EJEMPLO:

Tres fabricantes de automóviles tienen los siguientes datos con respecto a las compras de los clientes:

a) Encontrar las Probabilidades de estado estable.

A B C

A 0,40 0,30 0,30

B 0,20 0,50 0,30

C 0,25 0,25 0,50

0,30

0,25

0,25

0,30

0,20

0,30

C

A

B

Probabilidad de

0,50 0,50

0,40

A (Ford)

B (Chevrolet)

C (Nissan)

A (Ford) 40 30 30

B (Chevrolet)

20 50 30

C (Nissan) 25 25 50

METODO DE LA SUMA DE FLUJOS

Para el estado A se tiene

0,20 P(B) + 0,25 P(C) = (0,30 + 0,30) P(A)

Para el estado B se tiene:

0,30 P(A) + 0,25 P(C) = (0,20 + 0,30) P(B)

Para el estado C se tiene:

0,30 P(A) + 0,30 P(B) = (0,25 + 0,25) P(C)

Ecuación General:

P(A) + P (B) + P(C) = 1

Ordenamos las ecuaciones:

- 0,60 P(A) + 0,20 P(B) + 0,25 P(C) = 0 - - - - - - - -> E1

0,30 P(A) - 0,50 P(B) + 0,25 P(C) = 0 - - - - - - - -> E2

0,30 P(A) + 0,30 P(B) - 0,50 P(C) = 0 - - - - - - - -> E3

P(A) + P (B) + P(C) = 1 - - - - - - - -> E4

Despejamos P(A) en la ecuación E1:

- 0,60 P(A) + 0,20 P(B) + 0,25 P(C) = 0

P(A) = (0,20/0,60)P(B) + (0,25 / 0,60)P(C)

P(A) = 0,333 P(B) + 0,417 P(C) - - - - - - - - > E5

Reemplazamos el resultado de P(A) en las ecuaciones E3 y E4 :

0,30 P(A) + 0,30 P(B) - 0,50 P(C)= 0 - - - - - - - -> E3

0, 30 [0,333 P(B) + 0,417P(C) ] + 0,30 P(B) - 0,50 P(C)= 0

0, 10 P(B) + 0,125 P(C) + 0,30 P(B) - 0,50 P(C)= 0

0,40 P(B) – 0,375 P(C) = 0 - - - - - - - - > E6

P(A) + P (B) + P(C) =1 - - - - - - - - - - - - - - -> E4 0,333 P(B) + 0,417 P(C) + P(B) + P(C) =1

1,333 P(B) + 1,417 P(C) = 1 - - - - - - - - - - - > E7

Para eliminar la P(C) tenemos que sumar las ecuaciones E6 y E7. Antes de ello se tiene que multiplicar la E5 por (1,417 / 0,375)

0,40 P(B) – 0,375 P(C) = 0 - - - - - > E6

1,333 P(B) + 1,417 P(C) = 1 - - - - - > E7

1,511 P(B) – 1,417 P(C) = 0

1,333 P(B) + 1,417 P(C) = 1

2,844 P(B) = 1

P(B) = 0,352

Ya con el valor de P(B) se puede encontrar el valor de P(C) reemplazando en la ecuación E7

1,333 P(B) + 1,417 P(C) = 1 1,333 (0,352) + 1,417 P(C) = 1 0,469 + 1,417 P(C) = 1 1,417 P(C) = 1 - 0,469 1,417 P(C) = 0,531

P (C) = 0,375

(1,417 /

+

Ahora se sustituye los valores hallados en la ecuación que se había despejado P(A):

P(A)= 0,333 P(B) + 0,417 P(C)P(A)= 0,333(0,352) + 0,417(0,375)P(A)= 0,117 + 0,156

P(A)= 0,273

Duda usted que se haya alcanzado en realidad un equilibrio? Si es así, probémoslo. Multiplique las participaciones de mercado en el equilibrio (A=0,273 ; B= 0,352 ; C=0,375) por la matriz de probabilidades de transición:

A B C

A 0,40 0,30 0,30

B 0,20 0,50 0,30

C 0,25 0,25 0,50

A B C

0,273 0,352 0,375

X 0,273 0,352

=