El enfoque del espacio de estados en modelos de

crecimiento

Oscar Garcıa ∗

Facultad de Ciencias Forestales

Universidad Austral de Chile

Casilla 853

Valdivia, Chile

Resumen

La Teorıa de Sistemas puede proporcionar unmarco conceptual util para el desarrollo demodelos de crecimiento forestal. Se examinany comparan varios enfoques, basandose en ladescripcion de espacio de estados en sistemasdinamicos. Este punto de vista es usado tam-bien para analizar los principios detras de losındices de sitio basados en alturas y posiblesextensiones, y los problemas de estimacion es-tadıstica de parametros. Se distinguen cua-tro tipos principales de metodos de estimacionpara sistemas dinamicos. Una generalizacionmultidimensional del modelo de Richards sirvepara ilustrar muchas de estas ideas.

Introduccion

Una buena planificacion del manejo forestalrequiere proyecciones confiables de crecimien-to y rendimiento. En muchas situaciones, essuficiente el ajuste de curvas de crecimientosimples que describen el curso de variables derodal en el tiempo. Con manejo mas intensivo,

∗Traduccion de The state-space approach in growth

modelling , Canadian Journal of Forest Research

24: 1894–1903, 1994

sin embargo, estas variables son manipuladasa traves de intervenciones silvıcolas que pue-den variar en fechas e intensidad, y se hacenecesario predecir el comportamiento de roda-les en una variedad de circunstancias diferen-tes. Como modelar el numero potencialmen-te infinito de caminos que pueden seguir estosrodales no es enteramente obvio. Aun sin efec-tos de tratamientos, el tratar con desviacionescausadas por el ambiente y por errores de me-dicion presenta dificultades conceptuales, co-mo se aprecia en mucha de la literatura actualsobre curvas de ındices de sitio.

En muchas disciplinas, las ideas de espa-cio de estados y funciones de transicion dela teorıa de sistemas son herramientas yabien establecidas para modelar y pensar so-bre sistemas que evolucionan en el tiempo.Indudablemente, muchos en el campo fores-tal han aplicado un entendimiento intuitivode algunos de estos principios para producirmodelos satisfactorios, pero hay pocos ejem-plos de su uso explıcito y sistematico. Leary(1975) explico algunas de las ideas principales.Otras presentaciones son breves e incompletas(Garcıa 1988a, 1988b), o demasiado tecnicas ode otro modo inaccesibles para muchos usua-rios (Garcıa 1974, 1979, 1983, 1984). Un mejorentendimiento de la teorıa de sistemas dinami-

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cos podrıa ayudar en el desarrollo de funda-mentos solidos para modelar el crecimiento, yen la evaluacion y unificacion de los varios en-foques y metodos.

Este trabajo introduce los conceptos basicosdel modelado del crecimiento desde un puntode vista de espacio de estados. Aunque se hausado profusamente la notacion matematica,el artıculo deberıa ser comprensible para cual-quiera con conocimientos basicos de matemati-cas y asuntos forestales. Despues de discutiralgunos puntos sobre modelos en general, seexplican los aspectos relevantes de la teorıa desistemas dinamicos. Luego se examinan losfundamentos del modelado del crecimiento, ca-racterizando los varios tipos de modelos. Sigueuna seccion sobre el modelado del importan-te componente que es el crecimiento en altu-ra, y su uso en la cuantificacion de la calidadde sitio. Estructuras estocasticas y metodosde estimacion adecuados para modelos de cre-cimiento se analizan en detalle. Finalmente,una forma de modelo especıfica es usada parailustrar la teorıa.

Modelos

Los forestales pueden influenciar el desarrollode un rodal a traves de numerosas decisiones ytratamientos silvıcolas. La densidad de rodalpuede ser controlada eligiendo la densidad deplantacion, y con raleos. La densidad afecta laproduccion total, la incidencia de mortalidadnatural, y el tamano y calidad de los arbolesindividuales. La calidad de la madera puedemejorarse tambien a traves de podas, posible-mente a costa de un menor crecimiento. Otrasdecisiones de manejo pueden incluir la apli-cacion de fertilizantes y pesticidas, distintastecnicas de plantacion o regeneracion, la ob-tencion y uso de semillas geneticamente mejo-radas, y la edad de la cosecha final. Esta claroque, debido a los largos ciclos de produccion

y a las numerosas alternativas de manejo, lasposibilidades de aprender por experiencia o ex-perimentacion directa son limitadas. En con-secuencia, para un manejo forestal racional senecesitan modelos matematicos de crecimien-to capaces de predecir los efectos de los trata-mientos, especialmente en el caso de bosquesde produccion con manejo intensivo.

En general, un modelo es una representacionsimplificada de algun aspecto de la realidad(no confundir con la acepcion normativa de lapalabra, algo digno de ser imitado). Continua-mente todos usamos modelos en alguna forma.Hay modelos mentales, que son relaciones ima-ginadas de causa y efecto entre componentesde algun sistema a traves de las cuales trata-mos de explicar y anticipar su comportamien-to. Se puede plantear modelos en forma ver-bal, por ejemplo la descripcion en palabras delfuncionamiento de alguna maquina. Los mo-delos fısicos o materiales, como los modelos aescala de edificios y aviones, son bien conoci-dos.

Un modelo matematico es como un modeloverbal, pero expresado en lenguaje matemati-co. El lenguaje matematico difiere del lengua-je natural en que es mas conciso y menos am-biguo. Esto, junto con la disponibilidad dereglas que se pueden usar mecanicamente, nospermite razonar en situaciones mas complejas,con menos esfuerzo, y con menos riesgo de con-fundirse.

Con el progreso en computacion se hace masfacil manejar modelos cada vez mas complejos,y de hecho, el uso de modelos a escala en inge-nierıa ha ido disminuyendo, reemplazados pormodelos matematicos que son mas baratos ymas flexibles. Los computadores han llegadoa ser indispensables como herramientas parael desarrollo y uso de muchos modelos. Peronotese la analogıa entre modelado por compu-tador y poesıa por maquina de escribir. Tam-bien, el realismo no es necesariamente una vir-tud en los modelos, es preferible abstraer solo

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aquellos aspectos mas relevantes en cada ca-so. En un modelo de avion para pruebas en eltunel de viento su color o el nombre del pilotopueden no ser importantes. El manual de unagrabadora de video no dice mucho acerca desus mecanismos internos, pero se puede usarpara predecir los efectos de apretar distintosbotones.

Es util distinguir entre modelos para pre-diccion y modelos para comprension (Bunnell1989). Los modelos para comprension (porejemplo modelos fisiologicos o de procesos) sonutiles principalmente en investigacion comoayuda al entendimiento, para sintetizar y rela-cionar conocimientos anteriormente aislados, ypara identificar vacıos donde se necesitan masestudios. Los beneficios surgen del desarrollodel modelo, y no tanto de un uso posterior.Aquı me concentrare en modelos para predic-cion, destinados a la planificacion del manejo.Aplicaciones tıpicas son las proyecciones confines de planificacion forestal, la comparaciony evaluacion de regımenes silviculturales (po-das y raleos), y la actualizacion de bases dedatos de rodales.

En la mayorıa de los casos los modelos sepresentaran como determinısticos. En gene-ral, al tomar decisiones los resultados de unmodelo se toman como representativos de lossucesos mas probables, y se ha encontrado quela introduccion de elementos aleatorios en laspredicciones no es muy util en la practica.Un componente estocastico (aleatorio o pro-babilıstico) es sin embargo necesario para de-sarrollar procedimientos de estimacion racio-nales, y estructuras estocasticas adecuadas sedescriben en este contexto mas adelante.

Sistemas dinamicos

Un modelo de crecimiento predice valores fu-turos de ciertos outputs o salidas, por ejem-plo el volumen de madera, dados inputs o en-

tradas (variables de control) tales como tra-tamientos silviculturales. Tanto las entradascomo las salidas son funciones del tiempo. Es-te hecho, y la dependencia de las salidas detoda la historia pasada del rodal, han provo-cado confusion y dificultades considerables enel modelado del crecimiento. Existe un esca-pe bien conocido en otros campos que tratancon sistemas dinamicos, que puede llamarse elenfoque del espacio de estados.1

La idea es caracterizar el estado del sistemaen cualquier instante del tiempo de tal modoque dado el estado actual el futuro no dependadel pasado. Por ejemplo, podrıamos caracte-rizar un rodal coetaneo puro por su area ba-sal, densidad (arboles por hectarea) y alturadominante, y suponer que dos rodales con losmismos valores para estas variables se compor-tarıan practicamente de la misma manera, noimportando como llegaron a ese estado. “Agrandes rasgos, un estado de un sistema en uninstante dado es la informacion necesaria pa-ra determinar el comportamiento del sistemadesde ese instante en adelante” (Zadeh 1969).En el modelado siempre podremos describir unsistema en suficiente detalle como para deter-minar su comportamiento futuro dentro del ni-vel de exactitud deseado; la existencia de unadescripcion de estado es un asunto de defini-ciones. Desde el punto de vista de librarse delpasado, el estado puede ser “ considerado co-mo una suerte de almacenamiento de informa-cion, o memoria, o una acumulacion de cau-sas anteriores ” (Kalman et al. 1969) y “ unacierta representacion compacta de la actividad

1Estas ideas fueron desarrolladas mas claramenteen la teorıa de sistemas de fines de los anos 60 y co-mienzos de los 70, pero eran ya usadas por sus prede-cesores, la teorıa del control de los 60 y la ciberneticade los 50. En una forma especializada se pueden en-contrar con anterioridad en la mecanica racional, concontribuciones de ciertas areas de la teorıa de ecuacio-nes diferenciales. El sucesor actual mas activo de lateorıa de sistemas parece ser el campo de la dinamicano-lineal.

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anterior del sistema suficientemente completapara que nos permita predecir, en base a lasentradas, exactamente cuales seran las salidas,y tambien actualizar el estado mismo”. (Pa-dulo y Arbib 1974)2

Sea el estado en un instante dado t espe-cificado por una lista de n numeros (varia-bles de estado), o sea, por un vector de esta-do n-dimensional x(t). Las entradas y salidasson tambien vectores de dimension finita u(t)y y(t), respectivamente (es posible un plan-teamiento mas general, pero generalmente noes necesario).3 Entonces el comportamientodel sistema queda descrito por una funcion detransicion

x(t) = F[x(t0),U, t− t0] ,[1]

y una funcion de salida

y(t) = g[x(t)][2]

En palabras, [1] (que sin notacion vectorial seescribirıa como un sistema de n ecuaciones)da el estado en cualquier instante t en funciondel estado en algun otro instante t0, de lasentradas (como funcion del tiempo, denotadapor U), y del tiempo transcurrido entre t0 y t.La funcion de salida [2] da las salidas actualesen funcion del estado actual.

Una funcion de transicion debe satisfacerciertas condiciones obvias:(1) (Consistencia) Si el tiempo transcurrido esnulo no hay cambio, o sea,

F[x(t),U, 0] = x(t)

para todo t,x(t),U

(2) (Composicion o propiedad de semigrupo)El resultado de proyectar el estado primero

2Otra buena referencia es Wiberg (1971)3Vectores son simplemente una abreviatura para

una lista de numeros, x = (x1, x2, . . . , xn). Las fun-ciones vectoriales, como [1] y [2], son un ahorro deescritura aun mayor: y = f(x) es lo mismo que elsistema de ecuaciones y1 = f1(x1, x2, . . . , xn), y2 =f2(x1, x2, . . . , xn), . . . , yn = fn(x1, x2 , . . . , xn).

desde t0 hasta t1, y luego desde t1 hasta t2,debe ser el mismo que el de la proyeccion enuna etapa desde t0 hasta t2:

F[F[x(t0),U, t1 − t0],U, t2− t1] =

F[x(t0),U, t2− t0]

para todo t0 ≤ t1 ≤ t2

(3) (Causalidad) Un cambio de estado puedeser afectado por entradas solo dentro del in-tervalo de tiempo correspondiente:

F[x(t0),U1, t1 − t0] =

F[x(t0),U2, t1 − t0]

si u1(t) = u2(t)

para t0 ≤ t ≤ t1

El paso siguiente es explotar el hecho de quelas funciones de transicion generadas por inte-gracion de ecuaciones diferenciales (o sumato-ria de ecuaciones en diferencias en el caso detiempos discretos) satisfacen automaticamen-te esas condiciones. El modelo puede entoncesplantearse como4

dx

dt= f (x,u)[3]

y = g(x)[4]

En un modelo en tiempo discreto dx/dt esreemplazado por ∆x. Integracion de la fun-cion de transicion local [3] entre t0 y t da lafuncion de transicion global [1].

En el enfoque de espacio de estados, enton-ces, evitamos el tratar de modelar directamen-te las complejas relaciones entre entradas y sa-lidas a traves del tiempo. En lugar de ello,describimos el estado del sistema en cada ins-tante, y modelamos la tasa de cambio de esta-do [3]. La descripcion del estado debe ser tal

4La derivada en el lado izquierdo de [3] denota sim-plemente la tasa de cambio en x. No se necesitaranconocimientos previos de ecuaciones diferenciales y, silo prefiere, el lector puede reemplazar en lo que siguelas tasas instantaneas por incrementos para intervalosde tiempo discretos.

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que, con suficiente aproximacion, los estadosfuturos queden determinados por el estado ac-tual y las acciones futuras, [3], y cualesquieracantidades de interes puedan estimarse dadaslas variables de estado, [4].

Aquı la funcion de salida ha representado laconexion entre las variables de estado y otrasvariables requeridas en las aplicaciones. Enproblemas de estimacion de parametros unainterpretacion un poco distinta es a veces util.En esos casos el estado interno del sistema pue-de estar parcial o totalmente oculto, y las sa-lidas son variables observables. Esa interpre-tacion sera usada mas adelante.

Modelos de crecimiento y

nivel de resolucion

Un modelo de crecimiento bien fundamentadodeberıa poder plantearse como en [3] y [4] osu equivalente en tiempo discreto. Una excep-cion son los modelos estaticos, para rodales sinraleos o sometidos a regımenes estandarizados,donde la ausencia de entradas alternativas per-mite modelar las salidas como funciones fijasdel tiempo.

Generalmente no es necesario incluir varia-bles de control u en [3]. Los tratamientossilvıcolas (por ejemplo raleos y podas) normal-mente ocurren en instantes determinados, ycon una descripcion de estado adecuada cau-san un cambio de estado instantaneo. Po-demos entonces modelar el rodal entre trata-mientos como un sistema libre, donde la tasade cambio de estado es una funcion solo delestado actual. Los cambios en variables de es-tado provocados por tratamientos, por ejem-plo la reduccion en area basal resultante de ra-lear distintos numeros de arboles por hectarea,pueden representarse por funciones aparte.5

5Formalmente, la funcion de transicion se separaen dos, una para transiciones por crecimiento y otra

Los varios tipos de modelos de crecimien-to difieren en el nivel de detalle incluido enla descripcion de estado. Los modelos a nivelde rodal caracterizan el estado del rodal conunas pocas variables que representan agrega-dos a nivel de rodal, tales como area basal,diametro medio, volumen por hectarea, arbo-les por hectarea, espaciamiento medio, alturadominante, etc. En el otro extremo, los mo-delos de arboles individuales dependientes dedistancia incluyen la ubicacion (coordenadas)y diametro, y a veces altura y dimensiones decopa, para todos los arboles en una parcela demuestra. Los modelos de arboles individualesindependientes de distancia usan distribucio-nes diametricas en varias formas, o listas detamanos, pero sin requerir coordenadas. Esprobable que se necesiten modelos de arbo-les individuales en las situaciones mas comple-jas: rodales multietaneos y/o con varias espe-cies, o plantaciones en hileras u otros disenosen agroforesterıa (pero vease Bowling et al.1989). Con rodales puros, coetaneos y razo-nablemente homogeneos es posible elegir, y elprincipio de parsimonia sugerirıa no usar masvariables de estado que las necesarias. Si senecesitan, en general las distribuciones de ta-manos se pueden estimar satisfactoriamente apartir de variables de rodal, o sea, se puedenmanejar en la funcion de salida (Garcıa 1984).Los modelos innecesariamente complicados re-sultan a menudo en mayores costos computa-cionales y en una perdida de precision de lasestimaciones (Bruce y Wensel 1988).

Algunos problemas potencialmente serioscon los modelos de arboles individuales han si-do generalmente ignorados. Los rodales no sonsimples conjuntos de arboles; los tamanos des-pliegan una estructura espacial. Semejanzasen micro-sitio hacen que arboles vecinos sean

para transiciones por tratamiento. En su mayor parteignoraremos la segunda, y nos referiremos solo a laprimera como la funcion de transicion, modelando elcrecimiento entre tratamientos sucesivos.

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mas parecidos que el promedio, mientras quela competencia tiene el efecto opuesto. Las co-rrelaciones espaciales que resultan hacen quelas distribuciones varıen en forma inpredeciblecon el tamano de la parcela (Garcıa 1992). Enparticular, las distribuciones obtenidas de par-celas difieren de las que corresponden a roda-les enteros, que son las deseadas en la practica.Ademas, hasta ahora los modelos dependien-tes de distancia se han basado solamente enındices de competencia, ignorando los efectosde micro-sitio. Aparentemente el desarrollo demodelos satisfactorios de arboles individualespodrıa ser mas difıcil de lo que se pensaba.

Me referire principalmente a modelos a ni-vel de rodal, para rodales puros y coetaneos.¿Cual serıa un vector de estado adecuado?Consideremos la altura dominante H comouna descripcion de estado unidimensional. Pa-ra un sitio dado, la tasa de cambio en H (elincremento en altura) puede modelarse ade-cuadamente como una funcion del H actual:dH/dt = f(H), o ∆H = f(H). Si estu-vieramos interesados en predecir volumen porhectarea, sin embargo, esta salida no podrıaestimarse satisfactoriamente con H solamente.Necesitarıamos mas informacion de estado.

Agreguemos entonces el area basal del rodal,B, formando un vector de estado bidimensio-nal x = (H, B). La funcion de transicion (lo-cal) [3] puede escribirse como un sistema dedos ecuaciones:6

dH

dt= f1(H)[5a]

dB

dt= f2(H, B)[5b]

y la salida (volumen, V ) se puede dar como

V = g(H, B) ,[6]

6Las tasas de crecimiento instantaneas dxi/dt pue-den reemplazarse por incrementos anuales o periodicos∆xi.

por ejemplo con una ecuacion de volumen porhectarea de la forma V = a + bBH. Esta for-mulacion bidimensional es cercana a muchosde los modelos de rodal clasicos (Clutter et al.1983), y puede ser util examinarla con masdetencion para hacer algunas consideracionese ilustrar conceptos basicos. El objeto de estosmodelos es predecir el volumen para diferentesregımenes de raleo y espaciamientos iniciales.

Las ecuaciones del modelo generalmente in-cluyen un ındice de sitio o alguna otra medidade calidad de sitio. Siendo una constante paraun rodal especıfico, no he indicado esta varia-ble explıcitamente. El area basal no se incluyeen [5a], adoptando el supuesto usual de queH no es afectada por la densidad del rodal.Frecuentemente el mismo argumento es usadopara modelar H directamente como una fun-cion de la edad, en lugar de hacerlo a travesdel incremento.

La parte fundamental del modelo es [5b]. Escomun tomar el incremento en area basal co-mo una funcion de B y edad, en efecto usandola edad como una variable de estado en lugarde H (Clutter 1963, Pienaar y Turnbull 1973).Pienaar y Turnbull (1973) plantean explıcita-mente la idea del espacio de estados bidimen-sional en su hipotesis del rodal raleado: “Den-tro de un amplio rango de regımenes de raleo,la tasa de crecimiento en un rodal raleado esidentica a aquella en un rodal no raleado conla misma edad y area basal que el rodal ra-leado”. El uso de la edad en el lado derechoes conceptualmente poco satisfactorio en que,al menos en el sentido de tiempo transcurridot, no tiene una presencia fısica (excepto comoun numero de anillos de crecimiento), y por lotanto no se le deberıa dar un significado causal.En realidad, cuando los forestales dicen edada menudo estan pensando tamano. En par-ticular, de acuerdo al modelo y para un sitiodado, la altura dominante esta funcionalmenterelacionada con la edad, y podemos reempla-zar la edad por H, obteniendo una ecuacion

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como [5b]. En la practica esta substitucion nocambia las cosas, pero es conceptualmente masclara y facilita el pensamiento en situacionesmas complicadas.

Como ejemplo, tomemos el modelo de in-cremento en area basal de Clutter (1963) paraındice de sitio 70, dB/dt = B(5.55 − ln B)/t.No hay modelo de altura en esa publicacion,ası que usemos ln H = 4, 78− 13, 3/t que parasitio 70 se aproxima al de Clutter y Lenhart(1968) con una diferencia menor de 1 pie (1pie = 0,305 m) dentro del rango de sus datos(el usar su ecuacion serıa incomodo porque nopuede despejarse algebraicamente para t). Deaquı, se puede obtener el siguiente modelo deespacio de estados:

dH

dt= 0, 0752H(4, 78− ln H)2[7a]

dB

dt= 0, 0752B(5, 55− ln B)[7b]

(4, 78− ln H) .

En la Fig. 1 se muestran direcciones y ve-locidades de movimiento dadas por [7]. Laslongitudes de los segmentos de recta represen-tan 1 ano de crecimiento. Tecnicamente, estasfunciones de transicion local definen un campovectorial bidimensional sobre todo el espaciode estados H – B (aunque eso no interesa pa-ra los puntos del lado superior izquierdo queno son alcanzables en la realidad). Un rodal encualquier lugar del plano se mueve en la formaindicada por las lıneas. Considerese un rodalde 13 pies de altura, con un area basal de 12pies2/acre (1 pie2/acre = 0,23 m2/ha) a los 6anos de edad. Si se deja sin ralear, seguirıa latrayectoria indicada por la curva superior enla figura. Un raleo a la edad 10 (altura 31, 5pies) provoca un salto instantaneo debido a laremocion de area basal, y el rodal sigue unanueva trayectoria desde allı. Se muestra tam-bien otro raleo a los 15 anos.

Cualquier conjunto de variables en una co-

rrespondencia uno a uno con las variables deestado podrıa usarse tambien como una des-cripcion de estado. Serıa esencialmente unnombre distinto para los puntos del espacio deestados. Por ejemplo, usando [6] podrıamosreemplazar B por V obteniendo un modelo conun vector de estado (H, V ) (al mismo tiempohaciendo innecesaria una funcion de salida).Esto es lo que esta detras del problema de“compatibilidad” tratado por Clutter (1963).Clutter uso extensamente las relaciones en-tre las funciones de transicion locales y glo-bales (vease tambien Bailey y Clutter 1974),y en Sullivan y Clutter (1972) las condicionesde consistencia y semigrupo se explican clara-mente.

Si no estamos solo interesados en el volumencubico total, sino que tambien en volumenes demadera aserrada, por ejemplo, necesitarıamosaumentar el vector de estado con el diametromedio o con la densidad (numero de arbolespor hectarea, N ), para reflejar el efecto deltamano de los arboles en el factor de conver-sion. Es ası frecuente el agregar una ecuacionde mortalidad a [5]. Un modelo suficientemen-te general en muchos casos, toma la forma:

dH

dt= f1(H)[8a]

dB

dt= f2(H, B, N )[8b]

dN

dt= f3(H, B, N )[8c]

Muchas salidas se pueden estimar satis-factoriamente dados H, B y N , incluyendovolumenes de variados productos y parametrosde distribuciones diametricas. La interpreta-cion es analoga a la dada anteriormente pa-ra el caso bidimensional: en cualquier instanteun rodal se caracteriza por su vector de estadox = (H, B, N ), y las ecuaciones de transicion[8] indican en que direccion y con que velo-cidad se desplazara en el espacio de estadostridimensional; las trayectorias seguidas entre

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Figura 1: Campo vectorial para el modelo de Clutter

raleos se obtienen por integracion.

Se ha observado que en tres dimensiones lastrayectorias tienden a concentrarse cerca deuna superficie (Decourt 1974, Garcıa 1988a),de modo que las ganancias por la inclusion deuna variable adicional en [8b] en comparaciona [5b] no son muy altas, aunque cuando se cu-bre un rango amplio de regımenes silvicultu-rales estas se justifican.

Es posible agregar mas variables de estado,aunque pronto se llega a una situacion de re-tornos decrecientes. Despues de raleos o po-das puede transcurrir algun tiempo antes deque los arboles ocupen completamente el es-pacio adicional que se les ha proporcionado.Se podrıa entonces esperar que inmediatamen-te despues de la intervencion un rodal crecerıamenos que otro con los mismos H, B y N pe-

ro no tratado recientemente. Para tener es-to en cuenta, en algunos casos, especialmen-te con raleos y podas muy intensos, el uso deuna cuarta variable de estado que representaocupacion del sitio o cierre del dosel ha sidoventajoso (Garcıa 1984, 1979, 1990). Tambiense ha obtenido, para rodales con deficienciasnutritivas, un modelo que incluye la concen-tracion foliar de fosforo como otra variable deestado (Garcıa 1989, 1988a).

Crecimiento en altura e

ındice de sitio

La altura dominante de un rodal se define dealguna manera que represente la altura de losarboles mas grandes, y en la practica se pue-

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de suponer que (dentro de ciertos lımites) espoco afectada por la manipulacion de la den-sidad del rodal a traves de raleos y espacia-miento inicial, o por las podas. Ignoraremoslos detalles de definiciones mas precisas (Fries1974, Matern 1976, Rennolls 1978) y proble-mas concernientes a tratamiento extremos. Alser independiente de la silvicultura y facilmen-te medible, la altura dominante de rodalescoetaneos puros es usada comunmente paraevaluar la productividad potencial (calidad desitio) de los terrenos forestales (Clutter et al.1983). Otra consecuencia es que el componen-te de crecimiento en altura [8a] de un mode-lo constituye un subsistema independiente quepuede desarrollarse en forma separada.

Partiendo de un punto inicial dado (porejemplo H = 0 a t = 0), [8a] genera una curvaunica para cada sitio. Para cuantificar la cali-dad de sitio, se define el ındice de sitio comola altura dominante del rodal alcanzada a unaedad clave especificada tal como 20 o 50 anos.

En la realidad, las alturas observadas varıandebido a variaciones en las condiciones de cre-cimiento y a errores de medicion. Mas exac-tamente entonces, ya que la calidad de sitioes una propiedad del sitio, el ındice de sitiodebe definirse como una cierta altura prome-dio, mas probable, o predicha, que alcanzarıaun rodal hipotetico creciendo en ese sitio, y nocomo la altura observada a la edad clave en unrodal determinado.

Para estimar el ındice de sitio cuando se tie-nen alturas a edades distintas de la edad clave,se usan curvas (o ecuaciones) de ındice de sitio,que son una familia de curvas que representalas trayectorias H–t para cada valor del ındicede sitio (Fig. 2).

Las ecuaciones de ındice de sitio (y de cre-cimiento en altura) mas usadas son la de

Richards:7

H = a(1− e−bt)1/c ,[9]

y la de Korf (Korf 1939, Zarnovican 1979):

ln H = a− (b

t)c ,[10]

esta ultima principalmente con c = 1 (Schu-macher 1939). El concepto tradicional de ındi-ce de sitio requiere que un y solo un parametro(a, b, c, o alguna funcion de estos) varıe conel sitio, siendo el resto igual para todos los si-tios. Una opcion comun es el tomar a en [9] o[10] como el parametro ındice. En ese caso lascurvas se llaman anamorficas, porque las cur-vas individuales difieren solo por un cambio deescala en el eje H. Todos los otros tipos de cur-vas se han llamado polimorficas, lo que puedeparecer extrano cuando el parametro ındice esb y las curvas difieren entonces en la escala deleje t.

De acuerdo a la teorıa del espacio de es-tados, el crecimiento en altura y el uso deındices de sitio pueden ser representados poruna ecuacion diferencial (o en diferencias) [5a],conteniendo un parametro que varıa con la ca-lidad de sitio. Por ejemplo, las formas diferen-ciales de [9]:

dH

dt=

b

c(acH1−c −H)[11]

o de [10]:8,

dH

dt=

c

bH(a − ln H)1+1/c[12]

7Llamada tambien de Chapman-Richards (Pienaary Turnbull 1973), la ecuacion fue usada por von Ber-talanffy (1949) en animales y estudiada en detalle porRichards (1959). La frecuentemente mencionada gene-ralizacion de Richards consiste en permitir c negativos,y raramente es util. A menudo se cita incorrectamenteel tıtulo de Chapman (1961). Otra aplicacion tempra-na al crecimiento vegetal fue por Nelder et al. (1960).

8Tanto Korf como Schumacher han dado ecuacio-nes que contienen t en el lado derecho. Este puedereemplazarse en terminos de H , obteniendose [12]

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Figura 2: Curvas de ındice de sitio (Garcıa 1983, reproduccion autorizada)

Su integracion da las funciones de transicionglobal:

H(t) = a[1− (1−H(t0)c/ac)e−b(t−t0)]1/c[13]

y

lnH(t) =[14]

a−

[

b

t− t0 + b(a− lnH(t0))−1/c

]c

respectivamente. Las curvas de ındice de sitiose obtienen fijando un punto inicial adecua-do, por ejemplo t0 = 0 y H(t0) = 0 para [9]y [10]. Estas curvas pueden usarse del mo-do tradicional, pero tambien se puede explo-tar la flexibilidad adicional proporcionada porlas funciones de transicion (Garcıa 1983, Ren-nolls 1994). Algunas posibilidades se exponena continuacion.

En general, los rodales no siguen exacta-mente una curva de ındice de sitio determi-nada. Cuando aparece una nueva observacionaltura-edad que se desvıa de la tendencia pro-yectada, el procedimiento usual hace que elrodal siga en adelante la curva que pasa porel nuevo punto (Fig. 2). O sea, se cambia elındice de sitio a aquel para el cual la funcionde transicion llevarıa el origen al nuevo punto.Esto puede racionalizarse si se piensa que lanueva informacion justifica una actualizacionde la calidad de sitio estimada. Por otro lado,si pareciera que se tiene una estimacion con-fiable basada en otra informacion y que la des-viacion se debe a condiciones climaticas anor-males o a otras razones, serıa preferible con-tinuar con el nuevo punto altura-edad comocondicion inicial en la funcion de transicion,

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manteniendo el valor del parametro de sitio es-timado anteriormente. Soluciones intermediasentre estos dos extremos son tambien posibles(Walters et al. 1991). De este modo, las pro-yecciones del modelo pueden cortar a travesde las curvas de ındice de sitio. Obviamente,en ese caso el rodal no alcanzara la altura co-rrespondiente al ındice a la edad clave, peroeso es como deberıa ser.

A veces se podrıa obtener un mejor ajus-te a los datos si las curvas no son forzadas apasar por el origen, dejando el punto inicialcomo otro parametro a ser estimado (de to-dos modos la mayorıa de las curvas de ındicede sitio no sirven para rodales muy jovenes).Mas en general, las malezas, cultivo del sue-lo y otras tecnicas de establecimiento puedenproducir variaciones substanciales en el creci-miento inicial en altura. Estos efectos puedenmodelarse desplazando el origen de las curvas.Con condiciones de establecimiento descono-cidas y un origen flotante, la calidad de sitiopodrıa estimarse dadas dos o mas observacio-nes altura–edad. El sitio es representado porun parametro de la funcion de transicion queinfluencia la tasa de crecimiento, pero no de-termina necesariamente el tamano alcanzadoa una edad dada. Podrıamos incluso usar unparametro de sitio variable en el tiempo paraseguir los efectos de cambios en el clima.

Finalmente, es importante tener en cuentaque el ındice de sitio es bueno solamente pa-ra discriminar entre niveles de produccion bajocondiciones de crecimiento razonablemente se-mejantes. Condiciones diferentes producen nosolo diferencias de nivel, sino que tambien enla forma de las curvas y en las relaciones entrevariables de estado. A menudo es necesariauna estratificacion previa en regiones relativa-mente homogeneas, con el ındice de sitio re-flejando distinciones locales mas finas dentrode las regiones. En principio, una alternativaserıa el usar mas de un parametro de sitio, algoası como un ındice de sitio multidimensional.

Notese que cambiando la variable de estadode H a Hc el modelo de Richards [11] puedeescribirse como una ecuacion diferencial lineal:

dHc

dt= b(ac −Hc)[15]

(verifique calculando la derivada en el ladoizquierdo). Esta formulacion es matematica-mente conveniente, especialmente cuando se leagrega una estructura estocastica como en laseccion siguiente. Tambien se presenta masadelante una generalizacion a estados multidi-mensionales.

Estimacion de parametros

Una vez formulado un modelo que contieneparametros desconocidos, es necesario estimaresos parametros. Un enfoque racional del pro-blema de estimacion requiere contar con algun“metamodelo”9, un modelo que describa la es-tructura de las discrepancias entre modelo yobservaciones, usualmente en lenguaje proba-bilıstico. El enfoque mas completo y consisten-te del problema de estimacion, el bayesiano –teorıa de decisiones, requiere conocer ademasel costo de todos los posibles errores (una fun-cion de perdidas), y una representacion pro-babilıstica de toda la informacion y creenciasprevias relevantes (una distribucion a priori).Desgraciadamente, los costos y consecuenciasde los errores que surjan de un modelo variarancon cada uso y con cada usuario, y raramentese pueden especificar en detalle. El uso de in-formacion y creencias subjetivas tambien es unproblema, especialmente cuando un modelo vaa ser usado por distintas personas.

Los metodos mas frecuentemente usados, losde la estadıstica clasica, se desentienden deperdidas y distribuciones a priori y tratan de

9En literatura reciente sobre simulacion este termi-no se ha usado con un significado diferente, para unmodelo simplificado del comportamiento de un mode-lo mas complejo

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encontrar alguna forma “objetiva” de hacer es-timaciones basandose solo en el (meta)modeloy las observaciones. No es extrano que, dada lanaturaleza no bien definida del problema des-pojado de sus aspectos de toma de decisiones,los resultados no son siempre muy convincen-tes. Se construyen y evaluan estimadores enterminos de satisfacer ciertos criterios mas omenos ad-hoc tales como insesgamiento, in-variancia, varianza mınima, error cuadraticomınimo, los que en general no se pueden al-canzar conjuntamente. Para una buena expo-sicion de los “que” y “por que” de los variosenfoques en probabilidad y estadıstica veaseBarnett (1973).

Otro problema con la estadıstica es el condi-cionamiento a modelos y parametros “verda-deros”. Tıpicas aserciones son algo ası como“si tal modelo es cierto, entonces. . . ”. Dadoque, por definicion, un “modelo verdadero”no existe, las conclusiones deben de tomarsecon algun escepticismo. A pesar de todo esto,la teorıa y metodos estadısticos son extraor-dinariamente utiles, y aun indispensables enel modelado del crecimiento. Los modelos ytecnicas estadısticas nos permiten formular yabordar de modo racional problemas de infor-macion incompleta, y producir usualmente so-luciones razonables.

Tal vez el metodo de estimacion mas util yde aplicabilidad mas general es el metodo de lamaxima verosimilitud (MV). La funcion de ve-rosimilitud es la probabilidad de que los datosobservados sean generados por el modelo (pro-babilıstico), considerada como una funcion delos parametros desconocidos. Las estimacionesde MV son aquellos valores de los parametrospara los cuales la funcion de verosimilitud al-canza su valor maximo. Intuitivamente, de to-dos los valores posibles de los parametros, lasestimaciones maximo-verosımiles son las quetienen la mayor probabilidad de originar unamuestra cercana a la observada (Bard 1974).

Bajo ciertas condiciones se puede demostrar

que los estimadores de MV poseen un nume-ro de “buenas” propiedades, principalmenteasintoticamente para muestras grandes. Enciertas situaciones aproximan o coinciden conresultados bayesianos y con otros metodos deestimacion tales como mınimos cuadrados, yen general proporcionan estimaciones acepta-bles en la mayorıa de los casos. Pero la utili-dad del metodo de MV se debe en gran par-te a dos caracterısticas. Primero, no importacuan complicado el modelo, existe siempre unprocedimiento bien definido para obtener esti-maciones, al menos en principio. Uno “simple-mente” plantea la funcion de verosimilitud yencuentra su maximo. Segundo, el metodo deMV es invariante bajo reparametrizaciones, ycualesquiera cantidades calculadas con el mo-delo con los parametros reemplazados por susestimaciones de MV son estimaciones de MVpara esas cantidades.

Mınimos cuadrados es un caso especial deMV cuando los residuos para los que se mini-miza la suma de cuadrados son independientesy todos tienen la misma distribucion normal.En regresion lineal, se puede justificar tambienel metodo de los mınimos cuadrados como unoque da la varianza mas pequena entre todoslos estimadores insesgados que son funcioneslineales de las observaciones, siempre que losresiduos sean independientes y tengan todosmedias nulas y la misma varianza, aun que nosean normales (el teorema de Gauss-Markoff).

Bard (1974) trata la estimacion en sistemasdinamicos (vease tambien Seber y Wild 1989,Cap. 7). Considerese un modelo

dx

dt= f (x, θ)[16]

donde el estado x es observable y θ es un vec-tor de parametros a ser estimados. Los da-tos consisten en valores de x para varios t,pero normalmente no medimos directamentelos valores de las derivadas. Una primera me-todologıa calcula valores aproximados de las

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derivadas en [16] usando diferencias entre ob-servaciones adyacentes. Si (x1, t1) y (x2, t2)son dos observaciones consecutivas, entonces(x2 − x1)/(t2 − t1) es una aproximacion dedx/dt para t = (t1 + t2)/2. No se debenusar pares de mediciones donde un tratamien-to (por ejemplo un raleo) ha producido uncambio de estado entre las dos fechas de medi-cion. Con todos los pares de mediciones sucesi-vas apropiados, la ecuacion en [16] para cadauna de las variables de estado puede enton-ces ser ajustada por mınimos cuadrados, porejemplo.

El ajustar las ecuaciones en forma separa-da puede no dar los mejores resultados si suserrores estan correlacionados, y no es factiblesi algun parametro aparece en mas de una delas ecuaciones (Burkhart 1986). Para estas si-tuaciones llamadas de multirrespuesta, Box yDraper (1965) usando argumentos bayesianosrecomendaron estimar minimizando el deter-minante de la matriz de momentos conjuntosde la muestra (ver tambien Hunter (1967), Ba-tes y Watts (1985), Stewart (1987), Kang yBates (1990) y referencias allı citadas). Bard(1974, seccion 4-9) obtuvo el mismo criterio deminimizacion del determinante con el metodode MV. Notese tambien que errores de medi-cion causarıan autocorrelacion, vease mas aba-jo la discusion que sigue a [19].

Por su sencillez, el ajuste directo de [16]con derivadas aproximadas puede ser la me-jor opcion en muchos casos, aunque Bard ob-jeta que su exactitud es severamente limitaday los errores difıciles de evaluar. Si el modelousa ecuaciones en diferencias en lugar de ecua-ciones diferenciales y el espaciamiento de lasobservaciones corresponde a los intervalos delas diferencias, entonces no hay error de apro-ximacion. Con observaciones frecuentes uni-formemente espaciadas, los errores pueden seraceptables. Sin embargo, el metodo no puedeusarse con efectividad si la separacion entre losdatos es grande y/o irregular.

La segunda metodologıa se basa en integrar[16], obteniendo la funcion de transicion global

x = F(t− t0,x0, θ) .[17]

(Una tercera metodologıa tratada por Bard,usando integracion numerica de los datos, noparece aplicable a nuestros problemas). Lascondiciones iniciales x0 en t0 son usualmen-te conocidas (medidas); si no, se pueden in-cluir como parametros adicionales a ser esti-mados. Solo casos donde [17] se puede ob-tener analıticamente en forma cerrada pare-cen haberse considerado en el campo forestal,aunque, en principio, tambien podrıa usarseintegracion numerica. A menudo, en ındicesde sitio y en modelos de crecimiento de tipoestatico, el modelo ya es dado como una fun-cion del tiempo en esta forma.

Una caracterıstica de estos problemas es quelos datos consisten en muchas series disjun-tas de observaciones, cada una de ellas repre-sentada por [17], posiblemente con condicio-nes iniciales diferentes. Esto se llama a vecesdatos de panel, que son una combinacion dedatos de tipo transversal, donde se hace unaobservacion en cada individuo, y datos de ti-po longitudinal, donde se hace una secuenciade observaciones en un solo individuo. Co-mo de costumbre, el obtener buenos estimado-res para los parametros desconocidos necesitade supuestos razonables sobre la estructura deerrores. Especıficamente, para usar el meto-do de MV o metodos bayesianos necesitamosuna aproximacion para la densidad de proba-bilidad conjunta de todas las observaciones (lafuncion de verosimilitud). Para mınimos cua-drados necesitamos formar residuos indepen-dientes e identicamente distribuidos.

Generalmente la correlacion entre indivi-duos no es demasiado importante y puede ig-norarse, de modo que solo es necesario consi-derar la distribucion de la secuencia de obser-vaciones para un individuo (pero vease Garcıa

13

1983 para mas detalles sobre este punto). Ob-servamos {(t1,x1), (t2,x2), . . . , (tm,xm)}. Es-tos seguirıan [17], excepto por dos fuentes prin-cipales de variacion: errores de medicion (in-cluyendo posibles errores de muestreo) y unambiente que varıa en forma inpredecible.

Un camino comunmente empleado es el usode mınimos cuadrados bajo el modelo

xi = F(ti − t0,x0, θ) + εi ;[18]

i = 1, 2, . . ., m

Esto se ha hecho en modelos univariantes ouna ecuacion a la vez, donde los xi son esca-lares (o sea, no vectores). En situaciones demultirrespuesta se podrıa usar el criterio deminimizacion del determinante.

Se puede esperar que este metodo funcionebien si los εi son aproximadamente indepen-dientes e identicamente distribuidos. Este esel caso si las desviaciones del modelo se debenprincipalmente a error de medicion (se pue-de usar transformaciones para homogeneizarlas varianzas). Por otro lado, si las trayecto-rias son perturbadas por variacion ambientalestas perturbaciones tienen un efecto acumu-lativo, haciendo que los εi esten correlaciona-dos y tengan varianzas crecientes en el tiempo.Para ver el porque, notese que el valor realiza-do de x al tiempo ti+1 depende del valor en ti,a traves de [17], y de las perturbaciones entreti y ti+1, y a su vez el valor en ti se desvıa dela trayectoria nominal debido a perturbacionesocurridas antes de ti.

Fallando el supuesto de errores incorrelacio-nados, los estimadores de mınimos cuadradosbasados en [18] pueden ser ineficientes y loserrores pueden ser fuertemente subestimados(Sullivan y Reynolds 1976, Seber y Wild 1989,seccion 7.4). Una posibilidad es el tomar encuenta la correlacion de los errores con tecni-cas como mınimos cuadrados generalizados omodelos de series temporales autorregresivas.Hay una extensa literatura sobre modelos de

correlacion desde este punto de vista (Jones1993, Magnussen y Park 1991, Seber y Wild1989, Cap. 6 y referencias allı citadas). Conmezclas de datos transversales y longitudina-les, sin embargo, las estructuras de correlacionplausibles son complejas y el enfoque es al me-nos “algo burdo” (Seber y Wild 1989, p.344).Una alternativa mas orientada a los procesosparece entonces mas atractiva.

En vez de[18] podemos considerar

xi = F(ti − ti−1,xi−1, θ) + εi ;[19]

i = 1, 2, . . . , m

Como una primera aproximacion es razonablesuponer que las fluctuaciones ambientales sondel tipo “ruido blanco”. O sea, las fluctuacio-nes dentro de algun intervalo de tiempo son in-dependientes de aquellas en otros intervalos, almenos aproximadamente y en una escala tem-poral adecuada (pero, de nuevo, ver Garcıa1983). Si ademas los errores de medicion soncomparativamente poco importantes, los εi en[19] se pueden tomar como no correlacionados.

Bajo los supuestos anteriores, si las obser-vaciones estan uniformemente espaciadas en eltiempo tenemos entonces esencialmente el casode diferencias finitas ya analizado, y mınimoscuadrados o minimizacion del determinante dela matriz de momentos para [19] serıa apropia-do. Si, al contrario, la separacion entre obser-vaciones varıa substancialmente, podrıa valerla pena modelar como la varianza de εi cam-bia con la longitud del intervalo. Esto ha sidohecho, por ejemplo, por Garcıa (1979, 1984)integrando ecuaciones diferenciales que inclu-yen un proceso de ruido blanco, y por Candy(1989) usando modelos lineales generalizados.Seber y Wild (1989, seccion 7.5) y Jones y Ac-kerson (1990) presentan varias alternativas.

Cuando tanto las fuentes de variacion am-bientales y por medicion son importantes lasituacion es mas complicada. Los εi en [19]se correlacionan porque intervalos consecuti-vos comparten una medicion comun. Se ha

14

usado un modelo basado en [15] con terminosrepresentando ambas causas de error, aunqueel metodo de MV raramente pudo estimar se-paradamente las dos varianzas (para los deta-lles vease Garcıa (1983) o Seber y Wild (1989,seccion 7.5.3)).

En general, la estructura de errores para unsistema dinamico puede modelarse a traves deuna entrada u en la funcion de transicion [3]donde u es un proceso estocastico que repre-sente las fluctuaciones ambientales, y una fun-cion de salida [4] que de los valores observadosen funcion de los valores reales y de los erro-res de medicion. El problema es idear modelosque sean suficientemente realistas y al mismotiempo matematicamente tratables.

Al tratar de mejorar los metodos de es-timacion las matematicas se complican cadavez mas, y el esfuerzo computacional aumentarapidamente. Es difıcil saber en un caso par-ticular cuanto refinamiento producira mejorasque valgan la pena. Se puede argumentar, sinembargo, que con trabajos de terreno costososen tiempo y dinero y con un poder compu-tacional creciente, hay pocas excusas para nointentar extraer de los datos tanta informacioncomo sea posible.

El modelo de Richards mul-

tivariante

La teorıa de espacios de estado expuesta arri-ba es completamente general, habiendo mu-chas posibilidades en la eleccion de ecuacionesy vectores de estado. Un ejemplo especıficopuede ayudar para ilustrar las ideas.

En el desarrollo de una serie de modelos decrecimiento regionales para plantaciones de pi-no radiata (Pinus radiata D. Don) en NuevaZelandia se decidio usar modelos empıricos su-ficientemente flexibles para ajustarse a los pa-trones de desarrollo observados, sin atenerse

a ideas preconcebidas. Se consideraron ade-cuadas, al menos en una primera etapa, varia-bles a nivel de rodal basadas en altura domi-nante, area basal y arboles por hectarea, po-siblemente agregando el nivel de copa verdeu otra medida de cierre del dosel. Para obte-ner procedimientos de estimacion eficientes eradeseable tambien que la forma del modelo fue-ra matematicamente tratable. En particular,deberıa ser posible integrar analıticamente lasfunciones de transicion. (Garcıa 1979, 1988a).

Supongase que las variables de estado sonla altura dominante, area basal y arboles porhectarea, constituyendo un vector de estadox = (x1, x2, x3) = (H, B, N ). Una opcionconveniente y facil de usar para la funcion detransicion local [3] serıa un sistema de ecua-ciones diferenciales lineales (EDLs), donde lasfi en [8] son lineales en H, B y N . Desgracia-damente las EDLs no son muy flexibles; unaEDL unidimensional [8a] es llamada el mode-lo de Mistcherlich o monomolecular, y producecurvas sin un punto de inflexion que raramenterepresentan bien el crecimiento de los arboles.Resultados algo mejores se obtuvieron con unsistema de EDLs en los logaritmos de las va-riables de estado. Este es una generalizacion avarias variables del modelo de Gompertz, y sudesarrollo fue continuado por Minowa (1982,1983a, 1983b).

La flexibilidad deseada se obtuvo finalmentecon transformaciones a potencias de la forma

HαBβNγ[20]

En lugar de x usamos el vector de estado equi-valente:

y = (y1, y2, y3)

= (Hc11 , Hc21Bc22N c23 ,

Hc31Bc32N c33)

Se supone que las nuevas variables de estadosiguen el sistema de EDLs:

dy1

dt= a11y1 + b1

15

dy2

dt= a21y1 + a22y2 + a23y3 + b2

dy3

dt= a31y1 + a32y2 + a33y3 + b3

Los coeficientes aij, bi y cij son valores cono-cidos o parametros a estimarse, posiblementefunciones del ındice de sitio. Abreviado convectores y matrices esto es

dy

dt= Ay + b[21]

con los parametros agrupados en la matriz Ade 3× 3 y en el vector b de largo 3.

La primera EDL es el modelo de Richards[15]. El sistema completo puede verse comouna generalizacion tridimensional de este sinotamos que, con la matriz C de 3 × 3 con-teniendo los coeficientes cij :

10

lny = C lnx

y definimos por lo tanto:

y = exp[C lnx] ≡ xC

Entonces, [21] se puede escribir como

dxC

dt= B(aC − xC)[22]

que es analogo a [15]. Es claro que esto valetambien para dimensiones distintas de tres.

Aparte de su flexibilidad y de la analogıacon la funcion de Richards, un aspecto atracti-vo de este modelo surge del hecho que muchasvariables forestales son proporcionales a alguncaso particular de [20]. Por ejemplo, el DAPmedio (diametro medio cuadratico a la altu-ra del pecho, H0B0.5N−0.5), el espaciamientomedio (H0B0N−0.5), el espaciamiento relati-vo de Hart-Becking (H−1B0N−0.5), el ındicede densidad de Reineke (H0B0.8N1), algunas

10El logaritmo de un vector es el vector de logaritmosde sus elementos. Analogamente, el exponente de unvector se define como el vector de los exponentes desus elementos.

aproximaciones del volumen (H1B1N0 masuna constante o HαBβN0 en ecuaciones devolumen logarıtmicas). El usar cualquier con-junto independiente de estas para x no cambiala forma de [22], reduciendo lo arbitrario deuna eleccion particular de variables de estado.

La integracion de [22] entre t0 y t da la fun-cion de transicion global (comparese con [13])

x(t) = [aC − e−B(t−t0)(aC − x(t0)C)]C

−1

[23]

que predice x para cualquier tiempo t tal queno haya cambios de estado causados por raleoso podas entre t0 y t. El exponencial matricialse puede calcular como

e−B(t−t0) = P−1e−Λ(t−t0)P

con la descomposicion en valores propios B =P−1ΛP, donde Λ es diagonal (otras alternati-vas son presentadas por Moler y Loan 1978).

Se puede construir un proceso estocasti-co matematicamente tratable agregando ruidoblanco en el lado derecho de [22]. Este ha si-do usado para aproximar los efectos de la va-riacion ambiental con fines de estimacion deparametros. Se obtiene una expresion en for-ma cerrada para la funcion de verosimilitud,y las estimaciones de MV se calculan por op-timizacion numerica. Tambien se ha probadoel metodo mas sencillo de aproximacion dife-rencial, con valores fijos de C los que puedenelegirse iterativamente.

La ecuacion [22] constituye una clase bas-tante general de modelos que podrıan usarsepara muchos sistemas dinamicos. En aplica-ciones especıficas a modelos de crecimiento,ciertos aspectos necesitan ser definidos. Estosincluyen la seleccion de variables de estado, laforma en que el sitio entra en las ecuaciones,restricciones en valores de los parametros, yla inplementacion de procedimientos de esti-macion. En modelos de los efectos del cierredel dosel, deficiencias nutritivas y mejoramien-to genetico se ha encontrado util reemplazar t

16

por funciones que representan cierto “tiempofisiologico” (Nelder et al. 1960). Detalles sepueden encontrar en Garcıa (1984, 1979, 1984,1988a, 1989, 1991).

Aunque el modelo de Richards multivarian-te, al igual que su analogo univariante puedecomportarse de forma razonable al ser extra-polado y en situaciones lımite, es esencialmen-te empırico, representando solamente un resu-men conveniente de datos observados. Se hademostrado tambien (Garcıa 1990, 1993) quelas ideas de espacio de estados y la experien-cia con este tipo de modelo pueden ser utilesen estudios mas mecanısticos del crecimientoforestal.

Resumen y conclusiones

Una vez explicadas y comprendidas, las ideasde espacio de estados son muy simples y sus-ceptibles de ser vistas como obvias o bien co-nocidas. Sin embargo aun existe mucha con-fusion sobre el manejo apropiado de funcionesdel tiempo. El ignorar la necesidad de des-cripciones de estado multidimensionales ade-cuadas puede estar detras de “. . . la tendenciadel biologo a juntar un monton de cantidadesrelacionadas de alguna manera arbitraria pa-ra formar el Coeficiente de Esto y el Indice deAquello. . .” (S. C. Pearce en la discusion deMead y Riley 1981). El punto de vista de lateorıa de sistemas nos puede ayudar a entendermejor que en el pasado los fundamentos de losmodelos de crecimiento y los varios metodosque se han usado.

El abandono generalizado de los modelos anivel de rodal en favor de los de arboles indivi-duales, mas de moda, puede que no se justifi-que, al menos no para rodales puros coetaneosy homogeneos. Es probable que vectores deestado grandes contengan mucha informacionredundante, con perdidas consecuentes de pre-cision (sobre-parametrizacion), ademas de ser

costoso o imposible el obtener valores confia-bles en el terreno. Ademas, el ignorar correla-ciones de micro-sitio en modelos de arboles in-dividuales puede producir resultados poco rea-listas y enganosos. Metodos mejorados puedenproducir buenas predicciones de la dinamicade cantidades a nivel de rodal, y parece pru-dente transferir a la funcion de salida las mascuestionables estimaciones de distribucion.

Los supuestos detras del desarrollo y usode curvas de ındice de sitio se pueden hacerexplıcitos y sus fundamentos pueden aclararseen un contexto de espacio de estados. Existenposibilidades para metodos mas sofisticados declasificacion de sitios usando orıgenes flotantese ındices multivariantes.

Los usuarios deberıan estar conscientes dealgunos asuntos conceptuales para entenderlas propiedades y limitaciones de los meto-dos estadısticos y para interpretar correcta-mente los resultados. Los datos de crecimientopresentan caracterısticas estadısticas especia-les que dificultan el desarrollo de metodos deestimacion completamente satisfactorios. Aunası, algun modelo estadıstico de la estructurade errores, por aproximado que sea, es nece-sario para seleccionar estimaciones en formaracional. Deberıan evitarse los procedimien-tos ad-hoc que contienen supuestos ocultos.

Puede ser util clasificar los metodos de esti-macion de parametros para sistemas dinami-cos en cuatro grupos: (i) aproximacion dife-rencial, o el primer metodo de Bard, dondese usa directamente [16]; (ii) determinısticos(Seber y Wild 1989, seccion 7.4), donde se ha-ce un supuesto inplıcito o explıcito de erroresindependientes en [18]; (iii) errores correlacio-nados, donde se adopta alguna estructura decorrelaciones para [18] (la estructura puede serderivada a traves de modelos de tasas comofunciones del tiempo, Seber y Wild 1989, sec-cion 7.5.2); (iv) procesos estocasticos, dondeestos, obtenidos por la inclusion de elementosaleatorios en un modelo dinamico, se usan pa-

17

ra derivar estructuras de error para [19], nonecesariamente aditivas (pueden verse comorepresentando tasas como funciones del esta-do, Seber y Wild 1989, seccion 7.5.3). Puedenocurrir traslapos, por ejemplo entre (i) y (iv)para observaciones uniformemente espaciadas,y es posible tener combinaciones tales como(iv) y (ii) (Garcıa 1983).

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