1. EJERCICIOS FASORESEJERCICIO 1.- Dibujar el diagrama fasorial y de impedancias, y determinar las constantes del circuito serie,suponiendo que contiene dos elementos. La tensin y corriente se expresan en voltios y amperios respectivamente.v (t) = 50 sen ( 2.000 t - 25 )i (t) = 8 sen ( 2.000 t + 5 )RESOLUCIN:Al estar dadas la tensin y corriente con sus respectivas fases, el origen de tiempos est perfectamente determinado.Hay que hacer notar que ambas funciones tienen la misma frecuencia.Los fasores correspondientes a cada una de las ondas son: 50V= - 25 ( V ) 2 8I= 5 ( A )2Aplicando la definicin de impedancia se tiene: 50 - 25 2 50Z== - 30 = 5,4 - j 3,1 ( ) 8 8 5 2que corresponde a una resistencia y un condensador conectados en serie, cuyos valores vienen dados por: 6 10R = 5,4 C= = 160 F3,125 x 2.000En la figura se muestra el diagrama fasorial y el diagrama de impedancias. Del diagrama fasorial se comprueba que elcircuito es capacitivo ya que la tensin est retrasada respecto de la corriente.

2. El origen de tiempos puede ser cambiado. Si se toma como origen de tiempos un punto cero de la corriente, eldiagrama fasorial ser el mostrado en primer lugar en la figura siguiente. Si se toma como origen de tiempos latensin el diagrama fasorial ser el segundo de los representados.Pero en ambos casos, el desfase tensin - corriente es el mismo ya que est impuesto por el argumento de la carga.EJERCICIO 2.- Un circuito serie de tres elementos contiene una bobina de una autoinduccin L = 0,02 henrios. Latensin aplicada y la corriente resultante se muestran en el diagrama fasorial de la figura. Sabiendo que = 500 rad/s,determinar los otros dos elementos del circuito.RESOLUCIN:La impedancia del circuito compuesto por los tres elementos ser: 250 - 45 Z= = 31,61 71,50 = 10 + j 30 ( ) 7,91 ( 180 + 63,5 )por tanto, el circuito est formado por una resistencia de: R = 10 y una reactancia inductiva total de: X L = 30 Como uno de los elementos es una bobina de L = 0,02 henrios, siendo su reactancia de:X L1 = 0,02 x 500 = 10 el tercer elemento ser una bobina cuya reactancia vendr dada por: X L2 = 30 - 10 = 20 a la que le corresponde un coeficiente de autoinduccin L2 dado por: X L2 = L2 L 2 = 0,04 HEJERCICIO 3.- Un circuito serie se compone de una resistencia R = 8 y un condensador con una capacidad C = 30F. A qu frecuencia la corriente adelanta un ngulo de 30 respecto de la tensin ?. 3. RESOLUCIN: 6 10La reactancia XC del condensador viene dada por: X C = 2 x x f x 30 610La impedancia del conjunto serie R-C se expresa como: Z=8- j 2 x x f x 30Como el argumento de la impedancia es igual al desfase entre la tensin y la corriente se tiene que: 6 102 x x f x 30tg 30 = f = 1.150 Hz8EJERCICIO 4.- El ngulo de fase de la impedancia de un circuito serie R-C es de - 45 a una frecuencia f1 = 500 Hz.Hallar la frecuencia a la que el mdulo de la impedancia es: (a) el doble que para el valor de f1, (b) la mitad que para elvalor de f1.RESOLUCIN:La impedancia se expresa por:Z= R- j XC-A la frecuencia f1 su argumento es de - 45, es decir: tg ( - 45 ) = X C R= X CRZ = R - j R = 2 R 45 2 2(a) Para la frecuencia f2 a la cual el mdulo es el doble del anterior se tiene: Z 1 = R - j X C | Z 1 |= R + X C2 2por tanto: 2 2 R=R + X C X C = R 7 11Teniendo en cuenta que:XC=X C = 2 500 C 2 f 2 CX C = R = 2 f 2 Cse obtiene:f 2 = 189 HzX C R 7 2 500 C(b) Para la frecuencia f3 a la cual el mdulo es la mitad que para f1 se tiene:2 R 2 2 2 2RZ 2 = R - j X C =R + X C X C = - 22lo que es imposible. Por tanto, no existe ninguna frecuencia para la cual el mdulo de la impedancia sea la mitad quepara la frecuencia f1. EJERCICIO 5.- Hallar las sumas de las tensiones de los generadores, expresadas en voltios,mostrados en la figura,y cuyos valores instantneos viene dados por: 4. v1 (t) = 35 sen ( t + 45 )v2 (t) = 100 sen ( t - 30 )Tomar como sentido de la suma, en primer lugar el sentido positivo de v1(t) y en segundo lugar el de v2(t).RESOLUCIN:Los fasores correspondientes a las tensiones de los generadores sern:35 v1 (t) = 35 sen ( t + 45 )V 1= 45 ( V )2100v2 (t) = 100 sen ( t - 30 )V 2= - 30 ( V )2Tomando el sentido de v1(t) para el clculo de la suma se tiene:- V T +V 1 - V 2 = 0V T =V 1 -V 2vT (t) = 68,6 2 sen ( t + 129,61 )vT (t) = 97 sen ( t + 130 ) ( V ) 35100VT = 45 - - 30 = 68,6 129,61 ( V )22 Tomando el sentido de v2(t) para el clculo de la suma se tiene:- V T +V 2 - V 1= 0 V T =V 2 - V 1 vT (t) = 97 sen ( t - 50 ) ( V )100 35 VT = - 30 - 45 = 68,6 - 50,38 ( V ) 22 El diagrama fasorial correspondiente a las soluciones es el mostrado en la figura. 5. EJERCICIO 6.- (Mtodo de los tres voltmetros) Para determinar las constantes r y L de una impedancia (bobina real),se conecta sta en serie con una resistencia de 25 (resistencia calibrada), y al conjunto se le aplica una fuente detensin de 120 V, 60 Hz. Se miden las tensiones en bornas de la resistencia y de la impedancia, obtenindose losvalores:VR = 70,8 V y VZ = 86 V. Cules son los valores de los parmetros, r y L, de la impedancia en cuestin ?. El esquema del montaje del mtodode los tres voltmetros es el indicado en la siguiente figura.RESOLUCIN:a) En primer lugar se ha de fijar el origen de tiempos, ya que no est definido por que slo se proporcionan los valores 6. eficaces de las tensiones en los extremos de la resistencia y de la impedancia.La nica variable comn a todos los elementos pasivos del circuito es la corriente que circula por todos ellos.Tomando como origen de tiempos esta corriente se tiene que: La tensin en los extremos de la resistencia VR, est enfase con dicha corriente; La tensin en los extremos de la parte resistiva de la impedancia desconocida Vr, est enfase con dicha corriente; La tensin en los extremos de la parte reactiva de la impedancia desconocida VL, estadelantada 90 respecto de dicha corriente.Por otra parte, se sabe que la tensin total en los extremos de la impedancia desconocida VZ, ser la suma de latensin de su parte resistiva Vr y la tensin de su parte reactiva VL. Por tanto, dicha tensin estar adelantada uncierto ngulo, menor de 90, respecto de la corriente. Teniendo en cuenta todo lo anterior, se configura el diagramafasorial de la figura.El valor de la impedancia Z vendr dado por: Z=VZI 2 22 86 + 70, 8 - 120El fasor tensin Z se obtendr de: cos ( 180 - ) ==> = 80,59 2 x 86 x 70,8por tanto:V Z = 86 80,59 VEl valor eficaz de la corriente se obtiene aplicando la ley de ohm a la resistencia de 25 , con lo que fasor vendr70,8dado por:I== 2,83 A => I = 2,83 0 A 25por tanto:86 80,59 Z=30,37 80,59 = 5 + j 30 2,83 0 30R = 5 L== 80 mH2 x x 60b) Fijando el origen de tiempos con la tensin entre los terminales de la impedancia, Z, se obtiene el diagrama fasorialde la figura. 7. Tomando el origen de referencia indicado, la corriente que circula por la impedancia estar retrasada un cierto ngulo,desconocido, respecto de la tensin de referencia, ya que por tratarse de un circuito serie con una resistencia y unainductancia tendr un carcter netamente inductivo.La tensin, supuesta existente entre los extremos de la parte resistiva de la impedancia Vr, estar en fase con lacorriente. Por el contrario, la tensin supuesta existente entre los extremos de la parte inductiva de la impedancia VLestar desfasada 90 en adelanto respecto de la corriente. Para estos dos ltimos fasores se verificar que su sumaVr + VL, ser igual a la tensin entre los extremos de la impedancia VZ.La tensin entre los extremos de la resistencia, R, estar en fase con la corriente del circuito.Por ltimo, la suma de las tensiones correspondientes a la resistencia y a la impedancia VR+ VZ, proporcionar latensin total VT.Teniendo en cuenta que son conocidos los valores eficaces de las tensiones, se puede obtener, a partir del diagramafasorial, las fases de las tensiones y en particular el desfase entre la tensin entre los extremos de la impedancia VZ yla corriente que circula por la misma, .As se tiene que:2 + 1202 - 70, 8 2cos = 86=> = 35,60 2 x 86 x 1202 22120 + 70,8 - 86cos ==> = 44,99 2 x 120 x 70,8 = + = 80,59 y, por tanto:V Z = 86 0 V 70,8I=VR= = 2,83 A => I = 2,83 - 80,59 A R 2586 0 Z=VZ = = 30,37 80,59 I 2,83 - 80,59 Z = 5 + j 30 => R = 5 ; L = 80 mH 8. c) Tomando como origen de referencia la tensin total suministrada al circuito VT se obtiene el diagrama fasorialrepresentado en la figura adjunta.El razonamiento que se sigue para su construccin es similar al indicado en el apartado anterior. Se parte del fasor VTque se sita en el origen de tiempos. La corriente estar desfasada un cierto ngulo desconocido respecto de dichatensin, pero por tratarse de un circuito inductivo ya que slo est formado por dos resistencias y una inductancia, eldesfase ser en retraso. Situado el fasor corriente, se representa el fasor VR, tensin entre los extremos de laresistencia, que estar en fase con dicha corriente. Por ltimo, la tensin entre los extremos de la impedancia vendrdado por la composicin vectorial: VT = VR + VZ.Otra forma de situar el fasor VZ, es representar sus fasores constitutivos, es decir, r que estar en fase con la corrientey VL que estar adelantado 90 respecto de la corriente. La suma de ambos proporcionar VZ.El desfase tensin entre los extremos de la impedancia, VZ, y la corriente se obtiene del diagrama fasorial haciendo:2 2 286 + 70,8 - 120cos ( 180 - ) = => = 80,59 2 x 86 x 70,8 86Z= 80,59 => Z = 5 + j 30 70,8 25R = 5 ; L = 80 mHEJERCICIO 7.- (Mtodo de los tres ampermetros) Hallar los valores de r y XL en el circuito de la figura sabiendo que:el valor eficaz de la corriente total es de 29,9 A, el valor eficaz de la corriente que circula por la resistencia pura de 15 es de 8 A, y el valor eficaz de la corriente por la rama paralelo r-L es de 22,3 A. 9. RESOLUCIN:Se toma como origen de tiempos la corriente IR, que circula por la resistencia calibrada, y que estar en fase con latensin que se presenta en sus extremos.La corriente que se suministra a la impedancia IZ estar retrasada un cierto ngulo con respecto a la tensin ya que setrata de una impedancia inductiva. Esta corriente se puede descomponer en dos: una corriente Ir, en fase con latensin, y supuestamente debida a la parte resistiva de la carga, y una corriente IL, desfasada en retraso 90 conrespecto a la tensin, supuestamente debida a la parte inductiva de la impedancia.La suma de la corriente por la resistencia, IR, y la corriente por la impedancia,IZ, es igual a la corriente total, IT,suministrada por el generador. El diagrama fasorial correspondiente al circuito es el mostrado en la figura adjunta.Del diagrama fasorial se tiene que: 22 28 + 29, 9 - 22, 3cos = => = 15,63 2 x 8 x 29,929, 9 2 + 22, 32 - 8 2cos ==> = 5,54 2 x 29,9 x 22,3 = + = 21,17 10. Por tanto, el fasor corriente por la impedancia Z valdr: I Z = 22,3 - 21,17 ALa tensin entre los extremos de la resistencia y de la impedancia desconocida viene dada por:V = R I R = 15 x 8 0 = 120 0 VLa admitancia del elemento pasivo desconocido (impedancia) viene dada por:22,3 - 21,17 Y = IZ = = 0,19 - 21,17 = 0,17 - j 0,07 SV120 0 G = 0,17 S => R = 5,8 B L = 0,07 S => X L = 14,9 Otra forma de obtener el valor de r y de XL es mediante la proyeccin del vector Z segn la direccin del fasor y sobresu perpendicular. As se tiene que:I r = 22,3 cos = 20,79 => I r = 20,79 0 AI L = 22,3 sen = 8,05 => I L = 8,05 - 90 AComo ambos elementos supuestos estn en paralelo, su tensin ser la misma e igual a , y por tanto: V120R=== 5,8I r 20,79V 120X L= = = 14,9 I L 8,05EJERCICIO 8.- En el diagrama fasorial de la figura, severifica:I 1 circula por el elemento conectado entre A y B.V AB = 60V ; V AB = 1,5 V BCI 2 es perpendicular a V AC . I 1 = 2 ASe pide: (a) Dibujar el circuito que corresponde a este diagrama fasorial, explicando los razonamientos seguidos parasu obtencin; (b) Hallar los valores de sus resistencias y reactancias.RESOLUCIN:El circuito resultante tiene que verificar las dos ecuaciones siguientes, obtenidas del diagrama fasorial: 11. V AC = V AB + V BC ; I T = I 1 + I 2La primera ecuacin indica la presencia de una configuracin de la forma:La segunda ecuacin muestra la existencia de dos ramas paralelas.As pues, las posibles configuraciones sern:Esta configuracin no es correcta, ya que el desfase entre la tensin VAB para el elemento conectado y la corriente I2que circula por el mismo es mayor de 90.Esta configuracin tampoco es vlida ya que por el elemento conectado entre A y B no circula la corriente I1, tal comoindica el enunciado.Por tanto, la configuracin correcta ser la del siguiente esquema.Puesto que I2 adelanta 90 respecto de VAC la impedancia conectada entre A y C ser un condensador puro.Al estar I1 retrasada un ngulo respecto de VAC, la rama comprendida entre A y C tendr un carcter inductivo, esdecir estar formada por una resistencia en serie con una bobina. Como la corriente I1 est en fase con la tensin VAB,el elemento conectado entre A y B ser una resistencia, y como dicha corriente est desfasada 90 en retrasorespecto de la tensin VBC el elemento conectado entre B y C ser una bobina. Por tanto, el circuito correspondiente aldiagrama fasorial ser el adjunto. 12. Del diagrama fasorial se tiene que:V AB = 60 0 V ; I 1 = 2 0 AV AB = 60 = 40 VV BC =1,5 1,5V BC = 40 90 V ; I 1 = 2 0 A 60R = = 30 2 40X L = = 20 2El ngulo formado por los fasores VAC y VAB, es igual al ngulo formado por los fasores IT e I1. Este ngulo,denominado , viene dado por: 1tg = = 0,67 ; = 36,7 1,5I T = I 1 cos = 1,66 AI 2 = I 1 sen = 1,11 A22 2 2V AC = V AB + V BC60 + 40XC= XC= = 65 I2 I2 1,11EJERCICIO 9.- Un generador de corriente , frecuencia 50 Hz, alimenta tres elementos pasivos puros, conectados deforma desconocida. El diagrama fasorial del circuito es el mostrado en la figura.Sabiendo que la corriente I1 slo circula por el elemento conectado entre A y C, se pide:1.- Dibujar el circuito correspondiente al diagrama fasorial indicado, explicando los razonamientos seguidos para suobtencin.2.- Si, I2 = 10/2 A; I = 10 A; UAC = 100/2 V; UAB = 6,3 UAC, calcular el valor de las posibles resistencias, coeficientes 13. de autoinduccin y capacidades de los elementos pasivos conectados.3.- Diagrama fasorial del circuito si el generador suministra la corriente a una frecuencia dada por:f = 1 / 2 LC.RESOLUCIN:Del diagrama fasorial se puede establecer que: I = I1 + I2, es decir, hay una ramificacin de la corriente y por tantoexisten dos ramas en paralelo.Como se verifica que: VAC = VAB + VBC, significa que existen dos elementos conectados en serie.La corriente I1 no puede circular por el elemento conectado entre A y B ya que el desfase entre la citada corriente y latensin VAB es mayor de 90.Como la corriente I1 slo puede circular por el elemento situado ente A y C, la configuracin del circuito ser el de laforma indicada en la figura adjunta.Teniendo en cuenta el diagrama fasorial, se deduce que: U AC => ResistenciaZ AC =I1 U AB => BobinaZ AB =I2 U BC => CondensadorZ BC =I2Por tanto, el esquema del circuito ser el indicado.El valor de sus componentes se obtienen de la forma siguiente: 14. 630 180 2 = j 63 Z AB =10 90 2X L = 63 L = 200 mH 100 0 2= 10 Z AC = 10 90 2 R = 10 100 7,3 x 0 2= - j 73 Z BC = 10 90 2X C = 73 C = 43,6 FLa impedancia equivalente al conjunto serie bobina-condensador tiene un valor dado por: 1Z AB = j ( X L - X C ) = j 2 f L - 2 f C para la frecuencia indicada se verifica que:11 LLC f==> Z ABC = j - 0 2LC LC C Z ABC 0 => Cortocircuitocon lo que el diagrama fasorial se reduce al mostrado en la figura. 15. Ultima versin: 09/12/01 - F Bugallo Siegel.