Ejercicios Resueltos Mercados Imperfectos

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Guía Práctica

MICROECONOMÍA I

SEGUNDA PARTE

Mercados Imperfectos Docentes: Folgar, Cristian Gesualdo, Gustavo Vargas, Rafael Belén

Alumnos: _ _ Guillermo

2014

2

ÍNDICE

01 0 PARTE I: MONOPOLIO ............................................................................................ 3

01 1 A. Monopolio Simple ............................................................................................... 3

01 2 B. Monopolio Perfectamente Discriminador ....................................... 5

01 3 C. Monopolio con dos mercados ................................................................... 7

01 4 D. Monopolio con dos funciones de costos (dos plantas) ......... 9

01 5 E. Simulación de las condiciones de competencia perfecta .. 12

01 501 a. Solución de corto plazo .......................................................................................... 13

01 502 b. Solución de largo plazo .......................................................................................... 14

01 6 F. Existencia de Monopolio Natural .......................................................... 16

01 601 a. Monopolio Natural Fuerte .................................................................................... 18

01 602 b. Monopolio Natural Débil ....................................................................................... 18

02 0 PARTE II: OLIGOPOLIO .......................................................................................... 19

02 1 A. Modelo de Cournot ..................................................................................................... 19

02 2 B. Líder y Seguidor (Modelo de Stackelberg) ............................................................... 23

02 3 C. Modelo de Colusión .................................................................................................... 27

02 4 D. Resumen ......................................................................................................................... 29

03 0 PARTE III: TEORÍA DE JUEGOS ........................................................................ 30

03 1 A. Estrategias Dominantes ............................................................................................ 30

03 2 B. El equilibrio de Nash para estrategias puras ...................................................... 31

03 3 C. El equilibrio de Nash para estrategias mixtas .................................................... 32

04 0 PARTE IV: COMPETENCIA MONOPOLÍSTICA ...................................... 34

04 1 A. Solución de corto plazo ............................................................................................. 35

04 4 B. Solución de largo plazo .............................................................................................. 37

05 0 Ejercicios: ........................................................................................................................ 39

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17]

3

Mercados Imperfectos

Objetivo del texto: facilitar la formalización matemática

PARTE I: MONOPOLIO

Situación de mercado con un único oferente de determinado bien. Este bien no tiene sustitutivos cercanos: se comprueba midiendo la elasticidad-precio cruzada de la demanda de sus posibles sustitutivos más cercanos.

Existen barreras a la competencia. Cinco fuentes de monopolio – Robert Frank

1 Control exclusivo de factores importantes. Perrier Corp.; DeBeers Diamond

2 Economías de escala Telefonía fija

3 Patentes Laboratorios farmacéuticos.

4 Economías de red MS Windows ; Fb

5 Licencias o concesiones del Estado Servicios en autopistas

Puede controlar el precio a cobrar de modo que la elasticidad-precio de la demanda no necesariamente es infinita (como en competencia perfecta de largo plazo).

Puede elegir producir en cualquier punto de la curva de demanda del mercado.

A. Monopolio Simple

Supuestos principales:

existencia de una demanda atomizada similar a la de competencia perfecta;

único oferente de un bien;

el empresario buscará maximizar sus beneficios económicos.

Dados estos supuestos, la situación que enfrenta el monopolista es simple y formalmente vendría expresada por la siguiente ecuación de beneficios que se buscará maximizar:

𝜋 = 𝐼 − 𝐶 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 − 𝐶(𝑞)

Dada esta función de beneficios, la condición de primer orden (o de optimalidad) de la maximización será:

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 0

Esto implica que la condición de primer orden de la maximización está pidiendo obtener aquel valor de q donde el ingreso marginal sea igual al costo marginal.

Una vez determinado el o los valores de q para los cuales se igualan el ingreso marginal y el costo marginal, se deberá evaluar la condición de segundo orden para verificar si los puntos críticos hallados son un máximo o un mínimo.

La condición de segundo orden será: 𝑑2𝜋

𝑑2𝑞=

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞< 0

Despejando términos tenemos que se está pidiendo: 𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞

Esto implica que la pendiente del ingreso marginal deberá ser menor a la pendiente del costo marginal respecto a q.

4

Vamos ahora a analizar un ejemplo práctico. Para ello, supondremos que la demanda de mercado del bien q y la función de costos del empresario vienen representadas por las siguientes funciones:

𝑃 = 5.200 − 7,5 𝑞

𝐶𝑇 = 0,01 𝑞3 − 7,5 𝑞2 + 2.500 𝑞 + 150.000

A partir de estas funciones, construimos la función de beneficios del empresario:

𝜋 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 − 𝐶𝑇(𝑞)

𝜋 = (5.200 − 7,5 𝑞) ∗ 𝑞 − (0,01 𝑞3 − 7,5 𝑞2 + 2.500 𝑞 + 150.000)

𝜋 = 5.200 𝑞 − 7,5 𝑞2 − 0,01 𝑞3 + 7,5 𝑞2 − 2.500 𝑞 − 150.000 Una vez construida la función de beneficios, buscamos la condición de primer orden de la maximización:

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 5.200 − 15 𝑞 − 0,03 𝑞2 + 15 𝑞 − 2.500 = 0

Despejando, tenemos que: − 0,03 𝑞2 + 2.700 = 0

Esto nos da dos valores críticos, que son: 𝑞 = 300 y 𝑞 = −300.

Evaluamos entonces la condición de segundo orden para ambos valores (aunque en realidad, el valor negativo debemos descartarlo, ya que no es posible fabricar cantidades negativas de un bien):

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞=

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −0,06 𝑞

A partir de esta segunda derivada de la función de beneficios:

si 𝑞 = – 300, la derivada segunda es 18 > 0, ⇒ estamos en presencia de un mínimo;

si 𝑞 = 300, la derivada segunda es – 18 < 0, ⇒ estamos en presencia de un máximo.

Esto significa que 300 es el nivel de producción que maximiza los beneficios del empresario, por lo que si el mismo se comporta de manera racional su nivel de producción debería ser éste. Con este nivel de producción, se obtienen los siguientes resultados:

Cantidades ofrecidas por el empresario (q*) = 300

Ingresos por ventas = $ 885.000

Costos Totales = $ 495.000

Precio (p) = $ 2.950 Beneficios económicos = $ 390.000

5

B. Monopolio Perfectamente Discriminador (Discriminación de Primer Grado)

Los supuestos propios de este punto son similares a los del monopolio simple, salvo que se agrega la posibilidad de poder discriminar el precio de venta de manera tal de cobrar el máximo precio que los consumidores están dispuestos a pagar por cada unidad del bien cuyo productor es monopólico.

Así, la función de beneficios del empresario quedará formulada de la siguiente manera:

𝜋 = 𝐼 − 𝐶 = ∫ 𝑝(𝑞) 𝑑𝑞 − 𝐶(𝑞)

Esto implica que la función de beneficios del empresario monopolista perfectamente discriminador es similar a la del monopolista simple, con la diferencia en el ingreso.

En este modelo, el ingreso del monopolista será igual a toda el área ubicada por debajo de la función de demanda, entre los niveles de producción donde q es 0 y donde q es el óptimo valor de producción a encontrar.

A partir de esta función de beneficios, la condición de primer orden de la maximización será similar a la obtenida anteriormente:

𝑑𝜋


La particularidad de este modelo hace que, dada la forma que adquiere la función de beneficios, el ingreso marginal es igual a la función de demanda:

𝐼𝑀𝑔 =𝑑𝐼

𝑑𝑞= 𝑝(𝑞)

La verificación de las condiciones de segundo orden es exactamente igual que en el caso de monopolio simple.

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞=

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞< 0 ⟹

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞

Ver ejercicios: [8] [14] [17e]

6

Ejemplo. Siguiendo con las fórmulas de demanda y costo del caso dado de monopolio simple, tenemos que:

𝑃 = 5.200 − 7,5 𝑞

𝐶𝑇 = 0,01 𝑞3 − 7,5 𝑞2 + 2.500 𝑞 + 150.000

Por tanto, la función de beneficios quedará expresada de la siguiente manera:

𝜋 = 𝐼 − 𝐶 = ∫ 𝑝(𝑞) 𝑑𝑞 − 𝐶(𝑞)

𝜋 = ∫(5.200 − 7,5 𝑞) 𝑑𝑞 − (0,01 𝑞3 − 7,5 𝑞2 + 2.500 𝑞 + 150.000)

Buscamos entonces la condición de primer orden:

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 5.200 − 7,5 𝑞 − 0,03 𝑞2 + 15 𝑞 − 2.500 = 0

Despejamos y obtenemos: −0,03 𝑞2 + 15 𝑞 + 2.700 = 0

Esta expresión tiene raíces en q = – 200 y q = 450.

Verificamos las condiciones de segundo orden, y las evaluamos en ambos puntos críticos:

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞=

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −0,06 𝑞 + 7,5

Cuando 𝑞 = − 200, la derivada segunda es 19,5 > 0, ⇒ se trata de un mínimo;

cuando 𝑞 = 450, la derivada segunda es –19,5 < 0, ⇒ estamos frente a un máximo.

Sabiendo que la producción óptima del empresario monopolista perfectamente discriminador es 450 unidades, tenemos que:


Ingresos por ventas = $ 1.580.625


Precio mínimo cobrado (P marginal)= $ 1.825 Beneficios económicos = $ 913.125

En el gráfico siguiente se muestra el equilibrio del empresario:

7

C. Monopolio con dos mercados (Discriminación de Tercer Grado)

El presente modelo es posible utilizarlo no sólo para dos, sino también para tres, cuatro o más mercados. El caso particular donde existe un solo mercado es el de monopolio simple.

Los supuestos que tiene detrás el presente modelo son nuevamente, casi los mismos a los vigentes en el modelo de monopolio simple. A éstos, debe añadirse la posibilidad de discriminar en dos mercados diferenciados el mismo bien a diferentes precios. Esta posibilidad tiene sentido sólo si no se permite el arbitraje entre ambos mercados, es decir que un tercero compre en un mercado bienes y los venda en el otro mercado.

Formalizando los supuestos anteriores, la función de beneficios quedaría expresada de la siguiente manera:

𝜋 = 𝐼 − 𝐶𝑇 = 𝑝1(𝑞1) ∗ 𝑞

1+ 𝑝

2(𝑞2) ∗ 𝑞2

+ ⋯ + 𝑝𝑛(𝑞𝑛) ∗ 𝑞

𝑛− 𝐶𝑇(𝑞𝑡)

En la función de beneficios:

p1 se refiere al primer mercado diferenciado, p2 al segundo mercado diferenciado y pn al mercado diferenciado n.

Adicionalmente se define 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛.

Cuando estamos frente a dos mercados, tenemos el caso particular:

𝜋 = 𝐼 − 𝐶𝑇 = 𝑝1(𝑞1) ∗ 𝑞

1+ 𝑝

2(𝑞2) ∗ 𝑞2

− 𝐶𝑇(𝑞𝑡)

Una vez planteada la función de beneficios de esta manera, las condiciones de primer orden serán1:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔1 − 𝐶𝑀𝑔 = 0

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔2 − 𝐶𝑀𝑔 = 0

Observamos: Lo que deriva de las condiciones de primer orden es que en el equilibrio del empresario monopolista que enfrenta la posibilidad de discriminar en dos mercados es:

𝐼𝑀𝑔1 = 𝐼𝑀𝑔2 = 𝐶𝑀𝑔

Las condiciones de segundo orden para verificar que el punto crítico hallado al despejar la condición de primer orden sea efectivamente un máximo son:

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1< 0

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2< 0

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2

| > 0

Ver ejercicios: [6c] [7] [13]

1 Debe tenerse presente que en lo relativo a la derivada del costo respecto a q1 o a q2, en ambos casos se obtiene el

Costo Marginal expresado en término de las cantidades totales producidas y no en términos de las cantidades destinadas a cada mercado individual. Formalmente esto es debido a que la función de costos está expresada en términos de qt, que depende a su vez de q1 y q2. Aplicando la regla de la cadena, podemos expresar esto de la siguiente manera:

𝐶𝑇(𝑞𝑡(𝑞1;𝑞2))

Teniendo presente que qt = q1 + q2, y por lo tanto la derivada parcial de qt respecto a q1 es 1, queda entonces que la derivada del Costo respecto a q1 es:

𝑑 𝐶𝑇

𝑑 𝑞1=

𝑑 𝐶𝑇

𝑑 𝑞𝑡∗

𝑑 𝑞𝑡

𝑑 𝑞1= 𝐶𝑀𝑔 ∗ 1

8

Continuando con el ejemplo anterior, la situación con dos mercados sería la siguiente:

𝑃1 = 5.200 − 7,5 𝑞1

𝑃2 = 8.900 − 10 𝑞2 𝐶𝑇 = 0,01 𝑞

𝑡3 − 7,5 𝑞

𝑡2 + 2.500 𝑞

𝑡 + 150.000

Se construye la función de beneficios del empresario: 𝜋 = 𝑝1(𝑞1) ∗ 𝑞1 + 𝑝2(𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞𝑡)

𝜋 = (5.200 − 7,5 𝑞1) ∗ 𝑞

1+ (8.900 − 10 𝑞

2) ∗ 𝑞

2− (0,01 𝑞

𝑡3 − 7,5 𝑞

𝑡2 + 2.500 𝑞

𝑡+ 150.000)

𝜋 = 5.200𝑞1

− 7,5 𝑞1

2 + 8.900𝑞2

− 10𝑞2

2 − 0,01 𝑞𝑡3 + 7,5 𝑞

𝑡2 − 2.500 𝑞

𝑡− 150.000

Las condiciones de primer orden quedan entonces:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔1 − 𝐶𝑀𝑔 = 5.200 − 15 𝑞1 − 0,03 𝑞𝑡

2 + 15 𝑞𝑡 − 2.500 = 0

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔2 − 𝐶𝑀𝑔 = 8.900 − 20 𝑞2 − 0,03 𝑞𝑡

2 + 15 𝑞𝑡 − 2.500 = 0

Igualando ambas y cancelando términos, queda que ambos ingresos marginales deben ser iguales, por lo que tenemos:

5.200 − 15 𝑞1 = 8.900 − 20 𝑞2

3.700 + 15 𝑞1 = 20 𝑞2

185 +3

4 𝑞1 = 𝑞2

Como 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2, podemos afirmar que:

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 185 +3

4 𝑞1

Despejando q1:

(𝑞𝑡 − 185) ∗4

7= 𝑞1

Una vez que tenemos esta expresión, la reemplazamos en la derivada de la función de beneficios respecto a q1, obteniendo:

5.200 − 15 ∗ (𝑞𝑡 − 185) ∗4

7− 0,03 𝑞𝑡

2 + 15 𝑞𝑡 − 2.500 = 0

2.700 −60

7𝑞𝑡 +

11.100

7− 0,03 𝑞𝑡

2 + 15 𝑞𝑡 = 0

Reordenamos los términos, quedando: −0,03 𝑞𝑡2 +

45

7𝑞𝑡 +

30.000

7= 0

Multiplicamos todo por 7: −0,21 𝑞𝑡2 + 45𝑞𝑡 + 30.000 = 0

Obtenemos las raíces de esta expresión, que son: – 285,71 y 500.

Con qt = 500, tenemos que q1 = 180 y q2 = 320.

Verificamos las condiciones de segundo orden:

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1= −15 − 0,06 𝑞𝑡 + 15 = −30 < 0

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2= −20 − 0,06 𝑞𝑡 + 15 = −35 < 0

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2=

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1= −0,06 𝑞𝑡 + 15 = −15

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2

|

|𝐻| = |−30 −15−15 −35

| = 825 > 0

Una vez asegurado que el punto crítico hallado es efectivamente un máximo, podemos obtener los siguientes resultados:

Cantidades ofrecidas

mercado 1 (q1*) = 180 Precio en el mercado 1 (P1) = $ 3.850

mercado 2 (q2*) = 320 Precio en el mercado 2 (P2) = $ 5.700

Cantidades ofrecidas por el empresario (qt*) =

500

Ingresos por ventas totales = $ 2.517.000


Beneficios económicos = $ 1.742.000

9

D. Monopolio con dos funciones de costos (dos plantas)

En esta sección analizaremos el modelo microeconómico utilizado para describir el comportamiento de un empresario monopolista que tiene dos funciones de costos, representativas de, por ejemplo, dos plantas diferentes de producción. Este modelo mantiene los supuestos básicos del modelo de monopolio simple e incorpora como supuesto adicional la posibilidad de diferenciar al menos dos funciones de costos para la producción del bien q. Este supuesto adicional es de utilidad, por ejemplo, para analizar el nivel de producción óptimo en cada planta cuando es posible diferenciar los costos generados por el funcionamiento de cada una de ellas.

Adicionalmente puede ser utilizado para analizar, por ejemplo, los posibles beneficios de instalación de nuevas instalaciones o de la compra de una empresa competidora.

La formalización de lo expresado anteriormente sería:

𝜋 = 𝐼 − 𝐶𝑇 = 𝑝(𝑞𝑡) ∗ 𝑞𝑡

− 𝐶1(𝑞1) − 𝐶2(𝑞2)

Una vez construida la función de beneficios del empresario, la maximización de los mismos llevará a buscar el cumplimiento de las condiciones de primer orden:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1) = 0

𝑑𝜋


En este modelo, al igual que como sucedía al trabajar con dos mercados, debemos derivar una función que está expresada en términos de qt con respecto a q1 y a q2.

Tal como fue explicado en el caso anterior, por la aplicación de la regla de la cadena, aquí, la derivada del ingreso (que depende de las cantidades totales vendidas) respecto a las cantidades producidas en la planta 1 será igual a la derivada del ingreso respecto a qt (que es el ingreso marginal) multiplicado por la derivada de qt respecto a q1 (que es 1). Por esto, las condiciones de primer orden pueden también ser expresadas de la siguiente manera:

𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔1 = 𝐶𝑀𝑔2

Una vez encontrado el valor crítico de q que cumple con las condiciones de primer orden, debe verificarse que se cumplan las condiciones de segundo orden:

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1< 0

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2< 0

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2

| > 0

Ver ejercicios: [5] [15d] [17c]

10

Tal como hemos venido haciendo con los otros modelos, a continuación exponemos un ejemplo práctico de un monopolio con dos funciones de costos diferenciadas:

𝑃 = 5.200 − 7,5 𝑞𝑡 𝐶1 = 0,01 𝑞

13 − 7,5 𝑞

12 + 2.500 𝑞

1 + 150.000

𝐶2 = 5 𝑞2

2 + 75 𝑞2

Construimos la función de beneficios: 𝜋 = 𝑝(𝑞𝑡) ∗ 𝑞𝑡

− 𝐶1(𝑞1) − 𝐶2(𝑞2)

𝜋 = (5.200 − 7,5 𝑞𝑡) ∗ 𝑞

𝑡− (0,01 𝑞

13 − 7,5 𝑞

12 + 2.500 𝑞

1+ 150.000) − (5 𝑞

22 + 75 𝑞

2)

𝜋 = 5.200𝑞𝑡 − 7,5 𝑞𝑡2 − 0,01 𝑞1

3 + 7,5 𝑞12 − 2.500 𝑞1 − 150.000 − 5 𝑞2

2 − 75 𝑞2

Obtenemos las condiciones de primer orden:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1) = 5.200 − 15 𝑞𝑡 − 0,03 𝑞1

2 + 15 𝑞1 − 2.500 = 0 (1)

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔2(𝑞2) = 5.200 − 15 𝑞𝑡 − 10 𝑞2 − 75 = 0 (2)

Tomando la segunda ecuación, podemos obtener que: 5.125 − 15 𝑞𝑡 = 10 𝑞2

Teniendo presente que 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2, queda: 5.125 − 15 𝑞1 − 15 𝑞2 = 10 𝑞2

5.125 − 15 𝑞1 = 25 𝑞2 ⟹ 205 −3

5 𝑞1 = 𝑞2 (3)

Reemplazando en la ecuación (1) qt por q1 + q2, queda:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 5.200 − 15 𝑞1 − 15 𝑞2 − 0,03 𝑞1

2 + 15 𝑞1 − 2.500

Reordenando: 𝑑𝜋

𝑑𝑞1= −15 𝑞2 − 0,03 𝑞1

2 + 2.700 = 0 (4)

Incluyendo (3) en (4): 𝑑𝜋

𝑑𝑞1= −15 (205 −

3

5 𝑞1) − 0,03 𝑞1

2 + 2.700 = 0

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= −3.075 + 9 𝑞1 − 0,03 𝑞1

2 + 2.700 = 0

Reordenando, finalmente tenemos que: 𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 0,03 𝑞1

2 + 9 𝑞1 − 375 = 0

Obtenemos las raíces de esta ecuación, que son 50 y 250. A partir de estos posibles valores de q1 calculamos los correspondientes a q2 y qt.

Si q1 = 50, entonces q2 = 175 y qt = 225.

Si q1 = 250, entonces q2 = 55 y qt = 305.

Ahora debemos verificar las condiciones de segundo orden para identificar qué niveles de producción están maximizando los beneficios.

q1 = 50 ; q2 = 175 ; qt = 225 ; 𝒅𝝅

𝒅𝒒𝟏= 5.200 − 15 𝑞𝑡 − 0,03 𝑞1

2 + 15 𝑞1 − 2.500 ; 𝒅𝝅

𝒅𝒒𝟐= 5.200 − 15 𝑞𝑡 − 10 𝑞2 − 75

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1= −15 − 0,06 𝑞1 + 15 = −3 < 0

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2= −15 − 10 = −25 < 0

𝑑2𝜋


𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1= −15

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2

|

|𝐻| = |−3 −15

−15 −25| = −150 < 0

Cuando q1 = 50, q2 = 175 y qt = 225 tenemos que: 𝑑2𝜋

𝑑 𝑞12 < 0 y

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞22 < 0 ; pero |𝐻| < 0, lo que

no cumple con las condiciones de máximo.

11

q1 = 250 ; q2 = 55 ; qt = 305 ; 𝒅𝝅

𝒅𝒒𝟏= 5.200 − 15 𝑞𝑡 − 0,03 𝑞1

2 + 15 𝑞1 − 2.500 ; 𝒅𝝅

𝒅𝒒𝟐= 5.200 − 15 𝑞𝑡 − 10 𝑞2 − 75

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1= −15 − 0,06 𝑞1 + 15 = −15 < 0

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2= −15 − 10 = −25 < 0

𝑑2𝜋


𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1= −15

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2

|

|𝐻| = |−15 −15−15 −25

| = 150 > 0

Cuando q1 = 250, q2 = 55 y qt = 305: 𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1< 0 ;

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2< 0 y |𝐻| > 0, lo cual sí verifica las

condiciones de segundo orden.

Una vez que hemos identificado el nivel de producción óptimo que maximiza la función de beneficios del empresario, podemos ya calcular el resto de los resultados:

Cantidades producidas en la planta 1 (q1*) = 250 Costos en la Planta 1 = $ 462.500

Cantidades producidas en la planta 2 (q2*) = 55 Costos en la Planta 2= $ 19.250

Cantidades ofrecidas por el empresario (qt*) = 305 Costos Totales = $ 481.750

Precio en el mercado (P) = $ 2.912,50 Ingresos por ventas totales = $ 888.312,50

Beneficios económicos = $ 406.562,50

12

E. Simulación de las condiciones de competencia perfecta

En los modelos anteriores se ha analizado el comportamiento de un empresario que actúa como único oferente en el mercado de un bien cuya demanda actúa competitivamente. Adicionalmente tiene gran importancia en el análisis de los resultados obtenidos la posibilidad de compararlos contra el que se habría obtenido en caso de no tratarse de un monopolio sino una industria competitiva.

Teniendo presente la asignación de recursos que surge del funcionamiento de mercados competitivos y su eficiencia, ahora nos concentraremos en la determinación de los diferentes resultados que se obtendrían en una industria monopólica si se simularan las condiciones de competencia perfecta.

Ahora bien, la simulación de las condiciones de competencia perfecta puede realizarse siguiendo diferentes caminos:

buscando determinar el resultado de mercado que se obtendría si se mantuviera la igualdad existente entre el precio y el costo marginal (situación que se obtiene en el equilibrio de competencia perfecta en el corto plazo), o

buscando que en la industria no se obtengan beneficios extraordinarios (situación que se obtiene en el equilibrio de competencia perfecta en el largo plazo).

13

a. Solución de corto plazo

Para la determinación de la solución cuasi–competitiva, que es la que simula las condiciones de equilibrio de corto plazo, debemos simplemente buscar el nivel de producción donde el costo marginal sea igual al precio. De esta manera, la condición que debemos cumplir es simplemente: 𝑷(𝒒) = 𝑪𝑴𝒈

Para verificar la elección de un nivel de producción donde se verifique esta relación, deberá

siempre optarse por aquel que verifique la siguiente relación: 𝒅 𝑷

𝒅 𝒒<

𝒅 𝑪𝑴𝒈

𝒅 𝒒

Siguiendo con el ejemplo que hemos estado analizando anteriormente, tendríamos: 𝑃 = 5.200 − 7,5 𝑞

𝐶𝑇 = 0,01 𝑞3 − 7,5 𝑞2 + 2.500 𝑞 + 150.000

A partir de estas funciones de demanda y costos, buscamos se cumpla la relación de igualdad entre el precio y costo marginal:

𝐶𝑀𝑔 = 0,03 𝑞2 − 15 𝑞 + 2.500

𝑃(𝑞) = 𝐶𝑀𝑔

5.200 − 7,5 𝑞 = 0,03 𝑞2 − 15 𝑞 + 2.500

Reordenamos: 0,03 𝑞2 − 7,5𝑞 − 2.700 = 0

Buscamos las raíces de esta ecuación, y obtenemos dos diferentes niveles de producción donde el costo marginal es igual al precio: 450 y -200.

Tenemos que descartar la solución donde q = -200 por la imposibilidad de existencia de

niveles de producción negativos. Verificamos la relación 𝑑 𝑃

𝑑 𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑 𝑞

observamos que cuando q = 450, – 7,5<12.135.

Una vez hallado el nivel de producción, podemos calcular cada uno de los demás resultados como lo hemos hecho en cada uno de los modelos vistos hasta el momento:


Ingresos por ventas = $ 821.250


Precio (p) = $ 1.825 Beneficios económicos = $ 153.750

El resultado encontrado está representado gráficamente a continuación:

14

b. Solución de largo plazo

Para la determinación de la solución que simula las condiciones de equilibrio de largo plazo debemos simplemente buscar el nivel de producción donde los beneficios extraordinarios sean 0, es decir que el costo medio sea igual al precio. De esta manera, la condición que debemos cumplir es simplemente: 𝑷(𝒒) = 𝑪𝑴𝒆



𝒅 𝒒<

𝒅 𝑪𝑴𝒆

𝒅 𝒒

Siguiendo con el ejemplo que hemos estado analizando previamente, tendríamos:

𝑃 = 5.200 − 7,5 𝑞

𝐶𝑇 = 0,01 𝑞3 − 7,5 𝑞2 + 2.500 𝑞 + 150.000

Sin embargo, resolver esta situación plantea un problema importante, que surge del hecho de estar trabajando con una función de Costos de Corto Plazo en lugar de una de Largo Plazo.

Con el único objetivo de comparar los resultados con las soluciones anteriores, se obtuvieron las cantidades máximas que puede ofrecer el monopolista en el corto plazo sin incurrir en beneficios económicos negativos. Calculando posteriormente todos los demás datos tenemos que:

Cantidades ofrecidas por el empresario (q*) = 489,22

Ingresos por ventas = $ 748.916,04

Costos Totales = $ 748.916,04

Precio (p) = $ 1.530,83 Beneficios económicos = $ 0

Gráficamente tendríamos:

Ahora bien, para resolver adecuadamente un ejercicio donde se busca simular las condiciones competitivas de largo plazo, en realidad debemos trabajar con una función de costos de largo plazo.

15

Para ello, supondremos que la demanda a largo plazo permanece inalterada y que la función de costos de largo plazo de esta industria está expresada por la siguiente expresión:

𝐶𝑇𝐿𝑃 = 0,01 𝑞3 − 7,5 𝑞2 + 2.800 𝑞

A partir de estas funciones de demanda y costos, buscamos se cumpla la relación entre el precio y costo medio: 𝑃(𝑞) = 𝐶𝑀𝑒

5.200 − 7,5 𝑞 = 0,01 𝑞2 − 7,5 𝑞 + 2.800

Reordenamos los términos y obtenemos que: −0,01 𝑞2 + 2.400 = 0

Entonces las cantidades para las que se cumple esta relación son: q = 489,90 y q = −489,90

Para verificar que cantidades serían las óptimas, (más allá de que resulta evidente que no es posible

fabricar cantidades negativas en el mercado) debemos verificar que: 𝑑 𝑃

𝑑 𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑒

𝑑 𝑞

Para nuestro caso, tenemos: − 7,5 < 0,02 q − 7,5

Esta relación se verifica para cantidades positivas de q. Entonces confirmamos que

489,90 es el nivel de producción óptimo y calculamos todos los demás resultados:


Ingresos por ventas = $ 747.469,33

Costos Totales = $ 747.469,33

Precio (p) = $ 1.525,77 Beneficios económicos = $ 0

16

F. Existencia de Monopolio Natural

Para determinar si un monopolio es o no un monopolio natural, debemos verificar la existencia de subaditividad de costos. Esta verificación consiste en determinar si es más eficiente o no que haya sólo una empresa abasteciendo determinado mercado.

Este tipo de análisis presupone que la empresa cuya función de costos estamos analizando utiliza la mejor tecnología disponible en la economía y que esta misma tecnología está al alcance de su potencial competidor.

Con el fin de facilitar el análisis de un mercado particular, compararemos el resultado que se obtendría si una empresa abasteciera a todo el mercado con el que resultaría de utilizar dos empresas haciéndolo. En este contexto, se entiende por abastecer a toda la demanda a la situación en que se ofrece la mayor cantidad de producto posible sin incurrir en beneficios económicos negativos.

Con las simplificaciones realizadas, lo primero que debemos hacer es determinar las máximas cantidades que puede ofrecer una sola empresa sin incurrir en beneficios económicos negativos, para lo que buscaremos el nivel de producción que cumpla la siguiente condición: 𝑷(𝒒) = 𝑪𝑴𝒆



𝒅 𝒒<

𝒅 𝑪𝑴𝒆

𝒅 𝒒

Una vez realizado esto, calculamos el costo unitario de producir esas cantidades, a lo que llamaremos CMe1

(q*).

Ahora comparamos esta situación con la que se observaría si existieran dos empresas en el mercado. Para ello, sabiendo que ambas empresas tendrían la misma función de costos, resultaría eficiente que ambas empresas fabricaran la misma cantidad de producto, de manera de garantizar que ambos costos marginales sean iguales. Por lo tanto, podemos analizar lo que sucede si en cada empresa se fabrica la mitad de las cantidades q* halladas.

Esto nos permite asegurar que el costo medio de producir la mitad de las unidades en cada empresa, será entonces el costo medio de la industria para fabricar las cantidades totales con dos empresas. Llamaremos CMe2

(q*) al costo medio de la industria de producir q* unidades del bien con dos empresas.

Para garantizar que el mercado analizado es un monopolio natural, se debe verificar que:

CMe1(q*) < CMe2

(q*)

A continuación analizaremos el caso que hemos usado como ejemplo anteriormente. En esta situación tenemos que:

𝑃(𝑞) = 5.200 − 7,5 𝑞

𝐶𝑇𝐿𝑃 = 0,01 𝑞3 − 7,5 𝑞2 + 2.800 𝑞

A partir de estas funciones de demanda y costos, buscamos se cumpla la relación entre el precio y costo medio: 𝑃(𝑞) = 𝐶𝑀𝑒

5.200 − 7,5 𝑞 = 0,01 𝑞2 − 7,5 𝑞 + 2.800

Reordenamos los términos y obtenemos que: −0,01 𝑞2 + 2.400 = 0

Entonces las cantidades para las que se cumple esta relación son: q = 489,90 y q = −489,90

17

Para verificar que cantidades serían las óptimas, (más allá de que resulta evidente que no es

posible fabricar cantidades negativas en el mercado) debemos verificar que: 𝑑 𝑃

𝑑 𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑒

𝑑 𝑞

Para nuestro caso, tenemos: − 7,5 < 0,02 q − 7,5

Esta relación se verifica para cantidades positivas de q. Ciertamente estos resultados son los mismos que obtuvimos en la simulación de la situación de competencia de largo plazo.

Aquí debemos calcular el Costo Medio al abastecer a toda la demanda con una sola empresa: CMe1 (489,90) = $1.525,77

Ahora bien, si hubiera dos empresas de las mismas características tratando de producir en conjunto 489,90 unidades, el costo medio sería: CMe2 (489,90) = $1.562,88

Este valor es el que surgiría como el costo medio en cada empresa de fabricar 244,95 unidades. De esta manera hemos verificado que dadas estas estructuras de costos y demanda, estamos frente a un monopolio natural, ya que: CMe1

(q*) < CMe2(q*)

Gráficamente tenemos la siguiente situación:

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a. Monopolio Natural Fuerte

Una vez determinada la existencia de un monopolio natural, es posible hacer una clasificación del mismo en fuerte o débil. Un monopolio natural es fuerte cuando al abastecer a toda la demanda, se observan rendimientos crecientes a escala, o lo que es lo mismo, costos medios decrecientes.

Formalizando lo mencionado en el párrafo anterior, una vez determinada la existencia de un monopolio natural, debe cumplirse que para las cantidades máximas que puede ofrecer el empresario monopolista sin incurrir en beneficios económicos negativos, los costos medios estén decreciendo.

𝑑 𝐶𝑀𝑒(𝑞∗)

𝑑 𝑞< 0

Siguiendo con el ejemplo anterior, la derivada del costo medio es:

𝑑 𝐶𝑀𝑒

𝑑 𝑞= 0,02 𝑞 − 7,5 = 0,02 ∗ 489,90 − 7,5 = 2,298 > 0

Esto no verifica la condición pedida, por lo que no estamos frente a un monopolio natural fuerte.

b. Monopolio Natural Débil

Un monopolio natural es débil cuando al abastecer a toda la demanda, se observan rendimientos decrecientes a escala, o lo que es lo mismo, costos medios crecientes.

Formalizando lo mencionado en el párrafo anterior, una vez determinada la existencia de un monopolio natural, debe cumplirse que para las cantidades máximas que puede ofrecer el empresario monopolista sin incurrir en beneficios económicos negativos, los costos medios estén creciendo.

𝑑 𝐶𝑀𝑒(𝑞∗)

𝑑 𝑞> 0

Siguiendo con el ejemplo anterior, la derivada del costo medio es:

𝑑 𝐶𝑀𝑒

𝑑 𝑞= 0,02 𝑞 − 7,5 = 0,02 ∗ 489,90 − 7,5 = 2,298 > 0

Esto verifica la condición formulada, por lo que estamos frente a un monopolio natural débil.

19

PARTE II: OLIGOPOLIO

Es una estructura de mercado donde existen unas pocas empresas. En este sentido es un intermedio entre la competencia perfecta (existen infinitas empresas) y el monopolio (un solo oferente). Al ser este el número de concurrentes al mercado, una empresa no puede ignorar que su accionar posiblemente afecte a las empresas que allí compiten con él.

Siguiendo la misma forma de análisis que hasta ahora, solo modificaremos la cantidad de empresas oferentes en el mercado, manteniendo el resto de los supuestos de competencia perfecta (existe información perfecta, los empresarios y consumidores son racionales y los bienes son homogéneos). A su vez, y para simplificar nos remitimos a una versión reducida del oligopolio donde solo existen dos empresas en el mercado, llamada «duopolio». Los resultados obtenidos con esta simplificación son extensibles al caso más general del oligopolio.

Para estudiar esta estructura de mercado existen distintos enfoques, en una primera instancia expondremos el modelo de Cournot, luego el modelo de Stackelberg y para concluir un modelo de colusión.

A. modelo de Cournot2

El supuesto básico de este modelo es que cada empresa toma como dadas las cantidades que produce su competidor. De esta forma, cada empresario se dedica a maximizar su beneficio considerando a las cantidades que ofrece su rival como una constante.

Veamos un caso simbólico suponiendo que ambas empresas enfrentan una demanda lineal y poseen los mismos costos, como se detalla a continuación:

𝑝 = 𝑎 − 𝑏 𝑞𝑡 donde 𝑞 = 𝑞1 + 𝑞2

𝐶𝑇𝑖 = 𝑐𝑞𝑖 + 𝑑 con 𝑖 = 1,2

Quedando el beneficio del empresario 1 planteado por

𝜋1 = 𝐼𝑇 − 𝐶𝑇 =

𝜋1 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞1 − 𝐶𝑇(𝑞1)

Reemplazando la demanda y los costos el beneficio es:

𝜋1 = (𝑎 − 𝑏𝑞𝑡) ∗ 𝑞1 − (𝑐𝑞𝑖 + 𝑑)

𝜋1 = (𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2) ∗ 𝑞1 − 𝑐𝑞1 − 𝑑

𝜋1 = 𝑎𝑞1 − 𝑏𝑞12 − 𝑏𝑞1 𝑞2 − 𝑐𝑞1 − 𝑑 (1)

Derivando e igualando a cero se obtienen la condición de primer orden:

𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= 𝑎 − 2 𝑏 𝑞1 − 𝑏 𝑞2 − 𝑐 = 0 (2)

De la misma forma obtenemos la función de reacción para el empresario 2; planteando su beneficio, derivando e igualando a cero para obtener las condiciones de primer orden:

𝜋2 = 𝐼𝑇 − 𝐶𝑇 =

𝜋2 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞2)

𝜋2 = (𝑎 − 𝑏𝑞𝑡) ∗ 𝑞2 − (𝑐𝑞2 + 𝑑)

𝜋2 = (𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝑐𝑞2 − 𝑑

𝜋2 = 𝑎𝑞2 − 𝑏𝑞1 𝑞2 − 𝑏𝑞22 − 𝑐𝑞2 − 𝑑 (3)

Condición de primer orden: 𝑑𝜋2

𝑑𝑞2= 𝑎 − 𝑏 𝑞1 − 2 𝑏 𝑞2 − 𝑐 = 0 (4)

Despejando las cantidades del empresario que se toma en consideración en función de los parámetros, recordando que según se desprende de la conjetura de Cournot las cantidades del otro empresario son una constante, se obtiene:

𝑞1 = 𝑎 −𝑏 𝑞2−𝑐

2 𝑏

Función de Reacción del Empresario 1

𝑞2 = 𝑎 −𝑏 𝑞1−𝑐

2 𝑏

Función de Reacción del Empresario 2

2 Cournot, A. (1838) “Recherches sur les principes mathematiques de la theorie des richesses”.

20

No es casualidad que las funciones de reacción sean tan similares, esto se debe a que ambos empresarios tienen los mismos costos y por lo tanto el problema es simétrico.

El supuesto básico propuesto por Cournot indica que cada empresario toma como dadas las cantidades que produce su rival, la pregunta es ¿Cuál va a ser la conjetura del empresario sobre las cantidades de su rival? Si existe información perfecta y sabiendo que ambos empresarios son racionales, entonces espera que el rival ofrezca las cantidades que le maximizan el beneficio y estas vienen dadas por su función de reacción.

Por ello el empresario 1 utiliza la función de reacción del rival para calcular las cantidades que le maximizan el beneficio. 𝑞1 =

𝑎 −𝑏 (𝑎 −𝑏 𝑞1−𝑐

2 𝑏)−𝑐

2 𝑏

Despejando las cantidades en función de los parámetros se obtiene,

𝑞1 =1

3 𝑎 −𝑐

𝑏

Reemplazando las cantidades obtenidas para el empresario 1 en la función de reacción del empresario 2 obtenemos las cantidades que este llevaría al mercado.

𝑞2 = 𝑎 −𝑏 (

1

3 𝑎 −𝑐

𝑏)−𝑐

2 𝑏

𝑞2 = 1

3 𝑎 −𝑐

𝑏

Como era de esperar, las cantidades de ambos empresarios son iguales y esto se debe a que ambos poseen los mismos costos.

Las condiciones de segundo orden requieren que, para cada duopolista, el ingreso marginal tenga menor pendiente que el costo marginal, es decir, que el costo marginal corte al ingreso marginal por debajo.

𝑑 𝐼𝑀𝑔1

𝑑𝑞1<

𝑑 𝐶𝑀𝑔1

𝑑𝑞1

O que es igual, derivando una segunda vez el beneficio dado por la ecuación Nº 1:

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1=

𝑑 𝐼𝑀𝑔1

𝑑𝑞1 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔1

𝑑𝑞1< 0

Tomando en consideración esta última formulación, derivando la ecuación Nº 2:

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1= −2 𝑏 < 0

Siguiendo el mismo proceso para el empresario 2:

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2=

𝑑 𝐼𝑀𝑔2

𝑑𝑞2 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔2

𝑑𝑞2< 0

Derivando una vez más la ecuación Nº 4,

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2= −2 𝑏 < 0

Se debe remarcar que estas condiciones de segundo orden son diferentes a las que se utilizan en el caso de un empresario monopolista con dos plantas, la diferencia es que en este caso los ingresos marginales no tienen que ser necesariamente iguales.

Como ambas condiciones de segundo orden indican que b>0 y esto implica que la demanda tenga pendiente negativa es que se puede afirmar que las cantidades obtenidas para cada empresario maximizan su beneficio.

Habiendo llegado a esta instancia, no cuesta mucho obtener las cantidades totales:

𝑞𝑡𝐶 =

2

3 𝑎 −𝑐

𝑏

Reemplazando las cantidades totales en la demanda inversa, se obtiene el precio que se cobra en el mercado:

𝑝𝐶 = 𝑎 − 𝑏 (2

3 𝑎 −𝑐

𝑏)

Para obtener los beneficios de ambos empresarios hay que reemplazar las cantidades y el precio en las respectivas funciones de beneficio, las ecuaciones (1) y (2).

21

Veamos un ejemplo práctico, utilizando la siguiente demanda lineal: 𝑝 = 5.200 − 7,5 𝑞𝑡

Con unos costos dados por: 𝐶𝑇1 = 0,01 𝑞13 − 7,5 𝑞1

2 + 2.500 𝑞1 + 150.000

𝐶𝑇2 = 5 𝑞22 + 75 𝑞2

Con estos datos, el beneficio del empresario 1 es el siguiente:

𝜋1 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞1 − 𝐶𝑇(𝑞1)

𝜋1 = (5.200 − 7,5 𝑞𝑡) ∗ 𝑞1 − (0,01 𝑞13 − 7,5 𝑞1

2 + 2.500 𝑞1 + 150.000)

Distribuyendo y dado que 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 :

𝜋1 = (5.200 − 7,5 𝑞1 − 7,5 𝑞2) ∗ 𝑞1 − 0,01 𝑞13 + 7,5 𝑞1

2 − 2.500 𝑞1 − 150.000

𝜋1 = 5.200 𝑞1 − 7,5 𝑞12 − 7,5 𝑞1𝑞2 − 0,01 𝑞1

3 + 7,5 𝑞12 − 2.500 𝑞1 − 150.000 (1)

La siguiente condición de primer orden se obtiene derivando e igualando a cero:

𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= 5.200 − 15 𝑞1 − 7,5 𝑞2 − 0,03 𝑞1

2 + 15 𝑞1 − 2.500 = 0

𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= 2.700 − 7,5 𝑞2 − 0,03 𝑞1

2 = 0

Despejando las cantidades del empresario que estoy tomando en consideración en función de los parámetros –según se desprende de la conjetura de Cournot, esto incluye a las cantidades del rival – obtenemos la función de reacción del Empresario 1.

𝑞12 =

2.700−7,5 𝑞2

0,03= 90.000 − 250 𝑞2

Planteamos los beneficios del empresario 2 y buscamos su función de reacción:

𝜋2 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞2)

𝜋2 = (5.200 − 7,5 𝑞𝑡) ∗ 𝑞2 − (5 𝑞22 + 75 𝑞2)

Distribuyendo y dado que 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2, obtenemos:

𝜋2 = (5.200 − 7,5 𝑞1 − 7,5 𝑞2) ∗ 𝑞2 − 5 𝑞22 − 75 𝑞2

𝜋2 = 5.200 𝑞2 − 7,5 𝑞1𝑞2 − 7,5 𝑞22 − 5 𝑞2

2 − 75 𝑞2 (2)

Derivando e igualando a cero para obtener las condiciones de primer orden:

𝑑𝜋2

𝑑𝑞2= 5.200 − 7,5 𝑞1 − 15 𝑞2 − 10 𝑞2 − 75 = 0

𝑑𝜋2

𝑑𝑞2= 5.125 − 7,5 𝑞1 − 25 𝑞2 = 0

Despejando las cantidades del empresario que se toma en consideración en función de los parámetros, recordando que según se desprende de la conjetura de Cournot las cantidades del otro empresario son una constante, se obtiene la función de reacción del Empresario 2.

𝑞2 =5.125−7,5 𝑞1

25= 205 − 0,3 𝑞1 (3)

Reemplazando la función de reacción del empresario 2 en la del empresario 1:

𝑞12 = 90.000 − 250 ∗ (205 − 0,3 𝑞1)

𝑞12 = 90.000 − 51.250 + 75 𝑞1

Reordenando: 𝑞12 − 75 𝑞1 − 38.750 = 0

22

De donde se obtienen dos puntos críticos: 𝑞1 = 237,89 y 𝑞1 = −162,89. Como es imposible producir unidades físicas negativas las cantidades serían 237,89.

Como vimos antes, las condiciones de segundo orden requieren que:

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1=

𝑑 𝐼𝑀𝑔1

𝑑𝑞1 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔1

𝑑𝑞1< 0 ⟹

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1= −0,06 𝑞1 < 0

Evaluando esta condición para las cantidades obtenidas antes:

−0,06 ∗ (237,89) = −14,27 < 0

−0,06 ∗ (−162,89) = 9,77 > 0

Deduciendo que para 237,89 se obtiene un máximo de los beneficios del empresario 1.

Reemplazando la producción del empresario 1 en la función de reacción del empresario 2 obtenemos las cantidades que este produciría para maximizar su beneficio.

𝑞2 = 205 − 0,3 ∗ (237,89) = 133,63

Verificando si se cumplen las condiciones de segundo orden para el empresario 2:

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2=

𝑑 𝐼𝑀𝑔2

𝑑𝑞2 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔2

𝑑𝑞2< 0 ⟹

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2= −25 < 0

Estas se cumplen sin necesidad de evaluar para las cantidades obtenidas de las condiciones de primer orden, entonces podemos decir que si el empresario 2 produce 133,63 maximiza los beneficios.

Con las cantidades óptimas que produce cada empresario es posible calcular las cantidades totales:

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 = 237,89 + 133,63

𝑞𝑡 = 371,52

Con estas se puede obtener el precio del mercado:

𝑝 = 5.200 − 7,5 ∗ (371,52)

𝑝 = 5.200 − 2.786, 4

𝑝 = 2.413,6

Una vez que se han identificado los niveles de producción y precio óptimo que maximiza la función de beneficios de cada empresario, se puede calcular el resto de los resultados:

Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 371,52 Precio en el mercado (P) = $ 2.413,60

empresario 1 Cantidades

ofrecidas (q1*) = 237,89

Ingresos por ventas (I1*) = $ 574.171,30

Costos Totales (C1*) = $ 454.913,49

Beneficios económicos (π1*) = $ 119.257,81






23

B. Líder y Seguidor (Modelo de Stackelberg)3

Stackelberg realiza una conjetura distinta a la de Cournot, donde uno de los empresarios tiene en cuenta al rival para determinar las cantidades que va a producir. El supuesto es que uno de los empresarios del duopolio actúa como líder y el otro lo sigue.

El líder asume que su rival va a seguirlo, por ello maximiza su beneficio teniendo en consideración la función de reacción del seguidor. Por su parte, el seguidor se reconoce como tal y decide su nivel de producción tomando como dadas las cantidades del empresario líder, es decir, ajusta sus cantidades según su función de reacción.

Por lo antes dicho, y suponiendo que la firma 1 lidera el mercado mientras que la firma 2 la sigue, calculamos la función de reacción del empresario 2 como lo hicimos para la conjetura de Cournot. No es necesario repetir todo el proceso solo se reproducen los resultados, las funciones de beneficios, condiciones de primer orden (las ecuaciones 3 y 4 respectivamente) y la función de reacción:

función de beneficios 𝜋2 = 𝑎𝑞2 − 𝑏𝑞1 𝑞2 − 𝑏𝑞22 − 𝑐𝑞2 − 𝑑

condiciones de primer orden 𝑑𝜋2

𝑑𝑞2= 𝑎 − 𝑏 𝑞1 − 2 𝑏 𝑞2 − 𝑐 = 0

función de reacción 𝑞2 = 𝑎 −𝑏 𝑞1−𝑐

2 𝑏

Como se dijo, el empresario 1 se reconoce como líder, sabe que el rival se comporta como seguidor y por ello maximiza su beneficio tomando como dadas las cantidades del líder. Entonces el empresario 1 elige las cantidades que maximizan su beneficio teniendo en cuenta la función de reacción del seguidor. Tomando el beneficio planteado para el caso de Cournot, la ecuación Nº 1:

𝜋1 = 𝑎𝑞1 − 𝑏𝑞12 − 𝑏𝑞1 𝑞2 − 𝑐𝑞1 − 𝑑

Reemplazando la función de reacción del empresario 2:

𝜋1 = 𝑎𝑞1 − 𝑏𝑞12 − 𝑏𝑞1 (

𝑎 −𝑏 𝑞1−𝑐

2 𝑏) − 𝑐𝑞1 − 𝑑

Operando, 𝜋1 = 𝑎𝑞1 − 𝑏𝑞12 − 𝑏𝑞1

1

2 𝑏(𝑎 − 𝑏 𝑞1 − 𝑐) − 𝑐𝑞1 − 𝑑

𝜋1 = 𝑎𝑞1 − 𝑏𝑞12 −

1

2𝑎𝑞1 +

1

2𝑏𝑞1

2 +1

2𝑐𝑞1 − 𝑐𝑞1 − 𝑑

𝜋1 = (1 − 1

2) 𝑎𝑞1 + (

1

2− 1) 𝑏𝑞1

2 + (1

2− 1) 𝑐𝑞1 − 𝑑

Resulta, 𝝅𝟏 =1

2𝑎𝑞1 −

1

2𝑏𝑞1

2 −1

2𝑐𝑞1 − 𝑑

Derivando e igualando a cero para obtener las condiciones de primero orden:

𝒅𝝅𝟏

𝒅𝒒𝟏=

1

2 𝑎 − 𝑏 𝑞1 −

1

2𝑐 = 0

Despejando se obtienen las cantidades del empresario 1:

𝒒𝟏 =1

2(

𝑎−𝑐

𝑏) =

𝑎−𝑐

2 𝑏

Reordenando la función de reacción del empresario 2,

𝑞2 = 𝑎 −𝑏 𝑞1−𝑐

2 𝑏=

𝑎 −𝑐

2 𝑏−

𝑏 𝑞1

2 𝑏 ⟹ 𝑞2 =

𝑎 −𝑐

2 𝑏−

𝑞1

2

3 Recibe este nombre en honor al economista Alemán Heinrich von Stackelberg por su pionero trabajo de 1934,

“Marktform und Gleichgewicht” (Equilibrio y Formas de Mercado).

24

Reemplazando las cantidades óptimas de la firma 1, se obtienen las cantidades que producirá el empresario 2:

𝑞2 = 𝑎 −𝑐

2 𝑏−

𝑎−𝑐

2 𝑏

2 ⟹ 𝑞2 =

𝑎 −𝑐

2 𝑏−

𝑎−𝑐

4 𝑏 ⟹ 𝑞2 =

2𝑎−2𝑐−𝑎+𝑐

4 𝑏 ⟹ 𝑞2 =

𝑎−𝑐

4 𝑏

Obteniendo: 𝒒𝟐 =1

4(

𝑎−𝑐

𝑏)

Las condiciones de segundo orden requieren que, para cada duopolista, el ingreso

marginal tenga menor pendiente que el costo marginal, es decir, que el costo marginal

corte al ingreso marginal por debajo.

𝑑 𝐼𝑀𝑔1

𝑑𝑞1<

𝑑 𝐶𝑀𝑔1

𝑑𝑞1

O que es igual, derivando una segunda vez el beneficio dado por la ecuación Nº 1:

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1=

𝑑 𝐼𝑀𝑔1

𝑑𝑞1 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔1

𝑑𝑞1< 0

Utilizando esta última formulación:

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1= −2 𝑏 < 0

Siendo el mismo proceso para el empresario 2:

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2=

𝑑 𝐼𝑀𝑔2

𝑑𝑞2 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔2

𝑑𝑞2< 0

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2= −2 𝑏 < 0

Al igual que en el caso de Cournot, ambas condiciones de segundo orden indican que b>0

y como suponemos una demanda lineal con pendiente negativa es que se puede afirmar

que las cantidades obtenidas para cada empresario maximizan su beneficio.

Recordando las unidades que produciría cada empresario según las conjeturas de Cournot,

se deduce que el empresario que actúa como líder produce más unidades de las que

produciría formulando la conjetura de Cournot, mientras que el seguidor produce menos.

Sumamos las cantidades de cada empresario para obtener las cantidades totales:

𝑞𝑡𝑆 = 𝑞𝐿

𝑆 + 𝑞𝑆𝑆

𝑞𝑡𝑆 =

1

2(

𝑎−𝑐

𝑏) +

1

4(

𝑎−𝑐

𝑏)

Sacando factor y denominador comunes se obtienen las cantidades totales que se transan en el mercado si utilizamos el supuesto de Stackelberg.

𝑞𝑡𝑆 =

3

4(

𝑎−𝑐

𝑏)

Recordando las cantidades de la solución de Cournot: 𝑞𝑡𝐶 =

2

3 𝑎 −𝑐

𝑏

Como bajo la conjetura de Stackelberg las cantidades son mayores se deduce que debería existir un precio menor. Para comprobarlo a continuación se calcula el precio.

Reemplazando las cantidades totales en la demanda inversa, se obtiene el precio que se cobra finalmente en el mercado:

𝑝𝑆 = 𝑎 − 𝑏 (3

4 𝑎 −𝑐

𝑏)

Para constatar la relación entre los precios bajo los supuestos de Cournot con los obtenidos para la solución de Stackelberg. Se recuerda también el precio de Cournot:

𝑝𝐶 = 𝑎 − 𝑏 (2

3 𝑎 −𝑐

𝑏)

Como en el precio de Stackelberg se detrae algo más, éste será menor que el resultante siguiendo la conjetura de Cournot.

Para obtener los beneficios de ambos empresarios hay que reemplazar las cantidades y el precio en las respectivas funciones de beneficios.

25

Volviendo a analizar el ejemplo numérico, siendo en este caso el empresario 1 «líder» y el empresario 2 «seguidor»:

𝑝 = 5.200 − 7,5 𝑞𝑡

Costos «líder»: 𝐶𝑇1 = 0,01 𝑞13 − 7,5 𝑞1

2 + 2.500 𝑞1 + 150.000

Costos «seguidor»: 𝐶𝑇2 = 5 𝑞22 + 75 𝑞2

Como se dijo antes, el empresario 2 decide sus cantidades tomando como dadas las

cantidades del líder, ajustando las unidades producidas en función de las que ofrezca su

rival. Por todo ello, utiliza la misma función de reacción que en el modelo de Cournot.

Reproduciendo las ecuaciones del beneficio, la condición de primer orden y la función de

reacción:

𝜋2 = 5.200 𝑞2 − 7,5 𝑞1𝑞2 − 7,5 𝑞22 − 5 𝑞2

2 − 75 𝑞2

𝑑𝜋2

𝑑𝑞2= 5.125 − 7,5 𝑞1 − 25 𝑞2 = 0

𝑞2 = 205 − 0,3 𝑞1

En cambio el empresario líder sigue otro comportamiento, tiene en cuenta las cantidades

del seguidor. Por ello su beneficio tiene incorporada la función de reacción del seguidor,

reemplazando la función de reacción en la ecuación Nº 1:

𝜋1 = 5.200𝑞1 − 7,5𝑞12 − 7,5𝑞1(205 − 0,3𝑞1) − 0,01𝑞1

3 + 7,5𝑞12 − 2.500𝑞1 − 150.000

𝜋1 = 5.200𝑞1 − 7,5𝑞12 − 1.537,5𝑞1 + 2,25𝑞1

2 − 0,01𝑞13 + 7,5𝑞1

2 − 2.500𝑞1 − 150.000

𝜋1 = 3.662,5𝑞1 − 5,25𝑞12 − 0,01𝑞1

3 + 7,5𝑞12 − 2.500𝑞1 − 150.000

La siguiente condición de primer orden se obtiene derivando e igualando a cero:

𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= 3.662,5 − 10,5𝑞1 − 0,03𝑞1

2 + 15𝑞1 − 2.500 = 0

Reordenando: 𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= −0,03 𝑞1

2 + 4,5 𝑞1 + 1.162,5 = 0

De esta ecuación se obtienen dos posibles cantidades: -135.64 y 285,64, si bien para definir cuáles son las cantidades que maximizan el beneficio del empresario necesitamos calcular las condiciones de segundo orden podrían desestimarse las negativas por ser imposible su producción física.

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1= −0,06 𝑞1 + 4,5 < 0

Evaluando para las cantidades críticas obtenidas en las condiciones de primer orden:

−0,06 (285,64) + 4,5 = −12,64 < 0

Debido a que se satisfacen las condiciones de segundo orden se puede afirmar que el empresario 1 maximiza su beneficio produciendo 285,64 unidades del bien. Como dijimos, al seguir las conjeturas de Stackelberg el empresario 2 tiene en cuenta estas cantidades, por ello reemplazamos las cantidades óptimas del empresario 1 en la función de reacción del empresario 2.

𝑞2 = 205 − 0,3 ∗ (285,64) = 119,31

La condición de segundo orden:

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2= −25 < 0

26

Verificando que se cumplen las condiciones de segundo orden se puede afirmar que 119,31 es un máximo del beneficio del empresario 2. Comparando con el caso donde los empresarios forman conjeturas siguiendo el supuesto de Cournot, vemos que el empresario que actúa como líder produce más mientras que el seguidor produce menos. Sumando las cantidades de ambos se obtienen las cantidades totales:

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 = 285,64 + 119,31

𝑞𝑡 = 404,95

Al igual que en el caso simbólico planteado más arriba, las cantidades que se producen en la industria son mayores en el modelo de Stackelberg que en el de Cournot. Reemplazando en la demanda inversa:

𝑝 = 5.200 − 7,5 ∗ (404,95)

𝑝 = 5.200 − 3.037,12

𝑝 = 2.162,88

Como es de esperarse, teniendo una demanda con pendiente negativa, al producirse más unidades en el modelo de Stackelberg que en el de Cournot el precio que se cobra es menor.

Una vez que hemos identificado los niveles de producción y el precio óptimos que maximizan las funciones de beneficios de cada empresario, podemos ya calcular el resto de los resultados:

Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 404,95 Precio en el mercado (P) = $ 2.162,88

empresario 1

«líder» Cantidades





empresario 2

«seguidor» Cantidades





Comparando los beneficios que obtiene la empresa líder con los que obtenía en el modelo de Cournot se ve como estos crecen al ejercer el liderazgo en la industria.

27

C. Modelo de Colusión

Cuando los empresarios de una industria se ponen de acuerdo en maximizar los beneficios de la misma evitando disputas por el mercado se dice que existe colusión en dicha industria. El resultado de esto es la formación de un cartel, este enfrenta dos problemas: maximizar el beneficio de la industria y lograr subsistir.

Suponiendo que existen dos empresas en la industria el beneficio de la industria es:

𝜋𝐼 = 𝜋1 + 𝜋2

𝜋𝐼 = 𝐼𝑇1 − 𝐶𝑇1 + 𝐼𝑇2 − 𝐶𝑇2

𝜋𝐼 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞1 − 𝐶𝑇(𝑞1) + 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞2)

Como ambas empresas forman el total del mercado puede decirse que 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2, entonces:

𝜋𝐼 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞𝑡 − 𝐶𝑇(𝑞1) − 𝐶𝑇(𝑞2)

𝜋𝐼 = 𝐼𝑇(𝑞𝑡) − 𝐶𝑇(𝑞1) − 𝐶𝑇(𝑞2)

Siendo esta expresión igual al beneficio de un monopolista multiplanta, de forma que puede afirmarse que un cartel se comporta como un monopolista.

Utilizando la regla de la cadena4 para derivar el beneficio de la industria e igualando a cero para hallar las condiciones de primer orden:

𝑑𝜋1


𝑑𝜋2


De donde se deduce que:

𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1) = 𝐶𝑀𝑔2(𝑞2)

Las condiciones de segundo orden exigen que:

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞1< 0

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞2< 0

|𝐻| = |

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞1

𝑑2𝜋𝐼

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋𝐼

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞2

| > 0

Son diferentes a los modelos de Cournot o Stackelberg porque en este caso se trata del beneficio de la industria que engloba a las dos empresas mientras que en los anteriores modelos cada empresa solo tenía interés por maximizar sus propios beneficios.

4 Regla de la cadena:

Se tiene el beneficio: 𝜋𝐼 = 𝐼𝑇(𝑞𝑡) − 𝐶𝑇(𝑞1) − 𝐶𝑇(𝑞2)

Derivando respecto 𝑞1 𝑑𝜋1

𝑑𝑞1=

𝑑𝐼𝑇(𝑞𝑡)

𝑑𝑞1∗

𝑑𝑞𝑡

𝑑𝑞1− 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1)

Como 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 𝑑𝑞𝑡

𝑑𝑞1= 1

Entonces 𝑑𝜋1

𝑑𝑞1=

𝑑𝐼𝑇(𝑞𝑡)

𝑑𝑞1∗ 1 − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1)

𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1)

28

Volviendo al ejemplo numérico:

𝑝 = 5.200 − 7,5 𝑞𝑡

𝐶𝑇1 = 0,01 𝑞13 − 7,5 𝑞1

2 + 2.500 𝑞1 + 150.000

𝐶𝑇2 = 5 𝑞22 + 75 𝑞2

El beneficio de la industria es

𝜋𝐼 = 𝐼𝑇(𝑞𝑡) − 𝐶𝑇(𝑞1) − 𝐶𝑇(𝑞2)

𝜋𝐼 = (5.200 − 7,5 𝑞𝑡) 𝑞𝑡 − (0,01 𝑞13 − 7,5 𝑞1

2 + 2.500 𝑞1 + 150.000) − (5 𝑞22 + 75 𝑞2)

𝜋𝐼 = 5.200 𝑞𝑡 − 7,5 𝑞𝑡2 − 0,01 𝑞1

3 + 7,5 𝑞12 − 2.500 𝑞1 − 150.000 − 5 𝑞2

2 − 75 𝑞2

Utilizando la regla de la cadena para derivar el beneficio de la industria e igualando a cero se hallan las condiciones de primer orden:

𝑑𝜋𝐼

𝑑𝑞1= 5.200 − 15 𝑞𝑡 − 0,03 𝑞1

2 + 15 𝑞1 − 2.500 = 0

𝑑𝜋𝐼

𝑑𝑞2= 5.200 − 15 𝑞𝑡 − 10 𝑞2 − 75 = 0

Dado que 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 y reordenando obtenemos

𝑑𝜋𝐼

𝑑𝑞1= 2.700 − 15 𝑞2 − 0,03 𝑞1

2 = 0

𝑑𝜋𝐼

𝑑𝑞2= 5.125 − 15 𝑞1 − 25 𝑞2 = 0

Reordenado la última condición de primer orden, y despejando las cantidades del empresario 2:

25 𝑞2 = 5.125 − 15 𝑞1 ⟹ 𝑞2 = 205 − 0,6 𝑞1

Reemplazando esta relación en la condición de primer orden del empresario 1:

2.700 − 15 ∗ (205 − 0,6 𝑞1) − 0,03 𝑞12 = 0

2.700 − 3.075 + 9 𝑞1 − 0,03 𝑞12 = 0

−375 + 9 𝑞1 − 0,03 𝑞12 = 0

Esta ecuación arroja, para las cantidades del empresario 1, dos puntos críticos: 50 y 250.

Calculamos las condiciones de segundo orden para ver cuál de los puntos críticos maximiza los beneficios del empresario 1.

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞1= −0,06 𝑞1

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞2= −25

A su vez se calculan las derivadas cruzadas para poder resolver el correspondiente hessiano:

𝑑2𝜋𝐼


𝑑2𝜋𝐼

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1= −15

|𝐻| = |−0,06 𝑞1 −15

−15 −25| = −0,06 𝑞1 ∗ (−25) − (−15 ∗ (−15)) = 1,5 𝑞1 − 225

El siguiente caso se cumple para cualquier cantidad que arroje la condición de primer orden:

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞2= −25 < 0

Evaluando las otras condiciones para el valor crítico 50:

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞1= −0,06 ∗ (50) = −3 < 0 |𝐻| = 1,5 ∗ (50) − 225 = −150 < 0

29

El hessiano no posee el signo adecuado por lo tanto en 𝑞1 = 50 no hay un máximo. Evaluamos las condiciones para 𝑞1 = 250,

𝑑2𝜋𝐼

𝑑2𝑞1= −0,06 ∗ (250) = −15 < 0 |𝐻| = 1,5 ∗ (250) − 225 = 150 > 0

Estas cantidades maximizan los beneficios de la industria. Reemplazando en la relación entre ambas cantidades:

𝑞2 = 205 − 0,6 ∗ (250) = 205 − 150 = 55

El empresario 2 producirá 55 unidades para maximizar el beneficio de la industria.

Sumando las unidades que produce cada empresario se obtienen las cantidades totales que se ofertaran en la industria:

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 = 250 + 55 = 305

Reemplazando en la demanda inversa se obtiene el precio

𝑝 = 5.200 − 7,5 ∗ (305) = 5.200 − 2.287,5 = 2.912,5

Una vez que hemos identificado los niveles de producción y precio óptimos que maximizan los beneficios de la industria, podemos ya calcular el resto de los resultados:

Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 305 Precio en el mercado (P) = $ 2.912,50


ofrecidas (q1*) = 250









D. Resumen

Realizaremos una breve comparación entre los tres modelos planteados anteriormente.

El modelo de Stackelberg es el que ofrece mayores cantidades en la industria, y por lo tanto, menores precios. En el extremo opuesto esta la colusión, con las mismas cantidades que un monopolio multiplanta y el mayor precio. Entre estos dos casos está el modelo de Cournot.

El beneficio de la industria es el mayor en la colusión y menor en el modelo de Stackelberg.

Por otro lado, el empresario 1, incrementa su beneficio al actuar como líder en el modelo de Stackelberg respecto del beneficio que obtiene en el modelo de Cournot, mientras que el empresario 2 lo reduce al comportarse como seguidor.

30

PARTE III: TEORÍA DE JUEGOS5

Al hablar de Teoría de Juegos en Economía nos estamos refiriendo a la interdependencia estratégica de los agentes económicos. En la mayoría de los casos el pensamiento estratégico se encuentra en el mundo empresarial, pero no se excluye de otros procesos de negociación que pueden incluir otros actores económicos tales como consumidores y gobiernos.

John Nash fue quizás quien le dio el giro más relevante a la teoría en el siglo XX, sin embargo, los primeros pasos de esta herramienta matemática se dieron hace más de 200 años y se ha aplicado a una infinidad de disciplinas además de la Economía.

Específicamente, en Microeconomía la Teoría de los Juegos se desarrolló ampliamente con infinidad de aplicaciones. Sin embargo, es importante entender que la Teoría de Juegos puede usarse en ámbitos tan amplios como negociaciones políticas, modelos de biología, juegos de mesa así como interpretación de la conducta económica.

Se empieza con un juego sencillo con supuestos simplificadores para analizar los elementos constitutivos básicos de todo juego. La interdependencia estratégica puede involucrar infinidad de jugadores y estrategias pero vamos a simplificar la interacción a dos personas para representar fácilmente una matriz de resultados o «matriz de pagos». El término «matriz de pagos» resulta más relevante porque sugiere la idea de que por la estrategia que armen los jugadores van a recibir una retribución positiva o negativa.

Recompensa: es la utilidad que reciben los jugadores al completar el juego, la evaluación

posterior a la realización de la acción sobre si el objetivo buscado fue alcanzado. También

es importante la recompensa esperada, ya que es ésta en realidad la que motiva la acción.

A. Estrategias Dominantes

Supongamos una matriz de pagos con la siguiente

estructura y contenido:

Jugador B

Izquierda Derecha

Jugador A Arriba 1,2 0,1

Abajo 2,1 1,0

El juego en este caso consiste en elegir simultáneamente dónde se va a parar cada jugador. El jugador A puede elegir filas (arriba o abajo); el jugador B puede elegir columnas (izquierda o derecha). Es importante entender que si bien la elección de la estrategia se da de manera simultánea, la realización de la misma puede no darse de manera simultánea. Esta distinción resulta crucial para los resultados de algunos juegos.

En este caso estamos frente a un par de estrategias dominantes dado que cada jugador tiene una estrategia óptima independientemente de lo que haga el otro.

Cualquiera sea lo que elija el jugador B, el A obtendrá un mejor resultado si elige “abajo”. Y cualquiera que sea lo que elija el jugador A, el jugador B obtendrá un mejor resultado si elige “izquierda». La solución de este tipo de juego es sencilla porque las estrategias óptimas de cada jugador tienen a un equilibrio que es “abajo, izquierda”.

5 Material complementario elaborado por Ignacio Bruera

31

B. El equilibrio de Nash para estrategias puras

En el mundo real los juegos que presentan estrategias dominantes no son muy frecuentes.

Supongamos el siguiente ejemplo:

Jugador B

Izquierda Derecha

Jugador A Arriba 2,1 0,0

Abajo 0,0 1,2

En este caso, cuando B elige «izquierda», los resultados de A son 2 ó 0; y cuando elige «derecha», los resultados de A son 0 ó 1. Por lo tanto, cuando B elige «izquierda», A querrá elegir arriba dado que 1 > 0; y cuando B elige derecha, A querrá elegir abajo, por la misma razón. De esta manera, se ve claramente que ya no resulta irrelevante para un jugador lo que haga el otro.

Así, en la búsqueda de una solución, exigir que se dé una estrategia dominante puede resultar muy exigente. Lo que Nash plantea, en cambio, es algo menos exhaustivo: propone que, por ejemplo, la elección de A fuera óptima no para TODAS las elecciones óptimas de B sino para elecciones óptimas de B dado que si B es un jugador bien informado y racional, sólo querrá elegir estrategias óptimas. Por lo tanto, tenemos un equilibrio de Nash cuando la elección de A es óptima, dada la de B, y la de B es óptima, dada la de A.

Los jugadores pueden tener alguna expectativa sobre lo que hará el otro pero hay que recordar que no lo saben seguro a la hora de elegir la estrategia. En la figura, si A elige «arriba» lo mejor que puede hacer B es elegir «izquierda» dado que en caso de elegir «derecha» obtiene 0 en lugar de 1. Lo mismo para A: si B elige «izquierda», lo mejor que puede hacer es elegir «arriba» dado que si elige «abajo» obtendrá 0 en lugar de 2.

Entonces, un equilibrio de Nash estará definido como la elección óptima de una estrategia por parte de una persona dada la elección de la otra.

Si se observa bien, esto no es más que la generalización del equilibrio de Cournot que vieron antes, demostrándose así que el pensamiento estratégico en términos de teoría de los juegos tiene larga data. En ese caso cada empresa elegía su nivel de producción, considerando fija la elección de la otra. De esta manera, la empresa se preocupaba por maximizar su beneficio dando por sentado que las otras empresas mantendrían la estrategia elegida inicialmente.

Lo que Nash hizo, como matemático, fue generalizar este razonamiento intuitivo dando la posibilidad de que se aplique en otras situaciones que no sean la explicación de la conducta de un oligopolista. Este razonamiento implica una dinámica de elección distinta a aquella que ayudó a construir la economía política clásica y la microeconomía neoclásica. Desde Adam Smith en adelante se decía que se obtendría el mayor beneficio social a partir de la maximización del beneficio individual y, es por esto que hay quienes afirman que Nash revolucionó 200 años de pensamiento económico (si bien los escritos no matemáticos relativos a los beneficios de la cooperación no eran ninguna novedad hacia 1950).

Pero toda revolución tiene sus problemas. Muchas veces lo que se busca en economía y en diferentes disciplinas son soluciones únicas. Para empezar, el equilibrio de Nash expresado en su forma pura no plantea soluciones únicas para determinados casos.

En el ejemplo dado que el juego es simétrico la misma lógica aplicada que nos llevó a la solución (arriba, izquierda) nos lleva también a la solución (abajo, derecha).

32

C. El equilibrio de Nash para estrategias mixtas

Pero el segundo problema resulta más importante dado que tiene que ver con la existencia de la solución. En determinados juegos, puede no encontrarse soluciones de Nash por lo que la lógica del equilibrio o solución de Nash para estrategias puras no resulta general en los ejemplos.

El siguiente ejemplo muestra un caso en el que no pueden

encontrarse soluciones de Nash a partir de estrategias puras:

Jugador B

Izquierda Derecha

Jugador A Arriba 0,0 0,-1

Abajo 1,0 -1,3

En este caso, si el jugador A elige «arriba», lo mejor que podrá hacer el jugador B será elegir «izquierda» dado que se evita de perder 1 y queda en 0; ahora bien, si B elige «izquierda», lo mejor que puede hacer A es elegir «abajo» dado que ganará 1 en lugar de nada.

Sin embargo, los dos problemas no aparecen si se amplía la definición de solución de Nash incluyendo la herramienta matemática de la probabilidad estadística. Hasta ahora estuvimos hablando de estrategia pura. Los jugadores elegían exclusivamente «arriba» o «abajo» y «derecha» o «izquierda». Acá se introduce el concepto de estrategia mixta que tiene que ver con la conducta según la cual los individuos asignan una probabilidad a cada elección y actúan de acuerdo a ella. De esta manera, se puede hablar de la “probabilidad” de que determinado jugador elija una posición determinada. Por ejemplo, “el 75% de las veces, el jugador A eligió «arriba»”, lo que es lo mismo que decir, que de 4 veces que se jugó el juego, A eligió «arriba» en tres ocasiones.

Entonces, se define el equilibrio de Nash para estrategias mixtas como aquel en el que cada agente elige la frecuencia óptima con la que seguirá sus estrategias, dada la frecuencia que elija el otro.

En el ejemplo, la probabilidad objetiva de solución para ambos jugadores será:

Jugador A: 0 dado que (1 + 0 + 0 + (-1)) / 4 = 0

Jugador B: ½ dado que (0 + 0 + (-1) + 3) / 4 = ½

Se calcula el promedio de los pagos posibles para cada uno de los jugadores.

Entonces, se llegará a una solución de Nash siempre que el jugador A elija «arriba» con una probabilidad de ¾ y «abajo» con una probabilidad de ¼, y el jugador B elija «izquierda» con una probabilidad de ½ y «derecha» con una probabilidad de ½.

Así: ¾ * (0 + 0) + ¼ * (1 – 1) = 0

¾ * (0 + 0) + ¼ * (-1 + 3) = ½

Por lo tanto, una definición general del equilibrio de Nash que envuelve tanto aquel para estrategias puras como mixtas dice:

Un equilibrio de Nash consiste en las expectativas sobre la probabilidad de que se elijan las diferentes estrategias y en la probabilidad de que se elijan las estrategias propias, tales que:

1. Las expectativas son correctas (es decir, los jugadores son racionales y no se equivocan respecto de las estrategias propias y ajenas).

2. Cada uno de los jugadores elige las estrategias que maximizan su utilidad esperada.

33

Es evidente que el equilibrio de Nash es un equilibrio basado en acciones y expectativas. En condiciones de equilibrio, cada uno de los jugadores prevé correctamente la probabilidad de que el otro elija las diferentes opciones y las expectativas de los dos son mutuamente correctas. Nótese que una estrategia pura no es más que un caso particular de las estrategias mixtas en las que la probabilidad de elegir alguna posición corresponde al 100%.

34

PARTE IV: COMPETENCIA MONOPOLÍSTICA

Este modelo nace por el aporte de Edwar Chamberline6 como respuesta a las inquietudes planteadas por Piero Sraffa7 y Joan Robinson8 en torno a la falta de teoría que diera cuenta de los mercados situados entre la competencia perfecta y el monopolio.

En oposición a los modelos de oligopolio y de competencia perfecta los bienes en este modelo son heterogéneos, la diferenciación de ellos le permite al empresario ostentar cierto poder de monopolio. Pero mantiene la característica de la competencia perfecta de la libre entrada y de la competencia por cantidades y precios. Como vemos comparte características de ambos modelos por eso recibe tal nombre.

Se pueden agrupar a las firmas que producen y venden bienes que son sustitutos cercanos entre ellos en una misma “industria”. Esta clasificación puede ser criticada por subjetiva, puesto que el límite en el cual los bienes dejan de ser sustitutos cercanos no está bien marcado. Pero aun así es útil a fines de nombrar al grupo de empresas que van a concurrir al mercado analizado.

A los fines de la determinación de los equilibrios del modelo a corto y largo plazo –si bien resulta posible trabajar sin recurrir a ellas– las simplificaciones que a continuación se realizan permiten una más clara y sencilla exposición.

Si suponemos que todas las empresas tienen funciones de costo idénticas, podemos trabajar con una empresa representativa (la firma k). Dado que los bienes producidos por las empresas de una misma industria son sustitutos cercanos, entonces la demanda que enfrenta el empresario representativo será función de las cantidades producidas por él (qk) y de las producidas por el resto de las i firmas (qi).

Adicionalmente, sólo con el objetivo de ver más claramente la dinámica del ajuste hacia la situación del equilibrio, supondremos que nuestro empresario representativo actúa como si su acción no tuviese efecto en el resto de las firmas de la industria.

6 Chamberlin, Edgard (1933) “The Theory of Monopolistic Competition”. Harvard University Press. 7 Sraffa, Piero (1926) “The Laws of Returns Ander Competitive Conditions”. Economic Journal. 8 Robinson, Joan (1933) “The Economics of Imperfect Competition”. Macmillan.

35

A. Solución de corto plazo

Planteamos el problema de corto plazo, suponiendo que sea lineal la curva de demanda inversa que enfrenta la empresa representativa, la misma será:

𝑝𝑘 = 𝐴 − 𝑎 𝑞𝑘 − ∑( 𝑏𝑖 ∗ 𝑞𝑖)

𝑛

𝑖=1;𝑖≠𝑘

9

Con todo esto los beneficios de la firma representativa son:

𝜋𝑘 = 𝐼 − 𝐶 = 𝑝𝑘(𝑞𝑘 ; 𝑞𝑖) ∗ 𝑞𝑘 − 𝐶(𝑞𝑘)

La condición de primer orden será:

𝑑𝜋𝑘

𝑑𝑞𝑘= 𝐼𝑀𝑔𝑘 − 𝐶𝑀𝑔𝑘 = 0

Al igual que en el caso del monopolio simple la condición de primer orden pide que el ingreso marginal sea igual al costo marginal. Pero en este caso el ingreso marginal además de ser función de qk es función de qi. En este punto, si la empresa representativa puede incrementar sus beneficios modificando su nivel de producción, también lo pueden hacer (y lo harán) el resto de las empresas. Con los supuestos simplificadores que hemos realizado, si a la empresa k le resulta conveniente ofrecer qk unidades, a las firmas competidoras también.

Por ello es que una vez determinada la condición de primer orden, a los efectos de determinar las cantidades que resultarán de equilibrio a corto plazo, podemos establecer que qk = qi. En síntesis, para encontrar las cantidades ofertadas por la firma representativa reemplazamos qi por qk en el ingreso marginal. De esta forma queda todo en función de qk.

Para comprobar si se trata de un máximo o un mínimo hay que evaluar las condiciones de segundo orden. Éstas nos exigen que el ingreso marginal sea cortado desde abajo por el costo marginal, o formalmente:

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞

9 Dados los supuestos antes enunciados se puede expresar la sumatoria de la siguiente forma:

∑( 𝑏𝑖 ∗ 𝑞𝑖)

𝑛

𝑖=1;𝑖≠𝑘

= ∑( 𝑏𝑖 ∗ 𝑞𝑖)

𝑛−1

𝑖=1;𝑖≠𝑘

= 𝑏1 ∗ 𝑞1 + 𝑏2 ∗ 𝑞2 + ⋯ + 𝑏𝑛−1 ∗ 𝑞𝑛−1

Como a su vez supusimos que todos los empresarios son idénticos se están sumando términos iguales, de forma que la sumatoria se reduce a,

= 𝑏 ∗ 𝑞 ∗ (𝑛 − 1)

36

Veamos un ejemplo práctico, utilizando una demanda lineal:

𝑝𝑘 = 2.000 − 2 𝑞𝑘 − ∑ 0,01 𝑞𝑖

𝑛

𝑖=1;𝑖≠𝑘

Donde a=2, bi= 0,01, qk son las cantidades ofrecidas por el mismo empresario y qi son las ofrecidas por cada una de las restantes firmas.

Con unos costos dados por: 𝐶 = 0,02 𝑞𝑘3 − 7,5 𝑞𝑘

2 + 1.700 𝑞𝑘 + 500

Sabiendo además que en la industria existen 250 firmas (n=250), se puede resolver el problema. Construimos la función de beneficios del empresario representativo:

𝜋𝑘 = 𝑝𝑘(𝑞𝑘 ; 𝑞𝑖) ∗ 𝑞𝑘 − 𝐶(𝑞𝑘)

𝜋𝑘 = (2.000 − 2 𝑞𝑘 − ∑ 0,01 𝑞𝑖𝑛𝑖=1;𝑖≠𝑘

) ∗ 𝑞𝑘 − (0,02 𝑞𝑘3 − 7,5 𝑞𝑘

2 + 1.700 𝑞𝑘 + 500)

Como qi es igual para cada empresa resolvemos la sumatoria:

∑ 0,01 𝑞𝑖250𝑖=1;𝑖≠𝑘

= (250 − 1) ∗ 0,01 𝑞𝑖

De modo que función de beneficios del empresario representativo es:

𝜋𝑘 = 2.000 𝑞𝑘 − 2 𝑞𝑘2 − 0,01 ∗ (250 − 1) 𝑞𝑖𝑞𝑘 − 0,02 𝑞𝑘

3 + 7,5 𝑞𝑘2 − 1.700 𝑞𝑘 − 500

De forma que la condición de primer orden quedará:

𝑑𝜋𝑘

𝑑𝑞𝑘= 𝐼𝑀𝑔𝑘 − 𝐶𝑀𝑔𝑘 = 2.000 − 4 𝑞𝑘 − 0,01 ∗ (250 − 1) 𝑞𝑖 − 0,06 𝑞𝑘

2 + 15 𝑞𝑘 − 1.700

Como aclaramos antes, para obtener las cantidades de equilibrio, hacemos qk = qi.

Reemplazando y despejando qk: −0,06 𝑞𝑘2 + 8,51 𝑞𝑘 + 300

Esto nos da dos valores críticos de las cantidades producidas por el empresario representativo: qk = 171,06 y qk = -29,22. Evaluamos las condiciones de segundo orden para cada una (aunque desecharemos cantidades negativas por no poder producirse físicamente):

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞 ⟹ −4 − 2,49 < 0,12 𝑞𝑘 − 15 ⟹ 70,92 < 𝑞𝑘

Vemos que para las cantidades negativas no se cumple, pero que sí se verifica para las cantidades positivas (mayores a 71). Entonces qk = 171,06 es el nivel de producción óptimo.

Cantidades ofrecidas por cada empresario (qi*) = 171,06

Emp

resa

k Ingresos por ventas

(Ik*) = $ 210.736,89

Cantidades ofrecidas por la industria (incluyendo a la empresa k) Σ qi= 42.765,61 Costos Totales (Ck*) = $ 171.952,26

Precio en el mercado (P) = $ 1.231,93 Beneficios ec. (πk*) = $ 38.784,63

Gráficamente tendríamos:

Co

mp

eten

cia

Mo

no

po

lísti

ca -

So

luci

ón

de

cort

o p

lazo

37

B. Solución de largo plazo

Para la determinación de la solución de largo plazo debemos buscar el nivel de producción donde los beneficios extraordinarios se anulen, o lo que es igual, que el costo medio sea igual al precio. Como la cantidad de empresas puede variar porque está permitida la libre entrada y salida, ésta también es una incógnita. Recordando que para estar en equilibrio se debe dar la igualdad entre qk = qi, a la condición de máximo de corto plazo se le suma: 𝑝𝑘(𝑞𝑘) = 𝐶𝑀𝑒𝑘(𝑞𝑘)

De existir dos niveles que cumplen esta condición, debe optarse por aquel en el cual el costo medio tenga mayor pendiente que la curva de demanda inversa.

Resolvemos el ejemplo anterior:

𝑝𝑘 = 2.000 − 2 𝑞𝑘 − ∑ 0,01 𝑞𝑖

𝑛

𝑖=1;𝑖≠𝑘

𝐶 = 0,02 𝑞𝑘3 − 7,5 𝑞𝑘

2 + 1.700 𝑞𝑘 + 500

Eso nos plantea un problema ya que tenemos unos costos de corto plazo para resolver un problema de largo plazo. A pesar de ello, el cálculo de la solución es útil a fines de poder compararla con la de corto plazo.

Cantidades ofrecidas por c/ empresa (qi*) = 138,15 Em

pre

sa k

Ingresos por

ventas (Ik*) = $ 144.951,14 Número de empresas en la industria = 489,22

Cantidades ofrecidas por la industria (incluyendo a la empresa k) Σ qi= 67.587,88

Costos Totales (Ck*) = $ 144.951,14

Precio en el mercado (P) = $ 1.049,19 Beneficios ec.

(πk*) = 0

38

A continuación resolvemos correctamente el problema, trabajando con una función de costos de largo plazo. Manteniéndose inalterada la demanda.

𝑝𝑘 = 2.000 − 2 𝑞𝑘 − ∑ 0,01 𝑞𝑖

𝑛

𝑖=1;𝑖≠𝑘

𝐶𝐿𝑃 = 0,01 𝑞𝑘3 − 7,5 𝑞𝑘

2 + 2.000 𝑞𝑘

Resolvemos la condición de largo plazo: 𝑝𝑘(𝑞𝑘) = 𝐶𝑀𝑒𝑘(𝑞𝑘)

2.000 − 2 𝑞𝑘 − 0,01(𝑛 − 1)𝑞𝑖 = 0,01 𝑞𝑘2 − 7,5 𝑞𝑘 + 2.000 (1)

A su vez por 𝐼𝑀𝑔𝑘(𝑞𝑘) = 𝐶𝑀𝑔𝑘(𝑞𝑘)

2.000 − 4 𝑞𝑘 − ∑ 0,01 𝑞𝑖𝑛𝑖=1;𝑖≠𝑘

= 0,03 𝑞𝑘2 − 15 𝑞𝑘 + 2.000

−4 𝑞𝑘 − 0,01(𝑛 − 1) 𝑞𝑖 = 0,03 𝑞𝑘2 − 15 𝑞𝑘 (2)

Después de reemplazar qk = qi por las razones antes expuestas. Tenemos dos incógnitas (n y qk ) y dos ecuaciones. Despejando (n - 1) de (2) y reemplazando en (1) se puede obtener qk

2.000 − 2 𝑞𝑘 − 0,01 ∗ (0,03 𝑞𝑘

2−11 𝑞𝑘

−0,01 𝑞𝑖) 𝑞𝑖 = 0,01 𝑞𝑘

2 − 7,5 𝑞𝑘 + 2.000

Reordenando: 0,02 𝑞𝑘2 − 5,5 𝑞𝑘 = 0

Obtenemos qk = 275 reemplazando en (2) obtenemos n = 276. Verificamos las condiciones de segundo orden:

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞 ⟹ −4 < 0,06 𝑞𝑘 − 15 ⟹ 183,33 < 𝑞𝑘

Que se verifican para qk = 275, entonces es un óptimo.

Cantidades ofrecidas por c/ empresa (qi*) = 275

Emp

resa

k

Ingresos por ventas (Ik*) = $ 190.781,25 Número de empresas en la industria = 276

Cantidades ofrecidas por la industria (incluyendo a la empresa k) Σ qi= 75.900


Precio en el mercado (P) = $ 693,73 Beneficios ec.

(πk*) = 0

Co

mp

eten

cia

Mo

no

po

lísti

ca -

So

luci

ón

de

larg

o p

lazo

39

Margen sobre Costos: distancia entre el precio de venta y el costo marginal

𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔 = 𝑃 (1 +1

𝜀𝐷)

𝐶𝑀𝑔

𝑃= (1 +

1

𝜀𝐷) ⟹

𝐶𝑀𝑔

𝑃− 1 =

1

𝜀𝐷

𝐶𝑀𝑔−𝑃

𝑃=

1

𝜀𝐷

𝑃 − 𝐶𝑀𝑔

𝑃= −

1

𝜀𝐷

Elasticidad-Precio de la Demanda: variación de las cantidades demandadas ante un incremento del precio en una u.m.

𝑝 = 𝐴 − 𝐵 𝑞

𝑞 =𝐴 − 𝑝

𝐵

𝜀𝐷 =𝑑 𝑞

𝑑 𝑝∗

𝑝

𝑞=

−𝐵

𝐵2∗

𝑝

𝐴 − 𝑝𝐵

= −1 ∗𝑝

𝐴 − 𝑝

40

Ejercicios:

Ejercicio 1. Dada la siguiente función de demanda de mercado del bien q:

𝑝 = 1.500 – 0,5 𝑞 𝑝 = 𝐴 − 𝐵𝑞

a) Obtener la función de ingreso marginal a la que se enfrentaría un monopolista.

𝐼 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 = 1.500 𝑞 – 0,5 𝑞2

𝐼𝑀𝑔 = 1.500 – 𝑞 𝐼𝑀𝑔 = 𝐴 − 2𝐵𝑞

𝐼𝑀𝑔 = 0 ⟺ 𝑞 = 1.500

b) Calcular para que valores de q la demanda es elástica. 𝜀: (−∞ ; −1)

𝑞 =𝑝 − 1.500

−0,5 𝐼𝑀𝑔 = 𝐶𝑀𝑔

𝜀𝐷 =𝑑 𝑞

𝑑 𝑝∗

𝑝

𝑞= –

0,5

(−0,5)2 ∗–0,5 𝑞 + 1.500

𝑞< −1

𝜀𝐷 = –1

0,5∗

–0,5 𝑞 + 1.500

𝑞< −1

⟹ – 0,5 𝑞 + 1.500 > 0,5 𝑞

1.500 > 𝑞

𝑷−𝑪𝑴𝒈

𝑷= −

𝟏

𝜺𝑫⟹ 𝜀𝐷 = −

𝑃

𝑃−𝐶𝑀𝑔< −1

𝜀𝐷 = −1.500 –0,5 𝑞

1.500 – 0,5 𝑞 −1.500 + 𝑞< −1

⟹ – 0,5 𝑞 + 1.500 > 0,5 𝑞

1.500 > 𝑞

La demanda es elástica para cantidades de q entre 0 y 1.500.

c) Calcular para que valores de q la demanda es inelástica. 𝜀: (−1 ; 0)

𝜀𝐷 =𝑑 𝑞

𝑑 𝑝∗

𝑝

𝑞= –

0,5

(−0,5)2 ∗–0,5 𝑞 + 1.500

𝑞> −1

𝜀𝐷 = –1

0,5∗

–0,5 𝑞 + 1.500

𝑞> −1

⟹ – 0,5 𝑞 + 1.500 < 0,5 𝑞

1.500 < 𝑞

𝑷−𝑪𝑴𝒈

𝑷= −

𝟏

𝜺𝑫⟹ 𝜀𝐷 = −

𝑃

𝑃−𝐶𝑀𝑔> −1

𝜀𝐷 = −1.500 –0,5 𝑞

1.500 – 0,5 𝑞 −1.500 + 𝑞> −1

⟹ – 0,5 𝑞 + 1.500 < 0,5 𝑞

1.500 < 𝑞

La demanda es inelástica para cantidades de q entre 1.500 y 3.000.

Índice de Lerner

41

Ejercicio 2. Dada la siguiente función de Costos: 𝐶 = 4 𝑞2 + 12 𝑞 + 320

a) Determinar el nivel de producción y beneficios si vende su producto en un mercado competitivo cuyo precio de venta es 𝑝 = 400. R: q* = 48,5; π* = 9.089

b) Determinar el nivel de producción, beneficios, y precio de venta si es el único oferente de un mercado donde 𝑝 = 500 – 0,5𝑞. R: q* = 54,22; p* = 472,89; π* = 12.910,23

c) Verificar las condiciones de segundo orden. d) Determinar las cantidades que serían ofrecidas simulando las condiciones de

competencia perfecta de largo plazo (𝐶 = 4 𝑞2 + 12 𝑞). R: q* = 108,44. e) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y

beneficios alcanzados con el nivel de producción utilizado en el punto anterior. R:

p* = 428,52; I* = C* = 159.768; π* = 0.

f) Determinar la elasticidad del costo para el nivel de producción obtenido en el punto “d)”. Especificar los rendimientos a escala observables a dicho nivel de producción. R: E - Costo = 1,97; Rendimientos decrecientes a escala.

g) Determinar si, dadas las funciones de costos y de demanda, existe subaditividad de costos. En caso afirmativo, determinar si se trata de un monopolio natural fuerte o débil. R: Como NO hay subaditividad de costos NO se trata de un monopolio natural.

a) Costo fijo ⟹ Corto plazo ⟹ solución cuasi–competitiva

Buscamos el nivel de producción donde el costo marginal sea igual al precio

𝑝 = 400 𝐶𝑀𝑔 = 8 𝑞 + 12

𝑷(𝒒) = 𝑪𝑴𝒈

400 = 8 𝑞 + 12 ⟹ 𝑞 = 48,5

(c) Relación 𝑑 𝑃

𝑑 𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑 𝑞⟹ 0 < 8.

Verificamos que para q = 48,5 ⟹ 0 < 8.


Ingresos por ventas (I*) = $ 19.400

Costos Totales (C*) = $ 10.311

Precio (p*) = $ 400 Beneficios económicos (π*) = $ 9.089

b) monopolio simple

𝑝 = 500 – 0,5𝑞 𝐶𝑇 = 4 𝑞2 + 12 𝑞 + 320

Función de beneficios: 𝜋 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 − 𝐶𝑇(𝑞)

𝜋 = 500 𝑞 − 0,5 𝑞2 − 4 𝑞2 − 12 𝑞 − 320

Condición de primer orden para max.:

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 =

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 500 − 𝑞 − 8 𝑞 − 12 = 0

488 − 9 𝑞 = 0 ⟺ 𝑞 = 54,22

(c) Condición de segundo

orden: 𝑞 = 54,22

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞2=

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −9 < 0

⇒


Ingresos por ventas (I*) = $ 25.641,0863

Costos Totales (C*) = $ 12.730,8642

Precio (p*) = $ 472,8889 Beneficios económicos (π*) = $ 12.910,2221

42

d) simulación de condiciones de competencia perfecta de largo plazo

𝑃(𝑞) = 500 – 0,5 𝑞 𝐶𝑇 = 4 𝑞2 + 12 𝑞

Función de Costos Medios: 𝐶𝑀𝑒(𝑞) = 4 𝑞 + 12

Nivel de producción 𝑃(𝑞) = 𝐶𝑀𝑒

500 – 0,5 𝑞 = 4 𝑞2 + 12 ⟹ 500 − 12 = 4 𝑞 + 0,5 𝑞

⟹ 𝑞 = 108,44

Relación 𝑑 𝑃

𝑑 𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑒

𝑑 𝑞 – 0,05 < 8 𝑞 ⇒ ⇒




e) Precio (p*) = $ 445,78 Beneficios económicos (π*) = $ 0

f) Elasticidad-Costo para

q = 108,44

𝜀𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 =𝑑 𝐶

𝑑 𝑞∗

𝑞

𝐶= (8 𝑞 + 12) ∗

𝑞

4 𝑞2+12 𝑞


𝑑 𝑞∗

𝑞

𝐶= 879,56 ∗

108,44

48.342,12= 1,9731

Rendimientos a escala 𝜺𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 = 1,9731 > 1 ⟹

𝜺𝑸 = 0,5068 < 1 ⟹

g) ¿monopolio natural?

Subaditividad de costos

CMe1(q*) < CMe2

(q*)

𝐶𝑀𝑒(𝑞=108,44)1 = 4 𝑞 + 12 = 445,78

𝐶𝑀𝑒(𝑞=54,22)2 = 4 𝑞 + 12 = 228,89

⇒

43

Ejercicio 3. Dada la siguiente función de costos de fabricación del bien q: 𝐶 = 0,75 𝑞3– 25 𝑞2 + 7.500 𝑞 + 3.000.000

a) Determinar las cantidades óptimas ofrecidas por el monopolista si la demanda del bien está dada por 𝑝 = 85.000 – 300 𝑞. Verificar las condiciones de segundo orden. R: q* = 100.

b) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios alcanzados. R: p* = 55.000; I* = 5.500.000; C* = 4.250.000; π* = 1.250.000.

c) Determinar las cantidades que serían ofrecidas simulando las condiciones de competencia perfecta de corto plazo (solución cuasi–competitiva). R: q* = 138,17.

d) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios alcanzados con el nivel de producción establecido en el punto anterior. R: p* = 43.548; I* = 6.017.172; C* = 5.537.492; π* = 479.680.

a) monopolio simple

Función de Demanda: 𝑃(𝑞) = 85.000 – 300 𝑞

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞) = 0,75 𝑞3– 25 𝑞2 + 7.500 𝑞 + 3.000.000

Función de Beneficios:

𝜋 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 − 𝐶𝑇(𝑞)

𝜋 = 85.000 𝑞 − 300 𝑞2 − 0,75 𝑞3 + 25 𝑞2 − 7.500 𝑞 − 3.000.000

Condición de primer orden para

maximización π:

𝑑𝜋


𝑑𝜋

𝑑𝑞= 85.000 − 600 𝑞 − 2 ,25 𝑞2 + 50 𝑞 − 7.500 = 0

−2 ,25 𝑞2 − 550 𝑞 + 77.500 = 0 ⟺ 𝑞 = −344,44 ó 𝑞 = 100

Condición de segundo orden.

Evaluamos 𝑞 = 100

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞2 = 𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −4,5 𝑞 − 550 < 0

⇒


Ingresos por ventas (I*) = $ 5.500.000

Costos Totales (C*) = $ 4.250.000

b) Precio (p*) = $ 55.000 Beneficios económicos (π*) = $ 1.250.000

c) solución cuasi–competitiva: simulando condiciones de competencia perfecta de corto plazo

Función de Demanda: 𝑃(𝑞) = 85.000 – 300 𝑞

Función de Costos Marginales: 𝐶𝑀𝑔(𝑞) = 2 ,25 𝑞2 − 50 𝑞 + 7.500

Nivel de producción 𝑃(𝑞) = 𝐶𝑀𝑔

85.000 – 300 𝑞 = 2 ,25 𝑞2 − 50 𝑞 + 7.500

−2 ,25 𝑞2– 250 𝑞 + 77.500 = 0 ⟺ 𝑞 = −249,28 ó 𝑞 = 138,17

Relación 𝑑 𝑃

𝑑 𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑 𝑞

– 300 < 4,5 𝑞 − 50

⇒ ⇒


Ingresos por ventas (I*) = $ 6.017.172,25

Costos Totales (C*) = $ 5.537.492,29

d) Precio (p*) = $ 43.548,01 Beneficios económicos (π*) = $ 479.679,96

44

Ejercicio 4. Dada la siguiente función de costos de fabricación del bien q: 𝐶 = 0,0005 𝑞3– 0,7 𝑞2 + 620 𝑞

a) Determinar las cantidades óptimas ofrecidas por el monopolista si la demanda del bien está dada por 𝑝 = 820 – 1,05 𝑞. Verificar las condiciones de segundo orden. R: q* = 200.

b) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios alcanzados. R: p* = 610; I* = 122.000; C* = 100.000; π* = 22.000.

c) Determinar la elasticidad del costo para el nivel de producción obtenido en el punto “a)”. Especificar los rendimientos a escala observables a dicho nivel de producción. R: E - Costo = 0,8; Rendimientos crecientes a escala.

d) Determinar las cantidades que serían ofrecidas simulando las condiciones de competencia perfecta de largo plazo (solución competitiva). R: q* = 372,84.

e) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos totales y beneficios alcanzados con el nivel de producción utilizado en el punto anterior. R:

p* = 428,52; I* = C* = 159.768; π* = 0.

f) Determinar la elasticidad del costo para el nivel de producción obtenido en el punto “d)”. Especificar los rendimientos a escala observables a dicho nivel de producción. R: E - Costo = 0,72; Rendimientos crecientes a escala.

g) Determinar si, dadas las funciones de costos y de demanda, existe subaditividad de costos. En caso afirmativo, determinar si se trata de un monopolio natural fuerte o débil. R: Como existen rendimientos crecientes a escala hay subaditividad de costos; y por estas

dos condiciones se trata de un monopolio natural fuerte.

a) monopolio simple

Función de Demanda: 𝑃(𝑞) = 820 – 1,05 𝑞

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞) = 0,0005 𝑞3– 0,7 𝑞2 + 620 𝑞

Función de Beneficios: 𝜋 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 − 𝐶𝑇(𝑞)

𝜋 = 820 𝑞 − 1,05 𝑞2 − 0,0005 𝑞3 + 0,7 𝑞2 − 620 𝑞

Condición de primer orden

para maximización π:

𝑑𝜋


𝑑𝜋

𝑑𝑞= 820 − 2,1 𝑞 − 0,0015 𝑞2 + 1,4 𝑞 − 620 = 0

−0,0015 𝑞2 − 0,7 𝑞 + 200 = 0 ⟺ 𝑞 = −666,67 ó 𝑞 = 200

Condición de segundo orden. Evaluamos q = 200

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −0,003 𝑞 − 0,7 < 0

⟹




b) Precio (p*) = $ 610 Beneficios económicos (π*) = $ 22.000

c) Elasticidad-Costo

para q = 200


𝑑 𝑞∗

𝑞

𝐶= (0,0015 𝑞2– 1,4 𝑞 + 620) ∗

𝑞

0,0005 𝑞3–0,7 𝑞2+620 𝑞


𝑑 𝑞∗

𝑞

𝐶= 400 ∗

200

100.000=

4

5= 0,8

Rendimientos a escala

𝜺𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 = 0,8 < 1 ⟹

𝜺𝑸 = 1,25 > 1 ⟹

45

d) simulación de condiciones de competencia perfecta de largo plazo

Función de Demanda: 𝑃(𝑞) = 820 – 1,05 𝑞

Función de Costos Medios: 𝐶𝑀𝑒(𝑞) = 0,0005 𝑞2– 0,7 𝑞 + 620

Nivel de producción 𝑃(𝑞) = 𝐶𝑀𝑒

820 – 1,05 𝑞 = 0,0005 𝑞2– 0,7 𝑞 + 620

−0,0005 𝑞2– 0,35 𝑞 − 200 = 0 ⟺ 𝑞 = −1.072,84 ó 𝑞 = 372,84

Relación 𝑑 𝑃

𝑑 𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑒

𝑑 𝑞

– 1,05 < 0,001 𝑞 − 0,7

⇒ ⇒




e) Precio (p*)

= $ 428,52 Beneficios económicos (π*) = $ 0

f) Elasticidad-Costo para

q = 372,84


𝑑 𝑞∗

𝑞

𝐶= (0,0015 𝑞2– 1,4 𝑞 + 620) ∗

𝑞

0,0005 𝑞3–0,7 𝑞2+620 𝑞


𝑑 𝑞∗

𝑞

𝐶= 306,54 ∗

372,84

159.768,40= 0,7153

Rendimientos a escala 𝜺𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐 = 0,7153 < 1 ⟹

𝜺𝑸 = 1,3980 > 1 ⟹

g) monopolio natural


CMe1(q*) < CMe2

(q*)

𝐶𝑀𝑒(𝑞=372,84)1 = 0,0005 𝑞2– 0,7 𝑞 + 620 = 428,52

𝐶𝑀𝑒(𝑞=186,42)2 = 0,0005 𝑞2– 0,7 𝑞 + 620 = 506,88

⇒

Monopolio natural fuerte 𝑑 𝐶𝑀𝑒(𝑞∗)

𝑑 𝑞< 0

𝑑 𝐶𝑀𝑒(𝑞=372,84)

𝑑 𝑞= 0,001 𝑞 − 0,7 = −0,32716 < 0

⇒ ￬￪

46

Ejercicio 5. Dada la siguiente función de costos de fabricación del bien q: 𝐶1(𝑞1) = 0,0015 𝑞1

3– 2,1 𝑞12 + 1.860 𝑞1

𝐶2(𝑞2) = 0,0015 𝑞23– 2,1 𝑞2

2 + 1.860 𝑞2 a) Determinar las cantidades óptimas ofrecidas por el monopolista si la demanda del

bien está dada por 𝑝 = 2.500– 𝑞𝑡. Especifique las cantidades producidas en cada

planta y las cantidades totales. Verificar las condiciones de segundo orden. R: q1*=

400; q2* = 400; qt* = 800. b) Determinar el precio de equilibrio, ingreso total del empresario, costos por cada

planta y totales y beneficios alcanzados. R: p* = 1.700; I* = 1.360.000; C1* = 504.000; C2*

= 504.000; Ct* = 1.008.000; π* = 352.000.

a) monopolio simple con dos plantas (iguales)

Función de Demanda: 𝑃(𝑞𝑡) = 2.500 – 𝑞𝑡

Función de Costos: 𝐶1(𝑞1) = 0,0015 𝑞1

3– 2,1 𝑞12 + 1.860 𝑞1

𝐶2(𝑞2) = 0,0015 𝑞23– 2,1 𝑞2

2 + 1.860 𝑞2 ⇒


𝜋 = 𝑝(𝑞𝑡) ∗ 𝑞𝑡 − 2 ∗ 𝐶1(𝑞1)

𝜋 = 2.500 𝑞𝑡 − 𝑞𝑡2 − 0,003 𝑞1

3 + 4,2 𝑞12 − 3.720 𝑞1

𝜋 = 5.000 𝑞1 − (2 𝑞1)2 − 0,003 𝑞13 + 4,2 𝑞1

2 − 3.720 𝑞1


para max. π:

𝑑𝜋


𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 5.000 − 8 𝑞1 − 0,009 𝑞1

2 + 8,4 𝑞1 − 3.720 = 0

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 1.280 + 0,4 𝑞1 − 0,009 𝑞1

2 = 0

⟺ 𝑞1 = −355,56 ó 𝑞1 = 400

Condición de segundo orden. Evaluamos q1 = 400

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞12 =

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −0,018 𝑞 + 0,4 < 0

⟹

Cantidades de Planta 1 (q1*) = 400 Costos de Planta 1 (C1*) = $ 504.000


Cantidades ofrecidas por el empresario (qt*) = 800 Costos Totales (Ct*) = $ 1.008.000

b) Precio (p*) = $ 1.700 Ingresos por ventas (I*) = $ 1.360.000

Beneficios económicos (π*) = $ 352.000

47

Ejercicio 6. Dada la siguiente función de Costos: 𝐶 = 0,25 𝑞2 + 250 𝑞 a) Determinar el nivel de producción, beneficios, y precio de venta si es el único

oferente de un mercado donde 𝑝 = 500– 0,5𝑞. R: q*= 166,66; π*= 20.833,33; p*= 416,67.

b) Verificar las condiciones de segundo orden c) Si ahora tiene la posibilidad de vender en dos mercados (mercado 2: 𝑝 = 400),

determine nivel de producción, cantidades ofrecidas, beneficios y precios de venta en cada mercado. R: q1*= 100; q2*= 200; p1*= 450; p2*= 400; π1*= 17.500; π2*= 20.000.

a) monopolio simple

Función de Demanda: 𝑃(𝑞) = 500 − 0,5 𝑞

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞) = 0,25 𝑞2 + 250 𝑞

Función de Beneficios: 𝜋 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 − 𝐶𝑇(𝑞) = 500 𝑞 − 0,5 𝑞2 − 0,25 𝑞2 − 250 𝑞



𝑑𝜋


𝑑𝜋

𝑑𝑞= 500 − 𝑞 − 0,5 𝑞 − 250 = 0

−1,5 𝑞 + 250 = 0 ⟺ 𝑞 = 166,67

(b) Condición de segundo orden. Evaluamos q = 166,67

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −1,5 < 0

⟹





c) monopolio con dos mercados (Discriminación de Tercer Grado)

Funciones de Demanda: 𝑃1(𝑞1) = 500 − 0,5 𝑞1 𝑃2 = 400

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞𝑡) = 0,25 𝑞𝑡2 + 250 𝑞𝑡

Función de Beneficios: 𝜋 = 𝑝1(𝑞1) ∗ 𝑞1 + 𝑝2(𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞𝑡)

𝜋 = 500 𝑞1 − 0,5 𝑞12 + 400 𝑞2 − 0,25 𝑞𝑡

2 − 250 𝑞𝑡

Condiciones de primer orden


𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔1 − 𝐶𝑀𝑔 = 500 − 𝑞1 − 0,5 𝑞𝑡 − 250 = 0 (1)

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔2 − 𝐶𝑀𝑔 = 400 − 0,5 𝑞𝑡 − 250 = 0 (2)

(1) = (2) → 500 − 𝑞1 = 400 ⟹ 𝑞1 = 100

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 ⟹ 500 − 𝑞1 − 0,5 𝑞1 − 0,5 𝑞2 − 250 = 0

500 − 100 − 50 − 0,5 𝑞2 − 250 = 0 ⟹ 𝑞2 = 200

Condiciones de segundo orden. Evaluamos

q1 = 100

q2 = 200

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞12 = −1 − 0,5 = −1,5 < 0

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞22 = −0,5 < 0

𝑑2𝜋


𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1= −0,5

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑𝑞12

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞22

|

|𝐻| = |−1,5 −0,5−0,5 −0,5

| = 0,5 > 0

Mercado 1 2 Totales

Cantidad Ofrecida (q1*) = 100 (q2*) = 200 (qt*) = 300

Precio (P1) = $ 450 (P2) = $ 400

Ingresos (I1*)= $ 45.000 (I2*)= $ 80.000 (It*)=$ 125.000

Costos (C1*)= $ 27.500 (C2*)= $60.000 (Ct*)= $87.500

Beneficios económicos (π1*) = $ 17.500 (π2*) = $20.000 (πt*) = $37.500

48

Ejercicio 7. Un monopolista discriminador de precios en dos mercados (siendo imposible para los compradores adquirir el producto en un mercado y revenderlo en otro) cuyas funciones de demanda son respectivamente:

p1 = 122 -12 q1 p2 = 52 -8 q2 Si la función coste total de producción es C = 200 + 20 (q1 + q2) se pide:

a) Determinar las cantidades correspondientes, los precios y el beneficio máximo. R:

q1*= 4,25; q2* = 2; p1* = 71; p2* = 36; π* = 48,75.

b) Verifique las condiciones de segundo grado (suficientes).

a) monopolio discriminador con dos mercados (Discriminación de Tercer Grado)

Funciones de Demanda: 𝑃1(𝑞1) = 122 − 12 𝑞1 𝑃2(𝑞2) = 52 − 8 𝑞2

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞) = 200 + 20 (𝑞1 + 𝑞2)

Función de Beneficios: 𝜋 = 𝑝1(𝑞1) ∗ 𝑞1 + 𝑝2(𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞𝑡)

𝜋 = 122 𝑞1 − 12 𝑞12 + 52 𝑞2 − 8 𝑞2

2 − 20 𝑞1 − 20 𝑞2 − 200


maximización π:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔1 − 𝐶𝑀𝑔 = 122 − 24 𝑞1 − 20 = 0 ⇒ 𝑞1 =

17

4= 4,25

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔2 − 𝐶𝑀𝑔 = 52 − 16 𝑞2 − 20 = 0 ⇒ 𝑞2 = 2

(b) Condiciones de

segundo orden. Evaluamos

q1 = 4,25

q2 = 2

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞12 = −24 < 0

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞22 = −16 < 0

𝑑2𝜋


𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1= 0

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑𝑞12

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞22

|

|𝐻| = |−24 −15−15 −16

| = 384 > 0

Mercado 1 2 Totales

Cantidad Ofrecida (q1*) = 4,25 (q2*) = 2 (qt*) = 6,25

Precio (P1) = $ 71 (P2) = $ 36

Ingresos (I1*)= $ 301,75 (I2*)= $ 72 (It*)=$ 373,75

Costos (Ct*)= $325

Beneficios económicos (πt*) = $48,75

49

Ejercicio 8. Un monopolista perfectamente discriminador cuyas funciones de demanda y coste son respectivamente: P = 250 – 8 q C = 120 + 40 q +q2 Se pide:

a) Determinar las cantidades correspondientes, el precio marginal y el beneficio máximo. R: q marginal = 21; p marginal = 82; π* = 2.085

b) Corroborar las condiciones de segundo orden.

a) monopolio perfectamente discriminador (Discriminación de Primer Grado)

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞1) = 250 − 8 𝑞

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞) = 𝑞2 + 40 𝑞 + 120

Función de Beneficios: 𝜋 = 𝐼 − 𝐶 = ∫ 𝑝(𝑞) 𝑑𝑞 − 𝐶(𝑞)

𝜋 = ∫(250 − 8 𝑞) 𝑑𝑞 − 𝑞2 − 40 𝑞 − 120


maximización π:

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 250 − 8 𝑞 − 2 𝑞 − 40 = 0

−10 𝑞 + 210 = 0 ⟺ 𝑞 = 21

(b) Condiciones de segundo orden.

Evaluamos q = 21

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −10

⇒

Ingresos por ventas 𝐼∗ = ∫ (250 − 8 𝑞)21

0𝑑𝑞 =

21

0| 250 𝑞 − 4 𝑞2 = 3.486

Cantidades marginales ofrecidas por el

empresario (q*) = 21



Precio marginal (p*) = $ 82 Beneficios económicos (π*) = $ 2.085

50

Ejercicio 9. En el mercado de fabricantes de electrodomésticos prevalece una situación de competencia monopolística. Hay 51 empresas cuyas funciones de demanda y de costos son idénticas:

𝑝𝑘 = 200 − 𝑞𝑘 − 0,02 ∑ 𝑞𝑖

51

𝑖=1𝑖≠𝑘

𝐶𝑘 = 0,09 𝑞𝑘3– 5 𝑞𝑘

2 + 152 𝑞𝑘

A partir de lo anterior, se le pide:

a) Calcular la cantidad producida por la empresa representativa, la cantidad total producida en el mercado y el precio vigente en el mismo; y el beneficio de la empresa representativa en el corto plazo. R: qk*= 31,56; qt*= 1.609,51; p*= 136,88; π*=

1.673,88.

b) Determinar el número de empresas, la cantidad producida por la empresa representativa, la cantidad total producida en el mercado y el precio vigente en el mismo en el largo plazo. R: N*= 209; qk* = 22,22; qt*= 4.644,44; p*= 85,33.

a) competencia monopolística - corto plazo

función de beneficios del

empresario representativo


𝜋𝑘 = (200 − 𝑞𝑘 − 0,02 ∑ 𝑞𝑖51𝑖=1𝑖≠𝑘

) ∗ 𝑞𝑘 − (0,09 𝑞𝑘3– 5 𝑞𝑘

2 + 152 𝑞𝑘)

∑ 0,02 𝑞𝑖51𝑖=1;𝑖≠𝑘

= (51 − 1) ∗ 0,02 𝑞𝑖 = 𝑞𝑖

𝜋𝑘 = 200 𝑞𝑘 − 𝑞𝑘2 − 𝑞𝑖 𝑞𝑘 − 0,09 𝑞𝑘

3 + 5 𝑞𝑘2 − 152 𝑞𝑘

condición de primer orden

𝑑𝜋𝑘

𝑑𝑞𝑘= 𝐼𝑀𝑔𝑘 − 𝐶𝑀𝑔𝑘 = 200 − 2 𝑞𝑘 − 𝑞𝑖 − 0,27 𝑞𝑘

2 + 10 𝑞𝑘 − 152 = 0

48 + 7 𝑞𝑘 − 0,27 𝑞𝑘2 = 0 ⟺ 𝑞𝑘 = −5,63 ó 𝑞𝑘 = 31,559097

condición de segundo orden

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞 ⟹ −2 < 0,54 𝑞𝑘 − 10 ⟹ 14,81 < 𝑞𝑘

𝑞𝑘 = 31,56 verifica

Cantidades ofrecidas por cada empresario (qi*) = 31,56

Emp

resa


(Ik*) = $ 4319,81


Precio en el mercado (P) = $ 136,88 Beneficios ec. (πk*) = $ 1.673,82

51

b) competencia monopolística - largo plazo

𝑝𝑘 = 200 − 𝑞𝑘 − 0,02 ∑ 𝑞𝑖

51

𝑖=1𝑖≠𝑘

𝐶𝑘𝐿𝑃 = 0,09 𝑞𝑘

3– 5 𝑞𝑘2 + 152 𝑞𝑘


𝑝𝑘(𝑞𝑘) = 𝐶𝑀𝑒𝑘(𝑞𝑘)

200 − 𝑞𝑘 − 0,02 (𝑛 − 1) 𝑞𝑖 = 0,09 𝑞𝑘2– 5 𝑞𝑘 + 152 (1)

𝐼𝑀𝑔𝑘(𝑞𝑘) = 𝐶𝑀𝑔𝑘(𝑞𝑘)

200 − 2 𝑞𝑘 − 0,02 (𝑛 − 1) 𝑞𝑖 = 0,27 𝑞𝑘2 − 10 𝑞𝑘 + 152

(𝑛 − 1) =0,27 𝑞𝑘

2−8 𝑞𝑘−48

−0,02 𝑞𝑖 (2)

(2) en (1) 200 − 𝑞𝑘 − 0,02 (

0,27 𝑞𝑘2−8 𝑞𝑘−48

−0,02 𝑞𝑖) 𝑞𝑖 = 0,09 𝑞𝑘

2– 5 𝑞𝑘 + 152

−4 𝑞𝑘 + 0,18 𝑞𝑘2 = 0 ⟺ 𝑞𝑘 = 0 ó 𝑞𝑘 = 22,22

(𝑛 − 1) =0,27∗ (22,22)2 − 8 ∗ (22,22) − 48

−0,02 ∗ (22,22)= 208


𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞 ⟹ −2 < 0,54 𝑞𝑘 − 10 ⟹ 14,81 < 𝑞𝑘

𝑞𝑘 = 22,22 verifica

Cantidades ofrecidas por cada empresa (qi*) = 22,22

Emp

resa

k

Ingresos por ventas (Ik*) = $ 1.896,30 Número de empresas en la industria = 209

Cantidades ofrecidas por la industria (incluyendo a la empresa k) Σ qi= 4.644,44


Precio en el mercado (P) = $ 85,33 Beneficios ec.

(πk*) = 0

52

Ejercicio 10. Considere el caso de un monopsonista que utiliza un solo input X (trabajo) para la elaboración de un producto Q que vende en un mercado de competencia perfecta a un precio fijo p = 5. Siendo sus funciones de producción y de oferta de trabajo: Q = 17,5x2 – 0,25 x3 r = 75 + 5x

a) Calcule los valores de x, q y r para los que maximiza su beneficio. R: x*= 43,54; Q*=

12.540,26; r*= $292,7; π*= 49.957,16.

b) Verifique condiciones de segundo grado (suficientes).

a) monopsonio

curva de oferta del mercado (de pendiente positiva):

coste medio de los factores CMeF: indica la cantidad media de retribución (por trabajador) que hay que pagar para lograr un nivel dado de insumo (empleo)

𝑟 = 𝐶𝑀𝑒𝐹 = 75 + 5𝑥

coste total de un nivel dado de insumo (empleo):

coste total de los factores o CTF: ej.: nivel de empleo multiplicado por el valor correspondiente de CMeF

𝐶𝑇𝐹 = 𝑥 ∗ 𝐶𝑀𝑒𝐹

𝐶𝑇𝐹 = 75 𝑥 + 5 𝑥2

coste marginal de los factores o CMgF: cantidad en la que varía el coste total de los factores como consecuencia de la incorporación de una unidad de insumo adicional (ej. contratación de un trabajador)

𝐶𝑀𝑔𝐹 = 𝑑 𝐶𝑇𝐹

𝑑 𝑥

𝐶𝑀𝑔𝐹 = 75 + 10 𝑥

Dado que la contratación de un trabajador adicional siempre significa pagar más a los trabajadores

existentes, la curva CMgF siempre se encontrará por encima de la CMeF correspondiente.

Si la curva CMeF es una línea recta con la fórmula CMeF=a+bX, la curva CMgF correspondiente será una

línea recta que tendrá la misma ordenada en el origen y el doble de pendiente que la CMeF: CMgF=a+2bX

Ingreso 𝐼 = 𝑝 ∗ 𝑄 = 5 ∗ 17,5 𝑥2 – 5 ∗ 0,25 𝑥3 = 87,5 𝑥2 – 1,25 𝑥3

Ingreso marginal 𝐼𝑀𝑔 =𝑑 𝐼

𝑑 𝑥= 175 𝑥 – 3,75 𝑥2

Beneficio 𝜋 = 𝐼 – 𝐶𝑇𝐹

𝜋 = 87,5 𝑥2 − 1,25 𝑥3 − 75 𝑥 − 5 𝑥2


𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 175 𝑥 – 3,75 𝑥2 − 75 − 10 𝑥

– 3,75 𝑥2 + 165 𝑥 − 75 = 0 ⟺ 𝑥 = 0,46 ó 𝑥 = 43,54

(b) Condición de segundo orden

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞2=

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= 175 − 7,5 𝑥 − 10 < 0

⟹ 𝑥 > 22 𝑥 = 43,54

x*= 43,54 I* = 62.701,32

R* = CMeF* = 292,70 CTF* = 12.744,16

Q*= 12.540,26 π* = 49.957,16

53

Ejercicio 11. Considere un duopolio cuya función de demanda y costos son: P = 1200 – 6 (q1 + q2) C1 = 6 q1

2 C2 = 60 q2 a) Se pide, aplicando la Solución de Cournot, los valores de equilibrio, el precio, la

cantidad y el beneficio de cada empresa. Determine las funciones de reacción de ambos duopolistas. R: q1*= 30; q2*= 80; p*= 540; π1*= 10.800; π2* = 38.400.

b) Se pide que aplicando la Solución de Stackelberg en donde el duopolista Nº 1 actúa como líder y el duopolista Nº 2 actúa como seguidor determine, los valores de equilibrio del precio, la cantidad y el beneficio de cada empresa. R: q1*= 35; q2*= 77,5;

p*= 525; π1*= 11.025; π2*= 36.037,5.

a) Duopolio: Solución de Cournot

empresario 1 empresario 2

Funciones de beneficios

𝜋1 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞1 − 𝐶𝑇(𝑞1)

𝜋1 = (1.200 − 6 𝑞𝑡) ∗ 𝑞1 − (6 𝑞12)

𝜋1 = 1.200 𝑞1 − 6 𝑞12 − 6 𝑞1𝑞2 − 6 𝑞1

2

𝜋2 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞2)

𝜋2 = (1.200 − 6 𝑞𝑡) ∗ 𝑞2 − (60 𝑞2)

𝜋2 = 1.200 𝑞2 − 6 𝑞1𝑞2 − 6 𝑞22 − 60 𝑞2

Condiciones de primer orden y Funciones de reacción

𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= 1.200 − 12 𝑞1 − 6 𝑞2 − 12 𝑞1 = 0

1.200 − 24 𝑞1 − 6 𝑞2 = 0

⟹ 𝑞1 = 50 − 0,25 𝑞2

𝑑𝜋2

𝑑𝑞2= 1.200 − 6 𝑞1 − 12 𝑞2 − 60 = 0

1.140 − 6 𝑞1 − 12 𝑞2 = 0

⟹ 𝑞2 = 95 − 0,5 𝑞1

Cantidades a producir para maximizar beneficios

𝑞1 = 50 − 0,25 ∗ (95 − 0,5 𝑞1)

𝑞1 = 50 − 23,75 + 0,125 𝑞1

⟹ 0,875 𝑞1 = 26,25 ⟹ 𝑞1 = 30

𝑞2 = 95 − 0,5 𝑞1 = 95 − 0,5 ∗ (30)

⟹ 𝑞2 = 80

condiciones de segundo orden

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1=

𝑑 𝐼𝑀𝑔1

𝑑𝑞1 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔1

𝑑𝑞1< 0

⟹ 𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1= −24 < 0

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2=

𝑑 𝐼𝑀𝑔2

𝑑𝑞2 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔2

𝑑𝑞2< 0

⟹ 𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2= −12 < 0

cantidades totales y precio del mercado

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 = 110 𝑝 = 1.200 − 6 𝑞𝑡 = 540

Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 110 Precio en el mercado (P) = $ 540



Ingresos por ventas (I1*) = $ 16.200

Costos Totales (C1*) = $ 5.400

Beneficios económicos (π1*) = $ 10.800






54

b) Duopolio: Solución de Stackelberg

P = 1200 – 6 (q1 + q2) C1 = 6 q1

2 C2 = 60 q2

empresario 2

𝜋2 = 1.200 𝑞2 − 6 𝑞1𝑞2 − 6 𝑞22 − 60 𝑞2

𝑑𝜋2

𝑑𝑞2= 1.200 − 6 𝑞1 − 12 𝑞2 − 60

𝑞2 = 95 − 0,5 𝑞1

Función de beneficios empresario 1

𝜋1 = (1.200 − 6 𝑞𝑡) ∗ 𝑞1 − (6 𝑞12)

𝜋1 = 1.200 𝑞1 − 6 𝑞12 − 6 𝑞1𝑞2 − 6 𝑞1

2

𝜋1 = 1.200 𝑞1 − 6 𝑞12 − 6 𝑞1 ∗ (95 − 0,5 𝑞1) − 6 𝑞1

2

𝜋1 = 630 𝑞1 − 3 𝑞12 − 6 𝑞1

2

Condiciones de primer oren

𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= 630 − 6 𝑞1 − 12 𝑞1 = 0

630 − 18 𝑞1 = 0 ⟹ 𝑞1 = 35

Condiciones de segundo orden

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1=

𝑑 𝐼𝑀𝑔1

𝑑𝑞1 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔1

𝑑𝑞1< 0

⟹ 𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1= −24 < 0

𝑞2 = 95 − 0,5 𝑞1 = 95 − 0,5 ∗ (35)

⟹ 𝑞2 = 77,5

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2= −12 < 0

cantidades totales y precio del mercado

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 = 112,5 𝑝 = 1.200 − 6 𝑞𝑡 = 525

Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 110 Precio en el mercado (P) = $ 525,00

empresario 1

«líder» Cantidades





empresario 2

«seguidor» Cantidades





55

Ejercicio 12. Considere un duopolio cuya función de demanda y costos son: P = 400 – 2 (q1 + q2) C1 = 18 q1

2 C2 = 40 q2 Se pide los valores de equilibrio de precio y cantidad y los beneficios de cada empresa, considerando:

a) Solución Cuasi-competitiva. R: q1*= 1,11; q2* = 178,89; qt* = 180; p* = 40 π1* = 22,22; π2* =0.

b) Solución de Colusión. R: q1*= 1,11; q2* = 88,89; qt* = 90; p* = 220; π1* = 222,22 π2* = 16.000.

a) Duopolio: Solución Cuasi-competitiva

𝑝 = 400 − 2 𝑞𝑡 𝐶𝑇1 = 18 𝑞12 𝐶𝑇2 = 40 𝑞2

𝑝 = 𝐶𝑀𝑔1 = 𝐶𝑀𝑔2

400 − 2 𝑞1 − 2 𝑞2 = 36 𝑞1 = 40

𝑞1 =40

36= 1,11

𝑞2 =360−2 𝑞1

2= 178,89




Ingresos por ventas (I1*) = $ 44,40

Costos Totales (C1*) = $ 22,18

Beneficios económicos (π1*) = $ 22,22





Beneficios económicos (π2*) = 0

56

b) Duopolio: Solución de Colusión

𝑝 = 400 − 2 𝑞𝑡 𝐶𝑇1 = 18 𝑞12 𝐶𝑇2 = 40 𝑞2

función de beneficios 𝜋 = 𝑝(𝑞𝑡) ∗ 𝑞𝑡 − 𝐶1(𝑞1) − 𝐶2(𝑞2)

𝜋 = (400 − 2 𝑞𝑡 ) ∗ 𝑞𝑡 − (18 𝑞12) − (40 𝑞2)

𝜋 = 400 𝑞𝑡 − 2 𝑞𝑡2 − 18 𝑞1

2 − 40 𝑞2

condiciones de primer orden

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1) = 400 − 4 𝑞𝑡 − 36 𝑞1 = 0 (1)

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔2(𝑞2) = 400 − 4 𝑞𝑡 − 40 = 0 (2)

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 360 − 4 𝑞1 − 4 𝑞2 = 0

90 − 𝑞1 = 𝑞2 (3)

En (1) qt por q1 + q2:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 400 − 4 𝑞1 − 4 𝑞2 − 36 𝑞1 = 0

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= −4 𝑞2 − 40 𝑞1 + 400 = 0 (4)

(3) en (4): 𝑑𝜋

𝑑𝑞1= −4 (90 − 𝑞1) − 40 𝑞1 + 400 = 0

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= −360 + 4 𝑞1 − 40 𝑞1 + 400 = 0

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 36 𝑞1 + 40 = 0 ⟺ 𝑞1 = 1,11

q2 = 88,89 ; qt = 90

condiciones de segundo orden

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1= −40 < 0

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2= −4 < 0

𝑑2𝜋


𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1= −4

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2

|

|𝐻| = |−40 −4−4 −4

| = 144 > 0




Ingresos por ventas (I1*) = $ 244,20

Costos Totales (C1*) = $ 22,18

Beneficios económicos (π1*) = $ 222,02






57

Ejercicio 13. Una empresa telefónica ha segmentado el servicio de llamadas (tomadas éstas como un producto homogéneo) en dos mercados diferenciados: el mercado de las llamadas locales (urbanas e interurbanas) y el mercado de las llamadas internacionales. Las funciones inversas de demanda para cada uno de los mercados considerados son:

Mercado de llamadas locales: p1 = 135 - 10 q1 Mercado de llamadas internacionales: p2 = 45 - 6 q2

Siendo la función de costos totales de la empresa: C = 150 + 15 (q1 + q2) a) Obtener las cantidades vendidas y los precios cobrados en cada uno de los

mercados considerados, las cantidades totales producidas y el beneficio máximo que podría obtener la empresa. R: q1*= 6; q2*= 2,5; p1*= 75; p2*= 30; qt*= 8,5; π*= 247,5.

b) Verificar que se cumple la condición de segundo orden para la maximización del beneficio.

a) monopolio discriminador con dos mercados (Discriminación de Tercer Grado)

𝑃1 = 135 − 10 𝑞1

𝑃2 = 45 − 6 𝑞2 𝐶𝑇 = 15 𝑞

𝑡 + 150

función de beneficios:

𝜋 = 𝑝1(𝑞1) ∗ 𝑞1 + 𝑝2(𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞𝑡)

𝜋 = (135 − 10 𝑞1) ∗ 𝑞1 + (45 − 6 𝑞2) ∗ 𝑞2 − (15 𝑞𝑡 + 150)

𝜋 = 135 𝑞1

− 10 𝑞1

2 + 45 𝑞2

− 6 𝑞2

2 − 15 𝑞𝑡

− 150

condiciones de primer orden:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔1 − 𝐶𝑀𝑔 = 135 − 20 𝑞1 − 15 = 0 (1)

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔2 − 𝐶𝑀𝑔 = 45 − 12 𝑞2 − 15 = 0 (2)

Igualando

(1) y (2)

135 − 20 𝑞1 = 45 − 12 𝑞2 ⟹ 90 − 20 𝑞1 = −12 𝑞2 ⟹

−7,5 +5

3 𝑞1 = 𝑞2

Como 𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 ⟹ 𝑞𝑡 = 𝑞1 − 7,5 +5

3 𝑞1 ⟹ 𝑞𝑡 = −7,5 +

8

3 𝑞1

Despejando q1: (𝑞𝑡 + 7,5) ∗3

8= 𝑞1 (3)

(3) en (1): 135 − 20 𝑞1 − 15 = 120 − 20 ∗ (𝑞𝑡 + 7,5) ∗

3

8= 0

120 −15

2𝑞𝑡 − 56,25 = 0 ⟹ 63,75 −

15

2𝑞𝑡 = 0 ⟺ 𝑞𝑡 = 8,5

condiciones de segundo orden:

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1= −20 < 0

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2= −12 < 0

𝑑2𝜋


𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1= 0

|𝐻| = |

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑𝑞1 𝑑𝑞2

𝑑2𝜋

𝑑𝑞2 𝑑𝑞1

𝑑2𝜋

𝑑2𝑞2

|

|𝐻| = |−20 0

0 −12| = 240 > 0

Cantidades ofrecidas

mercado 1 (q1*) = 6 Precio en el mercado 1 (P1) = $ 75

mercado 2 (q2*) = 2,5 Precio en el mercado 2 (P2) = $ 30

Cantidades ofrecidas por el empresario (qt*) =

8,5

Ingresos por ventas totales = $ 525

Costos Totales = $ 277,50

Beneficios económicos = $ 247,50

58

Ejercicio 14. Un médico especializado en operaciones de cirugía plástica femenina (único en el país y de reconocida trayectoria internacional) ha llegado a la conclusión de que le conviene cobrar, por la misma operación, precios distintos a cada paciente, basando fundamentalmente la fijación del precio en el aspecto de las pacientes y en el barrio en donde viven. Llamando q a la cantidad de operaciones realizadas en un año, su costo total anual viene dado por la función C = 20 + 10 q. Sabiendo que la función de demanda de operaciones de cirugía plástica en el año es P = 1500 – 2 q. Se le pide:

a) Calcular la cantidad de operaciones realizadas en el año, el precio marginal y el beneficio máximo obtenido por este monopolista perfectamente discriminador. R:

q marginal = 745; p marginal = 10; π* = $ 555.005.

b) Verifique la condición de segundo orden para el punto “a)”. c) Calcule la cantidad producida, el precio cobrado y el beneficio máximo obtenido si

este médico fuera un monopolista ordinario. R: q*= 372,5; p*= 755; π*= $ 277.492,5.

a) monopolio perfectamente discriminador (Discriminación de Primer Grado)

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞1) = 1.500 − 2 𝑞

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞) = 10 𝑞 + 20


𝜋 = ∫(1.500 − 2 𝑞) 𝑑𝑞 − 10 𝑞 − 20


maximización π:

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 1.500 − 2 𝑞 − 10 = 0

−2 𝑞 + 1.490 = 0 ⟺ 𝑞 = 745

(b) Condiciones de

segundo orden. Evaluamos q = 745

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −2

⇒

Ingresos por ventas 𝐼∗ = ∫ (1.500 − 2 𝑞)745

0𝑑𝑞 =

745

0| 1.500 𝑞 − 𝑞2 = 562.475


empresario (q*) = 745

Ingresos por ventas (I*) = $562.475


Precio marginal (p*) = $ 10 Beneficios económicos (π*) = $ 555.005

59

c) monopolio simple

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞1) = 1.500 − 2 𝑞

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞) = 10 𝑞 + 20


𝜋 = 1.500 𝑞 − 2 𝑞2 − 10 𝑞 − 20



𝑑𝜋


𝑑𝜋

𝑑𝑞= 1.500 − 4 𝑞 − 10 = 0

1.490 − 4 𝑞 = 0 ⟺ 𝑞 = 372,50


𝑞 = 372,50

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −4 < 0

⇒




Precio (p*) = $ 755 Beneficios económicos (π*) = $ 277.492,50

60

Ejercicio 15. Dada la siguiente función de Costos anual: C= 0,5q2 + 300q + 5.000 a) Determinar las cantidades ofrecidas, el precio de venta del bien, y los beneficios si

se sabe que la demanda es abastecida por un único empresario y el precio de venta del bien está determinado por: p= 1.000 – 0,5q. R: q*= 350; p*= 825; π*= 117.500

b) Verifique las condiciones de segundo orden. c) Determine el monto que el Estado podría cobrar si decidiese aplicar todos los años

un impuesto para financiar a los docentes del 1% de los ingresos por ventas del bien. Se supone que sólo existe el mercado local. R: 2.866,22 por año.

d) Determine el monto máximo que el monopolista está dispuesto a pagar de canon mensual por el permiso de exportar/importar si el precio del bien en el mercado externo es: p=300. Especifique además, las cantidades en cada mercado, lugar de elaboración, el precio de venta de los bienes en el mercado local, los costos totales y los beneficios obtenidos. R: No conviene exportar porque el π* es negativo. Pero si

importar, no se producen unidades localmente (q1 = 0), si se importan (q2* = 700); qt * = 700; p* = 650; C* = 215.000; π* = 240.000; está dispuesto a pagar $ 112.500.

e) Olvídese de los puntos anteriores, y suponga que la función de costos dada corresponde a una empresa de un mercado donde existe un competidor cuya función de costos es: C2= 0,25q2 2 + 60q2 + 3000 Determine las cantidades ofrecidas por ambas en el corto plazo, el precio de venta del bien, y los beneficios obtenidos bajo los supuestos de Cournot y compárelos con la solución cuasi-competitiva. R: Cournot: q1*= 210,91; q2* = 556,36; p* = 616,36; π1* =

39.483; π2* = 229.155. Cuasicompetitiva: q1*= 184; q2* = 848; p* = 484; π1* = 11.928; π2* = 176.776.

a) monopolio simple

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞1) = 1.000 − 0,5 𝑞

Función de Costos: 𝐶𝑇(𝑞) = 0,5 𝑞2 + 300 𝑞 + 5.000


𝜋 = 1.000 𝑞 − 0,5 𝑞2 − 0,5 𝑞2 − 300 𝑞 − 5.000



𝑑𝜋


𝑑𝜋

𝑑𝑞= 1.000 − 𝑞 − 𝑞 − 300 = 0

700 − 2 𝑞 = 0 ⟺ 𝑞 = 350

(b) Condición de segundo orden.

𝑞 = 350

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −2 < 0

⇒





61

c) monopolio simple. Impuesto a los Ingresos por Ventas. 𝑡 = 0,01 ∗ 𝐼

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞1) = 1.000 − 0,5 𝑞


= 0,5 𝑞2 + 300 𝑞 + 5.000

Impuesto: 𝑡(𝑞) = 0,01 ∗ (1.000 − 0,5 𝑞 ) ∗ 𝑞


𝜋 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 − 𝐶𝑇(𝑞) − 𝑡(𝑞)

𝜋 = 1.000 𝑞 − 0,5 𝑞2 − 0,5 𝑞2 − 300 𝑞 − 5.000 + 0,005 𝑞2 − 10 𝑞


maximización π:

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 1.000 − 𝑞 − 0,99 𝑞 − 310 = 0

690 − 1,99 𝑞 = 0 ⟺ 𝑞 = 346,73


𝑞 = 346,73

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −1,99 < 0

⇒




Impuesto (t*) = $ 2.866,19


62

d) simulación de competencia (exportar)

Función de Demanda: 𝑃 = 300



𝜋 = 300 𝑞 − 0,5 𝑞2 − 300 𝑞 − 5.000


maximización π:

𝑑𝜋


𝑑𝜋

𝑑𝑞= 300 − 𝑞 − 300 = 0 ⟺ 𝑞 = 0

Condición de segundo orden. 𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −1 < 0 ⇒ 𝑞 = 0


Ingresos por ventas (I*) = 0


Precio (p*) = $ 300 Beneficios (Pérdidas) (π*) = $ (5.000)

d) monopolio simple con dos funciones de costos

Función de Demanda: 𝑃(𝑞𝑡) = 1.000 − 0,5 𝑞𝑡

Funciones de Costos: 𝐶1(𝑞1) = 0,5 𝑞1

2 + 300 𝑞1 + 5.000

𝐶2(𝑞2) = 300 𝑞2


𝜋 = 𝑝(𝑞𝑡) ∗ 𝑞𝑡 − 𝐶1(𝑞1) − 𝐶2(𝑞2)

𝜋 = 1.000 𝑞𝑡 − 0,5 𝑞𝑡2 − 0,5 𝑞1

2 − 300 𝑞1 − 5.000 − 300 𝑞2

Condición de primer

orden para max. π:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1) = 1.000 − 𝑞1 − 𝑞𝑡 − 300 = 0

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞2) = 1.000 − 𝑞𝑡 − 300 = 0

𝑞1 = 0 ; 𝑞𝑡 = 700 ; 𝑞2 = 700


Evaluamos q2 = 700

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞22 =

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −1 < 0

⟹


Cantidades de Import. (q2*) = 700 Costos de Import. (C2*) = $ 210.000

Cantidades ofrecidas por el empresario (qt*) = 700 Costos Totales (Ct*) = $ 215.000

Precio (p*) = $ 650 Ingresos por ventas (I*) = $ 455.000

Situación con importación: Beneficios económicos (π2p*) = $ 240.000

Situación anterior: Beneficios económicos (π1p*) = $ 117.500

Máximo que pagaría por poder importar: Diferencia = $ 122.500

63

e) Duopolio: Solución de Cournot

empresario 1

𝐶1(𝑞1) = 0,5 𝑞12 + 300 𝑞1 + 5.000

empresario 2

𝐶2(𝑞2) = 0,25 𝑞22 + 60 𝑞2 + 3.000

Funciones de beneficios

𝜋1 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞1 − 𝐶𝑇(𝑞1) =

(1.000 − 0,5 𝑞𝑡 ) ∗ 𝑞1 − (0,5 𝑞12 + 300 𝑞1 + 5.000) =

1.000 𝑞1 −1

2 𝑞1

2 −1

2 𝑞1𝑞2 −

1

2 𝑞1

2 − 300 𝑞1 − 5.000

𝜋2 = 𝑝(𝑞1;𝑞2) ∗ 𝑞2 − 𝐶𝑇(𝑞2) =

(1.000 − 0,5 𝑞𝑡) ∗ 𝑞2 − (0,25 𝑞22 + 60 𝑞2 + 3.000) =

1.000 𝑞2 −1

2 𝑞1𝑞2 −

1

2𝑞2

2 −1

4 𝑞2

2 − 60 𝑞2 − 3.000

Condiciones de primer orden y Funciones de reacción

𝑑𝜋1

𝑑𝑞1= 1.000 − 𝑞1 −

1

2 𝑞2 − 𝑞1 − 300 = 0

700 − 2 𝑞1 −1

2 𝑞2 = 0

⟹ 𝑞1 = 350 −1

4 𝑞2

𝑑𝜋2

𝑑𝑞2= 1.000 −

1

2 𝑞1 − 𝑞2 −

1

2𝑞2 − 60 = 0

940 −1

2 𝑞1 −

3

2 𝑞2 = 0

⟹ 𝑞2 =1.880

3−

1

3 𝑞1

Cantidades a producir para maximizar beneficios

𝑞1 = 350 −1

4∗ (

1.880

3−

1

3 𝑞1)

𝑞1 = 350 −470

3+

1

12 𝑞1 ⟹

11

12 𝑞1 =

580

3

⟹ 𝑞1 = 210.91

𝑞2 =1.880

3−

1

3 𝑞1 =

1.880

3−

1

3 ∗ (210,91)

⟹ 𝑞2 = 556,36

Condiciones de segundo orden

𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1=

𝑑 𝐼𝑀𝑔1

𝑑𝑞1 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔1

𝑑𝑞1< 0

⟹ 𝑑2𝜋1

𝑑2𝑞1= −2 < 0

𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2=

𝑑 𝐼𝑀𝑔2

𝑑𝑞2 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔2

𝑑𝑞2< 0

⟹ 𝑑2𝜋2

𝑑2𝑞2= −

3

2< 0

Cantidades totales y precio del mercado

𝑞𝑡 = 𝑞1 + 𝑞2 = 767,27 𝑝 = 1.000 − 0,5 𝑞𝑡 = 616,365

Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 767,27 Precio en el mercado (P) = $ 616,37











64

e) Duopolio: Solución Cuasi-competitiva

empresario 1

𝐶1(𝑞1) = 0,5 𝑞12 + 300 𝑞1 + 5.000

empresario 2

𝐶2(𝑞2) = 0,25 𝑞22 + 60 𝑞2 + 3.000

𝑃 = 1.000 − 0,5 𝑞 𝑝 = 𝐶𝑀𝑔1 = 𝐶𝑀𝑔2

1.000 − 0,5 𝑞1 − 0,5 𝑞2 = 𝑞1 + 300 = 0,5 𝑞2 + 60

𝑞2 = −0,5 𝑞1

+ 940

1.000 − 0,5 𝑞1 − 0,5 (−0,5 𝑞1 + 940) = 𝑞1 + 300

230 = 1,25 𝑞1 ⟹ 𝑞1 = 184

𝑞2 = −0,5 ∗ (184) + 940 ⟹ 𝑞2

= 848

Cantidades totales ofrecidas (qt*) = 1.032 Precio en el mercado (P) = $ 484











65

Ejercicio 16. Dada la siguiente función de costos: C= 0,75q2 + 500q

a) Maximizar el beneficio si es el único oferente en un mercado cuya función de demanda determina que p = 1.000 – 0,5q. Especifique, las cantidades ofrecidas, el precio de venta del bien y los beneficios obtenidos. R: q* = 200; p* = 900; π* = 50.000.

b) Verifique las condiciones de 2º orden. c) Suponiendo que se mantuviera constante la tecnología y la estructura de costos

dada, ¿es sostenible en el largo plazo la solución obtenida en el punto a)? ¿Por qué? d) Explique gráficamente los efectos a largo plazo de un impuesto de suma fija (t$) en

un mercado como el especificado en el punto “a)” con la estructura de costos dada. Especifique el impacto sobre los beneficios, los precios y sobre las cantidades.

a) monopolio simple

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞) = 1.000 − 0,5 𝑞



𝜋 = 1.000 𝑞 − 0,5 𝑞2 − 0,75 𝑞2 − 500 𝑞



𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 1.000 − 𝑞 − 1,5 𝑞 − 500 = 0

500 − 2,5 𝑞 = 0 ⟺ 𝑞 = 200


𝑞 = 200

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −2,5 < 0

⇒





c) ¿monopolio natural?


CMe1(q*) < CMe2

(q*)

𝐶𝑀𝑒 = 0,75 𝑞 + 500

𝐶𝑀𝑒(𝑞=200)1 = 650

𝐶𝑀𝑒(𝑞=100)2 = 575

⇒

66

d) Impuesto de suma fija (t$)

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞) = 1.000 − 0,5 𝑞


Función de Beneficios: 𝜋 = 𝑝(𝑞) ∗ 𝑞 − 𝐶𝑇(𝑞) − 𝒕

𝜋 = 1.000 𝑞 − 0,5 𝑞2 − 0,75 𝑞2 − 500 𝑞 − 𝒕

C.P.O. 𝑑𝜋

𝑑𝑞= 1.000 − 𝑞 − 1,5 𝑞 − 500 = 0 ⟺ 𝑞 = 200



Costos Totales s/ impuesto (C*) = $ 130.000

Precio (p*) = $ 900 Beneficios económicos (π*) = $ 50.000 – t

67

Ejercicio 17. Dada la siguiente función de costos: 𝐶 = 0,05 𝑞2 + 50 𝑞 + 10.000. a) Determinar las cantidades ofrecidas, el precio de venta del bien y los beneficios si

se sabe que la demanda es abastecida por un único empresario y el precio de venta del bien está determinado por las cantidades mensuales ofrecidas: p= 500 – 0,25q. R: q* = 750; p* = 312,50; π* = 158.750.

b) Verifique las condiciones de 2º orden. c) Determine el monto máximo que el monopolista está dispuesto a pagar de alquiler

mensual por el uso de una planta adicional cuya función de costos es: C2= 120q2. Especifique además, las cantidades fabricadas en cada planta, el precio de venta del bien, y los beneficios obtenidos. R: q1*= 700; q2* = 60; p* = 310; π* = 158.900, está

dispuesto a pagar $ 150.

d) El monto máximo que el Estado podría cobrar al monopolista si decidiese aplicar un impuesto de suma fija todos los meses. Determine el efecto a largo plazo. R:

$158.750.

e) Determine los beneficios que generaría al productor la posibilidad de discriminar perfectamente el precio de venta entre los distintos consumidores, las cantidades ofrecidas, el precio cobrado y los beneficios –se supone que solo se utiliza la planta propia-. R: q marginal = 1.285,71; p marginal = 178,57; π = 279.285.

f) Olvídese de los puntos anteriores, y suponga que la función de costos dada corresponde a una empresa representativa de un mercado donde en total hay 51 empresas. La función de demanda del bien es: Pk= 1.250 – 0,25qk - Σ0,01 qi. Determine las cantidades ofrecida en el corto plazo, el precio de venta del bien y los beneficios obtenidos. R: qk* = 1.090; qt* = 55.635; p* = 431,82; π* = 347.024.

g) Determine cualitativamente (sin especificar los montos) las variaciones que habrá para llegar al equilibrio de largo plazo en el número de empresas, en las cantidades ofrecidas por cada empresa, en los beneficios de cada empresa y en las cantidades totales ofrecidas del bien y su precio. R: Se produce el ingreso de nuevas empresas por los

beneficios positivos que las empresas obtienen en el corto plazo, en el largo plazo los Beneficios tienden a CERO. Si bien, cada empresa ofrece una cantidad menor al incrementarse el número de empresas participantes del mercado; como consecuencia del mayor número de oferentes, las cantidades totales ofertadas son mayores y, por ello, el precio es menor.

a) monopolio simple

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞) = 500 − 0,25 𝑞



𝜋 = 500 𝑞 − 0,25 𝑞2 − 0,05 𝑞2 − 50 𝑞 − 10.000



𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 500 − 0,5 𝑞 − 0,1 𝑞 − 50 = 0

450 − 0,6 𝑞 = 0 ⟺ 𝑞 = 750


𝑞 = 750

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −0,6 < 0

⇒




Precio (p*) = $ 312,5 Beneficios económicos (π*) = $ 158.750

68

c) monopolio simple con dos funciones de costos

Función de Demanda: 𝑃(𝑞𝑡) = 500 − 0,25 𝑞𝑡

Funciones de Costos: 𝐶1(𝑞1) = 0,05 𝑞1

2 + 50 𝑞1 + 10.000

𝐶2(𝑞2) = 120 𝑞2


𝜋 = 𝑝(𝑞𝑡) ∗ 𝑞𝑡 − 𝐶1(𝑞1) − 𝐶2(𝑞2)

𝜋 = 500 𝑞𝑡 − 0,25 𝑞𝑡2 − 0,05 𝑞1

2 − 50 𝑞1 − 10.000 − 120 𝑞2

Condición de primer

orden para max. π:

𝑑𝜋

𝑑𝑞1= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞1) = 500 −

1

2𝑞𝑡 −

1

10𝑞1 − 50 = 0 (1)

𝑑𝜋

𝑑𝑞2= 𝐼𝑀𝑔(𝑞𝑡) − 𝐶𝑀𝑔1(𝑞2) = 500 −

1

2𝑞𝑡 − 120 = 0 (2)

−1

10𝑞1 − 50 = −120 ⟹ 𝑞1 = 700 (3)

(3) 𝑒𝑛 (2) 500 −1

2(700) −

1

2𝑞2 − 120 = 0 ⟹

30 −1

2𝑞2 = 0 ⟹ 𝑞2 = 60

𝑞𝑡 = 760

Condiciones de segundo orden.

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞12 =

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −0,1 < 0

𝑑2𝜋

𝑑 𝑞22 =

𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= 0

⟹



Cantidades ofrecidas por el empresario (qt*) = 760 Costos Totales (Ct*) = $ 76.700

Precio (p*) = $ 310 Ingresos por ventas (I*) = $ 235.600

Situación con dos plantas: Beneficios económicos (π2p*) = $ 158.900

Situación anterior: Beneficios económicos (π1p*) = $ 158.750

Máximo que pagaría por alquilar 2da planta: Diferencia = $ 150

d) impuesto de suma fija

Máxima suma a pagar para no tener beneficios económicos negativos (pérdidas): Beneficios económicos (π1p*) = $ 158.750

69

e) monopolio perfectamente discriminador (Discriminación de Primer Grado)

Función de Demanda: 𝑃1(𝑞1) = 500 − 0,25 𝑞



𝜋 = ∫(500 − 0,25 𝑞) 𝑑𝑞 − 0,05 𝑞2 − 50 𝑞 − 10.000


maximización π:

𝑑𝜋

𝑑𝑞= 𝐼𝑀𝑔 − 𝐶𝑀𝑔 = 500 − 0,25 𝑞 − 0,1 𝑞 − 50 = 0

−0,35 𝑞 + 450 = 0 ⟺ 𝑞 = 1.285,71

Condiciones de segundo orden. q = 1.285,71

𝑑2𝜋


𝑑𝑞 −

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞= −0,35 ⇒

Ingresos por ventas 𝐼∗ = ∫ (500 −1

4 𝑞)

9.000

70

𝑑𝑞 =

9.000

7

0

| 500 𝑞 −1

8𝑞2 = 436.224,49


empresario (q*) = 1.285,71



Precio marginal (p*) = $ 178,57 Beneficios económicos (π*) = $ 279.285,71

70

f) competencia monopolística - corto plazo

función de beneficios del

empresario representativo


𝜋𝑘 = (1.250 − 0,25 𝑞𝑘 − 0,01 ∑ 𝑞𝑖51𝑖=1𝑖≠𝑘

) ∗ 𝑞𝑘 − (0,05 𝑞𝑘2 + 50 𝑞𝑘 + 10.000)

∑ 0,01 𝑞𝑖51𝑖=1;𝑖≠𝑘

= (51 − 1) ∗ 0,01 𝑞𝑖 = 0,5 𝑞𝑖

𝜋𝑘 = 1.250 𝑞𝑘 − 0,25 𝑞𝑘2 − 0,5 𝑞𝑖 𝑞𝑘 − 0,05 𝑞𝑘

2 − 50 𝑞𝑘 − 10.000


𝑑𝜋𝑘

𝑑𝑞𝑘= 𝐼𝑀𝑔𝑘 − 𝐶𝑀𝑔𝑘 = 1.250 − 0,5 𝑞𝑘 − 0,5𝑞𝑖 − 0,1 𝑞𝑘 − 50 = 0

1.200 − 1,1 𝑞𝑘 = 0 ⟺ 𝑞𝑘 = 1.090,91


𝑑 𝐼𝑀𝑔

𝑑𝑞<

𝑑 𝐶𝑀𝑔

𝑑𝑞 ⟹ −0,5 < −0,1

𝑞𝑘 = 1.090,91

Cantidades ofrecidas por cada empresario (qi*) = 1.090,91

Emp

resa


(Ik*) = $ 471.076,36


Precio en el mercado (P) = $ 431,82 Beneficios ec. (πk*) = $ 347.026,77

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Ejercicios Resueltos Mercados Imperfectos

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