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EJERCICIOS RESUELTOS. DERIVADAS

En los siguientes ejercicios se trata de calcular la tasa de variacin de una magnitud cuando se conoce la tasa de variacinde otra magnitud relacionada con ella. En este tipo de ejercicios la tasa de variacin se interpreta como una derivada y, en lamayora de los casos, basta usar la regla de la cadena para obtener lo que se pide. Hay que elegir las unidades de acuerdo conlos datos del problema; por ejemplo, si un volumen se mide en litros tendremos que medir longitudes con decmetros.

Ejercicio 1. Con qu rapidez baja el nivel del agua contenida en un depsito cilndrico si estamos vacindolo a razn de3000 litros por minuto?

Solucin

Sea r el radio del cilindro y h la altura medidos en decmetros. Sea V(t) el volumen de agua, medido en litros (=dcm3), quehay en el cilindro en el tiempo t medido en minutos. La informacin que nos dan es una tasa de variacin

V(t + 1)V(t) = 3000 litros por minuto

En este tipo de ejercicios la tasa de variacin se interpreta como una derivada: V (t) = 3000. Fjate que V(t + to) V(to) uV (to)t, por lo que la interpretacin es razonable. El signo negativo de la derivada es obligado ya que el volumen disminuyecon el tiempo. Como el radio es constante pero la altura del agua depende del tiempo, tenemos

V(t) = r 2h(t)

y deducimosV (t) = 3000 = r 2h (t)

Por tantoh (t) = 3000

r 2decmetros por minuto

Si expresamos las medidas en metros, entonces h (t) = 3 r 2

metros por minuto.

Ejercicio 2. Un punto P se mueve sobre la parte de la parbola x = y 2 situada en el primer cuadrante de forma que sucoordenada x est aumentando a razn de 5 cm/sg. Calcular la velocidad a la que el punto P se aleja del origen cuando x = 9.

Miguel Martn y Javier Prez (Universidad de Granada)

Ejercicios resueltos captulo 2 2

Solucin

Sean (x(t), y(t)) las coordenadas, medidas en centmetros, del punto P en el instante t medido en segundos. Nos dicen quey(t) > 0 y que x(t) = y(t)2. La distancia del punto P al origen viene dada por f (t) =

x(t)2 + y(t)2 , por lo que

f (t) =x(t)x (t) + y(t)y (t)

x(t)2 + y(t)2

Lo que nos piden es f (to) sabiendo que x(to) = 9. En tal caso ha de ser y(to) = 3. Tambin conocemos x (t) = 5 (cm/sg). Con

ello es fcil deducir el valor de y (to) =x (to)2y(to)

=56

. Finalmente,

f (to) =x(to)x (to) + y(to)y (to)

x(to)2 + y(to)2=

45 + 3(5/6)81 + 9

=95

6

10cm/sg

Ejercicio 3. Se est llenando un depsito cnico apoyado en su vrtice a razn de 9 litros por segundo. Sabiendo que laaltura del depsito es de 10 metros y el radio de la tapadera de 5 metros, con qu rapidez se eleva el nivel del agua cuando haalcanzado una profundidad de 6 metros?

Solucin

Expresaremos todas las medidas en metros. Si V(t) es el volumen de agua que hay en el

H

h

r

Rdepsito en el tiempo t medido en segundos, nos dicen que V (t) =

9103

m3/sg. Sabemos

que V(t) =13

r(t)2h(t) donde h(t) es la altura, medida desde el vrtice, alcanzada por el

agua en el tiempo t y r(t) es el radio de la seccin transversal del cono a la distancia h(t)

desde el vrtice. Por semejanza de tringulos deducimos querR

=hH

, de donde, r = r(t) =RH

h(t) =12

h(t). Luego V(t) =1

12 h(t)3, y V (t) =

9103

=

4h(t)2h (t). Luego, cuando

h(to) = 6, deducimos que9

103=

436h (to), esto es, h (to) =

1103

m/sg u 1, 146 m/h.

Ejercicio 4. El volumen de un cubo est aumentando a razn de 70 cm3 por minuto. Con qu rapidez est aumentando elrea cuando la longitud del lado es de 12 cm?

Solucin

Miguel Martn y Javier Prez (Universidad de Granada)

Ejercicios resueltos captulo 2 3

Sea V(t) el volumen del cubo, medido en centmetros cbicos, en el tiempo t, medido en minutos. Si L(t) es la longitud en

centmetros del lado en el tiempo t, tenemos que V(t) = L(t)3, de donde, L (t) =V (t)3L(t)2

. Como nos dicen que V (t) = 70

cm/min, deducimos que cuando L(to) = 12, L (to) =70

3(12)2. El rea del cubo viene dada por S(t) = 6L(t)2, deducimos que

S (to) = 12L(to)L (to) =703

cm2/min.

Ejercicio 5. Un barco A se desplaza hacia el oeste con una velocidad de 20 millas por hora y otro barco B avanza hacia elnorte a 15 millas por hora. Ambos se dirigen hacia un punto O del ocano en el cual sus rutas se cruzan. Sabiendo que lasdistancias iniciales de los barcos A y B al punto O son, respectivamente, de 15 y de 60 millas, se pregunta: A qu velocidadse acercan (o se alejan) los barcos entre s cuando ha transcurrido una hora? Y cuando han transcurrido 2 horas? En qumomento estn ms prximos uno de otro?

Solucin

Tomamos el punto O como origen de coordenadas, tal como se indica en la figura. Lla-O A

B

memos x(t) a la distancia, medida en millas, que separa el barco A de O. Nos dicen quex(0) = 15 y x (t) = 20 millas por hora. Observa que como la funcin x(t) es decrecientesu derivada debe ser negativa. Anlogamente, sea y(t) la distancia que separa al barco B deO. Nos dicen que y(0) = 60 y y (t) = 15 millas por hora. La distancia entre los dos barcosviene dada por f (t) =

x(t)2 + y(t)2 . Tenemos

f (t) =x(t)x (t) + y(t)y (t)

x(t)2 + y(t)2

Cuando ha pasado una hora x(1) = 15 20 = 5, y(1) = 60 15 = 45. Deducimos que

f (1) =(5)(20) + 45(15)

(5)2 + (45)2= 115

82millas/h

Donde el sigo negativo indica que se estn acercando (la distancia entre ellos est disminu-yendo).

Cuando han pasado dos horas x(2) = 15 40 = 25, y(2) = 60 30 = 30. Deducimos que

f (2) =(25)(20) + 30(15)

(25)2 + (30)2=

1061

millas/h

Miguel Martn y Javier Prez (Universidad de Granada)

Ejercicios resueltos captulo 2 4

Donde el sigo positivo indica que se estn alejando (la distancia entre ellos est aumentando).

La distancia entre los dos barcos es mnima cuando la derivada es nula (fjate que la derivada pasa de negativa a positiva).La condicin f (to) = 0 equivale a20 x(to) 15y(to) = 0. Sustituyendo en esta igualdad x(to) = 15 20 to, y(to) = 60 15 to,obtenemos to = 4825 . x(

4825) =

1175

, y(4825) =1565

. La distancia mnima a que se cruzan los barcos es f (4825) = 39 millas.

Ejercicio 6. Una bola esfrica de hielo se est derritiendo de forma uniforme en toda la superficie, a razn de 50 cm3 porminuto. Con qu velocidad est disminuyendo el radio de la bola cuando este mide 15 cm?

Solucin

El volumen de la bola en el instante t minutos viene dado por V(t) =43

r(t)3 centmetros cbicos. Nos dicen que V (t) =

50. Deducimos que 50 = 4 r(t)2r (t). Si r(to) = 15, se sigue que

r (to) =50

4 (15)2= 1

18 cm/min

La derivada es negativa, como debe ser, ya que el radio est disminuyendo.

Una de las aplicaciones ms tiles de las derivadas es a los problemas de optimizacin. En dichos problemas se trata, por logeneral, de calcular el mximo o el mnimo absolutos de una magnitud. Hay una gran variedad de problemas que responden aeste esquema y con frecuencia tienen contenido geomtrico o econmico o fsico. Por ello cada uno de estos ejercicios requiereun estudio particular. Los siguientes consejos pueden ser tiles:a) Entiende bien el problema. Haz, si es posible, un dibujo o un esquema.b) Elige las variables y la magnitud, Q, que tienes que optimizar.c) Estudia las relaciones entre las variables para expresar la magnitud Q como funcin de una sola de ellas, Q = f (x).d) Las condiciones del problema deben permitir establecer el dominio de f .e) Estudia la variacin del signo de la derivada de f en su dominio para calcular mximos y mnimos absolutos.

Ejercicio 7. Dado un punto P = (a, b) situado en el primer cuadrante del plano, determinar el segmento con extremos en losejes coordenados y que pasa por P que tiene longitud mnima.

Solucin

En un ejercicio como este lo primero que hay que hacer es elegir la variable en funcin de la cual vamos a calcular la longituddel segmento AB. Tomando como variable , es decir, la medida en radianes del ngulo indicado en la figura, la longitud del

Miguel Martn y Javier Prez (Universidad de Granada)

Ejercicios resueltos captulo 2 5

segmento AB viene dada por

f () =b

sen +

acos

(0 < < /2)

Debemos calcular el mnimo absoluto de f . Tenemos que:

f () =b cos

sen 2 +

a sen cos 2

Se obtiene enseguida que f () se anula en un nico punto o]0, /2[ que viene dado por la condicin tg(o) =3

b/a.

Se justifica fcilmente que f tiene en o un mnimo absoluto. En efecto, como

P=(a,b)

a

b

B=(0,b+y)

A=(a+x,0)

lmx0

f () = , y lmx/2

f () = + se sigue que:

]0, o[= f() < 0, ]o, /2[= f

() > 0

por tanto, f es estrictamente decreciente en ]0, o] y estrictamente creciente en[o, /2[, lo que implica que f (o) 6 f () para todo ]0, /2[.

Para calcular la longitud mnima f (o), basta tener en cuenta que:

1 + tg 2(o) =1

cos 2(o)= 1 + 3

(ba

)2= a

cos(o)= a 2/3

(a 2/3 + b 2/3

)1/2Fcilmente se obtiene ahora que

bsen(o)

= b 2/3(a 2/3 + b 2/3

)1/2 con lo que la longitud mnima buscada viene dada por:f (o) =

(a 2/3 + b 2/3

)3/2Otra forma de calcular la longitud del segmento AB consiste en considerar la ecuacin general de las rectas que pasan

por el punto P = (a, b) : y = (x a) + b . Las intersecciones de dicha recta con l