Ejercicios_resueltos limites

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 1

TEMA 6 LMITES, CONTINUIDAD Y ASNTOTAS CLCULO GRFICO DE LMITES EJERCICIO 1 : Sobre la grfica de f(x), halla :

46

8

2

6 82 44 28 62

4

6

Y

X

xflim x

a)

xflimx

b)

xflimx 2

c)

xflimx 2

d)

xflimx 0

e)

Solucin: 1 a)

xflim

x 1 b)

xflim

x

xflim

x 2 c)

xflim

x 2d) 1 e)

0

xflim

x

EJERCICIO 2 : A partir de la grfica de f(x), calcula:

46

8Y

X

2

6 824 28 62

4

6

4

xflim x

a)

xflimx

b)

xflimx 1

c)

xflimx 1

d)

xflimx 5

e)

Solucin:

xflim

x a)

xflim

x b) 2 c)

1

xflim

x 3 d)

1

xflim

x 0 e)

5

xflim

x

EJERCICIO 3 : Representa grficamente los siguientes resultados:

xflim

x a)

xglim

x b)

Solucin: a)

b)

EJERCICIO 4 : Representa los siguientes lmites:

xflimxflim

xx 22

Solucin:

2

EJERCICIO 5 : Representa en cada caso los siguientes resultados: 2a)

xflim

x

xglim

x b)

Solucin: a)

2

o bien

2

b)

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 2 EJERCICIO 6 : Representa grficamente: 1a)

xflim

x 0b)

xglim

1x

Solucin: a)

1

o bien

1

b) Por ejemplo:

1

EJERCICIO 7 : :que sabemos,31 funcin la Para

xxxf

31y

31

33 xxlim

xxlim

xx

Representa grficamente estos dos lmites. Solucin:

3

CLCULO DE LMITES INMEDIATOS

EJERCICIO 8 : Calcula los siguientes lmites:

324a) 23 xx

limx

9b) 23

xlimx

xcoslimx 0

c)

1

3 d)22

xx

xlimx

xlimx

36e)1

Solucin:

92

184

3694

324 a) 23

xx

limx

00999 b) 23

xlimx

10 c)0

cosxcoslimx

d)71

1241

1xx

3xlim22x

e) 3936x36lim

1x

EJERCICIO 9 : 3. en y 1 en 23

funcin la de lmite el Calcula4

xxxxxf

Solucin:

61

21

31

23

4

1

xxlimx

251

2327

23

4

3

xxlimx

EJERCICIO 10 : Calcula los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:

xxxxlim

x

233 2

22a) xxx

xlimx

23 2

22b) xxx

xlimx

231 2

22c)

Solucin:

31

124

222a) 233

xxx

xlimx

02

22b) 23

xxxxlim

x

1

2112

222c)

121231

xx

limxxxlim

xxxxlim

xxx

Hallemos los lmites laterales:

12;

12

11 xxlim

xxlim

xx

2 1 3

1

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 3 EJERCICIO 11 : Resuelve los siguientes lmites y representa grficamente los resultados obtenidos:

181223a) 2

2

1

xxxxlim

x

181223b) 2

2

xxxxlim

x

181223c) 2

2

3

xxxxlim

x

Solucin:

81

324

181223a) 2

2

1

xx

xxlimx

21

181223b) 2

2

xx

xxlimx

3232

318122

3c)3232

2

3

x

xlimxxxlim

xxxxlim

xxx

Hallamos los lmites laterales:

32;32 33 xxlim

xxlim

xx

1123

1

EJERCICIO 12 : Halla los lmites siguientes y representa grficamente la informacin que obtengas:

4442a) 2

34

1

xx

xxlimx

44

42b) 234

xx

xxlimx 44

42c) 234

2

xx

xxlimx

Solucin:

32

96

4442a) 2

34

1

xx

xxlimx

44

42b) 234

xxxxlim

x

2

22

2244

42c)3

22

3

22

34

2

x

xlimx

xxlimxx

xxlimxxx


2

2;2

2 3

2

3

2 xxlim

xxlim

xx

112

1

EJERCICIO 13 : Halla los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:

363a) 2

2

2

xx

xxlimx

363

b) 22

xx

xxlimx

363

c) 22

xx

xxlimx 1

Solucin:

92

276

363a) 2

2

2

xx

xxlimx

31

363b) 2

2

xx

xxlimx

1313

1363

c)1212

2

1

x

xlimx

xxlimxxxxlim

xxx


13

;13 11 x

xlimx

xlimxx

EJERCICIO 14 : Calcula los lmites siguientes y representa grficamente los resultados que

obtengas:44

2a) 22

0

xx

xxlimx

44

2b) 22

xx

xxlimx

44

2c) 22

xx

xxlimx 2

Solucin:


21

42

442a) 2

2

0

xx

xxlimx

144

2b) 22

xx

xxlimx

2

12

1244

2c)222

2

2

x

xlimx

xxlimxxxxlim

xxx


21;

21

22 xxlim

xxlim

xx

1 21

1

CLCULO DE LMITES EJERCICIO 15 : Calcula los siguientes lmites y representa los resultados que obtengas:

3 a) 21

xlimx

22 2

1b) x

limx

1

c) 22

1

x

xxlimx

444d) 2

2

2

xx

xlimx

xxlim

x2

3e)

2

132f) 4

4

x

xxlimx

132g) 4

4

x

xxlimx

2112h)

x

xlimx

2112i)

x

xlimx

33j) xlimx

1

k)3

xxlim

x

Solucin:

2313)a 21

xlimx

22x 2x

1limb)

2

21

21

1xxlim

1x1x1xx

lim1x

xxlim)

1x

1x2

2

1x

c

2x

2xlim2x

2x2xlim4x4x

4xlim2x22x2

2

2x

d)


2222

2

2

xxlim

xxlim

x

x

x2

3xlim

2

xe)

21x

x3x2lim4

4

x

f)

21x

x3x2lim4

4

x

g)

0x1

1x2lim2x

h)

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 5 0

x1

1x2lim2x

i)

3x

x3limj)

1x

xlim3

xk)

EJERCICIO 16: tegrficamen representa yfunciones siguientes las decuando lmite el Halla x

la informacin que obtengas: 122

a)3

xxxf

523b)

32 xxxf

Solucin:

1

22a)

3xxlimx

523b)

32 xxlimx

EJERCICIO 17 : funcinsiguienteladecuando ycuando lmite el Calcula x x

y representa la informacin que obtengas: 3

421 2 xxxf

Solucin:

3421

3421 22 xxlimxxlim

xx

EJERCICIO 18 : Halla los siguientes lmites y representa grficamente los resultados obtenidos:

24a) xlimx

24b) xlimx

Solucin:

24a) xlimx

24b) xlimx

EJERCICIO 19 : Calcula los siguientes lmites y representa el resultado que obtengas:

xxxlim

x 43a)

2

xxxlim

x 43b)

4

Solucin:

xxxlim

x 43a)

2

xxxlim

x 43b)

4

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 6 CLCULO DE LMITES EJERCICIO 20 : Calcula:

1xea) 2xx

lm 2

4

x x

x3xb)

loglm

1xx3c) 92

xlm

1xed)

x

x lm

x2x3e)

2

x loglm

xx 2

1xf)

lm 2xx

x2g)

lm x

1xh)2

x

lnlm

xxi) 3x

loglm

1x

3j) 2

x

x lm

Solucin:

1a) 2xelm xx

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

2

4

2

4 33b)x log

xxlmx log

xxlmxx

Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.

29

x92

xx1xx3c) lmlm

001x

e1x

e)dx

x

x

x

lmlm

x2x3e)

2

x loglm

Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.

xxxx 2

1x

2

1xf) lmlm

2xx

x2g) lm

Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.

0x

1xx

1xh)

2

x

2

x

lnlm

lnlm


xxi) 3

x loglm


00

1x

3

1x

3j)2

x

x2

x

x

lmlm

EJERCICIO 21 : Halla los lmites:

x3x2x5a) 2

xlm

x2x

1x3xb)6

2

x

lm

1x2

1x23c)4

4

x

lm

1x

x2x1xd) 2

32

xlm

1x3x5

2x3e)

2x

lm

x2x3xf) 2

xlm

x21x3g) 2

xlm

2x

1x2h)4

3 5

x

lm

1x

x1x

x3i)2

32

xlm

1x3

3x2j)

2x

lm

Solucin:


xxx

xxxxxxlmxxxlm

xx 325

325325325a)

2

22

2

xxx

xxlmxxx

xxxlmxx 325

24

325

9252

2

2

22

02

13

2

13b)6

2

6

2

xx

xxlmxx

xxlmxx

222

1x2

1x23

1x2

1x23c)4

4

x4

4

x

lmlm

2x2xx

x2x1x

)1x()2x(

)2x(x)1x()1x(

1x

x2x1xd)

23

344

x2

322

x2

32

xlmlmlm

222

1223

3

xxxxlm

x

553

53

1x3x5

2x3e)2x

lm

x2x3x

x2x3xx2x3xx2x3xx2x3xf)

2

22

x2

x2

xlmlmlm

xxx

xxlmxxx

xxxlmxx 23

33

23

432

2

2

22

x21x3

x41x3

x21x3

x21x3x21x3x21x3g)

2

22

x2

22

x2

xlmlmlm

xx

xlmx 213

12

2

02x

1x2

2x

1x2h)4

3 5

x4

3 5

x

lmlm

1xxx

xxx3x3

)1x()1x(

)1x(x)1x(x3

1x

x1x

x3i)23

3424

x2

322

x2

32

xlmlmlm

132

23

234

xxxxxxlm

x

332

32

1x3

3x2

1x3

3x2j)2x2x

lmlm

EJERCICIO 22 : Calcula:

a) 323

23

1x 2x7x8x3

1x3x2

lm b)

11x24x2

0x

lm c)

1xxx2xx3

23

2

1x

lm

d)

3x

1x

9x

x223x

lm e) 4x3x

10xx223

2

2x

lm

Solucin:

a)

331x

32

2

1x3

23

23

1x3

2x31x2

1x2x3

1x1x2

2x7x8x3

1x3x2

lmlmlm

b)

)24x2()11x()11x()44x2(

)24x2()11x()11x()11x()24x2()24x2(

11x24x2

0x0x0xlmlmlm


144

24x2)11x(2

)24x2(x)11x(x2

0x0x

lmlm

c) )0(

51x1x

2x3

1x1x

2x31x

1xxx

2xx31x21x23

2

1x

lmlmlm


1x1x

2x3;1x1x

2x31x1x

lmlm No existe

d)

3x3x

3x4xx23x3x

3x1xx23x1x

9xx2 2

3x3x23xlmlmlm )0(

183x3x3x2x 2

3x

lm


3x3x3x2x;

3x3x3x2x 2

3x

2

3xlmlm No existe

e) )0(

92x1x

5x2

2x1x

2x5x2

4x3x

10xx22x22x23

2

2x

lmlmlm


2x1x

5x2;2x1x

5x22x2x

lmlm No existe

EJERCICIO 23 : Calcula los lmites:

a) 1xx3

21x 6xx

4x2

lm b) 2xx

22x 4x2x

2x3

lm c) 3x

x22

3x 4x41xx2

lm

d) x3

2

0x 1x51x3x

lm e)

1x1

2

1x 1x3x2x

lm

Solucin:

a)

)1x()6xx()x3()2x3x(

1xx3

6xx6xx4x2

1xx31

6xx4x2

1xx3

21x

2

2

1x2

2

1x21x eee6xx

4x2 lmlmlmlm

21

63

6xx)2x(x3

)1x()6xx()1x()2x(x3

eeee 21x21x

lmlm

b)

)2x()4x2x(x)6x5x(

2xx

4x2x4x2x2x3

2xx1

4x2x2x3

2xx

22x

2

2

2x2

2

2x22x eee4x2x

2x3 lmlmlmlm

21

42

)4x2x()3x(x

)2x()4x2x()2x()3x(x

eeee22x22x

lmlm

c)

3xx2

4x43x5x2

3xx2

4x44x41xx2

3xx21

4x41xx2

3xx2

2

3x

2

3x

2

3x

2

3xeee

4x41xx2 lmlmlmlm

8

211642

4x4x21x2

3x4x4x23x1x2

eeee 3x3x

lmlm

d)

1x5x8xx3

x3

1x5x8x

x3

1x51x51x3x

x31

1x51x3x

x3

2

0x

0x

2

0x

2

0x

2

0xeeee

1x51x3x lmlmlmlmlm

241x5

8x3

ee 0x

lm

e)

1x1

1x2x3x

1x1

1x1x3x2x

1x11

1x3x2x

1x1

2

1x

2

1x

2

1x

2

1xeee

1x3x2x lmlmlmlm

2

11x2x

1x1x1x2x

eee 1x1x

lmlm

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 9 EJERCICIO 24 : Calcula estos lmites:

2x

x 1x2x32a)

lm 1x2

x

2

5x2x21b)

lm 3x2

x x542x5c)

lm

1x

x

2

5x32x4d)

lm

3x2

x x12e)

lm

21x

2

2

x x32

x3f)

lm

x2

2

2

x 2x

1xg)

lm

x

2

2

x x9x3

7x4h)

lm

2x

x 2x31x2i)

lm

1x

x x232x2j)

lm

Solucin:

23

1232

1232a)

22x

x

x

x xxlm

xxlm

052

21b) 524812

525221121

522112 2222

eeeex

xlm xxlmxx

xxlmx

xx

lmx

xxxx

54

1512

x1512x12

3x2

x54x542x5

3x21

x542x5

3x2

xeeeee

x542x5c) xxx

lm

lmlmlm

34

5x32x4

5x32x4d)

1x

x

1x

x

22

lmlm

02x12

x12e)

3x2

x

3x2

x

lmlm

1eeeex32

x3f) 0x642x2

21x

x32x32x3

21x1

x32x3

21x

2

2

x

2x2

22

x2

2

x

lmlmlm

lm

1eeee2x

1xg) 02xx6x2

2x2x1xx21

2x1xx2

2

2

x

2x2

22

x2

2

x

lmlmlm

lm

043

34

x9x3

7x4

x9x3

7x4h)x

2

2

x

x

2

2

x

lmlm

032

2x31x2

2x31x2i)

22 x

x

x

x

lmlm

25

x235x51x

x23x232x21x1

x232x21x

xeeee

x232x2j) xxx

lm

lmlmlm

EJERCICIO 25 : Halla los lmites:

1xx3xlm 22

xa)

9x3x5x

3xlm233x

b)

1x2x

xxlm2

3

1x

c)

1x

x x342x3lm

d)

2x

x3xlm2

5 3

x

e)

2x

1x

4x

x3lm22x

f)

2xx6xxlm 2

2

2x

g)

xxlm

x2xh)

1x

x31x

x3lm2

32

xi) 1x

1

1x 2x23xlm

j)

Solucin:


13

131313a)

22

2222

22

xxx

xxxxxxlmxxxlm

xx

13

13

13

13

13

132222

22

22

22

xxx

xlmxxx

xxxlmxxx

xxxlmxxx

233

xxxlm

x

)0(1

)1()3(1

)1()3(3

9353b)

323233

xx

lmxx

xlmxxx

xlmxxx


)1x()3x(

1lm;)1x()3x(

1lm3x3x

Como son distintos No existe el lmite

)0(

21x1xx

lm)1x(

1x1xxlm

1x2x

xxlm1x21x2

3

1x

c)


11;

11

11 xxxlm

xxxlm

xx Como son distintos No existe el lmite

4x36x6lm1x

x34x342x3lm1x1x34

2x3lm1x

xxxx eee1

x342x3lmd)

22 1

ee

0x

xlm2x

x3xlm2x

x3xlm5

3

x2

5 3

x2

5 3

x

e)

4x

2x3xx3lm4x

2x1xx3lm

2x1x

4x

x3lm2

2

2x22x22xf) )0(

642

2

2

2

xxlm

x


4

2;42

2

2

22

2

2 xxlm

xxlm

xx No existe el lmite

35

1x3xlm

)1x()2x()3x()2x(lm

2xx

6xxlm2x2x2

2

2x

g)

xxx

xxxx.xxlmxxxlmxxxlm

2

22

x2

x2

xh)

21

222

22

xxlm

xxxlm

xxx

xlmxxx

xxxlmxxxx

31x

x3lm1x

x3x3x3lm1x

x31xx3lm

1x

x31x

x3lm2

2

x2

323

x2

32

x2

32

x

i)

41

2x21lm)1x()2x2(

1xlm1x

12x2

2x23xlm1x11

2x23xlm

1x1

1xeeeee1

2x23xlm 1x1x1x1x

j)

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 11 CONTINUIDAD EJERCICIO 26 : :xf funcin la a ecorrespond grfica siguiente La

46

8Y

X

2

6 824 28 62

4

6

4

Di si es continua o no en x 1 y en x 2. Si en alguno de los puntos no es continua, indica cul es la causa de la discontinuidad.

Solucin: En x 1 no es continua porque presenta un salto en ese punto. Observamos que xflimxflim

xx

11 .

En x 2 s es continua. EJERCICIO 27 : A partir de la grfica de f(x ) seala si es continua o no en x 0 y en x 3. En el caso de no ser continua, indica la causa de la discontinuidad.

46

8

2

26 82 44 28 6

46

Y

X

Solucin: En x = 0, s es continua. En x = 3 es discontinua porque no est definida, ni tiene lmite finito. Tiene una rama infinita en ese punto (una asntota vertical). EJERCICIO 28 : :xf de grfica la Dada

46

8

2

6 82 44 28 62

46

Y

X

a) Es continua en x 1? b) Y en x 2? Si no es continua en alguno de los puntos, indica cul es la razn de la discontinuidad.

Solucin: a) S es continua en x 1. b) No, en x 2 es discontinua porque no est definida en ese punto. Como s tiene lmite en ese punto, es

una discontinuidad evitable.

EJERCICIO 29 : Averigua si la siguiente funcin es continua en x 2:

2si22si2

xxxxxf

Solucin:

.fxflimx

f

xlimxflim

xlimxflim

xxx

xx2porque2 en continua Es

42

42

42

222

22


EJERCICIO 30 : Comprueba si la siguiente funcin es continua en x 0.

0si2

20si12 2

xxxx

xf

Solucin:

.0 porque0 en continua Es

10

12

2

112

000

2

00

fxflimx

f

xlimxflim

xlimxflim

xxx

xx

EJERCICIO 31 : :1 en continua seaque para de valor el Halla xxf k

1si1si12

xkxxxf

Solucin:

En x 1:

311.2)1(f

.kxflim

31x2limxflimxflim

1x

1x1x1x

k = 3

Solucin: f continua en x = 1 si k = 3 EJERCICIO 32 : Estudia la continuidad de las siguientes funciones y represntalas grficamente:

a)

0si20si2 2

xxxxxf b)

1si11si2 2

xxxxxf c)

1si11si1

2 xxxxxf

d)

0si10si1

2 xxxxf e)

2si12

2si2

2

xx

xxxf f)

2si12si32

xxxxf

g)

1si2

131si2

xxxx

xf h)

0si10si2 2

xxxxf i)

2si2si32

2 xxxxxf

j)

0si10si1 2

xxxxxf

Solucin: a) Continuidad:

f continua en R {0}

En x 0:

202)0(f

.0x2limxflim

2x2limxflimxflim

20x0x

20x0x

0x

f discontinua inevitable de salto finito(2) en x=0

Representacin:

0si20si2 2

xxxxxf

parbola. de un trozo es ,0x Si (Vx = 0) recta. de trozo un es,0 Si x

X - -2 -1 0 0+ 1 + Y - -2 1 2 0 2 +

4 22

4

24

2 4

Y

X

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 13 b) Continuidad

f continua en R {1}

En x 1:

21.2)1(f

.21xlimxflim

2x2limxflimxflim

21x1x

21x1x

1x f continua en x = 1

Solucin: f continua en todo R. Representacin parbola. de un trozo es ,1x Si (Vx = 0)

recta. de trozo un es ,1 Si x

X - -2 -1 0 1 1+ 2 + Y + 8 2 0 2 2 3 +

4 22

24

2 4

6

8Y

X

c) Continuidad

f continua en R {-1}

En x -1:

011)1(f

.01xlimxflim

01xlimxflimxflim 2

1x1x

1x1x

1x

f continua en x = -1

Solucin: f continua en todo R. Representacin: recta. de un trozo es,1xSi

parbola. de trozo un es ,1Si x (Vx = 0)

X - -2 -1 -1+ 0 1 2 + Y - -1 0 0 -1 0 3 +

46 2246

2

4

2 4

Y

X

d) Continuidad

f continua en R {0}

En x 0:

11)0(f

.1x1limxflim

11limxflimxflim 2

0x0x

0x0x

0x f continua en x = 0

Solucin: f continua en todo R Representacin: .horizontal recta de un trozo es ,0xSi

parbola. de trozo un es ,0Si x (Vx = 0)

X - -1 0 0 1+ 2 + Y 1 1 1 1 0 -3 -

4 26246

24

2 4

Y

X

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 14 e) Continuidad:

f continua en R {2}

En x 2:

22

2)2(f

.51x2limxflim

22

xlimxflimxflim

22x2x

2

2x2x2x


Representacin: parbola. de un trozo es ,2x Si (Vx = 0)

recta. de un trozo es ,2xSi

4 26

2

2

2 4 6

Y

X

468

f) Continuidad:

f continua en R {2}

En x 2:

132)2(f

.11limxflim

13xlimxflimxflim

22x2x

22x2x

2x

f continua en x = 2

Solucin: f continua en todo R. Representacin: Si x 2, es un trozo de parbola. (Vx = 0)

Si x > 2, es un trozo de recta horizontal.

X - -2 -1 0 1 2 2+ 3 + Y + 1 -2 -3 -2 1 1 1 1

g) Continuidad f continua en R {1}

En x 1:

11)1(f

.1

21x3limxflim

1xlimxflimxflim

21x1x

21x1x

1x

f continua en x = 1

Solucin: f continua en todo R. Representacin: Si x 1, es un trozo de parbola. (Vx = 0)

Si x > 1, es un trozo de recta.

X - -2 -1 0 1 1+ 2 + Y + 4 1 0 1 1 5/2 +

h) Continuidad

f continua en R {0}

En x 0:

202)0(f

.11limxflim

2x2limxflimxflim

0x0x

20x0x

0x


Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 15 Representacin: Si x 0, es un trozo de parbola.(Vx = 0)

Si x > 0, es un trozo de recta horizontal.

X - -2 -1 0 2+ 3 + Y - -2 1 2 1 1 1

i) Continuidad

f continua en R {-2}

En x -2:

13)2.(2)2(f

.4xlimxflim

13x2limxflimxflim 2

2x2x

2x2x

2x

f discontinua inevitable de salto finito(5) en

x=-2 Representacin Si x 2 es un trozo de recta.

Si x > 2 es un trozo de parbola. (Vx = 0)

X - -3 -2 -2+ -1 0 1 2 + Y - -3 -1 4 1 0 1 4 +

j) Continuidad

f continua en R {0}

En x 0:

101)0(f

.11xlimxflim

1x1limxflimxflim

20x0x

20x0x

0x

f continua en x = 0

Solucin: f continua en todo R Representacin: Si x 0, es un trozo de parbola.(Vx = 0)

Si x > 0, es un trozo de recta.

X - -2 -1 0 2+ 3 + Y - -3 0 1 3 4 +

ASNTOTAS EJERCICIO 33 : Calcula el lmite de la siguiente funcin en el punto x 3 y estudia su

comportamiento por la izquierda y por la derecha: 3

1

x

xf

Solucin: 303 xx Calculamos los lmites laterales:

3

13

133 x

limx

limxx

3

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 16 EJERCICIO 34 : Calcula el siguiente lmite y estudia el comportamiento de la funcin a la izquierda y

a la derecha de x 3: 9

123 x

limx

Solucin: 331

91

323

xxlim

xlim

xx

Calculamos los lmites laterales:

9

19

12323 x

limx

limxx

3

EJERCICIO 35 : Calcula el siguiente lmite y estudia el comportamiento de la funcin por la izquierda

y por la derecha de x 0: xx

xlimx 2

1220

Solucin: 212

212

020

xx

xlimxx

xlimxx


xx

xlimxx

xlimxx 2

12212

2020

EJERCICIO 36 : Calcula el siguiente lmite y estudia el comportamiento de la funcin por la izquierda

y por la derecha de x 2: 22 2

1

x

xlimx

Solucin:

222222 2

121

21

xxlim

xxlim

xxlim

xxx

2

EJERCICIO 37 : 2. en )(de lmite el calcula,65

1funcin la Dada2

xxf

xx

xxf Representa

la informacin que obtengas.

Solucin: 32

165

12

xxx

xxx


65

132

1222 xx

xlimxx

xlimxx

2

EJERCICIO 38 : Halla las asntotas verticales de las siguientes funciones y sita las curvas respecto a ellas:

a) 112

2

xxxf b)

121

2

xxxf

Solucin: a) .1;1012 xxx Las asntotas verticales son x 1 y x 1. Posicin de la curva respecto a ellas:


1

1211

12211 xxlim

xxxlim

xx

1

12112

2121 xxlim

xxlim

xx

11

b) 10122 xxx Solo tiene una asntota vertical: x 1 Posicin de la curva respecto a la asntota:

22 1

112

1

xxx

2121 1

11

1x

limx

limxx

1

EJERCICIO 39 : Halla las ramas infinitas de las siguientes funciones y representa los resultados obtenidos:

a) xxxxf 223

23

b) 33 xxf c) 241

xxxf d)

xxxxf

1

2 3

Solucin:

a)

xxxlim

xxxlim

x

x

223

22323

23

b)

33 33 xlimxlimxx

c)

2

4

2

4

1

1

xxlim

xxlim

x

x

d)

xxxlim

xxxlim

x

x

12

12

3

3

EJERCICIO 40 : funciones siguientes las decuando infinitas, ramas las Halla ,x y representa la informacin que obtengas: 42a) xxf 2b) xxxf Solucin:

42a) xlimx

2) xxlimbx

EJERCICIO 41 : ,x cuando infinitas, ramas las Halla de las siguientes funciones y representa los resultados que obtengas: 31a) xxf xxxf 2b) Solucin:

31a) xlimx

xxlimx

2b)


EJERCICIO 42 : Calcular las asntotas horizontales de estas funciones y representa los resultados que obtengas:

a) 112

2

2

xxxf b)

221

2

xxxf

Solucin:

a)

2)100(f2)100(f

2y.V.A

21x

1x2lim

21x

1x2lim

2

2

x

2

2

x

2

b)

0)100(f0)100(f

0y.V.A0

2x2

1xlim

02x2

1xlim

2x

2x

EJERCICIO 43 : Las siguientes funciones tienen una asntota oblicua. Hllala y sita las curvas respecto a ellas:

a) 122

x

xxxf b) 1

22

3

xxxf

Solucin: y = mx + n

a)

1xy

111

1xxlim

1xxxx2xlimx.1

1xx2xlimmx)x(flimn

1xx

x2xlimx

1xx2x

limx

)x(flimm

x

22

x

2

xx

2

2

x

2

xx

1x y :oblicua Asntota

)100(tsinA)100(f)100(tsinA)100(f

1

1

y x+= 1

b)

x2y

01x

x2lim1x

x2x2x2limx.21x

x2limmx)x(flimn

2xx

x2limx

1x

x2

limx

)x(flimm

2x2

33

x2

3

xx

3

3

x

2

3

xx

x y 2 :oblicua Asntota

)100(tsinA)100(f)100(tsinA)100(f

2

1 y=2x

Tema 6 Lmites, continuidad y asntotas Matemticas CCSSI 1 Bachillerato 19 EJERCICIO 44 : Halla las asntotas de las siguientes funciones y sita las curvas respecto a ellas:

a) 112

2

2

xxxf b) 2

2 3x

xxxf

Solucin: a) Asntotas verticales: Puntos que anulan el denominador: x2 1 = 0 x = 1

x = 1

1x

1x2lim

;1x

1x2lim

2

2

1x

2

2

1x x = 1

1x

1x2lim

;1x

1x2lim

2

2

1x

2

2

1x

Asntota horizontal: 2

112

2112

2

2

2

2

xxlim

xxlim

x

x y = 2

2)100(f2)100(f

Representacin:

b) Asntota vertical: Puntos que anulan el denominador x2 = 0 x 0

x3xlim

x3xlim

x3xlim

x

3xxlimx

x3xlim

0x

0x0x20x2

2

0x

Asntota horizontal:

1x

x3xlim

1x

x3xlim

2

2

x

2

2

x

y = 1

1)100(f1)100(f

Representacin:

Ejercicios_resueltos limites

Documents

Transcript of Ejercicios_resueltos limites