El campo gravitatorio. · 2017-09-22 · I.E.S. ÁNGEL CORELLA} Dpto. de Física y Química. El...

I.E.S.ÁNGELCORELLA

Dpto. de Física y Química.}

El campo gravitatorio

El campo gravitatorio.

David Matellano

Departamento de Física y Química. IES Ángel Corella. (Colmenar Viejo)

22 de septiembre de 2017

I.E.S.ÁNGELCORELLA

Dpto. de Física y Química}

David Matellano El campo gravitatorio.

I.E.S.ÁNGELCORELLA



índice de contenidos I

1 El campo gravitatorioLa ley de Gravitación universal de Newton.El campo ~gEnergía potencial.El potencial gravitatorio.

Superficies equipotencialesEl teorema de Gauss

Esfera de masa M


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La ley de Gravitación universal de Newton.El campo ~gEnergía potencial.El potencial gravitatorio.El teorema de Gauss

Fuerzas entre dos masasLey de Gravitación Universal de Newton

Enunciado de la Ley de Newton.Sean dos masas m1 y m2 separadas por una distancia r:

m1 m2~r12

~F12 ˆr12~F21

La fuerza que crea m1 sobre m2es:

~F12 = −G ·m1 ·m2r2 · ˆr12 (1)

Dirección y sentido

La fuerza tiene la dirección de ~r12El sentido siempre es el contrario a~r12.

El principio de acción y reacción

Igualdad de módulos:∣∣∣ ~F12

∣∣∣ =∣∣∣ ~F21

∣∣∣Misma dirección: ~F12 ‖ ~F21Sentidos opuestos: ~F12 = − ~F21


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m1 m2~r12

~F12

ˆr12

~F21


~F12 = −G ·m1 ·m2r2 · ˆr12 (1)

Dirección y sentidoLa fuerza tiene la dirección de ~r12

El sentido siempre es el contrario a~r12.



∣∣∣ =∣∣∣ ~F21



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m1 m2~r12 ~F12 ˆr12

~F21


~F12 = −G ·m1 ·m2r2 · ˆr12 (1)

Dirección y sentidoLa fuerza tiene la dirección de ~r12El sentido siempre es el contrario a~r12.



∣∣∣ =∣∣∣ ~F21



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m1 m2~r12 ~F12 ˆr12~F21


~F12 = −G ·m1 ·m2r2 · ˆr12 (1)




∣∣∣ =∣∣∣ ~F21

∣∣∣

Misma dirección: ~F12 ‖ ~F21Sentidos opuestos: ~F12 = − ~F21


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m1 m2~r12 ~F12 ˆr12~F21


~F12 = −G ·m1 ·m2r2 · ˆr12 (1)




∣∣∣ =∣∣∣ ~F21

∣∣∣Misma dirección: ~F12 ‖ ~F21

Sentidos opuestos: ~F12 = − ~F21


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m1 m2~r12 ~F12 ˆr12~F21


~F12 = −G ·m1 ·m2r2 · ˆr12 (1)




∣∣∣ =∣∣∣ ~F21



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El campo gravitatorio.Campo ~g creado por una masa puntual.

Es la fuerza por unidad de masa:

~g =~F

m′

A partir de la Ley de Newton (1):~g = −G ·M

r2 · r

Características de ~gSu dirección es radial desde la masa.Su sentido es centrípeto.

Figuras:

M


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~g =~F

m′


r2 · r

Características de ~g

Su dirección es radial desde la masa.Su sentido es centrípeto.

Figuras:

M


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~g =~F

m′


r2 · r

Características de ~gSu dirección es radial desde la masa.

Su sentido es centrípeto.

Figuras:

M


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~g =~F

m′


r2 · r

Características de ~gSu dirección es radial desde la masa.Su sentido es centrípeto.

Figuras:

M


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Líneas de campo ~g

Concepto de líneas de campo:

Son líneas imaginarias que sirven para representar ~g. Cumplen:

Propiedades:

1 Son líneas que entran hacia las masas.2 Nunca se cortan.3 Son tangentes en cada punto a ~g4 Si |~g| aumenta, están más próximas.

Figuras

M


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Líneas de campo ~g

Concepto de líneas de campo:Son líneas imaginarias que sirven para representar ~g. Cumplen:

Propiedades:

1 Son líneas que entran hacia las masas.2 Nunca se cortan.3 Son tangentes en cada punto a ~g4 Si |~g| aumenta, están más próximas.

Figuras

M


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Líneas de campo ~g


Propiedades:1 Son líneas que entran hacia las masas.

2 Nunca se cortan.3 Son tangentes en cada punto a ~g4 Si |~g| aumenta, están más próximas.

Figuras

M


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Líneas de campo ~g


Propiedades:1 Son líneas que entran hacia las masas.2 Nunca se cortan.

3 Son tangentes en cada punto a ~g4 Si |~g| aumenta, están más próximas.

Figuras

M


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Líneas de campo ~g


Propiedades:1 Son líneas que entran hacia las masas.2 Nunca se cortan.3 Son tangentes en cada punto a ~g

4 Si |~g| aumenta, están más próximas.

Figuras

M


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Líneas de campo ~g


Propiedades:1 Son líneas que entran hacia las masas.2 Nunca se cortan.3 Son tangentes en cada punto a ~g4 Si |~g| aumenta, están más próximas.

Figuras

M


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La energía potencial gravitatoriaDefinición

Trabajo realizado por el campo ~gPara llevar una masa m′ desde ~r hasta el infinito:

W =∫ ∞

r

~F · d~r =∫ ∞

r−G ·M ·m

′

r2 · dr = G ·M ·m′

r

∣∣∣∣∞r

= −G ·M ·m′

r

Energía potencial en un punto ~rLa energía potencial de una masa m′ en presencia de una masa M distante r es:

Ep(~r) = −G ·M ·m′

rEs el trabajo necesario para que el campo ~g lleve a m′ desde ~r hasta ∞lım

r→∞Ep(r) = 0 (La energía potencial se anula en el infinito)


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W =∫ ∞

r

~F · d~r =∫ ∞

r−G ·M ·m

′

r2 · dr = G ·M ·m′

r

∣∣∣∣∞r

= −G ·M ·m′

r


Ep(~r) = −G ·M ·m′

r

Es el trabajo necesario para que el campo ~g lleve a m′ desde ~r hasta ∞lım



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W =∫ ∞

r

~F · d~r =∫ ∞

r−G ·M ·m

′

r2 · dr = G ·M ·m′

r

∣∣∣∣∞r

= −G ·M ·m′

r


Ep(~r) = −G ·M ·m′

rEs el trabajo necesario para que el campo ~g lleve a m′ desde ~r hasta ∞

lımr→∞

Ep(r) = 0 (La energía potencial se anula en el infinito)


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W =∫ ∞

r

~F · d~r =∫ ∞

r−G ·M ·m

′

r2 · dr = G ·M ·m′

r

∣∣∣∣∞r

= −G ·M ·m′

r


Ep(~r) = −G ·M ·m′

rEs el trabajo necesario para que el campo ~g lleve a m′ desde ~r hasta ∞lım



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La energía potencial electrostáticaSigno de la energía potencial

Definiendo el origen de la Ep en ∞ se cumple:

La energía potencial siempre es un valor negativo.


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La energía potencial electrostáticaSigno de la energía potencial

Definiendo el origen de la Ep en ∞ se cumple:La energía potencial siempre es un valor negativo.


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El campo ~g es conservativoSentido físico de ∆Ep

AB

m′

M

T rayectoria 1

m′

T rayectoria 2

d~r

d~r

d~r

d~r

~g

~g

~g

~g

A ≡ B

m′

Trabajo para llevar m′ desde A hasta B

WA→B =∫ B

Am′ ·~g ·d~r = EpA−EpB = −∆Ep

El trabajo no depende de la trayectoria:

WA→B =∫

T 1m′ · ~g · d~r = −∆Ep

WA→B =∫

T 2m′ · ~g · d~r = −∆Ep

Trabajo sobre una trayectoria cerradaEl trabajo realizado sobre cualquier trayectoriacerrada es nulo.∮m′ · ~g · d~r = 0


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El campo ~g es conservativoSentido físico de ∆Ep

AB

m′

M

T rayectoria 1

m′

T rayectoria 2

d~r

d~r

d~r

d~r

~g

~g

~g

~g

A ≡ B

m′

Trabajo para llevar m′ desde A hasta B

WA→B =∫ B

Am′ ·~g ·d~r = EpA−EpB = −∆Ep

El trabajo no depende de la trayectoria:WA→B =

∫T 1m′ · ~g · d~r = −∆Ep

WA→B =∫

T 2m′ · ~g · d~r = −∆Ep

Trabajo sobre una trayectoria cerradaEl trabajo realizado sobre cualquier trayectoriacerrada es nulo.∮m′ · ~g · d~r = 0


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El potencial gravitatorio.Potencial creado por una masa M .

Definición de V

Se define como la energía potencial por unidad de masa.

Así, para una masa puntual: V = Ep

m′= −G ·M

rSu unidad en el S.I. es el J · kg−1


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Definición de VSe define como la energía potencial por unidad de masa.


m′= −G ·M



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m′= −G ·M

r

Su unidad en el S.I. es el J · kg−1


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m′= −G ·M



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Superficies equipotenciales

DefiniciónSon aquellas superficies que contienen a los puntos de igual potencial.

Propiedades:

Las líneas de campo ~g son perpendiculares adichas superficies.Si el campo lo crea una masa puntual sonesferas concéntricas.Si el campo es constante son planos paralelosentre sí.

M~g


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Propiedades:Las líneas de campo ~g son perpendiculares adichas superficies.

Si el campo lo crea una masa puntual sonesferas concéntricas.Si el campo es constante son planos paralelosentre sí.

M~g


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Propiedades:Las líneas de campo ~g son perpendiculares adichas superficies.Si el campo lo crea una masa puntual sonesferas concéntricas.

Si el campo es constante son planos paralelosentre sí.

M

~g


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Propiedades:Las líneas de campo ~g son perpendiculares adichas superficies.Si el campo lo crea una masa puntual sonesferas concéntricas.Si el campo es constante son planos paralelosentre sí.

M

~g


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El teorema de Gauss.Definición de flujo de ~g

Flujo de ~g a través de una superficie S

Es una medida escalar proporcional a la intensidad de ~g por unidad de superficie.

Se calcula: Φ =∫

Sup~g · d~S

Características de Φ

Es proporcional al número de líneas decampo/unidad de superficie.Si las líneas salen de S ⇒ Φ > 0Si las líneas entran hacia S ⇒ Φ < 0Si ~g ⊥ ~dS ⇒ Φ = 0

Figuras:

d~S~g

d~S~g

d~S

d~S

~g


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Flujo de ~g a través de una superficie SEs una medida escalar proporcional a la intensidad de ~g por unidad de superficie.

Se calcula: Φ =∫

Sup~g · d~S

Características de Φ

Es proporcional al número de líneas decampo/unidad de superficie.Si las líneas salen de S ⇒ Φ > 0Si las líneas entran hacia S ⇒ Φ < 0Si ~g ⊥ ~dS ⇒ Φ = 0

Figuras:

d~S~g

d~S~g

d~S

d~S

~g


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Se calcula: Φ =∫

Sup~g · d~S

Características de ΦEs proporcional al número de líneas decampo/unidad de superficie.

Si las líneas salen de S ⇒ Φ > 0Si las líneas entran hacia S ⇒ Φ < 0Si ~g ⊥ ~dS ⇒ Φ = 0

Figuras:

d~S

~gd~S

~gd~S

d~S

~g


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Se calcula: Φ =∫

Sup~g · d~S

Características de ΦEs proporcional al número de líneas decampo/unidad de superficie.Si las líneas salen de S ⇒ Φ > 0

Si las líneas entran hacia S ⇒ Φ < 0Si ~g ⊥ ~dS ⇒ Φ = 0

Figuras:

d~S

~gd~S

~gd~S

d~S

~g


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Se calcula: Φ =∫

Sup~g · d~S

Características de ΦEs proporcional al número de líneas decampo/unidad de superficie.Si las líneas salen de S ⇒ Φ > 0Si las líneas entran hacia S ⇒ Φ < 0

Si ~g ⊥ ~dS ⇒ Φ = 0

Figuras:

d~S~g

d~S

~gd~S

d~S

~g


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Se calcula: Φ =∫

Sup~g · d~S

Características de ΦEs proporcional al número de líneas decampo/unidad de superficie.Si las líneas salen de S ⇒ Φ > 0Si las líneas entran hacia S ⇒ Φ < 0Si ~g ⊥ ~dS ⇒ Φ = 0

Figuras:

d~S~g

d~S~g

d~S

d~S

~g


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El teorema de GaussEnunciado

Flujo del campo ~g a través de una superficie cerrada

El flujo del campo ~g a través de una superficie cerrada es directamenteproporcional a la masa encerrada por dicha superficie.

Φ =∮

Sup~g · ~dS = −4π ·G ·Menc


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El teorema de GaussEnunciado

Flujo del campo ~g a través de una superficie cerradaEl flujo del campo ~g a través de una superficie cerrada es directamenteproporcional a la masa encerrada por dicha superficie.

Φ =∮

Sup~g · ~dS = −4π ·G ·Menc


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Ejemplos del Teorema de Gauss.Esfera con masa M y radio R.

Campo en el exterior de la esfera. (r > R)

1 Tomamos como superficie Gaussianauna esfera concéntrica de radio r.

2 Φ =∮

S~g · ~dS = − |~g| · S

3 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·M

4 |~g| = G ·Mr2

Figuras:

O ~g

~g~g

~g

~g ~g

~g

d~S

d~S

d~S

d~S

d~S

d~S

O


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Campo en el exterior de la esfera. (r > R)1 Tomamos como superficie Gaussiana

una esfera concéntrica de radio r.

2 Φ =∮

S~g · ~dS = − |~g| · S

3 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·M

4 |~g| = G ·Mr2

Figuras:

O ~g

~g~g

~g

~g ~g

~g

d~S

d~S

d~S

d~S

d~S

d~S

O


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Campo en el exterior de la esfera. (r > R)1 Tomamos como superficie Gaussiana

una esfera concéntrica de radio r.2 Φ =

∮S~g · ~dS = − |~g| · S

3 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·M

4 |~g| = G ·Mr2

Figuras:

O ~g

~g~g

~g

~g ~g

~g

d~S

d~S

d~S

d~S

d~S

d~S

O


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Ejemplos del Teorema de Gauss.Esfera hueca con masa M y radio R.

Campo en el interior de la esfera. (r < R)

1 Tomamos como superficie Gaussianauna esfera concéntrica de radio r < R.

2 Φ =∮

S~g · ~dS = − |~g| · S

3 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·Menc = 0⇒~g = 0

Figuras:

O ~dS

~dS~dS

~dS

~dS ~dS

~dS

~g

~g

~g

~g

~g

~g

O


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Campo en el interior de la esfera. (r < R)1 Tomamos como superficie Gaussiana

una esfera concéntrica de radio r < R.

2 Φ =∮

S~g · ~dS = − |~g| · S

3 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·Menc = 0⇒~g = 0

Figuras:

O ~dS

~dS~dS

~dS

~dS ~dS

~dS

~g

~g

~g

~g

~g

~g

O


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una esfera concéntrica de radio r < R.2 Φ =

∮S~g · ~dS = − |~g| · S

3 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·Menc = 0⇒~g = 0

Figuras:

O ~dS

~dS~dS

~dS

~dS ~dS

~dS

~g

~g

~g

~g

~g

~g

O


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Ejemplos del Teorema de Gauss.Esfera maciza homogénea con masa M y radio R.

Campo en el interior de la esfera. (r < R)

1 Tomamos como superficie Gaussianauna esfera concéntrica de radio r < R.

2 Φ =∮

S~g · ~dS = − |~g| · S

3 Definimos: ρ = M

V= 3M

4π ·R3

4 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·Menc =

−4π ·G · ρ · 4π · r3

3 ⇒

|~g| = 4π ·G · ρ3 · r

Figuras:

O ~dS

~dS~dS

~dS

~dS ~dS

~dS

~g

~g

~g

~g

~g

~g

O


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una esfera concéntrica de radio r < R.

2 Φ =∮

S~g · ~dS = − |~g| · S

3 Definimos: ρ = M

V= 3M

4π ·R3

4 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·Menc =

−4π ·G · ρ · 4π · r3

3 ⇒

|~g| = 4π ·G · ρ3 · r

Figuras:

O ~dS

~dS~dS

~dS

~dS ~dS

~dS

~g

~g

~g

~g

~g

~g

O


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una esfera concéntrica de radio r < R.2 Φ =

∮S~g · ~dS = − |~g| · S

3 Definimos: ρ = M

V= 3M

4π ·R3

4 − |~g| · 4π · r2 = −4π ·G ·Menc =

−4π ·G · ρ · 4π · r3

3 ⇒

|~g| = 4π ·G · ρ3 · r

Figuras:

O ~dS

~dS~dS

~dS

~dS ~dS

~dS

~g

~g

~g

~g

~g

~g

O


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Si representamos el módulo de ~g en función de |~r|

∣∣∣ ~E(r)∣∣∣

1 |~g| = G ·Mr2 si r ≥ R

2 Si es una esfera hueca: |~g| = 0 sir < R

3 Si M se distribuye homogeneamenteen V: |~g| = 4π ·G · ρ

3 · r

Figuras:

R 2R 3R 4R 5R0

G ·MR2

|~r|

|~g|

r ≥ R


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∣∣∣ ~E(r)∣∣∣

1 |~g| = G ·Mr2 si r ≥ R



3 · r

Figuras:

0 R 2R 3R 4R 5R

0

G ·MR2

|~r|

|~g|

r ≥ REsfera hueca


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∣∣∣ ~E(r)∣∣∣

1 |~g| = G ·Mr2 si r ≥ R



3 · r

Figuras:

0 R 2R 3R 4R 5R

0

G ·MR2

|~r|

|~g|

r ≥ REsfera maciza


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