Ejercicios de derivadas e integrales

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Departament d’Estad´ıstica i Investigaci´o OperativaUniversitat de Val`encia

Derivadas

Reglas de derivacio´n

Suma

Producto

Cociente

Regla de la cadena

Potencia

2

Reglas de derivacio´n ( continuacio´n )

Trigonom´etricas

Funciones de arco

Exponenciales

Logar´ıtmicas

Ejercicios de derivadas

1. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = x3 cuando x = 1/2 y x = −1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes.

Soluci´on.- a) 3/4, b) 3.

2. Determinar las tangentes de los ´angulos que forman con el eje positivo de las x las l´ıneas tangentes a la curva y = 1/x cuando x = 1/2 y x = 1, construir la gr´afica y representar las l´ıneas tangentes.

3

Soluci´on.- a) -4, b) -1.

3. y = x4 + 3x2 − 6.

y = 4x3 + 6x.

4. y = 6x3 − x2.

y = 18x2 − 2x.

5. . Escriba aquí la ecuación.

.

6. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

7. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

8. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.-

9. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

10. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .√3 √

11. Hallar la derivada de la funci´on y = x2 − 2 x + 5.

Soluci´on.- .

12. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

13. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + 4x3)(1 + 2x2).

Soluci´on.- y0 = 4x(1 + 3x + 10x3).

14. Hallar la derivada de la funci´on y = x(2x − 1)(3x + 2).

Soluci´on.- y0 = 2(9x2 + x − 1).15. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x − 1)(x2 − 6x + 3).

Soluci´on.- y0 = 6x2 − 26x + 12.

16. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

17. Hallar la derivada de la funci´on .

4

Soluci´on.- .

18. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

19. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

20. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

21. Hallar la derivada de la funci´on y = (2x2 − 3)2.

Soluci´on.- y0 = 8x(2x2 − 3).

22. Hallar la derivada de la funci´on y = (x2 + a2)5.

Soluci´on.- y0 = 10x(x2 + a2)4.√

23. Hallar la derivada de la funci´on y = x2 + a2.

Soluci´on.- .√

24. Hallar la derivada de la funci´on y = (a + x) a − x.

Soluci´on.- .

25. Hallar la derivada de la funci´on . Soluci´on.- y0 = √1 2.

(1−x) 1−x

26. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

√ 3

27. Hallar la derivada de la funci´on y = x2 + x + 1.

Soluci´on.- .

√ 3 3.28. Hallar la derivada de la funci´on y = (1 + x)

Soluci´on.- .29. Hallar la derivada de la funci´on y = sin2 x.

Soluci´on.- y0 = sin2x.

5

30. Hallar la derivada de la funci´on y = 2sinx + cos3x.

Soluci´on.- y0 = 2cosx − 3sin3x.

31. Hallar la derivada de la funci´on y = tan(ax + b).

Soluci´on.- .

32. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

33. Hallar la derivada de la funci´on y = sin2xcos3x.

Soluci´on.- y0 = 2cos2xcos3x − 3sin2xsin3x.

34. Hallar la derivada de la funci´on y = cot2 5x.

Soluci´on.- y0 = −10cot5xcsc2 5x.

35. Hallar la derivada de la funci´on f(t) = tsint + cost.

Soluci´on.- f0(t) = tcost.

36. Hallar la derivada de la funci´on f(t) = sin3 tcost.

Soluci´on.- f0(t) = sin2 t(3cos2 t − sin2 t).

√37. Hallar la derivada de la funci´on y = a cos2x.

Soluci´on.- .

38. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- y0 = tanxsec2 x.

39. Hallar la derivada de la funci´on y = lncosx.

Soluci´on.- y0 = −tanx.

40. Hallar la derivada de la funci´on y = lntanx.

Soluci´on.- .

41. Hallar la derivada de la funci´on y = lnsin2 x.

Soluci´on.- y0 = 2cotx.

42. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- y0 = sinx + cosx.

43. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

44. Hallar la derivada de la funci´on f(x) = sin(lnx).

Soluci´on.- .45. Hallar la derivada de la funci´on f(x) = tan(lnx).

6

Soluci´on.- .

46. Hallar la derivada de la funci´on f(x) = sin(cosx).

Soluci´on.- f0(x) = −sinxcos(cosx).

47. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

48. Hallar la derivada de la funci´on y = log3(x2 − sinx).

Soluci´on.- .

49. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .

50. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x2 + x).

Soluci´on.- .

51. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x3 − 2x + 5).

Soluci´on.- .

52. Hallar la derivada de la funci´on y = xlnx.

Soluci´on.- y0 = lnx + 1.

53. Hallar la derivada de la funci´on y = ln3 x.

Soluci´on.- .√

54. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(x + 1 + x2).

Soluci´on.- .

55. Hallar la derivada de la funci´on y = ln(lnx).

Soluci´on.- .

56. Hallar la derivada de la funci´on y = e(4x+5).

Soluci´on.- y0 = 4e(4x+5).

57. Hallar la derivada de la funci´on y = ax2.

Soluci´on.- y0 = 2xax2 lna.

58. Hallar la derivada de la funci´on y = 7(x2+2x).

Soluci´on.- y0 = 2(x + 1)7(x2+2x) ln7.

59. Hallar la derivada de la funci´on y = ex(1 − x2).

Soluci´on.- y0 = ex(1 − 2x − x2).

7

60. Hallar la derivada de la funci´on .

Soluci´on.- .61. Hallar la derivada de la funci´on y = esinx.

Soluci´on.- y0 = esinx cosx.

62. Hallar la derivada de la funci´on y = atannx.

Soluci´on.- y0 = natannx sec2 nxlna.

63. Hallar la derivada de la funci´on y = ecosx sinx.

Soluci´on.- y0 = ecosx(cosx − sin2 x).

64. Hallar la derivada de la funci´on y = ex ln(sinx).

Soluci´on.- y0 = ex(cotx + ln(sinx)).

65. Hallar la derivada de la funci´on y = xx1 .

Soluci´on.- .

66. Hallar la derivada de la funci´on y = xlnx.

Soluci´on.- y0 = xlnx−1 lnx2.

67. Hallar la derivada de la funci´on y = xx.

Soluci´on.- y0 = xx(1 + lnx).

68. Hallar la derivada de la funci´on y = exx.

Soluci´on.- y0 = exx(1 + lnx)xx.

❑❑

❑❑

8

Integrales

Tabla de integrales inmediatas

(p 6= −1)

Z sinxdx = −cosx + C Z f0(x)sinf(x)dx = −cosf(x) + C

Z cosxdx = sinx + C Z f0(x)cosf(x)dx = sinf(x) + C

Tabla de integrales inmediatas ( continuacio´n )

Z exdx = ex + C Z f0(x)ef(x)dx = ef(x) + C

10

Ejercicios de integrales indefinidasR

1. Calcular la integral x5dx.

Soluci´on.- .R √ 2.

Calcular la integral (x + x)dx.

Soluci´on.- .

3. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

4. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

5. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

6. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

11

R7. Calcular la integral e5xdx.

Soluci´on.- .R

8. Calcular la integral cos5xdx.

Soluci´on.- .R

9. Calcular la integral sinaxdx.

Soluci´on.- .

10. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

11. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

12. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

13. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

14. Calcular la integral .

Soluci´on.- −ln|1 − x| + C.

15. Calcular la integral .

Soluci´on.- .R

16. Calcular la integral tan2xdx.

Soluci´on.- .

17. Calcular la integral R sin 2 xcosxdx.

Soluci´on.- .R

18. Calcular la integral cos3 xsinxdx.

12

Soluci´on.- .R √ 19. Calcular la integral x x2 + 1dx.

Soluci´on.- .

20. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

21. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

22. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

23. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

R cotx24. Calcular la integral sin 2 xdx.

cot2 xSoluci´on.- − + C.

2

25. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

26. Calcular la integral .

√Soluci´on.- 2sinx + 1 + C.

27. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

dx1 +xsin2

√x cosR

13

28. Calcular la integral .

pSoluci´on.- 2 1 + sin2 x + C.

29. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

30. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

31. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

32. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

33. Calcular la integral .

Soluci´on.- .R

34. Calcular la integral e2xdx.

Soluci´on.- .R x

35. Calcular la integral e2 dx.

Soluci´on.- .R

36. Calcular la integral esinx cosxdx.

Soluci´on.- esinx + C. R37. Calcular la integral 3xexdx.

Soluci´on.- .R

38. Calcular la integral e−3xdx.

Soluci´on.- .R 2 39. Calcular la integral ex +4x+3(x + 2)dx.

Soluci´on.- .

dxx 2sin+1

px sin2R

14

40. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

41. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

42. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

43. Calcular la integral .

Soluci´on.- .

15

Integraci´on por partes

Recordemos la f´ormula de la deriva del producto de funciones

,

que expresada bajo forma de diferencial da lugar a

d[u(x)v(x)] = d[u(x)]v(x) + u(x)d[v(x)].

De donde se obtiene, u(x)d[v(x)] = d[u(x)v(x)] − v(x)d[u(x)].

Integrando ahora ambos miembros tendremosZ Z

u(x)d[v(x)] = u(x)v(x) − v(x)d[u(x)],

que se escribe tambi´en en forma abreviada,Z Z

udv = uv − vdu. (1)

Esta expresi´on es conocida como la f´ormula de la integraci´on por partes y esR de gran utilidad para la resoluci´onR de integrales. Se aplica a la resoluci´on de las integrales udv a partir de la integral vdu que se supone m´as sencilla. La aplicaci´on de (1) exige primero identificar adecuadamente en el integrando las funciones u(x) y v(x). Veamos un ejemplo

Ejemplo 1 Si queremos calcular la integral Z x3 lnxdx,

observemos que la integral de x3 es inmediata y que la derivada de lnx es tambi´en muy sencilla. As´ı, si asignamos

u = lnx y dv = x3dx,

tendremos

y ,si integramos ahora

Observemos que la primera constante de integraci´on C1 se cancela de la respuesta final (C1 lnx− C1

lnx). Este es siempre el caso cuando integramos por partes, por ello, en la pr´actica, nunca incluimos una constante de integracio´n en v(x), simplemente tomaremos para v(x) cualquier primitiva de dv(x).

16

Algunos tipos de integrales que se resuelven por partes

Ejercicios de integraci´on por partesR

1. Calcular la integral xexdx.

Soluci´on.- xex − ex + C.R

2. Calcular la integral lnxdx.

Soluci´on.- xlnx − x + C.R

3. Calcular la integral x2e3xdx.

Soluci´on.- .R 4. Calcular la

integral x3e−xdx.¡¢

Soluci´on.- −e−x x3 + 3x2 + 6x + 6 + C.R

5. Calcular la integral xsinxdx.

Soluci´on.- −xcosx + sinx + C.R

6. Calcular la integral x2 cos2xdx.

Soluci´on.- .R

7. Calcular la integral ex sinxdx.

Soluci´on.- .R 3

8. Calcular la integral x5ex dx.

Soluci´on.- .

dx =dvxln=uxdxlnR

dx =x dv= arcsinuxdxarcsinR

dx=x dv= arctanxdx uarctanR

dx nx=dvxln=uxdxlnnxR

xdxcos=dvnx=uxdxcosnxR

xdx = sindvnx=uxdxsinnxR

dxxe=dvnx=dx uxenxR

17

Ejercicios de integrales definidas y c´alculo de ´areas

1. Calcular la integral definida .

Soluci´on.- .

2. Calcular la integral definida .

Soluci´on.- e − 1.

3. Calcular la integral definida .

Soluci´on.- 1.

4. Calcular la integral definida .

Soluci´on.- .

5. Hallar el ´area de la figura comprendida entre la curva y = 4 − x2 y el eje X.

Soluci´on.- 10 .

6. Hallar el ´area de la figura comprendida entre las curvas y2 = 9x e y = 3x.

Soluci´on.- .

7. Hallar el ´area de la figura limitada por la hip´erbola equil´atera xy = a2, el eje X y las rectas x = a y x = 2a.

Soluci´on.- a2 ln2.