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r s EJERCICIOS SACADOS DE PAU. TANGENCIAS. O c1 c2 t 2. Obtener la circunferencia de menor radio posible que sea tangente a las circunferencias c1 y c2, de igual radio, y a la recta t, siendo esta última paralela a la recta que une los centros de ambas circunferencias. 1. Hallar gráficamente las circunferencias tangentes a la circunferencia de centro O y a las rectas r y s.
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r
s
EJERCICIOS SACADOS DE PAU. TANGENCIAS.
O
c1 c2
t
2. Obtener la circunferencia de menor radio posible que sea tangente a las
circunferencias c1 y c2, de igual radio, y a la recta t, siendo esta última paralela a la
recta que une los centros de ambas circunferencias.
1. Hallar gráficamente las circunferencias tangentes a la circunferencia de centro O y a
las rectas r y s.
EJERCICIOS SACADOS DE PAU. TANGENCIAS.
A
B
t
3. Representar la arandela cuya circunferencia exterior es tangente a la recta t y la
interior, de 10 mm menos de radio, pasa por los puntos A y B.
c A
B
4. Determinar las circunferencias tangentes a la circunferencia c dada, que pasan por los
puntos A y B. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada.
EJERCICIOS SACADOS DE PAU. TANGENCIAS.
5. Determinar la circunferencia tangente a la recta t que pasa por el punto R y tiene su
centro en r. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada.
t
r R
6. Dada la circunferencia de centro C y el punto P de la recta r, hallar las circunferencias
tangentes a la dada y a la recta r en el punto P.
C
P
r
EJERCICIOS SACADOS DE PAU. TANGENCIAS.
7. Dibujar las circunferencias que siendo tangentes a la recta r lo sean también a la
circunferencia c en T. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción
empleada.
8. Dibujar las circunferencias tangentes a c1, que pasen por el punto P y tengan su centro
en la recta r.
c1
P
r
c
T
r
EJERCICIOS SACADOS DE PAU. TANGENCIAS.
c
TP
O
9. Determinar la circunferencia que pasa por P y es tangente a la circunferencia c en el punto T. ( P.A.U. Comunidad de Madrid, curso 2004/2005).
10. Determinar las circunferencias tangentes a la c que pasan por los puntos A y B. (Modelo P.A.U. Comunidad de Madrid, curso 2004/2005).
c
A
B
11. Dada la semirrecta S, dibujar desde su extremo V la recta tangente a la circunferencia de radio 36 mm. Dibujar también la circunferencia mayor tangente a las dos rectas y a dicha circunferencia. ( P.A.U. Castilla- La Mancha).
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36
35
5 VS
Vs
12. Completar a escala 3/2 el dibujo de la pieza croquizada, determinando gráficamente los puntos de tangencia. (P.A.U. Comunidad de Madrid, curso 2005/2006).
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r
s
EJERCICIOS SACADOS DE PAU. TANGENCIAS.
d/2
R R+d/2
O1
O2O
1. Hallar gráficamente las circunferencias tangentes a la circunferencia de centro O y a
las rectas r y s.
c1 c2
t
2. Obtener la circunferencia de menor radio posible que sea tangente a las
circunferencias c1 y c2, de igual radio, y a la recta t, siendo esta última paralela a la
recta que une los centros de ambas circunferencias.
t’
tg
Rc
O1 O2
T0
Dilatación en +Rc
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A
B
t
3. Representar la arandela cuya circunferencia exterior es tangente a la recta t y la
interior, de 10 mm menos de radio, pasa por los puntos A y B.
t’
E.r (c. Aux, c2)
E.r (t’, c2)
C.r (c.aux, t’, c2)
C.aux
T’2
T2
T1
3. En una hipotética solución observamos que la circunferencia menor es producto de
una contracción de la mayor en 10cm, y además de pasar por A y B, es tangente a una
recta paralela a t que está 10 cm más cerca del centro de las soluciones. Por ello
podemos considerar una contracción del conjunto circunferencia mayor- recta t. Una
vez trazada t’, la paralela a t, se trata de dibujar una circunferencia tangente a una
recta y que pasa por dos puntos. Para ello dibujamos una circunferencia auxiliar que
pase por A y B, y hallamos el centro radical que tiene la misma potencia para esta
circunferencia y para la solución interior. Por medio del segmento tangente a la
circunferencia auxiliar obtenemos el punto de tangencia T2 que nos permite hallar la
circunferencia menor. Este punto, desplazado a través de una perpendicular sobre t se
transforma en el punto de tangencia T1 que nos permite dibujar la circunferencia
exterior de la arandela.
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c A
B
4. Determinar las circunferencias tangentes a la circunferencia c dada, que pasan por los
puntos A y B. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada.
S1 S2
E.r (c, circ. aux.)
E.r (S1, S2, circ. Aux.)
C.r (c, S1, S2, circ. Aux.)
En este caso se procede igual que si los puntos estuvieran fuera de la circunferencia. La
circunferencia auxiliar nos permite hallar un punto que tiene la misma potencia para este
misma, la circunferencia dato y las soluciones, potencia que se expresa mediante un
segmento tangente. Este segmento se define por unos puntos de tangencia que, unidos
con el centro de la circunferencia c nos da los centros de las soluciones.
T1 T2
O1 O2
Circunferencia auxiliar
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5. Determinar la circunferencia tangente a la recta t que pasa por el punto R y tiene su
centro en r. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción empleada.
t
r R
6. Dada la circunferencia de centro C y el punto P de la recta r, hallar las circunferencias
tangentes a la dada y a la recta r en el punto P.
C
P = T
r = e.r (r, S1, S2)
O
Tangente a O en R
Recta de centros
Circunferencia auxiliar (tg. A r por P)
E.r (C, circ. Aux.)
C. r (r, S1, S2, circ. aux.)
Segmento tangente =√K
T2
T1
O2 O1
S2
S1
Procedimiento 1: Buscando un punto en r que tenga la misma potencia para r (es una
indeterminación), para C y para las soluciones, por medio de una circunferencia auxiliar,
para la que también es válido el centro radical, pues debe ser tangente a r en P. Una vez
hallado el centro radical, ya tenemos le segmento tangente, CP. Trasladándolo sobre C,
obtenemos los puntos de tangencia que unidos con el centro de dicha circunferencia
producen las rectas que nos permiten hallar los centros de las soluciones en la línea de
centros, perpendicular a r por P.
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6. Dada la circunferencia de centro C y el punto P de la recta r, hallar las circunferencias
tangentes a la dada y a la recta r en el punto P.
C
P
r
Rc
Rc
Rc
P’
r’
O1O2
P’’
r’’
Procedimiento 2: Partiendo de una hipotética solución, observamos que si dilatamos la
circunferencia solución menor aumentándola el radio de la circunferencia C, obtenemos
una circunferencia solución auxiliar que pasaría por el centro C y sería tangente a otra
recta r’, paralela a r y alejada de este punto una distancia igual a la de la dilatación, Rc.
Esto simplifica el problema, pues sabiendo que los centros de las soluciones están en la
recta perpendicular a r por P, basta con trazar el segmento P’’- C y dibujar su mediatriz
para, en el punto de corte de esta con la línea de centros, obtener O1.
Para hallar la solución mayor procedemos de forma contraria, ya que simplificamos el
problema, es decir, hacemos pasar la solución auxiliar por el centro C, si contraemos en
lugar de dilatar la solución, y acercamos la recta r en vez de alejarla, siempre una medida
igual, Rc. La mediatriz de P’’-C es la que nos permite hallar el centro de esta segunda
solución.
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7. Dibujar las circunferencias que siendo tangentes a la recta r lo sean también a la
circunferencia c en T. Exponer razonadamente el fundamento de la construcción
empleada.
8. Dibujar las circunferencias tangentes a c1, que pasen por el punto P y tengan su centro
en la recta r.
c1
P
r
c
T
r
P’
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c
TP
O
9. Determinar la circunferencia que pasa por P y es tangente a la circunferencia c en el punto T. ( P.A.U. Comunidad de Madrid, curso 2004/2005).
EJERCICIOS SACADOS DE PAU. TANGENCIAS.
c
A
B
10. Determinar las circunferencias tangentes a la c que pasan por los puntos A y B. (Modelo P.A.U. Comunidad de Madrid, curso 2004/2005).
36
35
5 VS
11. Dada la semirrecta S, dibujar desde su extremo V la recta tangente a la circunferencia de radio 36 mm. Dibujar también la circunferencia mayor tangente a las dos rectas y a dicha circunferencia. ( P.A.U. Castilla- La Mancha).
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VR
R
R
s
Este ejercicio consta de dos trazados diferentes, una vez situada la circunferencia de radio 18
mm.
UNO: se trata de trazar una recta tangente a una circunferencia desde un punto exterior, que
en este caso es V. Para conseguirlo basta con dibujar el arco capaz de 90 ° del segmento VO,
siendo O el centro de la circunferencia. Los puntos de corte de este arco capaz con la
circunferencia nos darán los puntos de tangencia, de los que solo elegiremos el superior para
unirlo con V y conseguir la tangente buscada.
DOS: para t razar la circunferencia tangente a la que ya tenemos , a la semirrecta s y a la recta
tangente recién trazada , reduciremos el problema a otro que ya conocemos, como es hallar la
circunferencia tangente a dos rectas que se cortan y que pase por un punto dado dentro d el
ángulo que forman las rectas. Para ello, aplicamos al conjunto una dilatación de longitud R
(radio de la circunferencia, es decir, 18mm.), con lo que las rectas tangentes a la primera
circunferencia se alejan mientras que la circunferencia queda reducid a a su centro.
O
V’
36
35
5 VS
11. Dada la semirrecta S, dibujar desde su extremo V la recta tangente a la circunferencia de radio 36 mm. Dibujar también la circunferencia mayor tangente a las dos rectas y a dicha circunferencia. ( P.A.U. Castilla- La Mancha).
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VR
R
R
s
Una vez situados estos elementos, dibujamos la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas
(pueden ser las originales ya que comparten la misma bisectriz) . En ella debe estar el centro de
la circunferencia solución. Después, trazamos desde el vértice V’ otra recta que pase por el
centro de la circunferencia, O. A continuación dibujamos una circunferencia cualquiera (C1),
con la condición de que sea tangente a las dos rectas dilatadas . La circunferencia que pase por
O (en línea discontinua) será homotética de esta última. Desde el centro de esta circunferencia
auxiliar C1, trazamos los radios que van a los puntos de corte de esta con la recta que sale de V’
y pasa por O. Dibujamos desde O un segmento paralelo a uno de esos radios, el que asciende a
la izquierda, y así obtenemos el punto O s, centro de la circunferencia que pasa por O y es
tangente a las rectas dilatadas (en azul). Dibujamos esta circunferencia (línea discontinua) , y le
restamos el radio R que al principio utilizamos para la dilatac ión. Al restar R, obtenemos la
circunferencia solución (en rojo) .
*No olvidemos que para realizar ejercicios de tangencias es IMPRESCINDIBLE señalar los
puntos de tangencia utilizados.
O
V’
C1
Os
