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EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 3

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS 3Una casa rectangular cuyos lados miden 14m y 18m, se encuentra rodeada por un jardn de anchura constante, cuya superficie es de 228 m2. Qu anchura tiene el jardn?Solucin:

Anchura del jardn: x

rea del jardn: El permetro de la casa por el ancho, ms los cuatro cuadrados de las esquinas.

Operando y simplificando obtenemos:

Resolvemos:

.

La solucin x = - 19 no tiene sentido en este problema.

x=3 m

Un ciclista marcha escapado en una carrera, pasando por un punto situado a 30 Km. de la meta a 48 Km./h. El pelotn pasa por dicho punto 7 minutos despus, a una velocidad de 60 Km./h. Cunto tarda el pelotn en alcanzar al escapado, si mantienen constantes sus velocidades? Ganar el escapado la carrera?Solucin:

Representamos por x el tiempo desde que pasa el pelotn por el punto del enunciado, hasta que lo alcanza, expresado en horas. Los espacios (velocidad por el tiempo) recorridos por el ciclista escapado y el pelotn, desde el punto del enunciado hasta que el pelotn lo alcanza, son iguales:

Operando:

La distancia recorrida ser:

.

El escapado no ganar la carrera, le alcanzan a 2 Km de la meta.

Al dividir la cifra de las decenas entre la de las unidades de un nmero de dos cifras, obtenemos de cociente 2 y resto 1. Si cambiamos de orden las dos cifras, obtenemos un nmero que doblado sobrepasa en una unidad al nmero dado. Halla dicho nmero.Solucin:

Sean x la cifra de las decenas e y la de las unidades.

El nmero en cuestin es: 10x+y.

El nmero con las cifran en orden inverso: 10y+x. Y el doble menos 1: 2(10y+x) - 1.

Las condiciones del enunciado nos dan el siguiente sistema:

Sustituyendo la 1 ecuacin en la 2:

10(2y + 1) + y = 20y + 2(2y + 1) - 1 21y + 10 = 24y + 1

Obtenemos para y el valor 3; para x, 7; por lo tanto, el nmero es 73.

Si dividimos un nmero de dos cifras por la cifra de las unidades, obtenemos 8 de cociente y 2 de resto. Cambiando el orden de las cifras de dicho nmero, se obtiene un nmero 9 unidades mayor. De qu nmero se trata?Solucin:



El nmero con las cifran en orden inverso: 10y+x.


Agrupando los trminos y simplificando, resulta:

Multiplicando por 10 la 2 ecuacin y sumando: 3y = 12 y = 4, x = 3.

El nmero pedido es el 34.

Un depsito tiene dos grifos de llenado y un desage. Uno de los grifos lo llena en 3 h, el otro en 4, y si se dejan abiertos los grifos y el desage se llena al cabo de 2,5 h. Cunto tarda en vaciarlo el desage?Solucin:

Representamos el tiempo pedido expresado en horas por x.

En una hora los grifos llenan, respectivamente, del depsito; el desage .

La suma de las fracciones individuales debe ser igual a la fraccin del conjunto:

Multiplicamos por el m.c.m.(3, 4, 5)= 60:

EMBED Equation.3.

La suma de las edades en aos de los cuatro miembros de una familia es 100. Si el padre es 2 aos mayor que la madre, y la misma diferencia hay entre la hija mayor y su hermano, que naci cuando su madre tena 28 aos. Qu edad tiene cada uno?Solucin:

Representamos con x la edad de la madre.

El padre tendr x+2 aos, el hijo pequeo x - 28 y la hija x - 26. La suma es: (x + 2)+ x + (x - 26) +(x - 28) =100

Agrupamos y resolvemos:

4x = 152 aos.

Las edades del padre, la hija y el hijo son: 40, 12 y 10 aos, respectivamente.

Un depsito de 12 m3 de capacidad tiene dos grifos, A y B, y un desage que vierte la misma cantidad de agua por minuto que mana el grifo B. Los dos grifos manando juntos llenan el depsito en 4 h., y si se dejan abiertos el grifo A y el desage, el depsito se llena despus de 9 h. Qu cantidad de agua por minuto vierten los grifos?Solucin:

Sean x e y el nmero de litros de agua por minuto que manan A y B, respectivamente.

En 4 h.= 240 minutos, A y B manan 12.000 litros.: 240x+240y = 12.000

En 9 h. A llena el depsito y compensa lo que vierte el desage: 540x = 12.000 + 540y

Simplificando, resulta el sistema de ecuaciones:

Multiplicando la 1 ecuacin por 9, y sumando: 18x = 650

Sustituyendo el valor hallado en la 1 ecuacin:

Para que las soluciones de , a0 , sean nmeros enteros, qu condicin deben cumplir a y b?Solucin:

Se trata de una ecuacin incompleta de segundo grado, cuyas soluciones se obtienen sacando factor comn:

x(ax + b) = 0 x = 0, . Para que la ltima sea un nmero entero, b debe ser un mltiplo de a.

Un tringulo rectngulo tiene las medidas de sus lados iguales a tres nmeros pares consecutivos. Cules son?Solucin:

Sean los tres nmeros pares consecutivos: 2x, 2x - 2 y 2x + 2.

El teorema de Pitgoras dice:

Operando llegamos a la ecuacin incompleta:

Las soluciones son: x = 0; x = 4. La primera no tiene sentido en este problema. La segunda nos da para los lados los valores: 6, 8 y 10.

Las dos cifras de un nmero suman 9. Si se invierte el orden de las cifras, el nmero disminuye en 9. Qu nmero es?Solucin:



El nmero con las cifran en orden inverso: 10y+x.


Agrupando los trminos y simplificando, resulta:

Sumando las dos ecuaciones: 2y = 8 y = 4, x = 5.

El nmero pedido es el 54.

La edad de una mujer era hace 10 aos cinco veces la de su hija, y dentro de 11 aos ser solamente el doble. Qu edades tienen actualmente?Solucin:

Llamamos x e y a las edades actuales de madre e hija, respectivamente.

En el pasado, las edades cumplan la condicin siguiente: x - 10 = 5(y - 10)

En el futuro, la relacin que da el enunciado es: x + 11 = 2(y+11)

Agrupando los trminos obtenemos:

Restamos las ecuaciones: 3y = 51 y = 17. Con este valor la 2 ecuacin nos da: x = 11+34 = 45.

La edad de la mujer es 45 aos, y la de su hija 17aos.

Marta tiene 7 aos. Cuando alcance la edad de su madre, la suma de ambas edades ser de 104 aos. Cul es la edad actual de su madre?Solucin:

Si x es la edad actual de la madre, el tiempo que ha de transcurrir para que Marta tenga la edad de su madre es x7.

Edad actual

Edad dentro de x7 aos

Marta

77+x7=x

Madre

x

x+x7=2x7

Dentro de x7 aos la suma de sus edades ser 104: x+2x7=104 x=37

La madre tiene ahora 37 aos.

Halla un nmero, tal, que la suma de su mitad, su tercera parte y su quinta parte, resulta cuatro unidades mayor que dicho nmero.Solucin:

Representamos el nmero pedido con x.

Escribimos el enunciado en lenguaje algebraico:

Multiplicamos por m.c.m.(2, 3, 5) = 30: 15x + 10x + 6x = 30x+120


x = 120.

Halla dos nmeros cuya suma sea 50, y la diferencia entre el mayor y el menor sea la mitad del menor.Solucin:

Sean los nmeros pedidos: x e y, con x>y.

El enunciado nos da las dos condiciones siguientes:

En la segunda podemos despejar x: . Sustituyendo en la primera:

y = 20

Sustituyendo el valor hallado: x = 30. Los nmeros pedidos son: 30 y 20.

El permetro de un campo rectangular mide 340 m., y su superficie es de 7000 . Halla sus dimensiones.

Solucin:

Sea x uno de los lados del rectngulo.

Dos lados contiguos del rectngulo (semipermetro) suman 170 m., luego, el segundo lado del rectngulo es 170 - x.

La superficie nos proporciona la siguiente ecuacin: x(170 - x) = 7000.

Operando obtenemos:

Resolvemos:

.

Los lados del rectngulo miden 100 m y 70 m.

Divide 64 en dos sumandos, de modo que al dividir el mayor entre el menor se obtenga 3 de cociente y 8 de resto.Solucin:

Representamos con x el mayor de los sumandos (dividendo), el otro ser 64 - x.

El planteamiento se obtiene de la ley de la divisin: Dividendo = Cociente divisor + resto: x = 3(64-x) + 8

Operando: 4x = 200. El segundo sumando ser 14.

La suma de un nmero ms su inverso es 13/6. Calclalo.Solucin:

Lamamos x al nmero pedido.

El enunciado dice:

Quitamos denominadores y ordenamos los trminos:

Resolvemos:

.

Si a cada uno de los dos trminos de una fraccin le sumamos 3, la fraccin resultante es equivalente a ; pero si a cada uno le restamos 4, resulta otra fraccin equivalente a . Halla la fraccin.Solucin:

Si la fraccin es

Por reduccin, multiplicando la primera ecuacin por r y la segunda por 11:

La fraccin buscada es

Con el nmero de fichas cuadradas que tengo, al formar un cuadrado me sobran 15, y si quiero formarlo con una ficha ms por lado me faltan 26. Cuntas fichas tengo?Solucin:

Sea x el nmero de fichas en uno de los lados del cuadrado completo.

El nmero de fichas que tengo es: .

El cuadrado incompleto tiene: fichas, que tambin son las que tengo

Igualando las expresiones anteriores:

Operando y agrupando los trminos obtenemos: 2x = 40, es decir, x = 20.

Tengo, por lo tanto, 415 fichas.

Un cuadrado tiene 144 ms de superficie que otro, y ste 4 m menos de lado que el primero. Halla los lados de dichos cuadrados.

Solucin:

Sea x el lado del cuadrado mayor. El lado del segundo cuadrado es: x - 4.

La relacin que hay entre las superficies es:

Operando y simplificando queda: 8x = 160, es decir, x = 20.

El lado del primer cuadrado mide 20 m y el del segundo 16 m.

La diagonal de un rectngulo mide 35 cm y sus lados son proporcionales a 3 y 4. Halla sus lados.Solucin:

Sea la constante de proporcionalidad x.

Los lados del rectngulo sern: 3x y 4x.

Por el teorema de Pitgoras:

Resolvemos la ecuacin: . La solucin negativa no tiene sentido en este problema.

Los lados miden 21 cm y 28 cm.

En un edificio se dedican a garaje 2/7 del nmero de plantas que tiene, para oficinas se dedican 2/5 de las restantes, y para viviendas las seis ltimas. Cuntas plantas tiene?Solucin:

Representamos el n de plantas del edificio con x.

Garaje + Oficinas + Viviendas, se plantea:

Multiplicando por el m.c.m.(5, 7) = 35, y operando: 10x + 14x - 4x + 210 = 35x

Agrupando trminos:

15x = 210.

Halla dos nmeros pares consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados sea 100.Solucin:

Los nmeros pares pedidos los representamos con 2n y 2n+2.

El enunciado dice:

Operamos y obtenemos la ecuacin:

EMBED Equation.38n = 96n = 12

Los nmeros son: 2n = 24 y 2n + 2 = 26. Tambin lo cumplen - 26 y - 24.

Queremos mezclar dos aceites industriales, A y B, de densidades 1,1kg/litro y 1,3 kg/litro, respectivamente, para obtener 50 litros de un aceite cuya densidad sea 1,16kg/litro. Qu cantidad de aceite se debe tomar de cada clase?Solucin:

Llamamos x e y a las cantidades en litros de aceite A y B, respectivamente.

El volumen debe ser el mismo antes y despus de la mezcla: x + y = 50.

Lo mismo debe ocurrir con el peso: 1,1x + 1,3y = 1,1650.

Multiplicamos por 10 la ltima, y resulta el sistema:

Sustituimos y = 50 - x en la 2 ecuacin:

11x + 13(50 - x) = 580 2x = 70 x = 35 litros

Sustituyendo: y = 15 litros.

Divide el nmero 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menor obtengas 11 de cociente y 8 de resto.Solucin:

Sean x e y con x > y las partes buscadas del nmero dado: x + y =392

La ley de la divisin aplicada a los datos del enunciado nos da: x = 11y + 8

Debemos resolver el sistema:

Restamos la segunda de la primera:

12y = 384 y = 32. Sustituyendo en la 1 ecuacin: x = 360.

En un campamento de verano hay tiendas dobles y triples. Si en total hay 20 tiendas y 52 sacos de dormir, cuntas tiendas hay de cada clase?Solucin:

Si x es el nmero de tiendas dobles e y el de triples:

Hay 20 tiendas:

Hay 52 sacos de dormir:

Por sustitucin despejando y en la primera ecuacin y sustituyendo en la segunda:

Resolviendo la segunda ecuacin:

Sustituyendo ese valor en la primera ecuacin:

Hay 8 tiendas dobles y 12 triples.

La densidad del alcohol puro es 0,79 kg./litro y la del agua 1 kg./litro. Si tenemos un alcohol cuya densidad es de 0,86 kg./litro, qu proporcin de alcohol puro y de agua contiene?Solucin:

Llamamos x e y a las cantidades de alcohol y de agua, respectivamente, en un litro del alcohol del problema.

Entonces: x + y = 1, y la igualdad de pesos por litro nos da la ecuacin: 0,79x + y = 0,86.

Multiplicamos por 100 la ltima, y tenemos el sistema:

Sustituimos x = 1 - y en la 2 ecuacin: 79(1 - y) + 100y = 86 21y = 86 - 79 = 7

Sustituyendo:.

Es decir, contiene 2/3 de alcohol puro y 1/3 de agua.

Un cesto tiene 72 unidades entre manzanas, peras y naranjas. Sabiendo que el nmero de manzanas es cinco veces el de peras y que el de naranjas es la semisuma de los otros dos, halla las unidades de cada tipo de fruta que contiene el cesto.Solucin:

Nmero de peras, x

Nmero de manzanas, 5x

Nmero de naranjas,

En el cesto hay 72 unidades:

Multiplicando por 2 y quitando denominadores:

Despejando: x = 8

Por tanto, el cesto tiene 8 peras, 40 manzanas y 24 naranjas.

Los lados de un tringulo rectngulo son proporcionales a los nmeros 5, 12 y 13, y su rea es . Calcula los lados.Solucin:

Llamamos x a la constante de proporcionalidad.

Los lados son: 5x, 12x y 13x, los menores sern los catetos.

El rea es:

. La solucin negativa no tiene sentido en este problema.

Los lados son: 15, 36 y 39.

Al dividir dos nmeros obtenemos de cociente 3 y 6 de resto. Si el divisor disminuye tres unidades, los nuevos cociente y resto aumentan en una unidad cada uno. Halla dichos nmeros.Solucin:

Sean D y d, dividendo y divisor, respectivamente, los nmeros buscados.

Aplicando la ley de la divisin las dos veces que propone el enunciado, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones: .

Igualando los segundos miembros de ambas: 3d+6 = 4d - 5 d = 11

Sustituyendo el valor calculado en la 1 ecuacin: D = 39.

Un padre tiene 47 aos y su hijo 20. Cuntos aos hace que la edad del padre era cuatro veces la del hijo?Solucin:

Representamos el n de aos transcurridos con x.

Hace x aos sus edades eran: 47 - x y 20 - x, respectivamente.

El enunciado dice: 47 - x = 4(20 - x)

Agrupando trminos:

3x = 33 aos.

Halla un nmero tal que el triple de l sea la sexta parte de su cuadrado.Solucin:

Representamos el nmero pedido con x.

El enunciado dice: .

Operamos y obtenemos una ecuacin de segundo grado incompleta:

Resolvemos sacando factor comn: x(18 - x) = 0 x = 0; x = 18.

Un ganadero quiere mezclar cierta cantidad de maz de 0,17 euros el kilo, con 300 kilos de cebada de 0,13 euros el kilo, para obtener un pienso para gallinas que resulte a 0,15 euros el kilo. Qu cantidad de maz necesitamos?Solucin:

Representamos la cantidad de maz con x.

El coste del pienso debe ser igual al valor del mismo despus de la mezcla: 3000,13 + 0,17x = 0,15(300 + x)

Agrupando trminos y resolviendo:

0,02x = 6 kilos.

La suma de un nmero ms la mitad de su cuadrado es 84. Calclalo.Solucin:

Llamamos x al nmero pedido.

El enunciado dice:

Quitamos denominadores:

Resolvemos: .

Hay dos nmeros que lo cumplen, 12 y -14.

En la ltima temporada, un equipo marc 88 goles. En casa marc el triple que fuera. Cuntos goles marc fuera?Solucin:

Si x es el nmero de goles que marc fuera, 3x es el nmero de goles que marc en casa.

La ecuacin a resolver es:

La solucin de la ecuacin: x = 22

Por tanto, marc 22 goles fuera.

Calcula las dimensiones de un rectngulo cuyo permetro es 60 y cuya altura es 2 unidades mayor que la base.Solucin:

Si x es la base e y, la altura, el sistema a resolver es:

Por reduccin:

La base mide 14 cm y la altura,16 cm.

Calcula dos nmeros cuya suma sea 191 y su diferencia 67.Solucin:

Si x e y son los dos nmeros, el sistema a resolver es:

Por reduccin:

Los nmeros son 129 y 62

Al aumentar 3 cm el lado de un octgono regular, su permetro resulta ser de 104 cm. Cul era el lado del octgono primitivo?Solucin:

Llamando x al lado del octgono inicial, x+3 es el lado del nuevo octgono

La ecuacin es:

Su solucin: x = 10

Por tanto, el lado del octgono inicial era de 10 cm.

Si 3 peridicos y 4 revistas cuestan 11 euros, y que 1 peridico y 2 revistas cuestan 5 euros, Cunto valen cada peridico y cada revista?Solucin:

Sean x el precio de un peridico e y el de una revista.

El sistema a resolver es:

Por reduccin, multiplicando la segunda ecuacin por -2:

El precio de un peridico es 1 euro y el de una revista 2 euros.

El permetro de un rectngulo mide 90 m. Si el lado mayor mide 5m ms que el menor, cunto miden sus lados?Solucin:

Representamos el lado menor del rectngulo con x. El mayor ser x+5.

El permetro es: 2x + 2(x+5) = 90

Agrupando los trminos:

La suma de tres nmeros pares consecutivos es 54. Halla dichos nmeros.Solucin:

Si el primer nmero es 2x, el segundo es 2x+2 y el tercero 2x+4

La ecuacin es:

Resolviendo se obtiene: x=8

Los nmeros son: 16, 18 y 20

1 Resolver la siguiente ecuacin:

Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(4, 5, 6)=60: 15(3x-1) - 12(1-4x) = 15(1-x) -10(14 -x)

Quitamos los parntesis:

45x - 15 - 12 +48x = 15 - 15x -140+10x


98x = -98 x = -1.

2 Resolver las siguientes ecuaciones sin utilizar la frmula general:

a)

b)

Solucin:

a) Se trata de una ecuacin de segundo grado incompleta. Despejamos:

b) Pasamos el trmino del segundo miembro al primero, y sacamos factor comn al ser incompleta:3x(x-4) = 0, de donde x = 0; x = 4.

3 Resolver la siguiente ecuacin de segundo grado sin usar la frmula:

Solucin:

Pasando todos los trminos al primer miembro y agrupando los semejantes:

Despejando:

4 Resuelve la siguiente ecuacin de segundo grado, formando un cuadrado perfecto: .

Solucin:

Buscamos el cuadrado de un binomio con los trminos con x: ( +23x + ) - - 27 = 0

Lo completamos con el cuadrado del segundo trmino del binomio: ( +23x + 9) - 9 - 27 = 0

Despejamos el parntesis en:

(x + 3)2 - 36 = 0.

5 Resuelve la siguiente ecuacin:

Solucin:

Multiplicamos por x(x - 3): 10x - 15(x - 3) = 2x(x - 3)

Operamos y agrupamos trminos: 10x - 15x + 45 =

EMBED Equation.3

Resolvemos:

.

Se comprueba que las dos soluciones son vlidas.


Solucin:

Multiplicamos por 5(x-3): (x - 3)(x + 2) - 14(x - 3) = 25

Operamos y agrupamos trminos:

Resolvemos:

.

Se comprueba que las dos soluciones son vlidas.


Solucin:

Operamos:

Simplificamos y multiplicamos por el m.c.m.(3, 4) = 12: - 3 + 32x = 9 - 4x


36x = 12 .


a)

b)

Solucin:

a) Multiplicamos por m.c.m.(3, 5) = 15:

Agrupando los trminos resulta una ecuacin incompleta de segundo grado:

Resolvemos:

b) Operando: = - 6

Resulta una ecuacin incompleta de segundo grado, en la que sacamos factor comn y resolvemos:

x(6x + 5) = 0

.

9 Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los cuadrados ni utilizar la frmula general:

a)

b)

Solucin:

a) Despejamos y hallamos el valor del parntesis:

Ahora, podemos despejar x:

b) Podemos despejar el parntesis como en una ecuacin de segundo grado incompleta sin trmino independiente.

Sacamos factor comn y operamos: 5(x - 3)[(x - 3) + 2] = 0 5(x - 3)(x - 1) = 0

Alguno de los factores debe ser cero:

x = 3; x = 1.

10 Resolver la siguiente ecuacin sin utilizar la frmula general:

Solucin:

Multiplicamos en cruz los trminos: (x + 3)(2 - x) = 6

Operamos y resulta una ecuacin incompleta de segundo grado:

Sacamos factor comn y resolvemos:

x(x + 1) = 0 x = 0; x = -1.


Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 9) = 18:

Quitamos los parntesis y dividimos por 10:

3x - 2 - 72 + 54x = 9x - 42


48x = 32 .

12 Resolver la siguiente ecuacin sin utilizar la frmula general:

Solucin:

Multiplicamos en cruz los trminos: (3x + 2)(3x - 2) = 21

Operamos y resulta una ecuacin incompleta de segundo grado:

Resolvemos:

.


Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 5, 6, 9) = 90:

Quitamos los parntesis y dividimos por 2:

6x - 9x + 3 + 8 = 20 - 30x


27x = 9 .


Solucin:

Multiplicando por el m.c.m.(2,3,6) = 6 y quitando parntesis:


Despejando:

Como no existe ningn nmero real cuyo cuadrado sea negativo, la ecuacin no tiene solucin

15 Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuacin de segundo grado:

Solucin:

Operamos:

Agrupamos los trminos:

Resolvemos:

.


a)

b)

Solucin:

a) Operamos y agrupamos trminos:

Es incompleta. Ponemos x como factor comn: 3x(x - 7) = 0, luego, x = 0; x = 7.

b) Al agrupar los trminos resulta una ecuacin incompleta de segundo grado:

EMBED Equation.3


Solucin:

Quitando parntesis:


Las soluciones son: y


Solucin:

Quitando parntesis:

Multiplicando por el m.c.m.(2,4) = 4:

Agrupando trminos semejantes a ambos lados de la igualdad:

19 Una solucin de la ecuacin es. Cunto vale c? Cul es la otra solucin?Solucin:

Para calcular c sustituimos la solucin conocida en la ecuacin:

Operando: c = - 6/2 = - 3.

La ecuacin es: , y sus soluciones:

.


Solucin:

Multiplicando por 3 y quitando parntesis:



Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3) = 6:


90x + 225 - 60x + 100 = 216 + 144x + 52


114x = 57 .


Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 4)=12: 6(5x+7) - 9(x+3) = 4 (2x+4) + 12


30x + 42 - 9x - 27 = 8x + 16 + 12


13x = 13 x = 1.


a) (x -6)(x + 6) =

b) 3x(2x + 1) =

Solucin:

c) Operamos:

Agrupamos los trminos y resulta una ecuacin incompleta:

Resolvemos:

d) Operamos:

Agrupamos los trminos y resulta una ecuacin en la que podemos sacar factor comn x: x(5x + 3) = 0

Entonces, x = 0 5x + 3 = 0, es decir, x = -3/5.


a)

b)

Solucin:

e) Multiplicamos por el m.c.m.(3, 27) = 27:

Resulta una ecuacin de segundo grado incompleta que resolvemos:

f) Multiplicamos por el m.c.m.(5, 15) = 15:

Resulta una ecuacin incompleta en la que podemos sacar factor comn x: x(3x - 1) = 0

Entonces, x = 0 3x - 1 = 0, es decir, x = 1/3.


Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(3, 4) = 12:


360 - 240x - 18x + 30 = 8x - 9


266x = 399 .

26 Determina el valor de c para que la ecuacin tenga una solucin doble (iguales las dos soluciones).

Calcula el valor de dicha solucin.Solucin:

El valor del discriminante debe ser cero:

La ecuacin es: , y su solucin:

.


Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(2, 3, 4)=12: 18(x+2) - 4(2x-1) = 4 - 3(x+1)


18x +36 - 8x + 4 = 4 - 3x - 3


13x = - 39 x = - 3.


a) (2x -1)(2x + 1) = 24

b) x(3x + 1) = x(2x + 3)Solucin:

g) Operamos:

Agrupamos los trminos y resulta una ecuacin de segundo grado incompleta:

Resolvemos:

h) Operamos:

Agrupamos los trminos y resulta una ecuacin en la que podemos sacar factor comn x: x(x - 2) = 0

Entonces, x = 0 x - 2 = 0, es decir, x = 2.

29 Resolver la siguiente ecuacin sin utilizar la frmula:

Solucin:

Quitando parntesis:

Pasando todos los trminos en el primer miembro y agrupando los semejantes:

Despejando x:

No existe ningn nmero real cuyo cuadrado sea negativo. Por tanto, la ecuacin no tiene solucin.

30 Halla el valor de b para que la ecuacin tenga una solucin doble (iguales las dos soluciones). Calcula dicha solucin.Solucin:

El discriminante debe ser nulo:

Las ecuaciones son: y

Sus soluciones:

y , respectivamente.

31 Sin resolverlas, indica si las siguientes ecuaciones no tienen solucin, tienen una o dos soluciones:

a)

b)

c) 4x(x 5) = -25Solucin:

a) Calculamos el discriminante:

Como es positivo tiene dos soluciones distintas.

b) La ecuacin es:

El discriminante es:

Como es negativo no tiene soluciones reales.

c) Operando se obtiene: .

El discriminante es: . La ecuacin tiene solamente una solucin.

32 Resolver la siguiente ecuacin sin utilizar la frmula:

Solucin:

Quitando parntesis:


Sacando factor comn e igualando cada uno de ellos a 0:


Solucin:


Despejando:


Solucin:

Quitando parntesis y agrupando los trminos semejantes:

Sacando factor comn e igualando cada uno de ellos a 0:


Solucin:

Las soluciones son: y

36 Desarrolla las operaciones y resuelve la siguiente ecuacin de grado dos: 5x(x + 1) + 10(2x + 3) + 60 = 20(1 - x).Solucin:

Operamos:

Agrupamos los trminos: 5x2 + 45x + 70 = 0. Simplificamos:

Resolvemos:

.


Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(3,6) = 6 la ecuacin y se quitan denominadores:



a)

b)

Solucin:

a) Se trata de una ecuacin de segundo grado incompleta. Despejamos:

b) Como carece de trmino independiente, sacamos x como factor comn: 5x(x-3) = 0, luego x = 0; x = 3.


Solucin:

Quitando parntesis: Agrupando trminos semejantes a ambos lados de la igualdad:


Solucin:

Quitando parntesis:



Solucin:

Multiplicamos por el m.c.m.(5,6,10)=30: 3(8x+5) - 5(2-5x) = 60 -6x

Quitamos los parntesis: 24x + 15 - 10 +25x = 60 - 6x


55x = 55 x = 1.


Solucin:

Multiplicando por 4 y quitando parntesis:


43 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:

a)

b) (3x - 5)(2x - 3) = 0

Solucin:

a) Sustituimos en la expresin que nos da las soluciones:

b) Nos da un producto de dos factores igual a cero, luego, se puede resolver sin desarrollar y aplicar la frmula de resolucin:

3x - 5 = 0 x = 5/3, y 2x - 3 = 0 x = 3/2.

1 Resuelve utilizando el mtodo de reduccin el siguiente sistema de ecuaciones:

Solucin:

Multiplicamos la 1 ecuacin por 2 y la 2 por 5:

Sumamos y obtenemos: 26x = 78 x = 3

Sustituimos en la 1 ecuacin el valor hallado:

9 + 5y = -1 y = -2. Solucin: (3, -2).

2 Resuelve utilizando el mtodo de igualacin el siguiente sistema de ecuaciones:

Solucin:

Se despeja x en las dos ecuaciones:

Se igualan los resultados:

Se calcula x:

La solucin es x = 5, y = 3

3 Resuelve utilizando el mtodo de igualacin el siguiente sistema de ecuaciones:

Solucin:

Se despeja y en las dos ecuaciones:


Se calcula y:

La solucin es x = -2, y = -5

4 Resuelve utilizando el mtodo de sustitucin el siguiente sistema de ecuaciones:

Solucin:

Despejamos y en la 1 ecuacin: y = 5x - 15

Sustituimos en la segunda: 10x + 3(5x - 15) = 55

Operamos y agrupamos trminos: 25x = 100 x = 4

Sustituimos en y: y = 5. Solucin: (4, 5).

5 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Solucin:

Operamos y quitamos parntesis y denominadores en las ecuaciones:


Sumando:

Como resulta una igualdad falsa, el sistema no tiene solucin


Solucin:

Quitando denominadores en las ecuaciones:


Dividiendo por 5 la 1 ecuacin y sumando:

Se calcula x:

La solucin es x = , y =


Solucin:

Operamos y quitamos denominadores en las ecuaciones:

Agrupamos los distintos trminos:

(*)

Multiplicamos la 1 ecuacin por 3, y restamos:

-14x = 84 x = -6

Sustituyendo el valor hallado en la 1 ecuacin de (*):

18 + y = 26 y = 8. Solucin: (-6, 8)

8 Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones sea:

Solucin:

Hay muchas soluciones para el enunciado.

Por ejemplo:

Sistema compatible:

Sistema incompatible:


Solucin:



Multiplicando por 3 la 1 ecuacin y la 2 por 5 y sumando:

Se calcula y:


10 Resuelve, si es posible, y comenta los siguientes sistemas:

a)

b)

Solucin:

a) Hallamos x e y con las dos primeras ecuaciones.

Multiplicamos para aplicar el mtodo de reduccin:

Restamos las ecuaciones anteriores: y = 5. Sustituyendo en la 1: 2x - 15 =1 x = 8

Comprobamos si la pareja de nmeros (8, 5) verifica la tercera ecuacin: 58 - 85 = 0, luego, si es solucin.

b) Las dos primeras ecuaciones son las mismas. La solucin de ambas, (8, 5), ahora, no verifica la tercera ecuacin, por lo tanto, el sistema dado no tiene solucin.


Solucin:



Multiplicando por 3 la primera ecuacin y sumando:

Se calcula x:



Solucin:



Sumando:

Se calcula y:

La solucin es x = 1 y =

13 Escribe un sistema de dos ecuaciones compatible y otro incompatible en los que una de las ecuaciones sea

Solucin:

Hay muchas soluciones para el enunciado.

Por ejemplo:

Sistema compatible:

Sistema incompatible:


Solucin:

Quitando parntesis y denominadores:

Como y est despejada en la primera ecuacin, se sustituye en la segunda:

Se calcula y:


15 Justifica que los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes:

a) ,

b) ,

c)

Solucin:

En el sistema b) se ha multiplicado la segunda ecuacin por 2, luego, es equivalente al primero. En el sistema c) la segunda ecuacin se ha obtenido sumando las dos del sistema b), luego, es equivalente al b), y, por lo tanto, tambin al sistema a).


Solucin:

Agrupando trminos:

Sumando las dos ecuaciones:

Sustituyendo en la 2 ecuacin, se calcula y:



Solucin:

Quitando denominadores:

Despejando x de la primera ecuacin:

Sustituyendo en la 2:

La solucin es x = 2, y = 3.


Solucin:


Despejando y de la primera ecuacin:

Sustituyendo en la 2 y resolviendo:

Se calcula y:



Solucin:

Quitando parntesis:


Sumando:

Se calcula x:

La solucin es x =5, y = 2


Solucin:

Quitando parntesis:



Sustituyendo en la segunda:

Se calcula x:



Solucin:


Despejando x en la 1 ecuacin:

Sustituyendo en la 2 se calcula y:

Se halla x:



Solucin:


Multiplicando por 1 la 2 ecuacin y sumando:

Se calcula y:



Solucin:

Multiplicamos la 1 ecuacin por 3, y la 2 por 4, para eliminar los denominadores:

Multiplicamos la segunda por -3, para aplicar el mtodo de reduccin:

Sumamos las ecuaciones: -26x = -130 x = 5


y = 6. Solucin: (5, 6)


Solucin:

Quitando parntesis:



Se calcula y:



Solucin:

Quitando parntesis:


Sumando:

Se calcula y:



Solucin:




Se calcula x:



Solucin:

Quitamos parntesis:

Multiplicando la primera ecuacin por 3 y sumando:

Sustituyendo en la 2 ecuacin se calcula x:



Solucin:



Sustituyendo en la 2:

Se calcula x:



Solucin:

Multiplicamos la 1 ecuacin por 6, y la 2 por 15, para eliminar los denominadores:

Multiplicamos en el ltimo sistema la 1 ecuacin por 5, y la 2 por 3:

Ahora, aplicamos mtodo de reduccin. Restamos las ecuaciones: y = 15


x = 12. Solucin: (12, 15)


Solucin:


Sumando:

Se calcula y:



Solucin:

Quitando parntesis: Agrupando los trminos: Despejando y de la segunda ecuacin: Sustituyendo en la primera: Se calcula y: La solucin es x = , y =


Solucin:



Multiplicando por 4 la 1 ecuacin y la 2 por 3 y sumando:

Se calcula y:



Solucin:

Se despeja x en la segunda ecuacin:

Se sustituye en la primera y se resuelve la ecuacin que resulta:

Se calcula x:



Solucin:

Se despeja y en la primera ecuacin:

Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuacin que resulta:

Se calcula y:

La solucin es x = 2, y = 2.

35 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Solucin:

Multiplicando la 1 ecuacin por 3 y la 2 por 2 y sumando los resultados:

Se sustituye este valor en una ecuacin y se calcula y:

La solucin es x =, y =


Solucin:

Multiplicando la 1 ecuacin por 2 y sumando el resultado se obtiene:



37 Resuelve por el mtodo que prefieras el siguiente sistema de ecuaciones:

Solucin:

Se despeja y en la primera ecuacin:

Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuacin:

Se calcula y:

La solucin es x =, y =.


Solucin:

Multiplicando la 2 ecuacin por 3 y sumando el resultado se obtiene:




Solucin:

Multiplicamos la 1 ecuacin por 3, y la 2 por 2:

Multiplicamos la 1 ecuacin por 3 para aplicar el mtodo de reduccin:

Sumamos las dos ecuaciones: 14x = 84 x = 6


4 - y = 8 y = -4. Solucin: (6, -4)


Solucin:

Multiplicamos por 10 la 1 ecuacin:

Sumamos las dos ecuaciones: 8x = 80 x = 10

Sustituyendo el valor hallado en la segunda ecuacin:

30-2y = 10 y = 10. Solucin: (10, 10)


Solucin:

Se despeja x en las dos ecuaciones:


Se calcula x:



Solucin:

Multiplicando la 1 ecuacin por 3 y sumando el resultado:

Se sustituye este valor en una ecuacin y se calcula x:

La solucin es x =5, y = 2

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Ejercicios y-problemas-de-ecuaciones-y-sistemas-3c2ba

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