Jorge Salazar Avís

1. Siendo u = (3, 2, 1), v = (5, −3, 4) y w = (1, 6, −7), calcular (u+v)·w y u·w+v·w. ¿Son iguales?

(u+v)·w= ((3, 2, 1) + (5, −3, 4)) * (1, 6, −7) = (3+5, 2+(-3), 1+4) * (1, 6, −7) = (8, -1, 5) *(1, 6, −7) =

= 8*1 +(-1)*6+5*(-7) = 8 +(-6) + (-35) = -33

u·w+v·w= (3, 2, 1)*(1, 6, −7) + (5, −3, 4)*(1, 6, −7)= 3*1 + 2*6 + 1*(-7) + 5*1+ (-3)*6 + 4*(-7)=

= 3 + 12+ (-7) + 5 +(-18)+ (-28)= -33

Por tanto (u+v)·w = u·w+v·w

2. Sean u = (5, 4, 1), v = (3, −4, 1) y w = (1, −2, 3). ¿Qué pares de dichos vectores son perpendiculares entre sí?

Dos vectores u, v, que son perpendiculares entre sí cumplen que u*v=0 y además el módulo de ambos es distinto de cero dado que  u*v =|u|·|v|·cosα (siendo α el ángulo que forman entre sí) por lo que para que la expresión sea cero, cosα debe ser cero, y los ángulos α que cumplen esto son, en grados, 90º y 270º, es decir, aquellos para los cuales los vectores son perpendiculares.

Vamos por tanto a comprobar qué combinación de los vectores anteriores cumple que u*v=0

u*v= (5, 4, 1)* (3, −4, 1) = 5*3+ 4*(-4)+ 1*1 =0 u y v son perpendiculares entre sí.

u*w= (5, 4, 1)* (1, −2, 3) =5*1+4*(-2)+1*3= 0 u y w son perpendiculares entre sí.

v*w= (3, −4, 1)* (1, −2, 3) =3*1+(-4)*(-2)+1*3=14 v y w NO son perpendiculares entre sí.

3. Hallar el valor de k para que u = (1, k, −3) sea perpendicular a v = (2, −5, 4).

Este ejercicio se basa en lo mismo que el anterior solo que ahora queremos conocer para que valor de k será perpendicular. Por tanto, lo que haremos será resolver la ecuación u*v=0 despejando k.

u*v= (1, k, −3) * (2, −5, 4) = 1*2 + k* (-5) + (-3)*4= -5k -10

-5k - 10 =0 k=2

13. Halla las expresiones, tanto en coordenadas cartesianas como en polares, de los conjuntos: a) El círculo centrado en el punto de coordenadas cartesianas (1, 2) de radio 3.

C= { (x, y) ∈ R2 : (x-1)2 + (y-2)2 = 9 }

Para pasarlo a coordenadas polares:

x =rcos(t)

y =rsen(t)

C= {(r, t) ∈ R2 : (rcos(t)-1)2 + (rsen(t)-2)2 = 9 }

f) La curva cuya ecuación en coordenadas polares es r = 1 + 3t.

d) La curva cuya ecuación en coordenadas cartesianas es x2 + xy = 12.

C= { (x, y) ∈ R2 : x2 + xy = 12}

Para pasarlo a coordenadas polares:

C= { (r, t) ∈ R2 : (rcos(t))2 + r2cos(t)sen(t) = 12}

g) Los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen 2 < r < 3 y 5π/3 ≤ t ≤ 7π/3.

C= { (r, t) ∈ R2 : 2 < r < 3 ; 5π/3 ≤ t ≤ 7π/3}

C= { (x, y) ∈ R2 : x =rcos(t) ; y =rsen(t) ∀ 2 < r < 3 ; 5π/3 ≤ t ≤ 7π/3}