UNIVERSIDAD TECNOLGICA DE TABASCO

DIVISIN DE TECNOLOGAS DE LA INFORMACIN Y

COMUNICACIN REA REDES Y TELECOMUNICACIONES

Proyecto

Apuntes 3er cuatrimestre

Grado y grupo:

3 A de redes y telecomunicaciones

Parrilla II, Centro, Tabasco a 20 de Agosto de 2015

INTEGRANTES.

Jorge Antonio Domnguez Vzquez

Juan Carlos Ramos Ramn

Jonatan Jurez Vinagre

Jess Arturo Lpez Cerino

Luis ngel Hernndez Lpez

Andrs Daniel Hernndez Madrigal

Orlando Cupil Cupil

Jess Eduardo Toledo Herrera

Everth Antonio Sanabia Soberano

Paul David Hernndez Cordova

Carlos Andres Corzo Zacarias

Reymundo Hernandez

Abraham Zabdiel Rosas Baeza

Milagro de Jesus Hernandez Aguirre

Martin Alejo Narvaez

Gabriela Silvan Silvan.

Adrian De Jess Torres Garcia

Paulina Del Carmen Que Rodriguez

Clarissa Cabrera Madrigal

Enrique De Jess Corzo Sosa

FUNCIONES

Funcin: puede considerarse como una correspondencia de un conjunto x de nmeros

reales x a un con y de nmeros reales y, donde el numero y es nico para cada valor

especifico de x.

Ejemplo:

Pilotos Aviones

P1 A1

P2 A2

P3 A3

P4 A4

P5 A5

x y

Variable

independiente.

Variable

dependiente

Pilotos Aviones

P1 A1 A2

Este sera un mal uso de las funciones.

x y

0 ? 1 ? 2 0

X Y

P1 A1

P2 A2

P3 A3

P4 A4

P5 A5

Se eleva al cuadrado de tal forma:

X Y

x

x y

Dominio Imagen

Representacin de funcin:

x y

0 0 1 1 2 4 3 9 4 16

Tabular

Minscula

representa la

variable que

es nica.

Maysculas

representa el

conjunto de

la variable

Sea la funcin:

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

*( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

{( ) +

Ejemplo:

*( ) ( ) ( ) ( )+

1 3 3 4 5 2

*( ) ( ) ( ) ( )+

1 3 3 4 5 2 7

Definicin de funcin:

Una funcin es un conjunto de pares ordenados de nmeros (x, y) en los que no exista 2

pares ordenados diferentes con el mismo primer nmero. El conjunto de todos los valores

admisibles de x se denomina dominio de la funcin, y el conjunto de todos los valores

restantes de y se le llama contra dominio de la funcin.

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

Notacin de la funcin.

Ejemplo: Dada ( )

Encontrar f(0), f(2), f(h), f(2h).

( ) ( ) = 6

( )

Encontrar

a) ( )

b) ( ) ( )

c) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Dada ( ) , determine

a) F(3)

( ) ( )

b) F(-2)

( ) ( )

c) F(0)

( ) ( )

d) F(a+1)

( ) ( )

e) F(x+1)

( ) ( )

f) F(2x)

( ) ( )

g) 2F(x)

( ) ( )

h) F(x+h)

( ) ( )

i) F(x)+F(h)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dada ( )

, calcule

Dada ( )

, calcule

a) F(1)

( )

b) F(-3)

( )

c) F(6)

( )

d) F(

)

(

)

e) F(

)

(

)

f) F(

)

(

)

g) ( )

( )

( )

( )

h) F(x-3)

( )

Dada ( ) , determine:

a) F(-2)

( ) ( ) ( ) ( )

b) F(-1)

( ) ( ) ( ) ( )

c) F(0)

( ) ( ) ( )

d) F(3)

( ) ( ) ( ) ( )

e) F(h+1)

( ) ( ) ( ) ( )

f) F(2 )

( ) ( ) ( ) ( )

g) F( )

( ) ( ) ( ) ( )

h) F(x+h)

( ) ( ) ( ) ( )

i) F(x)+F(h)

( ) ( ) ( ) ( )

Dada ( ) , calcule:

a) ( )

( ) ( ) ( )

b) .

/

(

) (

) (

)

c) ( )

( ) ( ) ( )

d) ( )

( ) ( ) ( )

e) ( )

( ) ( ) ( )

f) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Dada ( ) , encuentre:

a) ( )

( ) ( )

b) ( )

( ) ( )

c) ( )

( ) ( )

d) ( )

( ) ( )

e) ( )

( ) ( )

Definicin: Si f es una funcin, entonces la grfica de f es el conjunto de todos los puntos ( ) es un par ordenado de f.

( )

, )

, )

1. Sea f la funcin determinada por :

( ) {

Determine el dominio y el contra dominio y la grfica.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * + ( )

( )

2. Sea y la funcin definida por :

( ) {

Determine el dominio y el contra dominio y la grfica.

0 -2 0 0

3 7 2 4

3. Sea h la funcin determinada por :

( ) {

-3 0

0 3

4. Sea f la funcin determinada por :

Determine el dominio y la imagen, contra dominio de la funcin.

( )

( )

( )

( )

1 0

2 1

3 1.41

, )

, )

Sea g la funcin definida por:

( ) {

( )

( ) * +

( )

( )

( )( )

( )( )

0 0

2 4

-2 4

0 -2

3 7

* +

( ) {

* +

0 3

-3 0

-3 0

0 3

( ) {

( ) ( )

( )

( ) | |

( ) | |

( )

( )

Participacin 1

Determinar el dominio, contra dominio y grafica de la funcin ( )

, - Dominio

, - Imagen

0 0 3 3

0 0 3 -3

1 0 10 3

Participacin 2

Calcular el dominio, imagen y grafica de la siguiente funcin ( )

( )

( )

, -

( )

OPERACIONES CON FUNCIONES Y TIPOS DE FUNCIONES.

Dada dos funciones y :

1) La suma de funciones definido por es:

( )( ) ( ) ( )

2) La diferencia de funciones definido por es:

( )( ) ( ) ( )

3) El producto de funciones definido por es:

( )( ) ( ) ( )

4) El cociente de funciones definido por es:

( )( ) ( ) ( ) ( )

COMPOSICION DE FUNCIONES.

5) Dadas y funciones, la composicin de funciones denota como es:

( )( ) ( ( ))

-2 11 -1 6

0 3 1 2

2 3

Ejemplos:

( ) ( )

1) ( )( ) ( ) ( )

2) ( )( ) ( ) ( )

3) ( )( ) ( ) ( )

4) ( )( ) ( )

( )

5) ( )( ) ( ( )) ( )

Ejemplo de composicin de funciones:

( ) ( )

( )( ) ( ( )) ( )

O se cambia el orden seria de esta forma:

( )( ) ( ( )) ( )

Dada ( )

( )

( )( )

Mtodo 1.-( )( ) ( ( )) ( )

( ) ( )

Mtodo 2.-( )( ) ( ( )) ( )

( )

( )( )

( )

EJERCICIOS

Dado ( ) ( )

Encontrar:

a)

( )( ) ( ( )) ( )

b)

( )( ) ( ( )) ( ) ( )

c)

( )( ) ( ( )) ( ) ( )

d)

( )( ) ( ( )) ( )

Si ( ) ( ) encuentre f y g tal que ( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

Ejemplo:

Dada ( )

( )

( )

( )( ) ( ( )) ( )

Tipos de funciones

Funcion constante

( )

* }

( )

( )

Funcion lineal

( )

C

m

m m

b

( )

Si la pendiente de la recta mide menos de 90

Si la pendiente de la recta mide mayor de 90

Funcion Identidad

( )

( )

Funcion polinomial

( )

( )

( ) no es polinomial

F(x)=x

Verificar si ( ) es par, impar o ninguna

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

Aplicacin de funciones

El volumen de un gas a presin constante es:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

b) ( ) ( )

Un mayorista vende un producto por libra (o fraccin de libra); si se ordena no ms

de 10 libras, el mayorista cobra 2 dlares por libra. Sin embargo para atraer

rdenes mayores, el mayorista cobra slo 1.80 por libra si se ordenan ms de 10

libras

a) Encuentra un modelo matemtico que exprese el costo total de la orden

como una funcin de la cantidad de libras ordenadas en el producto

b) Dibuja la grfica de la funcin del inciso a

c) Determine el costo total de una orden de 9.5 libras y de una orden de 10.5

libras

a)

( )

( ) {

b)

X c(x)

11 19.8

5 9

X C(x)

0 0

3 6

C) c(9.5)=19

c(10.5)=18.9

El ngulo es el espacio que se forma entre 2 rectas unidas por un vrtice.

Funciones trigonomtricas .

( )

Y

X (0.0)

r

0=0

1

-1

( ) ( )

( ) 1

-1

-2

Racionalizacin

Es una operacin que consiste en modificar un quebrado en cuyo denominador

hay una raz algebraica (fraccin irracional) y transformarla a otra que no haga raz

en el denominador.

Factorizacin:

Es una tcnica que consiste en la descripcin de una expresin matemtica en

forma de producto. Existen distintos mtodos de factorizacin, depende de los

objetos matemticos estudiados, el objetivo es simplificar una expresin o

reescribirla en trminos de que recibe el nombre de

factores, como por ejemplo un numero en nmeros primos, o un polinomio en

polinomios irreducibles.

Factorizacin

Es el proceso de expresar un polinomio como en producto de factores. El proceso

de factorizacin puede considerarse como inverso al proceso de multiplicar.

Entonces factorizar es identificar los factores comunes a todos los trminos y

agruparlos

a.b+a.c+a.d=a(b+c+d)

Ejem:

( )

( )

Sustitucin de resultado

( ( ) )

( )

( )

Factorizacin de trinomios.

Un binomio de la forma se conoce como trinomio cuadrado perfecto.

Para identificarlo se debe verificar que tenga dos trminos cuadrados (o sea, que

se pueda obtener su raz cuadrada) consigamos positivo y que es otro trmino sea

el doble del producto de la raz cuadrada de los trminos cuadrados.

( )

Ejemplo

( )

Factorizacin de diferencia de cuadrados .

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Frmulas para productos notables:

Binomio al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual al cuadrado del primer trmino, ms el

doble producto del primero por el segundo ms el cuadrado del segundo.

( )

( )

Un binomio al cuadrado (resta) es igual al cuadrado del primer trmino, menos el

doble producto del primero, el segundo, ms el cuadrado segundo

( )

( ) ( )

Binomio al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, ms el triple del cuadrado

del primero por el segundo, ms el triple del primero por el cuadrado del segundo,

ms el cubo del segundo.

( )

( )

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del

cuadrado del primero por el segundo ms el triple del primero por el cuadrado del

segundo, menos el cubo del segundo.

( )

( ) ( ) ( )

Multiplicacin de binomios conjugados

El producto de dos nmeros por su diferencia es igual al cuadrado del primero

nmero menos el cuadrado del segundo nmero

Consideremos el producto: ( )( )

( )( )

Es decir: ( )( )

Multiplicar ( )( )

Cuadrado del primer nmero: ( )

Cuadrado del segundo nmero: ( )

As pues, ( )( )

Concepto de lmites

( )

( ) ( )

Y f(1) hacia qu valor se dirige?

x 0.8 0.9 0.95 0.99 1 1.0001 1.001 1.01 1.1

f(x) 4.6 4.8 4.9 4.98 ? 5.0002 5.002 5.02 5.2

( ) ( ) ( )

( )

En otras palabras el lmite de f(x) cuando x tienda a 1 es 5

( )

( )

( )( )

( )

( )( )

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

-3 -2 -1 0 1 2 3

Grafica

Sea ( ) {

( ) ( )

x 0.8 0.9 0.95 0.99 1 1.0001 1.001 1.01 1.1 g(x) 4.6 4.8 4.9 4.98 7 5.0002 5.002 5.02 5.2

( )

Definicin de lmite de una funcin.

Sea f una funcin definida en cada nmero de algn intervalo abierto que contiene

a a, excepto posiblemente a el nmero a mismo.

El lmite de f(x) conforme x se aproxima a a en L, b que se escribe como:

( )

Teo. Si m y b son dos constantes cualesquiera entonces:

Teo. Si c es una constante, entonces para cualquier nmero a:

Teo.

Teo. Si ( ) y ( ) entonces:

, ( ) ( )-

, ( ) ( )-

, ( )-

( )

( )

.

/

25

n es un entero

positivo

x 4.8 4.9 4.95 4.99 5 5.0001 5.001 5.01 5.1 f(x) 9.8 9.9 9.95 9.99 ? 10.0001 10.001 10.01 10.1

Factorizacin

( ) ( )

Ejemplo 1:

( )

( )( )

Ejemplo 2:

( ) ( )

, -

, -

, -

Ejemplo 3

( ) ( )

[ ]

[ ]

[ ]

9893

3

3

36254

94

3616.......

4

94

120173.......

53

2012,,...,..........

4

53

44

......2

42

2

2

4

)4)(94(

)4)(53(

36254

20173............

))(()(

2

2

2

2

2

2

2

2

22

x

x

x

xx

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx

xxLim

dycxbyaxbdyxybcadacx

Limite Naturales

Teorema

Si ( )existe y es igual a L si solo si

ax

( )y ( ) exista y son iguales a L

ax ax

( )= No existe

10x

( )=Lim 2x=2(10)=20

10x 10x

( )= ( )

10x 10x

xsix

xsix

xh

1.......2

1......4

)(

2

2

1x 1x

Limxh )( 3144 22 x

1x 1x

( )

Calcular

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) -1 ( )

( ) ( )

,( ) -

( )

x

xxx

x

xfxxfm

xx

11

0

lim

x

)()(limtan

0

22

xxx

x

xxx

x

xxxxx

22lim

)2(lim

112lim

222

2)1(2tan

1

6)3(2tan

3

4)2(2tan

2

2tan

m

x

m

x

m

x

xm

Calcular la pendiente de la recta tangente a la grfica de 3x-x=f(x) 2

33)333(

lim

333333lim

)3()(3x)x(lim = m+M

222

33233

33

xx

xxxx

x

xxxxxxxxxx

x

xxxx

Calcular la pendiente de la recta tangente de F(x)=2x-1

22

lim12122

lim

)12(1)2(2limtan

x

x

x

xxx

x

xxxm

Calcular la derivada de 2x=f(x)

xx

xxx

x

xxxxx

x

xxx

x

xfxxfxf

2)2(

lim

2lim

)(lim

)()(lim)('

22222

222

22533

2

3)33(

lim

33lim

)(lim

)(

xx

xxxxx

x

xxxxx

x

xxx

xxf

Si nxxf )( 1)( nnxxf

Si

00limlim

)()(lim)('

)(

)(

x

cc

x

xfxxfxf

Oxf

Cxf

Si F(x)=c F(x)=0

Si g(x)=C F(x) g(x)

)('

lim)()(

lim

x

g(x)-x)g(xlim=(x)g'

xCf

xx

fcC

x

xcfxxcf

Si g(x)=Cf(x) g(x)=CF(x)

Si h(x)=g(x)+f(x) h(x)=?

x

cxxfxxg

x

xhxxhxh

)()(lim

)()(lim)('

)(')('

)())(lim

)()(lim

xfxg

x

xfxxf

x

xgxg

SI h(x)=f(x)+g(x) h(x)=f(x)+g(x)

8628)1(83.24.7

0827

5827)5827(

5827)(

2323

34

3434

34

xxxx

d

dxx

dx

dx

dx

d

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dxx

dx

d

dx

df

xxxxf

Derivar

4242

323

323323

2

11

2

1

2

1

33

44

12

323

2/1

4

12615342*33*5

0435

4355435.4

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3.3

3

101

3

12

3

12

3

1.2

212124*3

2323

.1

3

146)(.5

5435)(.4

4

3)(.3

23

1)(.2

23)(.1

xxxxxx

xdx

dx

dx

dx

dx

d

xdx

dx

dx

dx

dx

dxxx

dx

d

dx

df

xxxdx

dx

dx

d

dx

dx

dx

dx

dx

d

dx

df

xx

xdx

dx

dx

xxd

dx

df

xxxxf

xxxxf

xxxf

xXf

xxxf

Propiedad del producto para derivadas

Si:

3467

34673467

225423

23252523

2523

16108448

862418846030

86321542

423342

342

xxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxdx

dxxxx

dx

dxxxh

dx

d

xxxxxh

xgdx

dfxf

dx

dxgxh

dx

d

xgxfxh

Propiedad del crocante para derivadas

Si:

2xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xhdx

d

xg

xfxh

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

[

( ) ]

( )

( )

( ) ( )

( ( )) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

Funcin exponencial

Definicin. Si b>0, b1, entonces la funcin exponencial con base b es la funcin

definida como:

( )

Ejemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

/

Como son las grficas de la funcin exponencial.

x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2x 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 16 3x 0.012 0.037 0.111 0.33 1 3 9 27 81

Conforme b crece, la grfica por la parte izquierda se aproxima al eje x y

por la derecha al eje y. 3x 2x

0

Derivada de la funcin exponencial

Si es cualquier funcin diferenciable de x, entonces

( )

Ejemplo:

( )

( )

1.- caso

Si

( )

( )

= ( )

Derivada de la funcin logartmica

Si U es una funcin diferenciable de x, entonces

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

,( )

( ) ( )

( )

( ) -

( ) ,

( )( ) ( )( )

( ) -

( ) ,

-

( ) ( )

Reglas de derivacin de la funcin trigonomtrica inversa

Ejemplos:

.

/

.

/

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

.

/

( )

( )

(

)

38121210

6496363484

)23)(32()34)(12(

)32()12()12()32(

)32)(12(

)5)(21()21(

)21(5)5()21

()21

5(

)cos2(

cos2)(.7

cotcsc2tansec4

csc2sec4csc2sec4)csc2sec4(

csc2sec4)(.6

csc)csc(seccot5tan)cot(tan

cottan9(.5

coscos)cos(

cos)(.4

cos3333

)3(

3)(.3

7.2

160

234

234324

2232

2332

23

2

22

22

2

222

tttt

ttttttttt

tttttt

ttdt

dttttt

dt

dtt

ttttdt

d

tt

tdt

dtt

dt

dt

t

t

dt

d

ttdx

d

tttf

xxx

xdx

dx

dx

dx

dx

dx

dx

dxx

dx

d

xxxf

xxxxdx

dtx

dx

dxx

dx

d

xxx

senxxxdx

dsenx

dx

dxsenx

dx

d

xsenxxg

xsenxdx

dsenx

d

dsenx

dt

d

senxxf

Ejercicio

pag

222

2

2

2

2

)4(cos

tansec4cossec

]4[cos

))((tan))(sec4(cos

]4[cos

)(tantan)4(cos

)4cos

tan(

costansec

)()(tan)(tan)(

tan

t

sentttt

t

sentttt

t

sentdt

dtt

dt

dt

t

t

dt

d

tttsent

sentdt

dtt

dt

dsent

tsentdt

d

Regla de la cadena

Sea ?)14)(14()( 33 df

dxxxf

.

/

( )

( ) ( )

( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )

( )

Calcular la derivada por el lmite

( ) 9x

( )

Derivadas de las funciones trigonomtricas

Ejemplo:

Derivar ( )

( )

[

]

. )

( )

( )

( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Derivar

( )

( )

( )

(

)

( ( ) ( ))

.

/

(

) [

( )

( )

]

( )

(

)

( )

Antiderivacin

cyydyyydyyyy 4635323

4

3

3

13232

cyyyydyydyydyydyydyyy 43

34

3

6

2323232

4646352535

cttt

dttdtttdttt

53

109

103

106

15

73

7

65

7666 3

1232

cxxx

cxxxdxxxdxxx

5

31535325

322

1223

23

cxxx

cxxxdxxxdxx 531

53533222

1223

cxx

xxxxxxx

dxdxxdxtx

53

5351

32

2532 2

1

122

23

Antiderivada

cxxxdxxdxxdxxdxxxdx

x

xx2

12

32

52

12

32

52

12

12

83

8

5

22.4

3

24

5

244

2344

Formulas

cesenxdx cos

csenxexdxcos

cxxdx tansec2

cxxdxcse cot2

cxxdxx sectansec

cxxdxx csccotcsc

xxdxxsenxdxdxsenxx cos3csccot23

1.cot2

cxxxx cos3csc2cos3csc2

dxsenxxsen

dxsenx

x 23

cot2

( ( )

) ( )

( )

Tcnicas de antiderivacion

(

( ) )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

Regla de la cadena para antiderivacion

Sea g una funcin diferenciable y del contradominio de g algn intervalo, I,

suponga que f es una funcin definida a I y que F es una antiderivada de f en I

entonces.

( ( )[ ( ) ] ( ( )

( )

( )

( ) ( )

(

)

( ) =

( )

= 3

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

(

=

(

)

( )

( )

(

)

(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( ( )) ( ) ( )

( )

( )

[ ( )

- ( )

=

)

=

( )

Tecnicas de antiderivacion.

Teo. Si es una funcion diferenciable y es un numeroracional, entonces.

, ( )- , ( )- , ( )-

( ) ( )

( )

( ( )) ( ) ( ( ))

Antiderivacin

Definicin

Una funcin F se denomina antiderivada de la funcin F es un intervalo I si

F(x)=f(x) para todo valor de x en I

Ejemplos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

C= constante

Anti derivacin

Si f es una atiderivadaparticular de f en un intervalo i entonces cada antiderivada de f en i

es dada por cxf donde c es una constante arbitraria

La antiderivacin es el proceso mediante el cual se determina el conjunto de todas las

antiderivadas de una funcin dada el smbolo denomina las operaciones de

antiderivacin y se escribe

cxfdxxf

1xf cxxf

cxdx

1

1

1

n

cn

xxdx

n

Propiedades de la antiderivada

Sea fnff ,...,2, definida en

fndxcndxfcdxfc

dxcnfnfcfc

...

...,

2211

22

Desde cncc ,..,, 21 sean constantes

Antiderivacin

cxxx

dxxdxx

cx

xdxxdx

x

dxxdxdxx

x

4

3

3

41

3

1

1

12

1

53,3,1

34

34

12

31

3

122

2

2

cxx

dxxdxdxxdxdxx2

35353532

( ( )) ( ) ( )

( )

( )

[ ( )

- ( )

=

)

=

( )

( ) ( )-4

=

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ( )

( )

(

( )