UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMADE HONDURAS EN EL VALLE DE SULA

GUIA DE VARIABLE COMPLEJADEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Profesor: M.J. Suazo

EJERCICIOS RESUELTOS.

Siguiendo con los ejercicios de Integrales de lınea de variable real, se anaden dos ejemplos mas queles servira de guia, despues ejercicios resueltos de integrales de contorno(estudiar el concepto).

1) Evalue la integral

∫−C

y dx − x dy, donde C viene dado por la parametrizacion x = 2 cos t,

y = 3 sen t, 0 ≤ t ≤ π.Solucion:

Sabemos que

∫−C

y dx− x dy = −∫C

y dx− x dy, entonces

∫C

−y dx+ x dy.

En este y en todos los casos la idea es dejar la integral de lınea como una integral simple, entoncesderivemos y sustituyamos; dejaremos la integral solo en terminos de t.Sabemos que x = 2 cos t, dx = −2 sen t, y = 3 sen t entonces dy = 3 cos t, al sustituirlo en laintegral de lınea tenemos,

∫C

−y dx+ x dy =

∫ π

0

−3 sen t(−2 sen t) dt+ 2 cos t(3 cos t) dt = 6

∫ π

0

(sen2 t + cos2 t) dt = 6π.

2) Evalue la integral

∮C

x2y3 dx− xy2 dy, donde C es la curva de la figura siguiente:

Solucion:

En este caso vemos 4 curvas distintas, por lo que el integral

∮C

=

∫C1

+

∫C2

+

∫C3

+

∫C4

. Comen-

zamos con la curva 1, tomemos la curva donde x = 1 constante, mientras que −1 ≤ y ≤ 1, la

integral nos queda

∮C

x2y3 dx− xy2 dy =

∫C1

x2y3 dx− xy2 dy =

∫ 1

−112y3��>

0dx− 1y2 dy = −2

3.

1

En la curva 2, tenemos que el valor de y = 1 es constante mientras −1 ≤ x ≤ 1 pero debemos detener en cuenta que hay que seguir la lınea.∮C

x2y3 dx− xy2 dy =

∫C2

x2y3 dx− xy2���0

dy =

∫ −11

x213 dx = −∫ 1

−1x2 dx = −2

3

Para C3 vemos claramente que x = −1, −1 ≤ y ≤ 1 (recuerde que hay que seguir el camino),

entonces:

∮C

x2y3 dx− xy2 dy =

∫C3

x2y3��>0

dx− xy2 dy =

∫ −11

−(−1)y2 dy = −∫ 1

−1y2 dy = −2

3

Para C4 claramente y = −1, −1 ≤ x ≤ 1, entonces:∮C

x2y3 dx− xy2 dy =

∫C4

x2y3 dx− xy2���0

dy =

∫ 1

−1x2(−1)3 dy = −

∫ 1

−1x2 dx = −2

3

Por lo tanto,

∮C

=

∫C1

+

∫C2

+

∫C3

+

∫C4

= −2/3 + (−2/3) + (−2/3) + (−2/3) = −8/3

2

INTEGRALES COMPLEJAS.

Practicamente el caso de las integrales complejas es similar al de las integrales simples y de lıneade variable real, de hecho cumple con todas las propiedades de variable real incluyendo el Teoremafundamental del Calculo(ver el libro de texto). Las integrales de lınea nos sirven como herramientaspara evaluar integrales de contorno(estudiar el concepto) de variable compleja.

Teorema: Evaluacion de integrales de contorno.Si f es contınua en una curva suave C dada la parametrizacion z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b],entonces ∫

C

f(z) dz =

∫ b

a

f(z(t))z′(t) dt

1) Evalue

∫C

z2 dz, donde C es z(t) = 3t+ 2it, −2 ≤ t ≤ 2.

El problema es una aplicacion directa del teorema anterior.∫C

z2 dz =

∫ 2

−2(3t+ 2it)2(3 + 2i) dt = (3 + 2i)

∫ 2

−2(3t+ 2it)2 dt = −48 +

736

3i

2) Evalue

∫C

x2 + iy3 dz, donde C es la lınea que va desde z = 1 hasta z = i.

En este caso, no haremos una sustitucion en terminos de t: z(x) = x+ i(1−x), sabemos que tantox como y son variables, la idea siempre es simplificar la integral, ademas recuerde que a y b sonnumeros reales. Observe que, cuando x = 0 tenemos que z = i y cuando x = 1 entonces z = 1. Sihacemos x = y para f(z) = x2 + iy3 = x2 + ix3, z′(x) = (1− i)dx ademas seguiremos la lınea queva desde x = 1 hasta x = 0. De modo que la integral nos quedara ası:∫C

x2+ iy3 dz =

∫C

(x2+x3) dz =

∫ 0

1

(x2+ ix3)(1− i) dx = (1− i)∫ 0

1

(x2+ ix3) dx = −7/12+1/12i.

3

3) Evalue la integral

∮C

z2 dz donde C es la curva siguiente:

Como en el caso de variable real, en este problema empezaremos desde el origen y siguiendolas manecillas en contra del reloj. Para el caso, es similar al problema 2 de la pagina 2 de este

documento:

∮C

=

∫C1

+

∫C2

+

∫C3

.

Para C1: y = 0 mientras que 0 ≤ x ≤ 1, por lo que z = x, dz = dx y el integral nos queda asi∫C1

z2 dz =

∫ 1

0

x2 dx =1

3.

En la curva 2 tenemos la integral

∫C2

z2 dz, donde x = 1 es constante mientras que y es variable

entre 0 y 1.

Hagamos entonces z = 1 + iy, dz = idy, entonces

∫ 1

0

(1 + iy)2i dy = −1 +2

3i

En la curva 3, el valor de x es el mismo que el de y en cualquier punto de modo que z = x+ iy =x+ ix, dz = (1 + i)dx si seguimos el camino que iniciamos en x = 1 y lo terminamos en x = 0 porlo que el integral nos queda ası:∫ 0

1

(x+ ix)2(1 + i) dx = −(1 + i)

∫ 1

0

2ix2 dx =2

3− 2

3i.

Por lo tanto,

∮C

z2 dz = 0

4

EJERCICIOS PROPUESTOS

Muestre los pasos y caminos a seguir para llegar al resultado en el problema propuesto, respuestassin procedimientos pierden validez.

1) Evalue la integral

∮C

Re(z) dz, donde C es el cırculo |z| = 1

2) Evalue la integral

∫C

(3z2 − 2z) dz, donde C es z(t) = t− 2it3, −1 ≤ t ≤ 1

3) Evalue la integral

∫C

1

zdz a lo largo de |z| = 1, en el semiplano inferior.

4) Evalue la integral

∫C

ez dz donde C es la poligonal que consiste en los segmentos de lınea que

va desde z = 0 a z = 2 y de z = 2 hasta z = 1 + πi .

5) Evalue la integral

∫C

1

z2 − 2idz donde C es el cırculo |z| = 6 desde z = −6i hasta z = 6i .

6) Evalue la integral

∫C

z2 − z + 2 dz desde i a 1 a los largo de C que es la figura siguiente:

7) Evalue la integral

∫C

|z|2 dz, donde C es x(t) = t2, y(t) =1

t, −1 ≤ t ≤ 2

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