El álgebra y su desarrollo

histórico. Parte I.

Dra. Blanca M. ParraCentro de Desarrollo Educativo

UIA Tijuana.

31/08/2011 1

Euclides y el Álgebra Geométrica (1)

En los Elementos de Euclides, el libro II comienza con la definición

del área de un rectángulo. En términos euclidianos:

Cualquier paralelogramo rectángulo está contenido por las dos rectas

que contienen al ángulo recto.

La proposición 1 del libro II es lo que ahora llamamos propiedad

distributiva de la multiplicación sobre la suma, sólo que en

términos geométricos. Dice Euclides:

Si hay dos rectas, y una de ellas se corta en cualquier numero de

segmentos cualesquiera, el rectángulo contenido por las dos rectas es

igual a los rectángulos contenidos por la recta no cortada y cada uno

de los segmentos.

Es decir: a(b + c + d + …) = ab + ac + ad + …

Euclides y el Álgebra Geométrica (2)

Esta proposición y las siguientes nueve del libro II se refieren, todas, a lo que se conoce como álgebra geométrica:

Debe tomarse en cuenta que el producto de dos números se representa geométricamente mediante el área del rectángulo contenido por las rectas que representan los dos números, respectivamente.

2

2

2 2 2

2 2

2 2

1. ( ...) ...

2. ( ) ( ) ( )

3. ( )

4. ( ) 2

5. 2 2

o:

etc.

a b c d ab ac ad

a b a a b b a b

a b a a ab

a b a b ab

a b a bab b

Euclides y el Álgebra Geométrica (3)

Probablemente desde tiempos muy anteriores a Euclides, esta álgebra geométrica permitía ya resolver problemas semejantes a los que resolvemos con nuestra álgebra, siempre y cuando no involucraran expresiones de grado mayor a 2.

Y para hacer muy efectiva esta álgebra geométrica, la manipulación de razones (cocientes) era esencial. Las razones se presentan en el libro VI.

Es importante tener presente, sin embargo, que las demostraciones de todas las proposiciones anteriores se enuncian y se demuestran utilizando argumentos y figuras geométricas.

Muy posteriormente, Heron adopta un método algebraico, sin recurrir a la geometría (figuras), para demostrar las mismas proposiciones del libro II, de la 2 a la 10, utilizando la primera.

Euclides y el Álgebra Geométrica (4)

Al analizar la proposición 11 del libro II nos damos cuenta del

alcance de los métodos euclidianos. La proposición 11 del

libro II corresponde a un problema, según el mismo Heron:

Dividir una recta de manera que el rectángulo contenido por el todo

(la recta completa) y uno de los segmentos sea igual al cuadrado

en el segmento restante.

Esta proposición, traducida a nuestro lenguaje simbólico,

equivale a resolver la ecuación:

Este problema reaparece en la proposición 30 del libro VI como:

dividir una recta en extrema y media razón.

2 2x ax b

Euclides y el Álgebra Geométrica (5)

El libro II concluye con la proposición 14:

Construir un cuadrado igual a una figura rectilínea dada.

Lo que significa que dado un polígono, hay que construir un cuadrado con la misma área. El paso intermedio para esto es la posibilidad de construir un rectángulo con la misma área del polígono, lo cual está garantizado con las proposiciones del libro I, incluido el teorema de Pitágoras (proposición I. 47).

La demostración de la proposición 14 del libro II equivale a resolver la ecuación:

O, lo que es equivalente: calcular la raíz cuadrada de un número dado1.

2x ab

1. The Thirteen Books of Euclid’s Elements. Vol. 1. Translated and commented by Sir Thomas L.

Heath. Second Edition. Dover Publications, Inc. 1956.

El surgimiento del álgebra.

A pesar del conocimiento y uso del álgebra

geométrica euclidiana, el origen del álgebra

en tanto que utilización de símbolos para

representar cantidades, se atribuye

generalmente a Diofanto de Alejandría.

En sus Aritméticas, Diofanto introduce,

efectivamente, el uso de símbolos para

representar números y operaciones con ellos.

Sin embargo, los problemas que resuelve se

ubican dentro de la teoría de números.

Diofanto y el álgebra (1)

Las Aritméticas comienzan con una larga dedicatoria a Dionisio, del que no se sabe más, excepto por el titulo de muy honorable que le da el mismo Diofanto. Algunos historiadores serios suponen que se trata del obispo de Alejandría en el siglo III D.C.. Algunos otros indicios hacen suponer que Diofanto fue uno de los primeros pensadores cristianos.

En esta dedicatoria, Diofanto introduce el manejo de las potencias de un número, hasta la sexta, y las potencias recíprocas correspondientes. Luego, indica la manera en la que designará a la incógnita y las potencias de la incógnita.

Diofanto y el álgebra (2)

Así, Diofanto describe a la incógnita como un número de unidades

indefinido o del que no se lleva cuenta. Y la representa por el

símbolo ς΄ y la llama el número. Es decir el número por

excelencia en el problema en cuestión.

Es importante observar que Diofanto sólo utiliza una incógnita para

resolver los problemas que plantea. Veremos algunos ejemplos

de estos problemas y analizaremos su complejidad.

Con esta nomenclatura establece las primeras reglas de las

operaciones con potencias: el producto y la división de

potencias de una misma base.

Diofanto y el álgebra (3)

Diofanto no tiene un símbolo para la multiplicación. Y la suma se hace por mera yuxtaposición de los términos a sumar.

Sin embargo, si tiene un símbolo para la resta, y es una letra de la palabra equivalente a menos (λείψει) pero invertida: la letra ψ.

Una traducción al inglés de partes de los libros I y II se encuentra en: Libros I y II

Diofanto y el álgebra (4)

Diofanto tuvo una gran influencia en matemáticos posteriores como

Vieta y Fermat (no olvidemos el famosísimo Último Teorema de

Fermat, derivado de su lectura del Problema VIII del libro II).

La notación algebraica de Diofanto se conservó en matemáticos

como Xylander, Bachet y el mismo Fermat. Sin embarco, en

1572 Bombelli introduce nuevas notaciones, y Vieta da pasos

importantes en la representación de las potencias de la

incógnita como las escribimos actualmente.

Este sistema muestra en sí mismo la conexión entre las diferentes

potencias y tiene la ventaja de que por medio de él podemos

usar en una misma solución cualquier número de incógnitas.

2. Diophante D’Alexandrie: Les six livres arithmétiques et le livre des nombres polygones.

Traduction et notes de Paul Ver Ecke. Blanchard. Paris, 1959.

3. Sir Thomas L. Heath. Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra.

Cambridge, 1885. Reprint by Kessinger Publishing’s Legacy Reprints.