Ejercicios de Estadstica Descriptiva Bidimensional

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1. Construimos un modelo de regresin lineal simple para explicar la variabilidad en el tiempo de reaccin (TR) ante cierto estmulo, medido en segundos, a partir de la edad del paciente, empleando una muestra formada por 20 individuos afectados por cierta dolencia, obteniendo: Y = 0,35 + 0,01X. Indica cul de las siguientes conclusiones se puede alcanzar a partir del enunciado:

a. El coeficiente de correlacin lineal entre la edad y el TR es negativo. b. El modelo explica el 35% de la variabilidad en el TR para los 20 individuos incluidos en la muestra. c. El tiempo medio de reaccin se incrementa 0,01 segundos por cada ao adicional del paciente. d. Si un individuo tiene una edad de 30 aos, su TR es igual a 0,65. e. El modelo explica el 10% de la variabilidad en el TR para los 20 individuos incluidos en la muestra.

2. Se ha realiza un estudio de regresin lineal simple para establecer una ecuacin mediante la cual se pueda utilizar la concentracin de estrona en saliva para predecir la concentracin del esteroide en plasma libre. Se extrajeron los siguientes datos de 14 varones sanos:

El modelo de regresin lineal simple resultante es Y = 15,85 + 2,26X, con R2 = 83,56%.

Cul de las siguientes afirmaciones es una interpretacin correcta del enunciado?

a. Por cada unidad que aumenta la concentracin del esteroide en plasma libre la concentracin de estrona en saliva aumenta, en promedio, 2,26 unidades.

b. Para los individuos con una concentracin de estrona en saliva de 0 unidades el promedio de la concentracin del esteroide en plasma libre es igual a 2,26 unidades.

c. El 83,56% de los individuos tendrn una concentracin del esteroide en plasma libre correcta, segn el modelo.

d. Por cada unidad que aumenta la concentracin de estrona en saliva la concentracin del esteroide en plasma libre aumenta, en promedio, 2,26 unidades.

e. La relacin entre la concentracin de estrona en saliva y la concentracin del esteroide en plasma libre es inversa, es decir, cuando una de ellas aumenta la otra tiende a disminuir.

3. En el estudio de una reaccin qumica se sospecha que la temperatura con que entra uno de los reactivos puede afectar al tiempo necesario para completar la reaccin. Para comprobar el efecto de la temperatura del reactivo (en C) sobre el tiempo necesario para completar la reaccin (en minutos) se ha recogido datos correspondientes a 20 realizaciones de la reaccin, segn se muestra en la siguiente figura, en la que tambin se muestra el modelo de regresin lineal y el coeficiente de determinacin lineal:

3.a La variable respuesta es: 3.b La variable explicativa es: 3.c Qu podemos decir del tiempo de reaccin para los casos en que la temperatura con la que entra

el reactivo es igual a 2C? 3.d Interpreta el valor 50,37 que aparece en la expresin del modelo: 3.e Interpreta el valor 2,01 que aparece en la expresin del modelo. 3.f Interpreta el valor del coeficiente de determinacin lineal R2 = 0,64. 3.g El coeficiente de correlacin lineal es igual a:

X 1,4 7,5 8,5 9,0 9,0 11,0 13,0 14,0 14,5 16,0 17,0 18,0 20,0 23,0Y 30,0 25,0 31,5 27,5 39,5 38,0 43,0 49,0 55,0 48,5 51,0 64,5 63,0 68,0

y = 50,37 - 2,01xR = 0,64

0

10

20

30

40

50

60

70

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

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4. Se ha tomado una muestra de 100 trabajadores de una cierta categora laboral, para tratar de relacionar el sueldo bruto anual de los mismos con la antigedad en la empresa en la que trabajan. Para alcanzar el objetivo descrito se ha construido un modelo de regresin lineal simple a partir del cual se ha estimado que los trabajadores nuevos (sin antigedad) que se incorporan a la empresa en dicha categora, ganan, en promedio, 22.000 brutos al ao y que, cada ao de antigedad supone, en promedio, un incremento de 800 en el sueldo anual. El modelo resultante explica el 49% de la varianza del sueldo anual de dichos trabajadores a partir de la antigedad de los mismos, para los 100 trabajadores incluidos en la muestra.

4.a Escribe la expresin del modelo de regresin lineal simple, si la antigedad se expresa en aos y el sueldo bruto anual en miles de euros:

4.b Calcula el sueldo medio de los trabajadores de dicha categora con una antigedad en la empresa igual a 10 aos:

4.c Cunto vale el coeficiente de correlacin lineal entre ambas variables?:

5. Si el coeficiente de correlacin lineal entre dos variables es 0,8 podemos decir:

a. El 64% de las predicciones son correctas. Si el coeficiente de correlacin lineal es negativo y cercano a 1 hay una relacin lineal fuerte e inversa. En este caso la respuesta correcta es la e, ya que la covarianza tiene el mismo signo que el coeficiente de correlacin lineal.

b. El modelo explica el 80% de la variabilidad de Y. c. Hay poca relacin lineal entre las variables. d. La relacin entre las variables es directa. e. La covarianza es negativa.

6. Se observa que al aumentar la dosis de cierta medicacin, disminuye el tiempo que hay que tomar el medicamento. Al construir un modelo de regresin entre ambas variables, ste explica el 36% de la variabilidad en el tiempo que hay que tomar el medicamento. Cul de entre las siguientes afirmaciones es compatible con el enunciado?:

a. El 36% de las predicciones del modelo son correctas. Segn el enunciado R2 = 0,36 y al ser r la raz de R2, ser r = 0,60. El signo negativo se debe a que al aumentar el valor de una de las variables (la dosis) el valor de la otra disminuye (el tiempo). La respuesta correcta es la c.

b. r = +0,60 c. r = 0,60 d. r = +0,36 e. Por cada 1% que se incrementa la dosis el tiempo

baja un 36%. 7. Hemos elaborado un modelo de regresin lineal simple para explicar la variabilidad en el grado de

satisfaccin que manifiestan los pacientes tratados de cierta enfermedad (medido mediante un ndice que toma valores entre 0 y 10) a partir de la duracin del tratamiento (medida en nmero total de sesiones). Para elaborar el modelo hemos recurrido a una muestra formada por 200 pacientes y el modelo resultante es: xy 25,08,2 += , con un coeficiente de determinacin lineal R2 = 0,67.

7.a Indica cul es la variable explicativa y cul es la variable respuesta. 7.b Interpreta el valor 0,25 que aparece en el modelo. 7.c Qu signo tiene la covarianza entre la variable explicativa y la variable respuesta?. Qu implica

este signo? 7.d Interpreta el valor del coeficiente de determinacin lineal R2. 7.e Qu podemos decir de un paciente cuyo tratamiento ha durado 10 sesiones.

8. Se ha realizado un estudio de regresin para tratar de explicar el ngulo mximo de apertura de cierta articulacin, expresado en grados, a partir de la estatura del individuo que realiza la prueba, expresada como exceso sobre 150 cm (para un individuo de 150 cm se considera una estatura igual a 150150 = 0, para uno de 175 cm la estatura es 175150 = 25, para un individuo de 190 cm la estatura es 190150 = 40).

8.a Indica cul es la variable explicativa y cul la variable respuesta.

8.b El coeficiente de determinacin lineal del modelo ha resultado 56,02 =R . Interpreta con claridad, dicho valor.

8.c Al estimar el modelo de regresin lineal simple obtenemos: xy 1,090= . Interpreta el significado de los nmeros 90 y 0,1 del modelo.

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9. En una fbrica estn interesados en relacionar el tiempo que se tarda en montar un determinado tipo de piezas Y, medido en minutos, con el peso de sus componentes X, medido en kilogramos. En la siguiente tabla se muestran parcialmente los datos correspondientes a 20 piezas para las que se ha medido ambas variables:

9.a Construye un modelo de regresin lineal adecuado para estimar el tiempo de montaje a partir del

peso de la pieza, representa el modelo junto a la nube de puntos del grfico de arriba. 9.b Cunto vara, en promedio, el tiempo necesario para montar una pieza, por cada Kg que aumenta

su peso? 9.c Calcula el coeficiente de determinacin lineal R2 correspondiente al modelo de regresin e

interpreta claramente su significado.

X Y X2 Y2 XY1 9,1 57,8 82,81 3.340,84 525,982 7,6 51,8 57,76 2.683,24 393,683 7,9 46,2 62,41 2.134,44 364,98 19 9,9 60 98,01 3.600,00 59420 10,4 52,8 108,16 2.787,84 549,12192,70 1.066,90 1.908,31 57.814,13 10.458,909,6350 53,3450 95,4155 2.890,7065 522,9450 40

50

60

70

7 8 9 10 11 12 13 14