolver problemas, y alparecer estaba grabado en su tumba:

Dios le concedió ser niño durante una sexta parte de su vida, y una duodécima parte de ella más tarde cubrió devello sus mejillas; encendió en él la antorcha del matrimonio tras una séptima parte, y cinco años después leconcedió un hijo. ¡Ay!, un chico de nacimiento tardío y enfermizo al que el frío destino se llevó cuando alcanzóla edad de la mitad de la vida total de su padre. Éste consoló su aflicción con la ciencia de los números durantelos cuatro años siguientes, tras los cuales su vida se extinguió.

El desafío consiste en calcular la duración total de la vida de Diofante. La solución se encuentra en elapéndice 3.

Este acertijo es un ejemplo del tipo de problemas que gustaba a Diofante. Su especialidad eraabordar preguntas cuyas respuestas fueran números enteros, y hoy día estas cuestiones reciben elnombre de problemas diofánticos. Su carrera transcurrió en Alejandría, entre la recopilación deproblemas conocidos y la invención de otros nuevos, y reunió todos ellos en un gran tratado tituladoAritmética. De los trece libros de que constaba la Aritmética sólo seis sobrevivieron a los avatares dela Edad Media y perduraron para inspirar a los matemáticos renacentistas, entre ellos Pierre deFermat. Los otros siete libros se perdieron en una serie de trágicos acontecimientos que devolvieron alas matemáticas a la era babilónica.

Durante los siglos que separan a Euclides de Diofante, Alejandría continuó siendo la capitalintelectual del mundo civilizado, pero a lo largo de todo este periodo la ciudad estuvo bajo laconstante amenaza de ejércitos extranjeros. El primer gran ataque fue el del año 47 a. J. C., cuandoJulio César intentó derrocar a Cleopatra prendiendo fuego a la flota alejandrina. La biblioteca, queestaba cerca del puerto, también ardió, con lo que se perdieron cientos de miles de libros. Por fortunapara las matemáticas, Cleopatra apreciaba la importancia de la sabiduría y estaba resuelta a devolvera la Biblioteca de Alejandría su pasada gloria. Marco Antonio se dio cuenta de que el camino hacia elcorazón de la intelectual pasaba por su biblioteca, así que se encaminó hacia Pérgamo. Esta ciudadhabía creado una biblioteca que se pretendía fuera la mejor del mundo, pero Marco Antonio trasladótodos aquellos fondos a Egipto, restituyendo la supremacía a Alejandría.

En los cuatro siglos siguientes, la Biblioteca de Alejandría continuó acaparando libros, hasta elaño 389 d. J. C., en que recibió la primera de dos embestidas mortales, ambas consecuencia delfanatismo religioso. El emperador cristiano Teodosio I ordenó a Teófilo, obispo de Alejandría, quedestruyera todos los monumentos paganos. Por desgracia, cuando Cleopatra reconstruyó labiblioteca decidió alojarla en el templo de Serapis, por lo que se vio inmersa en la destrucción deimágenes y altares. Los sabios «paganos» intentaron salvar seis siglos de conocimiento pero, antes deque pudieran hacer nada, fueron masacrados por las turbas cristianas. Así empezó el descenso a lastinieblas de la Edad Media.

Unas cuantas y preciosas copias de los libros más valiosos sobrevivieron a la agresión cristiana ylos sabios siguieron acudiendo a Alejandría en busca de conocimientos. Pero en el año 642 un ataquemusulmán consiguió lo que los cristianos no habían logrado. Cuando preguntaron al victorioso califaOmar qué se debía hacer con la biblioteca, sentenció que todos los libros contrarios al Corán debíanser destruidos, y que todos aquellos acordes al Corán eran superfluos y por tanto debían desaparecertambién. Los manuscritos fueron utilizados para alimentar los hornos de los baños públicos, y así lasmatemáticas griegas quedaron reducidas a ceniza. No es sorprendente que pereciera la mayor parte dela obra de Diofante; antes bien, cabría maravillarse de que seis volúmenes de la Aritmética lograransalvarse de la tragedia de Alejandría.

Los mil años siguientes fueron de total abatimiento para las matemáticas de Occidente, y sólo unpuñado de lumbreras mantuvo viva la materia en la India y Arabia. Copiaron las fórmulas de losmanuscritos griegos supervivientes y reinventaron por ellos mismos muchos de los teoremasperdidos. También aportaron nuevos elementos a las matemáticas, entre otros el número cero.

En las matemáticas modernas, el cero desempeña dos funciones. Primero permite distinguir entrenúmeros tales como 52 y 502. En un sistema en el que la posición de cada número denota su valor sehace necesario un símbolo para expresar una posición desocupada. Por ejemplo, la cifra 52 representa5 veces el número diez más 2 veces el uno, mientras que 502 representa 5 veces el número cien más 0veces el diez más 2 veces el uno, y el cero es crucial para disipar cualquier ambigüedad. Incluso losbabilonios, en el III milenio a. J. C., apreciaron la utilidad del cero para evitar confusiones y losgriegos acogieron esta idea, usando para representarlo un símbolo circular similar al que empleamosen la actualidad. En cambio, el cero posee un significado aún más sutil y profundo que sólo fuevalorado del todo por los matemáticos de la India varios siglos más tarde. Los hindúes otorgaron alcero una existencia independiente más allá del mero papel de espaciador entre los demás números. Elcero era un número en sí mismo, representaba la cantidad de nada. Por primera vez se había atribuidouna representación simbólica y tangible al concepto abstracto de nada.

Éste puede parecer un adelanto trivial al lector moderno, pero el sentido más profundo delsímbolo del cero había sido ignorado por todos los filósofos griegos de la Antigüedad, incluidoAristóteles. Él había sostenido que el número cero debía ser proscrito porque daba al traste con laconsistencia de los demás números, puesto que al dividir cualquier número ordinario entre cero seobtenía un resultado incomprensible. En el siglo VI, los matemáticos hindúes dejaron de esconder bajola alfombra este problema y Brahmagupta, estudioso del siglo VII, fue lo bastante sofisticado comopara emplear la división entre cero como definición del infinito.

Mientras Europa había abandonado la noble búsqueda de la verdad, la India y Arabiaconsolidaban la sabiduría que pudo salvarse de las ascuas de Alejandría y la reinterpretaban con unlenguaje nuevo y más elocuente. Además de incluir el cero en el vocabulario matemático, sustituyeronlos primitivos símbolos griegos y los engorrosos numerales romanos por el sistema de cálculo queahora hemos adoptado de forma universal. Una vez más, se podría pensar que estamos ante unridículo y minúsculo paso adelante, pero intente el lector multiplicar CLV por DCI y apreciará el valorde este logro. La tarea de multiplicar 155 por 601 es mucho más simple. La evolución de cualquierdisciplina depende de la capacidad de comunicar y de desarrollar ideas, y esto a su vez requiere unlenguaje lo suficientemente detallado y flexible. Las ideas de Pitágoras y Euclides no fueron menoselegantes por su complicada expresión, pero traducidas a símbolos árabes florecieron y derivaron

hacia conceptos más ricos y nuevos.En el siglo X, el estudioso francés Gerbert d’Aurillac aprendió el nuevo sistema de cálculo a

través de los árabes de la península Ibérica y, valiéndose de sus empleos como profesor en iglesias yescuelas de toda Europa, tuvo ocasión de introducirlo en Occidente. En el año 999 fue elegido papacon el nombre de Silvestre II, acontecimiento que le permitió fomentar aún más el uso de losnumerales indoarábigos. Aunque la eficacia del sistema revolucionó la contabilidad y favoreció quefuera rápidamente adoptado por los comerciantes, contribuyó muy poco a estimular un renacer de lasmatemáticas europeas.

El momento crucial para las matemáticas occidentales se sitúa en 1453, cuando los turcossaquearon Constantinopla. En años anteriores, los manuscritos que escaparon a la profanación deAlejandría se habían concentrado en Constantinopla, pero una vez más fueron amenazados con ladestrucción. Los estudiosos bizantinos huyeron hacia el oeste con todo tipo de textos que pudieronpreservar. Habiendo sobrevivido a las embestidas de César, del obispo Teófilo, del califa Omar yahora a la de los turcos, unos pocos y valiosos volúmenes de la Aritmética realizaron el viaje deregreso a Europa. Diofante estaba destinado al pupitre de Pierre de Fermat.

El origen de un enigma

Las responsabilidades judiciales de Fermat ocupaban gran parte de su tiempo, pero cada momentolibre que tenía lo dedicaba por entero a las matemáticas. Esto se debió en parte a que los jueces delsiglo XVII francés se resistían a relacionarse en sociedad porque los amigos y conocidos podían serllevados en cualquier momento ante la justicia. Fraternizar con los conciudadanos sólo conduciría afavoritismos. Aislado del resto de la alta sociedad de Toulouse, Fermat pudo concentrarse en suafición.

No existe ningún apunte de Fermat que haya sido inspirado jamás por algún tutor matemático; ensu defecto, fue una copia de la Aritmética la que se convirtió en su mentor. La Aritmética describía lateoría de números tal y como era en tiempos de Diofante, a través de una serie de problemas ysoluciones. Diofante obsequió a Fermat con mil años de comprensión matemática. En un solo libro,Fermat podía encontrar toda la sabiduría acerca de los números elaborada según los modelos dePitágoras y de Euclides. La teoría de números había permanecido inmóvil desde el bárbaro incendiode Alejandría, pero ahora Fermat estaba preparado para reanudar el estudio de la disciplinamatemática más esencial.

La Aritmética que inspiró a Fermat era una traducción latina realizada por Claude Gaspar Bachetde Méziriac, según dicen el hombre más versado de toda Francia. Además de ser un brillantelingüista, poeta y estudioso de los clásicos, Bachet sentía auténtica pasión por los enigmasmatemáticos. Su primera publicación fue una recopilación de rompecabezas titulada Problèmesplaisans et délectables («Problemas divertidos y deleitosos»), que incluía problemas sobre cómoatravesar ríos, uno acerca del vertido de líquidos y diversos trucos para adivinar números. Una de lascuestiones planteadas era un problema sobre pesas:

¿Qué número mínimo de pesas hay que utilizar en un juego de balanzas para poder pesar cualquier número entero

de kilogramos entre 1 y 4?

Bachet encontró una ingeniosa solución que muestra que es posible lograrlo con tan sólo cuatropesas. La solución se da en el apéndice 4.

Aunque sólo era un mero diletante matemático, el interés de Bachet por los acertijos fuesuficiente para darse cuenta de que la lista de problemas de Diofante estaba en un plano superior ymerecía un estudio más profundo. Se impuso la tarea de traducir y publicar la obra de Diofante, demodo que pudieran resurgir las técnicas de los griegos. Es importante advertir que se habían olvidadopor completo cantidades ingentes de conocimiento matemático antiguo. Las matemáticas de nivel nose habían impartido siquiera en las mejores universidades de Europa, y sólo gracias a los esfuerzos deestudiosos como Bachet pudo recuperarse tanto en tan corto tiempo. Cuando Bachet publicó laversión latina de la Aritmética, en 1621, estaba contribuyendo al advenimiento de la segunda edad deoro de las matemáticas.

La Aritmética contiene más de cien problemas y Diofante da solución detallada a todos y cadauno de ellos. Este grado de minuciosidad es un hábito que no adquirió Fermat. Fermat no pretendíaescribir un libro de texto para las generaciones futuras: solamente buscaba la satisfacción propia deresolver un problema. El estudio de los problemas y soluciones de Diofante lo movía a pensar yabordar otras cuestiones afines y más sutiles. Fermat garabateaba lo que fuera necesario paraconvencerse de que podía encontrar la solución y luego no se molestaba en escribir el resto de laprueba. La mayoría de las veces tiraba sus notas a la papelera y pasaba despreocupadamente alsiguiente problema. Por fortuna para nosotros, la edición de Bachet de la Aritmética tenía unosmárgenes generosos en todas las páginas y en ocasiones Fermat apuntó apresuradas fórmulas ycomentarios en esos huecos. Para generaciones de matemáticos, estas notas acabaron convirtiéndoseen un registro valiosísimo, si bien algo escaso, de los cálculos más brillantes de Fermat.

Uno de los hallazgos de Fermat tuvo que ver con los llamados números amigos o amistosos, loscuales están muy relacionados con los números perfectos que dos mil años atrás habían fascinado aPitágoras. Los números amigos son parejas de números tales que uno de ellos equivale a la suma delos divisores del otro, y éste le corresponde del mismo modo. Los pitagóricos hicieron elextraordinario descubrimiento de que 220 y 284 son números amigos. Los divisores de 220 son 1, 2,4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, y la suma de todos da 284. Por otra parte, los divisores de 284 son1, 2, 4, 71 y 142, y la suma de éstos da 220.

Se dijo que el par 220 y 284 era un símbolo de amistad. Martin Gardner, en su obra MathematicalMagic Show («Festival mágico-matemático»), habla de talismanes tallados con estos números que sevendían en la Edad Media con el pretexto de que al llevarlos colgados sus influjos atraerían el amor.Un numerólogo árabe documenta la práctica de grabar la cifra 220 en una fruta y 284 en otra paraluego comer la primera y ofrecer la segunda al amante a modo de afrodisiaco matemático. Losprimeros teólogos observaron en el Génesis que Jacob dio 220 cabras a Esaú, y creyeron que elnúmero de cabras, la mitad de un par amigo, era una manifestación del amor de Jacob hacia Esaú.

No se identificó ningún otro par de números amigos hasta 1636, cuando Fermat encontró lapareja 17 296 y 18 416. Aunque no se trata de un descubrimiento trascendental, sí nos muestra sufamiliaridad con los números y su afición a jugar con ellos. A Fermat le entró la manía de buscarnúmeros amigos; Descartes dio con un tercer par (9 363 584 y 9 437 056) y Leonhard Euler continuóhasta lograr una lista de sesenta y dos pares amigos. Resulta curioso que todos ellos pasaran por alto

un par mucho más bajo de números amigos. En 1866, un italiano de dieciséis años, Niccolò Paganini,halló la pareja 1 184 y 1 210.

Durante el siglo XX, los matemáticos han desarrollado aún más la idea y han buscado los números«sociables», tres o más números que forman un círculo cerrado. Por ejemplo, en este círculo de cinconúmeros (12 496, 14 288, 15 472, 14 536 y 14 264) la suma de los divisores del primer número da elsegundo, la del segundo da el tercero, la del tercero da el cuarto, la del cuarto da el quinto y la delquinto da el primero. El círculo sociable más extenso conocido está formado por veintiocho números,siendo el primero de ellos el 14 316.

Aunque el descubrimiento de un nuevo par de números amigos hizo un poco célebre a Fermat, sugloria quedó confirmada gracias a una serie de retos matemáticos. Fermat notó que el número 26queda emparedado entre el 25 y el 17, en el sentido de que uno es un número al cuadrado (25 = 5² = 5× 5) y otro es un número al cubo (27 = 3³ = 3 × 3 × 3). Buscó otros números emparedados entre uncuadrado y un cubo pero no lo consiguió, y sospechó que el 26 tendría que ser el único. Tras días dearduo esfuerzo, se las arregló para dar con un argumento detallado que probara que 26 es sin dudaalguna el único número entre un cuadrado y un cubo. Su demostración, razonada paso a paso,estableció que ningún otro número podría satisfacer este requisito.

Fermat anunció esta propiedad única del número 26 a la comunidad matemática y la desafió ademostrar que era cierto. Comunicó abiertamente que él había dado con la prueba. En cambio, lacuestión era si el resto de matemáticos gozaba del ingenio suficiente para superar el desafío. A pesarde lo sencillo de la propuesta, la demostración es complicada en extremo y Fermat se deleitóespecialmente mofándose de los matemáticos ingleses Wallis y Digby, quienes con el tiempotuvieron que admitir el fracaso. A la larga, el mayor motivo de la fama de Fermat resultaría ser otrodesafío para el resto del mundo. Sin embargo se trataba de un enigma accidental que jamás fueconcebido para la discusión pública.

La nota al margen

Mientras estudiaba el libro II de la Aritmética, Fermat llegó a una serie de observaciones, problemas ysoluciones relacionados con el teorema de Pitágoras y con las ternas pitagóricas. Por ejemplo,Diofante discutió la existencia de ciertas ternas que constituían los llamados «triángulos cojos»,cuyos dos lados menores x e y difieren uno del otro sólo en una unidad (x = 20, y = 21, z = 29 y 20² +21² = 29²)

Fermat fue zarandeado por la diversidad y abundancia de ternas pitagóricas. Sabía que siglosantes Euclides había formulado una demostración, esbozada en el apéndice 5, que probaba que enrealidad existe un número infinito de ternas pitagóricas. Seguramente observaría la detalladaexposición de Diofante sobre las ternas pitagóricas y se preguntaría qué quedaba por añadir alrespecto. En cuanto llegó a la página comenzó a jugar con la ecuación pitagórica, intentando descubriralgo que hubiera escapado a los griegos. De pronto, en un momento de inspiración que inmortalizaríaal príncipe de los aficionados, creó una ecuación que, si bien es muy parecida a la de Pitágoras, notiene solución alguna. Era la ecuación sobre la que leería aquel Andrew Wiles de diez años en labiblioteca de la calle Milton.

En lugar de considerar la ecuación

x² + y² = z²,

Fermat estaba contemplando una variante de la creación pitagórica:

x³ + y³ = z³.

Como se menciona en el capítulo anterior, Fermat se limitó a cambiar la potencia de 2 a 3, delcuadrado al cubo, pero su nueva ecuación parecía no tener solución alguna con números enteros.Ensayos y errores manifestaron bien pronto la dificultad de encontrar dos números que elevados alcubo y sumados entre sí equivalieran a otro elevado también al cubo. ¿Podría de verdad darse el casode que aquella mínima variación tornara la ecuación de Pitágoras, con un número infinito desoluciones, en otra sin solución?

Modificó aún más la ecuación, cambiando el exponente a valores superiores a tres, y descubrióque dar con una solución a esas otras variantes resultaba igual de complicado. Según Fermat, parecíano haber tres números enteros que cumplieran la ecuación

xⁿ + yⁿ = zⁿ, donde n representa 3, 4, 5,…

En el margen de su Aritmética, junto al problema 8, escribió una nota con su observación:

Cubem autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam ininfinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere.

Es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos o escribir una cuarta potencia como la suma de doscuartas potencias o escribir, en general, cualquier potencia mayor que dos como la suma de dos potenciasiguales.

De entre todos los números posibles parecía no existir razón alguna que impidiera encontrar al menosuna solución, a pesar de que Fermat afirmó que en ningún lugar del universo infinito de los númerosexistía una «terna fermatina». Era una afirmación extraordinaria, pero Fermat se creía capaz dedemostrarla. Tras el primer apunte marginal que esbozaba la teoría, el travieso genio anotó uncomentario adicional que iba a atormentar a generaciones de matemáticos:

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi hanc marginis exiguitas non caperet.

Poseo una prueba en verdad maravillosa para esta afirmación a la que este margen viene demasiado estrecho.

Este era el Fermat más enloquecedor. Sus propias palabras sugieren que estaba especialmenteentusiasmado con su prueba «en verdad maravillosa», pero no tenía ninguna intención de molestarseen anotar los detalles de la argumentación; nunca pensó en hacerla pública. Jamás mencionó nada anadie acerca de la prueba y, aun a pesar de su mezcla de indolencia y modestia, el último teorema deFermat, como luego se lo denominaría, iba a hacerse famoso en todo el mundo en los siglos venideros.

El último teorema al fin publicado

El célebre descubrimiento de Fermat ocurrió más bien pronto en su carrera matemática, alrededor de1637. Unos treinta años después, cuando cumplía con sus obligaciones judiciales en la ciudad deCastres, enfermó de gravedad. El 9 de enero de 1665 firmó sus últimas voluntades y, pasados tresdías, falleció. Aislados todavía de la escuela parisiense de matemáticas y recordados con nodemasiado cariño por sus corresponsales, los descubrimientos de Fermat corrían el riesgo de perdersepara siempre. Por suerte, el hijo mayor de Fermat, Clément-Samuel, que apreciaba el valor de laafición de su padre, decidió que sus hallazgos no perecieran para el mundo. Gracias a sus esfuerzossabemos al menos algo sobre el logro más destacado de Fermat dentro de la teoría de números y, enparticular, si no hubiera sido por él, el enigma que hoy conocemos como el último teorema de Fermathabría muerto con su creador.

Clément-Samuel dedicó cinco años a recopilar los apuntes y cartas de su padre y a examinar lasanotaciones en los márgenes de su ejemplar de la Aritmética. La nota marginal referente al últimoteorema de Fermat era sólo uno de los muchos pensamientos inspirados escritos en el libro, yClément-Samuel acometió la publicación de esas anotaciones en una edición especial de la Aritmética.En 1670 sacó a la luz un volumen titulado Diophanti arithmeticorum libri cum observationibus P. deFermat («Aritmética de Diofante con observaciones de P. de Fermat»). Junto a las traduccionesoriginales griega y latina de Bachet se insertaban cuarenta y ocho observaciones hechas por Fermat.La segunda observación, que se muestra en la figura 6, era la que luego sería conocida como el últimoteorema de Fermat.

Una vez las Observaciones de Fermat llegaron a la vasta sociedad, quedó claro que las misivasque Fermat había enviado a sus colegas representaban meros fragmentos de un tesoro pleno dehallazgos. Sus apuntes personales contenían series íntegras de teoremas que, por desgracia, no ibanacompañados de ninguna explicación ni de la más leve indicación sobre su demostración básica. Habíasuficiente cantidad de tentadores destellos de lógica como para no dejar ninguna duda a losmatemáticos de que Fermat disponía de pruebas, pero completar los detalles era el desafío que habíadejado para que ellos lo aceptaran.

Figura 6: Página que contiene la célebre observación de Pierre de Fermat

Leonhard Euler, uno de los mejores matemáticos del siglo XVIII, intentó demostrar una de lasobservaciones más elegantes de Fermat, un teorema relacionado con los números primos.

Número primo es aquel que no tiene divisores, es decir, el que no puede dividirse entre ningúnotro número, excepto entre la unidad y él mismo, para dar un resultado exacto. De modo que el 13 esun número primo, pero el 14 no. El 13 no puede dividirse entre ningún número para dar un resultadoexacto, en cambio el 14 puede dividirse entre 2 y 7. Todos los números primos pueden clasificarse endos categorías; los que tienen la forma 4n + 1 o los que se corresponden con 4n − 1 donde nrepresenta cualquier número. Así, el 13 se incluye en el primer grupo (4 × 3 + 1), mientras que el 19lo hace en el segundo (4 × 5 − 1). El teorema de primos de Fermat afirma que el primer tipo denúmeros primos equivale siempre a la suma de dos cuadrados (13 = 2² + 3²), mientras que el segundojamás puede escribirse de ese modo (19 = ?² + ?²). Esta propiedad de los números primos es biensimple, pero intentar demostrar que se cumple con cada número primo resulta extremadamentedifícil. Para Fermat se trataba tan sólo de una de sus muchas demostraciones privadas. El desafío

para Euler era redescubrir la prueba de Fermat. Al fin, en 1749, tras siete años de trabajo y casi unsiglo después de la muerte de Fermat, Euler consiguió probar este teorema de los números primos.

El repertorio de los teoremas de Fermat abarcaba desde lo fundamental hasta la simple diversión.Los matemáticos establecen la importancia de los teoremas según su repercusión en el resto de lasmatemáticas. En primer lugar, un teorema se considera importante si contiene una verdad universal,es decir, si se aplica a todo un grupo de números. En el caso del teorema de números primos, éste escierto no sólo para algunos números primos sino para todos ellos sin excepción. En segundo lugar,los teoremas deben revelar alguna verdad esencial más profunda sobre las relaciones entre losnúmeros. Un teorema puede servir de trampolín para generar multitud de teoremas adicionales, eincluso puede inspirar el desarrollo de nuevas ramas de las matemáticas. Por último, un teorema esimportante si su ausencia entorpece áreas enteras de la investigación por la falta de un eslabón lógico.Muchos matemáticos se han acostado llorando por saber que podrían alcanzar mejores resultados sillegaran a probar tan sólo un eslabón perdido de la cadena lógica.

Como los matemáticos utilizan los teoremas como escalones para llegar a otros resultados, sevolvía imprescindible demostrar cada teorema de Fermat. El mero hecho de que afirmara que tenía laprueba de un teorema no era suficiente para aceptarlo así como así. Antes de poder usarlo, cadateorema debía ser demostrado con un rigor severísimo porque en caso contrario las consecuenciaspodrían haber sido desastrosas. Imaginemos, por ejemplo, que los matemáticos hubieran aceptado sinmás uno de los teoremas de Fermat. Se habría incorporado como elemento de toda otra serie depruebas más amplias. A su debido tiempo, esas pruebas más extensas serían incorporadas a otras aúnmayores, y así sucesivamente. A la larga, cientos de teoremas podrían llegar a apoyarse sobre unaverdad sin revisar del teorema original. ¿Pero qué ocurriría si Fermat hubiera cometido un error y portanto el teorema no probado tuviera en realidad algún fallo? Todos esos otros teoremas que lohubieran incorporado también resultarían ser falsos y amplias ramas de las matemáticas sedesplomarían. Los teoremas son el fundamento de las matemáticas porque, una vez establecida suverdad, no es arriesgado crear otros teoremas sobre esos cimientos. Las ideas sin demostrar son, condiferencia, mucho menos valiosas y se las considera sólo conjeturas. Cualquier lógica basada en unaconjetura es por sí misma una conjetura.

Fermat afirmó que poseía la demostración de cada una de sus observaciones, así que para él setrataba de teoremas. En cambio, hasta que la comunidad en general redescubrió cada pruebaindividual, ninguna de ellas pudo ser considerada más que una mera conjetura. De hecho, durante losúltimos 350 años el último teorema de Fermat debería haberse denominado, con mucha máspropiedad, la última conjetura de Fermat.

A medida que pasaron los siglos, todas las observaciones fueron probadas una a una, pero elúltimo teorema se negó con terquedad a ceder tan fácilmente. De hecho, se lo denomina el «último»teorema porque fue la última de las afirmaciones que quedó por demostrar. Tres siglos de esfuerzosfracasaron en la búsqueda de la prueba y eso contribuyó a su mala fama de ser el desafío más duro delas matemáticas. Sin embargo, esta reconocida dificultad no tiene por qué significar que el últimoteorema de Fermat sea importante según lo dicho antes. El último teorema, al menos hasta hace muypoco, parecía no satisfacer los diversos criterios; daba la impresión de que su demostración noconduciría a nada relevante, de que no aportaría ninguna revelación particularmente profunda sobrelos números y de que no contribuiría a probar ninguna otra conjetura.

La fama del último teorema de Fermat procede tan sólo de la pura dificultad de probarlo. Leañade un atractivo adicional el hecho de que el príncipe de los aficionados afirmara que podíademostrar este teorema que, desde entonces, ha desconcertado a generaciones de matemáticosprofesionales. Los comentarios improvisados en el margen de su copia de la Aritmética seinterpretaron como un desafío para el mundo. El había demostrado el último teorema, la cuestión erasi algún otro podría alcanzar su brillantez.

G. H. Hardy tenía un sentido del humor muy singular e ideó lo que podría haber sido un legadoigual de frustrante que el anterior. El desafío de Hardy era como una póliza de seguros que loayudaba a enfrentarse a su miedo a viajar en barco. Siempre que cruzaba el mar enviaba antes untelegrama a un colega diciendo:

He resuelto la hipótesis de Riemann stopDaré detalles a mi regreso stop

La hipótesis de Riemann es un problema que ha atormentado a los matemáticos desde el siglo XIX. Lalógica de Hardy consideraba que Dios jamás permitiría que se ahogara porque, en ese caso, dejaría alos matemáticos acosados por un segundo y terrible fantasma.

El último teorema de Fermat es un problema de una inmensa dificultad y a pesar de ello puedeexpresarse de manera que lo entienda un colegial. No existe ningún problema en física, química obiología que, enunciado de forma tan inequívoca y simple, haya permanecido sin solución durantetanto tiempo. En su libro The Last Problem, E. T. Bell escribió que tal vez la civilización seextinguiría antes de que dicho teorema llegara a resolverse. Demostrar el último teorema de Fermat seha convertido en el galardón más preciado de la teoría de números y no sorprende que hayaprovocado algunos de los episodios más emocionantes de la historia de las matemáticas. La búsquedade una prueba ha comportado a los más grandes genios del planeta descomunales recompensas,desesperaciones suicidas y duelos al amanecer.

El prestigio del enigma ha llegado más allá del cerrado universo matemático. En 1958 incluso seabrió camino dentro de un cuento fáustico. Una antología titulada Deals with the Devil («Pactos conel diablo») contiene un relato breve de Arthur Poges. En «El diablo y Simón Flagg», el diablo pide aSimón Flagg que le formule una pregunta. Si consigue responderla en el transcurso de veinticuatrohoras, el alma de Simón será suya, pero si yerra, pagará a Simón la cantidad de cien mil dólares.Simón plantea la pregunta: «¿Es verdadero el último teorema de Fermat?». El diablo desaparece yzumba alrededor del mundo para empaparse de todas las matemáticas que se han elaborado desde elprincipio de los tiempos. Al día siguiente regresa y admite su derrota:

Tú ganas, Simón —dijo casi en un susurro, mirándolo con un respeto absoluto—. Ni siquiera yo soy capaz deaprender en tan poco tiempo las matemáticas que se requieren para un problema tan difícil. Cuanto más indagoen él peor se torna. Factorizaciones no unívocas, ideales… ¡Bah! ¿Sabes —confió el diablo— que ni siquiera losmejores matemáticos de otros planetas, todos mucho más avanzados que el tuyo, lo han resuelto? Vamos, hayun tipo en Saturno semejante a una seta con zancos que resuelve mentalmente ecuaciones diferenciales enderivadas parciales; y hasta él ha desistido.

3. UNA HUMILLACIÓN MATEMÁTICA

Las matemáticas no son una marcha cautelosa a lo largo de una carretera bien despejada, sino unviaje por un desierto desconocido en el que los exploradores se pierden a menudo. Para elhistoriador, el rigor debe ser señal de que los mapas se han trazado y de que los verdaderosexploradores han llegado a otra parte.

W. S. Anglin

«Desde que, siendo un niño, me topé por primera vez con el último teorema de Fermat se convirtióen mi gran pasión —recuerda Andrew Wiles con una voz temblorosa que transmite su entusiasmopor la cuestión—. Tropecé con este problema que había permanecido sin resolver durante trescientosaños. No creo que a muchos de mis compañeros de colegio les diera por las matemáticas, así que nolo comenté con los chicos de mi edad. Pero tuve un profesor que había investigado en matemáticas, yfue él quien me dio un libro sobre la teoría de números que me aportó algunas pistas para empezar aabordarlo. En un principio trabajé con la suposición de que Fermat no sabía muchas más matemáticasde las que yo sabía entonces. Intenté encontrar su prueba perdida utilizando los métodos que élpodía haber usado».

Wiles era un chico lleno de inocencia y de ambición que vio una posibilidad de triunfo dondegeneraciones de matemáticos habían fracasado. Para otros, esto podría haberse parecido a un sueñotemerario, pero el joven Andrew acertaba al pensar que él, un escolar del siglo XX, sabía tantasmatemáticas como Pierre de Fermat, genio del siglo XVII. Podía ser que en su ingenuidad diera con unademostración que había escapado a otras mentes mejor preparadas.

A pesar de su entusiasmo, cada calculo resulto fallido. Se había devanado los sesos y habíaestudiado los libros de texto sin conseguir nada. Tras un año de fracasos cambió de estrategia; pensóque podría aprender algo de los errores de otros matemáticos más eminentes. «El último teorema deFermat va acompañado de esta increíble historia romántica. Mucha gente ha discurrido sobre él y,cuanto más han buscado y errado los grandes matemáticos la solución del problema, más desafiante ymisterioso se ha vuelto. Tantos matemáticos lo han intentado, y de tantas maneras diferentes, en lossiglos XVIII y XIX que yo, un quinceañero, decidí que debía estudiar esos métodos y tratar decomprender lo que ellos habían hecho».

El joven Wiles examinó los enfoques de todo aquel que en algún momento hubiera intentado conseriedad demostrar el último teorema de Fermat. Comenzó estudiando el trabajo del matemático másprolífico de la historia y el primero que progresó en la batalla contra Fermat.

El cíclope matemático

Hacer matemáticas es una experiencia difícil y misteriosa. A menudo, el objeto de la demostración

está claro, pero el camino a seguir está cubierto por la niebla y el matemático va dando trompicones alo largo de un cálculo, horrorizado porque cada paso puede estar encaminándolo en una direccióncompletamente errónea. Además aparece el temor de que no exista ningún camino. Un matemáticopuede creer que una afirmación es cierta y dedicar años a intentar demostrar que, en efecto, lo es auncuando en realidad sea falsa desde el principio. Así, puede que el matemático insista en demostrar loimposible.

En toda la historia de esta materia sólo un puñado de matemáticos parece haber superado ladesconfianza en sí mismos que intimida a sus colegas. Quizá el ejemplo más notable sea el del geniodel siglo XVIII Leonhard Euler, quien logró el primer progreso hacia la demostración del ultimoteorema de Fermat, Euler poseía una intuición tan increíble y una memoria tan vasta que se decía quepodía trazar de cabeza todo el grueso de un cálculo sin tener que utilizar lápiz y papel. Era conocidoen toda Europa como «el análisis en persona», y el académico francés François Arago dijo: «Eulercalculaba en apariencia sin ningún esfuerzo, igual que los hombres respiran o que las águilas sesostienen en el aire».

Leonhard Euler nació en Basilea en 1707 y era hijo de un pastor calvinista, Paul Euler. Aunque eljoven Euler mostraba un talento prodigioso para las matemáticas, su padre estaba decidido a queestudiara teología y a que hiciera carrera dentro de la Iglesia. Leonhard, sumiso, obedeció y estudióteología y hebreo en la Universidad de Basilea.

Por suerte para Euler, la ciudad de Basilea era también la residencia del eminente clan de losBernoulli. Los Bernoulli podrían reclamar el título de la más matemática de las familias, puesengendró ocho de las mentes más sobresalientes en este campo en tan sólo tres generaciones. Alguiendijo que la familia Bernoulli fue para las matemáticas lo que la familia Bach para la música. Su fama sepropagó por toda la comunidad matemática y una anécdota en concreto tipifica el perfil familiar: encierta ocasión, Daniel Bernoulli, viajando por Europa, entabló conversación con un desconocido.Poco después se presentó con modestia: «Soy Daniel Bernoulli». «Y yo —dijo su interlocutor consarcasmo— soy Isaac Newton». Daniel recordaba este incidente con cariño porque lo consideraba elelogio más sincero que había recibido nunca.

Daniel y Nikolaus Bernoulli eran muy amigos de Leonhard Euler y se dieron cuenta de que el másbrillante de los matemáticos se estaba convirtiendo en el más mediocre de los teólogos. Apelaron aPaul Euler y le rogaron que permitiera a Leonhard colgar los hábitos en favor de los números. En elpasado, el cabeza de la familia Euler había sido instruido en matemáticas por el cabeza de la familiaBernoulli, Jakob, y les profesaba un enorme respeto. Así que, aunque a regañadientes, aceptó que suhijo había nacido para calcular y no para predicar.

Leonhard Euler cambió pronto Suiza por los palacios de Berlín y San Petersburgo, donde pasaríagran parte de sus años creativos. En la época de Fermat, los matemáticos eran consideradosmalabaristas aficionados a los números, pero en el siglo XVIII eran tenidos por profesionales de laresolución de problemas. La cultura de los números había cambiado radicalmente y eso, en parte, sedebía a sir Isaac Newton y sus cálculos científicos.

Newton creía que los matemáticos perdían el tiempo incordiándose unos a otros con inútilesenigmas. El, en cambio, aplicó las matemáticas al mundo físico y lo calculó todo, desde lo relacionadocon las órbitas de los planetas hasta las trayectorias de las balas de cañón. Por la época en queNewton murió, en 1727, Europa experimentaba una revolución científica, y en ese mismo año Euler

publicó su primer artículo. Este, a pesar de contener unas matemáticas elegantes e innovadoras,apuntaba principalmente a exponer la solución de un problema técnico referente a los mástiles de losbarcos.

Las potencias europeas no estaban interesadas en aplicar las matemáticas a la exploración deconceptos esotéricos y abstractos. Más bien querían explotarlas para resolver problemas prácticos, ycompetían entre ellas para captar las mentes más destacadas. Euler empezó su carrera con los zaresantes de que Federico II el Grande, rey de Prusia, lo invitara a la Academia de Berlín. Con el tiemporegresó a Rusia, bajo el mandato de Catalina la Grande, donde pasó sus últimos años. A lo largo de sucarrera abordó multitud de problemas, que se extienden desde la navegación hasta las finanzas ydesde la acústica hasta la irrigación. El mundo práctico de la resolución de problemas no atenuó lashabilidades matemáticas de Euler. Por el contrario, cada enfrentamiento a una nueva empresa loinstaba a crear unas matemáticas innovadoras e ingeniosas. Su firme pasión lo llevó a escribir variosartículos en un solo día, y se cuenta que entre la primera y la segunda llamada para la comidaintentaba escribir a toda prisa un cálculo completo digno de ser publicado. No desperdiciaba unsegundo y, hasta cuando mecía a un niño con una mano, esbozaba una demostración con la otra.

Uno de sus mayores logros fue el desarrollo del método algorítmico. El objetivo de los algoritmosde Euler era abordar problemas en apariencia imposibles. Uno de esos problemas era la predicción delas fases de la Luna para fechas lejanas en el futuro y con gran precisión, una información que podíautilizarse para elaborar tablas esenciales de navegación. Ya Newton había mostrado que esrelativamente fácil calcular la órbita de un cuerpo en torno a otro, pero en el caso de la Luna lacuestión no es tan simple. Mientras que la Tierra y la Luna se atraen mutuamente, el Sol perturba elmovimiento de la Tierra y repercute en la órbita lunar. Se pueden formular ecuaciones que precisan elefecto de cualquiera de los dos cuerpos, pero los matemáticos del siglo XVIII no podían incorporar enlos cálculos la influencia de un tercer objeto. Incluso hoy día es imposible predecir la solución exactadel llamado «problema de los tres cuerpos».

Euler se percató de que los navegantes no necesitaban saber la fase de la Luna con total precisión,sino sólo con la exactitud suficiente para ubicar sus posiciones con un margen de error de variasmillas náuticas. Por consiguiente, desarrolló una receta para generar una solución imperfecta, perocon la precisión adecuada. La receta, o algoritmo, obraba mediante la obtención de una primerasolución tosca y fácil de calcular, la cual era reutilizada en el proceso para obtener otra más refinada.Esta solución refinada podía, a su vez, reintroducirse en el algoritmo para lograr aún mayor precisión,y así sucesivamente. Tras unas cien iteraciones, Euler era capaz de ofrecer la posición de la Luna conuna precisión más que suficiente para las necesidades de la marina. Proporcionó su algoritmo alalmirantazgo británico y recibió en recompensa la cantidad de trescientas libras esterlinas.

Euler alcanzó fama de ser capaz de solucionar cualquier problema que le fuera planteado,habilidad que se extendía más allá del ámbito de la ciencia. Durante su estancia en la corte de Catalinala Grande coincidió con el destacado filósofo francés Denis Diderot. Este era un ateo declarado ydedicó su tiempo a convertir a los rusos al ateísmo. Esto enojó a Catalina, quien pidió a Euler queatajara los actos de aquel malvado francés.

Euler rumió el asunto por un tiempo y anunció que disponía de una prueba algebraica de laexistencia de Dios. Catalina la Grande llamó a Euler y a Diderot a palacio y reunió a sus cortesanospara asistir al debate teológico. Euler se presentó ante el auditorio y anuncio:

Señor, = x, y por lo tanto Dios existe; ¡refútelo!

Como no era un entendido en álgebra, Diderot fue incapaz de argüir al mayor matemático de Europay permaneció en silencio. Humillado, abandonó San Petersburgo y regresó a París. En su ausencia,Euler continuó disfrutando de su retorno a los estudios de teología e hizo públicas algunas otrasdemostraciones fingidas sobre la naturaleza de Dios y del alma humana.

Un problema algo más útil y que también requirió de la fantasía de Euler tuvo que ver con laciudad prusiana de Königsberg, perteneciente hoy a Rusia y conocida como Kaliningrad. La ciudadestá construida sobre los bancos de arena del río Pregel y consta de cuatro barrios independientesconectados por siete puentes. La figura 7 muestra la disposición de la ciudad. Algunos de losresidentes más curiosos de Königsberg se preguntaban si sería posible trazar una ruta que atravesaralos siete puentes sin pasar dos veces por ninguno de ellos. Los ciudadanos de Königsberg probaronvarios caminos, pero todos fracasaron en su intento. También Euler fue incapaz de hallar un itinerarioque cumpliera las condiciones requeridas, pero consiguió explicar por qué este empeño estabacondenado al fracaso.

Figura 7: El río Pregel divide la ciudad de Königsberg en cuatro partes independientes, A, B, C y D. Sietepuentes comunican las distintas partes y un acertijo local planteaba si era posible hacer una ruta de manera

que cada puente se atravesara una única vez.

Euler tomó un plano de la ciudad, a partir del cual elaboró una representación simplificada en laque las porciones de tierra se reducían a puntos y los puentes se representaban con líneas, tal y comose muestra en la figura 8. Arguyó entonces que para trazar la ruta requerida (o sea, cruzando todoslos puentes una sola vez) cada punto debería estar unido a un número par de líneas. Esto es asíporque, durante el trayecto, cada vez que el viajero atraviesa una masa de tierra debe hacerlo entrandopor un puente y saliendo por otro distinto. Sólo hay dos excepciones a esta regla: el inicio y el finaldel viaje. Al principio de la ruta, el viajero abandona una masa de tierra, y para ello sólo necesita unpuente de salida. Al final del recorrido accede a una masa de tierra, para lo que vuelve a requerir sóloun puente. Si el viaje empieza y acaba en lugares distintos, estas dos masas de tierra pueden tener unnúmero impar de puentes. Si, por el contrario, el viaje empieza y acaba en el mismo lugar, entonceseste punto, al igual que todos los demás, debe disponer de un número par de puentes.

a + bn

n

Figura 8: Representación simplificada de los puentes de Königsberg.

Así, Euler concluyó que, en general, en cualquier red de puentes es posible hacer un viajecompleto cruzando cada uno de ellos una vez si y sólo si todas las masas de tierra constan de unnúmero par de puentes, o bien si dos de ellas contienen un número impar. En el caso concreto deKönigsberg hay cuatro masas de tierra y todas constan de una cantidad impar de puentes: tres deellas tienen tres puentes cada una, mientras que una posee cinco. Euler explicó así por qué esimposible cruzar todos y cada uno de los puentes de Königsberg una sola vez, y de paso elaboró unaregla aplicable a cualquier red de puentes en cualquier ciudad del mundo. La demostración es de unasimplicidad maravillosa y es tal vez el tipo de problema de lógica que Euler despachaba con unbosquejo antes de las comidas.

El rompecabezas de los puentes de Königsberg es uno de los llamados problemas de redes enmatemáticas aplicadas, e inspiró a Euler a considerar redes más abstractas. Así llegó a descubrir unaverdad fundamental para todas las redes, la llamada fórmula de redes, y fue capaz de demostrarla ensólo unos cuantos pasos. La fórmula de las redes representa una relación eterna entre los tres objetosque definen a toda red:

V + R − L = 1,

donde

V = número de vértices (intersecciones) en la red,L = número de lineas (aristas) en la red,R = número de regiones (áreas aisladas) en la red.

Euler afirmaba que en cualquier red imaginable, al sumar el número de vértices y regiones y sustraer elde líneas, el total resultante es siempre la unidad. Por ejemplo, todas las redes de la figura 9 obedecena esta regla.

Figura 9: Todas las redes concebibles obedecen la fórmula de redes de Euler.

Cabría plantearse comprobar esta fórmula en una serie completa de redes y, si resultara cierta entodos los casos, sería tentador concluir que lo será por siempre en cualquier red imaginable. Aunqueello podría constituir una evidencia suficiente para una teoría científica no es adecuado comojustificación para un teorema matemático. El único modo de mostrar que la fórmula es válida paratodas las redes posibles es crear un argumento a toda prueba, y esto es exactamente lo que hizoEuler.

Euler empezó considerando la red más sencilla de todas, o sea, un único vértice, tal y como semuestra en la figura 10a. En esta red, la fórmula es verdadera de manera obvia, porque sólo hay unvértice, no hay líneas y no hay regiones. Así:

V + R − L = 1 + 0 − 0 = 1.

Después consideró qué ocurriría si añadiera algo más a esta red simplicísima. Cualquier extensión deun único vértice requiere añadir una línea. La línea puede conectar el vértice existente bien con élmismo o bien con un vértice adicional.

Figura 10: Euler probó su fórmula de redes demostrando que es válida para la red más simple y verificandoa partir de ahí que continúa cumpliéndose sea cual sea la cantidad de añadidos que se sumen al vértice

único original.

Consideremos primero la posibilidad de conectar un vértice consigo mismo mediante una línea.Como se muestra en la figura 10b, al añadir esta línea aparece también una región nueva, así que lafórmula de las redes sigue vigente porque la región añadida (+1) se anula con la línea adicional (-1). Sicontinuamos añadiendo líneas de este modo, la fórmula mantiene su validez porque cada línea nuevacrea a su vez otra región.

Veamos ahora la opción de enlazar el vértice original con un vértice nuevo, como muestra la figura10c. La fórmula es correcta otra vez porque el vértice nuevo (+1) anula la línea adicional (-1). Si seañaden más líneas de la misma manera, cada una de ellas requiere un vértice nuevo y la fórmula sigueen vigor.

Esto es todo lo que Euler necesitaba para su demostración. Explicó que la fórmula de redes eraválida para la más simple de las redes concebibles, la compuesta por un único vértice. Además, todared, sea cual sea su complejidad, se forma a partir de la más simple, añadiendo una a una tantas líneascomo sea necesario. Y siempre que se añade una línea o bien aparece una región nueva o bien esnecesario añadir un vértice, y cualquiera de los dos casos compensa en la fórmula el efecto de la líneaadicional, de modo que la fórmula es siempre válida. Euler desarrolló así una estrategia simple perosólida. Demostró que la fórmula es válida para la red más simple, un único vértice, y luego demostróque cualquier operación que complicara la red seguiría preservando su validez. Por tanto, la ecuaciónes verdadera para toda la infinidad de redes imaginables.

Cuando Euler se encontró por primera vez con el último teorema de Fermat quizá confiara ensolucionarlo con una estrategia similar. El último teorema y la fórmula de redes proceden de áreasmuy distintas de las matemáticas, pero tienen algo en común, y es que ambas hablan de un númeroinfinito de objetos. La fórmula de redes dice que, para el número infinito de redes existentes, sunúmero de vértices y regiones menos el número de líneas es igual a la unidad. El ultimo teorema deFermat afirma que para un número infinito de ecuaciones no existe solución alguna con númerosenteros. Recordemos que Fermat estableció que no existen soluciones con números enteros para lasiguiente ecuación:

xⁿ + yⁿ = zⁿ, donde n es cualquier número entero superior a 2.

Esta ecuación representa una serie infinita de ecuaciones:

x3 + y3 = z3,x4 + y4 = z4,x5 + y5 = z5,x6 + y6 = z6,x7 + y7 = z7,

↓

Euler se propuso probar que una de las ecuaciones no tenía solución, para luego extrapolar el

resultado al resto de las ecuaciones, igual que había hecho para demostrar la validez de su fórmula deredes con todas las redes imaginables, encontrando una generalización a partir del caso más simple: elvértice único.

Euler partió con ventaja en esta empresa porque descubrió una pista escondida en los apuntes deFermat. Aunque Fermat jamás anotó ninguna demostración del último teorema, en algún lugar de sucopia de la Aritmética sí describió, aunque de manera críptica, una prueba para el caso específico de n= 4 y la incorporo a la demostración de un problema totalmente distinto. Aun a pesar de que ésta esla operación más completa que Fermat dejo por escrito, los detalles son someros y vagos y el francésconcluye la prueba diciendo que la falta de tiempo y de papel le impiden dar una explicación másexhaustiva. A pesar de la ausencia de detalles en los garabatos de Fermat, éstos dejan ver con claridaduna forma concreta de prueba por contradicción conocida como método de descenso infinito.

Para demostrar que no hay soluciones posibles para la ecuación x4 + y4 = z4, Fermat empezó porasumir que existía una solución hipotética

x = X1, y = Y1, z = Z1

Examinando las propiedades de X1, Y1, Z1. Fermat logró demostrar que, si esta solución hipotéticafuera cierta, tendría que existir también una solución (X2, Y2, Z2) formada por números máspequeños. Así que, examinando esta nueva solución hipotética, demostró que tenía que existir otrasolución aún menor (X3, Y3, Z3), y así siempre.

Fermat había descubierto una escalera descendente de soluciones, que en teoría se prolonga hastael infinito, generando números cada vez más bajos. En cambio, x, y y z tienen que ser númerosenteros, así que la interminable escalera descendente no puede ser verdadera porque en ese casotendría que existir una solución posible que fuera la más pequeña de todas. Esta contradiccióndemuestra que la afirmación de partida de que existe una solución (X1, Y1, Z1) es falsa. Sirviéndosedel método de descenso infinito, Fermat había demostrado que para la ecuación con n = 4 no existensoluciones posibles, porque de otro modo las conclusiones serían absurdas.

Euler utilizó este método como punto de partida para elaborar una prueba general para el resto delas ecuaciones posibles. Del mismo modo que tendría que incrementar el valor de n hasta n = infinito,debía reducirlo también hasta n = 3, y fue este único paso hacia abajo el que intentó en primer lugar.El 4 de agosto de 1753, Euler anunció en una carta dirigida al matemático prusiano ChristianGoldbach que había aplicado el método de descenso infinito de Fermat y que había demostrado conéxito el caso de n = 3. Después de cien años, era la primera vez que alguien conseguía algúnacercamiento a la cita con el desafío de Fermat.

Para ampliar la prueba de Fermat de n = 4 hasta abarcar el caso de n = 3, Euler tuvo queincorporar el extraño concepto del llamado número imaginario, una entidad que había sidodescubierta por matemáticos europeos del siglo XVI. Parece raro pensar en nuevos números que son«descubiertos», pero eso ocurre porque estamos tan familiarizados con los números que usamoshabitualmente que nos olvidamos de que hubo épocas en las que algunos de esos números fuerondesconocidos. Los números negativos, las fracciones, los números irracionales, todos tuvieron que serdescubiertos, y la motivación para ello se debió en cada caso a la resolución de cuestiones que de otromodo hubieran quedado sin respuesta.

La historia de los números comienza con los sencillos números cardinales (1, 2, 3, …), tambiénconocidos como números naturales. Estos números son perfectamente aplicables en simples sumasde cantidades enteras, como ovejas o monedas de oro, y conseguir un número completo que es a suvez una cantidad entera. Además de la adición, otra operación simple es la multiplicación, quetambién actúa sobre los números enteros para dar lugar a más números enteros. En cambio, laoperación de la división origina un difícil problema. Mientras que 8 dividido entre 2 da 4, nosencontramos con que 2 dividido entre 8 es igual a 1/4. El resultado de esta última división no es unnúmero entero, sino una fracción.

La división es una operación simple que se aplica a los números naturales y que nos obliga a irmás allá de los mismos para obtener la respuesta. Para los matemáticos es imposible, al menos enteoría, no ser capaces de solucionar cualquier problema dado, y ese requisito indispensable sedenomina completitud. Existen ciertas cuestiones relacionadas con los números naturales queresultarían irresolubles si no se recurriera a las fracciones. Los matemáticos lo expresan diciendo quelas fracciones son necesarias para la completitud.

Fue esta necesidad de completitud la que llevó a los hindúes a descubrir los números negativos.Los hindúes percibieron que si bien el 3 restado al 5 da un resultado obvio de 2, la sustracción del 5 al3 no era tan inmediata. La respuesta sobrepasaba los números naturales cardinales y sólo podríaencajarse con la incorporación del concepto de los números negativos. Algunos matemáticos noaceptaron esta ampliación hacia lo abstracto y se refirieron a los números negativos como «absurdos»o «ficticios». Un contable podía coger una moneda de oro, o incluso media, pero era del todoimposible que cogiera una negativa.

También los griegos sentían ansias de completitud y eso los llevó a descubrir los númerosirracionales. Estos guardan relación con el problema planteado en el capítulo 2, ¿qué número es la raízcuadrada de dos, √2? Los griegos sabían que ese número era una aproximación a 7/5, pero cuandointentaron dar con la fracción exacta descubrieron que no existe. Tenían ante sí un número que jamáspodría traducirse a una fracción y, en cambio, esta nueva clase de números era imprescindible pararesponder a la simple pregunta de cuál es la raíz cuadrada de dos. La demanda de completitud exigióla fundación de otra colonia en el imperio de los números.

En el Renacimiento, los matemáticos dieron por sentado que habían sido ellos quienesdescubrieron todos los números del universo, los cuales podían imaginarse yaciendo sobre una rectade números; una recta infinitamente larga con el cero en su punto intermedio, como muestra la figura11. Los números enteros estaban distribuidos, guardando distancias iguales entre ellos, a lo largo deesa línea a la derecha del cero, prolongándose hasta el infinito positivo, y los números negativos a laizquierda del cero, proyectándose hasta el infinito negativo. Las fracciones ocupaban los espaciosintermedios de los números enteros, y los números irracionales se encontraban esparcidos entre lasfracciones.

Figura 11: Todos los números pueden ubicarse a lo largo de la recta de números, la cual se prolonga hastael infinito en ambas direcciones.

La recta de números inducía a pensar que, en apariencia, se había alcanzado la completitud.Todos los números parecían ocupar su lugar, listos para responder a cualquier problema matemáticoy, en todo caso, ya no había más espacio para ubicar otros nuevos. Entonces ocurrió que durante elsiglo XVI renacieron los rumores de inquietud. El matemático italiano Rafaello Bombelli estabaindagando en las raíces cuadradas de varios números cuando tropezó con un problema imposible deresolver. El problema comenzaba preguntando por la raíz cuadrada de 1. La respuesta lógica es 1,porque 1 × 1 = 1. Pero otra respuesta mucho menos inmediata es −1. Un número negativomultiplicado por otro también negativo da lugar a uno positivo. Esto significa que −1 × −1 = +1. Asíque la raíz cuadrada de +1 es tanto +1 como −1. La pluralidad de soluciones no está mal, pero ahorase plantea otra cuestión: ¿cuál es la raíz cuadrada del uno negativo,√−1? El problema pareceinabordable. La solución no puede ser +1 o −1 porque el cuadrado de esos dos números es +1. Y encambio no hay otros candidatos lógicos. Al mismo tiempo, la completitud demanda que seamoscapaces de resolver la cuestión.

Para Bombelli, la solución consistió en crear un número nuevo, i, denominado númeroimaginario, que fue definido simplemente como la solución a la pregunta ¿cuál es la raíz cuadradadel uno negativo? Esto puede parecer una solución cobarde del problema, pero no se diferencia enabsoluto de la manera en que fueron introducidos los números negativos. Enfrentados a una cuestiónque de otro modo sería incontestable definieron el número −1 como la solución a la pregunta ¿a quéequivale cero menos uno? Resulta más sencillo aceptar el concepto de −1 tan sólo porque tenemosexperiencia con el concepto análogo de «deuda», mientras que para apoyar el concepto de un númeroimaginario no disponemos de nada en el mundo real. El matemático alemán del siglo XVII GottfriedLeibniz describió con elegancia la extraña naturaleza del número imaginario: «El número imaginario esun recurso bello y refinado del espíritu divino, casi un híbrido entre el ser y el no ser».

Una vez hayamos definido i como la raíz cuadrada de −1, 2i tiene que existir, porque es la sumade i más i (al tiempo que equivale a la raíz cuadrada de −4). Del mismo modo, i/2 existe porque es loque resulta al dividir i entre 2. Efectuando operaciones simples es posible obtener el equivalenteimaginario de cualquiera de los llamados números reales. Hay números imaginarios cardinales,imaginarios negativos, fracciones imaginarias y números imaginarios irracionales.

El problema que surge ahora es que todos esos números imaginarios no disponen de una posiciónnatural en la recta de los números reales. Los matemáticos solucionaron este conflicto creando unarecta de números imaginarios independiente, perpendicular a la de los reales y que la corta por elcero, como muestra la figura 12. De modo que ahora los números ya no están limitados a una líneaunidimensional sino que más bien ocupan un plano bidimensional. Mientras que los númerosimaginarios y reales puros están restringidos a sus respectivas rectas, las combinaciones de númerosreales e imaginarios (por ejemplo 1 + 2i), los números complejos, residen en llamado plano denúmeros.

Figura 12: La incorporación de un eje para los números imaginarios convierte la recta de números en unplano de números. A cualquier combinación de números reales e imaginarios le corresponde una posición en

el plano de números.

Lo particularmente destacable es que los números complejos pueden usarse para solucionarcualquier ecuación imaginable. Por ejemplo, para calcular √(3 + 4i) no hay que recurrir a inventar unaclase nueva de números, la solución resulta ser 2 + i, otro número complejo. En otras palabras, losnúmeros imaginarios parecen constituir el último elemento necesario para completar las matemáticas.

Si bien las raíces cuadradas de los números negativos se han denominado números imaginarios, losmatemáticos no consideran i más abstracto que un número negativo o que los números cardinales.Además, los físicos descubrieron que los números imaginarios proporcionan el mejor lenguaje paradescribir determinados fenómenos del mundo real. Con ciertas manipulaciones mínimas, los númerosimaginarios se convierten en la mejor manera de analizar el movimiento oscilante de objetos como elpéndulo. Este movimiento, conocido técnicamente como oscilación sinusoidal, se encuentra pordoquier en la naturaleza, así que los números imaginarios forman parte integral de muchos cálculosfísicos. Hoy en día, los ingenieros eléctricos recurren a i para analizar las corrientes alternas, y losfísicos teóricos calculan las consecuencias de la oscilación de funciones de onda de la mecánicacuántica empleando potencias de números imaginarios.

Los matemáticos puros también han explotado los números imaginarios para encontrar

respuestas a problemas que antes eran inabordables. Los números imaginarios añaden literalmenteuna nueva dimensión a las matemáticas, y Euler confiaba en recurrir a este grado de libertad extra paraenfrentarse al último teorema de Fermat.

En el pasado, otros matemáticos habían intentado aplicar el método de descenso infinito deFermat a otros valores distintos a n = 4, pero todos los intentos para otros valores n solo condujerona lagunas en la lógica. Aun así, Euler mostró que con la incorporación del número imaginario i a suprueba con-seguía tapar agujeros y forzar el método de descenso infinito a actuar en el caso de n = 3.

Fue un logro enorme, pero no pudo repetirlo con otros valores del último teorema de Fermat. Pordesgracia, todos los esfuerzos de Euler para que el sistema funcionara en los casos ascendentes hastael infinito acabaron en fracaso. El hombre que creó más matemáticas que ninguna otra persona en lahistoria quedó humillado por el desafío de Fermat. Su único consuelo consistió en haber alcanzado elprimer éxito en el problema más sesudo del mundo.

Impertérrito ante el fracaso, Euler continuó creando unas matemáticas brillantes hasta el día de sumuerte, mérito mucho más destacable por el hecho de que en los últimos años de su carrera estabatotalmente ciego. Su pérdida de visión comenzó en 1735, cuando la Academia de París ofreció unpremio por la resolución de un problema astronómico. El problema era tan difícil que la comunidadmatemática solicitó a la Academia la concesión de varios meses para darle respuesta, pero para Eulerfueron innecesarios. Se obsesionó con la tarea, trabajó sin interrupción durante tres días y, en efecto,ganó el galardón. Pero las malas condiciones de trabajo, combinadas con el intenso estrés, arrebatarona Euler, entonces todavía en sus veintitantos, la visión de un ojo. Esto se manifiesta en muchos desus retratos.

Por consejo de Jean Le Rond d’Alembert, Euler fue sustituido por Joseph-Louis Lagrange comomatemático en la corte de Federico II el Grande. Éste comentó más tarde: «Estoy en deuda con tuatención y recomendación por haber sustituido a un matemático medio ciego por otro con los dosojos, que agradará especialmente a los miembros anatómicos de mi Academia». Euler regresó a Rusia,donde Catalina la Grande volvió a recibir encantada a su «cíclope matemático».

La pérdida de un ojo fue sólo un mal menor; el mismo Euler manifestó: «Ahora me distraerémenos». Cuarenta años después, a la edad de sesenta, su situación empeoro considerablementeporque una catarata en el ojo sano anunció que estaba condenado a quedarse ciego por completo.Decidió no rendirse, así que empezó a practicar. Escribía cerrando el ojo sano para mejorar la técnicaantes de que lo alcanzara la oscuridad. En cuestión de semanas se quedó ciego. Los ensayosrealizados sirvieron durante algún tiempo, pero al cabo de unos meses la escritura de Euler se volvióilegible, por lo que su hijo Albert hizo las veces de su amanuense.

Euler continuó desarrollando matemáticas todavía durante diecisiete años y, si cabe, fue aún másproductivo que nunca. Su tremendo intelecto le facultó el hacer juegos malabares con conceptos sinnecesidad de tener que pasarlos al papel, y su excepcional memoria le permitió utilizar su propiocerebro como biblioteca mental. Sus colegas sugerían que el ataque de ceguera parecía haberexpandido los horizontes de su imaginación. Merece especial atención el hecho de que Eulercompletara sus cálculos sobre las posiciones de la Luna durante esta época. Para los emperadoreseuropeos, éste era uno de los logros matemáticos más apreciados, un problema que había confundidoa los mayores matemáticos de Europa, incluido Newton.

En 1776 lo sometieron a una operación para extirpar la catarata y durante unos días pareció que

había recuperado la visión. Entonces le sobrevino una infección y Euler se hundió de nuevo en lastinieblas. Continuó trabajando, impasible, hasta que el 18 de septiembre de 1783 tuvo un fatalataque. En palabras del filósofo-matemático Marquis de Condorcet, «Euler cesó de vivir y decalcular».

Un paso insignificante

Un siglo después de la muerte de Fermat existían demostraciones tan sólo para dos casos del últimoteorema. Fermat había concedido a los matemáticos un punto de partida proporcionándoles la pruebade que no existen soluciones para la ecuación

x4 + y4 = z4.

Euler, por su parte, adaptó la prueba para mostrar que no hay soluciones posibles para

x³ + y³ = z³.

Tras el avance de Euler quedaba aún por demostrar que no existen soluciones de números enterospara una infinidad de ecuaciones:

x5 + y5 = z5,x6 + y6 = z6,x7 + y7 = z7,x8 + y8 = z8,x9 + y9 = z9,

↓

Aunque los matemáticos estaban haciendo progresos de una lentitud penosa, la situación no era tannegativa como podría parecer a primera vista. La demostración para el caso n = 4 prueba también loscasos n = 8, 12, 16, 20,… El motivo es que todo número que pueda escribirse como 8ª (o 12ª, 16ª,20ª,…) potencia puede reescribirse a su vez como 4ª potencia. Por ejemplo, el número 256 es igual a28, pero también equivale a 44. Así que cualquier demostración que sirva para la cuarta potencia secumplirá también con la octava y con cualquier otra potencia que sea múltiplo de cuatro. Siguiendo elmismo principio, la demostración de Euler para el caso de n = 3 comprende automáticamente loscasos de n = 6, 9, 12, 15,…

De repente, los números van cayendo y Fermat parece vulnerable. La demostración para el casode n = 3 es muy significativa porque el tres es un ejemplo de número primo. Como se explicó conanterioridad, un número primo posee la propiedad especial de no ser múltiplo de ningún númeroentero excepto de la unidad y él mismo. Otros números primos son 5, 7, 11, 13,… Los números querestan son múltiplos de los primos y son referidos como no primos o como números compuestos.

Los teóricos de los números consideran los primos como los más importantes de todos pues

constituyen los átomos de las matemáticas. Los números primos son los bloques de construcciónnumérica porque el resto de los números puede obtenerse multiplicando combinaciones de númerosprimos. Esto parece conducir a un adelanto considerable. Para probar el último teorema de Fermatcon todos los valores de n basta demostrarlo con los valores primos de n. Todos los demás casos sonsimples múltiplos de los valores primos y estarán demostrados por extensión.

Intuitivamente, esto simplifica el problema en gran medida ya que podemos ignorar aquellasecuaciones que contienen un valor de n distinto a un número primo. Así que el número de ecuacionesque queda se reduce muchísimo. Por ejemplo, para los valores de n hasta el veinte, sólo quedan pordemostrar seis valores:

x5 + y5 = z5,x7 + y7 = z7,

x11 + y11 = z11,x13 + y13 = z13,x17 + y17 = z17,x19 + y19 = z19.

Si alguien es capaz de probar el último teorema de Fermat tan sólo para los valores primos de n, elteorema estará probado para todos los valores posibles de n. Si tenemos en cuenta todos los númerosenteros, es obvio que existe una cantidad infinita de ellos. Pero si sólo consideramos los númerosprimos, que son una pequeña porción de la vasta cantidad de números enteros… ¿seguro que elproblema se vuelve mucho más simple?

La intuición sugeriría que, comenzando por una cantidad infinita y suprimiendo luego la mayorparte de ella, cabría esperar que nos quedáramos con algo finito. Por desgracia no es la intuición laque arbitra las verdades matemáticas, sino la lógica. De hecho es fácil demostrar que la lista de losnúmeros primos es también interminable, por tanto, a pesar de poder ignorar la vasta mayoría de lasecuaciones relacionadas con los valores no primos de n, las ecuaciones que quedan con sus valoresprimos siguen siendo infinitas en número.

La demostración de que existe una infinidad de primos se remonta allá por la época de Euclides yes clásica en matemáticas. Euclides empieza por asumir que hay una lista finita de números primosconocidos y luego muestra que tiene que existir un número infinito de adiciones a esa lista. Hay Nnúmeros primos en la lista finita de Euclides que son denominados P1, P2, P3, …, PN. Así, Euclidespuede crear un nuevo número, QA, tal que

QA = ( P1 × P2 × P3 × … × PN ) + 1.

Este nuevo número QA es o bien primo o bien no primo. Si es primo, hemos llegado a crear unnúmero primo nuevo y mayor, de lo que se deduce que la lista original de números primos no estabacompleta. Por otro lado, si QA no es primo, entonces tiene que tratarse de un número divisible entreun primo. Ese número primo no puede ser uno de los conocidos porque si dividimos QA entre algunode tales primos nos llevará sin remedio a un resto de 1. Por lo tanto tiene que existir algún otro

número primo nuevo, al que podemos denominar PN + 1.Hemos llegado a un punto en el que o bien QA es un nuevo número primo o bien disponemos de

otro nuevo primo, PN + 1. En ambos casos hemos añadido un número a nuestra lista original deprimos. Podemos repetir ahora el proceso incluyendo nuestro nuevo primo (PN + 1 o QA) en la lista,con lo que produciremos algún número nuevo, QB. Del mismo modo, este número nuevo será ahoraotro nuevo primo o tendrá que existir algún otro nuevo primo, PN + 2, que no esté en nuestra lista deprimos conocidos. El resultado es que, por muy larga que sea la lista de números primos, siempreserá posible encontrar uno nuevo. Por lo tanto, la lista de los números primos es interminable einfinita.

¿Pero cómo puede haber algo sin duda menor que una cantidad infinita y que sea a su vez tambiéninfinito? El matemático alemán David Hilbert dijo en cierta ocasión: «¡El infinito! Ninguna otracuestión ha movido jamas con tanta hondura el espíritu humano; ninguna otra idea ha estimulado suinteligencia con resultados tan fructíferos; hoy no emerge ningún otro concepto con mayor necesidadde esclarecimiento que el de infinito». Para resolver la paradoja de lo infinito se hace necesario definirlo que entendemos por tal. George Cantor, que trabajó junto a Hilbert, definió el infinito como eltamaño de la lista interminable de los números cardinales (1, 2, 3, 4…). De modo que todo lo que seacomparable a su extensión es igualmente infinito.

Según esta definición, la cantidad de los números cardinales pares, que aparenta ser menor,también es infinita. Es fácil demostrar que la cantidad de números cardinales es comparable a lacantidad de números pares porque podemos asociar cada número cardinal con otro par que lecorresponda:

1 2 3 4 5 6 7 …

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ …

2 4 6 8 10 12 14 …

Si todos los miembros de la lista de números cardinales pueden asociarse con otro de la lista denúmeros pares, entonces los dos grupos deben ser de una extensión idéntica. Este método decomparación lleva a conclusiones sorprendentes, incluida la de que existe un número infinito deprimos. Aunque Cantor fue la primera persona en abordar el infinito de manera seria, al principiorecibió muchas críticas de la comunidad matemática por lo radical de su definición. Hacia el final desu carrera, los ataques fueron cada vez más personales y llevaron a Cantor a la enfermedad mental y afuertes depresiones. Con el tiempo, tras su muerte sus ideas se aceptaron en general como la únicadefinición sólida, rigurosa y convincente de infinito. Hilbert dijo en su honor: «Nadie nos apartará delparaíso que Cantor ha creado para nosotros».

Hilbert continuó trabajando y elaboró un ejemplo de infinito, conocido como el hotel de Hilbert,que ilustra con claridad sus extrañas cualidades. Este hipotético hotel goza del atractivo atributo deposeer un número infinito de habitaciones. Un día llega a él un cliente nuevo y se decepciona al saberque, a pesar de extenderse hasta el infinito, todas las habitaciones del hotel están ocupadas. Hilbert,el recepcionista, medita por unos momentos y tranquiliza al recién llegado asegurándole que

encontrará una habitación libre. Pide a todos los clientes ya instalados que se muden a la habitaciónque sigue a la que ocupan ahora, de manera que el de la habitación número uno se muda a la dos, el dela dos pasa a la tres, etc. Todos los que ya estaban en el hotel siguen teniendo una habitación, y esopermite que el último en llegar duerma en la habitación número uno, ahora vacante. Esto demuestraque infinito más uno es igual a infinito.

La noche siguiente, Hilbert tiene que enfrentarse a un problema mucho mayor. El hotel continúaal completo cuando llega un ómnibus infinitamente largo con un número infinito de nuevos clientes.Hilbert permanece imperturbable y se frota las manos pensando en la cantidad infinita de facturas dehotel que podrá cobrar. Pide a sus clientes ya instalados que se muden de nuevo, pero esta vez a lahabitación cuyo número sea el doble del que tiene la que ahora ocupan. Así que el de la habitaciónnúmero uno pasa a la dos, el de la dos pasa a la cuatro, y así sucesivamente. Todos los que estabanen el hotel siguen teniendo habitación y ahora un número infinito de habitaciones, todas las impares,han quedado vacantes para los recién llegados. Esto muestra que el doble de infinito continúa siendoinfinito.

El hotel de Hilbert parece insinuar que todo infinito es tan extenso como cualquier otro, porquevarios infinitos caben a la vez en el mismo hotel infinito; la infinidad de los números pares puede serigualada y comparada con la infinidad de todos los números cardinales. Sin embargo, unos infinitosson, en realidad, mayores que otros. Por ejemplo, todo intento de emparejar uno a uno cada númeroracional con otro irracional acaba en fracaso y, de hecho, se puede demostrar que la cantidad infinitade números irracionales es más extensa que la cantidad infinita de números racionales. Losmatemáticos han tenido que desarrollar todo un sistema de nomenclatura para enfrentarse a lavariedad de grados de infinito. Hacer malabarismos con esos conceptos es uno de los asuntos más enboga.

Aunque la infinidad de números primos quebró las esperanzas de una pronta demostración delúltimo teorema de Fermat, la existencia innumerable de primos sí que ha supuesto implicacionespositivas en otras áreas tales como el espionaje o la evolución de los insectos. Antes de regresar a labúsqueda de una demostración del último teorema de Fermat merece la pena indagar de forma someraen el uso y abuso de los números primos.

La teoría de números primos es una de las pocas ramas de las matemáticas puras que haencontrado una aplicación directa en el mundo real: en la criptografía. La criptografía consiste encifrar mensajes secretos de modo que sólo puedan ser descifrados por el receptor y no por cualquierpersona que logre interceptarlos. El proceso de cifrado requiere el uso de una clave secreta, y sueleocurrir que, para descifrar el mensaje, el destinatario sólo precise aplicar la clave al revés. Con esteprocedimiento, la clave resulta el eslabón más débil en la cadena de seguridad. Primero, el receptor yel emisor deben ponerse de acuerdo en los detalles de la clave, y el intercambio de esta informaciónconstituye una acción arriesgada. Si el enemigo llega a interceptar el código mientras se transmite,puede descifrar todos los mensajes subsiguientes. En segundo lugar, los códigos tienen que cambiarsecada cierto tiempo para mantener la seguridad, y cada vez que esto ocurre existe el peligro de que lanueva clave sea interceptada.

El problema de la clave gira en torno a que, al aplicarla en un sentido, codifica el mensaje y, alhacerlo al revés, lo decodifica. Descifrar un mensaje es casi siempre tan sencillo como cifrarlo. Encambio, la experiencia nos dice que se dan muchas situaciones cada día en las que deshacer es mucho

más difícil que hacer; resulta sencillo batir un huevo, pero desbatirlo es mucho más complicado.En la década de los setenta, Whitfield Diffie y Martin Hellman tuvieron la idea de buscar un

proceso matemático fácil de efectuar en una dirección, pero increíblemente complicado de ejecutar ensentido opuesto. Tal proceso proporcionaría una clave perfecta. Por ejemplo, yo podría disponer demi propia clave de dos partes y publicar su mitad codificadora en una guía pública, de manera quecualquiera podría enviarme mensajes cifrados pero solo yo sabría la mitad descifradora de la clave.Aunque todo el mundo conozca la mitad codificadora de la clave, ésta no guarda ninguna relación conla parte decodificadora.

En 1977, Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, un equipo de matemáticos einformáticos del Instituto de Tecnología de Massachusetts, se dieron cuenta de que los númerosprimos constituían la base ideal para un proceso de codificación fácil y decodificación difícil. Paracrear mi propia clave personal tomaría dos números primos enormes, de modo que cada unocomprenda más de ochenta dígitos, y luego los multiplicaría entre sí para conseguir un número noprimo aún mayor. Todo lo que se requiere para cifrar mensajes es conocer el elevado número noprimo, mientras que para descifrarlo necesitaríamos saber los dos números primos que en unprincipio fueron multiplicados entre sí, denominados factores primos. Entonces puedo hacer públicoel enorme número no primo, la mitad codificadora de la clave, y guardarme para mí los dos factoresprimos, la otra mitad decodificadora. Aun cuando todos conozcan el número no primo, tendránenormes dificultades para extraer los dos factores primos.

Para poner un ejemplo simple, podría comunicar el número no primo 589 que permitiría a todo elmundo cifrarme mensajes. Mantendría en secreto los dos factores primos de 589, de manera que sóloyo podría descifrarlos. Si otros pudieran extraer los dos factores primos, entonces también ellospodrían descifrar mis mensajes, pero incluso con ese número tan bajo no resulta obvio cuál es el valorde los factores primos. En este caso sólo llevará unos pocos minutos calcular en un ordenadorportátil que los factores primos son, en efecto, 31 y 19 (31 × 19 = 589), así que mi código no seríaseguro por mucho tiempo.

Sin embargo, el número no primo que yo confiaría estaría formado en realidad por más de ciendígitos, y eso convierte la tarea de encontrar sus factores primos en un imposible. Incluso si seutilizaran los ordenadores más potentes del mundo para descomponer ese elevado número no primo(la clave codificadora) en sus dos factores primos (la clave decodificadora), llevaría varios años darcon la respuesta. Por lo tanto, para frustrar a los espías extranjeros, basta con cambiar la clave de añoen año. Una vez al año anuncio mi nuevo número no primo gigante y cualquiera que intente descifrarmis mensajes tendrá que volver a calcular desde el principio los dos factores primos.

Además de encontrar una aplicación en el campo del espionaje, los números primos tambiénaparecen en la naturaleza. Las cigarras periódicas, más conocidas como Magicicada septendecim,poseen el ciclo de vida más largo de todos los insectos existentes. Su exclusivo ciclo de vida comienzabajo tierra, donde las ninfas extraen con paciencia el jugo de las raíces de los árboles. Luego, trasesperar diecisiete años, las cigarras adultas emergen del suelo, pululan en vastos enjambres y, por untiempo, inundan el paisaje. En el transcurso de unas pocas semanas se aparean, ponen huevos ymueren.

La cuestión que confunde a los biólogos es por qué el ciclo de vida de la cigarra es tan largo y sitiene algún significado que dicho ciclo dure un número primo de años. Otra especie de cigarras, la

Magicicada tredecim, emerge cada trece años, lo cual sugiere que los ciclos de vida que se mantienendurante un número primo de años ofrecen alguna ventaja evolutiva.

Cierta teoría sostiene que la cigarra posee un parásito que también perdura durante un ciclo vitalamplio y del que la cigarra está intentando zafarse. Si el parásito tiene un ciclo vital de, por ejemplo,2 años, entonces la cigarra intenta evitar un ciclo de vida divisible entre 2, porque de otro modo elparásito y la cigarra coincidirían con regularidad. De forma parecida, si el parásito tiene un ciclo vitalde 3 años, entonces la cigarra intenta evitar un ciclo de vida múltiplo de 3 porque, si no es así, elparásito y la cigarra volverán a coincidir con regularidad. En conclusión, para evitar el encuentro consus parásitos, la mejor estrategia de las cigarras consiste en tener un ciclo vital largo de un númeroprimo de años. Como nada es divisor de 17, la Magicicada septendecim rara vez se encuentra con suparásito. Si el parásito posee un ciclo vital de 2 años de duración, sólo coinciden cada 34 años, y sieste ciclo vital es más largo, por ejemplo, 16 años, entonces sólo coincidirán cada 272 (16 × 17) años.

Para defenderse, el parásito sólo cuenta con dos ciclos vitales que aumentarán la frecuencia de losencuentros: el ciclo anual y el mismo ciclo de 17 años, idéntico al de la cigarra. Sin embargo, es pocoprobable que el parásito sobreviva apareciendo 17 años seguidos porque no habrá cigarras queparasitar durante los primeros 16. Por otra parte, para alcanzar el ciclo de vida de 17 años lasgeneraciones de parásitos tendrían primero que evolucionar pasando por un ciclo vital de 16 años.¡Esto significaría que en alguna fase de evolución el parásito y la cigarra no coincidirían hasta pasados272 años! En ambos casos, el ciclo vital de las cigarras, que se prolonga durante un número primogrande de años, le sirve de protección.

¡Esto explicaría por qué el parásito mencionado no se ha encontrado jamás! En su carrera porseguir en contacto con la cigarra es muy probable que el parásito se mantuviera alargando su ciclovital hasta alcanzar la barrera de los 16 años. Así que faltó a la cita durante 272 años, un tiempo en elque la no coincidencia con la cigarra lo ha llevado a extinguirse. El resultado es una cigarra quedispone de un ciclo vital de 17 años, el cual ya no necesita porque su parásito ha dejado de existir.

Monsieur Le Blanc

A comienzos del siglo XIX, el último teorema de Fermat se había convertido ya por sí solo en elproblema más sonado de la teoría de números. Desde el logro de Euler no se había producido ningúnotro progreso, pero la sensacional proclama de una mujer francesa reforzó la búsqueda de lademostración perdida de Fermat. Sophie Germain vivió en una época de discriminación y prejuicios,y para poder llevar a cabo su investigación se vio obligada a asumir una identidad falsa, estudiar enunas condiciones terribles y trabajar en un aislamiento intelectual.

A lo largo de los siglos se ha disuadido a las mujeres de que estudien matemáticas, pero a pesar dela discriminación ha habido varias mujeres matemáticas que lucharon contra lo establecido y acuñaronindeleblemente sus nombres en los anales de las matemáticas. La primera mujer con peso en lamateria que conocemos fue Teano, en el siglo VI a. J. C. Empezó como alumna de Pitágoras antes deconvertirse en destacada discípula y casarse con él al cabo del tiempo. A Pitágoras se lo conoce comoel «filósofo feminista» porque alentó con entusiasmo la erudición femenina. Teano era, de hecho, unade las veintiocho hermanas de la secta pitagórica.

En siglos posteriores, hombres como Sócrates y Platón continuaron invitando a las mujeres aformar parte de sus escuelas, pero no hubo una escuela matemática de prestigio fundada por unamujer hasta el siglo IV de nuestra era. Hipatia, hija de un profesor de matemáticas de la Universidadde Alejandría, fue popular por dar los discursos más famosos del mundo conocido y por ser la mejorentre quienes se dedicaban a la resolución de problemas. Matemáticos que habían permanecidodurante meses agobiados con un problema concreto le escribían pidiendo una solución, e Hipatia raravez desencantaba a sus admiradores. Estaba obsesionada con las matemáticas y con el método de lademostración lógica y cuando se le preguntaba por qué no se había casado respondía que lo estabacon la verdad. Al final, su devoción por la causa del racionalismo provocó su caída cuando Cirilo, elpatriarca de Alejandría, comenzó a oprimir a los filósofos, científicos y matemáticos, a los que teníapor herejes. El historiador Edward Gibbon da un vivo testimonio de lo que ocurrió después de queCirilo conspirara contra Hipatia y de que volviera a las gentes contra ella:

En un fatídico día del tiempo sagrado de cuaresma derribaron a Hipatia del carro, la desnudaron por completo, laarrastraron hasta la iglesia y allí murió de forma inhumana a manos de Pedro el Lector y una banda de fanáticossalvajes y despiadados; la carne fue raspada de sus huesos con conchas afiladas de ostras y sus palpitantesmiembros fueron entregados a las llamas.

Poco después de la muerte de Hipatia, las matemáticas iniciaron un periodo de estancamiento, yhasta el Renacimiento ninguna mujer volvió a hacerse un nombre como matemática. María GaetanaAgnesi había nacido en Milán en 1718 e, igual que Hipatia, era hija de un matemático. Se la equiparóa los mejores matemáticos de Europa y era especialmente famosa por sus tratados sobre lastangentes a curvas. Curva, en italiano, se traduce por versiera, palabra derivada del latín verto,«girar», pero también era un apócope de avversiera o «diablesa». Una curva estudiada por Agnesi(versiera Agnesi) fue mal traducida al inglés como la «bruja Agnesi», y con el tiempo la propiamatemática fue identificada con ese mismo apelativo.

Aunque los matemáticos de toda Europa reconocían las capacidades de Agnesi, muchasinstituciones académicas, en particular la Academia Francesa, se opusieron a concederle un cargodedicado a la investigación. La discriminación institucionalizada contra las mujeres persistióinamovible hasta el siglo XX, cuando a Emmy Noether se le denegó un puesto como profesora en laUniversidad de Gotinga. Einstein la había descrito como «el genio matemático creativo más destacadodesde que comenzara la enseñanza superior de las mujeres». La mayoría de los facultativosargumentaron: «¿Cómo vamos a permitir que una mujer sea catedrática no titular? Si llega acatedrática no titular podrá convertirse en catedrática, y por tanto en miembro del claustrouniversitario… ¿Qué pensarán nuestros soldados cuando regresen a la universidad y se encuentrencon que esperamos que sean discípulos de una mujer?». Su amigo y mentor David Hilbert respondió:«Meine Herrén, no veo que el sexo de la candidata sea un argumento en contra de su elección comocatedrática no titular. Después de todo, el claustro universitario no es ningún salón de baño».

Más tarde se preguntó a Edmund Landau, colega de Noether, si ésta era en verdad una gran mujermatemática, a lo que él respondió: «Puedo dar fe de su genio matemático, pero que sea una mujer nolo puedo jurar».

Además de padecer discriminación, Noether tuvo mucho más en común con otras mujeresmatemáticas de la historia; por ejemplo, también era hija de un profesor de matemáticas. Muchos

matemáticos, de ambos sexos, proceden de familias matemáticas, lo cual origina alegres rumores sobrela existencia de un gen matemático, pero en el caso de las mujeres el porcentaje es bastante mayor. Laposible explicación es que a la mayoría de mujeres con talento nunca se les expuso la materia o bienjamás se las animó a dedicarse a ella, mientras que aquellas que nacieron junto a profesoresdifícilmente pudieron evitar sumergirse en los números. Además, Noether, al igual que Hipatia,Agnesi y la mayoría de matemáticas, nunca se casó, en gran medida porque no era aceptable para lasociedad que las mujeres se dedicaran a carreras semejantes y porque había pocos hombrespreparados para contraer nupcias en condiciones tan controvertidas. La espléndida matemática rusaSonya Kovalevsky es una excepción a esta regla porque acordó un matrimonio de conveniencia conVladimir Kovalevsky, un hombre dispuesto a mantener con ella una relación platónica. El matrimoniopermitió a ambos jóvenes librarse de sus respectivas familias y concentrarse en los estudios. Sonya,por su parte, pudo viajar en solitario por toda Europa con mucha más facilidad desde que pasó a seruna respetable mujer casada.

De todos los países europeos, Francia adoptó la actitud más discriminatoria hacia la mujer cultadeclarando que las matemáticas son inadecuadas para las mujeres y van más allá de su capacidadmental. Los salones de París dominaron el mundo matemático durante los siglos XVIII y XIX y sólouna mujer se las ingenió para escapar a las reservas de la sociedad francesa y se erigió como unaeminente teórica de números. Sophie Germain revolucionó el estudio del último teorema de Fermat yaportó una contribución aún mayor que la de cualquiera de los hombres que la precedieron.

Sophie Germain nació el 1 de abril de 1776 y era hija de un comerciante, Ambroise-FrançoisGermain. Fuera del trabajo, su vida estuvo dominada por el trastorno de la Revolución francesa. Elmismo año en que descubrió su pasión por los números se produjo el asalto a la Bastilla y su estudiodel cálculo se oscureció con la época del Terror. Si bien su padre era un próspero negociante, lafamilia de Sophie no pertenecía a la aristocracia.

A las señoras del grupo social de Germain no se las animaba especialmente a estudiarmatemáticas, pero sí las instaban a tener suficientes conocimientos sobre la materia como para sercapaces de discutir sobre cualquier tema que pudiera surgir durante una conversación de sociedad.Con este fin se escribieron una serie de libros de texto que ayudaran a las mujeres a enfrentarse a losúltimos avances matemáticos y científicos. Francesco Algarotti fue el autor de Newtonismo para lasdamas. Como Algarotti creía que las mujeres sólo estaban interesadas en amoríos, intentó explicar losdescubrimientos de Newton a través del diálogo de flirteo entre una marquesa y su interlocutor. Así,éste perfila la ley del cuadrado inverso de la atracción gravitacional, tras lo cual la marquesa da supropia interpretación de esta ley física fundamental: «No puedo menos que pensar… que estaproporción en los cuadrados de las distancias espaciales… se aprecia incluso en el amor. De estemodo, después de ocho días de ausencia, el amor se vuelve sesenta y cuatro veces menor de lo quefue el primer día».

No es sorprendente que no fuera este género galante de libros el que despertó en Sophie Germainel interés por las matemáticas. El acontecimiento que cambió su vida se produjo un día que andabacurioseando en la biblioteca de su padre y tropezó con el libro Historia de las matemáticas de Jean-Étienne Montucla. El capítulo que cautivó su imaginación fue un ensayo sobre la vida deArquímedes. La consideración de los descubrimientos de Arquímedes fue sin duda interesante, perolo que prendió la fascinación de Germain fue la historia que rodeó la muerte del científico.

Arquímedes había pasado la vida en Siracusa estudiando matemáticas con relativa placidez, perocuando alcanzó los setenta y tantos largos aquella paz fue despedazada por la invasión de las tropasromanas. Hizo leyenda el hecho de que durante la invasión Arquímedes estaba tan concentrado en elestudio de una figura geométrica sobre la arena que no respondió a la pregunta de un soldado romano.Como resultado fue alanceado hasta la muerte.

Germain concluyó que si un problema geométrico puede absorber tanto a alguien como parallevarlo a la muerte, las matemáticas tienen que ser entonces la materia más cautivadora del mundo. Sepuso de inmediato a aprender por sí misma las bases de la teoría de números y del cálculo y muypronto comenzó a quedarse hasta altas horas de la noche estudiando las obras de Euler y de Newton.Este repentino interés por una disciplina tan poco femenina preocupó a sus padres. Un amigo de lafamilia, el conde Guglielmo Libri-Carrucci dalla Sommaja, cuenta cómo el padre de Sophie le requisólas velas y vestidos y eliminó la calefacción para disuadirla del estudio. Unos pocos años más tarde,en Bretaña, el padre de la joven matemática Mary Somerville también le confiscó las velas mientrasafirmaba: «Tenemos que acabar con esto o llegará el día en que veamos a Mary con camisa defuerza».

En el caso de Germain, ésta respondió manteniendo un escondite secreto de velas yenvolviéndose en ropas de cama. Libri-Carrucci dice que las noches de invierno eran tan frías que latinta se congelaba en el tintero, pero Sophie continuó a pesar de todo. Algunos la describieron comoreservada y difícil, pero era asimismo muy resuelta y a la larga sus padres cedieron y dieron subendición a Sophie. Germain nunca se casó y a lo largo de su tarea profesional el padre costeó susinvestigaciones. Durante muchos años siguió estudiando en solitario porque no había matemáticos enla familia que pudieran exponerle las ideas más recientes y sus instructores se negaban a tomarla enserio.

Entonces, en 1794, la École Polytechnique abrió sus puertas en París. Se fundó como academia deexcelencia para formar a matemáticos y científicos nacionales. Este habría sido un lugar ideal para queGermain desarrollara sus habilidades matemáticas si no fuera porque se trataba de una instituciónlimitada tan sólo a los hombres. Su reserva natural la previno de enfrentarse a la junta directiva de laacademia, así que, en lugar de eso, recurrió a estudiar en secreto asumiendo la identidad de un antiguoalumno de la academia, monsieur Antoine-August Le Blanc. La secretaría de la academia ignoraba queel verdadero monsieur Le Blanc había abandonado París y continuó enviándole apuntes y problemas.Germain se las ingenió para obtener todo lo que iba destinado a Le Blanc y cada semana proponíarespuestas a los problemas usando su nuevo seudónimo. Todo iba tal como había planeado, hastaque un par de meses más tarde el encargado del curso, Joseph-Louis Lagrange, no pudo ignorar pormás tiempo la brillantez de las respuestas de monsieur Le Blanc. Las soluciones de monsieur LeBlanc no sólo eran de un ingenio maravilloso sino que además evidenciaban una notoriatransformación en un estudiante que otrora había destacado por su pésima destreza matemática.Lagrange, que era uno de los matemáticos más distinguidos del siglo XIX, solicitó un encuentro con elrenovado estudiante y Germain se vio obligada a revelar su auténtica identidad. Lagrange se quedóatónito y encantado al conocer a la joven y se convirtió en su mentor y amigo. Sophie tuvo al fin unprofesor que la colmó y con el que pudo dar rienda suelta a sus capacidades y ambiciones.

Germain progresaba en secreto y pasó de resolver problemas como deberes del curso a estudiaráreas inexploradas de las matemáticas. Se interesó muy en especial por la teoría de números e

inevitablemente llegó a oír hablar del último teorema de Fermat. Trabajó en este problema durantemuchos años y alcanzó una fase en la que creyó haber logrado un avance importante. Sintió lanecesidad de discutir sus ideas con otros colegas teóricos de números y decidió dirigirse directamentea la cima y consultar al mejor del mundo, el matemático alemán Carl Friedrich Gauss.

Gauss es reconocido como uno de los matemáticos más brillantes que han existido. Mientras queE. T. Bell hacía referencia a Fermat como el «príncipe de los aficionados», a Gauss lo denominó el«príncipe de los matemáticos». Germain había entrado en contacto con su obra mediante el estudiode su creación maestra Disquisitiones arithmeticae, el tratado más importante y de mayor alcancedesde los Elementos de Euclides. La obra de Gauss tuvo repercusión en todas las ramas matemáticas,pero resulta bastante extraño que Gauss nunca publicara nada acerca del último teorema de Fermat.En una carta incluso llegó a manifestar desprecio hacia el problema. Su amigo y astrónomo alemánHeinrich Olbers le escribió animándolo a competir por un premio que había convocado la Academiade París a la solución del desafío de Fermat: «Se me antoja, estimado Gauss, que empezarás a trabajaren esto de inmediato». Dos semanas después, Gauss respondió: «Te estoy muy agradecido por lainformación concerniente al galardón de París, pero confieso que el último teorema de Fermat tienemuy poco interés para mí como problema aislado, porque yo mismo podría plantear con facilidadmultitud de cuestiones semejantes que nadie sería capaz de demostrar ni de refutar jamás». Gausstenía derecho a pensar así, pero Fermat había afirmado con claridad que existía una demostración yhasta los intentos fallidos para dar con ella habían generado nuevas técnicas innovadoras, tales comola prueba por «descenso infinito» y la utilización de los números imaginarios. Es posible que, conanterioridad, Gauss hubiera intentado sin éxito atacar el problema, y quizá su respuesta a Olbersfuera tan sólo un caso de envidia intelectual. No obstante, cuando recibió las cartas de Germain quedóimpresionado con los logros de esta mujer, lo suficiente como para olvidarse por una temporada de laambivalencia que atribuía al último teorema de Fermat.

Setenta y cinco años antes, Euler había publicado su demostración para el caso de n = 3, y desdeentonces los matemáticos habían intentado demostrar en vano otros casos individuales. En cambio,Germain adoptó una estrategia nueva y planteó a Gauss un método general de aproximación alproblema. En otras palabras, su objetivo inmediato no consistía en probar un caso concreto, sino enafirmar algo sobre muchos casos a la vez. En su misiva a Gauss perfilaba un cálculo que se centrabaen un tipo concreto de número primo p, tal que (2p + 1) también es primo. La lista de númerosprimos de Germain incluía el 5, porque 11 (2 × 5 + 1) da lugar a otro primo; pero no acogía el 13,porque 27 (2 × 13 + 1) no es primo.

Para los valores de n equivalentes a estos primos de Germain utilizó un argumento notable con elfin de mostrar que era muy probable que no hubiera soluciones a la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ. Con«probable» Germain quería decir que la existencia de soluciones era inverosímil porque, si las hubiera,x, y o z tendrían que ser múltiplos de n, y eso impondría fuertes restricciones a las solucionesposibles. Sus colegas examinaron la lista de primos uno a uno intentando demostrar que x, y o z nopodrían ser múltiplos de n para mostrar con ello que para un valor concreto de n no existíansoluciones.

En 1825, el método de Germain alcanzó su primer éxito pleno gracias a Gustav Lejeune-Dirichlety a Adrien-Marie Legendre, dos matemáticos de generaciones distintas. Legendre era un hombre desetenta años que había vivido durante la confusión política de la Revolución francesa. El error que

cometió al no apoyar al candidato estatal para el Instituto Nacional supuso el cese de su pensión y,en la época en que hizo su aportación al último teorema de Fermat, se hallaba en la miseria. Por otraparte, Dirichlet era un teórico de números joven y ambicioso que había cumplido tan sólo los veinte.Ambos fueron capaces de demostrar por separado que el caso de n = 5 no tiene solución, perobasaron sus pruebas en Sophie Germain y a ella debieron su éxito.

Catorce años más tarde, los franceses consiguieron otro progreso. Gabriel Lamé aportó una seriede adiciones ingeniosas al método de Germain y demostró el caso del primo n = 7. Germain habíaenseñado a los matemáticos cómo eliminar toda una sección de casos primos y ahora el seguirdemostrando uno a uno cada caso del último teorema de Fermat dependía de los esfuerzoscombinados de sus colegas.

La labor de Germain sobre el último teorema de Fermat constituyó su mayor aportación a lasmatemáticas, pero al principio nadie creyó en su descubrimiento. Germain tenía veintitantos añoscuando escribió a Gauss y, aunque se había hecho con una reputación en París, temió que el granmatemático no la tomara en serio por ser mujer. Para preservar su identidad, Germain recurrió denuevo al seudónimo y firmó las cartas con el nombre de monsieur Le Blanc.

Su temor y respeto hacia Gauss queda patente en una de las misivas que le dirigió: «Pordesgracia, la profundidad de mi intelecto no se corresponde con la voracidad de mi apetito, y meparece ciertamente una osadía importunar a un hombre de genio cuando yo no merezco su atenciónmás que por la admiración que le profeso y que sin duda comparto con todos sus lectores». Gauss,ignorante de la verdadera identidad del remitente, intentó que Germain se sintiera cómoda yrespondió: «Estoy encantado de que la aritmética haya encontrado en usted a un amigo tan capaz».La contribución de Germain se habría atribuido por siempre al misterioso monsieur Le Blanc de nohaber sido por Napoleón. En 1806, Napoleón se encontraba invadiendo Prusia y el ejército francésestaba tomando una tras otra las ciudades alemanas. Ante el temor de que el destino que sobrevino aArquímedes pudiera arrebatar también la vida de Gauss, su otro gran héroe, Germain envió unmensaje al general Joseph-Marie Pernety, amigo suyo que estaba al mando de las fuerzas avanzadas,y le rogó que garantizara la seguridad de Gauss. El general presto un cuidado especial al matemáticoalemán y le comunicó que debía su vida a mademoiselle Germain. Gauss quedó agradecido, perosorprendido a la vez de que nunca hubiera oído hablar de Sophie Germain.

El juego había concluido. En su próxima carta a Gauss, Germain reveló a regañadientes suidentidad real. Lejos de enfadarse por el engaño, Gauss le respondió complacido:

Cómo describirle mi sorpresa y estupor al comprobar que monsieur Le Blanc, mi estimado correspondiente, semetamorfoseaba en este distinguido personaje que sirve de tan brillante ejemplo a lo que yo mismo encontraríadifícil de creer. El gusto por las ciencias abstractas en general, y sobre todo por los misterios de los números, estremendamente inusual, lo cual no me sorprende porque los seductores encantos de esta sublime ciencia semanifiestan tan sólo a aquellos que poseen el valor para ahondarla en profundidad. Sin embargo, cuando unapersona, según nuestras costumbres y prejuicios, se ve obligada a tropezar con muchísimas más dificultades queun hombre, por pertenecer al sexo contrario, a la hora de familiarizarse con estos estudios espinosos y, a pesar detodo, consigue vencer los obstáculos y penetrar hasta sus rincones más oscuros, entonces esa mujer goza sinduda del ánimo más noble, de todo un talento extraordinario y de un genio superior. En efecto, nada medemostraría de un modo tan lisonjero y tan poco equívoco que los atractivos de esta ciencia que ha enriquecidomi vida con tantas alegrías no son una quimera, igual que no lo es la predilección con la que usted la hahonrado.

La correspondencia que Sophie Germain mantuvo con Carl Gauss inspiró gran parte de suproducción, pero en 1808 la relación de ambos terminó con brusquedad. Gauss había sido elegidocomo profesor de Astronomía en la Universidad de Gotinga, por lo que su interés por la teoría denúmeros evolucionó hacia unas matemáticas más aplicadas, y no se molestó más en responder a lascartas de Germain. Sin mentor, la confianza de la francesa comenzó a menguar y en el plazo de unaño abandonó las matemáticas puras.

No continuó su aportación a demostrar el último teorema de Fermat, pero se embarcó en unaemocionante carrera como física, una disciplina en la que de nuevo volvería a destacar por el simplehecho de oponerse a los prejuicios establecidos. Su contribución más importante a la materia fueMemoria sobre las vibraciones de las láminas elásticas, un texto de gran brillantez que sentaba loscimientos de la teoría moderna de la elasticidad. Como resultado de esta investigación y de su laboren el último teorema de Fermat recibió una medalla del Instituto de Francia y se convirtió en laprimera mujer que, sin ser esposa de alguno de sus miembros, asistió a las conferencias de laAcademia de las Ciencias. Hacia el final de su vida restableció su relación con Carl Gauss, y ésteconvenció a la Universidad de Gotinga para que otorgara a Germain un título honorífico. Pordesgracia, Sophie Germain falleció de cáncer de mama antes de que la universidad pudiera concederleel honor.

Mirándolo bien, era con toda probabilidad la intelectual femenina más profunda que Francia jamás hayaengendrado. Y ahora, por extraño que pueda parecer, cuando el funcionario cumplimentó el certificado dedefunción de esta eminente socia y colaboradora de los miembros más ilustres de la Academia Francesa de lasCiencias, aquél la definió como una rentière-annuitant (una simple mujer sin oficio) y no como unamathématicienne. Pero la cosa no acaba ahí. Cuando se erigió la torre Eiffel, en la que los ingenieros se vieronobligados a poner una atención especial en la elasticidad de los materiales utilizados, en esta grandiosa estructurase inscribieron los nombres de setenta y dos sabios. Pero nadie encontrará entre ellos el nombre de esta hija de lasabiduría cuyas investigaciones contribuyeron en tan gran medida al establecimiento de la teoría de la elasticidadde los metales: Sophie Germain. ¿Acaso fue excluida de aquella lista por la misma razón por la que Agnesi nopudo ser elegida como miembro de la Academia Francesa, porque era mujer? Eso parece. Si de verdad fue tal elcaso, mayor es la vergüenza para los responsables de semejante ingratitud hacia quien había merecido tan buentrato por parte de la ciencia y hacia la que a través de sus estudios se había ganado un lugar inevitable en eltemplo de la gloria.

H. J. Mozans, 1913

Los sobres lacrados

Tras el impulso de Sophie Germain, la Academia Francesa de las ciencias ofreció una serie depremios, entre ellos una medalla de oro y tres mil francos, para el matemático que acabara por fin conel misterio del último teorema de Fermat. Además del prestigio de demostrar el último teorema deFermat, ahora se unía al desafío una gratificación inmensamente valiosa. Los salones de Parísrebosaban de habladurías sobre quién estaba adoptando una estrategia u otra y lo cerca que andaba deanunciar una solución. Entonces, el 1 de marzo de 1847, la Academia celebró su sesión másespectacular.

Las actas describen cómo Gabriel Lamé, que había demostrado el caso de n = 7 algunos añosantes, subió al estrado y, ante los matemáticos más eminentes de la época, proclamó que estaba apunto de probar el último teorema de Fermat. Admitió que la demostración estaba aún incompleta,pero perfiló su método y vaticinó con entusiasmo que en las próximas semanas publicaría una pruebacompleta en la revista de la Academia.

Dejó pasmada a toda la audiencia, y tan pronto como Lamé abandonó la tarima, Augustin-LouisCauchy, otro de los matemáticos más destacados de París, pidió permiso para hablar. Cauchycomunicó a la Academia que había estado trabajando en una línea parecida a la de Lamé y quetambién él estaba al borde de publicar una demostración absoluta.

Tanto Cauchy como Lamé se percataron de que la clave estaba en el tiempo. El primero enpresentar una demostración recibiría el premio de mayor valor y prestigio de las matemáticas. Si bienninguno de los dos poseía una demostración completa, ambos rivales ansiaban hacer valer de algúnmodo sus derechos, así que, justo tres semanas después de que hubieran hecho sus anunciosrespectivos, depositaron sendos sobres lacrados en la Academia. Se trataba de una práctica habitualde aquella época que permitía a los matemáticos registrar su investigación sin revelar los detallesexactos. Si mas tarde surgía una disputa relativa a la originalidad de las ideas, un sobre selladodemostraría la evidencia necesaria para establecer prioridades.

La expectación aumentó en abril, cuando Cauchy y Lamé publicaron en las actas de la Academiatentadores detalles, aunque vagos, de sus pruebas. Si bien la comunidad matemática al completoestaba desesperada por ver terminada la demostración, muchos de sus miembros deseaban en secretoque fuera Lamé y no Cauchy quien ganara la carrera. A decir de todos, Cauchy era una criaturahipócrita, un fanático religioso y nada querido entre sus compañeros. Si la Academia lo aguantaba erasólo por su brillantez.

El 24 de mayo se difundió un comunicado que acabó con la especulación. No fue Cauchy nitampoco Lamé quien se dirigió a la Academia, sino Joseph Liouville. Liouville impactó a la audienciacuando leyó en voz alta el contenido de una carta que tenía por remitente al matemático alemán ErnstKummer. Kummer era un teórico de números del más alto nivel, pero el furioso patriotismo que suodio hacia Napoleón despertó en él lo apartó de su auténtica vocación durante gran parte de sucarrera. Cuando era niño, el ejército francés invadió su ciudad natal, Sorau, y trajo consigo unaepidemia de tifus. A su padre, que era el médico del municipio, la enfermedad se lo llevó en cuestiónde semanas. Traumatizado por la experiencia, Kummer se juró hacer todo lo posible para defender supaís de ataques ulteriores y, tan pronto como acabó la universidad, dedicó su inteligencia al problemadel trazado de trayectorias de las balas de cañón. Con el tiempo enseñó las leyes balísticas en laEscuela de Guerra de Berlín.

Paralelamente a la dedicación bélica, Kummer se entregó de forma activa a la investigación enmatemáticas puras y había permanecido muy atento a la epopeya que se había puesto en marcha enla Academia Francesa. Había repasado las actas de principio a fin y analizado los pocos detalles queCauchy y Lamé se habían atrevido a revelar. Para Kummer era obvio que los dos franceses seencaminaban hacia un mismo callejón sin salida lógico y explicó sus razones en la carta que envió aLiouville.

Según Kummer, el problema fundamental residía en que las demostraciones de ambos, Cauchy yLamé, se basaban en la utilización de una propiedad de los números conocida como factorización

unívoca. La factorización unívoca establece que sólo existe una combinación posible de númerosprimos tal que al multiplicarlos entre sí dan como resultado un número determinado. Por ejemplo, laúnica combinación de números primos que multiplicados dan el número 18 es la que sigue:

18 = 2 × 3 × 3.

De un modo semejante, los números siguientes se factorizan tan sólo de estas maneras:

35 = 5 × 7,

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5,

106 260 = 2 × 2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 23.

La factorización unívoca fue descubierta allá por el siglo IV a. J. C. por Euclides, quien probó que escierta para todos los números cardinales, y describió la demostración en el libro IX de sus Elementos.El hecho de que la factorización unívoca se cumpla con todos los números cardinales es un elementoesencial para otras muchas demostraciones y hoy en día se lo denomina el teorema fundamental de laaritmética.

A primera vista no habría ninguna razón por la que Cauchy y Lamé no debieran basarse en lafactorización unívoca, como cientos de matemáticos habían hecho antes que ellos. Pero por desgraciaambas demostraciones incluían números imaginarios. Si bien la factorización unívoca es cierta paralos números reales, Kummer señaló que no tenía por qué cumplirse cuando se introducen númerosimaginarios. A su entender, esto constituía una fisura fatal.

Si por ejemplo nos limitamos a los números reales, entonces el 12 solo puede factorizarse como 2× 2 × 3. Sin embargo, si admitimos los números imaginarios en la demostración, entonces el numero12 podría ser factorizado además en la manera que sigue:

12 = (1 + √−11) (1 − √−11)

Aquí (1 + √−11) es un número complejo, la combinación de un número real y de otro imaginario.Aunque el proceso de multiplicación es más enrevesado que con los números ordinarios, la existenciade los números complejos proporciona otros caminos para factorizar el número 12. Otra manera defactorizar ese número es (2 + √−8)(2 − √−8). Así que ya no hay una única factorización, sino unsurtido de ellas.

Esta pérdida de la factorización unívoca perjudicó en gran medida las pruebas de Cauchy y deLamé, pero no por ello las destruyó del todo. Se suponía que las demostraciones concluían que noexistían soluciones para la ecuación xⁿ + yⁿ = zⁿ, donde n representa cualquier número mayor que dos.Como ya hemos comentado con anterioridad en este capítulo, bastaba con que las pruebas secumplieran tan sólo con los valores primos de n. Kummer mostró que empleando otras técnicas eraposible restablecer la factorización unívoca para algunos valores de n. Por ejemplo, el problema queofrecía la factorización unívoca podía esquivarse para todos los números primos menores o igualesque n = 31. En cambio, al número primo n = 37 no se le podía hacer frente con tanta facilidad. Delresto de primos inferiores a 100, otros dos, n = 59 y n = 67, eran también números difíciles. Estos

primos, denominados irregulares, que están salpicados entre el resto de los números primos,constituían ahora el muro que bloqueaba la demostración absoluta.

Kummer señaló que nada en las matemáticas conocidas podría atajar todos aquellos primosirregulares de un solo golpe. Sin embargo, sí creía que, mediante cuidadosas técnicas hechas a medidapara cada primo irregular concreto, podrían ser doblegados uno tras otro. Elaborar esas técnicasexpresas constituiría un ejercicio lento y penoso, aún más si tenemos en cuenta que el número deprimos irregulares sigue siendo infinito. Eliminarlos de forma individual ocuparía a toda la comunidadmundial de matemáticos por toda la eternidad.

La misiva de Kummer tuvo efectos devastadores en Lamé. Considerándolo a posteriori, laadopción de la factorización unívoca puede verse, en el mejor de los casos, demasiado optimista y, enel peor de ellos, temeraria. Lamé se dio cuenta de que si hubiera sido más franco con su trabajo podríahaber reparado antes en el error, y en una carta que envió a su colega Dirichlet en Berlín escribió:«Sólo con que usted hubiera estado en París o yo hubiera estado en Berlín nada de esto habríaocurrido».

Mientras que Lamé se sintió humillado, Cauchy se negó a aceptar la derrota. Vio que, comparadocon la demostración de Lamé, su planteamiento se apoyaba menos en la factorización unívoca y queen tanto no se revisara la totalidad del análisis de Kummer cabía la posibilidad de que fuera erróneo.Continuó publicando artículos sobre el asunto durante varias semanas, pero al final del veranotambién él enmudeció.

Kummer había demostrado que una prueba completa del último teorema de Fermat se hallabafuera del alcance de los enfoques matemáticos al uso. Fue una brillante muestra de lógica matemática,pero un pesado golpe para toda una generación de matemáticos que habían saboreado la posibilidadde resolver el problema más arduo del mundo.

El mismo Cauchy resumió la situación cuando en 1857 redactó el informe de la Academia sobre laclausura del galardón para el último teorema de Fermat:

Informe referente al certamen para el gran premio en ciencias matemáticas. Convocado ya en el concurso de 1853y prorrogado hasta 1856.

Se han presentado once memorias al secretario, pero ninguna ha resuelto la cuestión planteada. De este modo, elasunto permanece en el mismo estado en que lo dejó monsieur Kummer. No obstante, las ciencias matemáticasdeberían congratularse por los trabajos acometidos por los geómetras con el deseo de resolver la cuestión, enespecial el de monsieur Kummer. La comisión considera, por lo tanto, que la Academia tomaría una decisiónhonorable y útil si, una vez suspendida la competición, concediera la medalla a monsieur Kummer por sus bellasinvestigaciones acerca de los números complejos, formados por enteros y raíces de la unidad.

Durante más de dos siglos, todos los intentos de recuperar la demostración del último teorema deFermat habían acabado en fracaso. A lo largo de su adolescencia, Andrew Wiles había estudiado lostrabajos de Euler, Germain, Cauchy, Lamé y, por último, Kummer. Esperaba aprender de los erroresde todos ellos, pero durante su época de estudiante en la Universidad de Oxford chocó con la mismapared que Kummer.

Algunos de los contemporáneos de Wiles empezaban a creer que podía tratarse de un problemaimposible. Quizá Fermat se había equivocado y por tanto la razón de que nadie hubiera redescubiertola prueba era que no existía. A pesar de este escepticismo, Wiles continuó buscando. Lo sustentaba el

conocimiento de que se habían dado varios casos de pruebas descubiertas al cabo del tiempo, trassiglos de esfuerzo. Y en algunos la ráfaga de revelación que solucionó el problema no se basaba enabsoluto en unas matemáticas nuevas, sino que se trataba de pruebas que podían haberse conseguidomucho tiempo antes.

Un ejemplo de problema que escapó a una solución durante décadas es la conjetura del punto. Eldesafío trata sobre una serie de puntos que están conectados todos entre sí, sin excepción, por líneasrectas, como los diagramas de puntos que ilustra la figura 13. La conjetura sostiene que es imposibletrazar un diagrama de puntos en el que cada línea contenga al menos tres puntos (sin tener en cuentael diagrama en el que todos los puntos descansen sobre la misma línea). En efecto, tras experimentarcon unos pocos diagramas la afirmación parece ser cierta. Por ejemplo, la figura 13a consta de cincopuntos conectados por seis líneas. Cuatro de ellas no contienen tres puntos, así que, claramente, estadisposición no cumple el requisito de que todas las líneas posean tres puntos. Si insertamos unpunto más y su línea correspondiente, como en la figura 13b, el número de líneas que no reúne trespuntos se reduce justo a tres. Pero el intento de distribuir el diagrama de manera que todas las líneasincluyan tres puntos sigue pareciendo imposible. Ello, por supuesto, no demuestra que tal diagramano exista.

Figura 13: En estos diagramas cada punto está unido a todos los demás a través de líneas rectas. ¿Se puedeconstruir un diagrama en el que cada recta contenga al menos tres puntos?

Generaciones de matemáticos trabajaron y fracasaron en la demostración de la conjetura delpunto, tan clara en apariencia. Lo que hizo la conjetura mucho más enloquecedora es que, cuando alfin se encontró una demostración, sólo consistía en una cantidad mínima de conocimientosmatemáticos mezclada con cierto ingenio extra. La demostración se incluye en el apéndice 6.

Existía la posibilidad de que todas las técnicas requeridas para la demostración del último teoremade Fermat estuvieran a mano y que el único ingrediente que faltara fuera el ingenio. Wiles no estabadispuesto a ceder: dar con la demostración del último teorema de Fermat se había transformado paraél de fascinación infantil en obsesión alimentada con celo. Habiendo aprendido todo lo que había paraaprender de las matemáticas del siglo XIX, Wiles decidió dotarse de técnicas del siglo XX.

4. HACIA LA ABSTRACCIÓN

La demostración es un ídolo ante el cual el matemático se mortifica.

Sir Arthur Eddington

Tras la obra de Kummer, las esperanzas de encontrar una prueba para el último teorema de Fermat setornaron más vanas que nunca. Además, las matemáticas habían empezado a orientarse hacia otroscampos de estudio y aparecía el riesgo de que la nueva generación de matemáticos fuera indiferente alo que parecía el callejón sin salida de un problema imposible. A comienzos del siglo XX, el problemaocupaba aún un lugar especial en los corazones de los teóricos de números, pero contemplaban elúltimo teorema de Fermat de la misma manera en que los químicos trataban la alquimia. Ambos eranun absurdo sueño romántico de antaño.

Entonces, en 1908, Paul Wolfskehl, un industrial alemán de Darmstadt, revivió el problema. Lafamilia de Wolfskehl era conocida por su riqueza y su mecenazgo en las artes y en las ciencias, y Paulno fue una excepción. Había estudiado matemáticas en la universidad y, aunque dedicó la mayorparte de su vida a construir el imperio financiero familiar, también mantuvo el contacto conmatemáticos profesionales y cultivó la teoría de números como pasatiempo. En concreto, Wolfskehlse negó a rendirse ante el último teorema de Fermat.

Wolfskehl no era en absoluto un matemático de talento y no estaba destinado a aportar una grancontribución para dar con la demostración del último teorema de Fermat. Con todo, gracias a unacuriosa cadena de sucesos iba a quedar ligado por siempre al problema de Fermat e inspiraría a otrosmiles a volver a aceptar el desafió.

La historia comienza con la obsesión de Wolfskehl por una mujer cuya identidad no se harevelado jamás. Por desgracia para Wolfskehl, la misteriosa mujer lo rechazó y él quedó en tal estadode desesperación que decidió suicidarse. Era un hombre apasionado pero no impetuoso, así queplaneó hasta el último detalle de su muerte. Concretó una fecha en la que se pegaría un tiro en lacabeza justo al dar la medianoche. En el tiempo que le quedaba arregló todos los asuntos financierospendientes y el último día redactó su testamento y escribió cartas a todos los íntimos y familiares.

Wolfskehl actuó con tanta eficacia que todo estuvo terminado bastante antes de que expirara elplazo a medianoche, así que para pasar las horas se fue a una biblioteca y comenzó a curiosear entrelas publicaciones matemáticas. Al cabo de poco tiempo se hallaba observando el clásico artículo deKummer en el que explicaba el error de Cauchy y Lame. Se trataba de uno de los cálculos másimportantes de la época y de una lectura idónea para los momentos finales de un matemático suicida.Wolfskehl comprobó todo el cálculo línea por línea. De pronto se sorprendió ante lo que parecía seruna laguna lógica. Kummer había hecho una suposición y se saltó justificar un paso de laargumentación. Wolfskehl se preguntó si habría descubierto una seria fisura o si la suposición deKummer estaría justificada. Si lo primero era cierto, cabía la posibilidad de que probar el últimoteorema de Fermat fuera mucho más sencillo de lo que muchos habían presumido.

Tomó asiento, exploró el fragmento dudoso de la prueba y se dedicó a fondo a elaborar unaminidemostración que o bien consolidaría el trabajo de Kummer o bien probaría que la suposición deaquél era errónea, en cuyo caso toda la labor de Kummer sobre el tema quedaría invalidada. Acabó laempresa al amanecer. Las malas noticias matemáticas eran que la prueba de Kummer había sidoreparada y el último teorema de Fermat continuaba en el reino de lo inalcanzable. Las buenas eran quela cita con el suicidio había pasado y Wolfskehl estaba tan orgulloso de haber descubierto y corregidouna fisura en la obra del grandioso Kummer que su desesperación y su pesar se disiparon. Lasmatemáticas le habían devuelto las ganas de vivir.

Wolfskehl rompió las cartas de despedida y recompuso su testamento movido por lo sucedidoaquella noche. A su muerte en 1908 se leyó en voz alta el nuevo testamento. La familia Wolfskehl sequedó helada al descubrir que Paul había legado una extensa porción de su fortuna como premio aquien demostrara el último teorema de Fermat. La recompensa de cien mil marcos alemanes, un valorque superaría los doscientos millones de pesetas en cifras actuales, fue el modo en que saldó la deudacon el enigma que le había salvado la vida.

El dinero se depositó en las arcas de la Königliche Gesellschaft der Wissenschaften[1] de Gotinga,la cual anunció la convocatoria del Premio Wolfskehl aquel mismo año:

Por el poder que nos ha sido otorgado por parte del doctor Paul Wolfskehl, fallecido en Darmstadt, financiamospor la presente un galardón de cien mil marcos que serán concedidos a la primera persona que demuestre el granteorema de Fermat.

Las bases del premio son las siguientes:

1. La Königliche Gesellschaft der Wissenschaften en Gotinga tendrá absoluta libertad para decidir sobrela persona a la que se concederá el premio. Se rechazará cualquier manuscrito elaborado con el únicopropósito de entrar en el concurso para percibir el premio. Sólo se tendrán en cuenta aquellas memoriasmatemáticas que hayan aparecido en forma de monografía en revistas o las que estén a la venta enlibrerías. La sociedad solicita a los autores de las mismas que envíen al menos cinco ejemplaresimpresos.

2. Aquellas obras publicadas en un idioma que no sea de dominio de los especialistas eruditos escogidospor el jurado serán excluidas de la competición. A los autores de dichas obras se les permitiráreemplazarlas por traducciones siempre y cuando garanticen su fidelidad.

3. La sociedad declina la responsabilidad de examinar las obras que no le sean presentadas, así como loserrores que puedan surgir por el hecho de que la sociedad sea desconocedora del autor de una obra o deuna parte de ella.

4. La sociedad se reserva el derecho de decisión en caso de que varias personas den con la solución delproblema, o en el caso de que su resolución sea resultado de los esfuerzos combinados de variossabios, sobre todo en lo tocante a la partición del premio.

5. La concesión del galardón por parte de la sociedad no se hará efectiva antes de que transcurran dos añosdesde la publicación de la memoria premiada. Tal intervalo de tiempo está destinado a que losmatemáticos alemanes y extranjeros emitan su opinión acerca de la validez de la solución publicada.

6. En cuanto el premio sea concedido por la sociedad, el laureado será informado por el secretario de lasociedad y en nombre de la misma; el resultado se publicará dondequiera que el premio haya sidoanunciado durante el año anterior. La asignación del premio por parte de la sociedad será inapelable.

7. La gratificación se hará efectiva a la persona premiada dentro de los tres meses siguientes al fallo y laabonará el cajero real en la Universidad de Gotinga, o, bajo responsabilidad absoluta del perceptor, encualquier otro lugar que pudiera designar.

8. La suma podrá ser entregada a cambio de un recibo, bien en efectivo bien a través de la transferencia devalores financieros, a voluntad de la sociedad. El pago del galardón se considerará consumado con eltraspaso de dichos valores financieros, aun cuando su valor total al final del día pueda no alcanzar lacantidad de cien mil marcos.

9. No se aceptará ninguna reivindicación del premio si éste no es concedido antes del 13 de septiembredel año 2007.

El concurso para el Premio Wolfskehl está abierto desde el día de hoy y bajo las condiciones expuestas.

Die Königliche Gesellschaft der WissenschaftenGotinga, 27 de junio de 1908.

Es preciso destacar que, aunque el comité dotaría con cien mil marcos al primer matemático quedemostrara que el último teorema de Fermat es cierto, en cambio no concedería un solo pfennig aquien pudiera demostrar que es falso.

El Premio Wolfskehl se anunció en todas las revistas matemáticas y por toda Europa saltaronrápidamente noticias acerca de la competición. A pesar de la campaña publicitaria y del incentivoañadido de un premio cuantioso, el Comité Wolfskehl fracasó a la hora de despertar un gran interésentre los matemáticos serios. La mayoría de los matemáticos profesionales veían el último teorema deFermat como una causa perdida y consideraron que no les interesaba echar a perder sus carrerastrabajando en una tarea inútil. No obstante, el concurso consiguió presentar el problema ante unanueva audiencia, un buen montón de mentes impacientes que estaban dispuestas a dedicarse a loúltimo en enigmas y a afrontarlo por una senda de absoluta inocencia.

La era de los rompecabezas, acertijos y enigmas

Desde los griegos, los matemáticos han intentado condimentar los libros de texto reescribiendopruebas y teoremas a modo de soluciones para rompecabezas de números. Durante la segunda mitaddel siglo XIX, este tratamiento lúdico de la materia logró introducirse en la prensa de masas, y losacertijos numéricos podían encontrarse junto a crucigramas y anagramas. Con el paso del tiempo sefue formando para las matemáticas recreativas un público en alza a medida que los aficionados seatrevían con todo tipo de problemas, desde los acertijos más triviales hasta profundas cuestionesmatemáticas, incluyendo el último teorema de Fermat.

Puede que el más prolífico creador de enigmas fuera Henry Dudeney, el cual escribió paradocenas de periódicos y revistas, como Strand, Cassell’s, Queen, Tit-Bits, Weekly Dispatch yBlighty. Otro de los grandes del género en la época victoriana fue el reverendo Charles Dogson,profesor de matemáticas en la Christ Church de Oxford y más conocido por su seudónimo comoescritor, Lewis Carroll. Dogson dedico varios años a reunir un gigantesco compendio derompecabezas titulado Curiosa Mathematica («Matemática demente»), y aunque no completó laserie, sí llegó a escribir varios volúmenes, entre ellos Pillow Problems («Problemas para antes dedormir»).

Pero el mayor creador de enigmas de todos fue el prodigio estadounidense Sam Loyd (1841-1911), quien a la edad de quince años ya estaba obteniendo unas considerables ganancias a base de

reinventar viejos acertijos y de crear otros nuevos. En su obra Sam Loyd and his Puzzles: AnAutobiographical Review («Sam Loyd y sus acertijos: una recopilación autobiográfica») recuerda quealguno de sus acertijos más tempranos fueron creados para P. T. Barnum, propietario de circo yprestidigitador:

Hace muchos años, cuando el Circo Barnum era de verdad «el mayor espectáculo del mundo», su famosodirector me encargó que le preparara una serie de rompecabezas para concursos con fines propagandísticos. Sehicieron ampliamente conocidos como los «interrogantes de la esfinge», a causa de la elevada cuantía de lospremios ofrecidos a quienes lograran vencerlos.

Es extraño que esta autobiografía se escribiera en 1928, diecisiete años después de la muerte de Loyd.Este transmitió el ingenio a su hijo, también llamado Sam, que fue el verdadero autor del libro,sabiendo a ciencia cierta que cualquiera que lo comprara pensaría, equivocadamente, que era obra desu padre, el Sam Loyd más famoso.

La creación más popular de Loyd fue el equivalente Victoriano del cubo de Rubik, elrompecabezas «14-15», que aún hoy podemos encontrar en jugueterías. Quince baldosas numeradasdel 1 al 15 se distribuyen sobre un plano de 4 × 4 baldosas, y la meta consiste en deslizar lasbaldosas hasta disponerlas en el orden correcto. El rompecabezas «14-15» de Loyd se vendía con laordenación que aparece en la figura 14 y ofrecía un premio considerable a quien pudiera completarlodevolviendo la 14 y la 15 a sus lugares correspondientes a través de una serie de corrimientos debaldosas. El hijo de Loyd escribió sobre el revuelo que despertó este rompecabezas palpable peroesencialmente matemático:

Nunca ha sido reclamado el premio de mil dólares que se ofreció para la primera solución del problema, y esoque hay miles de personas que dicen haber realizado tal proeza. La gente enloqueció con el rompecabezas y secontaron absurdas historias de tenderos que descuidaron la apertura de sus almacenes; sobre un distinguidoclérigo que permaneció de pie durante toda una noche invernal debajo de una farola intentando recordar el caminoque había seguido para lograr la hazaña. La misteriosa propiedad del juego es que nadie parece capaz de recordarla secuencia de movimientos mediante la cual creen estar seguros de haber resuelto el problema. Dicen que hahabido pilotos que han hecho naufragar sus barcos y maquinistas que se han pasado de largo las estaciones consus trenes. Un famoso editor de Baltimore cuenta que en cierta ocasión que fue a comer un empleado furioso losorprendió… ¡bien pasada la medianoche empujando de acá para allá pequeñas porciones de pastel dentro de unplato!

Loyd siempre fue consciente de que jamás tendría que abonar los mil dólares porque sabía que esimposible desplazar tan sólo dos piezas sin destruir el orden de otra parte del tablero. Del mismomodo en que un matemático puede demostrar que una ecuación determinada no tiene solucionesposibles, Loyd demostró que su rompecabezas «14-15» es irresoluble.

Figura 14: Una caricatura ilustra la fiebre que provocó el rompecabezas «14-15» de Sam Loyd.

La demostración de Loyd comienza definiendo una cantidad que mide lo desordenado que está untablero, el parámetro de desorden Dp. El parámetro de desorden es el número de pares de baldosasque, en una disposición concreta, no mantienen el orden correspondiente. Así, para el caso correcto,Dp = 0, tal como muestra la figura 15a, porque ninguna baldosa está emplazada con una ordenaciónincorrecta.

Partiendo del rompecabezas ordenado y deslizando algunas baldosas es bastante fácil llegar a ladisposición que ilustra la figura 15b. Las baldosas mantienen el orden hasta llegar al par 12 y 11. Esevidente que la 11 debería ir delante de la 12, así que este par de baldosas está mal situado. La listacompleta de pares de baldosas que ocupan puestos desordenados es como sigue: (12, 11), (15, 13),(15, 14), (15, 11), (13, 11), (14, 11). Hay seis pares de baldosas en un orden incorrecto en estadisposición, por tanto Dp = 6. (Adviértase que las baldosas 10 y 12 están contiguas, lo cual es atodas luces incorrecto, pero no llegan a alterar el orden. Por eso este par de baldosas no repercute enel parámetro de desorden).

Tras otro mínimo deslizamiento llegamos a la disposición de la figura 15c. Si usted hace una listade los pares de baldosas que se sitúan en un orden incorrecto, encontrará que Dp = 12. El puntoimportante a tener en cuenta es que en estos tres casos, a, b y c, el valor del parámetro de desordenes siempre un número par (0, 6 y 12). De hecho, si usted comienza por la disposición correcta yprocede a trastocarla, esa afirmación resulta siempre cierta. Con tal que la baldosa vacía vaya a parar

a la esquina inferior derecha, cualquier cantidad de baldosas desplazadas dará siempre un resultadopar para el valor de Dp. El valor par del parámetro de desorden es una característica intrínseca acualquier ordenación posible que proceda de la disposición correcta de partida. A una propiedad quesiempre permanece cierta con independencia de lo que se le haga al objeto se la denomina enmatemáticas un invariante.

Figura 15: Desplazando las baldosas se consiguen varias disposiciones desordenadas. Se puede medir lacantidad de desorden en cada disposición a través del parámetro de desorden, Dp.

Sin embargo, si examinamos la disposición que ofrecía Loyd, en la que las baldosas 14 y 15 sonlas únicas intercambiadas, vemos que el valor del parámetro de desorden es la unidad, Dp = 1. ¡En ladisposición de Loyd el parámetro de desorden posee un valor impar! En cambio sabemos quecualquier ordenación que derive de la correcta tendrá un valor par para el parámetro de desorden. Laconclusión es que la disposición de Loyd no puede proceder de la correcta de partida y, a la inversa,es imposible llegar a la disposición correcta a partir de la ordenación que daba Loyd. Los mil dólaresestaban a salvo.

El rompecabezas de Loyd y el parámetro de desorden demuestran el poder que posee uninvariante. Los invariantes dotan a los matemáticos de una importante estrategia para probar que esimposible transformar una cosa en otra. Por ejemplo, un tema que entusiasma hoy en día guardarelación con el estudio de los nudos y, como es natural, los teóricos de nudos están interesados entratar de demostrar si un nudo puede transformarse en otro a base de trenzarlo y curvarlo, pero sincortarlo. Para resolver esta cuestión intentan encontrar una propiedad del primer nudo que no puedaser destruida por mucho que se lo retuerza y curve, o sea, un invariante del nudo. Entonces calculanla misma propiedad para el segundo nudo. Si los valores son distintos, se concluye que no se puedepartir del primer nudo para a llegar al segundo.

Hasta que en los años veinte Kurt Reidemeister inventó este método era imposible demostrar queun nudo no podía transformarse en cualquier otro. Dicho de otro modo, antes de que se descubrieranlos invariantes de los nudos era imposible demostrar que un nudo mal hecho es esencialmentedistinto de un nudo plano, de un medio nudo o incluso de un simple bucle sin nudo alguno enrealidad. El concepto de una propiedad invariante es fundamental para muchas otras pruebas

matemáticas y, como veremos en el capítulo 5, iba a ser crucial para devolver el último teorema deFermat a la corriente principal de las matemáticas.

Hacia el cambio de siglo, gracias a los gustos de Sam Loyd y a su rompecabezas «14-15», habíaen Europa y América millones de aficionados a la resolución de problemas sedientos de nuevosdesafíos. Una vez que las noticias del legado de Wolfskehl se filtraron a estos incipientesmatemáticos, el último teorema de Fermat volvió a convertirse en el problema más famoso delmundo. El último teorema era, con diferencia, mucho más complicado incluso que los acertijos mássesudos de Loyd, pero el premio era inmensamente superior. Los aficionados soñaban que quizáellos serían capaces de encontrar un truco relativamente simple que los grandes maestros hubieranpasado por alto en el pasado. Un perspicaz aficionado del siglo XX estaba en gran medida al mismonivel que Pierre de Fermat en cuanto al conocimiento de técnicas matemáticas. El desafío consistía encompetir con la creatividad con la que Fermat había utilizado esas técnicas.

Al cabo de pocas semanas del anuncio del premio de Wolfskehl cayó una avalancha departicipantes sobre la Universidad de Gotinga. No es raro que todas las demostraciones fueranfalaces. Aunque cada concursante estaba convencido de haber resuelto este problema centenario,todos ellos habían cometido sutiles errores, y a veces no tan sutiles, en la lógica que siguieron. El artede la teoría de números es tan abstracto que resulta en extremo sencillo salirse del camino de la lógicae ignorar por completo que se vaga en el absurdo. El apéndice 7 muestra la suerte de error clásico quese le puede colar con facilidad a un aficionado entusiasta.

Con independencia de quien la hubiera enviado, cada una de las demostraciones tenía quecomprobarse hasta el más mínimo detalle, por si se daba el caso de que un aficionado desconocidohubiera tropezado con la prueba más codiciada de las matemáticas. El encargado del departamento dematemáticas de Gotinga desde 1909 hasta 1934 fue el catedrático Edmund Landau, y a élcorrespondía la responsabilidad de examinar las candidaturas al Premio Wolfskehl. Landau veía suinvestigación interrumpida a cada momento por las docenas de confusas demostraciones que llegabancada mes a su escritorio. Para afrontar la situación ideó un método elegante que lo descargara detrabajo. El catedrático imprimió cientos de tarjetas que decían:

Estimado …

Gracias por su manuscrito referente a la demostración del último teorema de Fermat.Su primer error se halla en:Página … … Línea …Esto deja invalidada la demostración.

Catedrático E. M. Landau

Entonces, Landau puso cada nuevo envío acompañado de una de las tarjetas en manos de susalumnos y les pidió que rellenaran los espacios en blanco.

El volumen de participación continuó sin menguar durante años, incluso tras la estrepitosadevaluación que sufrió el Premio Wolfskehl como resultado de la hiperinflación que siguió a laprimera guerra mundial. Hay rumores que afirman que quienquiera que ganara hoy en día lacompetición a duras penas alcanzaría a pagarse una taza de café con la cuantía del premio, pero esasmanifestaciones son un tanto exageradas. En una carta que escribió el señor F. Schlichting, el

responsable de las participaciones durante los años setenta, se expone que el premio consistíaentonces en más de diez mil marcos. Dicha carta, que fue dirigida a Paulo Ribenboim y publicada ensu libro 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem («Trece conferencias acerca del último teorema deFermat»), da una visión única de la tarea del comité el Premio Wolfskehl:

Muy señor mío:

No existe un recuento del número total de «soluciones» recibidas hasta el día de hoy. Durante el primer año1907-1908 se registraron 621 soluciones en los archivos de la Academia y hoy se han almacenado cerca de tresmetros de correspondencia relacionada con el problema de Fermat. En las décadas más recientes se ha actuado delmodo que sigue. El secretario de la Academia divide los manuscritos que llegan entre:

1. los que son un sinsentido absoluto, que se devuelven de inmediato,2. el material de aspecto similar al de las matemáticas.

Los envíos que forman este segundo apartado pasan al departamento de matemáticas, y allí el trabajo de leer,encontrar errores y dar una respuesta se delega en uno de los asistentes científicos (en las universidades alemanaséstos son licenciados que trabajan en su doctorado), y en este momento soy yo la víctima. Hay como tres ocuatro cartas que responder al mes, y eso incluye gran cantidad de material divertido y curioso. Así, por ejemplo,hay quien manda la primera mitad de su solución y promete enviar la segunda si le pagamos mil marcos comoadelanto; o aquel otro que me prometió el uno por ciento de sus ganancias en publicaciones y entrevistas deradio y televisión una vez se hubiera hecho famoso, con la única condición de apoyar su trabajo ahora, y en casocontrario amenazaba con enviarlo a un departamento de matemáticas ruso para privarnos a nosotros de la gloriade haberlo descubierto. De vez en cuando, alguien se presenta en Gotinga e insiste en una discusión personal.

Casi todas las «soluciones» poseen un nivel muy elemental (utilizando nociones de unas matemáticas deinstituto y, en todo caso, algunos artículos sin digerir sobre teoría de números), pero a pesar de todo puedenllegar a ser muy complicadas de comprender. El perfil social de los participantes suele coincidir con personas quedisponen de una formación técnica pero que han fracasado en sus carreras e intentan encontrar el éxito con lademostración del problema de Fermat. He pasado algunos de los manuscritos a médicos que han diagnosticadocasos de profunda esquizofrenia.

Una condición del testamento de Wolfskehl era que la Academia debía publicar anualmente el anuncio delpremio en las principales revistas matemáticas. Pero después de los primeros años las revistas rechazaronanunciarlo porque se vieron desbordadas por la cantidad de manuscritos demenciales y de cartas.

Espero que esta información sea de su interés. Sinceramente,

F. Schlichting

Según los comentarios de Schlichting, los participantes no se limitaban a enviar «soluciones» a laAcademia. Cada departamento de matemáticas del mundo tiene con toda probabilidad un armariodedicado a presuntas demostraciones de aficionados. Mientras la mayoría de las instituciones lasignoran, otros receptores les han dado un trato más imaginativo. El divulgador matemático MartinGardner recuerda a un amigo que envió al remitente una nota explicando que él no estaba capacitadopara examinar la prueba, en vista de lo cual le proporcionaría el nombre y la dirección de un expertoen la materia que sí podría ayudarlo. Así que le mandó las señas del aficionado que le había precedidoen el envío de una demostración. Otro de sus amigos escribió: «Dispongo de una refutación en verdadmaravillosa para su intento de demostración, pero por desgracia este folio le viene demasiadoestrecho».

Si bien los matemáticos aficionados de todo el mundo han pasado todo este siglo intentando yerrando la demostración del último teorema de Fermat y la adquisición del Premio Wolfskehl, losprofesionales han seguido ignorándolo por mucho tiempo. En lugar de edificar sobre la obra deKummer y de otros teóricos de números del siglo XIX, los matemáticos empezaron indagando en losfundamentos de su materia con el objeto de estudiar algunas de las cuestiones más básicas sobre losnúmeros. Algunas de las grandes figuras del siglo XX, entre ellas Bertrand Russell, David Hilbert yKurt Gödel, intentaron comprender las propiedades más profundas de los números a fin de alcanzarsu verdadero significado y de discernir que interrogantes de la teoría de números tienen respuesta y,lo que es más importante, cuáles no la tienen. Su labor iba a sacudir los fundamentos de lasmatemáticas y con el tiempo tendría repercusiones en el último teorema de Fermat.

Las bases del conocimiento

Durante cientos de años, los matemáticos se habían ocupado en utilizar demostraciones lógicas paraconstruir desde lo conocido hacia lo desconocido. El progreso había sido prodigioso, con cada nuevageneración de matemáticos edificando sobre la magnífica estructura y creando nuevos conceptos denúmeros y de geometría. Sin embargo hacia el final del siglo XIX, en lugar de mirar hacia delante, loslógicos matemáticos comenzaron a volverse hacia los cimientos de las matemáticas sobre los que sehabía construido todo lo demás. Querían verificar las bases de las matemáticas, así que loreconstruyeron todo desde los primeros principios con un absoluto rigor a fin de reasegurarse de queaquellos principios originarios eran sólidos.

Los matemáticos destacan por ser rigurosísimos cuando se trata de llegar a una demostraciónabsoluta antes de aceptar cualquier afirmación. Este rigor queda muy bien expresado en una historiaque narra Ian Stewart en Concepts of Modern Mathematics («Conceptos de matemáticas modernas»):

Un astrónomo, un físico y un matemático (según cuentan) estaban de vacaciones en Escocia. Mirando por laventana del tren distinguieron una oveja negra en medio de un prado. «¡Qué interesante —observó el astrónomo—, en Escocia las ovejas son negras!». A lo que respondió el físico: «¡No, no! ¡Algunas ovejas escocesas sonnegras!». El matemático miró suplicante al cielo y entonces articuló: «En Escocia existe al menos un campo quetiene al menos una oveja con al menos uno de sus costados de color negro».

Aún más riguroso que el matemático ordinario es aquel que está especializado en el estudio de lalógica matemática. Los lógicos matemáticos comienzan cuestionando ideas que otros matemáticoshan dado por sentadas durante siglos. Así, la ley de la tricotomía establece que todo número es o biennegativo o bien positivo o bien igual a cero. Esto parece obvio y los matemáticos lo habían asumidocomo cierto de forma tácita, pero nadie se había tomado la molestia de demostrar que de verdad eraése el caso. Los lógicos notaron que, hasta que la ley de la tricotomía no se probara como cierta,podría ser falsa, y si ocurriera esto último, la totalidad de un edificio del conocimiento, todo lobasado en dicha ley, se colapsaría. Por suerte para los matemáticos, al final del siglo pasado la ley dela tricotomía se demostró como cierta.

Desde los antiguos griegos, las matemáticas habían existido por la acumulación de más y más

teoremas y verdades, y aunque la mayoría se había demostrado con todo rigor, atañía a losmatemáticos que algunos de ellos, como la ley de la tricotomía, se hubieran deslizado sin serexaminados como debieran. Algunas ideas habían llegado a formar parte de la sabiduría popular ynadie estaba seguro de cómo se habían demostrado en un principio, si es que en verdad sedemostraron alguna vez; de modo que los lógicos decidieron probar cada teorema desde los principiosmás remotos. Sin embargo, cada verdad debía deducirse de otras verdades. Estas verdades, a su vez,tendrían que demostrarse antes a partir de otras verdades aún más básicas, y así siempre. Al cabo decierto tiempo, los lógicos se encontraron ocupándose de unas cuantas premisas fundamentales, tanesenciales que ya no pudieron ser demostradas. Estas presunciones constituyen los axiomasmatemáticos.

Un ejemplo de axioma es la ley conmutativa de la adición, la cual establece que, para cualesquieranúmeros m y n,

m + n = n + m

Se considera que éste y un puñado de otros axiomas son evidentes en sí mismos y pueden ponerse aprueba con facilidad si se los aplica a números concretos. Hasta ahora los axiomas han superado cadacomprobación y se los ha aceptado como el fondo último de las matemáticas. El reto de los lógicosconsistía en reconstruir todas las matemáticas a partir de esos axiomas. El apéndice 8 reúne la serie deaxiomas aritméticos y da una idea del modo en que los lógicos iniciaron el edificio del resto de lasmatemáticas.

Todo un ejército de lógicos participó en el lento y penoso proceso de reelaborar la complejidad einmensidad del conocimiento matemático sobre la base de un número mínimo de axiomas. La idearadicaba en consolidar lo que los matemáticos creían conocer ya empleando tan sólo los patrones másrigurosos de la lógica. El matemático alemán Hermann Weyl resume el espíritu de la época: «La lógicaes la higiene que practican los matemáticos para mantener sus ideas sanas y robustas». Además dedepurar lo que ya se conocía, confiaban en que este enfoque fundamentalista también arrojaría luzsobre problemas que hasta ahora no se habían resuelto, entre ellos el último teorema de Fermat.

El programa fue dirigido por la figura más eminente de la época, David Hilbert. Hilbert creía queen matemáticas todo podía y debía probarse a partir de los axiomas básicos. El resultado de ello seríademostrar de manera concluyente los dos elementos básicos del sistema matemático. En primer lugar,las matemáticas debían ser capaces, al menos en teoría, de responder a cualquier interroganteconcreto. Se trata del mismo carácter de completitud que había requerido en el pasado la invención denúmeros nuevos, como los negativos o los imaginarios. En segundo lugar, las matemáticas deberíanestar libres de incongruencias, o lo que es lo mismo, una vez mostrada la veracidad de una premisa através de un método no sería posible que mediante otro método se concluyera que esa misma premisaes falsa. Hilbert estaba convencido de que, asumiendo tan sólo unos pocos axiomas, sería posibleresponder a cualquier pregunta matemática concebible sin temor a una contradicción.

El 8 de agosto de 1900, Hilbert pronunció una conferencia histórica en el Congreso Internacionalde Matemáticos de París. Hilbert planteó veintitrés problemas matemáticos sin resolver que élconsideraba de una perentoria importancia. Algunos de los problemas versaban sobre áreas másgenerales de las matemáticas, pero la gran mayoría tenía que ver con los fundamentos lógicos de ladisciplina. Estos problemas tenían la finalidad de centrar la atención del mundo matemático y de

constituir un programa de investigación. Hilbert pretendía sacudir a la comunidad para que lo ayudaraa realizar su sueño de crear un sistema matemático libre de toda duda e incoherencia. Una ambiciónque inscribió en su lápida:

Wir müssen wissen,Wir werden wissen.

Tenemos que saber,Llegaremos a saber.

Gottlob Frege fue una de las figuras más destacadas del llamado programa de Hilbert, si bien enocasiones fue un amargo rival de éste. Frege se dedicó durante más de una década a deducir cientos decomplicados teoremas a partir de los axiomas básicos, y sus éxitos lo llevaron a creer que estaba en elcamino correcto para llegar a completar una parte considerable del sueño de Hilbert. Uno de losprogresos clave de Frege fue elaborar la definición completa de número. Por ejemplo, ¿qué queremosdecir en realidad con el número 3? Resulta que, para definir 3, Frege tuvo que definir primero la«triplicidad».

«Triplicidad» es la cualidad abstracta que poseen los grupos o series de objetos que contienentres objetos. Así, la «triplicidad» puede utilizarse para describir el conjunto de los «tres pelos tienemi barba» de la canción infantil, o la «triplicidad» es adecuada del mismo modo para describir la seriede lados que posee un triángulo. Frege notó que había numerosos grupos que manifestaban«triplicidad» y utilizó la idea de los conjuntos para definir el «3» en sí. Creó un conjunto nuevo,colocó en su interior todos los grupos que manifiestan «triplicidad» y denominó «3» a este nuevoconjunto de conjuntos. Por lo tanto, un conjunto contiene tres miembros si y sólo si se sitúa dentrodel conjunto «3».

Ésta puede parecer una definición demasiado compleja para un concepto que usamos a diario,pero la descripción que Frege realiza del «3» es rigurosa e indiscutible, y además necesaria para elinflexible programa de Hilbert.

En 1902, el método de Frege pareció llegar a su fin cuando se dispuso a publicar Grundgesetzeder Arithmetik («Fundamentos de la aritmética»), una obra gigantesca y prestigiosa que intentóestablecer un nuevo patrón de certeza dentro de las matemáticas. Al mismo tiempo, el lógico inglésBertrand Russell, que también estaba contribuyendo al gran proyecto de Hilbert, realizaba undescubrimiento devastador. A pesar de haber seguido el riguroso protocolo de Hilbert, habíatropezado con una incoherencia. Russell evocó su propia reacción ante la temida posibilidad de quelas matemáticas fueran intrínsecamente contradictorias:

Al principio supuse que sería capaz de superar la contradicción con toda facilidad y que lo más probable era quehubiera algún error trivial en el razonamiento. Poco a poco, sin embargo, se hizo patente que no era ése el caso…Durante la segunda mitad de 1901 estaba convencido de que la solución sería sencilla, pero, transcurrido esetiempo, concluí que se trataba de una tarea de envergadura… Acostumbraba a pasear cada noche de once a una,tiempo en el que llegué a conocer los tres sonidos distintos que emiten los chotacabras. (La mayor parte de lagente sólo conoce uno de ellos). Estaba empecinado en resolver la contradicción. Cada mañana me sentaba anteuna hoja blanca de papel. A lo largo del día, con una breve pausa para comer, miraba la hoja en blanco. Amenudo, al caer la tarde seguía vacía.

No había escapatoria a la contradicción. El trabajo de Russell causó un perjuicio considerable al sueñode crear un sistema matemático libre de duda, incoherencia y paradoja. Escribió a Frege, cuyomanuscrito se encontraba ya en la imprenta. La carta de Russell tornó inútil la obra de Frege, eltrabajo de toda su vida, pero a pesar del golpe mortal publicó su opus magnum pesara a quienpesara, y añadió tan sólo una adenda al segundo volumen: «Un científico puede encontrarsedifícilmente con algo más indeseable que ver ceder los cimientos justo cuando la obra está concluida.Una carta del señor Russell me puso en tal situación cuando la obra estaba casi en prensa».

Fue irónico que la contradicción de Russell surgiera de las series o grupos más queridos porFrege. Muchos años después recordó en su libro My Philosophical Development («La evolución demi pensamiento filosófico») el razonamiento que provocó su cuestionamiento de la obra de Frege:«Me pareció que una clase es algunas veces, y otras no, un miembro de sí misma. La clase de lascucharillas, por ejemplo, no es otra cucharilla, pero la clase de cosas que no son cucharillas es una delas cosas que no son cucharillas». Fue esta observación, curiosa e inocente en apariencia, la que llevóa la catastrófica paradoja.

La paradoja de Russell se explica a menudo con el cuento del bibliotecario minucioso. Un día,deambulando entre las estanterías, el bibliotecario descubre una colección de catálogos. Haydiferentes catálogos para novelas, obras de consulta, poesía, y demás. Se da cuenta de que algunos delos catálogos se incluyen a sí mismos y otros, en cambio, no.

Con el objeto de simplificar el sistema, el bibliotecario elabora dos catálogos más; en uno de elloshace constar todos los catálogos que se incluyen a sí mismos y en el otro, más interesante aún, todosaquellos que no se catalogan a sí mismos. Al terminar la tarea se encuentra con un problema: elcatálogo que recoge la lista de todos los que no se incluyen a sí mismos ¿debe catalogarse a sí mismo?Si se incluye, por definición no debería estar incluido; en cambio, si no se incluye, debería incluirsepor definición. El bibliotecario se encuentra en una situación imposible.

Los catálogos se parecen mucho a los grupos o clases que Frege había utilizado para la definiciónfundamental de los números. Por lo tanto, la incongruencia que atormenta al bibliotecario causarátambién problemas en la estructura supuestamente lógica de las matemáticas. Las matemáticas nopueden tolerar inconsistencias, paradojas o contradicciones. El poderoso instrumento de la pruebapor contradicción, por ejemplo, se fundamenta en unas matemáticas libres de paradojas. La pruebapor contradicción establece que si una afirmación conduce al absurdo, entonces tiene que ser falsa; sinembargo, según Russell, incluso los axiomas pueden llevar al absurdo. Así que la prueba porcontradicción podría evidenciar que un axioma es falso y no obstante los axiomas son el fundamentode las matemáticas y se los reconoce como ciertos.

Hubo muchos intelectuales que cuestionaron el trabajo de Russell afirmando que las matemáticaseran obviamente una actividad exitosa y perfecta. Russell les respondió explicando el significado desu trabajo del modo que sigue:

«Pero —dirán ustedes— nada de esto hace tambalear mi creencia de que dos y dos son cuatro». Están del todoen lo cierto, excepto en casos extremos. Y es sólo en los casos extremos cuando ustedes dudan si cierto animales un perro o si cierta longitud es menor que un metro. El dos tiene que ser dos de algo, y el enunciado «dos ydos son cuatro» resulta inservible a menos que pueda ser aplicado. Dos perros más dos perros son, en efecto,cuatro perros, pero surgen casos en que ustedes dudan si dos de ellos son o no perros. «Bien, en cualquier casohay cuatro animales», dirán ustedes. Pero existen microorganismos que cabe dudar si son animales o plantas.

«Bien, son organismos vivos», afirman. Pero hay cosas que no sabemos si viven o no. Ustedes estarán abocadosa decir: «Dos entidades más dos entidades son cuatro entidades». Cuando me hayan explicado qué es lo queentienden por «entidad» reanudaremos la discusión.

El trabajo de Russell sacudió los cimientos de las matemáticas y arrastró el estudio de la lógicamatemática a una situación de caos. Los lógicos eran conscientes de que una paradoja que acechara lasbases de las matemáticas podría alzar tarde o temprano su ilógica cabeza y causar enormesproblemas. Junto a Hilbert y los otros lógicos, Russell emprendió la tarea de intentar remediar lasituación y restaurar la salud de las matemáticas.

La incongruencia aparecida era una consecuencia directa de trabajar con los axiomas matemáticos,que hasta aquel momento se habían asumido como evidentes por sí mismos y suficientes para definirel resto de las matemáticas. Una manera de abordar el problema era crear un axioma adicional queprohibiera a cualquier grupo ser miembro de sí mismo. Eso reduciría la paradoja de Russell yconvertiría en superflua la cuestión de si hay que introducir en el catálogo aquellos otros que no seincluyen a sí mismos.

Russell paso la década siguiente examinando los axiomas matemáticos, la esencia última de estamateria. Entonces en 1910, en colaboración con Alfred North Whitehead, publicó el primero de lostres volúmenes de la obra Principia Mathematica, un intento, en apariencia afortunado, de tratar dealguna manera el problema surgido de su propia paradoja. Durante las dos décadas siguientes, otrosutilizaron Principia Mathematica como guía para erigir un edificio matemático impecable y, cuandoHilbert se retiró en 1930, estaba bastante seguro de que las matemáticas estaban bien encaminadashacia su recuperación. Al parecer, su sueño de una lógica coherente lo bastante sólida como pararesponder a cualquier pregunta se hallaba en vías de tornarse en realidad.

Pero ocurrió que en 1931 un matemático desconocido de veinticinco años de edad hizo público unartículo que destruiría para siempre las esperanzas de Hilbert. Kurt Gödel iba a forzar a losmatemáticos a aceptar que las matemáticas nunca llegarían a alcanzar una lógica perfecta y sustrabajos llevaban implícita la idea de que problemas como el del último teorema de Fermat pudieranser imposibles de resolver.

Kurt Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Moravía, entonces parte del Imperio austro-húngaro yhoy dentro de la República Checa. Desde muy pequeño padeció graves enfermedades; la más seriafue un ataque de fiebre reumática a la edad de seis años. Este temprano roce con la muerte provocó enGödel una hipocondría obsesiva que perduró durante toda su vida. Tras leer un libro de medicina a laedad de ocho años, quedó convencido de que tenía un corazón débil, si bien los médicos que loatendieron no encontraron ninguna evidencia de ello. Más tarde, hacia el final de su vida, pensóequivocadamente que estaba siendo envenenado, por lo que renunció a comer y casi murió deinanición.

Cuando era niño, Gödel mostró talento para la ciencia y las matemáticas, y su naturalezainquisitiva hizo que su familia le pusiera el apodo de der Herr Warum (el Señor Porqué). Acudió a laUniversidad de Viena sin saber si especializarse en matemáticas o en física, pero una serie deconferencias, inspiradoras y apasionadas, del catedrático P. Furtwängler sobre la teoría de númerosconvenció a Gödel para dedicar su vida a las matemáticas. Las conferencias eran aún más increíbles sicabe porque Furtwängler padecía tetraplejía y hablaba desde una silla de ruedas, sin anotaciones,mientras su asistente apuntaba en la pizarra.

Gödel se había establecido en el departamento de matemáticas a sus tempranos veintitantos, peroa veces enfilaba junto a sus colegas el pasillo para asistir a encuentros del Wiener Kreis (Círculo deViena), un grupo de filósofos que se reunía para discutir las grandes cuestiones de lógica delmomento. Fue durante este periodo cuando Gödel desarrolló las ideas que arrasarían los cimientos delas matemáticas.

En 1931, Gödel publicó su libro Über formal unentscheidbare Sätze der «PrincipiaMathematica» und verwandter Systeme («Sobre proposiciones formalmente indecidibles de los“Principia Mathematica” y sistemas afines»), que contenía sus así llamados teoremas deindecidibilidad. Cuando las noticias de los teoremas llegaron a América, el gran matemático John vonNeumann canceló de inmediato una serie de conferencias que estaba celebrando en aquel momento yreemplazó lo que quedaba de ciclo por un debate sobre la revolucionaria obra de Gödel.

Gödel había demostrado que el intento de crear un sistema matemático completo y coherente eraun imposible. Sus ideas se pueden recoger en dos proposiciones.

Primer teorema de indecidibilidadSi el conjunto de axiomas de una teoría es coherente, existen teoremas que no se pueden niprobar ni refutar.

Segundo teorema de indecidibilidadNo existe ningún proceso constructivo capaz de demostrar que una teoría axiomática escoherente.

El primer enunciado de Gödel dice básicamente que, con independencia de la serie de axiomas que sevaya a utilizar, habrá cuestiones que las matemáticas no puedan resolver; la completitud no podráalcanzarse jamás. Peor aún, el segundo enunciado dice que los matemáticos jamás podían estarseguros de que los axiomas elegidos no los conducirán a ninguna contradicción; la coherencia no podrádemostrarse jamás. Gödel había probado que el programa de Hilbert era una tarea imposible.

Décadas más tarde, Bertrand Russell meditó en Portraits from Memory («Retratos de memoria»)sobre su reacción ante el descubrimiento de Gödel:

Yo ansiaba la certidumbre del mismo modo que la gente ansia la fe religiosa. Pensé que la certeza era más fácilde encontrar en matemáticas que en cualquier otra parte. Pero descubrí que muchas demostraciones matemáticasque mis profesores esperaban que yo aceptara estaban llenas de falacias y que, si la certidumbre se podía encontrarde verdad en las matemáticas, tendría que ser en un nuevo campo de las mismas con bases más sólidas que lasque se habían considerado seguras hasta entonces. Pero según avanzaba el trabajo recordaba sin cesar la fábula delelefante y la tortuga. Una vez construido un elefante sobre el que pudiera descansar el universo matemático, elanimal me pareció inseguro, así que procedí a crear una tortuga para evitar que el elefante cayera. Pero la tortugano era más segura que el elefante, y tras unos veinte años de arduo esfuerzo llegué a la conclusión de que nohabía nada más que yo pudiera hacer para crear un conocimiento matemático indubitable.

A pesar de que el segundo enunciado de Gödel decía que era imposible demostrar que los axiomasfueran coherentes, eso no implicaba que fueran incoherentes. Muchos matemáticos seguían creyendode corazón que las matemáticas permanecerían siendo coherentes, pero no podían demostrarlo con la

cabeza. Muchos años después, el gran teórico de números André Weil dijo: «Dios existe porque lasmatemáticas son coherentes y el diablo existe porque no podemos demostrarlo».

La demostración de los teoremas de indecidibilidad de Gödel es tremendamente complicada, y dehecho un enunciado más riguroso del primer teorema sería:

Para toda clase de fórmulas k recursivamente ω-consistentes, existe una clase correspondiente de signos r, tal queni v Gen r ni Neg (v Gen r) pertenecen a Flg(k) (donde v es la variable libre de r).

Por suerte, igual que con la paradoja de Russell y el caso del bibliotecario, el primer teorema de Gödelse puede ilustrar con otra analogía lógica que debemos a Epiménides y que se conoce como laparadoja cretense, o la paradoja del mentiroso. Epiménides fue un cretense que afirmó:

Soy un mentiroso.

La paradoja surge cuando intentamos determinar si esta proposición es verdadera o falsa. Primeroveamos qué ocurre si asumimos que la afirmación es verdadera. Si es una proposición cierta, implicaque Epiménides es un mentiroso, pero en principio aceptamos que hizo una afirmación cierta y portanto no puede ser un mentiroso. Estamos ante una incongruencia. Por otra parte, veamos qué ocurresi asumimos que el enunciado es falso. Si la proposición es falsa, entonces Epiménides no es unmentiroso, pero hemos aceptado que emitió un enunciado falso y por tanto sí que es un mentiroso.Encontramos otra incoherencia. En ambos casos, lo tomemos por falso o por cierto, terminamosdando con una incoherencia, y por tanto el enunciado no es ni verdadero ni falso.

Gödel dio una reinterpretación a la paradoja del mentiroso y le incorporó el concepto dedemostración. El resultado fue un enunciado como el que sigue:

Este enunciado no tiene demostración.

Si la proposición fuera falsa, entonces este enunciado se podría demostrar, pero eso sería contrario alenunciado. Así que la proposición debe ser cierta para eludir la contradicción. Sin embargo, aunque laproposición sea cierta no se puede demostrar porque este enunciado (que hemos considerado cierto)así lo dice.

Puesto que Gödel consiguió traducir la proposición de más arriba a una notación matemática, fuecapaz de demostrar que hay enunciados matemáticos ciertos que jamás podrán probarse como tales;son los denominados enunciados indecidibles. Este fue el golpe mortal para el programa de Hilbert.

En muchos sentidos, el trabajo de Gödel fue paralelo a descubrimientos similares que se estabanproduciendo en la física cuántica. Justo cuatro años antes de que Gödel publicara su obra acerca de laindecidibilidad, el físico alemán Werner Heisenberg dejó al descubierto el principio de incertidumbre.Así como había un límite básico para los teoremas que los matemáticos podrían probar, Heisenbergmostró que había un límite fundamental para las propiedades que los físicos podrían medir. Si, porejemplo, querían determinar la posición exacta de un objeto, podían hallar la velocidad de ese objetocon una precisión relativamente pobre. Esto se debe a que para establecer la posición de un objetohabría que iluminarlo con fotones de luz pero, para poder precisar con toda exactitud su localización,los fotones de luz tendrían que contar con una energía enorme. Y, a la vez, si se bombardeara el

objeto con fotones de alta energía, su velocidad se vería afectada y se tornaría intrínsecamenteincierta. De ahí que, en el intento de determinar la posición de un objeto, los físicos tengan querenunciar a cierta cantidad de información sobre la velocidad.

El principio de incertidumbre de Heisenberg sólo se percibe a escala atómica, cuando las medidasde alta precisión se vuelven cruciales. De modo que gran parte de la física pudo proseguirimpertérrita aunque los físicos cuánticos se ocuparan de cuestiones profundas acerca de los límitesdel conocimiento. Lo mismo ocurrió en el mundo de las matemáticas. Mientras los lógicos sehundieron en un debate altamente esotérico sobre la indecidibilidad, el resto de la comunidadmatemática continuó impasible. Aunque Gödel había probado que algunos enunciados no se podíandemostrar, existían otros muchos que sí podrían probarse, y el descubrimiento del matemático noinvalidó nada de lo que se había demostrado en el pasado. Además, muchos matemáticos creían quelas proposiciones indecidibles de Gödel sólo se encontrarían en las regiones más oscuras y recónditasde las matemáticas y por tanto nunca tropezarían con ellas. Después de todo, Gödel solo habíaafirmado que esos enunciados existían, pero en realidad nunca señaló ninguno.

Paul Cohen, un matemático de veintinueve años de la Universidad de Stanford, desarrolló unmétodo para determinar qué problema concreto es indecidible y cuál no lo es. El método sólofunciona en unos cuantos casos especiales. Sin embargo no fue él la primera persona en descubrircuestiones específicas que fueran de verdad indecidibles. Una vez realizado el descubrimiento, tomóun avión hacia Princeton, demostración en mano, para verificarla con el propio Gödel. Gödel, que enaquel momento estaba entrando en una fase paranoica de su vida, entreabrió la puerta, agarró lospapeles y la cerró de golpe con un portazo. Dos días después, Cohen recibió una invitación para ir atomar el té a casa de Gödel, un signo de que el maestro había concedido a la prueba el sello de suautoridad. Lo más sensacional de todo era que algunos de aquellos problemas indecidibles eran deimportancia capital para las matemáticas. Resultó irónico que Cohen demostrara la indecidibilidad deuna de las cuestiones que David Hilbert había incluido entre los veintitrés problemas másimportantes de las matemáticas, la hipótesis del continuo.

La obra de Gödel, reforzada por los enunciados indecidibles de Cohen, lanzó un mensajeinquietante a todos aquellos matemáticos, profesionales y aficionados, que aún persistían en elintento de demostrar el último teorema de Fermat: ¡quizá el último teorema de Fermat era indecidible!¿Y si Pierre de Fermat hubiera cometido un error al afirmar que había encontrado una demostración?En tal caso cabría la posibilidad de que el teorema fuera indecidible. Demostrar el último teorema deFermat podría ser algo más que difícil, podría ser imposible. Si fuera indecidible, los matemáticoshabrían pasado siglos buscando una prueba que no existe.

Curiosamente, si el último teorema de Fermat resultara ser indecidible, eso implicaría que tendríaque ser cierto. La razón es la siguiente. El teorema dice que no existen soluciones con númerosenteros para la ecuación

xⁿ + yⁿ = zⁿ si n es mayor que 2.

Si el ultimo teorema fuera en verdad falso, seria posible demostrarlo localizando una solución (uncontraejemplo). Y en tal caso el último teorema sería decidible. Ser falso resultaría incoherente con serindecidible. En cambio, si el último teorema fuera cierto, no tendría por qué existir un camino taninequívoco para demostrarlo o, lo que es lo mismo, podría ser indecidible. En conclusión, tal vez el

último teorema de Fermat fuera cierto pero quizá no hubiera ningún modo de demostrarlo.

La curiosidad compulsiva

El despreocupado apunte de Pierre de Fermat al margen de la Aritmética de Diofante había conducidoal enigma más enloquecedor de la historia. A pesar de tres centurias de sonados fracasos y a pesar dela insinuación de Gödel de que quizá perseguían una demostración inexistente, algunos matemáticoscontinuaban atraídos por el problema. El último teorema era una sirena matemática que seducía a losgenios con el único propósito de defraudarlos. Los matemáticos que se aventuraron con el últimoteorema de Fermat corrieron el riesgo de malgastar su carrera, pero quienquiera que lograra el triunfopasaría a la historia como la persona que resolvió el problema más difícil del mundo.

Generaciones de matemáticos vivieron obsesionados con el último teorema de Fermat por dosmotivos. En primer lugar estaba la perversa idea de quedar por encima de los demás. El últimoteorema era el reto definitivo y quien consiguiera demostrarlo triunfaría allí donde Cauchy, Euler,Kummer y otros muchos habían fracasado. Así como el propio Fermat encontró gran placer enresolver problemas que desconcertaran a sus contemporáneos, quien lograra demostrar el últimoteorema gozaría del hecho de haber resuelto un problema que ha confundido a toda la comunidad dematemáticos durante cientos de años. En segundo lugar, quien respondiera al desafío de Fermatdisfrutaría de la inocente satisfacción de aclarar un enigma. El deleite que produce la resolución decuestiones esotéricas de la teoría de números no se diferencia tanto del simple gusto de abordar losacertijos triviales de Sam Loyd. Un matemático me dijo en cierta ocasión que el placer que sentía aldar solución a los problemas matemáticos se parece al que experimentan los incondicionales de loscrucigramas. Rellenar la última casilla de un crucigrama difícil es siempre una experiencia satisfactoria.Podemos imaginar la sensación de éxito después de haber dedicado años a un rompecabezas que nadiemás en todo el mundo ha sido capaz de resolver y dar al fin con la solución.

Éstas son las mismas razones por las que Andrew Wiles quedó fascinado con Fermat: «Si hayalgo que adoran los matemáticos puros son los desafíos. Aman los problemas sin resolver. Cuandonos ponemos a hacer matemáticas aparece este noble sentimiento. Empiezas con un problema que tedesconcierta. No lo entiendes, es muy complicado, no tiene ni pies ni cabeza. Pero cuando al fin loresuelves sientes su increíble belleza, la elegancia con que todo encaja. Los más engañosos sonaquellos problemas que parecen sencillos y en cambio se vuelven intrincados en extremo. Fermat esel ejemplo más bello de este tipo de problemas. A primera vista parecía que debía de tener solucióny, por supuesto, lo hacía muy especial que Fermat afirmara disponer de una».

Las matemáticas se aplican a las ciencias y a la tecnología, pero no es eso lo que mueve a losmatemáticos. Los inspira el placer del hallazgo. G. H. Hardy intentó explicar y justificar su propiadedicación en un libro titulado Autojustificación de un matemático:

Sólo quiero decir que si un problema de ajedrez es, en el sentido más crudo, «inútil» , la misma verdad sirvepara la mayoría de las mejores matemáticas… Jamás he hecho algo «útil» . Ninguno de mis descubrimientos hacontribuido o tiene posibilidades de ayudar en lo más mínimo, directa o indirectamente, en beneficio de sanos oenfermos, a amenizar el mundo. Considerado desde cualquier punto de vista práctico, el valor de mi vidamatemática es nulo. Y fuera de las matemáticas es trivial de todos modos. Sólo tengo una oportunidad para

escapar del veredicto de la trivialidad más absoluta, que se juzgue que he creado algo digno de ser creado. Y elhecho de que he creado algo es innegable: la cuestión radica en su valor.

El anhelo por una solución para cualquier problema matemático viene provocado en gran medida porla curiosidad, y el premio consiste en la satisfacción simple pero enorme que se deriva de resolver unenigma. El matemático E. C. Titchmarsch dijo una vez «Puede que no tenga ninguna utilidad prácticasaber que π es un número irracional, pero si tenemos capacidad para saberlo sin duda sería intolerableque no lo supiéramos».

En el caso del último teorema de Fermat no había falta de curiosidad. La obra de Gödel sobre laindecidibilidad había introducido un elemento de duda en cuanto a si el problema tenía o no solución,pero eso no era suficiente para desanimar a los verdaderos seguidores de Fermat. Más desesperanteaún fue el hecho de que, hacia los años treinta, los matemáticos hubieran agotado todas las técnicas ytuvieran poco más a su disposición. Lo que necesitaban era una herramienta nueva, algo que levantarala moral matemática. La segunda guerra mundial iba a proporcionar justo lo que se requería: el mayorsalto en potencia de cómputo desde la invención de la regla de cálculo.

El recurso a la fuerza bruta

Cuando G. H. Hardy declaró en 1940 que las mejores matemáticas son en buena medida inútiles, seapresuró a añadir que eso no tenía por qué ser negativo: «Las verdaderas matemáticas no repercutenen la guerra. Nadie ha descubierto aún ninguna aplicación bélica de la teoría de números». Pronto sedemostraría que Hardy estaba equivocado.

En 1944, John von Neumann participó en la redacción del libro The Theory of Games andEconomíc Behavior («Teoría de juegos y comportamiento económico»), en el que acuñó el términode teoría de juegos. La teoría de juegos era un intento de Von Neumann de utilizar las matemáticaspara describir la estructura de los juegos y el modo en que los lleva a cabo el ser humano. Empezóestudiando el ajedrez y el póquer, y luego continuó intentando crear modelos de juegos mássofisticados, como la economía. Tras la segunda guerra mundial, la RAND Corporation se dio cuentadel potencial de las ideas de Von Neumann y lo contrató para trabajar en el desarrollo de estrategiasdurante la guerra fría. Desde entonces, la teoría matemática de juegos se convirtió en un útil esencialpara que los generales pusieran a prueba las estrategias militares tratando las batallas como si fuerancomplejas jugadas de ajedrez. La historia del trielo ilustra con sencillez la aplicación de la teoría dejuegos a las batallas.

Un «trielo» es similar a un duelo, con la diferencia de que hay tres participantes en lugar de dos.Una mañana, el señor Negro, el señor Gris y el señor Blanco deciden acabar con un conflictoparticipando en un «trielo» con pistolas hasta que sólo quede uno de ellos. El señor Negro es el peortirador porque su promedio de acierto es de uno de cada tres disparos. El señor Gris es algo máscertero porque su media está en dos aciertos de cada tres intentos. El señor Blanco es el mejor,siempre hace diana. Para hacer el «trielo» más justo conceden al señor Negro que dispare el primero,luego podrá tirar el señor Gris (si es que aún está vivo) y detrás de él el señor Blanco (en caso deseguir con vida), y vuelta a empezar hasta que sólo quede uno de ellos. La duda es: ¿hacia dónde

debería dirigir el señor Negro su primer tiro? Quizá quiera usted hacer alguna conjetura en base a suintuición o, mejor aún, basándose en la teoría de juegos. La respuesta se comenta en el apéndice 9.

Las matemáticas de descifrado de códigos son aún más influyentes que la teoría de juegos entiempos de guerra. Durante la segunda guerra mundial, los aliados se dieron cuenta de que la lógicamatemática podía utilizarse para descifrar mensajes alemanes tan sólo con realizar los cálculos con larapidez suficiente. El reto consistía en encontrar un modo de automatizar las matemáticas de maneraque una máquina pudiera realizar los cálculos. El inglés que más contribuyó a este esfuerzo dedescifrar códigos fue Alan Turing.

Turing regreso a Cambridge en 1938, después de cumplir sus obligaciones en la Universidad dePrinceton. Había sido testigo directo dé la confusión causada por los teoremas de indecidibilidad deGödel y se había visto envuelto en el intento de levantar las piezas que quedaban del sueño deHilbert. En particular quería saber si existía un camino para determinar qué problemas eran o noindecidibles, e intentó desarrollar un sistema metódico para responder a esta cuestión. En aquelmomento, las máquinas calculadoras eran primitivas y en realidad inútiles si había que enfrentarse amatemáticas serias. Así que Turing basó sus ideas en el concepto de una máquina imaginaria capaz deejecutar infinidad de cálculos. Aquella hipotética máquina, que consumía cantidades infinitas de rollosde papel y que podría computar por toda la eternidad, era todo lo que necesitaba para indagar en lascuestiones abstractas de la lógica. Lo que Turing ignoraba era que su imaginada mecanización dehipotéticos problemas llevaría con el tiempo a un invento decisivo para realizar cálculos reales conmáquinas reales.

A pesar del estallido de la guerra, Turing continuó con su investigación como miembro del King’sCollege, hasta que en 1940 su vida placentera como profesor de Cambridge acabó de pronto. Fuereclutado por la Escuela Gubernamental de Código y Cifrado, cuya labor consistía en decodificar losmensajes codificados por el enemigo. Antes de la guerra, los alemanes habían dedicado muchosesfuerzos a desarrollar un sistema de cifrado avanzado y ése era un asunto muy preocupante para lainteligencia británica, la cual, en el pasado, había sido capaz de descifrar las comunicaciones de susenemigos con relativa facilidad. La historia de guerra oficial Inteligencia británica durante la segundaguerra mundial que editó la HMSO[2] describe la situación en los años treinta:

Hacia 1937 era bien sabido que, a diferencia de sus homólogos japoneses e italianos, el ejército alemán, lamarina alemana y probablemente también la fuerza aérea, así como otras organizaciones del Estado como losferrocarriles o las SS, utilizaban diferentes versiones de un mismo sistema de cifrado para todas lascomunicaciones, salvo para las tácticas: la máquina Enigma, que había salido al mercado en los años veinte peroque los alemanes habían hecho más segura mediante sucesivas modificaciones. En 1937, la EscuelaGubernamental de Código y Cifrado logró descifrar, de esta máquina, la versión menos modificada y segura queestaban usando las fuerzas alemanas e italianas y el bando nacionalista español. Pero, aparte de esto, la Enigmaresistía el ataque y parecía probable que continuara haciéndolo.

La máquina Enigma consistía en un teclado conectado a una unidad codificadora. La unidadcodificadora contenía tres ruedas giratorias independientes, y la posición de las ruedas determinaba elcifrado de cada letra del teclado. Lo que hacía el código Enigma tan difícil de descifrar era la inmensacantidad de maneras en que era posible inicializar el dispositivo. En primer lugar, las tres ruedasgiratorias de la máquina eran elegidas de entre un conjunto de cinco, y podían sustituirse e

intercambiarse para confundir a los interceptores de códigos. En segundo lugar, cada rueda disponíade veintiséis posiciones distintas. Esto quiere decir que los modos de inicialización de la máquinaeran más de un millón. Además de las permutaciones proporcionadas por las ruedas, las conexionesde un panel de clavijas en la parte posterior de la máquina podían alterarse a mano con el resultadofinal de más de ciento cincuenta millones de millones de millones de inicializaciones diferentes. Paraincrementar aún más la seguridad, las ruedas cambiaban continuamente de posición durante lacodificación del mensaje, de manera que cada vez que se transmitía una letra se hacía con unainicialización distinta de la máquina y, por tanto, con un cifrado diferente. Así, la palabra original«DODO» podía generar el mensaje «FTGB», en el que las letras «D» y «O» se han enviado dosveces, pero en cada ocasión se han codificado de modos distintos.

Las máquinas Enigma se incorporaron al ejército alemán, a la marina y a las fuerzas aéreas y seutilizaron incluso en el sistema ferroviario y en otros departamentos gubernamentales. Igual queocurría con todos los sistemas de cifrado que hubo en este periodo, una debilidad de la Enigma eraque el receptor necesitaba conocer el ajuste del emisor. Para mantener la seguridad había quemodificar esa inicialización de la Enigma a diario. Una de las maneras en que los emisores cambiabancon regularidad las posiciones y mantenían informados a los destinatarios consistía en publicar loscambios diarios en un libro secreto de códigos. El riesgo de este sistema radicaba en que los británicospodían capturar un submarino alemán y obtener el libro de códigos con los ajustes diarios de laEnigma para el mes siguiente. Un método alternativo, utilizado durante la mayor parte de la guerra,consistía en transmitir las posiciones diarias como preámbulo al mensaje real, codificadas según lasposiciones del día anterior.

Cuando estalló la guerra, la Escuela Británica de Cifrado estaba dirigida por clasicistas ylingüistas. El Ministerio de Asuntos Exteriores cayó pronto en la cuenta de que los teóricos denúmeros tenían mayores posibilidades de dar con la clave para interceptar los códigos alemanes y,para empezar, convocó a nueve de los teóricos de números británicos más brillantes en el nuevodomicilio de la Escuela de Cifrado en Bletchley Park, una mansión victoriana ubicada en Bletchley, enel condado de Buckingham. Turing se vio obligado a abandonar sus hipotéticas máquinas con cintasde papel infinitas y tiempo de procesado ilimitado y contentarse con un problema práctico derecursos finitos y un plazo de tiempo muy concreto.

La criptografía es una batalla intelectual entre quien elabora el código y quien lo intercepta. Eldesafío para el primero consiste en mezclar y cifrar un mensaje hasta el punto en que seaindescifrable si lo intercepta el enemigo. Sin embargo, la cantidad de manipulaciones matemáticasposibles está limitada por la necesidad de emitir mensajes eficaces en poco tiempo. La fuerza de loscódigos Enigma alemanes radicaba en que los mensajes cifrados se sometían a varios niveles decriptografía a gran velocidad. El reto para quien interceptaba el mensaje consistía en descifrar elcódigo a partir de un mensaje capturado antes de que su contenido dejara de ser relevante. Unmensaje alemán que ordenara destruir un buque británico debía ser decodificado antes de que el barcoestuviera hundido.

Turing dirigió un equipo de matemáticos dedicado a construir una reproducción exacta de lamáquina Enigma. Turing incorporó sus ideas abstractas de antes de la guerra a estos mecanismos, queen teoría podrían revisar de forma sistemática todas las inicializaciones posibles de las máquinasEnigma hasta dar con el código. Las máquinas británicas, de más de dos metros de alto y tanto de

ancho, empleaban relés electromecánicos para revisar todas las inicializaciones potenciales de laEnigma. Los tics constantes de los relés hicieron que se apodara a estas máquinas como bombas. Apesar de su velocidad era imposible que las «bombas» revisaran los ciento cincuenta millones demillones de millones de inicializaciones posibles de la Enigma en un tiempo razonable, así que elequipo de Turing tenía que encontrar el camino para reducir de modo significativo el número depermutaciones a base de rebuscar cualquier información en los mensajes enviados.

Uno de los grandes descubrimientos que hicieron los británicos fue que la máquina Enigma nopodía cifrar una letra como ella misma, o sea, si el emisor tecleaba «R» la máquina tenía capacidadpara enviar cualquier letra, según los ajustes de la máquina, excepto la letra «R». Este hecho enapariencia intrascendente era todo lo necesario para reducir de forma drástica el tiempo requeridopara descifrar un mensaje. Los alemanes contraatacaron acotando la extensión de los mensajes queenviaban. Es inevitable que todo mensaje aporte pistas al bando que lo intercepta, y cuanto más largoes el envío más pistas contiene. Limitando todos los mensajes a un máximo de 250 letras, losalemanes esperaban contrarrestar la incapacidad de la máquina Enigma para codificar una letraconcreta como ella misma.

Para descifrar los códigos, Turing utilizó a menudo la especulación sobre palabras clave dentro delos mensajes. Si acertaba, aceleraría muchísimo la decodificación del resto del envío. Si, por ejemplo,sospechaban que un mensaje contenía una previsión meteorológica, una información cifradafrecuente, entonces suponían que el mensaje contendría palabras como «niebla» o «velocidad delviento». Si estaban en lo cierto podían descifrar rápidamente ese mensaje y deducir a partir de él lasposiciones de la Enigma para aquel día. Durante el resto de la jornada podían descifrarse otrosmensajes, algunos de mayor trascendencia, con toda facilidad.

Cuando erraban en la estimación de palabras del campo semántico de la meteorología, losbritánicos intentaban ponerse en el lugar de los operarios alemanes de la Enigma para conjeturar otraspalabras clave. Podía ocurrir que un operario poco sistemático se dirigiera al destinatario por sunombre de pila, o podía darse el caso de que revelara hábitos conocidos por quienes interceptaban elenvío. Cuando todo eso fallaba y los mensajes alemanes circulaban a sus anchas sin el control de losbritánicos, se cuenta que la Escuela Británica de Cifrado recurría incluso a pedir a la RAF[3] queminara un puerto alemán concreto. El capitán del puerto enviaría de inmediato un mensaje cifrado quesería interceptado por los británicos. Éstos podían estar seguros de que el mensaje contendríapalabras como «mina», «esquivar» y «referencia en el mapa». Una vez descifrado el mensaje, Turingestaría en posesión del ajuste de la Enigma para aquel día y el resto del tráfico alemán sería vulnerableal descifrado inmediato.

El 1 de febrero de 1942, los alemanes añadieron una cuarta rueda a las máquinas Enigma para losenvíos de una importancia particular. Se trataba del mayor grado de sofisticación en la criptografíadurante la guerra, pero con el tiempo el equipo de Turing consiguió aumentar la eficacia de las«bombas». Gracias a la Escuela de Cifrado, los aliados supieron más acerca de sus enemigos de lo quelos alemanes jamás pudieron imaginar. La repercusión de los submarinos alemanes en el Atlántico seredujo en gran medida y los británicos contribuyeron a prevenir ataques aéreos de la aviaciónalemana. Interceptaron y descifraron también la posición exacta de los buques alemanes deaprovisionamiento, con lo que favorecieron el envío de los destructores británicos para hundirlos.

Las fuerzas aliadas debían cuidarse en todo momento de que sus acciones evasivas y sus ataques

por sorpresa delataran su habilidad para descifrar las comunicaciones alemanas. Si los alemanessospechaban que la Enigma había sido burlada, aumentarían la dificultad de los criptogramas y podíaocurrir que los británicos tuvieran que empezar desde cero. De ahí que hubiera ocasiones en que laescuela de Cifrado informaba a los aliados de algún ataque inminente y que éstos decidieran no tomarmedidas extremas. Hay incluso rumores de que Churchill sabía que Coventry iba a ser el objetivo deun bombardeo devastador y, a pesar de ello, prefirió no adoptar ninguna precaución especial paraevitar que los alemanes abrigaran sospechas. Stuart Milner-Barry, que trabajó con Turing, desmienteel rumor y asegura que el trascendental mensaje concerniente a Coventry no pudo descifrarse hastaque ya fue demasiado tarde.

El uso restringido de la información decodificada funcionó a la perfección. Aun cuando losbritánicos utilizaron las comunicaciones interceptadas para causar pérdidas cuantiosas, los alemanesno sospecharon que el código de la Enigma había sido burlado. Creían que el nivel de su criptografíaera tan elevado que resultaba imposible dar con los códigos, y atribuyeron cualquier pérdidaexcepcional a infiltraciones del servicio secreto británico en sus propias filas.

Debido a la confidencialidad que rodeó la labor que Turing y su equipo llevaron a cabo enBletchley, su inmensa aportación en la guerra no pudo ser reconocida públicamente hasta quetranscurrieron muchos años. Solía decirse que la primera guerra mundial fue la guerra de los químicosy que la segunda guerra mundial fue la de los físicos. En realidad, según una información revelada endécadas recientes, puede que sea cierto que la segunda guerra mundial fue también la guerra de losmatemáticos, y que en caso de una tercera guerra mundial su contribución sería incluso más decisiva.

A lo largo de toda su carrera como interceptor de códigos enemigos, Turing nunca perdió de vistasus metas matemáticas. Las máquinas hipotéticas habían sido sustituidas por otras reales, pero lacuestión esotérica perduraba. Hacia el final de la guerra, Turing había colaborado en la construcciónde Colossus, una máquina completamente electrónica con 1500 válvulas, mucho más veloces que losrelés electromecánicos utilizados para las «bombas». Colossus era un ordenador en el sentidomoderno de la palabra, y con su velocidad y sofisticación Turing comenzó a considerarlo como si setratara de un cerebro primitivo; disponía de memoria, podía procesar información y los estados delordenador eran parecidos a los estados de ánimo. Turing había transformado su máquina imaginariaen el primer ordenador de verdad.

Cuando concluyó la guerra, Turing continuó elaborando maquinas cada vez más complicadas,tales como la máquina computadora automática (ACE[4]). En 1948 se trasladó a la Universidad deManchester y allí creó el primer ordenador del mundo que dispuso de un programa almacenadoelectrónicamente. Turing había dotado a Gran Bretaña de los ordenadores más avanzados del mundo,pero no viviría lo suficiente para ver sus mayores posibilidades.

Durante los años que siguieron a la guerra, Turing estuvo bajo vigilancia de la inteligenciabritánica, la cual estaba enterada de que Turing era homosexual. Los inquietaba que el hombre quesabía más que nadie sobre los códigos de seguridad británicos fuera vulnerable al chantaje ydecidieron controlar todos sus movimientos. Hacía tiempo que Turing se había conformado con quelo siguieran a todas horas, pero en 1952 fue arrestado por infringir los estatutos británicos dehomosexualidad. Esta humillación hizo insoportable la existencia para Turing. Andrew Hodges, subiógrafo, describe los acontecimientos que llevaron hasta su muerte:

La muerte de Turing asombró a todos los que lo conocían… Que era una persona desdichada, nerviosa; queestaba visitando a un siquiatra y que había sufrido un golpe que habría hundido a cualquiera, todo eso eraevidente. Pero el juicio había sido dos años antes, el tratamiento hormonal había concluido hacía un año y élparecía haberlo superado todo.

La pesquisa judicial del 10 de junio de 1954 dictaminó suicidio. Lo habían encontrado desnudo sobre sucama. Tenía espumarajos alrededor de la boca y el patólogo que realizó el post mortem identificó fácilmente lacausa de la muerte como un envenenamiento por cianuro… En la casa había un frasco de cianuro potásico y otrofrasco con una disolución de cianuro. Junto a la cama hallaron media manzana con varios mordiscos. Noanalizaron la manzana y jamás se probó debidamente que, como todo indicaba con claridad, la manzana habíasido bañada en el cianuro.

El legado de Turing consistió en una máquina capaz de ejecutar cálculos de una extensiónimpracticable para los humanos y de finalizarlos en cuestión de horas. Los ordenadores de hoyejecutan más cálculos en un instante que los que realizó Fermat a lo largo de toda su vida. Losmatemáticos que aún seguían debatiéndose con el último teorema de Fermat comenzaron a utilizarordenadores para abordar el problema, basándose en una versión computarizada del enfoque deKummer en el siglo XIX.

Tras encontrar una fisura en la labor de Cauchy y Lame, Kummer señaló que el problemapendiente en la demostración del último teorema de Fermat radicaba en los casos en que n equivale anúmeros primos irregulares; para los valores de n inferiores a 100, los únicos primos irregulares son37, 59 y 67. Al mismo tiempo, Kummer mostró que en teoría todos los primos irregulares podíantratarse uno a uno y que el único problema consistía en que cada número requiere una cantidadingente de cálculo. Para apoyar su opinión, Kummer y su colega Dimitri Mirimanoff dedicaron lassemanas de cálculo necesarias para resolver los tres primos irregulares inferiores a 100. Sin embargo,ni ellos ni otros matemáticos estaban preparados para comenzar con el lote siguiente de primosirregulares entre 100 y 1000.

Unas cuantas décadas más tarde, los problemas de cálculos inmensos empezaron a desvanecerse.Con la llegada del ordenador, los casos difíciles del último teorema de Fermat podían ser despachadoscon rapidez y, tras la segunda guerra mundial, equipos de informáticos y de matemáticosdemostraron el último teorema de Fermat para todos los valores de n hasta 500, luego hasta 1000 ypor fin hasta 10 000. En los años ochenta, Samuel S. Wagstaff, de la Universidad de Illinois, elevó ellímite a 25 000, y más recientemente los matemáticos pudieron afirmar que el último teorema deFermat era cierto para todos los valores de n inferiores a cuatro millones.

Si bien los profanos de la materia sentían que la tecnología moderna estaba por fin superando alúltimo teorema de Fermat, la comunidad matemática estaba inquieta por la posibilidad de que su éxitofuera pura fachada. Aun cuando los superordenadores dedicaran décadas a demostrar un valor trasotro de n, jamás llegarían a probar cada valor de n hasta abarcar el infinito, y por tanto nunca podríanafirmar haber demostrado por completo el teorema. Aun cuando el teorema fuera demostrado ciertohasta el valor de mil millones, no habría ninguna razón para que también lo fuera con el valor de milmillones más uno. Si el teorema fuera demostrado hasta un billón, no habría ninguna razón para quetuviera que ser cierto para un billón más uno, y así hasta el infinito. La infinidad es inaccesible a lamera fuerza bruta de los números computarizados.

David Lodge, en su libro The Picturegoers («Asiduos al cine»), hace una bonita descripción de laeternidad que también es aplicable al concepto de infinito: «Imagine una bola de acero tan grande

como el mundo, y una mosca posándose sobre ella una vez cada millón de años. Cuando la bola deacero esté desgastada por el roce, la eternidad aún no habrá comenzado».

Todo lo que los ordenadores podían ofrecer eran evidencias a favor del último teorema de Fermat.Para el observador casual, la evidencia podría parecer abrumadora, pero no existe cantidad alguna deevidencia suficiente para complacer a los matemáticos, una comunidad de escépticos que no aceptamás que las demostraciones absolutas. Extrapolar una teoría para una cantidad infinita de númerosbasándose en la evidencia de sólo unos cuantos es una apuesta arriesgada (e inaceptable). Una serieconcreta de números primos muestra que la extrapolación es un bastón en el que es peligrosoapoyarse. En el siglo XVII, los matemáticos vieron, mediante una examinación minuciosa, que losnúmeros siguientes son todos primos:

31; 331; 3 331; 33 331; 333 331; 3 333 331; 33 333 331.

Los números que los siguen en la secuencia se vuelven gigantescos según se avanza y comprobar sison también primos habría supuesto un esfuerzo considerable. En aquella época, algunosmatemáticos estuvieron tentados de extrapolar a partir del modelo que hay hasta aquí, y asumir quetodos los números que presentan esta forma son primos. En cambio, el siguiente número en seguir lanorma, 333 333 331, resultó no ser primo:

333 333 331 = 17 × 19 607 843.

Otro buen ejemplo que ilustra por qué los matemáticos evitan que los seduzca la evidencia de losordenadores es el caso de la conjetura de Euler. Euler afirmó que no había soluciones para unaecuación no muy diferente de la ecuación de Fermat:

x4 + y4 + z4 = w4.

Durante doscientos años no hubo nadie capaz de probar la conjetura de Euler, pero, por otra parte,nadie consiguió refutarla dando con un contraejemplo. Primero, las indagaciones a mano y, luego,años de criba por ordenador fracasaron en la búsqueda de una solución. La falta de un contraejemploconstituía una evidencia a favor de la conjetura. Pero en 1988 Noam Elkies, de la UniversidadHarvard, halló la siguiente solución:

2 682 4404 + 15 365 6394 + 187 6904 = 20 615 6734.

A pesar de todas las evidencias la conjetura de Euler resultó ser falsa. De hecho, Elkies probó quehabía infinidad de soluciones más a la ecuación. La moraleja es que no se puede echar mano de laevidencia a partir del primer millón de números para demostrar una conjetura que los abarca a todos.

Pero la engañosa naturaleza de la conjetura de Euler no es nada comparada con la conjetura deprimos sobreestimados. Pasando a través de regímenes de números más y más elevados, se hacepatente que los números primos se vuelven cada vez más y más difíciles de encontrar. Por ejemplo,entre el 0 y el 100 hay veinticinco números primos, pero entre 10 000 000 y 10 000 100 sólo seregistran dos números primos. En 1791, cuando tenía justo catorce años, Carl Gauss predijo el modoaproximado en que menguaría la frecuencia de los primos entre el resto de los otros números. La

fórmula era razonablemente exacta, pero siempre parecía sobreestimar un poco la verdadera cantidadde números primos. Haciendo comprobaciones hasta un millón, mil millones o un billón, siempreocurría que la fórmula de Gauss daba un resultado algo excesivo, y los matemáticos sentían la fuertetentación de creer que pasaría lo mismo en toda la serie de números hasta el infinito. Así nació laconjetura de primos sobreestimados.

Pero en 1914 J. E. Littlewood, un colaborador de G. H. Hardy en Cambridge, demostró que enregímenes de números lo bastante grandes la fórmula de Gauss infravaloraba la cantidad de primos.S. Skewes calculó en 1955 que la infravaloración empezaría a ocurrir algo antes de alcanzar el número

101010 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Este número representa una cantidad más allá de todo lo imaginable y más allá de cualquier usopráctico. Hardy llamó al número de Skewes «el mayor número que jamás se haya usado enmatemáticas para algún fin concreto». Calculó que si se jugara al ajedrez con todas las partículaselementales del universo (1087) y cada movimiento consistiera en el simple intercambio de posiciónde dos partículas, entonces la cantidad posible de partidas diferentes equivaldría aproximadamente alnúmero de Skewes.

No había razón alguna para que el último teorema de Fermat no resultara ser tan cruel y engañosocomo la conjetura de Euler o la conjetura de los primos sobreestimados.

El licenciado

Andrew Wiles comenzó sus estudios de doctorado en la Universidad de Cambridge en 1975. Dedicólos tres años siguientes a su tesis doctoral, lo que constituyo su etapa formativa como aprendiz dematemático. Cada estudiante disponía de un director de tesis como guía y consejero, y en el caso deWiles este papel correspondió al australiano John Coates, un catedrático del Emmanuel Collegeprocedente de Possum Brush, Nueva Gales del Sur.

Coates aún recuerda cómo aceptó ser el director de Wiles: «Recuerdo que un colega me dijo quetenía a un estudiante muy bueno a punto de terminar la tercera parte del tripos[5] en matemáticas, yme animó encarecidamente a aceptarlo como doctorando. Fui muy afortunado al tener a Andrewcomo estudiante. Tenía ideas muy profundas incluso cuando era estudiante de investigación, ysiempre estuvo claro que haría cosas grandes en matemáticas. Por supuesto, en aquella etapa no teníasentido plantear el trabajo sobre el último teorema de Fermat directamente a un doctorando. Setrataba de algo demasiado difícil incluso para un matemático experimentado».

Todo lo que Wiles había hecho en la década anterior estaba orientado a prepararse para afrontar eldesafío de Fermat, pero ahora que se había unido a las filas de los matemáticos profesionales sevolvió más pragmático. Recuerda cómo tuvo que aplazar su sueño por un tiempo: «Cuando llegué aCambridge realmente dejé a Fermat de lado. No es que me hubiera olvidado del tema, siempre lo tuvepresente, pero me di cuenta de que las únicas técnicas disponibles para abordarlo tenían unaantigüedad de unos 130 años. No parecía que estas técnicas fueran a la raíz del problema. Elinconveniente de trabajar en el teorema de Fermat era que podrían pasar años de trabajo sin llegar a

ningún sitio. Está bien trabajar en cualquier problema, incluso si no se llega a resolver al cabo del día,siempre y cuando ello genere matemáticas interesantes por el camino. La importancia de un problemamatemático yace más en las matemáticas que genera que en el problema en sí».

Era responsabilidad de John Coates el encontrarle a Andrew Wiles una nueva obsesión, algo queocupara sus investigaciones al menos durante los tres años siguientes. «Creo que todo lo que undirector de tesis puede hacer por su doctorando es tratar de encauzarlo hacia un camino fructífero.Desde luego, cuando se trata de una investigación es imposible estar seguro de si una orientación seráfructífera, pero tal vez lo que pueda aportar un viejo matemático sea su buen olfato, su intuiciónsobre cuál es una buena área, y entonces depende ya sólo del estudiante hasta dónde sea capaz dellegar». Al final, Coates decidió que Wiles debería dedicarse a una área de las matemáticas conocidacomo curvas elípticas. Esta decisión se mostró a la larga crucial en la carrera de Wiles y leproporcionó las técnicas que necesitaba para una aproximación novedosa al último teorema deFermat.

El nombre de «curvas elípticas» puede llamar a engaño, pues en realidad ni son elipses ni estáncurvadas en el sentido usual de la palabra. El término se aplica a cualquier ecuación de la forma

y2 = x3 + ax2 + bx + c, donde a, b y c son números enteros.

El nombre se debe a que en el pasado se utilizaban para medir el perímetro de las elipses y la longitudde las órbitas planetarias, pero por claridad me referiré a ellas simplemente como ecuaciones elípticasmás que como curvas elípticas.

El desafío de las ecuaciones elípticas, al igual que en el último teorema de Fermat, es descubrir sitienen soluciones con números enteros y, en tal caso, cuántas. Por ejemplo, la ecuación elíptica

y2 = x3 − 2, donde a = 0, b = 0, c = −2,

tiene una única solución con números enteros:

52 = 33 − 2; o sea, 25 = 27 − 2.

Demostrar que esta ecuación elíptica tiene sólo esta solución con números enteros es una tareaincreíblemente difícil, y de hecho fue Pierre de Fermat el que descubrió la prueba. El lector tal vezrecuerde que en el capítulo 2 se relató cómo demostró Fermat que el 26 es el único número en eluniverso que está emparedado entre un cuadrado y un cubo. Esto es equivalente a demostrar que laecuación elíptica anterior tiene solamente una solución, o sea, que 5² y 3³ son el único cuadrado y elúnico cubo que difieren en dos unidades, y por tanto 26 es el único número emparedado entre talesnúmeros.

Las ecuaciones elípticas son especialmente fascinantes porque ocupan un escalafón curioso entreotras ecuaciones más simples, casi triviales, y otras más complicadas que resultan imposibles deresolver. Con sólo cambiar los valores de a, b y c en la ecuación elíptica general, los matemáticosgeneran una variedad infinita de ecuaciones, cada una de ellas con sus características particulares,pero todas susceptibles de solución.

Las ecuaciones elípticas fueron estudiadas en un principio por los antiguos matemáticos griegos,

como Diofante, que dedicó buena parte de su Aritmética a investigar sus propiedades. Tal vezinspirado por Diofante, Fermat aceptó el reto de las ecuaciones elípticas y, como habían sido objetode estudio de su héroe, Wiles se alegró de profundizar en ellas. Incluso tras dos mil años, lasecuaciones elípticas seguían planteando dificultades enormes a los estudiantes como Wiles: «Distanmucho de haber sido comprendidas del todo. Podría formular multitud de preguntas sobre ecuacioneselípticas en apariencia simples, pero pendientes de resolver. Siguen sin respuesta incluso cuestionesque ya se planteó Fermat. En cierto sentido, todas las matemáticas que he producido siguen un rastroque conduce hasta Fermat, por no decir al último teorema de Fermat».

Encontrar la cantidad exacta de soluciones para las ecuaciones que Wiles estudiaba comodoctorando era una labor tan difícil que el único modo de progresar pasaba por simplificar elproblema. Por ejemplo, la siguiente ecuación elíptica es casi imposible de tratar de manera directa:

x3 − x2 = y2 + y.

La cuestión es hallar cuántas soluciones de números enteros tiene la ecuación planteada. Una soluciónbastante trivial es x = 0, y = 0

03 − 02 = 02 + 0.

Otra solución un poco más interesante es x = 1, y = 0:

13 − 12 = 02 + 0.

Puede haber otras soluciones entre la lista infinita de números enteros, pero dar la relación completade soluciones a esta ecuación es una tarea imposible. Resulta más sencillo buscar solucionescomprendidas en un espacio finito de números mediante la llamada aritmética de relojes.

Ya vimos antes que los números pueden imaginarse como marcas dispuestas a lo largo de unarecta que se extiende hasta el infinito, como se muestra en la figura 16. Para hacer finito el espacio denúmeros, la aritmética de relojes corta la recta en cierto punto y cierra sobre sí mismo el segmentoresultante para formar un anillo de números en vez de una línea. La figura 17 contiene un reloj decinco números en el que la recta se ha cortado por el 5 y se ha vuelto a cerrar sobre el 0. El número 5se anula y se hace equivalente al 0, por lo que los únicos números que quedan en la aritmética delreloj de cinco números son 0, 1, 2, 3 y 4.

Figura 16: La aritmética convencional puede describirse en términos de desplazamientos hacia la derecha ola izquierda a lo largo de la recta de los números.

En la aritmética normal, la adición puede entenderse como un desplazamiento a lo largo de larecta, siempre hacia la derecha, un cierto número de espacios. Por ejemplo, 4 + 2 = 6 es lo mismo quedecir: sitúate en el 4 y muévete a lo largo de la recta dos espacios hasta llegar al 6.

Sin embargo, en la aritmética del reloj de cinco números:

4 + 2 = 1.

Esto ocurre porque si empezamos en el 4 y avanzamos dos espacios en la esfera del reloj acabamosllegando al 1. La aritmética de relojes puede parecer poco familiar, pero de hecho, tal y como sugieresu nombre, la usamos a diario al hablar de la hora. Cuatro horas después de las 11 en punto (o sea, 11+ 4) no solemos decir que son las 15 en punto, sino más bien las 3 en punto: esto es aritmética delreloj de doce números.

Figura 17: En la aritmética del reloj de cinco números la línea se corta por el número 5 y el segmentoresultante se cierra sobre sí mismo. El número 5 coincide con el 0 y por tanto se sustituye por éste.

Al igual que la adición, la aritmética de relojes admite la representación de otras operacionesmatemáticas usuales, como la multiplicación. En la aritmética del reloj de 12 números, 5 × 7 = 11.Esta multiplicación se puede interpretar así: se parte del 0, nos movemos 5 grupos de 7 espacios, yal final se llega al 11. Aunque éste es un modo de entender la multiplicación en la aritmética derelojes, hay atajos lógicos que simplifican los cálculos. Por ejemplo, para calcular 5 × 7 en laaritmética del reloj de 12 números podemos empezar por calcular el resultado normal, que es 35.Dividimos luego 35 entre 12 y el resto de la división es la respuesta a la pregunta inicial. El 12 estácontenido en el 35 sólo dos veces, con un resto de 11, y con toda seguridad 5 × 7 en la aritmética delreloj de doce números es igual a 11. Todo esto es equivalente a imaginar que se avanza en la esfera delreloj dos vueltas completas y 11 espacios adicionales.

Como la aritmética de relojes trabaja en un espacio de números limitado es relativamente fácilhallar todas las soluciones posibles de una ecuación elíptica para la aritmética de un relojdeterminado. Por ejemplo, si se trabaja en el reloj de cinco números, es sencillo elaborar la relacióncompleta de soluciones de la ecuación

x3 − x2 = y2 + y.

Las soluciones son:

x = 0, y = 0,x = 0, y = 4,x = 1, y = 0,x = 1, y = 4,

Aunque algunas de estas soluciones no serían válidas en la aritmética normal, todas son aceptables enla aritmética del reloj de cinco números. Por ejemplo, la cuarta solución (x = 1, y = 4) funciona de estemodo:

x3 − x2 = y2 + y13 − 12 = 42 + 41 − 1 = 16 + 4

0 = 20.

Pero recordemos que el 20 equivale al 0 en esta aritmética, porque el resto que queda al dividir 20entre 5 es 0.

Como no es posible hallar la totalidad de soluciones para una ecuación elíptica si se trabaja en unespacio infinito, los matemáticos, como Wiles, se plantearon el cálculo de la cantidad de solucionesen cada aritmética de relojes posible. Para el ejemplo anterior de ecuación elíptica, el número desoluciones en el reloj de cinco números es cuatro, y los matemáticos lo representan como E5 = 4. Sepuede hallar el número de soluciones en otras aritméticas. Por ejemplo, en el reloj de siete números laecuación tiene nueve soluciones, de modo que E7 = 9.

Los matemáticos resumen los resultados en forma de lista, dando el número total de soluciones encada reloj, y llaman a esta lista la «serie L» de la ecuación elíptica. Ya nadie recuerda el porqué de esaletra L, aunque hay quien sugiere que procede del nombre de Gustav Lejeune-Dirichlet, que trabajócon ecuaciones elípticas. Por claridad, yo usaré el término «serie E»: la serie que procede de unaecuación elíptica. Para el ejemplo que estamos empleando la serie E es:

Ecuación elíptica: x3 − x2 = y2 + y.

Serie E: E1 = 1,

E2 = 4,

E3 = 4,

E4 = 8,

E5 = 4,

E6 = 16,

E7 = 9,

E8 = 16,

↓

Si no es posible saber cuántas soluciones tiene una ecuación elíptica dada en un espacio infinito denúmeros, disponer de su serie E parece la alternativa menos mala. De hecho, la serie E contiene unagran cantidad de información acerca de la ecuación elíptica de la que procede. Del mismo modo que en

biología el ADN contiene toda la información requerida para crear un organismo vivo, la serie Eresume la esencia de la ecuación elíptica. Se tenía la esperanza de que mediante el estudio de esteADN matemático, la serie E, fuera posible hallar a la larga todo lo que se deseara sobre una ecuaciónelíptica dada.

Trabajando junto a Coates, Wiles asentó pronto su reputación como un brillante teórico denúmeros con una comprensión profunda de las ecuaciones elípticas y sus serie E asociadas. Wiles nose daba cuenta de que cada nuevo resultado y cada artículo publicado en este campo le estabaproporcionando una experiencia que, bastantes años después, lo conduciría al umbral de lademostración del último teorema de Fermat.

Aunque nadie lo sabía por aquel entonces, los matemáticos del Japón de posguerra habíandesencadenado una sucesión de acontecimientos que ligaría de manera inseparable las ecuacioneselípticas al último teorema de Fermat. Al introducir a Wiles en el estudio de las ecuaciones elípticas,Coates le había proporcionado las herramientas que más tarde le iban a permitir modelar su sueño.

5. PRUEBA POR CONTRADICCIÓN

Las construcciones de los matemáticos, como las de los pintores o los poetas, deben ser bellas;las ideas, como los colores o las palabras, deben encajar con armonía. La belleza es el primerrequisito: no hay un lugar permanente en el mundo para las matemáticas feas.

G. H. Hardy

En enero de 1954, un brillante y joven matemático de la Universidad de Tokio fue a la biblioteca desu departamento. Goro Shimura buscaba una copia del volumen 24 de Matematische Annalen. Enparticular estaba buscando un artículo de Deuring sobre su teoría algebraica de la multiplicacióncompleja, que necesitaba como ayuda para un cálculo particularmente difícil y esotérico.

Para su sorpresa y consternación, alguien se había llevado ya el volumen. Quien lo había tomadoen préstamo era Yutaka Taniyama, un conocido lejano de Shimura que vivía al otro lado del campus.Shimura escribió a Taniyama explicando que necesitaba la revista con urgencia para completar elcomplejo cálculo y le preguntó educadamente cuándo la devolvería.

Pocos días más tarde apareció una carta en la mesa de Shimura. Taniyama había contestadodiciendo que también él estaba trabajando en aquel mismo cálculo y que estaba atascado en el mismopaso lógico. Sugirió que podían compartir sus ideas y tal vez colaborar en el problema. Este casualencuentro gracias a un libro de la biblioteca inició una colaboración que cambiaría el curso de lahistoria de las matemáticas.

Taniyama nació el 12 de noviembre de 1927 en una pequeña ciudad a unos pocos kilómetros alnorte de Tokio. La grafía japonesa usada para representar su nombre debería leerse «Toyo», pero lamayoría de las personas ajenas a su familia lo malinterpretaron como «Yutaka» y, al crecer,Taniyama asumió y adoptó ese apelativo. Durante su infancia la educación de Taniyama seinterrumpió constantemente. Padeció varias enfermedades y durante la pubertad sufrió un ataque detuberculosis y perdió dos años de instituto. El inicio de la guerra causó una interrupción aún mayoren su escolaridad.

Goro Shimura, un año más joven que Taniyama, también vio interrumpida su escolarizacióndurante los años de la guerra. Su escuela fue clausurada y, en lugar de asistir a clase, Shimura tuvo queayudar al esfuerzo bélico trabajando en una fábrica donde montaba piezas de aviones. Estudiaba cadatarde para corregir su falta de instrucción escolar y se sintió particularmente atraído por lasmatemáticas. «Por supuesto, hay muchas materias para aprender, pero las matemáticas eran las mássencillas porque podía limitarme a leer libros de texto de matemáticas. Aprendí cálculo leyendolibros. Si hubiera querido aprender química o física habría necesitado instrumental científico y yo notenía acceso a tales cosas. Nunca creí poseer talento. Sólo era curioso».

Unos pocos años después de la guerra, Shimura y Taniyama se encontraron en la universidad. Enla época en que se intercambiaron las cartas sobre el libro de la biblioteca, la vida en Tokio volvía a lanormalidad y los dos jóvenes universitarios podían permitirse uno o dos pequeños lujos. Pasaban lastardes en cafeterías, por las noches cenaban en un pequeño restaurante especializado en carne de

ballena y durante los fines de semana paseaban por los jardines botánicos o por el parque de laciudad. Todos eran lugares ideales para comentar sus más recientes pensamientos matemáticos.

Si bien Shimura tenía una vena fantasiosa, era mucho más conservador y convencional que sucompañero intelectual. Shimura se levantaba al alba y se ponía a trabajar de inmediato, mientras quesu colega a menudo estaba aún despierto tras haber trabajado durante toda la noche. Quienesvisitaban el apartamento de Taniyama a menudo lo encontraban dormido a media tarde.

Mientras que Shimura era puntilloso, Taniyama era descuidado hasta el punto de la vagancia.Sorprendentemente, éste era el aspecto que Shimura admiraba: «Tenía el don de cometer muchoserrores, casi siempre en la dirección correcta. Lo envidiaba por ello y traté en vano de imitarlo, perome resultó muy difícil cometer buenos errores».

Taniyama era el epítome del genio de mente ausente, y esto se reflejaba en su apariencia. Eraincapaz de hacer un nudo decente, y por ello decidió que en lugar de anudarse los cordones de suszapatos una docena de veces al día no los iba a anudar nunca. Siempre vestía el mismo traje verde tanpeculiar, con un extraño brillo metálico. El resto de su familia lo había rechazado porque estaba hechode una tela muy llamativa.

Cuando se encontraron en 1954, Taniyama y Shimura estaban empezando sus carreras enmatemáticas. La tradición era, y aún es, que los investigadores jóvenes se refugiaran bajo el ala dealgún profesor que los ayudara en el entrenamiento mental, pero Taniyama y Shimura rechazaronesta forma de aprendizaje. Durante la guerra, la investigación real se había detenido, e incluso en losaños cincuenta la Facultad de Matemáticas aún no se había recuperado. Según Shimura, losprofesores estaban «cansados, hastiados y desilusionados». En comparación, los estudiantes de laposguerra eran apasionados y estaban impacientes por aprender, y pronto se dieron cuenta de que elúnico modo de progreso era aprender por sí mismos. Los estudiantes organizaron seminariosregulares, dándolos por turno para informar al resto de las últimas técnicas y avances. A pesar de supereza habitual, Taniyama proporcionaba gran empuje cuando asistía a los seminarios. Animaba a losestudiantes mayores a explorar territorios desconocidos y actuaba como una figura paternal para losestudiantes más jóvenes.

Debido a su aislamiento, los seminarios trataban ocasionalmente temas que se considerabansuperados en Europa y América. La ingenuidad de los estudiantes significaba que estudiabanecuaciones que habían sido abandonadas en Occidente. Un tema particularmente pasado de moda quefascinó a Taniyama y Shimura fue el estudio de las formas modulares.

Las formas modulares son unos de los objetos más misteriosos y maravillosos de lasmatemáticas. Se hallan entre las entidades más esotéricas de las matemáticas y, aun así, el teórico delos números del siglo XX Martin Eichler las contó como una de las cinco operaciones fundamentales:suma, resta, multiplicación, división y formas modulares. La mayor parte de los matemáticos seconsideran maestros de las cuatro primeras operaciones, pero encuentran algo confusa la quinta.

La característica clave de las formas modulares es su desmedido grado de simetría. Aunque lamayor parte de la gente está familiarizada con el concepto común de simetría, ésta tiene unsignificado especial en matemáticas: un objeto tiene simetría si se puede transformar de un modoparticular y después de la transformación permanece inalterado. Para apreciar la inmensa simetría deuna forma modular conviene examinar primero la de un objeto más mundano, como un simplecuadrado.

En el caso de un cuadrado, una forma de simetría es la rotacional. Es decir, si imaginamos unpivote en el punto donde se cruzan los ejes x e y, entonces el cuadrado de la figura 18 se puede rotarun cuarto de vuelta y después parecerá que no se ha transformado. De forma similar, las rotacionesde media vuelta, tres cuartos de vuelta y una vuelta completa dejarán también aparentementeinalterado el cuadrado.

Figura 18: Un simple cuadrado exhibe tanto simetría rotacional como por reflexión.

Además de la simetría rotacional, el cuadrado también posee simetría por reflexión. Si imaginamosun espejo situado a lo largo del eje x, entonces la parte superior del cuadrado se reflejaría exactamentesobre la mitad inferior, y viceversa, de manera que tras la transformación el cuadrado parecería nohaber cambiado. De forma similar podemos definir otros tres espejos (a lo largo de las dos diagonalesy a lo largo del eje y) para los cuales el cuadrado reflejado parecería idéntico al original.

El simple cuadrado es bastante simétrico, ya que posee simetría rotacional y por reflexión, perono posee ninguna simetría translacional. Esto significa que si el cuadrado se desplazara en cualquierdirección, un observador podría detectar el movimiento inmediatamente porque su posición relativa alos ejes habría cambiado. Sin embargo, si todo el espacio estuviera recubierto por cuadrados, como semuestra en la figura 19, esta colección infinita de cuadrados tendría simetría translacional. Si lasuperficie infinitamente teselada se desplazara arriba o abajo por espacio de una o más teselas, eseteselado parecería idéntico al original.

Figura 19: Una superficie infinita recubierta de cuadrados exhibe simetría rotacional y por reflexión, yademás, tiene simetría translacional.

La simetría de las superficies teseladas es una idea bastante clara pero, como muchos otrosconceptos aparentemente simples, esconde varias sutilezas. Por ejemplo, en la década de los setentael físico y matemático recreativo británico Roger Penrose empezó a jugar con diferentes teselas sobrela misma superficie. Al fin identificó dos formas particularmente interesantes, llamadas la cometa y lapunta de flecha, que se muestran en la figura 20. Por separado, cada una de estas teselas no se puedeusar para recubrir una superficie sin dejar huecos o producir superposiciones, pero juntas se puedenemplear para crear un rico conjunto de modelos de teselación. Las cometas y puntas de flecha sepueden encajar unas en otras en un número infinito de formas y, aunque en apariencia cada modelo essimilar, en detalle todos ellos son distintos. En la figura 20 se muestra el modelo creado con cometasy puntas de flecha.

Figura 20: Usando dos teselas diferentes, la cometa y la punta de flecha, Roger Penrose pudo recubrir unasuperficie. Sin embargo, la teselación de Penrose no posee simetría translacional.

Otra característica singular de las teselaciones de Penrose (los recubrimientos generados porteselas tales como la cometa y la punta de flecha) es que su nivel de simetría es muy restringido. Aprimera vista parece que la teselación mostrada en la figura 20 posee simetría translacional, perocualquier intento de desplazar el teselado a lo largo de la superficie de modo que permanezcainalterado acaba en fracaso. Los recubrimientos de Penrose son decepcionantemente asimétricos ypor eso fascinan a los matemáticos y se han convertido en el punto de partida de un áreacompletamente nueva de las matemáticas.

Es curioso que los recubrimientos de Penrose también hayan tenido repercusiones en la ciencia delos materiales. Los cristalógrafos siempre habían creído que los cristales tenían que construirse segúnlos principios de la teselación cuadrada, que posee un alto nivel de simetría translacional. En teoría, laconstrucción de cristales se basaba en una estructura muy regular y repetitiva. Sin embargo, en 1984los científicos descubrieron un cristal metálico formado por aluminio y manganeso que estabaconstruido según los principios de Penrose. El mosaico de aluminio y manganeso se comporta comolas cometas y puntas de flecha, generando un cristal casi regular, pero no del todo. Una empresafrancesa ha desarrollado recientemente un cristal de Penrose como recubrimiento para sartenes.

Aunque lo fascinante de las teselaciones de Penrose se encuentra en su restringida simetría, lapropiedad más interesante de las formas modulares es que exhiben una simetría infinita. Las formasmodulares estudiadas por Shimura y Taniyama se pueden desplazar, invertir, intercambiar, reflejar yrotar en un número infinito de maneras y siempre permanecen inalteradas, lo que hace de ellas losobjetos matemáticos más simétricos. Cuando el erudito francés Henri Poincaré estudió las formasmodulares en el siglo XIX tuvo una gran dificultad para expresar su inmensa simetría. Tras trabajar enun tipo particular de forma modular, describió a sus colegas cómo cada día, durante dos semanas, sedespertaba y buscaba un error en sus cálculos. Al decimoquinto día llegó a la conclusión de que suscálculos eran correctos y aceptó que las formas modulares eran en efecto extremadamente simétricas.

Por desgracia, dibujar, o incluso imaginar, una forma modular es imposible, en el caso de un

cuadrado estamos en presencia de un objeto de dos dimensiones, con un espacio definido por los ejesx e y. Una forma modular también está definida por dos ejes, pero los dos son complejos; es decir,cada eje posee una parte real y otra imaginaria, y en realidad se compone de dos ejes. Por lo tanto, elprimer eje complejo se debe representar por dos ejes, xr (real) y xi (imaginario), y el segundo eje serepresenta por otros dos ejes, yr (real) e yi (imaginario). Para ser precisos, las formas modulareshabitan en el semiplano superior de este espacio complejo, pero lo que es más importante es darsecuenta de que este espacio es tetradimensional (xr, xi, yr, yi).

Este espacio de cuatro dimensiones es el llamado espacio hiperbólico. El espacio hiperbólico esdifícil de entender para los humanos, que están constreñidos a vivir en el mundo convencional de tresdimensiones, pero el espacio de cuatro dimensiones es un concepto matemáticamente válido, y esesta dimensión adicional la que proporciona a las formas modulares un nivel tan elevado de simetría.El artista Mauritz Escher quedó fascinado por las ideas matemáticas e intentó transmitir el conceptode espacio hiperbólico en algunos de sus aguafuertes y pinturas. La figura 21 muestra la obra CircleLimit IV de Escher, que incrusta el mundo del espacio hiperbólico en la página bidimensional. En elespacio hiperbólico real, los murciélagos y los ángeles serían todos del mismo tamaño, y la repeticiónes indicativa del alto grado de simetría. Aunque parte de la simetría se puede apreciar en la páginabidimensional, existe una distorsión creciente hacia el borde de la pintura.

Figura 21: La obra Circle Limit IV, de Mauritz Escher, da una idea de la simetría de las formas modulares.

Las formas modulares que habitan el espacio hiperbólico son de varias formas y tamaños, perocada una está construida con los mismos ingredientes básicos. Lo que diferencia cada forma modulares la cantidad de cada uno de los ingredientes que la componen. Los ingredientes que componen unaforma modular están etiquetados de uno a infinito (M1, M2, M3, M4,…), y así cada forma modularparticular puede contener una medida del ingrediente uno (M1 = 1), tres medidas del ingrediente dos(M 2 = 3), dos medidas del ingrediente tres (M3 = 2), etc. Esta información que describe cómoconstruir una forma modular se puede resumir en la llamada serie modular, o serie M, una lista de losingredientes y la cantidad requerida de cada uno:

Serie M: M1 = 1,

M2 = 3,

M3 = 2,

↓

Del mismo modo que la serie E es el ADN para las ecuaciones elípticas, la serie M lo es para lasformas modulares. La cantidad de cada ingrediente listada en la serie M es crítica. Dependiendo decuánto se cambie la cantidad, por decir algo, del primer ingrediente, se genera una forma modular deltodo diferente, aunque igualmente simétrica, o se puede destruir la simetría y generar un nuevo objetoque no es una forma modular. Sí la cantidad de cada ingrediente se escoge de manera arbitraria,entonces el resultado será probablemente un objeto con poca o ninguna simetría.

Las formas modulares constituyen casi un mundo aparte dentro de las matemáticas. En particularparecían completamente ajenas al tema que Wiles estudiaría más adelante en Cambridge, lasecuaciones elípticas. La forma modular es una bestia enormemente complicada, estudiada sobre todopor su simetría y descubierta en el siglo XIX. Las ecuaciones elípticas se remontan a los antiguosgriegos y no tienen nada que ver con las simetrías. Las formas modulares y las ecuaciones elípticashabitan regiones completamente diferentes del cosmos matemático y nadie hubiera creído queexistiera la menor relación entre los dos temas. Sin embargo, Taniyama y Shimura sorprenderían a lacomunidad matemática al sugerir que las ecuaciones elípticas y las formas modulares son en realidaduna sola cosa. Según esos maravillosos matemáticos, ellos podían unificar los mundos modular yelíptico.

Ilusiones y espejismos

En septiembre de 1955 se celebró un simposio internacional en Tokio. Fue una oportunidad únicapara los muchos jóvenes investigadores japoneses de mostrar al resto del mundo lo que habíanaprendido. Repartieron una colección de treinta y seis problemas relacionados con su trabajo,acompañada por una humilde introducción: Algunos problemas sin resolver en matemáticas: no seha realizado una preparación madura, de modo que puede haber algunos triviales o ya resueltosentre ellos. Se solicita a los participantes que hagan comentarios sobre cualquiera de estosproblemas.

Cuatro de estas cuestiones eran de Taniyama, y daban pistas sobre una curiosa relación entre lasformas modulares y las ecuaciones elípticas. Estas inocentes preguntas llevarían finalmente a unarevolución en la teoría de números. Taniyama se había fijado en los primeros términos de la serie Mde una forma modular en particular. Reconoció la sucesión y se dio cuenta de que era idéntica a lalista de números de la serie E de una ecuación elíptica bien conocida. Calculó algunos términos más decada una de las series y la serie M de la forma modular y la E de la ecuación elíptica continuabanencajando perfectamente.

Fue un descubrimiento sorprendente porque, sin razón aparente, esa forma modular podía estarrelacionada con una ecuación elíptica a través de sus respectivas series M y E: las series eranidénticas. El ADN matemático que construye cada una de esas dos entidades era exactamente elmismo. Este fue un descubrimiento doblemente valioso. En primer lugar sugería que, profundamenteenterrada, había una relación fundamental entre la forma modular y la ecuación elíptica, objetos queprovienen de extremos opuestos de las matemáticas. En segundo lugar significaba que losmatemáticos, que ya conocían las series M de las formas modulares, no necesitaban calcular las seriesE porque eran las mismas que las series M.

Las relaciones entre temas aparentemente diferentes son tan importantes para la creatividad enmatemáticas como en cualquier otra disciplina. La relación es una pista sobre alguna verdad ocultaque enriquece ambos temas. Por ejemplo, al principio los científicos estudiaron la electricidad y elmagnetismo como dos fenómenos completamente separados. En el siglo XIX, los teóricos y losexperimentales se dieron cuenta de que la electricidad y el magnetismo estaban íntimamenterelacionados. Este descubrimiento llevó a una comprensión más profunda de ambos fenómenos. Lascorrientes eléctricas generan campos magnéticos y los imanes pueden inducir electricidad en cablesque pasen cerca de ellos. Esto condujo a la invención de las dinamos y los motores eléctricos, y porfin al descubrimiento de que la luz misma es el resultado de campos eléctricos y magnéticos oscilandoarmónicamente.

Taniyama examinó algunas otras formas modulares y en cada caso la serie M parecíacorresponder perfectamente con la serie E de una ecuación elíptica. Empezó a preguntarse si podríaser que cada forma modular pudiera asociarse a una ecuación elíptica. Tal vez cada forma modulartuviera el mismo ADN que una ecuación elíptica: ¿tal vez cada forma modular fuera una ecuaciónelíptica disfrazada? Las preguntas que repartió en el congreso estaban relacionadas con estahipótesis.

La idea de que cada forma modular estuviera asociada a una ecuación elíptica era tanextraordinaria que los que echaron un vistazo a las cuestiones de Taniyama las trataron nada más quecomo una curiosa observación. Sin duda, Taniyama había demostrado que unas cuantas ecuacioneselípticas podían asociarse con formas modulares particulares, pero afirmaban que esto no era más queuna coincidencia. De acuerdo con los escépticos, la afirmación de Taniyama de una relación másgeneral y universal parecía estar muy poco corroborada. La hipótesis estaba basada en la intuiciónmás que en evidencias reales.

El único aliado de Taniyama fue Shimura, que creía en el poder y la profundidad de la idea de suamigo. Tras el simposio trabajó con Taniyama en un intento de desarrollar la hipótesis hasta un nivelen el que el resto del mundo no pudiera ignorar su trabajo. Shimura quería encontrar más evidenciaspara respaldar la relación entre los mundos modular y elíptico. La colaboración se interrumpiótemporalmente cuando en 1957 Shimura fue invitado a trabajar en el Institute for Advanced Estudyde Princeton. Tras dos años como profesor invitado en Estados Unidos planeaba retomar el trabajocon Taniyama, pero eso nunca ocurrió. El 17 de noviembre de 1957 Yutaka Taniyama se suicidó.

La muerte de un genio

Shimura aún conserva la carta que Taniyama le envió cuando tuvieron su primer contacto acerca dellibro de la biblioteca. También conserva la última carta que Taniyama le escribió mientras él estaba enPrinceton, pero ésta no contiene la más mínima indicación sobre lo que ocurriría dos meses después.Hasta hoy, Shimura no comprende cuál fue la causa del suicidio de Taniyama. «Yo estaba muyconfundido. Confusión puede ser la mejor palabra. Por supuesto estaba triste, pero fue tanrepentino. Recibí esta carta en septiembre y él murió a principios de noviembre, y no pude encontrarel sentido a todo esto. Luego oí varias cosas y traté de hacerme a la idea de su muerte. Algunosdijeron que había perdido la confianza en sí mismo, pero no en sus capacidades matemáticas».

Particularmente desconcertante para los amigos de Taniyama fue que se había enamorado deMisako Suzuki y planeaban casarse aquel mismo año. Como un tributo personal publicado en elBulletin of the London Mathematical Society, Goro Shimura recuerda el compromiso de Taniyama conMisako y las semanas que precedieron al suicidio:

Cuando me informaron de su compromiso me sorprendí un poco, porque me parecía que ella no era su tipo, perono sentí recelos. Más tarde me dijeron que habían firmado el contrato de alquiler de un apartamento, al parecermejor, para convertirlo en su nuevo hogar, habían comprado cacharros de cocina juntos y se estaban preparandopara la boda. A ellos y sus amigos todo les parecía muy halagüeño. Entonces la catástrofe les cayó encima.

En la mañana del lunes 17 de noviembre de 1958, el vigilante de su apartamento lo encontró muerto en suhabitación con una nota sobre la mesa. Estaba escrita en tres páginas de una libreta del mismo tipo que habíausado para su trabajo de investigación; el primer párrafo decía:

«Hasta ayer no tenía una intención clara de matarme. Pero bastantes personas deben de haberse dadocuenta de que últimamente he estado cansado tanto física como mentalmente. Ni yo mismo entiendo deltodo la causa de mi suicidio, pero no es el resultado de ningún incidente en particular ni de nadaespecífico. Simplemente puedo decir que estoy en un estado de ánimo tal que he perdido la confianza enmi futuro. Puede haber alguien para quien mi suicidio sea inquietante o, hasta cierto punto, un golpe.Sinceramente espero que este incidente no proyecte ninguna sombra sobre el futuro de esa persona. Deninguna manera puedo negar que esto no sea una forma de traición, pero, por favor, excusadlo como miúltimo acto, que he hecho a mi manera, igual que siempre he ido por libre toda la vida».

Seguía describiendo, de forma bastante metódica, sus deseos sobre cómo efectuar el reparto de sus bienes y quélibros y discos había tomado prestados de la biblioteca o de sus amigos, y así sucesivamente. Específicamentedice: «Me gustaría dejar mis discos y el tocadiscos a Misako Suzuki, suponiendo que no esté enfadada conmigopor dejárselos». También explica hasta dónde había llegado en los cursos de cálculo y álgebra lineal que estabadando, y concluye la nota con una disculpa a sus colegas por los inconvenientes que su acto pudiera causar.

Así, una de las mentes más brillantes y avanzadas de su tiempo finalizó su vida por propio deseo. Habíacumplido treinta y un años cinco días antes.

Unas cuantas semanas después del suicidio la tragedia golpeó por segunda vez. Su prometida,Misako Suzuki, también se quitó la vida. Según se dice, dejó una nota en la que se leía: «Nosprometimos mutuamente que, sin importar adonde fuéramos, nunca nos separaríamos. Ahora que élse ha ido yo debo ir también para reunirme con él».

La filosofía de la bondad

Durante su corta carrera, Taniyama contribuyó a las matemáticas con varias ideas radicalmentenuevas. Las preguntas que repartió en el simposio contenían su mayor intuición, pero estaban tanadelantadas a su tiempo que nunca vivió para ver la enorme influencia que tuvieron en la teoría denúmeros. Su creatividad intelectual fue tristemente echada de menos, al igual que su papel de guíadentro de la comunidad de jóvenes científicos japoneses. Shimura recuerda con claridad la influenciade Taniyama: «Siempre era amable con sus colegas, especialmente con sus estudiantes jóvenes, y sepreocupaba de manera sincera por su bienestar. Fue el apoyo moral de muchos de los que entraron en

contacto matemático con él, incluyéndome por supuesto a mí mismo. Probablemente nunca fueconsciente del papel que estaba desempeñando. Pero ahora noto su noble generosidad a este respectomás que cuando estaba vivo. Y sin embargo, nadie pudo darle ningún apoyo cuando lo necesitódesesperadamente. Cuando pienso en ello me abruma la pena más amarga».

Tras la muerte de Taniyama, Shimura concentró todos sus esfuerzos en comprender la relaciónexacta entre las ecuaciones elípticas y las formas modulares. Con el paso de los años se esforzó paraobtener alguna evidencia más y uno o dos argumentos lógicos para sostener la teoría. Gradualmentese fue convenciendo de que cada ecuación elíptica estaba relacionada con una forma modular. Otrosmatemáticos aún mantenían dudas y Shimura recuerda una conversación con un eminente colega. Elprofesor preguntó: «He oído que usted propone que algunas ecuaciones elípticas se pueden conectarcon formas modulares».

«No, no lo ha entendido —replicó Shimura—. No son sólo algunas ecuaciones elípticas, sontodas las ecuaciones elípticas».

Shimura no pudo demostrar que esto era cierto, pero cada vez que ponía a prueba la hipótesisparecía ser verdadera, y en cualquier caso en conjunto parecía encajar en su filosofía general de lasmatemáticas. «Yo tengo la filosofía de la bondad. Las matemáticas deben contener bondad. Así, en elcaso de las ecuaciones elípticas, se podría llamar buena a la ecuación si estuviera parametrizada poruna forma modular. Yo espero que todas las ecuaciones elípticas sean buenas. Es una filosofía unpoco rudimentaria pero siempre se puede tomar como punto de partida. Entonces, por supuesto,tenía que desarrollar varias razones técnicas para la conjetura. Debería decir que la conjetura surgía dela filosofía de la bondad. La mayor parte de los matemáticos hacen matemáticas desde un punto devista estético, y esta filosofía de la bondad proviene de mi punto de vista estético».

Con el tiempo, la acumulación de evidencias por Shimura significó que su teoría acerca de lasecuaciones elípticas y las formas modulares se hiciera ampliamente aceptada. No pudo demostrar alresto del mundo que tenía razón, pero por lo menos ya no eran meras ilusiones. Existían suficientesevidencias como para que mereciera el título de conjetura. Al principio fue conocida como laconjetura de Taniyama-Shimura en reconocimiento del hombre que la inspiró a su colega y de éste,que prosiguió el trabajo hasta desarrollarla completamente.

En su momento, André Weil, uno de los padrinos de la teoría de números del siglo XX, adoptó laconjetura y le dio publicidad en Occidente. Weil investigó la idea de Shimura y Taniyama y encontróaún más evidencias a su favor. Como resultado, la conjetura se denomina frecuentemente la conjeturade Taniyama-Shimura-Weil, a veces la conjetura de Taniyama-Weil y en ocasiones como la conjeturade Weil. De hecho ha habido mucho debate y controversia sobre el nombre oficial de la conjetura.Para aquellos que estén interesados en la combinatoria existen quince permutaciones posibles de lostres nombres involucrados y es posible que cada una de ellas haya aparecido impresa a lo largo de losaños. Sin embargo, yo me referiré a la conjetura por su nombre original: la conjetura de Taniyama-Shimura.

El profesor John Coates, que dirigió a Andrew Wiles cuando era un estudiante, era a su vez unestudiante cuando la conjetura de Taniyama-Shimura se convirtió en un tema de conversación enOccidente. «Empecé a investigar en 1966, cuando la conjetura de Taniyama y Shimura estabaextendiéndose por el mundo. Todos estaban asombrados y empezaron a ocuparse seriamente de sitodas las ecuaciones elípticas podían ser modulares. Fue un tiempo tremendamente emocionante; el

único problema, por supuesto, fue que parecía muy difícil hacer progresos. Creo que es justo decirque, por bella que fuera esta idea, parecía muy difícil de demostrar, y esto es lo que interesa sobretodo a los matemáticos».

Durante el final de los sesenta, una legión de matemáticos comprobó repetidamente la conjeturade Taniyama-Shimura. Partiendo de una ecuación elíptica y su serie E, buscaban una forma modularcon una serie M idéntica. En todos los casos, la ecuación elíptica tenía asociada una forma modular.Aunque esto era una buena evidencia en favor de la conjetura de Taniyama-Shimura, no era enabsoluto una prueba. Los matemáticos sospechaban que era cierta, pero hasta que alguien encontrarauna demostración lógica continuaría siendo una mera conjetura.

Barry Mazur, un profesor dé la Universidad de Harvard, fue testigo de la ascensión de laconjetura de Taniyama-Shimura. «La suposición de que cada ecuación elíptica estaba asociada a unaforma modular era una bella conjetura, pero al principio fue ignorada por estar demasiado adelantadaa su tiempo. Cuando se propuso por primera vez no fue considerada debido a que era demasiadoasombrosa. Por un lado se tiene el mundo elíptico, y en el otro se tiene el mundo modular. Las dosramas de las matemáticas se habían estudiado de forma intensa pero separada. Los matemáticos queestudiaban las ecuaciones elípticas podían no estar bien preparados en formas modulares, yviceversa. Entonces llega la conjetura de Taniyama-Shimura, la gran suposición de que existe unpuente entre esos dos mundos completamente diferentes. A los matemáticos les encanta construirpuentes».

El valor de los puentes matemáticos es enorme. Permiten intercambiar ideas a comunidadesmatemáticas que habían estado viviendo en islas separadas y explorar mutuamente sus creaciones.Las matemáticas consisten en islas de conocimiento dentro de un mar de ignorancia. Por ejemplo,existe una isla ocupada por los geómetras que estudian las formas y las figuras, y existe una isla de laprobabilidad en la que los matemáticos discuten sobre el riesgo y la posibilidad. Hay docenas deestas islas, cada una con su lenguaje propio y único, incomprensible para los habitantes de otrasislas. El lenguaje de la geometría es muy diferente del lenguaje de la probabilidad, y la jerga del cálculono tiene sentido para aquellos que sólo hablan de estadística.

El gran potencial de la conjetura de Taniyama-Shimura era que conectaría dos islas y permitiría asus habitantes hablar entre ellos por primera vez. Barry Mazur considera la conjetura de Taniyama-Shimura un instrumento de traducción tal como la piedra de Rosetta, que contenía textos en demóticoegipcio, griego antiguo y jeroglíficos. Puesto que se comprendía el demótico y el griego, losarqueólogos pudieron descifrar los jeroglíficos por primera vez. «Es como si entendieras un lenguajey esta piedra de Rosetta te proporcionara un conocimiento profundo del otro idioma —dice Mazur—. Pero la conjetura de Taniyama-Shimura es una piedra de Rosetta con un cierto poder mágico. Laconjetura tiene la encantadora propiedad de que simples intuiciones en el mundo modular se traducenen profundas verdades en el mundo elíptico, y viceversa. Es más, profundos problemas del mundoelíptico pueden resolverse a veces traduciéndolos por medio de esta piedra de Rosetta al mundomodular y descubriendo que tenemos intuiciones y herramientas en el mundo modular para tratar elproblema traducido. En el mundo elíptico habríamos estado perdidos».

Si la conjetura de Taniyama-Shimura fuera cierta, permitiría a los matemáticos abordar problemaselípticos que habían permanecido sin resolver durante siglos por medio de un acercamiento a travésdel mundo modular. La esperanza era que los mundos elíptico y modular pudieran ser unificados. La

conjetura también constituyó la esperanza de que pudieran existir nexos entre otros varios camposmatemáticos.

Durante los años sesenta, Robert Langlands, que trabajaba en el Institute for Advanced Estudyde Princeton, quedó impresionado por la potencia de la conjetura de Taniyama-Shimura. Inclusoaunque la conjetura aún no había sido demostrada, Langlands creía que era sólo un elemento de unesquema mucho mayor de unificación. Confiaba en que existieran nexos entre las principales áreas delas matemáticas y se puso a buscar esas unificaciones. En unos pocos años empezaron a aparecer losnexos. Todas esas otras conjeturas de unificación eran mucho más débiles y especulativas que la deTaniyama-Shimura, pero formaban una intrincada red de conexiones hipotéticas entre varias áreas delas matemáticas. El sueño de Langlands era ver cada una de esas conjeturas demostradas una por unay que ello llevara a una gran unificación de las matemáticas.

Langlands comentó su plan para el futuro e intentó convencer a otros matemáticos para quetomaran parte en lo que se llegó a conocer como el Programa Langlands, un esfuerzo concentrado endemostrar su miríada de conjeturas. Parecía no haber un medio obvio para demostrar esos nexosespeculativos, pero sí el sueño se pudiera hacer realidad entonces la recompensa sería enorme,cualquier problema insoluble en una área de las matemáticas se podría transformar en un problemaanálogo en otra área en la cual se podría usar un nuevo arsenal de técnicas para luchar con él. Si lasolución aún fuera elusiva, el problema podría ser transformado y transportado a una nueva área delas matemáticas, y así sucesivamente hasta que fuera resuelto. Un día, de acuerdo con el ProgramaLanglands, los matemáticos serían capaces de resolver sus problemas más oscuros e intratablestransportándolos a lo largo del panorama matemático.

Había también grandes implicaciones en las ciencias aplicadas y la ingeniería. Tanto cuando semodelan las interacciones entre quarks en colisión como cuando se buscan las maneras más eficientesde organizar una red de telecomunicaciones, a menudo la clave del problema está en realizar algúncálculo matemático. En algunas áreas de la ciencia y la tecnología, la complejidad de los cálculos estan inmensa que el progreso en esos temas se ve muy dificultado. Si los matemáticos pudieran probarlas conjeturas de unión del Programa Langlands, habría atajos para resolver problemas del mundoreal, así como los del abstracto.

En la década de los setenta, el Programa Langlands se había convertido en el plan maestro delfuturo de las matemáticas, pero su camino hasta el paraíso de los expertos en la resolución deProblemas estaba bloqueado por el simple hecho de que nadie tenía ninguna idea sobre cómo probaralgunas de las conjeturas del Programa Langlands. La conjetura más fuerte en el programa aún era lade Taniyama-Shimura, pero incluso ésta parecía fuera de alcance. Una demostración de la conjeturade Taniyama-Shimura sería el primer paso en el programa Langlands, y como tal se había convertidoen uno de los mayores premios de la teoría de números moderna.

A pesar de su condición de conjetura sin demostrar, la de Taniyama-Shimura se citaba en cientosde artículos matemáticos en los que se especulaba sobre lo que sucedería si se pudiera demostrar. Losartículos empezaban enunciando claramente la advertencia «Asumiendo que la conjetura deTaniyama-Shimura es cierta…», y entonces continuaban describiendo una solución al problema sinresolver. Por supuesto, estos resultados dependían de la certeza de la conjetura de Taniyama-Shimura. Estos nuevos resultados hipotéticos fueron a su vez incorporados en otros resultados,hasta que existió una plétora de matemáticas que dependía de la certeza de la conjetura de Taniyama-

Shimura. Esta conjetura constituyó los cimientos de una arquitectura completamente nueva de lasmatemáticas pero, hasta que se pudiera demostrar, toda esta estructura era vulnerable.

En aquel tiempo, Andrew Wiles era un joven investigador en la Universidad de Cambridge, yrecuerda la agitación que sufría la comunidad matemática en los setenta: «Construimos más y másconjeturas que se extendían más y más allá en el futuro, pero que serían ridículas si la conjetura deTaniyama-Shimura no fuera correcta. Por lo tanto, debíamos probar la de Taniyama-Shimura paramostrar que el diseño completo que habíamos trazado esperanzadamente para el futuro era correcto».

Los matemáticos habían construido un frágil castillo de naipes. Soñaban con que alguien le daríaalgún día los sólidos cimientos que precisaba su arquitectura. También debían vivir con la pesadilla deque alguien probara en cualquier momento que en realidad la conjetura de Taniyama-Shimura eraerrónea, lo que provocaría la caída de dos décadas de investigación.

El nexo perdido

Durante el otoño de 1984, un grupo selecto de teóricos de números asistió a un simposio enOberwolfach, una pequeña ciudad en el corazón de la Selva Negra, en Alemania. Se habían reunidopara discutir varios importantes avances en el estudio de las ecuaciones elípticas y, naturalmente,algunos de los conferenciantes informarían ocasionalmente sobre algún pequeño progreso quehubieran realizado para probar la conjetura de Taniyama-Shimura. Uno de los conferenciantes,Gerhard Frey, un matemático de Saarbruck, no podía ofrecer ninguna idea nueva sobre cómo atacar laconjetura, pero hizo la sorprendente afirmación de que, si alguien conseguía demostrarla, podríaprobar de manera inmediata el último teorema de Fermat.

Cuando Frey se levantó para dar su charla, empezó escribiendo la ecuación de Fermat:

xⁿ + yⁿ = zⁿ, donde n es mayor que 2.

El último teorema de Fermat asegura que no hay soluciones formadas por números enteros para laecuación anterior, pero Frey exploró qué sucedería si el último teorema fuera falso, es decir, queexistiera al menos una solución entera. Frey no sabía cuál era su hipotética, y herética, solución, ypor ello etiquetó los números desconocidos con las letras A, B y C:

Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ,

Frey procedió a «reordenar» la solución. Este es un procedimiento matemático riguroso que cambia elaspecto de la ecuación sin alterar su integridad. Por medio de una hábil serie de complicadasmaniobras, Frey transformó la ecuación original de Fermat, con su hipotética solución, en

y2 = x3 + (Aⁿ − Bⁿ) x2 − AⁿBⁿ.

Aunque esta disposición parece muy distinta de la ecuación original es una consecuencia directa de lasolución hipotética. Es decir, que si, y éste es una gran «si», existe una solución a la ecuación deFermat y el último teorema es falso, entonces esta ecuación refundida también debe existir.

Inicialmente, el público de Frey no estaba particularmente impresionado por su nueva expresión,pero entonces hizo notar que esta nueva ecuación es de hecho una ecuación elíptica, aunque bastantecomplicada y exótica. Las ecuaciones elípticas tienen la forma

y2 = x3 + ax2 + bx + c,

y si se hacen las identificaciones

a = Aⁿ − Bⁿ, b = 0, c = −AⁿBⁿ.

entonces es más fácil apreciar la naturaleza elíptica de la ecuación de Frey.Al transformar la ecuación de Fermat en una ecuación elíptica, Frey había unido el último teorema

de Fermat con la conjetura de Taniyama-Shimura. Frey mostró a la audiencia que su ecuaciónelíptica, creada a partir de la solución a la ecuación de Fermat, era realmente extraña. De hecho, Freyproclamó que su ecuación elíptica es tan rara que las repercusiones de su existencia seríandevastadoras para la conjetura de Taniyama-Shimura.

Pero recuérdese que la ecuación elíptica de Frey es sólo una ecuación fantasma. Su existencia estácondicionada al hecho de que el último teorema de Fermat sea falso. Sin embargo, si la ecuaciónelíptica de Frey existe entonces es tan extraña que parecería imposible relacionarla nunca con unaforma modular. Pero la conjetura de Taniyama-Shimura afirma que cada ecuación elíptica debe estarrelacionada con una forma modular. Por lo tanto, la existencia de la ecuación elíptica de Frey desafía ala conjetura de Taniyama-Shimura.

En otras palabras, el argumento de Frey es como sigue:

1. Si (y sólo si) el último teorema de Fermat es erróneo, entonces existe la ecuación elíptica deFrey.

2. La ecuación elíptica de Frey es tan extraña que de ninguna manera puede ser modular.3. La conjetura de Taniyama-Shimura asegura que cada ecuación elíptica debe ser modular.4. ¡En consecuencia, la conjetura de Taniyama-Shimura debe ser falsa!

De forma alternativa, y aún más importante, Frey podía enunciar su argumento al revés:

1. Si la conjetura de Taniyama-Shimura se puede demostrar cierta, entonces cada ecuaciónelíptica tiene que ser modular.

2. Si cada ecuación elíptica es modular, entonces está prohibida la existencia de la ecuaciónelíptica de Frey.

3. Si la ecuación elíptica de Frey no existe, entonces no puede haber solución a la ecuación deFermat.

4. ¡Entonces el último teorema de Fermat es cierto!

Gerhard Frey había llegado a la sensacional conclusión de que la certeza del último teorema de Fermatdebería ser una consecuencia inmediata de la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura.Frey afirmaba que si los matemáticos pudieran demostrar la conjetura, entonces probaríanautomáticamente el último teorema de Fermat. Por primera vez en un siglo el problema más

complicado de las matemáticas parecía vulnerable. De acuerdo con Frey, demostrar la conjetura deTaniyama-Shimura era el único obstáculo que se debía vencer para probar el último teorema deFermat.

Aunque la audiencia estaba impresionada por la brillante intuición de Frey, también estabasorprendida por un error elemental de su razonamiento. Casi todo el mundo entre los asistentes lohabía detectado, salvo el mismo Frey. El error no parecía grave, pero, sin embargo, el trabajo de Freyestaba incompleto. Quienquiera que fuera el primero en corregir el error recibiría el crédito de haberrelacionado Fermat y Taniyama-Shimura.

El público de Frey salió precipitadamente del auditorio y se dirigió a la sala de la fotocopiadora.A menudo, la importancia de una charla se puede medir por la longitud de la cola que espera parahacer copias de la conferencia. Con el esbozo completo de las ideas de Frey, volvieron a susrespectivas instituciones e intentaron rellenar la brecha.

El argumento de Frey dependía del hecho de que su ecuación elíptica era tan extraña que no podíaser modular. Su trabajo estaba incompleto debido a que no había demostrado en absoluto que suecuación elíptica fuera suficientemente extraña. Sólo cuando se pudiera probar la absoluta extrañezade la ecuación elíptica de Frey la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura implicaría lademostración del último teorema de Fermat.

Al principio, los matemáticos creyeron que demostrar la extrañeza de la ecuación elíptica de Freysería un proceso bastante rutinario. A primera vista, el error de Frey parecía elemental y cualquierade los que acudieron a Oberwolfach creyó que aquello iba a ser una carrera para ver quién podíarealizar antes los cálculos. Se esperaba que alguien enviaría un mensaje por correo electrónico encuestión de días para demostrar cómo había establecido la verdadera extrañeza de la ecuación elípticade Frey.

Pasó una semana sin que el mensaje llegara. Pasaron meses, y lo que se creyó que iba a ser unaloca carrera matemática se transformó en una maratón. Parecía que Fermat aún estaba tomando elpelo y atormentando a sus descendientes. Frey había diseñado una estrategia sugestiva para probar elúltimo teorema de Fermat, pero incluso el primer paso elemental, demostrar que la ecuación elípticade Frey no era modular, era desconcertante para los matemáticos del mundo entero.

Para demostrar que la ecuación elíptica no era modular, los matemáticos buscaban invariantessimilares a los descritos en el capítulo 4. El invariante del nudo mostraba que un nudo no se podíatransformar en otro, y el invariante del puzzle de Loyd mostraba que su «rompecabezas 14 15» nose podía disponer en la ordenación correcta. Si los teóricos de números pudieran descubrir uninvariante apropiado para describir la ecuación elíptica de Frey, entonces podrían probar que, sinimportar cómo se transformara, nunca podría convertirse en una forma modular.

Uno de los que trabajaban afanosamente buscando la demostración que completaría la conexiónentre la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat era Ken Ribet, un profesor dela Universidad de California en Berkeley. Desde la conferencia en Oberwolfach, Ribet se habíaobsesionado con demostrar que la ecuación elíptica de Frey era demasiado extraña para ser modular.Tras dieciocho meses de esfuerzo, él, junto con algunos más, no estaba llegando a ninguna parte.Entonces, en el verano de 1986 el colega de Ribet, Barry Mazur, estuvo de visita en Berkeley paraasistir al Congreso Internacional de Matemáticas. Los dos amigos se encontraron para tomar uncapuchino en el café Strada y empezaron a compartir sus historias de mala suerte y refunfuñar acerca

del estado de las matemáticas.Al final hablaron de las últimas noticias sobre los varios intentos de demostrar la extrañeza de la

ecuación elíptica de Frey, y Ribet explicó un ensayo estrategia que había estado explorando. Elenfoque que parecía vagamente prometedor, pero sólo podía demostrar una parte pequeña delmismo. «Me senté con Barry y le conté en qué estaba trabajando. Mencioné que había demostradoun caso muy especial, pero que no sabía qué hacer ahora para generalizarlo y obtener toda la fuerzade la demostración».

El profesor Mazur sorbía su capuchino y escuchaba la idea de Ribet. Entonces se detuvo y miróincrédulo a Ribet. «¿Pero no lo ves? ¡Ya lo has hecho! Todo lo que tienes que hacer es añadir algunaestructura gamma-cero de (M), volver a enunciar todo tu argumento, y ya está. Te da todo lo quenecesitas».

Ribet miró a Mazur, miró su capuchino y volvió a mirar a Mazur. Ése era el momento másimportante en la carrera de Ribet y lo recuerda con todo detalle. «Yo dije que tenía toda la razón, porsupuesto, cómo pude no verlo. Estaba completamente estupefacto porque nunca se me habíaocurrido añadir la estructura gamma-cero de (M) adicional, tan simple como suena».

Hay que hacer notar que, aunque añadir la estructura gamma-cero de (M) le pareciera muysimple a Ken Ribet, es en realidad un complicado paso lógico que tan sólo un puñado de matemáticosdel mundo podrían haber fraguado mientras tomaban un capuchino.

«Éste era el ingrediente crucial que necesitaba y lo había tenido ante mis narices. Volví a miapartamento como en una nube, pensando: Dios mío, ¿será esto realmente correcto? Estabaextasiado; me senté y empecé a garabatear en una libreta. Tras una o dos horas lo había escrito todo yverificado los pasos clave, y todo encajaba. Rehíce por completo mi argumento y me dije: Sí, estotiene que funcionar. Y, por supuesto, ahí estaban varios miles de matemáticos en el CongresoInternacional y, de forma más o menos casual, comenté a unas cuantas personas que habíademostrado que la conjetura de Taniyama-Shimura implica el ultimo teorema de Fermat. La noticia sepropagó como el fuego y pronto grandes grupos lo sabían; venían corriendo a mí y me preguntaban:“¿Es realmente cierto que has demostrado que la ecuación elíptica de Frey no es modular?”. Y, trasmeditar durante un minuto, de repente dije: “Sí, lo he hecho”».

Ahora el último teorema de Fermat estaba inextricablemente unido a la conjetura de Taniyama-Shimura. Si alguien podía demostrar que todas las ecuaciones elípticas son modulares, eso implicaríaque la ecuación de Fermat no tiene soluciones y, de forma inmediata, demostraría el último teoremade Fermat.

Durante tres siglos y medio, el último teorema de Fermat había sido un problema aislado, uncurioso e imposible enigma en el último confín de las matemáticas. Ahora Ken Ribet, inspirado porGerhard Frey, lo había llevado al centro de la escena. El problema más importante del siglo XVIIestaba unido al problema más significativo del siglo XX. Un enigma de una enorme importanciahistórica y emocional estaba asociado a una conjetura que podía revolucionar las matemáticasmodernas.

Frey había definido claramente la tarea que había por delante. Los matemáticos demostraríanautomáticamente el último teorema de Fermat si eran capaces de probar primero la conjetura deTaniyama-Shimura. Al principio hubo una renovada esperanza, pero entonces se empezó acomprender la realidad de la situación. Los matemáticos habían intentado demostrar la realidad de la

conjetura de Taniyama-Shimura durante treinta años y habían fallado. ¿Por qué iban a avanzar ahora?Los escépticos opinaban que cualquier pequeña esperanza de demostrar la conjetura se habíadesvanecido. Su argumento era que cualquier cosa que pudiera llevar a una solución del últimoteorema de Fermat debía ser, por definición, imposible.

Incluso Ken Ribet, que había realizado el avance crucial, era pesimista: «Yo era uno más de lavasta mayoría que creía que la conjetura de Taniyama-Shimura era completamente inaccesible. Nisiquiera me preocupé en intentar demostrarla. Ni siquiera me pasó por la cabeza. Andrew Wiles fueprobablemente una de las pocas personas en la Tierra que tuvo la audacia de soñar que se podíaponer a ello y demostrar la conjetura».

6. EL CÁLCULO SECRETO

Un experto en la resolución de problemas debe estar dotado de dos cualidades incompatibles:una imaginación inquieta y una paciente obstinación.

Howard W. Eves

«Fue una tarde al final del verano de 1986 en que estaba tomando un té helado en casa de un amigo.Casualmente, en medio de una conversación me dijo que Kent Ribet había probado el nexo entreTaniyama-Shimura y el último teorema de Fermat. Fue como una descarga eléctrica. En aquelmomento supe que el curso de mi vida iba a cambiar ya que para probar el último teorema de Fermattodo lo que tenía que hacer era demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. Aquello significaba queel sueño de mi infancia era ahora un tema respetable sobre el que trabajar. Supe que nunca dejaríapasar la oportunidad. Supe que iría a casa y trabajaría en la conjetura de Taniyama-Shimura».

Habían pasado más de dos décadas desde que Andrew Wiles descubrió en una biblioteca el libroque le llevó a aceptar el reto de Fermat, pero ahora, por vez primera, vislumbraba un camino paraalcanzar el sueño de su niñez. Wiles recuerda cómo cambió de golpe su actitud hacia Taniyama-Shimura: «Me acordé de un matemático que había escrito sobre la conjetura de Taniyama-Shimura yla aconsejaba, desconsideradamente, como un ejercicio sólo para lectores interesados. ¡Bien, supongoque yo estaba interesado!».

Al acabar su doctorado con el profesor John Coates en Cambridge, Wiles se había trasladado,saltando el atlántico, a la Universidad de Princeton, donde era ahora profesor. Gracias a la direcciónde Coates, Wiles sabía posiblemente más que nadie en el mundo sobre ecuaciones elípticas, pero eraconsiente de que incluso con su enorme bagaje de conocimientos y habilidades matemáticas la tareaque quedaba por realizar era inmensa.

La mayor parte de los matemáticos, incluyendo a John Coates, opinaban que embarcarse en lademostración era un ejercicio fútil: «Yo mismo era bastante escéptico de que el nexo de unión entre elultimo teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura llevara realmente a algún sitio, porquedebo confesar que no creía que la conjetura fuera posible demostrar. Por bello que fuera esteproblema, parecía imposible de probar. Debo confesar que pensaba que probablemente no lo veríademostrado en mi vida».

Wiles sabía que las probabilidades estaban contra él, pero incluso si fallaba al intentar demostrarel último teorema de Fermat, sentía que sus esfuerzos no serían vanos: «Por supuesto, la conjetura deTaniyama-Shimura había sido un problema abierto durante muchos años. Nadie había tenido ningunaidea sobre cómo enfocarla, pero al menos estaba en la corriente principal de las matemáticas. Podíaintentarlo y probar algunos resultados que, incluso si no conseguía demostrar la conjetura porcompleto, serían valiosos para las matemáticas. No creía que fuera a perder el tiempo. Así, elromance con Fermat que había mantenido durante toda mi vida estaba ahora combinado con unproblema profesionalmente aceptable».

La reclusión en el ático

A finales de siglo, le preguntaron al gran lógico David Hilbert por qué nunca había intentadodemostrar el último teorema de Fermat. El replicó: «Antes de empezar debería dedicar tres años deintenso estudio, y no tengo mucho tiempo para derrochar en un probable fracaso». Wiles era muyconsciente de que para tener alguna esperanza de encontrar una demostración primero deberíasumergirse completamente en el problema, pero, a diferencia de Hilbert, el estaba preparado paraasumir el riesgo. Leyó las revistas más recientes y jugó con las últimas técnicas una y otra vez hastaasimilarlas por completo. Reunir las armas necesarias para la batalla que le esperaba requeriría queWiles pasara los siguientes dieciocho meses familiarizándose con cada porción de las matemáticasque hubiera sido aplicada a, o derivada de, las ecuaciones elípticas o las formas modulares. Ésta erauna inversión comparativamente menor si se tiene en cuenta que cualquier intento serio dedemostración podría fácilmente requerir diez años de esfuerzo en solitario. Wiles abandonó todotrabajo que no estuviera directamente relacionado con la prueba del último teorema de Fermat y dejode asistir a la inacabable serie de conferencias y coloquios. Puesto que aún tenía responsabilidades enel departamento de matemáticas de Princeton, continuó asistiendo a seminarios, enseñando aestudiantes pregraduados y ejerciendo de tutor.

Siempre que le era posible evitaba las distracciones derivadas de ser miembro de la facultadtrabajando en casa, donde se podía recluir en su estudio del ático. Allí intentaría aumentar la potenciade las técnicas establecidas y extender su campo de aplicación, esperando desarrollar una estrategiapara su ataque a la conjetura de Taniyama-Shimura.

«Solía subir a mi estudio y me ponía a buscar pautas. Intenté realizar cálculos que explicaranpequeñas partes de las matemáticas. Quería encajarlos en algún conocimiento general previo queclarificara el problema en el que estaba trabajando. Algunas veces implicaba consultar un libro paraver cómo se hacía. A veces era cuestión de modificar ligeramente las cosas con unos cuantos cálculosmás. Y a veces me daba cuenta de que nada de lo que se hubiera hecho antes era de alguna utilidad.Entonces tenía que encontrar algo completamente nuevo, y es un misterio de dónde proviene esealgo.

»Básicamente es cuestión de pensar. A menudo escribes algo para aclarar tus pensamientos, perono necesariamente. En particular, cuando has llegado a un callejón sin salida, cuando hay un problemagrave que deseas superar, entonces el rutinario pensamiento matemático no te sirve. Para llegar a esetipo de idea nueva debe haber un largo periodo de tremenda concentración en el problema, sinninguna distracción. Debes pensar únicamente en el problema, sólo concentrarte en él. Entoncesparas. Después parece haber un periodo de relajación durante el cual el subconsciente parece tomar elmando, y es durante este tiempo cuando llega algún nuevo tipo de compresión del problema».

Desde el momento en que se embarcó en la demostración. Wiles tomó la extraordinaria decisiónde trabajar en total aislamiento y secreto. Las matemáticas modernas han desarrollado una cultura decooperación y colaboración, por lo que la decisión de Wiles parecía devolverlo a una era previa. Eracomo si estuviera imitando el enfoque del mismo Fermat, el más famoso de los ermitañosmatemáticos. Wiles explicó que, en parte, la razón de su decisión de trabajar en secreto era su deseode trabajar sin distracciones: «Me di cuenta de que cualquier cosa que tenga que ver con el últimoteorema de Fermat genera demasiado interés. No puedes concentrarte realmente durante años a

menos que tengas una concentración total que un exceso de espectadores habría destruido».Otra motivación para el secretismo de Wiles debe de haber sido su ansia de gloria. Temía que se

diera la situación de haber completado la mayor parte de la demostración pero carecer aún delelemento final del cálculo. En este punto, si se filtraran noticias acerca de sus grandes avances, nohabría nada que pudiera evitar que cualquier otro matemático, basándose en el trabajo de Wiles,completara la demostración y le robara el premio.

En los años que siguieron, Wiles iba a hacer una serie de extraordinarios descubrimientos, ningunode los cuales sería comentado con sus colegas o publicado hasta que la demostración estuvieracompleta. Incluso sus compañeros más cercanos desconocían sus investigaciones. John Coatesrememora conversaciones con Wiles en las que no recibió ninguna pista sobre lo que sucedía:«Recuerdo haberle dicho en varias ocasiones: “Está muy bien este nexo con el último teorema deFermat, pero aún sigue sin haber esperanzas de demostrar Taniyama-Shimura”. Él solo sonreía».

Ken Ribet, que completó el nexo entre Fermat y Taniyama-Shimura, tampoco sabía nada de lasactividades clandestinas de Wiles. «Es probablemente el único caso que yo conozca en que alguientrabaja durante tanto tiempo sin dar a conocer lo que hacía, sin hablar sobre sus avances.Sencillamente, no tiene precedentes en mi experiencia. En nuestra comunidad, la gente siempre hacompartido sus ideas. Los matemáticos se reúnen en las conferencias, se visitan para dar seminarios,se envían mensajes electrónicos unos a otros, hablan por teléfono, se piden ayuda, información; losmatemáticos siempre están en contacto. Cuando hablas con otra gente recibes una palmada en laespalda; te dicen que lo que has hecho es importante, te dan ideas. Es una forma de alimentarteintelectualmente, y si te aíslas de esto posiblemente, estás haciendo algo que psicológicamente esmuy extraño».

Para no levantar sospechas, Wiles diseño un astuto plan que impediría a sus colegas ponersesobre la pista. A principios de los ochenta había trabajado en una importante investigación sobre untipo particular de ecuación elíptica, y estaba a punto de publicar los resultados en su totalidadcuando los descubrimientos de Frey le hicieron cambiar de opinión. Wiles decidió comunicar susinvestigaciones en pequeñas dosis, publicando un artículo corto cada seis meses más o menos. Estaaparente productividad convencería a sus colegas de que aún continuaba con sus investigacionesusuales. Mientras pudiera continuar manteniendo esta farsa, Wiles podría trabajar en su verdaderaobsesión sin revelar ninguno de sus avances.

La única persona en el mundo que estaba al corriente del secreto de Wiles era Nada, su esposa. Secasaron poco después de que Wiles empezara a trabajar en la demostración, y a medida que loscálculos avanzaban se confió a ella y sólo a ella. En los años que siguieron, la familia fue su únicadistracción. «Mi mujer sólo me ha conocido trabajando en Fermat. Se lo dije durante nuestra luna demiel, pocos días después de casarnos. Ella había oído hablar del último teorema de Fermat, pero enaquel momento no conocía el significado romántico que tenía para los matemáticos ni que había sidouna espina clavada en nuestra carne durante tantos años».

Batiéndose con el infinito

Para demostrar el último teorema de Fermat Wiles debía probar la conjetura de Taniyama-Shimura:

toda ecuación elíptica debe estar asociada a una forma modular. Incluso antes del nexo con el últimoteorema de Fermat, los matemáticos habían intentado desesperadamente demostrar la conjetura, perocada intento había terminado en fracaso. Wiles era muy consciente de la inmensa dificultad deencontrar una demostración: «Por último, uno podría intentar, de forma ingenua, y es lo que la gentede hecho estaba intentando, contar las ecuaciones elípticas y las formas modulares y demostrar queexiste el mismo número de cada una de ellas. Pero nadie ha encontrado nunca una manera sencilla dehacerlo. El primer problema es que hay un número infinito de ambas, y no se puede contar unnúmero infinito. Simplemente, no hay un modo de hacerlo».

Para encontrar una solución Wiles adoptó su enfoque usual para resolver problemas difíciles. «Amenudo escribo garabatos y rayotes. No son cosas importantes, sólo garabatos subconscientes.Nunca uso ordenador». En este caso, como con muchos problemas en teoría de números, losordenadores tampoco serían de utilidad. La conjetura de Taniyama-Shimura se aplica a un númeroinfinito de casos, y aunque un ordenador puede comprobar cada caso individual en pocos segundosnunca podría comprobarlos todos. En lugar de eso, lo que se necesitaba era un argumento formadopor pasos lógicos que explicara por qué cada ecuación elíptica tiene que ser modular. Para encontrarla prueba Wiles contaba solamente con papel, lápiz y su mente. «Durante todo el tiempo llevé estepensamiento en mi cabeza. Era la primera cosa al despertarme por la mañana, pensaba en ello durantetodo el día y pensaba en ello cuando me iba a dormir. Sin ninguna distracción, tenía lo mismo dandovueltas y vueltas en mi mente».

Tras un año de reflexión, Wiles decidió adoptar una estrategia general, conocida como inducción,como base para su prueba. La inducción es una forma inmensamente poderosa de demostraciónpuesto que permite a un matemático demostrar que un enunciado es cierto para un número infinito decasos probándolo sólo en un caso. Por ejemplo, imaginemos que un matemático quiere probar que unenunciado es cierto para cualquier numero hasta infinito. El primer paso es probar que el enunciadoes cierto con el número 1, lo que presumiblemente es una tarea bastante sencilla. El siguiente paso esdemostrar que si el enunciado es cierto para el número 1, entonces debe ser cierto para el número 2; ysí es cierto para el número 2, entonces debe ser cierto para el número 3; y si es cierto para el número3, debe ser cierto para el número 4, y así hasta el infinito. De forma más general, el matemático debedemostrar que sí el enunciado es cierto para cualquier número n, entonces debe ser cierto para elsiguiente número n + 1.

La demostración por inducción es esencialmente un proceso de dos pasos:

1. Demostrar que el enunciado es cierto para el primer caso.2. Demostrar que si el enunciado es cierto para un caso cualquiera, entonces tiene que ser

verdadero para el siguiente caso.

Otra forma de enfocar la demostración por inducción es imaginar el número infinito de casos comouna línea infinita de fichas de dominó. Para demostrar todos los casos hay que buscar una manera dederribar cada una de las fichas. Derribarlas una a una llevaría una cantidad infinita de tiempo yesfuerzo, pero la demostración por inducción permite a los matemáticos demostrarlas todasderribando solamente la primera. Si las fichas están cuidadosamente dispuestas, al caer la primeraésta derribará la segunda, que a su vez hará caer la tercera, y así hasta el infinito. La prueba porinducción invoca el efecto dominó. Esta forma de derribo matemático de fichas de dominó permite la

demostración de un número infinito de casos sólo con demostrar el primero. El apéndice 10 muestracómo se puede usar la demostración por inducción para probar un enunciado relativamente simplesobre todos los números.

El reto para Wiles era construir un argumento inductivo que mostrara que cada una de las infinitasecuaciones elípticas podía asociarse a una de las infinitas formas modulares. De algún modo tenía quedespiezar la demostración en un número infinito de casos individuales y entonces demostrar elprimero. Después debía demostrar que, habiendo probado el primer caso, todos los demás caerían.Con el tiempo, Wiles descubrió el primer paso de su demostración inductiva escondida en el trabajode un genio, de trágico destino, de la Francia del siglo XIX.

Evariste Galois nació en Bourg-la-Reine, un pequeño pueblo al sur de París, el 25 de octubre de1811, veintidós años después de la Revolución francesa. Napoleón Bonaparte estaba en el culmen desus poderes, pero el siguiente año presenció la desastrosa campaña rusa y en 1814 fue forzado alexilio y sustituido por el rey Luis XVIII. En 1815, Napoleón escapó de Elba, entró en París yreclamó el poder, pero menos de cien días después fue derrotado en Waterloo y forzado a abdicar unavez más en favor de Luis XVIII. Galois, como Sophie Germain, creció durante un periodo de inmensaconvulsión, pero mientras Germain se mantuvo apartada de los desórdenes de la Revolución francesay se concentró en las matemáticas, Galois se encontró repetidamente en el centro de la controversiapolítica, que no sólo lo distrajo de una brillante carrera académica sino que lo llevó a una muerteprematura.

Además de la intranquilidad general que afectaba a la vida de todo el mundo, el interés de Galoispor la política fue inspirado por su padre, Nicolás-Gabriel Galois. Cuando Evariste tenía sólo cuatroaños su padre fue elegido alcalde de Bourg-la-Reine. Esto ocurrió durante el triunfal retorno al poderde Napoleón, un periodo en el que los valores profundamente liberales de su padre estaban enconsonancia con el sentimiento de la nación. Nicolás-Gabriel Galois era un hombre culto y afable ydurante sus primeros años como alcalde se ganó el respeto de toda la comunidad, de manera queincluso cuando Luis XVIII volvió al trono él mantuvo su nombramiento. Fuera de la política, suprincipal interés parece haber sido la composición de poesías ocurrentes, que leía en reuniones delconsistorio para deleite de sus miembros. Varios años después, este encantador talento para losepigramas le llevaría a su caída.

A la edad de doce años, Evariste Galois acudió a su primera escuela, el Lycée de Louis-le-Grand,una institución prestigiosa pero autoritaria. Para empezar, no encontró ningún curso de matemáticas,y su expediente académico era respetable pero no brillante.

Sin embargo, en su primer trimestre ocurrió un suceso que influiría el curso de su vida. El liceohabía sido previamente una escuela jesuita, y empezaron a circular rumores que sugerían que estaba apunto de ser devuelto a la autoridad eclesiástica. Durante este periodo había un continuo conflictoentre republicanos y monárquicos para variar el equilibrio de poder entre Luis XVIII y losrepresentantes del pueblo, y la creciente influencia de la Iglesia se vio como una indicación de unacercamiento del poder al rey en detrimento del pueblo. Los estudiantes del liceo, que en su mayoríatenían simpatías republicanas, planearon una rebelión, pero el director de la escuela, el señor Berthod,descubrió el plan e inmediatamente expulsó a una docena de cabecillas. Al día siguiente, cuandoBerthod pidió una demostración de fidelidad por parte del resto de los alumnos más antiguos, éstosrechazaron hacer un brindis a la salud de Luis XVIII, a raíz de lo cual otros cien alumnos fueron

expulsados. Galois era demasiado joven para estar implicado en la fallida rebelión y se quedó en laescuela. Aun así, ver a sus compañeros humillados de esa manera sólo sirvió para inflamar sustendencias republicanas.

Galois no se matriculó en su primer curso de matemáticas hasta los dieciséis años, un curso que, aojos de sus profesores, lo transformaría de pupilo aplicado en estudiante revoltoso. Sus informes delcolegio muestran que descuidó el resto de las asignaturas y se concentró solamente en su reciénencontrada pasión:

Este estudiante trabaja sólo en los más altos reinos de las matemáticas. La locura matemática domina a estechico. Creo que sería mejor para él que sus padres le permitan estudiar sólo esto. De otra forma está malgastandosu tiempo aquí y no hace más que atormentar a sus profesores y ganarse continuos castigos.

La avidez matemática de Galois pronto superó la capacidad de su profesor, y así empezó a aprenderdirectamente de los libros más recientes escritos por los maestros de su época. En poco tiempoabsorbió los conceptos más complicados, y a los diecisiete años publicó su primer artículo en losAnnales de Gergonne. El camino por delante parecía expedito para logros prodigiosos, si no fueraporque su propia brillantez le iba a procurar el mayor obstáculo para su progreso. Aunqueobviamente sabía suficientes matemáticas para aprobar los exámenes de la escuela, las soluciones deGalois eran a menudo tan innovadoras y sofisticadas que sus examinadores no lograban apreciarlas.Para empeorar las cosas, Galois realizaba tantos cálculos mentales que no se molestaba en describirclaramente su argumento sobre el papel, dejando aún más perplejos y frustrados a sus inadecuadosexaminadores.

El joven genio no colaboraba con la situación y manifestaba mal temperamento y una temeridadque no le granjeó las simpatías de sus tutores ni de nadie que se cruzara en su camino. Cuando Galoissolicitó su admisión en la École Polytechnique, el colegio más prestigioso de la zona, su brusquedady falta de explicaciones en el examen oral hicieron que fuera rechazado. Galois estaba desesperadopor asistir a la Polytechnique, no sólo por su excelencia académica sino también por su reputacióncomo un centro del activismo republicano. Un año después volvió a solicitar su admisión y una vezmás sus desarrollos lógicos en el examen oral sólo sirvieron para confundir a su examinador, el señorDinet. Viendo que estaba a punto de suspender por segunda vez y frustrado al comprobar que noreconocían su brillantez, Galois perdió los nervios y le tiró el borrador de la pizarra, dándole de lleno.Galois nunca regresaría a los sagrados vestíbulos de la Polytechnique.

Impertérrito por los rechazos, Galois siguió confiando en su talento matemático y continuó susinvestigaciones privadas. Su principal interés se centraba en encontrar soluciones a ecuaciones talescomo las cuadráticas. Las ecuaciones cuadráticas tienen la forma

ax2 + bx + c = 0, donde a, b, c pueden tomar cualquier valor.

El reto es encontrar los valores de x para los cuales la ecuación cuadrática se cumple. En lugar defiarse en la prueba y error, los matemáticos preferían una receta para encontrar las soluciones, yafortunadamente tal receta existe:

x =

Por medio de la simple sustitución de a, b y c en la fórmula anterior pueden calcularse los valorescorrectos de x. Por ejemplo, podemos aplicar la receta para resolver la siguiente ecuación:

2x2 − 6x + 4 = 0, donde a = 2, b = −6 y c = 4.

Poniendo los valores de a, b y c en la receta, las soluciones resultan ser x = 1 y x = 2La cuadrática es un tipo de ecuación incluida dentro de una clase mucho mayor de ecuaciones

denominadas polinomios. Un tipo más complicado de polinomio es la ecuación cúbica:

ax3 + bx2 + cx + d = 0.

La complicación adicional proviene del término añadido x³. Con un término más en x4 llegamos alsiguiente nivel de ecuaciones polinómicas, conocidas como cuárticas:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.

En el siglo XIX, los matemáticos poseían recetas que podían usarse para encontrar soluciones de lasecuaciones cúbicas y cuárticas, pero no se conocía ningún método para encontrar soluciones de lasecuaciones quínticas:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Galois se obsesionó en encontrar una receta para resolver las ecuaciones quínticas, uno de los grandesretos de la época, y a los diecisiete años había hecho suficientes progresos como para enviar dosartículos de investigación a la Academia de Ciencias. El revisor asignado para juzgar los artículos eraAugustin-Louis Cauchy, quien varios años después tendría una discusión con Lame sobre unademostración sobre el último teorema de Fermat que finalmente se reveló errónea. Cauchy quedómuy impresionado por el trabajo del joven y creyó que valía la pena presentarlo al Gran Premio deMatemáticas de la Academia. Para ser aptos para la competición, los dos artículos deberían serreenviados en forma de una sola memoria, así que Cauchy los devolvió a Galois y esperó su envío.

Habiendo sobrevivido a las críticas de sus profesores y al rechazo de la École Polytechnique, elgenio de Galois estaba a punto de verse reconocido, pero durante los siguientes tres años una serie detragedias personales y profesionales destruirían sus ambiciones. En julio de 1829, un nuevo capellánjesuita llegó a Bourg-la-Reine, donde el padre de Galois aún era alcalde. El capellán desaprobaba lassimpatías republicanas del alcalde y empezó una campaña para echarlo de su puesto provocandorumores con la intención de desacreditarlo. En particular, el cura intrigante explotó la fama deNicolás-Gabriel Galois de hábil compositor de versos. Escribió una serie de versos ridiculizando amiembros de la comunidad y los firmó con el nombre del alcalde. El viejo Galois no pudo sobrevivir ala vergüenza y a la pena que resultó de aquello y decidió que la única opción honorable era el suicidio.

−b ± √(b2 − 4ac)2a

Evariste Galois volvió para asistir al funeral de su padre y vio con sus propios ojos las divisionesque el capellán había provocado en el pueblo. Mientras bajaban el ataúd a la tumba, se inició unapelea entre el sacerdote jesuita, que estaba pronunciando el servicio, y los partidarios del alcalde, quese habían dado cuenta de que había existido un plan para hacerle caer. El cura sufrió una herida en lacabeza, la pelea se transformó en un tumulto y el ataúd lo dejaron caer en la tumba sin ningunaceremonia. Ver cómo la clase dirigente francesa humillaba y destruía a su padre sólo sirvió paraconsolidar el ferviente apoyo de Galois a la causa republicana.

Tras su regreso a París, Galois combinó sus artículos de investigación mucho antes de la fechalímite y envió la memoria al secretario de la Academia, Joseph Fourier, quien debía remitirlo aljurado. El artículo de Galois no daba una solución a las ecuaciones quínticas, pero ofrecía unabrillante intuición y muchos matemáticos, incluyendo a Cauchy, lo consideraban como un probableganador. Para conmoción de Galois y sus amigos, no solo no gano el premio sino que ni siquiera lohabían presentado oficialmente, Fourier había muerto unas semanas antes de la decisión del jurado y,aunque un buen número de los trabajos participantes en la competición habían sido enviados alcomité, la memoria de Galois no estaba entre ellos. La memoria nunca apareció y la injusticia fueregistrada por un periodista francés:

El año pasado, antes del 1 de marzo, el señor Galois dio al secretario del instituto una memoria sobre la soluciónde ecuaciones numéricas. La memoria debería haber sido inscrita en la competición para el Gran Premio deMatemáticas. Merecía el premio, ya que podía resolver algunas dificultades que Lagrange no había logradosolucionar. El señor Cauchy había otorgado el máximo elogio al autor de este tema. ¿Y qué ocurrió? Lamemoria se ha perdido y el premio se ha concedido sin la participación del joven sabio.

Le Globe, 1831.

Galois creyó que su memoria había sido deliberadamente perdida por una Academia políticamentesesgada, una creencia que se reforzó un año después cuando la Academia rechazó su siguientemanuscrito arguyendo que «su argumento no es suficientemente claro ni está desarrollado parapermitirnos juzgar su rigor». Decidió que existía una conspiración para excluirlo de la comunidadmatemática y como resultado descuidó sus investigaciones en favor de la lucha por la causarepublicana. En aquel tiempo, Galois era estudiante de la École Normale Supérieure, un centro algomenos prestigioso que la École Polytechnique. En la École Normale, la notoriedad de Galois comopersona problemática superaba su reputación como matemático. Esto culminó durante la revoluciónde julio de 1830, cuando Carlos X huyó de Francia y las facciones políticas lucharon por el controlen las calles de París. El director de la escuela, el señor Guigniault, un monárquico, estaba enterado deque la mayoría de los estudiantes eran republicanos radicales y por ello los confinó en susdormitorios y cerró las puertas del colegio. A Galois le impedían luchar con sus hermanos y sufrustración e ira se combinaron cuando finalmente los republicanos fueron derrotados. Cuando se lepresento la oportunidad publicó un mordaz ataque contra el director del colegio, acusándolo decobardía. No fue sorprendente que Guigniault expulsara al estudiante insubordinado, y así la carreramatemática formal de Galois llegó a su fin.

El 4 de diciembre, el genio frustrado intentó convertirse en un rebelde profesional uniéndose a laGuardia Nacional de Artillería, una rama republicana de la milicia también conocida como los«Amigos del Pueblo». Antes del fin de aquel mes, el nuevo rey, Luis-Felipe, ansioso de evitar una

nueva rebelión, abolió la Guardia Nacional de Artillería y Galois se encontró destituido y sin casa. Eljoven talento más brillante de todo París era perseguido a cada momento y algunos de sus antiguoscolegas matemáticos se preocupaban cada vez más por su situación. Sophie Germain, que en aqueltiempo era la figura más respetada de las matemáticas francesas, expresó su inquietud a un amigo dela familia, el conde Libri-Carrucci:

Decididamente existe un infortunio concerniente a todo lo que tocan las matemáticas. La muerte del señorFourier ha sido el golpe final para este Galois que, a pesar de su impertinencia, mostraba signos de unadisposición inteligente. Galois ha sido expulsado de la École Normale, no tiene dinero, su madre tiene muypoco y él continúa con su hábito del insulto. Dicen que se volverá completamente loco. Me temo que es cierto.

Mientras continuara la pasión de Galois por la política resultaría inevitable que su suerte fueraempeorando cada vez más, un hecho documentado por el gran escritor francés Alexandre Dumas.Dumas estaba en el restaurante Vendanges de Bourgogne cuando se fijó en un banquete en honor dediecinueve republicanos absueltos de cargos de conspiración:

De repente, en medio de una conversación privada que tenía con la persona de mi izquierda, el nombre de Luis-Felipe, seguido por cinco o seis silbidos, captó mi atención. Me giré. Una animadísima escena estaba teniendolugar a quince o veinte asientos de mí. Sería difícil hallar en todo París doscientas personas más hostiles algobierno que las que se habían reunido a las cinco de la tarde en el largo vestíbulo de la planta baja, sobre eljardín.

Un joven que había levantado su vaso y llevaba un puñal desenvainado en la misma mano intentaba hacerseoír: Evariste Galois era uno de los más ardientes republicanos. El ruido era tal que la razón para el ruido mismose había hecho incomprensible. Todo lo que pude percibir fue que había una amenaza y que el nombre de Luis-Felipe había sido mencionado: el cuchillo desenvainado aclaraba la intención.

Esto iba más allá de mis propias opiniones republicanas. Cedí a la presión de mi compañero de la izquierda,quien, siendo uno de los comediantes del rey, no se quería ver comprometido, y saltamos del alféizar de laventana al jardín. Volví a casa algo preocupado. Estaba claro que el episodio tendría sus consecuencias. Enefecto, dos o tres días después Evariste Galois fue arrestado.

Tras permanecer detenido en la prisión de Sainte-Pélagie durante un mes, Galois fue acusado deamenazas contra la vida del rey y llevado a juicio. Aunque las acciones de Galois dejaban pocasdudas sobre su culpabilidad, la ruidosa naturaleza del banquete significaba que nadie podía realmenteconfirmar que lo hubiera oído hacer ninguna amenaza directa. Un jurado compasivo y la tierna edaddel rebelde —Galois sólo tenía veinte años— llevaron a su absolución. Al mes siguiente volvió a serarrestado.

El día de la Bastilla, 14 de julio de 1831, Galois desfiló por París vestido con el uniforme de laprohibida Guardia de Artillería. Aunque tan sólo era un gesto de desafío, fue sentenciado a seis mesesde prisión y volvió a Sainte-Pélagie. Durante los siguientes meses, el abstemio joven se dio a labebida impulsado por las malas compañías que le rodeaban. El botánico y ardiente republicanoFrançois Raspail, que estuvo encarcelado por rechazar la cruz de la Legión de Honor que le concedióLuis-Felipe, escribió un relato sobre la primera borrachera de Galois:

Sostiene el pequeño vaso como Sócrates tomando con coraje la cicuta; se lo bebe de un trago, no sin parpadear yhacer muecas. Un segundo vaso no es más difícil de vaciar que el primero, y luego el tercero. El principiante

pierde el equilibrio. ¡Triunfo! ¡Loor al Baco de la cárcel! Has intoxicado una alma llena de ingenio que acogehorrorizada el vino.

Una semana después, desde un desván frente a la prisión, un francotirador disparó una bala que hirióal hombre que estaba al lado de Galois dentro de una celda. Galois estaba convencido de que la balaestaba destinada a él y que había un plan del gobierno para asesinarlo. El temor de la persecuciónpolítica lo aterrorizaba, y el aislamiento de sus amigos y familia y el rechazo de sus ideasmatemáticas lo sumían en un estado de depresión. En un arrebato de delirio alcohólico intentóapuñalarse hasta la muerte, pero Raspail y otros consiguieron calmarlo y desarmarlo. Raspailrecuerda las palabras de Galois justo antes de su intento de suicidio:

¿Sabes qué es lo que echo de menos, amigo mío? Te lo confío sólo a ti: es alguien a quien sólo puedo amar enespíritu. He perdido a mi padre y nadie lo ha reemplazado nunca, ¿me oyes?…

En marzo de 1832, un mes antes de que la sentencia de Galois acabara, se desató una epidemia decólera en París y los prisioneros de Sainte-Pélagie fueron liberados. Lo que le ocurrió a Galois en lassiguientes semanas ha sido objeto de intensa especulación, pero lo seguro es que los sucesos de esteperiodo fueron en gran parte consecuencia de un romance con una misteriosa dama cuyo nombre eraStéphanie-Félicie Poterine du Motel, la hija de un respetado médico parisino. Aunque no hay datossobre cómo empezó el romance, los detalles de su trágico final están bien documentados.

Stéphanie ya estaba prometida a un caballero llamado Pescheux D’Herbinville, que descubrió lainfidelidad de su novia. D’Herbinville estaba furioso y, siendo uno de los mejores tiradores deFrancia, no dudó en retar inmediatamente a Galois a un duelo al alba. Galois conocía bien lareputación de su retador. Durante la noche anterior a su confrontación, que él creía iba a ser su últimaoportunidad de reflejar sus pensamientos sobre el papel, escribió cartas a sus amigos explicando lascircunstancias en que se encontraba:

Suplico a mis patriotas, a mis amigos, que no me reprochen morir por otra cosa que por mi país. Morí víctimade una infame coqueta y sus dos engaños. Es por una mentira miserable por lo que voy a acabar mi vida. ¡Oh!¿Por qué morir por algo tan pequeño, tan despreciable? Pido al cielo que testifique que sólo bajo coacción yforzado he cedido a la provocación que había intentado evitar de todas las maneras.

A pesar de su devoción por la causa republicana y su enredo romántico, Galois siempre habíamantenido su pasión por las matemáticas y uno de sus mayores temores era que sus investigaciones,que habían sido rechazadas por la Academia, se perdieran para siempre. En un desesperado intentopor conseguir el reconocimiento, trabajó toda la noche escribiendo teoremas que creía explicaban elenigma de las ecuaciones quínticas. La figura 22 muestra una de las últimas páginas escritas porGalois. Las páginas eran en su mayor parte una transcripción de las ideas que había enviado aCauchy y Fourier, pero escondidas entre la compleja álgebra había referencias ocasionales a«Stéphanie» o «una mujer» y exclamaciones de desesperación: «¡No tengo tiempo, no tengotiempo!». Al final de aquella noche, cuando sus cálculos estuvieron completos, adjuntó una cartapara su amigo Auguste Chevalier pidiéndole que, si moría, sus escritos fueran enviados a los mayoresmatemáticos de Europa:

Mi querido amigo:

He hecho algunos nuevos descubrimientos en análisis. El primero es referente a la teoría de las ecuacionesquínticas, y otros a las funciones integrales.

En la teoría de ecuaciones he investigado las condiciones de resolubilidad de ecuaciones por radicales; estome ha dado la ocasión de profundizar en esta teoría y describir todas las transformaciones posibles de unaecuación, incluso aunque no sea resoluble por radicales. Todo se encuentra aquí en tres memorias…

En mi vida he osado a menudo adelantar proposiciones sobre las cuales no estaba seguro. Pero todo lo quehe escrito aquí ha estado claro en mi cabeza desde hace más de un año y no me conviene dejarme en la sospechade que anuncio teoremas de los que no poseo una demostración completa.

Haz una petición pública a Jacobi o Gauss para que den su opinión, no sobre su certeza, sino sobre laimportancia de estos teoremas. Después de esto espero que alguien creerá de provecho ordenar un poco este lío.

Un efusivo abrazo,

E. Galois

Figura 22: La noche anterior al duelo, Galois intentó dejar constancia escrita de todas sus ideasmatemáticas. Sin embargo también aparecen otros comentarios en sus notas. En esta página, a la izquierda,

un poco más abajo del centro, se leen las palabras «Une femme» con la segunda palabra tachada,presumiblemente una referencia a la mujer que era el origen del duelo.

A la mañana siguiente, miércoles 30 de mayo de 1832 en un campo aislado, Galois y D’Herbinville seencararon a veinticinco pasos armados con pistolas. D’Herbinville estaba acompañado por susasistentes; Galois estaba solo. No había hablado a nadie sobre su situación; un mensajero que habíaenviado a su hermano Alfred no entregaría las noticias sobre el duelo hasta que éste hubiera acabadoy las cartas que había escrito la noche anterior no llegarían a sus amigos hasta pasados varios días.

Figura 23: Mientras Galois intentaba desesperadamente registrarlo todo antes de la fatídica hora, se leocurrió que no podría completar su tarea. Las palabras «je n’ai pas le temps» («no tengo tiempo») son

visibles al final de las dos líneas de la parte inferior izquierda de la página.

Levantaron las pistolas y dispararon. D’Herbinville seguía en pie; Galois fue alcanzado en elestómago y quedó tirado, indefenso, en el suelo. No había ningún cirujano y el vencedor se alejótranquilamente dejando que su oponente muriera. Algunas horas después llegó Alfred y llevó a suhermano al hospital Cochin. Era demasiado tarde; se le había producido una peritonitis y al díasiguiente Galois moría.

Su funeral fue casi tan grotesco como el de su padre. La policía creía que iba a dar origen a unmitin político y la noche anterior arrestó a treinta camaradas de Galois. Aun así, dos mil republicanosse reunieron para el servicio y se desataron las inevitables peleas entre los colegas de Galois y losoficiales del gobierno que habían llegado para vigilar los acontecimientos.

Los republicanos estaban coléricos debido a la creciente creencia de que D’Herbinville no era unprometido engañado sino más bien un agente del gobierno, y que Stéphanie no era sólo una amantesino una seductora intrigante. Sucesos tales como la bala que fue disparada contra Galois mientrasestaba en la prisión de Sainte-Pélagie ya hacían sospechar una conspiración para asesinar alproblemático joven, y sus amigos concluyeron que había sido engañado en un romance que era partede un plan político urdido para asesinarlo. Los historiadores han discutido sobre si el duelo fue elresultado de un trágico asunto de amor o tuvo una motivación política, pero, fuera lo que fuera, elhecho es que uno de los mayores matemáticos del mundo fue asesinado a la edad de veinte años trashaber estudiado matemáticas durante sólo cinco.

Antes de distribuir los escritos de Galois, su hermano y Auguste Chevalier los reescribieron paraclarificar y extender las explicaciones. El hábito de Galois de explicar sus ideas de forma impaciente einadecuada se exacerbó sin duda por el hecho de que sólo tenía una noche para describir años deinvestigación. Aunque obedeciendo a la voluntad de Galois enviaron copias del manuscrito a CarlGauss, Carl Jacobi y otros, no hubo ningún reconocimiento al trabajo de Galois durante más de unadécada, hasta que una copia llegó a manos de Joseph Liouville en 1846. Liouville reconoció la chispadel genio en los cálculos y pasó meses tratando de interpretar su significado. Finalmente reescribió elmanuscrito y lo publicó en el prestigioso Journal de Mathématiques Purés et Appliquées. Larespuesta de otros matemáticos fue inmediata e impresionante, ya que Galois había formulado unacomprensión completa de cómo se podían encontrar soluciones de las ecuaciones quínticas. Galoisclasificó primero las ecuaciones quínticas en dos tipos: las que podían resolverse y las que no.Entonces, de las que eran resolubles, diseñó una receta para encontrar las soluciones. Más aún,Galois examinó ecuaciones de grado mayor que cinco, las que contienen x6, x7, etc., y pudo identificarcuáles eran resolubles y cuáles no. Fue una de las obras maestras de las matemáticas del siglo XIXcreada por uno de sus más trágicos héroes.

En su introducción al artículo, Liouville explicó por qué el joven matemático había sido rechazadopor sus superiores y cómo sus propios esfuerzos habían resucitado a Galois:

Unas exageradas ansias por la concisión fueron la causa de este defecto que uno debería esforzarse en evitar porencima de todo cuando se trata de asuntos tan abstractos y misteriosos como el álgebra pura. La claridad es, enverdad, lo más necesario cuando se intenta llevar al lector, lejos del camino trillado, hacia territorios mássalvajes. Como dijo Descartes, «cuando se discute sobre cuestiones trascendentales sé trascendentalmente claro».Demasiado a menudo, Galois incumplió este precepto; y podemos entender cómo matemáticos ilustres puedenhaber juzgado adecuado intentar, por la severidad de su sabio consejo, devolver al principiante, lleno de geniopero sin experiencia, al camino correcto. El autor al que censuraron estaba frente a ellos, ardiente, activo; podríahaber aprovechado sus consejos.

Pero ahora todo ha cambiado. ¡Galois ya no está! No nos abandonemos en inútiles críticas; permitámonosolvidar los defectos y mirar los méritos…

Mi ardor fue bien recompensado, y experimenté un intenso placer en el momento en que, habiendo llenadounos pocos y pequeños huecos, vi la completa corrección del método por el que Galois demuestra, en particular,este bello teorema.

El derribo de la primera ficha

Inmerso en los cálculos de Galois había un concepto conocido como teoría de grupos, una idea quehabía desarrollado hasta convertirla en una potente herramienta capaz de resolver problemaspreviamente insolubles. Matemáticamente, un grupo es un conjunto de elementos que puedencombinarse entre sí usando una operación, tal como la suma o la multiplicación, y que satisfaceciertas condiciones. Una propiedad importante en la definición de grupo es que, cuando se combinandos elementos por medio de la operación, el resultado es otro elemento del grupo. Se dice que elgrupo está cerrado con esa operación.

Por ejemplo, los números enteros forman un grupo con la operación de «suma». Combinando unnúmero entero con otro por medio de la operación de adición se obtiene otro número entero, es decir,

4 + 12 = 16.

Todos los resultados posibles de una suma están dentro de los números enteros; entonces losmatemáticos dicen que «los números enteros están cerrados por la adición» o «los números enterosforman un grupo con la suma». Por otro lado, los números enteros no forman un grupo con laoperación de «división», ya que dividir un número entero entre otro no lleva necesariamente a otronúmero entero, por ejemplo:

4 ÷ 12 = ⅓.

La fracción 1/3 no es un número entero y está fuera del conjunto original. Sin embargo, si se consideraun conjunto mayor que incluya las fracciones, el llamado conjunto de los números racionales, sepuede restablecer el cierre: «Los números racionales están cerrados con la división». Habiendo dichoesto, aún hay que ser cuidadosos, pues la división entre cero produce un infinito, lo que lleva a variaspesadillas matemáticas. Por esta razón hay que decir que «los números racionales (excepto el cero)están cerrados con la división». En cierto modo, el concepto de cierre es similar al de completituddescrito en capítulos anteriores.

Los números enteros y las fracciones forman grupos infinitamente grandes, y se podría creer quecuanto mayor sea el grupo más interesantes serán las matemáticas que genere. Sin embargo, Galoistenía una filosofía del «menos es más» y demostró que pequeños grupos cuidadosamente construidospodían mostrar su propia y especial riqueza. En lugar de usar grupos infinitos, Galois empezó conuna ecuación particular y construyó su grupo a partir de un puñado de soluciones de la ecuación.Fueron los grupos formados con soluciones de las ecuaciones quínticas los que permitieron a Galoisencontrar sus resultados para estas ecuaciones. Un siglo y medio después, Wiles usaría el trabajo deGalois como el fundamento para su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura.

Para demostrar la conjetura, los matemáticos debían mostrar que cada una de las infinitasecuaciones elípticas podía ser emparejada con una forma modular. En principio habían intentadodemostrar que todo el ADN de una ecuación elíptica (la serie E) podía emparejarse con el ADNcompleto de una forma modular (la serie M), y pasar a la siguiente ecuación elíptica. Aunque esteenfoque es perfectamente sensato, nadie había encontrado el modo de repetir este proceso una y otravez para el número infinito de ecuaciones elípticas y formas modulares.

Wiles atacó el problema de una forma radicalmente distinta. En lugar de intentar emparejar todoslos elementos de una serie E y una serie M y pasar entonces a las siguientes serie E y serie M, intentó

emparejar un elemento de todas las series E y M y pasar al siguiente elemento. En otras palabras,cada serie E tiene una lista infinita de elementos, genes individuales que conforman el ADN, y Wilesquería demostrar que el primer gen de cada serie E podía asociarse con el primer gen de cada serie M.Entonces continuaría demostrando que el segundo gen de cada serie E podía asociarse al segundo gende cada serie M, y así sucesivamente.

En el enfoque tradicional se tenía un problema infinito, y continuaba siéndolo incluso si sepudiera probar que una serie E completa podía asociarse a una serie M, pues hay infinitas series E yM para ser asociadas. El enfoque de Wiles aún implicaba una lucha con el infinito, pues aunquepudiera demostrar que el primer gen de cada serie E era idéntico al primer gen de cada serie M aúnhabría infinitos genes por asociar. Sin embargo, el enfoque de Wiles tenía una gran ventaja frente alenfoque tradicional.

Con el método antiguo, una vez que se hubiera demostrado que toda una serie E coincidía con unaserie M, debía preguntarse: ¿Qué series E y M intento asociar ahora? La infinidad de series E y M noposee un orden natural y, así, cuál sería la siguiente en ser estudiada era en gran parte una elecciónarbitraria. En el método de Wiles, el punto crucial es que los genes sí tienen un orden natural, yentonces, tras demostrar que todos los primeros genes coinciden (E1 = M1), obviamente el segundopaso es demostrar que coinciden todos los segundos (E2 = M2), etcétera.

Este orden natural es exactamente lo que Wiles precisaba para desarrollar una demostracióninductiva. Al principio, Wiles tendría que demostrar que el primer elemento de cada serie E podíaasociarse al primer elemento de cada serie M. Entonces debería mostrar que si los primeros elementospodían ser asociados también podían serlo los segundos, y que si los segundos elementos podían serasociados también podían serlo los terceros, y así sucesivamente. Tenía que derribar la primera fichade dominó y luego demostrar que cada ficha derribaría la siguiente al caer.

El primer paso se alcanzó cuando Wiles se apercibió de la potencia de los grupos de Galois. Unpuñado de soluciones de cada ecuación elíptica podía usarse para formar un grupo.

Tras meses de análisis, Wiles demostró que el grupo llevaba a una conclusión innegable: el primerelemento de cada serie E podía ser realmente asociado al primer elemento de alguna serie M. Gracias aGalois, Wiles había sido capaz de hacer caer la primera ficha de domino. El siguiente paso en sudemostración inductiva era encontrar una forma de mostrar que si cualquier elemento de una serie Epodía asociarse al correspondiente elemento de la serie M, eso mismo debía ser cierto para elsiguiente elemento.

Llegar hasta aquí le había costado dos años y no había ninguna pista sobre cuánto le llevaríaencontrar una forma de extender la demostración. Wiles era consciente de la tarea que aún debíarealizar: «Puede preguntarse cómo pude dedicar una cantidad de tiempo tan grande a un problemaque podía ser simplemente irresoluble. La respuesta es que me encantaba trabajar en este problema yestaba obsesionado con él. Disfrutaba al estar enfrentando mi inteligencia a él. Más aún, siempresupe que las matemáticas que estaba creando, incluso sí no era capaz de demostrar Taniyama-Shimura, y por lo tanto Fermat, sí demostrarían alguna cosa. No estaba recorriendo un callejón sinsalida; sin duda eran buenas matemáticas, y eso siempre estuvo claro en mi mente. Existía laposibilidad de que nunca consiguiera demostrar Fermat, pero de ningún modo estaba desperdiciandomi tiempo».

«¿El teorema de Fermat, resuelto?»

Aunque sólo era el primer paso hacia la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura, laestrategia de Galois utilizada por Wiles era un brillante avance matemático, merecedor de serpublicado por derecho propio. Como consecuencia de su autoimpuesta reclusión, Wiles no podíaanunciar el resultado al resto del mundo pero, de forma similar, no tenía ni idea de si podía haberalguien más realizando avances igualmente significativos.

Wiles recuerda su filosófica actitud hacia cualquier rival en potencia: «Bueno, obviamente nadiequiere pasar años intentando resolver algo y encontrarse que alguien lo ha solucionado sólo unaspocas semanas antes. Pero, puesto que estaba intentando resolver un problema consideradoimposible, realmente no tenía mucho miedo a la competencia. Simplemente, no pensaba que yo ocualquier otro tuviera una idea real de cómo demostrarlo».

El 8 de marzo de 1988, Wiles recibió una conmoción al leer en los titulares de la primera páginade los diarios que el último teorema de Fermat había sido demostrado. El Washington Post y el NewYork Times anunciaban que Yoichi Miyaoka, de treinta y ocho años y que trabajaba en laUniversidad Metropolitana de Tokio, había descubierto una solución al problema más difícil delmundo. Hasta el momento, Miyaoka no había publicado aún su demostración; sólo había descrito suesquema en un seminario celebrado en el Instituto Max Planck para las Matemáticas de Bonn. DonZagier, que estaba entre la audiencia, resumió el optimismo de la comunidad: «La demostración deMiyaoka es muy apasionante y algunos creen que hay muy buenas posibilidades de que funcione.Aún no es definitiva, pero hasta el momento parece prometedora».

En Bonn, Miyaoka describió que había enfocado el problema desde un ángulo completamentenuevo; desde la geometría diferencial. Durante décadas, los geómetras diferenciales habíandesarrollado una rica comprensión de las formas matemáticas y en particular de las propiedades desus superficies. En los años setenta, un grupo ruso liderado por el profesor S. Arakelov intentótrazar paralelismos entre problemas en geometría diferencial y problemas en teoría de números. Ésteera uno de los puntos del Programa Langlands, y la esperanza era que problemas sin solución enteoría de números pudieran ser resueltos examinando el correspondiente problema en geometríadiferencial. Este enfoque era conocido como la filosofía del paralelismo.

Los geómetras diferenciales que intentaron abordar problemas en teoría de números fueronconocidos como «geómetras algebraicos aritméticos», y en 1983 proclamaron su primera victoriaimportante cuando Gerd Faltings, del Institute for Advanced Estudy de Princeton, hizo unaimportante contribución para la comprensión del último teorema de Fermat. Recuérdese que Fermataseguraba que no hay soluciones enteras a la ecuación

xⁿ + yⁿ = zⁿ para n mayor que 2.

Faltings creía que podía hacer progresos en la demostración del último teorema mediante el estudio delas formas geométricas asociadas a diferentes valores de n. Las superficies correspondientes a cadauna de las ecuaciones son distintas, pero tienen una cosa en común: todas están perforadas poragujeros. Las figuras son tetradimensionales, más o menos como las formas modulares; unavisualización bidimensional de dos de ellas se muestra en la figura 24. Todas las formas son como

dónuts multidimensionales con varios agujeros en lugar de uno solo. Cuanto mayor es el valor de nmás agujeros hay en la figura correspondiente.

Figura 24: Estas superficies se crearon usando el programa de ordenador Mathematica. Sonrepresentaciones geométricas de la ecuación xn + yn = 1, donde n = 3 para la primera imagen y n = 5 para

la segunda. Aquí, x e y se consideran variables complejas.

Faltings fue capaz de demostrar que, debido a que las figuras siempre tienen más de un agujero, laecuación de Fermat asociada sólo podía tener un número finito de soluciones enteras. Un númerofinito de soluciones podía ser cualquier cosa entre cero, que fue lo que Fermat aseguró, hasta unmillón o un billón. Por tanto, Faltings no fue capaz de demostrar el último teorema de Fermat, pero almenos había podido descartar la posibilidad de una infinidad de soluciones.

Cinco años después, Miyaoka aseguró que podía ir un paso más allá. Cuando tenía poco más deveinte años había creado una conjetura concerniente a la llamada desigualdad de Miyaoka. Quedóclaro que la prueba de su propia conjetura geométrica demostraría que no sólo las soluciones de laecuación de Fermat son finitas, sino que son cero. El enfoque de Miyaoka era análogo al de Wiles enel sentido de intentar demostrar el último teorema conectándolo a una conjetura fundamental en otrocampo de las matemáticas. En el caso de Miyaoka era la geometría diferencial; para Wiles, la pruebase obtendría a través de las ecuaciones elípticas y las formas modulares.

Desafortunadamente para Wiles, él aún estaba luchando para demostrar la conjetura deTaniyama-Shimura cuando Miyaoka anunció una demostración completa de su propia conjetura, ypor lo tanto para el último teorema de Fermat.

Dos semanas después de su anuncio de Bonn, Miyaoka publicó las cinco páginas de álgebra quedetallaban su demostración, y empezó el escrutinio. Los teóricos de números y los geómetrasdiferenciales de todo el mundo examinaron la demostración línea por línea, buscando la más mínimabrecha en el argumento lógico o la más pequeña indicación de una falsa suposición. En pocos díasvarios matemáticos resaltaron lo que parecía ser una preocupante contradicción en la demostración.Parte del trabajo de Miyaoka llevaba a una particular conclusión en teoría de números que, al sertraducida otra vez a la geometría diferencial, entraba en conflicto con un resultado que había sidodemostrado unos años antes. Aunque esto no invalidaba necesariamente toda la demostración deMiyaoka, chocaba con la filosofía del paralelismo entre la teoría de números y la geometría

diferencial.Habían pasado dos semanas más cuando Gerd Faltings, que había allanado el camino para

Miyaoka, anunció que había descubierto la razón exacta para el fallo aparente del paralelismo: unabrecha en la lógica. El matemático japonés era predominantemente un geómetra y no había sidototalmente riguroso al traducir sus ideas al territorio menos familiar de la teoría de números. Unejército de teóricos de números intentó ayudar a Miyaoka a arreglar su error, pero todos losesfuerzos fracasaron. Dos meses después de su anuncio existía un consenso de que la prueba originalestaba destinada a fracasar. Como ocurrió con otras pruebas fallidas en el pasado, Miyaoka habíacreado matemáticas nuevas e interesantes. Partes individuales de la demostración permanecieroncomo ingeniosas aplicaciones de la geometría diferencial en la teoría de números y en años posterioresotros matemáticos se basarían en ellas para demostrar otros teoremas, pero nunca el último teoremade Fermat.

La agitación sobre Fermat pronto desapareció y los periódicos publicaron noticias cortasexplicando que el problema de trescientos años continuaba sin solución. Sin duda inspirado por laatención de los medios de comunicación, un nuevo grafito apareció en la estación del metro de la calleOctava de Nueva York:

xⁿ + yⁿ = zⁿ : no hay soluciones.

He descubierto una prueba en verdad maravillosa de esto, pero no la puedo escribir porque está llegando mi tren.

La mansión oscura

Sin que el mundo lo supiera, Wiles exhaló un suspiro de alivio. El último teorema de Fermatpermanecía sin conquistar y él podía continuar su batalla para demostrarlo por medio de la conjeturade Taniyama-Shimura. «La mayor parte del tiempo la pasaba escribiendo en mi mesa, pero a vecespodía reducir el problema a algo muy específico: una pista, algo que me sorprende por su extrañeza,algo más allá del papel que no puedo llegar a tocar. Si tengo algo dándome vueltas en la cabeza,entonces no necesito nada para escribir o ningún despacho para trabajar, así que me voy a pasear porel lago. Cuando estoy paseando me doy cuenta de que puedo concentrar mi mente en un aspectomuy particular del problema, centrarme en él completamente. Siempre llevo papel y lápiz, así que sitengo una idea me puedo sentar en un banco y escribirla a toda prisa».

Después de tres años de esfuerzo continuado Wiles había hecho una serie de avances. Habíaaplicado los grupos de Galois a las ecuaciones elípticas, había despedazado las ecuaciones elípticasen un número infinito de piezas y había demostrado que la primera pieza de cada ecuación elípticadebía ser modular. Había derribado la primera ficha de dominó y estaba explorando técnicas quepodían llevar a la caída de todas las demás. Retrospectivamente, esto parecía el camino natural parallegar a una demostración, pero llegar tan lejos requirió una enorme determinación y superar periodosde dudas sobre su propia capacidad. Wiles describe lo que siente al hacer matemáticas como unrecorrido en la oscuridad en una mansión desconocida: «Uno entra en la primera habitación de lamansión y está en la oscuridad. En una oscuridad completa. Vas tropezando y golpeando los

muebles, pero poco a poco aprendes dónde está cada pieza del mobiliario. Al fin, tras seis meses máso menos, encuentras el interruptor de la luz y de repente todo está iluminado. Puedes verexactamente dónde estás. Entonces vas a la siguiente habitación y te pasas otros seis meses en lastinieblas. Así, cada uno de estos progresos, aunque algunas veces son muy rápidos y se realizan ensólo un día o dos, son la culminación de meses precedentes de tropezones en la oscuridad, sin los queel avance sería imposible».

En 1990, Wiles se encontró en la que parecía ser la habitación más oscura de todas. Había estadoexplorándola durante casi dos años. Aún no podía probar que si una parte de la ecuación elíptica eramodular, entonces la siguiente también lo sería. Después de haber utilizado cada herramienta ytécnica publicadas en la literatura, se encontró con que todas eran inadecuadas. «Realmente creía queestaba en el buen camino, pero eso no significaba que alcanzara mi meta. Era posible que los métodosnecesarios para resolver este particular problema estuvieran más allá de las matemáticas del presente.Tal vez los métodos que yo necesitaba para completar la demostración no serían inventados en lospróximos cien años. Así que, incluso si estaba en el buen camino, podía estar viviendo en el sigloequivocado».

Sin desanimarse, Wiles persevero un año más y empezó a trabajar con una técnica llamada «teoríaIwasawa». La teoría Iwasawa es un método de análisis de ecuaciones elípticas que había aprendido enCambridge cuando era un estudiante dirigido por John Coates. Aunque el método en su forma originalera inadecuado, esperaba que podría modificarlo y hacerlo suficientemente potente para generar unefecto dominó.

Tras el avance inicial con los grupos de Galois, Wiles se sentía cada vez más frustrado. Cuando lapresión era demasiado grande se volvía hacia su familia. Desde que empezó su trabajo sobre el últimoteorema de Fermat en 1986 había sido padre dos veces. «La única forma en que me podía relajar eraestando con mis hijos. Los niños pequeños no están interesados en Fermat, sólo quieren oír uncuento y no te dejan hacer ninguna otra cosa».

El método de Kolyvagin y Flach

En el verano de 1991, Wiles sintió que había perdido la batalla para adaptar la teoría Iwasawa. Debíademostrar que cada ficha, si hubiera sido derribada, tiraría a la siguiente, que si un elemento de la serieE de una ecuación elíptica era igual a un elemento de la serie M de una forma modular, entoncesdebería ocurrir lo mismo con el siguiente. También debía asegurarse de que éste era el caso en cadaecuación elíptica y en cada forma modular. La teoría Iwasawa no podía darle la garantía quenecesitaba. Completó otra búsqueda exhaustiva por la literatura científica y fue incapaz, una vezmás, de encontrar una técnica alternativa que le proporcionara el avance que necesitaba. Ya que habíasido un verdadero recluso en Princeton durante los anteriores cinco años, decidió que era el momentode volver a ponerse en circulación para enterarse de las últimas noticias matemáticas. Tal vez alguien,en algún lugar, estaba trabajando en una técnica innovadora y hasta ahora, por alguna razón, no lahabía publicado. Se dirigió a Boston para asistir a una importante conferencia sobre ecuacioneselípticas donde estaba seguro de encontrar a los principales expertos en la materia.

Wiles fue cordialmente acogido por sus colegas de todo el mundo, quienes estaban encantados de

volver a verlo tras una ausencia tan larga del circuito de conferencias. Aún no sabían en qué habíaestado trabajando y Wiles fue muy cuidadoso para no proporcionar ninguna pista. No sospecharonsu motivo final cuando preguntó por las últimas noticias sobre las ecuaciones elípticas. Al principio,las respuestas no fueron relevantes para la lucha de Wiles, pero un encuentro con su antiguo directorde tesis, John Coates, fue más fructífero: «Coates mencionó que uno de sus estudiantes, llamadoMatheus Flach, estaba escribiendo un interesante artículo sobre un reciente método diseñado porKolyvagin, y parecía que ese método se hubiera hecho a medida para mi problema. Me parecióexactamente lo que necesitaba, aunque sabía que aún tendría que desarrollar más el llamado método deKolyvagin-Flach. Abandoné del todo el antiguo enfoque que había estado probando y me dediqué díay noche a extender el método de Kolyvagin-Flach».

En teoría, este nuevo método podía extender el argumento de Wiles desde la primera pieza de laecuación elíptica a todo el resto de piezas y potencialmente podía funcionar para todas lasecuaciones elípticas. El profesor Kolyvagin había diseñado un método matemático inmensamentepoderoso y Matheus Flach lo había refinado para hacerlo aún más potente. Ninguno de ellos supoque Wiles pretendía incorporar su trabajo en la demostración más importante del mundo.

Wiles volvió a Princeton, pasó varios meses familiarizándose con esta técnica recién descubiertay entonces empezó la hercúlea tarea de adaptarla y desarrollarla. Pronto pudo hacer funcionar lademostración en una ecuación elíptica particular; podía derribar todas las fichas de dominó. Pordesgracia, el método de Kolyvagin-Flach, que funcionaba en una ecuación elíptica particular, nofuncionaba necesariamente en otra ecuación elíptica distinta. Al final se dio cuenta de que lasecuaciones elípticas podían clasificarse en varias familias. Una vez modificado para funcionar en unaecuación elíptica, el método de Kolyvagin-Flach funcionaría en todas las ecuaciones elípticas de lafamilia. El reto era adaptar el método para que funcionase con todas las familias. Aunque algunasfamilias eran más difíciles de conquistar que otras, Wiles confiaba en poder adaptar el método paracada una de ellas.

Tras seis años de intenso esfuerzo, Wiles creía que el final estaba a la vista. Semana tras semanaprogresaba, demostrando que nuevas y mayores familias de curvas elípticas debían ser modulares.Acabar con las principales ecuaciones elípticas parecía sólo una cuestión de tiempo. Durante estaetapa final de su demostración, Wiles empezó a darse cuenta de que toda su demostración descansabasobre una técnica que había descubierto pocos meses antes. Empezó a preguntarse si estaría usandoel método de Kolyvagin-Flach de una forma totalmente rigurosa.

«Durante aquel año trabajé muy duro intentando hacer funcionar el método de Kolyvagin-Flach,pero éste incluía una gran cantidad de sofisticadas herramientas matemáticas con las que no estabarealmente familiarizado. Había un montón de álgebra nueva que me obligaba a aprender muchasmatemáticas nuevas. Entonces, hacia principios de enero de 1993, decidí que debía confiar en algúnexperto en este tipo de técnicas geométricas a las que estaba recurriendo. Quería escogercuidadosamente con quién hablaría, pues tendría que mantener la confidencialidad. Decidí contárseloa Nick Katz».

El profesor Nick Katz también trabajaba en el departamento de matemáticas de la Universidad dePrinceton y conocía a Wiles desde hacía varios años. A pesar de su proximidad, Katz ignoraba todolo que estaba pasando al otro lado del pasillo. Recuerda cada detalle del momento en que Wiles revelósu secreto.

«Un día, Andrew vino hacia mí a la hora del té y me preguntó si podría ir a su despacho porquehabía algo sobre lo que quería hablarme. No tenía ni idea de qué podría tratarse. Fui a su despacho yél cerró la puerta. Me dijo que creía que podía probar la conjetura de Taniyama-Shimura. Me quedéasombrado, sin habla: era fantástico.

»Me explicó que una gran parte de su demostración se basaba en una extensión del trabajo deFlach y Kolyvagin, pero que era bastante técnica. Realmente se sentía inseguro sobre esta parte tantécnica de la demostración y deseaba que alguien la repasara porque quería estar seguro de que eracorrecta. Pensaba que yo era la persona adecuada para ayudarlo a comprobarla, pero yo creo quehabía otra razón por la que me lo pidió a mí en particular. Estaba seguro de que mantendría mi bocacerrada y no hablaría con otros sobre su demostración».

Después de seis años en completo aislamiento, Wiles había dejado escapar su secreto. Ahora eratarea de Katz enfrentarse con la montaña de cálculos basados en el método de Kolyvagin-Flach. Casitodo lo que había hecho Wiles era revolucionario, y Katz pensó mucho en la mejor forma deexaminarlo a fondo: «Lo que Andrew tenía que explicar era tan grande y largo que no habríafuncionado que intentara explicármelo en conversaciones informales en su despacho. Para algo tangrande realmente necesitábamos tener la estructura formal de lecciones semanales, de otro modo lascosas iban a degenerar. Así que decidimos organizar un curso».

Creyeron que la mejor estrategia sería anunciar una serie de conferencias abiertas a los estudiantesgraduados del departamento. Wiles daría el curso y Katz se encontraría entre la audiencia. El cursocubriría toda la parte de la demostración que necesitaba ser revisada, pero los estudiantes graduadosno tendrían ni idea de ello. Lo mejor de disfrazar la revisión de la demostración así es que obligaría aWiles a explicarlo todo paso por paso y aun así no levantaría sospechas en el departamento. Para elresto del departamento aquél era sólo un curso de doctorado más.

«Así, Andrew anunció su curso “Cálculos en curvas elípticas” —recuerda Katz con una sonrisaladina—, que era un título completamente inocuo; podía significar cualquier cosa. No mencionó aFermat, no mencionó a Taniyama-Shimura, empezó directamente buceando en los cálculos mástécnicos. No había modo humano de que alguien pudiera descubrir de qué se trataba realmente. Sehizo de una manera tal que, a menos que supieras para qué era, los cálculos parecieran increíblementetécnicos y tediosos. Y cuando no sabes para qué son las matemáticas es imposible seguirlas. Ya esbastante duro seguirlas cuando sabes para qué son. En cualquier caso, uno tras otro, los estudiantesgraduados fueron desapareciendo y, pasadas unas pocas semanas, yo era la única persona quecontinuaba en la audiencia».

Katz se sentó en la sala de conferencias y escuchó cuidadosa mente cada paso del cálculo deWiles. Al final de la exposición su evaluación fue que el método de Kolyvagin-Flach parecía funcionalperfectamente. Nadie en el departamento se dio cuenta de lo que había pasado. Nadie sospechó queWiles estaba a punto de reclamar el premio más importante de las matemáticas. Su plan había sido unéxito.

Una vez acabada la serie de conferencias, Wiles dedicó todos sus esfuerzos a completar lademostración. Había aplicado con éxito el método de Kolyvagin-Flach a familia tras familia deecuaciones elípticas y en este estadio sólo una se resistía a la técnica. Wiles describe cómo intentócompletar el último elemento de la demostración: «Una mañana de finales de mayo, Nada estabafuera con los niños y yo estaba sentado en mi mesa pensando en la familia de ecuaciones elípticas

que faltaba. Estaba mirando por encima un artículo de Barry Mazur y había una frase en él que captómi atención. Mencionaba una construcción del siglo XIX y de repente me di cuenta de que podíausarla para hacer funcionar el método de Kolyvagin-Flach sobre la última familia de ecuacioneselípticas. Empecé a mediodía y olvidé bajar a comer. Hacia las tres o las cuatro de la tarde estabatotalmente convencido de que aquello resolvería el problema restante. Llegó la hora del té y bajé lasescaleras; Nada estaba muy sorprendida de que hubiera llegado tan tarde. Entonces se lo dije: “Heresuelto el último teorema de Fermat”».

La conferencia del siglo

Después de siete años de esfuerzo en solitario, Wiles había completado una demostración de laconjetura de Taniyama-Shimura. Como consecuencia, y tras treinta años de soñar con ello, habíademostrado también el último teorema de Fermat. Era el momento de contárselo al resto del mundo.

«Así, en mayo de 1993 estaba convencido de que tenía el último teorema de Fermat en mis manos—recuerda Wiles—. Aún quería comprobar más la demostración, pero se acercaba una conferenciaque iba a celebrarse a finales de junio en Cambridge; pensé que sería un bello lugar para anunciar lademostración: es la ciudad donde viví y fui estudiante de doctorado».

La conferencia se celebraba en el Isaac Newton Institute. Esta vez, el instituto había planeado untaller sobre teoría de números con el oscuro título de «Funciones L y aritmética». Uno de losorganizadores era John Coates, el director de tesis de Wiles: «Trajimos gente de todo el mundo queestaba trabajando en este problema y, por supuesto, Andrew era una de las personas que estabaninvitadas. Habíamos planeado una semana de conferencias intensivas y en principio, debido a quehubo una gran demanda de sesiones de conferencia, sólo le di dos a Andrew. Pero entonces recordéque necesitaba tres sesiones, así que lo arreglé renunciando a mi propio tiempo para su terceraconferencia. Sabía que tenía algún gran resultado que anunciar, pero no tenía ni idea de qué era».

Cuando Wiles llegó a Cambridge aún faltaban dos semanas y media para sus conferencias y queríaaprovechar al máximo aquella oportunidad: «Decidí que comprobaría la demostración con uno o dosexpertos, en particular la parte Kolyvagin-Flach. La primera persona a la que se la di fue BarryMazur. Creo que le dije: “Tengo un manuscrito con la prueba de cierto teorema”. Pareció muyperplejo durante un rato y entonces le dije: “Bueno, echémosle un vistazo”. Creo que le costó un ratoasimilarlo. Parecía atontado. En cualquier caso le dije que pensaba hablar sobre ello en la conferenciay que me gustaría que lo comprobara».

Una por una, las más eminentes figuras de la teoría de números empezaron a llegar al IsaacNewton Institute, incluyendo a Ken Ribet, cuyo cálculo de 1986 había inspirado la penosaexperiencia de siete años de Wiles. «Llegué a la conferencia sobre funciones L y curvas elípticas ynada parecía fuera de lo ordinario hasta que la gente empezó a decirme que habían oído rumores sobrela serie de conferencias de Andrew Wiles. El rumor era que había demostrado el último teorema deFermat, y yo creí que eran una completa locura. No creí que pudiera ser verdad. Hay montones decasos en matemáticas en los que empiezan a circular rumores, especialmente por correo electrónico, yla experiencia muestra que no se puede confiar mucho en ellos. Pero los rumores eran muypersistentes y Andrew rechazaba contestar preguntas acerca de ello y se comportaba de forma muy

extraña. John Coates le dijo: “Andrew, ¿qué has demostrado? ¿Deberíamos llamar a la prensa?”.Andrew sólo hizo un movimiento de cabeza y mantuvo sus labios apretados. Realmente estabapreparando una gran representación.

»Entonces, una tarde Andrew vino a verme y empezó a preguntarme sobre lo que había hecho en1986 y un poco sobre la historia de las ideas de Frey. Pensé para mí mismo: Esto es increíble, debede haber probado la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat, de otro modo nome estaría preguntando todo esto. No le pregunté directamente si mis sospechas eran ciertas porquevi que se estaba comportando muy tímidamente y que no iba a obtener una respuesta clara. Así quedije más o menos: “Bien, Andrew, si tienes ocasión de hablar sobre este trabajo, esto es lo queocurrió”. Lo miré como si supiera algo, pero en realidad no sabía lo que estaba sucediendo. Aúnseguía intentado adivinar».

La reacción de Wiles a los rumores y la creciente presión fue simple: «La gente me preguntaba,antes de acudir a mis conferencias, qué iba a decir exactamente. Entonces les decía: “Ven a misconferencias y escucha”».

Allá por 1920, David Hilbert, de cincuenta y ocho años de edad, dio una conferencia públicasobre el último teorema de Fermat. Cuando se le preguntó si el problema se resolvería alguna vez élcontestó que no viviría para verlo, pero que tal vez los miembros más jóvenes del público podrían sertestigos de la solución. La estimación de Hilbert sobre la fecha de la demostración resultó bastanteexacta. La conferencia de Wiles también estaba dentro del plazo del premio Wolfskehl. En sutestamento, Paul Wolfskehl había puesto como fecha límite el 13 de septiembre del 2007.

El título de la serie de conferencias de Wiles era «Formas modulares, curvas elípticas yrepresentaciones de Galois». Una vez más, como había hecho con las clases de doctorado que habíadado antes el mismo año en beneficio de Nick Katz, el título era tan vago que no daba ninguna pistasobre su objetivo último. La primera conferencia de Wiles era aparentemente mundana, asentando lasbases de su ataque a la conjetura de Taniyama-Shimura en la segunda y tercera. La mayoría delpúblico, que ignoraba completamente los rumores, no se dio cuenta del quid de las conferencias yprestó poca atención a los detalles. Los que estaban enterados buscaban la menor pista que pudieradar credibilidad a los rumores.

Inmediatamente tras el fin de la conferencia los rumores volvieron a extenderse con renovadovigor y el correo electrónico voló alrededor del mundo. El profesor Karl Rubin, un antiguo estudiantede Wiles, informó a sus colegas de Estados Unidos:

Fecha: Lunes, 21 Jun. 1993; 13:33:06Tema: Wiles

Hola. Andrew ha pronunciado su primera charla hoy. No ha anunciado una demostración de Taniyama-Shimura,pero se está moviendo en esa dirección y aún le quedan dos conferencias más. Aún está siendo muy reservadosobre el resultado final.

Mi mejor suposición es que va a demostrar que si E es una curva elíptica sobre Q y la representación de Galoisen los puntos de orden sobre E satisfacen ciertas hipótesis, entonces E es modular.

Por lo que ha dicho parece que no probará la conjetura completa. Lo que no sé es si se aplicará esto a la curva deFrey y por lo tanto dice algo sobre Fermat. Os mantendré informados.

Karl RubinUniversidad Estatal de Ohio

Al día siguiente, más gente había oído el rumor y la audiencia de la segunda conferencia fueconsiderablemente mayor. Wiles los atormentó con un cálculo intermedio que probaba claramenteque estaba intentando demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura, pero el público aún sepreguntaba si había hecho lo suficiente para demostrarla y, en consecuencia, derrotar el últimoteorema de Fermat. Una nueva andanada de correos electrónicos pasó por los satélites:

Fecha: Martes, 22 Jun. 1993; 13:10:39Tema: Wiles

No ha habido más noticias realmente nuevas en la conferencia de hoy. Andrew enunció un teorema general sobrerepresentaciones de Galois siguiendo las líneas que sugerí ayer. No parece que se aplique a todas las curvaselípticas, pero la clave vendrá mañana.

No sé realmente por qué lo está haciendo así. Está claro que sabe lo que va a decir mañana. Es en verdad unacantidad enorme de trabajo sobre la que ha estado trabajando durante años, y parece confiar en ella. Os contaré loque pase mañana.

Karl RubinUniversidad Estatal de Ohio

«El 23 de junio, Andrew empezó su tercera y última conferencia —recuerda John Coates—. Lo queera más singular es que casi todo el mundo que había contribuido a las ideas que se encontraban trasla demostración estaba en aquella sala: Mazur, Ribet, Kolyvagin y muchos, muchos otros».

En aquel momento, el rumor era tan persistente que todo el mundo de la comunidad matemáticade Cambridge asistió a la conferencia final. Los afortunados estaban agolpados en el auditorio,mientras los otros tenían que esperar en el pasillo, donde se ponían de puntillas para echar vistazos através de la ventana. Ken Ribet se había asegurado de no perderse el anuncio matemático másimportante del siglo: «Llegué relativamente pronto y me senté en la primera fila junto a BarryMazur. Tenía mi cámara de fotos para inmortalizar el evento. La atmósfera estaba muy cargada y lagente muy excitada. Ciertamente teníamos la sensación de participar en un momento histórico. Lagente sonreía antes y durante la conferencia. La tensión se había acumulado durante el curso de variosdías. Ahí estaba ese maravilloso momento en el que nos estábamos acercando a la demostración delúltimo teorema de Fermat».

Barry Mazur había recibido una copia de la demostración de Wiles, pero incluso él estabaestupefacto por la actuación. «Nunca he visto una conferencia tan gloriosa, llena de tan maravillosasideas, con tal tensión dramática, y qué presentación. Sólo había una posible clave».

Después de siete años de intenso esfuerzo, Wiles estaba a punto de anunciar su demostración almundo. Curiosamente, Wiles no puede recordar los momentos finales de la conferencia con muchodetalle, pero sí el ambiente: «Aunque la prensa ya había oído algo sobre la conferencia,afortunadamente no estaba allí. Pero entre el público había quien tomaba fotografías hacia el final dela charla y el director del instituto había venido bien preparado con una botella de champán. Hubo el

típico silencio mientras leía la demostración, y entonces escribí el enunciado del último teorema deFermat. Dije: “Creo que lo dejaré aquí”, y entonces hubo un prolongado aplauso».

Las secuelas

Curiosamente, Wiles era ambivalente con respecto a la conferencia: «Obviamente fue una granocasión, pero yo tengo sentimientos entremezclados. Aquello había sido parte de mí durante sieteaños; había sido toda mi vida profesional. Me involucré tanto en el problema que realmente creía quelo tenía para mí solo, pero ahora lo estaba contando todo. Tenía la sensación de que estabaentregando una parte de mí mismo».

El colega de Wiles, Ken Ribet, no tuvo tales dudas: «Aquél fue un evento memorable. Quierodecir que cuando vas a un simposio hay algunas charlas de rutina, algunas charlas buenas y algunascharlas muy especiales, pero asistir a una charla en la que alguien asegura haber resuelto un problemaque se ha resistido durante más de 350 años es una ocasión única en la vida. Los asistentes semiraban unos a otros y decían: “Dios mío, ¿te das cuenta de que hemos sido testigos de unacontecimiento histórico?”. Entonces, algunos hicieron unas cuantas preguntas sobre aspectostécnicos de la demostración y su posible utilización en otras ecuaciones, y al final hubo un periodode silencio y, de repente, una segunda tanda de aplausos. La siguiente charla fue pronunciada por untal Ken Ribet, un servidor. Di la charla, la gente tomó notas, aplaudió y ninguno de los presentes,incluyéndome a mí, tiene ni idea de lo que dije en aquella conferencia».

Mientras los matemáticos estaban diseminando las buenas noticias por correo electrónico, elresto del mundo debía esperar a las noticias de la tarde o a los diarios del día siguiente. Equipos detelevisión y periodistas científicos llegaron al instituto pidiendo entrevistas con el «mayormatemático del siglo». The Guardian exclamó: «Todo acabó para el último enigma de lasmatemáticas», y en la primera plana de Le Monde se leía: «El teorema de Fermat por fin resuelto».Los periodistas de todo el mundo pedían a los matemáticos su experta opinión sobre el trabajo deWiles; y de los catedráticos, aun recuperándose de la conmoción, se esperaba que explicaranbrevemente la demostración matemática más complicada de la historia o que concedieran unaentrevista que aclarase el significado de la conjetura de Taniyama-Shimura.

La primera vez que el profesor Shimura se enteró de la demostración de su propia conjetura fuecuando leyó la primera plana del New York Times : «Por fin, un grito de “¡Eureka!” en un antiguomisterio matemático». Treinta y cinco años después de que su amigo Yutaka Taniyama se suicidase,la conjetura que habían creado juntos había sido justificada. Para muchos matemáticos profesionalesla demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura era un logro mucho más importante que lasolución del último teorema de Fermat ya que tenía consecuencias inmensas para muchos otrosteoremas matemáticos. Los periodistas que cubrían la noticia tendían a concentrarse en Fermat ymencionaban a Taniyama-Shimura sólo de pasada, si es que lo hacían.

Shimura, un hombre modesto y apacible, no estaba molesto por la falta de atención concedida asu papel en la demostración del último teorema de Fermat, pero estaba preocupado por el hecho deque él y Taniyama habían sido relegados a ser meros adjetivos. «Es muy curioso que la gente habla dela conjetura de Taniyama-Shimura pero nadie escribe sobre Taniyama y Shimura».

Esta fue la primera vez en que las matemáticas habían aparecido en primera plana desde la fallidademostración de 1988; la única diferencia es que ahora la cobertura era doble que en la ocasiónanterior y que nadie expresó ninguna duda sobre los cálculos. De un día para otro, Wiles se habíaconvertido en el más famoso matemático del mundo, el único famoso de hecho, y la revista People lehabía incluido en la lista de «Las 25 personas más fascinantes del año», junto con la princesa Diana yOprah Winfrey. El galardón definitivo llegó de una cadena internacional de moda que pidió al genio desuaves modales que aprobara su nueva línea de moda para hombre.

Mientras el circo de la prensa continuaba y mientras los matemáticos sacaban todo el provechode ser el foco de atención, el serio trabajo de comprobar la demostración seguía su curso. Como en elresto de disciplinas científicas, cada nuevo trabajo debe ser completamente examinado antes de que sepueda aceptar como exacto y correcto. La demostración de Wiles tenía que ser sometida a la rigurosaprueba del juicio de los expertos. Aunque las conferencias de Wiles habían proporcionado al mundoun esquema de la demostración, esto no es equivalente a una revisión oficial. El protocolo académicorequiere que cualquier matemático remita un manuscrito completo a una revista de prestigio y que eleditor la envíe a un equipo de evaluadores cuyo trabajo es examinar la demostración línea por línea.Wiles tuvo que pasar el verano esperando ansiosamente el informe de los evaluadores, esperando queal final obtendría su bendición.

7. UN PEQUEÑO PROBLEMA

Un problema que vale la pena atacarprueba su valía contraatacando.

Piet Hein

Tan pronto como terminó la conferencia de Cambridge, el Comité Wolfskehl fue informado de lademostración de Wiles. No pudieron conceder inmediatamente el premio debido a que las reglas de lacompetición exigían claramente una verificación por otros matemáticos y la publicación de lademostración:

L a Königliche Gesellschaft der Wissenschaften de Gotinga […] sólo tendrá en cuenta aquellas memoriasmatemáticas que hayan aparecido en forma de monografía en revistas, o las que estén a la venta en librerías […].La concesión del premio por parte de la sociedad no se hará efectiva antes de que transcurran dos años desde lapublicación de la memoria premiada. Tal intervalo de tiempo está destinado a que los matemáticos alemanes yextranjeros emitan su opinión acerca de la validez de la solución publicada.

Wiles envió su manuscrito a la revista Inventiones Mathematicae, después de lo cual su editor, BarryMazur, empezó el proceso de seleccionar a los evaluadores. El artículo de Wiles involucra talvariedad de técnicas matemáticas, tanto antiguas como modernas, que Mazur tomó la excepcionaldecisión de nombrar no sólo dos o tres evaluadores, como es la práctica usual, sino seis. Cada año,treinta mil artículos son publicados en revistas de todo el mundo, pero la gran extensión eimportancia del manuscrito de Wiles significaba que sería sometido a un grado excepcional deescrutinio. Para simplificar la tarea, las doscientas páginas de la demostración se dividieron en seissecciones y cada uno de los evaluadores asumió la responsabilidad sobre uno de esos capítulos.

El capítulo 3 fue asignado a Nick Katz, quien ya había examinado esa parte de la demostración deWiles aquel mismo año: «Yo estaba en París durante el verano para trabajar en el Institut des HautesÉtudes Scientifiques, y me llevé conmigo las doscientas páginas de la demostración completa; micapítulo en particular tenía una extensión de setenta páginas. Cuando llegué decidí que quería teneruna ayuda técnica seria e insistí en que Luc Illusie, que también estaba en París, se convirtiera enevaluador adjunto de mi capítulo. Nos encontraríamos unas cuantas veces cada semana durante todoel verano, básicamente para enseñarnos el uno al otro el modo de rehacer y comprender ese capítulo.Literalmente no hicimos otra cosa que repasar en detalle el manuscrito línea por línea y asegurarnosde que no hubiera errores. Algunas veces dudábamos en ciertos puntos y por ello cada día, a vecesdos veces el mismo día, enviaba un mensaje electrónico a Andrew con una pregunta: No entiendo loque dices en esta página o parece estar equivocado en esta línea. Solía recibir una respuesta el mismodía o al siguiente que aclaraba el asunto, y entonces continuábamos hasta el siguiente problema».

La demostración era un razonamiento gigantesco, intrincadamente construido a base de cientos decálculos matemáticos unidos por miles de nexos lógicos. Si tan sólo uno de los cálculos estuviera

equivocado, o si uno de los nexos no encajara, la demostración completa correría el peligro de perdertodo su valor. Wiles, que estaba ya de vuelta en Princeton, esperaba ansiosamente a que losevaluadores finalizaran su tarea. «No quería celebrarlo hasta que todo el artículo hubiera sidocomprobado. Mientras tanto, mi trabajo consistía en responder las preguntas que recibía por correoelectrónico de los evaluadores. Estaba bastante confiado en que ninguna de esas cuestiones pudieracausarme grandes problemas». El mismo había comprobado y vuelto a comprobar la demostraciónantes de enviársela a los evaluadores, de modo que esperaba poco más que el equivalente matemáticode los errores gramaticales y tipográficos, errores triviales que podía arreglar inmediatamente.

«Los problemas continuaron siendo relativamente intrascendentes hasta agosto —recuerda Katz—, hasta que encontré lo que parecía un pequeño problema más. Alrededor del 23 de agosto envié unmensaje electrónico a Andrew y, como la respuesta era un poco complicada, él me envió un fax. Peroel fax no parecía contestar a mi pregunta, así que le envié otro mensaje electrónico y recibí otro faxque tampoco me satisfizo».

Wiles había supuesto que aquel error era tan nimio como todos los demás, pero la persistencia deKatz le obligó a tomárselo en serio: «No pude resolver inmediatamente aquella cuestión de aspectoinocente. Durante un tiempo pareció ser del mismo orden que otros problemas, pero en algúnmomento durante septiembre empecé a darme cuenta de que no era una dificultad menor, sino undefecto fundamental. Era un error en una parte crucial del argumento relacionado con el método deKolyvagin-Flach, pero era algo tan sutil que lo había pasado completamente por alto hasta aquelmomento. El error era tan abstracto que no podía explicarse en términos sencillos. Inclusoexplicárselo a otro matemático implicaría que éste dedicara dos o tres meses a estudiar en detalle esaparte del manuscrito».

En esencia, el problema era que no existía garantía de que el método de Kolyvagin-Flachfuncionase tal como Wiles pretendía. Se suponía que el método extendía la demostración desde elprimer elemento de todas las ecuaciones elípticas y formas modulares a todos los elementos,proporcionando el mecanismo necesario para derribar las siguientes fichas de dominó. Originalmente,el método de Kolyvagin-Flach sólo funcionaba en circunstancias especialmente restringidas, peroWiles creyó que lo había adaptado y reforzado lo suficiente como para que fuese adecuado paratodos sus requerimientos. Según Katz, eso no era necesariamente cierto y los efectos eranespectaculares y devastadores.

El error no significaba que la prueba de Wiles no tuviera salvación, pero sí que debería consolidarla demostración. El absolutismo de las matemáticas exigía que Wiles demostrara más allá de toda dudaque su método funcionaba para cada elemento de las series E y M.

El ajustador de alfombras

Cuando Katz se dio cuenta de la importancia del error que había descubierto se preguntó cómo lohabía pasado por alto en primavera, cuando Wiles se lo había contado todo durante el curso dedoctorado con el único propósito de identificar cualquier posible error. «Creo que la respuesta esque, cuando estás escuchando una conferencia, existe una verdadera lucha entre intentar entenderlotodo y dejar que el conferenciante continúe. Si se interrumpe a cada momento (no entiendo esto o

aquello), entonces aquél nunca acaba de explicarlo todo y no llegas a ningún sitio. Por otro lado, sinunca interrumpes, te pierdes y asientes educadamente con la cabeza, pero en realidad no estáscomprobando nada. Existe una tensión real por no hacer demasiadas preguntas ni hacer demasiadopocas, y obviamente hacia el final de esas conferencias, que es cuando este problema se deslizóinadvertidamente, yo fallé por hacer demasiado pocas preguntas».

Sólo unas semanas antes, los periódicos de todo el mundo habían apodado a Wiles como elmatemático más brillante del mundo y, tras 350 años de frustración, los teóricos de números creíanque por fin habían vencido del todo a Pierre de Fermat. Ahora Wiles se encaraba con la humillaciónde tener que admitir que había cometido un error. Antes de confesar el error decidió concentrar susesfuerzos en eliminar el defecto lógico. «No podía darme por vencido. Estaba obsesionado con esteproblema y aún creía que el método de Kolyvagin-Flach sólo necesitaba un pequeño remiendo.Necesitaba modificarlo un poco y entonces funcionaría perfectamente. Decidí volver a mi antiguacostumbre y me aislé completamente del mundo exterior. Tenía que concentrarme otra vez, peroahora en circunstancias más difíciles. Durante un largo tiempo pensé que el arreglo estaba justo a lavuelta de la esquina, que estaba pasando por alto algún simple detalle que lo haría encajar todo al díasiguiente. Por supuesto, podría haber ocurrido de esa forma, pero según pasaba el tiempo parecía queel problema se iba haciendo más intransigente».

La esperanza era que pudiera arreglar el error antes de que la comunidad se diera cuenta de que talerror existía. La esposa de Wiles, que ya había asistido a los siete años de esfuerzo que habíainvertido en la demostración original, debía ahora ser testigo de la agónica lucha de su marido contraun error que podía destruirlo todo. Wiles recuerda su optimismo: «En septiembre, Nada me dijo quelo único que deseaba para su cumpleaños era una demostración correcta. Su cumpleaños es el 6 deoctubre. Sólo tenía dos semanas para entregar la prueba, y fracasé».

Para Nick Katz ése fue también un periodo de tensión: «En octubre, los únicos que sabíamos algosobre la existencia del error éramos yo mismo, Illusie, los evaluadores de los otros capítulos yAndrew; en principio sólo nosotros. Mi actitud fue la que se esperaba de mí como evaluador: queactuara de forma confidencial. Desde luego no creía que fuera de mi incumbencia discutir sobre estetema con nadie salvo con Andrew, así que no dije ni una palabra sobre ello. Creo que externamente élparecía en un estado normal, pero en aquel momento estaba ocultando un secreto al resto del mundoy creo que debía de sentirse bastante a disgusto con la situación. Andrew actuaba como si con tansólo en un día más fuera a resolver el problema, pero según discurría el otoño y no se hacía público elmanuscrito empezaron a circular rumores sobre la existencia de alguna dificultad».

En concreto, Ken Ribet, otro de los evaluadores, empezó a sentir la presión de guardar el secreto:«Por alguna razón completamente accidental empecé a ser conocido como el “Servicio de InformaciónFermat”. Todo comenzó con un artículo en el New York Times para el que Andrew me pidió quehablara con el periodista en su lugar, y el artículo decía: “Ribet, que actúa como portavoz de AndrewWiles…”, o algo por el estilo. Tras ello me convertí en una especie de imán para todos losinteresados en el último teorema de Fermat, tanto de fuera como de dentro de la comunidadmatemática. La gente llamaba de la prensa, de todos los rincones del mundo, de hecho, y tambiénpronuncié un gran número de conferencias durante un periodo de dos o tres meses. En esasconferencias resalté el magnífico logro que era la demostración, la esbocé y hablé de las partes quemejor conocía, pero tras un tiempo la gente empezó a impacientarse y a plantear preguntas difíciles».

«Wiles había hecho su anuncio público, pero nadie, salvo el pequeño grupo de evaluadores, havisto una copia del manuscrito. Los matemáticos estaban esperando el manuscrito que Andrew habíaprometido unas semanas después del anuncio inicial de junio. La gente decía: “Muy bien, una vezque la prueba del teorema ha sido anunciada nos gustaría saber qué está pasando. ¿Qué estáhaciendo? ¿Por qué no hay ninguna noticia?”. La gente estaba un poco enfadada por mantenérsela enla ignorancia y simplemente quería saber qué estaba pasando. Entonces la situación empeoró, pueslos nubarrones se cernieron sobre la demostración y la gente empezó a hablarme de los rumores queafirmaban que había una laguna en el capítulo 3. Me preguntaron sobre lo que sabía, y yo no sabíaqué decir».

Con Wiles y los evaluadores negando el conocimiento de alguna laguna, o como mínimorehusando hacer comentarios, las especulaciones fueron descontrolándose. En su desesperación, losmatemáticos empezaron a enviarse mensajes electrónicos con la esperanza de llegar al fondo delmisterio:

Tema: ¿Una laguna en la demostración de Wiles?Fecha: 18 Nov. 1993; 21:04:49 GMT

Están circulando rumores acerca de una o más lagunas en la demostración de Wiles. ¿Laguna significa grieta,fisura, fractura, sima o abismo? ¿Tiene alguien información fiable?

Joseph LipmanUniversidad Purdue

En la cafetería de cada departamento de matemáticas, los chismes sobre la demostración de Wilesaumentaban cada día. En respuesta a los rumores y los mensajes electrónicos especulativos, algunosmatemáticos intentaron restablecer una cierta calma en la comunidad.

Tema: Replica: ¿Laguna en la demostración de Wiles?Fecha: 19 Nov. 1993; 15:42:20 GMT

Yo no tengo ninguna información de primera mano y no me creo en la libertad de discutir información desegunda mano. Creo que el mejor consejo para todos es mantener la calma y dejar que los muy competentesevaluadores que están examinando cuidadosamente el artículo de Wiles hagan su trabajo. Ellos informarán sobresus descubrimientos cuando tengan algo definitivo que decir. Cualquiera que haya escrito o evaluado un artículoestará familiarizado con el hecho de que a menudo aparecen preguntas en el proceso de comprobar lasdemostraciones. Sería sorprendente que no ocurriera así con un resultado tan importante y una demostración tanlarga y difícil.

Leonard EvensUniversidad del Noroeste

A pesar de los llamamientos a conservar la calma, los mensajes electrónicos continuaron sindisminuir. Además de comentar sobre el error putativo, los matemáticos empezaron a discutir sobrela ética de anticiparse al anuncio de los evaluadores.

Tema: Más chismes sobre Fermat

Fecha: 24 Nov. 1993; 12:00:34 GMT

Creo que está claro que estoy en desacuerdo con los que dicen que no deberíamos chismorrear sobre si lademostración de Wiles del último teorema de Fermat es defectuosa o no. Yo estoy totalmente a favor de este tipode chismes siempre que no los tomemos muy en serio. No los creo maliciosos. Sobre todo porque sea o nodefectuosa la demostración de Wiles, estoy seguro de que ha hecho matemáticas de la mejor calidad.

Así que aquí está lo que he recibido hoy de n-ésima mano…Bob Silverman____________________________________________________

Tema: Replica: Agujero en FermatFecha: Lun. 22 Nov. 93; 20:16 GMT

Coates dijo en una conferencia en el Newton Institute la semana pasada que en su opinión había una laguna en laparte de la demostración de «sistemas geométricos de Euler» que «podría tardar una semana, o dos años», en serreparada. He hablado varias veces con él, pero aún no estoy seguro de en qué se basa para hacer esa afirmación: élno posee ninguna copia del manuscrito.

Por lo que yo sé, la única copia que hay en Cambridge es la de Richard Taylor, por ser uno de los evaluadoresdel artículo para Inventiones, y él ha declinado constantemente hacer comentarios hasta que todos los evaluadoreshayan alcanzado una conclusión común. Así que la situación es confusa. Yo mismo no veo por qué la opinión deCoates debe ser considerada como autorizada en este estadio: yo pienso esperar a que Richard Taylor sepronuncie.

Richard Pinch

Mientras el escándalo sobre su elusiva demostración iba creciendo, Wiles intentaba por todos losmedios ignorar la controversia y la especulación. «Realmente me desconecté porque no quería saberlo que la gente estaba diciendo de mí. Me recluí, pero periódicamente mi compañero Peter Sarnak medecía: “¿Sabes que hay una tormenta por aquí?”. Lo había oído, pero, por mí mismo, sólo queríadesconectarme del todo para concentrarme completamente en el problema».

Peter Sarnak se había incorporado al departamento de matemáticas de Princeton al mismo tiempoque Wiles y a lo largo de los años se habían convertido en buenos amigos. Durante el intenso periodode confusión, Sarnak fue uno de los pocos en los que Wiles confió. «Bueno, yo nunca estuve al tantode los detalles exactos, pero estaba claro que intentaba superar una seria cuestión. Pero cada vez queconseguía arreglar un problema la reparación causaba alguna nueva dificultad en otra parte de lademostración. Era como si estuviera intentando poner una alfombra en una habitación y la propiaalfombra fuera mayor que la habitación. De modo que Andrew podía ajustar la alfombra en cualquieresquina sólo para descubrir que se había desencajado en otra esquina. Si podría o no ajustar laalfombra en la habitación era algo sobre lo que nadie podía pronunciarse. Pero, ojo, incluso con elerror Andrew había dado un paso gigantesco. Antes de él nadie tenía ninguna estrategia para vencer laconjetura de Taniyama-Shimura, y ahora todo el mundo estaba muy emocionado ya que él nos habíamostrado un gran número de ideas nuevas. Eran ideas fundamentales, cosas nuevas que nadie habíaconsiderado antes. Así que, incluso si no podía arreglarse, ése era un gran avance, aunque, porsupuesto, Fermat continuaría sin resolver».

Finalmente, Wiles se dio cuenta de que no podía seguir manteniendo su silencio por siempre. La

solución al error no estaba a la vuelta de la esquina y era el momento de poner punto final a laespeculación. Tras un otoño de tremendo fracaso envió el siguiente mensaje electrónico a la junta dela revista matemática:

Tema: Estado de FermatFecha: 4 Dic. 93; 1:36:50 GMT

En vista de la especulación acerca del estado de mi trabajo sobre la conjetura de Taniyama-Shimura y el ultimoteorema de Fermat daré un breve informe de la situación. Durante el proceso de revisión aparecieron un ciertonúmero de problemas, la mayoría de los cuales han sido resueltos; pero uno en particular no he podidoresolverlo. La reducción clave (la mayoría de los casos) de la conjetura de Taniyama-Shimura al cálculo delgrupo de Selmer es correcta. Sin embargo, el cálculo de una cota superior precisa para el grupo de Selmer en elcaso semiestable (de la representación cuadrada simétrica asociada a la forma modular) no está completo en suforma actual. Creo que seré capaz de finalizar esto en un futuro próximo usando las ideas explicadas en misconferencias en Cambridge.

El hecho de que aún queda por hacer mucho trabajo sobre el manuscrito lo hace inadecuado para su publicacióncomo preprint. En mi curso en Princeton, que empezará en febrero, daré un informe completo de este trabajo.

Andrew Wiles

Pocos quedaron convencidos por el optimismo de Wiles. Habían pasado casi seis meses sin que elerror pudiera ser corregido y no había razón alguna para pensar que algo fuera a cambiar en lospróximos seis. En cualquier caso, si realmente pudiera «acabarlo en un futuro próximo», ¿por quémolestarse en enviar el mensaje electrónico? ¿Por qué no limitarse a mantener el silencio durante unaspocas semanas más y luego dar a conocer el manuscrito finalizado? El curso de febrero que mencionóen su mensaje electrónico no proporcionó el detalle prometido y la comunidad matemática creyó queWiles sólo estaba intentando conseguir un poco más de tiempo.

Los periódicos pasaron la historia por alto una vez más y los matemáticos recordaron la fallidademostración de Miyaoka en 1988. La historia se repetía. Los teóricos de números esperaban elsiguiente mensaje electrónico en que se explicara por qué razón la demostración estabairrecuperablemente errada. Un puñado de matemáticos había expresado sus dudas sobre lademostración ya durante el verano y ahora su pesimismo parecía justificado. Un rumor afirmaba queel profesor Alan Baker, de la Universidad de Cambridge, ofreció apostar cien botellas de vino contrauna sola a que en menos de un año se demostraría que la prueba no era válida. Baker niega laanécdota, pero admite con orgullo haber expresado un «sano escepticismo».

Menos de seis meses después de su conferencia en el Newton Institute la demostración de Wilesestaba hecha jirones. El placer, la pasión y la esperanza que le habían poseído durante los años decálculos secretos se transformaron en turbación y desesperanza. Wiles recuerda cómo el sueño de suinfancia se había convertido en una pesadilla: «Los primeros siete años que trabajé en el problemadisfruté con el combate privado. No importaba lo duro que hubiera sido, no importaba loinsuperables que parecieran las cosas, me dedicaba a mi problema favorito. Era mi pasión de lainfancia; sencillamente no podía dejarlo, no quería dejarlo ni por un solo instante. Después tuve quehablar de ello, y al hacerlo sentí realmente una sensación de pérdida. Era una emoción muy ambigua.Era estupendo ver la reacción de otra gente ante la demostración, pero al mismo tiempo había perdido

mi búsqueda personal. Estaba abierta al mundo y ya no podía continuar con aquel sueño privado queestaba cumpliendo. Y entonces, después de que apareciera el problema con la demostración, habíadocenas, cientos, miles de personas que querían distraerme. Hacer matemáticas de esta forma tanpública no es mi estilo, y yo no disfrutaba de este modo de hacerlas».

Los teóricos de números simpatizaban con la postura de Wiles. El mismo Ken Ribet habíapasado por la misma pesadilla ocho años antes cuando intentó demostrar el nexo entre la conjetura deTaniyama-Shimura y el último teorema de Fermat. «Estaba dando una conferencia acerca de lademostración en el Mathematical Sciences Research Institute de Berkeley y alguien de entre elpúblico dijo: “Eh, espere un momento, ¿cómo sabe que tal y tal es cierto?”. Respondíinmediatamente dando mis razones, y él dijo: “Bueno, eso no se aplica en esta situación”. Entoncesme di cuenta de que sólo existía un modo de justificarlo, que era volver al trabajo fundamental sobreel tema y ver exactamente cómo se aplicaba en una situación similar. Miré el artículo más importantey vi que efectivamente el método se podía aplicar en mi caso; en un día o dos lo había corregido todo.En mi siguiente conferencia fui capaz de dar una justificación. Pero siempre vives con el temor de quesi anuncias algo importante alguien pueda descubrir un error básico».

«Cuando encuentras un error en un original puedes actuar de dos maneras. A veces existe unagran confianza en la demostración y la puedes resucitar con poca dificultad. Y a veces ocurre locontrario. Es muy inquietante, tienes la sensación de que todo se va a pique cuando te das cuenta deque has cometido un error fundamental y no hay forma de arreglarlo. Es posible que, cuando apareceuna brecha, el teorema se haga del todo inalcanzable ya que cuanto más intentas tapar la grieta temetes en más problemas. Pero en el caso de Wiles cada capítulo de la demostración era un artículoimportante por derecho propio. El manuscrito representaba siete años de trabajo, básicamente estabaconstituido por varios artículos encajados entre sí y cada uno de ellos era de un gran interés. El errorocurrió en uno de los artículos, el capítulo 3, pero, incluso si retirabas el capítulo 3, lo que quedabaera aun absolutamente maravilloso».

Pero sin el capítulo 3 no había demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura y, por lotanto, no había demostración del último teorema de Fermat. Había un sentimiento de frustración en lacomunidad matemática debido a que la demostración de dos grandes problemas estuviera endificultades. Más aún, tras seis meses de espera nadie, salvo Wiles y los evaluadores, tenía acceso almanuscrito. Existía un creciente clamor en demanda de mayor apertura, de manera que todo el mundopudiera ver por sí mismo los detalles del error. La esperanza era que alguien, en alguna parte, pudierareparar la brecha en la demostración. Algunos matemáticos afirmaban que la demostración erademasiado valiosa para ser dejada en manos de un solo hombre. Los teóricos de números habían sidoel blanco de las pullas del resto de matemáticos, quienes cuestionaban sarcásticamente si habíanentendido o no el concepto de demostración. Lo que debería haber sido el momento de mayor orgullode las matemáticas se estaba transformando en una broma.

A pesar de las presiones, Wiles rechazó hacer público su manuscrito. Después de siete años dedevoto esfuerzo no estaba preparado para cruzarse de brazos mientras veía cómo algún otrocompletaba la demostración y le robaba la gloria. La persona que demostrara Fermat no sería quienpusiera la parte del trabajo sino la que entregara la demostración completa y definitiva. Wiles sabíaque una vez que el manuscrito fuera publicado en su actual estado se vería abrumado por laspreguntas y peticiones de aclaraciones de aspirantes a «apañadores de brechas», y esas distracciones

destruirían sus propias esperanzas de enmendar la demostración mientras daba a otros pistas vitales.Wiles intentó volver al mismo estado de aislamiento que le había permitido crear la demostración

original y regresó a su hábito de intenso estudio en el ático. En ocasiones vagaba por los alrededoresdel lago de Princeton, como había hecho en el pasado. Los que hacían footing, los ciclistas, losremeros en el lago, todos los que habían pasado antes por su lado con un pequeño saludo ahora sedetenían y le preguntaban si había realizado algún adelanto con el problema. Wiles había aparecido enlas primeras planas de todo el mundo, habían escrito un artículo sobre él en la revista People e inclusolo habían entrevistado en la CNN. El verano anterior Wiles se había convertido en la primeracelebridad matemática del mundo y su imagen aún estaba empañada.

Mientras tanto, en el departamento de matemáticas los chismes continuaban. El profesor dematemáticas de Princeton John H. Conway recuerda el ambiente en la sala de café del departamento:«Nos reuníamos para el té a las tres y nos precipitábamos sobre las galletas. Algunas vecesdiscutíamos sobre problemas matemáticos, a veces hablábamos sobre el juicio a O. J. Simpson, y aveces discutíamos sobre los progresos de Andrew. Puesto que a nadie le atraía la idea de irdirectamente y preguntarle cómo le iba con la demostración, actuábamos como los kremlinólogos. Asíalguien decía: “He visto a Andrew esta mañana”. “¿Sonreía?”. “Bueno, sí, pero no parecía demasiadofeliz”. Sólo podíamos calibrar sus sentimientos por su cara».

Un mensaje electrónico de pesadilla

Según avanzaba el invierno, las esperanzas de un avance espectacular disminuían y más matemáticosargumentaban que la obligación de Wiles era dar a conocer el manuscrito. Los rumores continuaron yun artículo periodístico aseguraba que Wiles se había rendido y que la demostración se había hundidoirremediablemente. Aunque esto era una exageración, sí era cierto que Wiles había probado docenasde enfoques que podían haber evitado el problema y no encontraba ninguna ruta posible hacia unasolución.

Wiles admitió ante Peter Sarnak que la situación se estaba tornando desesperada y que estaba apunto de aceptar la derrota. Sarnak sugirió que parte de la dificultad estaba en que Wiles no tenía anadie en quien pudiera confiar en el día a día; no había nadie que pudiera replicar a sus ideas o pudierainspirarle para explorar enfoques alternativos. Sugirió que Wiles buscara a alguien de su confianza eintentara una vez más reparar la brecha. Wiles necesitaba a alguien que fuera un experto en lamanipulación del método de Kolyvagin-Flach y que mantuviera los detalles del problema en secreto.Tras una prolongada reflexión decidió invitar a Princeton a Richard Taylor, un profesor deCambridge, para trabajar a su lado.

Taylor era uno de los evaluadores responsables de la verificación de la demostración y un antiguoestudiante de Wiles, y como tal estaría doblemente motivado. El año anterior se encontraba entre elpúblico en el Isaac Newton Institute viendo a su antiguo director de tesis presentar la demostracióndel siglo. Ahora su trabajo era ayudar a salvar la defectuosa demostración.

En enero, Wiles, con la ayuda de Taylor, volvía a explorar incansablemente el método deKolyvagin-Flach intentando encontrar una salida a su problema. En ocasiones, después de días deesfuerzo, entraban en nuevos territorios, pero inevitablemente volvían a encontrarse en el punto de

partida. Habiéndose aventurado más lejos que nunca y habiendo fallado una y otra vez, se dieroncuenta de que estaban en el interior de un laberinto de una vastedad inimaginable. Su temor másprofundo era que el laberinto fuera infinito y no tuviera salida y que estuvieran condenados a vagarsin rumbo por siempre.

Entonces, en la primavera de 1994, justo cuando parecía que las cosas no podían ser peores,apareció en las pantallas de todo el mundo el siguiente mensaje electrónico:

Fecha: 03 Abril 94Tema: Otra vez Fermat

Hoy ha habido un sorprendente desarrollo sobre el ultimo teorema de Fermat.

¡Noam Elkies ha anunciado un contraejemplo, de modo que después de todo el último teorema de Fermat no escierto! Hablo hoy sobre esto en el instituto. La solución a Fermat implica un exponente primo increíblementegrande (mayor que 10^20), pero es constructiva. La idea principal parece ser una especie de construcción depunto de Heegner, combinada con un ataque realmente ingenioso para pasar de las curvas modulares a la curva deFermat. La parte realmente difícil del argumento parece ser demostrar que el campo de definición de la solución(que, a priori, es algún campo de clase anillo de un campo cuadrático imaginario) realmente se reduce a Q.

No fui capaz de seguir todos los detalles, que son bastante complicados…

Así que parece que después de todo la conjetura de Taniyama-Shimura no es cierta. Los expertos creen que aúnpuede ser rescatada extendiendo el concepto de representación automórfica e introduciendo una noción de «curvasanómalas» que aún daría lugar a una «representación quasi-automórfica».

Henri DarmonUniversidad de Princeton

Noam Elkies era un profesor de Harvard que ya en 1988 había encontrado un contraejemplo a laconjetura de Euler, demostrando por tanto que era falsa:

2 682 4404 + 15 365 6394 + 187 6904 = 20 615 6734.

Aparentemente, ahora había encontrado un contraejemplo al último teorema de Fermat, demostrandoasí que también éste es falso. Se trataba de un golpe trágico para Wiles: la razón de que no pudieraarreglar la demostración era resultado directo de la falsedad del último teorema. Era un golpe aúnmayor para la comunidad matemática en su conjunto ya que, si el último teorema de Fermat era falso,Frey había demostrado que esto llevaba a una ecuación elíptica que no era modular, lo que constituíauna contradicción directa a la conjetura de Taniyama-Shimura; Elkies había encontrado no sólo uncontraejemplo a Fermat, indirectamente había encontrado un contraejemplo a Taniyama-Shimura.

La muerte de la conjetura de Taniyama-Shimura tendría consecuencias devastadoras para la teoríade números puesto que durante dos décadas los matemáticos habían asumido tácitamente suveracidad. En el capítulo 5 se explicó que los matemáticos habían escrito docenas de demostracionesque empezaban con la frase «Asumiendo la conjetura de Taniyama-Shimura»; pero ahora Elkies habíademostrado que esa suposición era falsa y todas aquellas demostraciones se habían hundido a la vez.Los matemáticos pidieron inmediatamente más información y bombardearon a Elkies con preguntas,

pero no hubo respuesta ni explicación sobre su silencio. Nadie pudo obtener siquiera los detalles delcontraejemplo.

Después de unos días de confusión, algunos matemáticos echaron un segundo vistazo al mensajeelectrónico y cayeron en la cuenta de que, aunque en general estaba fechado el 2 o 3 de abril, esto eraresultado de haberlo recibido de segunda o tercera mano. El original estaba fechado el 1 de abril[6]. Elmensaje electrónico era una farsa perpetrada por el teórico de números canadiense Henri Darmon. Elburlesco mensaje electrónico sirvió de lección a los que propagaban rumores sobre Fermat, que,durante un tiempo, dejaron en paz al último teorema de Fermat, a Wiles, a Taylor y a la pruebadefectuosa.

Aquel verano, Wiles y Taylor no realizaron ningún progreso. Tras ocho años de esfuerzocontinuado y una obsesión que había durado toda su vida, Wiles estaba preparado para admitir laderrota. Le dijo a Taylor que no veía ninguna razón para seguir intentando arreglar la demostración.Taylor ya tenía planeado pasar todo el mes de septiembre en Princeton antes de volver a Cambridge,así que, en contra del pesimismo de Wiles, sugirió que perseveraran durante un mes más. Si no habíaesperanzas de arreglo a finales de septiembre, lo dejarían, reconocerían públicamente su fracaso ypublicarían la defectuosa demostración para permitir que otros tuvieran la oportunidad de examinarla.

El regalo de cumpleaños

Aunque la batalla de Wiles con el problema matemático más complejo del mundo parecía condenadaal fracaso, aún podía mirar hacia atrás, a los últimos siete años, y estar seguro de que la mayor partede su trabajo seguiría siendo válido. De entrada, su utilización de los grupos de Galois habíaproporcionado una nueva comprensión del problema. Había demostrado que el primer elemento decada ecuación elíptica podía asociarse al primer elemento de alguna forma modular. El reto erademostrar que si un elemento de la ecuación elíptica era modular también debía serlo el siguiente, demodo que todos debían ser modulares.

Durante esos años, Wiles había luchado para extender la demostración. Intentó completar unenfoque inductivo y había batallado con la teoría Iwasawa con la esperanza de que ésta demostraríaque si caía una ficha del dominó eso las haría caer a todas. Inicialmente, la teoría Iwasawa parecíatener suficiente potencia para generar el efecto dominó necesario, pero, al final, no pudo cumplir susexpectativas. Había dedicado dos años de esfuerzo a un callejón sin salida.

En el verano de 1991, después de pasar un año en calma chicha, Wiles encontró el método deKolyvagin y Flach y abandonó la teoría Iwasawa en favor de esta nueva técnica. Al año siguienteanunció la demostración en Cambridge y fue proclamado un héroe. En menos de dos meses sedemostró que el método de Kolyvagin-Flach era defectuoso y desde entonces la situación habíaempeorado. Cada intento de arreglar Kolyvagin-Flach había fallado.

Todo el trabajo de Wiles, salvo la parte final que utilizaba el método de Kolyvagin-Flach, era aúnvalioso. La conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat podían no haber sidoresueltos; sin embargo, Wiles había provisto a los matemáticos de una serie completa de nuevastécnicas y estrategias que podían explotar para demostrar otros teoremas. La derrota de Wiles no erade ningún modo indecorosa, y él ya empezaba a hacerse a la idea de ser derrotado.

Como consuelo quería entender al menos por qué había fracasado. Mientras Taylor volvía aexplorar y examinar métodos alternativos, Wiles decidió dedicar el mes de septiembre a examinar porúltima vez la estructura del método de Kolyvagin-Flach para intentar concretar por qué nofuncionaba. Recuerda vívidamente aquellos decisivos días: «Estaba sentado frente a mi escritorio unlunes por la mañana, el 19 de septiembre, examinando el método de Kolyvagin-Flach. No es quecreyera que podía hacerlo funcionar, pero al menos quería saber por qué fallaba. Creo que me estabaaferrando a un clavo ardiendo, pero quería convencerme a mí mismo. De repente, de una formainesperada, tuve una revelación increíble. Me di cuenta de que, aunque el método no funcionabaperfectamente, era todo lo que necesitaba para desarrollar mi trabajo original con la teoría Iwasawa.Me di cuenta de que conseguía lo suficiente del método de Kolyvagin-Flach para que mi enfoqueoriginal del problema, que había hecho tres años antes, funcionara. Así que, de las cenizas del métodode Kolyvagin-Flach, parecía elevarse la respuesta real al problema».

La teoría Iwasawa por sí sola era inadecuada. El método de Kolyvagin-Flach por sí solo erainadecuado. Juntos se complementaban perfectamente. Aquél fue un instante de inspiración queWiles jamás olvidará. Mientras rememoraba aquellos momentos, el recuerdo fue tan intenso que se lesaltaron las lágrimas: «Fue tan indescriptiblemente bello; era tan simple y elegante. No podíaentender cómo lo había pasado por alto y lo estuve contemplando incrédulo durante veinte minutos.Aquel día pase por el departamento y volví a mi despacho para ver si la nueva idea aún estaba allí. Yaún estaba. No podía contenerme, ¡estaba tan emocionado! Fue el momento más importante de mivida profesional. Nada de lo que haga significará nunca tanto».

No era tan sólo la realización de un sueño de la infancia y la culminación de ocho años dedenodados esfuerzos, sino que, habiendo estado al borde de la rendición, Wiles se revolvió paraprobar su genialidad ante el mundo. Los últimos catorce meses habían sido el periodo más penoso,humillante y deprimente de su carrera como matemático. Ahora, una brillante inspiración habíaacabado con sus sufrimientos.

«Aquella noche volví a casa y lo consulté con la almohada. Lo volví a comprobar a la mañanasiguiente y, hacia las once, me sentí satisfecho y bajé a decírselo a mi esposa: “¡Lo tengo! Creo que lohe encontrado”. Fue tan inesperado que ella creyó que estaba hablando de un juguete de los críos oalgo así, y me dijo: “¿Qué es lo que tienes?”, y yo le dije: “He arreglado la demostración. Lo tengo”».

Al mes siguiente, Wiles pudo satisfacer la promesa en la que había fracasado el año anterior. «Seestaba acercando el cumpleaños de Nada y recordé que en el último no le había podido hacer el regaloque ella quería. Esta vez, medio minuto después de empezar a cenar en la noche de su aniversario,pude entregarle el manuscrito completo. Creo que a ella le gustó más ese regalo que cualquier otro queyo le hubiera hecho antes».

Tema: Puesta al día sobre el ultimo teorema de FermatFecha: 25 Oct. 1994; 11:04:11

Esta misma mañana se han dado a conocer dos manuscritos.

Curvas elípticas modulares y el ultimo teorema de Fermat,por Andrew Wiles.

Propiedades anulares teóricas de ciertas álgebras de Hecke,

por Richard Taylor y Andrew Wiles.

El primero (largo) anuncia una demostración de, entre otras cosa, el Ultimo Teorema de Fermat, y se basa en elsegundo (corto) para un paso crucial.

Como muchos de ustedes saben, el argumento descrito por Wiles en sus conferencias en Cambridge resulto teneruna seria brecha, a saber, la construcción de un sistema de Euler. Después de tratar sin éxito de reparar estaconstrucción, Wiles volvió a un enfoque diferente, que había probado con anterioridad y abandonado en favor dela idea del sistema de Euler. Fue capaz de completar su demostración bajo la hipótesis de que ciertas álgebras deHecke son intersecciones locales completas. Esta y el resto de las ideas descritas por Wiles en las conferencias enCambridge están detalladas en el primer manuscrito. Conjuntamente, Taylor y Wiles establecen la propiedadnecesaria de las álgebras de Hecke en el segundo artículo.

El esquema general del razonamiento es similar al que Wiles describió en Cambridge. El nuevo enfoque resultaser significativamente más sencillo y corto que el original debido a la eliminación del sistema de Euler (Dehecho, tras ver los manuscritos parece que Faltings ha obtenido una significativa simplificación posterior de estaparte de la argumentación).

Versiones de estos manuscritos han estado en manos de un pequeño número de personas durante (en algunoscasos) unas cuantas semanas. Aunque es razonable ser cautos durante algo más de tiempo, sin duda existenrazones para el optimismo.

Karl RubinUniversidad Estatal de Ohio

8. LA GRAN UNIFICACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS

Un osado jovencito de Burmaencontró demostraciones del teorema de Fermat,vivió entonces con el terrorde encontrar un error.¡La demostración de Wiles, sospechaba, era más sólida!

Fernando Gouvea

Esta vez no había dudas sobre la demostración. Los dos artículos, cuya extensión total era de 130páginas, fueron los originales matemáticos más intensamente examinados de la historia y finalmentese publicaron en Annals of Mathematics (mayo de 1995).

Una vez más, Wiles se encontró en la portada del New York Times, pero esta vez el titular, «Losmatemáticos afirman haber resuelto un enigma clásico», se vio ensombrecido por otra noticiacientífica: «Un descubrimiento sobre la edad del universo plantea un nuevo enigma cósmico».Aunque esta vez los periodistas eran algo menos entusiastas sobre el último teorema de Fermat, losmatemáticos percibían el verdadero significado de la demostración. «En términos matemáticos, lademostración es el equivalente de la división del átomo o el descubrimiento del ADN —dijo elprofesor John Coates—. Una demostración de Fermat es un gran triunfo intelectual, y no se deberíaolvidar el hecho de que esto ha revolucionado la teoría de números de un solo golpe. Para mí, elencanto y la belleza del trabajo de Wiles son que han constituido un tremendo paso para la teoríaalgebraica de números».

Durante los ocho años de lucha, Wiles había reunido casi todos los grandes avances de la teoría denúmeros del siglo XX y los había incorporado en una imponente demostración. Había creado técnicasmatemáticas completamente nuevas y las había combinado con las tradicionales en formas que nadiehabría considerado posibles. Al hacerlo abrió nuevas líneas de ataque a una multitud de problemas.De acuerdo con Ken Ribet, la demostración es una síntesis perfecta de matemáticas modernas y unafuente de inspiración para el futuro: «Creo que si estuvieras perdido en una isla desierta y sólotuvieras el manuscrito, dispondrías de una gran cantidad de alimento intelectual. Podrías ver todas lasideas actuales sobre teoría de números. Vuelves una página y tienes una breve aparición de algúnteorema fundamental de Deligne, vuelves otra página y de repente hay un teorema de Hellegouarch;utiliza y recurre a todas esas cosas durante un momento antes de pasar a la siguiente idea».

Mientras los periodistas científicos elogiaban la demostración de Wiles del último teorema deFermat, algunos de ellos hablaban de la demostración de la conjetura de Taniyama-Shimura queestaba inextricablemente unida a Fermat. Pocos se tomaron la molestia de mencionar la contribuciónde Yutaka Taniyama y Goro Shimura, los dos matemáticos japoneses que en los años cincuentahabían plantado las semillas para el trabajo de Wiles. Aunque Taniyama se había suicidado hacía másde treinta años, su colega Shimura estaba allí, testigo de la demostración de su conjetura. Cuando se lepreguntó sobre su reacción frente a la demostración, Shimura sonrió amablemente y de manera

comedida y digna declaró: «Yo ya lo dije».Como muchos de sus colegas, Ken Ribet cree que la demostración de la conjetura de Taniyama-

Shimura ha transformado las matemáticas: «Una importante repercusión sicológica es que la gentepuede ahora avanzar en problemas en los que antes era demasiado tímida para trabajar. El panoramaes diferente pues sabes que todas las ecuaciones elípticas son modulares, y, por lo tanto, cuandodemuestras un teorema para ecuaciones elípticas también estás abordando un problema de formasmodulares, y viceversa. Tienes una perspectiva diferente de lo que está sucediendo y te sientesmenos intimidado por la idea de trabajar básicamente con formas modulares porque en realidad estástrabajando con ecuaciones elípticas. Y, por supuesto, cuando escribes un artículo sobre ecuacioneselípticas, en lugar de decir que no sabemos algo y por ello vamos a suponer la conjetura deTaniyama-Shimura, ahora sólo hay que decir que sabemos que la conjetura es cierta, así que tal y taldebe ser cierto. Es una experiencia mucho más placentera».

Por medio de la conjetura de Taniyama-Shimura, Wiles había unificado los mundos elíptico ymodular, y al hacerlo había provisto a las matemáticas de un atajo para muchas otras demostraciones;problemas en un dominio podrían ser resueltos por analogía recurriendo a problemas en el dominioparalelo. Problemas clásicos sin resolver de las ecuaciones elípticas, algunos de los cuales seremontan a los antiguos griegos, podrían ser reexaminados usando todas las herramientas y técnicasmodulares disponibles.

Aún más importante, Wiles había dado el primer paso hacia el plan de unificación de RobertLanglands: el Programa Langlands. Ahora existe un redoblado esfuerzo para demostrar otrasconjeturas que enlazan otras áreas de las matemáticas. En marzo de 1996, Wiles compartió conLanglands los cien mil dólares del Premio Wolf (no confundir con el Premio Wolfskehl). El ComitéWolf reconocía así que la demostración de Wiles era un logro asombroso en sí misma a la vez quehabía insuflado nueva vida en el ambicioso proyecto de Langlands. Un avance que podía llevar a lasmatemáticas a su siguiente época dorada de solución de problemas.

Después de un año de desasosiego e incertidumbre, la comunidad matemática podía finalmenteregocijarse. Cada simposio, coloquio o conferencia tenía una sesión dedicada a la demostración deWiles, y en Boston algunos matemáticos propusieron un concurso de poesías jocosas paraconmemorar el trascendental evento. Una de las presentadas fue la siguiente:

«Mi mantequilla, garçon[7],¡ todo un decreto está hecha!»,acusó una convidada insatisfecha,«en ella tuve que escribir»,el camarero Pierre osó decir,«la margarina me venía demasiado estrecha».

E. Howe, H. Lenstra, D. Moulton

Grandes problemas sin resolver

Wiles es muy consciente de que para dar a las matemáticas una de sus demostraciones más

importantes ha tenido que despojarlas de su mayor enigma: «Algunas personas me han dicho que leshe arrebatado su problema y me preguntan si podría darles algún otro. Existe un sentimiento denostalgia. Hemos perdido algo que ha estado con nosotros durante mucho tiempo, algo que nos haguiado a muchos hacia las matemáticas. Tal vez esto siempre sea así en matemáticas. Tenemos queencontrar nuevos problemas que capten nuestra atención».

Aunque Wiles ha eliminado el problema más famoso de las matemáticas, los aficionados a lospuzzles matemáticos no tienen que perder la esperanza puesto que aún quedan multitud de acertijosmatemáticos sin resolver. Muchos de esos profundos problemas, como el último teorema de Fermat,tienen sus raíces en las matemáticas de la antigua Grecia y pueden ser comprendidos por un niño. Porejemplo, existen aún misterios referentes a los números perfectos. Como se comentó en el capítulo 1,los números perfectos son aquellos en que la suma de sus divisores da exactamente el númerooriginal. Por ejemplo, 6 y 28 son número perfectos ya que

1, 2 y 3 dividen a 6 y 1 + 2 + 3 = 6,

1, 2, 4, 7 y 14 dividen a 28 y 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Rene Descartes dijo que «los números perfectos, como los hombres perfectos, son muy escasos», y,en efecto, en los últimos mil años sólo se han descubierto treinta. El más reciente y mayor de losnúmero perfectos contiene 130 000 dígitos y se define por la fórmula

2216 090 × (2216 091 − 1).

Una propiedad común a todos los números perfectos conocidos es que son pares, lo que parecesugerir que todos los números perfectos lo son. Un reto obvio, y frustrante, sería demostrar si lasiguiente afirmación es correcta: todos los números perfectos son pares.

El otro gran enigma sobre los números perfectos plantea si existe una cantidad infinita de ellos. Lasucesión de números primos no sigue ningún modelo discernible y por tanto los primos son unainfracción en sí mismos. Se los ha descrito como malas hierbas creciendo aleatoriamente entre losnúmeros naturales.

Al examinar el conjunto de los números naturales se encuentran regiones ricas en númerosprimos, pero por alguna razón desconocida otras regiones están completamente desprovistas.Durante siglos, los matemáticos han intentado, en vano, explicar la estructura subyacente de losnúmeros primos. Podría ser que no existiera tal estructura y que los primos exhibieran unadistribución intrínsecamente aleatoria, en cuyo caso los matemáticos harían bien en atacar otrosproblemas menos ambiciosos relacionados con los números primos.

Por ejemplo, hace dos mil años Euclides demostró que hay una cantidad inagotable de númerosprimos (véase el capítulo 2), pero durante los dos últimos siglos los matemáticos han estado tratandode demostrar que también hay una cantidad inagotable de números primos gemelos. Los primosgemelos son parejas de números primos que difieren sólo por dos unidades, que es lo más cerca quepueden estar dos números primos entre sí. No pueden diferir en una puesto que entonces uno deellos sería par y divisible entre 2, y por lo tanto no sería primo. Ejemplo de primos gemelospequeños son (5, 7) y (17, 19) y entre los grandes se incluyen (22 271, 22 273) y (1 000 000 000

061, 1 000 000 000 063). Los primos gemelos parecen estar desperdigados por toda la secuencia delos números, y cuanto más intensamente los buscan los matemáticos más encuentran. Hay una granevidencia de que hay un número infinito, pero nadie ha sido capaz de demostrarlo.

El avance más reciente hacia una demostración de la llamada conjetura de los primos gemelos serealizó en 1966 cuando el matemático chino Chen Jing-run demostró que existen una infinidad depares de números primos y casi-primos. Los números primos no tienen divisores, aparte del 1 yellos mismos, y los casi-primos son lo más parecidos posible ya que sólo tienen dos divisoresprimos. Así, 17 es un número primo, mientras que 21 (3 × 7) es un casi-primo. Los números como120 (2 × 3 × 4 × 5) no son primos en absoluto ya que son el producto de varios factores primos.Chen demostró que hay un número infinito de casos en los que un número primo está hermanado obien con otro número primo o bien con un casi-primo. Quienquiera que pueda ir un paso más allá yeliminar el «casi-primo» habrá obtenido el más importante avance en números primos desde Euclides.

Otro enigma que involucra números primos se remonta a 1742, cuando Christian Goldbach, tutordel joven zar Pedro II, escribió una carta al gran matemático suizo Leonhard Euler. Goldbach habíaexaminado docenas de números pares y se había apercibido de que podía expresarlos todos como lasuma de dos primos:

4 = 2 + 2,

6 = 3 + 3,

8 = 3 + 5,

10 = 5 + 5,

50 = 19 + 31,

100 = 53 + 47,

21 000 = 17 + 20 983,

↓

Goldbach preguntó a Euler si podría demostrar que todos los números pares pueden dividirse en dosprimos de este modo. A pesar de años de esfuerzo, el hombre conocido como «el análisis encarnado»fue vencido por el reto de Goldbach. En nuestra era de los ordenadores, la conjetura de Goldbach,como llegó a ser conocida, ha sido comprobada y encontrada correcta para cada número par hasta 100000 000, pero aún nadie ha sido capaz de demostrar que la conjetura es cierta para cada número parhasta el infinito. Los matemáticos han demostrado que cada número par es la suma de no más de 800000 primos, pero aún hay que recorrer un largo camino hasta demostrar la conjetura original. Inclusoasí, este tipo de demostraciones débiles ha producido importantes revelaciones sobre la naturaleza delos números primos. En 1941, Stalin concedió un premio de cien mil rublos al matemático ruso IvanMatveyevich Vinogradov, que había dado algunos pasos para demostrar la conjetura de Goldbach.

De todos los problemas que podrían reemplazar al último teorema de Fermat como el mayorenigma sin resolver en matemáticas el mejor candidato es el problema del apilado de esferas.

En 1609, el científico alemán Johannes Kepler demostró que los planetas se mueven en órbitas

elípticas en vez de circulares, un descubrimiento que revolucionó la astronomía y que posteriormenteinspiraría a Isaac Newton la deducción de la ley de la gravitación universal. El legado matemático deKepler es menos grandioso pero igualmente profundo. Esencialmente se ocupa del curioso problemade construir pilas de naranjas de la manera más eficaz.

El problema nació en 1611 cuando Kepler escribió un artículo titulado «Sobre el copo de nieve deseis lados», un regalo de Año Nuevo para su mecenas, John Wacker de Wackenfels. Kepler explicócorrectamente por qué todos los copos de nieve tienen una estructura única pero siempre hexagonalsugiriendo que cada copo empieza por una semilla con simetría hexagonal que crece mientras vacayendo a través de la atmósfera. Las cambiantes condiciones, viento, temperatura y humedad,aseguran que cada copo de nieve sea único, aunque la semilla es tan pequeña que las condiciones quedeterminan el modelo de crecimiento serán idénticas en los seis lados, asegurando la conservación dela simetría. En este artículo, aparentemente irrelevante, Kepler, quien poseía un notable talento paraobtener profundas intuiciones a partir de simples observaciones, estaba asentando las bases de lacristalografía.

El interés de Kepler por cómo se disponen y autoorganizan las partículas materiales lo llevó adiscutir otra cuestión: ¿cuál es el modo más eficaz de empaquetar partículas de forma que ocupen elmenor volumen posible? Si se asume que las partículas son esféricas, está claro que inevitablementeexistirán huecos entre ellas; el reto consiste en identificar qué disposición minimizará los huecos. Pararesolver el problema Kepler construyó varias pilas y calculó la eficacia de empaquetado de cada unade ellas.

Una de las primeras disposiciones examinadas por Kepler se conoce en la actualidad como lamalla cúbica centrada en las caras. Ésta puede ser construida creando primero una capa inferior talque cada esfera esté rodeada por otras seis esferas. La segunda capa se genera poniendo esferas en los«hoyuelos» de la primera capa, como se muestra en la figura 25. En realidad, la segunda capa es unduplicado de la primera pero se ha corrido ligeramente de modo que encaje perfectamente en suposición. Esta disposición es idéntica a la usada en las fruterías para hacer pirámides de naranjas, ytiene una eficacia del 74%. Esto significa que sí una caja de cartón tuviera que ser rellenada denaranjas usando la estrategia centrada en las caras entonces las naranjas ocuparían el 74% delvolumen de la caja.

Figura 25: En la disposición cúbica centrada en las caras cada capa consiste en esferas dispuestas de modoque cada una está rodeada por otras seis. Una capa se sitúa encima de otra de manera tal que sus esferas se

asientan sobre un hoyo en lugar de hacerlo directamente sobre otra esfera. Una orientación particular deesta disposición da lugar a las pirámides de naranjas que suelen verse en las fruterías.

Esta distribución puede compararse con otras, como la malla cúbica simple. En este caso cadacapa consiste en esferas colocadas en un enrejado cuadrado y las capas se sitúan unas directamenteencima de otras, como se observa en la figura 26. La malla cúbica simple tiene una eficacia deempaquetado sólo del 53%.

Figura 26: En la disposición cúbica simple cada capa consiste en esferas situadas sobre una cuadrícula.Una capa se sitúa sobre la otra de forma que las esferas se asientan directamente sobre las de la capa

inferior.

Otra posible colocación, la malla hexagonal, es similar a la cúbica centrada en las caras puesto quecada capa se construye rodeando cada esfera por otras seis, pero, en lugar de desplazar ligeramentecada capa de manera que encaje en los hoyos de la anterior, ahora las capas se disponen unadirectamente encima de otra, como se muestra en la figura 27. La malla hexagonal tiene una eficacia deempaquetado del 60%.

Figura 27: En la disposición en malla hexagonal cada capa consiste en esferas dispuestas de tal modo quecada una está rodeada por otras seis. Las capas se sitúan horizontalmente, de manera que cada esfera se

asienta directamente encima de una esfera de la capa inferior.

Kepler estudió gran variedad de configuraciones y llegó a una conclusión que creyó losuficientemente interesante como para incluirla en su escrito «Sobre el copo de nieve de seis lados»; asaber, que con la malla cúbica centrada en las caras «el empaquetado será el más denso posible». Laafirmación de Kepler era perfectamente sensata puesto que la eficacia de empaquetado con la mallacúbica centrada en la cara era el mejor que había encontrado, pero esto no descartaba la posibilidad de

que quedara alguna disposición, que él hubiera pasado por alto, con una eficacia de empaquetado aúnmayor. Esta pequeña duda está en el origen del problema del empaquetado de esferas, un enigmamedio siglo anterior a Fermat y que ahora ha resultado ser aún más intratable que el último teorema.El problema requiere que los matemáticos demuestren que la malla cúbica centrada en la cara es sinlugar a dudas el método más eficaz para empaquetar esferas.

Como el último teorema, el problema de Kepler requiere que los matemáticos desarrollen unademostración que abarque una infinidad de posibilidades. Fermat afirmó que entre la infinidad denúmeros enteros no había soluciones a su ecuación, y Kepler afirmó que entre la infinidad dedisposiciones ninguna podía tener una eficacia de empaquetado mayor que la de la malla cúbicacentrada en las caras. Además de demostrar que no existe ninguna malla, es decir, ninguna disposiciónregular, con una eficacia de empaquetado mayor, los matemáticos deben incluir en su demostracióntodas las posibles disposiciones aleatorias.

En los últimos 380 años nadie ha sido capaz de demostrar que la malla cúbica centrada en la caraes en efecto la estrategia de empaquetado óptima; por otro lado, nadie ha descubierto un método deempaquetado más eficaz. La falta de un contraejemplo significa que, para todos los propósitosprácticos, la afirmación de Kepler es cierta, pero en el absoluto mundo de las matemáticas aún senecesita una demostración rigurosa. Esto llevó a C. A. Rogers, experto británico en empaquetado deesferas, a comentar que la afirmación de Kepler es «creída por la mayor parte de los matemáticos yconocida por todos los físicos».

A pesar de la falta de una demostración completa, en los siglos pasados se han dado algunospasos hacia la solución. En 1892, el matemático escandinavo Axel Thue ofreció una prueba delanálogo bidimensional del problema de Kepler, es decir, cuál es el método más eficaz de disponeresferas cuando sólo se considera una capa, o, en otras palabras, cómo disponer naranjas en unabandeja en lugar de una caja. La solución es la disposición hexagonal. Posteriormente, Tóth, Segre yMahler llegaron a la misma conclusión, pero ninguno de los métodos que usaron puede aplicarse alproblema original de Kepler en tres dimensiones.

En la era moderna, algunos matemáticos han intentado una maniobra bastante distinta: poner unacota superior a la posible eficacia de empaquetado. En 1958, C. A. Rogers calculó una cota superiordel 77.97%; esto significa que es imposible tener una disposición con una eficacia de empaquetadomayor que el 77.97%. Este porcentaje no es mucho más alto que la eficacia de empaquetado de lamalla cúbica centrada en la cara, de un 74.04%. Por esta razón, si alguna disposición tuviera unaeficacia de empaquetado mayor que la cúbica centrada en la cara, no podría vencerla más que por unescaso porcentaje. Sólo hay una pequeña ventana de un 3.93% por la cual pueda entrar una astutadisposición y demostrar que la afirmación de Kepler es falsa. Después de Rogers, otros matemáticosintentaron cerrar del todo la ventana reduciendo la cota superior al 74.04%, que no dejaría posibilidada que otra disposición derrotara a la cubica centrada en la cara y, en consecuencia, demostrara pordefecto la afirmación de Kepler. Por desgracia, disminuir la cota superior se ha revelado una tarealenta y difícil, y en 1988 permanecía en el 77.84%, sólo ligeramente mejor que el resultado de Rogers.

A pesar de años de lentos avances, el problema del empaquetado de esferas llegó a los titulares deprensa en el verano de 1990 cuando Wu-Yi Hsiang, de la Universidad de California en Berkeley,publicó un resultado que, según él, demostraba la conjetura de Kepler. Al principio, la comunidadmatemática reaccionó con optimismo, pero, como con la demostración de Wiles, el artículo tuvo que

sufrir un proceso de revisión antes de ser aceptado como válido. Con el paso de las semanas Hsiangtuvo que enfrentarse a una serie de errores garrafales y la prueba quedó hecha jirones.

En una historia que tiene paralelismos con la de Wiles, Hsiang respondió un año después con unademostración revisada en la que aseguraba haber evitado los problemas identificados en el manuscritooriginal. Desafortunadamente para Hsiang, sus críticos aún creían que existían lagunas en suargumento. En una carta a Hsiang, el matemático Thomas Hales intentó explicar sus dudas:

Una suposición realizada en su segundo artículo me choca por ser más fundamental y aún más difícil dedemostrar que las otras… Usted asegura que «el mejor modo (o sea, minimización de volumen) de añadir unasegunda capa al empaquetado es tapar tantos agujeros como sea posible»… Su argumento parece descansaresencialmente en esta suposición, aunque en ninguna parte ofrece ni siquiera una insinuación de la demostración.

Desde que Hsiang presentó su artículo rectificado se ha entablado una batalla entre él y sus críticos,con declaraciones de que el problema ha sido resuelto y réplicas de que no es así. En el mejor de loscasos, la demostración está envuelta en controversias, y en el peor ha sido desacreditada. Sea comosea, la puerta aún está abierta para cualquiera que desee demostrar la conjetura de Kepler. En 1996,Doug Muder hizo un resumen personal del estado de la cuestión en el que también se revelan algunosde los enigmas que rodean la demostración de Hsiang:

Acabo de regresar de la Conferencia Conjunta de Investigación AMS-IMS-SIAM sobre GeometríaComputacional Discreta en Mount Holyoke. Ha sido una de esas conferencias que se dan una vez cada diez años,así que nos concentramos en valorar los progresos de la última década. La afirmación de Hsiang de haberdemostrado la conjetura de Kepler ya tiene seis años, y me he dado cuenta de que la comunidad ha llegado a unconsenso sobre el tema: nadie se lo cree.

Durante las sesiones plenarias y las discusiones informales en la cafetería existía consenso en los siguientespuntos:

1. El artículo de Hsiang (publicado en el International Journal of Mathematics en 1993) no es unademostración de la conjetura de Kepler. Como mucho es un esquema (¡un esquema de cien páginas!)de cómo podría ser tal demostración.

2. El artículo es inadecuado incluso como esquema ya que se han encontrado contraejemplos a varios desus pasos.

3. La afirmación complementaria de Hsiang de haber demostrado la conjetura del dodecaedro (y variosotros problemas del empaquetado de esferas previamente sin resolver) carecen igualmente de base.

4. El trabajo sobre la conjetura de Kepler y la conjetura del dodecaedro deberían continuar como si eltrabajo de Hsiang nunca hubiera existido.

En una conferencia, Gabor Fejes Tóth, de la Academia de Ciencias húngara, dijo sobre el artículo de Hsiang:«No puede considerarse una demostración. El problema aún está abierto». Thomas Hales, de la Universidad deMichigan, estuvo de acuerdo: «Este problema aún está por resolver. Yo no lo he resuelto. Hsiang no lo haresuelto. Nadie lo ha resuelto por lo que yo sé». (Hales predijo que sus propias técnicas resolverían el problemaen «un año o dos»).

Lo que hace más interesante el problema es que hay una persona que no ha llegado a ese consenso: el propioHsiang. (Tampoco asistió a la conferencia). Es muy consciente de los contraejemplos y del hecho de que no escreído por los expertos en el campo, pero aún continúa dando conferencias a lo largo de todo el mundo repitiendosus afirmaciones. La gente que le ha tratado personalmente (tales como Hales y Bezdek) creen que nunca admitiráque su artículo está mal.

Ésta es la razón por la que la polvareda está tardando tanto en disiparse. Hsiang afirmó por primera vez haberencontrado una solución a la conjetura de Kepler en 1990, hace ya seis años. Todas sus charlas habían sido losuficientemente vagas como para resultar plausibles. Varios meses después de sus afirmaciones, cuando aparecióel primer preprint, inmediatamente se encontraron fisuras, y los contraejemplos le siguieron con rapidez. Pero elhecho de que Hsiang continuara haciendo sus afirmaciones en público creó la impresión de que debía de haberresuelto todas las objeciones que habían aparecido hasta la fecha. La longitud del artículo, y el haber sufridovarias revisiones antes de su publicación, se añadieron a la confusión.

El caso de Hsiang demuestra hasta qué punto los matemáticos se basan en un sistema de honor. Lacomunidad asume que un profesor de una de las mejores universidades no hará falsas afirmaciones y que retirarátoda afirmación incorrecta con la aparición del primer fallo demostrado. Alguien que se mofe del sistema puedeprovocar confusión durante largo tiempo ya que nadie tiene la motivación ni el tiempo para seguirle y desmontarsus falaces afirmaciones cuando las realice. (Cuando se considera la cantidad de trabajo que debe haber consumidoel desenmascarador artículo de Hales en el Mathematical Intelligencer —y el hecho de que este artículo no leayuda a avanzar en su carrera investigadora— se empieza a comprender el problema. El artículo de réplica deHsiang era completamente inadecuado, pero Hales llegó a la conclusión de que desacreditar la réplica daría lugara un ciclo sin fin para el que sencillamente no tenía tiempo).

Es posible que Hsiang nunca admita sus errores, pero ¿qué hará el International Journal? Está claro queellos forman parte del proceso, que no funcionó como se esperaba. El artículo de Hsiang no fue evaluado de formaadecuada, si es que fue evaluado en lo más mínimo. El hecho de que el Journal sea editado por los colegas deHsiang en Berkeley le da a todo el asunto un cierto aire de amiguismo. El Journal no estaba interesado en elempaquetamiento de esferas hasta aquel artículo. Parece obvio que Hsiang escogió el International Journalporque estaba editado por sus amigos, no porque fuera una revista adecuada para su artículo.

Karoly Bezdek, que pasó más de un año trabajando con Hsiang, tratando de reparar las brechas del artículo,ha enviado un artículo al International Journal con un contraejemplo a uno de los lemas de Hsiang. No hatenido noticias desde diciembre, un periodo de tiempo usual para un artículo, pero bastante largo para uncontraejemplo al artículo más relevante publicado en la revista en varios años.

Doug Muder

Demostraciones de silicio

En su batalla contra el último teorema de Fermat, las únicas armas de Wiles fueron un lápiz, papelesy lógica pura. Aunque su demostración emplea las técnicas más modernas en teoría de números estáen la mejor tradición de Pitágoras y Euclides. Sin embargo recientemente ha habido un signo ominosode que la solución de Wiles puede ser uno de los últimos ejemplos de demostración heroica, y que losresultados futuros pueden estar basados en un enfoque de fuerza bruta en lugar de argumentoselegantes.

La primera indicación de lo que algunos están llamando el declinar de las matemáticas se refiere aun problema creado en Inglaterra en octubre de 1852 por el matemático a tiempo parcial FrancisGuthrie. Una tarde, mientras se dedicaba ociosamente a colorear un mapa de los condados de GranBretaña, Guthrie se encontró con un acertijo en apariencia trivial pero que no podía resolver. Sóloquería saber el número mínimo de colores que se requerirían para colorear cualquier mapa concebiblede tal manera que ninguna región tuviera frontera con otra del mismo color.

Por ejemplo, tres colores no son suficientes para la imagen de la figura 28. Luego está claro quealgunos mapas necesitan cuatro colores, pero Guthrie quería saber si cuatro colores eran suficientes

para todos los mapas, ¿o podrían existir algunos que necesitaran cinco, seis o más colores?

Figura 28: Este sencillo mapa muestra que se necesitan por lo menos cuatro colores para algunos mapas,¿pero es suficiente con cuatro colores para todos los mapas?

Frustrado e intrigado, Guthrie comentó el problema a su hermano menor, Frederick, estudiante enel University College, en Londres. A su vez, Frederick planteó el problema a su profesor, el eminenteAugustus de Morgan, quien el 23 de octubre escribió al gran matemático y físico irlandés WilliamRowan Hamilton:

Uno de mis estudiantes me ha pedido hoy el porqué de un hecho que yo no sabía que fuera tal, y aún no lo sé.Asegura que si una figura es dividida de alguna forma y los compartimientos coloreados distintamente de modoque las figuras con cualquier porción de frontera común estén coloreados diferentemente, entonces sólo serequieren cuatro colores, pero no más. Tengo un caso en el que se requieren cuatro colores. Pregunta: ¿No sepuede inventar un caso en que se requieran cinco o más?… Si contestas con algún caso muy simple que meconvierta en un estúpido animal, creo que debo hacer como la esfinge…

Hamilton no fue capaz de inventar un mapa que requiriese cinco colores, pero tampoco pudodemostrar que tal mapa no existiese. Las noticias sobre el problema se extendieron rápidamente através de Europa, pero éste resistió con fuerza todos los ataques, probando ser engañosamentedifícil. En un arrebato de orgullo, Hermann Minkowski dijo que la razón por la que no había sidoresuelto era que sólo lo habían intentado matemáticos de tercera categoría, pero sus propiosesfuerzos también acabaron en fracaso. «El cielo está enfadado con mi arrogancia —declaró—. Midemostración también es defectuosa».

A pesar de inventar uno de los problemas más difíciles de las matemáticas, hoy conocido como elproblema de los cuatro colores, Francis Guthrie dejó Inglaterra para ejercer como abogado enSudáfrica. Eventualmente volvió a las matemáticas como profesor de la Universidad de Ciudad delCabo, donde solía pasar más tiempo en el departamento de botánica que con sus colegasmatemáticos; su única reivindicación a la fama después del problema de los cuatro colores fue tenerun brezo bautizado con su nombre: Erica Guthriei.

Después de sobrevivir sin ser resuelto durante un cuarto de siglo hubo un gran optimismo en1879 cuando el matemático británico Alfred Bray Kempe publicó un artículo en el American Journalof Mathematics en el que aseguraba tener una solución al enigma de Guthrie. Kempe parecía probarque cualquier mapa necesita como mucho cuatro colores, y el proceso de revisión parecióconfirmarlo. Inmediatamente se le eligió miembro de la Royal Society y con el tiempo fue armadocaballero por sus contribuciones a las matemáticas.

Pero en 1890 Percy John Heawood, un profesor de la Universidad de Durham, publicó unartículo que sorprendió a la comunidad matemática. Una década después de que Kempe parecía haberresuelto el problema, Heawood demostró que la prueba estaba equivocada en sus fundamentos. Laúnica buena noticia fue que, como parte de su demolición del trabajo de Kempe, Heawood fue capazde demostrar que el número máximo de colores necesarios era cuatro o cinco, pero sin duda no másalto.

Si bien Kempe, Heawood y otros fueron incapaces de resolver el problema de los cuatro colores,sus fallidos esfuerzos contribuyeron enormemente al nuevo y floreciente tema de la topología. Adiferencia de la geometría, en la que se estudian la forma exacta y el tamaño de los objetos, latopología está interesada sólo en la esencia del objeto, en sus características más básicas. Porejemplo, cuando un geómetra examina un cuadrado, las propiedades de interés son la idéntica longitudde cada lado y el ángulo recto en cada esquina. Cuando un topólogo examina el mismo objeto la únicapropiedad de interés es una sola línea continua que forma un bucle. En consecuencia, un topólogoconsiderará indistinguibles un círculo y un cuadrado, puesto que ambos consisten en un solo bucle.

Otra forma de ver la equivalencia topológica de un cuadrado y un circulo es imaginando una de lasfiguras dibujada en una hoja elástica. Si empezamos con el cuadrado podemos estirar, comprimir,doblar o girar la página sin rasgarla hasta que la figura original se haya transformado en un círculo. Porotro lado, el cuadrado nunca podrá transformarse en una cruz, por mucho que se deforme la hojaelástica. Por lo tanto, un cuadrado y una cruz no son topológicamente equivalentes. A causa de estemodo de pensar, con frecuencia se denomina a la topología como la «geometría en una página degoma».

Al haber abandonado conceptos como longitud y ángulo, los topólogos sólo pueden distinguir losobjetos recurriendo a características como el número de intersecciones que posee. Así, un «ocho» esfundamentalmente distinto de un círculo puesto que posee un punto en el que se encuentran cuatrolíneas, mientras que el círculo no tiene tales intersecciones. Por más que se estire o gire, es imposibletransformar un «ocho» en un círculo. Los topólogos también están interesados en objetos de tresdimensiones (y más) donde huecos, bucles y nudos se convierten en las características fundamentalesde interés. El matemático John Kelley dijo humorísticamente que «un topólogo es un tipo que nosabe cuál es la diferencia entre un dónut y una taza de café».

Los matemáticos esperaban ser capaces de aprehender la esencia del problema de los cuatrocolores viendo los mapas a través de la óptica simplificadora de la topología. El primer avance llegóen 1922, cuando Philip Franklin ignoró el problema general y estableció una prueba que mostraba quecualquier mapa con un máximo de 25 regiones requería sólo 4 colores. Otros matemáticos intentaronavanzar a partir del método de Franklin y, en 1926, Reynolds extendió la demostración a mapas con27 regiones; en 1940, Winn la extendió a 35 y, en 1970, Ore y Stemple habían alcanzado las 39regiones. El problema parecía seguir los mismos derroteros que el último teorema de Fermat: se ibanrealizando pequeños progresos hacia el infinito. La conjetura original aparecía casi como cierta, perohasta que se pudiera encontrar una demostración general siempre existía la posibilidad de dibujar unmapa que demostrara que Guthrie estaba equivocado. De hecho, en 1975 el periodista, matemático yescritor Martin Gardner publicó un mapa en la revista Scientific American que requería cinco colores.La fecha de la publicación era el 1 de abril[8] y Gardner era muy consciente de que, aunque era difícilcubrir el mapa con sólo cuatro colores, tampoco era imposible. Tal vez a usted le gustaría demostrar

que éste es el caso; el mapa en cuestión aparece en la figura 29.

Figura 29: El 1 de abril de 1975, Martin Gardner presentó su mapa en su artículo mensual en ScientificAmerican. Afirmaba que se necesitaban cinco colores para pintarlo, pero, por supuesto, su afirmación era

una patraña.

El lento ritmo de progreso mostró cada vez con más claridad que los enfoques convencionalesnunca permitirían tender un puente entre la demostración de Ore y Stemple sobre mapas de 39regiones o menos y cualquier mapa concebible que pudiera consistir de un número infinito deregiones. Entonces, en 1976, dos matemáticos de la Universidad de Illinois, Wolfgang Haken yKenneth Appel, desarrollaron una nueva técnica que revolucionaría el concepto de demostraciónmatemática.

Haken y Appel habían estudiado el trabajo de Heinrich Heech, que había afirmado que lainfinidad de mapas infinitamente variados podría ser construida a partir de ciertos componentes

básicos y que estudiándolos podría ser posible manejar el problema general. Los mapas básicos eranel equivalente de los electrones, protones y neutrones, los objetos fundamentales a partir de los quepuede ser construida cualquier otra cosa. Por desgracia, la situación no era tan simple como con lasantísima trinidad de partículas, ya que Haken y Appel sólo pudieron reducir el problema de loscuatro colores a 1482 mapas básicos. Si Haken y Appel pudieran demostrar que todos esos mapaseran coloreables con cuatro colores, esto implicaría que todos los mapas se podrían pintar con sóloesos cuatro colores.

Comprobar los 1482 mapas y todas las combinaciones de coloreado de cada uno sería una tareainmensa, sin duda alguna más allá de la capacidad de cualquier equipo de matemáticos. Incluso lautilización de un ordenador para tratar todas las permutaciones ocuparía más de un siglo. Sinamilanarse, Haken y Appel empezaron a buscar atajos y estrategias que pudiera usar un ordenadorpara acelerar el procedimiento requerido para comprobar los mapas. En 1975, cinco años después deque empezaran a trabajar en el problema, los dos hombres vieron cómo el computador hacía algo másque meros cálculos: estaba contribuyendo a sus propias ideas. Los dos hombres recuerdan el puntocentral de su investigación:

En este punto, el programa nos sorprendió. Al principio comprobábamos sus argumentos a mano de manera quepudiéramos predecir el curso que seguiría en cualquier situación; pero ahora, de repente, empezó a actuar comouna máquina de jugar al ajedrez. Creaba estrategias complicadas basadas en todos los trucos que se le habían«enseñado», y a menudo tales enfoques eran mucho más hábiles que los que nosotros hubiéramos intentado. Asíque empezó a enseñarnos formas de avanzar que nunca habríamos esperado. En cierto sentido había superado asus creadores en algunos aspectos tanto de las partes «intelectuales» como mecánicas del problema.

En junio de 1976, gracias a 1200 horas de ordenador, Haken y Appel fueron capaces de anunciar quelos 1482 mapas habían sido analizados y ninguno de ellos requería más de cuatro colores. Elproblema de los cuatro colores de Guthrie había sido resuelto por fin. Lo más notable es que fue laprimera demostración matemática en la que un ordenador había hecho algo más que acelerar loscálculos: había contribuido tanto al resultado que la demostración habría sido imposible sin él. Fue unlogro importantísimo, pero al mismo tiempo produjo un desasosiego en la comunidad puesto que nohabía ningún modo de comprobar la demostración de manera convencional.

Antes de que los detalles de la demostración pudieran ser publicados en el Illinois Journal ofMathematics, los editores tenían que someterla a una cierta revisión. Una evaluación convencional eraimposible, así que el programa de Haken y Appel fue introducido en otro ordenador para demostrarque éste llegaba al mismo resultado.

Este proceso de evaluación tan poco ortodoxo enfureció a algunos matemáticos, que proclamaronque la comprobación era inadecuada y que no había ninguna garantía contra algún fallo en una parteesencial del programa que generara un error en la lógica. H. P. F. Swinnerton-Dyer señaló lo siguientesobre las demostraciones por ordenador:

Cuando un teorema ha sido demostrado con la ayuda de un ordenador es imposible dar una exposición de lademostración accesible a la comprobación tradicional: que un lector con la suficiente paciencia sea capaz detrabajar con la demostración y verifique que es correcta. Incluso si se fuera capaz de escribir todos los programasy todos los conjuntos de datos usados, no podría existir la seguridad de que una cinta de datos no haya sido malescrita o leída. Es más, cada ordenador moderno tiene oscuros fallos en su software y hardware (que muy a

menudo causan errores que permanecen sin ser detectados durante años) y es susceptible de experimentar fallostransitorios.

Hasta cierto punto, esto era una paranoia de la comunidad que prefería evitar los ordenadores enlugar de explotarlos. Joseph Keller hizo notar una vez que en su universidad, Stanford, eldepartamento de matemáticas tenía menos ordenadores que cualquier otro, incluyendo el de literaturafrancesa. Aquellos matemáticos que rechazaron el trabajo de Haken y Appel no pudieron negar quetodos los matemáticos aceptan demostraciones incluso si no las han comprobado personalmente. Enel caso de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat, menos del diez por ciento de losteóricos de números comprenden completamente el argumento, pero el ciento por ciento acepta quees correcta. Los que no pueden comprender la demostración están satisfechos debido a que otros queentienden los conceptos involucrados los han examinado y verificado.

Un caso aún más extremo es la llamada demostración de la clasificación de grupos finitos simples,que consiste en quinientos artículos separados escritos por más de un centenar de matemáticos. Sedice que sólo un matemático, Daniel Gorenstein, entendió la totalidad de la demostración de quincemil páginas, y murió en 1992. Sin embargo, la comunidad en conjunto puede estar segura de que cadasección de la demostración ha sido examinada por su propio equipo de especialistas y cada línea delas quince mil páginas ha sido comprobada y vuelta a comprobar docenas de veces. Lo que hacedistinto al problema de los cuatro colores es que nunca ha sido completamente comprobado pornadie, y nunca lo será.

En los veinte años que han pasado desde que fue anunciada la demostración del teorema de loscuatro colores, los ordenadores han sido usados para resolver otros problemas menos famosos peroigualmente importantes. En un campo anteriormente no contaminado por la tecnología, cada vez másmatemáticos están acostumbrándose, aunque de forma reluctante, al creciente uso de la lógica desilicio y aceptan el argumento de Wolfgang Haken:

Cualquiera, en cualquier sitio a lo largo de la línea, puede completar los detalles y comprobarlo. El hecho de queun ordenador pueda tratar más detalles en unas pocas horas de lo que un matemático podría esperar hacer en todasu vida no cambia el concepto básico de demostración matemática. Lo que ha cambiado no es la teoría sino lapráctica de las matemáticas.

Más recientemente, algunos matemáticos han proporcionado aún más potencia a los ordenadores pormedio de los llamados algoritmos genéticos. Estos son programas de ordenador cuya estructurageneral es diseñada por un matemático pero cuyos detalles son determinados por el ordenadormismo. Ciertas líneas del programa pueden mutar y evolucionar de forma similar a los genes en elADN orgánico. Desde el programa madre original, el ordenador genera cientos de programas hijos queson ligeramente diferentes debido a las mutaciones aleatorias realizadas por el propio ordenador. Losprogramas hijos se usan para resolver un problema particular. La mayoría de los programas fracasande forma catastrófica, pero al que avance más hacia la solución se le permitirá reproducirse y crearuna nueva generación de descendientes mutados. La supervivencia del más adaptado se interpreta entérminos de cuál de los programas se acerca más a la solución del problema. Repitiendo el proceso,los matemáticos esperan que, sin intervención alguna, un programa evolucione hasta resolver elproblema y, en algunos casos, este enfoque está teniendo éxitos significativos.

El científico de ordenadores Edward Frenkin ha ido más allá diciendo que algún día un ordenadordescubrirá una demostración importante con independencia de los matemáticos. Hace una década seinstituyó el Premio Leibniz: cien mil dólares se concederán al primer ordenador que invente unteorema que tenga «una profunda repercusión en matemáticas». Aún se debate si el premio seráreclamado alguna vez o no, pero lo seguro es que a una demostración por ordenador siempre le faltarála iluminación que da una demostración tradicional y, en comparación, parece hueca. Unademostración matemática no sólo debería responder a una cuestión, también debería producir algunanueva comprensión sobre por qué la respuesta es como es. Meter una pregunta por el extremo de unacaja negra y obtener la respuesta por el otro extremo incrementa el conocimiento, pero no lacomprensión. A partir de la demostración de Wiles del último teorema de Fermat sabemos que nohay soluciones para la ecuación de Fermat puesto que tal solución llevaría a una contradicción con laconjetura de Taniyama-Shimura. Wiles no sólo ha vencido el reto de Fermat sino que ha justificadosu respuesta diciendo que debe ser así para mantener una relación fundamental entre las ecuacioneselípticas y las formas modulares.

El matemático Ronald Graham describió la superficialidad de las demostraciones por ordenadoren el contexto de una de las grandes conjeturas aún hoy por demostrar, la hipótesis de Riemann:«Sería desalentador si en algún lugar del desarrollo pudieras preguntar a un ordenador si la hipótesisde Riemann es correcta y éste dijera: “Sí, es cierta, pero no serás capaz de entender lademostración”». El matemático Philip Davis, que escribió con Reuber Hersh, tuvo una reacciónsimilar a la demostración del problema de los cuatro colores:

Mi primera reacción fue: «¡Maravilloso! ¿Cómo lo hicieron?». Esperaba alguna intuición nueva y brillante, unademostración que contuviera en su corazón una idea cuya belleza transformaría aquella jornada. Pero cuandorecibí la respuesta: «Lo hicieron partiéndolo en miles de casos y estudiándolos todos en el ordenador, uno trasotro», me sentí descorazonado. Mi reacción fue: «Así que de esta manera acabó todo, al final resulta que no eraun problema interesante».

El premio

La demostración de Wiles del último teorema de Fermat se basa en una conjetura nacida en los añoscincuenta. El argumento utiliza una serie de técnicas matemáticas desarrolladas durante la últimadécada, algunas de las cuales fueron inventadas por el propio Wiles. La demostración es una obramaestra de las matemáticas modernas, lo que lleva a la inevitable conclusión de que la demostraciónde Wiles no es la misma que la de Fermat. Fermat escribió que su demostración no cabía en el margende su ejemplar de la Arithmetica de Diofante, y las cien páginas de densas matemáticas ciertamenteno cumplen ese criterio, pero seguramente el francés no inventó las formas modulares, la conjetura deTaniyama-Shimura, los grupos de Galois y el método de Kolyvagin-Flach siglos antes de que nadiemás lo hiciese.

Si Fermat no tenía la demostración de Wiles, ¿qué es lo que tenía? Los matemáticos se dividen endos opiniones. Los escépticos y poco sentimentales creen que el último teorema de Fermat fue elresultado de un raro momento de debilidad de aquel genio del siglo XVII. Aseguran que, aunqueFermat escribió «poseo una demostración en verdad maravillosa», en realidad sólo tenía una

demostración equivocada. La naturaleza exacta de su prueba defectuosa está abierta al debate, pero esbastante posible que siguiera las mismas líneas que el trabajo de Cauchy o Lame.

Otros matemáticos, los optimistas románticos, creen que Fermat podría haber poseído unademostración auténtica. Fuera lo que fuera su demostración, habría estado basada en las técnicas delsiglo XVII e incluiría un argumento tan astuto que ha escapado a todo el mundo desde Euler hastaWiles. A pesar de la publicación de la solución de Wiles al problema, aún hay muchos matemáticosque creen poder alcanzar fama y gloria redescubriendo la demostración original de Fermat.

Aunque Wiles había echado mano de los métodos del siglo XX para resolver un enigma del sigloXVII, había superado el reto de Fermat de acuerdo con las reglas del Comité Wolfskehl. El 27 de juniode 1997, los distinguidos miembros de la Königliche Gesellschaft der Wissenschaften de Gotinga sereunieron en el Aula Magna de la Universidad de Gotinga para hacer entrega del premio creado porPaul Wolfskehl a principios de siglo.

El profesor Heinz Wagner, presidente del comité, declaró que el Premio Wolfskehl era másimportante que el Nobel, ya que éste se otorga cada año mientras que ha sido necesario aguardarnoventa años para entregar el Wolfskehl. Bajo los retratos de los reyes de Hannover, Wiles aceptó elpremio de cincuenta mil dólares, dando por concluida la responsabilidad del Comité Wolfskehl. Elúltimo teorema de Fermat había sido resuelto oficialmente.

¿Qué es lo siguiente que atrapará la atención de Wiles? De forma poco sorprendente para alguienque ha trabajado en el más absoluto secreto durante siete años, Wiles rehúsa hacer ningún comentariosobre sus investigaciones actuales, pero, sea lo que sea, no hay duda de que nunca reemplazará deltodo la obsesión que tuvo con el último teorema de Fermat. «No hay otro problema que puedasignificar lo mismo para mí. Fue la pasión de mi infancia. Nada puede reemplazar eso. Lo he resuelto.Intentaré resolver otros problemas, estoy seguro. Algunos serán muy difíciles y tendré una sensaciónde realización otra vez, pero no hay ningún problema matemático que me pueda capturar como lohizo Fermat.

»He tenido ese raro privilegio de poder perseguir en mi vida adulta lo que fue el sueño de miinfancia. Sé que es un raro privilegio, pero si puedes atacar algo en tu vida adulta que signifique tantopara ti es una recompensa mayor que cualquier cosa imaginable. Al haber resuelto este problemaexiste ciertamente una sensación de pérdida, pero a la vez hay una sensación tremenda de liberación.Estuve tan obsesionado con el problema que durante ocho años pensé en él todo el tiempo; desde queme levantaba por la mañana hasta que me iba a dormir por la noche. Es mucho tiempo para pensar enuna sola cosa. Esta odisea en particular se ha acabado. Mi mente descansa».

Apéndices

Apéndice 1. La demostración del teorema de Pitágoras<<

El propósito de la demostración es probar que el teorema de Pitágoras es cierto para todos lostriángulos rectángulos. El triángulo mostrado arriba podría ser cualquier triángulo rectángulo ya quelas longitudes de sus lados no están especificadas, sino representadas por las letras x, y y z.

En la figura de arriba se combinan cuatro triángulos rectángulos idénticos con un cuadrado giradopara construir un cuadrado mayor. El área de este cuadrado mayor es la clave de la demostración.

El área del cuadrado se puede calcular de dos modos:

Método 1. Medir el área del cuadrado como un todo. La longitud de cada lado es x + y. Por lotanto, el área del cuadrado grande es (x + y)²

Método 2. Medir el área de cada elemento del cuadrado grande. El área de cada triángulo es(½)xy, o sea, ½ × base × altura. El área del cuadrado girado es z². En consecuencia, área delcuadrado grande = 4 (área de cada triángulo) + área del cuadrado girado = 4 × ½xy + z².

Los métodos 1 y 2 dan dos expresiones diferentes. Sin embargo, estas dos expresiones deben serequivalentes puesto que representan la misma área. Por ello,

área del método 1 = área del método 2(x + y)² = 4 × ½xy + z².

Los paréntesis se pueden desarrollar y simplicar. Entonces,

x² + y² + 2xy = 2xy + z².

El termino 2xy se cancela en ambos lados. Así tenemos

x² + y² = z².

¡Qué es el teorema de Pitágoras!La argumentación se basa en el hecho de que el área del cuadrado mayor debe ser la misma sin

importar qué método se usa para calcularla. Entonces, por medio de la lógica, derivamos dosexpresiones para la misma área, las igualamos, y finalmente la conclusión inevitable es que x² + y² =z², es decir, el cuadrado de la hipotenusa, z², es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, x² +y².

Este razonamiento es cierto para todos los triángulos rectángulos. Los lados del triángulo ennuestro razonamiento están representados por x, y y z, y pueden, por lo tanto, representar los ladosde cualquier triángulo rectángulo.

Apéndice 2. Demostración de Euclides de que √2 es irracional<<

El objetivo de Euclides era probar que √2 no se puede escribir como una fracción. Debido a que usóuna reducción al absurdo, el primer paso es suponer que lo contrario es cierto, es decir, que √2 sepodría escribir como alguna fracción desconocida. Esta hipotética fracción se representa por p/q,donde p y q son dos números enteros.

Antes de embarcarnos en la demostración en sí, todo lo que se requiere es una comprensiónbásica de algunas propiedades de las fracciones y los números pares.

1. Si se toma cualquier número y se multiplica por 2, el nuevo número debe ser par. Esto escasi equivalente a la definición de un número par.

2. Si se sabe que el cuadrado de un número es par, entonces el número mismo debe ser tambiénpar.

3. Finalmente, las fracciones se pueden simplificar: 16/24 es lo mismo que 8/12; sólo hay quedividir el numerador y el denominador de 16/24 por el factor común 2. Es más, 8/12 es lomismo que 4/6, y, a su vez, 4/6 es lo mismo que 2/3. Sin embargo, 2/3 no puede sersimplificado ya que 2 y 3 no poseen factores comunes. Es imposible continuar simplificandouna fracción por siempre.

Ahora recuérdese que Euclides cree que √2 no se puede escribir como una fracción. Sin embargoadopta el método de prueba por contradicción y trabaja con la suposición de que la fracción p/qexiste y explora las consecuencias de su existencia:

√2 = p/q.

Si se elevan ambos miembros al cuadrado, entonces

2 = p²/q².

Esta ecuación se puede reescribir como

2q² = p².

Ahora, según el punto 1, sabemos que p² debe ser par. Es más, por el punto 2 sabemos que el mismop también ha de ser par. Pero si p es par entonces se puede escribir como 2m, donde m es otronúmero entero. Esto se sigue del punto 1. Lo introducimos en la ecuación y resulta

2q² = (2m)² = 4m².

Dividiendo ambos lados por 2, se tiene

q² = 2m².

Pero por el mismo argumento que el usado antes sabemos que q² ha de ser par, y así el mismo qtambién tiene que ser par. Si éste es el caso, entonces q se puede escribir como 2n, donde n es algúnotro número entero. Si volvemos al principio, entonces

√2 = p/q = 2m/2n.

La fracción m/n se puede simplificar dividiendo el numerador y el denominador por 2, y se obtiene

√2 = m/n.

Ahora se tiene una fracción m/n que es más sencilla que p/q.Sin embargo, nos encontramos en la posición de poder repetir exactamente el mismo proceso

sobre m/n, y al final del proceso generaremos una fracción aún más sencilla, digamos g/h. Estafracción puede ser pasada otra vez por la piedra del molino, y la nueva fracción, llamémosla e/f, serámás simple aún. Podemos volver a tratar esta fracción y repetir el proceso una y otra vez, en unasucesión sin fin. Pero por el punto 3 sabemos que las fracciones no pueden simplificarseindefinidamente. Siempre existe la fracción más simple, pero nuestra fracción hipotética original p/qno parece obedecer esta regla. Por lo tanto, estamos justificados para decir que hemos encontrado unacontradicción. Si √2 se pudiera escribir como una fracción la consecuencia sería un absurdo, y así locorrecto es decir que √2 no se puede escribir como una fracción. Por tanto √2 es un númeroirracional.

Apéndice 3. El enigma de la edad de Diofante<<

Llamemos L a la longitud de la vida de Diofante. A partir del acertijo tenemos la siguiente relacióncompleta de la vida de Diofante:

1/6 de su vida, L/6, lo pasó siendo un niño,L/12 lo pasó siendo un joven,

L/7 lo pasó antes de su matrimonio,5 años después nació su hijo,L/2 fue la duración de la vida de su hijo,4 años pasó sumido en la pena antes de morir.

La longitud de la edad de Diofante es la suma de todo lo anterior:

L = L/6 + L/12 + L/7 + 5 + L/2 + 4.

Podemos simplificar la ecuación como sigue:

L = (25/28) L + 9(3/28) L = 9

L = (28/3) × 9 = 84

Diofante murió a la edad de 84 años.

Apéndice 4. El problema de las pesas de Bachet<<

Para pesar cualquier número de kilogramos entre 1 y 40 la mayor parte de la gente sugeriría que seprecisan seis pesas: 1, 2, 4, 8, 16 y 32 kg. De esta forma, todos los pesos se pueden obtenerfácilmente colocando las siguientes combinaciones en un platillo:

1 kg = 1,

2 kg = 2,

3 kg = 2 + 1,

4 kg = 4,

5 kg = 4 + 1,

↓

40 kg = 32 + 8.

Sin embargo, si se sitúan pesas en ambos platillos, de forma que las pesas también puedan ponersejunto con el objeto pesado, Bachet pudo completar la tarea con sólo cuatro pesas: 1, 3, 9 y 27 kg.Una pesa situada en el mismo platillo que el objeto que se está pesando toma un valor efectivonegativo. Así, los pesos se pueden obtener como sigue:

1 kg = 1,

2 kg = 3 − 1,

3 kg = 3,

4 kg = 3 + 1,

5 kg = 9 − 3 − 1,

↓

40 kg = 27 + 9 + 3 + 1.

Apéndice 5. Demostración de Euclides de que hay un número infinito deternas pitagóricas<<

Una terna Pitagórica es un conjunto de tres números enteros tales que el cuadrado del primero más elcuadrado del segundo es igual al tercer número al cuadrado. Euclides pudo demostrar que existía unnúmero infinito de tales ternas pitagóricas.

La demostración de Euclides empieza con la observación de que la diferencia entre cuadradossucesivos siempre es un número impar:

Cada uno de la infinidad de números impares puede sumarse a un número cuadrado específico paracrear otro cuadrado. Una fracción de esos números impares son, a su vez, cuadrados; pero unafracción de infinito también es infinito.

En consecuencia, hay una infinidad de números cuadrados que pueden sumarse a un cuadradopara obtener otro número cuadrado. En otras palabras, existe un número infinito de ternaspitagóricas.

Apéndice 6. La demostración de la conjetura del punto<<

La conjetura del punto afirma que es imposible dibujar un diagrama de puntos de tal modo que cadalínea tenga por lo menos tres puntos sobre ella.

Aunque la demostración requiere una cantidad mínima de matemáticas, se basa en algunaspiruetas geométricas, así que se recomienda una inspección cuidadosa de cada paso.

Considérese primero una disposición arbitraria de puntos y las líneas que conectan cada puntocon los restantes. Entonces para cada punto calcúlese su distancia hasta la línea más cercana,

excluyendo las líneas que pasan por él. Después, identifíquese cuál de entre todos los puntos estámás cerca de una línea.

Abajo se ve una ampliación de un punto D que es el más cercano a la línea L. La distancia entre elpunto y la línea se muestra como una línea a trazos y esta distancia es menor que cualquier otradistancia entre cualquier otra línea y el punto.

Ahora es posible mostrar que la línea L siempre tendrá sólo dos puntos sobre ella y que, portanto, la conjetura es cierta, o sea, que es imposible dibujar un diagrama tal que cada línea tenga trespuntos sobre ella.

Para demostrar que la línea L debe tener dos puntos, consideramos qué ocurriría si tuviera untercer punto. Si el tercer punto, DA, existiera más allá de los dos puntos mostrados originalmente,entonces la distancia mostrada como una línea punteada sería menor que la distancia a trazos, que sesuponía era la distancia mínima entre un punto y una línea. Por lo tanto el punto DA no puede existir.

De forma similar, si el tercer punto, DB, existiera entre los dos puntos originales, entonces, unavez más, la distancia mostrada como una línea de puntos sería menor que la línea de puntos quesupuestamente era la menor distancia entre un punto y una línea. Por lo tanto, DB tampoco puedeexistir.

En resumen, cualquier configuración de puntos debe tener una distancia mínima entre algún puntoy alguna recta, y la línea en cuestión sólo puede tener dos puntos. Por consiguiente, para cadaconfiguración habrá siempre por lo menos una línea con sólo dos puntos; la conjetura es cierta.

Apéndice 7. Perdidos en el absurdo<<

Lo siguiente es una demostración clásica de lo fácil que es empezar con un enunciado simple y trasunos pocos pasos (aparentemente) directos y lógicos mostrar que 2 = 1.

Primero empecemos con el inocuo enunciado

a = b

Entonces multiplíquense ambos miembros por a, con lo que se tiene

a² = ab

Súmese entonces a² − 2ab en ambos lados:

a² + a² − 2ab = ab + a² − 2ab

Que puede simplificarse en:

2(a² − ab) = a² − ab

Finalmente, dividiendo ambos lados por a² − ab, se tiene

2 = 1

El enunciado original parece, y es, completamente inofensivo, pero en algún paso de la manipulaciónse ha deslizado un error sutil pero desastroso que lleva a la contradicción del último enunciado.

En realidad, el error fatal aparece en el último paso, cuando ambos lados se dividen por a² − ab.Sabemos por el enunciado inicial que a = b, y por tanto dividir por a² − ab es equivalente a hacerlopor cero.

Dividir cualquier cosa por cero es arriesgado puesto que cero está un número infinito de veces en

cualquier cantidad finita. Al crear un infinito en ambos miembros hemos destrozado ambas partes dela ecuación y permitido que se cuele una contradicción en el argumento.

Este sutil error es la típica clase de pifia que se encontró en muchos de los participantes en elPremio Wolfskehl.

Apéndice 8. Los axiomas de la aritmética<<

Los siguientes axiomas son todo lo que se precisa para la fundamentación de la elaborada estructurade la aritmética:

1. Para cualesquiera números m, n,

m + n = n + m y mn = nm

2. Para cualesquiera números m, n, k,

(m + n) + k = m + (n + k) y (mn)k = m(nk)

3. Para cualesquiera números m, n, k,

m(n + k) = mn + mk

4. Existe un número 0 que tiene la propiedad de que, para cualquier número n,

n + 0 = n

5. Existe un número 1 que tiene la propiedad de que, para cualquier número n,

n × 1 = n

6. Para cada número n existe otro número k tal que

n + k = 0

7. Para cualesquiera números m, n, k,

si k ≠ 0 y kn = km, entonces m = n

A partir de estos axiomas se pueden demostrar otras reglas. Por ejemplo, aplicando rigurosamenteestos axiomas y sin asumir nada más, se puede demostrar la aparentemente obvia regla de que

Si m + k = n + k entonces m = n

Para empezar, decimos que

m + k = n + k

Entonces, según el axioma 6, supongamos que l es un número tal que k + l = 0, así que

(m + k) + l = (n + k) + l

Entonces, por el axioma 2,

m + (k + l) = n + (k + l)

Recordando que k + l = 0, sabemos que

m + 0 = n + 0

Se aplica el axioma 1 y podemos declarar que hemos establecido que

m = n

Apéndice 9. La teoría de juegos y el trielo<<

Examinemos las opciones del señor Negro. Primero, el señor Negro podría apuntar al señor Gris. Sitiene éxito, entonces el siguiente disparo lo efectuará el señor Blanco. Al señor Blanco sólo le quedaun oponente, el señor Negro, y ya que el señor Blanco nunca falla un disparo, el señor Negro estámuerto.

Una opción mejor para el señor Negro es apuntar al señor Blanco. Si tiene éxito, entonces elsiguiente disparo le corresponde al señor Gris. El señor Gris sólo da en el blanco dos de cada tresveces y, por tanto, existe una posibilidad de que el señor Negro sobreviva para disparar otra vez alseñor Gris y, posiblemente, ganar el trielo.

Parece que la segunda opción es la estrategia que debería adoptar el señor Negro. Sin embargoexiste una tercera opción aún mejor. El señor Negro podría apuntar al aire. El próximo disparo lecorresponde al señor Gris, y él apuntará al señor Blanco, puesto que es el oponente más peligroso. Siel señor Blanco sobrevive, él apuntará al señor Gris puesto que es su más peligroso oponente.Apuntando al aire, el señor Negro está permitiendo que el señor Gris elimine al señor Blanco, oviceversa.

Ésta es la mejor estrategia del señor Negro. Al final, el señor Gris o el señor Blanco morirán yentonces el señor Negro disparará al superviviente.

El señor Negro ha manipulado la situación de tal manera que, en lugar de tener el primer disparoen un trielo, tiene el primer disparo en un duelo.

Apéndice 10. Un ejemplo de prueba por inducción<<

Los matemáticos encuentran útil tener pulcras fórmulas que den la suma de varias listas de números.En este caso, el reto es encontrar una fórmula que dé la suma de los primeros n números naturales.

Por ejemplo, la suma del primer número es 1, la suma de los primeros dos números es 3 (1 + 2),la de los tres primeros números es 6 (1 + 2 + 3), la suma de los cuatro primeros números es 10 (1 + 2+ 3 + 4), etc.

Una fórmula candidata que parece describir este modelo es

Sum(n) =

En otras palabras, si queremos encontrar la suma de los primeros n números, simplemente tenemosque sustituir ese número en la fórmula y calcular la respuesta.

La demostración por inducción prueba que esta fórmula funciona para cualquier número hasta elinfinito.

El primer paso es demostrar que la fórmula funciona para el primer caso, n = 1. Esto es muysencillo, puesto que conocemos que la suma de sólo el primer número es 1, y si introducimos n = 1en la fórmula candidata, obtenemos el resultado correcto:

Sum(n) = ,

Sum(1) = ,

Sum(1) = ,

Sum(1) = 1.

Ha caído la primera ficha de dominó.El siguiente paso en la prueba por inducción es demostrar que si la fórmula es cierta para

cualquier valor n, entonces debe serlo también para n + 1. Si

Sum(n) =

entonces,

Sum(n + 1) = Sum(n) + (n + 1)

Sum(n + 1) = + (n + 1)

n (n + 1)2

n (n + 1)2

1 (1 + 1)2

1 (2)2

n (n + 1)2

n (n + 1)2

Después de reordenar los términos en el lado derecho, obtenemos

Sum(n + 1) =

Lo importante a señalar aquí, es que la forma de esta nueva ecuación es exactamente la misma que lade la ecuación original, excepto que cada aparición de n cambió por n + 1.

En otras palabras, si la fórmula es verdadera para n, entonces también será verdadera para n + 1.Si una ficha de dominó cae, siempre derribará a la siguiente. La prueba por inducción está completa.

(n + 1) [(n + 1) + 1]2

Sugerencias para lecturas posteriores

Mientras buscaba información para esta obra he consultado numerosos libros y artículos. Además demis fuentes principales para cada capítulo, también he incluido otro material que puede ser de interéstanto para el lector normal como para los especialistas en la materia. Cuando el título de la obra no esindicativo de su importancia describo sucintamente su contenido.

Capítulo 1

The Last Problem, de E. T. Bell, 1990, Mathematical Association of America. Una relaciónpopular de los orígenes del último teorema de Fermat.

Pythagoras: A short Account of his Life and Philosophy, de Leslie Ralph, 1961, Krikos.Pythagoras: A Life, de Peter Gorman, 1979, Routledge and Kegan Paul.A History of Greek Mathematics, vols. 1 y 2, de sir Thomas Heath, 1981, Dover.Mathematical Magic Show, de Martin Gardner, 1977, Knopf. Una colección de rompecabezas y

acertijos matemáticos. Existe una edición española: Festival mágico-matemático, Alianza, 1984.«River meandering as a self-organization progress», de Hans-Henrik Stollum, Science, núm. 211

(1996), pp. 1710-1713.

Capítulo 2

The Mathematical Career of Pierre de Fermat, de Michael Mahoney, 1994, Princeton UniversityPress. Una investigación en profundidad sobre la vida y obra de Pierre de Fermat.

Archimedes’ Revenge, de Paul Hoffman, 1988, Penguin. Historias fascinantes que describen losgozos y los peligros de las matemáticas. Existe una traducción catalana, La revenja d’Arquímedes,publicada por Editorial Moll en 1996.

Capítulo 3

Men of Mathematics, de E. T. Bell, 1937, Simón and Schuster. Biografías de los mayoresmatemáticos de la historia, incluyendo a Euler, Fermat, Gauss, Cauchy y Kummer.

«The periodical cicada problem», de Monte Lloyd y Henry S. Dybas, Evolution, núm. 20(1996), pp. 466-505.

Women in Mathematics , de Lynn M. Osen, 1994, MIT Press. Un texto eminentemente notécnico que contiene las biografías de muchas de las mejores matemáticas de la historia, incluyendo a

Sophie Germain.Math Equals: Biographies of Women Mathematicians + Related Activities , de Teri Perl, 1978,

Addison-Wesley.Women in Science, de H. J. Mozans, 1913, Appleton and Co.«Sophie Germain», de Amy Dahan Dalmenico, Scientific American, diciembre de 1991. Un

pequeño artículo que describe la vida y la obra de Sophie Germain. Apareció en castellano en larevista Investigación y Ciencia de febrero de 1992.

Fermat’s Last Theorem - A Genetic Introduction to Algébrate Number Theory , de Harold M.Evans, 1977, Springer. Una discusión matemática del último teorema de Fermat que incluyeesquemas de los primeros intentos de demostración.

Elementary Number Theory, de David Burton, 1980, Allyn & Bacon.Varias comunicaciones, de A. Cauchy, C. R. Acad. Sci. París, núm. 24 (1847), pp. 407-416 y

469-483.«Note au sujet de la demonstration du theoreme de Fermat», de G. Lame, C. R. Acad. Sci. Paris,

núm. 24 (1847), p. 352.«Extrait d’une lettre de M. Kummer a M. Liouville», de E. E. Kummer, J. Math. Pures et Appl,

núm. 12 (1847), p. 156. Reproducido en Collected Papers, vol. 1, editado por A. Weil, 1975,Springer.

A Number for Your Thoughts , de Malcolm E. Lines, 1986, Adam Hilger. Hechos yespeculaciones sobre los números desde Euclides hasta los más modernos ordenadores; incluye unadescripción algo más detallada de la conjetura del punto.

Capítulo 4

3.1416 and All That, de P. J. Davis y W. G. Chinn, 1985, Birkhäuser. Una serie de historiassobre los matemáticos y las matemáticas que incorpora una capítulo sobre Paul Wolfskehl.

The Penguin Dictionary of Curious and Amazing Puzzles, de David Wells, 1986, Penguin.The Penguin Dictionary of Curious and Amazing Puzzles, de David Wells, 1992, Penguin.Sam Loyd and His puzzles, de Sam Loyd (II), 1928, Barse and Co.Mathematical Puzzles of Sam Loyd, de Sam Loyd, editado por Martin Gardner, 1959, Dover.Riddles in Mathematics, de Eugene P. Northropp, 1944, Van Nostrand.The Picturegoers, de David Lodge, 1993, Penguin.13 Lectures on Fermat’s Last Theorem , de Paulo Ribenboim, 1980, Springer. Una serie de

artículos sobre el último teorema de Fermat, escrito antes del trabajo de Wiles. Dirigido a estudiantesde doctorado.

Mathematics, The Science Patterns, de Keith Devlin, 1994, Scientific American Library. Un librobellamente ilustrado que comunica los conceptos de las matemáticas por medio de imágenesimpactantes.

Mathematics, the New Golden Age, de Keith Devlin, 1990, Penguin. Una revisión completa anivel popular de las matemáticas modernas que incluye un estudio sobre los axiomas matemáticos.

The Concepts of Modern Mathematics, de Ian Stewart, 1995, Penguin. Existe versión española:

Conceptos de Matemáticas modernas, Alianza, 1988.Principia Mathematica, de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, 3 vols., 1910, 1912,

1913, Cambridge University Press. Publicado en España por Paraninfo en 1981.«Kurt Gödel», de G. Kreisel, Biographical Memoirs of the Fellows of the Royal Society, 1980.A Mathematician’s Apology de G. H. Hardy, 1940, Cambridge University Press. Una de las

grandes figuras del siglo XX da una visión personal de lo que le motiva a él y a otros matemáticos. Seha publicado una versión en castellano: Autojustificación de un matemático, Ariel, 1981.

Alan Turing: The Enigma of Intelligence, de Andrew Hodges, 1983, Unwin Paperbacks. Unarelación de la vida de Alan Turing; incluye su contribución en el descifrado del código Enigma.

Capítulo 5

«Yutaka Taniyama and his time», de Goro Shimura, Bulletin of the London Mathematical Society,núm. 21 (1989), pp. 186-196. Un relato muy personal sobre la vida y obra de Taniyama.

«Links between stable elliptic curves and certain diophantine equations», de Gerhard Frey, Ann.Univ. Sarav. Math. Ser., núm. 1 (1986), pp. 1-40. El artículo original en que se sugirió un nexo entrela conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat.

Capítulo 6

«Genius and Biographers: the Fictionalization of Evariste Galois», de T. Rothman, Amer. Math.Monthly, núm. 89 (1982), pp. 84-106. Contiene una lista detallada de las fuentes históricas usadas enlas biografías de Galois y discute la validez de las varias interpretaciones de su vida.

«La vie d’Evariste Galois», de Paul Deputy, Annales Scientifiques de l’École NormaleSupérieure, núm. 13 (1896), pp. 197-266.

Mes Memoires, de Alexandre Dumas, 1967, Editions Gallimard.Notes on Fermat’s hast Theorem , de Alf Van der Poorten, 1996, Wiley. Una descripción técnica

de la demostración de Wiles dirigida a estudiantes de matemáticas.

Capítulo 7

«An elementary introduction to the Langlands programme», de Stephen Gelbart, Bulletin of theAmerican Mathematical Society, núm. 10 (1984), pp. 177-219. Una explicación técnica del ProgramaLanglands dirigida a investigadores en matemáticas.

«Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem», de Andrew Wiles, Annals ofMathematics, núm. 142 (1995), pp. 443-551. Este artículo contiene el grueso de la demostración deWiles de la conjetura de Taniyama-Shimura y el último teorema de Fermat.

«Ring-theoric properties of certain Hecke algebras», de Richard Taylor y Andrew Wiles, Annals

of Mathematics, núm. 142 (1995), pp. 553-572. Este artículo describe las matemáticas usadas parasuperar los problemas de la demostración de Wiles de 1993.

Capítulo 8

«How to succeed in stacking», de Ian Stewart, New Scientist, 13 de julio de 1991, pp. 29-32.«The death of proof», de John Horgan, Scientific American, octubre de 1993, pp. 74-82. Existe

versión en castellano publicada en Investigación y Ciencia en diciembre de 1993.«The solution of the four-color-map problem», de Kenneth Appel y Wolfgang Haken, Scientific

American, octubre de 1977, pp. 108-121. Apareció en Investigación y Ciencia en diciembre de 1977.The Four-Color Problem: Assaults and Conquests, de T. L. Saaty y P. C. Kainen, McGraw-Hill,

1977.The Mathematical Experience, de P. J. Davis y R. Hersh, 1990, Penguin. Editorial Labor publicó

en 1989 una traducción de esta obra, titulada La experiencia matemática.

SIMON LEHNA SINGH, (Somerset, 1 de enero de 1964) es un escritor y físico británico deascendencia india, que se especializa en escribir sobre asuntos de matemática y ciencia de una maneraaccesible al público no especializado.

Asistió a la Wellington School, y luego a la Escuela Imperial de Londres, donde cursó física. Fuemuy activo en la unión estudiantil, convirtiéndose en presidente de la Royal College of ScienceUnion. Más tarde completó su doctorado en física de partículas en el Emmanuel College y en laCERN. En 1990 se unió al Departamento de Ciencia de la BBC, donde fue productor y director,trabajando en programas como El mundo del mañana y Horizon.

En 1996 dirigió el documental El último teorema de Fermat, acerca de uno de los problemasmatemáticos más notorios. Resultó ganador del premio BAFTA.

Notas

[1] Real Sociedad de las Ciencias. (N. de los T.) <<

[2] HMSO: Iniciales de Her (o His) Majesty’s Stationery Office , imprenta del gobierno británico. (N.de los T.) <<

[3] RAF: abreviatura de Royal Air Force, fuerzas aéreas británicas. (N. de los T.) <<

[4] ACE: siglas correspondientes a Automatic Computing Engine. (N. de los T.) <<

[5] Tripos: exámenes finales de graduación en la Universidad de Cambridge. (N. de los T.) <<

[6] El día 1 de abril es conocido en el mundo anglosajón como el Fool’s day, el equivalente a nuestrosSantos Inocentes. (N. de los T.) <<

[7] Garçon: chico, mozo; en francés en el original. (N. de los T.) <<

[8] Recuérdese que el 1 de abril es el Fool’s Day , equivalente anglosajón de nuestra fiesta de losSantos Inocentes. (N. de los T.) <<