INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES

PROBLEMAS DEL CURSO CERO DE MATEMATICAS

Elaborados por Domingo Pestana Galvan

y Jose Manuel Rodrıguez Garcıa

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

Escuela Politecnica Superior

Departamento de Matematicas

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5.16. f(x) = 7√

(ex + log x)13.

Solucion: f ′(x) =137

(ex +

1x

)(ex + log x)6/7.

5.17. Halla la derivada de f(x) = xlog x, calculando primero la derivada de g(x) = log f(x).

Solucion: g(x) = (log x)2, g′(x) =2 log x

x, f ′(x) = 2xlog x−1 log x.

5.18. Halla la recta tangente a la grafica de la funcion G(x) = ex + log(x + 1) en el punto x = 0.

Solucion: y = G(0) + G′(0)(x− 0) = 1 + 2(x− 0) = 2x + 1.

5.19. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones y calcula su derivada en los puntos en que seanderivables:

1) f(x) = x1/7. 2) g(x) = arc cos x . 3) h(x) = |x2 − 4| .

Solucion: 1) f ′(x) =17

x−6/7 si x 6= 0. f ′(0) = ∞. 2) g′(x) = −1√1−x2 si x ∈ (−1, 1). g′+(−1) = g′−(1) = −∞.

3) h′(x) = 2x si x ∈ (−∞,−2) ∪ (2,∞); h′(x) = −2x si x ∈ (−2, 2). No existen h′(−2) ni h′(2).

5.20. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones definidas a trozos y calcula su derivada en lospuntos en que sean derivables:

1) f(x) =

senx , si x ≤ 0 ,

x , si 0 < x < 2 ,

ex, si x ≥ 2 .

2) g(x) =

{0 , si x ≤ 0 ,

e−1/x, si x > 0 .

Solucion: 1) f ′(x) = cos x si x ∈ (−∞, 0); f ′(x) = 1 si x ∈ (0, 2); f ′(x) = ex si x ∈ (2,∞). f ′(0) = 1 y noexiste f ′(2). 2) g′(x) = x−2e−1/x si x ∈ (0,∞); g′(x) = 0 si x ∈ (−∞, 0). g′(0) = 0.

5.21. Halla las derivadas de las siguientes funciones usando la definicion de derivada:

a) 7 , b) 3x , c) 2x2 , d) x3 .

Solucion: a) 0 , b) 3 , c) 4x , d) 3x2 .

6. Representaciones graficas

6.1. Representa f(x) = x4 − x2.

Solucion: Decreciente en (−∞,−1/√

2 ) y en (0, 1/√

2 ), creciente en (−1/√

2 , 0) y en (1/√

2 ,∞); puntomaximo local x = 0, puntos mınimos absolutos x = ±1/

√2 ; convexa en (−∞,−1/

√6 ) y en (1/

√6 ,∞),

concava en (−1/√

6 , 1/√

6 ); puntos de inflexion x = ±1/√

6 .

6.2. Representa f(x) =x + 2

(x− 1)3.

Solucion: Asıntota horizontal y = 0 para x → ±∞, asıntota vertical en x = 1; creciente en (−∞,−7/2),decreciente en (−7/2, 1) y en (1,∞); punto maximo local x = −7/2; concava en (−5, 1), convexa en (−∞,−5)y en (1,∞); punto de inflexion x = −5.

6.3. Representa graficamente y =x2 − 1x2 + 1

.

Solucion: Asıntota horizontal y = 1 para x → ±∞; decreciente en (−∞, 0) y creciente en (0,∞); puntomınimo absoluto x = 0; concava en (−∞,−1/

√3 ) y en (1/

√3 ,∞), convexa en (−1/

√3 , 1/

√3 ); puntos de

inflexion x = ±1/√

3 .

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6.4. Representa graficamente y =1

1 + ex.

Solucion: Asıntotas horizontales y = 0 para x →∞, y = 1 para x → −∞, decreciente en todo R , concavaen (−∞, 0), convexa en (0,∞), punto de inflexion x = 0.

6.5. Representa graficamente y = x2ex.

Solucion: Asıntota horizontal y = 0 para x → −∞; creciente en (−∞,−2) y en (0,∞), decreciente en(−2, 0); punto maximo local x = −2, punto mınimo absoluto x = 0; convexa en (−∞,−2 − √

2 ) y en(−2 +

√2 ,∞), concava en (−2−√2 ,−2 +

√2 ); puntos de inflexion x = −2±√2 .

6.6. Representa graficamente y = (x− 2)x2/3.

Solucion: No es derivable en x = 0; creciente en (−∞, 0) y en (4/5,∞), decreciente en (0, 4/5); puntomaximo local x = 0, punto mınimo local x = 4/5; convexa en (−2/5, 0) y en (0,∞), concava en (−∞,−2/5);punto de inflexion x = −2/5.

6.7. Dibuja la grafica de y = log[(x− 1)(x− 2)].

Solucion: Dom(y) = (−∞, 1)∪ (2,∞); asıntotas verticales x = 1, x = 2; creciente en (2,∞), decreciente en(−∞, 1); concava en cada intervalo del dominio.

6.8. Dibuja la grafica de y = 2 sen x + cos 2x.

Solucion: Como es una funcion periodica de periodo 2π, basta con estudiarla en el intervalo [0, 2π]. Escreciente en (0, π/6), (π/2, 5π/6) y (3π/2, 2π), decreciente en (π/6, π/2) y (5π/6, 3π/2); puntos maximoslocales x = π/6, 5π/6, 2π, puntos maximos absolutos x = π/6, x = 5π/6; puntos mınimos locales x = 0,π/2, 3π/2, punto mınimo absoluto x = 3π/2.

6.9. Traza la grafica de f(x) =√

x2 + x− 2 .

Solucion: Dom(f) = (−∞,−2] ∪ [1,∞); decreciente en (−∞,−2), creciente en (1,∞); puntos mınimosabsolutos x = −2 y x = 1; concava en (−∞,−2) y en (1,∞).

7. Integrales

7.1. Halla las siguientes integrales elementales:

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