Ejercicios Resueltos de Equaciones Diferenciales ... · PDF fileUAM–CSIC...

UAMCSIC Grupo 911 Abril 2013
Ejercicios Resueltos de Equaciones Diferenciales Ordinarias
Asignatura de Matemticas Grado en Qumica
Nota: Los ejercicios pueden contener errores, agradecemos que se comuniquen a los pro-fesores para su correccin. Escribir a [email protected].
Problemas Resueltos: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17.
1. Encuentra al menos dos soluciones del problema de valor inicial: x(t) = 3x(t) 23 ,x(0) = 0.
Solucin: Una posible solucin es la funcin constante igual a 0, i.e. x1(t) 0.Ciertamente satisface la ecuacin x1(t) = 3x1(t)
23 ya que al sustituir obtenemos
0 = 0, y tambin la condicin inicial x1(0) = 0.
Hallemos una segunda solucin x2(t) distinta de x1(t) 0. Teniendo en cuentaque el exponente es 2/3 es razonable hacer el ansatz x2(t) = t3. Efectivamente,x2(t) = 3t2 = 3(t3)
23 = 3x2(t)
23 y x2(0) = 0. Luego x2(t) es una solucin de la
ecuacin distinta de x1(t).
(*) Solucin a una EDO lineal de primer orden
y(x) + P (x)y(x) = Q(x) = y(x) = e
P (x)dx[
Q(x)e
P (x)dxdx+ C], C R.
2. Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial dada. Dar un intervalo en elcual la solucin general est definida:
(a) x(t) + 2x(t) = 0.
Solucin: En este caso P (t) = 2 y Q(t) = 0, luego la solucin general esx(t) = c1e2t, c1 R.
(b) 2x(t) + 10x(t) = 1.
Solucin: P (t) = 5 y Q(t) = 1/2. La solucin general es x(t) = c1e5t +110 .
Observemos que la solucin general es de la forma xh(t) + xp(t), con xh(t) lasolucin general de la ecuacin homognea 2x(t) + 10x(t) = 0 y xp(t) = 1/10una solucin particular de ecuacin original no homognea 2x(t)+10x(t) = 1.
(c) x(t) = x(t) + t.
Solucin: P (t) = 1 y Q(t) = t. Integrando por partes la frmula general parael caso de ecuaciones lineales de orden 1, obtenemos que la solucin general es
1

x(t) = c1et (t+ 1).
Alternativamente podemos obtener la solucin general como x(t) = xh(t) +xp(t), xh(t) solucin general de la ecuacin homognea x(t) = x(t) y xp(t) unasolucin particular de x(t) = x(t) + t. Se tiene xh(t) = c1et. Para hallar xp(t)observamos que el trmino independiente Q(t) = t es un polinomio de grado1, luego podemos probar con xp(t) = at + b. La ecuacin xp(t) = xp(t) + timplica a = b = 1, i.e. xp(t) = (t+ 1).
(d) x(t) + 5x(t) = 20, x(0) = 2.
Solucin: P (t) = 5 y Q(t) = 20. La solucin general es x(t) = c1e5t + 4.Del mismo modo que en los apartados anteriores esta solucin es la formax(t) = xh(t) + xp(t) con xh(t) = c1e5t solucin de la ecuacin homogneax(t) + 5x(t) = 0 y xp(t) una solucin particular de x(t) + 5x(t) = 20.
Debemos imponer la condicin x(0) = 2:
x(0) = c1 + 4 = 2 = c1 = 2.
La solucin es x(t) = 2e5t + 4.
3. Resolver los siguientes sistemas lineal de ecuaciones diferenciales.
(a)(x(t)y(t)
)=(
1 22 1
)(x(t)y(t)
).
Solucin: Hallemos los autovalores de la matriz(
1 22 1
). Obtenemos dos
autovalores puramente imaginarios 1 = i
3 y 2 = i
3.
Luego la solucin es
x(t) = c1 sin(
3t)3
+ c2(sin(
3t) +
3 cos(
3t))3
y(t) = c2 sin(
3t)3
+ c1(3 cos(
3t)
3 sin(
3t))
(b)(x
y
)=(
3 41 1
)(xy
).
Solucin: La matriz A =(
3 41 1
)tiene autovalores 1 = 2 = 1 y no
diagonaliza. La descomposicin es(3 41 1
)= PDP1 =
(2 11 0
)(1 10 1
)(0 11 2
).
Luego la solucin del sistema es
x(t) = c1(2tet + et) + c2tet
y(t) = c1tet + c2(2tet et)
2

(c)(x
y
)=(
4 24 3
)(xy
).
Solucin: Los autovalores de la matriz A =(
4 24 3
)son 1 = 4 y 2 = 5.
Luego la matriz diagonaliza:(4 24 3
)= PDP1 =
=(1 24 1
)(4 00 5
)(4 24 3
)1=
= 19
(1 24 1
)(4 00 5
)(1 24 1
).
La solucin en la base de los autovectores viene dada por
etD =(e4t 0
0 e5t).
En la base original tenemos etA = PetDP1 y la solucin general es
x(t) = c1(8e5t + e4t) + c2(e5t e4t)
y(t) = c1(e5t e4t) + c2(e5t + 8e4t)
(d)(x
y
)=(
1 31 1
)(xy
).
Solucin: Los autovalores de la matriz A =(
1 31 1
)son 1 = 4 y 2 = 5.
Luego la matriz diagonaliza:(1 31 1
)= PDP1 =
=(1 31 1
)(2 00 2
)(1 31 1
)1=
= 14
(1 31 1
)(2 00 2
)(1 31 1
).
La solucin en la base de los autovectores se obtiene de
etD =(e2t 0
0 e2t).
En la base original se tiene etA = PetDP1 y la solucin general es
x(t) = c1(3e2t + e2t) + c2(e2t e2t)
y(t) = c1(e2t e2t) + c2(e2t + 3e2t)
3

4. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales(x
y
)=(
1 21 4
)(xy
), x(0) = 1, y(0) = 1.
Solucin: La matriz del sistema A =(
1 21 4
)tiene autovalores 1 = 2 y 2 = 3.
Luego diagonaliza:
A = PDP1 =(
2 11 1
)(2 00 3
)(2 11 1
)1=
=(
2 11 1
)(2 00 3
)(1 11 2
)
La exponencial es etA = PetDP1 y las soluciones generales del sistema son
x(t) = c1(e3t 2e2t) + c2(e3t e2t)
y(t) = c1(e3t e2t) + c2(2e3t e2t)
Las condiciones iniciales x(0) = 1 y y(0) = 1 implican
x(t) = 3e3t + 4e2t, y(t) = 3e3t + 2e2t.
5. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales(x
y
)=(
5 13 1
)(xy
), x(0) = 2, y(0) = 1.
Solucin: La matriz del sistema A =(
5 13 1
)tiene autovalores 1 = 2 y 2 = 4.
La descomposicin es
A = PDP1 =(
1 13 1
)(2 00 4
)(1 13 1
)1=
= 12
(1 13 1
)(2 00 4
)(1 13 1
)
De etA = PetDP1, las soluciones generales del sistema son
x(t) = c1(3e4t e2t) + c2(e4t e2t)
y(t) = c1(e4t e2t) + c2(2e4t 3e2t)
Las condiciones iniciales x(0) = 2 y y(0) = 1 implican
x(t) = 12(7e4t 3e2t), y(t) = 12(7e
4t 9e2t).
4

7. Resolver el siguiente sistema no homogneo(x
y
)=(
1 22 1
)(xy
)+(
32
).
Solucin: Obtenemos la solucin general del sistema mediante una solucin partic-ular ms las soluciones del sistema homogneo. Una solucin particular es(
xpyp
)=(
7/38/3
).
Hallemos las soluciones del sistema homogneo(x
y
)=(
1 22 1
)(xy
).
La matriz A =(
1 22 1
)tiene autovalores 1 = 1, 2 = 3. Su descomposicin
diagonal es
A = PDP1 =(1 11 1
)(1 00 3
)(1 11 1
)1=
= 12
(1 11 1
)(1 00 3
)(1 11 1
).
Luego la solucin del sistema homogneo es
x(t) = c1(e3t + et) + c2(e3t et)
y(t) = c1(e3t et) + c2(e3t + et).
La solucin del sistema no homogneo es
x(t) = c1(e3t + et) + c2(e3t et) +73
y(t) = c1(e3t et) + c2(e3t + et)83 .
10. Solucionar el problema de Cauchy
y(x) = x+ y(x), y(0) = 2.
Solucin: El problema coincide con 2.c y la solucin general es y(x) = c1ex(x+1).La condicin inicial implica
2 = y(0) = c1 1 = c1 = 3.
Luego la solucin al problema es y(x) = 3ex (x+ 1).
5

11. Hallar la solucin del problema de Cauchy
y(x) + 2y(x) = sin x, y(0) = 4.
Solucin: P (x) = 2 y Q(x) = sin x. La solucin general es
y(x) = c1e2x +15(2 sin x cosx).
La condicin inicial implica c1 = 21/5 y la solucin al problema de Cauchy es
y(x) = 15(21e2x + 2 sin x cosx
).
12. Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial y(x) y(x) = cos x.
Solucin: Se trata de una EDO lineal de primer orden con P (x) = 1 y Q(x) =cosx. La solucin general es
y(x) = c1ex +12 (sin x cosx) .
13. Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial y(x) + 5y(x) = e5x.Solucin: Es una EDO lineal de primer orden con P (x) = 5 y Q(x) = e5x. Lasolucin general es
y(x) = c1e5x +e5x
10 .
14. Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial y(x) =
1 y(x)2.Solucin: Observemos que no es una EDO lineal. Podemos reescribir la ecuacin:
y(x)2 + y(x)2 = 1.
Necesitamos una funcin de modo que la suma de los cuadrados de ella y su derivadasea constante igual a 1. Sabemos que cos2 x + sin2 x = 1. Como (sin x) = cosxtenemos que y(x) = sin x o y(x) = cosx son soluciones. En general podemos con-siderar y(x) = sin(x + k), k R. Ntese que el caso y(x) = cosx corresponde ak = /2. Falta justificar que la solucin general es de hecho y(x) = sin(x+ k).
Para ello consideramos la expresin y(x)2 + y(x)2 = 1. Derivando respecto a x enambos lados se tiene
2y(x)y(x) + 2y(x)y(x) = 0.
En los puntos donde y(x) 6= 0, obtenemos la igualdad y(x) + y(x) = 0. Esto es unoscilador de solucin y(x) = c1 sin x+ c2 cosx. Recordando la formula
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
concluimos que la solucin general es de la forma y(x) = sin(x+ k), k R.
6

15. Hallar la solucin del problema de Cauchy 2xy(x) y(x) = x3 x, y(4) = 2.Solucin: Es una EDO lineal de primer orden. Si asumimos x 6= 0 podemos ree-scribir la ecuacin como
y(x) 12xy(x) =12(x
2 1).
Para esta ecuacin se tiene P (x) = 1/2x y Q(x) = (x21)/2. La solucin generales
y(x) = c1x+ x
3
5 x.
La condicin inicial implica c1 = 17/5 y y(x) = 175x+ x
3
5 x.
16. Hallar la solucin general de la ecuacin diferencial y(x) + y(x) = x3 + x.
Solucin: Es una EDO lineal de segu

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