VECTORES

1. Dados los siguientes vectores: ; y .

Determinar:a) b) c) d)e) El ángulo que forma el vector con cada uno de los ejes coordenados.f) El ángulo entre los vectores: y

Solución:a)

b)

c)

d) =

e) Ángulos que forma con los ejes coordenados

Con el eje X :

Con el eje Y :

Con el eje Z :

f) Angulo entre los vectores

2. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30ª respecto al semieje positivo de las x.

Solución:Ligamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos en cada uno de los semieje

de donde

de donde

3. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura

Solución:

Se aplica el teorema de Pitágoras

4. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F 1

= 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.

Solución:Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares

Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de PitágorasCalcular la dirección Grafica de la solución

5. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades se encuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto escalar y el producto vectorial. Sol: PE = 75 unidades y PV = 129,9 unidades.

6. Cuatro vectores fuerzas coplanarios están aplicadas a un cuerpo en un punto 0, como lo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante.

7. Dados los vectores A (2,4,-2); B (-1,3,2), determina:a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares.b. Determina el vector suma y su módulo.c. Calcula el vector  V= 2A-B y su módulo.

8. Dados los vectores: A (2,-1,2)    B (4,0,-2)    C (0,0,1)a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas.b) Determina el vector D= A +1/2 B –C.c) Efectúa  el producto escalar de A y B.

9. Dados los vectores  A(3,0,-1) y B(0,-2,0) determina:d. El producto escalare. El producto vectorial.

10.Exprese los vectores A, B, C , D , E y F en términos de los vectores unitarios. En la figura cada cuadrado es una unidad.

A

11.Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular:a) su producto escalar b) el ángulo que formanc) los cosenos directores del vector B.

CINEMATICA

1. Un cuerpo que se mueve con velocidad constante de 3 m/s, se encuentra situado a 15 m a la derecha del origen cuando comienza a contarse el tiempo. Escribe las ecuaciones que describen su movimiento.

Solución:

Ecuaciones generales para el movimiento rectilíneo y uniforme: Valores de y v para este caso: Ecuaciones particulares para este movimiento:

2. El movimiento de un cuerpo obedece a la ecuación siguiente: Indica el tipo de movimiento del cuerpo y realiza un esquema de su trayectoria.

a) ¿Qué aspecto tendrán las gráficas s/t y v/t?b) ¿Cuánto tiempo tardará en pasar por el origen?

Solución:

El cuerpo se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U), ya que la ecuación s/t es del tipo , siendo los valores de las constantes, para este caso: el signo menos se debe a que inicialmente se encuentra situado a la izquierda del origen.v = 5 m/s el signo positivo nos indica que se mueve hacia la derecha.

a) Graficas

c) Cuando pase por el origen se cumplirá

3. Dado el siguiente esquema

a) Escribir las ecuaciones que describen el movimiento de los puntos considerados.

b) ¿A qué distancia del origen se encuentran?

Solución:

a) Para el punto A: Luego: Para el punto B: Luego:

b) Cuando se encuentren, ambos estarán situados a la misma distancia del origen. Es decir:

Se encuentran al cabo de 10s.Para saber a que distancia del origen se encuentran, sustituimos el valor obtenido para el tiempo en cualquiera de las ecuaciones, entonces

, luego se encuentran a 40 m a la izquierda del origen.

4. Un golfista logra un hoyo en uno en tres segundos después de que la pelota fue golpeada. Si la pelota viajó con una rapidez promedio de 0.8 m/s, ¿Cuan lejos se encontraba el hoyo?

Solución:

5. Dos corredores A y B parten del mismo lugar. A partió 30 segundos antes que B con una velocidad constante de 5 m/s. B sigue la misma trayectoria con una velocidad constante de 6 m/s. ¿A qué distancia del punto de partida el corredor B alcanzará a A?

Solución:

Distancia recorrida por A = Distancia recorrida por B.

El corredor B alcanzará al corredor A a los 900 m del punto de partida.

6. Un vehículo partió del reposo con una aceleración constante y al cabo de 4s alcanzó una rapidez de 20m/s. Suponiendo que el vehículo adquirió un MRUA, calcular su aceleración y la distancia que recorrió durante esos 4s.

Solución:

7. Un pasajero que va a tomar el autobús observa que justo cuando le faltan 30 m para llegar a la parada, el vehículo emprende la marcha con una aceleración de 0,3 m/s2. Justo en ese momento, el peatón va corriendo hacia el autobús con velocidad constante de 6 m/s.

a) Haz un dibujo de la situación indicando donde tomas el punto de referencia. b) Escribe las ecuaciones del movimiento del pasajero (ecuación de la posición) y

del autobús (ecuación de la posición y de la velocidad).c) ¿Conseguirá alcanzar el pasajero al autobús?. En caso afirmativo, indica

cuando y donde. Interpreta el resultado

Solución:

a)

b) Pasajero: Se mueve con velocidad constante de 6 m/s y pasa por el origen cuando arranca el autobús. La ecuación de su movimiento es:Autobús: Se mueve con un movimiento uniformemente acelerado partiendo del reposo (v o

= 0). Al iniciar el movimiento se encuentra a 30 m a la derecha del origen, es decir s o

=+30m.

La ecuación del movimiento es:

La ecuación de la velocidad es:

c) Conseguirá alcanzar al autobús si se encuentran en la misma posición al mismo tiempo. Vamos a hallar el tiempo que tiene que transcurrir para que el pasajero y el autobús se encuentren en la misma posición, es decir, para que SPASAJERO = SAUTOBÚS.

Es una ecuación completa de segundo grado:

La resolvemos:

Interpretamos el resultado: Los dos tiempos son positivos luego los dos son posibles. ¿Cómo puede ser esto?. El pasajero alcanza al autobús a los 5,9 s y se sube (si el conductor se da cuenta y para). Si no lo hiciera, adelantaría al autobús pero como éste va aumentando su velocidad con el tiempo, alcanzaría al pasajero a los 34,1 s. Vamos a suponer que se sube en la primera oportunidad.¿Qué espacio habrá recorrido? Sustituimos en la ecuación del movimiento del pasajero o del autobús el tiempo por 5,9s: (A 35, 4 metros de la posición inicial del pasajero, es decir, del origen).

8. En el instante que un automóvil parte del reposo con aceleración constante de 2 m/s2 , otro automóvil pasa a su lado con velocidad constante de 10 m/s. Calcular:

a) al cabo de cuanto tiempo, el primero vuelve a alcanzar al segundob) ¿Qué velocidad tendrá en ese momento el primer auto?

Solución:

a) En el instante que el automóvil alcanza al tractor, los dos vehículos han realizado el mismo desplazamiento Dx. Si representamos con la letra “A” al tractor y con la letra “B” al automóvil, nos queda:

Al cabo de 10s el primer móvil vuelve a alcanzar el segundo.

b)

El primer móvil tiene una velocidad de 20m/s al momento de ser nuevamente alcanzado.

9. Desde una altura de 50m se deja caer una piedra. Calcular el tiempo que utiliza para llegar al suelo.

Solución:

10.Desde una altura de 25m se deja caer una piedra. Otra es lanzada verticalmente hacia abajo un segundo después que se soltó la primera. Las dos llegan al suelo al mismo tiempo. Calcular la velocidad inicial de la segunda piedra.

Solución:

1ª piedra:

2ª piedra:

Con la primera piedra se va a calcular el tiempo que utilizan ambas para llegar al suelo, el

cual es el tiempo final

Velocidad inicial de la segunda piedra

11. Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con la velocidad inicial ; despreciando la resistencia del aire, determine:

a) La velocidad del cuerpo al cabo de 10sb) La velocidad del cuerpo al cabo de 30sc) La posición del cuerpo a los 15s del lanzamientod) La altura máxima que puede alcanzare) El tiempo de subida

Solución:

a)b) el signo menos significa que

el cuerpo viene en dirección contraria a la inicial, o sea que ya viene descendiendo

c)

.resultante fuerza la es derecha la hacia

amN5

Newton5amN5N10

d) La máxima altura se alcanza cuando la , entonces:

despejando de está fórmula ( t ), el tiempo de subida se obtiene,

cuando la , luego

DINAMICA

1. 2 fuerzas contrarias actúan sobre un cuerpo como indica la figura. Plantear la 2da ley de Newton.

Si tengo 2 fuerzas que actúan sobre el objeto, tengo que plantear que la suma de las fuerzas es “m.a”. Ahora. Ojo. La fuerza de 10 es positiva porque va como la aceleración, y la fuerza de 5 es negativa porque va en sentido contrario.

2. Calcular la aceleración del cuerpo. Masa del cuerpo 10 Kg.

El cuerpo va a acelerar para la derecha porque la fuerza 20 N es mayor que la suma de las otras dos ( 15 N ). Planteo la 2da ley:

11

3. Construir los diagramas de cuerpo libre en los siguientes casos

3.1. Cuerpo apoyado sobre el piso:

3.2. Cuerpo que cuelga de una soga.

3.3. Cuerpo que es elevado hacia arriba con aceleración a.

GRUA →

3.4. Dos cuerpos unidos por una soga que son arrastrados por una fuerza F.

Del cuerpo 1 se obtiene: Tc = m1. aDel cuerpo 2 se obtiene: F-Tc = m2.a

Fuerza que el piso ejerce sobre el cuerpo. ( se llama normal )

Fuerza que ejerce La Tierrasobre el cuerpo. ( se llama peso ).

Diagrama de cuerpo

libre.

0a0PT

PT Newton de Ec.

3.5. Dos cuerpos que pasan por una polea.

3.6. Sistema de dos cuerpos que caen, uno está en un plano horizontal y el otro cuelga de la soga.

4. Un hombre arrastra una caja que pesa 20 Kgf. Calcular la fuerza de rozamiento entre el piso y la caja. Dato: d piso-caja = 0,3.

5. Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda.

Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton. Ahora se resuelve el sistema de ecuaciones:

T – froz d + PB – T = mA. a + mB. a

– froz d + PB = ( mA + mB ). a

49 N – 19,6 N = 15 kg . a15 kg . a = 29,4 kg.m/s2

a = 1,96 m/s2

Conocida la aceleración se calcula ahora la tensión:

6. Calcular con qué aceleración cae un cuerpo por un plano inclinado de ángulo alfa.( No hay rozamiento ).

F en el eje X = m . a en el eje X

a = g . sen ACELERACION DE CAIDA

7. Para el sistema de la figura calcular la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda. ( No hay rozamiento ).

Para resolver el problema se hace el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que intervienen:

Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton:

Del sistema de ecuaciones despeja las incógnitas

2

2

2

B AB

B AB

BAB

sm6,1a

aKg15smKg5

a Kg 5 Kg 10 5.0sm10Kg5

am m 30sengm

am m Px

amamTPxT

2

Conocida la aceleración se calcula la tensión en la cuerda:

8. Calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la soga para el sistema de la figura. (No hay rozamiento).

Del sistema de ecuaciones se despejan las incógnitas

T – PA. sen 30 º = m A . a

P B. sen 45 – T = m B . a

T – P A . sen 30 º + P B. sen 45 – T = m A . a + m B . a

:– P A . sen 30 º + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a

Diagramas de cuerpo

libre.

a = - 0,357

La aceleración dio negativa por tal motivo el sistema se mueve en sentido contrario al asumido

Conocida la aceleración se calcula la tensión

T – PA . Sen 30 º = m A . a

ACELERACIONDEL SISTEMA